高考文科理科数学压轴大题演练系列 (5)
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题阶段测试卷文科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题阶段测试卷（文科）第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=( ) A.{}2,1--B.{}2-C.{}1,0,1-D.{}0,12.已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a//b, 则实数m 等于( ) A.2-22-2D.03.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 ( ) A.(1,)-+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D.[1,1)(1,)-+∞4.3sin cos 23αα==若( ) A.23B.13 C.13-D.23-5.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A.a >b +1 B.a >b 1 C.2a >2b D.3a >3b6.已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f （ ） A.2B.1C.0D.27.已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（ ）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝8.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则 ( ) A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =- D.32n n S a =- 9.已知0>x ，0>y ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.29 D. 211 10.用{}b a ,max 表示两个数a ，b 中的最大数，设{}x x x x f 22log ,48max )(-+-=，若函数kx x f x g -=)()(有两个零点，则实数k 的取值范围为 ( )A.()3,0B.(]3,0C.()4,0D.[]4,0二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在等差数列{}n a 中，若2013=a ，1320=a ，则2014a =_________；12.已知函数f(x)＝32,0,πtan ,0,2x x x x ⎧<⎪⎨-≤<⎪⎩则π4f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝__________； 13. 已知向量a ，b 满足2=a ，2=b ，且32=+b a，则a 与b 的夹角为__________；14.设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值为__________；15.已知a 为常数，若曲线x x ax y ln 32-+=存在与直线01=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是__________。
2024年高考数学全真模拟试卷五(新高考、新结构)(全解全析)
2024年高考数学全真模拟试卷五（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．cos 50cos 70sin 50cos160︒︒+︒︒=（）A ．BC ．12-D ．12【答案】C【解析】cos50cos70sin 50cos160︒︒+︒︒()cos 50cos 70sin 50cos 9070=︒︒+︒︒+︒cos50cos70sin 50sin 70=︒︒-︒︒()1cos 5070cos1202=︒+︒=︒=-.故选C.2．如图，已知集合{}2log 1,{1}A xx B x x =<=<∣∣，则阴影部分表示的集合为（）A ．()1,2B ．[)1,2C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B【解析】因为{}{}2log 102,{1}A x x x x B x x =<=<<=<∣∣∣，所以{}01A B xx =<< ∣，(){}12A A B x x ⋂=≤<∣ð，即阴影部分表示的集合为[)1,2，故选B3．已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+，即2m =或4m =-.故选A.4．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，cos (2)cos a B c b A =-，则ABC 面积的最大值为（）A B ．2C ．94D ．92【答案】A【解析】因为cos (2)cos a B c b A =-，由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，即()sin 2sin cos A B C A +=，sin 2sin cos C C A =，又()0,πC ∈，sin 0C ≠，故1cos 2A =；由()0,πA ∈，解得π3A =；由余弦定理，结合3a =，可得2219cos 22b c A bc+-==，即2292b c bc bc +=+≥，解得9bc ≤，当且仅当3b c ==时取得等号；故ABC 的面积11sin 922S bc A bc ==⨯3b c ==时取得等号.即ABC 故选A.5．已知点()3,0A ，点P 是抛物线2:4C y x =上任一点，F 为抛物线C 的焦点，则1PA PF +的最小值为（）A B C D 【答案】A【解析】由题意得()1,0F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，设(),P x y ，则1PF x =+，PA =12PAPF x =++．令2x μ+=，则2x μ=-，由0x ≥，得2μ≥，所以1PAPF ==+，令1λμ=，则102λ<≤，所以1PA PF =+，故当317λ=，即113x =时，1PA PF +取得最小值17．故选A ．6．如图，现有棱长为6cm 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥1A EFG -，且,,E F G 分别为棱11111,,A A A B A D 靠近1A 的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（）A ．3πcm 2B ．336πcmC ．3πcm 2D ．372πcm【答案】B【解析】由题意1113 2A E A F AG===，设点1A到平面EFG的距离为d，而2 EF EG FG=== 122EFGS=⨯=11E AGF A EFGV V--=，得113331322223⨯⨯⨯⨯=，解得2d=，棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为3，棱长为6的正方体体对角线的长度为因为3，所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为334π336πcm3⨯=.故选B.7．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为,A B，左焦点为,F P为椭圆上一点，直线AP与直线x a=交于点,M PFB∠的角平分线与直线x a=交于点N，若PF AB⊥，MAB△的面积是NFB面积的72倍，则椭圆C的离心率是（）A．18B．17C．16D．13【答案】B【解析】根据题意可得()()(),0,,0,,0A aB a F c--，则2AB a=，FB a c=+，又PF AB⊥可得90PFB∠= ，设P点坐标为()0,P c y-，如下图所示：将()0,P c y-代入椭圆方程可得()220221c ya b-+=，解得2bya=；可得()22PAbbaka c a a c==--，直线PA方程为()()2by x aa a c=+-，联立()()2by x aa a cx a⎧=+⎪-⎨⎪=⎩，解得22,bM aa c⎛⎫⎪-⎝⎭，即()(),2M a a c+易知PFB∠的角平分线倾斜角为45 ，斜率为1k=，直线FN方程为y x c=-，联立y x cx a=+⎧⎨=⎩，解得(),N a a c+；所以MAB △的面积为()()1222MAB S AB BM a a c a a c ==⋅+=+ ，NFB 面积为()21122NFB S FB BN a c ==+ ；即()()()227172224a a c a c a c +=⨯+=+，即()724a a c =+，可得7a c =；所以离心率17c e a ==.故选B 8．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01g =-B ．若()12024f =，则20241()2024n f n ==∑C ．函数()21f x -的图像关于直线12x =对称D ．()()111g g +-=-【答案】D【解析】对于A ，令0x y ==，可得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，所以()01g =，故A 错误；对于D ，因为()01g =，令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故D 正确；对于B ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即()()()12f x f x f x =-+-+，有()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()12024f =，所以()22024f -=，所以()()222024f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()202411232024n f n f f f f ==++++∑ ()()()()020********f f f f =++==，故B 错误；对于C ，取()2πsin3f x x =，()2πcos 3g x x =，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，所以()()2π21sin213f x x -=-，又()0sin 00f ==，所以函数()21f x -的图像不关于直线12x =对称，故C 错误；故选D.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．在复平面内，复数112z =对应的点为A ，复数211z z =-对应的点为B ，下列说法正确的是（）A ．121z z ==B ．2121z z z ⋅=C ．向量AB对应的复数是1D ．12AB z z =- 【答案】AD【解析】因为112z =，所以212z =-，所以11,,,22A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，121z z ==，A 正确；22121111222z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎢⎥⋅=--=--=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；由上可得()1,0AB =- ，对应复数为1-，C 错误；1211i i 12222z z ⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB = ，D 正确.故选AD10．已知二面角A CD B --的大小为2π3，AC CD ⊥，BD CD ⊥，且1CD =，2AC BD +=，则（）A ．ABD △是钝角三角形B ．异面直线AD 与BC 可能垂直C ．线段AB 长度的取值范围是⎡⎣D ．四面体A BCD -【答案】AC【解析】对于选项A ：由题意可知，0BD CD ⋅= ，二面角A CD B --的大小为2π3，AC CD ⊥，BD CD ⊥，所以2π,3CA DB = ，所以()2πcos 03DA DB DC CA DB CA DB CA DB ⋅=+⋅=⋅=< ，所以ADB ∠是钝角，即ABD △是钝角三角形，故A 正确；对于选项B ：由题意知，0BD CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，2π,3CA DB = ，1CD = ，所以()()22πcos 103AD BC AC CD BD CD AC BD CD AC BD ⋅=+⋅-=⋅-=-< ，所以异面直线AD 与BC 不可能垂直，故B 错误；对于选项C ：由题意可知，0BD CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，1CD = ，所以()222222AB AC CD DBAC CD DB AC DB =++=+++⋅ 221AC DB AC DB =+++()21AC DBAC DB =+-+．设AC x =，由2AC BD +=，得2BD x =-，其中02x <<，所以()2222514AB x x x =-+=-+ ，所以245AB ≤< ，则线段AB 长度的取值范围是⎡⎣，故C 正确；对于选项D ：如图，过点A 作平面BCD 的垂线，垂足为E ，则πsin3AE AC =⋅，由题意，可知四面体A BCD -的体积为11πsin 323CD BD AC ⨯⨯⨯⨯⨯21212212AC BD AC BD +⎛⎫=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1AC BD ==时，等号成立，故D 错误．故选AC.11．已知函数()()212cos1tan 2xf x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π2是()f x 的一个周期B ．()f x 的值域是⎡⎣C ．若()f x 在区间π,4t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值，没有最大值，则t 的取值范围是π0,4⎛⎤⎝⎦D ．若方程()f x a =在区间ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个不同的实根()123123,,x x x x x x <<，则()()12332x x x f x ++的取值范围是π44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】因为()()()212cos1tan cos 1tan sin cos 2xf x x x x x x =-+=+=+，由题意可知：()f x 的定义域为π|π,2A x x k k ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，关于原点对称，且()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，可得()f x 为偶函数，对于选项A ：因为π0,2A A ∈∉，可知π2不是()f x 的一个周期，又因为()()()()πsin πcos πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，可知π是()f x 的一个周期，故A 错误；对于选项B ：当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin 0,cos 0x x ≥>，可得()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则ππ3π,444x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，可知：当ππ44x +=，即0x =时，()f x ；当ππ42x +=，即π4x =时，()f x 取到最大值1；所以()f x ⎡∈⎣，结合偶函数和周期性可知()f x 的值域是⎡⎣，故B 正确；对于选项C ：因为π,4x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由选项B 可知：π04t <≤，故C 正确；对于选项D ：方程()f x a =的实根即为()y f x =与y a =的交点横坐标，作出()f x 在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，如图所示：由题意结合图象可知：(12233πππ,0,,,242a x x x x x ⎛⎫∈+=+=∈ ⎪⎝⎭，则()()12333ππ2sin 24x x x f x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，因为3ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3ππ3π,424x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得3πsin ,142x ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12333πππ2sin ,2442x x x f x x ⎛⎫⎛⎫++=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选BC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=.【答案】12-【解析】因为()1,0a = ，()1,1b = ，所以()1,a b λλλ+=+ ，又a b λ+ 与b垂直，所以()10a b b λλλ+⋅=++= ，解得12λ=-.13．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是23，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是．【答案】139；313【解析】依题意随机变量X 的可能取值为1、2、3，则()213P X ==；()22221339P X ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭；()2213139P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以随机变量X 的概率分布为X123P232919所以随机变量X 的期望为()221131233999E X =⨯+⨯+⨯=.记“第i 次举起该重量”分别为事件,1,2,3i A i =，“甲选手挑战成功”为事件B ，则()3123226()111327P B P A A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()()21212222()1339P A B P A A P A P A ⎛⎫===-⨯= ⎪⎝⎭,所以()()()223|13P A B P A B P B ==，所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为313.14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.【答案】(],2-∞【解析】因为对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-恒成立，所以21212112ln ln x x a x a x x x x x --<-+恒成立，所以21211211ln ln a x a x x x x x -<-+-恒成立，所以22112111ln ln a x x a x x x x -+<-+恒成立①，令()()1ln ,0,f x a x x x x∞=-+∈+，由①式可得()()21f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()2210x ax f x x-+'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以210x ax -+≥在()0,∞+上恒成立，所以1a xx ≤+在()0,∞+上恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x=，即1x =时取等号，2a ∴≤.三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15．（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+-+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.(1)求a 的值；(2)若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.【解析】（1）由于210x y ++=的斜率为12-，所以()22f '=，（2分）又()221f x ax x '=+-,故()224122f a '=+-=，解得12a =。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题中学文科数学高考冲刺试题5
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题中学文科数学高考冲刺试题选择题1.“x ＜1”是“log2(x+1)＜1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.设352log 2,log 2,log 3a b c ===，则A.a c b >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >> 3.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2380a a +=，则12S S 的值为（ ） A．3 B ．3 C ．5 D ．1/7 4.1tan 751tan 75+-等于（ ）A ．3B ．3-C ．3 D ．3- 5.已知平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，则2+a b =( ) A ．(5,6)-B ．(3,6)C ．(5,4)D ．(5,10)6.在平面区域002x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+≤⎩内随机取一点，则所取的点恰好落在圆221x y +=内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．8πD ．16π7.下面图形中，属正方体表面展开图的是( )8.若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 1 或 2 C. 2- D. 1 或 2-9.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）A B C D10.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第号座位上A.1B.2C.3D.4 填空题 11.命题p ：“”的否定是_________．12.已知y ＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝_____ 13.已知正数,a b 满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为_____ 选做题14.在极坐标系中，直线(sin cos )2ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为▲ 15.如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若3OC =，1OM =，则MN 的长为___________．OM N解答题16.（本题满分12分）已知函数(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．17.（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．附：K2=甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计P（K2≥k）0.250.150.100.050.025 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02418.(本小题满分14分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ，1=BE ．（1）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；（2）当三棱锥ADE C -的体积最大时，求点C 到平面ADE 的距离．19.（本题满分14分）已知椭圆的左焦点F1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是23(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：为定值．20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ）．()1求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； ()2设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； ()3设()1C 412n n a n n λ-=+-⋅（λ为非零整数，n *∈N ），是否存在确定λ的值，使得对任意n *∈N ，有1C C n n +>恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21.（本题满分14分） 已知函数f(x)＝ln x ＋kex (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)/()f x ，其中f ′(x)为f(x)的导函数， 证明：对任意x>0，g(x)<1＋e2.参考答案1.B2.D3.D4.B5.D6.B7.A8.A9.A 10.B 11.2,10x R x ∀∈+≥12.1 13.914.4 15.1 16.17. 解：（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A ．从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15个，（4分）而事件A 包含基本事件：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个． （6分） 所以所求概率为P （A ）== （7分）（2）由已知数据得： 甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计 成绩优秀 1 5 6 成绩不优秀 19 15 34 总计202040（9分）根据2×2列联表中数据，K2=≈3.137＞2.706所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关． （12分） 18.（1）证明：∵AB 是直径，∴AC BC ⊥…………………1分， 又四边形DCBE 为矩形,DE CD ⊥,DE BC //,∴AC DE ⊥ ∵C AC CD = ，∴⊥DE 平面ACD …………4分又⊂DE 平面ADE ，∴平面⊥ADE 平面ACD ………………6分 （2）由⑴知DE S V V ACD ACD E ADE C ⨯⨯==∆--31DE CD AC ⨯⨯⨯⨯=2131 BC AC ⨯⨯=6134121)(121222=⨯=+⨯≤AB BC AC ， ………………………8分， 当且仅当22==BC AC 时等号成立 ……………………9分， ∴当22==BC AC 三棱锥ADE C -体积最大为34……………………10分， 此时，3)22(122=+=AD ，2321=⨯⨯=∆DE AD S ADE 设点C 到平面ADE 的距离为h ，则3431=⨯⨯=∆-h S V ADE ADE C 322=h ………………………14分 19.20.（1）证明：由已知，*11()()1(2,)n n n n S S S S n n N +----=≥∈, 即11n n a a +-=（n≥2，n ∈N*），且211a a -=．…………………1分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列， ∴1n a n =+． …………………3分（2）解：由（1）知2(1)n n b n =⋅+， …………………4分 设它的前n 项和为n T ∴123123412232422(1)2,22232422(1)2,n n n nn n T n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯两式相减可得：123111222222(1)22n n n n n T n n -++-=⨯+++++-+⨯=-⋅所以12n n T n +=⋅…………………7分（3）解：∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n C λ-+=+-⋅⋅， …………………8分要使1n n C C +>恒成立，则1211144(1)2(1)20n n n n n n n n C C λλ++-++-=-+-⋅⋅--⋅⋅>恒成立 ∴11343(1)20nn n λ-+⋅-⋅-⋅>恒成立，∴11(1)2n n λ---⋅<恒成立． …………………10分（ⅰ）当n 为奇数时，即λ＜12n -恒成立，当且仅当n=1时，12n -有最小值为1，∴λ＜1．…………………11分 （ⅱ）当n 为偶数时，即λ＞﹣12n -恒成立， 当且仅当n=2时，﹣12n -有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．…………………12分 综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n ∈N*，都有1n n C C +>．…………………14分21.(1)解 由得： x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.………(3分)(2)解 由(1)得f ′(x)＝1x xe(1－x －xln x)，x ∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又ex>0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．……(7分)(3)证明 因为g(x)＝(x2＋x) /()f x ，所以g(x)＝1x x e+ (1－x －xln x)，x ∈(0，＋∞)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e －2等价于1－x －xln x<1xe x + (1＋e －2)．由(2)知h(x)＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x)＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2)，x ∈(0，＋∞)．因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e －2)＝1＋e －2.故1－x －xln x ≤1＋e －2.……(10分) 设φ(x)＝ex －(x ＋1)．因为φ′(x)＝ex －1＝ex －e0，所以当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，故当x ∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex －(x ＋1)>0，即1x e x +>1.所以1－x －xln x ≤1＋e －2<1xe x + (1＋e －2)．因此对任意x>0，g(x)<1＋e －2.………………(14分)高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选：D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：|z|===．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．【解答】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种间接法：﹣﹣﹣+1=590故答案为：590．【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），则|AB|=16．故答案为：16．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=【点评】本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣ta nαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求圆Q的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．【分析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．【解答】解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}=Pn={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时Pn中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，。
安徽省部分省示范中学2025届高考数学押题试卷含解析
安徽省部分省示范中学2025届高考数学押题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（ ）A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p2．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C与圆22:(3C x y +='交于M ,N 两点,若||MN =则MNF 的面积为( )A．8 B ．38 C．8 D．44．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π2 D ．π45．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ）A ．1 BCD ．56．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )AB ．32 CD ．127．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=dA ．1B ．2C ．3D ．48．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．5009．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(1,2] C ．(,0][2,)-∞+∞ D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞10．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12- 11．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π12．已知集合{}|124A x x =<≤，2|65B x y x x ⎧⎫==⎨-+-⎩，则A B =（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤C ．{|1x x ≤或}5x ≥D ．{}|524x x ≤≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题普通高等学校招生全国统一考试数学试题卷文史类
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题普通高等学校招生全国统一考试数学试题卷(文史类)数学试题卷(文史类)共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所胡题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷与答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)在等差数列中,,,则(A) (B)(C) (D)(2)设,,则(A),(B),(C),,(D),,(3)曲线在点,处的切线方程为(A)(B)(C)(D)(5)已知向量,,,,且与共线,那么的值为(A)1(B)2(C)3(D)4(6)设,,,则,,的大小关系是(A)(B)(C)(D)(7)若函数在处取最小值,则(A)(B)(C)3(D)4(8)若的内角、、满足,则(A)(B)(C)(D)(9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于、两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为(A)(B)(C) (D)(10)高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为(A)(B)(C)(D)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.(11)的展开式中的系数是.(12)若，且，则＝.(13)过原点的直线与圆相交所得的弦长为2，则该直线的方程为.(14)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为.(15)若实数,,满足,，则的最大值是.三、解答是：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16)(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设是公比为正数的等比数列，,.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.(17)(本小题满分13分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问7分.)某市公租房的房源位于、、三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是告示可能的.求该市的4位申请人中:(Ⅰ)没有人申请A片区房源的概率;(Ⅱ)每个片区的房源都有人申请的概率.(18) (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设函数.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)若函数的图象按,平移后得到函数的图象,求在,上的最大值.(19) (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)设的导数为,若函数的图象关于直线对称，且.(Ⅰ)求实数,的值;(Ⅱ)求函数的极值.(20)(本小题满分12分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问6分.)如图，在四面体中，平面平面，，,.(Ⅰ)求四面体的体积;(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.(21) (本小题满分12分，(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分.)如图，椭圆的中心为原点，离心率,一条准线的方程是.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;DCBAx=22OB1yxPNM(Ⅱ)设动点P满足:，其中,是椭圆上的点，直线与的斜率之积为.问:是否存在定点,使得与点到直线的距离之比为定值？若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2020-2021学年数学文科高三考前压轴卷及答案解析
最新高考数学压轴卷（文科）（五）一、选择题（每题5分）1．已知集合A={1，x}，B={1，2}，且A∪B={1，2，3}，则x=（）A．3 B．2 C．1 D．02．设复数z满足（2z﹣i）（2﹣i）=5，则复数z在复平面内对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过点（2，3），且离心率为2，则它的焦距为（）A．2 B．4 C．6 D．84．已知a=2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=﹣，若=2﹣，=+3，则=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．6．若x，y满足不等式组，z=x﹣y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知命题p：若x＞0，则函数y=x+的最小值为1，命题q：若x＞1，则x2+2x﹣3＞0，则下列命题是真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是圆弧）（）A．4﹣πB．π﹣2 C．1﹣D．1﹣9．设各项都是正数的等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2，S3，a2+S5成等比数列，则=（）A．0 B．C．D．110．将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[﹣，]上单调递减 B．在区间[﹣，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增11．已知四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为12π，ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，则△PCD的面积为（）A．B．C．D．412．已知函数f（x）=ax3+2x2﹣1有且只有两个零点，则实数a的取值集合（）A．{﹣1，0，1} B．{0，} C．{0，} D．{﹣，0，}二、填空题（每题5分）13．如图是一批学生的体重情况的直方图，若从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为24，则这批学生中的总人数为______．14．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且a2=﹣1，则a6=______．15．执行如图所示的程序框图，输出的n值为______．16．已知偶函数f（x）在[0，+∞）是增函数，则满足f（2x﹣3）＜f（x2）的实数x的取值范围是______．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知=﹣3，cosB=﹣，b=2，求：（1）a和c的值；（2）sin（A﹣B）的值．18．在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x，y（1）求事件x+y=5的概率；（2）求事件2x+|x﹣y|=6的概率．19．如图正四棱住ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是A1A上的点，M是AC、BD的交点．（1）若A1C∥平面EBD，求证：点E是AA1中点；（2）若AB=1，△EBD的面积S=，点F在CC1上，且FM⊥EM，求三棱锥体积V F﹣EBD的大小．20．已知函数f（x）=（1）若f（x）＞0对其定义域内任意x成立，求a的值；（2）当a=0时，求f（x）在区间[e，e]上最值．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（2，1），且直线l：x﹣2y﹣=0过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l′平行于直线l，且与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM的倾斜角为θ1，直线AN的倾斜角为θ2，试探究θ1+θ2是否为定值，并说明理由．[选修4-1几何证明选讲]|22．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．（1）求证：BD平分∠CBE；（2）求证：AH•BH=AE•HC．[选修4-4坐标系与参数方程]|23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5不等式选讲]|24．设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．已知集合A={1，x}，B={1，2}，且A∪B={1，2，3}，则x=（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据题意，由A与B及A∪B，易得x=3．【解答】解：∵集合A={1，x}，B={1，2}，且A∪B={1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．设复数z满足（2z﹣i）（2﹣i）=5，则复数z在复平面内对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由（2z﹣i）（2﹣i）=5，求得2z﹣i，进一步求出复数z在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：由（2z﹣i）（2﹣i）=5，得2z﹣i=，∴2z=2+2i，即z=1+i．则复数z在复平面内对应点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．3．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过点（2，3），且离心率为2，则它的焦距为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】双曲线的简单性质．【分析】将点（2，3）代入双曲线的方程，结合离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=1，c=2，进而得到焦距．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过点（2，3），可得﹣=1，又离心率为2，即e==2，即有c=2a，b==a，可得﹣=1，解得a=1，则c=2．即焦距2c=4．故选：B．4．已知a=2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数和指数函数的单调性求解．【解答】解：∵0＜a=2＜20=1，b=log2＜=0，c=log＞=1，∴c＞a＞b．故选：C．5．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=﹣，若=2﹣，=+3，则=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得||=||=1，•=1•1•cosα=﹣，由此求得的值．【解答】解：由题意可得||=||=1，•=1•1•cosα=﹣，∴=（2﹣）•（+3）=2+5•﹣3=2﹣1﹣3=﹣2，故选：A．6．若x，y满足不等式组，z=x﹣y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的可行域，作出直线y=x，由z的几何意义：直线在y轴上截距的相反数．平移直线y=x，观察即可得到所求最大值．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图．作出直线y=x，z=x﹣y的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数．平移直线y=x，由x=代入直线x+y﹣3=0，可得y=﹣．将（，﹣）代入z=x﹣y，可得z的最大值为4．故选：D．7．已知命题p：若x＞0，则函数y=x+的最小值为1，命题q：若x＞1，则x2+2x﹣3＞0，则下列命题是真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】根据级别不等式的性质判断p，根据二次函数的性质判断q，从而判断复合命题的真假即可．【解答】解：x＞0时，y=x+≥2=，故命题p是假命题，∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，对称轴x=﹣1，函数在（1，+∞）递增，∴x2+2x﹣3＞0，∴命题q是真命题，∴p∨q是真命题，故选：A．8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是圆弧）（）A．4﹣πB．π﹣2 C．1﹣D．1﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的而剩下的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的而剩下的几何体．∴该几何体的体积V=13﹣×π×12×1=1﹣．故选：D．9．设各项都是正数的等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2，S3，a2+S5成等比数列，则=（）A．0 B．C．D．1【考点】等差数列的前n项和．【分析】a2，S3，a2+S5成等比数列，可得：（a1+d）（6a1+11d）=，解出即可得出．【解答】解：∵a2，S3，a2+S5成等比数列，∴a2•（a2+S5）=，∴（a1+d）（6a1+11d）=，化为：2d2﹣a1d﹣3=0，d，a1＞0．∴（2d﹣3a1）（d+a1）=0，∴2d﹣3a1=0，则=，故选：B．10．将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[﹣，]上单调递减 B．在区间[﹣，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得所得函数的图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin[2（x+）﹣]=﹣sin（2x﹣），在区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，函数y=﹣sin（2x﹣）没有单调性，故排除A、B．在区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，函数y=﹣sin（2x﹣）单调递减，故排除D，故选：C．11．已知四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为12π，ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，则△PCD的面积为（）A．B．C．D．4【考点】棱锥的结构特征．【分析】由题意画出图形，设P到AB的距离为d，由球的半径相等列式求得d，进一步求得△PCD的边CD上的高，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：如图，设四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为r，由四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为12π，得4πr2=12π，r=．∵ABCD是边长为2的正方形，设其中心为M，则MC=，∴OM=1，又PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，设P到AB的距离为d，则，解得：d=1+．∴△PCD的边CD上的高h=，则△PCD的面积为S=．故选：A．12．已知函数f（x）=ax3+2x2﹣1有且只有两个零点，则实数a的取值集合（）A．{﹣1，0，1} B．{0，} C．{0，} D．{﹣，0，}【考点】函数零点的判定定理．【分析】当a=0时，函数f（x）=2x2﹣1有且只有两个零点，满足条件；当a≠0时，函数的极值为0，进而得到答案．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x2﹣1有且只有两个零点，满足条件；当a≠0时，令f′（x）=3ax2+4x=0，解得：x=0，或x=﹣，∵f（0）=1≠0，∴f（﹣）=，解得：a=，故a∈{﹣，0，}，故选：D二、填空题（每题5分）13．如图是一批学生的体重情况的直方图，若从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为24，则这批学生中的总人数为96 ．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率和为1，求出前3个小组的频率和，再求出第2小组的频率以及样本容量．【解答】解：根据频率和为1，得：从左到右的前3个小组的频率和为1﹣（0.037+0.013）×5=0.75；根据这3个小组的频率之比为1：2：3，得：第2小组的频率为0.75×=0.25，又频数为24，所以这批学生的总人数为：=96．故答案为：96．14．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且a2=﹣1，则a6= ﹣16 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列通项公式先求出首项，由此能求出第6项．【解答】解：∵数列{a n}是公比为2的等比数列，且a2=﹣1，∴a1=，∴=﹣16．故答案为：﹣16．15．执行如图所示的程序框图，输出的n值为7 ．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解答】解：由框图知，第一次循环的结果为：S=98，n=2；第二次循环的结果为：S=94，n=3；第三次循环的结果为：S=86，n=4；第四次循环的结果为：S=70，n=5；第五次循环的结果为：S=38，n=6；第六次循环的结果为：S=﹣26，n=7；满足判断框中的条件，结束循环，输出n的值．故答案为7．16．已知偶函数f（x）在[0，+∞）是增函数，则满足f（2x﹣3）＜f（x2）的实数x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】首先利用单调性建立不等式组，直接求出结果．【解答】解：偶函数f（x）在[0，+∞）是增函数，所以：满足f（2x﹣3）＜f（x2）的条件为：|2x﹣3|＜|x2|，解得：x＜﹣3或x＞1，所以x的取值范围为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知=﹣3，cosB=﹣，b=2，求：（1）a和c的值；（2）sin（A﹣B）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；（2）根据三角恒等变换和由正弦定理，计算sin（A﹣B）的值即可．【解答】解：（1）△ABC中，由=﹣3得ca•cosB=﹣3，又cosB=﹣，所以ac=7；由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b=2，所以a2+c2=50；解方程组，因为a＞c，所以解得a=7，c=1；（2）△ABC中，sinB==，由正弦定理，得sinA=sinB=，因为cosB＜0，所以A为锐角，所以cosA==；所以sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣．18．在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x，y（1）求事件x+y=5的概率；（2）求事件2x+|x﹣y|=6的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中有放回地先后抽取两张卡片列举出来共包含基本事件16个，满足条件的事件根据前面列举出的事件，得到有4个结果，根据概率公式得到概率．（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中有放回地先后抽取两张卡片列举出来共包含基本事件16个，满足条件的事件数可以通过前面的列举得到，根据等可能事件的概率得到结果．【解答】解：（1）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中有放回地先后抽取两张卡片共包含基本事件16个，分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）；∴满足x+y=5有4种，∴事件x+y=5的概率为=；（2）2x+|x﹣y|=，∴2x+|x﹣y|=6时，有（2，4），（3，3）两种，∴事件2x+|x﹣y|=6的概率为=．19．如图正四棱住ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是A1A上的点，M是AC、BD的交点．（1）若A1C∥平面EBD，求证：点E是AA1中点；（2）若AB=1，△EBD的面积S=，点F在CC1上，且FM⊥EM，求三棱锥体积V F﹣EBD的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【分析】（1）连结EM，由线面平行的性质可得A1C∥EM，故E为A1A中点；（2）由正四棱柱的性质可知BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥MF，结合EM⊥MF可得MF⊥平面BDE，由面积公式可求得EM，进而计算出AE，由Rt△EAM∽Rt△MCF可得MF的长，即棱锥的高．【解答】解：（1）连结EM，∵四边形ABCD是正方形，∴M是AC的中点，∵A1C∥平面EBD，A1C⊂平面A1AC，平面A1AC∩平面EBD=EM，∴AC1∥EM，∴．∴点E是AA1中点．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，∵MF⊂平面ACC1A1，∴BD⊥MF，又MF⊥EM，EM⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，EM∩BD=M，∴MF⊥平面BDE．∵AB=1，∴BD=，AM=MC=．∵S△BDE=，∴EM=2，∴EA==．∵EM⊥MF，∴∠AME+∠CMF=90°，∵EA⊥AC，∴∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠CMF，∴Rt△EAM∽Rt△MCF，∴，即，解得MF=．∴V F﹣EBD===．20．已知函数f（x）=（1）若f（x）＞0对其定义域内任意x成立，求a的值；（2）当a=0时，求f（x）在区间[e，e]上最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数的定义域，由题意得到不等式组，结合图象从而得到答案；（2）将a=0代入求出函数的表达式，得到f（x）的导函数，从而求出函数的单调区间，进而求出最值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，∴函数f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞），若f（x）＞0对其定义域内的任意x成立，需满足①则0＜x＜1时，，②x＞1时，，画出函数的图象，如图示：显然a=1时符合题意，故a=1；（2）a=0时，f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜且x≠1，∴f（x）在[，]递减，在[，e]递增，∴f（x）最小值=f（）=e，而f（）=4＜f（e）=e2，∴f（x）在区间[e，e]上的最大值是e2，最小值是e．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（2，1），且直线l：x﹣2y﹣=0过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l′平行于直线l，且与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM的倾斜角为θ1，直线AN的倾斜角为θ2，试探究θ1+θ2是否为定值，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意知c=，+=1，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）θ1+θ2=π．理由如下：设直线l′的方程为x﹣2y+m=0，与+=1联立，可得8y2﹣4my+m2﹣8=0，利用韦达定理，由此得到k AM=﹣k AN，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，c=，+=1，∴a=2，b=，∴椭圆C的方程为+=1；（2）直线l′的方程为x﹣2y+m=0，与+=1联立，可得8y2﹣4my+m2﹣8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴y1+y2=，y1y2=﹣1，∴x1+x2=﹣m，x1x2=﹣4，∴k AM+k AN=+==0，∴tanθ1+tanθ2=0，∴θ1+θ2=π[选修4-1几何证明选讲]|22．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．（1）求证：BD平分∠CBE；（2）求证：AH•BH=AE•HC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由AD为∠BAC的平分线得=，得出∠DBC=∠BCD，再由弦切角定理得到∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；（2）证明△ABE∽△ACH，得出AH•BE=AE•HC即可．【解答】证明：（1）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，∴=，可得∠DBC=∠BCD，又∵BE与圆O相切于点B，∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC，∴BD平分∠CBE；（2）由（1）可知BE=BH，所以AH•BH=AH•BE因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，所以△ABE∽△ACH，所以，即AH•BE=AE•HC，即：AH•BH=AE•HC．[选修4-4坐标系与参数方程]|23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A的轨迹．（Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线C与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得a 的值．【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5不等式选讲]|24．设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由不等式f（x）＜1求得2a﹣1＜x＜2a+1，再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，求得a的值．（2）令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x=，可得g（x）的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，由此求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R，∴不等式f（x）＜1 即|x﹣2a|＜1，求得2a ﹣1＜x＜2a+1．再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，求得a=1．（2）令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x=，故g（x）=f（x）+x的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，a＜，故a的范围是（﹣∞，）．2016年9月29日。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学模拟试卷文科005
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A.3B.4C.5D.62.（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i3.（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A.﹣1B.0C.1D.25.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A. B. C. D.6.（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A. B.2 C.2 D.48.（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A.奇函数，且在（0，1）上是增函数B.奇函数，且在（0，1）上是减函数C.偶函数，且在（0，1）上是增函数D.偶函数，且在（0，1）上是减函数9.（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A.6B.7C.8D.910.（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁UB）=.12.（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为.13.（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=.14.（5分）已知函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是.15.（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=.三、解答题16.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖. （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.17.（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA.（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C.18.（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积.19.（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，n∈N*，（Ⅰ）证明an+2=3an；（Ⅱ）求Sn.20.（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向.（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率.21.（13分）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x∈[0，+∞]），记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点.（Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列；（Ⅱ）若对一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范围.高考数学模拟试卷（文科） (3)参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A.3B.4C.5D.6【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取.【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选：B.【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例.2.（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值.【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.3.（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可.【解答】解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件.故选：C.【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查.4.（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A.﹣1B.0C.1D.2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案. 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）.∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1.故选：A.【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.5.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A. B. C. D.【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B.【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力6.（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可.【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=.故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查.7.（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A. B.2 C.2 D.4【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C.【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题8.（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A.奇函数，且在（0，1）上是增函数B.奇函数，且在（0，1）上是减函数C.偶函数，且在（0，1）上是增函数D.偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数.排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确.故选：A.【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力.9.（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|.B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论.【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7.所以||的最大值为7.另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|==，当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7.故选：B.【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.10.（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A. B. C. D.【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求.【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，所以正方体的体积为，所以原工件材料的利用率为：=；故选：A.【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁UB）={1，2，3}. 【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集.【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，所以∁UB={2}，所以A∪（∁UB）={1，2，3}.故答案为：{1，2，3}.【点评】本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题.12.（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为 x2+（y﹣1）2=1 . 【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可.【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1.故答案为：x2+（y﹣1）2=1.【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查.13.（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r= 2 .【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案.【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2.【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键.14.（5分）已知函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是 0＜b＜2 . 【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜2【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.15.（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=.【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（（k1，），（（k2，），k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可.【解答】解：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点，∴根据三角函数线可得出交点（（k1，），（（k2，），k1，k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为2，∴这两个交点在同一个周期内，∴12=（）2+（）2，ω=故答案为：【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦.三、解答题16.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖. （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的.【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}；（Ⅱ）不正确.理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，∴中奖的概率为.不中奖的概率为：1﹣.故这种说法不正确.【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题.17.（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA.（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C.【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA. （Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C.【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA.∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA.得证.（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=.【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题.18.（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积.【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=.三棱锥F﹣AEC的体积：×==.【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力.19.（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，n∈N*，（Ⅰ）证明an+2=3an；（Ⅱ）求Sn.【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过an+2=3Sn﹣Sn+1+3与an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可；（Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可. 【解答】（Ⅰ）证明：当n≥2时，由an+2=3Sn﹣Sn+1+3，可得an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3，两式相减，得an+2﹣an+1=3an﹣an+1，∴an+2=3an，当n=1时，有a3=3S1﹣S2+3=3×1﹣（1+2）+3=3，∴a3=3a1，命题也成立，综上所述：an+2=3an；（Ⅱ）解：由（I）可得，其中k是任意正整数，∴S2k﹣1=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣3+a2k﹣2）+a2k﹣1=3+32+…+3k﹣1+3k﹣1=+3k﹣1=×3k﹣1﹣，S2k=S2k﹣1+a2k=×3k﹣1﹣+2×3k﹣1=﹣，综上所述，Sn=.【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题.20.（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向.（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率.【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可.【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±.【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题.21.（13分）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x∈[0，+∞]），记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点.（Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列；（Ⅱ）若对一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范围.【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n＞4n+3，当a≥π时，验证得|f （xn+1）|＞xn+1，即可得到a的范围.【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=aexcosx的导数为f′（x）=aex（cosx﹣sinx），a＞0，x≥0，则ex≥1，由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+，k=0，1，2，…，当k为奇数时，f′（x）在kπ+附近左负右正，当k为偶数时，f′（x）在kπ+附近左正右负.故x=kπ+，k=0，1，2，…，均为极值点，xn=（n﹣1）π+=nπ﹣，f（xn）=a cos（nπ﹣），f（xn+1）=a cos（nπ+），当n为偶数时，f（xn+1）=﹣eπf（xn），当n为奇数时，f（xn+1）=﹣eπf（xn），即有数列{f（xn）}是等比数列；（Ⅱ）解：由于x1≤|f（x1）|，则≤a，解得a≥π，下面证明8n＞4n+3.当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8k＞4k+3，当n=k+1时，8k+1=8•8k＞8（4k+3）=32k+24=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，即有n=k+1时，不等式成立.综上可得8n＞4n+3（n∈N+），由eπ＞8，当a≥π时，由（Ⅰ）可得|f（xn+1）|=|（﹣eπ）|n|f（x1）|＞8n|f（x1）|=8nf（x1）＞（4n+3）x1＞xn+1，n∈N+，综上可得a≥π成立.【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A.45B.60C.120D.2106.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞97.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A. B. C. D.8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||29.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则（）A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是.12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是.14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.16.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18.（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积.19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.20.（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小.21.（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）.（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论.【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题.2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁UA.【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁UA={2}，故选：B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题.3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）.故选：D.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.4.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可.【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象.故选：C.【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查.5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A.45B.60C.120D.210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可.【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20.f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120.故选：C.【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力.6.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围.【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选：C.【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题.7.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A. B. C. D.【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象，比照后可得答案.【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键.8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断.【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确.故选：D.【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法.9.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则（）A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可.【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=.故选：A.【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解.10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1【分析】根据记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B.【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题.二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 6 .【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i 的值.【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6.故答案为：6.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以.。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题数学学科测试文史类
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题数学学科测试（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12B ．12-C ．1i 2- D .1i 2（2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]--（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m的值为 A．15 B ．3- C ．35- D ．17-（4）已知命题p：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos x x +=.则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 （5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．(2+B ．()4,0-C ．(22--D . ()0,4（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C.203D. 8 （8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）以双曲线2213x y -=物线的标准方程是.（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .（11） 在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a =，若{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（12）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则sin A =， 若60B =，则sin C =.（13） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.（16） （本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率． (注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数.)（17） （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.空气质量指数 050 51100 101150 151200 201300300以上 空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染 甲城市 2 4 5 7 109 7 3563 1 5 8 8乙城市（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD写出证明过程并求出线段PF （18） （本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. （19）（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>过点(2,0)A ,2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证:k k '⋅为定值. （20）（本小题满分13分）由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=，设1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.) （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 1()sin 222x f x x ωω-=-+………1分 sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=.………………………………………………5分 于是()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z .……………………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分 （Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………6分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为： （29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125．……………………………13分 （17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点， 所以 EF BC ． 因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC .所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，P DABCFE而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB ．……………………………………………………8分 （Ⅲ）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥. 由已知，AB AD ⊥，BCAD ，1AB BC ==，2AD =．由平面几何知识可得 CD AC ⊥．由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC ．而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥． 又因为CDPC C =,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，PC PF ==可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为3．……………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >， 且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12af a '=-++=，解得2a =.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x --'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22ax =.（1）当0a ≤时，02a ≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. （2）当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02a x <<或1x >.则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a .（3）当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（4）当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2a x >，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2a +∞.令()0f x '<，得12a x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2a . ……………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题得222,22.a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =， 则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y yP x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯-- 2241444k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分 （20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑.………3分（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得， =121010(110)552x x x ++++==.……………………………7分 （Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤，对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………13分S 取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，注：使得()10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题普通高等学校招生全国统一考试文科数学
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题普通高等学校招生全国统一考试文科数学一． 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设,a b 是向量，命题“若a b ≠-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是【D 】 （A ）若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ （B ）若a b =，则∣a ∣≠∣b ∣ （C ）若∣a ∣≠∣b ∣，则∣a ∣≠∣b ∣ （D ）若∣a ∣=∣b ∣，则a = b2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 【C 】 （A ）28y x =- （B ）28y x = (C) 24y x =- (D) 24y x = 3.设0a b <<，则下列不等式中正确的是 【B 】（A ）2ab a b ab <<<（B ）2a b a ab b +<<< （c ）2a b a ab b +<<< (D)2a bab a b +<<<4. 函数13y x =的图像是 【B 】5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是【A 】(A)283π- (B)83π-(C)82π (D)23π 6.方程cos x x =在(),-∞+∞内【C 】 (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根7.如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于 【B 】 (A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）11 8.设集合M={y|2cos x —2sin x|,x ∈R},N={x||x —1i|<2,i 为虚数单位，x ∈R},则M∩N 为【C 】(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]9.设1122(,),(,),x y x y ···，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 次方个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（A ） (A) 直线l 过点(,)x y（B ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （C ）x 和y 的相关系数在0到1之间（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同10.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（D ） （A ）(1)和（20）（B ）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D) （10）和（11）B. 填空题。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题试卷文科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题试卷（文科）一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．25 B．C．5 D．2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣24．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，85．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.87．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．18．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A． B． C．D．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z 的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为．16．（4分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．18．（12分）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．25 B．C．5 D．【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可．【解答】解：因为复数z==，所以|z|==．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅【分析】通过已知条件求出A∪B，∁UB，然后求出A∩∁UB即可．【解答】解：因为全集U={1.2.3.4．}，且∁U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，B={1，2}，所以∁UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．所以A∩∁UB={3}．故选：A．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f （1）=﹣（1+1）=﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，8【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．5．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．【解答】解：根据题意：，解得：﹣3＜x≤0∴定义域为（﹣3，0]故选：A．【点评】本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2，第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8，第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件a≥1，第1次循环，a=1.2﹣1=0.2，第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2；故选：C．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．1【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．8．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．【点评】本题考查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A． B． C．D．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z 的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：2【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则|OM|的最小值等于．故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．【分析】利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可．【解答】解：因为知，，所以=（3，2﹣t），又∠ABO=90°，所以，可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．故答案为：5．【点评】本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键．16．（4分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故①正确；（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误；（3）对于③，i．≥1时，此时≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此时则，命题成立；当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时，＞lna，则，命题成立；当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0，成立；ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；（4）对于④，当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，∴a+b≤2ab，∴ln（a+b）＜ln（2ab），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，∴a+b≤2a，∴ln（a+b）＜ln（2a），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错．三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于 1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题．18．（12分）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值（Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx===．因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π又ω＞0，所以，解得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），当时，，所以，因此，﹣1≤f（x），所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：．【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．【分析】（Ⅰ）取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．再由直线和平面平行的判定定理证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）先证明MN⊥平面PAC，再证明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN 在平面EMN内，利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG⊥平面EMN．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，则由HE∥AB，HE=AB，而且CD∥AB，CD=AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内，故有CE∥平面PAD．（Ⅱ）证明：由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC．再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC．由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC．同理可得，FG∥平面PAC．而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC．∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，继而可求得bn=，n∈N*，于是Tn=+++…+，利用错位相减法即可求得Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2．∴an=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*．∴bn=，n∈N*．又Tn=+++…+，∴Tn=++…++，两式相减得：Tn=+（++…+）﹣=﹣﹣∴Tn=3﹣．【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．【分析】（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax2+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；（Ⅱ）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）知f′（x）=2ax+b﹣又a≥0，故当a=0时，f′（x）=若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0由于△=b2+8a＞0，故有x2=，x1=显然有x1＜0，x2＞0，故在区间（0，）上，导数小于0，函数是减函数；在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1整理得2a+b=1，即b=1﹣2a令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=令g′（x）==0得x=当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增；当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减因为g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b【点评】本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小，本题考查了创新探究能力及转化化归的思想，本题综合性较强，所使用的方法具有典型性，题后应做好总结以备所用的方法在此类题的求解过程中使用．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为2c．由题意可得，解出即可得到椭圆的方程．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用即可得到m，n，t的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点P 的坐标代入椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．则，解得，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，则△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=4（2m2+4﹣2n2）＞0，（*），，∴|AB|===．原点O到直线AB的距离d=，∵，∴=，化为．（**）另一方面，=，∴xE=myE+n==，即E．∵，∴．代入椭圆方程得，化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4﹣16t2+16=0，解得．∵t＞0，∴．经验证满足（*）．当AB∥x轴时，设A（u，v），B（﹣u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．则，，解得，或．又，∴，∴．综上可得：．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、向量共线等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的能力及化归思想方法．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二次综合练习数学学科测试文史类
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）（考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（）． （A ）()UA B （B ）A B （C ）A B （D ）()UA B解析：根据集合的运算性质，验证选项，答案为A. 考点：集合与常用逻辑用语集合的运算 难度系数：2（2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（）．（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）3y x =（D ）2xy =解析：A,C 是奇函数，A 不是一致单调函数；B,D 非奇非偶。
所以答案C 。
考点：函数与导数函数函数的单调性；函数与导数函数函数的奇偶性 难度系数：2（3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（）．（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭（B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：根据抛物线的性质，抛物线是开口向上的，交点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，答案B 。
考点：解析几何圆锥曲线抛物线 难度系数：2（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（）．（A ）2 （B)3 （C)4 （D)5解析：第一次循环a=9，i=1；第二次循环a=21，i=2；第三次循环a=45，i=3；第四次循环 A=93，i=4，输出结果，答案为C. 考点：算法与框图算法和程序框图 难度系数：3（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=为（）．（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩（D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩解析：做出平面区域，带入特殊点验证，答案为A.考点：不等式线性规划二元一次不等【组】表示的平面区域 难度系数：3（6）在区间ππ[-,]上随机取一个实数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（）． （A ）14（B)34（C ）23（D ）12解析：该题考察解概率模型，画出余弦函数，结合函数图像答案为D. 考点：概率与统计概率几何概率 难度系数：3（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．若11a d ==，则8n nS a +的最小值为（）． （A ）10（B ）92（C ）72（D）12+解析：11(1)(1)888(1)81922(1)222n nn n n n a n d S n a a n d n n +++++++===+≥=+-，答案为B 。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三联考文数试卷
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三联考文数试卷一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x ∈R|lgx2＞0}，集合B={x ∈R|1≤2x+3＜7}，则（） A ．CUB ⊆A B ．B ⊆A C ．A ⊆CU B D ．A ⊆ B2、复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（）A.15B.15iC.15i - D.15- 3、下列说法不正确的是（）A ．若“ p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题B ．命题“ x0∈R ，x02－x0－1＜0”的否定是“ x ∈R ，x2－x －1≥0”C ．“=2π”是“y=sin(2x+)为偶函数”的充要条件 D ．a ＜0 时，幂函数y =xa 在（0，+∞）上单调递减4、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．sin()6y x π=-B ．2xy =C ．x y =D ．3x y -=5、函数23cos 4cos 1,[0,]2y x x x π=-+∈的最大值为（）A ．31-B ．0C ．31D ．16、等比数列{}n a 中， a4=2，a5=5，则数列{lg }n a 的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 7.若实数,a b 满足12ab a b+=ab 的最小值为( ) A 2 B 、2 C 、2 D 、48.设1e ，2e ，3e 为共起点的单位向量，且31212e e ke =+，(k ＞0)，若以向量1e ，2e 为两边的三角形的面积为21，则k 的值为（） A ．22 B ．23 C ．25 D ．279、定义运算：4321a a a a 3241a a a a -=，将函数()xx x f ωωcos 1sin 3=（0>ω）的图象向左平移π65个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（） A ．1B ．51 C ．511D ．2 10、已知数列1a ，21a a ，32a a ，⋅⋅⋅，1n n a a -，⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，则下列项中是数列{}n a 中的项是（） A ．16B ．128C ．32D ．6411.若定义域为R 的函数f(x)的周期为2，当]1,1(-∈x 时，x x f =)(，则函数y =f(x)的图象与x y 3log =的图象的交点个数为（）A ．2B ．4C ．6D ．812.设)(x f y ''=是)(x f y '=的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 都有对称中心))(,(00x f x ，其中0x 满足0()0f x ''=.已知12532131)(23-+-=x x x x f ，则=+⋅⋅⋅+++)20152014()20153()20152()20151(f f f f （） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知函数sin ,1()(1),1x x f x f x x π⎧=⎨->⎩≤，则43f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为． 14．设f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋a2，若f(x)在x ＝1处取得极值10，则a ＋b 的值为_____. 15、若实数, x y 满足102030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则24x y z =的取值范围是．16、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题文科参考答案与试题解析
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用集合的交集的求法求解即可．解答：解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}．故选：C．点评：本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（•重庆）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出方程x2﹣2x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案．解答：解：由x2﹣2x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题．3．（5分）（•重庆）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）考点：一元二次不等式的解法；对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用；不等式．分析：利用对数函数的真数大于0求得函数定义域．解答：解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0 解得x＞1或x＜﹣3所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）故选D．点本题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型．评：4．（5分）（•重庆）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据中位数的定义进行求解即可．解答：解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）（•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，几何体的体积为：=．故选：B．点评：本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力．6．（5分）（•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．解答：解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，故选：A．点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．7．（5分）（•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．解答：解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．点评：本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．8．（5分）（•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．9．（5分）（•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．±B．±C．±1 D．±考双曲线的简单性质．点：专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率．解答：解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），∵A1B⊥A2C，∴，∴a=b，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故选：C．点评：本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．（5分）（•重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：开放型；不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即C（2，0），则C（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则C（2，0），F（0，1），由，解得，即A（1﹣m，1+m），由，解得，即B（，）．|AF|=1+m﹣1=m，则三角形ABC的面积S=×m×2+（﹣）=，即m2+m﹣2=0，解得m=1或m=﹣2（舍），故选：B点评：本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）（•重庆）复数（1+2i）i的实部为﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则化简为a+bi的形式，然后找出实部；注意i2=﹣1．解答：解：（1+2i）i=i+2i2=﹣2+i，所以此复数的实部为﹣2；故答案为：﹣2．点评：本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i2=﹣1．属于基础题．12．（5分）（•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y﹣5=0．考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程．解答：解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即 x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．13．（5分）（•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=4．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．解答：解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cosC=﹣，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14．（5分）（•重庆）设a，b＞0，a+b=5，则的最大值为3．考点：函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用柯西不等式，即可求出的最大值．解答：解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，∴的最大值为3，故答案为：3．点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．15．（5分）（•重庆）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为．考点：几何概型．专题：开放型；概率与统计．分析：由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率．解答：解：方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于，解关于p的不等式组可得＜p≤1或p≥2，∴所求概率P==故答案为：点评：本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（•重庆）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n 项和公式求得{bn}前n项和Tn．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{bn}的公比为q，则，从而q=2，故{bn}的前n项和．点评： 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和，是中档题．17．（13分）（•重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份时间代号t1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元） 56 7 8 10 （Ⅰ）求y 关于t 的回归方程=t+．（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区（t=6）的人民币储蓄存款． 附：回归方程=t+中．考点：回归分析的初步应用． 专题：计算题；概率与统计． 分析： （Ⅰ）利用公式求出a ，b ，即可求y 关于t 的回归方程=t+． （Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区的人民币储蓄存款． 解答：解：（Ⅰ）由题意，=3，=7.2，=55﹣5×32=10，=120﹣5×3×7.2=12，∴=1.2，=7.2﹣1.2×3=3.6， ∴y 关于t 的回归方程=1.2t+3.6．（Ⅱ）t=6时，=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）．点评： 本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（13分）（•重庆）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：[，]，故g（x）在区间[，π]上的值域是[，]．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．19．（12分）（•重庆）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值．（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性．解答：解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．21．（13分）（•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．（Ⅰ）若|PF1|=2+，|PF2|=2﹣，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|，解得a．设椭圆的半焦距为c，由于PQ⊥PF1，利用勾股定理可得2c=|F1F2|=，解得c．利用b2=a2﹣c2．即可得出椭圆的标准方程．（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF1|=，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=2a﹣|PF1|，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简．令t=1+λ，则上式化为e2=，解出即可．解答：解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=（2+）+（2﹣）=4，解得a=2．设椭圆的半焦距为c，∵PQ⊥PF1，∴2c=|F1F2|===2，∴c=．∴b2=a2﹣c2=1．∴椭圆的标准方程为．（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，∴|QF1|==，由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，∴|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，∴|PF1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=2a﹣|PF1|=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，∴+=4c2，∴+=e2．令t=1+λ，则上式化为=，∵t=1+λ，且≤λ＜，∴t关于λ单调递增，∴3≤t＜4．∴，∴，解得．∴椭圆离心率的取值范围是．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：开放型；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF．（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC可得△AFE≌△ABC，求得S△AFE=S△ABC，由AD=AE，可求S△AFD，从而求得四边形DFBC的面积，由（Ⅰ）知PE为四棱锥P﹣DFBC的高，求得PE，由体积VP﹣DFBC=SDFBC•PE=7，即可解得线段BC的长．解答：解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．因为∠ABC=，EF∥BC，故AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PEF．（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB==，从而S△ABC=AB•BC=x，由EF∥BC知，得△AFE≌△ABC，故=（）2=，即S△AFE=S△ABC，由AD=AE，S△AFD==S△ABC=S△ABC=x，从而四边形DFBC的面积为：SDFBC=S△ABC﹣SAFD=x﹣x=x．由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高．在直角△PEC中，PE===2，故体积VP﹣DFBC=SDFBC•PE=x=7，故得x4﹣36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x＞0，可得x=3或x=3．所以：BC=3或BC=3．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
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备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列二1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n–( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n ≥ a , 证明f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n)解: (1) f n `( x ) = nx n –1 –n ( x + a)n –1 = n [x n –1 –( x + a)n –1 ] , ∵a > 0 , x > 0, ∴f n `( x ) < 0 , ∴f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n–( x + a)n是关于x的减函数,∴当n ≥a时, 有：(n + 1 )n–( n + 1 + a)n ≤n n–( n + a)n. 2分又∴f`n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,∴f`n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n–( n + a)n] = ( n + 1 )[ n n–( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分( n + 1 )f n`(n) = ( n + 1 )n[n n –1 –( n + a)n –1 ] = ( n + 1 )[n n –n( n + a)n –1 ], 2分∵( n + a ) > n ,∴f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n) . 2分2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u = 43∈[–1，1]，v = 21∈[–1，1],则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；20. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x+(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at+ 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-.∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =2)1x (1+> 0 得x ≠ –1,∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥|a |4 > 0 ,∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) =1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2⎡⎤-⎣⎦上； （3） 若+212(13),(N )23n n n n n nx y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -<解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分（2）()20,0,2,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()20,0,2,.3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭…………10分（3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--< (15)分5．（本小题满分13分） 设M是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程． 解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QNk k ∙=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-……10分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分6．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'xy =2,221xk x k PB PA ==∴4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA (3)分直线PA的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ①同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= ②由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+x x P4),2,2(2121-=-+=x x x x FP 42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ (12)分解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y 由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --=由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R kk x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk k k FB FA +--=--+-=⋅ (10)分)1(24)1()(2222kk k k FP ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分7．（本小题满分14分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分 （2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ， 一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b b a f0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b b a 即ba b b a +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即bba b b a +>+ln 综上所述，.ln 1bba b b a b a +<+<+………………………………………………14分8．(本小题满分12分)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠= ，B 、C在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC!的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x 轴上是否存在定点G，使()BC GM GN λ⊥-？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，xyDO CAB请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,3c b ==．∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-． 设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．由MP PN λ=，得120y y λ+=．即12y y λ=- ① （6分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③ （9分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>．212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--． （10分）代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--， xyDOCABNBCOyxGMP化简得kmt k=．当1t m=时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN λ⊥-．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2nn n n nn na a a f n S ++++=．(1) 求n a ；(2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）；(3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -⎡⎤⎛⎫++-+++--⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．②②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=． （3分）在①中令1n =，可得1a p =．∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =． （4分）(2)由(1)可得(1)(1)11n n n p p p p S p p --==--．12121C C C n n n n n a a a ++++ 1221C C C (1)(1)n n n nn n n p p p p p =++++=+=+ ． ∴12121C C C ()2nn n n nn na a a f n S ++++=1(1)2(1)n n n p p p p -+=⋅-， （5分）(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-．而1()2p f n p +1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >，∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． （8分）(3) 由(2)知1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n np p p p f n f n f n f p p p p-++++<-<-<<= ． ∴221111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -⎛⎫⎛⎫++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… 2111112n p p p p -⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（10分）（当且仅当1n =时取等号）． 另一方面，当2n …，1,2,,21k n =- 时，2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---⎡⎤-+++-=+⎢⎥--⎣⎦2221(1)(1)22(1)2(1)k n kk k n k n kp p p p p p ----++⋅⋅--…212(1)12(1)(1)n n k n k p p p p p --+=⋅--2212(1)121n nnkn k p p p p p p --+=⋅--+．∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…．∴12(1)()(2)2()2(1)nn n p p f k f n k f n p p -++-⋅=-…，（当且仅当k n =时取等号）．（13分）∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）．综上所述，2121111(21)()()112n n k p p n f n f k p p --=⎡⎤⎛⎫++--⎢⎥∑⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n ∈N ）．（14分）。