2007.3.24演绎推理

如图,D,E,F分别是 分别是BC,CA,AB上的 例2.如图 如图 分别是 上的 求证： 点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证：ED=AF. ∠ ∥ 求证
A
同位角相等,两直线平行 大前提) 同位角相等 两直线平行,(大前提 证: (1)同位角相等 两直线平行 大前提 E ∠BFD与∠A是同位角 且∠BFD= 与 是同位角,且 是同位角 F (小前提 小前提) ∠A , 小前提 B C D 所以, (结 论) 所以 DF∥EA. ∥ 结 (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (大前提 (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, (大前提) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 大前提) DE∥BA且DF∥EA, (小前提 小前提) ∥ 且 ∥ 小前提 所以,四边形 四边形AFDE是平行四边形 是平行四边形. (结 论) 所以 四边形 是平行四边形 结 (3)平行四边形的对边相等 平行四边形的对边相等, (大前提 大前提) 平行四边形的对边相等 大前提 ED和AF为平行四边形的对边 为平行四边形的对边, (小前提 小前提) 和 为平行四边形的对边 小前提 所以,ED=AF. (结 论) 所以 结
n 2
(2)因 1,2,3时 (2)因为当n = 0, 1,2,3时，2 < n + 8,
n 2
所以对于所有的自然数n,2 < n + 8.
（3）所有的金属都能导电，铜是金属，所以 ）所有的金属都能导电，铜是金属， 铜能导电； 铜能导电； 水的沸点是1000C, （4）在一个标准大气压下 水的沸点是 ）在一个标准大气压下,水的沸点是 所以，在一个标准大气压下把水加热到1000C 所以，在一个标准大气压下把水加热到 水会沸腾； 时，水会沸腾； 的正整数必是5的倍数 （5）个位数是 或5的正整数必是 的倍数， ）个位数是0或 的正整数必是 的倍数， 2375的个位是 ，所以，2375是5的倍数 的个位是5，所以， 的倍数. 的个位是 是 的倍数
这些推理的共同特点是： 这些推理的共同特点是： 1.都是由一般性命题导出特殊性命题。 都是由一般性命题导出特殊性命题。 都是由一般性命题导出特殊性命题 2.都可以分成三段，符合如下格式： 都可以分成三段， 都可以分成三段 符合如下格式： （M是P） 是 ） M—P （S是M） 是 ） S—M （S是P） 是 ） S—P
3.在 ABCD中 例3.在空间四边形ABCD中，M，N分别 AB，AD的 为AB，AD的中点， MN//BCD平 求证：MN//BCD平面 （写出大前提，小前提，结论）
注: (1)对于复杂的计算或论证,常常采用一连串的三段论 (1)对于复杂的计算或论证, 对于复杂的计算或论证 (2)前一个三段论的结论可作为下一个三段论的前提 (2)前一个三段论的结论可作为下一个三段论的前提 （3）若题中无特殊说明，通常用简略的方法 若题中无特殊说明，
练习： 练习： 指出下列推理中的错误, 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因
(1)整数是自然数 (2) 指数函数 y = ax 是增函数 (1)整数是自然数 -3是整数, 是整数, -3是自然数; 是自然数;
1 x 而 y = ( ) 是指数函数 2 1 x 所以 y = ( ) 是增函数 2
建构数学： 建构数学：
演绎推理 1.由一般性的命题推演出特殊性命题 由一般性的命题推演出特殊性命题 的命题推演出特殊性 的推理称为演绎推理 简称演绎法 演绎推理. 的推理称为演绎推理 简称演绎法
2.说明： 说明： 说明 一般到 的推理. （1）演绎推理从一般到特殊的推理 ）演绎推理从一般 特殊的推理 已有的事实和 （2）演绎推理是根据已有的事实和正确 ）演绎推理是根据已有的事实 的结论（包括定义、定理、公理等 的结论（包括定义、定理、公理等）， 定义 按照严格的逻辑法则得到新结论的 按照严格的逻辑法则得到新结论的 逻辑法则 过程. 过程
练习：已知 计算lg0.8 练习：已知lg2=m,计算 计算 （写出大前提，小前提，结论）
例4:
已知a,b,m均为正实数 均为正实数,b<a,求证 求证: 已知 均为正实数 求证
证：（简 ：（简 ⇒ mb < ma ⇒ ab+ mb < ab+ ma 单写法） 单写法） m > 0 ⇒ b(a + m) < a (b + m) 又a ( a + m ) > 0 b(a + m) a (b + m) 例2的证明过程包含 的证明过程包含 ⇒ < 了几个三段论?并改 了几个三段论 并改 a ( a + m) a ( a + m) 写成三段论形式。 写成三段论形式。 b b+m ⇒ < a a+m
演绎推理
复 习 合情推理 1.归纳推理是由特殊到一般的推理 归纳推理是由特殊到一般的推理; 归纳推理是由特殊到一般的推理 2.类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理是由特殊到特殊的推理 由一般到特殊的推理是 什么推理呢? 由一般到特殊的推理是 什么推理呢 它所推出的结论是否正确呢? 它所推出的结论是否正确呢
引入： 引入：判断下列推理是否是合情推理
(1)我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的 我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的 (3),(4),(5)都有什么共同的特点？ 都有什么共同的特点？ 都有什么共同的特点 地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此， 地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断 松辽平原也蕴藏着丰富的石油； 松辽平原也蕴藏着丰富的石油；
☆注：前提错误可能导致错误的结论 前提错误可能导致错误的结论. 可能导致错误的结论
凡金属都是导电的 (3)无理数是无限小数, (3)无理数是无限小数, (4)凡金属都是导电的 无理数是无限小数 水是导电的 1 (= 0.333L) 是无限小数, 是无限小数, 3 所以， 所以，水是金属 1 是无理数. 是无理数. 3 (5)所有盗窃犯都是罪犯 所有盗窃犯都是罪犯 张三不是盗窃犯 所以， 所以，张三不是罪犯 ☆注：推理形式错误可能导致错误的结论 推理形式错误可能导致错误的结论. 可能导致错误的结论
说明： 说明： 1.演绎推理是一种必然性推理, 1.演绎推理是一种必然性推理,只要 演绎推理是一种必然性推理 前提和推理形式是正确的, 前提和推理形式是正确的, 结论必定是正确的. 结论必定是正确的. 2.演绎推理是数学中严格证明的工具. 2.演绎推理是数学中严格证明的工具. 演绎推理是数学中严格证明的工具
S中每个元素具有P
把下列演绎推理写成“ 例1.把下列演绎推理写成“三段论”的形式 把下列演绎推理写成 三段论” （1）向量是既有大小又有方向的量， ）向量是既有大小又有方向的量， r 也有大小和方向； 故 0 也有大小和方向； 100 整除， 是奇数， （2）一切奇数都不能被 整除， + 1 ）一切奇数都不能被2整除 2 是奇数， 100 所以， 不能被2整除 所以， 2 不能被 整除； + 1 整除； 的图像是一条直线； （3）函数 y = x + 5 的图像是一条直线； ） & 是有理数； （4） 0.332 是有理数； ） (5)因为 ABC三边长依次是 因为△ 三边长依次是3 (5)因为△ABC三边长依次是3，4，5，所以 ABC是直角三角形 是直角三角形； △ABC是直角三角形； (6)若两角是对顶角,则这两角相等;所以, (6)若两角是对顶角,则这两角相等;所以, 若两角是对顶角 若两角不相等,则它们不是对顶角. 若两角不相等,则它们不是对顶角.
3.演绎推理具有如下特点 演绎推理具有如下特点: 演绎推理具有如下特点 (1)演绎的前提是一般性原理 演绎所得的结论 演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论 演绎的前提是一般性原理 是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完 是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实 结论完 全蕴涵于前提之中. 全蕴涵于前提之中 (2)在演绎推理中 前提与结论之间存在必然的联 在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联 在演绎推理中 只要前提是真实的， 系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的， 只要前提是真实的 推理的形式是正确的， 那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学 那么结论也必定是正确的 因而演绎推理是数学 中严格证明的工具. 中严格证明的工具 (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少 演绎推理是一种收敛性的思维方法， 演绎推理是一种收敛性的思维方法 创造性，但却具有条理清晰、 创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证 作用，有助于科学的理论化和系统化. 作用，有助于科学的理论化和系统化
（3）三段论是演绎推理的主要形式 （4）三段论常用的格式为 ）
M是P， 是 ， S是M， 是 ， （大前提） 大前提） （小前提） 小前提） 一个一般性原理 一个特殊对象 一般原理与特殊对象 的内在联系 （5）用集合论的观点看 三段论, 三段论, 则:
所以，S是P.（结论） 所以， 是 （结论）
M中每个元素具有性质P 中每个元素具有性质P
b b+m < . a a+m b<a
小结
1、至此,பைடு நூலகம்们学习了两种推理 、至此 我们学习了两种推理 我们学习了两种推理——合情推理与 合情推理与 演绎推理，而归纳和类比是常用的合情推理. 演绎推理，而归纳和类比是常用的合情推理 2、几种推理的区别： 、几种推理的区别： 归纳是由部分到整体 （1）从推理形式上看,归纳是由部分到整体、 ） 推理形式上看 归纳是由部分到整体、 个别到一般的推理 类比是由特殊到特殊 的推理， 由特殊到特殊的推 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推 而演绎推理是由一般到特殊的推理。 由一般到特殊的推理 理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。 来看,合情推理的结论 （2）从推理所得的结论来看 合情推理的结论 ） 推理所得的结论来看 不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大 不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大 前提、小前提和推理形式都正确的前提下， 前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得 到的结论一定正确。 到的结论一定正确。