高考数学大一轮复习第九章第3节圆的方程学案文新人教A版

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【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程教学案理新人教A版

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

2025年高考数学一轮复习-第九章-第三节-圆的方程【导学案】

法三
设
A（3，0），B（0，1），☉M
的半径为
r，则
kAB＝
－－
＝－
，AB
的中点坐标为
，
，∴AB 的垂直平
分线方程为 y－＝3 －，即 3x－y－4＝0.联立得
－－
t
，解得 M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）
＋－ t ，
2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M 的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
D.x2＋y2＋x＋y－9＝0
解析：A 由结论 1 得，圆的方程为（x－3）（x＋2）＋（y＋1）（y－2）＝0，整理得 x2＋y2－x－y－8＝0，故选
A. 2.点 M，N 是圆 x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 上的不同两点，且点 M，N 关于直线 x－y＋1＝0 对称，则该圆的半径等于（）
A.2
＝，故选 A.
4.圆 C：x2＋y2－2x＋6y＝0 的圆心坐标为（1，－3）；半径 r＝
.Байду номын сангаас
解析：圆 C：x2＋y2－2x＋6y＝0，转化为标准方程得（x－1）2＋（y＋3）2＝10，所以圆心坐标为（1，－3），半
径为 . 5.若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4 的内部，则实数 m 的取值范围是（－，） . 解析：∵点（0，0）在（x－m）2＋（y＋m）2＝4 的内部，∴（0－m）2＋（0＋m）2＜4，解得－＜m＜ .
＋
＝3，两边平方化简得 2x2＋2y2－9x＋9＝0，即（x－9）2＋y2＝ 9 ，
（－）＋
所以点 M 的轨迹方程为（x－9）2＋y2＝ 9 .
（2）法一设 C（x，y），因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0.因为 AC⊥BC，且 BC，AC 斜率均存在，所以 kAC·kBC ＝－1，又 kAC＝ + ，kBC＝－，所以 + · －＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为（x －1）2＋y2＝4（y≠0）.

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案文含解析新人教A版

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案文含解析新人教A版§9.3圆的方程最新考纲考情考向分析掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F概念方法微思考1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示⎩⎪⎨⎪⎧A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？提示由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件. 3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组. (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程. 4.点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆.( × )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ ) (5)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆.( × ) 题组二教材改编2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D.(x －1)2＋(y －1)2＝2答案 D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －3)2＋(y －1)2＝1D.(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A4.圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________. 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三易错自纠5.若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－22)∪(22，＋∞) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B解析将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.6.若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.－1<a <1 B.0<a <1 C.a >1或a <－1 D.a ＝±4答案 A解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.7.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A.(x －2)2＋(y －1)2＝1C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去). ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 故选A.题型一圆的方程例1(1)已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析方法一 (待定系数法)根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.方法二 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516. 方法三 (几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________________________.答案 x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0解析设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10.②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，得D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值. 跟踪训练1已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________. 答案 (x －25)2＋y 2＝5解析根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a >0)，则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a . 又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，所以可得12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫55a 2＝5，解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0).求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)方法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).方法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程. ③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练2设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.解如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.题型三与圆有关的最值问题例3已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值. 解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2.在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法. ①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.跟踪训练3已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3). (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值； (3)求y －x 的最大值和最小值.解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点， ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. (3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.1.若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.2.已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1 D.x 2＋y 2＝4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.3.以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0,2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝5 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C.(x －1)2＋y 2＝5 D.x 2＋(y －1)2＝5 答案 A解析由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r . ∴|2a －1＋4|22＋(－1)2＝|2a －1－6|22＋(－1)2，解得a ＝1. ∴r ＝|2×1－1＋4|22＋(－1)2＝5， ∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.4.(2018·锦州调研)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＋10y ＝0 B.x 2＋y 2－10y ＝0 C.x 2＋y 2＋10x ＝0 D.x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5.已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A.(x ＋2)2＋(y －2)2＝4 B.(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 C.(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4 D.(x －2)2＋(y －2)2＝4 答案 B解析根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.6.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A.1＋ 2 B.2 C.1＋22D.2＋2 2答案 A解析将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.7.已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________. 答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆.8.已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________. 答案 (0，－1)解析圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1).9.若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ). 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.10.平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________.答案 x 2＋y 2＋203x ＋4＝0解析由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.11.已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上， (1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值.解方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示.由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.答案 74解析设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14.已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________. 答案 2 2 解析x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离.当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2.综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.15.圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是( ) A.2 3 B.203 C.323 D.163答案 C解析由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝323，当且仅当3b a ＝3ab，即a ＝b 时取等号，故选C.16.已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，求圆C 的方程.解设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案(含解析)

§9.3圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( × ) (2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) (4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ ) 题组二教材改编2．[P111练习T4]圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________．答案 (2，－3)解析由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为________________．答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析设圆心坐标为(a ,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－22)∪(22，＋∞)解析将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．答案－1<a <1解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一圆的方程例1求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程．解方法一设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∴k CB ＝6＋E28＋D 2.∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1，即6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0， ② 又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. 方法二设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1(1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为________________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析设圆心为(a ，b )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a×33＝－1，(a －2)2＋(b －3)2＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2，即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，② 又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 题型二与圆有关的最值问题例2已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法． ①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练2已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，其在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________．答案 (－2，－4)解析由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2. 当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54不表示圆．2．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．答案 (0，－1)解析圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________．答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.5．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________．答案 (x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1解析到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________________．答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 7．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________________．答案 (x －1)2＋(y －3)2＝4解析设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.8．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－3，－1]∪[1,3]解析圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. ∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________．答案 x 2＋y 2＋203x ＋4＝0 解析由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0. 10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求y x的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解) y x表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145. 所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则QM ＝CQ 2－CM 2＝CQ 2－16，当QM 最小时，CQ 最小，此时CQ ⊥l 1， CQ ＝|5＋3|2＝42，则QM 的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋PA 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋PA 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |. 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2. 故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是________．答案 323解析由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323，当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时取等号． 16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求x 2＋y 2的最大值．解 x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2. 综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.。

高考数学一轮复习第九篇解析几何第3讲圆的方程教案理新人教版

第3讲圆的方程【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题．【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案 A4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．解析设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析法一设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可．设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a |2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可．答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2，又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10考向二与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解．解析设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解．解法一将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二如图所示，设弦PQ 中点为M ，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－62－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，3＋22D ＋F ＋3＋222＝0，3－22D ＋F ＋3－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。

高三数学一轮复习 9-3圆的方程学案

7、若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________
8、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．
四．知识梳理，归纳总结
授课时间
年月日
第周
星期
编号
课题
圆的方程
课型
复习
学习目标
探索并掌握圆的标准方程和一般方程
理解并应用圆的方程求解的方法和点的轨迹方程的求法
学习重点
掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程,
学习难点
围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数： (或 )得到方程组,进而求出圆的方程
导学设计
一.学情调查，情景导入
1、圆的定义是；
2、圆的标准方程是，圆心坐标，半径=__，
3、圆的一般方程是,圆心坐标，半径=，
4、点在圆内的条件是，在圆外的条件是，在圆上的条件是。
5、方程表示的轨迹，①当时，方程表示是圆；②当时，方程表示是点；③当____时，方程不表示任何图形。
二.问题展示，合作探究
1、求圆的方程的方法
2、求点的轨迹方程的方法
五、预习指导，新课链接
掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，及其判定方法。完成下节学案
探究一:圆的方程的求解
例1：已知圆心在直线上，并且经过点，求此圆的方程。
变式训练：已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），
C（－3，0），求△ABC外接圆的方程
探究二：点的轨迹方程求解
例2、已知定点A（4,0），P点是圆上的一动点，Q点是AP的中点，求点Q的轨迹方程

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第九章平面解析几何第3节圆的方程

第3节圆的方程考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[常用结论与微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( )(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆. (3)当(4m )2＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜14或m ＞1时表示圆.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P124A1改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3B.(－2，3)， 3C.(－2，－3)，13D.(2，－3)，13解析圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13. 答案 D3.(老教材必修2P120例3改编)过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B.(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C.(x －1)2＋(y －1)2＝4D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r .因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.答案 C4.(2019·合肥模拟)已知A (1，0)，B (0，3)两点，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2－x －3y ＝0 B.x 2＋y 2＋x ＋3y ＝0 C.x 2＋y 2＋x －3y ＝0 D.x 2＋y 2－x ＋3y ＝0解析 |AB |＝12＋32＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，半径r ＝102，∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104，化为一般方程为x 2＋y 2－x －3y ＝0. 答案 A5.(2020·佛山一中期末)若k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0，即5k 2－6k＋1>0，解得k >1或k <15，又知该方程不表示圆，所以k 的取值范围为15≤k ≤1，又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45，故选A.答案 A6.(2020·银川模拟)方程|y |－1＝1－（x －1）2表示的曲线是( ) A.一个椭圆 B.一个圆 C.两个圆D.两个半圆解析由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆.所以方程|y |－1＝1－（x －1）2表示的曲线是两个半圆.故选D. 答案 D考点一圆的方程【例1】 (1)(一题多解)已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254(2)(2020·豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A.x 2＋(y －1)2＝4 B.x 2＋(y －1)2＝2 C.x 2＋(y －1)2＝8D.x 2＋(y －1)2＝16解析 (1)法一 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516. 法二 (几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋（0－0）2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.(2)由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心为B (0，1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝（－1－0）2＋（2－1）2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.故选B. 答案 (1)C (2)B规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】 (1)(2020·成都诊断)若圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为________.(2)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________.解析 (1)∵圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，∴1m－1＝12m ，m ＝12.又圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 经过点(0，1)，从而n ＝4.故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，①3D －E ＋F ＝－10.②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④联立①②④，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.答案 (1)x 2＋(y ＋1)2＝4(2)x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 考点二与圆有关的最值问题多维探究角度1 利用几何意义求最值【例2－1】已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值.解 (1)y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝（x ＋1）2＋（y －2）2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值34－1.规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m ＝y －bx －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2 利用对称性求最值【例2－2】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A.52－4B.17－1C.6－2 2D.17解析 P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3).所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 答案 A规律方法求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 角度3 建立函数关系求最值【例2－3】 (2020·重庆模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________.解析由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案 12规律方法根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.【训练2】 (1)(多填题)(角度1)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则x 2＋y 2的最大值为________，最小值为________.(2)(角度2)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是________.(3)(角度3)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，若过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则△OPQ 的面积最大值为( ) A.2 B.2 5 C.92D.5解析 (1)x 2＋y 2表示圆(x －2)2＋y 2＝3上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.(2)因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆.设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.(3)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝（9－d 2）d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92.答案 (1)7＋4 3 7－4 3 (2)2 5 (3)C 考点三与圆有关的轨迹问题【例3】已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求： (1)(一题多解)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程. 解 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ，所以k C 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得yx －3·y x ＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.A 级基础巩固一、选择题1.若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.a ＝±1解析因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以－1<a <1. 答案 A2.经过点(1，0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A.(x －1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋(y －1)2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y －1)2＝2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案 B3.(2020·荆州模拟)若圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( ) A.2B.－2C.1D.－1解析由题意知直线y ＝kx ＋3过圆心(1，1)，即1＝k ＋3，解得k ＝－2. 答案 B4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5.(2020·河北九校联考)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A.x 2－y 2－2x －3＝0 B.x 2＋y 2＋4x ＝0 C.x 2＋y 2－4x ＝0D.x 2＋y 2＋2x －3＝0解析由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m >0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选C. 答案 C 二、填空题6.(多填题)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (－2，－4) 57.已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1，当m 变化时，圆C 上的点与原点O 的最短距离是________. 解析圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1表示圆心为C (2，－m ＋4)，半径r ＝1的圆，则|OC |＝22＋（－m ＋4）2，所以当m ＝4时，|OC |的最小值为2，故当m 变化时，圆C 上的点与原点的最短距离是|OC |－r ＝2－1＝1.答案 18.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2. 答案 10 2三、解答题9.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程.解 (1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2).则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2).所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.B 级能力提升11.(2020·西安调研)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y －1)2＝4B.(x －2)2＋(y －2)2＝4C.x 2＋(y －2)2＝4D.(x －1)2＋(y －3)2＝4解析设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2，0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D. 答案 D12.(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A.[2，6]B.[4，8]C.[2，32]D.[22，32] 解析设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2，0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2，6].故选A. 答案 A13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.解析设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案 7414.已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165. C 级创新猜想15.(多填题)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________.解析由题意，得y ＋1x表示过点A (0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y )的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为y ＝kx－1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73，所以z max ＝4＋73，z min ＝4－73. 答案 4＋73 4－73。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件理新人教A版

[典题 6] 设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM，ON 为邻边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．
[解] 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段 OP 的中点坐标为x2，2y，线段 MN 的中点坐标为x0－ 2 3，y0＋ 2 4.
[点石成金] 求解与圆有关的最值问题的两大规律 (1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． (2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．
所以所求圆的圆心坐标为(2,1)，半径 r＝12|AB|＝12 42＋22＝ 5，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
2．求圆的一般方程：待定系数法．
△ABC 的三个顶点分别为 A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，其外接圆的方程为____x_2_＋__y_2－ __4_x_－ __2_y_－ __2_0_＝ __0_____．
经检验都满足题意，所以 a＝0 或 1.
[典题 1] (1)求经过点 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程．
[解] 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞ 0)，
将 P，Q 两点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20，① 3D－E＋F＝－10.② 又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
考点 3 与圆有关的轨迹问题
(1)[教材习题改编]已知点 P 与两个定点 O(0,0)，A(－3,3)的距离之比为12，则点 P 的轨迹方程是___x_2＋ __y_2_－__2_x_＋__2_y－ __6_＝ __0___．

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难点正本疑点清源
5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D、E、 F 的方程组； (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准
2．圆的一般方程的特征
并且在 x 轴上截得的弦长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，
准方程． (2)设圆的一般方程，利用待定系数法求解．
－2)．
动画展示
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
【例 1】根据下列条件，求圆的方程：思维启迪
解析
探究提高
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，解 (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx
－2)．
圆的方程，用待定系数法求解．
动画展示
动画展示
y0＝－4x0， |x30－＋xy020－2＋1|＝－r2，－y02＝r2，
x0＝1，解得y0＝－4，
r＝2 2.
因此所求圆的方程为(x－1)2＋
(y＋4)2＝8.
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
【例 1】根据下列条件，求圆的方程：思维启迪
解析
探究提高
动画展示
由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④
由①、②、④解得 D＝－2，E＝
－4，F＝－8，或 D＝－6，E＝
－8，F＝0.
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
【例 1】根据下列条件，求圆的方程：思维启迪
解析
探究提高
故所求圆的方程为

高三数学大一轮复习 9.3圆的方程教案理新人教a版

§9.3 圆的方程2014高考会这样考 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程．复习备考要这样做 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 3．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径． 4．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. [难点正本疑点清源]1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2．圆的一般方程的特征圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.由于r 2相当于D 2＋E 2－4F4.所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. ③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在．1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23解析方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0 转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－34a 2－a ＋1>0，∴3a 2＋4a －4<0，∴－2<a <23.2． (2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋y 2＝10解析设圆心坐标为(a,0)，易知 a －5 2＋－1 2＝ a －1 2＋－3 2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.3． (2011·四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案 D解析圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－42，－62，即(2，－3)．4． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0答案 C解析因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.5． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴过点P 垂直于OP 的直线方程为x ＋y －2＝0.题型一求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．思维启迪：(1)求圆心和半径，确定圆的标准方程． (2)设圆的一般方程，利用待定系数法求解．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)方法一如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0， 3－x 02＋－2－y 02＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.探究提高求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为 ____________________．答案 (1)B (2)(x －4)2＋(y －5)2＝10 解析 (1)设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a |2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧5－a 2＋ 2－b 2＝r 23－a 2＋ 2－b 2＝r 22a －b －3＝0，可得a ＝4，b ＝5，r 2＝10. 题型二与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．思维启迪：根据代数式的几何意义，借助图形来求最值．解 (1)原方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.探究提高与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝ 2＋2 2＋ 7－3 2＝4 2. ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 题型三与圆有关的轨迹问题例3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．思维启迪：结合图形寻求点P 和点M 坐标的关系，用相关点法(代入法)解决．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．审题视角 (1)求圆心及半径，关键是求m . (2)利用OP ⊥OQ ，建立关于m 的方程求解．(3)利用x 1x 2＋y 1y 2＝0和根与系数的关系或利用圆的几何性质．规范解答解方法一将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.[2分]设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.[4分] ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.[6分]故－27＋4m 5＋12＋m5＝0，解得m ＝3，[9分] 此时Δ>0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.[12分]方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴kO 1M ＝2.[2分]∴O 1M 的方程为y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝2x ＋4.[4分]由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4x ＋2y －3＝0.解得M 的坐标为(－1,2)．[6分]则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，|MQ |2＝r 2. 在Rt△O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2.∴1＋－6 2－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5.∴m ＝3.[9分]∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.[12分] 方法三设过P 、Q 的圆系方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0.[2分]由OP ⊥OQ 知，点O (0,0)在圆上． ∴m －3λ＝0，即m ＝3λ.[4分] ∴圆系方程可化为x 2＋y 2＋x －6y ＋3λ＋λx ＋2λy －3λ＝0.即x 2＋(1＋λ)x ＋y 2＋2(λ－3)y ＝0.[6分]∴圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，2 3－λ 2，又圆心在PQ 上．∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m ＝3.[9分]∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径为52.[12分] 温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m 值，即三种解法围绕“列出m 的方程”求m 值． (3)本题的易错点：不能正确构建关于m 的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba>0，直线不经过第四象限．2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是 ( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±1答案 A解析因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1.3． (2011·安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3答案 B解析化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.4．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 0－1 2＋ b －2 2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是______________．答案－6<m <－2或m >3解析令x ＝0，可得y 2＋2my ＋m ＋6＝0，由题意知，此方程有两个不相等且同号的实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6>0，4m 2－4 m ＋6 >0，解得－6<m <－2或m >3.6．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．答案 (x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254解析直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A (－4,0)、B (0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，|AB |＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522.7．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________．答案 x ＋y －1＝0解析过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0. 三、解答题(共22分)8． (10分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －1 2＋b －1 2＝r 22a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. (2)方法一设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 方法二由A (1,12)，B (7,10)，得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝ 1－1 2＋ 2－12 2＝10. ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.9． (12分)一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解设圆心为(a ，b )，圆与x 轴分别交于(x 1,0)，(x 2,0)，与y 轴分别交于(0，y 1)，(0，y 2)，根据题意知x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2，∵a ＝x 1＋x 22，b ＝y 1＋y 22，∴a ＋b ＝1.又∵点(a ，b )在线段AB 的中垂线上，∴5a －b －5＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，5a －b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.∴圆心为(1,0)，半径为 4－1 2＋ 2－0 2＝13. ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内D ．以上都有可能答案 B 解析由已知条件1a 2＋b2<1，即a 2＋b 2>1. 因此点P (a ，b )在圆外．2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定答案 C解析圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 3．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0答案 A解析设圆心为C (m,0) (m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析圆的方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1.5．若PQ 是圆O ：x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是____________．答案 x ＋2y －5＝0解析由圆的几何性质知k PQ k OM ＝－1.∵k OM ＝2，∴k PQ ＝－12，故直线PQ 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 6．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案 5解析如图，取AC 的中点F ，BD 的中点E ，则OE ⊥BD ，OF ⊥AC . 又AC ⊥BD ，∴四边形OEMF 为矩形，设|OF |＝d 1，|OE |＝d 2， ∴d 21＋d 22＝|OM |2＝3.又|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22＝2 1＋d 22 · 4－d 22 ＝2－⎝⎛⎭⎪⎫d 22－322＋254.∵0≤d 22≤3.∴当d 22＝32时，S 四边形ABCD 有最大值是5.三、解答题7． (13分)圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．解设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.。

高考数学一轮复习第9章《圆的方程》名师首选学案新人教A

学案47 圆的方程导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．圆的定义在平面内，到________的距离等于________的点的________叫做圆．2．确定一个圆最基本的要素是________和________．3．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________为圆心，____为半径．4．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________________，其中圆心为________________________，半径r＝________________________.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2.自我检测1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆时，m的取值范围为______________．2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是________．3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________．4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________．探究点一求圆的方程例1 求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．变式迁移1 根据下列条件，求圆的方程．(1)与圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1，3)，且半径为4的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．探究点二圆的几何性质的应用例2 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．变式迁移2 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝3x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．探究点三与圆有关的最值问题例3 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．变式迁移3 如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求y x的最大值与最小值．1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度．2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d 与圆半径r 的关系．d <r 时，点在圆内；d ＝r 时，点在圆上；d >r 时，点在圆外．3．本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．3．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a 、b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ，b 的值分别为________和________．5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________________．7．圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)、B (3，0)两点，则圆的方程为______________．8．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.二、解答题(共42分)9．(14分)根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上；(2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.10．(14分)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上． (1)求x ＋y 的最大值和最小值；(2)求y x的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．11．(14分)如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB ＝20米，拱高OP ＝4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01米)(825≈28.72)．学案47 圆的方程答案自主梳理1．定点定长集合 2.圆心半径 3.(a ，b ) r4．D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2 D 2＋E 2－4F 26．(1)＝ (2)> (3)< 自我检测1．m <14或m >1 2.x 2＋(y －2)2＝1 3.x －y －3＝04．(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)5．(x －2)2＋(y －1)2＝5 课堂活动区例 1 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．解方法一设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∴k CB ＝6＋E28＋D 2.由k CB ·k l ＝－1，∴6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③解①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.方法二设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.②由①②联立后，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252. ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式迁移1 解 (1)设所求圆的圆心Q 的坐标为(a ，b )，圆Q 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝42，又∵OQ ＝6，∴联立方程⎩⎨⎧－a 2＋－b 2＝62－1－a 2＋3－b 2＝16，解得a ＝－3，b ＝33，所以所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －33)2＝16. (2)如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°，而圆心(0,0)到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.例 2 解题导引 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题利用方程思想求m 值，即“列出m 的方程”求m 值．解方法一将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2. ∴9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，∴9－6×4＋5×12＋m5＝0，∴m ＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52. 方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ， ∴kO 1M ＝2.又圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3， ∴O 1M 的方程为y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝2x ＋4.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，x ＋2y －3＝0，解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，MQ 2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，O 1M 2＋MQ 2＝O 1Q 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5＝1＋－2－4m 4.∴m ＝3.∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. 变式迁移2 解 (1)∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连结MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上， ∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ∶ON ＝MA ∶NC ，即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝32，则弦长为2r 2－d 2＝33.例3 解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．解 (1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 变式迁移3 解 (1)设P (x ，y )，则P 点的轨迹就是已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6.而y x 的几何意义就是直线OP 的斜率，设yx＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx . 当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k 2＋1，所以当|3k －3|k 2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切．即yx的最大值为3＋22，最小值为3－2 2. 课后练习区 1．10 2解析圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC |＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中心，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故EF ＝5，∴BD ＝210－52＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2.2．(－2，23) 3.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 4．0 －3解析圆的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y －1)2＝1＋a 24－b ，由题知圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－a2＋1－1＝0，∴a ＝0，又点(2,1)在圆上，所以b ＝－3.5．3－ 2解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l AB 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.又AB ＝2 2.∴S △min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.6．(x ＋1)2＋y 2＝2解析直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)，即圆C 的圆心坐标为(－1,0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝ 2.∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．(x －2)2＋(y －1)2＝2解析所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以，两直线的交点即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以，圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.8．0解析由于弦AB 的长为23，则圆心(1,2)到直线ax －y ＋3＝0的距离等于1，即|a －2＋3|a 2＋1＝1，解得a ＝0. 9．解 (1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3.(3分) ∴圆心为C (7，－3)．又CB ＝65，故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.(7分)(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.① ② (8分)又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，③由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36.④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(14分)10．解 (1)设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，所以x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1，所以x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.(5分)(2)y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k －－1＋k2＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(10分)(3)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5，即[x －－2＋y －2，其最值可视为点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1, 2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.(14分)11．解建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由于圆心在y 轴上，所以D ＝0，那么方程即为x 2＋y 2＋Ey ＋F ＝0.(3分)下面用待定系数法来确定E 、F 的值．因为P 、B 都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，于是有方程组⎩⎪⎨⎪⎧42＋4E ＋F ＝0，102＋F ＝0，(7分)解得F ＝－100，E ＝21.∴这个圆的方程是x 2＋y 2＋21y －100＝0.(10分) 把点P 2的横坐标x ＝－2代入这个圆的方程，得(－2)2＋y 2＋21y －100＝0，y 2＋21y －96＝0. ∵P 2的纵坐标y >0，故应取正值，∴y ＝－21＋212＋4×962≈3.86(米)．所以支柱A 2P 2的高度约为3.86米．(14分)。

高考数学一轮复习第九篇解析几何第3讲圆的方程教案理新人教版

第3讲圆的方程【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题．【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案 A4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD|＝210－2＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．解析设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析法一设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可．设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可．答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2，又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10考向二与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解．解析设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解．解法一将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二如图所示，设弦PQ 中点为M ，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－2－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，＋22D ＋F ＋＋222＝0，－22D ＋F ＋－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －2＋y －2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝－2a56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝－2＋－2＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程教学案理新人教A版

9.3 圆的方程考纲要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与圆的一般方程．1．圆的定义在平面内，到____的距离等于____的点的____叫做圆．确定一个圆最基本的要素是____和____． 2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中______为圆心，____为半径长．特别地，当圆心在原点时，圆的方程为________． 3．圆的一般方程对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.(1)当____________时，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F 的圆；(2)当____________时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2； (3)当____________时，它不表示任何图形；(4)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧① ，② ，③ .4．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：____________________； (2)点在圆外：____________________； (3)点在圆内：____________________.1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )． A ．14＜m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜14 D ．m ＜14或m ＞12．圆心在y 轴上，半径为1且过点(－1,2)的圆的方程为( )．A ．x 2＋(y －3)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝1D ．(x ＋2)2＋y 2＝13．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±14．圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为__________．5．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝__________.一、求圆的方程【例1－1】圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0【例1－2】已知A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？方法提炼常见的求圆的方程的方法有两种：一是利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程．如果给定的条件易求圆心坐标和半径长，则选用标准方程求解；如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，常选用一般方程求解．请做演练巩固提升1二、与圆有关的最值问题【例2】若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx ＋1的最大值为__________，最小值为__________．方法提炼处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．请做演练巩固提升3三、与圆有关的轨迹问题【例3】如下图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．方法提炼1．解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法——直接根据题目提供的条件列出方程；定义法——根据圆、直线等定义列方程；几何法——利用圆的几何性质列方程；代入法——找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．2．求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应有不同：若求轨迹方程，把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么样的曲线．请做演练巩固提升4易忽视斜率不存在的直线而致误【典例】 (12分)从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线方程．规范解答：当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.(2分)∵圆心为(1,1)，半径长r ＝1， ∴|k －1＋3－2k |k 2＋－12＝1，∴k ＝34.(6分)∴所求切线方程为y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.(8分)当切线斜率不存在时，因为切线过点P (2,3)，且与x 轴垂直，此时切线的方程为x ＝2. 综上，所求切线方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.(12分)答题指导：求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2．(2012安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )．A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )．A．2－1 B．2－ 2C． 2 D．2－1与2＋14．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝15．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值与最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．定点定长集合圆心半径2．(a ，b ) r x 2＋y 2＝r 23．(1)D 2＋E 2－4F ＞0 (2)D 2＋E 2－4F ＝0 (3)D 2＋E 2－4F ＜0 (4)①A ＝C ≠0②B ＝0 ③D 2＋E 2－4AF ＞04．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2基础自测1．D 解析：方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是(4m )2＋(－2)2－4×5m＞0，即m ＜14或m ＞1.2．B 解析：设圆心(0，b )，半径为r ，则r ＝1.∴x 2＋(y －b )2＝1.又圆过点(－1,2)，代入得b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．A 解析：∵点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1.4．x 2＋y 2＝2 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)，由|－2|1＋1＝a ，∴a ＝ 2.∴x 2＋y 2＝2.5．3 解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心为C (1,2)，所以圆心C 到直线的距离为 |3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 考点探究突破【例1－1】 B 解析：设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.【例1－2】解：设经过A ，B ，C 三点的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r 2＝5.所以，经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是(x －1)2＋(y －3)2＝5.把点D 的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.【例2】 22 －22 解析：∵y x ＋1＝y －0x －(－1)，∴1y x +表示过点P(－1,0)与圆(x -2)2+y 2=3上的点(x ，y )的直线的斜率．由图象知1yx +的最大值和最小值分别是过P 与圆相切的直线PA ，PB 的斜率．又∵k PA =CA PA =36=22，k PB =－||||CB PB =36-=22-，即1yx +的最大值为22，最小值为22-.【例3】解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2. 因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. 演练巩固提升1．D 解析：∵D ＝－4，E ＝6， ∴圆心坐标为(2，－3)．2．C 解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3．A 解析：如图，圆心(2,1)到直线l 0：x －y ＋1＝0的距离d ＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，则直线l 0与l 1的距离为2－1，所以平移的最短距离为2－1.4．A 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．解：设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，由图知，当直线与圆C 相切时，截距b 取最值．而圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为d ＝|6－b |2.因为当|6－b |2＝6，即b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，所以x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3.。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第3节圆的方程教学案(含解析)新人教A版-新人教A版高三全

第3节圆的方程考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着以下关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[常用结论与微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.诊断自测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( )(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆. (3)当(4m )2＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜14或m ＞1时表示圆.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P124A1改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3B.(－2，3)， 3C.(－2，－3)，13D.(2，－3)，13解析圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13. 答案 D3.(老教材必修2P120例3改编)过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B.(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C.(x －1)2＋(y －1)2＝4D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r .因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.答案 C4.(2019·合肥模拟)A (1，0)，B (0，3)两点，那么以AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2－x －3y ＝0 B.x 2＋y 2＋x ＋3y ＝0 C.x 2＋y 2＋x －3y ＝0 D.x 2＋y 2－x ＋3y ＝0解析 |AB |＝12＋32＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，半径r ＝102，∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104，化为一般方程为x 2＋y 2－x －3y ＝0. 答案 A5.(2020·佛山一中期末)假设k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，那么k 的取值集合中元素的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0，即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15，又知该方程不表示圆，所以k 的取值范围为15≤k ≤1，又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45，应选A.答案 A6.(2020·银川模拟)方程|y |－1＝1－〔x －1〕2表示的曲线是( ) A.一个椭圆 B.一个圆 C.两个圆D.两个半圆解析由题意知|y |－1≥0，那么y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆.所以方程|y |－1＝1－〔x －1〕2表示的曲线是两个半圆.应选D. 答案 D考点一圆的方程[例1] (1)(一题多解)圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，那么圆E 的标准方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254(2)(2020·豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A.x 2＋(y －1)2＝4B.x 2＋(y －1)2＝2C.x 2＋(y －1)2＝8D.x 2＋(y －1)2＝16解析 (1)法一 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，那么由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516. 法二 (几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0. 那么圆E 的半径为|EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋〔0－0〕2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.(2)由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心为B (0，1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，那么r max ＝|AB |＝〔－1－0〕2＋〔2－1〕2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.应选B. 答案 (1)C (2)B规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.[训练1] (1)(2020·成都诊断)假设圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，那么圆C 的标准方程为________.(2)圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，那么圆C 的方程为________.解析 (1)∵圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，∴1m－1＝12m ，m ＝12.又圆C 经过M 的另一个焦点，那么圆C 经过点(0，1)，从而n ＝4.故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，①3D －E ＋F ＝－10.②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④联立①②④，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.答案 (1)x 2＋(y ＋1)2＝4(2)x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 考点二与圆有关的最值问题多维探究角度1 利用几何意义求最值[例2－1] 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值.解 (1)y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t ＝x ＋y ，那么y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋〔－3〕－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝〔x ＋1〕2＋〔y －2〕2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值34－1.规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分表达了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m ＝y －bx －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2 利用对称性求最值[例2－2] 圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，那么|PM |＋|PN |的最小值为( ) A.52－4 B.17－1 C.6－2 2D.17解析 P 是x 轴上任意一点，那么|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，那么|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3).所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 答案 A规律方法求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定〞，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直〞，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 角度3 建立函数关系求最值[例2－3] (2020·重庆模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，那么PA →·PB →的最大值为________.解析由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案 12规律方法根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值. [训练2] (1)(多填题)(角度1)实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，那么x 2＋y 2的最大值为________，最小值为________.(2)(角度2)A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，那么|PA |＋|PQ |的最小值是________.(3)(角度3)圆O ：x 2＋y 2＝9，假设过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，那么△OPQ 的面积最大值为( ) A.2 B.2 5 C.92D.5解析 (1)x 2＋y 2表示圆(x －2)2＋y 2＝3上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).又圆心到原点的距离为〔2－0〕2＋〔0－0〕2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.(2)因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆.设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.(3)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，那么P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，那么圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝〔9－d 2〕d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92.答案 (1)7＋4 3 7－4 3 (2)2 5 (3)C 考点三与圆有关的轨迹问题[例3] Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求： (1)(一题多解)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与点的关系，代入点满足的关系式等.[训练3] 过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程. 解 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ，所以k C 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得yx －3·y x ＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.A 级基础巩固一、选择题1.假设点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，那么实数a 的取值范围是( ) A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.a ＝±1解析因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以－1<a <1. 答案 A2.经过点(1，0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A.(x －1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋(y －1)2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y －1)2＝2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案 B3.(2020·荆州模拟)假设圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，那么k 的值是( ) A.2B.－2C.1D.－1解析由题意知直线y ＝kx ＋3过圆心(1，1)，即1＝k ＋3，解得k ＝－2. 答案 B4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案 A5.(2020·河北九校联考)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，那么圆C 的方程为( )A.x 2－y 2－2x －3＝0 B.x 2＋y 2＋4x ＝0 C.x 2＋y 2－4x ＝0D.x 2＋y 2＋2x －3＝0解析由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m >0)，那么|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，应选C. 答案 C 二、填空题6.(多填题)a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，那么圆心坐标是________，半径是________.解析由方程表示圆，那么a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (－2，－4) 57.圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1，当m 变化时，圆C 上的点与原点O 的最短距离是________. 解析圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1表示圆心为C (2，－m ＋4)，半径r ＝1的圆，那么|OC |＝22＋〔－m ＋4〕2，所以当m ＝4时，|OC |的最小值为2，故当m 变化时，圆C 上的点与原点的最短距离是|OC |－r ＝2－1＝1.答案 18.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为______.解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，那么圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离〔1－0〕2＋〔3－1〕2＝5，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.答案 10 2 三、解答题9.以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程.解 (1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2). 那么直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，那么由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2).所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －1〕，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，〔x 0＋1〕2＝〔y 0－x 0＋1〕22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.B 级能力提升11.(2020·西安调研)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y －1)2＝4 B.(x －2)2＋(y －2)2＝4 C.x 2＋(y －2)2＝4 D.(x －1)2＋(y －3)2＝4解析设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2，0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.应选D.答案 D12.(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，那么△ABP 面积的取值范围是( )A.[2，6]B.[4，8]C.[2，32]D.[22，32]解析设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，那么圆心C (2，0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2，6].应选A.答案 A13.圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，那么d 的最大值为________.解析设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74. 答案 7414.点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，那么CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.C 级创新猜想15.(多填题)实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，那么z ＝y ＋1x的最大值与最小值分别为________和________. 解析由题意，得y ＋1x表示过点A (0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y )的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，那么|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73，所以z max ＝4＋73，z min＝4－73. 答案4＋73 4－73。

2022届高考数学统考一轮复习第九章圆的方程学案文含解析新人教版

高考数学统考一轮复习：第三节圆的方程【知识重温】一、必记3个知识点1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为①________，半径为②________的圆．2．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③____________，半径为④____________________的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⑤____________；(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.二、必明1个易误点对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()二、教材改编2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝43．△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的方程为________________．三、易错易混4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4 四、走进高考 6．[2016·全国卷Ⅰ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2考点一求圆的方程[自主练透型]1．[2021·石家庄质检]若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝12．若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 3．[2021·广东珠海联考]已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 悟·技法1.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 考点二与圆有关的最值问题[互动讲练型] 考向一：借助圆的几何性质求最值[例1] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx的最大值为________，最小值为________．悟·技法与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关的代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.考向二：建立函数关系求最值[例2] (1)若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，点A (－1,0)，B (1,0)为两个定点，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 (2)[2021·山东潍坊模拟]设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·P B →的最大值为________．类题通法建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8 D.2122．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，则z ＝y ＋1x的最大值与最小值分别为________和________．考点三与圆有关的轨迹问题[互动讲练型][例3] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．第三节圆的方程【知识重温】①(a ，b ) ②r ③⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 ④12D 2＋E 2－4F ⑤⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2 ⑥r 2 ⑦＞r 2 ⑧＜r 2 【小题热身】1．答案：(1)√ (2)× (3)×2．解析：显然A ，B 两点关于直线y ＝x 对称，令⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以圆心坐标是(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C3．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 4．解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.答案：B5．解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，即－1<a <1，故选A. 答案：A6．解析：由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43，故选A. 答案：A课堂考点突破考点一1．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：A2．解析：因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.答案：D3．解析：由题意设圆心坐标为(a ，－a )，则有|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.答案：B 考点二例1 解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.答案：3 － 3例2 解析：(1)由已知可得线段AB 是圆x 2＋y 2＝1的直径，且|AB |＝2，∴∠APB ＝90°. ∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝4，由基本不等式可得⎝⎛⎭⎫|P A |＋|PB |22≤|P A |2＋|PB |22＝2，当且仅当|P A |＝|PB |时取等号，∴|P A |＋|PB |≤2 2.即|P A |＋|PB |的最大值是2 2.(2)由题意知P A →＝(2－x ，－y )，P B →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·P B →＝x 2＋y 2－4.由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·P B →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12. 由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，P A →·P B →的值最大，最大值为12. 答案：(1)B (2)12 变式练 1．解析：x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又|AB |＝32＋42＝5，所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 答案：B2．解析：由题意，得y ＋1x表示过点A (0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73，所以z max ＝4＋73，z min ＝4－73.答案：4＋73 4－73考点三例3 解析：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 变式练3．解析：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．悟·技法[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．。

【创新方案】高考数学一轮复习第九篇解析几何第3讲圆的方程教案理新人教版

〖第3讲圆的方程〗之小船创作【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题．【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程．2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．2．圆的标准方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2； (3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形．4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，∴－1＜a ＜1. 答案 A4．(2011·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )．A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．202 解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．解析设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一求圆的方程【例1】►已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )．A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 [审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析法一设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可．设圆心坐标为(a，－a)，则|a－－a|2＝|a－－a－4|2，即|a|＝|a－2|，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝22＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝42＝22；圆心是直线x＋y＝0与这两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x－y－4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法三作为选择题也可以验证解答，圆心在x＋y＝0上，排除选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可．答案B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．解析∵圆经过点A(5,2)，B(3,2)，∴圆心在x＝4上，又圆心在2x－y－3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2，又圆过B(3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r2，∴r2＝10，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.答案(x－4)2＋(y－5)2＝10考向二与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则y－1x－2的最大值与最小值分别为________．[审题视点] 找出y－1x－2的几何意义，运用几何法求解．解析设y－1x－2＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．由|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A．30 B．18 C．6 2 D．52解析由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2.答案C考向三圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解．解法一将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件： y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二如图所示，设弦PQ 中点为M ，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－62－4m4＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，3. (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，3＋22D ＋F ＋3＋222＝0，3－22D ＋F ＋3－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝错误!，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。

2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第3节圆的方程教学案文

第三节圆的方程[最新考纲] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第148页)1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)圆心(a ，b )，半径r一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0) 圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径12D 2＋E 2－4F点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [常用结论] 1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.(公式推导：设圆上任意一点为P (x ，y )，则有k PA ·k PB ＝－1，由斜率公式代入整理即可)一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． ( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆． ( )(3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＝0不一定表示圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0. ( )[答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D [因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D.]2．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，3) C ．(－2，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 C [∵点(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，∴(0－m )2＋(0＋m )2＜4，解得－2＜m ＜ 2. 故选C.]3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 A [圆的半径r ＝|3×3＋4×－1|32＋42＝55＝1 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.]4．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________． (x －2)2＋y 2＝10 [线段AB 的中点坐标是E (0,2)，直线AB 的斜率k AB ＝3－11－－1＝1，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y －2＝－x ，即y ＝－x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即圆心C 的坐标是(2,0)，半径r ＝2＋12＋0－12＝10，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.](对应学生用书第148页)⊙考点1 求圆的方程求圆的方程的两种方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．(1)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________．(2)(2019·全国卷Ⅰ改编)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x ＋2＝0相切，若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径．(1)(x－1)2＋(y＋4)2＝8[过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝3－12＋－2＋42＝22，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.](2)[解] 因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2，又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.涉及弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距、半径构成直角三角形求解．[教师备选例题]已知圆C的圆心在y轴上，且过点A(4,4)，B(－4,0)，则圆C的标准方程是________．x2＋(y－2)2＝20[设圆C的圆心C(0，n)，由|CA|＝|CB|得(0－4)2＋(n－4)2＝(0＋4)2＋n2，解得n＝2.即圆心C(0,2)，圆C的半径r＝0－42＋2－42＝20.所以圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝20.]1.过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在x＋y－2＝0上的圆的方程是( )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[AB的中垂线方程为y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故选C.]2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．x2＋y2－2x＝0[法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.]⊙考点2 与圆有关的最值问题斜率型最值问题形如μ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过定点(a ，b )的动直线斜率的最值问题求解．如yx＝y －0x －0表示过坐标原点的直线的斜率．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.(如图所示)所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.求解时也可数形结合，直接在直角三角形中求出直线的斜率．截距型最值问题形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解，即令t ＝ax ＋by ，则y ＝－a b x ＋t b ，从而将ax ＋by 的最值问题，转化为求直线y ＝－a b x ＋t b的截距的最值问题．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．[解] 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－3－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.解答本例的关键是把问题转化为直线和圆相切．距离型最值形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方求最值．如x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，从而转化为动点(x ，y )与坐标原点的距离的平方．(1)已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)，则|MQ |的最大值为________，最小值为________．(2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． (1)6 2 22 [由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.](2)[解] 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.解答此类题目的关键是求出圆心到定点的距离．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点．(1)求y －2x －1的最大、最小值； (2)求x －2y 的最大、最小值． [解](1)y －2x －1表示点P (x ，y )与点(1,2)连线的斜率．设k ＝y －2x －1，则y －2＝kx －k ，即kx －y ＋2－k ＝0. 当直线kx －y ＋2－k ＝0与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，即|2－3k |＝1＋k 2，平方得8k 2－12k ＋3＝0，解得k ＝3±34，即y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－34. (2)设b ＝x －2y ，即y ＝x 2－b2.b 可视为直线y ＝x 2－b2在y 轴上的截距的2倍的相反数，则当直线与圆相切时，b 有最大值和最小值．此时|－2－b |12＋－22＝1，即|b ＋2|＝5，解得b ＝5－2或b ＝－2－ 5.所以x －2y 的最大值为5－2，最小值为－2－ 5. ⊙考点3 与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解](1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.解答本例第(2)问时，半弦长、弦心距与半径构成的直角三角形仍然是解题的关键．[教师备选例题]已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解](1)设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．1.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]2．已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54 [设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以PA →⊥PC →. 又因为PA →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )．所以(2－x )(1－x )＋(3－y )(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54.]。

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§圆的方程2022高考会这样考1考查圆的方程的形式及应用；2利用待定系数法求圆的方程．复习备考要这样做1熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．2．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．3．圆的标准方程－a2＋－b2＝r2r>0，其中a，b为圆心，r为半径．4．圆的一般方程2＋2＋D＋E＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为错误!，半径r＝错误! 5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：1根据题意，选择标准方程或一般方程；2根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；3解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程－a2＋－b2＝r2，点M0，01点在圆上：0－a2＋0－b2＝r2；2点在圆外：0－a2＋0－b2>r2；3点在圆内：0－a2＋0－b24F0时，圆心为错误!，半径r＝错误!②当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点错误!③当D2＋E2－4F2a2a0，∴3a2＋4a－44F0，圆心坐标为错误!，半径r＝错误![12分]方法二如图所示，设弦1M1M1M1M＝错误!2＋3－22＋5∴m＝3[9分]∴半径为错误!，圆心为错误![12分]方法三设过＋λ＋2－3＝0[2分]由O－3λ＝0，即m＝3λ[4分]∴圆系方程可化为2＋2＋－6＋3λ＋λ＋2λ－3λ＝0即2＋1＋λ＋2＋2λ－3＝0[6分]∴圆心M错误!，又圆心在＝3[9分]∴圆心为错误!，半径为错误![12分]温馨提醒1在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．2本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值．3本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．A组专项基础训练时间：35分钟，满分：57分一、选择题每小题5分，共20分1．若圆2＋2－2a＋3b＝0的圆心位于第三象限，那么直线＋a＋b＝0一定不经过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析圆2＋2－2a＋3b＝0的圆心为错误!，则a＝－错误!－错误!，＝－错误!>0，－错误!>0，直线不经过第四象限．2．若点1,1在圆－a2＋＋a2＝4的内部，则实数a的取值范围是A．－11或a1 3解析令＝0，可得2＋2m＋m＋6＝0，由题意知，此方程有两个不相等且同号的实数根，即错误!解得－636．以直线3－4＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．答案＋22＋错误!2＝错误!解析直线3－4＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A－4,0、B0,3，所以线段AB的中点为C错误!，|AB|＝5故所求圆的方程为＋22＋错误!2＝错误!27．已知点M1,0是圆C：2＋2－4－2＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．答案＋－1＝0解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：2＋2－4－2＝0的圆心为C2,1，∵CM＝错误!＝1，∴最短弦所在直线的方程为－0＝－1－1，即＋－1＝0三、解答题共22分8． 10分根据下列条件求圆的方程：1经过点5a－4＝0上存在两点关于直线－＋3＝0对称，则实数m的值为A．8 B．－4 C．6 D．无法确定答案 C解析圆上存在关于直线－＋3＝0对称的两点，则－＋3＝0过圆心错误!，即－错误!＋3＝0，∴m＝63．已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线3＋4＋4＝0相切，则圆的方程是A．2＋2－4＝0 B．2＋2＋4＝0C．2＋2－2－3＝0 D．2＋2＋2－3＝0答案 A解析设圆心为Cm,0 m>0，因为所求圆与直线3＋4＋4＝0相切，所以错误!＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－错误!舍去，故所求圆的方程为－22＋2＝22，即2＋2－4＝0，故选A二、填空题每小题5分，共15分4．已知圆2＋2＋2－4＋a＝0关于直线＝2＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．答案－∞，1解析圆的方程化为＋12＋－22＝5－a，∴其圆心为－1,2，且5－a>0，即a<5又圆关于直线＝2＋b成轴对称，∴2＝－2＋b，∴b＝4∴a－b＝a－4<15．若1,2，则直线＝－1∵OM＝2，∴1，错误!，则四边形ABCD的面积的最大值为________．答案 5解析如图，取AC的中点F，BD的中点E，则OE⊥BD，OF⊥AC又AC⊥BD，∴四边形OEMF为矩形，设|OF|＝d1，|OE|＝d2，∴d错误!＋d错误!＝|OM|2＝3又|AC|＝2错误!，|BD|＝2错误!，∴S四边形ABCD＝错误!|AC|·|BD|＝2错误!·错误!＝2错误!＝2错误!∵0≤d错误!≤3∴当d错误!＝错误!时，S四边形ABCD有最大值是5三、解答题7． 13分圆C通过不同的三点P,0，Q2,0，R0,1，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．解设圆C的方程为2＋2＋D＋E＋F＝0，则、2为2＋D＋F＝0的两根，∴＋2＝－D,2＝F，即D＝－＋2，F＝2，又圆过R0,1，故1＋E＋F＝0∴E＝－2－1故所求圆的方程为2＋2－＋2－2＋1＋2＝0，圆心坐标为错误!∵圆C在点P处的切线斜率为1，∴CP＝－1＝错误!，∴＝－3∴D＝1，E＝5，F＝－6∴所求圆C的方程为2＋2＋＋5－6＝0。

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