椭圆的焦点弦长公式

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高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（）设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦，则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =，即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。

高中数学：四大类弦长公式

高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2px x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=）注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -=== ②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM += 证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++, ∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得：例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根）③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。

高中数学椭圆弦长公式推导过程

高中数学椭圆弦长公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是数学中常见的曲线形状之一，在高中数学学习中，我们经常会接触到椭圆的相关知识，其中就包括椭圆的弦长公式。

椭圆弦长公式是求椭圆上任意两点之间的弦长的公式，通过推导可以得到其具体表达式。

下面，我将详细介绍椭圆弦长公式的推导过程。

让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。

椭圆可以看作是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。

我们用椭圆的两个焦点表示为F1和F2，椭圆的长半径为a，短半径为b，焦距为2c。

椭圆的标准方程可以表示为：$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $椭圆上的一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即：$ PF1 + PF2 = 2a $我们将这个式子记为(1)。

接下来，我们需要推导出椭圆的弦长公式。

假设椭圆上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要求这两点之间的弦长AB的长度。

我们需要找到连接两点A和B的直线方程。

由于椭圆是一个二次曲线，因此椭圆上的点满足椭圆的标准方程。

点A(x1, y1)和B(x2, y2)分别满足椭圆方程：连接两点A和B的直线方程可以表示为：$ (y-y1) = \frac{y2-y1}{x2-x1} \times (x-x1) $将这个直线方程代入椭圆的标准方程，可以得到连接两点A和B的方程。

接下来，我们要求直线与椭圆的交点，即求方程组：可以得出AB弦长的计算公式为：可见，椭圆弦长公式的推导过程并不复杂，只要我们掌握了椭圆的基本性质和相关知识，就可以很轻松地推导出弦长公式。

通过这个推导过程，我们可以更加深入地理解椭圆的性质和特点，为我们深入学习和理解椭圆奠定了基础。

椭圆是数学中非常重要的一个曲线，在高中数学学习中，我们需要掌握椭圆的基本知识和相关公式。

弦长公式是椭圆的一个重要性质，通过推导过程，可以更好地理解椭圆的几何特性。

圆锥曲线焦点弦

圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。

组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。

一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。

法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。

设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。

过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式

椭圆是代数曲线的一种，是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

在椭圆的研究中，我们经常要涉及到椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式。

本文将从椭圆的基本概念开始，逐步介绍椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式，以便读者更加深入地理解和掌握该公式。

一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P 的轨迹，常数2a称为椭圆的长轴，F1和F2称为椭圆的焦点。

2. 椭圆的标准方程设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的中心为坐标原点O，焦点F1(-c,0)，F2(c,0)。

则椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。

3. 弦长的定义弦是平面上连接两点的直线段，椭圆焦点垂直于x轴的弦长即为连接椭圆上焦点处的两点并且垂直于x轴的线段的长度。

二、过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导涉及到椭圆的几何证明和数学运算，下面我们将逐步进行推导。

1. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的定义设椭圆的焦点F1(-c,0)，F2(c,0)，横轴为x轴，焦点连线垂直于x轴的弦为CD，C点的坐标为(x,0)，D点的坐标为(-x,0)。

设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。

则C、D两点上线上满足椭圆方程。

2. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，可得点C、D的坐标分别为$(a\cos\theta, b\sin\theta)$和$(-a\cos\theta, -b\sin\theta)$（其中$\theta$为椭圆上任意一点P的极角，即向量OP与x轴正方向的夹角）。

椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式即为CD的长度公式，根据两点之间的距离公式可得：CD的长度 = $\sqrt{(a\cos\theta-(-a\cos\theta))^2 +(b\sin\theta-(-b\sin\theta))^2}$3. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的进一步推导进一步利用三角恒等式和平方展开可得：CD的长度 = $\sqrt{(2a\cos\theta)^2 + (2b\sin\theta)^2}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$由于椭圆的轨迹方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，根据单位圆的性质可得$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，代入上式可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2(1-\sin^2\theta) +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+进一步整理可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2$CD的长度 = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4(a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4(a^2-b^2\sin^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$所以椭圆焦点垂直于x轴的弦长为CD的长度为$\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$。

椭圆弦长公式根号△比a

椭圆弦长公式根号△比a
椭圆的弦长公式可以表示为2a\sqrt{e^2 1}，其中a为椭圆的
半长轴长度，e为椭圆的离心率。

这个公式可以从椭圆的参数方程
推导出来，也可以通过椭圆的焦点、离心率和弦长之间的关系得到。

椭圆是一个重要的几何图形，具有许多特性和应用，包括在天文学、工程学和物理学等领域的应用。

弦长公式是描述椭圆形状和特性的
重要公式之一，它能够帮助我们理解椭圆的几何性质和在实际问题
中的应用。

通过掌握这个公式，我们可以更深入地理解椭圆的性质
和特点，为相关问题的解决提供重要的数学工具。

在数学和物理学
领域，椭圆的研究有着广泛的应用，因此弦长公式作为椭圆性质的
重要表达式，具有重要的理论和实际意义。

希望这个回答能够满足
你的要求。