三角形的整理与复习
四年级下册数学教案-三角形的整理与复习人教新课标
四年级下册数学教案-三角形的整理与复习人教新课标一、教学目标1. 知识与技能：让学生通过复习，进一步理解三角形的特性，掌握三角形按角分类、按边分类的方法，认识等腰三角形、等边三角形及各类三角形的特征。
2. 过程与方法：通过整理与复习，培养学生在观察、操作、推理和想象等活动中的合情推理能力，让学生学会用三角形的特性解决生活中的简单问题。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维和应用意识，让学生感受数学在生活中的重要性。
二、教学内容1. 三角形的特性：稳定性、内角和等于180°、两边之和大于第三边等。
2. 三角形的分类：按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），按边分类（不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）。
3. 等腰三角形和等边三角形的特征及性质。
4. 三角形在实际生活中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形按角分类、按边分类的方法，等腰三角形、等边三角形的特征及性质。
2. 教学难点：三角形在实际生活中的应用，利用三角形的特性解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、三角板、直尺、圆规等。
2. 学具：练习本、彩笔、剪刀、胶水等。
五、教学过程1. 导入：通过提问、讨论等方式引导学生回顾三角形的特性，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课导入：讲解三角形的分类方法，让学生通过观察、操作、讨论等方式了解等腰三角形、等边三角形的特征及性质。
3. 例题讲解：结合实际生活中的例子，让学生了解三角形在实际生活中的应用，培养学生的数学思维和应用意识。
4. 巩固练习：设计不同层次的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调重点知识，引导学生进行课后自主学习。
六、板书设计1. 三角形的特性：稳定性、内角和等于180°、两边之和大于第三边等。
2. 三角形的分类：按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），按边分类（不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）。
四年级三角形整理与复习教案
四年级三角形整理与复习教案教案标题：四年级三角形整理与复习教案教案目标：通过整理和复习的方式，使学生巩固和扩展对三角形的认识和理解，能够正确辨别和命名不同类型的三角形，并能够运用三角形的性质解决问题。
教学重点：1. 完整理解和掌握三角形的定义与性质。
2. 能够正确辨别和命名不同类型的三角形。
3. 运用三角形的性质进行问题解决。
教学难点：1. 教学如何组织和呈现三角形的定义与性质。
2. 教学如何帮助学生正确辨别和命名不同类型的三角形。
3. 如何引导学生将三角形的知识应用于实际问题的解决。
教具准备：1. 彩色卡片或形状模型，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和普通三角形。
2. 白板、彩色笔或粉笔。
教学过程：Step 1: 引入1. 使用彩色卡片或形状模型向学生展示不同类型的三角形，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和普通三角形。
2. 提问学生：你能辨别和命名这些三角形吗？请举手回答。
Step 2: 整理三角形的定义与性质1. 在白板上，写下三角形的定义：“三角形是由三条线段所围成的图形。
”2. 让学生回顾和讨论三角形的性质，如内角和为180度、边长之和大于第三边等。
3. 引导学生透过观察和讨论，总结并补充三角形的其他性质，如等腰三角形的两底角相等等。
4. 与学生一起记录总结的三角形的定义和性质。
Step 3: 复习不同类型的三角形1. 将之前展示的不同类型的三角形再次出示给学生，让学生依次辨别和命名这些三角形。
2. 提醒学生关注每个三角形的边长和角度特点，以正确辨别其类型。
Step 4: 运用三角形的性质解决问题1. 出示一些实际问题，要求学生利用所学的三角形的性质进行解决。
2. 引导学生先分析问题，找出问题中的关键信息。
3. 指导学生将问题与所学的三角形性质联系起来，尝试提供解决方法和步骤。
4. 学生在小组中讨论和解决问题，并向全班汇报解决过程和结果。
Step 5: 总结与评价1. 与学生一起回顾所学的三角形的定义、性质与命名。
八年级上册第一章三角形整章复习知识点和对应练习
T ——三角形一、知识梳理：专题一：三角形有关的线段；专题二：三角形有关的角；专题三：多边形及其内角和.二、考点分类专题一：三角形有关的线段考点一：三角形的边1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．2.三角形分类：（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 3．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【例1】【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cm ；B ．5cm ，6cm ，10cm ；C ．1cm ，1cm ，3cm ；D ．3cm ，4cm ，9cm 解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11 ；B ．4＜x ＜7 ；C ．－3＜x ＜11 ；D ．x ＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x ＜11.故选A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．【类型三】等腰三角形的三边关系已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．考点二：三角形的高、中线与角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．【例2】探究点一：三角形的高【类型一】三角形高的画法画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )解：过点C 作边AB 的垂线段，即画AB 边上的高CD ，所以画法正确的是D.故选D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【类型二】 根据三角形的面积求高如图所示①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝4，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值为________．解析：根据垂线段最短，可知当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知12AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．① ② ③ ④ 探究点二：三角形的中线【类型一】 应用三角形的中线求线段的长如图②在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________.解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题如图③，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点三：三角形的角平分线如图④，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB 的度数．解析：根据AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，得出∠BAD ＝30°，再利用CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，得出∠B 的度数，进而得出∠ADB 的度数．解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°.∵CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－50°－30°＝100°.方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．考点三：三角形的稳定性【例3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n 边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n 边形的一个顶点可以作(n －3)条对角线，把多边形分成(n －2)个三角形，所以，要使一个n 边形木架不变形，至少需要(n －3)根木条固定．方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．专题二：三角形有关的角考点四：三角形的内角1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余【例4】探究点一：三角形的内角和【类型一】 求三角形内角的度数已知，如图①，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ，若∠A ＝46°，∠D ＝50°.求∠ACB 的度数．① ② 解析：在Rt △DFB 中，根据三角形内角和定理，求得∠B 的度数，再在△ABC 中求∠ACB 的度数即可．解：在△DFB 中，∵DF ⊥AB ，∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝40°.在△ABC 中，∵∠A ＝46°，∠B ＝40°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°. 方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．【类型二】 判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用如图②，在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB ，利用三角形的内角和求出∠A ，再求出∠ACB ，∠ACD ，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可求得∠DCE 的度数．解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，设∠A ＝x ，∴∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x .∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴∠A ＝30°，∠ACB ＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝180°－90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝12×90°＝45°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝60°－45°＝15°.方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．探究点二：直角三角形的性质【类型一】 直角三角形性质的运用如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，∠F ＝40°，∠C ＝30°，求∠EDF 、∠DBC 的度数．解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF ，再根据三角形的内角和定理求出∠C ＋∠DBC ＝∠F ＋∠DEF ，然后求解即可．解：∵CE ⊥AF ，∴∠DEF ＝90°，∴∠EDF ＝90°－∠F ＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C ＋∠DBC ＋∠CDB ＝∠F ＋∠DEF ＋∠EDF ，∴30°＋∠DBC ＝40°＋90°，∴∠DBC ＝100°.方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．考点五：三角形的外角1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．【例5】探究点：三角形的外角【类型一】 应用三角形的外角求角的度数如图所示，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝150°，∠ABP ＝20°，∠ACP ＝30°，求∠A 的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC ＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．【类型三】三角形外角的性质和角平分线的综合应用如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．解：(1)根据外角的性质得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋50°＝110°，∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠1＝12∠ACD ＝55°，∠2＝12∠ABC ＝25°.∵∠E ＋∠2＝∠1，∴∠E ＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E ＝12∠A ； (3)∵BE 、CE 是两外角的平分线，∴∠2＝12∠CBD ，∠4＝12∠BCF ，而∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCF ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠2＝12(∠A ＋∠ACB )，∠4＝12(∠A ＋∠ABC )．∵∠E ＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E ＋12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝180°，即∠E ＋12∠A ＋12(∠A ＋∠ACB ＋∠ABC )＝180°.∵∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴∠E ＋12∠A ＝90°. 方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E ＝12∠A ；图②中，∠E ＝90°－12∠A .考点六：多边形及其内角和多边形1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．4．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形． 多边形的内角和与外角和1．性质：多边形的内角和等于(n －2)·180°；多边形的外角和等于360°.2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.(3).正n 边形：正n 边形的内角的度数为（n －2）·180°n ，外角的度数为360°n. 【例6】探究点一：多边形的概念【类型一】 多边形及其概念下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D 的图形不是凸多边形．故选D. 方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．【类型二】 确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15或16B ．15或16C ．14或16D ．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A. 方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二：多边形的对角线【类型一】 确定多边形的对角线的条数从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【类型三】 根据分成三角形的个数，确定多边形的边数连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形解析：设原多边形是n 边形，则n －2＝6，解得n ＝8.故选D.方法总结：从n 边形的一个顶点出发可引出(n －3)条对角线，这(n －3)条对角线把n 边形分成(n －2)个三角形．探究点三：正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C. 方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．探究点一：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540°C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A．八边形 B．九边形C．十边形 D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．。
【教学设计】三角形的整理与复习【含设计意图和教后反思】
三角形的整理与复习教学内容: 苏教版四下《三角形的整理与复习》教材分析：苏教版四下《三角形》单元教学的重点是三角形的认识。
第一学段学生已经直观认识了三角形和其他一些简单的平面图形；在四年级上册相对集中的认识了角，认识了平行与相交等知识，这些知识都是本单元学习的基础。
通过这部分知识的学习，既能为认识平行四边形和梯形提供学习经验，又能为五年级进一步学习三角形的面积打好基础，所以本单元教学起着承上启下的重要作用。
因此，本学期教材“空间与图形”的知识（包括对称、平移和旋转）共安排了11课时，其中《三角形》单元就安排了5课时，《三角形》是课时最多，也是内容最丰富、知识点最复杂的单元。
针对以上情况我特别增加了三角形复习与整理这一课时。
教学重点：三角形各部分知识点的梳理。
学情分析：学生已经学习了除圆以外所有平面图形的基本知识，已经具有初步的整理和分析的能力，大多数学生还会将所学知识进行简单的整理，学习积极性很高。
教学目标:1.使学生加深对三角形图形基本特征的认识,进一步理解三角形不同的分类方法及各种三角形之间的关系，完善三角形的认知结构．2.通过复习，使学生进一步体会三角形的内角和与三角形的稳定性与现实生活的密切联系，积累有关平面图形学习的经验和方法，发展简单的推理能力，增强空间观念．3.通过复习，使学生进一步感受空间与图形领域学习内容的趣味性和挑战性，产生继续探索学习的积极心向，增强学好数学的信心．教学准备：课件及三角形图形教具教学过程：一、回顾与交流教师出示一三角形教具，问这是什么图形？（学生回答是三角形）本学期我们学习了有关三角形的哪些知识？(生回答，课件意义出示)（设计意图：通过学生之间交流本单元学习的知识，这样做能够帮助学生将知识条理化、系统化，形成良好的知识网络，这是复习课最明显的特征，也是最重要的一点。
）引出并出示课题：今天我们就一起将三角形这部分知识来进行整理与复习。
二、整理与应用1．复习三角形的基本概念。
三角形单元整理与复习.
回忆本单元学习了哪些知识？
1、三角形的认识 (1)三角形的定义、组成 (2)三角形特性 (3)三角形的底和高 2、三角形三条边的大小关系 3、三角形的分类 4、三角形的内角和
什么叫三角形？
由三条线段围成的图形叫做三角形。 （每相邻两条线段的端点相连）
A
B
C
三角形有（ 3 ）条边，（ 3 ）个角，（ 3 ） 个顶点。三角形具有（稳定性边）三角形。 等边三角形的三条边 （ 相等 ），三个底角 （ 相等），都是（ 60 ） 度。 等边三角形是特殊的等腰三角形。
三角形内角和 180°
3
1
2
平角：1800
A
底
高 高 高 底
B
底
C
底 高
高
底
底
高
底 高
高 ∟ 底
底 高
任意三条线段都能围成一个三角形吗？
三角形任意两边之和要大于第三边。 简便判断方法：两条短边之和大于 最长边 。
有3根小棒，它们的 长度如下，能围成一个三角形吗？
1、3cm ，8cm， 5cm （×） 3 + 5=8 2、3cm ，1cm， 7cm （×） 3 + 1<7 3、4cm ，6cm， 3cm （√ ）
什么叫做高和底?
从三角形的（一个顶点 ）到它的对边 做一条（ 垂线 ），（ 顶点）和（ 垂足 ）之 间的线段叫三角形的高，这条对边叫做三 角形的（ 底）。 每个三角形都有（ 三 ）组底和高，每 一组的底和高都相互（垂直）。
小明画了三角形的一条高，他画的对吗？
顶点 高
×
一个三角形最多可以画几条高？
4 + 3>6
挑战自我
三角形整理法与复习资料
三角形整理法与复习资料三角形整理法与复习资料在学习的过程中，复习是一个至关重要的环节。
而如何高效地进行复习，是每个学生都需要掌握的技巧。
在这个过程中，三角形整理法是一种被广泛应用的方法，它可以帮助学生整理和梳理复习资料，提高学习效率。
三角形整理法的基本原理是将复习内容按照重要性和关联性进行分类整理，形成一个有机的知识结构。
具体而言，可以将复习内容分为三个层次：基础知识、进阶知识和拓展知识。
这三个层次可以用一个三角形来表示，每个层次的知识都有其相应的重要性和关联性。
通过将复习内容按照三角形整理法进行分类，可以使学生更好地理解和掌握知识。
首先是基础知识层次。
基础知识是学习的基石，是后续学习的基础。
在进行复习时，学生应该将基础知识进行梳理和整理，确保自己对这些知识点的掌握程度。
可以通过复习课本、笔记等方式来巩固基础知识。
同时，还可以将基础知识与实际应用相结合，通过解决一些实际问题来加深对基础知识的理解。
其次是进阶知识层次。
进阶知识是在基础知识的基础上进行拓展和延伸的内容。
在进行复习时，学生应该将进阶知识与基础知识进行联系，形成一个完整的知识体系。
可以通过查阅相关资料、参加讨论等方式来加深对进阶知识的理解。
同时，还可以通过解决一些较难的问题来提高对进阶知识的掌握程度。
最后是拓展知识层次。
拓展知识是对进阶知识的进一步扩展和延伸。
在进行复习时，学生可以将拓展知识与进阶知识进行联系，形成一个更为全面的知识结构。
可以通过阅读相关书籍、参加专题讲座等方式来拓展知识。
同时，还可以通过解决一些复杂的问题来提高对拓展知识的理解和掌握程度。
除了三角形整理法，复习资料的选择也是十分重要的。
在进行复习时，学生应该选择适合自己的资料进行学习。
可以通过查阅教材、参考书、学习网站等方式来获取复习资料。
同时，还可以参加一些复习班、辅导班等进行系统性的学习。
在选择复习资料时，学生应该根据自己的学习需求和实际情况进行选择，避免盲目跟风和浪费时间。
人教版数学四年级下册《三角形的整理与复习》教案
人教版数学四年级下册《三角形的整理与复习》教案一. 教材分析人教版数学四年级下册《三角形的整理与复习》这一课的主要内容是让学生复习和掌握三角形的性质和分类。
通过这一课的学习，学生能够进一步理解三角形的特性，提高解决实际问题的能力。
本节课的内容包括三角形的定义、三角形的性质、三角形的分类以及三角形的应用等。
二. 学情分析四年级的学生已经学过三角形的基本知识，对三角形的定义和性质有一定的了解。
但是，对于三角形分类的掌握程度参差不齐，部分学生对于直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的区分还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行讲解，使学生能够更好地理解和掌握三角形的相关知识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的定义、性质和分类，能够运用三角形的相关知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：使学生掌握三角形的定义、性质和分类。
2.教学难点：三角形分类的判断和应用。
五. 教学方法采用情境教学法、问题教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件等。
2.学具：学生自带三角形物品、练习本等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示各种三角形，引导学生观察和思考：这些三角形有什么共同的特点？从而引出三角形的定义和性质。
2.呈现（10分钟）讲解三角形的定义、性质和分类，让学生通过观察、操作、思考，进一步理解和掌握三角形的相关知识。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据三角形的性质和分类，对给定的三角形进行判断。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师及时批改，指出错误，帮助学生巩固所学知识。
四年级下册数学教案及反思-4.3(三角形)整理与复习︳西师大版
四年级下册数学教案及反思4.3 （三角形）整理与复习︳西师大版教案：四年级下册数学4.3 （三角形）整理与复习︳西师大版一、教学内容今天我们要复习的是四年级下册的三角形相关知识。
我们将回顾三角形的定义、特性以及分类。
重点复习等腰三角形和等边三角形的性质。
二、教学目标通过复习，使学生能够巩固三角形的基础知识，提高解决问题的能力，培养学生的思维灵活性。
三、教学难点与重点重点：三角形的基本概念和性质。
难点：等腰三角形和等边三角形的判定和应用。
四、教具与学具准备我已经准备好了三角形模型、图片和练习题，以便在课堂上进行直观演示和练习。
五、教学过程1. 引入：我将以一个实际问题引入，例如：“如果在森林里迷路了，没有地图，没有手机信号，你该如何确定方向？”让学生思考并分享他们的想法。
3. 重点复习：我将重点讲解等腰三角形和等边三角形的性质，通过模型和图片进行直观演示，让学生理解并能够应用这些性质。
4. 练习与应用：我会给学生发放练习题，让他们独立完成，然后我会选取一些学生的作业进行讲解和讨论，帮助他们巩固知识。
六、板书设计板书设计将包括三角形的定义、特性、分类，以及等腰三角形和等边三角形的性质。
七、作业设计1. 请画出一个等边三角形，并标出其各边和各角的度数。
答案：等边三角形，各边长度相等，每个角为60度。
2. 已知一个三角形的两边分别为5cm和8cm，请问第三边的取值范围是多少？答案：第三边的取值范围为3cm < 第三边 < 13cm。
八、课后反思及拓展延伸通过这次复习，我发现部分学生在理解和应用三角形性质方面还存在困难，需要在今后的教学中加强引导和练习。
同时，我也可以拓展延伸，介绍一些关于三角形的历史和应用，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析一、引入环节的设计引入环节的设计是激发学生兴趣和引起学生思考的重要手段。
在三角形复习课中，我选择了一个实际问题：“如果在森林里迷路了，没有地图，没有手机信号，你该如何确定方向？”这个问题与学生的生活经验相关，能够激发他们的思考。
四年级下册数学教案-7.6 三角形整理与复习 丨苏教版
四年级下册数学教案-7.6 三角形整理与复习丨苏教版一、教学目标1. 知识与技能：使学生对三角形的特性有更深入的理解，能正确、熟练地掌握三角形的分类方法，提高解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：通过观察、操作、比较、分析，培养学生运用三角形的特性解决实际问题的能力，提高学生归纳、概括的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养良好的学习习惯，增强合作意识，提高学生解决问题的自信心。
二、教学重点与难点1. 教学重点：使学生对三角形的特性有更深入的理解，能正确、熟练地掌握三角形的分类方法，提高解决实际问题的能力。
2. 教学难点：灵活运用三角形的特性解决实际问题，培养学生的创新思维。
三、教学过程1. 导入新课（1）引导学生回顾三角形的特性，如稳定性、三条边的关系等。
（2）提出问题：在实际生活中，我们常常遇到三角形，那么如何对三角形进行分类呢？2. 探究新知（1）学生自主探究三角形的分类方法，并举例说明。
（2）引导学生观察不同类型的三角形，找出它们的共同点和不同点。
（3）教师讲解三角形的分类方法，如按边长分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；按角度分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等。
（4）学生尝试对三角形进行分类，并讨论分类的原因。
3. 实践应用（1）学生分组讨论，列举生活中常见的三角形，并对其进行分类。
（2）教师出示一些实际问题，引导学生运用三角形的特性解决问题，如计算三角形的周长、面积等。
（3）学生尝试独立解决实际问题，教师给予指导和评价。
4. 总结提升（1）引导学生总结本节课所学内容，强化三角形的特性和分类方法。
（2）教师提出一些拓展性问题，引导学生深入思考，如探讨四边形的特性等。
四、作业布置1. 请学生列举生活中的三角形，并对其进行分类。
2. 请学生完成课后练习题，巩固三角形的分类方法和特性。
3. 请学生预习下一节课内容，为后续学习做好准备。
五、板书设计1. 三角形的特性2. 三角形的分类方法3. 实际问题解决六、课后反思本节课通过引导学生回顾、探究、实践，使学生对三角形的特性和分类方法有了更深入的理解。
人教版八年级上册第十一章 三角形知识点复习及习题练习
第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。
2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。
边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。
夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。
练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。
（2）写出△ABD的三个内角。
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。
第五单元《三角形》整理与复习-新人教版数学四年级下册精选全文
钝角三角形
Hale Waihona Puke 识按边分类：等腰三角形 等边三角形
识
三角形的内角和
1.三角形的内角和
三角形的内角和是3个内角的度数之和，为180°。
2.多边形的内角和
多边形的内角和=（边数-2）×180°
型
1.三角形的特性
顶A点
边角 顶点B 角 边
由3条线段围成的图形（每相邻两条
每线个段三的角端形点有相多连）叫做三角形。
B．等边三角形
C．有两个锐角的三角形
(3)有长7 cm、11 cm的两根小棒，要想围成一个三角形，
第三根小棒的长可能是( C )cm。
A．4
B．18
C．10
固
(4)等边三角形中有( C )个角相等。
A．1
B．2
C．3
D．无法确定
(5)三条边的长度都是5 cm的三角形是( A )。
A．锐角三角形
B．直角三角形
于90°。
(√)
(5)三角形越大，它的内角和越大。 ( × )
型
（5）．算一算，判一判。
①∠1＝50°，∠2＝35°，∠3＝( 95° )。 这是一个( 钝角 )三角形。
②∠1＝42°，∠2＝48°，∠3＝( 90° )。 这是一个( 直角 )三角形。
③ ∠1是直角，∠2＝33°，∠3＝( 57° )。
想一想吧！！
型 【对应训练】
(3)从三角形的一个( 顶点)到它的对边作一条( 垂线)， ( 顶点 )和( 垂足 )之间的线段叫做三角形的高，这条对边
叫做三角形的( 底 )。 (4)用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点，则三
角形可表示成( 三角形ABC )。
《三角形的复习与整理》(教案)四年级下册数学人教版
教案：《三角形的复习与整理》一、教学目标1. 让学生理解和掌握三角形的特性，能够运用三角形的特性解决实际问题。
2. 培养学生的观察能力、操作能力和思维能力。
3. 培养学生合作交流的学习习惯，提高学生解决问题的能力。
二、教学内容1. 三角形的特性2. 三角形的分类3. 三角形的内角和4. 三角形的稳定性三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形的特性、分类和内角和。
2. 教学难点：三角形的内角和的理解和应用。
四、教学过程1. 导入新课- 利用多媒体展示生活中的三角形实物，引导学生观察并说出三角形的特性。
- 提问：你们知道三角形有哪些特性吗？让学生举手发言，教师总结。
2. 讲授新课- 讲解三角形的特性，如稳定性、内角和为180度等。
- 讲解三角形的分类，如按边分和按角分。
- 讲解三角形的内角和，通过实际操作验证三角形的内角和为180度。
3. 实践操作- 让学生分组合作，利用三角板拼出不同类型的三角形，并观察其特性。
- 让学生测量三角形的内角和，验证三角形的内角和为180度。
4. 巩固练习- 出示一些关于三角形特性的练习题，让学生独立完成。
- 出示一些关于三角形分类和内角和的练习题，让学生独立完成。
5. 课堂小结- 让学生总结本节课所学的三角形知识，教师进行补充和总结。
6. 作业布置- 布置一些关于三角形特性的练习题，让学生回家完成。
- 布置一些关于三角形分类和内角和的练习题，让学生回家完成。
五、教学反思1. 教师要关注学生对三角形知识的理解和掌握情况，及时进行辅导和指导。
2. 教师要注重培养学生的观察能力、操作能力和思维能力，提高学生解决问题的能力。
3. 教师要关注学生的学习习惯，培养学生的合作交流能力。
六、教学评价1. 学生对三角形知识的理解和掌握情况。
2. 学生在实践操作中的表现，如观察能力、操作能力和思维能力。
3. 学生在合作交流中的表现，如参与度、互动和合作能力。
重点关注的细节：三角形的内角和的理解和应用详细补充和说明：三角形的内角和是三角形的一个重要性质，对于学生理解和掌握三角形知识具有重要意义。
三角形整理与复习教案
三角形的整理与复习张春复习内容：人教版四年级下册第五单元的内容复习目标：1、沟通有关三角形的知识，明晰各类三角形的概念、特征、特性，掌握画高技能，对各知识技能形成深层次的理解和牢固的掌握，逐步令知识系统化、结构化。
2、通过猜一猜和理一理等活动发展学生逻辑思维、思辨能力与动手实践能力。
3、体验数学的快乐，学会复习的方法。
复习重点：掌握各类三角形的特征及它们的联系与区别，掌握三角形内角和为180°和三角形任意两边之和大于第三边；能按要求画三角形的高。
复习难点：理解各类三角形的联系和区别以及三角形两边之和大于第三边。
教学过程：一、导入新课：1、师：同学们，老师的数学课本里藏着三根小棒，大家猜一猜这三根小棒能拼成什么图形？生1：三角形。
生2：不能判断，因为不知道小棒的长度。
师：课件出示三根小棒，现在能不能拼成三角形？生：能。
师：为什么？指名回答。
（三角形任意两边的和大于第三边）师：这就是三角形三边的关系。
（板书：三边的关系）2、揭示课题师：今天我们就对《三角形》这一单元进行整理与复习。
板书课题：《三角形》整理与复习。
二、梳理知识，沟通联系师：关于三角形你还学过了哪些知识？和你的同桌说一说。
（生讨论后）谁能简单说一说这一单元我们学过哪些知识，指名汇报。
（板书：特性、分类、内角和、图形拼组）师：刚才我们用藏在数学课本里的三根小棒拼了一个三角形，谁能告诉老师什么样的图形叫三角形？生：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫三角形。
（重点突出“围成”）师：这就是三角形的定义，谁能说一说三角形各部分的名称（三角形：3条边、3个顶点、3个角）。
（板书：定义和各部分名称）师：在实际生活中我们很多地方都设计成三角形，像这个小木屋的屋顶，为什么要把它设计成三角形呢？出示课件生：三角形具有稳定性。
（板书：稳定性）怎样测量三角形屋顶的高度呢？（画三角形的高）师演示画高的过程。
三角形有几条高呢？生：3条。
（板书：底和高各3条）说一说：画高时需要注意什么？（用虚线画顶点到底边的垂线段、写高和底并标直角符号）。
中考复习三角形的基本概念与性质
中考复习三角形的基本概念与性质三角形是初中数学中的重要概念，它涉及到边、角、面积等基本要素。
掌握三角形的基本概念与性质对于中考数学的学习至关重要。
本文将从三角形的定义、分类以及常用的性质等方面进行讲解，帮助同学们在中考复习中更好地理解和掌握三角形。
一、三角形的定义与分类1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的多边形，它的特点是有三个顶点和三条边。
三角形的三个顶点可以不在同一条直线上，但是三条边必须相互连接才能构成三角形。
2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，三角形可分为以下几类：(1) 等边三角形：三条边的长度相等；(2) 等腰三角形：两条边的长度相等；(3) 直角三角形：有一个角为直角（90度）；(4) 钝角三角形：有一个角大于90度；(5) 锐角三角形：三个角都小于90度。
二、三角形的性质1. 三角形内角和性质对于任意一个三角形，其内角和恒为180度。
即三个角的度数之和等于180度。
2. 三边关系性质(1) 三角形两边之和大于第三边：若三边长分别为a、b、c，则满足a +b > c、b +c > a、a + c > b。
只有满足这个条件，这三条边才能构成一个三角形。
(2) 两边之差小于第三边：若三边长分别为a、b、c，则满足|a - b| <c、|a - c| < b、|b - c| < a。
3. 等腰三角形的性质(1) 等腰三角形的底角（两边相等的角）相等；(2) 等腰三角形的高线（从底边的中点垂直于顶点的线段）相等。
4. 直角三角形的性质(1) 直角三角形的斜边是最长的边；(2) 直角三角形的两个锐角互余，也就是说，两个锐角之和等于90度。
5. 等边三角形的性质(1) 等边三角形的三个内角都等于60度；(2) 等边三角形的高线、中线、角平分线以及垂心、重心、外心、内心都重合于一个点。
6. 三角形的面积公式三角形的面积公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习直角三角形是指角度为90度的三角形。
在中考中，解直角三角形是一个重要的考点，需要掌握的知识点包括勾股定理、三角函数的定义和性质以及相关应用。
以下是解直角三角形的知识点整理和复习材料。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形中最基础的定理，也是解题的基础。
勾股定理的表达式为：a²+b²=c²其中，a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
二、三角函数的定义和性质1.正弦函数正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边sinA的性质：（1）sinA在0°~90°区间内递增；（2）sinA在90°~180°区间内递减；（3）sinA在对称轴x=90°处对称。
2.余弦函数余弦函数的定义为：cosA = 邻边/斜边cosA的性质：（1）cosA在0°~90°区间内递减；（2）cosA在90°~180°区间内递增；（3）cosA在对称轴x=90°处对称。
3.正切函数正切函数的定义为：tanA = 对边/邻边tanA的性质：（1）tanA在0°~90°区间内递增；（2）tanA在90°~180°区间内递减；（3）tanA在对称轴x=90°处对称。
4.三角函数的相互关系正弦函数与余弦函数、正切函数的关系：（1）sinA = cos(90° - A)（2）cosA = sin(90° - A)（3）tanA = 1/cotA三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√32.45°角的三角函数值sin45° = cos45° = 1/√2, tan45° = 13.60°角的三角函数值sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √3四、应用题1.判断直角三角形当三条边满足勾股定理时，即a²+b²=c²，可以判断为直角三角形。
解直角三角形的整理和复习
学习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。
1．解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中， 除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角)．
2、解直角三角形的依据
三边之间的关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）；
D.16 5
3、如图，Rt△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，
若 BD∶CD＝3∶2，则 tan∠ B＝( D )
3
2
6
6
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
4、(2014·安顺)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
E 为线段 AB 上一点且 AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC 于 F，连接 FB，
B．cot∠AED D．cos∠AED
．
4.如图,某地下车库的入口处有斜坡AB, 其坡度
i=1:1.5, 则AB= 13 m.
5. 计算：
（2012年南宁市） (1).2 sin
60°
3 tan
30°
1 3
0
(1)2009
（2011年青海） 12 4sin 600 (3 π）0 ( 1)1 3
大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，
求飞机的高度PO .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
3、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，小亮 乘坐的一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏 西60˚，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚，货 轮继续向西航行，有无触礁的危险？
A
《三角形整理和复习》教案
a.三角形中位线定理的应用：理解并掌握三角形中位线定理，能解决与之相关的复杂问题。
-难点解释：中位线定理涉及四边形及平行线的性质，需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力。
b.直角三角形的性质与判定：理解直角三角形的性质，尤其是勾股定理的应用，以及如何判定一个三角形为直角三角形。
-难点解释：勾股定理的逆向应用，以及在实际问题中判定直角三角形的条件。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形的基本概念、重要性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在新课讲授环节，我采用了理论介绍和案例分析相结合的方式，旨在让学生们对三角形的知识点有更深刻的理解。从学生的反馈来看，这种方法取得了较好的效果。但在讲解重点难点时，我发现有些学生仍然存在理解上的困难。因此，我决定在今后的教学中，针对这些难点进行更加细致的讲解和更多的实例演示。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作，不仅巩固了他们对三角形知识的掌握，还培养了他们的团队协作能力和动手操作能力。通过这一环节，我发现学生们在解决实际问题时能够更加灵活地运用所学知识。
学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，让学生们自主发现问题、分析问题和解决问题。这种教学方式使得学生们在讨论中碰撞出思维的火花，激发了他们的创新意识。但同时，我也发现有些学生在讨论中较为沉默，可能需要我进一步关注和引导。
教学反思：
1.针对学生们在三角形中位线定理和面积计算方法上的困难，我将在接下来的教学中增加相关例题和练习，帮助他们突破这个难点。
整理中国近代史思维导图_《三角形》整理与复习
中国近JUNE 2021代史思维导图整理人尼克知识改变命运《三角形》整理与复习卢昕1.游戏导入教学目标：1.引导学生对有关三角形知识进行全面系统有序的梳理，进一步加深理解从而牢固掌握，为进一步学习三角形的面积知识奠定基础。
2.进一步体会知识的内在联系，体会回顾和整理所学知识的必要性及重要性。
积累回顾与整理知识的经验与方法，养成自觉整理所学知识的习惯。
3.在应用所学知识和方法解决实际问题的过程中进一步感受数学的应用价值，从而在复习过程中获得积极的情感体验，增强学好数学的自信心。
教学重难点：教学重点：对三角形的知识进行复习，梳理教学难点：帮助学生加深理解三角形内角和是180°，以及三角形高的画法教学过程：1、钝角三角形师：同学们，喜欢玩游戏吗？今天卢老师给大家带来一个好玩的游戏。
猜一猜！挡板下藏了一个什么三角形？现在卢老师只露出一个角，你能猜的出来吗？谁知道？（生1，生2，生3）为什么你们都猜“钝角三角形”呢？（生说原因）是不是这样呢？我们来看一看【挪开挡板】恭喜你们！答对了！【电脑鼓掌】2、锐角三角形师：太厉害了，还想猜吗？请看！【课件】这又是什么三角形?谁知道？（生：不能确定）哦？那卢老师再给你们看一个角，现在能猜出来吗？（生：还是不确定）好吧！那卢老师最后给你们一个信息【课件出示度数】现在能猜出了吗？你是怎么知道的？3、引题师：看来同学们对三角形这一块的知识掌握的还不错。
其实，关于三角形的知识还有很多，这节课就让我们把《三角形》这个单元进行整理和复习。
【贴课题】二、知识梳理（20分钟）1.罗列知识点师：回忆一下，我们学过哪些和三角形有关的知识？（什么是三角形，三角形的组成，三角形的特性，三角形的分类，三角形三边关系，三角形内角和）师：真棒！大家你一言我一语，把“三角形”的知识都整理到这幅思维导图上了。
2.评测报告师：这学期，我们迎来了一位新朋友——智慧课堂。
这位新朋友可细心了，大家平时学习的情况，都被它悄悄记录下来了。
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教学目标
⑴ 掌握三角形边、 ⑴ 先复习单个知识点， 培养学生独立
角关系及三角形
再分析知识间的联系，思考,合作探
中三条重要线段
培养学生将知识系统 究的个性品质,
的性质。
化的能力。
⑵ 通过典型题的练 ⑵ 学生通过展现解题
发展学生的审
习，找到解决问
思维的全过程，充 美情感和勇于
题的办法，并加
分挖掘学生的表达 创新的科学精
五、 布置作业
复习题11: 必做： 复习巩固5 综合运用9,10 选做 :拓广探索11
设计说明
设计说明
板书设计
例1：证明略 解法一
C D
A
E
B
解法二
C D
B A
解法三
C D
A
三角形的复习
例2：证明略
A
D
B
B
C
C N
A B
谢 谢！
2.利用三角形两边之和大于第三边，两边之 差小于第三边求出第三边的范围；
3.已知等腰三角形的两边求周长，应该对三 角形的腰长进行分类，但应对分类情况进行 验证，这是解题的关键。
1
三、能力提升
• 例1.某车间加工的零件如图所示,要求 ∠A=90°,∠B=30°，∠C=25°，质 检人员只量得∠BDC=142°，就断定 这个零件不合格，请说明理由。
人教版八年级上册第十一章
《三角形》的整理与复习（1）
行唐县第二中学 刘华
一
教材分析
二
学情分析
三
教学目标
四
教学重难点
五
教学过程
2
教材分析
三角形是最常见的几何图形之一，是最简单的多 边形。本章内容是中考考察的热点之一，主要考察三 角形的三边关系、三角形的内角和定理、推论及三角 形中的重要线段。通过复习使学生经历具体情境，更 进一步加深对知识的理解与应用。同时也为以后学习 几何图形打下好的基础。因此，本节起着几何知识的 承上启下的作用。
教学过程
知识整合 诊断解疑 能力提升 课堂总结 布置作业
一、 知识整合
1.回顾复习本章知识点。 2.小组合作总结本章的知识结构。
二、 诊断解疑
1.小组合作订正学案中的试题部分。 2.归纳出组内存在的问题。 3.以题带点，优化解题，形成规律。
规律方法：
1.判断三条线段能否组成三角形只需验证较 短两条线段之和是否大于第三边；
• 学生独立完成并写出解题过程。
C
D
A
B
例2.已知 如图 在△ABC中，角平分线BD和CD交于
点D。
（1）当∠A=40°时，求∠BDC的度数，并说明理由。
（2）当∠A=60°时，求∠BDC的度数（直接写出结
果）
（3）当∠A为任意角时，
A
求∠BDC与∠A的关系，
并说明理由。
D
通过练习，培养学生分析、比较、挖掘题目 条件的能力，让学生体会由B 特殊到一C般到特殊 的数学思想，并能应用这样的数学思想辅助解
拓展运用：已知△ABC，外角平分线BN和 CN交于N点，求∠BNC与∠A的关系。
N
四、 课堂反思
（1）通过这节课的复习，大家有什么收获和 感受？
学到的知识、掌握的方法、体会的数学思想 （2）学生总结，形成文字。 引导学生对知识、方法、思想、思维的收获进 行总结，并鼓励学生，总结情感态度价值观的收 获，培养学生战胜困难的决心和信心。
以比较、择优，
能力、归纳整理能 神.
掌握解决问题的
力以及知识的迁移
一情般感规目律。标 能力目标 知识目标
能力。
教学重难点
重点
掌握三角形的概念 和边角关系，以及 “三线”的概念.
难点
将知识系统化， 探寻解决问题的 思路和方法，促 进学生知识和技 能的形成。
教法学法
自我诊断、合作探究 讲练结合、教师引领
学情分析
知识方面 小学已经对三角形有了初步的
感性认识，积累了一定的经验，七年级对三角 形的学习是对小学学习的再延伸，在这节课之 前学生已经掌握了关于三角形的边，角以及比较完整的说理过程。
能力方面 八年级学生具有学习热情高，但
观察、分析、认知问题能力较弱的特点。