二次函数第1、2课时
确定二次函数的表达式(第1课时)课件
表达式 （第1课时）
学习目标
1.掌握由两点确定二次函数的表达式。
2.掌握用顶点法确定二次函数表达式。
3.掌握用交点法确定二次函数表达式。
复习回顾
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
图象特征
二次函数
y=a(x-h)2+k
开口方向
a>0
a<0
向上
向下
对称轴
顶点
直线x=h
(h,k)
1
4
1
，
4
∴这条抛物线的表达式为：y= (x-4)2-1.
归纳总结
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
自主合作，探究新知
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x
二次函数教案 (第一课时)
二次函数教案 (第一课时)二次函数的教学设计一、教学内容二次函数（新人教版九年级下册第26.1.1节）二、教学目标1.知识技能通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。
2.教学思考学生能对具体情境中的数学息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。
3.解决问题体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。
4.情感态度通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
三、教学重点与难点1.教学重点认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。
2.教学困难根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。
第四，教学过程的安排教学活动流程活动1：温故知新，揭示课题活动内容和目的由回顾所学过的函数入手，引入函数大家庭中还会认识哪函数呢？然后从打篮球的例子引入二次函数。
学生能独立运用函数知识解决变量之间的关系。
2.活动：合作探究，获取新知识，制作探究环节，与学生互动，自主探索新知识，从而通过观察和归纳。
得到二次函数的解析式，获取新知。
本组题目是新知识的直接应用，目的是让学生能够区分。
活动3：小试身手，循序渐进认二次函数，循序渐进这一环节主要帮助学生处理解决问题，加深对二次函数的理解。
总结内容、应用、数学思维方法、获取知识的途径等。
活动四：回顾课堂，总结巩固方面，既总结知识，又提炼方法，让研究研究知识和运用知识都有很大的提升，方法就是学生讲收获。
活动5：课堂检测，测评反馈以测试的形式检测本节课的内容，检查学生的掌握程度，同时加深学生对知识的理解。
第五，教学过程的设计问题与情景【活动１】１.知识回顾：以问答式引起学生对知识的回忆。
２.揭示课题：以篮球为例。
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 二次函数与一元二次方程之间的关系
22.2二次函数与一元二次方程
第1课时二次函数与一元二 次方程之间的关系
1 课堂讲解 二次函数
一元二次方程 实数根的个数
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程， 认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节 我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识 二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面 的问题．
3 A．x1＜－1＜2＜x2B．－1＜x1＜2＜x2 4 C．－1＜x1＜x2＜2D．x1＜－1＜x2＜2
知2－导
知识点 2 二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系
二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一 元 二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
由“数” 到“形”
由“形” 到“数”
图象
与x轴交点情况
完成教材中习题
解：无实根
知2－导
二次函数
与x轴交点坐 标
相应方程的根
y=x2+x-2 (-2,0),(3,0)
x1=x2=3
y=x2-x+1 无交点 无实根
归纳
知2－讲
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知, (1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公 共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时, 函数的值为0,因此x=x0就是方程ax2+bx+ c=0的一个根.
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)
y＝ 3x－3， 析式为 y＝ 3 x－3.联立直线 DC 与抛物线的解析式可得y＝13x2－3， 解得
x1＝0， y1＝－3，
yx22＝＝63，3，
所以 M1(3
3 ，6)；
②如图，若点 M2 在点 B 下方，设 M2C 交 x 轴于点 E，易得∠OEC＝45 °－15°＝30°，易得 OE＝3 3 .
15．(10分)(云南中考)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称 轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值； (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P 的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0， 解得k1＝－3，k2＝2，又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点， ∴3k＜0，∴k＝－3 (2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或 －2，当x＝2时，y＝－5，当x＝－2时，y＝－5.∴P(2，－5)或P(－2，－5)
(1)求m的值； (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，可得m＝－3
(2)将 y＝0 代入 y＝x－3 得 x＝3，所以点 B 的坐标为(3，0).
将(0，－3)，(3，0)代入
人教版
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．(3分)抛物线y＝x2＋1的图象大致是( C )
二次函数图像与性质(第1课时)
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
－4
你画出的图象与图中相同吗？
－2 －2 －4
请找出相同点与不同点：
－6
－8
y x2
4
增大
2
不同点：a 值越大，抛物线
的开口越小．
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数
y
x2,
y
1 2
x2,
y
2x2
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
2020学年湘教版数学九年级下册第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质教案湘教版
第1课时二次函数2(0)=>的图象与性质y ax a教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)=>的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．y ax a2.体会数形结合的转化，能用2(0)=>的图象和性质解决简单的实际问题．y ax a【过程与方法】经历探索二次函数2(0)=>图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经y ax a验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数2(0)=>图象和性质的真正理y ax a解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性．【教学重点】1.会画2(0)=>的图象．y ax a2.理解，掌握图象的性质．【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程．教学过程一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数的图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线．二、思考探究，获取新知探究1画二次函数2(0)=>的图象．y ax a【教学说明】①要求同学们动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学．②从列表和描点中，体会图象关于y 轴对称的特征． ③强调画抛物线的三个误区．误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势． 如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法．误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形． 图(2)就是漏掉点(0，0)的y=x 2的图象的错误画法．误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止．如图(3)，就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x 2图象的错误画法． 探究2 2(0)y ax a =>图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2， 212y x =，y=2x 2的图象．【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性．动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数2(0)y ax a =>的图象和性质．【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调．2(0)y ax a =>图象的性质1.图象开口向上．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降．三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数．(1)求k 的值．(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围．解：(1)由已知得22042k k k +≠⎧⎨+-=⎩，解得k=2或k=-3．所以当k=2或k=-3时，函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2＞0．由（1）知k=2，最低点是（0，0)，当x≥0时，y 随x 的增大而增大． 四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A ．y=x 2B ．y=x-1C ．34y x =D ．1y x=2.已知点（-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ，当x≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ．4.如图，抛物线y=ax 2上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5，0），D （3，0）构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0，6），求常数a 的值．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．A 3．上，(0，0)，y 轴，43，±3，减小，增大 4．解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x 轴，且抛物线y=ax 2上的点B ，C 关于y 轴对称，又∵BC 与y 轴交于点E （0，6），∴B 点为（-4，6），C 点为（4，6），将（4，6）代入y=ax 2得：a=38．五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数2(0)y ax a =>图象的画法及其性质．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流． 课后作业教材练习第1、2题． 教学反思本节课是从学生画y=x 2的图象，从而掌握二次函数2(0)y ax a =>图象的画法，再由图象观察、探究二次函数2(0)y ax a =>的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力．第2课时 二次函数2(0)y ax a =<的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)y ax a =<的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．2.体会数形结合的转化，能用2(0)y ax a =<的图象与性质解决简单的实际问题． 【过程与方法】经历探索二次函数2(0)y ax a =<图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯． 【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax 2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性． 【教学重点】①会画2(0)y ax a =<的图象；②理解、掌握图象的性质． 【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会． 教学过程一、情境导入，初步认识 1.在坐标系中画出y=12x 2的图象，结合y=12x 2的图象，谈谈二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=12-x 2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1 画2(0)y ax a =<的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=12-x 2的图象．【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学．问：从所画出的图象进行观察，y=12x 2与y=12-x 2有何关系？ 归纳：y=12x 2与y=12-x 2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y 轴对称．(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2 二次函数2(0)y ax a =<性质问：你能结合y=12-x 2的图象，归纳出2(0)y ax a =<图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y 随x 的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调2(0)y ax a =<图象的性质．1.开口向下．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最高点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，简称右降，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，简称左升．探究3 二次函数2(0)y ax a =≠的图象及性质 学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是 ，顶点是 ，当a ＞0时抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ；当a ＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 ．答案：y 轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小 三、典例精析，掌握新知例 1 填空：①函数2(2)y x =-的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是，开口方向是．②函数y=x2，y=12x2和y=22x-的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：①抛物线，（0，0），y轴，向上；②根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=22x-．【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小．例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值．【分析】把点(1，-1)的坐标代入y=ax2，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值．解：∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x2．当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2．【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值．四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（）A．抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B．抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C．抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D．点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（）3.二次函数226(1)mm y m x +-=-，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m= ．4.已知点A （-1，y 1)，B(1，y 2)，C(a ，y 3)都在函数y=x 2的图象上，且a ＞1，则y 1，y 2，y 3中最大的是 ．5.已知函数y=ax 2经过点(1，2)．①求a 的值；②当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．B 3．2 4．y 3 5．①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评： （1）2(0)y ax a =<图象的性质；（2）y=ax 2(a≠0)关系式的确定方法． 课后作业教材练习第1～2题． 教学反思本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出2(0)y ax a =<的图象和性质，进而得出y=ax 2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯．第3课时 二次函数2()y a x h =-的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.能够画出2()y a x h =-的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响．2.能正确说出2()y a x h =-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h =-的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想． 【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性．2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识． 【教学重点】掌握2()y a x h =-的图象及性质． 【教学难点】理解2()y a x h =-与y=ax 2图象之间的位置关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响． 教学过程一、情境导入，初步认识 1.在同一坐标系中画出y=12x 2与y=12(x-1)2的图象，完成下表．2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x 2的图象有什么关系？ 3.对于二次函数12(x-1)2，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数2()y a x h =-的图象与性质并完成下表．三、典例精析，掌握新知例1 教材例3．【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”．例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象．例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合．①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且12-＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．解：①∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2．②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2＜0，∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又12-＜x1＜x2，∴y1＞y2．【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）A．-1 B．1 C．0 D．没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2；(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2．5.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的大致图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑．【答案】1．C 2．A 3．B 4．(1)左，1 (2)y=-2x25．解：(1)y=13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0．五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．课后作业教材练习第1、2题．教学反思通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax 2的图象左右平移得到的，初步认识到a ，h 对y=a(x-h)2位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h 决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想．第4课时 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画二次函数2()y a x h k =-+的图象．掌握2()y a x h k =-+的图象和性质．2.掌握2()y a x h k =-+与y=ax 2的图象的位置关系．3.理解2()y a x h k =-+，2()y a x h =-，2y ax k =+及2y ax =的图象之间的平移转化． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h k =-+的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力． 【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性．2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣． 【教学重点】二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质． 【教学难点】由二次函数2()y a x h k =-+的图象的轴对称性列表、描点、连线． 教学过程一、情境导入，初步认识 复习回顾：同学们回顾一下：① 2y ax =，2()y a x h =-，（a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y 随x 的增减性分别是什么？② 如何由2y ax = (a ≠0)的图象平移得到2()y a x h =-的图象？③猜想二次函数2()y a x h k =-+的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究1 2()y a x h k =-+的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：①y=12-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？③ 将抛物线y=12-x 2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=12-(x+1)2-1．2.同学们讨论回答：①一般地，当h ＞0，k ＞0时，把抛物线2y ax =向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得抛物线2()y a x h k =-+；平移的方向和距离由h ，k 的值来决定．②抛物线2()y a x h k =-+的开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？ 探究2 二次函数2()y a x h k =-+的应用【教学说明】二次函数2()y a x h k =-+的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a ＞0时，开口向 ，当a ＜0时，开口向 ．答案：抛物线，直线x=h ，(h ，k)，上，下 三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线2()y a x h k =-+，将它沿x 轴向右平移3个单位后，又沿y 轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=3-(x+1)2-4，求原抛物线的解析式．【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=3-，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式．解：抛物线y=3-(x+1)2-4的顶点坐标为（-1，-4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2)．故原抛物线的解析式为y=3-(x+4)2-2．【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a 值不变，平移时抓住关键点：顶点(2=x-1 0 1 2 3 …21(1)32y x =+--3 -2.5 -1 1.5 5…描点和连线：画出图像在对称轴右边的部分，利用对称性，画出图像在对称轴左边的部分，这样就得到了21(1)32y x =+-的图像，如上图。
二次函数(第一课时)
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c
不一定是，缺少a≠0的条 件.
② y=3-2x²
③y=x2
④ y= 1
x2
不是，右边是 分式.
解： 由题意得： m2 9 0
∴m≠±3
3.若函数y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
问题2:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m²) 与矩形一边长x(m)之间的关系是什么? s x(30 x)
x2 30x
问题3:某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增 长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y
y 2(1 x)2
以上三个关系式有什么共同特点? 请归纳出二次函数的概念
x2 30x
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
6.写出下列各函数关系，判断它们是什么类型的函
数，并求出自变量的取值范围.
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
cm）之间的函数关系； S 6a2(a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章二次函数 第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
问题1 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗
？答：对称轴是直线
2 x=
6，顶点坐标是
(6，3).
（1）a、b 同号；
（2）当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相
等；
（3）4a + b = 0；
–1 O
（4）当 y = -2 时，x 的值只能取 0. –2
其中正确的是 （2） .
x 3
x=1
4. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. （1）当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ （2）当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 13 = 2(x − 3)2 − 5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x =为 −5. （2）当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. （3）新抛物线的解析式为 y = 2(x − 5)2 − 3．
5 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
5 10 x
要点归纳 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成
y = a(x - h)2 + k 的形式，即
y ax2 bx c
a
2022春九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质第1课时二次函数y=ax2(a0)的
3 如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②y
＝23x2；③y＝43x2 的图象，则从里到外的二次函数的图
象对应的函数依次是( B )
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．②①③
【点拨】抛物线 y＝ax2 的开口大小与|a|有关，|a|越大， 开口越小， ∵3>43>23，∴抛物线 y＝23x2 的开口最大，抛物线 y＝3x2 的开口最小，故选 B.
(4)当x>0时，y随x的增大怎样变化？当x<0时呢？
当x>0时，y随x的增大而增大； 当x<0时，y随x的增大而减小．
9 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx在第一象限内交于点 A(2，4)． (1)求抛物线对应的函数表达式．
解：将A(2，4)的坐标代入y＝ax2 得4＝4a，∴a＝1. ∴抛物线对应的函数表达式为y ＝x2.
6 【2021·长春】如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4) 在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另
一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的
垂线交抛物线于E，F两点．当四边形CDFE为正方形 时，线段CD的长为_－__2_＋__2__5．
【点拨】把点 A(2，4)的坐标代入 y＝ax2，得 4＝4a， 解得 a＝1，∴y＝x2. 设点 C 的横坐标为 m，则 CD＝CE＝2m， ∴点 E 坐标为(m，4－2m)． ∵点 E 在抛物线 y＝x2 上，
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三 角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在)，使△ AOP 为等腰三角形． 由题意知 OA＝ 22＋42＝2 5.
当 OA＝OP 时，OP＝2 5，∴P(2 5，0)或 P(－2 5， 0)．当 OA＝AP 时，易知(x－2)2＋16＝20， ∴x＝0(舍去)或 x＝4.∴P(4，0)． 当 OP＝AP 时，易知 x2＝(x－2)2＋16， ∴x＝5.∴P(5，0)． 综上可知，当点 P 的坐标为(2 5，0)，(－2 5，0)，(4， 0)或(5，0)时，△AOP 为等腰三角形．
人教版九年级数学专题复习《二次函数》第1-2课时学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版九年级数学专题复习《二次函数》学习任务单及作业设计第一课时【学习目标】1.会根据问题情境确定二次函数的表达式，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴等.2.加深对二次函数的轴对称性和增减性的认识.3.体会数形结合思想，提高分析问题的能力.【学习准备】准备好铅笔、直尺等画图工具。
边观看边做记录。
【学习方式和环节】观看视频课学习，适时控制播放，按老师指令完成相应的课上练习，学习环节主要有：复习引入→知识梳理→例题讲解→跟踪练习→课堂小结。
【作业设计】1.已知二次函数的图象经过A（0，3），B（2，3）两点.请你写出一组满足条件的a，b的对应值：a=_______，b=__________.2. 已知某抛物线上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的求对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 x=1；③当 x＜1 时，函数值 y随 x 的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的结论有(填序号).3.已知抛物线（1）若将抛物线向左右移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，求平移后的抛物线的表达式；（2）若将抛物线绕原点 O 旋转180°，则旋转后的抛物线的表达式.4.抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，求t的值.【参考答案】1.答案不唯一，如 a=1，b=-2，由A（0，3），B（2，3）为对称点可求对称轴为 x=1，得 b=-2a.2.①③正确（0,1）和（3,1）为对称点，所以对称轴为 x=1.5，②错误，可求表达式，求出方程的根为，④错误.3.4.对称轴为 x=1，得交点为（-1,0）和（3,0），代入得t=-4.第二课时【学习目标】1.会用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建立知识之间的联系；2.会利用函数图象解决问题，进一步体会数形结合思想；3.通过二次函数与其他知识的综合，提高分析和解决问题的能力.【学习准备】准备好铅笔、直尺等画图工具。
边观看边做记录。
人教版九年级数学 上册22.1.1二次函数 课件
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与 它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
基础回顾
什
么叫函数?
目前，我们已经学习了哪种类型的函数？
(6) v=8πr²
）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1
解：∵ y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 =3x2-6x+4 ∴原函数是二次函数.
例1、下列函数中，哪些是二次函数？ (2) y=x+ _1_ x
解：原函数不是二次函数.
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的
棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有
一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为
y=6x2
这里x的取 值有什么 限制？
问题2
某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一 块矩形的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积 S最大，它的长应是多少米?
解：设长为x m， 则宽为（40-2x）÷2 m
由题意，得：S=x（20-x） 即s= -x2 + 20x
问题3
一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装 配玩具190个，但如果每增加一人，那么每人每 天可少装配10个。问增加多少人可使每天装配总 数最多？最多时是多少个？ 解：设增加x人，这时，装配工有（15+x）人， 每人每天只装配（190-10x）个，装配总数为 y课表示为：
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)
于点 C，则点 C(0，1)，在 Rt△AOC 中，OA＝OC＝1，∴∠CAO＝45°，在
Rt△AOM 中，OA＝OM＝1，∴∠MAO＝45°，∴∠BAM＝90°，∴△ABM
是直角三角形
15．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示的是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为 y＝－410 x2＋10，为保护廊桥的
16．如图，抛物线y＝－x2＋4交x轴于A，B两点，顶点是点C. (1)求△ABC的面积． (2)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°.若存在，请求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)S△ABC＝12 ×4×4＝8 (2)存在．设 Q(m，－m2＋4)，连接 OQ，易知 OQ＝12 AB＝2，∴m2 ＋(4－m2)2＝4，解得 m＝±2，m＝± 3 .但 m＝±2 时，点 Q 在 x 轴上，不 合题意，∴点 Q 坐标为( 3 ，1)或(－ 3 ，1)
A．a＋c B．a－c
C．－c D．c
11．若抛物线 y＝ax2＋c 与抛物线 y＝－4x2＋3 关于 x 轴对称，则 a＝ _4___，c＝_－__3_．
12．如图，两条抛物线 y1＝－12 x2，y2＝－12 x2－2 与分别经过点(－2， 0)，(2，0)且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为__8__．
___(_0_，__k_) __；当x＞0时，y随x的增大而__减__小___；当x＜0＝－12 x2－3 的顶点是_(_0_，__－__3_)，对称轴是___y_轴____．
1．抛物线y＝－x2＋1的图象大致是( D )
2．对于二次函数y＝2x2＋3，下列说法错误的是( D ) A．最小值是3 B．图象关于y轴对称 C．图象的形状与抛物线y＝2x2相同 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
初中数学教材解读人教九年级上册第二十二章二次函数2 二次函数与一元二次方程 两课时
二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验与方法.3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根.4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想.教学重难点理解一元二次方程与函数的关系.教学过程与方法1.自主阅读课本(10分钟)2.交流互动(10分钟)知识点一:二次函数与一元二次方程之间的关系知识点二:抛物线与x轴的交点个数同一元二次方程的根的情况之间的关系抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0知识点三:求方程的近似解3.课堂练习(11分钟)习题第2题(1)、(2).4.拓展性练习(11分钟)(1)已知二次函数y=-x2+4x+k的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=-1,x2=5 .(2)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为( C )D.以上都不对(3)下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列选项正确的是( C )xyA.1.6<x1< 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是( C )A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根5.小结升华(5分钟)学生小结,教师补充总结:(1)二次函数与一元二次方程的关系.(2)二次函数与一元二次方程根的情况的关系.(3)事物是普遍联系的.运用方程知识可以解决函数问题,同样运用函数知识又可以解决方程的根的相关问题.6.独立作业(10分钟)(1)必做题:①已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c的值是( A )②若一元二次方程x2-mx+n=0无实数根,则抛物线y=-x2+mx-n的图象位于( C )轴上方 B.第一、二、三象限轴下方 D.第二、三、四象限(2)备用题:已知二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,求△ABC的面积.解:S△ABC=.第2课时二次函数与不等关系教学目标1.经历探索二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,体会数形结合思想,培养观察能力.2.通过学习,感受学习数学知识之间联系与转化的无穷乐趣.教学重难点重点:根据函数图象观察方程的解和不等式的解集.难点:观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况.教学过程与方法1.出示例题供学生合作学习,教师进行矫正与强化(15分钟)【例】如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解是x>3或x<-1.2.学习独立完成如下习题(25分钟)(1)若二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围为( B )>-≥-且k≠0≥->-且k≠0(2)已知二次函数y=x2-2ax+(b+c)2,其中a、b、c是△ABC的边长,则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )A.无交点B.有一个交点C.有两个交点D.交点个数无法确定(3)若二次函数y=x2+mx+m-3的图象与x轴交于A、B两点,则A、B两点的距离的最小值是( C )D.无法确定(4)已知抛物线y=-3(x-1)(x+2),则当x ≤-2或x≥1 时,y≤0.(5)如图,请根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的图象信息回答:①不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为x<-2或x>1 .②方程ax2+bx+c=mx+n的解为 x1=1,x2=-2 .(6)若抛物线y=(m-1)x2+2mx+m+2的图象恒在x轴的上方,则m的取值范围是m>2 .(7)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,请根据图象信息回答问题:①写出方程ax2+bx+c=0的两根;②写出不等式ax2+bx+c>0的解集;③写出方程ax2+bx+c=的两根;④写出不等式ax2+bx+c<的解集;⑤若方程ax2+bx+c+1-k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:①0,4 ②x<0或x>4 ③5,-1 ④-1<x<5 ⑤k>-13.课堂小结(5分钟)本节课有哪些收获与困惑?。
人教版九年级数学上册教案 22.1.1 二次函数(第1课时)
22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．2．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想．【过程与方法】经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比法、合情推理、抽象概括等．【情感态度与价值观】通过对几个特殊的二次函数的讲解，体验数学中的探索精神，初步体会二次函数的数学模型．二、重难点目标【教学重点】二次函数的概念．【教学难点】能根据已知条件写出二次函数的解析式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．正比例的函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为__y＝ax ＋b__(a、b为常数，且a≠0)．2．二次函数的概念：一般地，形如__y＝ax2＋bx＋c__(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为__a、b、c__.3．下列函数中，是二次函数的有__①②③__.①y ＝(x －3)2－1；②y ＝1－2x 2；③y ＝13(x ＋2)(x －2)；④y ＝(x －1)2－x 2. 4．二次函数y ＝－x 2＋2x 中，二次项系数是__－1__，一次项系数是___2____，常数项是___0____.5．半径为R 的圆，半径增加x ，圆的面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为__y ＝πx 2＋2πRx (x ≥0)__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】已知关于x 的函数y ＝(m ＋1)xm 2－m 是二次函数， 求m 的值．【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的解析式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？【解答】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝2，m ＋1≠0， 解得m ＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)y ＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数的前提条件是a ≠0，且自变量x 的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．【例2】某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x 元(x >50)，每月销售这种篮球获利y 元，求y 与x 之间的函数关系式．【互动探索】(引发学生思考)解决实际应用问题的一般步骤是什么？本题中所隐含的等量关系是什么？【解答】根据题意，得每个篮球的利润为50＋x －40＝10＋x ；篮球的销售量为500－10x . 则y ＝(10＋x )(500－10x )＝－10x 2＋400x ＋5000.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的解析式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数解析式．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是__S ＝－2x 2＋10x __.(不写定义域)2．如果函数y ＝(k ＋1)x k 2＋1＋1是y 关于x 的二次函数，则k 的值为多少？解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋1≠0，k 2＋1＝2.解得k ＝1.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例3】已知关于x 的二次函数，当x ＝－1时，函数值为10，当x ＝1时，函数值为4，当x ＝2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式．【互动探索】(引发学生思考)我们学过了一次函数以及一次函数解析式的求法——待定系数法，求二次函数的解析式用这种方法同样适用吗？【解答】设所求的二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝10，a ＋b ＋c ＝4，4a ＋2b ＋c ＝7.解得a ＝2，b ＝－3，c ＝5.故所求二次函数为y ＝2x 2－3x ＋5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数的解析式与求一次函数的解析式的方法相同，都是待定系数法，二次函数有三个未知数，所以求二次函数的解析式需要三个方程．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评) 二次函数⎩⎪⎨⎪⎧ 定义：形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中隐含的条件：a ≠0请完成本课时对应练习！。
2.2 第1课时 二次函数y=±x2的图象与性质
6．抛物线y＝－x2，当－1≤x≤3时，y的取值范围是( B) A．－1≤y≤9 B．－9≤y≤0 C．－9≤y≤－1 D．－1≤y≤3
7．关于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象，下列叙述正确的有( A ) ①它们的图象都是抛物线； ②它们的图象的对称轴都是y轴； ③它们的图象都经过点(0，0)； ④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．已知函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5是关于x的二次函数．求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线具有最高点？求出这个最高点， 此时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ 解：(1)依题意，得m2＋4m＋5＝2且m＋2≠0，解得m＝－1或－3 (2)当m＝－1时，y＝x2，当m＝－3时，y＝－x2， ∴当m＝－3时，抛物线有最高点， 最高点的坐标为(0，0)，此时，当x＜0时，y随x的增大而增大
(2)当 S＝15 时，2a2＋3a＋1＝15，解得 a＝2 或 a＝－72. 又∵a＞0，∴a＝2 (3)当 S＝15 时，a＝2，则△ABC 的 BC 边上的高为 2a＋1＝2×2＋1＝5. ∵S△ACD＝7，∴S△ABD＝S△ABC－S△ACD＝15－7＝8，∴12×5×BD＝8，
∴BD＝156.由 a＝2 得点 B 的坐标为(3，－9)．
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第一章 二次函数（第一课时）1． 二次函数所描述的关系一、考点归纳考点一：二次函数的定义例1、下列函数中，哪些是二次函数？(1) 32283y x x =-+ (2) 21x y -= (3) 21y mx x =--（4）(1)y x x =- （5）2x y =例2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -= 例3、 若22()m my m m x+=-是关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A 、 m=-2B 、 m=1C 、 m=-2或m=1D 、 m=-1或m=2 考点二：列函数关系式例1、 已知正三角形的边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 之间的函数关系为 ；y x 的二次函数吗？（填“是”或“不是”）例2、 下列具有二次函数关系的是（ ）A 、正方形的周长y 与边长xB 、速度一定时，路程s 与时间tC 、三角形的高一定时，面积y 与底边长xD 、正方形的面积y 与边长x 例3、 如图7，一块草地是长80m 、宽60m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m 2、（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围、 (2)当x=2 m 时，求草坪的面积。
二、巩固练习一、选择填空1、下列函数中是二次函数的有（ ） ①1y x x=+； ②23(1)2y x =-+；③22(3)2y x x =+-； ④21y x x=+；⑤y=ax²+bx+c ； ⑥22(23)4y x x =+- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、下列函数中，二次函数是（ ）A ．y=6x 2＋1B ．y=6x ＋1C ．61y x =+ D ．261y x=+ 3、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A 、 218y x =B 、y =C 、y =21x; D 、y =a 2x 4、函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( )A 、a ≠0，b ≠0，c ≠0;B 、a <0，b ≠0，c ≠0;C 、a >0，b ≠0，c ≠0;D 、a ≠0 5、自由落体公式h =12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是( ) A 、正比例函数;B 、一次函数;C 、二次函数;D 、以上答案都不对6、 已知函数①54y x =-；②2263t x x =-；③32283y x x =-+；④2318y x =-； ⑤2312y x x=-+，其中二次函数的个数为 。
7、下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量)、8、设一圆的半径为r ，则圆的面积S =______，其中变量是_____、9、 已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 10、 函数y=（m ＋2）x＋2x －1是二次函数，则m= 。
11、当m = 时，232(1)mm y m x--=+是一个二次函数、12、有一边长为2cm 的正方形，若边长增加x cm ，则面积增加值y （cm 2）与边长的增加值x （cm ）之间的函数关系式是 ．13、已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式 。
14、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．＿＿＿＿＿＿ 二、解答题1、 已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1、22-m 3(1)若这个函数是一次函数，求m的值;(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？2、某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a（m），则正方体需要涂漆的表面积S（m2）如何表示？3、将一根长20cm的铁丝折成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为y cm2、（1）写出y与x之间的关系式，并指出它是一个什么函数？（2）当边长x=1，2时，矩形的面积分别是多少？4、如图，用长为18m的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；6、一种水果，其进货成本是每吨0、5万元，这种水果市场上的销售量y(t)是每吨的销售价x（万元）的一次函数，且当x=0、6是，y=2、4，当x=1时，y=2、（1）求销售量y(t)与每吨的销售价x（万元）之间的函数关系式；（2）若销售利润为w(万元)，请写出w与x之间的函数关系式，并求出销售价为每吨两万元时得销售利润。
2、结识抛物线（第二课时）一、考点归纳考点一：二次函数2y x =与2y x =-的图像特征与性质分别画出二次函数2y x =与2y x =-的图像（列表、描点、连线）例1、 函数y=x 2的顶点坐标为 ．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 、 例2、 已知1a <-，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y <<考点二：二次函数2y ax =的图像特征与性质例1、抛物线y=2x 2的顶点坐标是 ,对称轴 ；在 侧,y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小；当x= 时,函数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x 2在x 轴的 方(除顶点外)、 例2、抛物线223y x =-在x 轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y 随着x 的 ；在对称轴的右侧,y 随着x 的 ,当x=0时,函数y 的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0、考点二 ： 实际问题中的二次函数与图像例1、如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则A 点纵坐标为（ ）A ． 3B ． 6C ． 9D ． 36例2、 求出函数y=x ＋2与函数y=x 2的图象的交点坐标考点三：、二次函数与几何图形的面积问题1用铝合金型材料做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm ，窗户的透光面积为2ym ，y 与x 的函数图象如图2所示。
（1）观察图象，当x ＝ m 时，窗户透光面积最大。
（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是 m2、已知，如图，直线l 经过A （4，0）和B （0，4）两点，它与抛物线y=2ax 在第一象限内相交于点P ，又知△AOP 的面积为4，求a 的值。
二、巩固练习一、填空题1、函数2y x =的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________,顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值、2、二次函数2y x =的图像,在y 轴的右边,y 随x 的增大而_______。
3、若点A(2,m)在抛物线2y x =上,则点A 关于y 轴对称点的坐标是_____ 4、已知抛物线2y ax =和直线y=kx 的交点是P(-1,2),则a=______,k=_____。
5、抛物线2y ax =与2y x =的开口大小、形状一样、开口方向相反,则a=____6、已知y=21m mx+的图像是不在第一、二象限的抛物线,则m=_______7、二次函数21m y mx-=有最低点,则m=____8、若抛物线2y ax =经过点9)，则其表达式为______9、点A （2，a ），B （b ，9）在抛物线2y x =上，则a= ，b= 。
10、若二次函数2y ax =,当x=2时,y=12;则当x=-2时,y 的值是_________ 11、函数226a a y ax--=是二次函数，当a=_____时，其图象开口向上；当a=_____时，其图象开口向下、12、函数22y x =的图象对称轴是______，顶点坐标是______、 13、直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是______、14、函数2y x =-与2y x =相比较，图象的形状 ，开口方向 ．在同一坐标系中，两图象关于 对称． 二、选择题1、函数2y ax = (a ≠0)的图象与a 的符号有关的是( )A 、顶点坐标;B 、开口方向;C 、开口大小;D 、对称轴2、函数2y ax = (a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为( )A 、±2B 、－2C 、2D 、33、在同一坐标系中，作2y x =，y=212x -，y=213x 的图象，它们的共同特点是( )A 、抛物线的开口方向向上;B 、都是关于x 轴对称的抛物线，且y 随x 的增大而增大;C 、都是关于y 轴对称的抛物线，且y 随x 的增大而减小;D 、都是关于y 轴对称的抛物线，有公共的顶点、4、若二次函数2k k 4y k 1x +-=-（） 是开口向上的抛物线，则k 的值是（ ）A 、 -3B 、 2C 、 3D 、-3或25、二次函数2y ax =的图像顶点在原点，开口向下。
则不等式ax a >的解集是（ ）。
A 、 x ＞1B 、 x ＜1C 、 x ＞-1D 、x ＜-1 6、直线y=2x －1与抛物线2y x =的交点坐标是（ ）。
A （0，0）和（1,1）B （1,1）C （0,1）和（1,0）D （0,2）和（2,0）7、点11(,)x y ，22(,)x y 在抛物线2y x =上，当120x x >>时，1y 与2y 的大小关系为（ ）。
A 、12y y >B 、12y y =C 、12y y <D 、无法确定8、设边长为x cm 的正方形的面积为2ycm ，y 是x 的函数，该函数的图象是下列各图形中的（ ）三、解答题1、已知二次函数2y ax =的图像经过点A （2,2） 求：（1）这个二次函数的关系式。
（2）当x=3时，函数y 的值。
2、已知抛物线2y ax =经过点(28)A --，． （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点(14)B --，是否在此抛物线上． （3）求出此抛物线上纵坐标为6-的点的坐标．3、已知三点1-2y （，），2-1y （，），33y （，），都在函数2y x =-的图象上，试判断123,,y y y 的大小关系？4、二次函数2y ax =与直线y=2x －1的图象交于点P(1，m)、 (1)求a 、m 的值;(2)写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时，该表达式的y 随x 的增大而增大、5、直线y=2x+3与抛物线2y ax =交于A 、B 两点,已知点A 的横坐标是3,求A 、B 两点坐标及抛物线的函数关系式、D ．。