万有引力与航天复习学案
高中物理第六章万有引力与航天复习学案
第六章 万有引力与航天 复习学案【知识要点】1．开普勒行星运动定律 第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_______，太阳处在椭圆的一个______上。
第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的_______。
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的_______的比值都相等。
即： 32a k T= ，比值k 是一个与行星无关的常量。
2．万有引力定律： （1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的 的乘积成正比，跟它们 成反比． （2）表达式：221r m m GF =，其中r 为两质点或球心间的距离；G 为1798年由英国物理学家 利用 装置测出）2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-（3）适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。
3．万有引力定律在天文学上的应用：（1）基本方法：把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：222Mm v G m m r r rω== （2）在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：表面重力加速度：___________002=∴=g mg RMmG 轨道上的重力加速度：()______________2=∴=+g mg h R GMm，R 为天体半径。
（3）天体质量，密度的估算：测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2224Mm G m r r Tπ=得被环绕天体的质量为2324r M GT π=，密度为3223M r V GT R πρ==，R 为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则23GTπρ=。
4.天体的运动的有关问题（1）运动模型：天体运动可看成是 其引力全部提供 （2）人造地球卫星：①由r v m rMm G 22=可得：v= r 越大，v 越小．②由r m rMm G 22ω=可得：ω= r 越大，ω越小．③由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π可得：T= r 越大，T 越大．④由向ma rMmG =2可得：a= r 越大，a 向越小．5．三种宇宙速度①第一宇宙速度：v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
第六章 万有引力与航天 复习学案1
第六章 万有引力与航天 复习学案【目标引领】1、了解开普勒行星运动定律2、理解万有引力定律3、会应用万有引力定律解决天体运动问题【自学探究】1．开普勒行星运动定律第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_______，太阳处在椭圆的一个______上。
第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的_______。
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的_______的比值都相等。
即：32a k T= ，比值k 是一个与行星无关的常量。
2．万有引力定律：（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的 的乘积成正比，跟它们 成反比． （2）表达式：221r m m GF =，其中r 为两质点或球心间的距离；G 为1798年由英国物理学家 利用 装置测出）2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-（3）适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。
3．万有引力定律在天文学上的应用：（1）基本方法：把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：222Mm v G m m r r rω== （2）在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：表面重力加速度：___________002=∴=g mg RMmG 轨道上的重力加速度：()______________2=∴=+g mg h R GMm，R 为天体半径。
（3）天体质量，密度的估算：测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2224Mm G m r r Tπ=得被环绕天体的质量为2324r M GT π=，密度为3223M r V GT R πρ==，R 为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则23GTπρ=。
4.天体的运动的有关问题（1）运动模型：天体运动可看成是 其引力全部提供 （2）人造地球卫星：①由r v m rMm G 22=可得：v = r 越大，v 越小．②由r m rMm G 22ω=可得：ω= r 越大，ω越小．③由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π可得：T = r 越大，T 越大．④由向ma rMmG =2可得：a 向= r 越大，a 向越小．5．三种宇宙速度①第一宇宙速度：v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
万有引力与航天(复习学案)
第六章万有引力与航天（复习学案）一、全章知识脉络二、本章要点综述1、开普勒行星运动定律第一定律：。
第二定律：。
第三定律：。
即：2、万有引力定律（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。
（2）万有引力定律内容：_______________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 错误！未找到引用源。
公式：（4）万有引力定律适用于___________，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。
3、万有引力定律在天文学上的应用。
（1）基本方法：①把天体的运动看成运动，其所需向心力由万有引力提供：（写出方程）②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：。
（写出方程）（2）天体质量，密度的估算。
测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r，周期为T，由（写出方程）得被环绕天体的质量为（写出表达式），密度为（写出表达式），R为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则密度为（写出表达式）。
（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。
①由22Mm vG mr r得周期定律开普勒行星运动定律轨道定律面积定律发现万有引力定律表述G的测定天体质量的计算发现未知天体人造卫星、宇宙速度应用万有引力定律∴r 越大，v ②由22Mm Gm r rω=得 ∴r 越大，ω ③由2224Mm G m r r Tπ=得 ∴r 越大，T（4）三种宇宙速度．第一宇宙速度(即环绕速度)是________的最大速度，是________的最小速度，大小为___________（注意单位）。
第二宇宙速度(即脱离速度)的大小是 第三宇宙速度(即逃逸速度)的大小是(5)地球同步卫星的特点是：_______和_______与地球相同。
《万有引力与航天》复习导学案
第6章 万有引力与航天【学习目标】1、能够应用万有引力定律求卫星的速度、周期2、通过自主探究能够利用三个基本模型求天体的质量、密度等【重点、难点】1、万有引力定律的应用板块一 复习预导 知识梳理1、开普勒三定律第一定律： 。
第二定律： 。
第三定律： ；即： 。
2、万有引力定律（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。
（2）万有引力定律内容：_____ _____________________________________________ ________________________________________________________________________。
（3）公式： ；（4）万有引力定律适用于___________，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。
3、三种宇宙速度第一宇宙速度(即环绕速度)是最大的________速度，最小的________速度，大小为_________。
第二宇宙速度(即脱离速度)的大小是 ，当发射速度 < 时，绕地球运行的轨道为 ；当发射速度等于或大于 时，将脱离地球成为绕太阳的行星。
第三宇宙速度(即逃逸速度)的大小是 ，当发射速度 < 时，绕太阳运行的轨道为 ，当发射速度等于或大于 时，卫星将脱离太阳系。
4、同步卫星的特点地球上所有的同步卫星都位于 平面上空，它们的 、 和 都相同，且 和 与地球的也相同。
板块二 合作互助 方法归纳（一）“自转”模型当置于地球赤道上的物体随地球自转时，引力的一小部分充当了向心力，使物体做匀速圆周运动，即R Tm R v m R m ma F R Mm G n N 2222)2(πω====-， 而在地面上，通常认为 N F mg =，因此有 R Tm R v m R m mg R Mm G 2222)2(πω===- ； （二）“重力与万有引力相等”模型（不考虑地球自转的影响．．．．．．．．．．） 在地球表面或附近的物体的重力就等于万有引力，即2RMm G mg =； ①2')(h R Mm Gmg +=； ② ◇注意点◇ （1）利用①、②式可以求中心天体的质量、密度；（2）利用①式可以求地球表面的重力加速度g ；（3）利用②式可求地球上空h 高处的重力加速度；（4）消去m ，得到2gR GM =（“黄金代换”）；（5）此模型在其他的天体表面或附近也适用。
《第六章 万有引力与航天》 复习学案正式版
《第六章 万有引力与航天》 复习学案一、开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处于2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，在相等的时间内扫过相等面积.从这个定律能得出行星在近日点的速度远日点的速度。
3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的跟它的的比值都相等,用公式k=来表示；K 与_中心天体质量_有关；若行星做圆周运动则根据公式2RMm G ＝R T m 2)2(π 可得K=24πGM ； 例1:.理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体（包括卫星绕行星的运动）都适用。
下面对于开普勒第三定律的公式K TR=23，下列说法正确的是（）A 、公式只适用于轨道是椭圆的运动B 、式中的K 值，对于所有行星（或卫星）都相等C 、式中的K 值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星（或卫星）无关D 、若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离例2.地球公转运行的轨道半径m R 111049.1⨯=，若把地球公转周期称为1年，那么土星运行的轨道半径m R 121043.1⨯=，其周期多长？二、万有引力定律：⑴表述：自然界中两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的 _______________________成正比，跟它们的成反比，引力的方向。
⑵公式：⑶引力常量G ：①适用于任何两个物体②意义：它在数值上等于两个质量都是1㎏的物体相距1m 时的相互作用力 ③G 的通常取值为G ＝。
⑷适用条件：①万有引力定律只适用于质点间或均匀球体间引力大小的计算。
②当两物体是质量分布均匀的球体时，式中的r 是指两球心间的距离③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出每个质点与另一个物体的所有质点的万有引力，然后求合力。
⑸引力常量G 的测定：① 用扭秤实验测定。
②测定引力常量的意义:证明了万有引力的存在；使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等。
万有引力与航天》复习课学案 (教师版)
《万有引力与航天》章复习 学案一、【学习目标】1、知道开普勒行星三定律的内容；理解万有引力定律。
2、熟练应用万有引力定律计算天体相关问题3、会分析人造卫星的运动规律，知道第一宇宙速度的大小和意义。
4、通过回顾万有引力定律的发现过程，会提炼相关的科学方法。
学习重难点（1）万有引力定律的应用（2）构建物理模型二、【自主学习】复习本章教材知识，完成下列内容，时间6分钟。
●考考你：简述万有引力定律的发现过程，并总结所用到的科学方法1.内容：万有引力定律在人类科学发展史上占有非常重要的地位，牛顿对此功不可没，但他却说“如果说我比别人看得更远些,那是因为我站在了巨人的肩上”，此话，牛顿既有谦虚的成分，但历史上该定律的发现的确是许多科学家集体智慧的结晶。
下面我们一起来回顾一下万有引力定律的发现过程。
（关键记忆点：地心说、日心说、开普勒定律、牛顿定律、苹果落地、月-地检验、推及万物 G 的测定）2.方法● 基础梳理知识开普勒行星运动定律 轨道定律_________________________________________________面积定律_________________________________________________发现：开普勒定律为万有引力定律的发现奠定了基础 万 有引 力 定律适用条件________________________________万有引力定律周期定律_________________________________________________ 内容：___________________________________________________表达式：_____________ G=_____________由____国_________在实验室测定___________________________________________________a ：基础自测1、关于万有引力定律和引力常量的发现,下面说法中正确的是（ D ） A.万有引力定律是由开普勒发现的,而引力常量是由伽利略测定的 B.万有引力定律是由开普勒发现的,而引力常量是由卡文迪许测定的 C.万有引力定律是由牛顿发现的,而引力常量是由胡克测定的 D.万有引力定律是由牛顿发现的,而引力常量是由卡文迪许测定的2对于质量分别为和的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的(A ) A ．公式中的G 是引力常量，它是由实验得出的而不是人为规定的 B ．当两物体的距离趋于零时，万有引力趋于无穷大C ．相互作用的两个物体，质量大的受到的引力大，质量小的受到的引力小D ．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力3、关于开普勒行星运动的公式k TR 23，以下理解正确的是（ D ）A ．所有行星的轨道都是圆，R 是圆的半径B ．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R 地，周期为T 地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R 月，周期为T 月，则：2323T R T 月月地地＝RC ．T 表示行星运动的自转周期D ．T 表示行星运动的公转周期4、如图所示的三个人造地球卫星，则说法正确的是（ B ）①卫星可能的轨道为a 、b 、c ②卫星可能的轨道为a 、c ③同步卫星可能的轨道为a 、c ④同步卫星可能的轨道为a A ．①③是对的 B ．②④是对的 C ．②③是对的 D ．①④是对的 我的问题与疑惑：宇宙速度（2）三种宇宙速度①第一宇宙速度：v 1= ，人造卫星在 附近环绕地球作匀 速圆周运动的速度。
《万有引力与航天》学案
《万有引力与航天》复习课学案一、学生自主学习（基础知识梳理） 考点一：开普勒三定律1．第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在所有椭圆的2．第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同 的时间内扫过相等的 。
3．第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的 跟它的公转周期的 的比值都相等．表达式 在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动．特别提示：开普勒三定律不仅适用于行星围绕恒星转动，还适用于卫星围绕行星转动。
考点二：万有引力定律及应用1. 内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的 成正比，跟他们之间的 成反比。
2. 公式：F ＝ ，其中G ＝6.67×10－11。
3. 适用条件：仅仅适用于 或可以看做 的物体．相距较远(相对于物体自身的尺寸)的物体和质量均匀分布的球体可以看做 ，此时，式中的r 指两 间的距离或球心间的距离． 考点三：三种宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)v 1＝ ，人造卫星的最小发射速度，人造卫星的 环绕速度； 2．第二宇宙速度(脱离速度)v 2＝ ，使物体挣脱地球引力束缚的 发射速度； 3．第三宇宙速度(逃逸速度)v 3＝ ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．考点四：天体运动模型——人造地球卫星1. 处理方法：将卫星的运动视做 圆周运动．2. 动力学特征：由 提供向心力，且轨道平面的圆心必与地球的地心重合．3. 基本规律：G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma(1)由G MmR 2＝m v 2R 得v ＝ ，所以R 越大，v 越小；(2)由G MmR 2＝mω2R 得ω＝ ，所以R 越大，ω越小；(3)由G Mm R 2＝m 4π2T2R 得T ＝ ，所以R 越大，T 越大；4、两种特殊卫星(1)近地卫星：沿半径约为 的轨道运行的地球卫星，其发射速度与环绕速度相等，均等于第一宇宙速度．(2)同步卫星：运行时相对地面静止，T ＝24 h ．同步卫星只有一条运行轨道，它一定位于赤道 ，且距离地面高度h ≈3.6×104 km ，运行时的速率v ≈3.1 km/s.二、疑难探究1、天体表面重力加速度问题 ①天体表面重力加速度为g ，天体半径为R ，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的万有引力，所以有mg = ，g ＝②.同样可以推得在天体表面上方h 处重力加速度，mg ′＝ ， 则g ′＝ 。
《万有引力与航天复习课》导学案w
第三章万有引力定律复习【课程目标】会用万有引力定律解决有关实际问题学习目标1、理解万有引力定律的内容和公式，掌握万有引力定律的适用条件，了解万有引力的“三性”，即：①普遍性②相互性③宏观性，掌握对天体运动的分析。
2、自主学习，合作探究，熟练掌握运用万有引力定律解题的基本思路。
3、全力投入，勤于思考，培养科学的态度和正确的价值观。
重、难点：⒈万有引力定律在天体运动问题中的应用；⒉宇宙速度、人造卫星的运动。
知识网络我的疑惑请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。
课内探究案探究点一：开普勒三定律1．开普勒第一定律:2．开普勒第二定律:3．开普勒第三定律:问题1：有关开普勒行星运动的描述，下列正确的是( )A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上B.所有的行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上C.所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等D.不同的行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的针对训练1、一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1／3，则此卫星运行的周期大约是( )A.1～4天B.4～8天C.8～16天D.16～20天探究点二：万有引力定律的理解1．内容：2．表达式：3．适用条件：问题2：两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两半径为小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（）A．2F B．4F C．8F D．16F针对训练2、设想人类开发月球,不断把月球上的矿藏搬运到地球上,假定经过长期开采后,地球仍可看作均匀球体,月球仍沿开采前的圆周轨道运动,则与开采前相比（）A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球间的万有引力将变小C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短探究点三：用万有引力判断卫星的v、ω、T、a与r的关系:1.由得：a=2.由得：v =3.由得：ω=4.由得：T=问题3：火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（）A．火卫一距火星表面近 B．火卫二的角速度大 C．火卫一的运动速度大 D．火卫二的向心加速度大针对训练3、如图：a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b的质量相等且小于c的质量，则（）A．b所需向心力最小 B．b、c的周期相同，且大于a的周期C．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 D．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度探究点四：测中心天体的质量及密度1.地球表面物体的重力与地球对物体的万有引力的关系。
《万有引力与航天复习课》导学案
成武一中高一年级物理学科导学案主备人：刘贞著 审核人：张如光 时间：2012-3-17第六章 万有引力与航天复习课导学案班级 姓名 学号◇学习目标◇⒈理解万有引力定律的内容和公式。
⒉掌握万有引力定律的适用条件。
⒊了解万有引力的“三性”，即：①普遍性②相互性 ③宏观性⒋掌握对天体运动的分析。
◇学习重、难点◇⒈万有引力定律在天体运动问题中的应用⒉宇宙速度、人造卫星的运动◇课前预习◇1.自主书写全章知识网络2.主要公式方程(1)开普勒第三定律:(2)万有引力定律:(3)星球表面处(不计自转影响):(4)空中匀速运动的星体:◇课堂探究与典例分析◇一、万有引力和重力【例题1】用m 表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h 表示它离地面的高度，R 0表示地球的半径，g 0表示地球表面处的重力加速度，0ω表示地球自转角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小为（ ）A .等于零B .等于20020)(h R g mR + C .等于340020ωg R m D .以上结果都不正确解析：【训练1】下列说法正确的是（ ）A .火箭载着卫星竖直向上发射时，卫星的重力加速度越来越大B.卫星在高度一定的轨道上正常运行后，该高度上重力加速度为零C.地球表面上的物体，因随地球自转，重力小于或等于万有引力D.极地卫星在绕地球做匀速圆周运动时，受的重力忽大忽小二、关于人造卫星【例题2】地球半径为R ,地面的重力加速度为g ，一卫星做匀速圆周运动，距地面的高度是R ,则该卫星的（ ）A .线速度为22gRB.角速度Rg8 C.加速度为g /2 D.周期为g R22π 【训练2】关于人造地球卫星，下列说法正确的是（已知地球半径为6400km ）（ ）A .运行的轨道半径越大，线速度也越大B.运行的速率可能等于8km/sC.运行的轨道半径越大，周期也越大D.运行的周期可能等于80min三、与其他运动结合分析动力学问题【例题3】某物体在上受重力为160N ，将它置于卫星中，当卫星以a =g /2的加速度加速上升到某高度时，物体与卫星中水平支持面的挤压为90N ，求此时卫星离地心的距离。
万有引力与航天复习学案
《万有引力与航天》知识梳理基础知识回扣：一、开普勒行星运动定律内容：1.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，2.对于每一颗行星，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积，3.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
二、万有引力定律1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．2．公式：2rMm GF =，其中G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2，称为引力常量． 3．适用条件：只适用于真空中质点间的相互作用。
①当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离。
②对于均匀的球体，r 是两球心间的距离。
三、万有引力定律的应用1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：r m r v m rMm G F 222ω===(2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，2rMmGmg = 得 gR 2＝GM. 2．天体质量和密度的估算通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T ，轨道半径r ，由万有引力等于向心力，r T m r Mm G 2224π= 得 出天体质量 2324Tr M π=. (1)若已知天体的半径R ，则天体的密度3233R GT r v M πρ==(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度23GT πρ=四、人造卫星(1)研究人造卫星的基本方法卫星匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力提供：ma r Tm r v m r Mm G ===22224π (2)卫星的线速度、角速度、周期与半径的关系①r GMv =，故r 越大，v 越小． ②3r GM=ω故r 越大，ω越小．③GMr T 324π=故r 越大，T 越大(3)三种宇宙速度①第一宇宙速度(环绕速度)v 1＝7.9 km/s.这是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，也是卫星的最小发射速度． 若7.9 km/s ≤v <11.2 km/s ，物体绕地球运行． ②第二宇宙速度(脱离速度)v 2＝11.2 km/s.这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s ≤v <16.7 km/s ，物体绕太阳运行．③第三宇宙速度(逃逸速度)v3＝16.7 km/s 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km/s ，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行．基础习题重温1. 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的14，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的( )A ．向心加速度大小之比为4∶1B ．角速度大小之比为2∶1C ．周期之比为1∶8D ．轨道半径之比为1∶22. 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( ) A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值3.今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107m.它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107m)相比( ) A ．向心力较小 B ．动能较大C ．发射速度都是第一宇宙速度D ．角速度较小4.2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2.则v 1v 2等于( )A.R 13R 23 B.R 2R 1 C.R 22R 12 D.R 2R 15．质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A ．线速度v ＝GMRB ．角速度ω＝gRC ．运行周期T ＝2πgRD ．向心加速度a ＝GmR26.如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t ，地球半径为R(地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G.由以上条件不能求出( )A ．卫星运行的周期B ．卫星距地面的高度C ．卫星的质量D ．地球的质量7.关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是( )A ．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B ．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C ．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D ．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合8.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GN B.mv 4GN C.Nv 2Gm D.Nv 4Gm9. 已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是 ( )．A ．卫星距离地面的高度为 3GMT 24π2B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C ．卫星运行时受到的向心力大小为G MmRD ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度10.我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T .若以R 表示月球的半径，则( )A ．卫星运行时的向心加速度为4π2(R ＋h )T 2B ．物体在月球表面自由下落的加速度为4π2RT 2C ．卫星运行时的线速度为2πRTD ．月球的第一宇宙速度为2πR (R ＋h )3TR11.宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 后落到月球表面(设月球半径为R )．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )．A.2RhtB.2RhtC.RhtD.Rh2t12．我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比( )A．卫星动能增大，引力势能减小B．卫星动能增大，引力势能增大C．卫星动能减小，引力势能减小D．卫星动能减小，引力势能增大13．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为r A＝8.0×104 km和r B＝1.2×105 km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示)(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比．(2)求岩石颗粒A和B的周期之比．(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它在距土星中心 3.2×105 km 处受到土星的引力为0.38 N．已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？姓名班级学号14.(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即a3T2＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常数为G，太阳的质量为M太．(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)15.宇宙中两颗相距较近的天体均为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。
学案2：4.4 万有引力与航天
第四节 万有引力与航天基础再现一、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．公式：F ＝G m 1m 2r2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，其中r 是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离．对点自测 1.(单选)关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，以下说法中正确的是( )A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 二、宇宙速度对点自测 2.(单选)嫦娥三号的成功登月再次表明我国已具备火星探测能力，假设我国欲发射一颗探测火星的卫星，其发射速度v 应为( )A ．7.9 km/sB ．7.9 km/s ＜v ＜11.2 km/sC ．11.2 km/s ＜v ＜16.7 km/sD ．v ≥16.7 km/s三、经典力学的时空观和相对论时空观 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同． 3．经典力学的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界． 对点自测 3.(单选)对相对论的基本认识，下列说法正确的是( ) A ．相对论认为：真空中的光速在不同惯性参考系中都是相同的 B ．爱因斯坦通过质能方程阐明了质量就是能量C ．在高速运动的飞船中的宇航员会发现飞船中的钟走得比地球上快D ．我们发现竖直向上高速运动的球在水平方向上变扁了考点突破考点一 天体质量和密度的估算 [学生用书P 72]1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R 2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)．2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．典例1 (多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( )A ．地球的质量m 地＝gR 2GB ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22 C ．月球的质量m 月＝4π2L 31GT 21D ．可求月球、地球及太阳的密度[总结提升] (1)利用圆周运动模型，只能估算中心天体质量，而不能估算环绕天体质量．(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ：只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径．突破训练 1.(单选)(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－gg 0 B.3πGT 2g 0g 0－g C.3πGT 2 D.3πGT 2g 0g考点二 卫星运行参量的比较与运算 [学生用书P 73]1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2．卫星运动中的机械能(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心天体)的引力势能．(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星、近地卫星和同步卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3)同步卫星①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s.③角速度一定：与地球自转的角速度相同．④高度一定：卫星离地面高度h＝3.6×104 km.⑤速率一定：运动速度v＝3.07 km/s(为恒量)．⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致．典例2 (单选)(2014·高考天津卷)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A．距地面的高度变大B．向心加速度变大C．线速度变大D．角速度变大突破训练 2.(多选)(改编题)“天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船自动交会对接的示意图如图所示，圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟十号”运行轨道，在实现交会对接前，“神舟十号”要进行多次变轨，则()A ．“天宫一号”的运行速率大于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率B ．“神舟十号”变轨前比变轨后的机械能要小C ．“神舟十号”可以通过减速而使轨道半径变大D ．“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间的向心加速度相同考点三 卫星(航天器)的变轨问题 [学生用书P 73] 1．轨道的渐变做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动．解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r 是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化．2．轨道的突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2＜m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r可知其运行速度比原轨道时减小．(2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2＞m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r 可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理．不论是轨道的渐变还是突变，都将涉及功和能量问题，对卫星做正功，卫星机械能增大，由低轨道进入高轨道；对卫星做负功，卫星机械能减小，由高轨道进入低轨道．典例3 (单选)(2014·高考山东卷)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g 月．以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝GMmhR R ＋h ，其中G 为引力常量，M 为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )A.mg 月R R ＋h (h ＋2R )B.mg 月RR ＋h (h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h ⎝⎛⎭⎫h ＋22RD.mg 月R R ＋h ⎝⎛⎭⎫h ＋12R 突破训练 3.(多选)(2015·湖北八校第二次联考)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M 点为环地球运行的近地点，N 点为环月球运行的近月点．a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是( )A ．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/sB ．嫦娥三号在M 点进入地月转移轨道时应点火加速C ．设嫦娥三号在圆轨道a 上经过N 点时的加速度为a 1，在椭圆轨道b 上经过N 点时的加速度为a 2，则a 1＞a 2D ．嫦娥三号在圆轨道a 上的机械能小于在椭圆轨道b 上的机械能考点四 宇宙速度的理解与计算 [学生用书P 74]1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的求法： (1)GMm R 2＝m v 21R，所以v 1＝GMR. (2)mg ＝mv 21R，所以v 1＝gR .典例4 (单选)(2014·高考江苏卷)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )A ．3.5 km/sB ．5.0 km/sC ．17.7 km/sD ．35.2 km/s突破训练 4.(单选)一宇航员在某星球上以速率v 0竖直上抛一物体，经t 秒落回原处，已知该星球半径为R ，那么该星球的第一宇宙速度是( )A.v 0t RB. 2v 0Rt C.v 0R tD.v 0Rt能力提升物理模型——双星系统模型1．模型特点(1)两颗星彼此相距较近，且间距保持不变． (2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动． 2．模型分析(1)双星运动的周期和角速度相等，各以一定的速率绕某一点转动，才不至于因万有引力作用而吸在一起．(2)双星做匀速圆周运动的向心力大小相等，方向相反．(3)双星绕共同的中心做圆周运动时总是位于旋转中心的两侧，且三者在一条直线上． (4)双星轨道半径之和等于它们之间的距离．范例 (单选)(2013·高考山东卷) 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT [总结提升] (1)解决双星问题时，应注意区分星体间距与轨道半径：万有引力定律中的r 为两星体间距离，向心力公式中的r 为所研究星球做圆周运动的轨道半径．(2)宇宙空间大量存在这样的双星系统，如地月系统就可视为一个双星系统，只不过旋转中心没有出地壳而已，在不是很精确的计算中，可以认为月球绕着地球的中心旋转．突破训练 5.(单选)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的( )A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍 高考模拟【模拟题组】1．(多选)(2015·云南统测)如图所示，两星球相距为L ，质量比为m A ∶m B ＝1∶9，两星球的半径远小于L .从星球A 沿A 、B 连线向B 以某一初速度发射一探测器，只考虑星球A 、B 对探测器的作用，下列说法正确的是( )A ．探测器的速度一直减小B ．探测器在距星球A 为L4处加速度为零C ．若探测器能到达星球B ，其速度可能恰好为零D ．若探测器能到达星球B ，其速度一定大于发射时的初速度2．(多选)(2015·沈阳质量监测)已知引力常量为G ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g 和地球的自转周期为T ，不考虑地球自转的影响，利用以上条件可求出的物理量是( )A ．地球的质量B ．地球与其同步卫星之间的引力C ．第一宇宙速度D ．地球同步卫星的高度3．(单选)(2015·合肥质检)“北斗”系统中两颗工作卫星1和2在同一轨道上绕地心O 沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为r ，某时刻它们分别位于轨道上的A 、B 两位置，如图所示．已知地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．以下判断中正确的是( )A ．这两颗卫星的向心加速度大小为a ＝r 2R 2gB ．这两颗卫星的角速度大小为ω＝Rg rC ．卫星1由位置A 运动至位置B 所需的时间为t ＝πr3R r gD ．如果使卫星1加速，它就一定能追上卫星2【经典题组】4．(多选)(2015·陕西西安质检)我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T ，若以R 表示月球的半径，则( )A ．“嫦娥二号”探测卫星运行时的线速度为2πRTB ．“嫦娥二号”探测卫星运行时的向心加速度为4π2R ＋hT 2C ．月球的第一宇宙速度为2πR R ＋h3TRD ．物体在月球表面自由下落的加速度为4πRT25.(单选)如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R,2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B 点，O 点为地球球心，AB 为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G ，地球质量为M ，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( )A ．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能B ．若卫星在1轨道上的速率为v 1，卫星在2轨道A 点的速率为v A ，则v 1＜v AC ．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a 1、a 3，卫星在2轨道A 点的加速度大小为a A ，则a A ＜a 1＜a 3D ．若OA ＝0.4R ，则卫星在2轨道B 点的速率v B ＞5GM8R6．(2015·河南三门峡一模)在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L ，质量分别为M 1和M 2，试计算：(1)双星的轨道半径； (2)双星的运行周期； (3)双星的线速度．答案： 基础再现对点自测1. 答案：C 2. 答案：C 3. 答案：A 考点突破典例1[解析] 对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2G ，选项A 正确．对地球绕太阳运动来说，有Gm 太m 地L 22＝m 地4π2T 22L 2，则m 太＝4π2L 32GT 22，B 项正确．对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C 、D 项错误．[答案] AB突破训练 1解析：选B.在地球两极重力等于万有引力，即有mg 0＝G Mm R 2＝43πρmGR ，在赤道上重力等于万有引力与向心力的差值，即mg ＋m 4π2T 2R ＝G Mm R 2＝43πρmGR ，联立解得：ρ＝3πg 0GT 2g 0－g，B 项正确． 典例2[解析] 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即G Mmr 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2，得r ＝3GMT 24π2，由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢，自转周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，A 项正确；由G Mmr 2＝ma 得，a＝GM r 2，半径变大，向心加速度变小，B 项错误；由G Mm r 2＝m v 2r得，v ＝GMr，半径变大，线速度变小，C 项错误；由ω＝2πT分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D 项错误．[答案] A 突破训练 2解析：选BD.“天宫一号”的运行速率小于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率，选项A 错误. “神舟十号”加速才能做离心运动，而使轨道半径变大，即外力要对飞船做正功，选项B 正确，选项C 错误；“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间轨道半径相同，向心加速度也相同，选项D 正确．典例3[解析] 根据题意可知，要使“玉兔”和飞船在距离月球表面高为h 的轨道上对接，若不考虑月球的自转影响，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为克服月球的万有引力做的功与在该轨道做圆周运动的动能之和，所以W ＝E p ＋E k ，E p ＝GMmhR R ＋h ，再根据GMm R ＋h2＝mv 2R ＋h ，据此可求得需要的动能为E k ＝GMm2R ＋h，再联系GM ＝g 月R 2，由以上三式可求得，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为W ＝mg 月R R ＋h ⎝⎛⎭⎫h ＋12R ，所以该题正确选项为D.[答案] D突破训练 3解析：选BD.嫦娥三号在环地球轨道上运行速度v 满足7.9 km/s≤v ＜11.2 km/s ，则A 错误；嫦娥三号要脱离地球需在M 点点火加速让其进入地月转移轨道，则B 正确；由a ＝GMr 2，知嫦娥三号在经过圆轨道a 上的N 点和在椭圆轨道b 上的N 点时的加速度相等，则C 错误；嫦娥三号要从b 轨道转移到a 轨道需要减速，机械能减小，则D 正确．典例4[解析] 根据题设条件可知：M 地＝10M 火，R 地＝2R 火，由万有引力提供向心力GMmR 2＝m v 2R，可得v ＝GMR ，即v 火v 地＝M 火R 地M 地R 火＝15，因为地球的第一宇宙速度为v 地＝7.9 km/s ，所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v 火≈3.5 km/s ，选项A 正确．[答案] A突破训练 4解析：选B.由2v 0＝gt 得g ＝2v 0t ，由v ＝gR 得第一宇宙速度为2v 0Rt，B 正确．物理模型——双星系统模型范例[解析] 设两恒星中一个恒星的质量为m ，围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动的半径为r ，两星总质量为M ，两星之间的距离为R ，由G mM －m R 2＝mr 4π2T2，GmM －mR 2＝(M －m )(R －r )4π2T2，联立解得：T ＝2πR 3GM.经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为T ′＝2πnR 3G kM＝n 3kT .选项B 正确．[答案] B突破训练 5解析：选A.做双星运动的星体相互间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即F 万＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得m 1m 2＝r 2r 1，故A 正确．双星运动的角速度相同，故B 错．由v ＝ωr 可知冥王星的线速度为卡戎的17，故C 错．两星的向心力为两者间的万有引力且等值反向，故D 错．高考模拟【模拟题组】1、解析：选BD.设在距离星球A 为x 位置时，探测器所受合力为零，即G m A mx 2＝Gm B m L －x2，解得x ＝L 4，B 正确；在距离星球A 的距离小于L4时，探测器所受合力指向星球A ，在距离大于L4时，所受合力指向星球B ，因此在整个过程中，合力对探测器先做负功，再做正功，由动能定理可知，探测器速度先减小后增大，A 错误；在与两星球距离相等的两点中，距离星球B 的点受合力较大，因此从星球A 运动到星球B 整个过程合力做正功，由动能定理可知，到达星球B 时探测器的速度大于离开星球A 时的发射速度，不可能速度为零，C 错误，D 正确．2、解析：选ACD.不考虑地球自转的影响，在地球表面万有引力等于重力，可求得地球质量，选项A 正确；同步卫星的质量不知道，因此无法求出地球与同步卫星之间的引力，选项B 错误；由已知条件可求得第一宇宙速度，选项C 正确；由同步卫星的周期可计算同步卫星的轨道半径，进一步计算得出同步卫星的高度，选项D 正确．3、解析：选C.卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，即G Mmr 2＝ma ，由万有引力与重力的关系得G Mm R 2＝mg ，解两式得a ＝R 2r 2g ，A 错误；由a ＝ω2r ，将上式代入得ω＝gR 2r 3，B 错误；卫星1由位置A 运动到位置B 所需时间为卫星周期的16，由T ＝2πω，t ＝πr3Rr g，C 正确；卫星1加速后做离心运动，进入高轨道运动，不能追上卫星2，D 错误． 4、解析：选BC.根据匀速圆周运动的基本知识可得v ＝2πR ＋h T ，a ＝4π2R ＋hT 2，A 错误，B 正确；由万有引力提供向心力可得GMmR ＋h 2＝m 4π2T 2(R ＋h )，又g 月＝GM R 2，解得g 月＝4π2R ＋h 3T 2R 2，第一宇宙速度v 1＝g 月R ＝2πR R ＋h3TR，所以C 正确，D 错误．5、解析：选B.2、3轨道在B 点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B 点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A 错误；以OA 为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A 点，则v 4＜v A ，又因v 1＜v 4，所以v 1＜v A ，B 正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是a A ＞a 1＞a 3，C 错误；由开普勒第三定律可知，2轨道的半长轴为R ，OB ＝1.6R,3轨道上的线速度v 3＝5GM8R，又因v B ＜v 3，所以v B ＜ 5GM8R，D 错误．6、解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，如图所示，所以具有周期、频率和角速度均相同，而轨道半径、线速度不同的特点．(1)由于两星受到的向心力相等， 则M 1ω2R 1＝M 2ω2R 2，L ＝R 1＋R 2. 由此得：R 1＝M 2M 1＋M 2L ，R 2＝M 1M 1＋M 2L .(2)由万有引力提供向心力得 G M 1M 2L 2＝M 1⎝⎛⎭⎫2πT 2R 1＝M 2⎝⎛⎭⎫2πT 2R 2. 所以，周期为T ＝2πL LG M 1＋M 2.(3)线速度v 1＝2πR 1T ＝M 2GLM 1＋M 2，v 2＝2πR 2T＝M 1GLM 1＋M 2.答案：(1)R 1＝M 2M 1＋M 2L R 2＝M 1M 1＋M 2L(2)T ＝2πL LG M 1＋M 2(3)v 1＝M 2GLM 1＋M 2v 2＝M 1G LM 1＋M 2。
学案3：4.4 万有引力与航天
第4讲 万有引力与航天抓住3个知识点知识一 万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．公式F ＝G m 1m 2r 2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，叫引力常量．3．适用条件两个质点之间的相互作用．(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离．(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r 为质点到球心间的距离．知识二 万有引力定律应用及三种宇宙速度1．万有引力定律基本应用(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．(2)基本公式：其中g r 为距天体中心r 处的重力加速度． 2．三种宇宙速度【特别提醒】(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度． (3)两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同．知识三 经典时空观和相对论时空观1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．3．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．【基础自测】1．关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，以下说法中正确的是( )A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的2．(多选)由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E ＝Fq ，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M ，半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，引力常量为G ，如果一个质量为m 的物体位于距离地心2R 处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )A ．GM2R2B ．Gm 2R2C ．GMm 2R 2 D.g43．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )A ．太阳引力远大于月球引力B ．太阳引力与月球引力相差不大C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 感悟高考4．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 5．(2013·福建高考)设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r 3T 2B ．GM ＝4π2r 2T 2C ．GM ＝4π2r 2T3D ．GM ＝4πr 3T2掌握4个核心考点考点一 [32] 天体质量和密度的估算一、重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 1．由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G .2．天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.二、卫星环绕法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T . 1．由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3GT2.2．若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r ＝R ，则有ρ＝3πGT2.——————[1个示范例]——————例 1 (2013·全国大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )A ．8.1×1010 kgB ．7.4×1013 kgC ．5.4×1019 kgD ．7.4×1022 kg——————[1个预测例]——————【例2】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GNB.mv 4GNC.Nv 2GmD.Nv 4Gm【审题指导】(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系． (2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系．考点二 [33] 卫星运行参量的比较与运算一、卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T 2.二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 1．G Mm r 2＝m v 2r →v ＝GM r →v ∝1r . 2．G Mmr2＝mω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3.3．G Mm r 2＝m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM→T ∝r 3. 4．G Mm r 2＝ma →a ＝GM r 2→a ∝1r 2.5．mg ＝GMmR 2地(近地时)→GM ＝gR 2地.三、极地卫星和近地卫星1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． 2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7. 9 km/s.——————[1个示范例]——————【例3】 (2013·四川高考)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍C ．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的13365倍 D ．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短——————[1个预测例]——————【例4】 (多选)(2011·天津高考)质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A ．线速度v ＝GMRB ．角速度ω＝ gRC ．运行周期T ＝2π R gD ．向心加速度a ＝GmR2考点三 [34] 赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别一、区别1．同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．2．近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．3．三者的线速度各不相同． 二、求解此类题的关键1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a ＝ω2r 而不能运用公式a ＝GMr2.2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v ＝ωr 而不能运用公式v ＝GM /r .3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v ＝GM /r ，而不能运用公式v ＝ωr 或v ＝gr .——————[1个示范例]——————【例5】 (2012·四川高考)今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m ．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比( )A ．向心力较小B ．动能较大C ．发射速度都是第一宇宙速度D ．角速度较小【规律总结】同步卫星的六个“一定”——————[1个预测例]——————【例6】 有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图4－4－1，则有( )图4－4－1A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．c 在4 h 内转过的圆心角是π/6C ．b 在相同时间内转过的弧长最长D ．d 的运动周期有可能是20 h考点四 [35] 卫星的发射与变轨一、宇宙速度1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的求法： (1)GMm R 2＝m v 21R，所以v 1＝GMR. (2)mg ＝mv 21R，所以v 1＝gR .(3)第二、第三宇宙速度也都是指发射速度． 二、卫星的变轨分析卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．1．大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．2．空气阻力使速度减少，G Mm r 2>m v 2r →向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v ′＝GMr ′. ——————[1个示范例]——————【例7】 (多选)(2013·新课标全国卷Ⅰ)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用——————[1个预测例]——————图4－4－2【例8】(多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．如图4－4－2所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是()A．“神舟十号”必须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇B．“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2C．“神舟十号”变轨后在M点的速度大于变轨前的速度D．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期构建物理模型“双星”模型一、双星系统在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．二、双星系统的条件1．两颗星彼此相距较近．2．两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．3．两颗星绕同一圆心做圆周运动．三、双星系统的特点1．两星的角速度、周期相等．2．两星的向心力大小相等．3．两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.轨道半径与行星的质量成反比．——————[1个示范例]——————图4－4－3【例9】2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图4－4－3所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中()A．它们做圆周运动的万有引力保持不变B．它们做圆周运动的角速度不断变大C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小【例10】(2013·山东高考)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.n3k2T B.n3k TC.n2k T D.nk T高效训练5个题⊙卫星运行比较1．(2013·广东高考)如图4－4－4，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是()图4－4－4A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大 ⊙天体质量的估算2．2013年12月2日，我国成功发射了“嫦娥三号”，实施落月探测计划，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星行程为s ，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G ，根据以上数据估算月球的质量是( )A.t 2Gs 3 B.s 3Gt 2 C.Gt 2s3 D.Gs 3t2 ⊙考查万有引力与重力加速度3．(2012·新课标全国卷)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－dRB ．1＋dRC.⎝⎛⎭⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎫R R －d 2 ⊙变轨问题4．(2013·安徽高考)质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMm r ，其中G 为引力常量，M 为地球质量．该卫星原来在半径为R 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R 2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )A ．GMm (1R 2－1R 1)B ．GMm (1R 1－1R 2)C.GMm 2(1R 2－1R 1)D.GMm 2(1R 1－1R 2)⊙同步卫星问题5．(多选)(2013·浙江高考)图4－4－5如图4－4－5所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm r －R2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMmr 2C ．两颗卫星之间的引力大小为G m 23r 2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2答案：【基础自测】1、【解析】 万有引力公式F ＝G m 1m 2r ，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.【答案】 C2、【解析】 由万有引力定律知F ＝GMm 2R 2，引力场的强弱F m ＝GM2R 2，A 对；在地球表面附近有G Mm R 2＝mg ，所以F m ＝g4，D 对．【答案】 AD3、【解析】 设太阳质量为M ，月球质量为m ，海水质量为m ′，太阳到地球距离为r 1，月球到地球距离为r 2，由题意M m ＝2.7×107，r 1r 2＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F 1＝GMm ′r 21，月球对海水的引力F 2＝Gmm ′r 22，则F 1F 2＝Mr 22mr 21＝2.7×1074002＝2 70016，故A 选项正确，B 选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C 选项错误，D 选项正确．【答案】 AD4、【解析】 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A 错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B 错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C 正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D 错误．【答案】 C5、【解析】 本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解． 对行星有：GMm r 2＝m 4π2T 2r ，故GM ＝4π2r 3T 2，选项A 正确．【答案】 A掌握4个核心考点【例1】【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：GMm r 2＝4π2mr T 2，得M ＝4π2r 3GT 2，其中r ＝R ＋h ，代入数据解得M ＝7.4×1022kg ，选项D 正确．【答案】 D【例2】【解析】 设卫星的质量为m ′ 由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R ①m ′v 2R＝m ′g ② 由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg ③由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝mv 2N代入①得M ＝mv 4GN，故B 项正确．【答案】 B 【例3】【解析】 行星、地球绕其中心天体做匀速圆周运动．根据万有引力提供向心力解决问题．由题意知，行星、地球的质量之比m 1m 2＝6，半径之比R 1R 2＝1.5，公转周期之比T 1T 2＝13365，中心天体质量之比M 1M 2＝0.31.根据G mm ′R 2＝m ′v 2R ，得第一宇宙速度之比v 1v 2＝Gm 1R 1·R 2Gm 2＝ m 1m 2·R 2R 1＝2，选项A 错误；根据m ′g ＝G mm ′R 2，得到人的体重之比m ′g 1m ′g 2＝m 1R 21·R 22m 2＝m 1m 2·⎝⎛⎭⎫R 2R 12＝83，选项B 正确；根据G Mm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，得与中心天体的距离之比r 1r 2＝3M 1M 2·⎝⎛⎭⎫T 1T 22＝30.31×⎝⎛⎭⎫133652，选项C 错误；米尺在该行星上长度不一定会变短，选项D 错误． 【答案】 B【例4】【解析】 对航天器：G Mm R 2＝m v 2R ，v ＝GMR，故A 正确．由mg ＝mω2R 得ω＝gR，故B 错误．由mg ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R 得T ＝2πR g ，故C 正确．由G Mm R 2＝ma 得a ＝GM R2，故D 错误．【答案】 AC【例5】【解析】 由题意知，中圆轨道卫星的轨道半径r 1小于同步卫星轨道半径r 2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F 向＝G Mmr 2知，两卫星的向心力F 1>F 2，选项A错误；根据G Mm r 2＝mv 2r ＝mω2r ，得环绕速度v 1>v 2，角速度ω1＞ω2，两卫星质量相等，则动能E k1>E k2，故选项B 正确，选项D 错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v 01<v 02，选项C 错误．【答案】 B【例6】【解析】 对于卫星a ，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得，GMmr 2－N ＝ma 向，而GMmr 2＝mg ，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，A 项错；由c 是同步卫星可知卫星c 在4 h 内转过的圆心角是π3，B 项错；由GMm r 2＝m v 2r得，v ＝GMr，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b 的线速度大于卫星c 的线速度，卫星c 的线速度大于卫星d 的线速度，而卫星a 与同步卫星c 的周期相同，故卫星c 的线速度大于卫星a 的线速度，C 项对；由G Mm r 2＝m (2πT )2r ，得，T ＝2πr 3GM，轨道半径r 越大，周期越长，故卫星d 的周期大于同步卫星c 的周期，D 项错．【答案】 C【例7】【解析】 本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手．第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力F n ＝mv 2r 减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B 、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D 错误．【答案】 BC【例8】【解析】 飞船经一次加速后由圆轨道1变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道2相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在M 点加速，才能在P 点与“天宫一号”相遇，A 错；飞船在M 点经一次加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道2，B 错；飞船在M 点加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，则变轨后在M 点的速度大于变轨前的速度，C 对；由T ＝2πr 3GM可知轨道半径增大，周期增大，D 项正确． 【答案】 CD【例9】【解析】 对双星M 1、M 2，设距离为L ，圆周运动半径分别为r 1、r 2，它们做圆周运动的万有引力为F ＝G M 1M 2L 2，距离L 不变，M 1与M 2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A 错；依题意双星系统绕两者连线上某点O 做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：G M 1M 2L 2＝M 1ω2r 1，G M 1M 2L 2＝M 2ω2r 2，r 1＋r 2＝L ，可解得：M 1＋M 2＝ω2L 3G ，M 1r 1＝M 2r 2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B 、D 错，C 对．【答案】 C ,【例10】【解析】 双星间的万有引力提供向心力．设原来双星间的距离为L ，质量分别为M 、m ，圆周运动的圆心距质量为m 的恒星距离为r .对质量为m 的恒星：G Mm L 2＝m (2πT )2·r对质量为M 的恒星：G Mm L 2＝M (2πT )2(L －r )得G M ＋m L 2＝4π2T 2·L ，即T 2＝4π2L 3G M ＋m则当总质量为k (M ＋m )，间距为L ′＝nL 时，T ′＝n 3kT ，选项B 正确． 【答案】 B 高效训练5个题1、【解析】 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据G Mm r 2＝ma 得a ＝GMr 2，故甲卫星的向心加速度小，选项A 正确；根据G Mm r 2＝m (2πT )2r ，得T ＝2πr 3GM，故甲的运行周期大，选项B 错误；根据G Mmr 2＝mω2r ，得ω＝GM r 3，故甲运行的角速度小，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r，得v ＝GMr，故甲运行的线速度小，选项D 错误． 【答案】 A2、【解析】 由几何知识得圆心角θ＝sr，其中s 为卫星转动的弧长，即卫星的行程，r为轨迹半径，代入数据得轨迹半径r ＝s ，卫星转动的角速度ω＝θt ＝1t ，由万有引力提供向心力GMm r 2＝mω2r ，得月球的质量M ＝ω2r 3G ＝s 3Gt2，选项B 正确．【答案】 B3、【解析】 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝⎝⎛⎭⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′R －d2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g ′g ＝1－dR，选项A 正确；选项B 、C 、D 错误．【答案】 A4、【解析】 人造卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供． 根据万有引力提供向心力得G Mm r 2＝m v 2r ①而动能E k ＝12mv 2②由①②式得E k ＝GMm2r ③由题意知，引力势能E p ＝－GMmr④ 由③④式得卫星的机械能E ＝E k ＋E p ＝－GMm2r由功能关系知，因摩擦而产生的热量Q ＝ΔE 减＝E 1－E 2＝GMm 2(1R 2－1R 1)，故选项C 正确． 【答案】 C5、【解析】 应用万有引力公式及力的合成规律分析．地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A 错误，B 正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r ，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为Gm 23r 2，选项C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D 错误．【答案】 BC。
万有引力与航天学案
万有引力与航天一、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积_______，与它们之间距离r的二次方_______.2.公式：F=_______，其中G为引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定.【答案】成正比成反比Gm1m2r23.适用条件：两个_________的相互作用.(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为______________.(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为____________________.【答案】质点之间两球心间的距离质点到球心间的距离二、三种宇宙速度三、经典时空观和相对论时空观1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随_________而改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_____的.【答案】运动状态 相同2.相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而______，用公式表示为m= ______.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是______的.【答案】增加 不同 m01－v2c2. 考点一 万有引力定律在天体运动中的应用1.利用万有引力定律解决天体运动的一般思路（1）一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．（2）两组公式G Mm r2＝m v2r ＝mω2r ＝m 4π2T2·r ＝mamg ＝GMm R2(g 为星体表面处的重力加速度)．2.天体质量和密度的计算(1)估算中心天体的质量.①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T 和轨道半径r ，就可以求出中心天体的质量M.②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g 和半径R ，就可以求出中心天体的质量M.（2）设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R2，即g ＝GM R2(或GM ＝gR2)若物体距星体表面高度为h ，则重力mg′＝G Mm ＋，即g′＝GM ＋＝R2＋g.【例1】“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，根据以上信息得 ( )．A ．绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B ．绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C ．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6D ．月球与地球质量之比为1∶96【答案】 ACD【详解】 由G Mm R2＝mg 可得月球与地球质量之比：M 月M 地＝g 月g 地×R 月2R 地2＝196，D 正确．由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由G Mm R2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，可得：T 月T 地＝ R 月3M 地R 地3M 月＝32，A 正确．由G Mm R2＝ma 可得：a 月a 地＝M 月R 地2M 地R 月2＝16，C 正确．考点二 卫星的在轨运行和变轨问题(1)圆轨道上的稳定运行 G Mm r2＝m v2r ＝mrω2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度v 突然改变时，受到的万有引力G Mm r2和需要的向心力m v2r 不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G Mm r2＞m v2r时，卫星做近心运动，其轨道半径r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G Mm r2＜m v2r 时，卫星做离心运动，其轨道半径r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小．3.地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.(4)高度一定：据卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R(为恒量).(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.4.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.【例2】如图所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待神舟八号到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号” ()．A．应从较低轨道上加速B．应从较高轨道上加速C．应在从同空间站同一轨道上加速D．无论在什么轨道上只要加速就行【答案】 A【详解】“神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接．据G Mm r2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得T ＝2πr3GM ，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A 对B 错．若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C 、D 都错．考点三 双星模型1．模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．2．模型特点：(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗行星上．(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等．(3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r1＋r2＝L.【例3】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L ，试写出它们角速度的表达式．【答案】(1)见解析 (2) ＋L3【详解】(1)证明 两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．设两者的圆心为O 点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出G m1m2L2＝m1ω2R1①G m1m2L2＝m2ω2R2②所以R1R2＝m2m1，所以v1v2＝R1ωR2ω＝R1R2＝m2m1，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比．(2)由①②两式相加得G m1＋m2L2＝ω2(R1＋R2)，因为R1＋R2＝L ，所以ω＝ ＋L3. 【2013年】18．D5 [2013·重庆卷] 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的( )A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍18．A [解析] 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B 错误；双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小也相同，D 错误；根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得r1r2＝m2m1＝17，A 正确；根据v ＝ωr ，得v1v2＝r1r2＝17，C 错误．15．D5[2013·浙江卷] 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值15．C [解析] 各小行星质量以及其与太阳的距离不一定相同，故太阳对各小行星的引力不一定相同，选项A 错误；由an ＝GM r2可知，内侧小行星与太阳的距离较近，向心加速度较大，选项C 正确；各小行星绕太阳运动的半径均大于地球绕太阳运动的半径，由开普勒第三定律可知，各小行星绕太阳运动的周期均大于地球绕太阳运动的周期，选项B 错误；根据G Mm r2＝mv2r ，得v ＝GMr ，可知各小行星运动的线速度均小于地球公转的线速度，故选项D 错误．3．D5 [2013·天津卷] 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的14，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的( )A ．向心加速度大小之比为4∶1B ．角速度大小之比为2∶1C ．周期之比为1∶8D ．轨道半径之比为1∶23．C [解析] 人造地球卫星的动能变为原来的14，而质量不变，则卫星的线速度变为原来的12.卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力，由G Mm r2＝m v2r 可得r ＝GM v2，则卫星的轨道半径变为原来的4倍，D 错误；由ω＝v r ，可得卫星的角速度变为原来的18，B 错误；由T ＝2πω，可得卫星的周期变为原来的8倍，C 正确；由a ＝GM r2，可得卫星的加速度变为原来的116，A 错误．15．D5 [2013·四川卷] 今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107m.它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107m)相比( ) A ．向心力较小 B ．动能较大C ．发射速度都是第一宇宙速度D ．角速度较小15．B [解析] 由题目所给的数据知，中圆轨道卫星的轨道半径小于同步轨道卫星的半径，根据万有引力定律，向心力由万有引力提供，即F 向＝G Mm r2，故中圆轨道卫星的向心力较大，A 错误；由G Mmr2＝m v2r ，得v ＝GMr ，故中圆轨道卫星的线速度较大，动能较大，B正确；由于这两个卫星都不是近地卫星，所以发射速度均大于第一宇宙速度，C 错误；由ω＝vr 知中圆轨道卫星的角速度较大，D 错误．15．D5[2013·山东卷] 2013年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则v1v2等于( ) A.R31R32 B.R2R1C.R22R21D.R2R115．B [解析] “天宫一号”变轨前后都是地球的卫星，都由地球对它的万有引力充当向心力．由G Mm R2＝m v2R 得v ＝GM R ，所以，v1v2＝R2R1，故B 正确．21．D5[2013·课标全国卷] 假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋dR C.⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2 21．A [解析] 在地球表面，由万有引力定律有G MmR2＝mg ，其中M ＝43πR3，在矿井底部，由万有引力定律有G M0m R20＝mg0，其中M0＝43πR 30，R ＝R0＋d ，联立解得g0g ＝1－d R ，A 正确．8．D5[2013·江苏卷] 2013年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )图6A ．线速度大于地球的线速度B ．向心加速度大于地球的向心加速度C ．向心力仅由太阳的引力提供D ．向心力仅由地球的引力提供8．AB [解析] 飞行器与地球绕太阳同步做圆周运动，它们的周期相同，角速度也相同，由v ＝rω，a ＝rω2，可知半径越大，线速度越大，向心加速度也越大，A 、B 正确；飞行器的向心力由太阳和地球的合力来提供，C 、D 错误．图621．D5[2013·广东卷] 如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )A ．动能大B ．向心加速度大C ．运行周期长D ．角速度小21．CD [解析] 由G Mm r2＝ma 、G Mm r2＝mv2r 、G Mm r2＝mω2r 、G Mm r2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 分别解得：a ＝GM r2、v ＝GMr 、ω＝GMr3、T ＝2πr3GM ，由这些关系可以看出，r 越大，a 、v 、ω越小，而T 越大，故A 、B 错，C 、D 对． 16．D5[2013·福建卷] 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( ) A.mv2GN B.mv4GN C.Nv2Gm D.Nv4Gm16．B [解析] 卫星绕行星表面做匀速圆周运动，则G Mm R2＝m v2R ，在行星表面有：G Mm R2＝mg ，由弹簧测力计的读数可知：g ＝Nm ，联立解得：M ＝mv4NG . 18．D5 [2013·北京卷] 关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是( )A ．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B ．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合18．B[解析] 由开普勒第三定律a3T2＝k可知，只要椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相等，它们的周期是相同的，A项错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在关于长轴(或短轴)对称的点上，线速度的大小是相同的，B项正确；同步卫星的轨道半径、周期、线速度等都是相同的，C项错误；经过同一点的卫星可有不同的轨道，D项错误．本题答案为B项．14．D5[2013·安徽卷] 我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则()A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大14．B [解析] 由公式G Mmr2＝mv2r＝mrω2＝m⎝⎛⎭⎪⎫2πT2r＝ma，得v＝GMr，ω＝GMr3，a＝GMr2，T＝4π2r3GM，则v、ω、a随r的增大而减小，T 随r 的增大而增大，由题意可知“天宫一号”比“神舟八号”的轨道半径大，B 正确． 【2012年-2013年】1.（2013·江苏物理·T7）一行星绕恒星作圆周运动。
《万有引力与航天复习学案》
《万有引力与航天复习学案》一、 知识脉络万有引力定律的⎪⎩⎪⎨⎧、应用、含义、发现321二、 夯实基础1、 发现：地心说——日心说（哥白尼）——第谷观测——开普勒三大定律——牛顿推理太阳与行星间的引力2rMm G F =(用到开三、牛三、牛二）——万有引力定律。
2、开普勒三大定律：（1）开一（轨道定律）： 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆的，太阳处在所有椭圆的共同焦点上。
中学简化：（2）开二（面积定律）： 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
中学简化： （3）开三（周期定律）： 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
中学简化：3、万有引力定律：（1）表达式： 。
G ：万有引力常量，22/Kg m N ∙⨯=-11106.67G是卡文狄许用扭称实验测出。
（2）适用条件：两质点间、两均匀球间，一质点和一均匀球体间。
（r 点点、心心、点心间距）三、解题线索1、天上：2222)()()(h R gR h R GM g g m h R GMm +=+='⇒'=+可见g '随距表面高度↑而↓。
)(422222h R r Tmr ma mr r v m F g m r GMm n n +======='= πω 2、地上（人间）（1）忽略自转：22gR GM mg RGMm =⇒= 黄金替换式 匀速圆周远日近日⇒〉v v 圆心圆；焦点椭圆⇒⇒星无关的量。
是只与太阳有关，与行，K K T a =23K T r K T a ==2323变为（2）考虑自转：⎪⎩⎪⎨⎧+'=⇒22ωmR g m R GMm 赤道两极同上从赤道到两极n F ↓，重力↑，↑'g 。
即使在赤道：引F F n 〈〈也可以认为：22gR GM mg R GMm =⇒= 四、专题 专题一：对221r m Gm F =的理解 1、 若21m m +和r 一定，当21m m =时引F 有最大值。
万有引力与航天专题复习学案(自己整理较全)
2400g20g⎪D．R⎫2A．1－dR B．1+d R C．万有引力与航天r F向m一、预备知识1、匀速圆周运动：①线速度②角速度MF引θ地R③周期和频率④向心加速度⑤向心力2、开普勒三定律①椭圆定律②面积定律③第三定律例1（2012北京18A）：判断对错：分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颖卫星，不可能具有相同的周期。
（）w(2)天体运动都可近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,即注意：如图，一般中心天体半径记为R，环绕天体到中心天体表面的距离记为h，则环绕天体环绕半径记为r，r=R+h练习1（2013西城二模17）如图所示，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点N的高度分别为439km和二、万有引力理论的应用1、解决重力加速度问R忽略中心天体自转得：h•2384km，“东方红一号”卫星D M N A．在M点的速度小于在N点的速度B．在M点的加速度小于在N点的加速度C．在M点受到的地球引力小于在N点受到的地球引力D．从M点运动到N点的过程中动能逐渐减小练习（2013朝阳二模17）经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星”的轨道均处在火星和木星轨道之间，它们绕太阳沿椭圆轨道运行，其轨道参数如下表。
表面重力加速度：轨道重力加速度（距天体表面高h处）：例2（04北京）：1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。
若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。
已知地球半径R=6400km,地球表面重力加速度为g。
这个小行星表面的重力加速度为（B）远日点近日点神舟星 3.575AU 2.794AU 杨利伟星 2.197AU 1.649AU A．400g B.1C.20gD.1注：AU是天文学中的长度单位，1AU=149597870700m（大约是地球到太阳的平均距离）。
2023届高考物理二轮复习学案：万有引力与航天
2023届高三二轮学案万有引力与航天(一)计算天体质量和密度的两条基本思路1．利用中心天体自身的半径R 和表面的重力加速度g ：由GMm R 2＝mg 求出M ，进而求得ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR 。
2．利用环绕天体的轨道半径r 、周期T ：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得出M ＝4π2r 3GT 2，若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r ＝R ，则ρ＝M43πR 3＝3πGT 2。
(二)涉“g ”问题的两点提醒1．不考虑自转问题时，有G Mm R 2＝mg ，其中g 为星球表面的重力加速度，若考虑自转问题，则在两极上才有：G Mm R 2＝mg ，而赤道上则有：G Mm R 2－mg ＝m 4π2T 2R 。
2．根据自由落体、竖直上抛、平抛运动等知识计算出星球表面的重力加速度g ，再由mg ＝G Mm R 2＝m v 2R，去估算星球的质量、密度、第一宇宙速度等，是天体运动问题中常出现的一类综合题。
(三)天体运动问题1．定量分析法(1)列出五个连等式：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T 2r 。
(2)导出四个表达式：a ＝GM r 2，v ＝ √GM r ，ω＝ √GM r 3，T ＝ 2π√r 3GM 。
(3)结合r 大小关系，比较得出a 、v 、ω、T 的大小关系。
2．定性结论法将下述结论牢记于心：r 越大，向心加速度、线速度、动能、角速度均越小，而周期和机械能均越大。
典型例题（考查行星运动与开普勒定律）例1、为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍。
P 与Q 的周期之比约为( )A.2∶1B.4∶1C.8∶1D.16∶1（考查重力与万有引力的关系）例2、（多选）已知一质量为m 的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN ，假设地球是质量均匀的球体，半径为R 。
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《万有引力与航天》复习导学案
【学习目标】
1、知道开普勒三定律的内容；
2、理解万有引力定律的内容、公式、适用条件，会用万有引力定律计算物体间的万有引力；
3、熟练运用万有引力定律求解天体的质量、密度；
4、熟练运用万有引力定律解决天体运行问题；
5、知道第一宇宙速度的大小和意义，会求解不同天体的“第一宇宙速度”；
6、知道第二、第三宇宙速度的大小和意义；
7、知道同步卫星的特点；
预习案
1.开普勒运动定律
(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是，太阳处在所有椭圆的一
个上．（亦称为轨道定律）
(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的相等．（亦称为面积定律）
(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的跟
的二次方的比值都相等．（亦称为周期定律）
探究案
2.万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互，引力的方向在它们的，引力的大小与物体的质量成正比、与它们之间距离的二次方成。
(2)公式： ,其中，称为引力常量。
(3)适用条件：适用于两间，此时r为；
也适用于两质量分布均匀的间，此时r为。
探究一、两条思路：计算天体质量
思路一：
利用的规律：__________________________，方程为：________________；
运用该思路求解天体质量，需要的条件有：___________________________；
思路二：
利用的规律：__________________________，方程为：________________；
运用该思路求解天体质量，需要的条件有：_________________；
练习2：
探究二、三个宇宙速度
1、第一宇宙速度v=____________，意义:
(1) ______卫星的环绕速度；(2)最大的______速度；(3)最小的________速度。
2、第二宇宙速度v = ，意义：当_______速度大于或等于该速度时，卫星将脱离_______引力的束缚，而成为人造行星。
3、第三宇宙速度v = ，意义： 当_______速度大于或等于该速度时，卫星将脱离_______引力的束缚,逃逸到太阳系外。
探究三、四个常用关系：处理卫星环绕问题
在处理卫星环绕问题时，常用的四个基本关系式是哪些？请你写出来，并推导。
1、
________2
=r
GMm
，可解得v =_________； 2、
________2=r GMm
，可解得ω =_________； 3、
________2
=r GMm
，可解得T =_____________； 4、
________2
=r GMm
，可解得a =_____________； 通过上面的关系式，你会发现:
随着轨道半径的增大，线速度_____，角速度______，周期_____，加速度______。
以上规律，可概括为: 卫星的轨道越高，卫星运行得越____，同时加速度也越____。
探究四一、两个模型
模型1、重力等于万有引力
(1)方程：2
R
GMm
mg =
； (2)应用：
Ⅰ可用来估算天体的_______；
Ⅱ可用来估算天体表面附近的______________；
Ⅲ可用来估算离天体高度为h 处的重力加速度。
方程为：______________；可知重力加速度会随着高度的增加而________。
检测案
课后习题 各节 1.2.3
在环绕天体的运动中，万有引力提供向心力。
(方程有三种常见形式)
(1)
r v m r GMm 22= r m r GMm 2
2ω= r T
m r GMm 2224π= (2)应用：
Ⅰ可用来估算中心天体的_______；
Ⅱ可用来求解卫星运动的________、_________及_________； Ⅲ可用来比较不同轨道半径的卫星的线速度、角速度及周期；。