江苏高三数学二轮复习教学案：椭圆中与面积有关的定值问题
专题07(与椭圆相关的定值、定点问题)(教案)-高考数学中平面解析几何知识点提优(江苏专用)
例题1.（2020湖南，21题）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点． 【分析】(1)根据椭圆的几何性质，可写出A 、B 和G 的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a 的方程，解之即可；(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，P(6,t)，然后分两类讨论：①t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，写出直线PA 和PB 的方程后，消去t 可得3y 1(x 2−3)=y 2(x 1+3)，结合x 229+y 22=1，消去x 2−3，可得(27+m 2)y 1y 2+m(n +3)(y 1+y 2)+(n +3)2=0，然后联立直线CD 和椭圆的方程，消去x ，写出韦达定理，并将其代入上式化简整理得关于m 和n 的恒等式，可解得n =32或−3(舍)，从而得直线CD 过定点(32,0)；②若t =0，则直线CD 的方程为y =0，只需验证直线CD 是否经过点(32,0)即可． 本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，涉及分类讨论的思想，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 思维升华解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质．对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的概念及几何性质的基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓．这类题型的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目的条件整体化简。
也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目条件，因题而异。
苏教版高中数学高考二轮复习专题：椭圆中面积最值问题
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
典例剖析
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
先画图 线参数
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典例剖析
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
椭圆中面积最值问题
高三 数学
考点概述
椭圆背景下的面积问题，是椭圆性质的进一步应用．解 决这类问题的基本思路是根据问题中几何元素在变化过程中 互相制约的关系，找到构建面积的合理路径，构建可解出范 围的函数．这节课主要以椭圆中的三角形面积为例．
典例剖析
斜率参数
典例剖析
建立面积关于斜率的函数
典例剖析
点参数
建立面积关于坐标分量 的二元(或一元)函数
也可以三角换元 求此最值
典例剖析
先画图
典例剖析
线参数
D
参数m, n的关系
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典例剖析
D
建立面积函数
苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
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苏教版高中数学高考二轮复习专题： 椭圆中 面积最 值问题
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1． 生 活 在 新 时代的 我们， 除了认 真学习 ，提高 自己的 知识水 平之外 ，社会 上的一 些热点 问题也 不容忽 视，这 是我们 应该思 考探究 的。1． 史料 一论述 了唐诗 的成就 及地位 。史料 一方面 说明唐 代诗人 和作品 众多， 另一方 面说明 唐代诗 歌内容 的广泛 ，全面 反映了 社会各 阶层人 物的生 活状况 和精神 面貌。 2． 史 料 二 反 映了宋 词的特 点及盛 行的原 因。史 料主要 说明宋 词具有 世俗化 的特点 ，其盛 行源于 民间市 民阶层 娱乐的 需要。
高中数学专题复习课教学模式探究及实践——以“椭圆中的定值定点问题”为例
Educational Practice and Research在高中数学教学中，专题复习课教学能够根据学生的实际情况，解决学生的真问题。
专题复习课以充分了解相关教学内容、学生学情为基础，将一类数学问题的知识、方法进行建构，挖掘其蕴含的思想方法，使学生在原有认知上有新的升华，发展学生的数学核心素养。
在近几年的全国各省市高考数学试卷中，椭圆的定值定点问题多次出现，考查多个知识点，对分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力都有较高要求。
教师在日常教学中应重视该专题内容的系统整理，形成解题策略，提升学生综合运用的能力，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。
下面以“椭圆中的定值定点问题专题复习课”的教学过程为例，说明如何进行专题复习课的教学。
一、分析学生学情，明确教学目标学生已经学习了椭圆的定义、几何性质等基本知识，以及直线与椭圆的位置关系相关内容，具备了一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的运算能力。
但是学生对该专题内容———椭圆中的定值定点问题缺乏理解与认识，无法形成解题策略及思维网络，同时处理该专题内容需要有较强的问题分析能力、几何直观能力和运算能力，学生比较欠缺这些能力。
根据学生实际学情，明确本节专题课的教学目标：1.通过核心问题及问题串，引导学生经历———以“椭圆中的定值定点问题”为例温绍雄，尹兰（河北正定中学，河北石家庄050800）摘要：高中数学专题复习课是围绕课程主线设计，整体把握专题内容结构及学生认知，旨在解决学生真问题的一种教学模式。
以“椭圆中的定值定点问题”的教学实践为例，探讨如何在教学中设计、落实专题复习课，帮助教师深入理解核心素养背景下的高中数学教学，促进学生发展数学思维，提升数学核心素养。
关键词：教学模式；专题课；教学实践；定值定点问题中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2021）35-0044-05直观感知、操作确认，概括出椭圆中的定值定点问题的解题策略，提升学生数学抽象、逻辑推理核心素养。
2025届高考数学二轮复习微专题25椭圆中与面积有关的定点定值问题作业
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题1.已知椭圆x 24＋y22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若PF 1－PF 2＝2，则△PF 1F 2的面积是________．2．椭圆x 216＋y27＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在椭圆上且直线AB 过F 2，若△F 1AB 的面积为2，则|y 1－y 2|的值为________．3．已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，动直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 相切，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l.则四边形F 1MNF 2的面积为________．4．已知椭圆G 的方程为x 212＋y24＝1.斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，则△PAB 的面积是________．5．已知椭圆C ：x 212＋y24＝1，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另外一点A(点A 在x 轴下方)，若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的动点，且直线AP ，BP 分别交直线y ＝x 于点M ，N ，则OM·ON＝________．6．焦点在x轴的椭圆C过点P(2，2)，且与直线l：y＝x＋3交于A，B两点，若△PAB 的面积为2，则椭圆C的标准方程为________．7.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b＞0)过点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，圆O ：x 2＋y 2＝b 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与圆O 相切，切点在第一象限内，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△OAB 的面积为64时，求直线l 的方程．8．已知椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过原点的两条直线l 1和l 2分别与Γ交于点A ，B 和C ，D ，得到平行四边形ACBD.(1)当四边形ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S.(2)若直线l 1和l 2关于y 轴对称，Γ上随意一点P 到l 1和l 2的距离分别为d 1和d 2，当d 12＋d 22为定值时，求此时直线l 1和l 2的斜率及该定值．(3)当四边形ACBD 为菱形，且圆x 2＋y2＝1内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满意的关系式．微专题251．答案： 2.解析：由题意，PF 1＋PF 2＝4，所以△PF 1F 2的三边长分别为3，1，22，明显△PF 1F 2是直角三角形，所以S ＝12×1×22＝ 2.2．答案：23.解析：△F 1AB 的面积S ＝12·F 1F 2·|y 1－y 2|＝3|y 1－y 2|＝2，所以|y 1－y 2|＝23.3．答案：7.解析：将直线l 的方程y ＝x ＋m 代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中，得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＝0，化简得m 2＝7.设d 1＝F 1M ＝|－1＋m |2，d 2＝F 2N ＝|1＋m |2，又|d 1－d 2|＝MN ，所以S ＝12|d 1－d 2|(d 1＋d 2)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪d 12－d 222＝|m |＝7.4．答案：92.解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4； 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2.所以AB ＝32，此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12AB ·d ＝92.5．答案：6. 解析：设P (x 0，y 0)，则x 0212＋y 024＝1，即y 02＝4－x 023.设M (x M ，y M )，由A ，P ，M 三点共线，即AP →∥AM →，所以(x 0＋3)(y M ＋1)＝(y 0＋1)(x M ＋3)，又点M 在直线y ＝x 上，解得M 点的横坐标x M ＝3y 0－x 0x 0－y 0＋2，设N (x N ，y N )，由B ，P ，N 三点共线，即BP →∥BN →，所以x 0(y N ＋2)＝(y 0＋2)x N ，点N 在直线y ＝x 上，解得N 点的横坐标x N ＝－2x 0x 0－y 0－2.所以OM ·ON ＝2|x M －0|·2|x N －0|＝ 2|x M |·|x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y 0－x 0x 0－y 0＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2x 0x 0－y 0－2＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02－6x 0y 0（x 0－y 0）2－4＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02－6x 0y 0x 02－2x 0y 0－x 023＝ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－3x 0y 0x 023－x 0y 0＝6. 6．答案：x 26＋y 23＝1.解析：由题意，设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，其中0＜m ＜n .则有m ＋n ＝12.另一方面，联立⎩⎨⎧y ＝x ＋3，mx 2＋ny 2＝1，消去x 得12y 2－23my ＋3m －1＝0.因为OP ∥AB ，所以△PAB 的面积即为△OAB 的面积，所以S ＝12×3·|y 1－y 2|＝66m 2－3m ＋1＝2，所以6m 2－3m ＋13＝0，解得m ＝13或者m ＝16.因为0＜m ＜n ，所以m＝16，n ＝13.椭圆C 的方程为x 26＋y23＝1. 7．答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)y ＝－22x ＋62.解析：(1)因为椭圆C 过点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，代入椭圆方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧02a 2＋12b 2＝1.12a 2＋12b 2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的标准方程是x 22＋y 2＝1.(2)因为切点在第一象限，所以可设直线l 为y ＝kx ＋m (k ＜0，m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2·21＋2k2，因为直线l 与圆O 相切，圆心O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝1，所以m 2＝1＋k 2.线段AB 的长为l AB ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4km 1＋2k 22－4·2m 2－21＋2k 2＝ 22·1＋k 21＋2k 2·k 2，所以△OAB 的面积S ＝12l AB ·d ＝12×22×1＋k 21＋2k 2·k 2＝64，即（1＋k 2）·k 2（1＋2k 2）2＝316，所以16(1＋k 2)·k 2＝3(1＋2k 2)2，即(2k 2＋3)(2k 2－1)＝0，所以k 2＝12，k ＝－22，所以m ＝62，直线l 的方程为y ＝－22x ＋62. 8．答案：(1)4a 2b 2a 2＋b 2；(2)直线l 1和l 2的斜率分别为b a 和－b a ，此时d 12＋d 22＝2a 2b 2a 2＋b 2；(3)1a 2＋1b2＝1.解析：(1)因为四边形ACBD 为正方形，所以直线l 1，l 2的方程为y ＝x 和y ＝－x .点A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2a 2＋y 2b2＝1的实数解，解得x 12＝x 22＝a 2b 2a 2＋b 2.依据对称性，可得正方形ACBD 的面积S ＝4x 12＝4a 2b2a 2＋b 2.(2)由题意，不妨设直线l 1的方程为y ＝kx (k ≠0)，于是直线l 2的方程为y ＝－kx .设P (x 0，y 0)，于是有x 02a 2＋y 02b 2＝1，又d 1＝|kx 0－y 0|k 2＋1，d 2＝|kx 0＋y 0|k 2＋1，d 12＋d 22＝（kx 0－y 0）2k 2＋1＋（kx 0＋y 0）2k 2＋1＝2k 2x 02＋2y 02k 2＋1，将y 02＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 02a 2代入上式，得d 12＋d 22＝2k 2x 02＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 02a 2k 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－b 2a 2x 02＋2b2k 2＋1，对于随意x 0∈[－a ，a ]，上式为定值，必有k 2－b 2a 2＝0，即k ＝±ba，因此，直线l 1和l 2的斜率分别为b a 和－b a ，此时d 12＋d 22＝2a 2b 2a 2＋b2.(3)设AC 与圆x 2＋y 2＝1相切的切点坐标为(x 0，y 0)，所以x 02＋y 02＝1，则切线AC 的方程为x 0x ＋y 0y ＝1.点A ，C 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y ＝1，x 2a 2＋y 2b2＝1的实数解．①当x 0＝0或y 0＝0时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1，1)，于是有1a 2＋1b2＝1.②当x 0≠0且y 0≠0时，将y ＝1y 0(1－x 0x )代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(b 2y 02＋a 2x 02)x 2－2x 0a 2x＋a 2(1－b 2y 02)＝0，于是x 1x 2＝a 2（1－b 2y 02）b 2y 02＋a 2x 02，同理可得y 1y 2＝b 2（1－a 2x 02）b 2y 02＋a 2x 02.因为ACBD 为菱形，所以AO ⊥CO ，得AO →·CO →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以a 2（1－b 2y 02）b 2y 02＋a 2x 02＋b 2（1－a 2x 02）b 2y 02＋a 2x 02＝0，整理得a 2＋b 2＝a 2b 2(x 02＋y 02)．因为x 02＋y 02＝1，得a 2＋b 2＝a 2b 2，即1a 2＋1b2＝1.综上，a ，b 满意的关系式为1a 2＋1b2＝1.。
江苏省高考二轮复习专题：椭圆中一类定点问题解法探究课件
DA x , y b, DB x , y b
11
2
2
DA DB x x y b y b
12
1
2
x x y y by y b
12
12
1
2
0（*）
y +y
1
2
kx 1
x 2
2 3
2
32k 2
1
yy 12
kx 1
1 3
kx 2
1 3
优秀课件PPT公开课优质课PPT课件20 20届 江苏省 高考二 轮复习 专题： 椭圆中 一类定 点问题 解法探 究课件( 共19张 PPT)
2.一些技巧：
（3）若等式为含k分式，可以考虑使其分子为0， 或者可以考虑让分子分母消去k的式子变成常数.
面对复杂问题时，可以从特殊情况入手，以确定可能的定点，再进行证明.
优秀课件PPT公开课优质课PPT课件20 20届 江苏省 高考二 轮复习 专题： 椭圆中 一类定 点问题 解法探 究课件( 共19张 PPT)
2设直线l：y kx 1 , A x , y , B x , y
3
11
2
2
联立方程
y
kx
1 3
x
2
y2
1
2k 2
1
x2
4 3
kx
16 9
0
2
有x x 4k ,
1
2
32k 2 1
16 xx
1 2 9 2k 2 1
设D 0,b，因为以AB为直径的圆过D 点，
所以有DA DB， DA DB=0
2t
解得t=2（舍）.
从而设直线l：y kx m m 1
2023届江苏省高考数学二轮复习微专题9结合椭圆中直线的斜率关系求定点问题
2023届江苏省高考数学二轮复习微专题9结合椭圆中直线的斜率关系求定点问题x22例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x＋y＝4，椭圆C：＋y＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O6－，0?.设直线AB，AC的斜的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D??5?率分别为k1，k2.(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q.(例1)x22变式过椭圆＋y＝1的上顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N 两点．求4证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．1.圆锥曲线中定点问题处理方法：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2.两直线的斜率关系的处理：一种方法是通过消除参数来减少变量个数，另一种方法即是设点的坐标，然后通过“设而不求”的办法来加以处理．x2y221.如图，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为，过点F作两条ab2互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．(第1题)x2y22.已知椭圆＋＝1，过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M32N分别为线段AB，CD的中点．若k1＋k2＝1，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．x2y23.如图，已知椭圆E1：2＋2＝1(a>b>0)，圆E2：x2＋y2＝a2，过椭圆E1的左顶点A作ab斜率为k1的直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于点B，C.设D为圆E2上不同于A的一点，k1b2直线AD的斜率为k2，当＝2时，试问：直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；k2a若不过定点，请说明理由．(第3题)x2y2334. 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3?－1，?，P4?1，?ab2?2中恰有三点在椭圆C上． (1) 求椭圆C的方程；(2)设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，求证：直线l过定点．。
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参数m, n的关系
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典例剖析
D
建立面积函数
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解法提炼
求椭圆中三角形面积的最值： (1)解题方向：建立面积关于某个(某些)变量的函数． (2)实现策略
典例剖析
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典例剖析
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斜率参数
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椭圆中面积最值问题
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考点概述
椭圆背景下的面积问题，是椭圆性质的进一步应用．解 决这类问题的基本思路是根据问题中几何元素在变化过程中 互相制约的关系，找到构建面积的合理路径，构建可解出范 围的函数．这节课主要以椭圆中的三角形面积为例．
数学高考二轮热点难点微专题六椭圆中的定点、定值问题
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
第1页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
专课 题时 综作 述业
椭圆中的三定(定点、定值、定线)问题近几年高考题中考察频率降低，但在模考题 中依然是热点，这类问题中直线、圆、椭圆、向量共存，考察运算能力和数学思 想运用常见题型．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
又因为P→N＝x0，x12－y12，Q→N＝x0，x22－y22， 所以P→N·Q→N＝x20＋x12－y12·x22－y22＝x20＋x1－42y1yx22－2＝0 恒成立． 又因为(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝41k＋2－4k42－21＋8k42k2＋4＝1＋4k42k2， y1y2＝k(x1－1)k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝k241k＋2－4k42－1＋8k42k2＋1＝1－＋34kk22，
x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
解析：(1)
由题意得ac＝ 23， a12＋43b2＝1，
解得 a＝2，b＝1.所以椭圆 C 的方程是x42＋y2
＝1. (2) 以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
当且仅当 m>－1 时，Δ>0，欲使 l：y＝－m＋2 1x＋m，即 y＋1＝－m＋2 1(x－2)， 所以 l 过定点(2，－1)． 点评：椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这 一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化， 找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之 前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联 立方程组，求判别式、根与系数关系，根据题设关系进行化简．
江苏省苏州市2017届高三3月(3.30)数学二轮研讨会学案椭圆中与面积有关的定值问题(颜波)教师版
苏州市2017年高三数学二轮复习研讨课 姓名: ___________班级:_______________1椭圆中与面积有关的定值问题张家港常青藤实验中学 颜波【教学目标】1、学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何关系，探究或证明动态图形中的定值问题，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用； 2、后期加强对高考题和课本题的研究．【教学重、难点】根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径（能够计算——设计运算——数据处理）． 【教学方法】探究研讨式 【教学过程】卷首语：解析几何让人迷恋之处恰是其变化中的不变属性，去繁至简的永恒追求，而设计运算，优化运算更是探索奥秘当中必不可少的乐趣所在. （一）典型例题 例：（改编：2015高考上海，理21）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=，过原点O 的两条射线1l 和2l 分别与椭圆交于A 和B ，记得到的AOB ∆的面积为S . （1）设()11,A x y ，()22,B x y ，求证：122112S x y x y =- （2）设1l 与2l 的斜率之积为14-，求面积S 的值.（1） 证明：1sin 2S OA OB AOB =⋅∠=12OA =⋅=122112x y x y =- （2） 解：设()2cos ,sin ,(2cos ,sin )A B ααββ由1l 与2l 的斜率之积为14-所以1212sin sin 12cos 2cos 4y y x x αβαβ==-，所以cos cos sin sin 0αβαβ+=，所以()cos 0αβ-=高三二轮优选方法 注重反思提升能力 激情学习高效课堂 刻苦拼搏创造辉煌2又12211cos sin cos sin sin()12S x y x y αββααβ=-=-=-= 所以面积的值为1PPT 上的系列追问：（同样用三角法）追问1：若,OA OB 的斜率分别为12,k k ，且△AOB 的面积为1，求12k k ⋅.追问2：若,OA OB 的斜率分别为12,k k ，问是否存在非零常数λ，使12k k λ⋅=时，△AOB 的面积S 为定值？若存在，求λ和S 的值；若不存在，说明理由.追问3：若动点P 满足4OP OA OB =+，其中△AOB 的面积1S =，问是否存在定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若不存在，说明理由.（二）自主探究例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2214x y +=的内接ABC D ，O 为坐标原点，且O 恰为ABC D 的重心，求证：ABC D 的面积为定值．解：设()2cos ,sin ,(2cos ,sin )A B ααββ，()00,C x y因为O 为ABC D 的重心，所以002cos 2cos ,sin sin x y αβαβ=--=--所以()()222cos 2cos sin sin 14αβαβ--+--=所以()1cos 2αβ-=-苏州市2017年高三数学二轮复习研讨课 姓名: ___________班级:_______________3所以33sin 2ABC AOB S S OA OB AOB ∆∆==⋅∠=32OA=⋅=122132x y x y -3cos sin cos sin 3sin()αββααβ=-=-=（三）回顾反思。
江苏省高考数学二轮复习专题26椭圆中定值和最值问题精品课件精品课件
专题二十六 │ 主干知识整合
二、椭圆中的最值问题 1．参数的取值范围 由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如 k，a，b， c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数 的不等式或函数进行求解． 2．长度和面积的最值 由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此 类问题主要是建立关于参数(如 k 或(x，y))的函数，运用函数或基 本不等式求最值．
c
解得 AT 与 BF 的交点a22＋Байду номын сангаас2cc2，a2＋b3 c2，代入①得：
2a2c
2
b3
2
a2＋c2 a2
＋a2＋b2c2
＝4a2c2a＋2＋ac22－2 c22＝1，
满足①式，则 AT 与 BF 的交点在椭圆上，即为点 C，则 A，C，T 三点共线．
(2)过 C 作 CE⊥x 轴，垂足为 E，则△OBF∽△ECF.
y＝kx＋2， 则x42＋y2＝1， 化简得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
因为此方程有一根为－2，所以 xM＝12＋－48kk22，
专题二十六 │ 要点热点探究
同理可得 xN＝2kk22＋－48. 由(1)知若存在定点，则此点必为 P－65，0. 因为 kMP＝xMy＋M 65＝k2121－ ＋－ ＋8484kkkk2222＋＋562＝4－5k4k2， 同理可计算得 kPN＝4－5k4k2. 所以 kMP＝kPN，M、P、N 三点共线， 所以直线 MN 过 x 轴上的一个定点 P－65，0.
即可得∠MAN＝π2.
专题二十六 │ 要点热点探究
► 探究点二 与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题，一般建立两类函数：一是关于 k 的函数；二是关于点(x，y)的函数．
《选修11：椭圆中定值定点问题》教案
3．【解析】设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，半焦距为c，则由条件，得b＝c，b2＋c2＝4，解得b＝c＝ ，于是a＝2，从而C、D就是椭圆的焦点，于是PC＋PD＝2a＝4，由基本不等式得PC·PD≤ 2＝4，即PC·PD的最大值为4．
【答案】4
4．【解析】设M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，从而k1·k2＝ · ＝ ，
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
1．已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|＝1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得 · ＝0．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【知识导图】
【教学建议】
1．定点、定值、探索性问题是椭圆中的综合题，一直是高考考查的重点和热点问题．
2．本部分在高考试题中多为解答题，是中高档题．
Ey＋F＝0交点的圆的方程．
(3)与椭圆有关的参数的定值问题．
(1)参数的取值范围：
由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．
答案与解析
1．【解析】直线方程即为y－2＝a(x－3)，因此当x－3＝0且y－2＝0时，这个方程恒成立，故直线系恒过定点(3，2)．
【答案】(3，2)
2．【解析】因直线与圆没有公共点，所以圆心到直线的距离 >2，则m2＋n2<4，可以判断出点(m，n)在椭圆的内部，故过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为2．
椭圆及其面积教案
椭圆及其面积教案教案主题：椭圆及其面积教学目标：1.了解椭圆的定义和性质；2.掌握如何求椭圆的面积；3.能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆的面积计算方法。
教学难点：1.让学生掌握如何求椭圆的面积。
教学准备：1.教师准备一些椭圆的例题和练习题；2.学生准备纸和笔用于做题。
教学过程：Step 1：导入新知1.教师用一张纸板上画出一个椭圆的形状，引导学生观察并说明其特点；2.学生讨论并给出他们对椭圆的定义。
Step 2：介绍椭圆的定义和性质1.教师给出椭圆的定义和性质的简单解释，并与学生一起讨论和理解；2.教师给学生展示一些椭圆的实际例子，让学生观察并找出其特点。
Step 3：解决椭圆的面积1.教师引导学生思考如何通过已知数据求解椭圆的面积；2.教师给出求解椭圆面积的公式和步骤；3.教师通过一个简单的例题演示如何求解椭圆的面积；4.学生进行个人或小组练习，做几道类似的题目。
Step 4：解决实际问题1.教师给出一个实际生活中的问题，要求学生应用所学知识解决；2.学生个人或小组讨论并给出解决方案；3.学生展示他们的解决方案，并与其他同学进行讨论。
Step 5：总结和拓展1.教师总结本节课的内容，强调重点和难点；2.教师提供一些拓展题目，要求学生练习巩固所学知识。
教学反思：本节课通过引导学生观察和思考，让他们主动探究椭圆的定义和性质，从而加深对椭圆的理解。
通过解决椭圆的面积和实际问题，学生能够将所学知识应用于实践，培养了解决问题的能力。
教学过程中，教师应注重引导学生思考和讨论，激发他们的学习兴趣和主动性。
同时，教师要关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题
2－2sinθ－2cosθ＋2sinθcosθ ＝2.所以，四边形 AMNB 的面积为定值． 1－sinθ－cosθ＋sinθcosθ
1 说明：将四边形面积转化为2AN· BM，是顺利解题的关键．本例可 以拓展为一般的情形．
x2 2 变式 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 4 ＋y ＝1，点 A，B 分 别是椭圆的右顶点和上顶点，设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：AN· BM 为定值．
2 2 1 x0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4 14＋4x0y0－4x0－8y0＋4 ＝ ＝2. ＝2 x0y0－x0－2y0＋2 2 x0y0－x0－2y0＋2
所以，四边形 AMNB 的面积为定值．
证法 2 设点 P(2cosθ，sinθ)，因为 P 在第三象限，所以不妨设 π＜θ 3π sinθ sinθ ＜ 2 ，直线 PA：y＝ (x－2)，令 x＝0，得 yM＝ .∴BM＝ 2cosθ－2 1－cosθ
x2 2 变式 2 如图，已知椭圆 2 ＋y ＝1，过椭圆的上顶点 A 作一条与两轴均 不平行的直线 l 交椭圆于另一点 P， 设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q， 若直线 AP，AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m，n，求证：mn 为 常数，并求出此常数．
答案：2.
x2 0 解析：设点 P(x0，y0)，则有 2 ＋y2 0＝1. y0－1 x0 所以 AP 方程：y＝ x x＋1，令 y＝0，得 m＝ . 1－y0 0 x0 由题意， 点 Q 与 P 关于 x 轴对称， 所以 Q(x0， －y0)， 同理得 n＝ . 1＋y0 x2 0 所以 mn＝ 2＝2.所以 mn＝2 为常数． 1－y0
高中数学教学论文 椭圆中的一组“定值”命题 苏教版
椭圆中的一组“定值”命题圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。
笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。
希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的方法，探索总结出相关的结论。
命题1 经过原点的直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于M 、N 两点，P 是椭圆上的动点，直线PM 、PN 的斜率都存在，则PN PMk k ⋅为定值22ab -.证明：设),(P 00y x ，),(M 11y x ，),(N 11y x --，则2120212010101010x x y y x x y y x x y y k k PNPM --=++⋅--=⋅（*），而点P 、M 均在椭圆12222=+b y a x 上，故)1(220220a x b y -=，)1(221221ax b y -=，代入（*）便可得到22ab k k PNPM -=⋅.练习： 已知A 、B 分别是椭圆191622=+y x 的左右两个顶点，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，则=⋅B A P P k k . （答案：169-）.命题2 设A 、B 、C 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的三个不同点，B 、C 关于x 轴对称，直线AB 、AC 分别与x 轴交于M 、N 两点，则ON OM ⋅为定值2a .证明：设),(A 11y x ，),(B 22y x ，),(C 22y x -，则直线AB 的方程为)(121211x x x x y y y y ---=-，令0y =得M 点的横坐标121221121211y y y x y x x y y x x y x M --=+--⋅-=，同理可得N 点的横坐标121221N y y y x y x x ++=，于是212221222221ON OM y y y x y x x x N M --=⋅=⋅，由于212222122222121221222212222222212222122222222122111y y a y x y x y b y y a y x y b y y a y x b y a x b y a x -=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+，因此有2212221222221ON OM a y y y x y x x x NM =--=⋅=⋅.练习： 设21B B ，分别是椭圆1162522=+y x 的上下两个顶点，P 是椭圆上异于21B B ，的动点，直线21PB PB ，分别交x 轴于M 、N 两点，则=⋅ON OM . （答案：25）.命题 3 过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点),(P 00y x 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M 、N 两点，则直线MN 的斜率为定值0202y a x b .证明：设直线PM 的方程为)(00x x k y y -=-，则直线PN 的方程为)(00x x k y y --=-，联立)(00x x k y y -=-和12222=+by a x 组成方程组，消去y 可得0)()(2)(2220020022222=--+-++b a kx y a x kx y k a x b k a .设),(),,(2211y x N y x M ，则22200201)(2b k a kx y k a x x +--=+，可得22202022212)(b k a ky a x b k a x +--=，同理可得22202022222)(b k a ky a x b k a x ++-=， 则222022221)(2b k a x b k a x x +-=+， 22202214b k a ky a x x +-=-，于是222020210020012142)()()(b k a kx b kx x x k y x x k y x x k y y +-=-+=--++-=-， 故直线MN 的斜率为02022121y a x b x x y y =--. 练习： 已知椭圆11622=+y x ，过点)23,2(A -作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，分别交椭圆于P 、Q 两点，则直线PQ 的斜率为 . （答案：123-）.命题4分别过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上两点),(),,(P 0000y x Q y x ''作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M 、N 两点，则直线MN 的斜率为定值)()(00202y y a x x b '+'+.证明：设直线PM 的方程为)(00x x k y y -=-，联立)(00x x k y y -=-和12222=+by a x 组成方程组，消去y可得0)()(2)(2220020022222=--+-++b a kx y a x kx y k a x b k a . 设),(),,(2211y x N y x M ，则22200201)(2b k a kx y k a x x +--=+，可得22202022212)(b k a ky a x b k a x +--=，同理可得22202022222)(b k a y k a x b k a x +'+'-=，则2220020022221)(2))((b k a y y k a x x b k a x x +-'++'-=+，2220020022221)(2))((b k a y y k a x x b k a x x +'+-'--=-，于是有00002100200121)()()()(y y x x k x x k y x x k y x x k y y +'+-'+-='+'--+-=+22200222002))(()(2b k a y y b k a x x k b ++'---'=. 因为点P 、Q 都在椭圆上，所以122220=+by a x ，1220220='+'b y a x ，两式相减可得)()(0020020000y y a x x b x x y y '+'+-=-'-'，同理可得)()(2122122121y y a x x b x x y y ++-=--，令)(00200x x tb y y '+=-'①，)(00200y y ta x x '+-=-'②，则)])(()(2[)](2))([()()(0022200220020022222122122121y y b k a x x k b a y y k a x x b k a b y y a x x b x x y y +'---'-'++'--=++-=--，将①、②代入便有)()(0020022121y y a x x b x x y y '+'+=--，即直线MN 的斜率为定值)()(002002y y a x x b '+'+.练习： 分别过椭圆14822=+y x 上两点)1,6(),2,2(A -B 作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，交椭圆于另外两点P 、Q ，则直线PQ 的斜率为 . （答案：2222326+++）.。
2017届高三3月数学二轮研讨会教案-椭圆中与面积有关的定值问题
椭圆中与面积有关的定值问题
【教学目标】1. 学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何关系，探究或证明动态图形中的定值问题，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用；
2. 后期加强对高考题和课本题的研究．
【教学重、难点】根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径（能够计算——设计运算
——数据处理）．
【教学方法】探究研讨式
【教学过程】
卷首语：解析几何让人迷恋之处恰是其变化中的不变属性，去繁至简的永恒追求，而设计运算，优化运算更是探索奥秘当中必不可少的乐趣所在.
（一）典型例题
例：（改编：2015高考上海，理21）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
214
x y +=，过原点O 的两条射线和分别与椭圆交于A 和B ，记得到的AOB ∆的面积为.
（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，求证：122112
S x y x y =-
（2）设与的斜率之积为14-，求面积的值．
（二）自主探究
例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2214
x y +=的内接ABC D ，O 为坐标原点，且O 恰为ABC D 的重心，求证：ABC D 的面积为定值．
（三）回顾反思。
2020寒假高三数学二轮复习微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题
微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构例题：如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a 2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分 由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k 2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14分。
2020寒假高三数学二轮复习微专题25椭圆中与面积有关的定点
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量．由于二次量的计算量例题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2＝1，点A ，B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆位于第三象限内一点，AP 与y 轴交于点M ，BP 与x 轴交于点N ，求证：四边形AMNB 的面积为定值．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点A ，B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：AN·BM 为定值．变式2如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1，过椭圆的上顶点A 作一条与两轴均不平行的直线l交椭圆于另一点P ，设点P 关于x 轴的对称点为Q ，若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．串讲1如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2＝1，过原点O 的两条射线l 1和l 2分别与椭圆交于A 和B ，记得到的△AOB 的面积为S.(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求证：S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|；(2)设l 1与l 2的斜率之积为－14，求面积S 的值．串讲2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1，点A ，B 分别是椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上位于第一象限内的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ，若△MOA 与△NOB 的面积之和为6，求点P 的坐标．(2018·无锡1月期末改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连接PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆E 的方程；(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程．(2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫3，12，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．答案：(1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝3；(2)①(2，1)，②y ＝－5x ＋3 2.解析：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1， 因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.2分因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 则x 02＋y 02＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.5分由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x2＋y 02)x 2－24x 0x ＋36－4y 02＝0.(*)，因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 02＋y 02)(36－4y 02)＝48y 02(x 02－2)＝0.7分 因为x 0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1).9分②因为三角形OAB 的面积为267.所以12AB·OP ＝267，从而AB ＝427.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 02（x 02－2）2（4x 02＋y 02），11分所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 02y 02·48y 02（x 02－2）（4x 02＋y 02）2.因为x 02＋y 02＝3， 所以AB 2＝16（x 02－2）（x 02＋1）2＝3249，即2x 04－45x 02＋100＝0，13分解得x 02＝52(x 02＝20舍去)，则y 02＝12，因此P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22.15分 综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋3 2.16分。
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椭圆中与面积有关的定值问题
【教学目标】1、学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何关系，探究或证明动
态图形中的定值问题，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用； 2、后期加强对高考题和课本题的研究．
【教学重、难点】根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径（能够计算——设计运算——数据处理）． 【教学方法】探究研讨式 【教学过程】
卷首语：解析几何让人迷恋之处恰是其变化中的不变属性，去繁至简的永恒追求，而设计运算，优化运算更是探索奥秘当中必不可少的乐趣所在. （一）典型例题 例：（改编：2015高考上海，理21）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
214
x y +=，过原点O 的两条射线1l 和2l 分别与椭圆交于A 和B ，记得到的AOB ∆的面积为S . （1）设()11,A x y ，()22,B x y ，求证：12211
2
S x y x y =
- （2）设1l 与2l 的斜率之积为14
-，求面积S 的值.
（1） 证明：
1sin 2S OA OB AOB =⋅∠
=12
OA =⋅
=
122112
x y x y =- （2） 解：设()2cos ,sin ,(2cos ,sin )A B ααββ
由1l 与2l 的斜率之积为1
4
-
所以
1212sin sin 1
2cos 2cos 4
y y x x αβαβ==-，所以cos cos sin sin 0αβαβ+=，所以()cos 0αβ-=
高三二轮优选方法 注重反思提升能力 激情学习高效课堂 刻苦拼搏创造辉煌
2
又12211
cos sin cos sin sin()12
S x y x y αββααβ=
-=-=-= 所以面积的值为1
PPT 上的系列追问：（同样用三角法）
追问1：若,OA OB 的斜率分别为12,k k ，且△AOB 的面积为1，求12k k ⋅.
追问2：若,OA OB 的斜率分别为12,k k ，问是否存在非零常数λ，使12k k λ⋅=时，△AOB 的面积S 为定值？若存在，求λ和S 的值；若不存在，说明理由.
追问3：若动点P 满足4OP OA OB =+ ，其中△AOB 的面积1S =，问是否存在定点12,F F ，
使得12PF PF +为定值？若不存在，说明理由.
（二）自主探究
例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2
214
x y +=的内接ABC D ，O 为坐标原点，且O 恰为ABC D 的重心，求证：ABC D 的面积为定值．
解：设()2cos ,sin ,(2cos ,sin )A B ααββ，()00,C x y
因为O 为ABC D 的重心，所以002cos 2cos ,sin sin x y αβαβ=--=--
所以
()
()2
2
2cos 2cos sin sin 14
αβαβ--+--=
所以()1cos 2
αβ-=-
3
所以
33sin 2ABC AOB S S OA OB AOB ∆∆==⋅∠
=32
OA
=⋅
=
122132
x y x y -
3cos sin cos sin 3sin()αββααβ=-=-=
（三）回顾反思。