2020版高考数学一轮复习教案- 第4章第4节数系的扩充与复数的引入

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2020高考数学理科大一轮复习导学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)，y ′＝ μ·y ，(μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为 y ＝3sin2x .解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x .知识点二极坐标系1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ.另一种关系为ρ2＝__x 2＋y 2，tan θ＝yx .2．(选修4－4P11例4改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 3．(选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( A )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 解析：A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1,0≤ρsin θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.知识点三, 常见曲线的极坐标方程4．(选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)解析：方法1：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法2：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.5．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( A )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P 2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.6．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是6.解析：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x .圆心(0,4)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|－4|(3)2＋(－1)2＝2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是2＋4＝6.1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．考向一伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0.(2)x 2＋y 2＝1.【解】伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线． (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C 的方程．解：把⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′， ∴y ＝x 为所求直线l ′的方程．考向二极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．【解】 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求．极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 考向三极坐标方程的应用方向1 转化为直角坐标方程解题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.方向2 利用极坐标的几何意义解题【例4】 (2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.(2)设A (ρ1，π6)，B (ρ2，π3)．把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A (4＋33，π6)．把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B (3＋43，π3)．∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin(π3－π6)＝12＋2534.,极坐标方程的应用主要有以下两种方法：(1)转化为直角坐标方程，利用解析几何的方法解决；(2)利用极坐标方程中ρ，θ的几何意义解决与长度、角度有关的问题.1．(方向1)(2019·沈阳市教学质量监测)设过平面直角坐标系的原点O 的直线与圆(x －4)2＋y 2＝16的一个交点为P ，M 为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点M 的轨迹C 的极坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(3，π3)，点B 在曲线C 上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设M (ρ，θ)，则P (2ρ，θ)，则点P 的直角坐标为(2ρcos θ，2ρsin θ)，代入(x －4)2＋y 2＝16得ρ＝4cos θ，∴点M 的轨迹C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)由题意得点A 的直角坐标为(32，332)，则直线OA 的直角坐标方程为y ＝3x ，|OA |＝3，由(1)易得轨迹C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心(2,0)到直线OA 的距离d＝3，∴点B 到直线OA 的最大距离为3＋2，∴△OAB 面积的最大值为12×(3＋2)×|OA |＝3＋22×3＝3＋332.2．(方向2)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)，y ′＝ μ·y ，(μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为 y ＝3sin2x .解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x .知识点二极坐标系1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ.另一种关系为ρ2＝__x 2＋y 2，tan θ＝y x .2．(选修4－4P11例4改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 3．(选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( A )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1,0≤ρsin θ≤1)；∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2. 知识点三, 常见曲线的极坐标方程4．(选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)解析：方法1：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法2：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.5．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( A )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P 2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.6．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是6.解析：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x .圆心(0,4)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|－4|(3)2＋(－1)2＝2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是2＋4＝6.1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．考向一伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0.(2)x 2＋y 2＝1.【解】伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线． (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C 的方程．解：把⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′， ∴y ＝x 为所求直线l ′的方程．考向二极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．【解】 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求．极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.考向三极坐标方程的应用方向1 转化为直角坐标方程解题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2. 方向2 利用极坐标的几何意义解题【例4】 (2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A (ρ1，π6)，B (ρ2，π3)．把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A (4＋33，π6)．把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B (3＋43，π3)． ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB ＝12(4＋33)(3＋43)sin(π3－π6) ＝12＋2534.,极坐标方程的应用主要有以下两种方法：(1)转化为直角坐标方程，利用解析几何的方法解决；(2)利用极坐标方程中ρ，θ的几何意义解决与长度、角度有关的问题.1．(方向1)(2019·沈阳市教学质量监测)设过平面直角坐标系的原点O 的直线与圆(x －4)2＋y 2＝16的一个交点为P ，M 为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点M 的轨迹C 的极坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(3，π3)，点B 在曲线C 上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设M (ρ，θ)，则P (2ρ，θ)，则点P 的直角坐标为(2ρcos θ，2ρsin θ)，代入(x －4)2＋y 2＝16得ρ＝4cos θ，∴点M 的轨迹C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)由题意得点A 的直角坐标为(32，332)，则直线OA 的直角坐标方程为y ＝3x ，|OA |＝3，由(1)易得轨迹C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心(2,0)到直线OA 的距离d＝3，∴点B 到直线OA 的最大距离为3＋2，∴△OAB 面积的最大值为12×(3＋2)×|OA |＝3＋22×3＝3＋332.2．(方向2)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.。

2020版高考数学(福建专用)一轮复习课件：5.4 数系的扩充与复数的引入

.
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思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?
解析答案
-17-
考点1
考点2
考点3
解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则
z1z2=( )
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?
关闭
(1)B (2)A
答案
-21-
考点1
考点2
考点3
=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限内.故选B. (2)由题意知:z2=-2+i. 又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.
(2)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为 .
思考利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么? 关闭
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解析答案
-14-
考点1
考点2
考点3
解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法: (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.
-15-
考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=(

高考数学(文)一轮复习 4-4数系的扩充与复数的引入

30
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文） (2)i 是虚数单位，1－2i2016＋11＋－ii6＝___0_____.
解析原式＝1－2i21008＋11＋－ii6＝－22i1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝i0＋i2＝1－1＝0.
板块一
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高考一轮总复习 ·数学（文）
－
【变式训练 1】 (1)[2015·山东高考]若复数 z 满足1－z i＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝(
)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
－解析 ∵1－z i＝i，∴－z ＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i.∴z＝1－i.
1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； 2．减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； 3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
4．除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析直接进行复数的乘法运算．i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
2．[2015·福建高考]若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数单位)，B＝{1，－1}，则 A∩B 等于( )
A．{－1}
－ 4．已知复数 z 的共轭复数 z ＝1＋2i，则 z 在复平面内对应的点位于第三象限．( × ) 5．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )

2020版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4_4数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版

(2)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A．34＋21π B．12＋1π C．12－1π D．14－21π 解析 (2)由|z|≤1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足 y≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足 y≥x 的概
【变式训练】
→ (1)如图，若向量OZ对应的复数为
z，则
z＋4z表示的复
数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析 (1)由题图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝ 1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选 D。
)
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2－5 i2＝2－52i＋2＋i i2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是 3－ 4i。故选 C。
答案 C
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
必考部分
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节数系的扩充与复数的引入
微知识·小题练微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣基础自测
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部。
若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，

2020年高三数学第一轮复习教案-复数-数系的扩充与复数的引入

3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
→ 向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作
|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
【知识必备】
知识点二复数的几何意义
1．复数 z＝a＋bi 2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
→ 平面向量OZ.
【知识必备】
知识点三复数的运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
对应的复数．
→→→ (4)复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的
复数．
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典题演练】
【典题演练】
【典题演练】
9.
-1
【作业】
完成课时作业（六十一）
再见
【知识必备】
知识点三复数的运算
2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1 ＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【知识必备】

高三数学一轮复习数系的扩充与复数的引入(2)教案

江苏省徐州市贾汪区建平中学高三数学一轮复习教案：数系的扩充与复数的引入（2）教学目标 1、了解数系的扩充过程；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算教学重难点重难点: 复数的概念及运算，复数相等的充要条件，复数的几何意义教学参考教材,教参,学案，优化探究授课方法自学引导，讲练结合教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、主干知识梳理1概念: 复数的模、共轭复数2复平面：3．复数的几何意义：4.几个重要的结论：222221221221)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==⋅+=-++⑶i i 2)1(2±=±；⑷;11;11i ii i i i -=+-=-+⑸i 性质；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1（6）||||||2121z z z z = 二、基础自测自评1．若复数z 满足方程，则|z|= ．2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2的虚部为_______________. 3.若z 是复数，且，则的一个值为________________学生课前预习师生共同回顾主干知识4．若复数z 满足方程022=+z ，则=3z5．已知复数z ＋3i ）z ＝3i ，则z ＝6．复数12z =，21z =，413243z z z =，则||z 的值是教学过程设计教学二次备课三、典例分析例题1（复数相等的充要条件）已知x 、y 为共轭复数，且，求x ．例题2（复数的几何意义）已知z 是复数，iz i z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.四、巩固练习:1.实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭；(3)对应的点在x 轴上方． 2．在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位) 五、课堂小结复数的几何意义，复数相等的充要条件变式训练1：已知复数z=1＋i ，如果=1－i,求实数a,b 的值．变式训练2：复数i z i z i z 21,2,21321--=+-=+=,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。

高考一轮第四章第四节数系的扩充与复数ppt

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3＋i 5．若复数z满足z＋i＝ i ，则|z|＝________.
3＋i 解析：因为z＝ i －i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝ 17.
答案： 17
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1．复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z|＝|z－0|＝a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
－λ＋μ＝3， ∴ 2λ－μ＝－4， λ＝－1，解得 μ＝2.
∴λ＋μ＝1.
答案：1
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[冲关锦囊] 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减
法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边
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[精析考题] [例1] 数a为 A．2 1 C．－2 B．－2 1 D.2 (2011· 安徽高考)设i是虚数单位，复数 1＋ai 为纯虚数，则实 2－i ( )
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[自主解答]
法一：因为
1＋ai 1＋ai2＋i ＝ 2－i 2－i2＋i
2－a＋2a＋1i ＝为纯虚数， 5 所以2－a＝0，a＝2； 1＋ai ia－i 法二：因为＝为虚数，所以a＝2. 2－i 2－i
2 2i3－4i 8 6 z2 1＋i 2i 2 2 解析：∵z2＝z·1，∴z＝z ＝ z ＝＝＝5＋5i. 5 3＋4i 3＋4i 1
答案：C
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[冲关锦囊]
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度 1＋i 1－i a＋bi (1)(1± ＝± i) 2i；(2) ＝i；(3) ＝－i；(4) i ＝b－ai； 1－i 1＋i

2020年高考数学第一轮复习-第四单元-平面向量、数系的扩充与复数的引入(教案)

2020年高考数学第一轮复习第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算(律(法则a-b=3.向量的共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使.常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心.4.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图4-24-1所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:(1)++=0;(2)=(+);(3)=(+),=(+).图4-24-15.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.题组一常识题1.[教材改编]-+-+++=.2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.图4-24-23.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则=.4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ=.题组二常错题◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是()A.a=2bB.a∥bC.a=--bD.a⊥b(2)给出下列说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是.[总结反思]对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.式题(1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC上,EF 过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.①④B.③④C.②③D.①②探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶1(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.[总结反思]利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,图4-24-4在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A.B.C.D.[总结反思]向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4[2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m的值为() A.-2 B.-4 C.1 D.4[总结反思]与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|=.5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O 的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n=.图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ=()A.-B.-2C.D.2[总结反思]两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.考向2三点共线的问题6 (1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2[总结反思](1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b 共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.±14.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=()A.B.C.D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=,||=.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为,;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为,.题组一常识题1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 用基底e1,e2表示为.图4-25-13.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量=.4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y=.题组二常错题◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为.6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m=.课堂考点探究探究点一平面向量的基本定理1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=,e2=(1,-2)(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC上一点,且=λ,则λ的值为()A.4B.5C.6D.7[总结反思](1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=()A.B.2 C.D.1探究点二平面向量的坐标运算2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-2,1)(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)[总结反思](1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.式题(1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.B.C.D.探究点三平面向量共线的坐标表示3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()A. B.-C.D.-[总结反思](1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.式题(1)若A(-2,3),B(3,-2),C,m三点共线,则m=()A.B.- C.-2 D.2(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()A.-2B.2C.-D.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课前双击巩固1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定零向量与任一向量的数量积为,即.(2)几何意义①向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.②向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积.(3)向量的夹角已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ.①交换律:;②数乘结合律:(λa)·b==(λ∈R);③分配律:(a+b)·c=.3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.①e·a=a·e=.②a⊥b⇔.③当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=.特别地,a·a=或|a|=.④cos θ=.⑤|a·b||a||b|.4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)=.2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为.3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|=.4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ=.5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题◆索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=.7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x=.(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·=. [总结反思]向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题(1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=()A.B.- C.D.-(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b=.探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为()A.1B.C.D.[总结反思](1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:①a2=a·a=|a|2或|a|=;②|a±b|==;③若a=(x,y),则|a|=.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.a⊥bB.a∥bC.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=()A.-9B.9C.6D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为.图4-26-1[总结反思](1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考向3平面向量的夹角4 (1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为()A.B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m=.(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c 与b的夹角相等,则m=.[总结反思](1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ=求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足=2,=3,向量a与b的夹角为60°,则|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,,b=(,-1),则a与b的夹角为()A.B.C.D.3.【考向3】[2018·益阳调研]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b的夹角为θ,则tan θ=.4.【考向2】[2018·德州期中]已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=1,若=λ+,且⊥,则实数λ的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】△ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2++=0,||=||,则·=.探究点三平面向量与三角函数的综合5[2018·洛阳期中]已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若a⊥b,求tan 2x的值;(2)令f(x)=a·b,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心.[总结反思]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].(1)若(a+b)∥c,求x的值;(2)若a·b=,求sin x+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+b i 为实数;若,则a+b i为虚数;若,则a+b i为纯虚数.(2)复数相等:a+b i=c+d i⇔(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+b i与c+d i共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作或,即|z|=|a+b i|=.2.复数的几何意义(1)复数z=a+b i←复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)←平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)=;④除法:===(c+d i≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.常用结论1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|z n|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.[教材改编]若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.[教材改编]复数z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.[教材改编]已知i是虚数单位,则复数=.题组二常错题◆索引:将复数a+b i(a,b∈R)的虚部误认为是b i;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z=.6.若复数z满足=i2018+i2019(i为虚数单位),则z=.课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)[2017·河南六校联考]设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部是()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b=.[总结反思]复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题(1)[2017·烟台一模]设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知复数z=是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)[2017·保定一模]在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i[总结反思](1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+b i(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔. (2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+b i(a,b ∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题(1)[2017·赣州二模]已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.B.C.D.(2)[2017·南宁二模]复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a<0B.0<a<1C.a>1D.a<-1探究点三复数的代数运算3 (1)[2017·全国卷Ⅱ](1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)若复数(1+m i)(3+i)(i是虚数单位,m∈R)是纯虚数,则=()A.1B.2C.3D.4[总结反思](1)把i看作一个字母,复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算;(2)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(3)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+b i,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.式题(1)[2017·合肥质检]已知i为虚数单位,则=()A. B.C.D.(2)[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.2。

2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析理

第四节数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a ⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． 3．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．4．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i. ( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )[答案] (1)× (2)× (3)×(4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0A [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，解得m ＝1，故选A.]4．复数1＋2i2－i＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－iA [1＋2i 2－i＝＋＋－＋＝5i5＝i.] 5．(教材改编)设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.则复数z ＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12C ．1 D. 2 C [z ＝1－i1＋i＋2i ＝1－2＋－＋2i ＝i ，所以|z |＝1.]2．(2018·浙江高考)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－iB [21－i＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i 的共轭复数为1－i ，故选B.]3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．－2 [∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －－＋－＝2a －1－a ＋5＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.]复数的分类、所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ，的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组即可求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数，然后利用复数模的定义.►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2C ．2D ．3(3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2(1)D (2)A (3)B [(1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. (3)因为(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，所以4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]►考法2 复数的除法运算【例2】 (1)(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________. (2)(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．(1)4－i (2)2 [(1)6＋7i1＋2i ＝＋－＋－＝6＋14＋7i －12i 5＝4－i.(2)z ＝1＋2i i＝＋－－＝2－i故z 的实部为2.] ►考法3 复数的综合运算【例3】 (1)(2019·太原模拟)设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足 2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(1)A (2)D (3)B [(1)由1－z1＋z＝i 得1－z ＝i ＋z i. 即(1＋i)z ＝1－i ，则z ＝1－i1＋i ＝－i ，因此z ＝i ，故选A.(2)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以z ＝1－2i ，故选B.]复数的乘法类同类项，不含复数的除法幂写成最简形式复数的运算与复数概念的综合题a ，的形式，再结合相关定义解答(1)(2019·合肥模拟)已知i 为虚数单位，则2－i＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i(2)(2019·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．iB ．i －1C ．－i －1D ．－i(3)(2019·南昌模拟)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝2，z 2＝－2i ，则z ＝( ) A.12－12i B.12＋12i C ．1＋iD ．1－i(1)A (2)C (3)D [(1)法一：＋－2－i＝10－5i 2－i ＝5，故选A. 法二：＋－2－i＝＋2－＋－＝＋－5＝5，故选A.(2)由已知可得z ＝2i1－i＝＋－＋＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.(3)对四个选项逐一验证可知，当z ＝1－i 时，符合题意，故选D.]【例4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数1－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(1)D (2)B [(1)11－i＝1＋i －＋＝1＋i 2＝12＋12i ，所以11－i 的共轭复数为12－12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1，故选B.]a ，b 一一对应(1)(2019·广州模拟)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z＋z 2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．1＋2i B．1－2iC．－2＋i D．2＋i(1)A(2)C[(1)因为z＝1＋i，所以2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝－＋－＋1＋2i＋i2＝－2＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z＝－＋－＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.]1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝( )A．1 B. 2 C. 3 D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

高考数学统考一轮复习第四章平面向量与复数第四节数系的扩充与复数的引入(教师文档)教案文

学习资料第四节数系的扩充与复数的引入授课提示:对应学生用书第85页［基础梳理］1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a，b都是实数，形如a＋b i的数叫复数,其中实部为a，虚部为b,i叫做虚数单位a＋b i为实数⇔b＝0，a＋b i为虚数⇔b≠0，a＋b i为纯虚数⇔a＝0且b≠0复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R)共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R）复数a(a为实数）的共轭复数是a复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面,x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量错误!的模叫作复数z＝a＋b i的模，记作|z｜｜z｜＝|a＋b i｜＝a2＋b2复数z＝a＋b i（a，b∈R)错误!复平面内的点Z(a，b）错误!向量错误!。

3．复数代数形式的四则运算（1）运算法则：1＝a＋b i,z2＝c＋d i(a，b，c,d∈R），则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2＝（a＋b i）±(c＋d i）＝(a±c）＋（b±d）i把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝（ac－bd）＋(ad＋bc）i按照多项式乘法进行，并把i2换成－1除法错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0）把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算（2)复数加法的运算律：设z1，z2,z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2）＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．复数a＋b i(a,b∈R)数系表错误!错误!2．复数不能比较大小3．几个重要运算结论（1)（1±i)2＝±2i；错误!＝i；错误!＝－i.(2)－b＋a i＝i(a＋b i）．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i(n∈N＋）．(4）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N＋)．[四基自测]1．(基础点：复数的几何意义）设z＝－3＋2i，则在复平面内错误!对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C2．（基础点:复数的乘除法运算）复数错误!错误!的共轭复数是(）A．2－i B．2＋iC．3－4i D．3＋4i答案:C3．（易错点：纯虚数）若复数z＝错误!＋1为纯虚数，则实数a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：A4．(基础点:复数的模)复数z＝错误!，其中i为虚数单位，则｜z|＝________．答案： 2授课提示：对应学生用书第86页考点一复数的概念挖掘1复数的认识/ 自主练透[例1](1）设(1＋2i)（a＋i）的实部与虚部相等,其中a为实数，则a＝（)A．－3B．－2C．2 D．3［解析］(1＋2i）(a＋i）＝a－2＋(1＋2a）i,由题设知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A. [答案］ A（2)已知i是虚数单位，若复数(1－2i)（a＋i）是纯虚数，则实数a的值为________．[解析]由(1－2i）·(a＋i)＝a＋i－2a i＋2＝a＋2＋（1－2a)i，且(1－2i）·（a＋i）为纯虚数，可得:a＋2＝0且1－2a≠0，所以a＝－2。

2020届高三一轮复习理科数学课件数系的扩充与复数的引入

|题型一| 复数的有关概念
(自主练透)
[高考分析] 复数的概念单独考查较少，多与复数运算结合，以选择题、
填空题的形式出现，属于低档题．
(1)设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋bi 为纯虚数”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
锁定高考
理数
Байду номын сангаас
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
4.4
数系的扩充与复数的引入
【考纲考情】考试说明 1．通过方程的解，认识复数． 2．理解复数的代数表示法及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3．掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 4．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并会将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示(2019 年最新考试说明)
考点 1．复数的有关概念 2．复数的几何意义 3．复数的四则运算
五年考情 5年3考 5年4考 5年5考
素养定位 1．复数的有关概念，达成数学抽象和数学运算素养 2．复数的几何意义，提升直观想象和数学运算素养 3．复数的四则运算，增强数学运算素养
趋势分析复数的有关概念及代数形式的运算是高考命题的热点之一，重点考查对复数概念的辨析、理解能力和复数四则运算的计算、求解能力，题型一般为选择题，难度较小，属于低档题
(a，b，c，d∈R)
复平面
实轴上的点都表示实数；建立平面直角坐标系来表示复数的
除了原点外，虚轴上的点平面叫做复平面， x 轴叫实轴，y
都表示纯虚数，各象限内轴叫虚轴
的点都表示虚数
设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：5.4 数系的扩充与复数的引入

-6-
(3)复数加、减法的几何意义若复数 z1,z2 对应的向量��1 , ��2 不共线,则复数 z1+z2 是以��1 , ��2 为两邻边的平行四边形的对角线��所对应的复数;复数 z1-z2 是 ��1 − ��2 = ��2 ��1 所对应的复数.
i
-11考点1
考点2
考点3
解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
-12考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)(2018衡水中学押题二,2)若复数z=x+yi(x,y∈R)满足(1+z)i=3-i,则x+y的值为 ( C ) A.-3 B.-4 C.-5 D.-6
备注实轴上的点都表示实数; 除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数 |z|=|a+bi|= ��2 + ��2 (a,b ∈R)
随堂巩固
知识梳理
考点自诊Βιβλιοθήκη -4-2.复数的几何意义
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
-5-
3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)I ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)I ; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)I ;

重磅!2020年高考数学专题知识总复习第四章第4课时数系的扩充与复数的引入课件.ppt

D.12
解析：选 A.法一：12＋－aii＝12＋－aii·22＋＋ii
＝
2－a＋2a＋1i 5
为
纯
虚
数
，
所
以
2－a＝0， 2a＋1≠0，
解得 a＝2.
法二：12＋－aii＝i2a－－ii为纯虚数，所以 a
＝2.答案为 A.
பைடு நூலகம்
考点探究讲练互动
考点突破复数的有关概念及其几何意义
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭(a、b、 c、d∈R)⇔ _a_＝__c_；__b_＝__－__d_.
(4)复数的分类
实数：b＝0. 虚数：_b_≠__0___纯非虚纯数虚：数：_a_＝____a0__≠____0___. _.
思考感悟已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c， d∈R)， (1)若a>c，且b＝d，则z1＞z2说法正确吗？
例2 (1)已知复数 z0＝3＋2i，复数 z 满足 z·z0＝3z＋z0，则复数 z＝________； (2)已知1m＋i＝1－ni，其中 m，n 是实数， i 是虚数单位，则 m＋ni＝________；
＝|a＋bi|＝___a_2_＋__b_2 __.
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ _(_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i _；
【解】 (1)由 z 为实数，得 a2－3a＋2
＝0，

高考数学 4.2数系的扩充与复数的引入教案

【高考目标定位】一、考纲点击1、理解复数的基本概念；2、理解复数相等的充要条件；3、了解复数的代数表示法及其几何意义；4、会进行复数代数形式的四则运算；5、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、热点提示1、复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；2、复数的代数运算是高考的另一热点点，以选择题、填空题的形式的出现，属容易题。

【考纲知识梳理】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。

若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).（3）共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a=c，b=-d(a,b,c,d∈R).。

（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

X轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记叙|z|或|a+bi|，即2、复数的几何意义一一对应复平面内的点Z（a,b）(a,b∈R);（1）复数z=a+bi←−−−→（2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量OZ （a,b ∈R ）。

3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则①加法：z 1+ z 2=（a+bi ）+（c+di ）=(a+c)+(b+d)i;②减法：z 1- z 2=（a+bi ）-（c+di ）=(a-c)+(b-d)i;③乘法：z 1· z 2=( a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d++-++-===+≠++-+ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z +2z =2z +1z ，（1z +2z ）+3z =1z +（2z +3z ）。

2020版高考数学一轮复习教案- 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

2020高考数学理科大一轮复习导学案：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入