2014届高考数学一轮复习教学案等差数列及其前n项和

第二节

等差数列及其前n 项和

[知识能否忆起]

一、等差数列的有关概念

1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的

等差中项．

二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n

2

. 三、等差数列的性质

1．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd . 3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d . 4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．

5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d 2，B ＝a 1－d

2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．

[小题能否全取]

1．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

2a 1＋4d ＝10，

a 1＋3d ＝7.

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.

法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.

2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π

2，则sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝( ) A.3

2

B.12 C ．－

3

2

D ．－12

解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π

2.

∴sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π3＝－cos π3＝－1

2

. 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143

D ．176

解析：选B S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2

＝88.

4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －1

5．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝1

2，S 2＝a 3，则a 2＝

________，S n ＝________.

解析：设{a n }的公差为d ，

由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又a 1＝12，所以d ＝1

2，故a 2＝a 1＋d ＝1，

S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×1

2

＝14n 2＋1

4

n .

答案：1 14n 2＋1

4

n

1.与前n 项和有关的三类问题

(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．

(2)S n ＝d

2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A . (3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．

2．设元与解题的技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；

若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

等差数列的判断与证明

典题导入

[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；

(2)设b n ＝a n ＋3

2

n (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．

[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.

(2)证明：对于任意n ∈N *，

∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝1

2n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，

∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋3

2

＝0，公差为1的等差数列．

由题悟法

1．证明{a n }为等差数列的方法：