高三一轮复习椭圆学案 ((复习课))

高三一轮复习椭圆学案

-------椭圆的定义、标准方程及性质

【学习目标】

1、椭圆的定义、性质及标准方程

2、椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质

3、椭圆的焦点三角形及相关结论

【回顾知识、把握基础】（自主梳理）

1. 椭圆的定义：

在平面内到两定点12F F 、的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫 .这两定点

叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做 .

椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数

（1）若21PF PF +=2a ＞21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （2）若21PF PF +=2a =21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （3）若21PF PF +=2a ＜21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . 2. 椭圆的方程（中心在原点，坐标轴为对称轴）： （1）椭圆的标准方程

焦点在x 轴上时方程为 ： . 焦点在y 轴上时方程为 ： . （2）椭圆的一般方程： . （3）椭圆的参数方程： . 3. 标准方程

图形

范围 顶点

对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上

焦点

焦距 离心率

4. 几个重要结论：

设P 是椭圆上)0(122

22>>=+b a b

y a x 的点，12F F 、是椭圆的焦点，θ=∠21PF F ,则

(1)=∆2

1PF F S .

(2) 当P 为短轴端点时

=∆max )(21PF F S .

(3)当P 为短轴端点时，21PF F ∠为 . (4)椭圆上的点 距离1F 最近， 距离2F 最远.

c a -≤1

PF ≤

c a +;

],[2221a b PF PF ∈⋅

(5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短=CD . (6)如图1ABF ∆的周长为 . 5．点与椭圆的位置关系：

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的上⇔ .

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部⇔ .

（3）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部⇔ .

6．椭圆系方程：

与椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为： .

与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为： .

【典例分析】

考点一：椭圆的定义及应用 例1、（1）已知12F F 、为两定点，21F F ＝4，动点M 满足421=+MF MF ，则动点M 的轨迹

是 .

（2） 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 2

4＝1的两个焦点，P 为其上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角

形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1|

|PF 2|

的值．

o

P

C

x

y

D

1F

2F

1

A 2A

考点二：求椭圆的标准方程

例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程

(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长

是6，且cos ∠OF A ＝2

3

；

(2)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)两点；

(3)与椭圆 x 24＋y 2

3

＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；

(4)椭圆过(3,0)，离心率e ＝6

3

例3、椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 左、右焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，=∠21PF F 60°，2

1F PF ∆的面积为3，且离心率为2

1

，求此椭圆的方程。

例4、直线()1y k x a =-+与椭圆22

142

x y +=总有公共点，则实数a 的取值范围 .

考点三：椭圆的性质及应用

设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作与AF 垂直的直线分别交椭圆

C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且AP →＝85

PQ →

.

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程．

【基础训练】

1.已知ABC ∆的顶点B C 、在椭圆2

213

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 .

2. P 是椭圆

22

1123

x y +=上的一点，12,F F 为两焦点，若1260F PF ∠=，则12F PF ∆的面积为 .

3. 若焦点在x 轴上的椭圆

2212x y m +=的离心率为12

，则m ＝ . 4. 已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，若ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是 . 5．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且21PF PF ⊥，

若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝ .

6．与椭圆22

194

x y +=有相同焦点且过点(3,2)M -的椭圆方程是 . 7. 已知m n m n +、、成等差数列，m n mn 、、成等比数列，

则椭圆22

1x y m n

+=的离心率为 . 【能力提升】

1. 设P 是椭圆22

194

x y +=上一动点，12F F 、是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是 .

2. 设12F F 、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围是 .

3．如图，已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，

直线AF 2交椭圆于另 一 点B .

(1)若∠F 1AB =90°，求椭圆的离心率； (2)若222AF F B =，2

3

21=⋅B F A F ，求椭圆的方程．