2.2.1椭圆及其标准方程(4)学案(人教A版选修2-1)

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)

1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；

2．掌握椭圆的定义；

3．掌握椭圆的标准方程．

一、课前准备

（预习教材理P38~ P40，文P32~ P34找出疑惑之处）

复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程．

复习2：方程22

-++=表示以为圆心, 为半径的．

(3)(1)4

x y

二、新课导学

※学习探究

取一条定长的细绳，

把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，Array

拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．

新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的

点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦

距 ．

反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．

试试：

已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹

是 ．

小结：应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．

新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程

()2

22210x y a b a b +=>> 其中222b a c =-

若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，

则椭圆的标准方程是 ．

※ 典型例题

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；

⑵4,a c =y 轴上；

⑶10,a b c +==

变式：方程2

14x y

m +=表示焦点在x 轴上的椭圆，

则

实数m 的范围 ．

小结：椭圆标准方程中：222

a b c

=+；a b

>．

例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()

2,0

-，(2,0)，并且经过点

53

,

22

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，求它

的标准方程．

变式：椭圆过点()

2,0

-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．

※动手试试

练 1. 已知ABC

∆的顶点B、C在椭圆

2

21

3

x

y

+=上，顶点A是椭圆的一个焦点，

且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC

∆的周长是（）．

A． B．6 C．．12

练2 ．方程219x y m

-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 椭圆的定义：

2. 椭圆的标准方程：

※ 知识拓展

1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）．

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，

则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆

C ．无轨迹

D ．椭圆或线段或无轨迹

2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．

A ．(0,)+∞

B ．(0,2)

C ．(1,)+∞

D ．(0,1)

3．如果椭圆22110036

x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）

． A ．4 B ．14 C ．12 D ．8

4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程

是 ．

5．如果点(,)M x y 10，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．

1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；

⑵焦点坐标分别为()()

0,4,0,4

-，5

a=；

⑶10,4

a c a c

+=-=．

2. 椭圆

22

1

4

x y

n

+=的焦距为2，求n的值．