【优选】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题17 等腰、等边三角形问题(学生版)

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中考数学复习专题17:三角形及其性质(含中考真题)

中考数学复习专题17:三角形及其性质(含中考真题)

专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线,并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边,两边之差小于第三边理解三角形的三边关系,并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理,并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明☞2年中考【题组】1.(崇左)如果一个三角形的两边长分别是2和5,则第三边可能是()A.2 B.3 C.5 D.8【答案】C.【解析】试题分析:设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得5﹣2<x<5+2,即3<x<7.故选C.考点:三角形三边关系.2.(来宾)如图,△ABC中,∠A=40°,点D为延长线上一点,且∠CBD=120°,则∠C=()A.40° B.60° C.80° D.100°【答案】C.【解析】试题分析:由三角形的外角性质得,∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°.故选C.考点:三角形的外角性质.3.(柳州)如图,图中∠1的大小等于()A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】D .考点:三角形的外角性质.4.(南通)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A .5,6,10B .5,6,11C .3,4,8D .4a ,4a ,8a (a >0) 【答案】A . 【解析】试题分析:A .∵10﹣5<6<10+5,∴三条线段能构成三角形,故本选项正确; B .∵11﹣5=6,∴三条线段不能构成三角形,故本选项错误; C .∵3+4=7<8,∴三条线段不能构成三角形,故本选项错误; D .∵4a+4a=8a ,∴三条线段不能构成三角形,故本选项错误. 故选A .考点:三角形三边关系.5.(宿迁)若等腰三角形中有两边长分别为2和5,则这个三角形的周长为( ) A .9 B .12 C . 7或9 D .9或12 【答案】B . 【解析】试题分析:当腰为5时,根据三角形三边关系可知此情况成立,周长=5+5+2=12; 当腰长为2时,根据三角形三边关系可知此情况不成立; 所以这个三角形的周长是12. 故选B .考点:1.等腰三角形的性质;2.三角形三边关系;3.分类讨论.6.(雅安)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根,则该三角形的周长可以是( )A .5B .7C .5或7D .10 【答案】B .考点:1.解一元二次方程-因式分解法;2.三角形三边关系;3.等腰三角形的性质;4.分类讨论.7.(绵阳)如图,在△ABC 中,∠B 、∠C 的平分线BE ,CD 相交于点F ,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=( )A .118°B .119°C .120°D .121° 【答案】C . 【解析】试题分析:∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵BE ,CD 是∠B 、∠C 的平分线,∴∠CBE=21∠ABC ,∠BCD=21∠BCA ,∴∠CBE+∠BCD=21(∠ABC+∠BCA )=60°,∴∠BFC=180°﹣60°=120°,故选C . 考点:三角形内角和定理.8.(广州)已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长,则三角形ABC 的周长为( )A .10B .14C .10或14D .8或10 【答案】B .考点:1.解一元二次方程-因式分解法;2.一元二次方程的解;3.三角形三边关系;4.等腰三角形的性质;5.分类讨论.9.(北海)三角形三条中线的交点叫做三角形的( ) A .内心 B .外心 C .中心 D .重心 【答案】D . 【解析】试题分析:三角形的重心是三角形三条中线的交点.故选D . 考点:三角形的重心.10.(百色)下列图形中具有稳定性的是( )A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形 【答案】A . 【解析】试题分析:∵三角形具有稳定性,∴A 正确,B .C 、D 错误.故选A .考点:三角形的稳定性.11.(百色)△ABC 的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数,则第三条高的长度是( )A .4B .4或5C .5或6D .6 【答案】B . 【解析】试题分析:设长度为4、12的高分别是a ,b 边上的,边c 上的高为h ,△ABC 的面积是S ,那么a=24S ,b=212S ,c=2S h ,又∵a ﹣b <c <a+b ,∴22222412412S S S S Sh -<<+,即2233S S Sh <<,解得3<h <6,∴h=4或h=5,故选B .考点:1.一元一次不等式组的整数解;2.三角形的面积;3.三角形三边关系;4.综合题.12.(广安)下列四个图形中,线段BE 是△ABC 的高的是( )A .B .C .D .【答案】D .考点:三角形的角平分线、中线和高.13.(宜昌)下列图形具有稳定性的是( )A .正方形B .矩形C .平行四边形D .直角三角形 【答案】D . 【解析】试题分析:直角三角形具有稳定性.故选D . 考点:1.三角形的稳定性;2.多边形.14.(长沙)如图,过△ABC 的顶点A ,作BC 边上的高,以下作法正确的是( )A .B .C .D . 【答案】A . 【解析】试题分析:为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项.故选A . 考点:三角形的角平分线、中线和高.15.(鄂尔多斯)如图,A .B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点,在格点中任意放置点C ,恰好能使△ABC 的面积为1的概率是( )A .256B .51C .254D .257【答案】A .考点:1.概率公式;2.三角形的面积.16.(淄博)如图,在四边形ABCD 中,DC ∥AB ,CB ⊥AB ,AB=AD ,CD=12AB ,点E 、F 分别为AB 、AD 的中点,则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为( )A.17 B .16 C.15 D.14【答案】C.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.三角形的面积;3.三角形中位线定理;4.综合题.17.(淮安)将一副三角尺按如图所示的方式放置,使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合,则∠1的度数是.【答案】75°.【解析】试题分析:如图,∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合,∴AB ∥CD ,∴∠3=∠4=45°,∴∠2=∠3=45°,∵∠B=30°,∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°,故答案为:75°.考点:1.三角形的外角性质;2.三角形内角和定理.18.(宜宾)如图,AB ∥CD ,AD 与BC 交于点E .若∠B=35°,∠D=45°,则∠AEC= .【答案】80°.考点:1.平行线的性质;2.三角形的外角性质.19.(巴中)若a 、b 、c 为三角形的三边,且a 、b 满足229(2)0a b -+-=,则第三边c 的取值范围是 .【答案】1<c <5. 【解析】试题分析:由题意得,290a -=,20b -=,解得a=3,b=2,∵3﹣2=1,3+2=5,∴1<c <5.故答案为:1<c <5.考点:1.三角形三边关系;2.非负数的性质:偶次方;3.非负数的性质:算术平方根. 20.(南充)如图,点D 在△ABC 边BC 的延长线上,CE 平分∠ACD ,∠A=80°,∠B=40°,则∠ACE 的大小是 度.【答案】60. 【解析】试题分析:∵∠ACD=∠B+∠A ,而∠A=80°,∠B=40°,∴∠ACD=80°+40°=120°,∵CE 平分∠ACD ,∴∠ACE=60°,故答案为:60.考点:三角形的外角性质.21.(佛山)各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个. 【答案】10. 【解析】试题分析:∵各边长度都是整数、最大边长为8,∴三边长可以为:1,8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个.故答案为:10. 考点:三角形三边关系.22.(广东省)如图,△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ,若ABC 12S =△,则图中阴影部分的面积是 .【答案】4.考点:1.三角形的面积;2.综合题.23.(长春)如图,点E 在正方形ABCD 的边CD 上.若△ABE 的面积为8,CE=3,则线段BE 的长为 .【答案】5. 【解析】试题分析:过E 作EM ⊥AB 于M ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=BC=CD=AB ,∴EM=AD ,BM=CE ,∵△ABE 的面积为8,∴12×AB×EM=8,解得:EM=4,即AD=DC=BC=AB=4,∵CE=3,由勾股定理得:BE=22BC CE +=2243+=5,故答案为:5.考点:1.正方形的性质;2.三角形的面积;3.勾股定理.24.(昆明)如图,△ABC是等边三角形,高AD、BE相交于点H,BC=43,在BE上截取BG=2,以GE为边作等边三角形GEF,则△ABH与△GEF重叠(阴影)部分的面积为.【答案】53 2.考点:1.等边三角形的判定与性质;2.三角形的重心;3.三角形中位线定理;4.综合题;5.压轴题.25.(临沂)如图,在△ABC 中,BD ,CE 分别是边AC ,AB 上的中线,BD 与CE 相交于点O ,则OBOD = .【答案】2. 【解析】试题分析:∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ,∴点O 是△ABC 的重心,∴OBOD =2.故答案为:2.考点:1.三角形的重心;2.相似三角形的判定与性质.26.(六盘水)如图,已知, l1∥l2,C1在l1上,并且C1A ⊥l2,A 为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B 在l2上,设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.【答案】理由见试题解析.考点:1.平行线之间的距离;2.三角形的面积.27.(达州)化简2221432a a a a a a +⋅----,并求值,其中a 与2、3构成△ABC 的三边,且a 为整数.【答案】13a -,1.【解析】试题分析:原式第一项约分后,两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果,把a 的值代入计算即可求出值.考点:1.分式的化简求值;2.三角形三边关系.28.(青岛)【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形,为探究m与n之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论.【探究一】(1)用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?此时,显然能搭成一种等腰三角形.所以,当n=3时,m=1.(2)用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形.所以,当n=4时,m=0.(3)用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形.若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.所以,当n=5时,m=1.(4)用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形.若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.所以,当n=6时,m=1.n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?(仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中)(2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?(只需把结果填在表②中)n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…【问题解决】:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(设n分别等于4k﹣1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中)表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】:用根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(写出解答过程),其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒.(只填结果)【答案】【探究二】:2;1;2;2;【问题解决】:k;k﹣1;k;k;【问题应用】:672.考点:1.作图—应用与设计作图;2.三角形三边关系;3.等腰三角形的判定与性质;4.探究型.【题组】1.(福建南平)下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是()A.1,2,1 B.1,2,2 C.1,2,3 D.1,2,4【答案】B.【解析】试题分析:根据三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,计算两个较小的边的和,看看是否大于第三边即可:A、1+1=2,不能组成三角形,故此选项错误;B、1+2>2,能组成三角形,故此选项正确;C、1+2=3,不能组成三角形,故此选项错误;D、1+2<4,能组成三角形,故此选项正确.故选B.考点:三角形的三边关系.2.(浙江台州)如图,跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O,且垂直于地面BC,垂足为D,OD=50cm,当它的一端B着地时,另一端A离地面的高度AC为()A.25cm B.50cm C.75cm D.100cm【答案】D.考点:三角形的中位线.3.(•北海)如图△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,已知DE=5,则BC的长为()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C.【解析】试题分析:∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=2×5=10.故选C.考点:三角形中位线定理.4.(•营口)如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°,∠A=26°,将△ABC沿DE折叠,点A的对应点是点A′,则∠AEA′的度数是()A.145°B.152°C.158°D.160°【答案】B.考点:翻折变换(折叠问题);三角形中位线定理.5.(•威海)如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B.【解析】试题分析:根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°,再根据角平分线的定义求出∠ABO,然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB,根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO,再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC,判断出AD为三角形的外角平分线,然后列式计算即可求出∠DAC.试题解析:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°,故A选项正确,∵BD平分∠ABC,∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°,在△ABO中,∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°,∴∠DOC=∠AOB=85°,故B选项错误;∵CD平分∠ACE,∴∠ACD=12(180°-60°)=60°,∴∠BDC=180°-85°-60°=35°,故C选项正确;∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,∴AD是△ABC的外角平分线,∴∠DAC=12(180°-70°)=55°,故D选项正确.故选B.考点:角平分线的性质;三角形内角和定理.6.(江苏淮安)若一个三角形三边长分别为2,3,x,则x的值可以为(只需填一个整数)【答案】4(答案不唯一).考点:三角形的三边关系.7、(广东广州)△ABC中,已知∠A=60°,∠B=80°,则∠C的外角的度数是___________°.【答案】140..【解析】试题分析:∵∠A=60°,∠B=80°,∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°.考点:三角形的外角的性质.8.(湖北随州)将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为度.【答案】75.【解析】试题分析:如答图.∵∠3=60°,∠4=45°,∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°.考点:1.三角形内角和定理;2.对顶角的性质.☞考点归纳归纳 1:三角形的有关线段基础知识归纳:中线:连接一个顶点与它对边中点的线段,三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线:从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段.角平分线:一个内角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段中位线:连接三角形两边中点的线段基本方法归纳:三角形的中位线平行线于第三边,且等于第三边的一半注意问题归纳:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EF于点D,若AB=4,BC=6,则DF=_____.【答案】1.考点:1.三角形中位线定理;2.等腰三角形的判定与性质.归纳 2:三角形的三边关系基础知识归纳:三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.基本方法归纳:三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据,并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围.注意问题归纳:三角形的三边关系是中考的热点问题之一,是解决三角形的边的有关问题的重要依据.【例2】已知三角形两边长分别为3和8,则该三角形第三边的长可能是()A.5 B.10 C.11 D.12【答案】B.考点:三角形三边关系.归纳 3:内角和定理基础知识归纳:三角形三个内角的和等于180°.基本方法归纳:在同一个三角形中,大边对大角,小边对小角.注意问题归纳:三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具.【例3】如图,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的大小是()A.45°B.54°C.40°D.50°【答案】C.【解析】试题分析:∵∠B=46°,∠C=54°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=12∠BAC=×80°=40°,∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD=40°.故选C.考点:平行线的性质;三角形内角和定理.归纳 4:三角形的外角基础知识归纳:(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.基本方法归纳:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.注意问题归纳:三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具.【例4】如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,∠B=30°,∠D=40°,则∠AOC的度数为()A.60°B.70°C.80°D.90°【答案】B.考点:1.平行线的性质;2.三角形的外角性质.☞1年模拟1.(北京市平谷区中考二模)如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为()A.10° B.15° C.20° D.25°【答案】D.【解析】试题分析:根据平行线的性质及三角形的内角和定理,有图像可知∠1与∠2互余,因此∠2=90°-65°=25°.故选D.考点:1.平行线的性质;2.三角形内角和定理.2.(安徽省安庆市中考二模)如图所示,AB∥CD,∠D=26°,∠E=35°,则∠ABE的度数是()A.61° B.71° C.109° D.119°【答案】A .考点:1.平行线的性质;2.三角形的外角性质.3.(山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟)如图,直线a∥b,直角三角形如图放置,∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°,则∠2的度数为()A.20° B.40° C.30° D.25°【答案】A.【解析】试题分析:由三角形的外角性质,∠3=∠1+∠B=70°,∵a∥b,∠DCB=90°,∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°.故选A.考点:1.三角形的外角性质;2.平行线的性质.4.(广东省佛山市初中毕业班综合测试)如图,将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折,三个顶点均落在点O处,则∠1+∠2的度数为()A. 120° B. 135° C. 150° D. 180°【答案】D.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.三角形内角和定理.5.(山东省济南市平阴县中考二模)如图,△ABC的各个顶点都在正方形的格点上,则sinA的值为()A55255225105【答案】A.【解析】试题分析:如图所示:延长AC交网格于点E,连接BE,∵55,AB=5,∴AE2+BE2=AB2,∴△ABE是直角三角形,∴sinA=55BEAB,故选A.考点:1.锐角三角函数的定义;2.三角形的面积;3.勾股定理;4.表格型.6.(山东省威海市乳山市中考一模)如图,已知S△ABC=8m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC= m2.【答案】4.考点:1.等腰三角形的判定与性质;2.三角形的面积.7.(四川省成都市外国语学校中考直升模拟)长为1、2、3、4、5的线段各一条,从这5条线段中任取3条,能构成钝角三角形的概率是.【答案】1 5.【解析】试题分析:从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条,所有的情况共有10种,其中,取出的三边能构成钝角三角形时,必须最大边的余弦值小于零,即:较小的两个边的平方和小于第三边的平方,故满足构成钝角三角形的取法只有:2、3、4 和2、4、5两种,故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是21105 . 考点:1.列表法与树状图法;2.三角形三边关系.8.(广东省佛山市初中毕业班综合测试)如图,已知△ABC 中,∠A=40°,剪去∠A 后成四边形,则∠1+∠2= 度.【答案】220.考点:1.三角形的外角性质;2.三角形内角和定理.9.(湖北省黄石市6月中考模拟)如图,点A1,A2,A3,A4,…,An 在射线OA 上,点B1,B2,B3,…,Bn ﹣1在射线OB 上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________;面积小于的阴影三角形共有__________个.【答案】12;6.【解析】试题分析:由题意得,△A2B1B2∽△A3B2B3,因此可知2132A B A B =212323A B B A B B S S=12,2233A B A B =212323A B B A B B SS=12,再由考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行线的性质;3.三角形的面积;4.规律型.。

专题17 等腰(等边)三角形问题(学生版)

专题17 等腰(等边)三角形问题(学生版)

备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》(全国通用)专题17 等腰(等边)三角形问题考点扫描☆聚焦中考等腰(等边)三角形问题近几年各地中考主要以填空题或选择题考查,也有解答题出现,难度系数小,较简单,属于低档题;考查的知识点主要有:等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质;考查热点主要有:等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质.考点剖析☆典型例题(2023•宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是()A.70°B.45°C.35°D.50°2020•青海)已知a,b,c为△ABC的三边长.b,c满足(b﹣2)2+|c﹣3|=0,且a为方程|x ﹣4|=2的解,则△ABC的形状为三角形.2023•益阳)如图,AB∥CD,直线MN与AB,CD分别交于点E,F,CD上有一点G且GE =GF,∠1=122°,求∠2的度数.例4(2023•绵阳)如图,在等边△ABC中,BD是AC边上的中线,延长BC至点E,使CE=CD,若DE=,则AB=()A.B.6C.8D.例5(2021•宁夏)如图,在▱ABCD中,AD=4,对角线BD=8,分别以点A、B为圆心,以大于AB 的长为半径画弧,两弧相交于点E和点F,作直线EF,交对角线BD于点G,连接GA,GA恰好垂直于边AD,则GA的长是()A.2B.3C.4D.5考点过关☆专项突破类型一等腰三角形的性质与判定1.(2023•南京)若一个等腰三角形的腰长为3,则它的周长可能是()A.5B.10C.15D.202.(2023•眉山)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为()A.70°B.100°C.110°D.140°3.(2023•内蒙古)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为()A.32°B.58°C.74°D.75°4.(2023•菏泽)△ABC的三边长a,b,c满足(a﹣b)2++|c﹣3|=0,则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形5.(2022•宁波)如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE中点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为()A.2B.3C.2D.46.(2023•重庆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为.7.(2023•西宁)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是.8.(2023•山西)如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,对角线AC,BD相交于点O.若AB=AC=5,BC=6,∠ADB=2∠CBD,则AD的长为.9.(2022•温州)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.(1)求证:∠EBD=∠EDB.(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.10.(2023•烟台)如图,点C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.(1)如图1,求证:DE=BF;(2)如图2,若AD=2,BF的延长线恰好经过DE的中点G,求BE的长.类型二等边三角形的性质与判定1.(2023•金昌)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC 的延长线于点E,则∠DEC=()A.20°B.25°C.30°D.35°2.(2022•绵阳)下列关于等边三角形的描述不正确的是()A.是轴对称图形B.对称轴的交点是其重心C.是中心对称图形D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合3.(2022•鞍山)如图,直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上,∠2=40°,则∠1的度数为()A.80°B.70°C.60°D.50°4.(2023•滨州)已知点P是等边△ABC的边BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的大小为()A.14°B.16°C.24°D.26°5.(2019•铜仁市)如图,四边形ABCD为菱形,AB=2,∠DAB=60°,点E、F分别在边DC、BC上,且CE=CD,CF=CB,则S△CEF=()A.B.C.D.6.(2022•张家界)如图,点O是等边三角形ABC内一点,OA=2,OB=1,OC=,则△AOB 与△BOC的面积之和为()A.B.C.D.7.(2020•台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是.8.(2023•雅安)如图,四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠C=60°,AE∥CD交BC于点E,BC=8,AE=6,则AB的长为.9.(2023•凉山州)如图,边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动,若OM⊥ON,则OC的最大值是.10.(2023•武汉)如图,DE平分等边△ABC的面积,折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF 相交于G,H两点.若DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的长是.类型三线段垂直平分线的性质1.(2023•青海)如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是.2.(2023•丽水)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是.3.(2022•青海)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠C的度数是.4.(2021•淮安)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是()A.2B.4C.6D.85.(2022•宜昌)如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为()A.25B.22C.19D.186.(2022•湖北)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于AC 的长为半径画弧,两弧交于点M,N,直线MN分别交AD,BC于点E,F.下列结论:①四边形AECF是菱形;②∠AFB=2∠ACB;③AC•EF=CF•CD;④若AF平分∠BAC,则CF=2BF.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.17.(2021•河北)如图,直线l,m相交于点O.P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能是()A.0B.5C.6D.78.(2021•长沙)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA,连接AE.(1)求证:∠B=∠ACB;(2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积.。

2020年中考数学人教版专题复习:等腰三角形

2020年中考数学人教版专题复习:等腰三角形

2020年中考数学人教版专题复习:等腰三角形一、学习目标:1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念,并能判定等腰三角形和等边三角形;2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质,能运用它们的性质解决相关的问题;3. 借助轴对称图形的性质,得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30o的直角三角形的性质。

二、重点、难点:重点:等腰三角形和等边三角形的性质和判定,及有一个角是30o的直角三角形的性质。

难点:综合运用等腰三角形的性质解决问题。

三、考点分析:本节知识内容是初中数学的基础,考试题型多,方法灵活。

对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定,即边角的相互转化。

这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。

在综合题中,对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见,中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题,如函数中的动点,考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。

知识梳理典例精析知识点一:等腰三角形的有关概念例1.如图,D在AC上,AB=AC,AD=DB,请指出图中的等腰三角形,以及它们的腰、底边、顶角及底角。

思路分析:这里要求根据条件说明图形的名称,而不是凭直观和想象。

相等的两边叫做腰,另一边叫做底边;两腰的夹角叫做顶角,另外的两个角叫做底角。

解答过程:图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。

其中∠;∠和C ABC∠,底角是CBA∆的腰是AB和AC,底边是BC,顶角是BAC∠。

∠,底角是∠A和ABD ADB∆的腰是DA和DB,底边是AB,顶角是BDA解题后的思考:解决此类题目应先找到两腰,然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。

例2.已知等腰三角形的周长为13,其一边长为3,则其他两边长分别为___________;思路分析:长为3的边是否是腰并不清楚,故应分类讨论。

解答过程:当3为底边时,其他两边均为(133)25-÷=;当3为腰长时,其他两边为3和13337+=<,所以不能构成三角形,--=。

2023中考一轮复习:等腰三角形

2023中考一轮复习:等腰三角形

考点12等腰三角形【命题趋势】等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一,也是重要几何模型的“发源地”,最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。

在浙江中考中,等腰三角形可以以选择题、填空题出现,来考察其性质;也可以以解答题出题,来考察其性质和判定的综合(此时多为压轴题)。

所占分值也是比较多,属于是中考必考的中等偏上难度的考点。

【中考考查重点】一、等腰三角形的性质和判定二、角平分线的性质与判定三、线段垂直平分线的性质与判定考向一:等腰三角形的性质和判定一.等腰三角形的性质和判定二.等边三角形的性质和判定定义三边长都相等的三角形是等边三角形性质轴对称性:等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴等边三角形三个角都相等,分别都等于60°三线合一(等边三角形三边上均存在三线合一)。

判定定义法有两个角相等的等腰三角形是等边三角形有两个角等于60°的三角形是等边三角形【方法提炼】【同步练习】1.在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,∠BAD=35°,则∠B的度数为()A.35°B.45°C.55°D.60°2.等腰三角形的一边等于5,一边等于11,则此三角形的周长为()A.10B.21C.27D.21或273.在直角坐标系中,已知点A(﹣1,1),在y轴负半轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P的坐标为()A.(﹣1,0)B.(﹣,0)C.(0,1)D.(0,﹣)4.已知a,b是△ABC的两条边长,且a2+b2﹣2ab=0,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.不确定5.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN =9,则线段MN的长()A.大于9B.等于9C.小于9D.不能确定6.如图,△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至G,取NG=NQ,若△MNP的周长为12,MQ=m,则△MGQ周长是()A.8+2m B.8+m C.6+2m D.6+m7.已知:如图,△ABC和△DEC都是等边三角形,D是BC延长线上一点,AD与BE相交于点P,AC、BE相交于点M,AD、CE相交于点N,则下列五个结论:①AD=BE;②∠BMC=∠ANC;③∠APM=60°;④AN =BM;⑤△CMN是等边三角形.其中,正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°,则顶角的度数为.9.如图,在正方形网格中,网格线的交点称为格点;已知A,B是两格点,若C点也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有个.10.如图,用圆规以直角顶点O为圆心,以适当半径画一条弧交直角两边于A,B两点,若再以A为圆心,以OA为半径画弧,与弧AB交于点C,则△AOC的形状为.11.“中国海监50”在南海海域B处巡逻,观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上,现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处,此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上,求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC.12.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)若∠A=36°,求∠DBC的度数;(3)若AE=8,△CBD的周长为24,求△ABC的周长.13.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.☆其中:1.平行线的引入方法常见的有:①直接给出的平行;②平行四边形及特殊平行四边形;③梯形的上下底边;④辅助线作出的平行;⑤其他条件证明得到的平行;2.当等腰△是结论时,常接着用等腰△的性质;1.“知2得1”在圆中应用时,常用“角平分线+等腰→∥”,进而得某角=Rt∠,证直线与圆相切。

2020年中考数学考点第17讲特殊三角形

2020年中考数学考点第17讲特殊三角形

第17讲特殊三角形【考点梳理】1.等腰三角形(1)性质:等腰三角形的两底角相等,两腰相等;等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”;等腰三角形是轴对称图形,高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴.(2)判定:有两角相等的三角形是等腰三角形;有_两边相等的三角形是等腰三角形.2.等边三角形(1)性质:三边相等,三个内角都等于60°;等边三角形是轴对称图形,有_3__条对称轴.(2)判定:三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形(1)性质:①两锐角之和等于_90°_;②斜边上的中线等于斜边的一半;③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_;④勾股定理:若直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2.(2)判定:①有一个角是直角的三角形是直角三角形;②有两个角互余的三角形是直角三角形;③勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.4.等腰直角三角形(1)性质:两直角边相等_;两锐角相等且都等于_45°_.(2)判定:有两边相等的直角三角形;有一个角为45°的直角三角形;顶角为90°的等腰三角形;有两个角是45°的三角形.【高频考点】考点1:等腰三角形的性质及相关计算【例题1】在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,点D是线段AB上一动点(D不与A,B重合).(1)如图1,当点D为AB的中点,过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F,求证:AC=BF;(2)连接CD.作∠CDE=30°,DE交AC于点E.若DE∥BC时,如图2.①∠CDB =120°;②求证:△ADE 为等腰三角形;③在点D 的运动过程中,△ECD 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出∠AED 的度数;若不可以,请说明理由.【解答】 解:(1)证明:∵CA =CB ,CD 是△ABC 的中线,∴AD =BD. ∵BF ∥AC ,∴∠A =∠FBD.∵∠ADC =∠BDF ,∴△ACD ≌△BFD.∴AC =BF. (2)②证明:∵AC =BC ,∴∠A =∠B. ∵DE ∥BC ,∴∠EDA =∠B.∴∠A =∠EDA ,∴△ADE 为等腰三角形. ③△ECD 可以是等腰三角形.理由如下:Ⅰ.当∠CDE =∠ECD 时,EC =DE ,∴∠ECD =∠CDE =30°. ∵∠AED =∠ECD +∠CDE , ∴∠AED =60°.Ⅱ.当∠ECD =∠CED 时,CD =DE ,∵∠ECD +∠CED +∠CDE =180°, ∴∠CED =180°-∠CDE2=75°.∴∠AED =180°-∠CED =105°.Ⅲ.当∠CED =∠CDE 时,EC =CD ,∠ACD =180°-∠CED -∠CDE =180°-30°-30°=120°, ∵∠ACB =120°,∴此时,点D 与点B 重合,不合题意.综上,△ECD 可以是等腰三角形,此时∠AED 的度数为60°或105°.归纳:在以等腰三角形为背景求线段长的问题中,最常用的工具为“等腰三角形三线合一”,由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系,进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解,若已知图形中有两个中点时,常用中位线的性质得到线段平行和数量关系. 考点2: 等边三角形的性质及相关计算【例题2】(2018·河北模拟)如图1,在等边△ABC 和等边△ADP 中,AB =2,点P 在△ABC 的高CE 上(点P 与点C 不重合),点D 在点P 的左侧,连接BD ,ED.(1)求证:BD =CP ;(2)当点P 与点E 重合时,延长CE 交BD 于点F ,请你在图2中作出图形,并求出BF 的长; (3)直接写出线段DE 长度的最小值.【解析】:(1)证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴AB =AC ,∠BAC =60°. ∵△ADP 是等边三角形, ∴AD =AP ,∠DAP =60°. ∴∠DAB +∠BAP =∠BAP +∠CAP. ∴∠DAB =∠CAP. ∴△DAB ≌△PAC(SAS). ∴BD =CP.(2)如图2,∵△ADP 是等边三角形,∴当点P 与点E 重合时,有AE =DE ,∠AED =60°. ∵CE ⊥AB ,∴AE =BE =DE ,∠BCE =12∠ACB =30°.∴∠EBD =30°.∴∠DBC =90°.在Rt △BCF 中,∵BC =2,tan ∠BCE =BFBC ,∴BF =2tan30°=233.(3)DE 长度的最小值是12,理由:如图3,由(1)知:△DAB ≌△PAC ,∴取AC 的中点F ,连接PF ,则PF =DE ,∴PF 长度的最小值就是DE 长度的最小值,过点F 作FG ⊥CE 于点G ,垂足G 就是PF 最小时点P 的位置,此时PF =12,故DE 长度的最小值是12.归纳:对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处,判定时注意两个角为60°的三角形为等边三角形,抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。

2020年中考数学必考考点专题17等腰、等边三角形问题(含解析)

2020年中考数学必考考点专题17等腰、等边三角形问题(含解析)

专题17 等腰、等边三角形问题专题知识回顾一、等腰三角形1. 定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶角,底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义:三边都相等的三角形叫等边三角形.2. 性质性质1:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;性质2:等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴,分别为三边的垂直平分线。

3.判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、含300的直角三角形的性质在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它对的等于的一半.四、解题方法要领1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有:(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。

(2)在三角形的中线问题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

2020版中考数学总复习优化设计:第16讲-等腰三角形-讲练课件二

2020版中考数学总复习优化设计:第16讲-等腰三角形-讲练课件二
方法点拨等腰三角形的性质,既涉及角相等又涉及线段相等,为 证明线段和角的关系增添了又一理论根据.
考法1
考法2
考法3
考点必备梳理
考法4
考法必研突破
考题初做诊断
等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
注意:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既可作为性质,
又可作为判定办法.
考法4
考法必研突破
考题初做诊断
等边三角形的判定和性质 1.等边三角形是一种非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有 关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了 便利条件.同时等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线 合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用. 2.等边三角形的特性如:三边相等、有三条对称轴、一边上的高 可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可 以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等. 3.等边三角形判定最复杂,在应用时要抓住已知条件的特点,选取 恰当的判定方法,一般地,若从一般三角形出发可以通过三条边相 等或三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想办法获取一个60° 的角判定.
∠ABC=∠ACB=180°2-36°=72°,
BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,
∴在△ABD中,∠A=∠ABD=36°,AD=BD,△ABD是等腰三角形,
在△ABC中,∠C=∠ABC=72°,AB=AC,△ABC是等腰三角形,
在△BDC中,∠C=∠BDC=72°,BD=BC,△BDC是等腰三角形,所以
②等腰三角形的判定和性质互逆. ③判定定理在同一个三角形中才能适用.
考法1
考法2
考法3
考点必备梳理

两年中考模拟2020年中考数学:等腰三角形与直角三角形(学生版)

两年中考模拟2020年中考数学:等腰三角形与直角三角形(学生版)

第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质,并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法,会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法,会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法,会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理归纳1:等腰三角形基础知识归纳:1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的性质定理及推论:定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论:定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.基本方法归纳:①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角). ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2b <a ④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A =180°—2∠B ,∠B =∠C =2180A ∠-︒ 注意问题归纳:等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题,并证明角相等的问题.【例1】(2019内蒙古包头市,第10题,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4,且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根,则m 的值是( )A .34B .30C .30或34D .30或36归纳 2:等边三角形基础知识归纳:1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.基本方法归纳:线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等;到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.注意问题归纳:三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【例2】(2019四川省宜宾市,第7题,3分)如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF 的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()A.32B.235C.33D.34归纳3:直角三角形基础知识归纳:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质:(1)直角三角形两锐角互余.(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.基本方法归纳:(1)两个内角互余的三角形是直角三角形.(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.注意问题归纳:注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定,在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,它的逆命题不能直接使用.【例3】(2019山东省东营市,第14题,3分)已知等腰三角形的底角是30°,腰长为23,则它的周长是.归纳4:勾股定理基础知识归纳:直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即:a2+b2=c2;基本方法归纳:如果三角形的三条边a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.注意问题归纳:勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法,通常与直角三角形的性质结合起来考查.【例4】(2019北京,第12题,2分)如图所示的网格是正方形网格,则∠P AB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).【2019年题组】一、选择题1.(2019四川省内江市,第9题,3分)一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根,则此三角形的周长是()A.16B.12C.14D.12或162.(2019宁夏,第5题,3分)如图,在△ABC中AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE.连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为()A.40°B.45°C.55°D.70°3.(2019山西省,第5题,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC与点E,若∠1=145°,则∠2的度数是()A.30°B.35°C.40°D.45°4.(2019衢州,第7题,3分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是()A.60°B.65°C.75°D.80°5.(2019湖北省荆州市,第5题,3分)如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下:连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE 平分∠MON.有以下几条几何性质:①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据是()A.①②B.①③C.②③D.①②③6.(2019湖南省常德市,第7题,3分)如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是()A.20B.22C.24D.267.(2019湖南省长沙市,第12题,3分)如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD55BD的最小值是()A.25B.45C.53D.108.(2019辽宁省丹东市,第7题,3分)等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,则k的值是()A.8B.9C.8或9D.129.(2019台湾,第4题,3分)图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成,其中正三角形面积为a,矩形面积为b.若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱,则图2中直角柱的表面积为何?()A.4a+2b B.4a+4b C.8a+6b D.8a+12b10.(2019甘肃省天水市,第8题,4分)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(3C.3,1)D.33)11.(2019内蒙古赤峰市,第14题,3分)如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作:①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉;②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2019次操作时,余下纸片的面积为()A .22019B .201812C .201912 D .20201212.(2019台湾,第9题,3分)公园内有一矩形步道,其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图表示此步道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列且总共有40个.求步道上总共使用多少个三角形地砖?( )A .84B .86C .160D .16213.(2019四川省内江市,第10题,3分)如图,在△ABC 中,AB =2,BC =3.6,∠B =60°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,则CD 的长为( )A .1.6B .1.8C .2D .2.614.(2019四川省成都市,第5题,3分)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起,若∠1=30°,则∠2的度数为( )A .10°B .15°C .20°D .30°15.(2019四川省眉山市,第11题,3分)如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则DE 的长是( )A.1B.74C.2D.12516.(2019四川省绵阳市,第10题,3分)公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则(sinθ﹣cosθ)2=()A.15B.55C.355D.9517.(2019滨州,第10题,3分)满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为()A.AB41=,BC=4,AC=5B.AB:B C:A C=3:4:5C.∠A:∠B:∠C=3:4:5D.|cosA12-|+(tanB33-)2=018.(2019聊城,第11题,3分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是()A.AE+AF=AC B.∠BEO+∠OFC=180°C.OE+OF2=BC D.S四边形AEOF12=S△ABC19.(2019江苏省苏州市,第10题,3分)如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB.过点D作DE⊥AD,DE交AC于点E.若DE=1,则△ABC的面积为()A.42B.4C.25D.820.(2019浙江省宁波市,第9题,4分)已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°,则∠2的度数为()A.60°B.65°C.70°D.75°21.(2019浙江省宁波市,第12题,4分)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和22.(2019浙江省湖州市,第9题,3分)在数学拓展课上,小明发现:若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形,P是其中4个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是()A.22B.5C.352D.1023.(2019海南,第12题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P 作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为()A.813B.1513C.2513D.321324.(2019湖北省咸宁市,第2题,3分)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是()A.B.C.D.25.(2019湖北省黄石市,第8题,3分)如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=()A.125°B.145°C.175°D.190°26.(2019辽宁省朝阳市,第7题,3分)把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是()A.83°B.57°C.54°D.33°27.(2019辽宁省锦州市,第7题,2分)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M是对角线BD上的动点,过点M作ME ⊥BC于点E,连接AM,当△ADM是等腰三角形时,ME的长为()A.32B.65C.32或35D.32或65二、填空题28.(2019四川省宜宾市,第16题,3分)如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,AD 与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N.下列结论正确的是(写出所有正确结论的序号).①AM=BN;②△ABF≌△DNF;③∠FMC+∠FNC=180°;④111 MN AC CE=+29.(2019自贡,第18题,4分)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos(α+β)= .30.(2019江苏省连云港市,第15题,3分)如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始,按顺时针方向),如点A的坐标可表示为(1,2,5),点B的坐标可表示为(4,1,3),按此方法,则点C的坐标可表示为.31.(2019江苏省镇江市,第8题,2分)如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1= °.32.(2019浙江省温州市,第16题,5分)图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为分米;当OB从水平状态旋转到OB'(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'﹣BE为分米.33.(2019湖北省荆门市,第15题,3分)如图,在平面直角坐标系中,函数ykx(k>0,x>0)的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为.34.(2019湖北省黄冈市,第16题,3分)如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中点,若∠CMD=120°,则CD的最大值是.35.(2019辽宁省锦州市,第16题,3分)如图,边长为4的等边△ABC,AC边在x轴上,点B在y轴的正半轴上,以OB为边作等边△OBA1,边OA1与AB交于点O1,以O1B为边作等边△O1BA2,边O1A2与A1B交于点O2,以O2B为边作等边△O2BA3,边O2A3与A2B交于点O3,…,依此规律继续作等边△O n﹣1BA n,记△OO1A的面积为S1,△O1O2A1的面积为S2,△O2O3A2的面积为S3,…,△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n,则S n=.(n≥2,且n为整数)36.(2019广安,第13题,3分)等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm.37.(2019四川省成都市,第12题,4分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为.38.(2019广西桂林市,第17题,3分)如图,在平面直角坐标系中,反比例ykx=(k>0)的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC52=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为(3,5).若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为.39.(2019新疆,第14题,5分)如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为.40.(2019江苏省徐州市,第18题,3分)函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在x轴上.若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个.41.(2019湖南省常德市,第14题,3分)如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且点D'、D、B三点在同一条直线上,则∠ABD的度数是.42.(2019甘肃省白银市,第17题,4分)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .43.(2019贵州省毕节市,第17题,5分)如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为度.44.(2019内蒙古通辽市,第15题,3分)腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为.45.(2019四川省巴中市,第15题,4分)如图,等边三角形ABC内有一点P,分別连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10.则S△ABP+S△BPC=.46.(2019四川省广元市,第13题,3分)如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是.47.(2019四川省泸州市,第16题,3分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为.48.(2019山东省威海市,第13题,3分)把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上).若∠1=23°,则∠2=°.49.(2019山东省威海市,第17题,3分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD.若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC=°.50.(2019枣庄,第17题,4分)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD= .51.(2019山东省淄博市,第17题,4分)如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D(不与点A,C重合)处,折痕是EF.如图1,当CD12=AC时,tanα134=;如图2,当CD13=AC时,tanα2512=;如图3,当CD14=AC时,tanα3724=;……依此类推,当CD11n=+AC(n为正整数)时,tanαn= .52.(2019山西省,第15题,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为cm.53.(2019广西,第18题,3分)如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式为.54.(2019江苏省宿迁市,第17题,3分)如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C 在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是.55.(2019湖北省鄂州市,第15题,3分)如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP= .56.(2019湖南省株洲市,第13题,3分)如图所示.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB= .57.(2019湖南省株洲市,第18题,3分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜Ⅰ,在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ,缺口为线段AB,其中点A(0,1),点B在点A上方,且AB=1,在直线x=﹣1处放置一个挡板Ⅲ,从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后,通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上,则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为.58.(2019湖南省邵阳市,第17题,3分)公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.59.(2019西藏,第15题,3分)若实数m 、n 满足|m ﹣3|4n +-=0,且m 、n 恰好是直角三角形的两条边,则该直角三角形的斜边长为 .60.(2019贵州省毕节市,第19题,5分)三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,点B 在ED 上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°,∠E =45°,∠A =60°,AC =10,则CD 的长度是 .61.(2019贵州省铜仁市,第16题,4分)如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,且BD ⊥AC ,ED ∥BC ,ED 交AB 于点E ,BC =7cm ,AC =6cm ,则△AED 的周长等于 cm .62.(2019辽宁省丹东市,第13题,3分)如图,在△ABC 中,∠C =90°,DE 是AB 的垂直平分线,AD 恰好平分∠BAC .若DE =1,则BC 的长是 .63.(2019辽宁省大连市,第13题,3分)如图,△ABC 是等边三角形,延长BC 到点D ,使CD =AC ,连接AD .若AB =2,则AD 的长为 .64.(2019辽宁省抚顺市,第17题,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB =2,D 是△ABC 所在平面内一点,以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,则BD 的长为 .65.(2019黑龙江省鸡西市,第9题,3分)一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当△BDE是直角三角形时,则CD的长为.66.(2019黑龙江省齐齐哈尔市,第16题,3分)等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD12=AC,则等腰△ABC底角的度数为.三、解答题67.(2019内蒙古呼和浩特市,第18题,6分)如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;(2)求证:△ABC的内角和等于180°;(3)若()12a b caa b c c++=-+,求证:△ABC是直角三角形.68.(2019四川省巴中市,第18题,8分)如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A、B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设△AEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理.69.(2019四川省达州市,第20题,7分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.(1)尺规作图:不写作法,保留作图痕迹.①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;②过点D作BC的垂线,垂足为点E.(2)在(1)作出的图形中,求DE的长.70.(2019山东省菏泽市,第23题,10分)如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.(1)如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求证:B P⊥CD;(2)如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=62,AD=3,求△PDE的面积.【2018年题组】一、选择题1.(2018浙江省湖州市,第5题,3分)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是()A.20°B.35°C.40°D.70°2.(2018兰州,第5题,4分)如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是()A.50°B.60°C.65°D.70°3.(2018贵州省安顺市,第6题,3分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是()A.12B.9C.13D.12或94.(2018辽宁省丹东市,第5题,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB与点E,已知△BCE的周长为10,且BC=4,则AB的长为()A.3B.4C.5D.65.(2018辽宁省营口市,第6题,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面内,将△ABC绕点A 顺时针旋转到△AB1C1的位置,连接BB1,若BB1∥AC1,则∠CAC1的度数是()A.10°B.20°C.30°D.40°6.(2018台湾省,第11题,3分)如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?()A.115B.120C.125D.1307.(2018山东省德州市,第12题,4分)如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于433;④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.(2018四川省达州市,第8题,3分)如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为()A.32B.2C.52D.39.(2018广西梧州市,第7题,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB'C'与△ABC关于直线EF对称,∠CAF=10°,连接BB',则∠ABB'的度数是()A.30°B.35°C.40°D.45°10.(2018江苏省宿迁市,第6题,3分)若实数m、n满足等式|m﹣4n =0,且m、n恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC的周长是()A.12B.10C.8D.611.(2018广西玉林市,第9题,3分)如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC 为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是()A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直12.(2018浙江省台州市,第10题,4分)如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E.将△BDE沿直线DE折叠,得到△B'DE,若B'D,B'E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是()A.△ADF≌△CGEB.△B'FG的周长是一个定值C.四边形FOEC的面积是一个定值D.四边形OGB'F的面积是一个定值13.(2018兰州,第7题,4分)如图,边长为4的等边△ABC中,D、E分别为AB,AC的中点,则△ADE的面积是()A3333B C24 . .D.314.(2018福建省A,第5题,4分)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°15.(2018辽宁省鞍山市,第7题,3分)如图,在等边三角形ABC中,AE=CD,CE与BD相交于点G,EF⊥BD于点F,若EF=2,则EG的长为()A.334B.433C.332D.416.(2018内蒙古包头市,第8题,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为()A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°17.(2018吉林省长春市,第8题,3分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=kx(x>0)的图象上,若AB=2,则k的值为()A.4B.22C.2D.218.(2018四川省内江市,第12题,3分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为()A.(﹣4,﹣5)B.(﹣5,﹣4)C.(﹣3,﹣4)D.(﹣4,﹣3)19.(2018四川省凉山州,第3题,4分)如图,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB 长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为()A.3B.2C.3D.520.(2018四川省南充市,第8题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为()A.12B.1C.32D321.(2018四川省攀枝花市,第4题,3分)如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为()A .30°B .15°C .10°D .20°22.(2018四川省泸州市,第8题,3分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b .若ab =8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )A .9B .6C .4D .323.(2018四川省绵阳市,第11题,3分)如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA =CB ,CE =CD ,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,若AE 2=,AD 6=,则两个三角形重叠部分的面积为( )A .2B .32-C .31-D .33-24.(2018山东省东营市,第10题,3分)如图,点E 在△DBC 的边DB 上,点A 在△DBC 内部,∠DAE =∠BAC =90°,AD =AE ,AB =AC .给出下列结论:①BD =CE ;②∠ABD +∠ECB =45°;③BD ⊥CE ;④BE 2=2(AD 2+AB 2)﹣CD 2.其中正确的是( )A .①②③④B .②④C .①②③D .①③④25.(2018山东省枣庄市,第10题,3分)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接P A 、PB ,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个26.(2018山东省枣庄市,第12题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为()A.32B.43C.53D.8527.(2018山东省淄博市,第11题,4分)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为()A.4B.6C.43D.828.(2018山东省淄博市,第12题,4分)如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为()A.25394+B.25392+C.18253+D.3182+29.(2018山东省滨州市,第1题,3分)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()A.5B.6C.7D.830.(2018山东省莱芜市,第8题,3分)在平面直角坐标系中,已知△ABC为等腰直角三角形,CB=CA=5,点C(0,3),点B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y=kx的图象上,则k=()A.3B.4C.6D.1231.(2018山东省菏泽市,第3题,3分)如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是()A.45°B.30°C.15°D.10°32.(2018山东省青岛市,第6题,3分)如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是()A.322B.32C.3D.3333.(2018山西省,第8题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为()A.12B.6C.62D.6334.(2018广西贺州市,第10题,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为()A.32B.33C.6D.6235.(2018江苏省南通市,第5题,3分)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,1236.(2018江苏省扬州市,第7题,3分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是()A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC37.(2018江苏省扬州市,第8题,3分)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论:①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是()A.①②③B.①C.①②D.②③38.(2018浙江省温州市,第10题,4分)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为()A.20B.24C.994D.53239.(2018海南省,第12题,3分)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则BC1的长为()A.6B.8C.10D.1240.(2018湖北省孝感市,第10题,3分)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE ⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(3﹣1)EF.其中正确结论的个数为()A.5B.4C.3D.241.(2018湖北省荆州市,第4题,3分)如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上,∠1=20°,则∠2的度数是()A.45°B.55°C.65°D.75°42.(2018湖北省荆门市,第11题,3分)如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()。

中考数学考点20等腰三角形总复习(解析版)

中考数学考点20等腰三角形总复习(解析版)

等腰三角形【命题趋势】在中考中.等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查;也经常在解答题中结合二次函数考查;等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查.经常与圆综合题作为考查。

【中考考查重点】一、等腰三角形二、等边三角形考点一:等腰三角形的性质与判定1.(2021秋•绥棱县期末)有两边相等的三角形的两边长为4cm.5cm.则它的周长为()A.8cm B.14cm C.13cm D.14cm或13cm 【答案】D【解答】解:当相等的两边是4cm时.4+4>5.能够组成三角形.则它的周长是4+4+5=13(cm);当相等的两边是5cm时.4+5>5.能够组成三角形.则它的周长是5+5+4=14(cm).故选:D.2.(2021秋•延边州期末)如图.在△ABC中.AD是角平分线.且AD=AC.若∠BAC=60°.则∠B的度数是()A.45°B.50°C.52°D.58°【答案】A【解答】解:∵AD是△ABC的一条角平分线.∠BAC=60°.性质1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合(简写成“等腰三角形三线合一”)3.等腰三角形是轴对称图形.有2条对称轴判定1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式.其中a是底边常.hs是底边上的高∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=×60°=30°.∵AD=AC.∴∠ADC=∠C==75°.∴∠B=∠ADC﹣∠BAD=75°﹣30°=45°.故选:A.3.(2021秋•和平区校级期中)如图.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F.过F作DE ∥BC.交AB于点D.交AC于点E.BD=3cm.EC=2cm.则DE=5cm.【答案】5【解答】解:∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.∴∠DBF=∠FBC.∠ECF=∠BCF.∵DE∥BC.交AB于点D.交AC于点E.∴∠DFB=∠DBF.∠CFE=∠ECF.∴BD=DF=3cm.FE=CE=2cm.∴DE=DF+CE=5(cm).故答案为:5.4.(2021秋•龙凤区校级期末)已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°.那么这个等腰三角形的顶角等于()A.50°或130°B.130°C.80°D.50°或80°【答案】A【解答】解:①如图.等腰三角形为锐角三角形.∵BD⊥AC.∠ABD=40°.∴∠A=50°.即顶角的度数为50°.②如图.等腰三角形为钝角三角形.∵BD⊥AC.∠DBA=40°.∴∠BAD=50°.∴∠BAC=130°.故选:A.5.(2021•淄博)如图.在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.过点D作DE∥BC交AB于点E.(1)求证:BE=DE;(2)若∠A=80°.∠C=40°.求∠BDE的度数.【答案】(1)BE=DE(2)∠BDE的度数为30°【解答】解:(1)证明:在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC.∴∠EDB=∠CBD.∴∠EBD=∠EDB.∴BE=DE.(2)∵∠A=80°.∠C=40°∴∠ABC=60°.∵∠ABC的平分线交AC于点D.∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°.由(1)知∠EDB=∠EBD=30°.故∠BDE的度数为30°.6.(2021秋•临江市期末)如图.在△ABC中.AB=AC.点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上.且BE=CF.BD=CE.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)当∠A=40°时.求∠DEF的度数.【答案】(1)略(2)∠DEF=70°【解答】证明:∵AB=AC.∴∠ABC=∠ACB.在△DBE和△ECF中.∴△DBE≌△ECF.∴DE=EF.∴△DEF是等腰三角形;(2)∵△DBE≌△ECF.∴∠1=∠3.∠2=∠4.∵∠A+∠B+∠C=180°.∴∠B=(180°﹣40°)=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°7.(2020秋•呼和浩特期末)如图.点O是等边△ABC内一点.D是△ABC外的一点.∠AOB=110°.∠BOC=α.△BOC≌△ADC.∠OCD=60°.连接OD.(1)求证:△OCD是等边三角形;(2)当α=150°时.试判断△AOD的形状.并说明理由;(3)探究:当α为多少度时.△AOD是等腰三角形.【答案】(1)△OCD是等边三角形(2)△AOD是直角三角形(3)α=110°或125°或140°【解答】证明:(1)∵△BOC≌△ADC.∴OC=DC.∵∠OCD=60°.∴△OCD是等边三角形.解:(2)△AOD是直角三角形.理由如下:∵△OCD是等边三角形.∴∠ODC=60°.∵△BOC≌△ADC.α=150°.∴∠ADC=∠BOC=α=150°.∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°.∴△AOD是直角三角形.(3)∵△OCD是等边三角形.∴∠COD=∠ODC=60°.∵∠AOB=110°.∠ADC=∠BOC=α.∴∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD=360°﹣110°﹣α﹣60°=190°﹣α.∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=α﹣60°.∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠ADO=180°﹣(190°﹣α)﹣(α﹣60°)=50°.①当∠AOD=∠ADO时.190°﹣α=α﹣60°.∴α=125°.②当∠AOD=∠OAD时.190°﹣α=50°.∴α=140°.③当∠ADO=∠OAD时.α﹣60°=50°.∴α=110°.综上所述:当α=110°或125°或140°时.△AOD 是等腰三角形.考点二: 等边三角形的性质与判定8.(2021秋•浦城县期中)△ABC 是等边三角形.点P 在△ABC 内.P A =4.将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC .则P 1P 的长等于( )A .4B .C .2D .【答案】A【解答】解:∵△ABC 是等边三角形.∴AC =AB .∠CAB =60°.∵将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC∴△CP 1A ≌△BP A .∴AP 1=AP .∠CAP 1=∠BAP .∴∠CAB =∠CAP +∠BAP =∠CAP +∠CAP 1=60°.即∠P AP 1=60°.∴△APP 1是等边三角形.∴P 1P =P A =4.性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等.且每个内角都等于60°3. 等边三角形是轴对称图形.有3条对称轴判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形2. 三个角相等的三角形是等边三角形3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长.h 是任意边上的高9.(2020秋•紫阳县期末)如图.在等腰△ABC中.AB=AC.点E为AC的中点.延长BC 到点D.使得CD=CE.延长DE交AB于点F.若∠A=60°.EF=4cm.则DF的长为()A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm【答案】A【解答】解:∵AB=AC.∠A=60°.∴△ABC为等边三角形.∴∠ACB=60°.∴∠ACB=∠CED+∠D.∵CD=CE.∴∠CED=∠D=∠ACB=30°.∴∠AEF=∠CED=30°.∴∠AFE=180°﹣∠A﹣∠AEF=90°.∵EF=4cm.∴设AF=x.则AE=2x.∴由勾股定理得:x2+42=4x2.∴x=.∴AF=.AE=.∴BF=AB﹣AF=2AE﹣AF=.∵∠D=30°.∴BD=2BF=.∴DF2=BD2﹣BF2=3BF2.∴DF=BF=×=12.10.(2021春•张店区期末)如图.P是等边三角形ABC内的一点.且P A=3.PB=4.PC=5.以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BP A.连接PQ.则以下结论错误的是()A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB=150°D.∠APC=135°【答案】D【解答】解:∵△ABC是等边三角形.∴∠ABC=60°.∵△BQC≌△BP A.∴∠BP A=∠BQC.BP=BQ=4.QC=P A=3.∠ABP=∠QBC.∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°.∴△BPQ是等边三角形.∴PQ=BP=4.∵PQ2+QC2=42+32=25.PC2=52=25.∴PQ2+QC2=PC2.∴∠PQC=90°.即△PQC是直角三角形.∵△BPQ是等边三角形.∴∠BOQ=∠BQP=60°.∴∠BP A=∠BQC=60°+90°=150°.∴∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC.∵∠PQC=90°.PQ≠QC.∴∠QPC≠45°.即∠APC≠135°.∴选项A、B、C正确.选项D错误.故选:D.11.(2020秋•河东区期中)如图.点M.N分别在正三角形ABC的BC.CA边上.且BM=CN.AM.BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.【答案】略【解答】证明:∵BM=CN.BC=AC.∴CM=AN.又∵AB=AC.∠BAN=∠ACM.∴△AMC≌△BNA.则∠BNA=∠AMC.∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°.∴∠AQN=∠ACB.∵∠BQM=∠AQN.∴∠BQM=∠AQN=∠ACB=60°1.(2021秋•九龙坡区期中)如图.在△ABC中.AB=AC.点D为边AC上一点.且AD=BD.∠A=40°.则∠DBC的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】B【解答】解:∵AB=AC.∠A=40°.∴∠ABC=∠C==70°.∵AD=BD.∴∠DBA=∠A=40°.∴∠DBC=∠ABC﹣∠DBA=70°﹣40°=30°.故选:B.2.如图.为了让电线杆垂直于地面.工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC.当固定点B.C到杆脚E的距离相等.且B.E.C在同一直线上时.电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是()A.等边对等角B.等角对等边C.垂线段最短D.等腰三角形“三线合一”【答案】D【解答】解:∵AB=AC.BE=CE.∴AE⊥BC.故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”.故选:D.3.(2021秋•九台区期末)如图.已知△ABC的面积为24.AB=AC=8.点D为BC边上一点.过点D分别作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.若DF=2DE.则DF长为()A.4B.5C.6D.8【答案】A【解答】解:连接AD.则:S△ABD+S△ACD=S△ABC.即:×8•DF+8•DE=24.可得:DE+DF=6.∵DF=2DE.∴DF=4.故选:A.5.(2021秋•天河区期末)如图所示的正方形网格中.网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点.如果C也是图中的格点.且使得△ABC为等腰三角形.则点C的个数是()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【解答】解:如图.分情况讨论:①AB为等腰△ABC的底边时.符合条件的C点有4个;②AB为等腰△ABC其中的一条腰时.符合条件的C点有4个.故选:C.55.(2021秋•南安市期末)如图:D为△ABC内一点.CD平分∠ACB.BD⊥CD.∠A =∠ABD.若BD=1.BC=3.则AC的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】A【解答】解:延长BD交AC于E.如图.∵CD平分∠ACB.BD⊥CD.∴△BCE为等腰三角形.∴DE=BD=1.CE=CB=3.∵∠A=∠ABD.∴EA=EB=2.∴AC=AE+CE=2+3=5.故选:A.6.(2021•滨州)如图.在△ABC中.点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC.∠BAD=44°.则∠C的大小为.【答案】34°【解答】解:∵AB=AD.∴∠B=∠ADB.∵∠BAD=44°.∴∠ADB==68°.∵AD=DC.∠ADB=∠C+∠DAC.∴∠C=∠DAC=∠ADB=34°.故答案为:34°.7.(2019•重庆)如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°.求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上.EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.【答案】(1)48°(2)AE=FE【解答】解:(1)∵AB=AC.AD⊥BC于点D.∴∠BAD=∠CAD.∠ADC=90°.又∠C=42°.∴∠BAD=∠CAD=90°﹣42°=48°;(2)∵AB=AC.AD⊥BC于点D.∴∠BAD=∠CAD.∵EF∥AC.∴∠F=∠CAD.∴∠BAD=∠F.∴AE=FE.8.(2021秋•长春期末)如图.在等边△ABC中.点D在边BC上.过点D作DE∥AB交AC于点E.过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数;(2)求证:DC=CF.【答案】(1)30°(2)CD=CF【解答】(1)解:∵△ABC是等边三角形.∴∠B=60°.∵DE∥AB.∴∠B=∠EDC=60°.∵DE⊥EF.∴∠DEF=90°.∴∠F=∠DEF﹣∠EDF=90°﹣60°=30°;(2)证明:∵△ABC是等边三角形.∴∠B=∠ACB=60°.∵DE∥AB.∴∠B=∠EDC=60°.∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°.∴△DEC是等边三角形.∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF.∠F=30°.∴∠CEF=∠F=30°.∴EC=CF.∴CD=CF.9.(2020秋•淮南期末)已知.在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED=EC.(1)【特殊情况.探索结论】如图1.当点E为AB的中点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论:AE DB(填“>”、“<”或“=”).(2)【特例启发.解答题目】如图2.当点E为AB边上任意一点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论.AE DB(填“>”、“<”或“=”);理由如下.过点E作EF∥BC.交AC 于点F.(请你完成以下解答过程).(3)【拓展结论.设计新题】在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在线段CB的延长线上.且ED=EC.若△ABC的边长为1.AE=2.求CD的长(请你画出相应图形.并直接写出结果).【答案】(1)=;(2)=(3)3【解答】解:(1)当E为AB的中点时.AE=DB;(2)AE=DB.理由如下.过点E作EF∥BC.交AC于点F.证明:∵△ABC为等边三角形.∴△AEF为等边三角形.∴AE=EF.BE=CF.∵ED=EC.∵∠DEB=60°﹣∠D.∠ECF=60°﹣∠ECD.∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中..∴△DBE≌△EFC(SAS).∴DB=EF.则AE=DB;(3)点E在AB延长线上时.如图所示.同理可得△DBE≌△EFC.∴DB=EF=2.BC=1.则CD=BC+DB=3.故答案为:(1)=;(2)=1.(2021•赤峰)如图.AB∥CD.点E在线段BC上.CD=CE.若∠ABC=30°.则∠D的度数为()A.85°B.75°C.65°D.30°【答案】B【解答】解:∵AB∥CD.∴∠C=∠ABC=30°.又∵CD=CE.∵∠C+∠D+∠CED=180°.即30°+2∠D=180°.∴∠D=75°.故选:B.2.(2021•青海)已知a.b是等腰三角形的两边长.且a.b满足+(2a+3b﹣13)2=0.则此等腰三角形的周长为()A.8B.6或8C.7D.7或8【答案】D【解答】解:∵+(2a+3b﹣13)2=0.∴.解得:.当b为底时.三角形的三边长为2.2.3.周长为7;当a为底时.三角形的三边长为2.3.3.则周长为8.∴等腰三角形的周长为7或8.故选:D.3.(2021•广西)如图.⊙O的半径OB为4.OC⊥AB于点D.∠BAC=30°.则OD的长是()A.B.C.2D.3【答案】C【解答】解:连接OA.∵OC⊥AB.∴∠ADC=90°.∴∠DAC+∠ACD=90°.∵∠BAC=30°.∴∠ACO=60°.∵OA=OC.∴△AOC为等边三角形.∵OC⊥AB.∴OD=OC=2.故选:C.4.(2020•铜仁市)已知等边三角形一边上的高为2.则它的边长为()A.2B.3C.4D.4【答案】C【解答】解:根据等边三角形:三线合一.设它的边长为x.可得:.解得:x=4.x=﹣4(舍去).故选:C.5.(2021•康巴什一模)如图所示.已知m∥n.等边△ABC的顶点B在直线n上.∠1=25°.则∠2的度数是()A.25°B.35°C.45°D.55°【答案】B【解答】解:过C点作CD∥m.∴∠ACD=∠1=25°.∵m∥n.∴CD∥n.∴∠2=∠DCB.∵∠ACD+∠DCB=∠ACB.∴∠2=∠ACB﹣25°.∵△ABC为等边三角形.∴∠ACB=60°.∴∠2=60°﹣25°=35°.故选:B.6.(2021•荆门一模)如图.△ABC是等边三角形.△BCD是等腰三角形.且BD=CD.过点D作AB的平行线交AC于点E.若AB=8.DE=6.则BD的长为()A.6B.C.D.【答案】B【解答】解:连接AD交BC于点O.取AC中点N.连接ON.如图.∵△ABC是等边三角形.∴AB=AC=BC=8.∠ABC=60°.∵△BCD是等腰三角形.∴BD=DC.∴AD垂直平分BC.∴BO=CO=4.∵AN=CN.∴ON=AB=4.ON∥AB.∵AB∥DE.∴ON∥DE.∴.∴=2.∴OD=AO.∴tan∠ABO=.即.∴AO=4.∴OD=2.在Rt△BOD中.BD==2.故选:B.7.(2021•丹东模拟)如图.△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.点E在AD上.且DE=BC.则∠AFE=()A.100°B.105°C.110°D.115°【答案】B【解答】解:∵△ABC是等边三角形.∴∠BAC=60°.∵AD是BC边上的中线.∴∠BAD=BAC=30°.AD⊥BC.BD=CD=BC.∴∠CDE=90°.∵DE=BC.∴DE=DC.∴∠DEC=∠DCE=45°.∴∠AEF=∠DEC=45°.∴∠AFE=180°﹣∠BAD﹣∠AEF=180°﹣30°﹣45°=105°.故选:B.8.(2020•台州)如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的△DEF的周长是.【答案】6【解答】解:∵等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∴EF=2.∵△ABC是等边三角形.∴∠B=∠C=60°.又∵DE∥AB.DF∥AC.∴∠DEF=∠B=60°.∠DFE=∠C=60°.∴△DEF是等边三角形.∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.故答案为:6.9.(2019•哈尔滨)如图.在四边形ABCD中.AB=AD.BC=DC.∠A=60°.点E为AD边上一点.连接BD、CE.CE与BD交于点F.且CE∥AB.若AB=8.CE=6.则BC的长为.【答案】2【解答】解:如图.连接AC交BD于点O∵AB=AD.BC=DC.∠A=60°.∴AC垂直平分BD.△ABD是等边三角形∴∠BAO=∠DAO=30°.AB=AD=BD=8.BO=OD=4∵CE∥AB∴∠BAO=∠ACE=30°.∠CED=∠BAD=60°∴∠DAO=∠ACE=30°∴AE=CE=6∴DE=AD﹣AE=2∵∠CED=∠ADB=60°∴△EDF是等边三角形∴DE=EF=DF=2∴CF=CE﹣EF=4.OF=OD﹣DF=2∴OC==2∴BC==210.(2021•朝阳)如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为(5.0).点M的坐标为(0.4).过点M作MN∥x轴.点P在射线MN上.若△MAP为等腰三角形.则点P的坐标为.【答案】(.4)或(.4)或(10.4)【解答】解:设点P的坐标为(x.4).分三种情况:①PM=P A.∵点A的坐标为(5.0).点M的坐标为(0.4).∴PM=x.P A=.∵PM=P A.∴x=.解得:x=.∴点P的坐标为(.4);②MP=MA.∵点A的坐标为(5.0).点M的坐标为(0.4).∴MP=x.MA==.∵MP=MA.∴x=.∴点P的坐标为(.4);③AM=AP.∵点A的坐标为(5.0).点M的坐标为(0.4).∴AP=.MA==.∵AM=AP.∴=.解得:x1=10.x2=0(舍去).∴点P的坐标为(10.4);综上.点P的坐标为(.4)或(.4)或(10.4).故答案为:(.4)或(.4)或(10.4).1.(2021•贵港模拟)如图.在△ABC中.AB=BC.∠A=36°.AB的垂直平分线DE交AB于点D.交AC于点E.若AB=10.则CE的长为()A.5B.8C.10D.10【答案】C【解答】解:∵在△ABC中.AB=BC=10.∠A=36°.∴∠C=∠A=36°.∵AB的垂直平分线是DE.∴AE=BE.∴∠ABE=∠A=36°.∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=108°﹣36°=72°.∵∠BEC=∠A+∠ABE=72°∴∠BEC=∠EBC.∴CE=BC=10.故选:C.2.(2021•西湖区二模)如图.在△ABC中.点D在边BC上.且满足AB=AD=DC.过点D 作DE⊥AD.交AC于点E.设∠BAD=α.∠CAD=β.∠CDE=γ.则()A.2α+3β=180°B.3α+2β=180°C.β+2γ=90°D.2β+γ=90°【答案】D【解答】解:∵AB=AD=DC.∠BAD=α.∴∠B=∠ADB.∠C=∠CAD=β.∵DE⊥AD.∴∠ADE=90°.∴∠CAD+∠AED=90°.∵∠CDE=γ.∠AED=∠C+∠CDE.∴∠AED=γ+β.∴2β+γ=90°.故选:D.3.(2021•陕西模拟)如图.△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.DE⊥AB于点E.BF⊥AC 于点F.DE=2.则BF的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解答】解:∵△ABC中.AB=AC.AD⊥BC.∴AD是△ABC的中线.∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=2AB.∵S△ABC=AC•BF.∴AC•BF=2AB.∵AC=AB.∴BF=2.∴BF=4.故选:B.4.(2021•西陵区模拟)如图.已知Rt△OAB.∠OAB=50°.∠AOB=90°.O点与坐标系原点重合.若点P在x轴上.且△APB是等腰三角形.则点P的坐标可能有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解答】解:如图.在x轴上共有4个这样的P点(图中实心点).故选:D.5.(2021•成都模拟)如图.把一张长方形纸片沿对角线折叠.若△EDF是等腰三角形.则∠BDC=()A.45°B.60°C.67.5°D.75°【解答】解:由翻折可知:△BED≌△BCD.∴∠EBD=∠CBD.∠E=∠C=90°∵△EDF是等腰三角形.∴∠EFD=∠AFB=∠ABF=45°.∴∠CBF=45°.∴∠CBD=∠CBE=22.5°.∴∠BDC=67.5°.故选:C.6.(2021•中山区一模)如图.直线m∥n.点A在直线m上.点B、C在直线n上.AB=CB.∠1=70°.则∠BAC等于()A.40°B.55°C.70°D.110°【答案】C【解答】解:∵m∥n.∴∠ACB=∠1=70°.∵AB=BC.∴∠BAC=∠ACB=70°.故选:C.7.(2021•饶平县校级模拟)如图.在△ABC中.AB=6.AC=4.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N.则△AMN的周长为()A.12B.10C.8D.不确定【答案】B【解答】解:∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.∴∠ABE=∠CBE.∠ACE=∠BCE.∴∠CBE=∠BEM.∠BCE=∠CEN.∴∠ABE=∠BEM.∠ACE=∠CEN.∴BM==NE.∴△AMN的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC.∵AB=AC=4.∴△AMN的周长=6+4=10.故选:B.8.(2021•商河县校级模拟)如图.△ABC的面积为8cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则△PBC的面积为()A.2cm2B.3cm2C.4cm2D.5cm2【答案】C【解答】解:延长AP交BC于E.∵AP垂直∠B的平分线BP于P.∴∠ABP=∠EBP.∠APB=∠BPE=90°.在△APB和△EPB中.∴△APB≌△EPB(ASA).∴S△APB=S△EPB.AP=PE.∴△APC和△CPE等底同高.∴S△APC=S△PCE.∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2.故选:C.9.(2021•甘谷县一模)如图.已知:∠MON=30°.点A1.A2.A3……在射线ON上.点B1.B2.B3……在射线OM上.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1=1.则△A7B7A8的边长为()A.64B.32C.16D.128【答案】A【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形.∴∠B1A1A2=60°.∵∠MON=30°.∴∠OB1A1=30°∴A1B1=OA1=1.∴A2B1=1.∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形.∴A1B1∥A2B2∥A3B3.B1A2∥B2A3.∴A2B2=2B1A2.B3A3=2B2A3.∴A3B3=4B1A2=4.A4B4=8B1A2=8.A5B5=16B1A2=16.以此类推:△A7B7A8的边长为26=64.故选:A.10.(2021•蔡甸区二模)如图.△ABC中.点D在BC边上.且∠ADB=90°∠CAD.(1)求证:AD=AC;(2)点E在AB边上.连接CE交AD于点F.且∠CFD=∠CAB.AE=BD.①求∠ABC的度数;②若AB=8.DF=2AF.直接写出EF的长.【答案】(1)略(2)EF=.【解答】解:(1)∵∠ADB=∠ACB+∠CAD.∠ADB=90°∠CAD.∴∠ACB=∠ADB﹣∠CAD=90°∠CAD.∵∠ADB+∠CDA=180°.∴∠CDA=180°﹣∠ADB=180°﹣(90°∠CAD)=90°∠CAD.∴∠ACB=∠ADC.∴AD=AC;(2)①过点D作DG∥CE交AB于点G.∵∠CFD=∠CAB.∠CFD=∠CAD+∠ACE.∠CAB=∠CAD+∠DAB.∴∠ACE=∠DAB.又∵∠ACD=∠ADC.∠ECB=∠ACD﹣∠ACE.∠B=∠ADC﹣∠DAB.∴∠ECB=∠B.∴CE=BE.∵DG∥CE.∴∠ECB=∠BDG.∴∠BDG=∠B.∴DG=BG.∵∠AEC=∠DGA.AC=DA.∠ACE=∠DAG.∴△AEC≌△DGA(AAS).∴DG=AE.又∵AE=BD.∴DG=BD=BG.∴△BDG为等边三角形.∴∠ABC=60°;②EF=.过点D作DH∥AB交CE于点H.由①知△EBC和△HDC均为等边三角形.设AE=BD=x.则BE=BC=8﹣x.∴DH=CD=8﹣2x.∵DH∥AB.∴=.即=.∴x=2.∵∠ACE=∠DAB.∵△F AE∽△ACE.∴=.∵AC=AD=3AF.∴=.EF=AE=.。

中考数学一轮复习专题解析—等腰、等边三角形

中考数学一轮复习专题解析—等腰、等边三角形

中考数学一轮复习专题解析—等腰、等边三角形复习目标1.了解等腰三角形、等边三角形的概念,会识别这二种图形;2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定;3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题;4.了解直角三角形的概念,并理解直角三角形的性质和判定;考点梳理一、等腰、等边三角形1.等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质:(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线,底边中线,底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等,且都等于60°.3.判定:(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.特别提醒:(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念;(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.例1.如图,等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍B.顶角的一半C.顶角D.底角的一半【答案】B.【解析】如图,△ABC中,AB=AC,BD△AC于D,所以△ABC=△C,△BDC=90°,所以△DBC=90°-△C=90°-(180-△A)= △A,例2.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分△BAC,△EBC=△E=60°,若BE=30cm,DE=2cm,则BC=cm.【答案】32;【解析】解:延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF△BC,△AB=AC,AD平分△BAC,△AN△BC,BN=CN,△△EBC=△E=60°,△△BEM为等边三角形,△△EFD为等边三角形,△BE=30,DE=2,△DM=28,△△BEM为等边三角形,△△EMB=60°,△AN△BC,△△DNM=90°,△△NDM=30°,△NM=14,△BN=16,△BC=2BN=32,故答案为32.二、直角三角形1.直角三角形:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质:(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理:直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定:(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半,则这条边所对的角是直角,这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形,第三边为斜边.例3.已知:在直角△ABC中,△C=90°,BD平分△ABC且交AC于D.(1)若△BAC=30°,求证: AD=BD;(2)若AP平分△BAC且交BD于P,求△BPA的度数.图1 图2【答案】(1)证明:△△BAC=30°,△C=90°,△△ABC=60°又△ BD平分△ABC,△△ABD=30°,△ △BAC =△ABD,△BD=AD;(2)解法一:△△C=90°,△△BAC+△ABC=90°△=45°△ BD平分△ABC,AP平分△BAC△BAP=,△ABP=即△BAP+△ABP=45°△△APB=180°-45°=135°解法二:△△C=90°,△△BAC+△ABC=90°△=45°△BD平分△ABC,AP平分△BAC△DBC=,△PAC=△△DBC+△PAD=45°△△APB=△PDA+△PAD =△DBC+△C+△PAD=△DBC+△PAD+△C=45°+90°=135°.1.(2022·黑龙江九年级期末)如图,在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树,要求它们之间的水平距离AC为9m,则这两棵树之间的坡面AB的长为()A.18m B.33m C.63m D.93m【答案】C【分析】△的斜边,这个直角三角形中,已知一边和一锐角,满足解直角三AB是Rt ABC角形的条件,可求出AB的长.【详解】解:如图,30∠=︒,9AC=m,ACB∠=︒,90BAC△AB=2BC,△222AC BC AB+=,即222+=,BC BC94解得:33BC=m,△63AB=m,故选:C.2.(2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′,若点B′恰好落到边BC上,则△CB′C′的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【分析】依据旋转的性质可求得AB=AB’,△AB’C’的度数,依据等边对等角的性质可得到△B=△BB’A,于是可得到△CB’C’的度数.【详解】解:由旋转的性质可知:AB=AB’,△BAB’=80°,△AB=AB’,△△B=△BB’A=50°.△△BB’C’=50°+50°=100°.△△CB’C’=180°−100°=80°,故选:D.3.(2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模)如图,在Rt ABC中,90∠=︒,BAC将ABC绕点A顺时针旋转90︒后得到的''AB C(点B的对应点是点'B,点C的对应点是点'C),连接'∠=︒,则B的大小是()CC.若''32CC BA.32︒B.64︒C.77︒D.87︒【答案】C【分析】旋转中心为点A,C、C′为对应点,可知AC=AC′,又因为△CAC′=90°,根据三角形外角的性质求出△C′B′A的度数,进而求出△B的度数.【详解】解:由旋转的性质可知,AC=AC′,△△CAC′=90°,可知△CAC′为等腰直角三角形,则△CC′A=45°.△△CC′B′=32°,△△C′B′A=△C′CA+△CC′B′=45°+32°=77°,△△B=77°,故选:C.4.(2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模)下列命题中是真命题的是()A.三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等B.三个角对应相等的两个三角形全等C.直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半D.等边三角形是中心对称图形【答案】A【分析】根据三角形中垂线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质和等边三角形的性质判断即可.【详解】解:A、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等,正确;B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等,错误;C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,错误;D、等边三角形是轴对称图形,错误;故选:A.5.(2022·全国九年级课时练习)如图,点O为ABC的外心,OCP△为正三角形,=,则ADP的度数为()∠=︒,AB ACBACOP与AC相交于D点,连接OA.若70A .85︒B .90︒C .95︒D .110︒【答案】A【分析】 利用外心的性质,得到OA 是△BAC 的平分线,OA =OC ,利用等腰三角形的性质,三角形外角的性质,等边三角形的性质计算即可.【详解】△O 为ABC 的外心,70BAC ∠=︒,AB AC =,△OA 是△BAC 的平分线, △1352OAC BAC ∠=∠=︒,△AO CO =,△35OAC OCA ∠=∠=︒,△110AOC ∠=︒,△OCP △为正三角形,△60COP ∠=︒,△1106050AOP AOC COP ∠=∠-∠=︒-︒=︒,又△ADP 为AOD △的外角,△85ADP OAD AOD ∠=∠+∠=︒.故选A .6.(2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试)如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD交于点O,E是BD上的一点,连接EC,过点B作BG△CE于点G,交AC于点H,EF△EC交AB于点F.若正方形ABCD的边长为4,下列结论:△OE=OH;△EF=EC;△当G为CE中点时,BF=424-;△BG•BH=BE•BO,其中正确的是()A.△△△B.△△△C.△△△D.△△△△【答案】D【分析】△由“ASA”可证△BOH△△COE,可得OE=OH;△过点E作EP△BC于P,EQ△AB于Q,由“ASA”可证△QEF△△PEC,可得EF=EC;△由线段的垂直平分线的性质可求BC=BE=4,由正方形的性质可求BP=PE=2可求BF的长;△通过证明△BOH△△BGE,可得BH BO=,可得BH•BG=BE•BO.BE BG【详解】解:△BG△CE,EF△EC,△△FEC=△BGC=90°,△四边形ABCD是正方形,△AO=OC=OB=OD,AC△BD,△△ECO+△GHC=90°=△OBH+△BHO,△BHO=△CHG,△△OBH=△ECO,又△BO=CO,△BOH=△COE=90°,△△BOH△△COE(ASA),△OE=OH,故△正确;如图,过点E作EP△BC于P,EQ△AB于Q,△四边形ABCD是正方形,△△ABD=△CBD=45°,又△EP△BC,EQ△AB,△EQ=EP,又△EP△BC,EQ△AB,△ABC=90°,△四边形BPEQ是正方形,△BQ=BP=EP=QE,△QEP=90°=△FEC,△△QEF=△PEC,又△△EQF=△EPC=90°,△△QEF△△PEC(ASA),△QF=PC,EF=EC,故△正确;△EG=GC,BG△EC,△BE=BC=4,△BP=EP=2,△PC=4﹣2QF,△BF=BQ﹣QF=22﹣(4﹣22)=42﹣4,故△正确;△△BOH=△BGE=90°,△OBH=△GBE,△△BOH△△BGE,△BH•BG=BE•BO,故△正确,故选:D.7.(2022·全国九年级专题练习)如图,在△P AB中,M、N是AB上两点,且△PMN 是等边三角形,△BPM△△P AN,则△APB的度数是________.【答案】120°【分析】由△BPM△△P AN,可得出△BPM=△A,进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化,即可得出结论.【详解】解:△ △BPM△△P AN,△ △BPM=△A,△ △PMN是等边三角形,△ △A+△APN=60°,即△APN+△BPM=60°,△ △APB=△BPM+△MPN+△APN=60°+60°=120°.故答案为:120°.8.(2022·西宁市教育科学研究院中考真题)如图,ABC是等边三角形,6AB ,N是AB的中点,AD是BC边上的中线,M是AD上的一个动点,连接,BM MN,则BM MN+的最小值是________.【答案】33【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值,需考虑通过作辅助线转化BM,MN的值,从而找出其最小值,进而根据勾股定理求出CN,即可求出答案.【详解】解:连接CN,与AD交于点M,连接BM.(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短),AD是BC边上的中线即C和B关于AD对称,则BM+MN=CN,则CN就是BM+MN的最小值.△ABC是等边三角形,6AB=,N是AB的中点,△AC=AB=6,AN=12AB=3, CN AB⊥,△2222632733CN AC AN=--=即BM+MN的最小值为33故答案为:339.(2022·福建省福州杨桥中学九年级月考)如图,已知ABCD,120ABC∠=︒,点E为线段BC上的一点,连接AE.(1)将线段AE绕点A逆时针旋转60︒得到线段AF,点E的对应点是点F.请用尺规作图作出线段AF(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,求证:点F在ABC∠的平分线上.【答案】(1)见详解;(2)见详解【分析】(1)作△DAT=△EAB,在射线AT上截取AF,使得AE=AF即可;(2)在AD上取一点H,使得AH=AB,连接BH,FH. 证明ΔABH是等边三角形,证明B、H、F共线可得结论.【详解】(1)如图,线段AF即为所求;(2)证明:在AD上取一点H,使得AH=AB,连接BH,FH.△四边形ABCD是平行四边形,△AD△BC,△△DAB+△ABC=180°,△△ABC =120°, △△BAH =60°, △AH =AB ,△ΔABH 是等边三角形, △△AHB =△ABH =60°, △△EAF =60°, △ △EAF =△BAH , △ △F AH =△EAB , 在ΔF AH 和ΔEAB 中,AF AE FAH EAB AH AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ΔF AH △ΔEAB (SAS ), △△AHF =△ABE =120°, △△AHF +△AHB =180°, △B 、H 、F 共线, △△FBA =△FBE =60°,△点F 在△ABC 的角平分线上。

初中复习方略数学第十七讲 等腰三角形、直角三角形

初中复习方略数学第十七讲 等腰三角形、直角三角形
点 E,F,G,Q,H 在一条直线上,且 EF=GH,我们知
道按如图所作的直线 l 为线段 FG 的垂直平分线.下列说法正确的是( A )
A.l 是线段 EH 的垂直平分线 B.l 是线段 EQ 的垂直平分线 C.l 是线段 FH 的垂直平分线 D.EH 是 l 的垂直平分线
【提分要点】 1.“等边对等角”,可以证明两个角相等,也可以计算角的大小; 2.“三线合一”,利用这个性质可以证明线段相等、角相等、线段垂直,可以计算线 段的长度,角的大小.
2.等边三角形
定义 ___三__边____相等的三角形
性质
(1)等边三角形的三个内角都___相__等____,并且每一个内角都等于 ___6_0_°___ (2)等边三角形是轴对称图形,并且有___三____条对称轴 (3)等边三角形每边上的中线,该边上的高线,该边所对角的角平 分线互相重合
AC=_4__8_米.
考点四 直角三角形的性质 【典例 4】(2020·荆州中考)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的斜边 OA 在第一
象限,并与 x 轴的正半轴夹角为 30°.C 为 OA 的中点,BC=1,则点 A 的坐标为( B )
A.( 3 , 3 ) C.(2,1)
B.( 3 ,1) D.(2, 3 )
1.(2021·乐山中考)如图,已知直线 l1,l2,l3 两两相交,且 l1⊥l3,若 α=50°,则 β
【特别提醒】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法,应 先确定最长边,然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方.
1.一条边等于另一条边的一半的三角形:若直角三角形的一条直角边等于斜边的一 半,则较短边所对的角是 30°;若直角三角形一条直角边等于另一条直角边的一半, 则不会有 30°的角;若此三角形不是直角三角形,也不会有 30°的角. 2.一条边上的中线等于这个边的一半的三角形:这个三角形一定是直角三角形.

2019-2020学年中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试) 等腰三角形.doc

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2019-2020学年中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)等腰三角形◆考点聚焦1.等腰三角形的判定与性质.2.等边三角形的判定与性质.3.运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题.◆备考后法1.运用三角形不等关系,•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题,并要注意分类讨论.2.要正确辨析等腰三角形的判定与性质.3.能熟练运用等腰三角形、方程(组)、函数等知识综合解决实际问题.◆识记巩固1.等腰三角形的性质定理及推论:____________________________.2.等腰三角形的判定定理及推论:____________________________.识记巩固参考答案:1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);•等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边(三线合一);等边三角形的各有都相等,且每个角都等于60°.2.如果一个三角形的两角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).•三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.◆典例解析例1 (2011浙江衢州,23,10分),.ABC∠=∠==C AC BC∆是一张等腰直角三角形纸板,Rt2要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为1S ;按照甲种剪法,在余下的ADE BDF ∆∆和中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为2S (如图2),则2=S ;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形的面积和为3S (如图3);继续操作下去…则第10次剪取时,10S = .求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1:如图甲,由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙,设MN x =,则由题意,得,AM MQ PN NB MN x =====23389PNMQx x S ∴==∴==正方形解得 又819> ∴甲种剪法所得的正方形的面积更大说明:图甲可另解为:由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点,112ABC CFDE S S ==正方形解法2:如图甲,由题意得AE DE EC ==,即EC=1如图乙,设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得33221x x EC MN∴==>>解得又即 ∴甲种剪法所得的正方形的面积更大F E BQ(2)212S =(3)10912S = (3)解法1:探索规律可知:112n n S -=‘ 剩余三角形的面积和为:()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭ 解法2:由题意可知, 第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244S S S -=-==第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2S S S -= 例2 如图,△ABC 中,E ,F 分别是AB ,AC 上的点.①AD 平分∠BAC ;②DE ⊥AB ,•DF•⊥AC ;③AD ⊥EF .以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②③;①③②;②③①.(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);(2)请证明你认为正确的命题.解析 (1)①②⇒③正确;①③⇒②错误;②③⇒①正确.(2)先证①②⇒③,如图1.∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DE=DF ,∠AED=∠AFD=90°.在Rt △AED 和Rt △AFD 中,,,DE DF AD AD =⎧⎨=⎩∴△AED ≌△AFD (HL ).∴AE=AF .∴△AEF 是等腰三角形,∴AD ⊥EF .再证②③⇒①.图1 图2 图3方法一:如图2,DE ⊥AB ,EF ⊥AD ,DF ⊥AC .易证△DEH ∽△DAE ,△DFH ∽△DAF .∴,DE DH DH DF AD DE DF AD==, ∴DE 2=AD·DH,DF 2=DH·AD. ∴DE 2=DF 2,∴DE=DF,∴AD 平分∠BAC.方法二:如图3,取AD 的中点O ,连结EO ,FO .∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴OE ,OF 分别是Rt △ADE ,Rt △ADF 斜边上的中线.∴OE=12AD ,OF=12AD . 即O 点到A ,E ,D ,F 的距离相等. ∴A ,E ,D ,F 四点在以O 为圆心,12AD 为半径的圆上,AD 是直径,EF 是⊙O 的弦,而EF•⊥AD ,∴AD 平分EDF ,即ED DF =.∴∠DAE=∠DAF ,即AD 平分∠BAC .点评 本题是义务教育课程标准实验教科书数学(人教版)八年级上第111•页拓广探索题的变式与拓展,该例在教材中多次以不同形式出现,八年级(上)(人教版)第150页第13题,第158页第11题.因此,•在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题,习题,想一想这些题还可以进行怎样的变式,•与前后的知识与方法有什么联系,还可以得到什么结论等.这样可以不断提高自己的综合解题能力.2011年真题一、选择题1. (2011浙江省舟山,7,3分)如图,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为( )(A )32 (B )33 (C )34 (D )36【答案】B2. (2011四川南充市,10,3分)如图,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D 在一条直线上,点M 是AE 的中点,下列结论:①tan∠AEC=CDBC ;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个MEC A【答案】D3. (2011浙江义乌,10,3分)如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC =∠DAE =90°,四边形ACDE 是平行四边形,连结CE 交AD 于点F ,连结BD 交CE 于点G ,连结BE . 下列结论中:① CE =BD ; ② △ADC 是等腰直角三角形;③ ∠ADB =∠AEB ; ④ CD ·AE =EF ·CG ;一定正确的结论有A .1个B .2个C .3个D .4个 【答案】D4. (2011台湾全区,30)如图(十三),ΔABC 中,以B 为圆心,长为半径画弧,分别交、ABC E FG(第7题) ABC DEAB于D 、E 两点,并连接BD 、DE .若∠A =30∘,AB =AC ,则∠BDE 的度数为何?A . 45B . 52.5C . 67.5D . 75【答案】C5. (2011台湾全区,34)如图(十六),有两全等的正三角形ABC 、DEF ,且D 、A 分别为△ABC 、△DEF的重心.固定D 点,将△DEF 逆时针旋转,使得A 落在DE 上,如图(十七)所示.求图(十六)与图(十七)中,两个三角形重迭区域的面积比为何?A .2:1B . 3:2C . 4:3D . 5:4【答案】C6. (2011山东济宁,3,3分)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ,那么此三角形的周长是A .15cmB .16cmC .17cmD .16cm 或17cm【答案】D7. (2011四川凉山州,8,4分)如图,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE 等于( )A .1013B .1513C .6013D .7513【答案】C8.二、填空题1. (2011山东滨州,15,4分)边长为6cm 的等边三角形中,其一边上高的长度为________.【答案】2. (2011山东烟台,14,4分)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为 .【答案】4或63. (2011浙江杭州,16,4)在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =1,过点C 作直线l ∥AB ,F 是l 上的一点,且AB =AF ,则点F 到直线BC 的距离为 .4. (2011浙江台州,14,5分)已知等边△ABC 中,点D,E 分别在边AB,BC 上,把△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在点B ˊ处,DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ,G ,若∠ADF=80º ,则∠EGC 的度数为【答案】80º5. (2011浙江省嘉兴,14,5分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,︒=∠40A ,则△ABC 的外角∠BCD = °.【答案】1106. (2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠B=50°,则∠A=_______。

2020届初三数学中考复习 等边三角形 专题练习和答案

2020届初三数学中考复习 等边三角形 专题练习和答案

等边三角形1. 如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的角平分线BD和CE相交于点O,则图中的全等三角形共有( )A.4对 B.3对 C.2对 D.1对2. 下列说法:①等边三角形的每一个内角都等于60°;②等边三角形三条边上的高都相等;③等腰三角形两底角的平分线相等;④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合;⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合.其中说法正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于( )A.20° B.25° C.30° D.35°4. 如图,点D是等边△ABC的边AC上一点,以BD为边作等边△BDE,若BC =10,BD=8,则△ADE的周长为( )A.25 B.20 C.18 D.155. 在下列三角形中:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角都相等;④一边上的高也是这边上的中线;⑤一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是( )A.①②③ B.①②③⑤ C.①②④ D.①②④⑤6. 在△ABC中,∠A=60°,若要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件,下面三种说法:①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;②如果添加条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;③如果添加条件“边AB,BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.正确的说法有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个7. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD等于( )A.3 B.2 C.1 D.58. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.79. 若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,则顶角的度数为10. 如图,△ABC为等边三角形,AD平分∠BAC,△ADE是等边三角形,下列结论中:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD;④∠ABE=60°.其中正确的有个11. 如图,已知四边形ABCD是正方形,△FAD是等边三角形,则∠BFC的度数是12. 如图,△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=____度.13. 如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D 恰好落在BC上,AP的长是14. 在下列三角形中:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角都相等;④一边上的高也是这边上的中线;⑤一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是(填序号)15. 如图,将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起,则拼接后的△ABD的形状是.16. 如图是屋架设计图的一部分,其中BC⊥AC,DE⊥AC,点D是AB的中点,∠A=30°,AB=7.4m,则BC=____ m,DE=____ m.17. 如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则△ABC的面积为____cm218. 如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边△CDE,使点E,A在直线DC同侧.连接AE,求证:AE∥BC.19. 如图,在等边△ABC中,D是BC上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数.20. 如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB,MN⊥BC,PN ⊥AC.(1) 求证:△PMN是等边三角形;(2) 若AB=9 cm,求CM的长度.21. 如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1,求AD的长.22. 在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=∠D=60°,连接AC. (1)如图①,点E,F分别在边BC,CD上,BE=CF.求证:①△ABE≌ACF;②△AEF是等边三角形;(2)如图②,若点E在BC的延长线上,在直线CD上是否存在点F,使△AEF 是等边三角形?证明你的结论.答案:1---8 BDACB ABD9. 50°10. 411. 30°12. 1513. 614. ① ② ③ ⑤15. 等边三角形16. 3.7 1.8517. 2518. 证明:∵△ABC ,△CDE 是等边三角形,∴∠BCD +∠ACD =∠ACE +∠ACD =60°,∴∠BCD =∠ACE.在△BCD 和△ACE 中,BC =AC ,∠BCD =∠ACE ,CD =CE , ∴△BCD ≌△ACE(SAS),∴∠B =∠CAE.∵∠B =∠ACB ,∴∠CAE =∠ACB , ∴AE ∥BC19. 解:∵△ABC 是等边三角形,BF 是高,∴∠ABO =12∠ABC=30°, 根据SAS 证明△AOE≌△AOB,得∠E=∠ABO=30°20. 解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠A =60°,∵PN ⊥AC ,∴∠APN =30°,又∵MP⊥AB,∴∠MPN =60°,同理可得∠PMN=∠MNP=∠MPN=60°,∴△PMN 是等边三角形(2)MC =3 cm 点拨:可证△APN≌△BMP≌△CNM,∴AN =BP =CM ,∵在Rt △APN 中,∠APN =30°,∴AN =12AP ,则BP =12AP , ∵AB =9cm ,∴CM =BP =3cm21. 解:根据SAS 可证△ABE≌△CAD,∴BE =AD ,∠ABE =∠CAD.∵∠BPQ=∠ABE+∠BAD,∠BAC =∠CAD+∠BAD,∴∠BPQ =∠BAC=60°,又∵BQ⊥AD,∴∠BQP =90°,∴∠PBQ =90°-∠BPQ=30°,∴PQ =12BP ,∴BP =2PQ =2×3=6,∴BE =BP +PE =7, ∴AD =BE =722. 解:(1)①∵AB =BC ,∠B =60°,∴△ABC 是等边三角形.同理可得△ACD 是等边三角形.∵AB =AC ,∠B =∠ACF =60°,BE =CF ,∴△ABE ≌△ACF(SAS) ②由△ABE ≌△ACF 得AE =AF ,∠BAE =∠CAF ,∵∠BAE +∠CAE =60°,∴∠CAF +∠CAE =60°,即∠EAF =60°,∴△AEF 是等边三角形 (2)存在.证明:当BE =CF 时,与(1)同理证△ABE ≌△ACF ,∴AE =AF ,∠BAE =∠CAF ,∴∠CAF -∠CAE =∠BAE -∠CAE ,∴∠EAF =∠BAC =60°,∴△AEF 是等边三角形。

2024年中考数学复习课件---第17讲 等腰三角形与直角三角形

2024年中考数学复习课件---第17讲 等腰三角形与直角三角形
上的高互相重合)


5.面积:


S△ABC = BC·
AD

1.有两边相等的三角形是等腰三角形
判定
两角
2.有④________相等的三角形是等腰三角形
【满分技法】等腰三角形判定简记为“要证边相等先证角相等,
要证角相等先证边相等”
C
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 考点梳理
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∴∠DAC=90°-∠C=60°,∴∠BAD=90°-∠DAC=30°,
∴∠BAD=∠ABF,∴AF=BF.∵∠FBD=30°,∠FDB=90°,



∴BF=2DF∴AD=AF+DF=BF+ BF= BF=10,∴BF= .



例2
3
4
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 重难突破
返回重难清单
6.(2022·贵阳8题3分)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形
与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条
直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是( B )
A.4
B.8
C.12
D.16
6
7
8
9
10
11
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
2.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.探索等边三
角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角
形)是等边三角形.
第17讲
等腰三角形与直角三角形— 课标要求

中考数学复习考点题型专练17---三角形的基础(解析版)

中考数学复习考点题型专练17---三角形的基础(解析版)

中考数学复习考点题型专练专题17三角形的基础(满分:100分 时间:90分钟)班级_________ 姓名_________学号_________ 分数_________一、单选题(共10小题,每小题3分,共计30分)1.(2022·青海中考真题)等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是() A .55°,55°B .70°,40°或70°,55°C .70°,40°D .55°,55°或70°,40°【答案】D【分析】先根据等腰三角形的定义,分70︒的内角为顶角和70︒的内角为底角两种情况,再分别根据三角形的内角和定理即可得.【详解】(1)当70︒的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角,它们的度数为18070552︒-︒=︒ (2)当70︒的内角为这个等腰三角形的底角则另两个内角一个为底角,一个为顶角底角为70︒,顶角为180707040︒-︒-︒=︒综上,另外两个内角的度数分别是55,55︒︒或70,40︒︒故选:D .2.(2022·山东菏泽市·中考真题)等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x 的方程240x x k -+=的两个根,则k 的值为()A .3B .4C .3或4D .7【答案】C【分析】分类讨论:当3为等腰三角形的底边,则方程有等根,所以△=0,求解即可,于是根据根与系数的关系得两腰的和=4,满足三角形三边的关系;当3为等腰三角形的腰,则x =3为方程的解,把x =3代入方程可计算出k 的值即可.【详解】解:①当3为等腰三角形的底边,根据题意得△=(-4)2−4k =0,解得k =4,此时,两腰的和=x 1+x 2=4>3,满足三角形三边的关系,所以k =4;②当3为等腰三角形的腰,则x =3为方程的解,把x =3代入方程得9−12+k =0,解得k =3; 综上,k 的值为3或4,故选:C .3.(2022·江西中考真题)如图,1265,335︒∠=∠=∠=︒,则下列结论错误的是()A .//AB CD B .30B ∠=︒C .2C EFC ∠+∠=∠D .CG FG >【答案】C【分析】由12∠=∠可对A 进行判断;根据三角形外角的性质可对B 进行判断;求出∠C ,根据大角对大边,小角对小边可对D 进行判断;求出C EFC ∠∠,可对C 进行判断.【详解】1265∠=∠︒=,//AB CD ∴,故选项A 正确;335︒∠=,35EFB ∴∠=︒,又1EFB B ∠=∠+∠,1653530B EFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选项B 正确;//AB CD ,30C B ∴∠=∠=︒,3530︒︒>,3C ∴∠>∠CG FG ∴>,故选项D 正确;335︒∠=,3180EFC ∠+∠=︒118035145EFC ︒-︒∴∠==︒, 而2306595145C ∠+∠=+=≠︒︒︒︒2C EFC ∴∠+∠≠∠,故选项C 错误.故选C .4.(2022·辽宁大连市·中考真题)如图,ABC 中,60,40,//A B DE BC ︒︒∠=∠=,则AED ∠的度数是()A .50︒B .60︒C .70︒D .80︒【答案】D【分析】由三角形的内角和定理求出∠C 的度数,然后由平行线的性质,即可得到答案.【详解】解:在ABC 中,60,40A B ︒︒∠=∠=,∴180604080C ∠=︒-︒-︒=︒,∵//DE BC ,∴80AED C ∠=∠=︒;故选:D .5.(2022·江苏宿迁市·中考真题)在△ABC 中,AB =1,BC ,下列选项中,可以作为AC 长度的是( )A .2B .4C .5D .6【答案】A【分析】根据三角形三边关系,两边之差小于第三边,两边之和大于第三边,可以得到AC 的长度可以取得的数值的取值范围,从而可以解答本题.【详解】∵在△ABC 中,AB =1,BC1<AC 1,1<21,4+1,51,61,∴AC 的长度可以是2,故选项A 正确,选项B 、C 、D 不正确;故选:A .6.(2022·四川眉山市·中考真题)如图,四边形ABCD 的外接圆为⊙O ,BC CD =,35DAC ∠=︒,45ACD ∠=︒,则ADB ∠的度数为()A .55︒B .60︒C .65︒D .70︒【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角,可得35CDB ∠=︒,根据三角形的内角和可得100ADC ∠=︒,利用角的和差运算即可求解.【详解】解:∵35DAC ∠=︒,∴35DBC ∠=︒,∵BC CD =,∴35CDB ∠=︒,∵45ACD ∠=︒,∴100ADC ∠=︒,∴65ADB ADC CDB ∠=∠-∠=︒,故选:C .7.(2022·辽宁本溪市·中考真题)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC ,BD 相交于点O ,8AC =,6BD =,点E 是CD 上一点,连接OE ,若OE CE =,则OE 的长是()A .2B .52C .3D .4 【答案】B【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB ,OC ,AC ⊥BD ,再利用勾股定理列式求出BC ,然后根据等腰三角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可.【详解】∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,∴OA=OC=12AC=4,OB=OD=12BD=3,AC ⊥BD ,由勾股定理得,5==,∵OE=CE ,∴∠EOC=∠ECO ,∵∠EOC+∠EOD =∠ECO+∠EDO=90︒,∴∠EOD =∠EDO ,∴OE=ED ,∴OE=ED=CE ,∴OE=12CD=52.故选:B.8.(2022·湖南张家界市·中考真题)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x-+=的两根,则该等腰三角形的底边长为()A.2B.4C.8D.2或4【答案】A【分析】解一元二次方程求出方程的解,得出三角形的边长,用三角形存在的条件分类讨论边长,即可得出答案.【详解】解:x2-6x+8=0(x-4)(x-2)=0解得:x=4或x=2,当等腰三角形的三边为2,2,4时,不符合三角形三边关系定理,此时不能组成三角形;当等腰三角形的三边为2,4,4时,符合三角形三边关系定理,此时能组成三角形,所以三角形的底边长为2,故选:A.9.(2022·吉林中考真题)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则α∠的大小为()A.85︒B.75︒C.65︒D.60︒【答案】B先根据直角三角板的性质得出∠ACD 的度数,再由三角形内角和定理即可得出结论.【详解】解:如图所示,由一副三角板的性质可知:∠ECD =60°,∠BCA =45°,∠D =90°,∴∠ACD =∠ECD -∠BCA =60°-45°=15°,∴∠α=180°-∠D -∠ACD =180°-90°-15°=75°,故选:B .10.(2022·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题)已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为()A .9B .17或22C .17D .22【答案】D【分析】分类讨论腰为4和腰为9,再应用三角形的三边关系进行取舍即可.【详解】解:分两种情况:当腰为4时,449+<,所以不能构成三角形;当腰为9时,994,994+>-<,所以能构成三角形,周长是:99422++=.故选:D .本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.二、填空题(共5小题,每小题4分,共计20分)11.(2022·甘肃天水市·中考真题)一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程28120x x -+=的根,则该三角形的周长为_______.【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8x +12=0,然后根据三角形的三边关系得出第三边的长,则该三角形的周长可求.【详解】解:∵x 2-8x +12=0,∴()()260x x --=,∴x 1=2,x 2=6,∵三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x 2-8x +12=0的根,当x =2时,2+2<5,不符合题意,∴三角形的第三边长是6,∴该三角形的周长为:2+5+6=13.故答案为:13.12.(2022·湖北襄阳市·中考真题)如图,在△ABC 中,AB=AD=DC ,∠BAD=20°,则∠C=_______.【答案】40°【解析】试题解析:∵AB=AD ,∠BAD=20°, ∴∠B=1801802022BAD ︒-∠︒-︒==80°, ∵∠ADC 是△ABD 的外角,∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°, ∵AD=DC ,∴∠C=180********ADC ︒-∠︒-︒==40°. 13.(2022·湖北黄冈市·中考真题)已知:如图,//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=,则BCD ∠=_____________度.【答案】30【分析】本题可利用两直线平行,同位角相等求解∠EGC ,继而根据邻补角定义求解∠CDE ,最后根据外角定义求解∠BCD .【详解】令BC 与EF 相交于G 点,如下图所示:∵//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=,∴∠EGC=∠ABC=75°,∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°,又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC ,∴∠BCD=75°-45°=30°,故答案:30.14.(2022·青海中考真题)已知a ,b ,c 为ABC 的三边长.b ,c 满足2(2)30b c -+-=,且a 为方程|4|2x -=的解,则ABC 的形状为________三角形.【答案】等腰三角形【分析】根据绝对值和平方的非负性可得到b 、c 的值,再根据式子解出a 的值,即可得出结果.【详解】 ∵2(2)30b c -+-=,∴20b -=,30c -=,∴2b =,3c =,又∵|4|2x -=,∴16x =,22x =,∵a 是方程的解且a ,b ,c 为ABC 的三边长,∴2a =,∴ABC 是等腰三角形.15.(2022·湖南岳阳市·中考真题)如图:在Rt ABC ∆中,CD 是斜边AB 上的中线,若20A ∠=︒,则BDC ∠=_________.【答案】40︒先根据直角三角形斜边中线的性质得出12CD AD AB ==,则有20DCA A ∠=∠=︒,最后利用三角形外角的性质即可得出答案.【详解】∵在Rt ABC ∆中,CD 是斜边AB 上的中线,, ∴12CD AD AB ==. ∵20A ∠=︒,∴20DCA A ∠=∠=︒,∴40BDC DCA A ∠=∠+∠=︒.故答案为:40︒.三、解答题(共5小题,每小题10分,共计50分)16.(2022·江苏常州市·中考真题)已知:如图,点A 、B 、C 、D 在一条直线上,//,,EA FB EA FB AB CD ==.(1)求证:E F ∠=∠;(2)若40,80A D ∠=︒∠=︒,求E ∠的度数.【答案】(1)见解析;(2)60°【分析】(1)根据已知条件证明△ACE ≌△BDF ,即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°,再利用三角形内角和定理求出结果.解:(1)∵AE∥BF,∴∠A=∠DBF,∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD,又∵AE=BF,∴△ACE≌△BDF(SAS),∴∠E=∠F;(2)∵△ACE≌△BDF,∴∠D=∠ACE=80°,∵∠A=40°,∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.的正方形网格,每个小正方形的边长17.(2022·吉林长春市·中考真题)图①、图②、图③均是33为1,每个小正方形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求以AB为边画ABC.要求:(1)在图①中画一个钝角三角形,在图②中画一个直角三角形,在图③中画一个锐角三角形;(2)三个图中所画的三角形的面积均不相等;(3)点C在格点上.【答案】见详解(答案不唯一)【分析】因为点C在格点上,故可将直尺的一角与线段AB点A重合,直尺边长所在直线经过33⨯正方形网格左上角第一个格点,继而以点A为旋转中心,逆时针旋转直尺,当直尺边长所在直线与正方形格点相交时,确定点C的可能位置,顺次连接A、B、C三点,按照题目要求排除不符合条件的C点,作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等.【详解】经计算可得下图中:图①面积为12;图②面积为1;图③面积为32,面积不等符合题目要求(2),且符合题目要求(1)以及要求(3).故本题答案如下:18.(2022·四川攀枝花市·中考真题)三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图G是ABC的重心.求证:3AD GD=.【答案】见解析【分析】过点D 作DH ∥AB 交CE 于H ,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH ,从而得到AE=2DH ,再根据△AEG 和△DHG 相似,利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证.【详解】解:过点D 作DH ∥AB ,交CE 于点H ,∵AD 是△ABC 的中线,∴点D 是BC 的中点,∴DH 是△BCE 的中位线,∴BE=2DH ,DH ∥AB ,∵CE 是△BCE 的中线,∴AE=BE ,∴AE=2DH ,∵DH ∥AB ,∴△AEG ∽△DHG , ∴2AG AE DG DH==, ∴AG=2GD ,即AD=3GD.19.(2022·四川凉山彝族自治州·中考真题)如图,点P 、Q 分别是等边ABC ∆边AB 、BC 上的动点(端点除外),点P 、点Q 以相同的速度,同时从点A 、点B 出发.(1)如图1,连接AQ 、CP 求证:ABQ CAP ∆≅∆(2)如图1,当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时,AQ 、CP 相交于点M ,QMC ∠的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数(3)如图2,当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时,直线AQ 、CP 相交于M ,QMC ∠的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.【答案】(1)证明见解析;(2)不变;60°;(3)不变;120°.【分析】(1)根据点P 、点Q 以相同的速度,同时从点A 、点B 出发,可得BQ=AP ,结合等边三角形的性质证全等即可;(2)由(1)中全等可得∠CPA=∠AQB ,再由三角形内角和定理即可求得∠AMP 的度数,再根据对顶角相等可得QMC ∠的度数;(3)先证出CBP ACQ ≅△△,可得∠Q=∠P ,再由对顶角相等,进而得出∠QMC=∠CBP=120°.【详解】解:(1)证明:∵三角形ABC 为等边三角形,∴AB=AC ,∠ABC=∠CAB=60°,∵点P 、点Q 以相同的速度,同时从点A 、点B 出发,∴BQ=AP ,在△ABQ 与△CAB 中,AB AC ABC CAB BQ AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABQ CAP SAS ∆≅∆.(2)角度不变,60°,理由如下:∵ABQ CAP ∆≅∆∴∠CPA=∠AQB ,在△AMP 中,∠AMP=180°-(∠MAP+∠CPA )=180°-(∠MAP+∠AQB )=∠ABC=60°, ∴∠QMC=∠AMP=60°,故∠QMC 的度数不变,度数为60°.(3)角度不变,120°,理由如下:当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时,有AP=BQ ,∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°,∴∠CBP=∠ACQ=120°,BC AC CBP ACQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CBP ACQ SAS ≅△△∴∠Q=∠P ,∵∠QCM=∠BCP ,∴∠QMC=∠CBP=120°,故∠QMC 的度数不变,度数为120°.20.(2022·四川南充市·中考真题)如图,点C 在线段BD 上,且AB ⊥BD ,DE ⊥BD ,AC ⊥CE ,BC=DE ,求证:AB=CD .【答案】详见解析【分析】根据AB ⊥BD ,DE ⊥BD ,AC ⊥CE ,可以得到90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=,90ACB ECD ︒∠+∠=,90ECD CED ︒∠+∠=,从而有ACB CED ∠=∠,可以验证ABC ∆和CDE ∆全等,从而得到AB =CD .【详解】证明:∵AB BD ⊥,DE BD ⊥,AC CE ⊥∴90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=∴90ACB ECD ︒∠+∠=,90ECD CED ︒∠+∠=∴ACB CED ∠=∠在ABC ∆和CDE ∆中ACB CED BC DEABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC ∆≌CDE ∆故AB CD =.。

2020年春成都中考数学:等腰和直角三角形考点总结及典例解析

2020年春成都中考数学:等腰和直角三角形考点总结及典例解析

第八讲:等腰三角形和直角三角形考情分析:知识梳理,扎实基础考点一 等腰三角形 1、等腰三角形的判定(1)定义:在同一三角形中,有两条边________的三角形叫做等腰三角形. (2)一个角的平分线与对边上的中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (3)判定定理:在同一三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边页相等(简称:等角对__________).注:对于等腰直角三角形的判定,需判定它既是直角三角形又是等腰三角形,另外,等腰直角三角形具有直角三角形的一切性质. 2、等腰三角形的性质(1)等边对__________,等腰三角形的两个底角________。

(2)三线合一:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相_________,(3)等腰三角形是__________,__________是它的对称轴. 3、等腰三角形的面积:ah S 21,其中h 是边a 上的高. 考点二 等边三角形 1、等边三角形的判定(1)定义:_________边相等的三角形是等边三角形. (2)三个内角都________的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的_____________是等边三角形.(4)有两个角等于_____________的三角形是等边三角形 2、等边三角形的性质(1)等边三角形的内角都相等,且均为___________(2)等边三角形每一条边上的中线、高线和所对角的平分线互相__________ (3)等边三角形是轴对称图形,它有_______条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在的直线. 3、等边三角形的面积:243a S =,其中a 是等边三角形的边长. 考点三 直角三角形1、直角三角形的判定:①有一个角是直角的三角形是直角三角形;②勾股定理逆定理:如果一个三角形三边a 、b 、c 满足 ,则此三角形为直角三角形。

③若在一个三角形中,一边上的中线__________其所在边的________,那么这个三角形是直角三角形. 2、直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角 ; ②斜边上的中线等于 ; ③︒30的角所对的直角边等于斜边的一半;④两条直角边是a 、b ,斜边为c ,则勾股定理写为 。

中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)

中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)

中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)知识点一:等腰和等边三角形1.等腰三角形定义:有两条边相等的三角形叫等腰三角形(1)性质①等边对等角:两腰相等,底角相等,即AB=AC ∠B=∠C;②三线合一:顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性:等腰三角形是轴对称图形,直线AD是对称轴.(2)判定①定义:有两边相等的三角形是等腰三角形;注意:1.实际解题中的一个常用技巧是,构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质为解题服务,常用的构造方法有:1)、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。

2)、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。

3)、用“垂直平分线”构造等腰三角形;4)、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。

2.当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论.变式练习1:如若等腰三角形ABC的一个内角为30°,则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.3.三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立.变式练习2:如右图,已知AD⊥BC,D为BC的中点,则三角形的形状是等腰三角形.②等角对等边:即若∠B=∠C,则△ABC是等腰三角形.变式练习3:一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17【解析】A ①当等腰三角形的腰为3,底为7时,3+3<7不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底为3时,周长为3+7+7=17,故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4:如图,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰△ABC,连接OC,以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为 __7__.变式练习5:一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为( C )A.12 B.16 C.20 D.16或202.等边三角形(1)性质①边角关系:三边相等,三角都相等且都等于60°.即AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠C=60°;②对称性:等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.(2)判定①定义:三边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形;③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB=AC,且∠B=60°,则△ABC是等边三角形.变式练习1:△ABC中,∠B=60°,AB=A C,BC=3,则△ABC的周长为9.变式练习2:在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D 作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∴△EDC是等边三角形,∴DE=DC=2,在Rt△DEF,∵∠DEF=90°,DE=2,∴DF=2DE=4,∴EF=DF2-DE2=42-22=2 3.变式练习3:如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°,则BC=__2__.知识点二:角平分线和垂直平分线1.角平分线(1)性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若∠1 =∠2,PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.(2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上.4.垂直平分线图形(1)性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若OP垂直且平分AB,则PA=PB.(2)判定:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.21P C OBAPCO B A注意:(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.(2)等边三角形有一个特殊的角60°,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30°角的性质,即BD=1/2AB.变式练习:如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,CD=2,则AC=6.知识点三:直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A+∠B=90°;(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B=30°则AC=12AB;(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若CD是中线,则CD=12AB.(4)勾股定理:两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=c2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C=90°,则△ABC是Rt△;(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.即若AD=BD=CD,则△ ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,则△ABC是Rt△.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2020年中考数学1轮专题复习课件-第4章第17讲等腰三角形、直角三角形PPT课件

2020年中考数学1轮专题复习课件-第4章第17讲等腰三角形、直角三角形PPT课件

C组 挑战满分 8.(2019·湖北黄石)如图,在△ ABC中,∠BAC= 90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中 点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相 交于点F.求证: (1)∠C=∠BAD;
证明:∵AB=AE,D 为线段 BE 的中点, ∴AD⊥BC,∴∠C+∠DAC=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°, ∴∠C=∠BAD.
C.20或25
D.15
2.如果等腰三角形的一个角是70°,那么它的底
角是( C )
A.70°或40°
B.55°或40°
C.70°或55°
D.55°
3.如图,把一个边长为1的正方形放在数轴上,以 正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A,则点A对应的 数为( B )
A.1.5 C. 3
B. 2 D.1.7
考点二 等边三角形的判定与性质
5.如图,在等边三角形ABC中,D是边BC的中 点,则∠BAD=__3_0_°____.
6.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. 若AB=AO,则∠ABD=___6_0_°___.
考点三 直角三角形的判定与性质 7.(2019·湖南邵阳)公元 3 世纪初,中国古代数学家赵 爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾 a=
(2)连接AE,DC,AD,当点E在什么位置时,四边 形AECD为矩形?请说明理由.
解:如答图,当 E 为 BC 的中点时,四边形 AECD 是 矩形.理由如下:
∵AB=AC,E 为 BC 的中点, ∴AE⊥BC,BE=EC. 由平移的性质,得 BE∥AD,BE=AD, ∴AD∥EC,AD=EC, ∴四边形 AECD 是平行四边形. 又∵AE⊥BC,∴平行四边形 AECD 是矩形.

【优选】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题17 等腰、等边三角形问题(教师版)

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专题17 等腰、等边三角形问题专题知识回顾一、等腰三角形1. 定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶角,底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义:三边都相等的三角形叫等边三角形.2. 性质性质1:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;性质2:等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴,分别为三边的垂直平分线。

3.判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、含300的直角三角形的性质在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它对的等于的一半.四、解题方法要领1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有:(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。

(2)在三角形的中线问题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

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专题17 等腰、等边三角形问题
专题知识回顾
一、等腰三角形
1. 定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶角,底边和腰的夹角叫底角.
2.等腰三角形的性质
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.
性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).
要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
二、等边三角形
1. 定义:三边都相等的三角形叫等边三角形.
2. 性质
性质1:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;
性质2:等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴,分别为三边的垂直平分线。

3.判定
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、含300的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它对的等于的一半.
四、解题方法要领
1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在
等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有:(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。

(2)在三角形的中线问
题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法,在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角,要对已知的边和角进行讨论,分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

【例题1】(2019•重庆)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连结AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
【例题2】(2019▪黑龙江哈尔滨)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,点E为AD 边上一点,连接B D.CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则BC的长为.
【例题3】(2019•黄石)如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=()
A.125°B.145°C.175°D.190°
专题典型题考法及解析
专题典型训练题
一、选择题
1.(2019宁夏) 如图,在△ABC 中,,点D 和E 分别在AB 和AC 上,且.连接DE ,过点A 的直线GH 与DE 平行,若,则的度数为( ).
A .
B .
C .
D .
2.(2019•浙江衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。

借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。

这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ,OB 组成,两根棒在O 点相连并可绕O 转动,C 点固定,OC =CD =DE ,点D ,E 可在槽中滑动,若∠BDE =75°,则∠CDE 的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
3.(2019•湖南长沙)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,分别以点A 和点B 为圆心,大于AB 的长为半径作弧,两弧相交于M 、N 两点,作直线MN ,交BC 于点D ,连接AD ,则∠CAD 的度数是( )
A .20°
B .30°
C .45°
D .60°
4.(2019•湖南长沙)如图,△ABC 中,AB =AC =10,tanA =2,BE ⊥AC 于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD +BD 的最小值是( )
A .2
B .4
C .5
D .10 AC BC =AD A
E =40C ∠=︒GAD ∠40︒45︒55︒70

5.(2019•湖南邵阳)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,AD是斜边BC上的中线,将△ACD 沿AD对折,使点C落在点F处,线段DF与AB相交于点E,则∠BED等于()
A.120°B.108°C.72°D.36°
二、填空题
6.(2019•湖南怀化)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为.
7.(2019•湖南邵阳)如图,将等边△AOB放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点B在第一象限,将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′,则点B′的坐标是.
8.(2019•湖北天门)如图,为测量旗杆AB的高度,在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°,点C与点B在同一水平线上.已知CD=9.6m,则旗杆AB的高度为m.
9.(2019▪贵州毕节)如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接A D.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为.
10. (2019•湖北武汉)如图,在▱ABCD中,E.F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为.
11.(2019黑龙江绥化)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A=______度.
三、解答题
12.(2019湖北孝感)如图,已知∠C=∠D=90°,BC与AD交于点E,AC=BD,求证:AE=BE.
13.(2019•杭州)如图,在△ABC中,AC<AB<BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.
(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
14.(2019•重庆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.
15.(2019•南岸区)如图,直线AB∥CD,∠ACD的平分线CE交AB于点F,∠AFE的平分线交CA延长线于点G.
(1)证明:AC=AF;
(2)若∠FCD=30°,求∠G的大小.
16.(2019•攀枝花)如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;
(2)∠BEC=3∠ABE.
17.(2019•湖北十堰)如图,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,点E为C延长线上一点,且∠CDE=∠BA C.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=3BD,CE=2,求⊙O的半径.
18.(2019•甘肃武威)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.
(1)求证:AC是⊙D的切线;
(2)若CE=2,求⊙D的半径.
19. (2019•湖南衡阳)如图,在等边△ABC中,AB=6cm,动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t(s).过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.
(1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形;
(2)是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;(3)求DE的长;
(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B′PM,连接AB′,当t为何值时,AB'的值最小?并求出最小值.。

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