安徽省2020学年高二数学上学期期中试题
安庆市怀宁县第二中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题理
安徽省安庆市怀宁县第二中学2020—2021学年高二数学上学期期中试题理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3,－4），B(－2,m)的直线l的斜率为－2，则m的值为A．6B．1C．2D．4 2．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是A．（1，－2),5 B．（1,－2），错误!C．(－1,2），5D．(－1，2),错误!3．在空间直角坐标系O。
xyz中，点A在z轴上，它到点(22，错误!，1）的距离是错误!,则点A的坐标是A．（0,0，－1）B．（0,1,1) C．（0,0,1）D．(0，0,13)4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝05．若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是- 1 -A．l与l1，l2都不相交B．l与l1,l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交6．若点P（2，－1)为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝07.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16错误!π，则圆锥的体积是A．错误!B．错误!C．64πD．128错误!π8．直线l：y＝kx－1与曲线y－2x－1＝错误!不相交，则k的取值是A。
错误!或3 B。
错误!C．3 D.错误!9．在正三棱柱ABC。
A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为A。
错误! B.错误!C。
错误! D.错误!- 2 -10．过点P(－2,4）作圆（x－2）2＋(y－1）2＝25的切线l,直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是A。
树人高级中学2020_2021学年高二数学上学期期中联考试题文
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题文第Ⅰ卷(共60分)一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为(）A．2π B．πC．2 D．12．直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(）A．－2 B．2C．－3 D．33．过点M（2,1)的直线与x轴,y轴分别交于P，Q两点，若M 为线段PQ的中点,则这条直线的方程为()A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＋3＝04．如图所示的各图形中，不是正方体表面展开图的是() 5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心G，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝06．光线从点A(－3,5）射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10）,则光线从A到B的距离是（)A．5错误!B．2错误!C．510 D．10错误!7．用一个半径为2 cm的半圆围成一个圆锥,则圆锥底面圆的半径为()A．1 cm B．2 cmC。
错误!cm D。
错误!cm8．按如下的程序框图,若输出结果为273，则判断框?处应补充的条件为( ）A．7i>B．7i≥C．9i>D．9i≥答案b9．点M在圆(x－5)2＋（y－3）2＝9上,则点M到直线3x＋4y －2＝0的最短距离为（）A．9 B．8C．5 D．210．设有四个命题，其中，真命题的个数是（）①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥;③用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体．A．0个B．1个C．2个D．3个11．在区间[]0,1上任取两个数,a b，方程220x ax b++=有实根的概率为（）A．12B．14C．13D．2312．以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2:x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为（）A．(x－1)2＋(y－1）2＝1 B．（x＋1）2＋（y＋1)2＝1C．(x＋错误!)2＋（y＋错误!）2＝错误!D．(x－错误!）2＋（y－错误!)2＝错误!第Ⅱ卷（共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学(文)试题 Word版含答案
宿州市十三所重点中学2020-2021学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（文科）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生务必将答题内容填写在答题卡上，写在试题卷上无效。
一、选择题120y -+=的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．163．若()2,3A -，()3,2B -，1,2C m ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．124．下列命题正确的是（ ） A ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B ．斜棱柱的侧面中可能有矩形C ．用一个平面去截圆锥，得到的一定是一个圆锥和一个圆台D ．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线5．已知直线1l ：3420x y --=和直线2l ：3430x y -+=，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1BC ．2D ．36．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．72B ．64C ．48D ．247．在空间直角坐标系中，点()1,3,1P -和点()2,1,2Q 之间的距离为（ ）AB CD 8．已知两条不同的直线m ，n ，三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，//n α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥9．圆1O ：()()22122x y -+-=与圆2O ：224230x y x y +++-=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为4，一只蚂蚁从A 点出发沿每个侧面爬到1A ，路线为1A M N A →→→，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A ．4B ．5C 、6D ．111．已知点E ，F 分别是三棱锥P ABC -的棱PA ，BC 的中点，6PC AB ==，若异面直线PC 与AB 所成角为60°，则线段EF 长为（ ）A ．3B ．6C ．6或D ．3或12．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若圆锥的母线长为4，底面半径为______．14．若圆222440x y x y ++-+=关于直线0x y m -+=对称，则实数m 的值为______．15．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知阳马P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，3PA =，1AB =，2BC =，则此阳马的外接球的表面积为______．16．已知直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围为______． 三、解答题17．已知直线1l ：2360x y ++=，求直线2l 的方程，使得： （1）2l 与1l 平行，且过点()2,1-；（2）2l 与1l 垂直，且2l 与两坐标轴围成的三角形面积为3．18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，直线PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：//BC 平面PAD ；（2）若AB AD =，求证：BD ⊥平面PAC ．19．已知圆C ：22870x y y +-+=，直线l ：()20x my m m R +-=∈．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判定直线与圆的位置关系；（2）若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB =时，求直线l 的方程．20．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，且AB =，M 是CD 上异于C ，D 两点的一个动点．（1）证明：MC ⊥平面ADM ；（2）当四棱锥M ABCD -的体积最大且最大值为9时，求该四棱锥M ABCD -的侧面积． 21．已知圆C 与x 轴相切于点()1,0，且圆心C 在直线3y x =上， （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线y x m =+交于不同两点A ，B ，若直角坐标系的原点O ，在以线段AB 为直径的圆上，求实数m 的值．22．如图在Rt ABC △中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，且//MN BC ，AB BC =，2AM MB =．若将AMN △沿MN 折起到PMN △的位置，使得60PMB ∠=︒． （1）求证：平面PBN ⊥平面BCNM ；（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得//GN 平面PBM ？说明理由．宿州市十三所重点中学2020-021学年度第一学期期中质量检测高二数学（文科）试卷参考答案一、选择题二、填空题 13．8π 14．315．14π16．)1,2⎡⎣三、解答题17．解：（1）设2l ：230x y m -+=，∵2l 过点()2,1-， ∴430m ++=，解得7m =-． 所以2l 的方程为：2370x y --=．（2）设2l ：320x y p ++=，设2l 与x 轴交于点,03P M ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴交于点0,2P H ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴13223MOH P PS =⋅=△，∴236P =．∴6P =±． 所以2l 的方程为：3260x y ++=或3260x y +-=． （其他解法，酌情赋分！）18．解：（1）证明：由题设易知：//BC AD ，AD平面PAD ，BC ⊂/平面PAD ，∴//BC 平面PAD ．（2）证明：连接AC 、BD 由题设易知AC BD ⊥ 又PA ⊥平面ABCD ，BD平面ABCD ，PA BD ⊥AP 平面PAC ，AC 平面PAC ，AP AC A ⋂= ∴BD ⊥平面PAC ．PC平面PAC ，BD PC ⊥．19．解：（1）由题设知圆C ：()2249x y +-=．所以圆C 的圆心坐标为()0,4，半径为3． 又l ：()20x m y +-=恒过()0,2M ，()2202449+-=<所以点M 在圆C 内，故直线必定与圆相交． （此问使用方程联立的方法也可！） （2）圆心C 到直线l的距离记为d =3r =，2AB= 又2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，代入解得：m =． 所以直线l的方程为：30x +-=或30x +=． （其他解法，酌情赋分！）20．（1）证明：由题设知，平面CDM ⊥平面ABCD ，平面CDM ⋂平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD平面ABCD ，所以AD ⊥平面CDM ．又MC平面CDM ，故AD MC ⊥．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且CD 为半圆弧CD 的直径， 所以DM MC ⊥． 又AD DM D ⋂=，AD 平面ADM ，MD平面ADM ，所以MC ⊥平面ADM ．（2）由题意可知，当M 是半圆弧CD 的中点时，四棱锥M ABCD -的体积最大． 设BC a =，则AB CD ==，则21932M ABCD V a -=⋅=，解得3a =．此时，AB CD ==，3AD BC ==．易知，此时MCD △为等腰直角三角形，可求得3MD MC ==． 由（1）知，AD ⊥平面CDM ．所以AD DM ⊥，BC CM ⊥． 易证，MCD MBC MAD ≌≌△△△， 所以193322MCD MBC MAD S S S ===⨯⨯=△△△．又因为MA MB AB ===(2MAB S ==△． 故该四棱锥M ABCD -． （其他解法，酌情赋分!） 21．解：（1）由题意可得：圆心C 的横坐标为1，且圆心直线3y x =上，可得圆心C 坐标为()1,3，半径3r =， 则圆C 的方程为：()()22139x y -+-=．（2）由()()22139y x mx y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩可得：()22228610x m x m m +-+-+= 设()11,A x y ，()22,B x y 则：122124612x x mm m x x +=-⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，且241656m m ∆=-++，由题意可得：OA OB ⊥，且11y x m =+，22y x m =+， 所以1OA OB k k ⋅=-代入化简可得：2210m m -+= 求得：1m =，此时满足：2416560m m ∆=-++> 综上可知：1m =． （其他解法，酌情赋分！）22．解：解：（1）在Rt ABC △中，由AB BC =可知，BC AB ⊥． 因为//MN BC ，所以MN AB ⊥．翻折后垂直关系没变，仍有MN PM ⊥，MN BM ⊥． 又PM BMM ⋂=，所以MN ⊥平面PBM ．又60PMB ∠=︒， 可令2PM=，则1BM =，由余弦定理得PB =所以222PB BM PM +=，即PB BM ⊥．又因为BM MN M ⋂=，所以PB ⊥平面BCNM ． 又因为PB平面PBM ，所以平面PBM⊥平面BCNM ．（2）在PC 上是存在一点G ，当13CG CP =时，使得//GN 平面PMB ． 证明如下：过点N 作//NH BM ，交BC 于点H ，则四边形BMNH 是平行四边形， 且2MN BH ==，1CH =． 又由NH ⊄平面PBM ，BM平面PBM 知，//NH 平面PBM ．再过点H 作//GH PB ，交PC 于点G ，则13CH CG CB CP ==． 又由GH ⊄平面GHN ，PB 平面PBM 知，//GH 平面PBM ．又NH面GHN ，GH面GHN ，GH HN H ⋂=，所以平面//GHN 平面PBM ． 又GN平面PBM ，所以//GN 平面PBM ．（其他解法，酌情赋分！）。
安徽省蚌埠市第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
蚌埠二中2021—2022学年度高二第一学期期中考试 数学（理科）试题（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）留意事项：第Ⅰ卷全部选择题的答案必需用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必需用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.推断圆1:221=+y x C 与圆9)2()2(:222=-+-y x C 的位置关系是A ．相离 B.外切 C. 相交 D. 内切2.若直线l 经过点)3,2(P ，且在x 轴上的截距的取值范围是)3,1(-，则其斜率的取值范围是A ． 1k 3>-<或k B. 311<<-k C. 13<<-k D. 311>-<k k 或3.以下结论正确的是A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4.一条光线从点)4,2(A 射出，倾斜角为60角，遇x 轴后反射，则反射光线的直线方程为A ．03243=-+-y x B.03423=---y xC. 03243=-++y xD. 03423=---+y y x5.已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若,//,//ααn m 则n m // B. 若γβγα⊥⊥,则βα// C. 若,//,//βαm m 则βα// D. 若,,αα⊥⊥n m 则n m //6. 若圆03222=+-+by ax y x 的圆心位于第三象限，那么直线0=++b ay x 肯定不经过 A ．第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限7. 已知点)3,1(P 与直线01:=++y x l ，则点P 关于直线l 的对称点坐标为 A.1,3(--） B.)4,2( C. )2,4(-- D. )3,5(--8. 如图，在四周体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，错误的为A ．BD AC ⊥B ．BD AC =C. PQMN //截面ACD. 异面直线BD 与PM 所成的角为459. 已知棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -的一个面1111D C B A 在半球底面上，四个顶点D C B A ,,,都在半球面上，则半球体积为A.π34B.π32 C. π3 D. 33π10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱椎的三视图，则该三棱锥的体积为A ．32 B. 34C. 38D. 411. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱11,CC AA 的中点，则在空间中与三条直线CDEF D A ,,11第10题图都相交的直线有A ．很多条B ． ３条 Ｃ．１条 Ｄ． 0条12.设点)1,(a P ，若在圆1:22=+y x O 上存在点Q ，使得60=∠OPQ ，则a 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.母线长为1的圆锥体，其侧面开放图是一个半圆，则该圆锥的体积为______________ 14.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为cm 1的正方形，则原图形的周长为________________cm15.已知P 点是圆0364x C 22=--++y x y ：上的一点，直线05-4y -3x :l =。
安徽省皖豫名校联盟2023-2024学年高二(上)期中考试数学试卷及答案
2023—2024学年大联考安徽高二（上）期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A ，B ，C ，D 是空间中互不相同的四个点，则AB DB AC −−=（ ）A ．ADB ．CDC ．BCD ．DA2．直线310x +=的倾斜角θ为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．经过点(1,2)A ，且以(1,1)B −为圆心的圆的一般方程为（ ） A ．222230x y x y ++−−= B ．222230x y x y +−+−= C ．222270x y x y ++−−=D ．222270x y x y +−+−=4．设a ∈R ，则“1a =”是“直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +−=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量(2,,2)a x =− ，(2,4,)b y = ，若||3a = ，且a b ⊥ ，则xy 的值为（ ）A ．0B ．4C ．0或4D ．1或46．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，且焦距为4，点M 在C 上，若12MF MF ⋅的最大值为25，则C 的离心率为（ ）A B ．25C ．23D ．347．若直线(1)2y m x =−+与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．4(,0),3 −∞+∞B ．4,(0,)3−∞−+∞C ．24,0,233−D ．422,0,33 −−8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点在圆22(2)(4x y ++−=上，则该椭圆的离心率不可能是（ ）A ．13B ．12C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ） A ．30x y +−=B ．30x y ++=C ．10x y −−=D ．20x y −=10．下列结论中正确的是（ ）A ．若(1,1,2)a −，(2,2,1)b =− 分别为直线l ，m 的方向向量，则l m ⊥B ．若(1,1,2)k −为直线l 的方向向量，(3,1,1)n = 为平面α的法向量，则//l α或l α⊂C ．若1(4,2,1)n =−，2(2,1,2)n − 分别为两个不同平面α，β的法向量，则//αβ D ．若向量(,1,)c s t =是平面ABC 的法向量，向量(1,2,0)AB − ，(1,1,1)BC − ，则1t =11．已知圆221:(1)(1)1C x y ++−=与圆2222:244210C x y mx my m m +−++−−=，则下列说法正确的是（ ）A ．圆2C 的圆心恒在直线20x y +=上B ．若圆2C 经过圆1C 的圆心，则圆2C 的半径为12C ．当2m =−时，圆1C 与圆2C 有4条公切线D ．当0m =时，圆1C 与圆2C12．法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的任意两条互相垂直的切线的交点Q为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形G 的四边均与椭圆22:154x y C +=相切，则下列说法正确的是（ ）A ．C 的蒙日圆的方程为229x y += B ．若G 为正方形，则G的边长为C ．若圆22(4)()4x y m −+−=与C 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则3m =±D ．过直线:230l x y +−=上一点P 作C 的两条切线，切点分别为M ，N ，当MPN ∠为直角时，直线OP（O 为坐标原点）的斜率为43−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面α的一个法向量为(2,1,1)m =−，点(3,2,1)A −，(,1,2)B t −在平面α内，则t =__________．14．椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________．15．已知()()000,0P x y x ≠是圆22:(2)(1)9M x y −+−=上的动点，002y a x +=，则实数a 的取值范围是__________．16．已知椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是C 上异于顶点的一点，O 为坐标原点，E 为线段1MF 的中点，12F MF ∠的平分线与直线EO 交于点P ，当四边形12MF PF的面积为时，21sin MF F ∠=__________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆22:240M x y ay b +−+−=经过(0,3)A ，(2,1)B 两点． （Ⅰ）求圆M 的半径；（Ⅱ）判断圆()222:21N x y m +++=（m ∈R 且0m ≠）与圆M 的位置关系．18．（12分）已知直线:34120m x y ++=和圆22:2440C x y x y ++−−=． （Ⅰ）求与直线m 垂直且经过圆心C 的直线的方程； （Ⅱ）求与直线m 平行且与圆C 相切的直线的方程．19．（12分）已知空间中三点(2,1,1)A −，(1,1,0)B ，(4,3,3)C −．设a AB =，b AC = ．（Ⅰ）求2a b −；（Ⅱ）若2ka b − 与a kb +互相垂直，求实数k 的值．20．（12分）已知圆C 的圆心在坐标原点，面积为9π． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ，l ′都经过点(0,2)，且l l ′⊥，直线l 交圆C 于M ，N 两点，直线l ′交圆C 于P ，Q 两点，求四边形PMQN 面积的最大值． 21．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，BA BC =，E 为棱AB 的中点，12AC =，二面角1E AC A−−的大小为π6．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1EAC ；（Ⅱ）求直线1B C 与平面1EAC 所成角的正弦值． 22．（12分）已知圆C 的圆心为(,)C a b （0a >且0b >），1ab =，圆C 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点（与坐标原点O 不重合），且线段AB 为圆C 的一条直径． （Ⅰ）求证：AOB △的面积为定值；（Ⅱ）若直线0x y −=经过圆C 的圆心，求圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P 是直线:220l x y ++=上的一个动点，过点P 作圆C 的切线PG ，PH ，切点为G ，H ，求线段GH 长度的最小值．2023—2024学年大联考安徽高二（上）期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学·答案一、单项选择题 1．答案B【命题意图】本题考查空间向量的线性运算．【解析】AB DB AC AB BD AC AD AC CD −−=+−=−=．2．答案C【命题意图】本题考查直线的斜率与倾斜角．【解析】直线310x ++=的斜率k =，其倾斜角θ满足0180θ<°≤°，因为tan θ=，所以120θ=°．3．答案A【命题意图】本题考查圆的一般方程．【解析】由题意得，圆的半径||r AB 所以圆的标准方程为22(1)(1)5x y ++−=，所以圆的一般方程为222230x y x y ++−−=． 4．答案A【命题意图】本题考查两直线平行的定义．【解析】直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +−=平行的充要条件是212a a +=且5(1)6a a −+≠，解得1a =或12a =−． 5．答案C【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算．【解析】由(2,,2)a x =− ，且||3a = 3=①．由a b ⊥ ，得4420a b x y ⋅=+−= ②．由①②可得1,4x y ==或1,0,x y =− = 则xy 的值为0或4． 6．答案B【命题意图】本题考查椭圆的性质及基本不等式．【解析】因为122MF MF a +=，所以221212252MF MF MF MF a+⋅≤== （当且仅当1MF =25MF =时，等号成立）．由题可知C 的半焦距2c =，所以离心率25c e a ==． 7．答案D【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．【解析】显然直线(1)2y m x =−+恒过点(1,2)A ，曲线y =2=，解得0m =或43m =−，由如图所示的图象知直线过点(2,0)−时，斜率23m =，直线过点(2,0)时，斜率2m =−，所以半圆y=(1)2y m x =−+有两个不同的交点时，203m <≤或423m −≤<−，所以实数m 的取值范围为422,0,33−−．8．答案C【命题意图】本题考查椭圆的离心率．【解析】设椭圆的半焦距为(0)c c >．圆22(2)(4x y ++−=与坐标轴的公共点为()3,0−，()1,0−，(，又椭圆的焦点在x 轴上，所以，①若椭圆的上顶点为(，左焦点为()3,0−或()1,0−，即b =，3c =或1c =，则a =2a =，离心率e =12；②若椭圆的左顶点为()3,0−，左焦点为()1,0−，则3a =，1c =，离心率13e =． 二、多项选择题 9．答案ACD【命题意图】本题考查直线的方程．【解析】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为1x y a b +=，由题可得211,||||,a ba b += = 所以211,a b a b +== 或211,,a ba b += =−解得3,3a b = = 或1,1,a b = =− 所以直线方程为30x y +−=或10x y −−=，故A 正确，B 错误，C 正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y kx =，由题可知12k =，故直线方程为20x y −=，D 正确． 10．答案BD【命题意图】本题考查空间向量的应用．【解析】(1,1,2)a −，(2,2,1)b =− ，(1)2122(1)20a b ∴⋅=−×+×+×−=−≠ ，∴直线l 与m不垂直，故A 错误；3120k n ⋅=−++= ，//l α∴或l α⊂，故B 正确；421212−=≠− ，1n ∴ 与2n 不共线，//αβ∴不成立，故C 错误；由题可知0,0,c AB c BC ⋅=⋅=即20,10,s s t −+=−++= 解得1t =，故D 正确． 11．答案BC【命题意图】本题考查圆与圆的位置关系．【解析】圆2C 的方程可化为222()(2)(1)x m y m m −++=+，圆心为点(,2)m m −，恒在直线20x y +=上，故A 错误；由题可知222(1)(12)(1)m m m −−++=+，解得12m =−，所以圆2C 的半径为12，故B 正确；当2m =−时，12|1|12C C m =>++=，两圆相离，所以圆1C 与圆2C 有4条公切线，故C 正确；当0m =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为10x y −+=，1(1,1)C −到公共弦=，所以圆1C 与圆2C的公共弦长为D 错误． 12．答案ABC【命题意图】本题考查数学文化．【解析】由题可知C3=，则蒙日圆的方程为229x y +=，故A 正确；设正方形G 的边长为(0)t t >，由题可知2222(2)(2)36t t a b +=+=，则t =，故B 正确；易知点(4,)m 在圆229x y +=外部，所以若圆22(4)()4x y m −+−=与C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，所以32=+，解得3m =±，故C 正确；设直线l 与圆229x y +=交于A ，B 两点，联立22230,9,x y x y +−= += 可得119,512,5x y=− =223,0,x y = = 不妨设912,55A − ，(3,0)B ，当点P 与点A 或B 重合时，MPN ∠为直角，且43OA k =−，0OB k =，所以直线OP 的斜率为43−或0，故D 错误．三、填空题 13．答案6【命题意图】本题考查平面的法向量的定义．【解析】因为(3,3,3)AB t =−−，且AB m ⊥ ，所以2(3)330t −−−=，解得6t =．14．答案32【命题意图】本题考查椭圆的性质及点到直线的距离．【解析】由题可知椭圆的右焦点坐标为，所以右焦点到直线y =的距离是|30|322−=． 15．答案12,[0,)5−∞−+∞【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．【解析】设(0,2)A −，由题知圆M 的圆心为(2,1)M ，半径3r =，a 表示直线PA 的斜率，不妨设过点A 的圆的切线方程为2y kx =−，则圆心M 到切线的距离3d，解得0k =或125−，再结合图可知，实数a 的取值范围为12,[0,)5−∞−+∞．16 【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质．【解析】由题可知12F F =，124MF MF +=．因为MP 平分12F MF ∠，所以P 到1MF ，2MF 的距离相等，设为h ，则()1212122MF PF S MF MF h h =+=．易知OE 是12F MF △的中位线，延长1F P ，2MF 交于点G ，则P 为1FG 的中点，过1F 作1F H MG ⊥于H ，易得112212sin F H h F F MF F ==∠，则1221MF PF S MF F ∠，从而21sin MF F ∠ 四、解答题17．【命题意图】本题考查圆的方程及圆与圆的位置关系． 【解析】（Ⅰ）由题可得9640,41240, a b a b −+−=+−+−=解得1,1,a b = =所以圆M 的一般方程为22230x y y +−−=，标准方程为22(1)4x y +−=， 故圆M 的半径为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知(0,1)M ．又()20,2N m −−，所以2||3MN m =+． 因为23312m +>=+，所以圆M 与圆N 外离． 18．【命题意图】本题考查求直线的方程．【解析】（Ⅰ）设与直线:34120m x y ++=垂直的直线的方程为430x y a −+=． 圆C 可化为22(1)(2)9x y ++−=，圆心为(1,2)C −，因为直线430x y a −+=经过圆心C ，所以4(1)320a ×−−×+=，即10a =， 故所求直线的方程为43100x y −+=．（Ⅱ）设与直线:34120m x y ++=平行的直线的方程为340(12)x y c c ++=≠． 因为直线340x y c ++=与圆C 相切，所以圆心(1,2)C −到直线340x y c ++=3=，所以|5|15,20c c +==−或10，故所求直线的方程为34200x y +−=或34100x y ++=． 19．【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算．【解析】（Ⅰ）(2,1,1)A − ，(1,1,0)B ，(4,3,3)C −，a AB = ，b AC = ，(1,2,1)a ∴=−−，(2,2,2)b =− ， 于是2(2,4,2)(2,2,2)(4,6,4)a b −=−−−−=−−，2a b ∴−=（Ⅱ）()()()22,4,22,2,222,42,22ka b k k k k k k −=−−−−=−−+−−， ()()()1,2,12,2,221,22,21a kb k k k k k k +=−−+−=−−−， 又2ka b − 与a kb + 互相垂直，(2)()0ka b a kb ∴−⋅+=，即(22)(21)(42)(22)(22)(21)0k k k k k k −−−++−+−−−=，212k ∴=，k =． 20．【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系． 【解析】（Ⅰ）由题可知圆C 的圆心为(0,0)C ，半径3r =． 所以圆C 的方程为229x y +=．（Ⅱ）当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为2y kx =+，圆心到直线l 的距离为d ，则d =||MN同理可得||PQ则11||||22PMQNS MN PQ=⋅=×22244991411kk k≤−+−=++，当且仅当222449911kk k−=−++，即21k=时等号成立．当直线l的斜率不存在时，||6MN=，||PQ=此时11||||622PMQNS MN PQ=⋅=××=．当直线l的斜率为0时，根据对称性可得PMQNS=．综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．21．【命题意图】本题考查线面平行与线面角．【解析】（Ⅰ）如图，连接1AC交1AC于点O，连接OE，显然O是1AC的中点，因为E为AB的中点，所以OE为1ABC△的中位线，1//OE BC，而1BC⊂/平面1EAC，OE⊂平面1EAC，所以1//BC平面1EAC．（Ⅱ）设11AC的中点为1M，连接1M O并延长交AC于点M．因为BA BC=，所以1111B A B C=，于是有1111B M AC⊥．因为三棱柱111ABC A B C−是直三棱柱，所以平面111A B C⊥平面11A ACC，而平面111A B C 平面1111A ACC AC=，所以11B M⊥平面11A ACC．因为侧面11A ACC是矩形，所以111AC M M⊥．以1M 为原点，分别以直线11AC ，1M M ，11B M 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设(1)BA BC t t ==>，则1(1,0,0)A −，C，12E − ，于是1(2,CA =−，32CE =− ． 设平面1EAC 的法向量为(,,)n x y z = ，则有10,0,n CA n CE ⋅= ⋅=即20,30,2x x z −−= −+= 令1x =，可得1,n = ． 易知平面1ACA 的一个法向量为(0,0,1)m = ． 因为二面角1E AC A −−的大小为π6，所以π||cos 6||||m n m n ⋅== ，即=t =． 故1(0,0,1)B，11)B C =−，(1,n = ．设直线1B C 与平面1EAC 所成的角为θ，则11sin ||B C n B C n θ⋅== ，即直线1B C 与平面1EAC22．【命题意图】本题考查直线与圆的综合应用．【解析】（Ⅰ）由题可知点O 在圆C 上，且圆C 的方程为2222()()x a y b a b −+−=+， 整理得22220x y ax by +−−=，则(2,0)A a ，(0,2)B b ． 所以122222AOB S a b ab =××==△，为定值．（Ⅱ）因为直线0x y −=经过圆C 的圆心，所以a b =．又1ab =，0a >且0b >，解得1a b ==．所以圆C 的方程为22(1)(1)2x y −+−=．（Ⅲ）显然P ，G ，C ，H 四点共圆，且PC 为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆N ，(22,)P m m −−，则圆N 的方程为22221213212222m m m m x y +++− ++−=+， 即22(21)(1)20x y m x m y m +++−+−−=，①又圆C 的半径r =22220x y x y +−−=，② ①－②，得圆C 与圆N 的相交弦GH 所在直线的方程为(23)(1)20m x m y m ++−−−=．点(1,1)C 到直线GH 的距离d所以||GH ，所以当1m =−时，||GH ，故线段GH ．。
安徽省皖南名校2024_2025学年高二数学上学期期中试题
2024－2024学年上期期中考试高二数学试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合A ＝{x|2<x<4}，B ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，则A ∩B ＝ A.{x|1<x<4} B.{x|2<x<4} C.{x|3<x<4} D.{x|2<x<3} 2.直线3x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是A.30°B.60°C.120°D.135° 3.已知m ，n 是空间中两条不同直线，α是平面，则A.若m//α，n ⊂α，则m//nB.若m//α，n//α，则m ⊥nC.若m ⊥α，n ⊥α，则m//nD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ⊥n 4.下列函数既是奇函数又是增函数的是A.y ＝cos(2x ＋2π) B.y ＝x 3 C.y ＝lnx 3D.y ＝23x5.设a ＝30.7，b ＝(13)－0.8，c ＝logo 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b6.已知直线l 过圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心，且与直线2x －y －1＝0平行，则l 的方程是 A.2x ＋y －2＝0 B.2x －y ＋2＝0 C.2x －y －3＝0 D.2x －y －2＝07.函数f(x)＝3cos x xx x-+在[－2π，2π]上的图像大致为8.已知sin(α＋3π)＋sin 43，则sin(α＋6π)的值是A.45 B.－45C.35D.－2359.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝()1n n 1+，则a 2024等于A.20192020 B.40392020 C.20202021 D.4041202110.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是闻名的香农公式：C ＝Wlog 2(1＋SN)。
安徽省宣城市七校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题文【含答案】
安徽省宣城市七校（郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中等）2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题 文考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分100分，考试时间100分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教版必修3，选修1－1第一章～第二章第1节。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题p ：x∈R，2x >0，则p 为A.x∈R，2x ≤0B.x∈R，2x <0C.x 0∈R，≤0D.x 0∈R，>0∀∀∃02x ∃02x2.2019年，云南省丽江市某高级中学高一年级有100名学生，高二年级有200名学生，高三年级有150名学生。
现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则应从高一年级抽取的学生人数为A.6人B.2人C.8人D.4人3.已知p ：x<y ，q ：log 2x<log 2y ，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长为20，则222116x y a +=a 的值为A.5B.－25C.25D.5或－55.已知具有线性相关关系的变量x ，y 的一组数据如下表：可求得线性回归方程为，则的值为ˆ2yx =+00x y -A.3 B.－5 C.－3 D.26.若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M 处可填入的条件为A.k≥31B.k≤31C.k<63D.k≥157.已知A 是圆M 的圆周上一定点，若在圆M 的圆周上的其他位置任取一点B ，连接AB ，则“线段AB 的长度不大于圆M 的半径”的概率约为A. B. C. D.121316238.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是A. B. C. D.31035710259.已知A ，B 分别是椭圆C ：(a>b>0)的左顶点和上顶点，线段AB 的垂直平分线22221x y a b+=过右顶点。
安徽省皖南名校2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(扫描版含答案详解)
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
答案 D C C B D D A A B B
C
D
{ } 1．D【解析】∵ A = {x | 2 < x < 4} ， B = x x2 − 4x + 3 < 0 ， = {x |1 < x < 3}
x + y ≥1
【解析】由约束条件 y − x ≤1，作出可行域如图中阴影部分， x ≤ 1
由图可知，当
z
取得最小值时，最优解为
A
，联立
x y
+ −
y x
= =
1 1
，解得
A(
0,1)
,∴
z
=
2x
−
y
+
3
的最小值为 2×0 −1+ 3 = 2 .
高二数学参考答案 第 3 页（共 9 页）
15．【答案】 ( −4, 2)
−
a3
=
1 3
−
1 4பைடு நூலகம்
⋅⋅⋅
an
−
an−1
=
1 n −1
−
1 n
an
−
a1
=
1−
1 n
a1 = 1
所以 ，所以 an
=
2
−
1 n
a2020
=
2
−
1 2020
=
4039 2020
.
10．B【解析】当
S N
安徽省蚌埠市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
蚌埠2023-2024学年第一学期期中检测试卷高二数学（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线l 的一个方向向量为(-，求直线的倾斜角（）A.π3B.π6C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.【详解】直线l 的一个方向向量为(-，则直线l 斜率为，所以直线l 的倾斜角为2π3.故选：C2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD = ，则BE = （）A.131222a b c -+B.111222a b c-+C.131222a b c ++D.113222a b c -+【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量加法法则直接求解．【详解】连接BD ，如图，则()()()1111122222BE BP BD PB BA BC PB PA PB PC PB =+=-++=-+-+-()11131131222222222PB PA PB PC PA PB PC a b c=-+-+=-+=-+故选：A ．3.已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为A.(3,4) B.(4,5)C.(4,3)-- D.(5,4)--【答案】D 【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设(),A x y ,则123052224(1)11x y x y y x ++⎧++=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪⋅-=-⎪-⎩，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.4.在一平面直角坐标系中，已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为（）A.27 B.41C.17 D.35【答案】D 【解析】【分析】平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可．【详解】解：平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，作AC ⊥x 轴，交x 轴于C 点，作BD ⊥x 轴，交x 轴于D 点，则6,3,6,AC CD DB === ,AC CD CD DB ⊥⊥ ，,AC DB的夹角为120°∴AB AC CD DB =++ ，222222212+2+2=6+3+6266452AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅⋅⋅-⨯⨯⨯= 35AB ∴=,即折叠后A ，B 两点间的距离为35.故选：D ．【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．5.如果实数x ，y 满足()2222x y -+=，则yx的范围是（）A.()1,1- B.[]1,1- C.()(),11,-∞-⋃+∞ D.(][),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】设yk x =，求y x的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点(),x y 的直线中斜率的范围，结合图象，易得取值范围.【详解】解：设yk x=，则y kx =表示经过原点的直线，k 为直线的斜率.如果实数x ，y 满足22(2)2x y -+=和yk x=，即直线y kx =同时经过原点和圆上的点(),x y .其中圆心()2,0C ，半径2r =从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角EOC ∠的正切值，易得2OC =，CE r ==可由勾股定理求得OE ==，于是可得到tan 1CEk EOC OE =∠==为y x的最大值；同理，yx的最小值为－1.则yx的范围是[]1,1-.故选：B.6.抛物线214x y =的焦点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.233【答案】A 【解析】【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得22b a =，由此求得双曲线的离心率.【详解】抛物线214x y =即24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，所以点()1,0到直线0bx ay ±=的距离为22=，则22b a =，则双曲线的离心率为c e a =====故选：A7.直线()2200ax by a b a b +--=+≠与圆2220x y +-=的位置关系为（）A.相离 B.相切C.相交或相切D.相交【答案】C 【解析】【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆2220x y +-=的圆心为（0，0），所以圆心到直线()2200ax by a b a b +--=+≠.因为222ab a b ≤+，所以()()2222a b a b+≤+≤，所以直线与圆相交或相切；故选：C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1AC 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（）A.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1AB =，则，01λ≤≤，利用1c s o BC BP =，，即可得出答案．【详解】设BP 与1AD 所成角为θ，如图所示，不妨设1AB =，则()0,0,0B ，()0,1,0A ，()10,1,1A ，()11,0,1C ，()111,0,1AD BC == ，()1,0,0BC = ，()11,1,1AC =-．设1AP AC λ= ，则()1,1,BP BA AC λλλλ=+=-，01λ≤≤．所以111c ·o s BC BPBC BP BC BP==⋅，当0λ=时，10cos BC BP = ，，此时BP 与1AD 所成角为π2，当0λ≠时，1c os BC BP =，，此时10cos 1BC BP <≤，，当且仅当1λ=时等号成立，因为cos y x =在π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以1π0,2BC BP ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，，综上，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有（）A.若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B.直线32y ax a =-+过定点()32，C.过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-D.斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±．【答案】ABC 【解析】【分析】由直线y kx b =+过一、二、四象限，得到斜率0k <，截距0b >，可判定A 正确；由把直线方程化简为()()320a x y -+-+=，得到点()32，都满足方程，可判定B 正确；由点斜式方程，可判定C 正确；由斜截式直线方程可判定D 错误．【详解】对于A 中，由直线y kx b =+过一、二、四象限，所以直线的斜率0k <，截距0b >，故点()k b ，在第二象限，所以A 正确；对于B 中，由直线方程32y ax a =-+，整理得()()320a x y -+-+=，所以无论a 取何值点()32，都满足方程，所以B 正确；对于C 中，由点斜式方程，可知过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-，所以C 正确；由斜截式直线方程得到斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+，所以D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线l 的方向向量为()1,0,3e = ，平面α的法向量为22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则直线l α∥B.已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C.若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】BCD 【解析】【分析】计算得到e n ⊥，l α∥或l ⊂α，A 错误，若,,a b a c +r r r r 共面，则,,a b c 共面，不成立，故B 正确，化简得到23PA PB PC =--，C 正确，若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确，得到答案.【详解】()22,0,22031,0,3e n ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⋅⋅ ，故e n ⊥ ，故l α∥或l ⊂α，A 错误；若,,a b a c +r r r r共面，设()()b a a c a c λμλμμ=++=++ ，则,,a b c 共面，不成立，故{},,a b m 也是空间的基底，B 正确；111632OP OA OB OC =++ ，则()()()111632OA OP OB OP OC OP -+-+- 1110632PA PB PC =++=，即23PA PB PC =--，故P ，A ，B ，C 四点共面，C 正确；若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确.故选：BCD.11.已知平面α的法向量为()1,2,2n =-- ，点()2,21,2A x x +为α内一点，若点()0,1,2P 到平面α的距离为4，则x 的值为（）A.2 B.1C.3- D.6-【答案】AD【解析】【分析】利用向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，代入相关数值，通过解方程即可求解.【详解】解：由向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，又 ()()22,(,20,2,0)122,1,x x AP x x →+--==-，()1,2,2n =--24AP n x x →→∴⋅=+，||3n ==由点()0,1,2P 到平面α的距离为4，有2443x x+=解得2x =或6x =-故选：AD【点睛】本题考查的是点面距离的计算问题，核心是会利用向量法中点到平面的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.12.已知双曲线C 经过点6,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且与椭圆22Γ:12x y +=有公共的焦点12,F F ，点M 为椭圆Γ的上顶点，点P 为C 上一动点，则（）A.双曲线CB.sin 3MOP ∠>C.当P 为C 与Γ的交点时，121cos 3F PF ∠= D.||PM 的最小值为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A ；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B ；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C ；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.【详解】A ：由题意，12(1,0),(1,0)F F -，设双曲线的标准方程为222221,11x y a a a-=<-，将点,1)2代入得212a =，所以双曲线方程为2211122x y -=，得其离心率为22c e a ===，故A 正确；B ：由A 选项的分析知，双曲线的渐近线方程为y x =±，如图，π4MON ∠=，所以π3π44MOP <∠<，得sin 12MOP <∠≤，故B 错误；C ：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，1212PF PF PF PF +=-=12,22PF PF ==，又122F F =，在12F PF △中，由余弦定理得222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，故C 正确；D ：设00(,)P x y ，则22001,(0,1)2x y M -=，所以PM ==，当012y =时，min1PM =，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若空间向量(,2,2)a x =和(1,1,1)b = 的夹角为锐角，则x 的取值范围是________【答案】4x >-且2x ≠【解析】【分析】结合向量夹角公式、向量共线列不等式来求得x 的取值范围.【详解】依题意04211a b a bx x ⎧⋅=>⎪⋅⎪⇒>-⎨⎪≠⎪⎩ 且2x ≠.故答案为：4x >-且2x ≠14.已知0a >，0b >，直线1l ：()110a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，则21a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出a ，b 满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．【详解】因为12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，因为0a >，0b >，所以()2121422248b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以21a b+的最小值为8．故答案为：8．15.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2232x y -+=上，则ABP 面积的取值范围______．【答案】[]6,12【解析】【分析】由题意求得所以()30A -,，()0,3B -，从而求得AB =，再根据直线与圆的位置关系可求得点P 到直线30x y ++=距离h ⎡∈⎣，再结合面积公式即可求解.【详解】因为直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，所以()30A -,，()0,3B -，因此AB =．因为圆()2232x y -+=的圆心为()3,0，半径r =，设圆心()3,0到直线30x y ++=的距离为d ，则3033222d ++==>，因此直线30x y ++=与圆()2232x y -+=相离．又因为点P 在圆()2232x y -+=上，所以点P 到直线30x y ++=距离h 的最小值为32222d r -=-=，最大值为32242d r +=+=，即22,42h ⎡⎤∈⎣⎦，又因为ABP 面积为13222AB h h ⨯⨯=，所以ABC 面积的取值范围为[]6,12．故答案为：[]6,1216.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2-【解析】【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||10,(1)(1)10MC MA x y ==++-=①由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=②由①②可得2,0x y ==或0,2x y ==-.故答案为：()2,0或()0,2-.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知圆M 的圆心为()2,3，且经过点()5,1C -.（1）求圆M 的标准方程；（2）已知直线:34160l x y -+=与圆M 相交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）()()222325x y -+-=（2）AB =【解析】【分析】（1）根据条件求出圆M 的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;（2）求出圆心M 到直线l 的距离,再由垂径定理求出||AB .【小问1详解】因为圆M 的圆心为(2,3),且经过点(5,1)C -,所以圆M 的半径5r MC ===,所以圆M 的标准方程为()()222325x y -+-=.【小问2详解】由（1）知，圆M 的圆心为()2,3，半径=5r ，所以圆心M 到直线l 的距离2d =,所以由垂径定理，得AB ===.18.已知ABC 的顶点()3,2A ，边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=．（1）求顶点,B C 的坐标；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）B 的坐标为()8,7，C 的坐标为()1,3（2）152【解析】【分析】（1）设(),B a b ，(),C m n ，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出AB 和直线AB 所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB 上的高，即可求出ABC 的面积．【小问1详解】设(),B a b ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以2903238022a b a b --=⎧⎪⎨++-⨯+=⎪⎩，解得87a b =⎧⎨=⎩，即B 的坐标为()8,7．设(),C m n ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以3802132m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，即C 的坐标为()1,3．【小问2详解】因为()()3,2,8,7A B，所以AB ==因为边AB 所在直线的方程为237283y x --=--，即10x y --=，所以点()1,3C 到边AB的距离为2=，即边AB上的高为2，故ABC的面积为115222⨯=．19.已知直三棱柱111ABC A B C -，侧面11AA C C 是正方形，点F 在线段1AC 上，且13AF =，点E 为1BB 的中点，1AA =，1AB BC ==．（1）求异面直线CE 与BF 所成的角；（2）求平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】（1）90（2）21【解析】【分析】（1）利用直棱柱的结构特征，结合线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论；（2）分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果．【小问1详解】因为侧面11AA C C 是正方形，1AA =，1AB BC ==，所以BA BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -直三棱柱，所以1BB ⊥面ABC ，而BC ，BA ⊂平面ABC ，因此1BB BC ⊥，1BB BA ⊥，所以BC ，BA ，1BB 两两垂直．以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：因此()100C ，，，()000，，B ，()010A ，，，(1102C ，，而点E 为1BB 的中点，所以2002E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，因为F 在线段1AC 上，所以设()()1,201AF AC λλλλλ==-≤≤ ，因此(),12BF BA AF λλλ=+=- ，因为13AF = ()()222123λλλ+-+=解得16λ=，因此152,,666BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，即152,,666F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为21,0,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以11066CE BF ⋅=-+= ，因此异面直线CE 与BF 所成的角为90 .【小问2详解】设平面CEF 的法向量为()1n x y z = ，，，而552,,666CF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因此由1100n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2025520666x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取2z =得1x =，35y =，所以13125n ⎛= ⎝ ，，是平面CEF 的一个法向量，设平面11ACC A 的法向量为()2222n x y z = ，，，()110AC =- ，，，(112AC =- ，，，因此由22100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得020x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =得1y =，0z =，所以()2110n = ，，是平面11ACC A 的一个法向量.设平面CEF 与平面11ACC A 夹角为θ，则02πθ≤≤，因此121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==31521+==，所以平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值为24221．20.已知双曲线C的焦点坐标为()1F，)2F ，实轴长为4，（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．【答案】（1）2214x y -=；（2）1．【解析】【分析】（1）由题可知,c a 的值即可求出双曲线C 的标准方程；（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.【详解】（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由条件知c =，24a =，∴2,1a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=．（2）由双曲线的定义可知，124PF PF -=±．∵12PF PF ⊥，∴22212420PF PF c +==，即21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴122PF PF ⋅=，∴12PF F △的面积12112122S PF PF =⋅=⨯=．21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；（2）若PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，求PC 与平面PBD 的所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）80535【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF .先证明四边形ADFE 是平行四边形，即可得出//DF AE ，然后即可证明线面平行；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，即可得出60PBA ∠=︒.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面PBD 的法向量，根据向量求得PC 与平面PBD 的所成角的正弦值，进而求得余弦值.【小问1详解】如图1，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，,E F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，且122EF BC ==.//AD BC 且2AD =，//EF AD ∴且2EF AD ==，∴四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ∴.AE ⊄ 平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴//AE 平面PCD .【小问2详解】若O 是AB 中点，取CD 中点为G ，连结OG .,O G 分别是,AB CD 的中点，∴//OG BC .AB BC ⊥，∴OG AB ⊥.由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2PA PB AD ===，4BC =.PA PB =，∴PO AB ⊥.由侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD ，P ∴在平面ABCD 的投影在直线AB 上.又PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，PB ∴与底面ABCD 所成角的平面角60PBA ∠=︒，∴PAB 为等边三角形，2AB PA ==.以O 为原点，分别以,,OB OG OP 所在的直线为,,x y z 轴，如图2建空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0D -，(3P ，则(3BP =- ，(1,2,3PD =- ，(1,4,3PC = .设平面PBD 的法向量(),,n x y z =r，则00n BP n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x x y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，取x =，得)n = ，∴cos ,35n PC n PC n PC ⋅==r uu u r r uu u r r uu u r .设PC 与平面PBD 的所成角为θ，则sin cos ,35n PC θ== . π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0θ≥∴cos 35θ==，PC ∴与平面PBD的夹角的余弦值为35.22.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 经过F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上一点(),2P a -作两条互相垂直的直线与抛物线C 相交于MN 两点（异于点P ），证明：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）24y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，得到直线l 方程为2p y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得p ，即得答案；（2）求得a 的值，设直线MN 的方程为x my n =+，联立抛物线方程，得根与系数的关系，利用PM PN ⊥，得到32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，代入直线方程，分离参数，求得定点坐标，证明结论.【小问1详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知(,0)2p F ，则直线l 方程为2p y x =-，代入()220y px p =>，得22304p x px -+=，280p ∆=>，∴123x x p +=，由抛物线定义，知1||2p AF x =+，2||2p BF x =+，∴12348AB AF BF x x p p p p =+=++=+==，∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】证明： (),2P a -在抛物线24y x =上，∴242),1(a a =∴=-，由题意，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x my n =+，设3344(,),(,)M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，则216160m n '∆=+>，且34344,4y y m y y n +==-，又23434)242(x x m y y n m n +=++=+，22234344334()()()x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=，由题意，可知PM PN ⊥,PM PN ∴⊥,故3434(1)(1)(2)(2)0PM PN x x y y +⋅=+--+= ，故()3434343412()40x x x x y y y y -++++++=，整理得2246850n m n m --++=，即22(3)4)(1n m -=-，∴32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，即21n m =+或25n m =-+．若21n m =+，则21(2)1x my n my m m y =+=++=++，此时直线MN 过定点(1,2)-，不合题意；若25n m =-+，则()2525x my n my m m y =+=-+=-+，此时直线MN 过定点(5,2)，符合题意，综上，直线MN 过异于P 点的定点(5,2)．【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析
合肥2023~2024学年度高二年级第一学期期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章、第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0AB <，0BC >，则直线0Ax By C --=不经过．．．的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解.【详解】由0Ax By C --=，得A C y x B B=-，又0AB <，0BC >，则直线的斜率0AB <，在y 轴上的截距0CB-<，所以直线0Ax By C --=经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A2.若点()1,1P 在圆22:20C x y x y k +---=的外部，则实数k 的取值范围是（）A.(),1-∞- B.5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D.41,5⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由方程表示圆可得54k >-，再由点在圆外即可得1k <-，求得实数k 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【详解】易知圆C 可化为()2215124x y k ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可得504k +>，即54k >-；又()1,1P 在圆C 外部，可得11120k +--->，解得1k <-；可得514k -<<-.故选：B.3.已知O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，若P ，A ，B ，C 四点共面，则函数()()[]()2311,2f x x x x λμ=-+-∈-的最小值是（）A.2 B.1 C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.【详解】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以存在,R x y ∈，使得AP xAB yAC =+，故()()OP O x OB OA A A y OC O --=-+,整理得()1OP OA x y OA xOB yOC -=--++ ，又()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，所以113x yx y λμ+=+⎧⎪⎨--=⎪⎩，所以23λμ+=，所以()()222112f x x x x =--=--，当1x =时，函数取最小值，且最小值为2-.故选:D.4.已知()1,2,1A 是平面α内一点，()1,1,1n =--是平面α的法向量，若点()2,0,3P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为（）A.2 B.233C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.【详解】由题意得()1,2,2AP =- ，故点P 到平面α的距离n AP d n⋅===故选：C.5.已知点()1,3A -，()3,1B ，直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为（）A.(][)1,5,∞-⋃-+∞B.[]5,1-C.(][),15,-∞-⋃+∞ D.[]1,5-【答案】C 【解析】【分析】先求出直线l 的定点，再求出,PA PB k k ，数形结合，得出结果.【详解】如图由题意知直线l 过定点()0,2P -，易求PA 的斜率()32510PA k --==---，PB 的斜率()12130PB k --==-，直线l 的斜率l k m =-，所以1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥故选：C.6.已知圆22:8120C x y x +-+=，点P 在圆C 上，点()6,0A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，则tan MOA ∠的最大值为（）A.12B.12C.4D.3【答案】A 【解析】【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得M 的轨迹方程为()2251x y -+=，即可根据相切求解最值.【详解】由题意知圆C 的方程为()2244x y -+=，设()00,P x y ，(),M x y ，则006,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,所以0026,2,x x y y =-⎧⎨=⎩,又P 在圆C 上，所以()220044x y -+=，即()()2221024x y -+=，即M 的轨迹方程为()2251x y -+=.如图所示，当OM 与圆()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取得最大值，此时OM ==，tan 12MOA ∠=，所以tan MOA ∠的最大值为612.故选:A7.如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（）A.2B.3C.15D.16【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，求得11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，211,,333CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据线线角的向量公式即可求解.【详解】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1D ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,1,1BD =-- ，()1,0,0CB = ，所以1211,,3333CF CB BF CB BD ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭.设直线DE 与CF 所成角的大小为θ，则1cos cos ,6DE CF DE CF DE CF θ⋅===.故选：D.8.已知圆()()22:349C x y -+-=和两点(),0A t ，()(),00B t t ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则实数t 的取值范围是（）A.()2,8 B.()2,+∞ C.()3,+∞ D.()1,3【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知，圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得2t >.【详解】圆()()22:349C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为3r =，因为圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则90APB ∠>︒，所以圆C 与圆()2220:O x y tt +=>的位置关系为相交、内切或内含，所以可得3OC t <+，又因为5OC ==，所以53t <+，即2t >.即实数t 的取值范围是()2,+∞.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，AP a = ，AB b = ，AD c = ，若PE ED = ，2CF FP =，则（）A.1122BE a b c=-+ B.221333BF a b c=-+C.212333DF a b c=+- D.111636EF a b c=-+ 【答案】BC 【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出BE 、BF、DE 、EF 关于{},,a b c 的表达式.【详解】对于A 选项，()()1122BE PE PB PD PB AD AP AB AP =-=-=---11112222AP AB AD a b =-+=-+，故A 错误；对于B 选项，()2233BF BC CF AD CP AD AP AC =+=+=+-()22212213333333AD AP AB AD AP AB AD a b c =+--=-+=-+，故B 正确；对于C 选项，()()221212333333DF BF BD BF AD AB b c b a b c =-=--=-+--=+-，故C 正确；对于D 选项，2211111133322636EF BF BE a b a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.10.已知直线1:30l ax y a +-=，直线()2:2160l x a y +--=，则（）A.当3a =时，1l 与2l 的交点为()3,0B.直线1l 恒过点()3,0C.若12l l ⊥，则13a = D.存在a ∈R ，使12l l ∥【答案】ABC 【解析】【分析】将3a =代入解得两直线交点坐标为()3,0可判断A ；令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩可判断B ，由直线垂直的条件可判断C ，由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A ，当3a =时，直线1:390l x y +-=，直线2:2260l x y +-=，联立390,2260,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点为()3,0，故A 正确；对于B ，直线()1:30l x a y -+=，令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()3,0，故B 正确；对于C ：若12l l ⊥，则()2110a a ⨯+⨯-=，解得13a =，故C 正确；对于D ，假设存在a ∈R ，使12l l ∥，则()120a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:260l x y +-=，2:260l x y +-=，两直线重合，舍去，当1a =-时，直线1:30l x y --=，直线2:2260l x y --=，两直线重合，舍去，所以不存在a ∈R ，使12l l ∥，故D 错误.故选：ABC.11.已知x 、y 满足226210x y x y +-++=，则（）A.22x y +3- B.1y x +的最大值为47C.2x y +的最小值为1-D.5【答案】BCD【分析】利用距离的几何意义结合圆的几何性质可判断AD 选项；设1yk x =+，可知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出k 的取值范围，可判断B 选项；设2x y t +=，可知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出t 的取值范围，可判断C 选项.【详解】方程226210x y x y +-++=可变形为()()22319x y -++=，则方程226210x y x y +-++=表示的曲线是以()3,1C -为圆心，以3为半径的圆，对于A 选项，设点(),P x y ，则22xy +表示圆C 上的点P 到原点O 的距离的平方，因为()()2203019-++>，则原点O 在圆C 外，所以，min333OP OC =-==，当且仅当P 为线段OC与圆C 的交点时，OP 取最小值，所以，22xy+的最小值为)2319=-A 错误；对于B 选项，设1yk x =+，则0kx y k -+=，由题意知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，3≤，即27880k k +-≤，解得4477k ---+≤≤，即1y x +的最大值为6247-，故B 正确；对于C 选项，设2x y t +=，即20x y t +-=，由题意知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，3≤，解得11t -≤≤+，故2x y +的最小值为1-，故C 正确；因为()()22319x y -++=，3+=+表示点P 到点()0,3M 的距离，因为()()2203319-++>，所以，min33532MP MC =-==-=，当且仅当点P 为线段MC 与圆C 的交点时，MP 取最小值，的最小值为325+=，故D 正确.故选：BCD.12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为3，2AB =，空间中一点P 满足[]()1,0,1AP xAB y AA x y =+∈，则（）A.若12x =，则三棱锥1P AAC -的体积为定值B.若12y =，则点P 的轨迹长度为3C.若1x y +=，则1PB 的最小值为13D.若x y =，则点P 到BC 的距离的最小值为32【答案】ACD 【解析】【分析】A ：做出图像，由已知和选项找到点P 的位置，判断P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值可求出；B ：作图找到点P 位置，判断轨迹长度即可；C ：由向量共线得到P 的位置，再点到直线的距离求1PB 最小值；D ：建系，用空间向量关系求出P 到BC 的距离，再用二次函数的性质求出最值.【详解】对A，若12x =，分别作棱AB ，11A B 的中点D ，E ，连接DE ，则P 在线段DE 上，易知DE ∥平面1AA C ，故点P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值，所以三棱锥1P AAC -的体积为定值，故A 正确；若12y =，分别作1AA ，1BB 的中点M ，N ，则点P 的轨迹为线段MN ，易知2MN AB ==，故B 错误；若1x y +=，则1A ，P ，B 三点共线，即点P 在线段1A B 上，易求点1B 到1A B 的距离为13，故1PB 的最小值为13，故C 正确；若x y =，则点P 在线段1AB 上，易证DB ，DC ，DE 两两垂直，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()C ，()11,0,3A -，()11,0,3B ，所以()2,0,0AB =，()0AC = ，()BC =- ，()10,0,3AA = ，()()12,0,3AP x AB AA x x =+= ，所以()22,0,3BP AP AB x x =-=- ，所以1cos ,x BP BC BP-= ，所以点P 到BC的距离d ====所以当14x =时，min 32d =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是___________.【答案】2y x =或240x y +-=【解析】【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()1,2求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()1,2求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()1,2，所以2k =，所以直线l 的方程为2y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，则直线l 的方程为12x y a a +=，又因为直线l 过点()1,2，所以1212a a +=，解得：2a =，所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述：直线l 的方程为2y x =或240x y +-=，故答案为：2y x =或240x y +-=．14.已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a ______.【答案】1【解析】【分析】设出圆的一般方程，带入A ，B ，C 坐标，求出圆的方程，再带入点()2,D a 求出答案.【详解】设过A ，B ，C 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，()2240D E F +->，则255052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩，解得6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以过A ，B ，C 的圆的方程为2262150x y x y ++--=，又点D 在此圆上，所以24122150a a ++--=，即2210a a -+=，所以1a =，故答案为：115.如图，已知二面角l αβ--的大小为60 ，A α∈，B β∈，,CD l ∈，,AC l BD l ⊥⊥且2==AC BD ，4CD =，则AB =______.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到AB AC CD DB =++ ，利用()22AB AC CD DB =++ ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角l αβ--的大小为60 ，所以AC 与DB 的夹角为120 ，又因为AB AC CD DB =++，所以()22222222AB AC CD DB AC CD DB AC CD CD DB DB AC=++=+++⋅+⋅+⋅ 1416400222202⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AB =故答案为：16.在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC 周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线:310l x y -+=同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设A 关于直线l 的对称点为P ，关于x 轴的对称点为Q ，PQ 与l 的交点即为B ，与x 轴的交点即为C .如图，,P Q 两点之间线段最短可知，PQ 的长即为ABC 周长的最小值.设(),P x y ，则331,223310,22y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得2,519,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即219,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 关于x 轴的对称点为()2,3Q -，故ABC周长的最小值为PQ ==故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .（1）求边AC 上的高所在直线的方程；（2）求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）4320x y +-=（2）7130x y +-=【解析】【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程，（2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率.【小问1详解】设AC 边上的高所在直线的斜率为k ，直线AC 的斜率()523314AC k -==--，所以1AC k k ⋅=-，所以43k =-，故所求直线方程为()4223y x +=--，即4320x y +-=.【小问2详解】由题意得()22345AB =-+=，22435AC =+=，所以5AB AC ==，则ABC 为等腰三角形，BC 的中点为53,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()32125712AD k -==---，由等腰三角形的性质知，AD 为BAC ∠的平分线，故所求直线方程为()1217y x -=-+，即7130x y +-=.18.已知圆()()22:119C x y -+-=.（1）直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.【答案】（1）2x =-或4380x y ++=（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线1l 的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【小问1详解】由题意得()1,1C ，圆C 的半径3r =，当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，由直线1l 与圆C相切，得3=，解得43k =-，所以直线1l 的方程为4380x y ++=；当直线1l 的斜率不存在时，直线1l 的方程为2x =-，显然与圆C 相切；综上，直线1l 的方程为2x =-或4380x y ++=.【小问2详解】由题意得圆心C 到直线2l的距离1d =，所以2EF ==点P 到直线2l 的距离的最大值为314r d +=+=，则PEF !的面积的最大值()max 11422S EF r d =⨯⨯+=⨯=.19.不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.（1）求楔形体的表面积；（2）求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.【答案】（1）10+（2）26【解析】【分析】（1）由题意可知求出楔形体侧面等腰梯形的高即可求出表面积为10+（2）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量即可求出平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.【小问1详解】易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3=，所以该楔形体的表面积为()11133413102⨯+⨯+⨯+=+【小问2详解】以点D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()3,0,0A，()3,3,0B，()1,2,3P，()1,1,3Q，()2,2,3N，则()2,2,3AP=-，()2,1,3AQ=-，()1,1,3BN=--，()2,2,3BQ=--.设平面APQ的法向量为()1111,,n x y z=，平面BNQ的法向量为()2222,,n x y z=，则111111112230230AP n x y zAQ n x y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得10y=，令12z=，则13x=，，所以平面APQ的一个法向量为()13,0,2n=，同理得22221222302230BN n x y zBQ n x y z⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，解得20z=，令21x=，则21y=-；即平面BNQ的一个法向量为()21,1,0n=-.设平面APQ与平面BNQ的夹角为θ，则1212cos26n nn nθ⋅===，所以平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.20.已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()22134x y -+-=（2）存在定点()3,3D -满足条件【解析】【分析】（1）先求MN 的中垂线所在直线方程，根据圆的性质求圆心和半径，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()121220kx x kt x x -+=，联立方程，利用韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意得MN 的中点E 的坐标为()0,2，直线MN 的斜率为1-，因为CE MN ⊥，所以直线CE 的斜率为1，所以直线CE 的方程为2y x -=，即2y x =+，解方程组2250y x x y =+⎧⎨+-=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，故()1,3C ，所以圆C 的半径2r CM ===，所以圆C 的方程为()()22134x y -+-=.【小问2详解】由()()223134y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()221230k x x +--=，可得()241210k ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221x x k +=+，12231x x k =-+.（*）设(),3D t ，则113AD y k x t -=-，223BD y k x t -=-（AD k ，BD k 分别为直线AD ，BD 的斜率）.因为直线AD ，BD 的倾斜角互补，所以0AD BD k k +=，即1212330y y x t x t--+=--，即()()()()1221330y x t y x t --+--=，即()121220kx x kt x x -+=，将（*）式代入得2262011k kt k k --=++，整理得()2301k t k+=+对任意实数k 恒成立，故30t +=，解得3t =-，故点D 的坐标为()3,3-.所以在直线3y =上存在定点()3,3D -满足条件..21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等边三角形，顶点P 在底面上的射影在正方形ABCD 外部，设点E ，F 分别为PA ，BC 的中点，连接BE ，PF.（1）证明：//BE 平面PDF ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为3，设点G 为棱PB 上的一个动点（不含端点），求直线AG 与平面PCD 所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）取AD 的中点M ，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.（2）利用给定体积求出锥体的高，以点M 为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，如图，由E 为PA 的中点，得//EM PD ，而EM ⊄平面PDF ，PD ⊂平面PDF ，则//EM 平面PDF ，又//MD BF ，且MD BF =，即四边形BMDF 为平行四边形，则//MB DF ，又MB ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，于是//MB 平面PDF ，显然MB EM M = ，,MB EM ⊂平面BEM ，因此平面//BEM 平面PDF ，又BE ⊂平面BEM ，所以//BE 平面PDF .【小问2详解】连接MF ，设该四棱锥的高为h ，则体积为21233h ⨯⨯=，h =，连接PM ，则,PM AD FM AD ⊥⊥，,,FM PM M FM PM ⋂=⊂平面PMF ，于是AD ⊥平面PMF ，而AD ⊂平面ABCD ，则平面PMF ⊥平面ABCD ，在平面PMF 内过M 作Mz FM ⊥，而平面PMF 平面ABCD FM =，从而Mz ⊥平面ABCD ，显然,,MA MF Mz 两两垂直，以点M 为坐标原点，直线,,MA MF Mz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Mxyz ，则PM =，(0,P -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，则(1,3,PB = ，(1,3,PC =- ，()0,2,0DC = ，设()01PG PB λλ=<< ，则(),3,PG λλ=，点)(),31G λλλ--，)()1,31AG λλλ=--- ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则3020n PC x y n DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =，得()n = ，设直线AG 与平面PCD 所成的角为θ，则sin cos ,3n AG n AG n AG θ⋅=〈〉=== 令1t λ-=，则1t λ=-，且01t <<，因此sin 333θ===，所以当23t =，即13λ=时，sin θ取得最大值，且最大值为3.22.已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PEPF =，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.（1）求曲线C 的方程；（2）证明：直线AB 过定点.【答案】（1）224x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据2PE PF =设点代入即可得到曲线C 的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到AB 方程，进而得到AB 过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到AB 过该定点即可.【小问1详解】设(),P x y ，由2PE PF =，得2PE PF ==，两边平方并化简，得曲线C 的方程为224x y +=.【小问2详解】由（1）得()2,0D -，设直线AD 、BD 的斜率分别为1k ，()212k k k >，如图所示，当AB 不垂直于x 轴时，设()1:2AD y k x =+，联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()222211114440k x k x k +++-=，解得2x =-（舍）或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224,11k k A k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理得2222222224,11k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，所以AB 的斜率()()()()()()122222122112222222121221221244414111222221121111AB k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++==---+--+-++()()()()1221122121124414k k k k k k k k k k k k ---==+-+，因为1213k k =-，代入可得()1243AB k k k =-+，故AB 的方程为()2112211214224131k k y x k k k k ⎛⎫--=-- ⎪+++⎝⎭，即()()()()()()()2211112222121121211218148412443133131k k k k k y x x k k k k k k k k k k k -++=-++=-++++++++，()()()()1212124441,333x x k k k k k k =-+=--+++故AB 过定点()1,0；当AB x ⊥轴时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以0012001223y y k k x x -=⋅=-++，即()220032y x =+，又因为2222000044x y y x +=⇒=-，代入可得20020x x +-=，解得01x =或02x =-（舍），所以((,1,A B（或((1,,1,A B ），所以AB 的方程为1x =，过点()1,0.综上，直线AB 过定点()1,0T。
2023-2024学年安徽省宿州市示范高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省宿州市示范高中高二（上）期中数学试卷一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线3x −√3y +1=0的倾斜角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线l 过点M （﹣1，0），且一个方向向量为v →=(1，2)，则直线l 的方程是（ ） A ．x ﹣2y +1＝0B ．x +2y +1＝0C ．2x ﹣y +2＝0D ．2x +y ﹣2＝03．“﹣6＜m ＜4”是直线l ：x +y ﹣m ＝0和圆C ：（x ﹣1）2+（y +2）2＝8相交的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知直线l 1：x +2y +3＝0，l 2：x ﹣3y +2＝0，则直线l 1，l 2的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π25．在边长为a 的等边三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B ﹣AD ﹣C 后，BC =√32a ，此时二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．若圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣m ）2＝4与圆O ：x 2+y 2＝9有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．[−2√6，2√6] B ．[−4√3，4√3]C ．(−2√6，2√6)D ．[2√6，2√42]∪[−2√42，2√6]7．在三棱锥O ﹣ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，若OG →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝（ ）A ．14B ．23C ．34D ．18．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，当A 1、E 、F 、C 1共面时，直线C 1F 和平面A 1DE 夹角的正弦值为（ ）A ．√3010B ．√3030C ．√7010D ．√1030二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．下列结论正确的是（ ）A ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B ．若直线ax +y ﹣2＝0与直线2x ﹣y ﹣4＝0垂直，则a =12C ．过点A （﹣1，2），B （3，﹣2）的直线的倾斜角为45°D ．点（5，0）关于直线y ＝2x 的对称点的坐标为（﹣3，4）10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量B ．与AC →同向的单位向量的坐标是(−√66，√63，√66) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是−√5511D ．平面ABC 一个法向量的坐标是（1，﹣2，5）11．已知平面上一点M （5，0），若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A ．x ﹣y ﹣1＝0B ．y ＝5C ．4x ﹣3y ＝0D ．2x ﹣y +1＝012．已知圆O ：x 2+y 2＝9，直线l ：kx −y +√3k +1=0，下列说法正确的是（ ） A ．直线l 与圆O 的位置关系与k 有关B ．直线l 截圆O 所得弦长最短时，直线l 的方程是√3x −y +4=0C ．圆心O 到直线l 距离的最大值为2D ．直线l 截圆O 所得弦长范围是[2√5，6]三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知a →=（2，1，3），b →=（﹣1，0，1），c →=（1，u ，3），且a →，b →，c →共面，则u ＝ ．14．不论m 取何值，直线l ：（2m +1）x +（m ﹣1）y +3＝0恒过一定点，该定点坐标为15．已知直线3x ﹣4y +25＝0及直线3x ﹣4y ﹣15＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的半径是 16．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，经过点P （x 0，y 0，z 0）且法向量为m →=(A ，B ，C)的平面点法式方程为A （x ﹣x 0）+B （y ﹣y 0）+C （z ﹣z 0）＝0，经过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为n →=(μ，υ，ω)(μυω≠0)的空间直线l 的方程为x−x 0μ=y−y 0υ=z−z 0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线l 1的方程是x1=y 1=z1，直线l 2是两个平面x ﹣y +7＝0与4y +2z +1＝0的交线，则直线l 1，l 2夹角为四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，3），B （4，2），C （3，﹣1）． （1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 外接圆的方程．18．（12分）已知空间向量a →=(2，−1，3)，b →=(m ，4，n)． （1）若c →∥a →，且a →⋅c →=28，求c →的坐标； （2）若a →⊥b →，且m ＞0，n ＞0，求mn 的最大值． 19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +2y +2＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆外一点P （x 0，y 0） 向该圆引一条切线，切点是M ，若|PM |＝|PO |（O 是原点），求|PM |的最小值及对应的P 点坐标．20．（12分）如图所示，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1上的点，且BM ＝2MA 1，B 1N ＝2NC 1．用空间向量解决如下问题：（1）若∠BAA 1＝∠CAA 1，AB ＝AC ，证明：BC ⊥AA 1； （2）证明：MN ∥平面ACC 1A 1．21．（12分）如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，∠ADP ＝120°，AD ＝PD ＝2AB ＝2BC ＝2，平面ABCD ⊥平面P AD ，M 为P A 的中点．（1）求点M 到平面PCD 的距离；（2）求平面PCD 和平面ADC 所成锐二面角大小的余弦值．22．（12分）已知直线BC 经过定点N （0，2），O 是坐标原点，点M 在直线BC 上，且OM ⊥BC ． （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点T （﹣3，0），过点T 的直线交轨迹E 于点P 、Q ，且OP →⋅OQ →=65，求|PQ |．2023-2024学年安徽省宿州市示范高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线3x −√3y +1=0的倾斜角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：直线3x −√3y +1=0的斜率为√3=√3，因为倾斜角的范围为[0，π），所以其倾斜角为60°． 故选：B ．2．已知直线l 过点M （﹣1，0），且一个方向向量为v →=(1，2)，则直线l 的方程是（ ） A ．x ﹣2y +1＝0B ．x +2y +1＝0C ．2x ﹣y +2＝0D ．2x +y ﹣2＝0解：由直线的方向向量v →=(1，2)可知其斜率为2，故该直线方程为y ＝2（x +1）⇒2x ﹣y +2＝0． 故选：C ．3．“﹣6＜m ＜4”是直线l ：x +y ﹣m ＝0和圆C ：（x ﹣1）2+（y +2）2＝8相交的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：若直线l 与圆C 相交，则圆心到直线的距离d =|1−2−m|22√2， 解得：﹣5＜m ＜3，集合{m |﹣5＜m ＜3}⫋{m |﹣6＜m ＜4}．所以“﹣6＜m ＜4”是直线l ：x +y ﹣m ＝0和圆C ：（x ﹣1）2+（y +2）2＝8相交的必要不充分条件． 故选：B ．4．已知直线l 1：x +2y +3＝0，l 2：x ﹣3y +2＝0，则直线l 1，l 2的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：如图所示：直线l1，l2的倾斜角分别为∠ABC，∠FCO，l1：x+2y+3＝0，l2：x﹣3y+2＝0即l1：y=−x2−32，l2：y=x3+23，从而tan∠ABC=−12，tan∠FCO=13，所以tan∠DBC=tan(π−∠ABC)=12，tan∠BCD=tan∠FCO=13，所以tan∠FDE=tan(∠DBC+∠BCD)=tan∠DBC+tan∠BCD1−tan∠DBC⋅tan∠BCD=12+131−12×13=1，而0＜∠FDE＜π，所以直线l1，l2的夹角即为∠FDE=π4．故选：B．5．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=√32a，此时二面角B﹣AD﹣C的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°解：如图所示：因为AD⊥BC，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，AD⊥BD，AD⊥CD，故∠BDC即为二面角B﹣AD﹣C的平面角，如图所示：又因为BD=CD=a2，BC=√3a2，所以cos∠BDC=(a2)2+(a2)2−(√3a2)22×a2×a2=−12，又∠BDC∈（0°，120°），所以∠BDC ＝120°． 故选：D ．6．若圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣m ）2＝4与圆O ：x 2+y 2＝9有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．[−2√6，2√6] B ．[−4√3，4√3]C ．(−2√6，2√6)D ．[2√6，2√42]∪[−2√42，2√6]解：由题意知，圆C 的圆心坐标为C （1，m ），半径r 1＝2， 圆O ：x 2+y 2＝9的圆心坐标为O （0，0），半径r 2＝3， 则|CO|=√(1−0)2+(m −0)2=√m 2+1， 因为圆C 与圆O 有公共点， 所以r 2﹣r 1≤|CO |≤r 2+r 1， 即1≤√m 2+1≤5， 解得−2√6≤m ≤2√6． 故选：A ．7．在三棱锥O ﹣ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，若OG →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝（ ）A ．14B ．23C ．34D ．1解：根据题意，G 1是△ABC 的重心，则OG 1→=OA →+AG 1→=OA →+23AE →=OA →+13（AB →+AC →）=OA →+13AB →+13AC →=OA →+13（OB →−OA →）+13（OC →−OA →）=13OA →+13OB →+13OC →， 又由G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，则OG →=23OG 1→=29OA →+29OB →+29OC →，必有x ＝y ＝z =29，故x +y +z =23． 故选：B ．8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，当A 1、E 、F 、C 1共面时，直线C 1F 和平面A 1DE 夹角的正弦值为（ ）A ．√3010B ．√3030C ．√7010D ．√1030解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为6，AE ＝BF ＝a ，则可得A 1（6，0，6），D （0，0，0），C 1（0，6，6），E （6，a ，0），F （6﹣a ，6，0）， 当A 1、E 、F 、C 1四点共面时，设平面为α，且α∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1C 1，α∩平面ABCD ＝EF ，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ， 所以A 1C 1∥EF ， 所以不妨设EF →=λA 1C 1→，又因为EF →=(−a ，6−a ，0)，A 1C 1→=(−6，6，0)， 所以{−a =−6λ6−a =6λ，解得{a =3λ=12， 则DA 1→=(6，0，6)，DE →=(6，3，0)，C 1F →=(3，0，−6)， 设平面A 1DE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DA 1→=6x +6z =0n →⋅DE →=6x +3y =0，取x ＝1，可得y ＝﹣2，z ＝﹣1，所以n →=(1，−2，−1)，设平面A 1DE 与直线C 1F 所成的角为θ，则sinθ=|cos ＜n →，C 1F →＞|=|n →⋅C 1F →||n →|⋅|C 1F →|=9√6×3√5=√3010． 故选：A ．二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．下列结论正确的是（ ）A ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B ．若直线ax +y ﹣2＝0与直线2x ﹣y ﹣4＝0垂直，则a =12C ．过点A （﹣1，2），B （3，﹣2）的直线的倾斜角为45°D ．点（5，0）关于直线y ＝2x 的对称点的坐标为（﹣3，4）解：A 中，直线的倾斜角在[0，π2）和（π2，π）上，倾斜角越大，其斜率才越大，所以A 不正确；B 中，若直线ax +y ﹣2＝0与直线2x ﹣y ﹣4＝0垂直，可得2a ﹣1＝0，解得a =12，所以B 正确； C 中，过点A （﹣1，2），B （3，﹣2）的斜率为2−(−2)−1−3=−1，设倾斜角为α，α∈[0，π），所以tan α＝﹣1， 所以α=3π4=135°，所以C 不正确；D 中，设点（5，0）关于直线y ＝2x 的对称点（a ，b ），即{b a−5=−12b 2=2⋅a+52，解得a ＝﹣3，b ＝4， 即对称点的坐标为（﹣3，4），所以D 正确． 故选：BD ．10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量B ．与AC →同向的单位向量的坐标是(−√66，√63，√66) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是−√5511D ．平面ABC 一个法向量的坐标是（1，﹣2，5）解：由题意AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)，BC →=(−3，1，1)， 对于A ，因为2−1≠12，所以AB →与AC →不是共线向量，故A 错误；对于B ，与AC →同向的单位向量是AC →|AC →|=222，2，1)=(−√66，√63，√66)，故B 正确；对于C ，AB →与BC →夹角的余弦值是AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|=√22+12+02×√(−3)2+12+12=√55=−√5511，故C 正确； 对于D ，记a →=(1，−2，5)≠0→，所以AB →⋅a →=2×1+1×(−2)+0×5=0，AC →⋅a →=−1×1+2×(−2)+1×5=0，从而平面ABC 一个法向量的坐标是（1，﹣2，5），故D 正确． 故选：BCD ．11．已知平面上一点M （5，0），若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A ．x ﹣y ﹣1＝0B ．y ＝5C ．4x ﹣3y ＝0D ．2x ﹣y +1＝0解：由题意知，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则点M （5，0）到直线的距离小于或等于4， 即“切割型直线”需满足该直线到点M 的距离不大于4． 对于A ，点M （5，0）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离为d =|5−1|√2=2√2＜4，故A 符合题意； 对于B ，点M （5，0）到直线y ＝5的距离为d ＝5＞4，故B 不符合题意； 对于C ，点M （5，0）到直线4x ﹣3y ＝0的距离为d =|20|5=4，故C 符合题意； 对于D ，点M （5，0）到直线2x ﹣y +1＝0的距离为d =|10+1|5=11√55＞4，故D 不符合题意．故选：AC ．12．已知圆O ：x 2+y 2＝9，直线l ：kx −y +√3k +1=0，下列说法正确的是（ ） A ．直线l 与圆O 的位置关系与k 有关B ．直线l 截圆O 所得弦长最短时，直线l 的方程是√3x −y +4=0C ．圆心O 到直线l 距离的最大值为2D ．直线l 截圆O 所得弦长范围是[2√5，6] 解：作出示意图如图所示：对于A ，因为圆O ：x 2+y 2＝9的圆心O （0，0）到直线l ：kx −y +√3k +1=0的距离为d =|√3k+1|√k +1，而圆O ：x 2+y 2＝9的半径为r ＝3， 所以d 2−r 2=(√3k+1)2k 2+1−9=(3k 2+2√3k+1)−9(k 2+1)k 2+1=−6k 2+2√3k−8k 2+1，而Δ=(2√3)2−4×6×8=−180＜0，d ≥0，所以d ＜r ，即直线l 与圆O 的位置关系一直相交，与k 无关，故A 错误；对于B ，由弦长公式l =2√r 2−d 2可知，若直线l 截圆O 所得弦长最短时，圆心到直线的距离d 应该最大，而直线l ：kx −y +√3k +1=0即l ：k(x +√3)−(y −1)=0过定点P(−√3，1)， 所以当且仅当OP ⊥l 时，d 最大，此时k OP =−3−0=−√33，k ⋅k OP =−1，解得k =√3，所以此时直线l 的方程是√3x −y +4=0，故B 正确；对于C ，由B 选项分析可知当OP ⊥l 时，d 最大，此时d =|OP|=√(−√3)2+12=2，故C 正确； 对于D ，由A 选项分析可知r 2−d 2=6k 2−2√3k+8k 2+1=6+−2√3k+2k 2+1=f(k)，令t =−2√3k +2，即k =2−t 2√3=√3(2−t)6， 从而r 2−d 2=6+t (√3(2−t)6)2+1=6+12t t 2−4t+16=g(t)，g(t)=6+12tt 2−4t+16，当t ＝0时，g （t ）＝g （0）＝6， 当t ＞0时，6＜g(t)=6+12t+16t−4≤612216−4=9，当且仅当t ＝4时，g （t ）＝g （4）＝9， 当t ＜0时，6＞g(t)=6+12−[(−t)+(−16t)]−4≥6−216−4=5，当且仅当t ＝﹣4时，g （t ）＝g （﹣4）＝5，综上所述，r 2﹣d 2∈[5，9]，从而直线l 截圆O 所得弦长2√5≤l =2√r 2−d 2≤2√9=6，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知a →=（2，1，3），b →=（﹣1，0，1），c →=（1，u ，3），且a →，b →，c →共面，则u ＝ 45．解：由题意知，a →，b →，c →共面，则存在实数x ，y 使得c →=xa →+yb →，即（1，u ，3）＝x （2，1，3）+y （﹣1，0，1）， 所以{1=2x −yu =x 3=3x +y ，解得u =45．故答案为：45．14．不论m 取何值，直线l ：（2m +1）x +（m ﹣1）y +3＝0恒过一定点，该定点坐标为 （﹣1，2） ． 解：由（2m +1）x +（m ﹣1）y +3＝0⇔x ﹣y +3+（2x +y ）m ＝0， 令{x −y +3=02x +y =0，解得{x =−1y =2，即该直线过定点（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．15．已知直线3x ﹣4y +25＝0及直线3x ﹣4y ﹣15＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的半径是 4√2 ． 解：由题意直线3x ﹣4y +25＝0与直线3x ﹣4y ﹣15＝0平行， 则它们之间的距离为d =|25−(−15)|√3+(−4)2=405=8，从而圆C 的圆心到两直线的距离均为d 2=4，又因为直线3x ﹣4y +25＝0及直线3x ﹣4y ﹣15＝0截圆C 所得的弦长均为l ＝8，所以圆C 的半径是√(d 2)2+(l2)2=√42+42=4√2．故答案为：4√2．16．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，经过点P （x 0，y 0，z 0）且法向量为m →=(A ，B ，C)的平面点法式方程为A （x ﹣x 0）+B （y ﹣y 0）+C （z ﹣z 0）＝0，经过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为n →=(μ，υ，ω)(μυω≠0)的空间直线l 的方程为x−x 0μ=y−y 0υ=z−z 0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线l 1的方程是x1=y 1=z1，直线l 2是两个平面x ﹣y +7＝0与4y +2z +1＝0的交线，则直线l 1，l 2夹角为π2．解：由题意空间直线l 1：x1=y 1=z1的方向向量为a →=(1，1，1)，直线l 2是两个平面x ﹣y +7＝0与4y +2z +1＝0的交线，所以直线l 2上的点满足{x −y +7=04y +2z +1=0，不妨设y ＝t ，则x =t −7，z =−1−4t 2，所以x +7＝t ，2z+1−4=z+12−2=t ，所以直线l 2的方程为x+71=y 1=z+12−2=t ，从面直线l 2：x+71=y 1=z+12−2=t 的方向向量为b →=(1，1，−2)，设直线l 1，l 2的夹角为θ，所以cos θ＝|cos ＜a →，b →＞|=|a →⋅b →||a →|⋅|b →|=3×6=0，所以θ=π2．故答案为：π2．四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，3），B （4，2），C （3，﹣1）． （1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 外接圆的方程．解：（1）因为k BC =−1−23−4=3，设BC 边上的高所在直线的斜率为k ， 则k BC ⋅k =−1⇒k =−13， 因为点A （1，3）在高线上，所以y −3=−13(x −1)，即x +3y ﹣10＝0；（2）设△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0）， 则{1+9+D +3E +F =016+4+4D +2E +F =09+1+3D −E +F =0，解得E ＝﹣2，D ＝﹣4，F ＝0， 故△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0．18．（12分）已知空间向量a →=(2，−1，3)，b →=(m ，4，n)． （1）若c →∥a →，且a →⋅c →=28，求c →的坐标； （2）若a →⊥b →，且m ＞0，n ＞0，求mn 的最大值．解：（1）由题意c →∥a →，a →=(2，−1，3)≠0→，所以不妨设c →=λa →， 又a →⋅c →=28，从而a →⋅c →=λa →2=λ|a →|2=λ×[22+(−1)2+32]=28， 解得λ＝2，所以c →=λa →=2a →=(4，−2，6)．（2）由题意a →⊥b →，所以a →⋅b →=2m −4+3n =0，即2m +3n ＝4， 又因为m ＞0，n ＞0，所以由基本不等式可得2m +3n =4≥2√6mn ，等号成立当且仅当m =1，n =23，解得mn ≤23， 所以当且仅当m =1，n =23时，mn 的最大值为23．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +2y +2＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆外一点P （x 0，y 0） 向该圆引一条切线，切点是M ，若|PM |＝|PO |（O 是原点），求|PM |的最小值及对应的P 点坐标．解：（ 1）将圆C 配方得（x ﹣2）2+（y +1）2＝3．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ， 由直线与圆相切得√k 2+1=√3，即k ＝﹣2±√6，从而切线方程为y ＝（﹣2±√6）x ；②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x +y ﹣a ＝0， 由直线与圆相切得√2=√3，解得a ＝1±√6，∴x +y ﹣1−√6=0，或x +y ﹣1+√6=0．∴所求切线的方程为y ＝（﹣2±√6）x 或x +y ﹣1−√6=0，或x +y ﹣1+√6=0．（2）由|PO |＝|PM |得，x 12+y 12=（x 1﹣2）2+（y 1+1）2﹣3⇒2x 1﹣y 1﹣1＝0，即点P 在直线l ：2x ﹣y ﹣1＝0上，|PM |取最小值时即 |OP |取得最小值，直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为y =−12．解方程组{2x −y −1=0y =−12x ，得P 点坐标为（25，−15），|PM |最小值为√425+125=√55． 20．（12分）如图所示，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1上的点，且BM ＝2MA 1，B 1N ＝2NC 1．用空间向量解决如下问题：（1）若∠BAA 1＝∠CAA 1，AB ＝AC ，证明：BC ⊥AA 1； （2）证明：MN ∥平面ACC 1A 1．证明：（1）由题意BC →=−AB →+AC →，且∠BAA 1＝∠CAA 1，AB ＝AC ，所以BC →•AA 1→=（−AB →+AC →）•AA 1→=AC →•AA 1→−AB →•AA 1→=|AC →|•|AA 1→|cos ∠CAA 1﹣|AB →|•|AA 1→|cos ∠BAA 1＝0，所以BC →⊥AA 1→，即BC ⊥AA 1；（2）由题意MN →=MA 1→+A 1C 1→+C 1N →=13BA 1→+AC →+23C 1B 1→=13（BA →+AC →+13CA →）=13AA 1→+23AC →，这表明了MN →，AA 1→，AC →共面，而M ，N ∉面ACC 1A 1， 所以MN ∥平面ACC 1A 1．21．（12分）如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，∠ADP ＝120°，AD ＝PD ＝2AB ＝2BC ＝2，平面ABCD ⊥平面P AD ，M 为P A 的中点． （1）求点M 到平面PCD 的距离；（2）求平面PCD 和平面ADC 所成锐二面角大小的余弦值．解：（1）如图所示，平面ABCD ⊥平面P AD ，∠BAD ＝90°，即BA ⊥AD ， 又平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，BA ⊂平面ABCD ，所以BA ⊥平面P AD ， 设Ax 轴⊥AD ，Ax 轴⊂平面P AD ，又AD ⊂平面P AD ，所以BA ⊥Ax 轴，BA ⊥AD ，分别以AD ，AB 所在直线分别为y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AD ＝2，所以由题意A （0，0，0），D （0，2，0），又因为BC ∥AD ，BA ⊥平面P AD ，AB ＝BC ＝1，所以B （0，0，1），C （0，1，1）， 又因为∠ADP ＝120°，AD ＝PD ＝2，所以∠PDy ＝60°，x P =PDsin∠PDy =√3，y p ＝AD +PD cos ∠PDy ＝3， 即P(√3，3，0)，又M 为P A 的中点，所以M(√32，32，0)，所以MP →=(√32，32，0)，CP →=(√3，2，−1)，DP →=(√3，1，0)，设平面PCD的法向量为n 1→=（x 1，y 1，z 1），则{CP →⋅n 1→=√3x 1+2y 1−z 1=0DP →⋅n 1→=√3x 1+y 1=0，令x 1＝1，解得y 1=z 1=−√3，即取平面PCD 的一个法向量为n 1→=(1，−√3，−√3)， 所以点M 到平面PCD 的距离为d =|MP →⋅n 1→||n 1→|=|−√3|√1+3+3=√217；（2）由（1）可知平面PCD 的法向量为n 1→=(1，−√3，−√3)，因为A （0，0，0），D （0，2，0），C （0，1，1），所以AD →=(0，2，0)，AC →=(0，1，1)， 设平面ACD的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，则{AC →⋅n 2→=y 2+z 2=0AD →⋅n 2→=2y 2=0，令x 2＝1，解得y 2＝z 2＝0，即取平面ACD 的一个法向量为n 2→=(1，0，0)， 不妨设平面PCD 和平面ADC 所成锐二面角大小为θ， 所以cos θ=|cos ＜n 1→，n 2→＞|=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=11+3+3=√77，即平面PCD 和平面ADC 所成锐二面角大小的余弦值为√77．22．（12分）已知直线BC 经过定点N （0，2），O 是坐标原点，点M 在直线BC 上，且OM ⊥BC ． （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点T （﹣3，0），过点T 的直线交轨迹E 于点P 、Q ，且OP →⋅OQ →=65，求|PQ |．解：（1）依题意可知，直线NM 即为直线BC ，显然当直线OM 与直线BC 的斜率不存在时不合题意， 故直线OM 与直线BC 的斜率都存在，设M （x ，y ），（x ≠0），因为OM ⊥BC ，所以k OM •k BC ＝﹣1， 所以y x .y=2x=−1，即x 2+y 2﹣2y ＝0，（x ≠0），所以点M 的轨迹E 的方程为x 2+y 2﹣2y ＝0（x ≠0）；（2）依题意，过点T 的直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝k （x +3），联立{x 2+y 2−2y =0y =k(x +3)，整理得（1+k 2）x 2+（6k 2﹣2k ）x +9k 2﹣6k ＝0①，所以Δ＝（6k 2﹣2k ）2﹣4（1+k 2）（9k 2﹣6k ）＞0，即4k 2﹣3k ＜0，所以0＜k ＜34， 由直线不经过点A ，所以0＜k ＜34且k ≠23， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1，x 2为①式两根， 所以x 1+x 2=2k−6k 21+k2，x 1x 2=9k 2−6k 1+k2，又OP →•OQ →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+k （x 1+3）•k （x 2+3）＝（1+k 2）x 1x 2+3k 2（x 1+x 2）+9k 2=18k 2−6k +3k22k−6k21+k2=18k 2−6k 1+k2=65，即14k 2﹣5k ﹣1＝0，所以k =12或k =−17（舍去），故所求直线l 为x ﹣2y +3＝0， 此时直线l 一定与轨迹E 交于不同两点P ，Q 又圆心E （0，1）到直线l 的距离d =|0−2×1+3|5=15，所以|PQ|=2√1−d 2=4√55．。
安徽省肥东县第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理
肥东二中2020-2021学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷（理科）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．平行四边形D ．四边形2.如图，O A B '''△是OAB △的直观图，则AOB △的面积是（ ）（第2题图）（第4题图） A ．6B ． 32C ．62D ．123．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均可能 4．在如图所示的正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A ．B ．C ．D ．5．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ）， 则此几何体的体积是（ ） A ．396cm B ． 380cm C ．(380162cm + D ．3224cm 36．已知P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱DD 1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP 平行的有( )A ．3个B ．6个C ．9个D ．12个7、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )．2444正视图俯视图左视图（第5题图）ππ221 .+Aππ441 .+Bππ21 .+Cππ241 .+D8．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果，，交于一点，则（）A．一定在直线上 B．一定在直线上C．一定在直线或上 D．既不在直线上，也不在直线上9．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. 12πB. 323π C. 8π D. 4π10.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）（第10题图）（第11题图）A. 217B. 25C. 3D. 211.如图，E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，则( )A.BD1∥CEB.AC1⊥BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC112.在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是14．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为 。
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．如图，在四棱锥P ABCD -中，AP a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，AD c=uuu r r ，若PE ED =uuu r uuu r ，2CF FP =uuu r uuu r，则（ ）四、问答题17．已知ABC V 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .(1)求边AC 上的高所在直线的方程；(2)求BAC Ð的角平分线所在直线的方程.18．已知圆()()22:119C x y -+-=.(1)直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；(2)设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.19．不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.(1)求楔形体的表面积；(2)求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.20．已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.(1)求圆C 的方程；(2)设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.五、证明题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等边三角形，顶点P 在底面上的射影在正方形ABCD 外部，设点E ，F 分别为PA ，BC。
高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版
2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =，则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆，则椭圆方程可化为2211y x m +=-，则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】A【分析】根据平行列式，求得a 的值，进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ，所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-，()()()21110a a a a a +---=，()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦，解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时，12:10,:20l x l x --=-+=，即12:1,:2l x l x =-=，两直线平行，符合题意.当1a =时，12:10,:220l y l y -=+=，即12:1,:1l y l y ==-，两直线平行，符合题意.当2a =-时，12:3210,:3220l x y l x y --=-++=，即12:3210,:3220l x y l x y --=--=，两直线平行，符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选：A3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，若1AM AB AA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．855D ．82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设(,0,)M a b ，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、，知点M 在平面11ABB A 内，以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ，设(,0,)M a b ，则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ，由1D M CP ⊥，得1416280D M CP a b ⋅=-++-=，即24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，则4245525BQ ⨯==，又BC ⊥平面11ABB A ，故BC BQ ⊥，所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，将军从点()2,0A 出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A ．101-B ．251-C ．25D ．10【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤，圆：221x y +=的圆心为原点，半径为1，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()2,0A ，所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，则2422x y ++=即60x y +-=，又12AA yk x '==-，联立解得：42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2A '，所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得总路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离，即为11OA OB OA ''-=-=.故选：B.6．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC 的重心，则QR 的长度等于（）AB．9C．9D．9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出ABC 各顶点以及重心的坐标，设(),0P a ，04a <<.求出直线BC 的方程，根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标，表示出RQ 的方程，代入重心坐标，求出a 的值，得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭，BC 方程为40x y +-=，设(),0P a ，04a <<.根据光的反射原理以及已知可知，点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上，点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上，即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得1144x y a =⎧⎨=-⎩，所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线，所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+，所以，直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，整理可得2340a a -=，解得43a =或0a =（舍去），所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+，整理可得3640x y -+=.所以，R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，QR ==.故选：B.7．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B ．94C ．3D ．52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以22333BG BE ==所以AG ===r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C8．已知M 为椭圆：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则离心率e =（）A ．12B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，继而推出,,a b c 的关系，求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，则2m n a +=，由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+，即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++，在12MF F △中，由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+，故32cos 2n m m c β-=+，又2224cos 4c n mcmβ+-=，故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=，即[4()][2()]0c m n c n m -+--=，即4c m n =+或2c n m =-，结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<，故4c m n =+，即142,2c c a e a =∴==，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求,,a b c 之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得,,a b c 的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积可能是（）A ．1B ．3C ．4D ．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段AB 长，点P 到直线AB 的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点(2,0),(0,2)A B --，则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r =，则点C 到直线AB 的距离4222r =>，因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈，ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈，显然BC 满足，AD 不满足.故选：BC10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则15m =±D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ，由点(1,1)在圆1C 的内部，得2112100m m ++-<+，解得42m -<<，故A 错误；对于B ，若2m =，则圆221:41040C x y x y ++-+=，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=，故B 正确；对于C ，圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=，圆心为()1,5C m -，半径15r =，圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=，圆心为()20,2C -，半径23r =，若圆12,C C 外切，则1212C C r r =+，即24953m +=+，解得15m =±，故C 正确；对于D ，当l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，圆心2C 到l 的距离23d r ==，满足要求，当l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x =-+，圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+，解得724k =，所以l 的方程是724270x y -+=，故D 正确.故选：BCD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CP a a =≤≤，则(),2,0P a ，()2,1,2E ，()()12,0,0,0,2,2A C ，()10,0,2D ，则()12,2,2AC =- ，()1,2,2D P a =-，112442D AC a a P ⋅=-+-=-，当0a =时，即P 点与C 点重合时，11D P AC ⊥，故A 正确.由1PE D E =2a =，此时P 点与B 点重合，故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值，故C 错误.又()12,1,0D E = ，()1,2,2D P a =-，设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ，由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩，令1x =则=2y -，22a z =-，11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =，12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤，122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦，故D 错误.故选：AB12．已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B．椭圆C C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为2636c e a ===，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ，则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ，所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-，所以()1m =-，所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14．若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=，则a b=．【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==，()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d，()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ，5==，所以125d d ==.因为10AB =，1210d d +=，所以当点A ，B 在直线10ax by ++=同侧时，直线AB 与直线10ax by ++=平行，当点A ，B 在直线10ax by ++=异侧时，A ，B 关于直线10ax by ++=对称，因为直线AB 的斜率174173k +==--，直线10ax by ++=的斜率为ab-，所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43a b =或34ab=-.故答案为：34-或43.15．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±，所以22ba=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又124x x +=，1212122,1y y y y x x -+==--，所以22210a b-=②，解①②得3a b ==，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二：将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±，所以22b a =，直线AB 的方程是1(2)y x -=--，即3y x =-，代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=，则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122264a x x a b+==+，即222a b =②，解①②得3a b ==，满足0∆>，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为：3.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，圆22:1O x y +=，在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数），则Q 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ，(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，即可求出λ与0x ，从而得解.【详解】设00(,)Q x y ，(,)P x y ，则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数)，λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-，整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=，故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上，令x y m +=，则0x y m +-=，所以直线0x y m +-=与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即1d ≤，解得m ≤≤[x y +∈，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时λ=故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，从而得到关于0,x λ的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内，且GF ⊥平面PCB ，试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AD a =，再根据0EF DC ⋅= 即可证明.（2）设(,0,)G x z ，根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅= ，即可得到答案.【详解】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设AD a =，则(0,0,0)D ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,)P a ，,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0),,0DC a = ，所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ，所以EF CD ⊥.（2）因为∈G 平面PAD ，设(,0,)G x z ，所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由（1），知(,0,0)CB a = ，(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ，所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ，2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2a x =，0z =，所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.18．（12分）已知直线:1l y kx k =+-．(1)求证：直线l 过定点；(2)若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,35-；（3）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =2，所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，问：P 点应在何处？【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v v =，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,2E ，()0,4F ，设成功点(),M x y ，可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）当线段FP 与（1）中圆相切时，则413sin 4243AFP ∠==-，所以30AFP ∠=︒，所以4tan 30AP =︒=，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦．20．（12分）．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3)2.【分析】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ ，通过证明平面//MQN 平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设()0,0,P t ，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标，可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ .因M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，Q 为GD 中点，由三角形及梯形中位线定理，可得,NQ ED MQ DC .又注意到，,ED DC ⊂平面EDC ，,NQ MQ ⊄平面EDC ，,NQ MQ ⊂平面MNQ ，∩NQ MQ Q =，则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ，则//MN 平面CDE .（2）因DG ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，则,DG DC DG DA ⊥⊥，又AD DC ⊥，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()10,1,1n = ；222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ，则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=（3）由（2），设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()12,,BP t =-- 又由题可得，平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ，()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ，则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ，则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 是圆O ：228x y +=上的两个动点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒；(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：4x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，判断直线MN 是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q ．【分析】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，根据几何关系得到2OP =，得到轨迹方程.（2）设()4,E t ()0t ≠，分别计算CE ，DE 的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.【详解】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒，圆O ：228x y +=的半径r =122OP AB ===，故点P 的轨迹方程为：224x y +=．（2）不妨取()2,0C -，()2,0D ，设()4,E t ()0t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，直线过定点()1,0，所以()1,0Q ；②当t =±MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()1,0Q ．综上所述：直线MN 恒过定点()1,0Q ．【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设出E 的坐标，分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22．（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N(1)求证：①||||AN BM ⋅为定值；②PMN 与PAB 面积之差为定值；(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)92+【分析】（1）①设00(,)P x y ，利用直线方程求出点,M N 坐标，从而可得||||AN BM ⋅的表达式，结合点在椭圆上化简，即可证明结论；②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ，利用三角形面积公式，结合①的定值即可证明结论；（2）利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式，利用（1）的定值结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：①设00(,)P x y ，()001,030x y <<<<，则220019x y +=，即220099x y +=，直线()0033:y PA y x x =--，令0x =，则0033M y y x =--，故003|||1|3y BM x =+-；直线0011:y PB y x x =+-，令0y =，则001N x x y -=-，故00|||3|1x AN y =+-；所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-，即||||AN BM ⋅为定值6；②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3；（2）MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=，当且仅当||3||AN BM =，结合||||6AN BM ⋅=，即|||AN BM ==时取等号，即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值，解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ，从而求得||||AN BM ⋅表达式，结合点在椭圆上化简即可证明结论.。
2020年11月安徽省卓越县中联盟高二上学期期中联考理科数学试题 (2)
数 的值为 n
_____________.
在 中,已知 , , , 为线段 上的 ．16 ∆ABC
AB·AC = 9 sin B = cos Asin C S∆ABC = 6 P
AB
点,且CP = x CA + y CB ,则 xy 的最大值为________. CA CB
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
．A -2
．B 2
．C -11
．D 11
5．已知直线l1 : ax + 4y − 2 = 0 与直线l2 : 2x −5y + b = 0 互相垂直，垂足为(1,c)，则
a +b + c 的值为（ ）
A．20
B．－4
C．0
D．24
．已知 ， ，则 （ ） 6
tan(α − π ) = 2 tan (α + β ) = −3 tan(β + π ) =
14．已知三棱锥 P− ABC 中，侧棱 PA ⊥底面 ABC ， AC ⊥ BC ， PA = AB = 2BC = 2 ， 则三棱锥 P− ABC 的外接球的表面积为________.
15．设等差数列{an}的前n 项和为 Sn ，且 a1 > 0 ， S14 = S9 ，则满足 Sn > 0 的最大自然
≥
k
2
−
2k
恒成立，则
k
的取值范围为（
）
．A [−2,0) ∪ (0,4]
． ． B [−4,0) ∪ (0,2] C [−4, 2]
D． [ −2, 4]
．12 M ， N 分别为菱形 ABCD的边 BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线 AC 折起，使点 D 不在平面 ABC 内，则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ） ① MN / / 平面 ABD ；②异面直线 AC 与MN 所成的角为定值； ③在二面角 D− AC − B逐渐变小的过程中，三棱锥 D − ABC 外接球的半径先变小后 变大；④若存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直，则∠ABC 的取值范围
安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40高二数学试题分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系−O xyz 中，点A (1，2，3)与点−B (1，−2，3)( )A ．关于原点对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于y 轴对称D ．关于z 轴对称2．在长方体−ABCD A B C D 1111中，==AB BC 1，AC 1与平面ABCD 所成的角为︒60，则该长方体的体积等于( ) ABCD．3+−=y 330的倾斜角为( )A ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒1504．已知直线−−=l ax y :24301，−+=l x ay :102，则“=a ∥l l 12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．圆−++=x y (1)(1)222与圆++−=x y (1)(1)222的公切线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 6．已知圆−+=x y (1)422内一点P (0,1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是( )A ．+−=x y 10B ．−+=x y 10C ．−−=x y 10D ．=x 07．点F 是椭圆+=x y 19322的一个焦点，点P 在椭圆上，线段PF 的中点为N ，且=ON O ||2(为坐标原点），则线段PF 的长为( ) A ．2B ．3C ．4D．8．已知点Q 在以F 1，F 2为左、右焦点的椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222内，延长QF 2与椭圆交于点P ，满足⋅=QF QP 01，若∠=F PQ 17sin 81，则该椭圆离心率取值范围是( ) A．4(1B．C．4(1D． 二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是( )A ．若⋅>a b 0，则a ，b 的夹角是锐角B ．若=a (2,3,3)，=−−b (3,1,3)，则⊥a bC ．若⋅=⋅a b b c ，则=a cD ．若=a (1,1,0)，=b (0,2,0)，=c (0,0,3)，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底10．若三条不同的直线1:2240l mx y m +−+=，2:10l x y ++=，3:350l x y +−=不能围成一个三角形，则m 的取值不可能为( )A ．2−B ．2C ．4D ．611．已知直线l 与圆22:620C x y x y a ++−+=相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为(1,2)M −．下列结论中正确的是( )A ．实数a 的取值范围为4a <B ．实数a 的取值范围为10a <C ．直线l 的方程为20x y +=D ．直线l 的方程为250x y −+=12．已知2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为6，点M 在椭圆C 外，点N 在椭圆C 上，则下列说法中正确的有( )A ．椭圆C的离心率的取值范围是B ．椭圆C 上存在点Q 使得120QF QF ⋅= C ．已知(0,2)E −，当椭圆C时，||NED ．1212||||||||NF NF NF NF +⋅的最小值为23三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．与直线210x y +−=关于点(2,1)对称的直线方程是 ． 14．已知(2,1,3)a =−，(4,1,)b x =−，且a b ⊥，则||a b += ．15．已知圆C 的方程为22(2)(1)1x y −+−=，直线:(22)(1)510l m x m y m −−+−−=恒过定点A ．若一条光线从点A 射出，经直线60x y −−=上一点P 反射后到达圆C 上的一点Q ，则||||AP PQ +的最小值为 ．16．已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的一个焦点为F ，若过焦点F 的弦AB 与以椭圆短轴为直径的圆相切，且||2AB =，则该椭圆的离心率为 ．四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知ABC △的顶点(2,1)A ，(2,1)B −，1cos ,2AC AB <>=−．（1）求过点A ，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； （2）求角A 的角平分线所在直线的一般式方程．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC 中，若M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，记OA a =，OB b =，OC c =．（1）用向量a ，b ，c 表示向量AN ； （2）若13AP AN =，求||OP ．19．（本小题满分12分）已知22:1O x y +=与圆22:68250C x y x y a +−−++=． （1）若圆O 与圆C 相切，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，直线30x y +−=与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，焦距为．（1）求椭圆C 的方程．（2）若过椭圆C 的左焦点，倾斜角为60︒的直线与椭圆交于A ，B 两点，求AOB △的面积．如图，在棱长为1的正方体中，E ，F 分别是棱BC ，CD 上的动点，且BE CF =．（1）证明：11B F D E ⊥；（2）当三棱锥1C CEF −的体积取得最大值时，求平面1C EF 与平面ABCD 的夹角正切值．22．（本小题满分12分）已知椭圆22:14x C y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ．（1）设点P 为椭圆C 上异于1A ，2A 的一动点，证明：直线1PA 与2PA 的斜率乘积为定值；（2）若不过点2A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2234A M A N k k ⋅=−，设点2A 在直线l 上的投影为H ，求点H 的轨迹方程．D 1C 1B 1A 1D FEC BA高二数学试题答案一、单选12345678D CDACBAC二、多选9101112BDBCD AC ABD 三、填空13141516072 y x 102165 23四、解答17、（1）02 y x 或03 y x（2）03213 y x 10y 18、（1）1144AN a b c（2）||12OP19、（1）外切时，2 a ；内切时，8a （2）24或7420、（1）16922 y x （2）1136S 21、（1）证明略（2）22tan 22、（1）证明略（2）直线l 过定点（1,0），)2(02322 x x y x。
2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．过()2,3A --，()10B ,两点的直线的倾斜角是（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．120︒D ．135︒【答案】A【分析】首先根据两点坐标求出AB 直线斜率，进而根据tan θk求出直线AB 的倾斜角.【详解】已知()2,3A --，()10B ,，则()()12103AB k --==--，设直线AB 的倾斜角为θ，则tan 1AB k θ==，得45θ=. 故选：A2．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =,N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到. 【详解】连接ON ,ON 是BC 的中点，1122ON OB OC ∴=+,22,3OM MA OM OA =∴=,112211223322MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=+-=-++.故选：B3．已知方程22220x y x k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（ ） A ．()(),13,-∞-⋃+∞ B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】直接根据圆一般方程的判断条件2240D E F +->，解不等式即可得参数k 的取值范围. 【详解】因为22220x y x k +-++=表示圆， 所以()()22242420D E F k +-=--+>，解得1k <-， 得k 的取值范围是(),1-∞-. 故选：C4．椭圆222211x y m m+=+()0m >的焦点为1F ，2F ，与y 轴的一个交点为A ，若122F AF π∠=，则m =（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【分析】首先根据椭圆的标准方程求出1c =，然后再根据椭圆的定义及等腰直角三角形的几何性质求出a 的值，进而求出参数m .【详解】在椭圆222211x y m m+=+（0m >）中，21a m +b m =，222211c a b m m -+-， 如图，易知12AF AF a ==，又122F AF π∠=，所以12F AF 为等腰直角三角形，即11222AF F F =，得212m +=，即1m =. 故选：A5．如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312523AP AB AD AE =++，则P 到AB 的距离为（ ）A ．34B ．45C ．35D ．56【答案】D【分析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出AB 和AP 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式22AP AB d AP AB ⎛⎫⋅⎪=- ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0AB =，()0,1,0AD =，()0,0,1AE =，因为312523AP AB AD AE =++， 所以312,,523AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，35AP AB AB ⋅=，222312949523900AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以点P 到AB 的距离2294995900256AP AB d AP AB ⎛⎫⋅⎪==-= ⎪-⎝⎭． 故选：D.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为1，且P A 与AB ，AD 的夹角都等于60°.若M 是PC 的中点，则BM =（ ）A ．34B 3C 3D 3【答案】D【分析】根据空间向量基本定理得到111222BM AD AP AB =+-，平方后，利用空间向量数量积公式计算出234BM =，从而求出模长. 【详解】因为M 是PC 的中点， 所以()11111112222222BM BC BP AD AP AB AD AP AB =+=+-=+-， 所以22111222BM AD AP AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭222111111444222AD AP AB AD AP AD AB AB AP =+++⋅-⋅-⋅ 因为PA 的长为1，且PA 与AB ，AD 的夹角都等于60°． 所以21111111cos60cos90cos60444222BM AD AP AD AB AB AP =+⨯++⋅︒-⋅︒-⋅︒ 311304444=+--=， 所以32BM =. 故选：D7．已知点P 在直线l ：100x y +-=上，过点P 的两条直线与圆O ：228x y +=分别相切于A ，B 两点，则圆心O 到直线AB 的距离的最大值为（ ） A ．102B ．5C ．425D ．2【答案】C【分析】设点(,)P a b ，求出以OP 为直径的圆的方程，进而可得直线AB 的方程，再根据点到直线的距离公式，结合(,)P a b 在直线l ：100x y +-=上，可得圆心O 到直线AB 的距离关于a 的表达式，进而根据函数的最值求解即可.【详解】设点(,)P a b ，圆O ：228x y +=，其圆心(0,0)O ，由题意知：,PA PB 是圆的切线，则,PA OA PB OB ⊥⊥， 则点,A B 在以OP 为直径的圆上，又由(0,0)O ，(,)P a b ，则以OP 为直径的圆的方程为：()()0x x a y y b -+-=，即220x y ax by +--=， 与圆O ：228x y +=联立可得：8ax by +=，即直线AB 的方程为8ax by +=. 又因为点(,)P a b 在直线l ：100x y +-=上，故10b a =-， 所以圆心O 到直线AB 的距离222(10)2(5)50d a a a =+--+所以当5a =时，d 4250故选：C .8．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于13-，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．23C 3D 6【答案】D【分析】设内层椭圆方程为22221x y a b+=，则外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=（1m >），分别列出过,A C 和,B D 的切线方程，联立切线和内层椭圆，由Δ0=分别转化出2212,k k 的表达式，结合221219k k ⋅=可求a 与b 关系式，齐次化可求离心率.【详解】设内层椭圆方程为22221x y a b+=（0a b >>），因为内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成()()22221x y ma mb +=（1m >），设切线AC 方程为()1y k x ma =+，与22221x y a b +=联立得， ()2222224222113120ba k x ma k x m a k ab +++-=，由()()()23222224222111Δ240ma k b a k m a k a b =-+⋅-=， 化简得：()2212211b k a m =⋅-，设切线BD 方程为2y k x mb =+， 同理可求得()222221b k m a=-，所以()22242221222241113191b b b k k m a m a a ⎛⎫=⋅⋅⋅-==- -⎭=⎪⎝，2222222113b ac c a a a -==-=， 所以2223c a =，因此6c e a ==. 故选：D二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．已知n 为平面α的一个法向量，m 为直线l 的一个方向向量，若2π,3n m 〈〉=，则l 与α所成角为π6B ．P 、A 、B 、C 是空间中四点，若3OA OB OC OP ++=，则P 、A 、B 、C 四点共面 C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．“8ab =”的一个必要不充分条件是“直线210x ay +-=与直线420bx y +-=平行” 【答案】AB【分析】对于A ：由线面角及,n m 〈〉的定义可知它们的关系；对于B ：由3OA OB OC OP ++=可推出PA 可以由,PB PC 线性表示，即可得出结论. 对于C ： 直线两点式方程使用的条件是直线不能与坐标轴平行； 对于D ：先得出两直线平行的充要条件再看它与8ab =的推出关系.【详解】对于A ：设直线与平面所成角为α，,n m θ〈〉=，则α与θ的关系为π2αθ=- 或π2αθ=-，其中π[0,]2α∈，所以当2π,3n m 〈〉=时，则l 与α所成角为2πππ326-=，故A 正确；对于B ：由3OA OB OC OP ++=得0OA OP OB OP OC OP -+-+-=所以0PA PB PC ++=，所以PA PB PC =--，所以PA 可以由,PB PC 线性表示，所以P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确；对于C ：当21x x =或21y y =时，不能再用此方程，故C 错误；对于D ：直线210x ay +-=与直线420bx y +-=平行得8ab =且24a b ≠⎧⎨≠⎩ . 故8ab =时推不出两直线平行，而反之可以，所以“8ab =”的一个充分不必要条件是“直线210x ay +-=与直线420bx y +-=平行”，故D 错误；故选：AB10．下列说法错误的是（ ）A ．()1,1a =-是直线30x y +-=的一个单位方向向量B ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=C ．点()2,1A 到直线l ：20x y -+=的距离为32D ．经过点()3,4P ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条 【答案】ACD【分析】对于A ：根据单位向量模长为1判断；对于B ：先把两平行直线的,x y 的系数化为相同后再代入平行直线距离公式；对于C ：代入点到直线距离公式计算；对于D ：截距的绝对值相等的直线还包括过原点直线.【详解】对于A ：()1,1a =-，不是单位向量，故A 错误；对于B ：2410x y ++=化为1202x y ++=，与240x y +-==B 正确； 对于C ：点()2,1A 到直线l ：20x y -+=2=，故C 错误； 对于D ：在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有斜率为1±的两条，还有过原点的一条，故D 错误.故选：ACD.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点)P在椭圆C外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是2⎡⎣ C ．存在点Q 使得210QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为2 【答案】ABC 【分析】根据点)P 在椭圆C 外，即可求出b 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A ；根据离心率求出c ，则[]1,QF a c a c ∈-+，即可判断B ； 设上顶点A ，得到120AF AF ⋅<，即可判断C ； 根据124QF QF +=利用基本不等式判断D. 【详解】由题意得2a =，又点)P在椭圆C 外，则22114b+>，解得b <所以椭圆C的离心率c e a ==>，即椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭，故A 正确；当32e =时，3c =，221b a c =-=，所以1QF 的取值范围是[],a c a c -+，即23,23⎡⎤-+⎣⎦，故B 正确；设椭圆的上顶点为()0,A b ，()1,0F c -，()2,0F c ，由于222212·20AF AF b c b a =-=-<， 所以存在点Q 使得120QF QF ⋅=，故C 正确；()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当122QF QF ==时，等号成立， 又124QF QF +=，所以12111QF QF +≥，故D 不正确． 故选：ABC12．如下图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎡⎢⎣⎦B ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，22MCDN=C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形 D ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大. 【答案】ABC【分析】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；对于B 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断B 选项的正误.对于C 选项，利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；对于D 选项，证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断D 选项的正误；【详解】对于A 选项，设正方体的棱长为2，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =，224232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅⎡⎤<>===∈⎢⎥⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 选项正确；对于B 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线， 11//CC DD ，2222222MC AC DN AD ∴==+B 选项正确. 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =， 而()2,2,0DB =，12EF DB ∴=，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=，()()()2222212205BF =-+-+-=，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知1A BD 是边长为22的等边三角形，其面积为()12322234A BD S =⨯=△，周长为22362⨯=. 设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH 2//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为2236233=则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，D 选项错误；故选：ABC【点睛】思路点睛：涉及几何体中动点按规律移动问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决，针对立体几何中线段长度和的最小值问题，可以通过将直线所在两个平面延展成一个平面，然后找到三点共线的位置即为取得最小值的位置.三、填空题13．已知圆()221:9C x y a +-=与圆()222:1C x a y -+=有四条公切线，写出一个实数a 的可能取值是______．【答案】4（答案不唯一）【分析】根据圆的标准方程，确定圆心和半径，由四条公切线，确定圆与圆的位置关系为外离，可得答案.【详解】圆1C 的圆心()10,C a ，半径13r =，圆2C 的圆心()2,0C a ，半径21r =，因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，又两圆的圆心距d a 31a >+，解得a <-a >实数a 的可能取值为4． 故答案为：4（答案不唯一）14．向量()1,0,1a =，(),1,2b x =，且3a b ⋅=，则向量b 在a 上的投影向量的坐标为______． 【答案】33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】向量b 在a 上的投影向量为||||a b aa a ⋅，利用公式求解.【详解】因为向量()1,0,1a =，(),1,2b x =，且3a b ⋅=， 所以()()1,0,1,1,220x x ⋅=+=，解得2x =-， 所以()2,1,2b =-，所以23333(1,0,1)(,0,)222||||1a b a a a ⋅===+,则向量b 在a 上的投影向量的坐标为33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.15．已知圆22:4C x y +=，直线:l y x b =+.若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，则b 的值为______.【答案】【分析】由题可知，圆的半径是2，圆上点到直线距离为1，该距离为半径的一半，则要使圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，则圆心到l 的距离为1，据此即可求解． 【详解】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2， 故要使圆上恰有3个点到l 的距离为1， 则圆心到直线l 的距离为1，1b =⇒=故答案为：16．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的内切圆面积的最大值为___________. 【答案】4π 【分析】设直线AB的方程为x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在. 设直线AB的方程为x ty =()11,A x y ，()22,B x y ，由2214x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410t y +--=，12y y +=12214y y t =-+， 则2121212ABF S F F y y =⋅-12=⋅=====≤2=（当且仅当t =.设2ABF △的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==， 则()22122AF BF AB r ++⋅≤， 12r ≤， 则2ABF △的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：4π．四、解答题17．已知点()0,1A ，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．(1)求直线1l 的方程；(2)求直线2l ：220x y 关于直线1l 的对称直线的方程． 条件①：点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为2,1；条件②：点B 的坐标为2,1，直线1l 过点()2,1且与直线AB 垂直； 条件③点C 的坐标为()2,3，直线1l 过点()2,1且与直线AC 平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)10x y --= (2)250x y --=【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.（2）计算直线的交点，在直线2l 上取一点，求其关于1l 对称的点，根据交点和对称点得到直线方程. 【详解】（1）选择条件①：因为点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为2,1，所以1l 是线段AB 的垂直平分线． 因为11120AB k --==--，所以直线1l 的斜率为1，又线段AB 的中点坐标为()1,0， 所以直线1l 的方程为1y x =-，即10x y --=． 选择条件②： 因为11120AB k --==--，直线1l 与直线AB 垂直，所以直线1l 的斜率为1， 又直线1l 过点()2,1，所以直线1l 的方程为12y x -=-，即10x y --=． 选择条件③， 因为31120AC k -==-，直线1l 与直线AC 平行，所以直线1l 的斜率为1， 又直线1l 过点()2,1，所以直线1l 的方程为12y x -=-，即10x y --=．（2）10220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，故1l ，2l 的交点坐标为()4,3，因为()0,1A 在直线2l ：220x y 上，设()0,1A 关于1l 对称的点为(),M x y ， 则1111022y xx y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，直线2l 关于直线1l 对称的直线经过点2,1，()4,3，代入两点式方程得123142y x +-=+-，即250x y --=， 所以2l ：220x y 关于直线1l 的对称直线的方程为250x y --=．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1,2,3AC BC AC BC CC ⊥===，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1,2AD CE ==．(1)设F 为11B C 中点，求证：1//A F 平面BDE ；(2)求直线11A B 与平面BDE 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)26【分析】（1）取BE 中点G ，连接FG 、DG ，即可得到1//FG A D 且1FG A D =，从而得到1//A F DG ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】（1）证明：取BE 中点G ，连接FG 、DG ， 则11////FG CC AA ，且1113222C E BB FG ++===， 所以1//FG A D 且1FG A D =，所以四边形1A DGF 为平行四边形，所以1//A F DG ． 又1A F ⊂平面BDE ，DG ⊄平面BDE ， 所以1//A F 平面BDE ．（2）解：因为直三棱柱111ABC A B C 中AC BC ⊥，所以CA 、CB 、1CC 两两垂直．分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,2,0B ，()()()0,0,2,2,0,1,2,0,0E D A ，所以()0,2,2BE =-，()2,2,1BD =-，()112,2,0A B AB ==-， 设平面BDE 法向量为(),,n x y z =，则0n BE ⋅=，0n BD ⋅=，即220220y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1y =，得到平面BDE 的一个法向量1,1,12n ⎛⎪=⎫ ⎝⎭．设直线11A B 与平面BDE 所成的角为θ，则()11111112121022sin cos ,61114404A B n A B n A B nθ⨯-+⨯+⨯⋅====⋅++⋅++，所以直线11A B 与平面BDE 所成角的正弦值为26．19．已知圆C 的圆心为原点，且与直线34100x y +-=相切，直线l 过点()1,2M . (1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)若直线l 被圆C 所截得的弦长为23l 的方程. 【答案】(1)2y =或43100x y +-= (2)3450x y -+=或1x =【分析】（1）首先根据圆与直线34100x y +-=相切的几何特征求解圆的方程，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离等于半径求解切线方程即可； （2）首先根据弦长求出圆心到直线的距离d ，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离求解直线方程即可. 【详解】（1）圆心()0,0到直线34100x y +-=的距离2210234d -==+，圆C 的半径为2，所以圆C 的方程为224x y +=； 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为1r <，不相切. 直线斜率存在，设直线:21l yk x ，由2d ==，得0k =或43k =-所以切线方程为2y =，或43100x y +-=.（2）设圆心到直线的距离为d ，则=2r =，解得1d =. 当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，圆心()0,0到直线l 的距离1d =，即直线l 被圆C 所截得的弦长为 当直线斜率存在时，设直线:21l yk x ，则1d ==，解得：34k =， 故l 的方程是()3214y x -=-，即3450x y -+=， 综上所述，直线l 的方程为3450x y -+=或1x =.20．已知椭圆()222:1204x y C b b +=>>，直线y x =被椭圆C .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右顶点作互相垂直的两条直线12,l l .分别交椭圆C 于,M N 两点（点,M N 不同于椭圆C 的右顶点），证明：直线MN 过定点. 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据直线y x =被椭圆C 可求得交点坐标后代入椭圆方程求得b 值，从而得到椭圆方程.（2）设互相垂直的两条直线方程求出它们与椭圆交点,M N 的坐标，写出直线MN 的方程得到直线恒过定点.【详解】（1）根据题意，设直线y x =与题意交于,P Q 两点.不妨设P 点在第一象限，又PQ 长为4105，∴2525,55P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴241515b += ∴1b =，故C 的标准方程为2214x y +=（2）显然直线12,l l 的斜率存在且不为0，设121:2,:2l x my l x y m =+=-+，由22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22440m y my ++=， ∴222284,44m m M m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，同理可得222284,4141m m N m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ 当1m ≠±时，()2541MN mk m =-，所以直线MN 的方程为()222245284441m m m y x m m m ⎛⎫-++=- ⎪++-⎝⎭整理得()()()22256565414141m m m y x x m m m -⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，所以直线 当1m =±时，直线MN 的方程为65x =，直线也过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭所以直线MN 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭.21．如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．（1）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值；（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线PB 与CD 之间的距离．【答案】（1）33；（2）23【分析】（1）以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，求出平面P AB 和平面PCD 的法向量，利用夹角公式求解即可；（2）设Q 为直线PB 上一点，且,0,2)(B λλQ λBP ==-，利用坐标运算求出点Q 到直线CD 的距离2229122CQ CD d CQ λλCD ⎛⎫•⎪=-=++ ⎪⎝⎭，求出最值即可. 【详解】解：以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为B （1,0,0），(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P （1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂面ABCD ， PA AD ∴⊥，又AB AD ⊥，且PA AB A =， ∴AD ⊥平面P AB ，所以AD 是平面P AB 的一个法向量，(0,2,0)AD = 因为(1,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-. 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m PC ⋅=，0m PD即20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，解得1z =，1x =.所以1,1,1m =（）是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,3AD m AD m AD m⋅==，所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33； （2）因为(1,0,2)BP =-， 设Q 为直线PB 上一点，且,0,2)(B λλQ λBP ==-，又(1,1,0)CD =-，(0,1,0)CB =-则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--，则点Q 到直线CD 的距离()2222cos ,CQ CD d CQ CQ CQ CD CQ CD ⎛⎫• ⎪=-=- ⎪⎝⎭ 2222191142211λλλλλ-⎛⎫=++-=++ ⎪+⎝⎭ ∵22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭ ∴23d ≥ 所以异面直线PB 与CD 之间的距离为23.【点睛】本题考查利用空间向量的坐标运算求二面角，求点到直线的距离，考查学生的计算能力和空间想象能力，是一道难度较大的题目.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 直线 :1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)2214x y += 33【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++， 计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点， 所以||2OA =， 即2a =.因为椭圆C 经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=， 解得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得 ()224230,0t y ty +--=∆>恒成立， 则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED = 又因为点B 到直线l 的距离d =，所以11||22S ED d =⨯⨯==令33m =，26611m m m m ==++， 因为1y m m =+，m ≥2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当mmin1m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭max S =. 即S 的最大值为【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。
2022-2023学年安徽省省十联考(合肥八中等)高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年安徽省省十联考（合肥八中等）高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知倾斜角为π3的直线过1,0A ，()0,B m 两点，则m =（ ）A ．3-B ．32-C ．32D ．3【答案】A【分析】由斜率公式与斜率定义求解即可 【详解】由题意知0πtan 013m -=-，即3m =-． 故选A ．2．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”A OBCD -中，E 为ACD 的重心，若AB a =，AC b =，AD c =，则BE =（ ）A ．1122a b c -++B ．1133a b c -++C ．2233a b c ++D ．1133a b c -+-【答案】B【分析】连接AE 并延长交CD 于点F ，则F 为CD 的中点，利用向量的加减运算得答案 【详解】连接AE 并延长交CD 于点F ，因为E 为ACD 的重心，则F 为CD 的中点，且23AE AF =()2211133233BE AE AB AF AB AC AD AB AC AD AB ∴=-=-=⨯+-=+- 1133a b c =-++.故选：B ．3．“1a =-”是“直线220++=ax y 与直线()110x a y +-+=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由充分条件与必要条件的概念集合两直线平行的判断即可求解 【详解】若1a =-，则两条直线分别为220x y --=，210x y -+=， 显然两条直线相互平行，充分性成立；若直线220++=ax y 与直线()110x a y +-+=平行， 则()120a a --=，且20a -≠， 所以1a =-，必要性成立． 故选：C ．4．已知F 为双曲线Γ：221416x y -=的左焦点，P 为Γ的右支上一点，则直线PF 的斜率的取值范围为（ ） A ．()4,4- B ．()3,3-C ．(22,22-D ．()2,2-【答案】D【分析】设直线PF 为(25y k x =+，与双曲线方程联立，然后根据方程有一正根一负根，列方程求解.【详解】由已知()25,0F -，设直线PF 为(25y k x =+，联立(22251416y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得2222(4)4520160k x k x k ----=根据已知可得方程有一正根一负根，()()()222222Δ4420160201604k k k k ⎧=+-+>⎪∴⎨--⎪<-⎩， 解得2<<2k - 故选：D ．5．已知(),P x y 为圆O ：229x y +=上一点，则2x y -的取值范围为（ ） A ．[]3,3- B．⎡-⎣ C．⎡-⎣D．⎡-⎣【答案】B【分析】设2x y t -=，由圆心到直线的距离小于或等于半径求解即可 【详解】设2x y t -=，由题意知直线20x y t --=与圆O 有公共点，所以3d =≤，所以t -≤故选：B ．6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为坐标平面上一点，且满足120PF PF ⋅=的点P 均在椭圆C 的内部，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎭ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由题意知点P 的轨迹为以12F F 为直径的圆，且该圆在椭圆C 的内部，得到c b <，再利用222b a c =-计算可得到离心率的范围.【详解】120PF PF ⋅= 1290F PF ∴∠=所以点P 的轨迹为以12F F 为直径的圆，且该圆在椭圆C 的内部， 所以c b <，所以2222<=-c b a c ，所以222c a <，即212e <，所以202e <<． 故选：A ．7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A C 上一点，则直线1AD 与BP 所成的角的最大值、最小值分别为（ ）A ．π2，π3B ．π2，π6C ．π3，π4D ．π3，π6【答案】D【分析】设正方体的棱长为1，1AD 与BP 所成的角为θ，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，利用向量法研究即可求解 【详解】设正方体的棱长为1，1AD 与BP 所成的角为θ，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ， 所以()11,1,1CA =-，()1,0,0BC =-，()11,0,1AD =-， 设()()1,,01CP CA λλλλλ==-≤≤， 所以()1,,BP BC CP λλλ=+=--，所以11AD BP ⋅=，12AD =2321BP λλ=-+所以121cos 2321AD BP AD BPθλλ⋅==⋅⋅-+因为01λ≤≤， 所以2232123λλ≤-+≤， 所以13cos 2θ≤≤， 又0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ63θ≤≤， 故1AD 与BP 所成角的最大值为π3，最小值为π6．故选：D ．8．已知椭圆C ：2212x y +=上存在关于直线l ：y x m =+对称的点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．33⎛ ⎝⎭D ．133⎛- ⎝⎭【答案】C【分析】设C 上关于直线y x m =+对称的两点分别为()11,M x y ，()22,N x y ，其中点为()00,E x y ，利用点差法，结合点E 在C 的内部可得2221m m +<，求解即可【详解】设C 上关于直线y x m =+对称的两点分别为()11,M x y ，()22,N x y ，其中点为()00,E x y ，则221112x y +=，222212x y +=，两式相减， 得()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，由MN l ⊥，得12121y y x x -=--， 又1202x x x +=，1202y y y +=，所以0020x y -=，即002x y =，又00y x m =+， 所以02x m =-，0y m =-，即()2,E m m --， 又点E 在C 的内部， 所以2221m m +<，所以33m <<． 故选：C ．二、多选题9．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，P 为空间一点，且满足1BP BC BB λμ=+，[],0,1λμ∈，则（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上 B ．当1μ=时，点P 在棱11BC 上 C ．当1λμ+=时，点P 在线段1B C 上D ．当λμ=时，点P 在线段1BC 上【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】当1λ=时，1BP BC BB μ=+，所以1CP BB μ=， 则1//CP BB ，即P 在棱1CC 上，故A 错误；同理当1μ=时，则1//B P BC ，故P 在棱11B C 上，故B 正确；当1λμ+=时，1μλ=-，所以()11BP BC BB λλ=+-，即11B P B C λ=， 故点P 在线段1B C 上，故C 正确；当λμ=时，()11BP BC BB BC λλ=+=，故点P 在线段1BC 上，故D 正确． 故选：BCD ．10．我们知道反比例函数()0ky k x =≠的图象是双曲线，则下列有关双曲线1y x=-的结论正确的是（ ）A ．顶点坐标为1,1，()1,1-B 2C 2D ．焦点坐标为()2,2-，()2,2-【答案】AC【分析】将反比函数图象逆时针旋转45转化为焦点在x 轴的双曲线，利用双曲线的性质即可求解. 【详解】将双曲线1y x =-的图象逆时针旋转45后可得等轴双曲线22221x y a a-=，旋转前后实轴长、虚轴长、焦距保持不变， 因为直线y x =-是1y x=-的长轴所在的直线，所以联立1y x=-和y x =-解得顶点坐标为1,1，()1,1-，所以实轴长2a ==A 正确；其是等轴双曲线，所以虚轴长为22b a ==，故B 错误；因为2224c a b =+=，所以2c =，离心率为c e a ===C 正确； 设焦点坐标为(,)m n -和,m n -()，因为(,)m n -和,m n -()在直线y x =-上，且焦距等于24c =，所以4m n =⎧，所以m n ==，所以其焦点坐标为，(，故D 错误．故选:AC ．11．已知直线1l ：250ax y a --+=，2l ：340x ay a +--=，3l ：0kx y ，其中a ，k 为常数，1l 与2l 的交点为M ，则（ ） A ．对任意实数a ，12l l ⊥ B ．存在a ，使得点M 到原点的距离为3C ．存在点P ，使得PM 为定值D ．M 到3l 的最大距离为5【答案】ACD【分析】对于A ，由12120A A B B +=即可判断得12l l ⊥；对于C ，结合选项A 中的结论，得到M 在圆C 上，由此可求得点P 使得PM 为定值； 对于B ，利用选项C 中的结论，结合点到圆上的点的距离的最小值即可判断； 对于D ，利用直线到圆上点的距离的最大值即可判断.【详解】对于A ，因为1l ：250ax y a --+=，2l ：340x ay a +--=，所以110a a ⨯-⨯=，则12l l ⊥，故A 正确；对于C ，易得直线1l 过定点()2,5A ，直线2l 过定点()4,3B ， 因为1l 与2l 的交点为M ，则M 在以AB 为直径的圆上，而AB 的中点为()3,4C ，且||AB =M 在圆C ：()()22342x y -+-=上，故取点P 坐标为()3,4，此时PM 为定值，故C 正确；对于B ，因为圆心C 到原点O 的距离为5M 到原点的最小距离为5，而53>，所以不存在实数a ，使得M 到原点的距离为3，故B 错误；对于D ，因为3l 过原点O ，所以当3OC l ⊥，且M 在直线OC 上时，点M 到3l 的距离最大且最大值为5D 正确． 故选：ACD ．12．已知曲线C ：2414y x +=，则（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 有4个顶点C ．曲线C 的面积小于椭圆2214y x +=的面积D ．曲线C 的面积大于圆221x y +=的面积 【答案】ABD【分析】研究曲线C 的对称性并求出与坐标轴的交点，可判断AB ；由曲线C 中x 的范围可求得y 得范围，进而与椭圆以及圆比较，可判断CD【详解】用-x 替换x ，化简后式子不变，则曲线C 关于y 轴对称； 用-y 替换y ，化简后式子不变，则曲线C 关于x 轴对称；用-x ，-y 分别替换x ，y ，化简后式子仍不变，则曲线C 关于原点对称，曲线C 仅有两条对称轴，易求两条对称轴与曲线C 的交点分别为()1,0±，()0,2±， 故曲线C 有4个顶点，故AB 正确；易知曲线C 中x 的范围为[]1,1-，所以y =故椭圆上的点在曲线C 内部或在曲线C 上，故椭圆的面积小于曲线C 的面积， 同理曲线C 的面积大于圆的面积， 故C 错误，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题13．设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________.【答案】13【解析】根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.【详解】由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =，或213PF = 经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =. 故答案为：13.14．已知直线l 过点()1,2，且在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，若2a b =，则l 的方程为__________． 【答案】20x y -=或250x y +-=【分析】0b =时可设l 的方程为2y x =，0b ≠时设l 的方程为1x ya b+=，把点代入即可求解【详解】若0b =，则l 过()0,0，又l 过点()1,2， 故l 的方程为2y x =，即20x y -=； 若0b ≠，设l 的方程为1x ya b+=，所以1212b b +=，解得52b =， 所以5a =，故l 的方程为250x y +-=．故答案为：20x y -=或250x y +-=．15．已知空间向量a ，b 是相互垂直的单位向量，若向量c 满足5c =，22c a c b ⋅=⋅=，则c ma nb -+的最小值是__________． 【答案】3【分析】利用空间向量的坐标运算即可求解.【详解】分别以a ，b 为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),(0,1,0),a b ==设(),,c x y z =，则22225x y z ++=，22,22c a x c b y ⋅==⋅==x y ==所以3z =±，所以()22,3c ma nb m n -+=-±， 所以(22c ma nb -+=所以当m =n =-时，c ma nb -+取得最小值3． 故答案为：3.16．已知1F ，2F 是椭圆C ：221916x y +=的两个焦点，P 为C 上一点，则1211PF PF +的最大值为__________． 【答案】89【分析】由椭圆方程，可得,,ab c 的值，根据椭圆的定义，整理等式，用换元法整理函数关系，结合二次函数性质，可得答案.【详解】由221916x y +=，可知4,3a b ==，c 1228PF PF a +==，所以()212111188PF PF PF PF PF PF ⋅=-=-+，又14PF ⎡∈⎣，所以当14PF =14PF =()12min9PF PF ⋅=，又12121212118PF PF PF PF PF PF PF PF ++==⋅⋅， 所以1211PF PF +的最大值为89．故答案为：89.四、解答题17．已知直线l ：3430x y -+=与圆C：224240x y x y +---=相交于A ，B 两点．求AB 及弦AB 的垂直平分线的方程．【答案】AB =43110x y +-=．【分析】把圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离与勾股定理可得弦长，由两直线垂直可得斜率，再由点斜式求方程即可【详解】圆的方程可化为()()22219x y -+-=，故其圆心()2,1C ，半径3r =，圆心C 到l 的距离515d ===，所以22229142AB r d =-=-=．直线l 的斜率为34，所以AB 的垂直平分线的斜率为43-，由垂径定理知弦AB 的垂直平分线过圆心()2,1C ， 故弦AB 的垂直平分线的方程为()4123y x -=--，即43110x y +-=． 18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为菱形，124AA AB ==，π3DAB ∠=．(1)求1B 到平面1ACD 的距离；(2)求直线1B D 与平面1ACD 所成角的正弦值． 【答案】817685【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，以O 为原点，直线OA ，OB 分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1ACD 的一个法向量n ，利用向量法求点到平面的距离即可； （2）利用向量法求解线面角即可 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ， 因为四边形ABCD 为菱形，π3DAB ∠=，124AA AB ==， 所以AC BD ⊥，3OA =112OB BD ==． 以O 为原点，直线OA ，OB 分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,1,0D -，()3,0,0C -，()10,1,4D -，()10,1,4B ，则()23,0,0AC =-，()13,1,4AD =--，()13,1,4CB =，()10,2,4B D =--，设平面1ACD 的一个法向量(),,n x y z =，则1230340n AC x n AD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩， 令1z =，则0x =，4y =，故()0,4,1n =． 所以点1B 到平面1ACD 的距离122144181741CB n d n⋅⨯+⨯===+（2）设直线1B D 与平面1ACD 所成角的大小为θ， 则()112414685sin 20172517B D n B nD θ⋅-⨯+⨯-===⨯⨯⋅． 所以直线1B D 与平面1ACD 685 19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点的坐标为(26．(1)求C 的方程；(2)设过F 的直线l 与C 相交于点A ，B 两点，若OA OB ⊥（O 为坐标原点），求直线l 的方程． 【答案】(1)22162x y += (2)31560x y -=【分析】（1）由题意知2b =2261c b e a a =-（2）设直线l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算即可求解【详解】（1）由题意知b =因为c e a ===所以26a =，所以C 的方程为22162x y +=． （2）易知()2,0F ，设直线l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，得221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得()223420m y my ++-=， 显然()()2221643224240m m m ∆=-+⨯-=+>，12243m y y m +=-+，12223y y m =-+，所以()221212122126243m x x m y y m y y m -=+++=+，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=， 即2221262033m m m --=++，解得m =故直线l的方程为2x y =+，即360x ±-=．20．已知A 为圆C ：()()22118x y -++=上一动点，点()5,7B ，若M 为AB 的中点，记点M 的轨迹为Γ．(1)求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；(2)在直线0x y -=上是否存在定点D （异于原点），使得对于Γ上任意一点P ，都有PO PD为常数？若存在，求出所有满足条件的点D 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)Γ的方程为()()22332x y -+-=，其图形为以()3,3(2)存在88,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设()00,A x y ，(),M x y ，利用相关点代入法求解即可； （2）设(),P x y ，假设存在一点()(),0D t t t ≠，满足PO PDλ=λ=，把P 坐标代入轨迹Γ的方程，解得t 即可【详解】（1）设()00,A x y ，(),M x y ，则052x x +=，072y y +=， 所以025x x =-，027y y =-，又点A 在圆C 上，所以()()222512718x y --+-+=，即Γ的方程为()()22332x y -+-=，其图形为以()3,3为圆心，2为半径的圆．（2）假设存在一点()(),0D t t t ≠，满足PO PDλ=（其中λ为常数），设(),P x y ，则()()2222x y x t y t λ+=-+-，整理化简得：()222222222x y x tx t y ty t λ+-++-+=，因为P 在轨迹Γ上，所以()()22332x y -+-=，即226616x y x y +=+-，所以()2266166616222x y x y tx ty t λ+-=+---+，整理得()()2222222662662161620x t y t t λλλλλλ-++-+-+-=，由22222662016216t t λλλλ⎧-+=⎨-=⎩得83t =，3λ=， 所以存在88,33D ⎛⎫⎪⎝⎭满足题目条件．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD PD PA ==，ABCD ，2CD AB =，π2ADC ∠=，E 为PC 的中点．(1)证明：平面PBC ⊥平面PCD ；(2)若2AD =，3AB =，求平面ABE 与平面ABP 夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明BE ⊥平面PCD ，然后根据面面垂直的判定定理即可得证.（2）以O 为坐标原点，直线OA ，OG ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，然后根据二面角的法向量计算公式，代入计算即可得到结果. 【详解】（1）证明：取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，因为π2ADC ∠=，所以AD CD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面P AD ，又AF ⊂平面P AD ，所以CD AF ⊥， 因为AD PD PA ==，F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．因为E ，F 分别为PC ，PD 的中点，所以EF CD ，且12EF CD =， 又ABCD ，且12AB CD =，所以EF AB ∥，且EF AB =，所以四边形ABEF 为平行四边形，所以BE AF ∥， 所以BE PD ⊥，BE CD ⊥．又,CD PD ⊂平面PCD ，且CD PD D =， 所以BE ⊥平面PCD ，又BE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD ．（2）取AD ，BC 的中点分别为O ，G ，连接PO ，OG ，则,OG AD PO AD ⊥⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，又OG ⊂平面ABCD ，所以PO OG ⊥．以O 为坐标原点，直线OA ，OG ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示），则()1,0,0A ，()1,3,0B ，132E ⎛- ⎝⎭，(3P ， 则()0,3,0AB =，332BE ⎛=- ⎝⎭，(3AP =-．设平面ABE 的一个法向量(),,n x y z =，则00n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30302y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1x =，得0y =，z =(1,0,3n =．设平面ABP 的一个法向量(),,m a b c =，则00m AB m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即300b a =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1c =，得0b =，a =()3,0,1m =，所以23cos ,22m m n m n n⋅<>===⨯⋅，设平面ABE 与平面ABP 的夹角为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则1sin 2θ==． 22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为线与C 的左支交于点A ，且()12120F F F A AF +⋅=． (1)求C 的渐近线方程；(2)若126F F =，P 为x 轴上一点，是否存在直线l ：()10y kx k =+>与C 交于M ，N 两点，使得PM PN =，且PM PN ⊥？若存在，求出点P 的坐标和直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =±(2)存在，9,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的方程为1y x =+．【分析】（1）由直线2AF 的斜率为212cos 3AF F ∠=，再由()12120F F F A AF +⋅=与双曲线的定义结合余弦定理建立关系，求得b =，即可求解；（2）先求得双曲线方程，再把双曲线与直线联立，利用根与系数的关系，结合垂直的向量表示即可求解【详解】（1）因为()12120F F F A AF +⋅=， 所以()()1211210F F F A F F F A +⋅-=，所以221210F F F A -=，即1122F A F F c ==（c 为半焦距）， 又212AF AF a -=，所以222AF a c =+， 因为直线2AF的斜率为所以21tan AF F ∠=， 所以212cos 3AF F ∠=，由余弦定理，得2221122122212cos AF F F AF F F AF AF F =+-⋅∠， 即()()2222442222223c c a c c a c =++-⨯⨯+⨯所以22230c ac a --=，所以3c a =， 所以2229a b a +=，所以b =， 所以C的渐近线方程为y =±．（2）由126F F =，得3c =，所以1a =，b =， 所以双曲线C 的方程为2218y x -=． 联立22181y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()228290k x kx ---=， 由题意知280k -≠，且()()()2224890k k ∆=---⨯->，即29k <且28k ≠，又0k >，所以(()k ∈⋃．设()11,M x y ，()22,N x y ，线段MN 的中点为()00,Q x y ， 所以12228kx x k +=-，12298x x k =--， 所以028k x k =-，0228188k y k k k =⋅+=--． 假设存在直线l ：()10y kx k =+>，设点(),0P m ，使得PM PN =，且PM PN ⊥成立， 则PQ l ⊥，所以1PQ k k ⋅=-， 所以001y x m k =--，所以298k m k=-， 又PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=， 所以()()12120x m x m y y --+=，所以()()()221212110k x x k m x x m ++-+++=，所以()2222229192910 8888k k k kkk k k k+⎛⎫⎛⎫-+-⋅++=⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，化简，得4880k-=，所以1k=，此时97m=，即9,07P⎛⎫⎪⎝⎭，直线l的方程为1y x=+．。
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高二数学上学期期中试题
考试时间：120分钟试卷分值：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.经过两点P(2,m)和Q(2m,5)的直线的斜率等于,则m的值是( )
A.4
B.3
C.1或3
D.1或4
2.圆锥的侧面展开图是( )
A．三角形B．正方形 C．圆 D．扇形
3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为( )
A.-3或-1
B.3或1
C.-3或1
D.-1或3
4.一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不
可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②
5.一长方体木料,沿图①所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD,那么图②所示的四个图形中是截面的是( )
图①图②
6．方程y＝k(x＋4)表示( )
A．过点(－4,0)的所有直线 B．过点(4,0)的一切直线
C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(－4,0)且除去x轴的一切直线
7.如图所示,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是( )
A.6
B.3
C.6
D.12
8.入射光线在直线l 1:2x-y-3=0上,先经过x 轴反射的直线为l 2,再经过y 轴反射的直线为l 3,则直线l 3的方程为( ) A.x-2y+3=0
B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0
D.2x-y+6=0
9.若球的表面积为16π,则用与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为( )
A.4π
B.
π
C.2π
D.π
10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l⊥β 11.已知正方体外接球的体积是32
3
π，那么正方体的棱长等于( )
A ．2 2 B.223 C.423 D.43
3
12在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )
A.83
B.38
C.43
D.3
4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13.若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16
,则a= .
14．半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为________．
15.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m= . 16已知三棱锥PABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分))圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.
18．(本小题满分12分)已知所求直线的斜率是直线y ＝－3x ＋1的斜率的－1
3，且分别满足
下列条件： (1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5. 分别求该直线的方程．
19.( (本小题满分12分))
如图所示,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A,B 的任意一点,A 1A=AB=2.
(1)求证:BC ⊥平面A 1AC;
(2)求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.
20(本小题满分12分).△ABC 中三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(2,0),C(-3,0),过点C 作CD ⊥AB,垂足为点D,求点D 的坐标。
21(本小题满分12分)如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，F ，F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．
求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ；
(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
22 . (本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，
DB的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)求证：EF⊥B1C；
(3)求三棱锥B1EFC的体积．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
13、4 14、4R 2
15、-或- 16、13
2S 1S 2S 3
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)
作出圆台的轴截面如图所示.
设O'A'=r,因为一底面周长是另一底面周长的3倍,所以OA=3r,SA'=
r,SA=3
r,OO'=2r.
由轴截面的面积为 (2r+6r)·2r=392,得r=7.故上底面半径为7,下底面半径为21,高为14,母线长为14.
18．∵直线方程为y ＝－3x ＋1，∴k＝－ 3.由题知，所求直线的斜率k 1＝－3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝33.(1)∵直线过点(3，－1)，∴所求直线方程为y ＋1＝3
3
(x －3)． (2)∵直线在y 轴上的截距为－5，∴所求直线方程为y ＝3
3
x －5. 19.(12分)
如图所示,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A,B
的任意一点,A 1A=AB=2. (1)求证:BC ⊥平面A 1AC;
(2)求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.
(1)证明∵C 是底面圆周上异于A,B 的任意一点,且AB 是圆柱底面圆的直径,
∴BC ⊥AC.
由题意知,AA 1⊥平面ABC,BC ⫋平面ABC,
∵AA1∩AC=A,AA1⫋平面A1AC,AC⫋平面A1AC, ∴BC⊥平面A1AC.
(2)解设AC=x(0<x<2),在Rt△ABC中,BC=(0<x<2),故
S△ABC·AA1=·AC·BC·AA1=.
∵0<x<2,∴0<x2<4,∴当x2=2,即x=时,三棱锥A1-ABC的体积取得最大值.
20(12分AB的截距式方程为=1,
即x+2y-2=0,又由直线CD⊥AB得k CD=2,
直线CD的方程为y=2(x+3),
解方程组
故点D坐标为(-2,2).
21(10分)如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
证明：(1)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，
∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，∵AA1⊥平面A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1.
又∵B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
22 .解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B.
因为EF∥D 1B ，D 1B 平面ABC 1D 1，EF 平面ABC 1D 1， 所以EF∥平面ABC 1D 1.
(2)证明：因为B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1， AB ，BC 1平面ABC 1D 1，AB ∩BC 1＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1. 又BD 1平面ABC 1D 1，
所以B 1C ⊥BD 1.又因为EF∥BD 1， 所以EF⊥B 1C.
(3)因为CF⊥平面BDD 1B 1，
所以CF⊥平面EFB 1且CF ＝BF ＝2， 因为EF ＝1
2
BD 1＝3，
B 1F ＝BF 2
＋BB 2
1＝（2）2
＋22
＝6， B 1E ＝B 1D 2
1＋D 1E 2
＝（22）2
＋12
＝3，
所以EF 2
＋B 1F 2
＝B 1E 2
，即∠EFB 1＝90°， 所以VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝1
3·S △B 1EF ·CF
＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×1
2×3×6×2＝1。