构造几何图形解决代数问题

构造几何图形解决代数问题

摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。

关键词 数形结合 解题 以形助数 教学

1.“以形助数”的思想应用

1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。

分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。如下图，由图我们不难得出A B=[0,3]

例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,155308x x x x --=-+-=-⇒=故。

B=[-2,3] A=[0,4]

评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。

1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

例:（2009山东理）若函数

()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是

分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数

()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a >

0

a>1

例:若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，求()0f x <的x 的取值范围。

分析：由偶函数的性质，y=f(x)关于y 轴对称，由y=f(x)在(,0]-∞上为减函数，且f(-2)=f(2)=0，做出如图，由图象可知发f(x)<0，所以x ∈(-2,2)

评价：函数问题是高考中主打题型，往往又是比较难解的问题。在解决这类问题时，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半

功倍的效果。

1.3解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

例:若方程

2lg(3)lg(3)x x m x -+-=-在(0,3)x ∈内有唯一解，求实数m 的取值范围。

分析：原方程可化为2(2)1(03)x m x --+=<<，设212(2)1(03),y x x y m =--+<<=

在同一坐标系中画出它们的图像，如下图，由原方程在（0，3）内有唯一解，知12y y 与的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是-1

例:已知不等式

22(1)(2)x x m ++->对一切实数x 恒成立，求实数m 取值。 分析： 2(1)x +表示数轴上点x 到点（-1）的距离，2(2)x -表示数轴上点x 到点2的距离。数轴上点x 到点（-1）的距离与点x 到点2的距离的和的最小值为3，即22(1)(2)3x x ++-≥，所以实数m 的范围是：m<3.

评价：方程问题和不等式问题归根结底也就是函数问题的变形，只要我们根据题意条件循序渐进地找出突破口，便可同样很好地利用图象简捷地解决。

1.4解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

例:求

sin +2

cos 2x y x =-最值 分析：我们可以把（cosx,sinx ）看成是单位圆周上的一点，sin +2cos 2

x x -可以理解为点（cosx,sinx ）与点（2，-2）连线的斜率。由图可知，斜率的最大值与最小值应为通过点（2，-2）且与单位圆相切的两条切线的斜率，设点（2，-2）且与单位圆相切的直线方程为：+2(-2)y k x =，利用圆心（0，0）到切线的距离为圆的半径1，可以求出斜率k 的范围：

-47-4733k -+≤≤，所以m a x m i n -47-4

7,33y y +

-==

评价：三角函数的图象和性质是高考的热点，在解题时要灵活运用数形结合的思想，把图像和性质结合起来，通过图象直观地感受题目的要义，为解题提供方便。

1.5解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 例:（08年高考湖南卷理改编）已知变量x,y 满足条件1,0,290x x y x y ≥-≤+-≤，