必修四第一章三角函数-1.6三角函数模型的简单应用 教案
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修4(2021年整理)
高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1。
6三角函数模型的简单应用课前预习学案一、预习目标预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用二、预习内容1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型。
2、|sin|y x=是以____________为周期的波浪型曲线.课内探究学案一、学习目标1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.学习重难点：重点：精确模型的应用-—由图象求解析式,由解析式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型二、学习过程自主探究；问题一、如图，某地一天从6～14bxA++)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差;(2）写出这段曲线的函数解析式问题二、画出函数xy sin=问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少?三、当堂检测1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大?并说明理由.课后练习与提高1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t （时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用教学设计 新人教A版必修4(2021年整
浙江省金华市高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教学设计新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省金华市高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教学设计新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角函数模型的简单应用一、教学分析教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用,进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力.学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
二、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法;b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模"思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神.三、教学重点、难点教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。
人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.6三角函数模型的简单应用》教案_002
1.6三角函数模型的简单应用教学目的：让学生根据三角函数的图象y=Asin(ωx+φ)求出函数表达式中的“A 、ω、 φ”，进一步理解 “A 、ω、φ”的图象中的作用。
让学生认识到，数学 来源于生活，我们生活中处处有数学。
教学难点：“A 、ω、φ”求法的理解。
教学过程一、复习提问“A 、ω、φ”在y=Asin(ωx+φ)的图象中的作用分别是什么？二、新课例1、如图，某一天从6―14时的温度变化曲线满足函数y=Asin(ωx+φ)＋b 。
（1）求这一天6－14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。
解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20ºC 。
（2）A ＝21（30－10）＝10 b ＝21（30＋10）＝20 因为21·ωπ2＝14－6，所以，ω＝8π， 将x ＝6，y ＝10代入上式，解得43πϕ=。
综上，所求解析式为：y ＝10sin （8πx ＋43π）＋20，x ∈［6,14］。
例2、画出函数y ＝∣sinx ∣的图象并观察其周期。
解：函数图象如右图所示。
从图中可以看出，y ＝∣sinx ∣是以π为周期的波浪形曲线。
因为，y ＝∣sin （x ＋π）∣＝∣－sinx ∣＝∣sinx ∣所以，y ＝∣sinx ∣是以π为周期的函数。
例3、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|ϕ－δ|，当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值。
如果北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？解：图（课本P69），A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼 顶在地面上的投影点。
要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳 直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不 小于MC ，根据太阳高度的定义，有∠C ＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′MC ＝'3426tan tan 00︒=h C h ＝2h 0 即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图161为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1610．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．]3．如图162所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图162y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合 作 探 究·攻 重 难](1)A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .][规律方法]一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝|f x的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝fx 的图象，应保留y ＝f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．]t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝Aωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：[解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当 堂 达 标·固 双 基]1．与图163中曲线对应的函数解析式是( )图163A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图164表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为()图164A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2.] 5．如图165，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图165(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。
人教A版 必修四 1.6 三角函数模型的简单应用 教案
思
2.已知函数 的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数 的解析式；
（2）求函数 的对称中心；（3）若函数 关于直线 对称且 ，求 的值；
（4）若当 时，方程 恰有两个不同的解，求实数 的取值范围．
比照老师问题，自主学习，并逐一回答，在过程中可与下一环节结合起来进行讨论。
提纲式引领学习，让学生有的放矢，不至于茫然抓不住重点。不知道自己要干什么。
课题名称
1.6三角函数模型的简单应用
教师姓名
学生年级
高一
课时
1
课程标准描述
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
2.三角函数:（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。
教材内容分析
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
学生分析
三角恒等变换在三角函数学习中有一定的作用，有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其它的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单恒等变换。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用教学设计1 新人教A版必修4(2021年
江苏省苏州市高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教学设计1 新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教学设计1 新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角函数模型的简单应用一、内容和内容解析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》(必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简单应用”的第二课时．“三角函数模型的简单应用”一节教材共设置了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用．教学共分两个课时：第一课时介绍前3个例题，分别是用已知的三角函数模型解决问题;将复杂的函数模型转化为sin等基本初等函数模型;根据问题情境建立精y x确的三角函数模型解决问题．通过第一课时的学习，学生已经初步掌握了由函数图象建立解析式的方法,这为第二课时的学习做好了知识上的铺垫．第二课时介绍第4个例题，即给出潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题．这一课时的内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子,可以让学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程．教科书《三角函数》这章专门设置“三角函数模型的简单应用"一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用,增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例4的教学，可以使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程,掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想．首先，是函数建模思想．本节内容需要对给出的数据细心观察,寻找规律，发现表格中的数量关系；画出散点图，用曲线拟合这些数据，并找出恰当的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型解决实际问题。
高中数学必修4 《三角函数模型的简单应用》教案
课题：从哥本哈根气候峰会谈起……《三角函数模型的简单应用》（教案）教材：高中数学人教A版必修4 第一章1．教学目标●知识与技能（1）能根据三角函数的局部图像求出三角函数的解析式；（2）能根据已知三角函数解析式画出函数图像，并根据图像研究函数性质；（3）能够将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型，解决一些简单的实际问题。
●思想与方法（1）让学生体验周期性问题的数学“建模”思想；（2）解决问题的过程中，再次深刻体会“数形结合”的方法和思想。
●情感和态度（1）让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用；（2）培养学生的环保意识。
2．教学重点、难点●教学重点：不同层次地用三角函数模型解决一些具有周期变化的实际问题。
●教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．3．教学方法与手段本课积极将数学课程与信息技术进行整合，采用多种技术手段，主要特点如下：（1）教学过程中要创造让学生亲历实践建模过程的机会，在学习过程中不断给予鼓励，帮助学生建立信心，消除畏难情绪。
（2）通过图片，flash和几何画板动画等直观形象的手段，介绍实际问题涉及的知识背景，消除学生对问题的陌生感，帮助建立数学模型。
4．教学流程设计5．教学过程【引言】哥本哈根联合国气候变化大会●设计时间：2分钟●设计意图：以哥本哈根联合国气候变化大会为背景，引入正题。
●教学活动：[师] 2009年12月7日，联合国气候变化大会在丹麦首都哥本哈根举行，“气候变暖”，“节能减排”，“低碳”等环保关键词再次吸引了全地球人的关注。
“今天，你绿色了吗？”成为了网络上一句最有号召力的口号。
但你可有想过，这个全球最大的课题其实蕴藏着许多周期变化的现象，而这些现象可以用我们数学领域中，大家所熟悉的三角函数模型来诠释。
今天，就让我们举几个简单的例子，来体会一下三角函数的价值和应用。
高中数学 1.6三角函数模型的简单应用教案 新人教A版必修41
第一章 三角函数4-1.6三角函数模型的简单应用【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。
关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？解：（1）l g f g l T l g ππωπω21,22===∴=；（2）cm g l T 8.24412≈==π，即若. 【情态与价值】一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ） A.t v y 0= B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2π B.0 C.π D.π32 3.某人向正东方向走x 千米后向右转 150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成 60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.三、解答题6. 三个力321..F F F 同时作用于O 点且处于平衡，已知 13521的夹角为与F F ，牛顿，的夹角为与2120232=F F F ，求31F F 和7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?。
【优质文档】必修4教案1.6三角函数模型的简单应用(2课时)
一、复习准备 ：
1. 函数 y A sin( x ) ( A 0, 0,
) 最高点 D 的坐标是 (2, 2) ，由最高点运动到相
邻的最低点时， 函数图象与 x 轴的交点坐标是 (4，0)，求此函数的表达式 . （答案： y 2 sin x ） 4
2. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？
如何确定初相？（特殊点法）
3. 讨论：在现实生活中，哪些现象具有周期性？（温度、白昼、振动、情绪、智力、体力等）
二、讲授新课 ：
1. 教学三角函数应用模型：
① 出示例：某港口水深 y（米）是时间 t（ 0≤ t≤ 24，单位：小时）的函数，记为 y= f (t) ，下
面是某日水深数据：
t（时） 0
3
6 9 12 15 18
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1
.
② 练习：如图，它表示电流 I Asin( t ) ( A 0, 0) 在一个周
期内的图象 . （ i ）试根据图象写出 y Asin( t
) 的解析式 .
（ ii ）在任意一段 3 秒的时间内，电流 100
得最小值－ A 吗？
I 既能取得最大值
A，又能取
100
33
（答案： I 3sin(
t )； 由T
第二课时 ： 1.6 三角函数模型的简单应用（二）
教学要求 ：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法； 选择合理三角函数模型解决实际问题；
培养学生用已有的知识解决实际问题的能力 .
教学重点 ：待定系数法求三角函数解析式；用三角函数模型解决实际问题
.
教学难点 ：选择合理数学模型解决实际问题 .
教学过程 ：
高中数学第一章三角函数1_6三角函数模型的简单应用教学案新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用讲一讲1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6. (1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？[尝试解答] (1)利用“五点法”可作出其图象．(2)因为当t ＝0时，s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm.(3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．练一练1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．讲一讲2．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[尝试解答] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f ＝1T＝80(次)．(3)列表：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．练一练2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面的距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离是h .+(1)求h 与θ间的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t s 转过的弧度数为πt30.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2＋2k π，k ∈N ，∴t min ＝30(s)．即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．讲一讲3．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作：y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据．(1)(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？[尝试解答] (1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f (t )＝A cos ωt ＋b ，并且周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1.∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪爱好者开放， ∴12cos π6t ＋1>1.∴cos π6t >0. ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )．①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1，2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤： (1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式；(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据． 练一练3．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________．解析：设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则从表中可以得到A ＝4，ω＝T ＝0.8＝π2，又由4sinφ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t .答案：y ＝－4cos 5π2t——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．(2)建立函数模型整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．(3)解答函数模型利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果． (4)得出结论将所得结果翻译成实际问题的答案．3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用 (1)三角函数在物理中的应用，见讲1；(2)三角函数在实际问题中的应用，见讲2； (3)建立三角函数模型解决实际问题，见讲3.课下能力提升(十二) [学业水平达标练]题组1 三角函数在物理中的应用1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( )A ．5 B.52C ．2D ．－5解析：选B 直接将t ＝1200代入计算即可．当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1200＋π3＝5sin 5π6＝52.故选B.2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：(1)单摆的振幅为________； (2)振动频率为________．解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz. 答案：(1)1 cm (2)1.25 Hz题组2 三角函数在实际问题中的应用3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解析：选A 周期T ＝15秒，ω＝2πT ＝2π15.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A ＝3.5．某城市一年中12个月的平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.解析：根据题意得28＝a ＋A ，18＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（12－6）＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（10－6） ＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案：20.56．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量． 解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800. 又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750. 题组3 建立三角函数模型解决实际问题7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t 与水深y 的关系：φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0，24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0，24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24]解析：选A y ＝f (t )的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k ＝12，A ＝3. 周期T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝12，t ＝3时，y ≈15. 所以φ＝0.因此，y ＝12＋3sin π6t ，故选A.[能力提升综合练]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C 该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.2．如图是函数y ＝sin x (0≤x ≤π)的图象，A (x ，y )是图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B (A ，B 可重合)．设线段AB 的长为f (x )，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝π－2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝2x －π，故选A.3．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：选C ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.4．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )解析：选C 令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1， 则l ＝θ，sin θ2＝d2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.5．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g a t ＋π3，t ∈[)0，＋∞，则小球摆动的周期为________．解析：T ＝2πga＝2π·ag.答案：2π·a g6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．解析：由条件可知，B ＝7，A ＝9－7＝2. 又T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2π12＝π6.∵3月份达到最高价，∴3×π6＋φ＝π2，∴φ＝0.所以f (x )的解析式为f (x )＝2sin π6x ＋7.答案：f (x )＝2sin π6x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N )7．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：依题意，有A ＝23，T4＝3，即T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]．∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3.∴M (4，3)．又P (8，0)，∴MP ＝（8－4）2＋（0－3）2＝42＋32＝5(km)． 即M 、P 两点间的距离为5 km.8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋12.2；又因为t ＝4时，d ＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π6＋φ＝1， 所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫17π6－π6＋12.2＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2<10.3，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6<－12， 因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11π6(k ∈Z )，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8<t <12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8，12)； 令k ＝1，得t ∈(20，24)． 故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。
高中数学必修四教案-1.6 三角函数模型的简单应用(1)-人教A版
4-1.6 三角函数模型的简单应用【学情分析】：（适用于平行班）学生学习了三角函数的图像及其性质，已经具有用数学知识解决这类实际问题的能力；另外，本班学生思维活跃，学习积极性高，已经形成对数学问题进行合作探究的意识与能力。
【教学目标】：（1）能够从实际问题中抽取基本的数学关系，把实际问题抽象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题；（2）让学生体验的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的解题能力；（3）让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用.【教学重点】：从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型解决问题.【教学难点】：从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．【教学突破点】：引导学生观察日常生活，通过对实际问题进行建模练习，从简单熟悉的问题入手，循序渐进，让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决实际问题的“苦”，从而提高学生应用三角函数解决实际问题的能力．【教法、学法设计】：教学方法——启发式、讲练相结合式；学习方法——小组讨论探究、合作交流式；教学手段——使用多媒体辅助教学．【课前准备】：课件二、引入问题情景教师展示问题情景：假如你想在该小区购买一套房子，你选购房子应该考虑哪些因素?学生活动：分小组探讨影响购房的因素，然后小组派代表说明选择的理由．说明：此题主要是为下面的例1作铺垫，故平行班对本题作简单的讨论即可，以便有更多的时间对例1进行学习．让学生了解生活常识，增加学生的学习兴趣；同时为例1作铺垫．三、师生共同探究新知例1 设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系δϕθ--︒=90，当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在某地区（纬度数为北纬24°）的一幢高为h0的楼房北面盖一新房，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？教师引导（问题1）：太阳光线正午能不能直射该地区？若不能，太阳光线从该地区哪个方位的上空照射过来？学生活动：各小组合作探讨，然后派组员试回答．（学生边回答，教师边引导）教师引导（问题2）：该实际问题中，两楼之间的距离只应满足什么条件？学生活动：讨论之后作出回答．（学生边回答，教师边引导，明确答案）教师引导（问题3）：楼房h0与太阳高度角θ及楼房影长h三者之间是什么关系？学生活动：根据老师的分析（分析等量关系），学生找出三个量之间的关系．教师引导（问题4）：太阳光线直射地球什么位置时，楼房的影子最长？学生活动：认真观察几何画板演示，然后师生讨论得出结论．解：略．（详细解答可参看课本）说明：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题．应当注意在复杂的背景中抽取，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．在教学中，教师要注意分析清楚相关学科知识以帮助学生明白基本的数学关系，使学生对三角函数的应用有进一步的了解．问题1使学生充分调动相关学科的知识来理解题意，从而为建立数学模型作准备问题2让学生找出所求问题的等价问题问题3建立数学模型，利用解三角形来解决实际问题问题4培养学生的观察分析、归纳能力。
高一数学人教A版必修4第一章1.6 三角函数模型的简单应用 教学设计
1.6 三角函数模型的简单应用（人教A版高中课标教材数学必修4）教学设计一、教学内容解析：（一）本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.6《三角函数模型的简单应用》的第一课时，学生已经学习了三角函数图像和性质，在这个基础上来学习三角函数模型的简单应用相关问题。
整节课堂中渗透数学建模的思想，为学生接下来的第二课时的学习做好铺垫。
大到宇宙天体的运动，小到质点的运动，现实生活中的周期现象是无处不在的。
而我们刚刚学习的三角函数就具有明显的周期特征，所以我们常常利用三角函数的模型来解决现实生活中存在的一些实际问题。
本节课堂的内容具有显著的现实意义，选用的两个例题都是采用课本中的原题，再进行深加工。
通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题的过程，使学生进一步巩固所学的知识，体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想。
再这个过程中可以提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力。
（二）本节课的教学重点：1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；3.利用多样化信息技术手段解决现实生活中的数据统计、方程求解等问题。
（三）本节课的教学难点：1.体会数学建模过程，对数学模型中相关量的求解。
如例题1中 的求解二、教学目标设置：（一）教学目标：1.会对信息进行利用，分析与整理。
体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用信息技术手段进行计算求解——回到实际应用问题的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
2.通过三角函数图像求解参数值的过程，使学生初步学会由图象求解析式的方法。
人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.6三角函数模型的简单应用》教案(1)
《三角函数模型的简单应用》的教学设计一．教学设计1、思路：依据《课标》，本节目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。
依据学生的认知规律和水平，本节课将例1与例2调整了一下顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图，即由数到形。
既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法。
复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决例2打下一个良好的基础和准备工作，在讲解例2中，着重要注意以下几个方面的问题。
A、要和学生共同体验并总结求y=Asin(ωx+ )+B函数的通式和通法，教会学生在过程中成长，在过程中总结，在过程中体验。
B、注意与所学知识的联系，从另一个方向加强由高中数学知识到数学本质的理解。
C、注意实际问题与数学问题的相匹配。
之后本节课设有一道与学生学习相关的人体节律问题，通过解决可用三角函数模型描述出自身问题，让学生增强学习三角函数的兴趣，并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型，并教会学生如何使用多媒体手段来模拟或解决生活中遇到的一些问题，为下一节的学习做一个准备工作。
2、设置：在每一个例题中都设置一个小结，养成一个边学、边练、边体验、边总结的学习习惯，并及时纠正在学习中出现的错误，总结经验。
3、本节设置了一些实际应用情景的练习题目，旨在加强和巩固。
第②问是为讲解下一节做准备。
二．教案：三角函数模型的简单应用〈一〉课本要求会用三角函数来解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的高中数学模型。
〈二〉⒈知能目标（目标设计）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的数学模型。
⒉情感目标：切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
⒊智育目标：体会和感受高中数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。
〈三〉知能要点梳理学习本节课的目标是加强用三角函数模型刻画周期变化现象，本节课从四个层次介绍三角函数模型的应用。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.6 三角函数模型的简单应用
Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的
函数是________．
解析 由表格知最大值为 15，最小值为 9，最小正周期为 12， 故 A＝3，k＝12，ω＝π6.又 t＝0 时，y＝12，所以 φ＝0. 答案 y＝12＋3sinπ6t
4．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标 M(2,4)和P(6,0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位 置，则得曲线的解析式是________．
①Ay＝cosπ6x； ②y－A46＝cosπ6x； ③y－－A46＝cosπ6x； ④y－A26＝sinπ6x.
[思路分析] (1)(2)建立直角坐标系即可；(3)找出气温的最大值和 最小值的月份，作差，可求得T2；(4)找出气温的最大值和最小 值，作差，求出 2A；(5)将表中数据代入检验．
学化，即建立三角函数模型．
【示例】 下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏).
月份
1
2
4
5
6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴． (1)描出散点图． (2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A. (5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
同理可得 y2＝2sinπ4x－34π＋8(1≤x≤12)． 方法技巧 转化与化归思想
利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题，
其实施的过程就是转化与化归．根据搜集到的数据，找出变化规
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1.6三角函数模型的简单应用例题1 已知后勤保障队位于沙漠考察队北偏东30︒处，两队相距80km. 上午6点，后勤队驾越野车以15km / h 的速度向沙漠考察队方向行进，但此时，沙漠考察队却以3km / h 的速度徒步向正东方向开始考察. 两支队伍均配备用于联络的步话机，步话机的联络半径是10km, 且两队都打开步话机并随时呼叫对方． （1）求两队出发t 小时后它们之间的距离f (t )；（2）在两队行进过程中，是否可以通过步话机建立联络？请说明理由．解析：设沙漠考察队出发位置为A ，t 小时位于点Q ，后勤队t 小时位于P 点. 则条件：知∠PAQ= 60︒， AP = 80 – 15t , AQ = 3t , ∴ |PQ|2 = (80 – 15t)2 + (3t)2 – 2 (80 – 15t)(3t)cos60︒ = 279t2 – 2640t + 6400 . ∴f (t ) =6400t 2640t 2792+-. (t ≥ 0 )(2) ∵f (t ) = 6400t 2640t 2792+-=314800)93440t (2792+-≥314800>313100=10.∴两队联络不上.例题2 已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
（2）函数的单调减区间（1） 此函数的图像可以由函数2sin 2y x =的图像经过怎样变换而得到。
解析：（1）最小值为22-，ｘ的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,85|ππ (2) 单调减区间为)(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ（3）先将x y 2sin 2=的图像向左平移8π个单位得到)42sin(2π+=x y 的图像，然后将)42sin(2π+=x y 的图像向上平移2个单位得到)42sin(2π+=x y +2的图像。
例题3 在△ABC 中，已知sinB ·sinC ＝cos22A，试判断此三角形的类型. 解析：∵sinB ·sinC ＝cos22A , ∴sinB ·sinC ＝2cos 1A+∴2sinB ·sinC ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］将cos （B ＋C ）＝cosBcosC －sinBsinC 代入上式得cosBcosC ＋sinBsinC ＝1, ∴cos （B －C ）＝1又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜π ∴B －C ＝0 ∴B ＝C ， 故此三角形是等腰三角形.例题4 一个扇形OAB 的周长为20，求扇形的半径，圆心角各取何值时， 此扇形的面积最大？解析：设扇形的半径为r ，则21(202)102S r r r r =-=-+ 当5r =时，S 取最大值，此时10,2ll rα=== 三角函数模型的简单应用（基础训练）1 化简0sin 600的值是（ ）A 0.5B 0.5- C32 D 32- 答案：D解析： 03sin 600sin 240sin(18060)sin 602==+=-=-2 若10<<a ，ππ<<x 2，则11cos cos )(2--+---x xa ax x a x x a的值是（ ）A 1B 1-C 3D 3-答案：A解析：cos 0,10,0,xx a x a <->->21()cos 1(1)(1)1cos 1xx aa x x x a x a ---+=--+-=--3 若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πα，则αsin log 33等于（ ） A αs i nB αs i n 1C αs i n -D αc o s 1-答案B解析：3331log log sin log sin sin 31log sin 0,333sin ααααα-<===4、在△ABC 中，︒=∠︒=︒=70,50sin 2,10sin 4C b a ，则S △ABC= （ ）A ．81B ．41C ．21D ．1答案：C5、已知角α的终边与函数)0(,0125≤=+x y x 决定的函数图象重合，αααsin 1tan 1cos -+的值为_____________ 答案：7713-解析：在角α的终边上取点1255(12,5),13,cos ,tan ,sin 131213P r ααα-==-=-= 6、 若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则2βα-是第 象限的角答案：一或三解析：111222322,(),222,(),22k k k Z k k k Z ππππαππαππ+<<+∈+<<+∈ 7、求66441sin cos 1sin cos αααα----的值答案：32解析：6622422444221sin cos 1(sin cos )(sin sin cos cos )1sin cos 1(12sin cos )αααααααααααα---+-+=---- 22221(13sin cos )31(12sin cos )2αααα--==-- 8、已知,tan tan ,sin sin ϕθϕθb a ==其中θ为锐角，求证：11cos 22--=b a θ 证明：由,tan tan ,sin sin ϕθϕθb a ==得sin sin ,tan tan a b θϕθϕ=即cos cos a b ϕθ=而sin sin a ϕθ=，得2222cos sin a b θθ=+，即2222cos 1cos ,a b θθ=+-得2221cos ,1a b θ-=-而θ为锐角，221cos 1a b θ-∴=-三角函数模型的简单应用（强化训练）1、如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）A5.0s i n 1B s i n 0.5C 2s i n 0.5D t a n 0.5答案：A 解析：作出图形得111sin 0.5,,sin 0.5sin 0.5r l r r α===⋅= 2、 已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是（ ）A 若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ>B 若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ>C 若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ>D 若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>答案：D解析：画出单位圆中的三角函数线3、在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源， 射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为0120，若要光源 恰好照亮整个广场，则其高应为_______m (精确到0.1m ) 答案：17.3 解析：0tan 30,10330hh == 4 如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限答案：二解析：2sin tan sin 0,cos 0,sin 0cos αααααα=<<> 5、角α的终边上的点P 与),(b a A 关于x 轴对称)0,0(≠≠b a ，角β的终边上的点Q 与A 关于直线x y =对称，求βαβαβαsin cos 1tan tan cos sin ++之值 答案：0解析：2222(,),sin ,cos ,tan b abP a b a a b a b ααα--===-++2222(,),sin ,cos ,tan a b a Q b a ba b a b βββ===++ 22222sin tan 110cos tan cos sin b a b a aααββαβ+∴++=--+= 6、已知αtan 、αcot 是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<<求)sin()3cos(απαπ+-+的值. 答案：0解析：提示：先利用韦达定理找出αtan 、αcot 的关系，再用诱导公式求解三角函数模型的简单应用（提高训练）1、若θ为锐角且2coscos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ）A 22B 6C 6D 4答案：A解析： 12121(cos cos )(cos cos )48,cos cos 22θθθθθθ---+=-+=+=2、设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A ．33B ．－33C ．3D ．－3答案：C解析：先化简再求解3、若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．23答案：C解析：先将0sin 30变为0cos 60再利用,3cos )(cos x x f =求解4、已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图)，试求解析式.答案：212sin()114y x π=+ 解析：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ωx 0=-2(-52π)=54π,所以y=3sin(2x+54π).(2)A=2,当x=0时，y=1,所以2sinφ=1,又｜φ｜＜2π，所以φ=4π,当x=1211π时，y=0，即2sin(ω·1211π+4π)=0,所以ω=1121,所以212sin()114y x π=+5、函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2π个单位，所得到的曲线是y=21sinx的图像，试求函数y=f(x)的解析式.答案：1cos 22y x =-解析：问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位，得y=21sin(x-2π);再将横坐标压缩到原来的21，得y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.6、求下列函数的单调区间：(1)y=sin(4π-2x);(2)y=log 21cos(3x +4π);(3)y=-｜sin(x+4π)｜解析：(1)此题可看作是由y=sint 和t=4π-2x 复合成的复合函数，应注意t=4π-2x 中t 是x 的减函数，∵2k π-2π≤4π-2x ≤2k π+2π,∴-k π-8π≤x ≤-k π+83π(k ∈Z). ∴函数y 的单调递减区间是［k π-8π,k π-83π］(k∈Z),又由2k π+2π≤4π-2x≤2k π+23π,即得-k π-85π≤x≤-k π-8π(k∈Z),∴ 函数y 的单调递增区间是［k π-85π,k π-8π］(k ∈Z)，此题也可将函数改写成y=-sin(2x-4π)的形式，然后求解.(2)此题应注意两个方面，首先是对数应有意义，cos(3x +4π)＞0,其次是以21为底的对数函数是减函数.由2k π-2π＜3x +4π≤2k π得6k π-49π＜k ≤6k π-43π(k ∈Z),由2k π≤3x + 4π＜2k π+2π,得6k π-43π≤x ＜6k π+43π(k ∈Z).∴单调递增区间是(6k π-43π,6k π+43π)(k ∈Z);单调递减区间是(6k π-49π,6k π-43π](k ∈Z).(3)设x+4π=u,y=-｜sinu ｜的大致图像如图，函数的周期是π，u ∈［k π-2π,k π］(k ∈Z)时函数递增，u ∈［k π,k π+2π］(k ∈Z)时函数递减，即x ∈［k π-43,4k π-π］ (k ∈Z) 时函数递增，x ∈［k π-4π,k π+4π］(k ∈Z)时函数递减.。