2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题学案文(含解析)新人教A版

第八节 圆锥曲线的综合问题

2019考纲考题考情

1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点。 (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断。设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0。

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元，(如消去y )得ax 2

＋bx ＋c ＝0。

①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)。

②若a ≠0，设Δ＝b 2

－4ac 。

a ．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；

b ．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；

c ．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点。 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长： |P 1P 2|＝(1＋k 2

)[(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2] ＝1＋k 2

·|x 1－x 2| ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]

＝

1＋1

k

2|y 1－y 2|。

(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)。 3．圆锥曲线的中点弦问题

遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。

在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2

a 2－

y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2

＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0

。在使用根与系数关系时，要注意前提条件是Δ≥0。

点差法的常见结论(设AB为圆锥曲线的弦，点M为弦AB的中点)：

一、走进教材

1．(选修1－1P62例5改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)。故选C。

答案 C

二、走出误区

微提醒：①没有发现直线过定点，导致运算量偏大；②不会用函数法解最值问题；③错用双曲线的几何性质。

2．直线y＝kx－k＋1与椭圆x2

9

＋

y2

4

＝1的位置关系为( )

A．相交B．相切

C ．相离

D ．不确定

解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线

与椭圆相交。故选A 。

答案 A

3．如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线y 2

＝－2px (0

＋y 2

＝9分别交于A ，B 和C ，D ，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB |·|CD |取得最大值时，直线AB 的方程为( )

A ．x ＝－2

B ．x ＝－ 3

C ．x ＝－ 2

D ．x ＝－1

解析 根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得p

2＝1或7，又0

线AB 的方程为x ＝－t (0

＝8t (9－t 2

)(0

)(0

(00⇒0

AB 的方程为x ＝－3。故选B 。

答案 B

4．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴

的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________。

解析 由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形，只要∠AF 2B 为钝角即可，所以有b 2

a

>2c ，

即b 2

>2ac ，所以c 2

－a 2

>2ac ，即e 2

－2e －1>0，所以e >1＋2。

答案 (1＋2，＋∞)

第1课时 最值、范围、证明问题

考点一最值问题

【例1】 (2019·广东六校联考)已知圆C ：(x ＋22)2

＋y 2

＝36与定点M (22，0)，动圆I 过M 点且与圆C 相切。

(1)求动圆圆心I 的轨迹E 的方程；

(2)若过定点N (0,2)的直线l 交轨迹E 于不同的两点A ，B ，求|AB |的最大值。 解 (1)设动圆I 的半径为r ，由题意可知，点I (x ，y )满足|IC |＝6－r ，|IM |＝r ， 所以|IC |＋|IM |＝6。

由椭圆的定义知点I 的轨迹为以C ，M 为左、右焦点的椭圆，且其长半轴长a ＝3，半焦距c ＝22，可得短半轴长b ＝1，

故轨迹E 的方程为x 2

9

＋y 2

＝1。

(2)当直线l 的斜率不存在时，A (0,1)，B (0，－1)或A (0，－1)，B (0,1)，此时|AB |＝2。

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为

y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋2，x 2

9

＋y 2

＝1，

消去y 得，(1＋9k 2

)x 2

＋36kx ＋27＝0，

由Δ＝(36k )2－108(1＋9k 2)>0，得k 2>1

3

。

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

可得x 1＋x 2＝－36k 1＋9k 2，x 1x 2＝27

1＋9k 2，

|AB |＝1＋k 2

|x 1－x 2| ＝1＋k 2

·

⎝ ⎛⎭

⎪⎫－36k 1＋9k 22－4·271＋9k 2

＝63(1＋k 2

)(3k 2

－1)

1＋9k 2

， 令1＋9k 2

＝t ，则t >4， |AB |＝63(1＋k 2

)(3k 2

－1)1＋9k 2

＝21＋4t －32t

2

＝2

－32·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1t 2

＋4·1t

＋1，

又因为1t ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，14，

所以当1t ＝116，即k ＝±153时，|AB |max ＝322。

综上，|AB |的最大值为322

。

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解。