第2 章 力系的简化

xC
∑ xdQ = ∫A =
Q
B
xdQ Q
∫a qxdx = b ∫a qdx
b
＝载荷图形形心坐标
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第一篇 静力学 第2章 力系的简化
常见情形：
q
r Q r Q

q
r Q1
q
r Q2
l/2 l
2l/3 l
Q= 1 ql 2
2a/3 a
Q1 =
2b/3 b
1 1 qa, Q2 = qb 2 2
Q = ql
1. 平行力系的简化，平行力系的中心 r r r r R' ⊥M O 即 R' · M O ≡ 0 则简化结果： n ⎧ 平衡、合力或 ⎪ R ' = ∑ Fi ⎪ i =1 力偶 ⎨ n r r r ⎪M = m (F ) ⎪ O ∑ O i i =1 ⎩ z
r Fn
C
Cn
r R
r Fi
C1
r rC
i =1
i =1
∑ Fi yi
i =1 n
n
∑ Fi
i =1
，zC =
∑ Fi zi
i =1 n
n
∑ Fi
i =1
重要特例：垂直分布（线）载荷合力大小与作用线求法 r y r 由上面“中心”公式： Q dQ b a q 合力大小： B b C A B Q = ∫ dQ = ∫ qdx ＝载荷图形面积 O A a x dx x x 合力作用线位置： C
解： ①选O为简化中心； ②写出各力矢量及作用点矢径： r 2 r 2 r F1 = − Fi + Fk 2 2 r 2 r 2 r F2 = − Fj + Fk 2 2 r r r r rA = ai , rB = 2aj ③求主矢与主矩： r r' 2 r 2 r r R = ∑ Fi = − F (i + j − 2 k ) 2 i =1
i y i z i =1 i =1 i =1
n
n
n
力的多边形法则 (几何法)
i
于是合力大小、方向、作用线（过汇交点）可定。
大小 方向 作用线
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2.2 力偶系
力偶矩矢为自 由矢量(等效性) 任意力偶系 (力偶矩矢量系)
与汇交力系 在数学上等效
汇交力偶系 (汇交力偶矩矢量系)
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应用 F
r r r r mO (F ) = r × F
在O点加一 对平衡力
r r r M = mO (F )
F′＋ 附加力偶M r r r M =r×F
力的平移定理
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第一篇 静力学 第2章 力系的简化
2. 力系向一点简化 主矢和主矩
力平移定理 任意力系 r r r ( F1 , F2 ,L, Fn ) (简化中心O)
汇交力系： r r r ( F1 ' , F2 ' , L , Fn ' ) r r Fi ' = Fi (附加)力偶系： r r r ( M 1 , M 2 ,L, M n ) r r r M i = mO ( Fi ) 与简化中心无关
r R' =
∑
i =1
n
r Fi ' =
∑
i =1
n
r Fi
主矢(与O无关)
合力偶 (合力偶矩矢) n r r M= Mi
∑
i =1
①合力偶矩矢量大小、方向、作用线如何？ ②平面问题如何？
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2.3 任意力系
任意力系亦可由力平行四边形法则（或力多边形法则）得到简化结果 吗？ 1. 力的平移定理 用途： ①力系简化的基础 ②分析力的作用效果
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∑
i =1
r r r r r r ③ R' ≠ 0，M O = 0 ，合力 R = R' =
∑
i =1
n
r Fi ，作用线过O点；
r r r r ④ R' ≠ 0，M O ≠ 0
r r R' ⊥M O
r r 合力 R = R' =
∑
i =1
n
r Fi ，作用线过O´点。
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r M O＝
∑
i =1
n
r Mi =
∑
i =1
n
r r mO ( Fi )
主矩(与O有关)
r r r 力系两个不变量： R ' 和 R' · M O
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固定端约束：
平面情形
3. 力系的简化结果：根据第二不变量是否为0分为两类 r r (1)第二不变量 R' ·M O＝0 提问：有几种情形？ r r r r ① R' = 0，M O = 0 ，力系平衡； n r r r r r r r r ② R' = 0，M O ≠ 0 ，合力偶 M = M O = mO ( Fi ) ，与简化中心无关；
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例2-4（原3-4）已知b=18m，H=36m，α=70°，W=9.0×103kN， P=4.5×103kN，Q=180kN，a=6.4m，h=10m，c=12m，求合力并校核重力坝稳 定性（OE≤2/3 b）。（坝体取单位长） 解：建立坐标系如图。选O为简化中心。主矢 和主矩为：
⎧M Ox = yRz − zR y ⎪ ⎪ ⎨M Oy = zRx − xRz ⎪ ⎪M Oz = xR y − yRx ⎩
(二式独立)
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r r (2) 第二不变量 R ' · M O ≠ 0 r r r r ① R '∥ M O ， ( R' , M O ) 为力螺旋，最简力系之一。 r r r r R ' ·M O > 0 ──右力螺旋， R ' ·M O < 0 ──左力螺旋， r' R 的作用线——力螺旋的中心轴
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4. 平面任意力系的简化
请同学思考如何处理。 r r r r 恒有 R ' ⊥ M O ， R' ·M O ≡ 0 力系简化结果只能为：平衡、合力偶、合力。 主矢与主矩为：
r R' =
∑
i =1
n
r Fi
MO =
∑
i =1
n
r mO ( Fi ) (代数量)
合力作用线方程：M O = xR y − yRx
2. 重心、质心、形心（自学）
提要： (1)“三心”的关系与区别；
(2)“三心”的求法：
①积分法——简单形体； ②组合法——简单形体组合； ③实验法——复杂形体。 作业：2-8, 2-12
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r' R
r ri
Ci
r F1
O x
r MO
y
关注点：若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线，还可确定合力作用点
（且各力大小和作用点不变、而在方位改变时，该点不变）──平行力系的 中心。──平行力系的重要特征。
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由合力矩定理，可求出合力作用点（中心）： n n n r r ∑ Fi ri ∑ Fi ri ∑ Fi xi r 1 i =1 = i =n rC = i =1 ，y C = 或 xC = n R ∑ Fi ∑ Fi
R′ = ΣX = P − Q cosθ = 4.331 × 103 kN x R′ = ΣY = −W − Q sin θ = −9.062 × 103 kN y
2 ′2 R′ = Rx + R′ = 1.004 × 10 4 kN y
ϕ = arctan
′ Rx = −64o 27′ R′ y
M O = ΣmO ( F ) = − Ph − Wa − Q sin θ ⋅ c = −1.033 × 10 5 kN ⋅ m
1
汇交力系 平行力系(含力偶系) 任意力系(一般力系)
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2.1 汇交力系
汇 交 力 系 和 共 点 力 系
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力的可传性 汇交力系 解析法：（合力投影定理）
Rx =
平行四边形法则 共点力系 合力
r R=
∑
i =1
n
r Fi
∑ X ，R = ∑ Y ， R = ∑ Z
r r⊥ r ( R' , M O ) → R
r⊥ r r r⊥ r r∥ 力螺旋中心轴方程： M O = r × R ，其中 M O = M O − M O
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例2-2（原3-3）化简力系。 F1 = F2 = F
OA = OD = a, OB = OC = 2a
2 2 r r r r r M O = ∑ mO ( Fi ) = ∑ ri × Fi =
i =1 i =1
z C
r F1
D
rO rA
r F2 r rB B
A x
y
r r 2 Fa(2i − j ) 2
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④判断最终简化结果：力系第二不变量 r' r 1 R · M O = − F 2a < 0 2 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。 ⑤力螺旋中的力与力偶为： r r r' 2 r r R=R =− F (i + j − 2k ) 2 r r r r r ∥ ( R '· M O ) R ' 2 Fa r r = (i + j − 2 k ) MO = 12 R '2 r⊥ r r 求力螺旋中心轴方程： M O = r × R ，其中 r r⊥ r r∥ r r 2 MO = MO − MO = Fa(11i − 7 j + 2k ) 12 r r r r r = xi + yj + zk 坐标系原点在O点 作业： 2-5, 2-6