材料力学 第四五章弯曲内力应力

a
13 RB qa 6 5 R A qa 6
Q
5/6 qa2
M
1/6
13/72
7/6
3/6
4-7 检查下列剪力弯矩图是否正确
m qa2
q A
a a
3qa 2
m qa2
B
C
qa 2
2a
qa
3qa 2
qa 2
a
qa 2
qa2 2
qa2
q A
P=qa
B A
q
a
a
a
a
4a
a
qa
2qa
11 2 qa 8
y E E

A
y(
E

y )dA
E


A
y 2 dA M
令 EI z
I z y 2 dA
A

M
抗弯刚度
M 或 EI z
1
My Iz
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
My Iz
横截面上 某点正应力 该截面惯性矩
例5-1 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布
纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂 直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问 题的平面假设。
中 性 层
中 性 轴
# 中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
• 中性轴
中性层与横截面的交线。
2
（1） q = 0 ，Q =常数，为一水平线。M 为 x 的一次函数，是 一条斜直线。（计算特殊点按x 顺序连直线） （2）q =常数时，Q 为 x 的一次函数，是一条斜直线。M 为 x 的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三 点连抛物线）。 （3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾 斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极 值点位于剪力Q 为零的截面。 （4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变 值等于集中力或集中力偶矩的值）
X 0
RAx 0
RAy RBy P 0
RBy l P l / 2 0
RAy
l
RBy P / 2
RBy
Y 0 M 0
A
RAy P / 2
再以悬臂梁为例
假设该悬臂梁承受均布载荷 Rx 固定端有3个约束反力 建立平衡方程求约束反力 MA
y
q
A Ry
（2）求最大应力
因危险截面上的弯 矩为负，故截面上缘受 最大拉应力，其值为
q 1 kN / m
P 2 kN 1
M D 10 kNm
B
P2 2 kN
A
C
D
E
RA
4m 4m 4m
RB
3m
RA 7 kN RB 5 kN
习题与
课堂练习
画剪力弯矩图
4-2（e）
q =10 kN/m
A
M
C
B
0
B
q 0.4 0.2 RA 0.6 0 10 0.4 0.2 RA 0.6 0
一端自由 一端固定铰支座 活动铰支座位于梁中 某个位置
4、求支座反力的平衡方程
求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系 求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件
X 0, Y 0, M 0
举例说明 y A
R Ax
左边固定铰支座，有两个约束反力 P B
l/2
x
右边活动铰支座，1个约束反力
RB
a
1
1 q 2a a q a a R A 2a 0 2
3 R A qa 4 9 RB qa 4
Q
3/4
0.28
5/4
M
0.5
4-5（h）
m qa2
A
q C
B
M
A
0
2
RA
a
5/6 qa
11 a 6
RB
2a
1
RB 3a qa q 3a 2.5a 0
(a x l )
(3) 画剪力图和弯矩图 AC段:
Pb Q R l
1 A
1 A
(0 < x < a)
Pb M R x x (0 x a) l
CB段：
集中力使剪力图突变
Pa Q2 l
(a x l )
集中力使弯矩图折曲
Pb M2 ( l x ) (a x l ) l
平面弯曲的概念
我们只研究矩形截面梁的弯曲
矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲
4-2 梁的载荷与支座反力
1、梁的载荷
# 集中力 # 均布载荷 # 集中力矩 正负号规定： 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负； 集中力矩逆时针为正、顺时针为负。
举例：
求图示简支梁 x 截面的弯矩 在x 处截开，取左半部分分析 画出外力、约束反力、弯矩 x 截面剪力、力矩平衡方程
y
A
q B
x
l
x
q
qx
Y 0
M 0
RAy qx Q 0
M RAy Q
Q RAy qx
x M qx RAy x 0 2
1 2 M R Ay x qx 2
2、梁的支座反力
梁的支承方法及反力
名 称
图 示 法 反 力 未知反力数
滑动铰支 Ry
1 (Ry)
Rx 固定铰支 Ry M 3 (M， Rx，Ry) Ry 2 (Rx，Ry)
固 定 端
Rx
3、梁的类型
根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型
简支梁
悬臂梁
一端固均布载荷的简支梁
y
q B
Q RAy qx
1 2 M R Ay x qx 2
A
x
l
x
Q
R Ay
ql 2
M
x x
1 2 M ql 8
（1）列剪力方程和弯矩方程
Y 0, Q P 0 得Q P 由M 0, Px M 0
x
RB
RAy RAx a
x
P1
m
Q
M 对截面中心建立力矩平衡方程
RAy
M 0
RAy P Q 0 1
M P x a RAy x 0 1
Y 0
Q RAy P 1
M RAy x P x a 1
说明：
1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。 2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的 平衡方程。 3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 建立在截面的中心。
CB段 : Q2 R A M0 l M0 x M0 l
集中力偶不使剪力图变化
M 2 RA x M 0
(a x l )
（3）画剪力图和弯矩图
M
max

Mb l
0
集中力偶使弯矩图突变
（1）求支座反力
由M B 0和M A 0可得 M0 P M0 P RA , RB l 2 l 2
5、分布载荷q、剪力Q
和弯矩 M之间的微分 关系
Y 0 : Q qdx Q dQ 0 M0 0 : M Qdx qdx dx M dM 0 2
dQ qdx
dM Qdx
dQ q, dx
dM Q , dx
d M q 2 dx
（2）列写弯矩方程
AC段 : M0 P M 1 RA x x x l 2
CB段 : l M 2 RA x P( x ) 2 M P Pl 0 x x Px l 2 2 M0 P x (l x ) l 2
集中力使弯矩图折曲
（3）画弯矩图
集中力偶使弯矩图突变
(a)
2、应力和变形的关系（物理关系） 由虎克定律
y E E
弯曲正应力分布规律
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等； • 正应力大小与其到中 性轴距离成正比； • 弯矩为正时，正应力 以中性轴为界下拉上 压；
y E E
M
• 弯矩为负时，正应力上拉下压； • 中性轴上，正应力等于零
l
B
x
X 0
Rx 0
Y 0
M
A
Ry q l 0
l M A ql 0 2
Ry ql
1 2 M A ql 2
0
4-3 梁的内力
# 剪力和弯矩 # 剪力和弯矩的正负号规定 # 截面法求内力 # 剪力图和弯矩图
1、剪力和弯矩
与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类： 剪力和弯矩 y 考察弯曲梁的某个横截面 在截面形心建立直角坐标 系
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部 将缩短
变形的几何关系为：
O1O2 d dx ab dx d ab ( y)d
ab ab ( y)d d y ab d
(a)
ab ab ( y)d d y ab d
载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面 的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。