12.3.1_角平分线的性质1

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12.3.1角平分线的性质1(公开课)

就是它的__角__平__分__线.
(2) 再折出一个直角三角形, 打开完原后折痕为 PD和PE, 则它们的大小关系是____P_D_=_P.E
你能说明其中的道理吗？
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
第11页，共20页。
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
(1) 明确命题中的已知和求证
(2) 根据题意, 画出图形, 并用数学符号写出的已知和求证.
(3) 经过分析, 找出由已知推出要证的结论的途径, 写出证明过程.
第18页，共20页。
思考：
◆已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板画出∠AOB的角平分线？说出画法和理由.
第19页，共20页。
作业：
你能根据上述平分角的仪器得出尺规作图: 作一个角的角平分线的方法吗？
第8页，共20页。
A
12
B
C E
已知: ∠AOB
A
求作: ∠AOB的平分线
M
作法: (1) 以O为圆心, 适
●
当长为半径作弧, 交OA
C
于M, 交OB于N;
●
●
O
N
B
(2) 分别以M、N为圆心, 大于两弧在∠AOB的内部交于点C.
活动 1
1 、不利用工具，请你将一张用纸片做
的角分成两个相等的角。你有什么办法
？
（对折）
2 、打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？
A
C
O
B
第6页，共20页。
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木板、钢 A 板等没法折的角，又该怎么办呢？
1、如图，是一个角平分仪，其

【最新版】八年级数学上册课件：12.3 角的平分线的性质(第1课时)

PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
O
OP= OP，
A
D C
P
E
B
∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
探究新知
归纳总结
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
仔细观察步骤
A M
C
半径小于
1 2
MN或等于
1 2
MN，可以
吗？
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半
径画弧，交OA于点M，交OB于 B
点N.
N
O
（2）分别以点M，N为圆心，大
于
1 2
MN的长为半径画弧，两弧在
∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所
作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!
求.
探究新知
已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
探究新知
知识点 2 角平分线的性质
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.

八年级数学人教版第12章全等三角形12.3 角平分线的性质12.3.1 角的平分线的性质【教案】

角的平分线的性质1、通过实例及观察探究角平分线的尺规作图。

2、通过实验和理论分析理解角的平分线的性质。

并进行简单应用。

3、通过实际问题的引入，探究角的平分线的判定，并由全等加以证明。

4、通过实验和理论分析理解三角形三条角平分线交于一点的原因。

5、进一步使学生对角的平分线的性质与判定加深理解，提高解决问教学过程设计一、情境与问题设计情境1、如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，你能说明它的道理吗？问题1、已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法？问题2、从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

(1)已知什么？求作什么？(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?(3)简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画？(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?(6)归纳角平分线的作法情境2、如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的说明你的结论的正确性吗？问题3、观察折纸（得角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 .）（1）折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么关系？PD和PE相等吗？（2）两次折叠形成的三条折痕，两个直角三角形全等吗？（3）你能归纳出角平分线的性质吗？（4）请证明你的结论？（利用全等三角形证明课本20页）小结：证明几何命题的步骤（1）明确已知和求证。

（2）根据题意画出图形，用数学符号写出已知和求证。

（3）经过分析，写出证明过程。

情境3、如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？为什么？情境4、多媒体课件动态演示，当拖动∠AOB内部的点P时，在保持PM＝PN(PM ⊥OA，PN⊥OB)的前提下，观察点P留下的痕迹。

12.3角平分线的性质(一)

角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角
平分线。
B O A
C
B
O A
C
∠AOC =∠BOC ∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
= =
在△ADC和 △ABC中， AD= AB DC=BC
AC=AC
（SSS） ∴△ADC ≌ △ABC ∴ ∠DAE=∠DAE
D
B
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。
C D
A
E
B
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?
E A O P C
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
尺规作图
用尺规作角的平分线.
A D C
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长
O
E
B
为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.

人教版数学八年级上册12.3.1角的平分线的性质教案

12.3.1角的平分线的性质
教学过程
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
教材解析
角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，为后面证明线段相等、角相等的几何证明开辟了一种新的，更为简捷的方法。

同时也是轴对称图形的基础，并为解决九年级下册确定内切圆的圆心提供了依据。

教材不仅为学生动手操作、观察、思考、验证、交流等提供了较好的素材，使学生通过自主探究、合作交流等方式形成新的知识，更让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，从而解决相关的实际问题。

学情分析
八年级的学生思维活跃，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇.针对学生的心
理特征，本课时采用让先学生分析、推断的探究方式，让学生感受到探索的乐趣.。

教学目标
知识与技能
1. 会作已知角的平分线；
2. 了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；
3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
过程与方法
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
情感态度与价值观
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
重点角的平分线的性质的证明及应用难点
角的平分线的性质的探究
教学准备几何画板课件，ppt 课件，教具，微课。

第12章 12.3 第1课时角的平分线的性质

第 10 题
教材感知
课关堂键能检力测
-11-
11．如图所示，OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，D 是 OA 上一点，E 是 OB 上一点，且 PD＝PE.求证：∠PDO＋∠PEO＝180°.
教材感知
课关堂键能检力测
-12-
证明：过点 P 作 PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为 M，N.∵OC 平分 ∠AOB，∴PM＝PN.∵PD＝PE，∴Rt△PMD≌Rt△PNE(HL)．∴∠PEO ＝∠PDM.∵∠PDO＋∠PDM＝180°，∴∠PDO＋∠PEO＝180°.
∴∠2＋∠3＝60°，∠EFA＝∠2＋∠3＝60°，∴∠GEF＝60°＋∠1.又由角平分线的性质可得 FG＝FI＝FH.又∵∠HDF＝∠B＋∠1，∴∠GEF＝ ∠HDF. 因此由 ∠EGF ＝ ∠DHF ， ∠ GEF ＝ ∠HDF ， FG ＝ FH 可证
△EGF≌△DHF，∴FE＝FD．
A．12cm
B．11cm
C．14cm
D．10cm
第8题
教材感知
课关堂键能检力测
-9-
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 是角平分线，若 CD＝m，
AB＝2n，则△ABD 的面积为( A )
A．mn
B．5mn
C．7mn
D．6mn
第9题
教材感知
课关堂键能检力测
-10-
10．如图，AB∥CD，O 为∠BAC 和∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC 于点 E，且 OE＝4，则两平行线间的距离为_8__．
③BD＝CD，AD⊥BC；
④∠BDE＝∠CDF.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个

《角的平分线的性质(1)》课件

PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究三：用角的平分线的性质解决简单问题活动1 例1 (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
则图中PD＝PE吗不相等
【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测重难点归纳
（1）角的平分线的性质的探究. （2）角的平分线的性质的证明及应用. （3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.
边的垂线段. 哪个学生的作法正确？同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二：角的平分线的性质活动2 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
证明： ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E， ∴DC=DE 又∵△AD=DF △ ∴ DCF≌ DEA（HL）
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
活动3
练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE， CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
知识回顾问题探究探究二：角的平分线的性质活动3
课堂小结
随堂检测
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知） ∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案

12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 第1课时角平分线的性质课件

O （3）垂直距离.
C P
定理的作用：证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个，必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A

人教版数学八上课件角平分线的性质(第1课时)

上的点到这个角的两边的距离
相等.
符号语言：
O
∵∠1＝∠2
PD⊥OA,PE⊥OB(已知）
∴PD=PE(角平分线上的点到这
个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.
A D
1
P
2
C
E B
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
定理的作用：证明线段相等。
D
A
C P
E B
用一用（1）
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC A
于E，PF⊥AC于F ∵ BM为△ABC的角平分线
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
用一用(2)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E
F
B
温馨提示:
D
C
悟做完题目后,一定要“ ”到点东
西,纳入到自己的认知结构中去.
应用与提高
例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB。
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

角平分线的性质第一课时

边的距离相等。
如图，已知AD是△ABC的角平分线，且D为BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF.
四、课堂小结
这节课我们学习了什么知识呢？
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
五、能力检测
1、已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，且 DE=3cm，则点D到AC的距离是_________cm. 3 2、如图，AD是△ABC中∠A的平分线，过D作AB、 AC边的垂线，垂足分别为E、F，那么下列结论丌正确的是（ C ） A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF
12.3.1角平分线的性质（1）
•
一、目标导学
核心知识：通过探究理解角平分线的性质并会运用；核心能力：通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力。情感态度：培养积极参与对数学问题的讨论的能力，敢于发表自己的观点，并用实例来给予证明，培养对数学的好奇心。
重点：角平分线的性质的运用。难点：角平分线的性质的理解。
五、能力检测
3、已知，如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BA C的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF。求证：CF=EB。
二、自主学习
• •
相等猜想：角平分线到角的两边的距离_____
三、合作探究
证明：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 ①明确命题中的已知和求证； ②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
三、合作探究
已知：OC平分∠AOB，P为OC上的一点， PM⊥OA，PN⊥OB. 求证：PM=PN.

12.3_角平分线的性质1

证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. A ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
N
D
P
M F C
B
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
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3 如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与 ∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ｃ更上一层楼！ F H
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A D P
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O 的距离相等) 1 2
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角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。 O E D
A
C
P
B
定理的作用：证明线段相等。
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
D A
C
P
E B
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。

《角的平分线的性质(1)》教案

12.3 角的平分线的性质第一课时一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；2.探索并证明角平分线的性质；3.能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是 .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△中，∠C＝90°，是∠的角平分线，若＝8，＝5，则点D到的距离为.答案：3解析：根据题意画出图形，过点D作⊥，交于点E，D点到的距离即为的长. ∵∠90°∴⊥∵⊥，⊥，平分∠∴∵8，5，，∴3即D点到直线的距离是3.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠的平分线上一点P，P到的距离为2.5，则P到的距离为.答案：2.5解析：∵P是∠平分线上一点,点P到的距离是2.5,∴P到的距离等于点P到的距离,为2.5.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，⊥，⊥，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、＝B、＝C、∠＝∠D、＝答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知＝，由知△≌△，则两三角形全等知＝，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠＝∠D项；错误点拨：由题设可知为∠的角平分线，为P到的距离，为P到的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些?（2）三角形中有哪些重要线段?三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流12BD分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.●活动②如图是一个平分角的仪器，其中，.将点A 放在角的顶点，和沿着角的两边放下，画一条射线，就是∠的平分线. 你能说明它的道理吗?对个别学生进. .●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠求作：∠的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交于B ，交于D.（2）分别以B 、D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠的内部交于点C.（3）画射线.∴射线即为所求.分组讨论：上面作法的第二步中，去掉“大于12的长”这 1．在个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠的内部吗？学生讨论结果总结：B1．去掉“大于12的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B、D为圆心，大于12的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠的内部，也可能在∠的外部，而我们要找的是∠内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：表示∠的角平分线，和分别表示P到和的距离，P到角两边的距离相等（）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：平分∠，⊥，⊥，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵⊥，⊥ (已知)∴∠ = ∠90°(垂直的定义)在△和△中∠ = ∠（已证）∠ = ∠（已知）（公共边）∴△≌△（）∴（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠∠, ⊥，⊥，垂足分别为点D、E.（已知）∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中,点P都在∠的平分线上,则图形( )中＝.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是和是到角两边的距离.【解答过程】选项A 中如果增加一个条件＝，就能得出＝；选项B 和C 中不是到的距离；选项D 中P 到和的距离为和.【答案】D(2)下图中⊥⊥，垂足分别为点D 、E ，则图中＝吗?【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉为∠的平分线，由此与不相等.【解答过程】与不相等，因为不是∠的平分线.（3）如图,△中，∠C ＝90°，平分∠，＝2，则点D 到的距离为．【知识点】角平分线的性质. 【思路点拨】过E,由平分∠，可得2.,垂足为E,∵平分∠，⊥⊥∴∵＝2，∴2，即点D 到的距离为2【答案】2 练习：如图,E ，7，则 .,∴∴.∵7,∴7.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动 ②例2如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 100 ，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠的平分线．第二步：在射线上截取2.5 ，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和公路【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图,△中，∠C＝90°，平分∠，⊥于E，F在上，求证：【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质【思路点拨】证和所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，平分∠，⊥于E，∴又∵∴△≌△（）∴练习：如图，⊥于点D，⊥于点E，，交于点O，且平分∠，求证：．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得，证明△≌△可得【答案】证明：∵⊥，⊥，平分∠，∴，∠∠90°．∵∠∠，∴△ ≌ △．∴．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.（三）课后作业基础型自主突破1．如图，是∠的平分线，P是上一点，⊥于点D，4，则点P到边的距离为（）A．4 B．3 C．3 D．1【知识点】角平分线的性质【思路点拨】因为⊥，4，即P到的距离为4，P是∠的平分线上一点，P到和的距离相等，所以P到边的距离为4.【解答过程】解：过P做⊥于E,∵是∠的平分线，⊥, ⊥,∴4即P到的距离为4.【答案】A2 .如图，平分∠，⊥于点A，点Q是射线上一个动点，若5，则的最小值为．【知识点】角平分线的性质和点到直线的距离【思路点拨】因为Q在上，当⊥时，的长度最小.【解答过程】解：过P作的垂线段，垂足为B,因为最小，则B点与Q点重合，∵平分∠，⊥，⊥∴5.【答案】53．如图，已知在△中，是边上的高线，平分∠，交于点E，6，3，则△的面积等于（）A．10 B．9 C．8 D．7【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式【思路点拨】过E点作的垂线,垂足为F，根据角平分线的性质可得3,则△的面积等于9.【解答过程】解：过E作的垂线段垂足为F,∵平分∠，⊥⊥,∴∵3，∴3又∵6∴S△12·9【答案】B4. 如图，∠1＝∠2，⊥，⊥，垂足分别为D，E，则（1）＝，（2）＝，（3）∠＝∠，（4）＝中正确的有（）个.A．4 B．3 C．2 D．1【知识点】角平分线的性质和三角形全等.【思路点拨】由角平分线的性质可得,易证△≌△(),所以, ∠＝∠.【解答过程】解：∵∠1＝∠2，⊥，⊥，∴,即（1）正确∵∴△≌△(),∴, ∠＝∠.即（2）（3）正确.【答案】B5．如图，在△中，平分∠，S△: S△3:2，则：.【知识点】角平分线的性质和三角形的面积.【思路点拨】已知角平分线常常考虑在角平分线上找一个合适的点，过这个点作角两边的垂线段.【解答过程】解:过D点分别和作垂线段和,垂足为E和F,∵平分∠，⊥⊥,∴【答案】3:26．如图，在△中，∠A＝90°，平分∠，⊥＝4，3，5，则△的周长为．【知识点】角平分线的性质和三角形全等.【思路点拨】根据角平分线的性质可得,易证△和△全等，则对应的边1，3. 【解答过程】【答案】4能力型师生共研1..如图，在△中，∠90°，平分∠，D到的距离为9，∶5∶3．试求的长．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作的垂线,垂足为E,根据角平分线的性质可得, D到的距离为9,即9,所以9,因为∶5∶3，所以1524.【解答过程】解：过D作的垂线,垂足为E,∵平分∠，⊥⊥,∴∵D到的距离为9，∴9∴9∵∶5∶3，∴15∴24.2.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△的内角平分线的交点，已知P点到边的距离为1，△的周长为10，则△的面积为．【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式.【数学思想】等积法.【思路点拨】利用割补法把△分成△、△和△，它们的高都为1【解答过程】解：过P分别作的垂线段.∵平分∠，∴，同理可得：∴∵1∴1S△△△∵S△【答案】5探究型多维突破1. 如图，∠的平分线为，将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠的两边分别相交于点E、F，试猜想、的大小关系，并说明理由．【知识点】角平分线的性质和三角形全等.【思路点拨】利用角平分线的性质构造和所在的两个三角形全等.【解题过程】解：，理由如下：过点P作⊥，⊥，垂足是M，N，则∠∠90°，∵平分∠，∴，∵∠∠∠90°，∴∠90°，∵∠90°，∴∠∠，∴△≌△，∴．2.在△中，∠900平分∠543,求长.【知识点】角平分线的性质.【数学思想】等积法.【思路点拨】过D 点作⊥于E,根据角平分线的性质可得,由 S △△△,可以求出34，【解题过程】解：过D 点作⊥于E∵平分∠，⊥，⊥∴∵S △△△,自助餐：1．如图，在△中，∠A ＝90°，平分∠，＝2 ，则点D 到的距离为．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D 作的垂线，垂足为E,由角平分线的性质可以【解答过程】解：过D 作的垂线，垂足为E,∵平分∠，⊥，⊥，∴，∵＝2 ，∴2 ，即D 到的距离为2【答案】22．（临沂市）如图，平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【知识点】角平分线的性质和全等三角形的性质.【思路点拨】由角平分线的性质可得,易证(HL)OPA OPB ≅△△,所以, PO 平分APB ∠.【解答过程】∵ 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，∴∴A 正确∵,∴,∠∠∴B 和C 正确⊥可以证明，但是平分无法证明.【答案】D3.如图，在△中，∠90°，，平分∠，交于点D ，⊥于点E ，且5 ,则△的周长为( ) ．A.9B.6C.5D.不能确定【知识点】角平分线的性质和全等三角形的性质.【思路点拨】因为平分∠，所以，易证，5.【解答过程】【答案】C4.如图，已知四边形中，平分∠，，求∠∠的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【数学思想】转化的数学思想.【思路点拨】过C 作⊥于F ，⊥交延长线于E ，根据角平分线性质求出，，根据证△≌△，推出∠∠即可．【解答过程】解：过C 作⊥于F ，⊥交延长线于E ，则∠∠90°，∵平分∠，∴，在△和△中∴△≌△（），∴∠∠，∵∠∠180°，∴∠∠180°5.如图，△中，∠60°，∠，∠的平分线，交于点O，说明的理由．【知识点】角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【数学思想】转化的数学思想.【思路点拨】在上取，连接，即可证得△≌△，得∠∠；再证得∠∠，则根据全等三角形的判定方法即可证△≌△，可得，即可得结论．【解答过程】∴．6．如图，已知∥， ∠和∠的平分线交于E ，过E 的直线交于D ，交于C ，求证: ．【知识点】角平分线的定义和全等三角形的综合应用.【数学思想】转化的数学思想.【思路点拨】构造或所在边的两个三角形全等（构造一个三角形与△全等或△）.【解答过程】证明：在上截取.∵是∠的平分线(已知)∴∠∠(角平分线定义)在△和△中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证已作AE AE FAE DAE AF AD ∴△≌△()∴(全等三角形对应边相等)∴∠∠(全等三角形对应角相等)∵∠∠1800(邻补角定义)又∥(已知) ∴∠∠1800(两直线平行，同旁内角互补)∴∠∠C(等角的补角相等)∵是∠的平分线(已知)∴∠∠(角平分线定义)在△和△中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(公共边已证已证BE BE C BFE CBE FBE ∴△≌△()∴(全等三角形对应边相等)∴．。

角的平分线的性质(1)

A M C
O
N
B
发现பைடு நூலகம்的平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？ PD=PE 在OC 上再取几个点试一试． A HG=HF RM=RN M 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？角平分线上的点到角两边的距离相等。
A
C A P O D E A B B C
C
P B
运用角的平分线的性质
例1已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA ，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知） ∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上（已知） ∴PE=PF（角平分线上的点到角的两边的距离相等） A ∴ PD=PE=PF. D 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 F
AB=AD BC=DC AC=AC ∴ △ABC≌ △ADC（SSS） ∴ ∠BAC=∠DAC ∴ AC平分∠DAB, 即：AE平分∠DAB
D
B
C
E
用尺规作角的平分线
作法: 1，以O为园心，以任意长为半径画弧，交OA,OB于M,N。
2，分别以M,N为园心，以大于1/2MN为半径画弧，两弧交于C。 3，过O作射线OC，则：OC就是∠AOB的平分线。
N P M
B
E
C
运用角的平分线的性质
练习2 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E， A F．求证：EB =FC．证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC ∴ DE=DF, ∴ ∠BED=∠CFD=900 E F 在△BED和 △CFD中 ∠BED=∠CFD B C D ∠B=∠C DE=DF ∴ △BED≌ △CFD（AAS） ∴ EB=FC,

12.3.1_角平分线的性质1