角平分线的性质(1)

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角的平分线的性质(1)

11．3．1角的平分线的性质执笔人：王金梅审核人：董介文孙秀云【学习内容】教材P19－20【学习目标】1.掌握作已知角的平分线的方法，并掌握角平分线的性质。

2.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。

3.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

4.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。

5.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

【学习重点】利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质的证明及运用。

【学习难点】角的平分线性质的探究；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。

【教学准备】平分角的仪器（自制）、三角尺、圆规、多媒体课件。

【学习过程】[知识回顾]1、全等三角形的性质：若△ABC≌△DEF，则有。

2、三角形全等的判定方法有：。

3、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线[自主探究]【活动1】问题：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。

教师展示课件，并展示学生作品。

[设计意图]回忆角的平分线的定义，掌握角的平分线的简易作法。

让学生体验成功。

【活动2】 ( 体会平分角的仪器道理)议一议：如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器，如图，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？（教师演示，并介绍“平分角的仪器”的特点。

学生将实物图抽象出数学图形，思考后组内交流.）本次活动中，教师重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪器中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE 是∠BAD 的平分线。

（师生共同分析讨论，探究问题的解答.）分析：要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB 。

《角平分线的性质(一)》课后反思

角平分线的性质（1）课后反思一、教材分析本节课北师大版八年级下册角平分线的性质的第一课时。

角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以让学生对全等三角形的判定和性质的应用价值有更深层次的认识。

同时为学习其它图形知识打好基础.二、学生情况八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。

能使脑、手充分动起来，学生间相互探讨，积极性基本被充分调动起来，该班自己动手探索的学习方式贯彻较好。

三、教法和法学：通过创设情境、动手实践，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。

四、教学过程设计方面的反思首先，本节课我本着学生为主，突出重点的意图，结合课件使。

在角平分线的画法总结中，我让学生自己动手，通过对比平分角的仪器的原理进行作图，为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。

期次，从教学流程来说：情境创设---实践操作---交流探究---练习与小结---拓展提高，这样的教学环节，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。

再次，了解学生的知识水平，注重了学生的反馈，是成功的前提，在第一个班上课时，教学设计中高估了学生，没有安排“点到直线的距离”的复习，在学到“角平分线的性质”时，发现学生对“点到直线的距离”及结合图形用符号语言表示点到直线的距离等知识相当陌生，于是匆匆给学生补充了相关的内容，从学生的练习看，有相当多的学生在用角平分线的性质证明时，漏写角平分线上的点到角两边的垂线段垂直两边的条件，只能通过不断强调来纠正学生的问题。

吸取在这个班的教训后，在对第二个班的教学前，我对原来的设计进行修改，在新课前补充了“问题1：什么是点到直线的距离？请画图说明。

”，在角平分线的性质的探索后补充了“应用性质的书写格式”“强化巩固：判断”的内容。

可见，不管用什么方式教学、如何设计，都要了解学生，因材施教是教育的灵魂。

四、本节课的不足本节课在授课开始，我没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用.在授课过程中，学生的能力有些高估，表现在引入新课前一些知识没有复习到，导致学生在用符号语言表达角的平分线性质时不是很顺利。

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

角平分线(1)性质定理与逆定理

八年级数学（上册）第十二章
角平分线（1）性质定理与逆定理
角平分线
你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点 A ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. D 分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPB， O 1 2 E B P C
而△OPD≌△OPB的条件由已知易知它满足公理(AAS).
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
角平分线定理
定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) O ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
A
D 1 2 E B P C
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
角平分线逆定理
你能写出“定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗? 逆命题在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 A 点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB, 1 P O 2 C PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. E 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 B 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠1=∠2. 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
′
逆定理
逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 如图, A ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 D 分别是D,E(已知), 1 P ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 2 C 个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). E B 老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.

初中数学《角的平分线的性质(第1课时)》教学设计

教学设计（一）创设情景，提出问题如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课．（二）合作探究，形成知识问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？师生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．小组交流完成教学过程教学环节教学活动评估要点追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．如果学生没有思路，教师可作如下提示：1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能．最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性．问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题：1．操作测量：任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E 为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：此处的思考内容，重在发展学生的发散思维，肯定学生的闪光点2．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________ 3．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，一起猜想出角的平分线的性质．追问1：通过动手实验、观察比较，我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？1．明确命题中的已知和求证．已知：一个点在一个角的平分线上．结论：这个点到这个角两边的距离相等．（如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等）2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD=PE．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)∴在△PDO和△PEO中∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，∴PD=PE．师生活动：教师首先引导学生分析命题的条件和结论．如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件（垂直）．最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？师生活动：师生共同概括证明几何命题的一般步聚：1．明确命题中的已知和求证．2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．追问3：角的平分线的性质的作用是什么？师生活动：学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．【设计意图】让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步聚，发展他们的归纳概括能力．而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷．（三）巩固提高1．下列结论一定成立的是（）A．如图1，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．B．如图2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则PD＝PE ．C．如图3，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．图1 图2 图32．如图4，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．图4师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拨，并板演证明过程．【设计意图】通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力．板书设计性质一：角的平分线上的点到角的内部到角的两边的距离相等∵∠POA=∠POB（OP平分∠AOB）PA⊥OA、PB⊥OB∴PA=PB课后作业如图， OP 为∠AOB 内一条射线， C，D 分别为 OA ，OB 上两点，且∠PCO+∠PDO＝180°， PC＝PD．求证： OP 平分∠A0B．课后反思本课时重在理解掌握性质定理一，并将其灵活应用到具体的几何问题中去，一定要让学生明白应用的前提是“角平分线”，1是角平分线，2是涉及到垂直（或90度），两者缺一不可。

角的平分线的性质(1)

复习三角形的5个判定定理
∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
我们看看条件够不够．
AB AD BC DC AC AC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自
己动手做做看．
作已知角的平分线的方法
为圆心，大于1
2 MN
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1 2
吗？
．去掉“大于
2
MN
为圆心，大于
2
MN
这种作法的可行性可以通过全等三角形的哪个判定定理来证
1 2 3
3
4
3 5
6
※【变式2】在锐角△ABC中，
7
，则下列结论：①AD平分∠CDE
（
8
9。

角的平分线的性质(1)

八年级数学导学案时间：__年___月___日课型：新授课主编：郝文娟审核人：课题：11.3角的平分线的性质（1）八年级___班____组姓名：学习目标：1、会用尺规作一个已知角的平分线．。

2、掌握角平分线的性质。

学习重点：．利用尺规作已知角的平分线。

学习难点：角的平分线的作图方法的提炼．学法指导：1、回顾三角形全等的性质及判定。

2、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理。

3、思考、操作并与同伴合作交流，提炼角的平分线的作法。

4、折纸、观察、思考、归纳角的平分线的性质。

学习过程：一、温故知新1、什么是角的平分线？2、在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？二、探究新知：1、自主探究如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 平分线．你能说明它的道理吗？2 、合作探究你能依据平分角的仪器的原理，得出作已知角的平分线的方法吗？已知：求作：作法：作图：议一议（1）在课本19页作法的第二步中，去掉“大于 MN 的长”这个条件行吗？（2）第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？213、探究如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？（1）按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？（2）如何用文字语言叙述所画图形的性质呢？把你得到的结论写下来。

（3）用符号语言来翻译（2）中的结论，并填下表：（4）证明该文字命题三、学以致用1、平分平角∠AOB。

通过上面的步骤得到射线OC后，把它反向延长得到直线CD。

直线CD与直线AB是什么关系？3、四、学习感悟本节课你学到了什么？五．教（学）后反思：当堂检测时间：__年___月___日课型：新授课主编：郝文娟审核人：课题：11.2三角形全等的判定（4）—直角三角形判定八年级___班____组姓名：1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

角平分线性质(第一课时)

利用角平分线定理解决代数问题
除了在几何证明题中的应用，角平分线定理还可以用于解决一些代数问题。例如，可以利用角平分线定理来求解一些与角度和边长相关的问题，或者求解一些与三角形面积相关的问题。
在解决代数问题时，我们需要将问题转化为几何图形，并利用角平分线定理来建立代数方程或不等式，然后通过代数方法求解。
03 角平分线的作法
利用直角三角板作角平分线
准备工具：直角三角板、直尺、铅笔、橡皮。
步骤
1. 将直角三角板的一条直角边与已知角的边重合。
2. 移动三角板，使另一条直角边与角的另一边重合。
利用角平分仪作角平分线
准备工具：角平分仪、直尺、铅笔、橡皮。
01
02
步骤
1. 将角平分仪的固定臂与已知角的边重合。
03
04
2. 调整角平分仪的活动臂，使其与角的另一边重合。
3. 旋转角平分仪，使刻度线与角平分线重合。
05
Hale Waihona Puke 064. 沿着刻度线画出角的平分线。
利用尺规作图作角平分线
准备工具：圆规、直尺、铅笔、橡皮。
步骤
01
1. 以角的顶点为圆心，以适当长度为半径画弧，交角的
02
03
两边于两点。
2. 分别以这两点为圆心，以相同长度为半径画弧，两弧
交于一点。
04
05
3. 通过角的顶点和交点画出角的平分线。
04 角平分线的性质在解题中的应用
利用角平分线定理解决几何证明题
在几何证明题中，角平分线定理是一个重要的工具，可以帮助我们证明一些与角平分线相关的结论。例如，可以利用角平分线定理证明等腰三角形的性质，或者证明平行线的性质等。

角平分线的性质(1)

导学案格式科目/教材数学年级：七课题:角平分线的性质（1）学习目标1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；2、会用尺规作已知角的平分线．学习重点能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理。

学习难点会用尺规作已知角的平分线。

学习方法：自主学习与小组合作探究教学内容提要（描述主要教学环节与教学要点）时间教学操作流程所需资源设计意图听课记录评价学生学习事项——学生用什么教学组织形式（个人、双人或小组、全班）和方法去完成学习事项（问题、任务、活动、作业），用什么方式表达呈现。

教师导控事项——需要教师做什么以支持学生学习(讲授、提问、举例、演示、布置、板书……)；——怎样检测学生学习效果并反馈。

环节（任务）一新课导入环节（任务）一新课导入根据问题回答（在学习案上完成）环节（任务）二知识点探究1、（两人合作完成）应怎样平分一个角呢？2、讨论结论是否仍然成立呢？3、师友制作一个如图2所示的平分角的仪器 , 说明它的道理探究（二）师友合作完成：1.如何作出一个角的平分线呢？跟老师动手画2.议一议(根据自已所画说一说)（环节（任务）一温故知新1．（Ⅰ．想一想，填一填：(学习案内容)环节（任务）二知识点探究探究（一）1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、完成学习案中思考:讨论结论是否仍然成立呢？3、我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？探究（二）1.思考：如何作出一个角的平分线呢？师示范并讲解,要求学生跟动2.议一议： (1)、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？环节（任务）二知识点探究环节（任务）三讨论交流环节（四、反思总结：环节五：作业探究（三）按学习案探究三内容完成并体验知识点的形成过程。

完成学习案检测练习一2、展示学习情况3、口述三角形三边的关系环节（任务）三讨论交流1.在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？2.学习案双基检测环节（四、反思总结：1、叙述本节课知识点（多人复述）2、多人复述3、完成学习案达标检测环节五：作业强化训练(2)、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？探究（三）学生完成学案内容.观察测量结果，猜想线段OD与OE的大小关系，写出结论：下面用我们学过的知识证明发现：已知：如图4，AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

角平分线的性质

12.3角的平分线的性质（1）一、教学目标：知识与技能：1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观：在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

二、教学重点：角平分线画法、性质三、教学难点：角的平分线的性质的探究四、教学准备：角平分仪、三角尺、圆规、卡纸五、课时安排：1课时六、教学过程：（一）创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？（二）探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

已知什么？求作什么？已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画分别以点M，N为圆心，大于二分之一MN长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C.(4)OC与简易平分角的仪器中，AE是同一条射线吗?是(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?提示：利用全等的性质探究2.如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？BD可以看出，第一条折痕为∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕是教的平分线上的一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等。

由此得到一个角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

12.3角平分线的性质1

Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC Ｂ即：OC平分∠AOB
A Ｍ
Ｃ
Ｎ
Ｏ
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
A
B D C
2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（在角的平分线上的点到这个）
√
A
角的两边的距离相等。
B
D
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
D
A
1 2 E B P
符号语言： ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB(已知） O ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.
C
知识应用
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 2 、如图 ,OC 是 ∠ AOB 的平分线 , 点 P 在 OC 上 ,PD ⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别，是 D 、 E,PD=4cm, 则 PE=__________cm.
F
C
在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.

角平分线性质(1)

探索构建新课程理念下的课堂教学有效模式-------“小组合作学习研究”之教案设计学科：八年级数学教学内容：角平分线的性质(一)教师姓名：阎登峰教学目标：角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；说出用尺规作角平分线的依据；经历用尺规作角平分线的过程；经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见教学重难点：重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用.解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出解题方法.课前准备：投影仪或电脑、三角板课时安排：一课时教学过程：一、依托文本，自主预习：复习：1、三角形的内角和与外角和.多边形的内角和与外角和.2、三角形按两类分，分为哪两类？按三类分，又是怎样分的？3、三角形三边的关系.4、直角三角形中两锐角的关系.5、角平分线的定义.6、角平分线画法.角平分线是从一个引出的一条把角分为相等的两个角的射线.如图：∵在∠AOB中，∠1＝∠2 ∴OC为∠AOB的角平分线二、小组合作，分享成果：角平分线的画法.对折法：用轴对称的原理，把一个角沿某一直线对折，并使角的两边能够重合，则顶点为角的顶点且过折痕的射线即为角平分线.局限性：不方便！在黑板上画一个角的平分线是不可能对折的.尺规作角的平分线：观察与思考：观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这种作法的依据.步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点.步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据.三、生生合作，探求新知：角平分线的性质：1、通过测量的形式探讨PE＝PF.2、通过轴对称的原理探讨PE＝PF.（注意强调：点到直线的距离是垂线.）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.反之：到角两边距离相等的点在角平分线上.应用：（小黑板）1、探讨△ABC的三条角平分线的交点与三边的距离关系.得结：三角平分线的交点到三边的距离相等.用图形说明：在△ABC中，BP平分∠ABC，PC平分∠ACB,∴PE＝PF＝PD即：可以以交点为圆心，交点到某一边距离的长为半径在三角形内作一个最大的圆.2、如图：△ABC的外角平分线AP上有一点P,且PE⊥BE，PD⊥AC，E、D分别为垂足，则EB＋PD＝PB吗？说明理由.四、师生合作，把握新知：1、已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证，点P到三条边AB，BC，CA的距离相等.2、在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：点D在∠A的平分线上.五、练习检测，评价反馈：已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO (已证)，∠1＝∠2(已证)，OP＝OP(公共边)，∴△PDO≌△PEO (AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).角平分线性质定理的逆定理：引导学生自己总结六、交流习得，巩固新知：（一）作业：（二）小结：1、学会用尺规作图画角平分线.2、认识角平分线的性质.3、理解在三角形中三条角平分线的交点与三边的关系.4、进行角平分线的有关应用.。

人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案

12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。

角平分线的性质(1)

角平分线的性质》说课我从教材分析、教法与学法、教学过程、设计说明四个方面对我的教学设计加以说明．、教材分析一）地位和作用：本节课选自湘教版教材《数学》八年级下册第一章，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。

是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．二）教学目标1、知识目标：（1）探索并证明角平分线性质定理的逆定理 . （2）会用角平分线性质定理的逆定理解决问题了解尺规作图的原理及角的平分线的性质 .2、基本技能让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的判定，与理性认识之间的联系与区别。

3、数学思想方法：从特殊到一般4、基本活动经验：体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验设计意图：通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情角平分线的性质和并体会感性认识三）教学重难点进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把本节课的教学重点定为：理解角的平分线的性质并能初步运用，难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）教学难点突破方法：1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．二、教法和学法本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合．教学辅助手段：根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT 课件，几何画板软件教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．三．教学过程一）创设情景引出课题出示生活中的数学问题：问题1如图，要在S区建一个广告牌P,使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？设计意图］利用多媒体渲染气氛，激发情感．教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生身临其境般感受生活。

角的平分线的性质1

D
A
C
P
O
E
B
归纳
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
D A C P O E B
新授几何语言描述： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD= PE
O
D
A C
P
E
B
范例例1.已知：如图，BC、AD分别垂直 OA、OB，BC和AD相交于E，且OE 平分∠AOB。 O 求证：EA=EB。 C D
A
1.以O为圆心，适当长为 M 半径画弧，交OA于M， C 交OB于N； 2.分别以M、N为圆 O 1 N B 心，大于 2 MN的长为半径画弧，两弧在 ∴OC就是∠AOB ∠AOB的内部交于点C；的平分线。 3.作射线OC。下结论
巩固 1.已知：如图，∠AOB。求作：OD平分∠AOB。
用直尺和圆规画角的平分线的方法：
受确定：天上地下唯我独尊/它确定天地唯有の神剑/唯有の锋芒/即使确定至尊/都无法触其锋芒/ 这种感知让冰凌王难以置信/无法想象马开居然敢凝聚出这样の法则の/太过惊世骇俗咯/最让它震撼の确定/凝聚成功咯/ 敢凝聚和凝聚成功确定两佫概念/要成功凝聚这样の法则/马开の信念要多么坚定/对天地の感悟何其之神/自己の元灵和身体要共振到何种地步/ 这吃要超出至尊の感悟/超出至尊の元灵/说说容易/但要做到/难比登天/ 马开身居至尊法/也拥有抪少圣法/更确定有无穷の法则/要从至尊法/圣法/法则中超脱出来/这几乎确定抪可能の/可确定马开做到咯/ 正如冰凌王想の那样/马开走到这壹步十分抪易/抪只确定把自己の气海化作元气海/抪只确定凝聚无数法则/更确定抪断感悟自身/感悟天地/感悟各种法/才走到这壹步/而且十分侥幸/ 马开差壹点点就失败咯/可幸好の确定/它终于走到咯这壹步/ 此刻の马开

角平分线的性质1PPT演示课件

方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。

角平分线的性质(一)说课

D P O C B
E A
小结：八、小结：
• 一、角平分线的定义是：角平分线的定义是： • 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角从一个角的顶点引出一条射线，分成两个相等的角，分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。的角平分线。 • 二、角平分线的性质：角平分线的性质： • 角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线上的点到角的两边的距离相等。
D
那我们的详细证明过程是：过程是：
C P
O
E
B
A D C P
O
E
B
证明：证明： PD、PE分别垂直于OA、OB且垂足为分别垂直于OA 且垂足为D E∴∠PDO=90° ∵PD、PE分别垂直于OA、OB且垂足为D、E∴∠PDO=90°； PEO=90° 垂线定义） ∠PEO=90°（垂线定义） PDO与 PEO均为直角三角形 ∴⊿PDO与⊿PEO均为直角三角形 OC是 AOB的角平分线∴∠POD=∠POE 角平分线定义）的角平分线∴∠POD=∠POE（ ∵OC是∠AOB的角平分线∴∠POD=∠POE（角平分线定义）那么在RT RT⊿ PDO和RT⊿PEO中那么在RT⊿ PDO和RT⊿PEO中： PDO=∠PEO=90° 已得）（1）∠PDO=∠PEO=90°（已得） POD=∠POE（已得）（2）∠POD=∠POE（已得） OP=PO（公共边）（3）OP=PO（公共边）因此RT RT⊿ PDO≌RT⊿PEO（AAS）因此RT⊿ PDO≌RT⊿PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
A D C P
O
E
B
我们得到一个角平分线的性质：我们得到一个角平分线的性质：

初一数学12.3角平分线的性质(1)

求证：PD=PE.
A
D PC
O
E
B
总结归纳
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号表示为： ∵OP平分∠AOB PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
A D
C
P
O
EB
定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。
定理的作用： O
证明线段相等
D
A
C P
E B
DA
N
P
F M
BE C
3、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E
F，∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E， F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB。
A
F
E
CD
12.3角的平分线的性质（1）
复习提问
1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
2
O
B
复习提问
2、点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
P
线段的长度
A
O
B
新知探究
如图，是一个平分角的仪器，其中
AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，
AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条
射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的
道理吗？
A
D
B
C E
新知探究
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）

角的平分线的性质(一)

角的平分线的性质（一）年级：初三科目：数学执笔人：边宗国组长签字：商伟光学习目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．学习重点利用尺规作已知角的平分线．学习难点角的平分线的作图方法一、自主先学(7分钟)在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．求证：∠MOC=∠NOC．受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．思考：这个方案可行吗？为什么？（小组讨论，并确定展示人员！）二、合作探究（5分钟）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？（小组合作）由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法。

那么如何用尺规作图作一个角的平分线？（5分钟）已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．（写出作法）提示：在作弧时需要注意什么？三、巩固练习（8分钟）任意画一角∠AOB，作它的平分线．（写出作法）四、总结提升（3分钟）做一个平角的角平分线你还会发现什么？温馨提示：本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并为进一步探究角平分线的性质奠定基础．当堂检测（10分钟）组号姓名等级一、(2008年双柏县)如图，点P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP ≌△BOP ，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）：二、如图, ∠AOB 是一个任意角,在边OA,OB 上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N 重合,过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线,为什么?二、作一个钝角的平分线，并写出作法.AB PO。

角的平分线的性质

角的平分线的性质（一）课堂学习检测一、填空题1．_____叫做角的平分线．2．角的平分线的性质是___________________________．它的题设是_________，结论是_____．3．（1）三角形的三条角平分线_____它到___________________________．（2）三角形内．．．．，到三边距离相等的点是_____．4．如图8－1，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．5．已知：如图9－3，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．图9－36．已知：如图9－4，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．二、作图题7．已知：如图8－2，∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．图8－28．已知：如图8－4，△AB C．求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．作法：图8－4二、解答题9．已知：如图8－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF．图8－510．已知：如图8－6，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．求证：OB＝OC.图8－611．已知：如图8－7，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）图8－712．已知：如图8－8，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？图8－813．已知：如图9－7，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．图9－714．如图9－8，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．图9－815．已知：如图9－9，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．图9－916．已知：如图9－10，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．图9－10。