2015-2016学年北师大版必修二空间图形的公理(公理4)课时作业(含答案)
1.4.2--空间图形的公理(公理4、定理)
3．下列四个说法： ①分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
③和两条异面直线都相交的两条直线必异面
④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线 其中正确的说法的个数为( A．3 B．2 ) C．1 D．0
【解析】选D. 根据异面直线的定义可知，4种说法均
(2014·九江高一检测）空间两个角α 、β ，且α 与β 的两
边对应平行，且α ＝60°，则β 为(
A．60° C．30° B．120° D．60°或120°
)
【解析】选D.∵α与β两边对应平行，但方向不一 定．∴α与β相等或互补．
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作a，b的平行线 a′和 b′，则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角.
图形语言
符号语言
公理3：文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线.
β
图形语言
α
·
P
l
符号语言 P l, 且P l
作用:一是 判定两个 平面是否 相交;二是 判断点在 直线上.
1.掌握公理4及“等角定理”. (重点)
b b′ a′ θ O
a
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直记作:a⊥b.
. 异面直线所成角θ 的取值范围： （0， ]
2
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原 正方体中的位置关系是（ D ）. A.平行 B.相交且垂直
C
C.异面直线
D.相交成60°
AE AH 2 CF CG 2 , , 点,且 AB AD 3 F、G分别是边CB、CD上的点,且 CB CD 3
北师大版高中数学必修2课时练习-空间图形的公理及等角定理
课时练习(五)空间图形的公理4及等角定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交D[a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．]2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条B[由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．]4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C ．一定是异面直线D ．平行、相交或异面都有可能D [当a ，b ，c 共面时，a ∥c ；当a ，b ，c 不共面时，a 与c 可能异面也可能相交．]5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交或异面 C ．异面D ．相交B [假设a 与b 是异面直线，而c ∥a ，则c 显然与b 不平行(否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾)．c 与b 可能相交或异面．]二、填空题6．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 一定成立的是________．③ [∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°.]7．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CGCD ，则EH 与FG 的位置关系是________．平行 [如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ，则EH ∥BD ， 同理可得FG ∥BD . ∴EH ∥FG .]8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，底面ABCD 是平行四边形，则P A 与CD 所成的角是______．90°[∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠P AB是异面直线P A与CD所成的角．又∵P A⊥AB，∴∠P AB＝90°.]三、解答题9．如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解]如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.10．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明](1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A 1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直D[将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．] 2．如图所示，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°B[连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.]3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．①②[结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．]4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．(1)90°(2)45°[(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1即为所求的角．∵∠DD1C1＝90°，∴AA1与C1D1所成的角为90°.(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C即为所求的角．∵∠BB1C＝45°，∴AA1与B1C所成的角为45°.]5．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[解]取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，∴BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，∴EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，∴BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为10 10.。
2017-2018学年高中数学北师大版必修2同步练习：1.4空间图形的基本关系与公理(含答案)
第一章§4一、选择题1．已知点A，直线a，平面α：①A∈a，a⃘α⇒A∉α②A∈a，a∈α⇒A∈α③A∉a，aα⇒A∉α④A∈a，aα⇒Aα以上命题表述正确的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案] A[解析]①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不对；③中A 可以在α内，也可以在α外，故不正确；④符号“Aα”错．2．在空间中，下列命题成立的有________个()①两组对边都平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③顺次连接空间四边形各边中点所得的一定是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]②错误．3．在空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点[答案] D[解析]A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理1知其可以确定一个平面．4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线与直线EF互为异面直线的条数是()A．4 B．6C．8 D．10[答案] C[解析]AB，AD，AA1，A1B1，A1D1，D1D，D1C1，DC与直线EF都是异面直线．5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③[答案] C[解析]①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误．故选C.6．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合[答案] C[解析]∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A写法错误．二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线CC1平行的棱的条数是________．[答案] 3[解析]与CC1平行的棱有AA1，BB1，DD1.8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有________个．[答案]1或4[解析]四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面．三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．[解析]如图(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．(2)正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，故R∈PQ.所以P、Q、R三点共线．一、选择题1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] B[解析]对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A.对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确．2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案] B[解析]取A1B1的中点M，连接GM，HM.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，H，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，∴△GMH为正三角形，EF∥MG.于是∠MGH为异面直线EF与GH所成的角，即为60°角．二、填空题3．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．[答案] 3[解析]将展开图恢复成正方体后，得到AB与CD，EF与GH，AB与GH三对异面直线．4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．[答案]③④三、解答题5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线．[解析]因为点P既在平面α内又在平面AB1内，所以点P在平面α与平面AB1的交线上．同理，点A1在平面α与平面AB1的交线上．因此，P A1就是平面α与平面AB1的交线．同理可得：交线A1C1与交线PC1.所以由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线如图所示．6．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．[解析] ∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β.又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与平面β的一个公共点．同理可证，F ，G ，H 为平面α与平面β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．7．如图，两个三角形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ；(2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值． [解析] (1)证明：∵AA ′与BB ′交于点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝23，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)∵A ′B ′∥AB ，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′、AC 和A ′C ′方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.∴同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝(23)2＝49.。
高中数学第6章立体几何初步 刻画空间点线面位置关系的公理基本事实4定理素养作业北师大版必修第二册
第六章 3.2A组·素养自测一、选择题1．异面直线是指( D )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析]对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面．∴A应排除．对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如图,就是相交的情况,∴B应排除．对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( B )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形[解析]设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形．3．已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α＝60°,则β等于( D )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°[解析]由等角定理,知β与α相等或互补,故β＝60°或120°.4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( D )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面[解析]可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾)．5．空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形[解析] 如图,因为BD ⊥AC ,且BD ＝AC ,又因为E ,F ,G ,H 分别为对应边的中点,所以FG 綊EH 綊12BD ,HG 綊EF 綊12AC ．所以FG ⊥HG ,且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形．6．异面直线a ,b ,有a ⊂α,b ⊂β且α∩β＝c ,则直线c 与a ,b 的关系是( D ) A ．c 与a ,b 都相交 B ．c 与a ,b 都不相交 C ．c 至多与a ,b 中的一条相交 D ．c 至少与a ,b 中的一条相交[解析] 若c 与a ,b 都不相交,∵c 与a 都在α内, ∴a ∥c .又c 与b 都在β内,∴b ∥c . 由基本事实4,可知a ∥b ,与已知条件矛盾． 如图,只有以下三种情况．二、填空题7．直线a 与直线b 为两条异面直线,已知直线l ∥a ,那么直线l 与直线b 的位置关系为 异面或相交 .[解析] 假设l ∥b ,又l ∥a ,根据基本事实4,可得a ∥b ,这与a 与b 异面直线相矛盾,故假设不成立,所以l 与b 异面或相交．8．(2021·广东省肇庆市期中)如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC ．若AB ＝AC ＝AA 1＝1,BC ＝2,则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为 60° .[解析] 依题意,得BC ∥B 1C 1,故异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角即BC 与A 1C 所成的角．连接A1B,在△A1BC中,BC＝A1C＝A1B＝2,故∠A1CB＝60°,即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论正确的为①③ .(填序号)[解析]把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确．三、解答题10．如图所示,在正方体ABCD－EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．[解析](1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF＝45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图,连接FH,因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD＝FB,所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA,AF,易得FH＝HA＝AF,所以△AFH为等边三角形,又知O为AH的中点,所以∠HFO＝30°,即FO与BD所成的角为30°.B组·素养提升一、选择题1．下列说法中正确的是( B )A．若两直线无公共点,则两直线平行B．若两直线不是异面直线,则必相交或平行C．过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内任一直线均构成异面直线D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线[解析]对于A,空间两直线无公共点,则两直线可能平行,可能异面,故A不正确；对于C,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内过该点的直线是相交直线,故C不正确；对于D,和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线,如图的三棱锥A－BCD中,l1与l2为异面直线,BC与AC均与l1,l2相交,但BC与AC也相交,故D不正确．2．(多选)如图所示的是一个正方体的平面展开图,如果图示面为里面,将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有( ABC )A．AB与CD B．AB与GHC．EF与GH D．EF与CD题图答图[解析]将平面图形还原成正方体后如图所示,其中AB与CD异面,AB与GH异面,EF与GH异面．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直[解析] 如图所示,连接BD 1,CD 1,CD 1与C 1D 交于点F ,由题意可得四边形A 1BCD 1是平行四边形,在平行四边形A 1BCD 1中,E ,F 分别是线段BC ,CD 1的中点,所以EF ∥BD 1,所以直线A 1B 与直线EF 相交,故选A ．4．空间四边形ABCD 中,AD ＝BC ＝2,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,EF ＝3,则异面直线AD ,BC 所成的角为( C )A ．45°B ．120°C ．60°D ．60°或120°[解析] 取AC 的中点G ,连接EG ,FG .由三角形中位线可知,EG 綊12BC ,FG 綊12AD ,所以∠EGF 或其补角即为异面直线AD 与BC 所成的角．在△EGF 中,cos ∠EGF ＝EG 2＋FG 2－EF 22·EG ·FG ＝12＋12－322×1×1＝－12.所以∠EGF ＝120°.由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°.故选C ． 二、填空题5．在四棱锥P －ABCD 中E ,F ,G ,H 分别是PA ,PC ,AB ,BC 的中点,若EF ＝2,则GH ＝ 2 . [解析] 由题意知EF 綊12AC ,GH 綊12AC ,故EF 綊GH ,故GH ＝2.6．如图,若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33 ,异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是 306. [解析] 因为AA 1∥DD 1,所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角,连接BD ,在Rt △D 1DB 中,sin ∠DD 1B ＝DB BD 1＝2226＝33. 因为AD ∥BC ,所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角(或其补角), 连接D 1C ,在△D 1BC 中,因为正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,所以D 1B ＝26,BC ＝2,D 1C ＝25,D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2,所以∠D 1CB ＝90°, 所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306, 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306. 三、解答题7．如图所示,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点．求证：(1)D 1E ∥BF ； (2)∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．[解析] (1)取BB 1的中点M ,连接EM ,C 1M .在矩形ABB 1A 1中,易得EM ＝A 1B 1,EM ∥A 1B 1．因为A 1B 1＝C 1D 1且A 1B 1∥C 1D 1,所以EM ＝C 1D 1且EM ∥C 1D 1． 所以四边EMC 1D 1为平行四边形． 所以D 1E ∥C 1M ,在矩形BCC 1B 1中,易知MB ＝C 1F ,且MB ∥C 1F ,所以四边形C 1FBM 为平行四边形,所以C 1M ∥BF ,所以D 1E ∥BF .所以D 1E ∥BF . (2)由(1)知,ED 1∥BF ,BB 1∥EA 1,因为∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同,所以∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．8．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点．求异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小．[解析] 如图,过点M 作ME ∥DN 交CC 1于点E .连接A 1E ,则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ,则A 1M ＝32a ,ME＝54a ,A 1E ＝414a ,所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2,所以∠A 1ME ＝90°,即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.。
北师大版高中数学必修2课时练习-空间图形的公理
课时练习(四)空间图形的公理(公理1、2、3)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作() A．Q∈b∈βB．Q∈bβC．Q bβD．Q b∈βB[∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴bβ，∴Q∈bβ.]2．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行B[若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB 与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．] 3．下列叙述中错误的是()A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈lB．点A和直线l确定一个平面C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面D．圆上三点A，B，C可以确定一个平面B[由公理3知，A正确；由公理1的推论可知，C正确；由于圆上三点不共线，根据公理1知，D正确；对于选项B，当A∈l时，不能确定一个平面，故选B.]4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点D[根据公理3可知，若两个平面有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．故选D.]5．空间中四点可确定的平面有()A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个D[当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．]二、填空题6．对于结论“若aα，且a∩b＝P，则P∈α”，用文字语言可以叙述为________．若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内[若直线a在平面α内，且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内．]7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN 与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．②④[观察题图可知①③错误，②④正确．]8．下列命题：①若直线a与平面α有公共点，则称aα；②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；③三条平行直线共面；④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．其中正确的命题是________．(填序号)②[①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；②正确．由公理3知该命题正确；③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；④错误，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．]三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．[证明]∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P，∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β，∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10．求证：如果两两平行的三条直线都与一条直线相交，那么这四条直线共面．[证明]设a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知lα.因为b∥c，所以由公理2可知，直线b与c确定一个平面β，同理可知，lβ.因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．lα，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合C[当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，则C错．]2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．可能三点共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线B[如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确．]3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是________．直线CD[因为平面α∩平面β＝l，AB∩l＝D，所以D∈平面β.因为AB平面ABC，所以D∈平面ABC.又C∈平面ABC，C∈平面β，C∉l，所以平面ABC∩平面β＝CD.]4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．(1)4(2)7[(1)由题意可知，在4点中任选3点即可确定一个平面，故可确定4个．(2)由题意，在共面的四点中任选2点和第5个点可确定6个平面，再加上四个点所在平面共7个平面．]5．在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q，如图，(1)求证：D，B，E，F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．[解](1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BDα，故P∈α.又P∈AC，而ACβ，所以P∈β，所以P∈α∩β.同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1Cβ，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．。
(北师大版)数学必修二课时作业：1.4.2空间图形的公理2(含答案)
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课时提升作业(五)空间图形的公理(公理4、定理)一、选择题(每小题3分，共18分)1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】选B.假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c ∥b，则有a∥b，矛盾)，因此c与b可能相交或异面.2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面【解析】选A.因为E，F分别是SN和SP的中点，所以EF∥PN.同理可证HG∥PN.所以EF∥HG.3.(2014·焦作高一检测)有下面说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是( )A.0B.3C.2D.1【解析】选D.①③中a，c异面、平行、相交都可能，只有②正确.【拓展延伸】学好立体几何的好帮手——长方体模型长方体是立体几何中常见的模型之一，许多点、线和面的关系的例子可以从中寻找，我们的教室就可以抽象成一个长方体，墙角是长方体的顶点，墙面是长方体的面，墙的边就是长方体的棱，学会从长方体中寻找位置关系是学习立体几何必备的数学素养.4.(2014·阜阳高一检测)如图，空间四边形ABCD中，AE=2BE，BF=CF，CG=2GD，DH=AH，则四边形EFGH为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形【解析】选A.由题意=，=，所以==，所以EF AC，同理HG AC，所以EF HG.所以四边形EFGH为平行四边形.5.如图，平面α与平面β交于EF，C∈EF，C′∈EF，ACα，A′C′α，BCβ，B′C′β，且AC∥A′C′，BC∥B′C′，∠BCA=120°，则∠B′C′A′=( )A.0°B.60°C.120°D.60°或120°【解析】选C.结合图形，由AC∥A′C′，BC∥B′C′，根据定理，有∠B′C′A′=∠BCA=120°.6.(2014·济源高一检测)四面体S-ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°【解析】选C.取SB的中点G，则GE=GF=，在△SFC中，EF=a，所以GE2+GF2=EF2，所以∠EFG=45°.故选C.【拓展延伸】构造异面直线所成的角的方法(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补角).(2)当异面直线依附于某几何，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点.(3)当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上是要通过证明来计算.二、填空题(每小题4分，共12分)7.如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对.【解析】六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6=24(对).答案：248.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成的角为________.【解析】如图，因为BC∥B1C1，所以∠ACB为异面直线B1C1与AC所成的角(或其补角).因为∠ABC=90°，AB=BC=1，所以∠ACB=45°，所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°.答案：45°【变式训练】已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，AA1=2，则异面直线BD与AB1所成角的余弦值为________.，AD1.【解析】如图，连结B因为BD∥B1D1，所以∠AB1D1为异面直线BD与AB1所成的角(或其补角).在△AB1D1中AB1=AD1=，B1D1=，所以cos∠AB1D1==.答案：9.四面体P-ABC中，PA⊥BC，E，F分别为PC，AB上任一点，若EF与PA，BC所成的角分别为α，β，则α+β=________.【解析】本题可利用特例法.如图，若E，F为中点时，取AC的中点M，连接EM，FM，所以EM∥PA，FM∥BC，所以∠FEM=α，∠EFM=β，因为PA⊥BC，所以EM⊥FM，所以α+β=90°.答案：90°三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·南昌高一检测)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是棱CC′，BB′，DD′的中点，求证：∠BGC=∠FD′E.【证明】连接BD，B′D′，在平行四边形BDD′B′中，G，F分别为DD′，BB′的中点，易知GB∥D′F，在平行四边形CC′D′D中，因为G，E分别为DD′，CC′的中点，易知GC∥D′E.又因为∠BGC和∠FD′E方向相同.所以∠BGC=∠FD′E.11.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，E，F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.【解析】取CD1的中点G，连接EG，DG，因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG=BC.因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD=BC，所以DF∥BC，DF=BC，所以EG∥DF，EG=DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又因为A1A=AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD=90°，所以异面直线CD1，EF所成的角为90°.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·重庆高一检测)在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角是60°，那么∠FEG为( )A.60°B.30°C.120°D.60°或120°【解析】选D.异面直线AD与BC所成的角可能等于∠FEG，也可能等于∠FEG的补角.2. (2013·南充高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF与GH( )A.平行B.相交C.异面D.不能确定与A1D，【解析】选A.连接B因为E，F为中点，所以EF∥B1C.又因为G，H为中点，所以GH∥A1D.容易得出A1D∥B1C，所以EF∥GH.【举一反三】若已知条件不变，求GE与FH的位置关系，则结论如何？【解析】选A.由上面解析知EF B1C，GH A1D，又容易得出B1C A1D，所以EF GH，所以四边形EFHG为平行四边形，所以GE∥FH.3.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④【解题指南】将平面展开图还原为正方体后逐一验证.【解析】选C.将图还原为正方体如图所示.由图可知①BM与ED异面；②CN与BE平行；③CN与BM所成角为60°；④BN⊥DM.4.(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解题指南】由于l2∥l3，所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线的位置关系加以判断.【解析】选D.因为l2∥l3，所以l1⊥l3，l3⊥l4.实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，故l1与l4的位置关系不确定.二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为__________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故①②错误，③④正确.答案：③④6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与BC1所成的角的大小为________.，设B1C∩BC1=D，取AC的中点E，【解析】如图，连结B连结DE，BE，C1E，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以D是B1C的中点，所以DE∥AB1，所以∠BDE(或其补角)是AB1与BC1所成的角.不妨设BB1=1，则AB=BC=AC=，在Rt△CC1E中，C1E===，在Rt△BCE中，BE=BC〃sin60°=×=，所以C1E=BE，又D是BC1的中点，所以ED⊥BC1，所以∠BDE=90°，所以AB1与BC1所成的角为90°.答案：90°三、解答题(每小题12分，共24分)7. (2014·佛山高一检测)如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD= ∠FAB=90°，BC∥AD，BC=AD，BE∥FA，BE=FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，E，F四点是否共面？为什么？【解题指南】(1)只需证BC∥GH，BC=GH.(2)先证四边形BEFG为平行四边形，再证明EF∥CH即得.【解析】(1)由已知FG=GA，FH=HD，可得GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD，所以GH∥BC，GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，E，F四点共面，证明如下：由BE FA，G为FA中点知，BE FG，所以四边形BEFG为平行四边形.所以EF BG.由(1)知BG CH.所以EF CH，即四边形EFHC为平行四边形.所以CE与HF共面，又D∈直线FH.故C，D，E，F四点共面.【变式训练】如图所示，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且===.(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)求的值.【解析】(1)因为AA′与BB′交于点O，且==.所以AB∥A′B′.同理，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)因为A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′.因此△ABC∽△A′B′C′，且==.所以==.8.如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且==，EF=，求AB和CD所成的角的大小.【解析】如图，过E作EO∥AB，交BD于点O，连接OF，所以=，所以=，所以OF∥CD.所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.在△EOF中，OE=AB=2，OF=CD=1，又EF=，所以EF2=OE2+OF2，所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.【拓展延伸】利用定义法求异面直线所成的角的四个步骤(1)移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，成为相交直线，这里的点通常选择特殊的点，如线段的中点或端点等.(2)证：证明所作的角为异面直线所成的角.(3)算：寻找或作出含有此角的三角形，解三角形，求出此角.(4)验：因为异面直线所成的角θ的取值范围为0°<θ≤90°，所以当所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.关闭Word文档返回原板块。
最新北师大版高中数学必修2全册同步课时练习
北师大版高中数学必修2全册课时练习第一章《立体几何初步》简单旋转体1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2．如图阴影部分，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个棱柱答案 B解析按旋转体的定义得到几何体B.3．有下列三个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；③圆锥的轴截面是等腰三角形．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．4．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)答案 D解析轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．5．下列命题中，错误的是( )A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案 B解析当圆锥的截面顶角大于90°时，面积不是最大．6．圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此圆锥的高被分成的两段之比为( )A．1∶2 B．1∶4C．1∶(2＋1) D．1∶(2－1)答案 D解析根据相似性，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则对应小圆锥与原圆锥高之比为1∶2，那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶(2－1)．7．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )答案 B解析由组合体的结构特征知，球只与正方体的六个面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．答案圆锥解析 由旋转体的概念可知，得到的几何体是圆锥．9．圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________．答案 63 cm 2解析 画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S 四边形ABCD ＝＋2＝63(cm 2)．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．解 ②是圆锥，圆面AOB 是圆锥的底面，SO 是圆锥的高，SA ，SB 是圆锥的母线． ③是圆柱，圆面A ′O ′B ′和圆面AOB 分别为上、下底面，O ′O 为圆柱的高，A ′A 与B ′B 为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．简单多面体1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．10 答案 D解析 如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．长方体答案 B解析棱锥的各面都相交，故有两个面平行的多面体不可能是棱锥．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案 A解析形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义．4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A．1∶2 B．1∶4C．2∶1 D．4∶1答案 B解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如下图1)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )答案 A 解析 两个不能相邻，B 、D 错误；两个不能相邻，C 错误，故选A.也可通过制作模型来判断．6．如下图所示，在三棱台A ′B ′C ′－ABC 中，截去三棱锥A ′－ABC 后，剩余部分是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台 答案 B解析 剩余部分是四棱锥A ′－BB ′C ′C .7．若一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为20 cm ，则每条侧棱的长为________cm. 答案 4解析 依题意，正棱锥有6个顶点，则该正棱锥为正五棱锥，所以每条侧棱长为205＝4 cm.8．在下面的四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是________(填序号)．答案①②解析③④中的图不能组成四面体，只有①②行．9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形有________．答案①②③解析当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1(如下图所示)．(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用截面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作底面，这两个面都是四边形且平行，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．2 直观图1．关于斜二测画法的叙述，其中正确的个数为( ) (1)两条相交直线的直观图可能是平行直线； (2)两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直； (3)正方形的直观图可能是梯形； (4)平行四边形的直观图是平行四边形； (5)相等线段的直观图仍然相等． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 由于斜二测画法保共点性，所以(1)错；保平行性，所以(3)错，(4)对；原来垂直的两线段，在直观图中夹角为45°，所以(2)错；与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，所以(5)错．2．如下图建立坐标系，得到的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )答案 C解析 在A 、B 、D 中，三角形ABC 的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C 不全等．3．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 答案 D解析 先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A ′B ′C ′的边长及夹角求解．图(2)所示为实际图形的直观图，由(2)可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.4．如下图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )答案 A解析 直观图边长为1，对角线为2，则原图形中对应的对角线为2 2.故选A.5．如图所示是水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A. 2B.22C ．2 2D ．2 答案 A解析 由斜二测画法规则画出直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′C′E中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，B′E＝B′C′sin45°＝2×22＝ 2.6．如下图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形答案 C解析如图，在原图形OABC中，OD＝2O′D′＝2×22＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm.∴OC＝OD2＋CD2＝22＋22＝6 cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．7．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm答案 A解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm.8．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的________倍．答案24解析 从这个三角形的一边所在的直线为x 轴建立坐标系，则在直观图中，该边边长不变，高变为原来的24倍． 9．如图所示，四边形ABCD 是一平面图形的水平放置的斜二测直观图．在斜二测直观图中，ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y ′轴平行．若AB ＝6，CD ＝4，AD ＝2，则这个平面图形的实际面积是________．答案 20 2解析 由斜二测直观图作图规则知，该平面图形是梯形，且AB 与CD 的长度不变，仍为6和4，高为42，故面积为20 2.10．已知直角梯形ABCD 中，AD ＝22，AB ＝3，CD ＝1，用斜二测画法画出其直观图如图所示，求直观图中的梯形A ′B ′C ′D ′的周长．解 由斜二测画法可知，A ′D ′＝12AD ＝2，A ′B ′＝AB ＝3，C ′D ′＝CD ＝1.在直观图中，如图，过D ′作D ′E ′⊥A ′B ′于E ′， 过C ′作C ′F ′⊥A ′B ′于F ′.∵∠D ′A ′E ′＝45°，∴C′F′＝D′E′＝A′E′＝2×sin45°＝2×22＝1，∴F′B′＝3－1－1＝1，∴B′C′＝12＋12＝2，故梯形A′B′C′D′的周长为4＋2 2.三视图1．以下说法错误的是( )A．三视图相同的几何体只有球B．直立圆锥的主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心C．直立圆柱的主视图与左视图都是矩形，俯视图是圆D．长方体的三视图都是矩形，正方体的三视图都是正方形(有一面正对观察者)答案 A解析选项A中错在“只有”这两个字上，例如正方体的三视图可以都为正方形；根据圆锥、圆柱、长方体、正方体的几何特征易知B、C、D均正确．故选A.2．下列选项是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是( )答案 A解析主视图的矩形中应有两条实线，左视图应为两个全等的矩形且中间为实线．故选A.3．如图所示，下列几何体各自的三视图(阴影面为主视面)中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④答案 D解析在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．请根据图中三视图，想象物体的形状，用小正方块搭出这个物体，并数一数有多少个小正方块( )A．7 B．6 C．8或10 D．9或10答案 D解析物体的立体图如图所示，由9个或10个小正方块搭成．5．已知三棱锥的俯视图与左视图如下图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为( )答案 C解析由题设条件知，该三棱锥的直观图可能如图所示，其底面ABC为正三角形，侧棱PC垂直于底面，在主视图中，PA的投影是虚线．故选C.6．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为( )A．2,2 3 B．22， 2C．4,2 D．2,4答案 D解析从三视图可以看出，底面三角形的高为23，侧棱长为2，∴底面边长为4.7．某几何体的主视图与左视图均为边长为1的正方形，则下面四个图形中，可能是该几何体俯视图的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析俯视图从左到右依次记为：如果几何体为棱长为1的正方体，则俯视图如图①；如果几何体为圆柱，它的底面直径为1，高为1，则俯视图如图④；如果几何体为从棱长为1的正方体中挖去直径为2，高为1的圆柱的14，则俯视图如图②；以图③为俯视图的几何体的正视图不是正方形．故选C.8．如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为________．答案 8 3解析 由主视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为23，所以左视图的面积为4×23＝8 3.9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、D 1C 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各面上的正投影不可能是下图中的________．答案 (2)解析 四边形在面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1的投影为(1)；在面AA 1B 1B 与面DD 1C 1C 的投影为(3)；在面ADD 1A 1与面BCC 1B 1的投影为(4)．10．如图，物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正．解主视图正确，左视图和俯视图错误，正确的画法如图所示．空间图形基本关系的认识空间图形的公理(一)1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行答案 B解析若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面；若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．故选B.2．若点A∈平面α，点B∈平面α，点C∈直线AB，则( )A．C∈αB．C∉αC．AB⊆/αD．AB∩α＝C答案 A解析因为点A∈平面α，点B∈平面α，所以ABα.又点C∈直线AB，所以C∈α.3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n答案 A解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选A.4．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR答案 C解析∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC，而C∈β，lβ，R ∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上答案 A解析因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案 D解析如下图：在直线CD上任取一点H，则直线A1D1与点H确定一平面A1D1HG.显然EF与平面A1D1HG有公共点O且A1D1∥HG.又O∉HG.连接HO并延长，则一定与直线A1D1相交．由于点H有无数个，所以与A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条．7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②④解析观察图形可知①③错误，②④正确．8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．答案③④解析①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．9．已知α，β为两个不同的平面，A，B，M，N为四个不同的点，a为直线，下列推理错误的是________(填序号)．①A ∈a ，B ∈a ，A ∈β，B ∈β⇒a β； ②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ； ③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A . 答案 ③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β，由公理3知α∩β为经过点A 的一条直线而不是一个点A ，故③错误．故填③.10．如下图，四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝2∶3，DH ∶HA ＝2∶3.求证：EF 、GH 、BD 交于一点．证明 如图所示，连接GE 、HF ，∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点， ∴GE ∥AC ，GE ＝12AC .又∵DF ∶FC ＝2∶3，DH ∶HA ＝2∶3， ∴HF ∥AC ，HF ＝25AC ，∴GE ∥HF ，GE >HF . ∴G 、E 、F 、H 四点共面． ∴EF 与GH 相交，设交点为O .则O ∈平面ABD ∩平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴O ∈BD .即EF 、GH 、BD 交于一点．空间图形的公理(二)1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交答案 D解析a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A．2对 B．3对C．4对 D．6对答案 B解析据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.3．如图所示，在长方体木块ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )A．3条 B．4条 C．5条 D．6条答案 B解析由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案 D解析若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c 与b 都在β内，∴b ∥c .由基本性质4，可知a ∥b ，与已知条件矛盾． 如图，只有以下三种情况．故直线c 至少与a ，b 中的一条相交．5．已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若对角线BD ＝2，AC ＝4，则EG 2＋HF 2的值是(平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和)( )A ．5B ．10C ．12D ．不能确定 答案 B解析 如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，再根据公理4可得四边形EFGH 是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG 2＋HF 2＝2×(12＋22)＝10.6．如图所示的是正三棱锥的展开图(D ，E 分别为PB ，PA 的中点)，则在正三棱锥中，下列说法正确的是( )A ．直线DE 与直线AF 相交成60°角B ．直线DE 与直线AC 相交 C ．直线DE 与直线AB 异面D ．直线AF 与直线BC 平行 答案 A解析 将题中的展开图还原成正三棱锥，如图所示，点F 与点P 重合，易知在△PDE 中，PD ＝PE ＝DE ，△PDE 是等边三角形，故∠PED ＝60°，即直线DE 与AF 相交成60°角，A 项正确．由图易知其余选项均错误．7．如图所示，在三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )答案 D解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD )．在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD )．8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线，(1)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反． 答案 (1)∠D 1B 1C 1 (2)∠B 1D 1A 1解析 (1)B 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BC 并且方向相同，所以∠DBC 的两边与∠D 1B 1C 1的两边分别平行且方向相同；(2)B 1D 1∥BD ，D 1A 1∥BC 且方向相反，所以∠DBC 的两边与∠B 1D 1A 1的两边分别平行且方向相反．9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线 ②直线AM 与BN 是平行直线 ③直线BN 与MB 1是异面直线 ④直线AM 与DD 1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)． 答案 ③④解析 由异面直线的定义知③④正确．10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AEAB＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点． 证明 在△ABD 中，AE AB ＝AH AD＝λ， 故EH 綊λBD .同理FG 綊μBD . 由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形．②若λ≠μ，则EH ≠FG ，则在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 不妨设λ>μ，EF ∩HG ＝O ，如图所示． 由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC . 同理有O ∈HG 平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ， 即EF 、HG 、AC 交于点O .平行关系的判定1．已知两条相交直线a ，b ，a ∥α，则b 与平面α的位置关系是( ) A ．b ∥α B ．b 与α相交 C ．b α D ．b ∥α或b 与α相交答案 D解析 ∵a ，b 相交，∴a ，b 确定一个平面β，如果β∥α，则b ∥α，如果β不平行于α，则b 与α相交．2．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题：其中错误的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 D解析由面面平行与线面平行的定义知：①是正确的．对于②，n可能在平面β内．对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图，AA1平面ADD1A1，CC1平面CDD1C1，而AA1∥C1C，从而A1A与CC1可确定一个平面AA1C1C.即AA1，C1C可以共面．对于④，m可能在平面β内．故②③④错，选D.3．如图，在四面体ABCD中，若M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD 与平面MNP的位置关系为( )A．平行B．可能相交C．相交或BD平面MNP D．以上都不对答案 A解析因为N，P分别为BC，CD的中点．∴NP∥BD.又NP平面MNP，BD⊆/平面MNP，∴BD∥平面MNP.4．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．BC α 答案 A解析 在△ABC 中，AD DB ＝AEEC，∴DE ∥BC . ∵DE α，BC ⊆/ α，∴BC ∥平面α.5．直线l ∥平面α，直线m ∥平面α，直线l 与m 相交于点P ，且l 与m 确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定 答案 B解析 因为l ∩m ＝P ，所以过l 与m 确定一个平面β.又因l ∥α，m ∥α，l ∩m ＝P ，所以β∥α.6．一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l α答案 D解析 l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等，l α时，直线l 上所有的点到α的距离都是0；l ⊥α时，直线l 上有两个点到α的距离相等；l 与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．7．已知不重合的直线a ，b 和平面α.给出下列命题： ①若a ∥α，b α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ③若a ∥b ，b α，则a ∥α； ④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b α. 其中正确的是________(填序号)． 答案 ④解析 ①若a ∥α，b α，则a ，b 平行或异面； ②若a ∥α，b ∥α，则a ，b 平行或相交或异面；③若a ∥b ，b α，则a ∥α或a α. ④正确．8．对于平面α与平面β，有下列条件：①α，β都平行于平面γ；②α内不共线的三点到β的距离相等；③l ，m 为两条平行直线，且l ∥α，m ∥β；④l ，m 是异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β.则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填序号)．答案 ①④解析 由面面平行的传递性可知①能得出α∥β.对于④，l ，m 是异面直线，则分别在α，β内作l ′∥l ，m ′∥m 及l ″∥l ，m ″∥m ，则l ′与m ′，l ″与m ″都分别相交，故α∥β.对于②③，平面α与平面β可能相交．9．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 、平面ABD解析 如图，连接AM 并延长交CD 于点E ，连接BN 并延长交CD 于点F .由重心的定义及性质可知，E ，F 重合为一点，设为E ，且该点为CD 的中点，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ， 因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .10．如图所示，在三棱锥S －ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AC ，BC ，SC 的中点，求证：平面DEF ∥平面SAB .证明 因为D ，E 分别是棱AC ，BC 的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，DE ∥AB . 因为DE ⊆/ 平面SAB ，AB 平面SAB ，所以DE ∥平面SAB ， 同理可证：DF ∥平面SAB ，又因为DE ∩DF ＝D ，DE 平面DEF ，DF 平面DEF ，所以平面DEF∥平面SAB.平行关系的性质1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是( )A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交答案 D解析如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．2．三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( ) A．EF与BC相交 B．EF与BC平行C．EF与BC异面 D．以上均有可能答案 B解析由线面平行的性质定理可知EF∥BC.3．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案 B解析∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.4．下列说法正确的个数是( )①两个平面平行，夹在两个平面间的平行线段相等；②两个平面平行，夹在两个平面间的相等线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；④平行于同一条直线的两个平面平行．A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析只有①正确．②中的两线段还可能相交或异面；③中的直线可能在另一个平面内；④中的两个平面可能相交．5．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的( ) A．一个侧面平行 B．底面平行C．仅一条棱平行 D．某两条相对的棱都平行答案 C解析当平面α∥平面ABC时，如下图(1)所示，截面是三角形，不是梯形，所以A、B 不正确；当平面α∥SA时，如上图(2)所示，此时截面是四边形DEFG.又SA平面SAB，平面SAB∩α＝DG，所以SA∥DG.同理，SA∥EF，所以EF∥DG.同理，当平面α∥BC时，GF∥DE，但是截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，所以平面α仅与一条棱平行．所以D不正确，C正确．6．下列说法正确的是( )A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c 均平行答案 B解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B显然正确；C 中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b ，c 不在其平面内，则与b ，c 均平行．7．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)答案 ①②⇒③(或①③⇒②) 解析 ①②⇒③设过m 的平面β与α交于l .∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ，∵n ⊆/ α，l α，∴n ∥α.8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．答案2解析 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.9．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.答案22a3解析 ∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面ABCD ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB， ∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊆/ 平面AA 1B 1B ，AB 平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊆/ 平面AA 1B 1B ，BB 1平面AA 1B 1B ， ∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP 平面MNP ，NP 平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN 平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .平面与平面垂直的判定1．下列说法中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β。
北师大 数学必修2立体几何初步 第4节 空间图形的基本关系与公理
§4 空间图形的基本关系与公理【5分钟训练】 1. 在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.答案:不同在2.如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内.用符号语言可表示为 .答案:两点,设,A B a ∈, ,A B α∈a ⇒⊂≠α 3.经过不在同一条直线上的三点, 一个平面.答案:有且只有4.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 . 答案:一条通过这个点的公共直线5.空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .答案:相等或互补6.点A 在平面α、β的交线l 上,用符号语言可以表述为 .答案:,l A l αβ=∈【10分钟训练】1.下列推理错误的是( )A. ,,,A a A B a B a ββ∈∈∈∈⇒⊂≠β B. ,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈⇒= 直线C. ,l A l A αα⊄∈⇒∉D. A 、B 、C ,α∈ A 、B 、C β∈且A 、B 、C 不共线α⇒与β重合答案:C解析: l α⊄表示直线l 在平面α外,有两种位置关系,即直线l 与平面α相交或直线l 与平面α平行,而点A 可以为直线l 与平面α的交点.故C 错误.2.空间有四个点，每三个点都可以确定一个平面，则这四个点可以确定的平面数为（ ）A ．0B ．4C ．0或2D ．1或4答案:D解析: 每三点都确定平面，即任三点不共线，但仍可有四点在同一个平面或四点不共面，∴这四个点确定平面的个数为1或4，故应选D.3.空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，则（ ）A ．四点中必有三点共线B ．四点中必有三点不共线C ．AB 、BC 、CD 、DA 中必有两条互相平行D ．AB 、BC 、CD 、DA 中不可能有平行线答案:B解析: A 、B 、C 、D 共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A 错误，如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，B 正确，AB 、BC 、CD 、DA 中可以有平行线也可以没有平行线，C 、D 错误，故应选B.4.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误．．的是 ( ) A. A 、M 、O 三点共线B. A 、M 、O 、A 1四点共面C. A 、O 、C 、M 四点共面图1 图 2 D. B 、B 1、O 、M 四点共面答案:D5.已知如右图所示正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 、H 分别为AB 、AD 、C 1B 1、C 1D 1的中点，试判断下列直线是否平行.(1)AD 1与BC 1；(2)EF 与GH ；(3)DE 与HB 1.解析: (1)平行.∵AB //=D 1C 1, ∵ABC 1D 1是平行四边形，∴AD 1∥BC 1(2)平行. 因为EF ∥BD ∥B 1D 1∥GH(3)平行. 取CD 中点为S ，连BS ，可证DE ∥BS ∥HB 1.6.用符号表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于P A ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于P C.(2)平面ABD 与平面BDC 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于A C.解析: (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝PC 用图形表示：(如图1所示)(2)符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC ＝BD平面ABC ∩平面ADC ＝AC ,图形表示：(如图2所示)7. 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：(1)∠ABC ＝∠A 1B 1C 1；(2)∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B.解: (1)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，由长方体的性质可得：AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1且∠ABC 与∠A 1B 1C 1的两边方向相同，由定理可得∠ABC ＝∠A 1B 1C 1(2)由长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 的性质可知A 1D 1∥B 1C 1，D 1C 1//=AB ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形.∴AD 1∥BC 1且A 1D 1∥B 1C 1 且∠A 1D 1A 与∠B 1C 1B 的两边方向相同∴∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B8.已知如图所示, 点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，求证：点B ，D ，P 在同一条直线上.证明: ∵E ，F 是AB ，AD 上点，∴EF ⊂≠平面ABD ，同理GH ⊂≠面BCD. ∵EF ∩GH ＝P,∴P ∈EF,P ∈GH ，∴P ∈面ABD ，P ∈面BCD.∵面ABD ∩面BCD=BD ，∴P ∈BD 即B,D,P 三点共线.【30分钟训练】1.经过同一直线上的3个点的平面( )A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案:C2. (07·河南模)已知m 、n 为异面直线，m ⊂≠平面α,n ⊂平面β，α∩β=l ，则l( ) A ．与m 、n 都相交 B ．与m 、n 中至少一条相交C ．与m 、n 都不相交D ．至多与m 、n 中的一条相交答案:B3.已知直线a 与平面α、β，α∩β=l ，a ⊄α,a ⊄β，a 在α、β内的射影分别为b 、c ，则b 和c 的位置关系为( )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交平行或异面 答案:D解析:当直线a ∥ 时，b ∥c ，当a ⊥ 时，b,c 相交，当 与a 不平行，不相交，不垂直时b 与C 为异面直线.4. a 、b 、c 是空间三条直线，其中a 与b 、c 都相交，那么由这三条直线可以确定的平面个数为( )A. 1B. 1或3C. 2或3D. 1或2或3答案:D解析: b 与c 相交时，确定一个平面，b 、c 为异面直线时，确定两个平面，a 、b 、c 相交于一点，可确定三个平面. 故应选D.5.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P,Q,R 分别是AB,AD,B 1C 1的中点,那么正方体的过P,Q,R 的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案:D提示:作出过这三点的截面可得一正六边形截面.6.一个平面把空间分成 部分，两个平面把空间分成 或 部分，三个平面把空间分成 或 或 或 部分.答案:2,3或4,4或6或7或8提示: 一个平面把空间分成2部分，两个平面平行时把空间分成3个部分相交时把空间分成4个部分，三个平面两两平行时可把空间分成4部分,若两个平行,另一个与之均相交,可将空间分成6个部分,作三条两两相且不共点的直线,视其视作平面的截面图,可以将空间分成7部分,另外两个平面相交时,第三个平面与它的交线相交,可以将空间分成8个部分.7.“已知α∩β=l ，若点P ∈α且点P ∈β，则P ∈l .”用文字语言应叙述为_____________. 答案:已知平面α与平面β相交于直线l ，如果点P 既在平面α内又在平面β内，那么点P 在直线l 上8. 一条直线和这条直线外不共线的三点，可以确定多少个平面？并说明理由解: 设直线 及 外不共线的三点A ，B ，C ，由公理2，A,B,C 可以确定一个平面α,若 在α内，这时只能确定一个平面α，若 不在α内，(1)若A,B,C 中有两点与 共面，不妨设点A ，B 与 共面β，则C ∉β，否则α，β重合，点C 与 可确定一个平面γ，这时可确定三个平面.(2)若A,B,C 中无任何两点与 共面，这样A,B,C 三点分别可与 确定一个平面，连同α，这时共有4个平面.综上所述，一直线与直线外不共线三点，确定的平面的个数可以是1个，3个，4个.9.如图所示，设A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，求证MN ∥BD.证明：设AM 交BC 于E ，AN 交CD 于F ，∵M 、N 为△ ABC 和△BCD 重心， ∴32==AF AN AE AM ，∴MN ∥EF ， 由重心条件可得：E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴EF ∥BD,∴MN ∥BD.10.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列命题是否正确，并请说明理由.(1)直线AC 1在平面CC 1B 1B 内；(2)设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1，则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1；(3)由点A 、O 、C 可以确定一个平面；(4)由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1；(5)若直线l 是平面AC 内的直线，直线m 是平面D 1C 上的直线，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；(6)由A 、C 1、B 1确定的平面与由A 、C 1、D 确定的平面是同一平面.解: (1)错误.若AC 1⊂≠平面CC 1B 1B ，又BC ⊂≠平面CC 1B 1B ,∴AB ⊂≠平面CC 1B 1B ，与AB 平面CC 1B 1B 矛盾.(2)正确.O 、O 1是两平面的两个公共点.(3)错误.因为A 、O 、C 共线.(4)正确.A 、C 1、B 1不共线，∴确定平面α,又AB 1C 1D 为平行四边形，AC 1、B 1D 相交于O 3点，而O 3∈α,B 1∈α,∴B 1O 3⊂≠α而D ∈B 1O 3,∴D ⊂≠α. (5)正确.若l 与m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD 为两平面的交线.所以交点一定在直线CD 上.(6)正确.同(4).11. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是接AA 1、CC 1的中点，求证：点D 1、E 1、F 1、B 共面．提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D 1E 并延长交DA 延长线于G ，连结D 1F 并延长交DC 延长线于H ，可证GH 是D 1、E 、F 三点确定的平面和平面AC 的交线，然后再用平面几何知识证点B 在GH 上．12.如图所示，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且有AE ∶EB =AH ∶HD =m ,CF ∶FB =CG ∶GD =n .(1)证明：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)m ,n 满足什么条件时EFGH 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明EG =FH .解: (1)∵AE ∶EB =AH ∶HD ，∴EH ∥B D. CF ∶FB =CG ∶GD ， ∴FG ∥BD ， ∴EH ∥FG ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面.(2)当且仅当EH //=FG 时，四边形EFGH 为平行四边形. ∵1+=+=m m EB AE AE BD EH , ∴EH =.1BD m m +同理FG =1+n n BD ,由EH =FG 得m =n . 故当m =n 时，四边形EFGH 为平行四边形. (3)当m =n 时，AE ∶EB =CF ∶FB , ∴EF ∥A C. 又∵AC ⊥BD ，∴∠FEH 是AC 与BD 所成的角， ∴∠FEH =90°，从而EFGH 为矩形， ∴EG =FH .13. 如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面为边长为a 的正方形，棱AA 1为2a ，M ，N 分别是CD 和AD 的中点，(1)求证：M 、N 、A 1、C 1四点共面且MNA 1C 1是等腰梯形，(2)求梯形MNA 1C 1的面积.解: (1)连结AC ,∵M 、N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN AC∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体 ,∴ACC 1A 1为矩形，ACA 1C 1∴MN 21A ′C ′，于是M ，N ，A 1，C 1共面且MNA 1C 1为等腰梯形. 在△A 1AN 和△C 1CM 中，∠A 1AN ＝∠C 1CM ＝90°，A 1A ＝C 1C ＝2a ，AN ＝CM∴△A 1AN ≌△C 1CM ，∴A 1N ＝C 1M∴MNA 1C 1为等腰梯形.(2)由长方体的性质，可得,22,211a MN a C A == a M C N A 21711==,∴梯形的高,4h a =2111)2MNAC S ==所以梯形的面积14.正方体的棱长为4 cm ，M 、N 分别是A 1B 1和CC 1的中点，(1)画出过点D ，M ，N 的平面与平面BB 1C 1C 及平面AA 1B 1B 的两条交线，(2)设过D 、M 、N 三点的平面与B 1C 1交于P ，求PM ＋PN 的值.解: (1)连结DN 并延长交D 1C 1的延长线于E 点，连结ME 交B 1C 1于P 点，交D 1A 1延长线于Q ，连结DQ 交AA 1于R ，连结RM ，PN ，则DRMPN 为所求作的截面.(2)∵N 为CC 1的中点 ∴310,38432,211=∴=⨯==PN P C N C同理可求3132=PM , ∴313210+=+PN PM .。
高中数学-北师大版必修二 空间图形的公理4及等角定理 课件
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直 线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取 在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无 关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到 同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EM 12AD，FM 12BC， 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】
北师大数学必修二课时分层作业 5 空间图形的公理4及等角定理 含解析
课时分层作业(五)空间图形的公理4及等角定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交D[a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．]2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条B[由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．]4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．平行、相交或异面都有可能D [当a ，b ，c 共面时，a ∥c ；当a ，b ，c 不共面时，a 与c 可能异面也可能相交．]5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交或异面 C ．异面D ．相交B [假设a 与b 是异面直线，而c ∥a ，则c 显然与b 不平行(否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾)．c 与b 可能相交或异面．]二、填空题6．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 一定成立的是________．③ [∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°.] 7．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CG CD ，则EH 与FG 的位置关系是________．平行 [如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ，则EH ∥BD ，同理可得FG ∥BD . ∴EH ∥FG .]8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，底面ABCD 是平行四边形，则P A 与CD 所成的角是______．90°[∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠P AB是异面直线P A与CD所成的角．又∵P A⊥AB，∴∠P AB＝90°.]三、解答题9．如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解]如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B 1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.10．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明](1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.[等级过关练]1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直D[将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．]2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC ＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°B[连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.]3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．①②[结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．]4．如图，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中．(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．(1)90°(2)45°[(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1即为所求的角．∵∠DD1C1＝90°，∴AA1与C1D1所成的角为90°.(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C即为所求的角．∵∠BB1C＝45°，∴AA1与B1C所成的角为45°.]5．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC ＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[解]取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝1， 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52. 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。
【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：1.4-空间图形的基本关系与公理(含答案)
第1课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3[核心必知]1．空间图形的基本位置关系点⎩⎨⎧点与直线⎩⎪⎨⎪⎧ 点在直线上点在直线外点与平面⎩⎪⎨⎪⎧点在平面内点在平面外2．空间图形的3条公理文字语言图形语言符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A 、B 、C 三点不共线，则存在唯一一个平面α使A∈α，B ∈α，C ∈α续表文字语言图形语言 符号语言公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B∈α，则公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A ∈α，A ∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l ，且A ∈l[问题思考]1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．讲一讲1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．[尝试解答]证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．练一练1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面.讲一讲2.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．[尝试解答]证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．练一练2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.讲一讲3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[尝试解答]证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．练一练3．已知在正方体ABCDA′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解]∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因]在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．[正解]A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A ∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．1．下列图形中不一定是平面图形的是( ) A ．三角形 B ．菱形C ．梯形D ．四边相等的四边形解析：选D 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 2．(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，显然A 、B 、E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面 ③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．4．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是__________；(2)直线A1B与B1C的位置关系是__________；(3)直线D1D与D1C的位置关系是__________；(4)直线AB与B1C的位置关系是__________．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．答案：平行、相交或异面6．证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C(如图所示)．∵l1与l2相交，∴l1与l2确定一平面α.∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβD．A b，b∈β解析：选B∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：选C∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．6解析：选C与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线．解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．第2课时空间图形的公理4及等角定理[核心必知]1．公理4平行于同一条直线的两条直线平行．2．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．4．异面直线所成的角(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直．[问题思考]1．公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．讲一讲1.如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为线段A1B，B1D1，A1B1上的点，若B1NB1D1＝BMBA1＝13，且PN∥A1D1.求证：PM∥AA1.[尝试解答]证明：∵PN∥A1D1，B1NB1D1＝13，得B1PB1A1＝13，又BMBA1＝13，∴PM∥BB1.而BB1∥AA1，∴PM∥AA1.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行．(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．练一练1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：在梯形ABCD 中，EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )．在梯形ABC ′D ′中，G ，H 分别是AD ′，BC ′的中点， ∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)．又CD ＝C ′D ′，∴EFGH ，∴四边形EFGH 为平行四边形.讲一讲2.如图所示，已知E ，E 1分别是正方体AC 1的棱AD ，A 1D 1的中点， 求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB .[尝试解答] 证明：连接EE 1，∵E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点， ∴A 1E 1AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形， ∴A 1A E 1E . 又A 1AB 1B ，由基本性质4知B 1BE 1E ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形， ∴E 1B 1∥EB . 同理E 1C 1∥EC .又∠C 1E 1B 1与∠CEB 的对应边方向相同， ∴∠C 1E 1B 1＝∠CEB .1．证明两角相等的方法①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性．练一练2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF12BD.同理，E1F112B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD B1D1，又EF 12BD，E1F112B1D1，所以EF E1F1.(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，由题意，MF1BC，A1M BE，∴四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，∴A1E∥BM∥CF1.同理可证A1F∥DN∥CE1.又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为∠EA1F、∠E1CF1的对应两边，且方向相反，∴∠EA1F ＝∠E1CF1.在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[错解]如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.[错因]错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内．[正解]构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．[答案]D1．下列结论正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确．可能平行，可能相交也可能异面．3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．4．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB，CD交于点O，已知AO＝4，BO＝2，CD ＝9.则线段CO，DO的长分别为________，________.解析：∵AB，CD相交于O点，∴AC，BD共面．又AC与BD不相交，∴AC∥BD.∴CODO＝AOBO，又DC＝9，AO＝4，BO＝2.∴CO＝6，DO＝3.答案：635．已知E，F，G，H为空间中的四个点，且E，F，G，H不共面，则直线EF和GH 的位置关系是________．解析：假设共面，则E，F，G，H共面，与已知矛盾，∴EF与GH不共面，即异面．答案：异面6．如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB ，∴A 1B 1∥AB .同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .∴△A 1B 1C 1∽△ABC .一、选择题1．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交解析：选D a 与c 不可能平行，若a ∥c ，又因为a ∥b ，所以b ∥c ，这与b ∩c ＝A 矛盾，而a 与c 异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP 与BC ，CP 与AB ，BP 与AC . 3．如图所示，在长方体木块AC 1中，E ，F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．3条B ．4条C．5条D．6条解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是()A．5 B．10 C．12 D．不能确定解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是() A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④三、解答题9．长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EMC 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点． 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ，故EHλBD .同理FGμBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。
高中数学北师大版必修2 1.4 基础练习 《空间图形的公理》(数学北师大必修二)
《空间图形的公理》基础练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1.在下列命题中，不是公理的是（）A．经过两条相交直线有且只有一个平面B．平行于同一直线的两条直线互相平行C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线2.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（）．A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（）A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线4. 下列命题中：①若A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α；②若α∩β＝l，b⊂α，c⊂β，b∩c＝A，则A∈l；③若A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线，则α与β重合；④任意三点不共线的四点必共面．其中真命题的个数是()．A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知AB ∥PQ ,BC ∥QR ,30ABC ︒∠=,则PQR ∠=（ ）A ．30︒B . 150︒C ．30︒或150︒D ．不确定6.正方体1AC 中，E 、F 分别是面1111A B C D 和11AA D D 的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B . 45°C ．30°D ．90°二、填空题7. 空间两两相交的四条直线能确定_____个平面.8. 在空间四边形ABCD 中，点,,,E F G H 分别在,,,AB BC CD DA 上，若直线EH 与FG 相交于点P ，则点P 与直线BD 的关系是 ．9. 若直线l 上有两个点在平面α内，则下列说法正确的序号为________.①直线l 上至少有一个点在平面α外；②直线l 上有无穷多个点在平面α外；③直线l 上所有点都在平面α内；④直线l 上至多有两个点在平面α内．10. 已知正方体ABCD A B C D ''''-中：（1）BC '与CD '所成的角为________；（2）AD 与BC '所成的角为________．三、简答题11.画一个正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，再画出平面ACD 1与平面BDC 1的交线，并且说明理由．12.如图，已知长方体ABCD —A ＇B ＇C ＇D 中，AB AD ==AA ＇=2，（1）哪些棱所在直线与直线BA ＇是异面直线？（2）直线BC 与直线A ＇C ＇所成角是多少度？13.如右图所示，△ABC 和△'''A B C 的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点D ，且。
北师大版必修2练习1.4.2 空间图形的公理 Word版含解析
．空间图形的公理时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．下列说法正确的个数为( )①有三个公共点的两平面必重合；②平面α和平面β只有一个公共点；③三点确定一个平面．．．．．答案：解析：①当这三个公共点共线时，两平面可以相交，但不重合，故①错误；②由公理，知两个平面若有一个公共点，则必有无数个公共点，故②错误；③不在同一直线上的三点才能确定一个平面，③错误．故选.．已知α，β表示两个不同的平面，表示直线，，表示两个不同的点．给出下列命题：①若∈，∈α，∈，∈α，则α；②若∈α，∈β，∈α，∈β，则α∩β＝；③若α，∈，则∉α.其中正确命题的个数为( )．．．．答案：解析：由公理可知①正确；由公理可知②正确；当点为直线与平面α的交点时，③错误．．若∠＝∠，且∥，射线，的方向相同，则下列结论中正确的是( )．∥，且射线，的方向相同．∥．与不平行．与不一定平行答案：解析：如图，在图中∥，在图中，与不平行．．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( )．°<α<°．°<α≤°．°≤α≤°．°<α<°答案：解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选.．如图，在四面体－中，，分别是△和△的重心，则直线与的位置关系是( )．相交．平行．异面．以上都有可能答案：解析：连接，并延长，分别与，交于点，，连接，则，分别为，的中点，由重心的性质，知＝，∴∥.又，分别为，的中点，∴∥，再由平行公理可得∥，故选.．给出下列四个命题：①不共面的四点中任意三点不共线；②若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面；③若直线，共面，直线，共面，则直线，共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数为( )．．．．答案：解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故不共面的四点中任意三点不共线，所以①正确．②当，，共线时，结论可能不成立，所以②不正确；利用正方体模型，易知③不正确；由空间四边形，知④不正确．二、填空题(每小题分，共×＝分)．不共面的四点可以确定个平面．答案：解析：任何三点都可以确定一个平面，从而可以确定个平面．．已知正方体－′′′′中：()′与′所成的角为；()与′所成的角为．答案：()°()°解析：连结′，则′∥′，连结′′，则∠′′就是′与′所成的角．由△′′为正三角形．∴∠′′＝°，由∥，∴与′所成的角就是∠′.易知∠′＝°.．用一个平面去截一个正方体，截面可能是．①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．答案：①②③④解析：。
2015-2016学年北师大版必修二空间图形基本关系的认识课时作业(含答案)
双基限时练(六)一、选择题1．下列说法错误的是()A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交答案 C2．下列表示正确的是()A．直线l在平面α内，用符号表示为“l∈α”B．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示为“A∈l，lα”C．点A在平面α内，用符号表示为“Aα”D．直线l与平面α外，用符号表示为“l?α”答案 B3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析由两条直线的位置关系，可知答案为 D.答案 D4．下面空间图形画法错误的是()解析画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．答案 D5．分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上皆有可能答案 D6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行，也可能异面解析一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如图所示．答案 D二、填空题7．点A在直线l上，用符号表示为________；直线AB在平面β内，用符号可表示为________；平面α与平面β相交于直线l可表示为________．答案A∈l ABβα∩β＝l8．如图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中相互异面的有________对．解析如图所示，AB与GH异面，AB与CD异面，EF与GH 异面．答案三9．若直线a，b都平行于平面α，则直线a，b的位置关系是________．解析直线a，b的位置关系有三种：相交、平行、异面，如图所示．答案相交、平行、异面三、解答题10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．答案11．如图，在四棱锥P－ABCD中，写出互相异面的直线．解由异面直线的判定定理可知，互为异面的直线有AB与PD，AB与PC，AD与PB，AD与PC，DC与P A，DC与PB，BC与PA，BC与PD异面．12．如图，已知P?平面ABC，P A≠PB，CM是AB上的中线，PN⊥AB于N，求证：CM和PN是异面直线．证明证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：(1)若M、N重合，可得AN＝BN，∴PN是线段AB的中垂线，∴P A＝PB，与题设P A≠PB矛盾．(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P?平面ABC矛盾．所以CM和PN是异面直线．证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM平面ABC.又∵PN⊥AB于N，∴N∈平面ABC.∵P A≠PB，∴AN≠BN.∴N与M不重合，即N?CM.又∵P?平面ABC，∴CM和PN是异面直线．思维探究13．若a与b异面，c与b异面，试举例说明a与c的位置关系．解a与c可能相交、平行、异面，说明如下：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1与AB异面，B1C1与AB异面，而A1D1∥B1C1；A1D1与AB异面，DD1与AB异面，而A1D1与DD1相交；A1D1与AB异面，CC1与AB异面，而CC1与A1D1异面，。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.2 空间图形的公理(二)课时作业 北师大版必修2
1.4.2 空间图形的公理（二）[学业水平训练]1.已知空间两个角∠AOB和∠A′O′B′，且两角的两边分别对应平行，∠AOB＝60°，则∠A′O′B′为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D.利用等角定理可知两角相等或互补．2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面解析：选D.分别和两条异面直线平行的两条直线相交或异面，如图(1)(2)．3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选B.连接A1B、C1B、A1C1，易证∠A1BC1为异面直线EF与GH所成的角，又因为△BC1A1为等边三角形，所以∠A1BC1＝60°.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF 与GH( )A．平行B．相交C．异面D．不能确定解析：选A.连接A1D，B1C，由三角形的中位线性质可得GH∥A1D，EF∥B1C，又因为在正方体中A1D∥B1C，所以GH∥EF.5.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定解析：选B.因为E 、F 、G 分别是棱A 1C 1，B 1C 1，B 1B 的中点，由三角形中位线性质得 EF ∥A 1B 1，GF ∥BC 1，又在三棱柱ABC A 1B 1C 1中， AB ∥A 1B 1， 所以EF ∥AB .所以∠EFG 和∠ABC 1的角的两边分别平行，利用平移可知两边互补．6.设直线a ，b 分别是长方体相邻两个面的对角线所在直线，则a 与b 的位置关系是________．解析：如图，在平面ABB ′A ′和平面BB ′C ′C 内，两条对角线有两种位置关系，可能相交，也可能是异面直线．答案：相交或异面7.空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC ＝BD ，则四边形EFGH 是________．解析：利用三角形的中位线可得，EF ＝GH ＝12AC ，FG ＝EH ＝12BD .因为AC ＝BD ，所以EF ＝FG ＝GH ＝EH . 又利用平行公理，可知， EH ∥FG ，EF ∥GH ，所以四边形EFGH 是菱形． 答案：菱形8.下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的是________．解析：利用三角形中位线的性质和平行公理4可知，①、②、③中的四个点共面，而④中的四个点不共面．答案：④9.如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱A 1B 1，AB 的中点，求证：C 1M ∥CN .证明：连接MN ，因为M ，N 为棱A 1B 1与AB 的中点，所以MN 綊A 1A ， 由三棱柱性质知A 1A 綊C 1C ， 所以MN 綊C 1C ，所以四边形MNCC 1为平行四边形，所以C 1M ∥CN .10.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，ED ⊥CD ，CD ＝1，AD ＝22，求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值．解：因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED .因为ED ⊥CD ，故∠CED 为锐角，即为异面直线CE 与AF 所成的角．在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22，CE ＝CD 2＋ED 2＝3，故cos ∠CED ＝ED CE ＝223，所以所求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.[高考水平训练]1.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直 解析：选D.将展开图还原为正方体，如图所示．AB 与CD 所成的角为60°，故选D.2.在空间四边形ABCD 中，已知E ，F 分别为边AB 和CD 的中点，且EF ＝5，AD ＝6，BC ＝8，则AD 与BC 所成的角的大小为________．解析：如图，连接BD ，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，由三角形的中位线定理可知：EG 綊12AD ，GF 綊12BC .∵AD ＝6，BC ＝8， ∴EG ＝3，GF ＝4， 又因为EF ＝5，所以EG 2＋GF 2＝EF 2， 所以∠EGF ＝90°，∠EGF 就是AD 与BC 所成的角． 答案：90°3.如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是△PAB 、△PBC 的重心．求证：DE ∥AC ，DE ＝13AC .证明：连接PD 并延长交AB 于M ， 连接PE 并延长交BC 于N ，则M 为AB 的中点，N 为BC 的中点，∴MN ∥AC ， 又PD DM ＝PE EN ＝21， ∴DE ∥MN ， ∴DE ∥AC . 又DE MN ＝PD PM ＝23， ∴DE ＝23MN ，又因MN ＝12AC ，∴DE ＝13AC .4．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．。
北师大版必修2高中数学14《第2课时 空间图形的公理》课时训练
【课堂新坐标】（教师用书)2013—2014学年高中数学 1、4 第2课时空间图形的公理（公理4，定理）课时训练北师大版必修2一、选择题1。
(2013·杭州高一检测）一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条（)A。
相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行【解析】可能相交，如图,A1B1∥C1D1，DD1与A1B1异面,而DD1与C1D1相交；可能异面，E、F为B1C1、BC的中点，则EF与A1B1、EF与C1D1都是异面直线，不可能平行,故选C、【答案】C2.若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C。
OB与O1B1不平行D。
OB与O1B1不一定平行【解析】OB与O1B1不一定平行，反例如图。
【答案】D3。
已知一对等角,若一个角的一边和另一个角的一边平行,则它的另一边（）A.一定平行B.一定不平行C。
一定相交D。
不一定平行【解析】如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,∠D1A1B1＝∠DAB，AD∥A1D1,AB∥A1B1,但∠D1A1B1＝∠B1C1C、A1D1∥B1C1，A1B1与CC1不平行，故选D、【答案】D图1－4－184。
如图1－4－18，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( ）A。
45° B.60° C.90° D.120°【解析】取A1B1中点I，连接IG、IH,则EF綊IG、易知IG、IH、HG相等，则△HGI 为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°,即EF与GH所成的角为60°、【答案】B5。
下列命题中，正确的结论有（)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行A。
北师大版必修2高中数学14《第1课时 空间图形基本关系的认识空间图形的公理》课时训练
【课堂新坐标】(教师用书）2013—2014学年高中数学 1、4 第1课时空间图形基本关系的认识、空间图形的公理(公理1，2,3）课时训练北师大版必修2一、选择题1.（2013·日照高一检测）下列叙述中错误的是（)A。
若P∈α∩β且α∩β＝l,则P∈lB.三点A,B，C只能确定一个平面C.若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面D.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α，则lα【解析】不共线的三点才能确定平面,所以B错。
【答案】B2.（2013·桂林高一检测）下列说法正确的是( ）A.平面α和平面β只有一个公共点B.两两相交的三条直线必共面C.不共面的四点中，任何三点不共线D。
有三个公共点的两平面必重合【解析】四点中,若三点共线，则四点便成了一条直线和直线外一点，则共面，所以与四点不共面矛盾，所以C正确.【答案】C3.已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b（）A.一定是异面直线B。
一定是相交直线C.不可能是平行直线D。
不可能是相交直线【解析】若a,b异面，c∥a,则c与b相交或异面,则C正确。
【答案】C图1－4－64.(2013·烟台高一检测)如图1－4－6,平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β,点C∉l、又AB∩l＝R，设A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是( )A.直线ACB.直线BCC。
直线CR D。
直线AR【解析】∵C∈平面ABC,AB平面ABC,而R∈AB,∴R∈平面ABC、而C∈β，lβ,R ∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR、【答案】C5.在四面体ABCD的棱AB,BC，CD,DA上分别取E，F,G，H四点，如果EF与HG交于点M,则（）A。
M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C。
M可能在AC上,也可能在BD上D。
M不在AC上,也不在BD上【解析】因为E,F，G,H分别是四面体ABCD的棱AB,BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点,而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上。
高中数学 1.4.1 空间图形基本关系的认识课时作业 北师大版必修2
§4空间图形的基本关系与公理4．1 空间图形基本关系的认识【课时目标】学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．1．空间点与直线的位置关系有两种：______________________________．2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．3．空间两条直线的位置关系有三种(1)________直线——在同一平面内，没有公共点；(2)________直线——在同一平面内，只有一个公共点；(3)________直线——不同在任何一个平面内．4．空间直线与平面的位置关系有三种(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．5．空间平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线bα，则a与b的位置关系是( )A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是( ) A．相交 B．b∥αC．bα D．b∥α或bα3．若直线m不平行于平面α，且m α，则下列结论成立的是( )A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条5．平面α∥β，且aα，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．36．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是( )A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内二、填空题7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个．8．若a、b是两条异面直线，且a∥平行α，则b与α的位置关系是__________________．9．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．三、解答题10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．(1)如图1，直线a在平面α内．(2)如图2，直线a和平面α相交．(3)如图3，直线a和平面α平行．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，指出与AB平行的棱、相交的棱、异面的棱．能力提升12．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中相互异面的有______对．13．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．正方体或长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体或长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．§4空间图形的基本关系与公理4．1 空间图形基本关系的认识答案知识梳理1．点在直线上和点在直线外2．点在平面内和点在平面外3．(1)平行(2)相交(3)异面作业设计1．D2．D3．B4．D5．C6．B7．38．bα，b∥α或b与α相交9．4,6,7,810．解(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：(1)直线a在平面α内：(2)直线a与平面α相交：(3)直线a与平面α平行：11．解如图所示．与AB平行的棱CD，A1B1，C1D1；与AB相交的棱A1A，B1B，AD，BC；与AB异面的棱为棱A1D1，B1C1，D1D，C1C．12．3解析将正方体恢复后，由图观察即可得．即为EF，GH；CD，AB；AB，GH．13．解由α∩γ＝a知aα且aγ，由β∩γ＝b知bβ且bγ，∵α∥β，aα，bβ，∴a、b无公共点．又∵aγ且bγ，∴a∥b．∵α∥β，∴α与β无公共点，又aα，∴a与β无公共点，∴a∥β．。
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双基限时练(七)
一、选择题
1．下列图形中，不一定是平面图形的是()
A．三角形B．菱形
C．梯形D．四边相等的四边形
答案 D
2．下列说法中正确的是()
A．两个平面相交有两条交线
B．两个平面可以有且只有一个公共点
C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交线上D．两个平面一定有公共点
解析根据公理3，可知C正确．
答案 C
3．首尾相连的四条线段所在的直线，它们最多确定的平面数是()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析如图，面ABC，面BCD，面CDA，面BAD.
答案 D
4．经过同一条直线上的3个点的平面()
A．有且只有1个B．有且只有3个
C．有无数个D．不存在
答案 C
5.
在四面体A—BCD中，H，G，E，F分别为AD，DC，AB，BC 上的点，若EF与GH相交于点M，则()
A．点M在直线AC上
B．点M在直线BD上
C．点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．点M不在直线AC上，也不在BD上
解析∵HG∩EF＝M，又HG 面ADC，EF 面ABC，
∴M∈面ADC，且M∈面ABC.
又面ABC∩面ADC＝AC.
∴M∈AC.
答案 A
6．下列四个命题：①过三点确定一个平面；②矩形是平面图形；
③四边相等的四边形是平面图形；④三条直线两两相交则确定一个平面．其中正确命题的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析①不一定正确，因为这三点可能在一条直线上；③不一定正确，如将正方形沿某一对角线折起，得到的几何体的四边相等，但不是平面图形；④中若三条直线相交于一点，就不一定能确定一个平面，如墙角；②显然正确．故选A.
答案 A
二、填空题
7．下面四种说法：①平面的形状是平行四边形；②平行四边形、梯形、圆等平面图形都可以表示平面；③平面α的面积为1 cm2；④在空间图形中，后引的辅助线都是虚线，其中正确的说法的序号为________．
解析由于平面是无限延展的，平行四边形只是平面的一部分，故①不正确，③当然也不正确，在立体几何中，为增强立体感，画图时看得见的线画成实线，被平面遮住看不见的线画成虚线，而不是后引的辅助线画成虚线，故④不正确，②显然正确．
答案②
8．如图，平面α与两个定点A，B，若直线AB与平面α相交于一点P，直线AQ与α相交于点M，直线BQ与平面α相交于点N，则直线MN必经过点________．
解析∵AB∩AM＝A，
∴A，B，M三点可确定一个平面．
又B∈AB，Q∈AM，
∴BQ 面ABM.
由公理2，知M，N，P三点共线．
答案P
9．三个平面可将空间分成________部分．
解析当α，β，γ互相平行时，如图，将空间分成4部分．
当α，β平行，γ与α，β相交时，将空间分成六部分，如图．
当α，β，γ相交于一条线时，将空间分成六部分，如图．
当三个平面相交于一点时，将空间分成8部分，如图．
如图．
答案4,6,7,8
三、解答题
10．有个同学说：“如果直线a与b共面，且直线a与c共面，
那么b与c共面．”这个同学的这种说法正确吗？试说明理由．
解这个同学的说法不正确，理由如下：
如图平面α∩β＝a，b α，a∩b＝A，c β，c∩a＝B，如图可知，b与c不在同一个平面内．故这种说法是错误的．
11．正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C∩面BDC1＝O，AC，BD交于点M，求证：C1，O，M共线．
证明如图，由A1A∥C1C，则AA1与C1C确定平面A1ACC1.
∵A1C 平面A1ACC1，O∈A1C，
∴O∈平面A1ACC1.
又A1C∩平面BDC1＝O，
∴O∈平面BDC1，
∴O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上．
又AC∩BD＝M，
∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1ACC1.。