2013北京市昌平区期末考试数学(理科)和(文科)试题及答案汇编
昌平区初三数学期末考试题及答案
昌平区2012—2013年第一学期初三年级期末质量抽测数 学 试 卷 2013．1学校 姓名 考试编号一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．在Rt △ABC 中，90C=∠o，3AC=，4BC=，则sin A 的值为A ．43B ．45C ．34D ．352．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A = 50°，则∠BOC 的度数为A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°3．在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球．．的概率是 A ．16B.14C. 13D.124．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，若O 1O 2= 8cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 A ．外切B. 相交C. 内切D. 内含5．若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为A. 15B. 10C. 9D. 3 6．将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为 A ．2(2)5y x =++ B ．2(2)5y x =+- C ．2(2)5y x =-+ D ．2(2)5y x =--7．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到圆桌后在地面上形成圆形的示意图. 已知桌面直径为1.2m ，桌面离地面1m. 若灯泡离地面3m ，则地面上阴影部CBA分的面积为A.0.36πm 2B.0.81πm 2C.2πm 2D.3.24πm 28．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，以B 为圆心，AB 为半径作»AC ，在扇形BAC 内作⊙O 与AB 、BC 、»AC都相切，则⊙O 的周长等于 A.49π B.23π C. 43π D. π 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为 . 10．当x = 时，二次函数222y x x =+-有最小值． 11．如图，在△ABC 中，∠ACB =∠ADC= 90°，若sin A =35，则cos ∠BCD 的值为 ．12．如图，已知正方形ABCD 的边长为8cm ，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°. 当EF =8cm 时，△AEF 的面积是 cm 2； 当EF =7cm 时，△EFC 的面积是 cm 2．三、解答题（共6道小题，第13、14题各4分，第15 -18题各5分，共28分） 13.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．14.如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距AB 为1.7米，求这棵树的高度.15.已知二次函数2(+1)63y k x x =-+的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围.DCBAFE DCBAA BCD E16. 如图，△ABC 的顶点在格点上，且点A （-5，-1），点C （-1，-2）. （1）以原点O 为旋转中心，将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到△A B C '''. 请在图中画出△A B C '''，并写出点A 的对称点A '的坐标；（2）以原点O 为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A B C ''''''.17.如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．．．.甲、乙约定：只有．．甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜. 请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同 .18. 二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为A ()3,0，另一个交点为B ，与y轴交于点C .（1）求m 的值及点B 、点C 的坐标； （2）直接写出当0y >时，x 的取值范围； （3）直接写出当12x -≤≤时，y 的取值范围． 四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分）19. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线DT 切⊙O 于T ，AD ⊥DT 于D ，交⊙O 于点C , AC =2，DT=3，求∠ABT 的度数.20. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，求CD BD的值．ABCDO C BAxO yACB21. 在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 为半径的⊙O 与AD 、BD 分别交于点E 、F ，且∠ABE =∠DBC . （1）求证：BE 与⊙O 相切； （2）若13sin ABE ∠=，CD =2，求⊙O 的半径.22. 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且P A =3 ，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数.小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP C '，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB 的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且P A=PB =1，PD，则∠APB 的度数等于 ，正方形的边长为 ；（2）如图4，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =2，PB =1，PF 则∠APB 的度数等于 ，正六边形的边长为 ．五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题8分，第25题9分，共24分） 23. 如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD 为12米时，球移动的水平距离PD 为9米 ．已知山坡P A 与水平方向PC 的夹角为30o ，AC ⊥PC于点C ， P 、A 两点相距请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题. （1）求水平距离PC 的长；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P 点直接打入球洞A ．24．如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD 做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC—CB—BA做匀速运动.（1）求BD的长；（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s. 经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求a的值.25.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（- 4），且在x轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.昌平区2012—2013学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 2013．1 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共6道小题，第13、14题各4分，第15-18题各5分，共28分）13．解：原式=222⨯+- ……………… 3分 =1． …………………………… 4分 14．解：由题意，易知30,90,CAD CDA ∠=︒∠=︒,, 1.7AD CE BE DE AB =⊥==. ………………………… 1分∴tan CD CAD AD∠=， …………………… 2分∴33CD ==． ………………………… 3分∴3 1.7 4.7CE =+=． ………………………… 4分答：这棵树的高度为4.7米． 15．解：依题意，得210,(6)43(1)0.k k +≠⎧⎨∆=--⨯+≥⎩ ……………… 2分解之，得 1,2.k k ≠-⎧⎨≤⎩……………………… 4分∴ 2k ≤且1k ≠-． ………………………… 5分 16．解：（1）点A '坐标为 （1，-5） . ……………………… 1分如图所示. ………………………3分 （2）如图所示. ……………………………………5分17．解：2 4 52 4 52 5 5554甲乙 4 5 52. …………… 3分∴57,1212P P ==（甲胜）（乙胜）. …………………………… 4分 ∴甲、乙获胜的机会不相同. ………………… 5分 18．解：（1）依题意得：0 = - 9 + 6 + m ,∴m = 3. …………………… 1分 ∴223y x x =-++.∴ 抛物线与x 轴的另一交点B (-1，0), ………… 2分 与y 轴交点C (0,3). ………………………… 3分（2）当y ﹥0 时，-1 < x < 3. …………………… 4分（3）当-1≤x ≤2时，0≤y ≤4. ……………………………………5分 四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分） 19． 解：连接OT 、BC ，相交于点E ．∵直线DT 切⊙O 于T ，∴∠OTD = 90°．…………………………… 1分 ∵AD ⊥DT 于D ， ∴∠ADT = 90°． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB = 90°． ……………………………… 2分 ∴∠DCB = 90°．∴四边形CDTE 是矩形． ……………………… 3分 ∴∠CET = 90°,CE DT ==.∴2BC CE ==∵tan ABC AC BC ∠== ∴∠ABC = 30°． …………………………………… 4分 ∴∠BOT = 60°． ∵OB = OT ,∴△OBT 为等边三角形．∴∠ABT = 60°． …………………………………… 5分20．解：过点D 作DE AB E ⊥于点.∵∠BAC =90°，AD 平分∠CAB ,∴∠1=12∠CAB=45°.∵DE AB ⊥， ∴DE ∥AC ，∠2=45° . ∴DE=AE ， AE CD BEBD=． …………………………… 2分∵1tan 2B =,∴12DE BE =． ………………………………………… 3分 ∴12AE BE = . …………………………………… 4分 ∴12CD BD= . …………………………… 5分21． （1）证明：连接OE . ………………………………… 1分∵四边形ABC D 是矩形， ∴AD ∥BC , ∠C =∠A = 90°． ∴∠3 =∠DBC ，∠A BE +∠1 = 90°． ∵OD =OE ，∠ABE =∠DBC, ∴∠2=∠3=∠ABE ． ∴∠2 +∠1 = 90°． ∴∠BEO =90° ． ∵点E 在⊙O 上，∴BE 与⊙O 相切． ………………………… 2分（2）解：∵∠ABE =∠DBC ， ∴13sin sin DBC ABE ∠=∠=．21EABCD∵DC =2 ，∠C = 90°，∴DB = 6． ………………… 3分 ∵∠A = 90°， ∴BE =3AE . ∵AB = CD =2 ，利用勾股定理，得2AE =，AD =.∴2DE =.连接EF . ∵DF 是⊙O 的直径， ∴∠DEF =∠A = 90°． ∴AB ∥EF ．∴DEF ∆∽DAB ∆． …………………… 4分∴DE DFAD BD =.6DF =. ∴214DF =. ∴⊙O 的半径为218. …………………………………5分 22．解：150︒ . …………………………………………… 1分 （1）135°……………………………………… 3分 （2）120°…………………………………… 5分五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题8分，第25题各9分，共24分） 23．解：（1）依题意得：90,30,ACP APC PA ∠=︒∠=︒=∵cos OCAPC OA∠=， ………………………………… 1分∴cos 3012PC =︒= . ………………………… 2分 ∴PC 的长为12m .（2）以P 为原点，PC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B (9，12), 抛物线经过原点. …………………… 3分∴设抛物线的解析式为2(9)12y a x =-+. …4分 ∴20(09)12a =-+，求得427a =-.∴24= 9+1227y x -（-). …………… 5分（3）由（1）知C (12 , 0) ,易求得AC =∴12A(. ……………………………… 6分 当x =12时，2432(129)12=273y =--+≠ ……………… 7分∴小明不能一杆把高尔夫球从P 点直接打入球洞A .24．解：（1）∵ 四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =48 . ………………………………… 1分 又∵60A ∠=o， ∴△ABD 是等边三角形. ∴BD =AB =48.∴BD 的长为48cm . ………………………… 2分（2）如图1，12秒后，点P 走过的路程为8×12=96，∴12秒后点P 到达点D （M ）.又∵ 12秒后，点Q 走过的路程为10×12=120， ∴12秒后点Q 到达AB 的中点N . …………… 3分 连结MN ，由（1）知△ABD （M ）是等边三角形， ∴MN ⊥AB 于点N . ∴90ANM ∠=︒.∴△AMN 是直角三角形. ……………………………4分（3）依题意得，3秒时点P 走过的路程为24cm ，点Q 走过的路程为3a cm.∴ 点E 是BD 的中点.∴ DE = BE = 24. ……………………………5分 ① 当点Q 在NB 上时（如图1），13NF a =，∴1243BF a =-.∵点E 是BD 的中点，若EF 1⊥DB ，则点F 1与点A 重合，这种情况不成立.∴EF 1⊥AB 时，∠EF 1B =∠ANM = 90°. 由（1）知∠ABD =∠A = 60°, ∴△EF 1B ∽△MAN. ∴1BF BE ANAM=. ∴243242448a -=.∴4a =，112BF =. ………………………… 6分② 如图2，由菱形的轴对称性，当点Q 在BC 上时，212BF =. ∴点Q 走过的路程为36cm. ∴36123a ==. …………… 7分③ 如图3，当点Q 与点C 重合时，即点F 与点C重合.由（1）知，△BCD 是等边三角形， ∴EF 3⊥BD 于点E ，∠E B F 3 =∠A = 60°. ∴△F 3EB ∽△MNA . 此时，BF 3 = 48，∴点Q 走过的路程为72cm. ∴ 72243a ==. …………………………… 8分综上所述，若△BEF ∽△ANM ，则a 的值为4cm/s 或12cm/s 或24cm/s.25．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为4C-（， ∴抛物线的对称轴为直线4x =-.∵抛物线在x 轴上截得的线段AB 的长为6，∴ A (-1 , 0 )，B ( -7 , 0 ) . ………………………1分图1图23)图3设抛物线解析式为()24y a x =+ ∴()2014a =-++解得，a =. ∴ 二次函数的解析式为)24y x =++ ……………2分 （2）作点A 关于y 轴的对称点A '，可得 A '（1.0）.连接A 'C 交y 轴于一点即点M ，此时MC + MA 的值最小.由作法可知，MA = M A '. ∴MC + MA = MC + M A '=A 'C .∴当点M 在线段A 'C 上时，MA + MC 取得最小值. ……………3分 ∴线段A 'C 与y 轴的交点即为所求点M .设直线C A '的解析式为y kx b =+(k≠0)，∴40k b,k b.=-+=+⎪⎩∴k b ==……………4分 ∴直线C A '的解析式为y x =+ ∴点M 的坐标为( 0，5). …………………5分 （3）由（1）可知，C (－4)，设对称轴交x 轴于点D ，∴AD = 3.∴在Rt △ADC中，3tan CAD ∠=.∴∠CAD = 30o ，∵AC = BC ，∴∠ABC = ∠CAB = 30o.∴∠ACB = 120°. …………………………………6分①如果AB = A N1= 6，过N1作E N1⊥x轴于E.由△ABC∽△BA N1得∠BA N1= 120o，则∠EA N1= 60o .∴N1E = 33，AE =3.∵A(-1 , 0 )，∴OE = 2.∵点N在x轴下方，∴点N2(2，-………………………………………7分②如果AB = B N2，由对称性可知N2(-10，-……………………8分③如果N3A = N3B，那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点N.经检验，点N1 (2，-与N2 (-10，-都在抛物线上. …………9分综上所述，存在这样的点N，使△NAB∽△ABC，点N的坐标为(2，-或(-10，-。
2012-2013昌平区初三数学期末试题答案
昌平区2012—2013学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 2013．1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共6道小题，第13、14题各4分，第15-18题各5分，共28分）13．解：原式=22…………………………………………………………… 3分 =1． ………………………………………………………………………… 4分 14．解：由题意，易知30,90,CAD CDA ∠=︒∠=︒,, 1.7AD CE BE DE AB =⊥==. ………………………… 1分∴tan CD CAD AD∠=， ……………………………………………………………… 2分∴33CD ==． ……………………………………………………………… 3分∴3 1.7 4.7CE =+=． ……………………………………………………………… 4分答：这棵树的高度为4.7米．15．解：依题意，得210,(6)43(1)0.k k +≠⎧⎨∆=--⨯+≥⎩ …………………………………………………… 2分 解之，得 1,2.k k ≠-⎧⎨≤⎩………………………………………………………………………… 4分∴ 2k ≤且1k ≠-． ………………………………………………………………………… 5分 16．解：（1）点A '坐标为 （1，-5） . ……………………………………………………………… 1分如图所示. ………………………………………………………………………………3分 （2）如图所示. ………………………………………………………………………………………5分17．解：2 4 52 4 52 5 5554甲乙 4 5 52. ………………………………… 3分∴57,1212P P ==（甲胜）（乙胜）. …………………………………………………………… 4分 ∴甲、乙获胜的机会不相同. ………………………………………………………… 5分 18．解：（1）依题意得：0 = - 9 + 6 + m ,∴m = 3. …………………………………………………………………………… 1分 ∴223y x x =-++.∴ 抛物线与x 轴的另一交点B (-1，0), ………………………………………… 2分 与y 轴交点C (0,3). ……………………………………………………………… 3分（2）当y ﹥0 时，-1 < x < 3. ………………………………………………………………… 4分 （3）当-1≤x ≤2时，0≤y ≤4. ………………………………………………………………5分 四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分） 19． 解：连接OT 、BC ，相交于点E ．∵直线DT 切⊙O 于T ，∴∠OTD = 90°．………………………………………… 1分 ∵AD ⊥DT 于D ， ∴∠ADT = 90°． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB = 90°． ………………………………………………………………………… 2分 ∴∠DCB = 90°．∴四边形CDTE 是矩形． …………………………………………………………………… 3分∴∠CET = 90°,CE DT ==∴2BC CE ==∵tan ABC AC BC ∠==， ∴∠ABC = 30°． ………………………………………………………………………… 4分 ∴∠BOT = 60°． ∵OB = OT ,∴△OBT 为等边三角形．∴∠ABT = 60°． ………………………………………………………………………… 5分20．解：过点D 作DE AB E ⊥于点.∵∠BAC =90°，AD 平分∠CAB ,∴∠1=12∠CAB=45°.∵DE AB ⊥，∴DE ∥AC ，∠2=45° . ∴DE=AE ， AE CD BEBD=． ………………………………………………………………… 2分∵1tan 2B =,∴12DE BE=． ……………………………………………………………………………… 3分∴12AE BE= . ……………………………………………………………………………… 4分 ∴12CD BD=. ……………………………………………………………………………… 5分21． （1）证明：连接OE . ………………………………………………………………………… 1分∵四边形ABC D 是矩形， ∴AD ∥BC , ∠C =∠A = 90°． ∴∠3 =∠DBC ，∠A BE +∠1 = 90°． ∵OD =OE ，∠ABE =∠DBC, ∴∠2=∠3=∠ABE ． ∴∠2 +∠1 = 90°． ∴∠BEO =90° ． ∵点E 在⊙O 上，∴BE 与⊙O 相切． ………………………………………………………………………… 2分21EABCD（2）解：∵∠ABE =∠DBC ， ∴13sin sin DBC ABE ∠=∠=．∵DC =2 ，∠C = 90°，∴DB = 6． ……………………………………………………………………………… 3分 ∵∠A = 90°， ∴BE =3AE . ∵AB = CD =2 ，利用勾股定理，得2AE =，AD =∴2DE =.连接EF . ∵DF 是⊙O 的直径， ∴∠DEF =∠A = 90°． ∴AB ∥EF ．∴DEF ∆∽DAB ∆． …………………………………………………………………………… 4分∴DE DFAD BD = .6DF =. ∴214DF =. ∴⊙O 的半径为218. …………………………………………………………………………5分 22．解：150︒ . ……………………………………………………………………………………… 1分 （1）135……………………………………………………………………………… 3分 （2）120………………………………………………………………………………… 5分 五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题8分，第25题各9分，共24分） 23．解：（1）依题意得：90,30,ACP APC PA ∠=︒∠=︒=∵cos OCAPC OA∠=， ………………………………………………………………… 1分∴cos3012PC =︒= . …………………………………………………………… 2分∴PC 的长为12m .（2）以P 为原点，PC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B (9，12), 抛物线经过原点. …………………… 3分 ∴设抛物线的解析式为2(9)12y a x =-+. ………… 4分 ∴20(09)12a =-+，求得427a =-.∴24= 9+1227y x -（-). ……………………………… 5分（3）由（1）知C (12 , 0) ,易求得AC =∴12A (. ……………………………………………………………………… 6分 当x =12时，2432(129)12=273y =--+≠ ………………………………… 7分∴小明不能一杆把高尔夫球从P 点直接打入球洞A .24．解：（1）∵ 四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =48 . …………………………………………………………… 1分 又∵60A ∠=， ∴△ABD 是等边三角形. ∴BD =AB =48.∴BD 的长为48cm . …………………………………………………………… 2分（2）如图1，12秒后，点P 走过的路程为8×12=96，∴12秒后点P 到达点D （M ）.又∵ 12秒后，点Q 走过的路程为10×12=120，∴12秒后点Q 到达AB 的中点N . …………………………………………………… 3分 连结MN ，由（1）知△ABD （M ）是等边三角形， ∴MN ⊥AB 于点N . ∴90ANM ∠=︒.∴△AMN 是直角三角形. ………………………………………………………………4分 （3）依题意得，3秒时点P 走过的路程为24cm ，点Q 走过的路程为3a cm.∴ 点E 是BD 的中点.∴ DE = BE = 24. …………………………………………………………………………5分 ① 当点Q 在NB 上时（如图1），13N F a =， ∴1243BF a =-.∵点E 是BD 的中点，若EF 1⊥DB ，则点F 1与点A 重合，这种情况不成立. ∴EF 1⊥AB 时，∠EF 1B =∠ANM = 90°. 由（1）知∠ABD =∠A = 60°, ∴△EF 1B ∽△MAN. ∴1BF BE ANAM =. ∴243242448a -=.∴4a =，112BF =. ……………………………………………………………… 6分 ② 如图2，由菱形的轴对称性，当点Q 在BC 上时，212BF =. ∴点Q 走过的路程为36cm . ∴36123a ==. ………………………………… 7分③ 如图3，当点Q 与点C 重合时，即点F 与点C 重合. 由（1）知，△BCD 是等边三角形， ∴EF 3⊥BD 于点E ，∠E B F 3 =∠A = 60°. ∴△F 3EB ∽△MNA . 此时，BF 3 = 48，∴点Q 走过的路程为72cm . ∴ 72243a ==. ……………………………………………………………………… 8分综上所述，若△BEF ∽△ANM ，则a 的值为4cm/s 或12cm /s 或24cm /s.25．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为4C -（，图1图23)图3∴抛物线的对称轴为直线4x=-.∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，∴ A(-1 , 0 )，B( -7 , 0 ) . …………………………………………………1分设抛物线解析式为()24y a x=++∴()2014a=-++解得，a=.∴ 二次函数的解析式为)24y x=++……………………………2分（2）作点A关于y轴的对称点A'，可得A'（1.0）.连接A'C交y轴于一点即点M，此时MC + MA的值最小.由作法可知，MA = M A'.∴MC + MA = MC + M A'=A'C.∴当点M在线段A'C上时，MA + MC取得最小值. …………………………………3分∴线段A'C与y轴的交点即为所求点M.设直线C A'的解析式为y kx b=+(k≠0)，∴4k b,k b.=-+=+⎪⎩∴k b==. …………………………4分∴直线C A'的解析式为y x=+.∴点M的坐标为( 0，5).………………………………………………………………5分（3）由（1）可知，C(－4，，设对称轴交x轴于点D，∴AD = 3.∴在Rt△ADC 中，3tan CAD ∠= ∴∠CAD = 30o，∵AC = BC ，∴∠ABC = ∠CAB = 30o.∴∠ACB = 120°. …………………………………………………………………………6分 ①如果AB = A N 1= 6，过N 1作E N 1⊥x 轴于E . 由△ABC ∽△BA N 1得∠BA N 1 = 120o， 则∠EA N 1 = 60o. ∴N 1E = 33，AE =3. ∵A (-1 , 0 )， ∴OE = 2.∵点N 在x 轴下方，∴点N 2(2，-…………………………………………………………………………7分②如果AB = B N 2，由对称性可知N 2(-10，-…………………………………………8分 ③如果N 3A = N 3B ，那么点N 必在线段AB 的中垂线即抛物线的对称轴上，在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点N .经检验，点N 1 (2，-)与N 2 (-10，-都在抛物线上 . ……………………………9分综上所述，存在这样的点N ，使△NAB ∽△ABC ，点N 的坐标为(2，-或(-10，-。
2013北京市昌平区期末考试数学(理科)和(文科)试题和答案汇编
昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<（2）“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4） （4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 10+B ．10+C. 14+D. 14+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数； 命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >； 命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）若221aii i=-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________.（10）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.（11）在ABC △中，若b =1c =，tan B =，则a = . （12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC的中点，那么()AB AC AD -∙=uu u r uu u r uuu r____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;OFEDCBA② 坐标原点O与直线20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,AB =在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图： 甲厂乙厂93 9 6 5 8 18 4 5 6 9 0 31 5 0 3 21 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分） 已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)gg g g；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值．G BCEF昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）4 （10）22(5)16x y -+=（11） 3（12）4 （13）2; [-9,9] （14） 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f 2cos )cos 1x x x =-⋅+ 2cos 2x x -π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分 （16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^? 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC EC ACE 平面，翘所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III)解法一：在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG .在四棱锥E ABCD -中，,2AB CO AB CE ===， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^?因为,CG EO CG ACE 平面，^?所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为EO 中点，得1.2EG EO =…………………………………………… 14分 解法二：y由EC ABCD 底面，^且底面ABCD 建立空间直角坐标系,C DBE -由已知,AB =设(0)CE a a =>，则(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a(,,0),,,0),(0,,),,,).2222O a a BD BE a EO a a uu u r uuruu u r =-=-=-设G 为线段EO 上一点，且(01)EGEOλλ=<<，则,),22EG EO a a a λλλλuuu r uu u r ==-,,(1)),22CG CE EO a a a λλλλuuu r uur uu u r =+=-…………………………..12分由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则CG BD ^uuu r uu u r ，CG BE ^uu u r uur.所以，221(1)0,0,12a a λλλ解得，（）-+-==?， 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且1.2EG EO =…………………… 14分 （17）(本小题满分13分)解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分 （II ）ξ的取值为0，1，2，3.0312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅====== 所以ξ的分布列为故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分 （18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分 此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===，得 …………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （II ）).32(3)(a x x x f --='①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分 综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)解：（I ）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22, 2.2c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为22 1.42x y +=……5分 （II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，则由22,1.42y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分设AB P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122242,()21212km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142x y+=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k m mk k+=++，化简得22212m k=+，经检验满足①式.………10分又点O到直线l的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l的方程为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为2. ………13分（20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-…………………4分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m≤<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+…9分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 根据题意，123100,M M b k k k k =++++=L123123123....M k k k M k a a a a ++++=++++L 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++123100()100a a a a =-+++++，∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末理科数学
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理 科）（满分150分，考试时间120分钟） 2014.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集=R U ，集合{1,0,1}=-A ,2{20}=-<B x x x , 则=I ðU A B(A) {1,0}- (B) {1,0,2}- (C) {0} (D) {1,1}- (2) “1cos 2α=”是“3πα=”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 给定函数①21y x =+，②12log y x =，③12y x =，④1()2xy =，其中在区间(0,1)上单调递增的函数的序号是（A ）② ③（B ）① ③ （C ）① ④（D ）② ④w(4) 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4俯视图左视图主视图(5) 若实数,x y 满足10,2,3,+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩x y x y 则z y x =-的最小值是(A) 1 (B) 5 (C) 3- (D) 5- (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2(C)23 (D)13(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量()m n ，a =与向量(12)=-，b 的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 (A)536 (B) 16 (C) 736(D) 29（8）已知函数21, 0,(),40⎧+>⎪=-≤≤x x f x a x 在点(1,2)处的切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是（A）[8,4--+ （B）(44---+ （C）(48]-+ （D）(48]---第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知θ是第二象限的角，3sin 5θ=，则tan θ的值为___________ .(10) 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA uu r，则复数i ⋅z =_______ .(11) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2461a a a -+=，则4a =_____ ，7S = _____.（12）曲线11,2,,0====x x y y x所围成的图形的面积等于___________ . (13) 在ABC ∆中，4,5,2==⋅=AB BC BA AC uu r uuu r,则AC =________ .(14) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A B C 、、,其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，若A B C 、、中的元素满足条件：12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，(1,2,3,,)k n =，则称M 为“完并集合”.①若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）②对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .D CBAP三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当5[,]126x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按10%的比例对700名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.（Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图； （Ⅱ）估计该校学生“身高”在[165,180)之间的概率；（Ⅲ）从样本中“身高”在[180,190)的男生中任选2人，求至少有1人“身高”在[185,190)之间的概率.(17)(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系x y O 中，已知点(,0)(0)≠A a a ,圆C 的圆心在直线4y x =-上，并且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若动点M 满足2MA MO =，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a ，使得CM 的取值范围是[1,9]，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数2(2)()m xf x x m-=+. （Ⅰ）当1m =时，求曲线()f x 在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.(20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列123,,,,n a a a a L 为(2,3,4,)=L n n 阶“期待数列”： ①1230++++=L n a a a a ，②1231++++=L n a a a a . (Ⅰ)若等比数列{}n a 为2()∈N*k k 阶“期待数列”,求公比q ；(Ⅱ)若一个等差数列{}n a 既是2()∈N*k k 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式； (Ⅲ)记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)=L k S k n .(1)求证: 12≤k S ； (2)若存在{1,2,3,,}∈L m n ，使12=m S ,试问数列{}(1,2,3,,)=L i S i n 能否为n 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
北京市昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末理科数学-含答案
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理 科）（满分150分，考试时间120分钟） 2014.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集=R U ，集合{1,0,1}=-A ,2{20}=-<B x x x , 则=I ðU A B(A) {1,0}- (B) {1,0,2}- (C) {0} (D) {1,1}- (2) “1cos 2α=”是“3πα=”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 给定函数①21y x =+，②12log y x =，③12y x =，④1()2xy =，其中在区间(0,1)上单调递增的函数的序号是（A ）② ③（B ）① ③ （C ）① ④（D ）② ④w(4) 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4俯视图左视图主视图(5) 若实数,x y 满足10,2,3,+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩x y x y 则z y x =-的最小值是(A) 1 (B) 5 (C) 3- (D) 5- (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2(C)23 (D)13(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量()m n ，a =与向量(12)=-，b 的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 (A)536 (B) 16 (C) 736(D) 29（8）已知函数21,0,(),40⎧+>⎪=-≤≤x x f x a x 在点(1,2)处的切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是（A）[8,4--+ （B）(44---+ （C）(48]-+ （D）(48]---第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知θ是第二象限的角，3sin 5θ=，则tan θ的值为___________ .(10) 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA uu r，则复数i ⋅z =_______ .(11) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2461a a a -+=，则4a =_____ ，7S = _____. （12）曲线11,2,,0====x x y y x所围成的图形的面积等于___________ .(13) 在ABC ∆中，4,5,2==⋅=AB BC BA AC u u r u u u r,则AC =________ .(14) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A B C 、、,其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，若A B C 、、中的元素满足条件：12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，(1,2,3,,)k n =，则称M 为“完并集合”.①若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可） ②对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当5[,]126x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按10%的比例对700名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.（Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图； （Ⅱ）估计该校学生“身高”在[165,180)之间的概率；（Ⅲ）从样本中“身高”在[180,190)的男生中任选2人，求至少有1人“身高”在[185,190)之间的概率.D CBAP(17)(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系x y O 中，已知点(,0)(0)≠A a a ,圆C 的圆心在直线4y x =-上，并且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若动点M 满足2MA MO =，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a ，使得CM 的取值范围是[1,9]，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数2(2)()m xf x x m-=+.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()f x 在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.(20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列123,,,,n a a a a L 为(2,3,4,)=L n n 阶“期待数列”： ①1230++++=L n a a a a ，②1231++++=L n a a a a .(Ⅰ)若等比数列{}n a 为2()∈N*k k 阶“期待数列”,求公比q ；(Ⅱ)若一个等差数列{}n a 既是2()∈N*k k 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式； (Ⅲ)记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)=L k S k n .(1)求证: 12≤k S ； (2)若存在{1,2,3,,}∈L m n ，使12=m S ,试问数列{}(1,2,3,,)=L i S i n 能否为n 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
北京市昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末理科数学(含答案)
北京昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理 科）（满分150分，考试时间120分钟） 2014.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集=R U ，集合{1,0,1}=-A ,2{20}=-<B x x x , 则=I ðU A B(A) {1,0}- (B) {1,0,2}- (C) {0} (D) {1,1}- (2) “1cos 2α=”是“3πα=”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 给定函数①21y x =+，②12log y x =，③12y x =，④1()2xy =，其中在区间(0,1)上单调递增的函数的序号是（A ）② ③（B ）① ③ （C ）① ④（D ）② ④w(4) 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4俯视图左视图主视图(5) 若实数,x y 满足10,2,3,+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩x y x y 则z y x =-的最小值是(A) 1 (B) 5 (C) 3- (D) 5- (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2(C)23 (D)13(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量()m n ，a =与向量(12)=-，b 的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 (A)536 (B) 16 (C) 736 (D) 29（8）已知函数21,0,(),40⎧+>⎪=-≤≤x x f x a x 在点(1,2)处的切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是（A）[8,4--+ （B）(44---+ （C）(48]-+ （D）(48]---第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知θ是第二象限的角，3sin 5θ=，则tan θ的值为___________ .(10) 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA uu r，则复数i ⋅z =_______ .(11) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2461a a a -+=，则4a =_____ ，7S = _____. （12）曲线11,2,,0====x x y y x所围成的图形的面积等于___________ .(13) 在ABC ∆中，4,5,2==⋅=AB BC BA AC u u r u u u r,则AC =________ .(14) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A B C 、、,其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，若A B C 、、中的元素满足条件：12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，(1,2,3,,)k n =，则称M 为“完并集合”.①若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可） ②对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当5[,]126x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按10%的比例对700名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.表2：女生“身高”频数分布表 （Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图； （Ⅱ）估计该校学生“身高”在[165,180)之间的概率；（Ⅲ）从样本中“身高”在[180,190)的男生中任选2人，求至少有1人“身高”在[185,190)之间的概率.DCBAP(17)(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系x y O 中，已知点(,0)(0)≠A a a ,圆C 的圆心在直线4y x =-上，并且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若动点M 满足2MA MO =，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a ，使得CM 的取值范围是[1,9]，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数2(2)()m xf x x m-=+.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()f x 在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.(20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列123,,,,n a a a a L 为(2,3,4,)=L n n 阶“期待数列”： ①1230++++=L n a a a a ，②1231++++=L n a a a a .(Ⅰ)若等比数列{}n a 为2()∈N*k k 阶“期待数列”,求公比q ；(Ⅱ)若一个等差数列{}n a 既是2()∈N*k k 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式； (Ⅲ)记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)=L k S k n .(1)求证: 12≤k S ； (2)若存在{1,2,3,,}∈L m n ，使12=m S ,试问数列{}(1,2,3,,)=L i S i n 能否为n 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
昌平区2012-2013学年第一学期高三年级期末质量抽测 (2)
DCBA 昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科） （满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数21ii-的虚部是A. 1-B. 1C. i -D. i（2） “2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．16（4）如图，在,2.=ABC BD DC AB ,AC ,AD ∆== 中若则a =b（5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A. 4 B ．8 C. 12 D. 24 （6）函数22()log (1)f x x x =+-的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3（7）设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413 B. 513C. 825D.925（8）设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件；①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ②对任意当],,1[,21a x x ∈有时,12x x >21()()f x f x >.则以下不等式一定成立．．．．的是 ①()(0)f a f >②)()21(a f af >+③)3()131(->+-f aaf ④)()131(a f aaf ->+- A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）在ABC △中，若3b =,1c =，1cos 3A =，则a =（10）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中2856-3,15,=_______;_______.a a a S ===则（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．（12）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其 渐近线相切的圆的标准方程是 _______.(13) 已知函数1()(0),()213(0),xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩ 则((1))f f -=________;若2(23)(5)f a f a ->，则实数a 的取值范围是_______________.OFEDCBA（14）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且121,3k k ⋅=-则此椭圆的离心率为___________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于EC ABCD F 底面，^为BE 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,AB =在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．(17) （本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. 甲组 乙组 6 X 8 7 4 1 9 0 0 3（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X 及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）（18）（本小题满分13分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R . （Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.19. （本小题满分13分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A 在椭圆M 上. 直线l 且与椭圆M 交于B 、C 两点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.20. （本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====， ①求(1),(2),(3),(4)g g g g ；②求123100a a a a ++++L 的值；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小.昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9） （10）6；9（11） 3 （12）22(5)16x y -+=（13） -5; 1(,3)2- （14三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+2cos2x x -π2sin(2)6x =-.………………………………5分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝- …………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分 （16）(本小题满分14分)GABC DEFO解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC ECACE 平面，翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III) 在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD -中，,2AB CO AB CE ===， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为EO 中点，得1.2EG EO =…………………………………………… 14分 （17）(本小题满分13分)解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093904+++=，甲组同学的平均成绩为90，所以8086919490,9.4X X ++++==…………………………………2分 甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s -+-+-+-=甲（…………… 6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b33344142434(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a ba b 共16个基本事件. 设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，7()16P A =………………………………………………………………………….13分 （18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分列表：∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()26f =. ………………………7分 （Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121()3232a f a a a a a -=-++=+， 因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立…………………..9分② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数， 所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有……………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--， 令()222121()0,0,0,03232f a a a a a a =-->>-<<<由得,0,()0.2a x f x <<>>所以当0对任意都成立 综上，a 的取值范围是[0)2，.………………………………13分 （19）(本小题满分13分)解: (Ⅰ)由题意知222112a b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以b =故所求椭圆方程为22142x y +=………………………………….5分 (Ⅱ) 设直线l的的方程为2y x m =+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y代入椭圆方程并化简得2220x m +-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . (*)由(*)，得1,2x =,故12BC x =-==分又点A 到BC 的距离为d =, …………………10分故12ABC S BC d ∆=⋅=22(4)2m m +-=≤=当且仅当224m m =-,即m =时取等号满足(*)式. 所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分（20）(本小题满分13分)解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=-. ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=L ……….10分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， 当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =， 所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分第11页。
【VIP专享】2013年昌平区期末高三理科数学试题及答案
A．{x | x 2}
（2）“ a 2 ”是“直线 y ax 2 与 y a x 1垂直”的 4
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．{x | 0 x 2} C．{x |1 x 2}
（3）已知函数 f (x) ln x ，则函数 g(x) f (x) f (x) 的零点所在的区间是
A．命题 p、q
2x
B．命题 q、s
，②
f
(x)
cos(
22
x )
命题 q : f (x 1) 在 (0，1) 上是增函数；
命题 s : f (x) 的图像关于直线 x 1 对称．
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
（9）
ai 若1i
的前
（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生．如
果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A． 24
B． 36
（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面
积为
A．10 4 3 4 2
2013.1
昌平区 2012～2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷（理科）
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项．
（1）设集合 A {x | x 1}, B {x | x(x 2) 0} ，则 A B 等于
2 2i ，其中 i 是虚数单位，则实数 a 的值是
A． (0, 1)
2012-2013昌平初二数学期末考试题答案
昌平区2012—2013学年第一学期初二年级质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 2013．1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共6道小题，第13、14题各4分，第15-18题各5分，共28分） 13．解：原式=33234--- ………………………………………………………………… 3分 =114-． ………………………………………………………………… 4分 14．解：原式=()2221x x -+ ……………………………………………………………… 2分 =()221x -． ……………………………………………………………… 4分15．解：原式=222222b a a bab ab ab ++-……………………………………………………………… 2分 =22(2)2b a a b ab+-+ ……………………………………………………………… 3分=2222b a a bab +--=2bab ………………………………………………………………………… 4分=12a． ……………………………………………………………………………… 5分16．证明：∵CF AB ∥，∴∠1=∠F , ∠2=∠A ． ……………………… 2分 ∵点E 为AC 的中点，∴AE EC =. ……………………………………… 3分 ∴△ADE ≌△CFE ． ………………………………… 4分∴AD = CF ． ……………………………………………………………………… 5分17．解：212x x x +=- 12CA B DEF22(2)(2)x x x x -+=-. …………………………………………………………………… 2分 22242x x x x -+=-.44x =. ……………………………………………………………………… 3分 1x =. ……………………………………………………………………… 4分经检验，1x =是原方程的解. ……………………………………………………………… 5分 18．解：原式=222()()()()xy x y x y x yx y x y x y x y -+-÷--+-+-⎛⎫⎪⎝⎭………………………………………… 1分 =222()()()xyx y x y x y x y x y -÷-+--+- ………………………………………………………… 2分=2222()()xy x y yx y x y -÷-+- =2()()2()()xy x y x y yx y x y -÷+-+- ………………………………………………… 3分 =x -. ………………………………………………………………………………4分当1x ==(11-=. ………………………………………………… 5分 四、解答题（共４道小题，第19-21题各5分，第22题6分，共21分）19．解：（1）a ＝12-， b ＝232, c ＝1， d －2 . （2）m = a + c =12,n = b + d 212-. …………………………………………………………… 3分∵m – n =12-212-) = 2=20<. …………………………4分∴ m ﹤n ． …………………………………………………………………… 5分20．解：设乙的速度为x km/h . …………………………………………………………………… 1分 依题意，得12101x x=+ . ……………………………………………………………2分解之，得 5x = . ………………………………………………………………………3分经检验，5x =是原方程的解. ……………………………………………………… 4分 答：乙的速度为5km/h . ……………………………………………………………………5分 21．（1）证明：∵ AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵ AD = DC ，∠FCD=∠BAD ，∴ △ABD ≌△CFD . ………………………………………………………………… 1分∴ BD = DF . ……………………………………… 2分 ∴ ∠FBD=∠BFD=45°. ∴ ∠AFE=45°. 又∵ AD = DC ， ∴ ∠DAC=∠ACD=45°. ∴ ∠AEF=90°.∴ BE ⊥AC . …………………………………………………………………………… 3分（2）解：∵∠EBC=∠ACD=45°，∴ BE = CE .又∵ ∠AFE=∠F AE=45°，∴ AE = FE . ……………………………………………………………………………… 4分 ∴ AC+ BF=CE+ AE+BF = CE+ EF+BF = CE+ BE = CE+ CE=2m . …………………………………………………………………………………… 5分22．解：（1）B '（-3，-5）. …………………………………………………………………… 1分 （2） P '（-n ，- m ）. …………………………………………………………………… 2分 （3）如图，作点C 关于直线 l 的对称点C '，连接C 'D ，交 l 于点E ，连接CE . 由作图可知，EC = E C ' ， ∴EC + ED = E C '+ ED = C 'D ．∴点E 为所求． ………………………………………………………………………… 3分 ∵C （6，0）， ∴C '（0，-6）．设直线C 'D 的解析式为6y kx =-． ∵D (2 , 4)， ∴5k = ．∴直线C 'D 的解析式为56y x =-．…………………………………………………… 4分 由56,y x y x =-⎧⎨=-⎩ 得1,1.x y ==-⎧⎨⎩∴E (1 , -1) ． …………………………………………………………………………… 5分DEABCF……………………… 6分五、解答题（共3道小题，第23、24题各7分，第25题9分，共23分） 23．解：（1）设甲登山的路程y 与登山时间x 之间的函数解析式为y kx =．∵ 点(30600)C ，在函数y kx =的图象上， ∴ 60030k =.解得20k =. …………………………………………………………………………… 1分 ∴ 20y x =(030)x ≤≤. ……………………………………………………………… 3分（2）设乙在AB 段登山的路程y 与登山时间x之间的函数解析式为y ax b =+(820x ≤≤），依题意，得120860020.a b a b =+=+⎧⎨⎩， ………………… 4分解得40200.a b ==-⎧⎨⎩， ∴ 40200y x =-. ……………………………………………………………………… 5分 设点D 为OC 与AB 的交点，∴ 2040200.y x y x ==-⎧⎨⎩， …………………………………………………………………… 6分解得 10200.x y ==⎧⎨⎩，∴ 乙出发后10分钟追上甲，此时乙所走的路程是200米. ………………………… 7分分)24．（1）证明：∵ AD 是△ABC 的高，点E 在AD 的延长线上，∴90ADC EDC ∠=∠=︒.又∵点F 是点C 关于AE 的对称点， ∴FD DC =.∴AC=AF . ………………………………… 1分 又∵∠DCE =∠ACD ，CD CD =， ∴ACD △≌ECD △.∴AC=CE . …………………………………… 2分∴AF=CE . ……………………………………………………………………… 3分（2）解：判断∠B =∠MAF . ………………………………………………………………… 4分∵AC=CE ，∠DCE =∠ACD ，∴AD=DE . …………………………………………………………………… 5分 又∵AD 是△ABC 的高，∴AM=ME . …………………………………………………………………… 6分 ∴12∠=∠. ∵23∠=∠， ∴13∠=∠. ∵AC=AF ， ∴∠4=∠ACD . ∵∠ENA =12∠ACE ，∠DCE =∠ACD 12∠ACE ， ∴∠ACD = ∠ENA .∴∠4 = ∠ENA . ……………………………………………………………………7分 ∵∠4 = ∠1 +∠MAF ，∠ENA = ∠3 +∠B ， ∴∠B =∠MAF .25．解：（1）b =32，点D 的坐标为（1，1）． …………………………………………… 2分（2）等腰三角形． ……………………………………………………………………………… 3分如图所示，设DB 沿直线DE 折叠后交OA 于点F ． ∵在长方形OABC 中， ∴∠B =∠B A O =90°． ∴DB ∥OA ． ∴∠1 =∠3．根据折叠对称性，易知∠1 =∠2． ∴∠2 =∠3．∴DF =EF ． …………………………………………………………………………………… 4分 即重叠部分的图形为等腰三角形.（3）①当点E 在线段OA 上时，由直线l 的解析式易得E （2b ，0）． ……………………… 5分4321M NF EDCBA∴1212s b b =⨯⨯=． …………………………………………………………… 6分自变量的取值范围是312b ≤<． …………………………………………… 7分②当点E 在线段AB 上（不与点A 重合）时，由直线l 的解析式及A （3，0），易得E （3，32b -）， 由直线l 的解析式及 C （0，1），易得 D （22b -，1）． ∴252OABD OAE DBE s s s s b b ∆∆=--=-+梯形． …………………………………………… 8分自变量的取值范围是3522b <<． ………………………………………………… 9分综上所述，当312b ≤<时，s b =；当3522b <<时，252s b b =-+.。
2012-2013昌平初一数学期末考试题答案
昌平区2012-2013学年第一学期初一年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2013．1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共7个小题，每小题5分，共35分）13．解：原式=6+7-16 ……………………………… 3分=13-16 ……………………………… 4分=-3………………………………… 5分14．解：原式=52-×85×(14-) ……………………………… 3分=1 ……………………………… 5分15.解：原式=2721439骣÷ç?÷ç÷ç桫……………………………… 3分=-12……………………………… 5分16．解：移项，得3x-4 x =-5-4．……………………………… 2分合并同类项，得- x =-9．……………………………… 4分系数化为1，得x = 9．……………………………… 5分17．解：去分母，得 3（3x-7）-2(1+x)=6. ……………………………… 2分去括号，得 9x-21-2-2x=6. ……………………………… 3分移项、合并同类项，得 7x=29. ……………………………… 4分系数化为1，得x=297. ……………………………… 5分18．解：原式=2223326x x x x x x++---……………………………… 2分=2x-. ……………………………… 3分当6x =-时，原式=2-×（-6）=12. ……………………………… 5分 19．解：由x y -=2，得2x y +=. ……………………………… 1分 所以 原式=4（x +y ）-3 ……………………………… 2分 =4×2-3 ……………………………… 4分 =5. ……………………………… 5分 四、画图题（共5分） 20．如图……………………………… 5分五、补全下面解题过程（共6分）21. 解：BC ，6，AC ，3，AB ，1． ……………………………… 6分 六、列方程解应用题（共2个小题，每小题5分，共10分）22．解：设长方形的宽为x 厘米，则长为（2x +1）厘米． ……………………… 1分根据题意，得 x+（2x +1）=7． ……………………………… 3分 解这个方程，得 x =2． ……………………………… 4分 此时 2x +1=5．答：长方形的宽和长分别为2厘米和5厘米． ……………………………… 5分23．解：设步行的平均速度为每小时x 千米，则公交车的平均速度为每小时7x 千米． …… 1分根据题意，得13x+23×7x =35． ……………………………… 3分解这个方程，得 x =7． ……………………………… 4分 此时 7x =49．答：公交车的平均速度为每小时49千米． ……………………………… 5分 七、解答题（共2个小题，共16分，其中，第24小题7分，第25小题9分） 24．解：【尝试实践】如图． ……… 3分【实践探究】如图． ……… 5分理由：从∠AOB =31°开始，顺次画 ∠BOC =31°, …, ∠MON =31°， 共12个31°角，合计372°． 而 372°-360°=12°，所以 ∠AON =12°． ……… 7分G F E DCBAO25°31°31°31°31°31°∠FOH =31°H∠GOH =6°N ∠MON =31°∠AON =12°31°31°31°31°31°NM LKJ I∠GOH =6°H ∠FOH =31°31°31°31°31°31°25°O A B C D E F G25． 解：ON AB CM M CB A N O图1图2图3O N AB CM（1）如图1，∠ MON=45°． …………………………………………………… 2分 （2）如图2，∠ MON=12α． …………………………………………………… 3分 （3）如图3，∠MON=12α，与β的大小无关． ……………………………… 4分理由：∵∠AOB =α，∠BOC ＝β，∴ ∠AOC =α+β． ………………………………………………… 5分 ∵ OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线， ∴ ∠AOM =12∠AOC =12（α+β）． ………………………………… 6分∠NOC =12∠BOC =12β． ………………………………… 7分∴ ∠AON =∠AOC -∠NOC =α+β-12β=α+12β． …………… 8分∴ ∠MON=∠AON -∠AOM=α+12β-12（α+β）=12α． ……………………………………………… 9分 即 ∠MON=12α．。
北京市昌平区2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
昌平区2013－2014学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷(文科)考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知命题 :p x ∀∈R ，1≤x ，那么命题p ⌝为A ．x ∀∈R ，1≥xB ．∈∃x R ，1>xC ．x ∀∈R ，1-≥xD ．∈∃x R ，1->x2.直线2x + y -1=0关于y 轴对称的直线方程是A ． x -2y +1=0B ．x -2y -1=0C ．2x -y -1=0D ．2x -y +1=0 3. 设()f x '是x x x f -=331)(的导函数，则(1)f '-等于 A ．-2 B ．0 C ．2 D ．34-4. 已知椭圆1162522=+y x ，21,F F 是椭圆的两个焦点，点P 是椭圆上任意一点，若4||1=PF ,则=||2PFA ．4B ．5C ．6D ．8 5.方程为01=--aax y 的直线可能是CABD6. “0=⋅y x ”是“220x y +=”的A.充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形， 俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于A．3 B .334 C. 338 D. 388. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A . 若n m n m //,//,//则αα B. 若βαββα⊂α⊂//,//,//,,则n m n m C ．若β⊥α⊂β⊥αm m 则,, D. 若αα⊄β⊥β⊥α//,,,,m n m 则9. 若函数x x y -=2的图象在点)2,2(M 处的切线l 被圆)0(:222>=+r r y x C 所截得的弦长是5102 ,则=r A. 22B . 1C . 2D . 210. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足a PC PA 21=+的点P 的个数为A. 3个B.4个C.5 个D.6个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11. 在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，则|AB|=_________. 12.如果直线012=--y x 和1+=kx y 互相垂直，则实数k 的值为_____________.俯视图侧视图正视图13.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的顶点都在球面上，则1AC 的长是_________，球的表面积是___________.14. 双曲线14:22=-y x C 的离心率为______，其渐近线方程是_________________. 15.函数()e x f x x =⋅的单调递减区间为______________，其最小值是_____________. 16.若曲线0),(=y x F 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线0),(=y x F 的“自公切线”．下列方程：① 122=-y x ；②||22x x y -=；③x x y cos sin +=；④221||y x -=+ 对应的曲线中不存在“自公切线”的有_____________三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分14分)已知两点)1,1(-A ，)3,1(--B . （I ） 求过A 、B 两点的直线方程； (II ） 求线段AB 的垂直平分线l 的直线方程；（III ）若圆C 经过A 、B 两点且圆心在直线10x y -+=上，求圆C 的方程.18. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，,AB AD =F BD AC PC PA =⋂=,，点E 是PC 的中点.(Ⅰ) 求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ) 求证：平面⊥ADF 平面PBD .FEPDCBA19. (本小题满分14分)已知函数3)(23--+=x ax x x f 在1-=x 时取得极值． （I ）求)(x f 的解析式； （II ）求()f x 在区间]1,2[-上的最大值．20．(本小题满分14分)如图，已知平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB ADC //,900=∠，a CD AB a AF AD 22,====. （Ⅰ）求证：//AF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCE ； （Ⅲ）求四棱锥C ABEF -的体积.21.(本小题满分14分)已知平面上的动点Q 到定点(0,1)F 的距离与它到定直线3y =的距离相等. （I ）求动点Q 的轨迹1C 的方程；（II ）过点F 作直线1l 交22:4C x y =于,B A 两点(B 在第一象限).若B 2,F AF = 求直线1l 的方程；（III ）在满足（II ）的条件下，试问在曲线1C 上是否存在一点M ，过点M 作曲线1C 的切线2l 交抛物线2C 于,D E 两点，使得⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存AFEBC D在，请说明理由。
2012-2013昌平第二学期初二数学期末题答案
昌平区2012—2013学年第二学期初二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 2013．7一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共6道小题，13小题8分，14—18小题各5分，共33分）13．（1）解：原式=3分= ………………………………………………………………………4分(2)解：原式=22-…………………………………………………………………1分=6-2 ………………………………………………………………………3分= 4 . ………………………………………………………………………4分14.解：()()32320x x x ---=(32)(1)0x x --= ……………………………………………………………………2分 3201=0x x -=-或. ……………………………………………………………4分122, 1.3x x ==……………………………………………………………………5分 15．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,//AD BC AD BC =.…………………………1分∴DAF BCE ∠=∠. …………………………2分∵//BE DF ，∴DFA BEC ∠=∠. ……………………………3分∴AFD CEB △≌△. ……………………………………………………………………4分 ∴AF CE =. ……………………………………………………………………………5分DCABE F16．解：()()()212111m m m ---++=22221(21)1m m m m m --+-+++ ………………………………………………………2分 =22221211m m m m m --+---+ …………………………………………………… 3分 =251m m -+． …………………………………………………………………………… 4分 当2514m m -=时，原式=2(5)114115m m -+=+=. …………………………………………………………… 5分17.解：（1）如下图. ………………………………………………………………………………………1分（2）15，15. ………………………………………………………………………………………3分 （3）()1111+212+413+414+615+516+217+318+219+12030⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ …………4分 459=15.330=. ………………………………………………………………………5分 答：这个城市日最高气温的平均数是15.3℃.18.解：（1）证明：1,2,21,a b m c m ==+=-∵ 2=4b ac ∴∆-22(2)41(21)48m m m m =+-⨯⨯-=-+2(2)4m =-+.∵无论m 为任何实数，2(2)0m -≥， ∴2(2)440.m -+≥>∴无论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根. ……………………2分（2）方程的解为x ==即12x x == ………………3分∵方程两根互为相反数，即120x x +=.0+=.∴2(2)02m -+=. ∴2m =-.即当2m =-时，方程的两根互为相反数. ……………………………………………………4分把2m =-代入方程2(2)210x m x m +++-=，解得x =.当方程的两根互为相反数时，此时方程的根为12x x == ………………………5分四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分） 19．解：∵△OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，∴点A （-1,3）平移后的坐标为-1+,3)a （，点B （-2,1） 平移后的坐标为-2+,1)a （. ………………………2分 ∵平移后恰好落在反比例函数3y x=的图象上， ∴()()31+312+3a a -=⨯-=或. …………………4分∴25a a ==或. ……………………………………………………………………………5分20．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，AD ∥.BC …………………………………………………………1分 ∴180DAB ABC ∠+∠=︒.∵E 为AB 的中点，DE AB ⊥，∴AD DB =. ……………………………2分∴AD DB AB ==. ∴ △ABD 为等边三角形. ∴ 60DAB ∠=︒．∴ 120ABC ∠=︒． …………………………………………………………………3分 （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥于O，12AO AC ==…………………………………………………4分 ∵DE AB ⊥于E ，ABCDEO∴90AOB DEB ∠=∠=︒．∵,,DB AB ABO DBE =∠=∠∴AAS ABO DBE △≌△（）．∴=DE AO ………………………………………………………………………5分21．解：设2=x y .∴原方程可化为260yy +-= . ……………………………………………………………1分∴(3)(2)0y y +-=. ∴123,2y y =-=. ……………………………………………………………………………2分当2y =时，即22x =.x ∴=……………………………………………………………………………………3分当3y =-时，即23x =-. ∵无论x 取任何实数都有20x ≥，∴23x =-无实数根，舍去. ……………………………………………………………………4分∴原方程的解为1x =2x =5分22.解：如图所示，图1为得到的是菱形. ……………………………………………………………1分 图2为得到的是矩形. ……………………………………………………………3分图3为得到的是一般的平行四边形. ……………………………………………5分图3图2图1五、解答题（共3道小题，第23题5分，第24题7分，第25题7分，共19分） 23. 解：如图，连接OP .由已知可得：90PMO MON ONP ∠=∠=∠=︒.∴四边形ONPM 是矩形.∴OP MN =. ………………………………………1分 在Rt AOB △中，当OP AB ⊥时OP 最短，即MN 最小. ∵0430A B （,），（，),即4=3AO BO =，，根据勾股定理可得=5AB . ∵11=22AOB S AO BO AB OP =△， ∴125OP =. ∴125MN =. 即当点P 运动到使OP AB ⊥于点P 时，MN 最小，最小值为125. …………………………3分 在Rt POB △中，根据勾股定理可得95BP =. …………………………………………………4分 11=22OBP S OP BP OB PN = △∵.∴36=25PN . ………………………………………………………………………………………5分 24.解：（1）在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB=AD=DC ， 60C °∠=，∴=60120ABC C BAD ADC ∠=∠∠∠=︒°，=. AE BD ∵⊥，∴=6030BAE DAE ABD ADB DBC ∠=∠∠=∠=∠=︒°，，E 是BD 的中点. 90CDB DEA ∴∠=∠=︒.AE ∴∥CD .∵F 是CD 的中点，BA F CDE∴EF ∥BC ，12EF BC =. ∴EF ∥AD .∴四边形AEFD 是平行四边形. ………………………………………………………2分 （注：完整证出一个平行四边形的条件给1分）（2）如图，当点G 是BC 边中点时四边形DEGF 是矩形.连接EG ，FG .∵G 是BC 边中点, F 是CD 的中点，E 是BD 的中点，∴EG ∥DC ，1=2EG DC ， FG ∥BD ，1=2FG BD .∴四边形DEGF 是平行四边形.∵=90BDC ∠°，∴四边形DEGF 是矩形. ……………………………………………………………………4分 ∴=EG FD GF DE =，. ∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴=EF AD .∵4AB AD DC ===, ∴=4EF . ∴=8BC .在Rt BCD △中，根据勾股定理可得BD∴=2ED GF EG DF ==.∴矩形DEGF的周长为 …………………………………………………………5分（3）当点G '在边BC 上，且G C FC '=时，四边形DEG F '与矩形DEGF 周长相等.连接EG FG ''，，可得FG C '△是正三角形. ∴FG FC CG ''===2，60FG C C '∠=∠=︒. ∵60,60EFG FG C DFE C ''∠=∠=︒∠=∠=︒，∴=60DFE EFG °'∠=∠. ∵EF EF =，ED CF A BGED CF A BG ′∴DFE G FE '△≌△.∴DE G E '=四边形DEG F '的周长=即四边形DEG F '与矩形DEGF 的周长相等. ……………………………………………7分 25.解：（1）∵直线y x =与双曲线ky x =交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为3，∴1A ）. …………………………………………………………………………1分把1A ）代入ky x=，解得k∴反比例函数的表达式为y =. ………………………………………………2分 （2）∵在双曲线y =xk上点C 的纵坐标为3，∴3C）. …………………………………………3分 过点C 作CD y ⊥轴于D ，过A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F .∴=AOC DFAC FOEA OCD OEA S S S S S +--△△△矩形梯形.……4分∵11=)222DFAC S DC FA DF +=⨯=梯形（（1F O E A S O E A =⨯ 矩形11322O C D S D O D C ==⨯ △11122OEA S OE AE ===△，∴AOC S △. ………………………………………………………………………5分 （3）满足条件的点P有：1234(3(3(1)(1)P P P P ---，，，，，. ……7分注：正确写出两个或三个坐标给1分，正确写出四个坐标给2分.。
昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末数学试卷文科 带答案
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文 科）（满分150分，考试时间120分钟） 2014.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}=U ，集合{1,2},{0,2,5}==A B ,则集合()=I U A B ð (A){3,4,6} (B){3,5} (C){0,5} (D){0,2,4} (2) 在复平面内表示复数i(12i)+的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3) 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 (A)63 (B)31 (C)127 (D)15(4) “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与2:(1)40l x a y +++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (5) 设,m n 是两条不同直线, ,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) //,//,m n αβ 且//αβ，则//m n (B) ,,⊥⊥m n αβ且⊥αβ，则⊥m n (C) ,,⊥⊂m n αβ⊥m n ，则⊥αβ (D) ,,⊂⊂m n αα //,//m n ββ，则//αβ (6)将函数2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到的函数解析式为 (A) 2cos 2y x = (B )2cos 2y x =- (C) 2sin 2y x =-(D) 2sin 2y x =(7)已知函数2 2, 01,()21,30xa x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨--+-≤≤⎪⎩的值域为[2,2]-，则实数a 的取值范围是(A) 0a ≥ (B) 03a ≤≤ (C) 30a -≤≤ (D) 30a -<< (8)已知函数()xf x Rπ=的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222x y R +=上，则函数()f x 的图象的一条对称轴可以是 (A)直线2x π=(B) 直线12x =(C)直线x π=- (D)直线1x =- 第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知向量(3,1),(,3)k ==a b ，若⊥a b ，则k =________ .(10) 若实数,x y 满足10,2,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最大值是________ .(11) 抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则实数a 的值为________ .(12) 设23232(),,log 3===ma b m c m ，当1>m 时，,,a b c 从小到大．．．．的顺序是___ . (13) 若m 是2和8的等比中项，则m =________ ，圆锥曲线221+=y x m的离心率是___________ . (14) 函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()≥f x f x ，则称函数()f x 在D上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0=f ；②1()()32=xf f x ；③(1)1()-=-f x f x .则1()6f =_______ ；11()()47f f +=_________ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，cos C =，3a =. (Ⅰ)求sin B ； (Ⅱ)求∆ABC 的面积.(16)(本小题满分13分)C 1B 1A 1DCBA为了参加某项环保活动，用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中，抽取若干人组成环保志愿者小组，有（Ⅰ）分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数x ，y ；（Ⅱ）用(1,2,)=L i A i 表示样本中高一年级的志愿者，(1,2,)=L i a i 表示样本中高二年级的志愿者，现从样本中高一、高二年级的所有志愿者中随机抽取2人.（1）按照以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况； （2）求二人在同一年级的概率.(17)(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1,2⊥===AC BC AC BC BB ,D 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：1BC ∥平面CD A 1； (Ⅱ) 求证：⊥1BC 平面C AB 1； （Ⅲ）求三棱锥1D A AC -的体积. (18)(本小题满分13分)设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .（Ⅰ）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12=-y ,求实数,a b 的值；（II ）若1b =，求函数()f x 的最大值. (19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为1，过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 交于两点,A B .（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足+=uu r uu u r uu u rOA OB tOP （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.(20)(本小题满分14分)已知无穷数列{}n a 中，123,,,,m a a a a L 是首项为10,公差为2-的等差数列，1232,,,,+++m m m m a a a a L 是首项为12,公比为12的等比数列(其中3,m m ≥∈N*),并对任意的n ∈N*，均有2n m n a a +=成立. (Ⅰ)当12m =时,求2014a ； (Ⅱ)若521128a =，试求m 的值； (Ⅲ)判断是否存在(3,)m m m ≥∈N*，使得12832014m S +≥成立?若存在,试求出m 的值；若不存在,请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末考试数学试卷(文科)
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文 科） 2014.1（满分150分，考试时间120分钟）考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}=U ，集合{1,2},{0,2,5}==A B ,则集合()=I U A B ð (A){3,4,6} (B){3,5} (C ){0,5} (D){0,2,4}(2) 在复平面内表示复数i(12i)+的点位于(A)第一象限 (B )第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3) 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 (A)63 (B )31 (C)127 (D)15(4) “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与2:(1)40l x a y +++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件(5) 设,m n 是两条不同直线, ,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) //,//,m n αβ 且//αβ，则//m n (B ) ,,⊥⊥m n αβ且⊥αβ，则⊥m n (C) ,,⊥⊂m n αβ⊥m n ，则⊥αβ (D) ,,⊂⊂m n αα //,//m n ββ，则//αβ(6)将函数2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到的函数解析式为 (A) 2cos 2y x = (B )2cos 2y x =- (C) 2sin 2y x =-(D ) 2sin 2y x =(7)已知函数2 2, 01,()21,30x a x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨--+-≤≤⎪⎩的值域为[2,2]-，则实数a 的取值范围是(A) 0a ≥ (B) 03a ≤≤ (C ) 30a -≤≤ (D) 30a -<<(8)已知函数()xf x Rπ=的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222x y R +=上，则函数()f x 的图象的一条对称轴可以是(A)直线2x π= (B) 直线12x =(C)直线x π=- (D )直线1x =-第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知向量(3,1),(,3)k ==a b ，若⊥a b ，则k =________ .(10) 若实数,x y 满足10,2,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最大值是________ .(11) 抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则实数a 的值为________ .(12) 设23232(),,log 3===ma b m c m ，当1>m 时，,,a b c 从小到大．．．．的顺序是___ . (13) 若m 是2和8的等比中项，则m =________ ，圆锥曲线221+=y x m的离心率是___________ .(14) 函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()≥f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0=f ；②1()()32=xf f x ；③(1)1()-=-f x f x . 则1()6f =_______ ；11()()47f f +=_________ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，cos 3C =，3a =. (Ⅰ)求sin B ； (Ⅱ)求∆ABC 的面积.(16)(本小题满分13分)为了参加某项环保活动，用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中，抽取若干人组成（Ⅰ）分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数x ，y ；（Ⅱ）用(1,2,)=L i A i 表示样本中高一年级的志愿者，(1,2,)=L i a i 表示样本中高二年级的志愿者，现从样本中高一、高二年级的所有志愿者中随机抽取2人.C 1B 1A 1DCBA （1）按照以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况； （2）求二人在同一年级的概率.(17)(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1,2⊥===AC BC AC BC BB ,D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1BC ∥平面CD A 1； (Ⅱ) 求证：⊥1BC 平面C AB 1； （Ⅲ）求三棱锥1D A AC -的体积.(18)(本小题满分13分)设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .（Ⅰ）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12=-y ,求实数,a b 的值； （II ）若1b =，求函数()f x 的最大值.(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 交于两点,A B .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足+=uu r uu u r uu u rOA OB tOP （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.(20)(本小题满分14分)已知无穷数列{}n a 中，123,,,,m a a a a L 是首项为10,公差为2-的等差数列，1232,,,,+++m m m m a a a a L 是首项为12,公比为12的等比数列(其中3,m m ≥∈N*),并对任意的n ∈N*，均有2n m n a a +=成立. (Ⅰ)当12m =时,求2014a ； (Ⅱ)若521128a =，试求m 的值； (Ⅲ)判断是否存在(3,)m m m ≥∈N*，使得12832014m S +≥成立?若存在,试求出m 的值；若不存在,请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
北京市昌平区2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案
昌平区 2013－2014 学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷 ( 文科 )考生注意事项：1.本试卷共 6 页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．2．答题前，考生务势必学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题 )一定用 2B 铅笔作答，第二部分(非选择题 )一定用黑色笔迹的署名笔作答，作图时一定使用 2B 铅笔．3．改正时，选择题用塑料橡皮擦洁净，不得使用涂改液．请保持卡面整齐，不要折叠、折皱、损坏．不得在答题卡上作任何标志．4．请依据题号次序在各题目的答题地区内作答，未在对应的答题地区作答或高出答题地区的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题 ( 本大题共10 小题，每题 5 分，共 50分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．)1. 已知命题p : x R ，x1，那么命题p 为A．x R ，x 1B．，C．x R，x1D．，x R x 1x R x12.直线 2x + y -1=0 对于 y 轴对称的直线方程是A． x-2 y+1=0B． x-2y-1=0C． 2x- y-1=0D．2x- y+1=0 3.设 f( x) 是 f ( x) 1 x3x 的导函数，则 f ( 1) 等于34 A．-2B．0C． 2D．34.x2y21，F1,F2是椭圆的两个焦点，点 P 是椭圆上随意一点，若| PF1| 4,已知椭圆1625则|PF2 |A．4B． 5C． 6D．8 15. 方程为y ax0 的直线可能是ayyy yo x o x o x o x A B C D6. “ x y 0 ”是“ x 2 y 2 0 ”的A.充足而不用要条件B.必需而不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件7. 已知三棱锥的三视图如下图，此中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于2 2 43 8 3A ．B .C.D.833332 32正视图侧视图俯视图8. 设 m , n 是两条不一样的直线，,是两个不一样的平面，以下命题中正确的选项是A .若 m // , n // ,则 m // nB. 若 m ,n , m // , n // , 则 //C ．若,m , 则 mD. 若, m,, n,则 m //9.若函数 y x2x 的图象在点 M ( 2,2) 处的切线 l 被圆 C : x 2y 2 r 2 ( r 0) 所截得的弦长是2 10, 则 r5A.2B.1C.2D.2210. 在棱长为 a 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，若点 P 是棱上一点，则知足 PA PC 1 2a的点 P 的个数为A.3个B.4个C.5 个D.6 个第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、 填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．）11. 在空间直角坐标系中，已知点A （ 1， 0，2）， B(1， -3， 1)，则 |AB|=_________.12. 假如直线 2x y 1 0 和 y kx 1相互垂直，则实数 k 的值为 _____________.13.棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1 D1的极点都在球面上，则AC1的长是_________，球的表面积是 ___________.14. 双曲线C :x2y2 1的离心率为______，其渐近线方程是_________________. 415. 函数f ( x)x e x的单一递减区间为______________，其最小值是_____________.16. 若曲线F ( x, y)0 上两个不一样点处的切线重合，则称这条切线为曲线 F ( x, y) 0 的“自公切线”．以下方程：① x2y 2 1 ；② y x2 2 | x |；③y sin x cos x；④| x | 1 2 y 2对应的曲线中不存在“自公切线”的有_____________三、解答题 (本大题共 5 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17.( 本小题满分 14 分 )已知两点 A(1, 1) ， B( 1, 3) .（ I ）求过A、B两点的直线方程；(II）求线段AB的垂直均分线l 的直线方程；（ III）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x y 1 0 上，求圆 C 的方程.18.( 本小题满分 14 分)如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形 ABCD是平行四边形，AD AB, PA PC, AC BD F ，点 E 是PC 的中点.PE( Ⅰ) 求证：EF∥平面PAD；( Ⅱ ) 求证：平面ADF平面PBD.DCFA B19. ( 本小题满分 14 分)已知函数3 23fx xax x在 x1时获得极值．( )（ I ）求 f ( x) 的分析式；（ II ）求 f (x) 在区间 [ 2,1] 上的最大值．20． ( 本小题满分 14 分)如图，已知平面 ABEF平面 ABCD ，四边形 ABEF 为矩形，四边形梯形， ADC900 , AB // CD ， AD AF a, AB2CD 2a .（Ⅰ）求证： AF // 平面 BCE ；（Ⅱ）求证： AC平面BCE ；F（Ⅲ）求四棱锥 CABEF 的体积 .ADCABCD 为直角EB21.( 本小题满分 14 分 )已知平面上的动点 Q 到定点 F (0,1 ) 的距离与它到定直线y 3的距离相等 .（ I ）求动点 Q 的轨迹 C 1 的方程； （ II ）过点 F 作直线 l 1 交 C 2 : x 2 4 y 于 A,B 两点 ( B 在第一象限 ). 若 BF 2 AF ,求直线 l 1 的方程；（ III ）在知足（ II ）的条件下，试问在曲线C 1 上能否存在一点 M ，过点 M 作曲线 C 1的切线 l 2 交抛物线 C 2 于 D , E 两点，使得 DFEF ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，明原因。
2013-2014学年北京市昌平区高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案解析版)
2013-2014学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1. 已知命题p:∀x∈R，x≤1，那么命题¬p为（）A.∀x∈R，x≥1B.∃x∈R，x>1C.∀x∈R，x≥−1D.∃x∈R，x>−12. 直线2x+y−1=0关于y轴对称的直线方程是（）A.x−2y+1=0B.x−2y−1=0C.2x−y−1=0D.2x−y+1=03. 设f′(x)是f(x)=13x3−x导函数，则f′(−1)等于（）A.−2B.0C.2D.−434. 已知椭圆x225+y216=1，F1，F2是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上任意一点，若|PF1|=4，则|PF2|=()A.4B.5C.6D.85. 方程为y−ax−1a=0的直线可能是（）A. B.C. D.6. “xy=0”是“x2+y2=0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A.2√23B.4√33C.8√33D.8√38. 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A.若m // α，n // α，则m // nB.若m⊂α，n⊂α，且m // β，n // β，则α // βC.若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m // α9. 若函数y=x2−x的图象在点M(2, 2)处的切线l被圆C:x2+y2=r2(r>0)所截得的弦长是2√105，则r=()A.√22B.1C.√2D.210. 在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足PA+PC1=2a的点P的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）在空间直角坐标系中，已知点A(1, 0, 2)，B(1, −3, 1)，则|AB|=________．如果直线2x−y−1=0和y=kx+1互相垂直，则实数k的值为________．棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点都在球面上，则AC1的长是________，球的表面积是________．双曲线C:x24−y2=1的离心率为________，其渐近线方程是________．函数f(x)=x⋅e x的单调递减区间为________，其最小值是________．若曲线F(x, y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线F(x, y)=0的“自公切线”．下列方程：①x2−y2=1；②y=x2−2|x|；③y=sin x+cos x；④|x|+1=√2−y2对应的曲线中不存在“自公切线”的有________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）已知两点A(1, −1)，B(−1, −3)．（1）求过A、B两点的直线方程；（2）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（3）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x−y+1=0上，求圆C的方程．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD=AB，PA=PC，AC∩BD=F，点E是PC的中点．（1）求证：EF // 平面PAD；（2）求证：平面ADF⊥平面PBD．已知函数f(x)=x3+ax2−x−3在x=−1时取得极值．（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)在区间[−2, 1]上的最大值．如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90∘，AB // CD，AD=AF=a，AB=2CD=2a．（1）求证：AF // 平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求四棱锥C−ABEF的体积．已知平面上的动点Q到定点F(0, 1)的距离与它到定直线y=3的距离相等．（1）求动点Q的轨迹C1的方程；（2）过点F作直线l1交C2:x2=4y于A，B两点（B在第一象限）．若|BF|=2|AF|，求直线l1的方程．（3）试问在曲线C1上是否存在一点M，过点M作曲线C1的切线l2交抛物线C2于D，E两点，使得DF⊥EF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2013-2014学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1.【答案】B【考点】命题的否定【解析】全称命题P:∀x∈M，p(x)，它的否定￢P:∃x∈M，￢p(x)．【解答】解：命题p:∀x∈R，x≤1；命题¬p:∃x∈R，x>1．故选B．2.【答案】D【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】先求出直线y=−2x+1与y轴的交点为A(0, 1)，利用对称直线过点A(0, 1)，且倾斜角与已知直线的倾斜角互补，故与已知直线的斜率互为相反数，由点斜式求出对称直线的方程．【解答】解：直线y=−2x+1与y轴的交点为A(0, 1)，设直线y=−2x+1关于y轴对称的直线为l，则l的倾斜角与直线y=−2x+1的倾斜角互补，故l的斜率为2，故l的方程为y=2x+1，故选：D．3.【答案】B【考点】导数的运算【解析】求函数的导数，直接进行求解即可得到结论．【解答】解：∵f(x)=13x3−x，∴f′(x)=x2−1，则f′(−1)=1−1=0，故选：B4. 【答案】C【考点】椭圆的定义【解析】利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：由椭圆x225+y216=1，可得a=5．∵|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=4，∴|PF2|=6．故选：C．5.【答案】A【考点】函数的图象变换【解析】利用一次函数的斜率和截距同号及其意义即可得出．【解答】解：方程为y−ax−1a=0，转化为方程y=ax+1a可以看作一次函数，其斜率a和1a截距同号，只有A符合，其斜率和截距都为负．故选：A．6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】因为x2+y2=0，可得x，y=0，再根据充要条件的定义进行判断；【解答】解：∵xy=0，或者x=0，或y=0或x=y=0；∵x2+y2=0，可得x=y=0，∵ “x2+y2=0”⇒“xy=0”；∴ “xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件，故选B；7.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由体积公式求解．【解答】解：在三棱锥中，∵俯视图为等腰直角三角形，∴S=12⋅4⋅2=4；又∵体高为2√3，则体积为V=13⋅Sℎ=13⋅4⋅2√3=83√3故选：C．8.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m // α．故选D．9.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线与圆的位置关系【解析】求出导数，求出切线的斜率，运用点斜式方程求出切线方程，并化为一般式，求出圆心到直线的距离，运用直线和圆相交的弦长公式：a=2√r2−d2，即可得到r．【解答】解：y=x2−x的导数y′=2x−1，∴函数y=x2−x的图象在点M(2, 2)处的切线l的斜率为2×2−1=3．切点为(2, 2)，∴切线l:y−2=3(x−2)即3x−y−4=0．则点C到切线l的距离为√9+1=2√105，由弦长公式a=2√r2−d2，得2√105=2√r2−4025，解得r=√2．故选：C．10.【答案】D【考点】点、线、面间的距离计算【解析】在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P到A和C1的距离之和等于定值2a的点的全体构成一个椭球面，由此能求出结果．【解答】解：在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P到A和C1的距离之和等于定值2a的点的全体构成一个椭球面，该椭球面的焦点即为A和C1，椭球的长半轴为2a2=a，焦距为正方体的对角线的一半，即√3a2，所以短半轴为(√3a2)=12a，所以该椭球面和正方体的棱有6个交点：A点的三条棱和C1点的三条棱，所以P的个数为6．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）【答案】√10【考点】空间两点间的距离公式【解析】利用空间两点间距离公式的计算即可得出结果．【解答】解：∵点A(1, 0, 2)，B(1, −3, 1)，则|AB|=√(1−1)2+(0+3)2+(2−1)2=√10．故答案为：√10．【答案】−12【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】利用相互垂直的直线斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线2x−y−1=0和y=kx+1互相垂直，∴2×k=−1，解得k=−12．故答案为：−12．【答案】√3,3π 【考点】球的表面积和体积点、线、面间的距离计算【解析】直接利用正方体的棱长求出对角线的长度，求出外接球的半径，然后求解球的表面积． 【解答】解：棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点都在球面上，则AC 1的长是：√12+12+12=√3， 外接球的半径为：√32，外接球的表面积为：4π×r 2=3π． 故答案为：√3；3π． 【答案】√52,y =±12x【考点】 双曲线的特性 【解析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论． 【解答】解：双曲线x 24−y 2=1中a =2，b =1， ∴ c =√5∴ 双曲线x 24−y 2=1的离心率为e =ca =√52，渐近线方程是y =±12x ．故答案为：√52，y =±12x ． 【答案】 (−∞, −1),−1e【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由已知得f′(x)=e x +xe x =e x (x +1)，由此能求出函数f(x)=x ⋅e x 的单调递减区间和最小值． 【解答】解：∵ 函数f(x)=x ⋅e x ，∴ f′(x)=e x +xe x =e x (x +1)， 由f′(x)0，得x >−1．∴ f(x)的减区间是(−∞, −1)，增区间是(−1, +∞)． 最小值是f(−1)=−e −1=−1e ． 故答案为：(−∞, −1)，−1e ． 【答案】 ①④【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 圆的切线方程【解析】①x 2−y 2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在x =12和 x =−12处的切线都是y =−14，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线． ④结合图象可得，此曲线没有自公切线． 【解答】解：①x 2−y 2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y =x 2−|x|={(x −12)2−14，x ≥0(x +12)2−14，x <0，在 x =12 和 x =−12 处的切线都是y =−14，故②有自公切线． ③y =sin x +cos x =√2sin (x +π4)，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④|x|+1=√2−y 2即 x 2+2|x|+y 2−1=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为：①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 【答案】 解：（1）∵ 点A(1, −1)，B(−1, −3)， ∴ k AB =−3+1−1−1=1，∴ 过A 、B 两点的直线方程为y +1=x −1，即x −y −2=0…（2）线段AB 的中点坐标(0．−2)，k AB =1，则所求直线的斜率为−1， 故所求的直线方程是x +y +2=0…（3）设所求圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0由题意可知{1+1+D −E +F =01+9−D −3E +F =0−D 2+E2+1=0，解得D =3，E =1，F =−4 所求的圆的方程是x 2+y 2+3x +y −4=0．… 【考点】 圆的标准方程 直线的一般式方程 直线与圆的位置关系【解析】（1）求出斜率，利用点斜式求过A、B两点的直线方程；（2）求出线段AB的中点坐标，即可求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（3）圆C经过A、B两点且圆心在直线x−y+1=0上，利用待定系数法求圆C的方程．【解答】解：（1）∵点A(1, −1)，B(−1, −3)，∴k AB=−3+1−1−1=1，∴过A、B两点的直线方程为y+1=x−1，即x−y−2=0…（2）线段AB的中点坐标(0．−2)，k AB=1，则所求直线的斜率为−1，故所求的直线方程是x+y+2=0…（3）设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意可知{1+1+D−E+F=01+9−D−3E+F=0−D2+E2+1=0，解得D=3，E=1，F=−4所求的圆的方程是x2+y2+3x+y−4=0．…【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴F为AC中点，又∵E为PC中点，∴EF是△PAC的中位线．∴EF // PA，而EF⊄平面PAD内，PA⊂平面PAD∴EF // 平面PAD．（2）连接PF，∵PA=PC，F为AC中点，∴PF⊥AF∵平行四边形ABCD，AD=AB，∴四边形ABCD是菱形，∴AF⊥BD，又∵BD∩PF=F，BD⊂平面PBD，PF⊂平面PBD，∴AF⊥平面PBD，而AF⊂平面ADF∴平面ADF⊥平面PBD．【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）利用平行四边形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等腰三角形的性质、线面与面面垂直的判定与性质定理即可证明．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴F为AC中点，又∵E为PC中点，∴EF是△PAC的中位线．∴EF // PA，而EF⊄平面PAD内，PA⊂平面PAD∴EF // 平面PAD．（2）连接PF，∵PA=PC，F为AC中点，∴PF⊥AF∵平行四边形ABCD，AD=AB，∴四边形ABCD是菱形，∴AF⊥BD，又∵BD∩PF=F，BD⊂平面PBD，PF⊂平面PBD，∴AF⊥平面PBD，而AF⊂平面ADF∴平面ADF⊥平面PBD．【答案】解：（1）f′(x)=3x2+2ax−1．∵f(x)在x=−1时取得极值，所以f′(−1)=0，即3−2a−1=0解得a=1．经检验，a=1时，f(x)在x=−1时取得极小值．∴f(x)=x3+x2−x−3．（2）f′(x)=3x2+2x−1，令f′(x)=0，解得x=−1或x =13；x∈[−2, 1]时，f′(x)和f(x)变化如下：由上表可知函数f(x)在区间[−2, 1]上的最大值为−2．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】（1）首先求出f′(x)，利用x=−1时取得极值，则f′(−1)=0，得到关于a的方程求出a；（2）令f′(x)=0，得到x=−1或者x=13，列表求出f(x)在[−2, 1]上的最大值．【解答】解：（1）f′(x)=3x2+2ax−1．∵f(x)在x=−1时取得极值，所以f′(−1)=0，即3−2a−1=0解得a=1．经检验，a=1时，f(x)在x=−1时取得极小值．∴f(x)=x3+x2−x−3．（2）f′(x)=3x2+2x−1，令f′(x)=0，解得x=−1或x=13；x∈[−2, 1]时，f′(x)和f(x)变化如下：由上表可知函数f(x)在区间[−2, 1]上的最大值为−2．【答案】解：（1）因为四边形ABEF为矩形，∴AF // BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF // 平面BCE．（2）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形．∴AM=MB=a．又∵AD=a，AB=2CD=2a，∴AC=√2a，BC=√2a．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．∵平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BE⊥AC．BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC=B，∴AC⊥平面BCE．（3）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，CM⊥AB，CM⊂平面ABCD，∴CM⊥平面ABEF．V C−ABEF=13CM⋅S矩形ABEF=13×a×a×2a=23a3．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】（1）求证AF // BE，而后可得，AF // 平面BCE；（2）由AC⊥BC，BE⊥AC可证AC⊥平面BCE；（3）利用体积公式求四棱锥C−ABEF的体积．【解答】解：（1）因为四边形ABEF为矩形，∴AF // BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF // 平面BCE．（2）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形．∴AM=MB=a．又∵AD=a，AB=2CD=2a，∴AC=√2a，BC=√2a．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．∵平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BE⊥AC．BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC=B，∴AC⊥平面BCE．（3）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，CM⊥AB，CM⊂平面ABCD，∴CM⊥平面ABEF．V C−ABEF=13CM⋅S矩形ABEF=13×a×a×2a=23a3．【答案】解：（1）设Q(x, y)，由条件有√x 2+(y −1)2=|y −3|，化简得曲线C 1的方程为：x 2=−4y +8．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则|AF|=y 1+1，|BF|=y 2+1， 由|BF|=2|AF|，得y 2=2y 1+1① 令直线AB 方程为x =t(y −1) 由{x =t(y −1)x 2=4y ⇒t 2y 2−(2t 2+4)y +t 2=0， 则{y 1+y 2=2t 2+4t 2①y 1⋅y 2=1②由①和③联立解得：y 1=12，y 2=2 代入②得：t 2=8依题意直线AB 的斜率大于0，即t >0， 所以t =2√2故直线AB 的方程为x −2√2y +2√2=0 （3）设M(m, n)，由于y′=−x2，则切线l 2的斜率为k =−m2， 切线l 2的方程为y −n =−m 2(x −m)，又n =2−m 24，则切线l 的方程为y =−m 2x +m 24+2．由{y =−m2x +m 24+2x 2=4y ⇒x 2+2mx −m 2−8=0．， 设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−2m x 1x 2=−m 2−8，∴ y 1+y 2=−m2(x 1+x 2)+m 22+4=3m 22+4，y 1y 2=(x 1x 2)216=(m 2+8)216．又FD ⊥FE ，则x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=0， 则−m 2−8+(m 2+8)216−(3m 22+4)+1=0，设t =m 2+8，则有t 216−t −32(t −8)−3=0，即t 2−40t +144=0， 得t =36，t =4（舍去）．所以t =m 2+8=36，得m =±2√7，n =−5．故存在点M 满足题意，此时点M 的坐标是(±2√7，−5)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）设出Q 的坐标，根据条件推断出x 和y 的关系式，化简求得x 和y 的关系，即曲线的方程．（2）设出A ，B ，利用抛物线的定义，表示出|AF|和|BF|，进而利用|BF|=2|AF|，求得y 2和y 1的关系，令直线AB 的方程x =t(y −1)，与抛物线方程联立消去x ，表示出y 1+y 2和y 1y 2，联立求得y 1和y 2，代入方程②求得t ，进而求得t ．则直线AB 的方程可得．（3）设出M 的坐标，对抛物线方程求导，进而求得切线l 2的斜率，表示出l 2的方程，同时利用m 和n 的关系式，表示出切线的方程与抛物线方程联立，设D ，E 的坐标，表示出x 1+x 2和x 1x 2，根据FD ⊥FE ，推断出x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=0获得关于m 的方程，求得m ，进而通过m 和n 的关系式求得n ． 【解答】 解：（1）设Q(x, y)，由条件有√x 2+(y −1)2=|y −3|，化简得曲线C 1的方程为：x 2=−4y +8．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则|AF|=y 1+1，|BF|=y 2+1， 由|BF|=2|AF|，得y 2=2y 1+1① 令直线AB 方程为x =t(y −1) 由{x =t(y −1)x 2=4y ⇒t 2y 2−(2t 2+4)y +t 2=0， 则{y 1+y 2=2t 2+4t 2①y 1⋅y 2=1②由①和③联立解得：y 1=12，y 2=2代入②得：t 2=8依题意直线AB 的斜率大于0，即t >0， 所以t =2√2故直线AB 的方程为x −2√2y +2√2=0 （3）设M(m, n)，由于y′=−x2， 则切线l 2的斜率为k =−m2，切线l 2的方程为y −n =−m2(x −m)， 又n =2−m 24，则切线l 的方程为y =−m 2x +m 24+2．由{y =−m2x +m 24+2x 2=4y ⇒x 2+2mx −m 2−8=0．，设D(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−2m x 1x 2=−m 2−8，∴y1+y2=−m2(x1+x2)+m22+4=3m22+4，y1y2=(x1x2)216=(m2+8)216．又FD⊥FE，则x1x2+(y1−1)(y2−1)=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=0，则−m2−8+(m2+8)216−(3m22+4)+1=0，设t=m2+8，则有t216−t−32(t−8)−3=0，即t2−40t+144=0，得t=36，t=4（舍去）．所以t=m2+8=36，得m=±2√7，n=−5．故存在点M满足题意，此时点M的坐标是(±2√7，−5)．。
北京市昌平区2012-2013学年第一学期初一年级期末数学试题与答案
昌平区2012-2013学年第一学期初一年级期末质量抽测数 学 试 卷 2013．1同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败+勤奋学习+有远大的理想+坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除）题目 一 二 三 四 五 六 七 八 得分考生须知 1.本试卷共4页，共七道大题，满分120分考试时间120分钟 2.在答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考试编号 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效4.考试结束，请将本试卷和答题卡上并交回一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1．21-的相反数是 A ．21 B ．21- C ．2D ．2-2．下列各式中结果为负数的是 A ．(3)--B ．2(3)-C ．3-D ． 3--3．在中国共产党第十八次全国代表大会期间，新民网发起了有关发生的调查，截至2012年11月15日13时30分，共吸引了约262900人次参与．数据显示，社会民生问题位列网友最关心的问题首位．请将262900用科学记数法表示为A . 0.2629×106B . 2.629×106C . 2.629×105D . 26.29×1044.某市4月某天的最高气温是5℃，最低气温是-3℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是 A . -8℃ B . 8℃ C . -2℃ D . 2℃ 5．一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是A . 20°B . 35°C . 45°D . 55° 6．若23(2)0m n -++=，则2mn 的值为A . -1B . 1C . 4D . 7 7．已知数a ，b 在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是 A ．a +b ＞0 B ．a -b ＞0 C ．a ·b ＜0 D ．1+b ＜08．右图是一个三棱柱纸盒的示意图，这个纸盒的展开图是0a二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．比较大小：-23 -7.10．若关于x 的一元一次方程23=+x ax 的解是1=x ，则a = ． 11．若3=x ，y 的倒数为21，则x +y = ． 12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，… 这样的数称为“三角数”；把1，4，9，16，…这样的数称为 “正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以写成两个相邻的“三角形数”之和，“正方形数”36可以写成两个相邻的“三角形数”与 之和；“正方形数”2n 可以写成两个相邻的“三角形数” 与 之和，其中n 为大于1的正整数．三、解答题（共7个小题，每小题5分，共35分） 13.计算： 23-17-（-7）+（-16）．14.计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷-41855.2．15.计算：()23131427-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯．16．解方程：5443-=+x x ．17．解方程：131273=+--xx ．18．求222233()(6)3x x x x x x ++--+的值，其中6x =-．19．已知x y -=2，求344-+y x 的值．16=6+109=3+64=1+3DC B A四、画图题（共5分）20．如图，已知平面上有四个点A ，B ，C ，D ． （1）连接AB ，并画出AB 的中点P ； （2）作射线AD ；（3）作直线BC 与射线AD 交于点E ．五、补全下面解题过程（共6分）21.如图所示，点C 在线段AB 的延长线上，且BC =2AB ， D 是AC 的中点，若AB =2cm ，求BD 的长．∴ AD =21= cm ． ∴ BD = AD - = cm ．六、列方程解应用题（共2个小题，每小题5分，共10分）22．如图所示，长方形的长是宽的2倍多1厘米，周长为14厘米，求该长方形的宽和长各是多少厘米？23．小明周六去昌平图书馆查阅资料，他家距昌平图书馆35千米．小明从家出发先步行20分钟到车站，紧接着坐上一辆公交车，公交车行驶40分钟后到达图书馆．已知公交车的平均速度是步行的平均速度的7倍，求公交车平均每小时行驶多少千米？七、解答题（共2个小题，共16分，其中，第24小题7分，第25小题9分）24．【现场学习】现有一个只能直接画31°角的模板，小英同学用这个模板画出了25°的角，他的画法是这样的：（1）如图1，用模板画出∠AOB =31°； （2）如图2，再继续画出∠BOC =31°； （3）如图3，再继续依次画出3个31°的角；（4）如图4，画出射线OA 的反向延长线OG ，则∠FOG 就是所画的25°的角． 【尝试实践】请你也用这个模板画出6°的角，并标明相关角度，指明结果．【实践探究】利用这个模板可以画出12°的角吗？如果不可以，说出结论即可；如果可以，请你画出这个角，并说明理由．DA31°31°31°31°31°25°31°31°31°31°31°31°31°31°AOBBAOCCB OAD EF OAB CD EF G图1图2图3图425． 如图，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线．（1）如图1，当∠AOB 是直角， ∠BOC =60°时，∠MON 的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB =α，∠BOC ＝ 60°时，猜想∠MON 与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB =α，∠BOC ＝β时，猜想∠MON 与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．ON AB CM M CB A N O图1图2图3O N AB CM昌平区2012-2013学年第一学期初一年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 2013．1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）15，21；1)2n ，(1)2n n 三、解答题（共7个小题，每小题5分，共35分）13．解：原式=6+7-16 ……………………………… 3分=13-16 ……………………………… 4分=-3 ………………………………… 5分 14．解：原式=52×85×(14) ……………………………… 3分 =1 ……………………………… 5分 15.解：原式=2721439……………………………… 3分 =-12……………………………… 5分 16．解：移项，得 3x -4 x =-5-4． ……………………………… 2分 合并同类项，得 - x =-9． ……………………………… 4分 系数化为1，得 x = 9． ……………………………… 5分 17．解：去分母，得 3（3x -7）-2(1+x )=6. ……………………………… 2分 去括号，得 9x -21-2-2x =6. ……………………………… 3分 移项、合并同类项，得 7x =29. ……………………………… 4分 系数化为1，得 x =297. ……………………………… 5分 18．解：原式=2223326x x x x x x ++--- ……………………………… 2分 =2x -. ……………………………… 3分 当6x =-时，原式=2×（-6）=12. ……………………………… 5分 19．解：由x y -=2，得2xy . ……………………………… 1分所以原式=4（x+y）-3……………………………… 2分 =4×2-3 ……………………………… 4分=5. ……………………………… 5分四、画图题（共5分）20．如图……………………………… 5分五、补全下面解题过程（共6分）21. 解：BC，6，AC，3，AB，1．……………………………… 6分六、列方程解应用题（共2个小题，每小题5分，共10分）22．解：设长方形的宽为x厘米，则长为（2x+1）厘米．……………………… 1分根据题意，得x+（2x+1）=7．……………………………… 3分解这个方程，得x=2．……………………………… 4分此时2x+1=5．答：长方形的宽和长分别为2厘米和5厘米．……………………………… 5分23．解：设步行的平均速度为每小时x千米，则公交车的平均速度为每小时7x千米．…… 1分根据题意，得13x+23×7x=35．……………………………… 3分解这个方程，得x=7．……………………………… 4分此时7x=49．答：公交车的平均速度为每小时49千米．……………………………… 5分七、解答题（共2个小题，共16分，其中，第24小题7分，第25小题9分）24．解：【尝试实践】如图．……… 3分【实践探究】如图．……… 5分理由：从∠AOB=31°开始，顺次画∠BOC=31°, …, ∠MON=31°，共12个31°角，合计372°．而 372°-360°=12°，所以∠AON=12°．……… 7分25．解：GFEDCBAO25°31°31°31°31°31°∠FOH=31°H∠GOH=6°N∠MON=31°∠AON=12°31°31°31°31°31°NMLKJI∠GOH=6°H∠FOH=31°31°31°31°31°31°25°OABCDEFGON AB CM M CB A N O图1图2图3O N AB CM（1）如图1，∠ MON=45°． …………………………………………………… 2分（2）如图2，∠ MON=12α． …………………………………………………… 3分 （3）如图3，∠MON=12α，与β的大小无关． ……………………………… 4分理由：∵∠AOB =α，∠BOC ＝β，∴ ∠AOC =α+β． ………………………………………………… 5分 ∵ OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线， ∴ ∠AOM =12∠AOC =12（α+β）． ………………………………… 6分∠NOC =12∠BOC =12β． ………………………………… 7分 ∴ ∠AON =∠AOC -∠NOC =α+β-12β=α+12β． …………… 8分∴ ∠MON=∠AON -∠AOM=α+12β-12（α+β） =12α． ……………………………………………… 9分 即 ∠MON=12α．。
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昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<（2）“2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）（4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于A.1B. 2C. 3D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 10+B ．10+C. 14+D. 14+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22x f x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数； 命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数； 命题:r 11()22f >； 命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）若221ai i i=-+-，其中i是虚数单位，则实数a 的值是____________.（10）以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.（11）在A B C △中，若b =1c =，tan B =a = . （12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．(13)在R t A B C ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是B C 的中点，那么()AB AC AD -∙=uu u r uuu r uuu r____________;若E 是A B 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uur的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;OFEDCBA② 坐标原点O与直线20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E A B C D -中，底面A B C D 是正方形，,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为B E 的中点. （Ⅰ）求证：D E ∥平面A C F ； （Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,A B E =在线段E O 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出E G E O的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图： 甲厂乙厂93 9 6 5 8 18 4 5 6 9 0 31 5 0 32 1 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 2且抛物线2y =的焦点是椭圆M的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g gg；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值．G BC EF昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）（10）22(5)16x y -+=（11） 3（12）4 （13） 2;[-9,9] （14） 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分 因为1sin cos )2sin sin32()(2+⋅-=xx x x x f2cos )cos 1x x x =-⋅+ 2cos 2x x=-π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝- …………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接O F .y由A B C D 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为B E 的中点，所以O F ∥D E ………………….2分 又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以D E ∥平面A C F ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^由A B C D 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC ECACE 平面，翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III)解法一：在线段E O 上存在点G ，使CG BDE平面^. 理由如下：如图，取E O 中点G ，连接C G . 在四棱锥E A B C D -中，,2AB E C O AB C E ===，所以C G E O ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为E O 中点，得1.2E G E O=…………………………………………… 14分解法二：由EC ABCD 底面，^且底面A B C D 建立空间直角坐标系,C DBE -由已知,AB E=设(0)CE a a=>，则(0,0,0),,0,0),(0,,0),(0,0,),C D B E a,,0),,,0),(0,,),(,,).2222 O a a BD BE a EO a auuu r uur uuu r=-=-=-设G为线段E O上一点，且(01)EGEOλλ=<<，则,,),22EG EO a a aλλuuu r uuu r==-,,(1)),22CG CE EO a a aλλλλuuu r uur uuu r=+=-…………………………..12分由题意，若线段E O上存在点G，使CG BDE平面^，则C G BD^uuu r uuu r，C G BE^uuu r uur.所以，221(1)0,0,12a aλλλ解得，（）-+-==，故在线段E O上存在点G，使CG BDE平面^，且1.2E GE O=…………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105=乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分（II）ξ的取值为0，1，2，3.0312555533101015(0),(1),1212C C C CP PC Cξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C CP PC Cξξ⋅======所以ξ的分布列为故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分（18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===，得…………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （II ）).32(3)(a x x x f --='①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a a a x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max -=-+-==+∞∈∴a a aa f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27aa a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)解：（I ）由已知抛物线的焦点为0),故设椭圆方程为22221(0)x y a b ab+=>>，则2,2, 2.2c e a b ====由得所以椭圆M的方程为221.42xy+=……5分（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，则由22,1.42y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(12)4240k x km x m +++-=， …………………6分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分设A B P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122242,()21212km m x x x y y y k x x m kk =+=-=+=++=++，…………8分由于点P 在椭圆M 上，所以2200142x y +=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k mmk k +=++，化简得22212m k =+，经检验满足①式.………10分 又点O 到直线l 的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l的方程为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为2. ………13分（20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-…………………4分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m≤<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+…9分（III）设M为{}12100,,,a a a中的最大值.由（II）可以知道，()g m的最小值为()g M.根据题意，123100,M Mb k k k k=++++=L123123123....Mk k k M k a a a a++++=++++L下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k M k k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++ ，∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。