鲁教版初四上学期第二章第8节二次函数的应用课时3
二次函数的应用(一)教学设计
通过做练习训练新知识，掌握新技能，并及时引导学生把所学知识加以总结，并找出规律性的东西，
进行迁移应用训练，进行理性反思，加深对知识的灵活把握程度。
将主动权交给学生。知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快固化在学生的脑中。
加深巩固，引导学生分析探索、培养学生解决问题的能力。
既强化了知识，又提高了归纳整理能力。
巩固新学的知识技巩固新学的知识技能和方法。
进一步明确二次函数最值步骤。
板书
设计
§2．8二次函数的应用（一）
一．二次函数最值公式
二．典型例题
三．二次函数应用最值的步骤。
反思
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么销售量可表示为 :件销售额可表示为:元;
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．
学生思考回答二次函数的知识
学生经历由易到难求二次函数最值的过程，为二次函数应用做好铺垫。
学生思考
学生练习，集体交流答案，教师适时进行纠错指导。
学生相互交流得出结论：
学生交流练习中的收获与体会。
学生自我展示
如果增种x棵树，果园橙子的总产量为y个,那么y与x之间的关系式为：
y=(600-5x)(100+x )
=-5x²+100x+60000
学生思考回答，然后小组交流。
学生自己归纳学生畅所欲言，谈自己的收获学生独立完成，学生讲解。
北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）
顶点(-3，− ）
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知
二次函数应用(拱桥问题)
教学过程一、复习预习平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。
这节我们就看二次函数解决拱桥问题。
二、知识讲解考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式1、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）2、顶点式：y=a(x-h)2+k （a ≠0） 顶点坐标（h ，k ）直线x=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值3、双根式：y=a(x-1x )(x-2x )（a ≠0） (1x ,2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标) 并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行4、 顶点在原点：5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y)0(2≠=a ax y考点/易错点2：建立平面直角坐标系1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。
三、例题精析【例题1】【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．【答案】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2， 且过点（10，－4）∴故（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
【解析】顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．【例题2】【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶?【答案】解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的-==-4101252a a ×，y x =-1252dh 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）设抛物线为y=ax ²+k.由B 、D 两点在抛物线上，有解这个方程组，得 所以，顶点的坐标为（0，） 则OE=÷0.1=（h ）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过小时会达到拱顶.【解析】 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式【例题3】【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽，水位上升3m ，达到警戒线CD ，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m 的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y ＝ax 2＋h 又知 B (2，0)，D (2，3)∴ 解得： m 64m 3463⎩⎨⎧=+⨯=+⨯3h )32(a 0h )62(a 22⎪⎩⎪⎨⎧=-=6h 41a∴y ＝－41x 2＋6 ∴E (0，6) 即OE ＝6 EF ＝OE －OF ＝3 t ＝＝25.03＝12 (小时)答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 【解析】建立直角坐标系，求出解析式四、课堂运用【基础】1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y ＝－0.1x 2＋2.6x ＋43 (0≤x ≤30)．y 值越大，表示接受能力越强．(1) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？25.0EF【巩固】1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗?(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?【拔高】1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。
人教初中数学 《二次函数的图象和性质(第3课时)》教案 (公开课获奖)
22.1 二次函数的图象和性质让学生观察函数y＝－13x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。
四、练习：P7练习。
五、小结1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?作业设计必做教科书P14：5（1）选做练习册P109-114教学反思15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． （演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．D CA B[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，D CABDC A B标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定．Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ．EDCABPD C A B又∵DE∥AP，∴∠4=∠P．∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
初中数学鲁教版九年级上册3.4.二次函数y=a(x-h)2的图像与性质(第2课时)(31张PPT)
(1) y (2) y
1 x2 2 1(x 2
y 1 x 22
2
2)2
(3) y 1 ( x 2)2 2
-8
-6
-4
5 4 3 2 1
-2 B
-1
-2
-3
感悟新知
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
2
4
6
感悟新知
y
1 2
(x
2)2
向左平移2 个单位
y 1 x2 2
向右平移2 个单位
y 1 (x 2)2 2
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2
的是( A )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
感悟新知
3. 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( C ) ①开口向上；②顶点为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；
2 在此坐标系中画出抛物线y=－
1
2 x2 (见图中虚线部
分 物)线, 观y=察－抛12物x2线有y什=么－关12 系(x？+1)2，2y=－
1 2
(x－1)2与抛
感悟新知
抛物线 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 (x 1)2 y 1 x2
2
2
2
有什么关系?
感悟新知
y
1 2
x
2向1个左单平位移y
a＜0
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而增大； 在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小
例1 下列命题中，错误的是( )
感悟新知
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
初中数学_二次函数的应用(3)——生活中的抛物线教学课件设计
少米，才能使喷出的水流落不到池外？
y （1，2.25）
B
A
（0，1.25）
O
C
x
新知探究二
公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O 点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水 流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那 么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？
（1，2.25）
左边抛物 线的表达 式？
（0，1.25）
左侧：y=-(x+1)2+2.25
归纳小结
将实际的抛物线型问题转化为数学问题的一般解法是：
（1）理解问题，建立适当的直角坐标系;(简单易算) （2）根据题意，确定相关点的坐标; （3）求出函数表达式; （4）求解；（知x求y或知y求x） （5）验证结果的合理性； （6）给出结论（写答）.
我能过去吗？你能帮帮我吗？ C
A
B
新知探究一
如图，某隧道的截面呈抛物线型，截面的地面宽AB为4m,顶部C 距地面的高度为4.4m。 （1）试建立适当的坐标系，你有几种方法？
C
A
B
新知探究一
如图，某隧道的截面呈抛物线型，截面的地面宽AB为4m,顶部C距地面的 高度为4.4m。 （2）选择适当的坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式。
新知探究一
如图，某隧道的截面呈抛物线型，截面的地面宽AB为4m,顶部C距地 面的高度为4.4m。 （2）选择适当的坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式。
新知探究一
新知探究一
某隧道的截面呈抛物线型，截面的地面宽AB为4m,顶部C距地面 的高度为4.4m。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
第2章---第8节
点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？ 【提示】 不是．函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的图象与x
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
【尝试解答】
自 主 落 实 · 固 基 础
(1)当 x∈[0,1]时，f(x)＝ x－cos x 的图象连续不
高 考 体 验 · 明 考 情
间断， ∵f(0)＝0－cos 0＝－1＜0，f(1)＝1－cos 1＞0. ∴f(x)＝ x－cos x 在区间(0,1)内有零点， 1 又 f′(x)＝ ＋sin x＞0(x∈(0,1)， 2 x ∴f(x)在(0,1)上是单调增函数，
自 主 落 实 · 固 基 础
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菜
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若 将 例 题 中 函 数 “f(x) ＝ x － cos x” 改 为 “f(x) ＝
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log2xx＞0 x ”且关于 x 的方程 f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实根， 3 x≤0
菜
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自 主 落 实 · 固 基 础
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数x叫做
鲁教版-数学-九年级上册- 二次函数的应用3 教案
《二次函数的应用》教案教学目标1、让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化.2、让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题.3、掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活.4、培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成.教学重点1、在直角坐标系中，点坐标和线段之间的关系.2、根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点.教学难点如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣.教学过程一、情景导入如图，某公司的大门呈抛物线型，大门地面宽AB为4米，顶部C距地面的高度为4.4米.(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65米，装货宽度为2.4米，那么这辆汽车能否顺利通过大门？想一想:如果装货宽度为2.4米的汽车能顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少？(精确到0.01)二、例题鉴赏公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央O点处安装一根垂直于水面的柱子OA，OA=1. 25米.水流由柱子顶端A处的喷头向外喷出，从各个方向呈完全抛物线的形状落下.为使水流形状看起来较为美观，设计要求水流在与柱子OA的距离为1米处达到最高点.这时距水面的最大高度为2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少是多少米时，才能使喷出的水流不致落到池外？三、随堂练习如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用2144y x =-+表示.(1)一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？(2)如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？四、课外练习：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，正在甩绳的A 、B 两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生C 、D 分别站在距A拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生C 的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生D 的身高吗？若现有一身高为1.625米的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？五、归纳小结：1、请你总结一下解决这类问题的基本思路及要注意的问题.2、本节课，你最深的感受是什么？3、在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决？。
1.4.3二次函数的应用(3)
解方程得t1=0.5；t2=1.5
答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）； 经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。
课内练习：
1、一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最 大高10m。
⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离
例4：
一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s, 经过t(s)时球的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动 中,h=v0t－ ½ gt²(v0表示物体运动上弹开始时的速 度,g表示重力系数,取g=10m/s²)。问球从弹起至回到 地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?
h(m)
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2 t(s)
例4：
h(m)
6
5
解：由题意，得h关于t的二次函数
4
解析式为h=10t-5t²
3
取h=0，得一元二次方程
2
10t－5t²=0
1
解方程得t1=0；t2=2
-2
-1
0到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75
课内练习
3.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个 解。若有解，求出它们的解（精确到0.1）。
① 2x²-x+1=0 ② 2x²-4x-1=0
y=2x²-x+1
无解
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② 2x²-4x-1=0
y=2x²-4x-1
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数的实际应用
(1)c的值为666 ； 【分层分析】 (1)根据起跳台的高度OA为66 m，即可得c＝6666；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－
1 50
层分析】
(2)①由a＝－
1 50
，b＝
9 10
，知y＝－
1 50
x2＋
9 10
x＋66，根据基准点K到起跳
第八节 二次函数的实际 应用
命题点：二次函数的实际应用(近 6 年考查 14 次) 1. (2022·黔西南州第 17 题 3 分)如图是一名男生推铅球时，铅球行进 过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的关系是 y＝－112x2＋23x＋53，则 铅球推出的水平距离 OA 的长是 1100 m.
(3)物价部门规定该品牌贵州特产的销售单价不得高于 85 元/kg，公司想
获得不低于 2 000 元的周利润，销售单价的取值范围是多少？ 【分层分析】(3)令获得的周利润等于 2 000 元，列方程为－－22((xx－－8855))22
＋＋2 244505＝0＝2 000，结合 w 的函数图象可知 x 的取值范围为 700≤≤x≤x≤1001，00 再2结00合0物价部门规定该品牌贵州特产的销售单价不得高于 85 元/kg 即可
工人不会碰到头，理由： ∵小船距 O 点 0.4 m，小船宽 1.2 m，工人直立在小船中间，由题意得工 人距 O 点距离为
1 0．4＋2×1.2＝1(m)， ∴将 x＝1 代入 y＝－14x2＋2x，解得 y＝1.75 m， ∵1.75 m＞1.68 m， ∴此时工人不会碰到头．
重难点：二次函数的实际应用
2．(2022·铜仁第 23 题 12 分)为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作 社种植了“千亩桃园”.2022 年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调 查发现：当批发价为 4 千元/t 时，每天可售出 12 t，每吨涨 1 千元，每 天销量将减少 2 t，据测算，每吨平均投入成本 2 千元，为了抢占市场， 薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于 4 千元，不高于 5.5 千元．
鲁教版二次函数的应用2
• 注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）× 年销售量．
谈谈你的收获
总利润=一件T恤的利润×件数。
2. 某旅行社有客房120间，每间房的日 租金为160元时，每天都客满.经市场调查发 现，如果每间客房日租金每增加10元，那 么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因
素，旅社将每间客房的日租金调高到多少 元时，客房日租金的总收入最高？
3.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果 多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光 就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵 树就会少结5个橙子.设增种x棵树，果园的橙子总产量 为y个，写出y与x之间的关系式。
鲁教版二次函数的应用（2）
理解和体会二次函数是解决最值问题的一种重要模型
想一想
1. 服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元. 根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意
经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500
件.厂家批发单价是多少时，可以获利最多? 读题步骤： 1.题中涉及到哪几个量？ 成本，单价，销售件数，利润。 2.其中哪几个量是变化的？怎么变化？怎么进行数学 表示？ 3.此题中总利润的关系式是什么？
（解答课本P99议一议问题）
•
一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12
元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高
产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成
本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应
提高0.5X倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加X倍
（本题中0＜x≤11）．
鲁教版初四上册第二章二次函数全章测试题(五)
鲁教版初四上册第二章二次函数全章测试题（五）(满分：150 分，时间：120 分钟)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列函数不属于二次函数的是 （ ） A.y ＝(x －1)(x ＋2) B.y ＝21(x ＋1)2 C. y ＝1－3x 2 D. y ＝2(x ＋3)2－2x 22. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是 （ ）A ．（2，1）B ．（－2，1）C ．（2，－1）D ．（－2，－1） 3. 函数y ＝－x 2－4x －3图象顶点坐标是 （ ）A.（2，－1）B.（－2，1）C.（－2，－1）D.（2， 1）4．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定5．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此拋物线的对称轴是直线 （ ）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =D ．3x =6．函数y ＝2x 2－3x ＋4经过的象限是 （ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 7．抛物线y ＝x 2－bx ＋8的顶点在x 轴上，则b 的值一定为 （ ）A.4B. －4C.2或－2D.42或－42 8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是 （ ）A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＜0D ．abc ＞0 9．如图，正△AOB 的顶点A 在反比例函数y ＝3x(x ＞0)的图象上，则点B 的坐标为（ ） A ．(2，0) B ．(3，0) C ．(23，0) D ．(32，0)第9题图) (第10题图)10．如图，△OAP、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函数4(0)y x x=> 的图像上，直角顶点A 、B 均在x轴上，则点B 的坐标为 （ ）A ．(12+，0)B ．(15+，0)C ．(3，0)D ．(15-，O) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．抛物线()b x b x y 322+--=的顶点在y 轴上，则b 的值为 ．12．如图，P 为反比例函数xk y =的图象上的点，过P 分别向x 轴和y 轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为__________________． (第12题图)13．如图所示,在同一坐标系中,作出①23x y =②221x y =③2x y =的图象则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(填序号) ．14．把抛物线y ＝c bx ax ++2先向右平移2个单位，再向下平移 5个单位得到抛物线222--=x x y ，那么=a ，=b ，=c ． (第13题图)三、(本题共2小题，每小题8分，满分 16 分) 15．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为231x y -=，当水面离桥顶的高度为325m 时，水面的宽度为多少米？16．已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式．四、(本题共2小题，每小题8分，满分 16 分)17．用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm ，面积为ycm 2． (1)求出y 与x 的函数关系式．（2）当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？18．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB ＝18m.一同学站在门内，在离门脚B 点1m 远的D 处，垂直地面立起一根1.7m 长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C 处．根据这些条件，请你求出该大门的高h ．五、(本题共2小题，每小题10分，满分 20 分) 19. 已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝－1；当x ＝ 3时，y ＝ 5．求y 关于x 的函数关系式．20．抛物线6822-+-=x x y ．（1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？（3）x 取何值时，y ＝0；x 取何值时，y ＞0；x 取何值时，y ＜0 ．六、（本大题满分12分）21．已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A(1，m)．（1）求抛物线的解析式；（2）请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝ax 2的图象？七、（本大题满分12分）22．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54，请你寻求：（1）柱子OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．八、（本大题满分14分）23.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25问：球出手时，他跳离地面的高度是多少．(1)第22章《二次函数》答案一、选择题1.D2.B3.B4.C5.A6.B7.D8.B9.A 10.B 二、填空题 11．2； 12．xy 2-= ； 13.①③②； 14． 1，2，3．三、15．10m ．16． 设此二次函数的解析式为4)1(2+-=x a y ．∵其图象经过点(－2，－5)， ∴54)12(2-=+--a ，∴1-=a ， ∴324)1(22++-=+--=x x x y 四、17.（1）210x x y -=；（2）25)5(2+--=x y ，所以当x ＝5时，矩形的面积最大，最大为25cm 2．18．解法一：如图1，建立平面直角坐标系．设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ．由题意知B 、C 两点坐标分别为B(18,0)，C(17,1.7)． 把B 、C 两点坐标代入抛物线解析式得解得∴抛物线的解析式为 y ＝－0.1x 2＋1.8x ＝－0.1(x －9)2＋8.1． ∴该大门的高h 为8.1m ．解法二：如图2，建立平面直角坐标系． 设抛物线解析式为y ＝ax 2．由题意得B 、C 两点坐标分别为B(9,－h)，C(8,－h ＋1.7)． 把B 、C 两点坐标代入y ＝ax 2得解得．∴y＝－0.1x 2.∴该大门的高h 为8.1m ．说明：此题还可以以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为y ＝－0.1x 2＋8.1．五、19.解：xx y 32-=．提示：设xk x k y 21-=．y20．2)2(268222+--=-+-=x x x y ．（1）顶点坐标为（2，2），对称轴为直线2=x ； （2）当2>x 时，y 随x 的增大而减小；（3）当1=x 或3=x 时，y ＝0；当31<<x 时，y ＞0；当1<x 或3>x 时，y ＜0 ．六、21．解：（1）∵点A(1,m)在直线y ＝－3x 上，∴m ＝－3×1＝－3．把x ＝1，y ＝－3代入y ＝ax 2＋6x －8，求得a ＝－1． ∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋6x －8．（2）y ＝－x 2＋6x －8＝－(x －3)2＋1．∴顶点坐标为(3,1)．∴把抛物线y ＝－x 2＋6x －8向左平移3个单位长度得到y ＝－x 2＋1的图象，再把y ＝－x 2＋1的图象向下平移1个单位长度(或向下平移1个单位再向左平移3个单位)得到y ＝－x 2的图象． 七、22．(1)当x ＝0时，y ＝54，故OA 的高度为1.25米．(2)∵y＝－x 2＋2x ＋54＝－(x －1)2＋2.25，∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米． (3)解方程－(x －1)2＋2.25＝0,得1215,22x x =-=．∴B 点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭．∴OB＝52．故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．八、23. (1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3.5．由图知图象过点： (1.5，3.05)．y ＝1.52 a ＋3.5＝3.05∴a ＝－0.2∴抛物线的表达式为y ＝－0.2x 2＋3.5．(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m ，则球出手时，球的高度为：h ＋1.8＋0.25＝(h ＋2.05) m ，∴h ＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5,∴h ＝0.2(m)．。
专题08二次函数应用(六大类型)(题型专练)(原卷版)2
专题08 二次函数应用（六大类型）【题型1 运动类（1）落地模型】【题型2 运动类（2）最值模型】【题型3 经济类二次函数与一次函数初步综合】【题型4 经济类二次函数中的“每每问题”】【题型5 面积类】【题型6 拱桥类】【题型1 运动类（1）落地模型】1．（2022秋•罗山县期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣．问：此运动员能把铅球推出多远？（）A．12m B．10m C．3m D．4m 2．（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y （米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小强此次成绩为（）A．8米B．9米C．10米D．12米3．（2023•普兰店区一模）在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是（）A．10m B．4m C．5m D．9m 4．（2023•阿城区一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）关于水平距离x（单位：米）的函数解析式是y＝﹣x2x，则该男生铅球推出的距离是米．5．（2022秋•未央区期末）体育老师将小华实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+9x+10，由此可知小华此次实心球训练的成绩为米．【题型2 运动类（2）最值模型】6．（2023•泰兴市二模）某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面3m处打开．7．（2023春•二道区校级月考）向空中发射一枚信号弹，经x秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此信号弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则在秒时信号弹所在高度最高的．8．（2022秋•鄞州区期末）某型号无人机着陆后的滑行距离y（米）与滑行时间t（秒）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则无人机着陆后滑行的最大距离是米．9．（2022秋•交口县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+6x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣12t2，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（）A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能确定11．（2022秋•栖霞市期末）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）间的关系是h＝﹣2t2+20t+1．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为s12．（2022秋•黄冈期末）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行m，才能停下来．【题型3 经济类二次函数与一次函数初步综合】13．（2023•鲁甸县二模）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表：售价x/（元/件）304550月销售是y/件300150100（1）求y关于x的函数表达式．（2）若该商品的进价为24元，当售价是多少元时，月销售利润W（元）最大？并求出最大利润．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]14．（2023•安庆二模）“龙池香尖”是怀宁县一款中国国家地理标志产品，素有：“扬子江心水，蒙山顶上茶”的美誉．某茶庄以600元/kg的价格收购一批龙池香尖，为保护消费者的合法权益，物价部门规定每千克茶叶的利润不低于0元，且不超过进价的60%，经过试销发现，日销量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，部分数据统计如表：x（元/kg）700900…y（kg）9070…（1）根据表格提供的数据，求出y关于x的函数关系式．（2）在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润最大，并求出最大利润．15．（2023•天山区校级二模）某商场销售每件进价为50元的一种商品，物价部门规定每件售价不得高于80元，经市场调查，发现每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足y＝﹣2x+240．（1）商场每月想从这种商品销售中获利2250元，该如何给这种商品定价？（2）请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？16．（2023•长阳县一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，如表是其中的两组对应值．售价x（元/箱）…3538…销售量y（箱）…130124…（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为116箱；（2）该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？17．（2023•太康县一模）五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元．（1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？（2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）220380日销售量y（件）18020请写出当220≤x≤380时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？18．（2023•东莞市校级一模）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．（1）求遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？19．（2023•青州市二模）某超市购进了一种商品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在某种函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），且当x＝8时，y＝110；当x＝10时，y＝100；当x＝12时，y＝90；…，设超市销售这种消毒用品每天获利为w（元）．（1）请判断y与x符合哪种函数关系，并求y与x的函数表达式；（2）若该商店销售这种商品每天获润480元，则每件商品的售价为多少元；（3）当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【题型4 经济类二次函数中的“每每问题”】20．（2023•黄冈二模）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？21．（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？22．（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？23．（2023•阳信县二模）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套32元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？（3）如果每天的利润要达到6080元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？24．（2022•都安县校级二模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25．（2022秋•和平区校级期末）某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？26．（2023•昭阳区模拟）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？【题型5 面积类】27．（2023•锦江区校级模拟）用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）求S的最大值．28．（2022秋•仙游县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设矩形花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；（2）当花圃的面积为54m2时，求AB的长；（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？29．（2023•武汉模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是m2，花卉B的种植面积是m2，花卉C的种植面积是m2．（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．【题型6 拱桥类】30．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离（结水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为米．果保留根号）31．（2022秋•江岸区校级期末）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为米．32.（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？33．（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？34．（2023•信阳二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8米．（1）求抛物线解析式；（2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；（3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？35．（2023•新城区校级二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x 轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．36．（2023•西华县三模）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）此时，葡萄牙队的守门员在球门前方距离球门线1米处，原地起跳后双手能达到的最大高度为2.8米，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，那么他能否在空中截住这次吊射？请说明理由．37．（2023•宝安区三模）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）。
《第三章6二次函数的应用》作业设计方案-初中数学鲁教版五四制12九年级上册
《二次函数的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对二次函数基本概念的理解，加深对二次函数图像及性质的认识，并初步掌握二次函数在实际问题中的应用。
通过本作业的完成，学生应能运用二次函数知识解决简单的实际问题。
二、作业内容1. 复习二次函数的基本概念，包括二次函数的定义、标准形式、顶点式等。
2. 掌握二次函数的图像特点，能够根据二次函数的系数画出对应的抛物线图。
3. 了解二次函数的最值问题，并能根据实际情况，判断函数的最大值或最小值及其对应的自变量值。
4. 实际应用练习：设置若干个实际问题的数学模型，要求学生将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
5. 附加题：设计一道与二次函数相关的综合题，要求学生综合运用所学知识解决。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 对于每个问题，学生需写出详细的解题步骤和答案。
3. 实际应用练习部分，学生需明确指出实际问题转化为二次函数问题的过程，并解释求解方法。
4. 附加题需展示学生的综合运用能力，解题思路要清晰，步骤要完整。
5. 作业需按时提交，迟到或未交作业者按相关规定处理。
四、作业评价1. 教师根据学生的作业完成情况，给出相应的评分。
2. 对于正确率较高的学生，给予表扬和鼓励。
3. 对于错误较多的学生，教师需指出错误原因，并要求其改正。
4. 教师会对学生的解题思路和步骤进行点评，帮助学生找到解题的捷径和方法。
5. 评价结果将作为学生平时成绩的一部分，纳入期末总评。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，并给出详细的批注和评分。
2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解和纠正。
3. 对于个别学生的问题，教师将通过课后辅导或单独沟通的方式，帮助学生解决问题。
4. 作业反馈将作为学生下一步学习的重要依据，帮助学生查漏补缺，提高学习效果。
5. 教师将鼓励学生积极交流和讨论，互相学习，共同进步。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 深化学生对二次函数图象及性质的理解，能够灵活运用二次函数知识解决实际问题。
鲁教版五四制初中九年级上册数学：二次函数的应用-第三课时_课件1
因此，抛物线顶点为B(1.57，3.72)
由此可知，如果不计其它因素，那么 水流的最大高度应达到约3.72m。
如图，某公司的大门呈抛物线型，
大门地面宽AB为4m，顶部C距地面
C
的高度为4.4m。
(1)试建立适当的直角坐标系，
求抛物线对应的解析式。
(2)一辆满载货物的汽车
欲通过大门，货物顶部
距地面2.65m，装货宽度
解析式还可以 设成什么形式？
Bx
设解析式为y ax(x 4)
解得 x 1.1
点C（2，4.4）的坐标代入
得 4.4 a 2 (2 4)
y 1.1x(x 4) 1.1x2 4.4x
如图，某公司的大门呈抛物线型，
大门地面宽AB为4m，顶部C距地面
M
的高度为4.4。
谢谢
(2)一辆满载货物的汽车欲通过
大门，货物顶部距地面2.65m，
装货宽度为2.4m，那么这辆汽车
能否顺利通过大门？
y 1.1x2 4.4
解：令y=2.65，得：
A
y C
N y=2.65
2.65
2.4
o
Bx
1.1x2 4.4 2.65
35
解得：x2=
22
X1≈1.26
X2≈-1.26
(1)如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少m，才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水 池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水 流的最大高度应达到多少m(精确0.1m)？
数学化
y
●B(1，2.25)
y x 1 2 2.25 ●A(0，1.25)
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数的应用(2)》参考教案
3.6 二次函数的应用(2)教材分析从题目来看，“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题．但是你知道吗?这正是我们研究的二次函数的范畴．因为二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值．而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题．因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践．即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释．在教学中，要对学生进行适时的引导，并采用小组讨论的方式掌握本节课的内容，从而发展学生的数学应用能力．教学目标(一)教学知识点1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．(二)能力训练要求经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．(三)情感与价值观要求1．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心．2．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重点1．探索销售中最大利润问题．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．教学方法在教师的引导下自主学习法．教具准备投影片三张第一张：(记作§3.6.2 A)第二张：(记作§3.6.2 B)第三张：(汜作§3.6.2 C)教学过程Ⅰ. 创设问题情境，引入新课[师]前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2.y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y ＝ax2+bx+c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢?看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢?我们本节课将研究有关问题．Ⅱ．讲授新课一、有关利润问题投影片：(§3.6.2A)服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.厂家批发单价是多少时,可以获利最多?设批发单价为x(0<x≤13)元，那么(1)销售量可以表示为；(2)销售额可以表示为；(3)所获利润可以表示为；(4)当批发单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．[师]从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题：有关利润问题．不过，这也为我们以后就业做了准备，今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题是二次函数中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．获利就是指利润，总利润应为每件T 恤衫的利润(批发价一成本)乘以T 恤衫的数量，设批发单价为x 元，则降低了(13-x)元，每降低0.1元，可多售出500件，降低了10(13-x)元，则可多售出5000(13-x)件，因此共售出5000+5000(13-x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x-10)[5000+5000(13-x)]．经过分析之后，大家就可回答以上问题了.[生](1)销售量可以表示为5000+5000(13-x)=70000-5000x ．(2)销售额可以表示为x(70000-5000x)=70000x-5000x 2．(3)所获利润可以表示为(70000x-5000x 2)-10(70000-5000x)＝-5000x 2+120000x-700000．(4)设总利润为y 元，则y ＝-5000x 2+120000x-700000=-5000(x-20000)122 .∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x ＝12元时，y 最大=20000元.即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20000元．例2 某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道例题.二、做一做还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2+100x+60000．我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确?你是怎么做的?与同伴进行交流．[生]因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．所以y＝-5x2+100x+60000＝-5(x2-20x+100-100)+60000＝-5(x-10)2+60500．当x=10时，y最大=60500．[师]回忆一下我们前面的猜测正确吗?[生]正确．三、议一议(投影片§3.6.2B)(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上?[生]图象如上图．(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．四、补充例题投影片：(§3.6.2C)已知——个矩形的周长是24 cm．(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式．(2)画出这个函数的图象．(3)当a长多少时，S最大?[师]分析：还是有关二次函数的最值问题，所以应先列出二次函数关系式．[生](1)S=a(12-a)＝a2+12a＝-(a2-12a+36-36)＝-(a-6)2+36．(2)图象如下：(3)当a＝6时，S最大=36．Ⅲ．课堂练习P100解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则y=(x-20)[400-20(x-30)]＝-20x2+1400x-20000＝-20(x-35)2+4500．所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．Ⅳ．课时小结本节课经历了探索一种商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值．学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．Ⅴ．课后作业习题3.13Ⅵ．活动与探究某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价)．(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少?解：(1)当40≤x≤50时，则降价(50-x)元，则可多售出3(50-x)，所以y＝90+3(50-x)=-3x+240．当50<x≤70时，则升高(x-50)元，则可少售3(x-50)元，所以y=90-3(x-50)＝-3x+240．因此，当40≤x≤70时，y=-3x+240．(2)当每箱售价为x元时，每箱利润为(x-40)元，平均每天的利润为W＝(240-3x)(x-40)＝-3x2+360x-9600．(3)W＝-3x2+360x-9600＝-3(x2-120x+3600-3600)-9600=-3(x-60)2+1200．所以此二次函数图象的顶点坐标为(60，1200)．当x＝40时，W=-3(40-60)2+1200＝0；当x＝70时，W=-3(70-60)2+1200=900．草图略．(4)要求最大利润，也就是求函数的最大值，只要知道顶点坐标即可．由(3)得，当x＝60时，W最大＝1200．即当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．板书设计3.6二次函数的应用(2)一、1．有关利润问题(投影片§3.6.2 A)2．做一做3．议一议(投影片§3.6.2 B)4．补充例题(投影片§3.6.2 C)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
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y
B
C
x
柱子OA所在的直线为y OA所在的直线为 解：以水面OC所的直线为 x 轴，柱子OA所在的直线为y轴，O为 以水面OC所的直线为 OC 原点建立直角坐标系，由题意知点A(o, 1.25)，顶点 ，顶点B(1, 2.25)， ， 原点建立直角坐标系，由题意知点 设抛物线的解析式为： 设抛物线的解析式为：
y
பைடு நூலகம்
P
2.65 2.4
o
解：令X=1.2，得： X=1.2，
= 2.816 Q 2.816 > 2.65
y = −1.1×1.2 + 4.4
2
y = −1.1x + 4.4
2
x=1.2
B
x
∴ 汽车能顺利通过大门
y
C
P
如图，某公司的大门呈抛物线型， 如图，某公司的大门呈抛物线型，大 门地面宽AB 4m,顶部 AB为 顶部C 门地面宽AB为4m,顶部C距地面的 高度为4.4 4.4。 高度为4.4。 (2)一辆满载货物的汽车欲通过 (2)一辆满载货物的汽车欲通过 大门，货物顶部距地面2.65m, 大门，货物顶部距地面2.65m, 装货宽度为2.4m, 2.4m,那么这辆汽车 装货宽度为2.4m,那么这辆汽车 A 能否顺利通过大门？ 能否顺利通过大门？
C 水 面 O x
回顾本节课的两个问题的解法， 回顾本节课的两个问题的解法，你能总结 出此类问题的一般解法吗？ 出此类问题的一般解法吗？
（1）建立适当的平面直角坐标系； ）建立适当的平面直角坐标系； （2）根据题意，确定相关点的坐标； ）根据题意，确定相关点的坐标； （3）利用待定系数法，求出函数解析式； ）利用待定系数法，求出函数解析式； （4）根据图象及性质解决实际问题。 ）根据图象及性质解决实际问题。
B
y
C
如图，某公司的大门呈抛物线型， 如图，某公司的大门呈抛物线型， 大门地面宽AB 4m,顶部 AB为 顶部C 大门地面宽AB为4m,顶部C距地面 的高度为4.4m 的高度为4.4m (1)试建立适当的直角坐标系 试建立适当的直角坐标系， (1)试建立适当的直角坐标系， 求抛物线对应的解析式 解：如图建立直角坐标系 A 由题意知， 由题意知，点B（2,0），点A(-2,0) ），点 （ ）， 顶点C（0,4.4） 顶点 （ ）
A
B
C 水 面 O x
所以，水池半径至少需要 米 所以，水池半径至少需要2.5米。
思考题： 思考题：
在上面的练习题中，若水池喷出抛物线形状不变， 在上面的练习题中，若水池喷出抛物线形状不变， 水池的半径为3.5米 要使水流不落到池外， 水池的半径为 米，要使水流不落到池外，此时水流 最大高度应达多少米？（精确到0.1 0.1米 最大高度应达多少米？（精确到0.1米）
B
x
设 析 为 = ax(x −4) 解 式 y
点C（2,4.4）的坐标代入得 （ ）
解析式还可以 设成什么形式？ 设成什么形式？
解得
4.4 =a⋅ 2×(2 − 4)
y = −1.1x(x − 4) 2 = −1.1x + 4.4x
x = −1.1
y
C 如图，某公司的大门呈抛物线型， 如图，某公司的大门呈抛物线型， M 大门地面宽AB 4m,顶部 AB为 顶部C 大门地面宽AB为4m,顶部C距地面 的高度为4.4 4.4。 的高度为4.4。 (2)一辆满载货物的汽车欲通过 (2)一辆满载货物的汽车欲通过 大门，货物顶部距地面2.65m, 大门，货物顶部距地面2.65m, 装货宽度为2.4m, 2.4m,那么这辆汽车 装货宽度为2.4m,那么这辆汽车 能否顺利通过大门？ 能否顺利通过大门？ A
C 如图，某公司的大门呈抛物线型， 如图，某公司的大门呈抛物线型，大 门地面宽AB 4m,顶部 AB为 顶部C 门地面宽AB为4m,顶部C距地面的 高度为4.4 4.4。 高度为4.4。 (2)一辆满载货物的汽车欲通过 (2)一辆满载货物的汽车欲通过 大门，货物顶部距地面2.65m, 大门，货物顶部距地面2.65m, 装货宽度为2.4m, 2.4m,那么这辆汽车 装货宽度为2.4m,那么这辆汽车 能否顺利通过大门？ 能否顺利通过大门？ A
点的坐标代入解析式得： 把A点的坐标代入解析式得：1.25 = a 点的坐标代入解析式得
解得： 解得：a = - 1 所以， 所以，y = - (x – 1) 2 + 2.25
y = a ( x −1) + 2.25
2
(0-1)
y
2
+ 2.25
令 y = 0, 则 - (x – 1) 2 + 2.25 = 0 解得： 解得：x = 2.5 舍去) 或 x = - 0.5 (舍去 舍去
鲁教版九年级数学(上 鲁教版九年级数学 上) 第二章 二次函数
课时3 二次函数的应用课时
根据图像性质解决实际问题
C 如图，某公司的大门呈抛物线型， 如图，某公司的大门呈抛物线型， 大门地面宽AB 4m,顶部 AB为 顶部C 大门地面宽AB为4m,顶部C距地面 的高度为4.4m 的高度为4.4m (1)试建立适当的直角坐标系 试建立适当的直角坐标系， (1)试建立适当的直角坐标系， 求抛物线对应的解析式 (2)一辆满载货物的汽车 (2)一辆满载货物的汽车 A 欲通过大门， 欲通过大门，货物顶部 距地面2.65m, 2.65m,装货宽度 距地面2.65m,装货宽度 2.4m,那么这辆汽车能否 为2.4m,那么这辆汽车能否 顺利通过大门？ 顺利通过大门？
o
B
x
设 析 为 = a x + 4.4 解 式 y
2
解析式还可以 设成什么形式？ 设成什么形式？
点B（2,0）的坐标代入得 （ ） 2
0 =a×2 + 4.4
解得
∴y = −1.1x + 4.4
2
x = −1.1
y
C
如图，某公司的大门呈抛物线型， 如图，某公司的大门呈抛物线型， 大门地面宽AB 4m,顶部 AB为 顶部C 大门地面宽AB为4m,顶部C距地面 的高度为4.4m 的高度为4.4m (1)试建立适当的直角坐标系 试建立适当的直角坐标系， (1)试建立适当的直角坐标系， 求抛物线对应的解析式 解：如图建立直角坐标系 A 由题意知， 由题意知，点B（4,0），点A(0,0) ），点 （ ）， 顶点C（2,4.4） 顶点 （ ）
2.65 2.4
y = −1.1x + 4.4x
2
x=3.2 x=3.2 B
x
如图所示，公园要建造圆形喷水池， 如图所示，公园要建造圆形喷水池， 在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA OA， 恰在水面中心， 一个柱子OA，O恰在水面中心， OA＝1.25米 由柱子顶端A OA＝1.25米，由柱子顶端A处的 喷头向外喷水， 喷头向外喷水，水流在各个方向沿 形状相同的抛物线落下， 形状相同的抛物线落下， 为使水流形状较为美观， 为使水流形状较为美观， 要求设计成水流在离OA 要求设计成水流在离OA A 距离为1 距离为1米处达到距水面 最大高度为2.25 2.25米 最大高度为2.25米, 如果 不计其他因素, 不计其他因素, 那么水池 O 的半径至少要多少米， 的半径至少要多少米， 才能使喷出的水流不致 水 面 落到池外？ 落到池外？
解：依题意，A(0，1.25), C(3.5, 0) 依题意， ， 设 y = - (x - h) 2 + k，则有 ， - (0 - h) + k = 1.25 - (3.5 - h)2 + K = 0
11 解得 h = — ，k ≈ 3.7. 7 A
2
y
B
所以，此时水流最大高度应达 米 所以，此时水流最大高度应达3.7米.
N y=2.65
2.65 2.4
解：令y=2.65，得： y=2.65，
−1.1x + 4.4 = 2.65
2
y = −1.1x +4.4
2
o
B
x
35 解得： 解得：x 22 X1≈1.26 X2≈-1.26
2=
所以： 所以：MN≈2×1.26 =2.52 ∵2.4＜2.52 ＜ ∴汽车能顺利通过大门