2019届长春高三三模理科数学
2019年长春三模(理数)
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，13 题对一个给 3 分，共 20 分）
13. 2, 24 25
3
14.
2
15.①②④
5n2 3n
16.
4
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1页（共 7页）
三、解答题
17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.
正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述：
① 四个侧面都是直角三角形； ② 最长的侧棱长为 2 6 ；
③ 四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④ 外接球的表面积为 24 .
其中正确的描述为______________.
16.
已知数列{an} 中，a1
2 ，an1
n
nan 1 2an
（
n
N*
），则
11. 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识. 【试题解析】C 做 O 点关于准线的对称点 M，则所求距离和的最小值为|AM|.故选 C.
12. 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识.
【试题解析】C 先确定 x1 1 x2 ，借助条件等式，用 x2 表示 x1 ， x1 1 2 ln x2 ， 得到关于 x2 的函数关系式 x1 x2 1 2 ln x2 x2 ，通过构造函数并求导确定该函数的单
【试题解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得： 4 2 6 ，所以 sin C 1 ， C ，
2 2 sinC
2
3
所以 BC 62 (4 2)2 2 ，所以 S 1 2 4 2 4 2 . （6 分） 2
（Ⅱ）设 DC x ，则 BD 2x ，则 AD 2x ，
所以 (2x)2 (2x)2 62 (2x)2 x2 (4 2)2
2019届吉林省长春市吉大附中实验学校高三第三次模拟考试数学(理)试题
2019届吉林省长春市吉大附中实验学校高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题1.若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．122.已知集合(){}|ln 320A x x =-<，{}2|20B x xx =-≤，则（ ）A ．AB =B ．A B ⊆C ．A B ⊇D ．AB =∅3.已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．34.若双曲线222:14x y C m-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．19D ．2195.如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤6.已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．117.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．3 D ．238.下列不等式正确的是（ ）A ．3sin130sin 40log 4>>B ．tan 226ln 0.4tan 48<<C ．()cos 20sin 65lg11-<<D ．5tan 410sin 80log 2>>9.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．810.已知函数()23sin 22cos 1f x x x -+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 11.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种12.设1F，2F分别是椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于A，B两点，且120AF AF⋅=，222AF F B=，则椭圆E的离心率为（）A．23B．34C．5D．7二、填空题13.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N,若()(2)P c P cξξ>=<+，则c的值是______．14.已知函数()2e(e)lnexf x f x'=-，则函数()f x的极大值为___________．15.已知函数229,1,()4,1,x ax xf xx a xx⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x的最小值为(1)f，则实数a的取值范围是_________16.在数列{}n a中，已知*111,2()nn na a a n N+=⋅=∈，则数列{}na的的前21n项和为21nS+=__________.三、解答题17.如图，在ABC∆中，点D在BC上，4CADπ∠=，72AC=，2cos10ADB∠=-.（1）求sin C的值；（2）若5BD=，求AB的长.18.近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由； （2）根据统计数据建立一个22⨯列联表；（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20()P K k ≥0.10 0.05 0.010 0.0050k2.7063.841 6.635 7.87919.如图，90,1,BCD BC CD AB ∠===⊥平面,60,,BCD ADB E F ∠=分别是,AC AD 上的动点，且AE AFAC AD=.（1）若平面BEF 与平面BCD 的交线为l ，求证：//EF l ；（2）当平面BEF ⊥平面ACD 时，求平面BEF 与BCD 平面所成的二面角的余弦值.20.在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上且2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H点，OH =C. （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且满足2OA OB BA OB +=-，求ABO ∆的面积.21.设∈R a ，函数21()e (1)-=--x f x x a x .（1）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值； （2）设函数1()()(1e)-=+--xg x f x a x ，当()g x 有两个极值点1212,()x x x x <时，总有211()()x g x f x λ≤'，求实数λ的值.22.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,1P-，直线l 的参数方程为cos (1sin =⎧⎨=-+⎩x t t y t αα为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos28sin +=ρρθθ． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,,A B M 是线段AB 的中点，当409PM =时，求sin α的值． 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()22,=+--∈∈R R f x x a x x a . （1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()1f x ≥-在∈R x 上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.【解析】()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++在复平面内所对应的点在虚轴上，2a 10∴-=，即1a 2=． 故选D ． 【答案】D2.【解析】因为(){}|ln 320A x x =-<，所以3|12A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 因为{}2|20B x x x =-≤ 所以{}|02B x x =≤≤ 所以A B ⊆，A B A =故选：B 【答案】B3.【解析】由题意得，()22,5b a x x -=+-，()2//b a a -，()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A ． 【答案】A4.【解析】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为故可得(224m +=，解得216m=，不妨取4m =；又焦点()F ，其中一条渐近线为2y x =-，由点到直线的距离公式即可求的4d ==.故选：B ． 【答案】B5.【解析】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【答案】C6.【解析】由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，画出可行域ABC 如图3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距，∴z 最小的时候为过C 点的时候，解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -， 此时()33215z x y =+=⨯-+=- 故选A 项【答案】A7.【解析】设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a ，则312,,222AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅ 222312()()()3222312()()a a a a +-==⨯⋅，故C 为正确答案． 【答案】C8.【解析】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>，可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log 5log 22=>>>=>， 所以5tan 410sin 80log 2>>． 故选D ． 【答案】D9.【解析】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【答案】A10.【解析】函数2()22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象； 再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C ． 【答案】C11.【解析】六项不同的任务分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果任务A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好D 、F ，再在D 、F 之间的3个空位中插入B 、C ，此时共有排列方法：222312A A =；如果任务A 排在第二位时，E 排在第三位，则B ，C 可能分别在A 、E 的两侧，排列方法有122322=12C A A ，可能都在A 、E 的右侧，排列方法有2222=4A A ；如果任务A 排在第三位时，E 排在第四位，则B ，C 分别在A 、E 的两侧11222222=16C C A A ； 所以不同的执行方案共有121241644+++=种． 【答案】B12.【解析】222AF F B =设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a aAF AF ∴==在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项. 【答案】C13.【解析】因为()(2)P c P c ξξ>=<+，所以222c c ++=， 所以c =1. 故答案为1 【答案】114.【解析】()()2e e 1e ''=-f f x x ，故()()2e e 1e e e'='-f f 解得()1e e '=f ，()2ln e =-x f x x ，()21e=-'f x x 令()0f x '=，解得2e =x函数在()0,2e 单调递增，在()2e,+∞单调递减， 故()f x 的极大值为()2e 2ln 2e 22ln 2=-=f 故答案为：2ln 2. 【答案】2ln 215.【解析】当1x >，()44f x x a a x=++≥+，当且仅当2x =时，等号成立.当1x ≤时，()229f x x ax =-+为二次函数，要想在1x =处取最小，则对称轴要满足1x a =≥并且()14+f a ≤，即1294a a -+≤+，解得2a ≥. 【答案】2a ≥16.【解析】由*111,2()n n n a a a n N +==∈，得112(2)n n n a a n --=，∴112(2)n n a n a +-=， 则数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．∴1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，21321242()()n n n S a a a a a a -∴=++⋯++++⋯+212(1222)(222)n n -=+++⋯++++⋯+21123(1222)332312nn n --=+++⋯+==--．∴221221323223n n n n n n S S a +++=+=-+=-．故答案为：223n +-． 【答案】223n +-17.【解析】（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠==. 因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-，所以sin sin sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ⎛⎫=∠-=∠⋅-∠⋅⎪⎝⎭45==.（2）在ACD∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠，得74sin sin AC C AD ADC ⨯⋅===∠，在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅∠(225253710⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭，所以AB =.【答案】（1）45；（2）AB =. 18.【解析】（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系. （2）22⨯列联表如下：（3）由（2）中数据可得：2120(42302028) 4.672 3.84162585070k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.【答案】（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系19.【解析】（1）由AE AFAC AD=，//EF CD ∴ 又EF ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以//EF 平面BCD . 又EF ⊂平面BEF ，且平面BCD 平面BEF l =，故//EF l .（2）因为AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，又DC BC ⊥，所以DC ⊥平面ABC ， 所以DC BE ⊥，又//EF CD ，所以BE EF ⊥.若平面BEF ⊥平面ACD ，则BE ⊥平面ACD ，所以BE AC ⊥，由1BC CD ==且90BCD BD ∠=⇒=又60ADB ∠=，所以AB6=.以点B 为坐标原点，BD ，BA 所在的直线分别为,y z 轴，以过点B 且垂直于BD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，则6)A ，22(0,0,0),(B C ，设(,,)E a a b 则22(,,),(,,6),(,,6)BE a a b AC AE a a b ==-= 由0//BE AC AC AE ⎧⋅=⎨⎩，可得226022266a a b b +=⎪⎨-⎪=⎪-⎩，3276a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即32326()77E ，所以可得626(0,,)77F ，所以32326626(,,),(0,77777BE BF ==， 设平面BEF 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m BE m BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，323260776260x y y z ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，330230x z z +=∴+=⎪⎩，取23z =1,1x y =-=- 所以(1,1,3)m =--易知平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， 设平面BEF 与平面BCD 所成的二面角为θ，则cos (1)m n m nθ===-结合图形可知平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的余弦值为7. 【答案】（1）见解析；（2）720.【解析】（1）设2(,0)F c ，由题意可得222221,Mx y b y a b a+==±. 因为OH是12F F M ∆的中位线，且OH =所以2||MF =2b a =因为2222c e a b c a ===+ 进而得221,2b a ==，所以椭圆方程为2212x y +=（2）由已知得22OA OB OA OB +=-两边平方 整理可得0OA OB ⋅=.当直线l 斜率为0时，显然不成立. 直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为11221.(,).(,)x my A x y B x y =-，联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(2)210m y my +--=， 所以12122221,22m y y y y m m -+==++， 由0OA OB ⋅=得12120x x y y += 将11221,1=-=-x my x my 代入整理得1212(1)(1)0my my y y --+=，展开得2121212()10m y y m y y y y -+++=，整理得2m =±，所以11212ABO S OF y y ∆=-=即为所求. 【答案】（1）2212x y +=；（2. 21.【解析】（1）当1a =时，211(2)e ()e ----'=x x x x f x . 令21()2e -=--x h x x x ，则1()22e-=-'-x h x x ，显然()h x '在上3(,2)4单调递减，又因为31()042=-'<h ，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<，所以()h x 在3(,2)4上单调递减. 由于(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >；当(1,2)x ∈时，()0h x <. 当x 变化时，()()f x f x '、的变化情况如下表：所以()f x 在(,2)4上的极大值是(1)1f =，无极小值. （2）由于21()()e-=-xg x x a ，则21()(2)e -'=-++x g x x x a .由题意，方程220x x a -++=有两个不等实根12,x x ，则440a ∆=+>，解得1a >-，且2112221220202x x a x x a x x ⎧-++=⎪-++=⎨⎪+=⎩，又12x x <，所以11<x .由211()()x g x f x λ≤'，21()(2)e -=--'xf x x x a ，可得1111222111()e [(2)e ]---≤--x x x x a x x a λ又221112,2x x a x x =-=-.将其代入上式得：1111221111112(2)e[(2)e (2)]---≤-+-x x x x x x x x λ.整理得11111[2e(e 1)]0---+≤x x x λ，即111111[2e (e 1)]0,(,1)---+≤∀∈-∞x x x x λ当10x =时，不等式11111[2e (e 1)]0---+≤x xx λ恒成立，即R λ∈.当1(0,1)x ∈时，11112e(e1)0---+≤x x λ恒成立，即11112e e 1--≥+x xλ，令11112e ()e 1--=+x x k x ，易证()k x 是R 上的减函数.因此，当(0,1)x ∈时，2e ()(0)e 1<=+k x k ，故2ee 1≥+λ. 当1(,0)x -∞∈时，11112e(e1)0---+≥x x λ恒成立，即11112e e 1--≤+x xλ， 因此，当(,0)x ∈-∞时，2e ()(0)e 1>=+k x k 所以2ee 1≤+λ. 综上所述，2ee 1=+λ. 【答案】（1）极大值是(1)1f =，无极小值；（2）2ee 1=+λ 22.【解析】（1）在ρ+ρcos2θ＝8sin θ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos 2θ﹣sin 2θ）＝8ρsin θ，∴x 2+y 2+x 2﹣y 2＝8y ，即x 2＝4y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为：x 2＝4y ．（2）联立直线l 的参数方程与x 2＝4y 得：（cos α）2t 2﹣4（sin α）t +4＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 由△＝16sin 2α﹣16cos 2α＞0，得sin α， t 1+t 2＝24sin cos aa，由|PM |＝1222sin 402cos 9t t a a +==， 所以20sin 2α+9sin α﹣20＝0，解得sin α＝45或sin α＝﹣54（舍去）， 所以sin α＝45． 【答案】（1）24x y =；（2）45. 23.【解析】（1）1a =-时，()0f x >可得212x x ->-，即()()22212x x ->-，化简得：()()3310x x -+>，所以不等式()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞.（2）①当4a <-时，()2,232,2,22,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<⎪⎪=--+≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩由函数单调性可得()min 2122a af x f ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得；64a -≤<-②当4a =-时，()()min 2,01f x x f x =-=≥-，所以4a =-符合题意；③当4a >-时，()2,232,2,22,2a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩由函数单调性可得，()min 2122a a f x f ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，解得42a -<≤-综上，实数a 的取值范围为[]6,2-- 【答案】（1）()(),11,-∞-+∞；（2）[]6,2--。
2019届吉林省长春市吉大附中实验学校高三第三次模拟考试数学(理)试题(含全解析)
2
2
2
31
2 ( a) ( a)
2
2
3
，故 C为正确答案．
3
【考点】异面直线所成的角．
8．下列不等式正确的是（
）
A． sin130 o sin 40o log 3 4
B． tan 226o ln 0.4 tan 48o
C． cos 20o sin 65o lg11
D． tan 410o sin 80o log 5 2
x2
A． -5
B． 2
C． 7
D． 11
答案： A
根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值
.
解：
由约束条件
x y30 x 2 y 0 ，画出可行域 V ABC 如图
x2
z 3x y 变为 y 3x z 为斜率为 -3 的一簇平行线， z 为在 y 轴的截距，
z 最小的时候为过 C 点的时候，
出 a, c 关系，得到离心率 . 属于中档题 .
二、填空题 13 ．设随机变量
服从正态分布 N (2,9) , 若 P(
c) P(
c 2) ，则 c 的值是
______ ．
答案： 1
c
由题得
c
2
2 ，解不等式得解 .
2
解：
因为 P ( c) P ( c 2) ，
cc2
所以
2，
2
所以 c=1.
故答案为 1
可排除 A、B、 C选项，
又由 tan 410o tan 50o 1 sin80 o 1 log 5 5 log 5 2， 2
所以 tan 410o sin 80o log 5 2 ．
最新2019长春高三三模数学理科
长春市普通高中2019届高三质量监测（三）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin 210︒= A. 12-B. 3-C. 12D. 32.已知集合{1,0,1,2},{|(1)(2)0}A B x x x =-=+-<，则A B =A. {1,0,1,2}-B. {1,0,1}-C. {0,1,2}D. {0,1} 3. 若复数1a ii++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.执行如图所示的程序框图，如果输入=4N ，则输出p 为A. 6B. 24C. 120D. 7205. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，42a =，则6S = A. 0 B. 10 C. 15 D. 306. 已知1e 、2e 是两个单位向量，且夹角为3π，则1212(2)(2)-⋅-+=e e e e A. 32-B. 36- C. 12D. 337. 若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不是一等品的条件下，另 1 件是一等品的概率为 A.37 B. 45 C. 67D. 1213 8. 已知,m n 为两条不重合直线，α,β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α//β的是A. //,,m n m n αβ⊂⊂B. //,,m n m n αβ⊥⊥C. ,//,//m n m n αβ⊥D. ,,m n m n αβ⊥⊥⊥9．“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量. 2007 年至 2018 年，某企业连续 12 年累计研发投入达 4100 亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比. 这 12 年间的研发投入（单位：十亿元）用下图中的条形图表示，研发投入占营收比用下图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论错误．．的是 A . 2012-2013 年研发投入占营收比增量相比 2017-2018 年增量大 B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加 C. 2015-2016 年研发投入增值最大D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加10. 函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致是11. 已知O 为坐标原点，抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为 6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则||||OP AP +的最小值为A. 4B. 43C. 46D. 6312. 已知函数1ln ,1()11,122x x f x x x +⎧⎪=⎨+<⎪⎩≥，若12x x ≠，且12()()2f x f x +=，则12x x +的取值范围是A. [32ln 3,)-+∞B. [1,)e -+∞C. [32ln 2,)-+∞D. [2,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则ω=_____________，若2()210f α=，则sin 2α=____________. 14. 已知矩形ABCD ，12AB =，5BC =，以,A B 为焦点，且过,C D 两点的双曲线的离心率为 .15. 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵. 斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑. 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若 称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述： ① 四个侧面都是直角三角形； ② 最长的侧棱长为26；③ 四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④ 外接球的表面积为24π.其中正确的描述为 .16.已知数列{}n a 中，12a =，1(N )12n n n na a n n a *+=∈++，则11nk ka ==∑ . 三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，6AB =，42AC =. （1）若22sin 3B =，求ABC ∆的面积； （2）若点D 在BC 边上且2,BD DC AD BD ==，求BC 的长.18. (本小题满分12分)某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人 200 人，第二车间有工400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min ）分别进行统计，得到下列统计图表（按照 [55,65)，[65,75) ，[75,85)，[85,95]进行分组）.（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min 的人数；（Ⅱ）分别估计两个车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在的区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间样本中生产时间小于 75min 的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间小于 65min 的工人人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分12分)如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥, 1AD AB BC ===,2CD =， E 为CD 中点, AE 与BD 交于点O ，将ADE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）. (1)证明: 平面POB ⊥平面ABCE ； (2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值.20. (本小题满分12分)如图所示，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为22，1B 、2B 是椭圆C 的短轴端点，且1B 到焦点的距离为32，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与1B 、2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形21MB NB 面积的最大值. 21. (本小题满分12分) 已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2x =是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点1122(,()),(,())P x f x Q x f x12(6)x x <<处的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为1b 、2b ，求12b b -的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒且经过点(2,1)A . 以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2:l cos 3ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C . （1）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求||||AP AQ ⋅的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-+-. (1)求不等式()4f x ≤的解集；(2) 设函数()f x 的最小值为m ，当,,a b c R +∈，且a b c m ++=时，.长春市2019年高三质量监测（三） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 【命题意图】本题考查诱导公式.【试题解析】A 1sin 2102︒=-.故选A. 2. D 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D {|12},{0,1}B x x A B =-<<=.故选D.3. A 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】A 1(1),02a a iz a ++-==.故选A.4. B 【命题意图】本题考查程序框图.【试题解析】B 可知. 故选B.5.C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 161,5,15d a S =-==.故选C.6. A 【命题意图】本题主要考查平面向量. 【试题解析】A 可知. 故选A.7. D 【命题意图】本题考查条件概率的相关知识.【试题解析】D 可知. 故选D.8. B 【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系.【试题解析】B 可知. 故选B 9. D 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】D 可知ABC 正确.故选D.10. B 【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识.【试题解析】B 确定函数为偶函数，代入特殊值，可排除A ，C ，当,()x f x →+∞→-∞.故选B.11. C 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识.【试题解析】C 做O 点关于准线的对称点M ，则所求距离和的最小值为|AM|.故选C. 12. C 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识.【试题解析】C 先确定121x x <<，借助条件等式，用2x 表示1x ，1212ln x x =-，得到关于2x 的函数关系式122212ln x x x x +=-+，通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13. 242,25-【试题解析】由周期公式2=T ππω=得=2ω，由()210f α=得sin()4πα+=所以1sin cos 5αα+=，平方得11+2sin cos 25αα=∴24sin 225α=-14. 32【试题解析】在焦点ABC ∆中，12,5,13AB BC AC ===∴离心率2||1232||||1352c AB e a AC BC ====--15. ①②④ 【试题解析】如图长宽高分别为4,2,2，易得①②④正确.16. 2534n n-【试题解析】由112n n n na a n a +=++得112n n n a n a na +++=（），即112(1)n n n n a a n a na ++++=，两边同时除以1(1)n n n n a a ++得1211(1)(1)n n n n na n a ++=++ 由累加法得154=2nn na n-∴154=2nn a -为等差数列所以2111(154)53224nk kn n n n a =+--=⋅=∑三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】解：426sinC223=，所以sin 1C =，2C π∠=， 所以226(42)2BC =-=，所以1242422S =⨯⨯=（6分）（Ⅱ）设DC x =，则2BD x =，则2AD x =，所以222222(2)(2)6(2)(42)22222x x x x x x x x +-+-=-⋅⋅⋅⋅ 解得：523x =所以352BC DC ==（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得，第一车间样本工人20人，其中在75min 内（不含75min ） 生产完成一件产品的有6人，第二车间样本工人40人，其中在75min 内（不含75min ） 生产完成一件产品的有40(0.0250.05)1030⨯+⨯=人，故第一车间工人中有60人， 第二车间工人中有300名工人中在75min 内生产完成一件产品；（4分）（II ）第一车间样本平均时间为60270480109047820x ⨯+⨯+⨯+⨯==甲（min ）， 第二车间样本平均时间为 600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=乙（min ），∵x x >甲乙，∴乙车间工人生产效率更高；（8分）（III ）由题意得，第一车间样本生产时间小于75min 的工人有6人，从中抽取3人， 其中生产时间小于65min 的有2人，随机变量X 服从超几何分布， X 可取值为0，1，2，03243641(0)205C C P X C ====，122436123(1)205C C P X C ====，21243641(2)205C C P X C ====X 的分布列为：X 012P1535 15数学期望()0121555E X =⨯+⨯+⨯=. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）证明：在PAE △中，OP AE ⊥，在BAE △中，OB AE ⊥， AE POB ∴⊥平面，AE ABCE ⊂平面， 所以平面POB ⊥平面ABCE ；（4分） （Ⅱ）在平面POB 内作PQ OB Q ⊥=，PQ ABCE ∴⊥平面. ∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又OP OB =，OP OB ∴⊥，O 、Q 两点重合， 即OP ABCE ⊥平面，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为P ，1(,0,0)2E ，C ， ∴1(,0,2PE =，1(2EC =， 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设x = 则1y =-，1z =，∴1(3,1,1)n =-， 由题意得平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =， 设二面角A-P-EC 为α，1212|||cos |||||1n n n n α⋅===⋅即二面角A-P-EC 为α的余弦值为（12分） 20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）22e =，a ∴=，又a =222a b c =+， 218a ∴=，29b =，因此椭圆C 的方程为221189x y +=. （4分）（Ⅱ）法一：设000(,)(0)M x y x ≠，11(,)N x y ，11MB NB ⊥，22MB NB ⊥，∴直线1NB ：0033x y x y +=-+……①直线2NB ：0033xy x y -=--……②由①，②解得：20109y x x -=，又22001189x y +=，012x x ∴=-， 四边形21MB NB 的面积1212013||(||||)3||2S B B x x x =+=⨯，20018x <≤，∴当2018x =时，S . （12分）法二：设直线1MB ：3(0)y kx k =-≠，则直线1NB ：13y x k=--……① Q POECBA直线1MB 与椭圆C ：221189x y +=的交点M 的坐标为2221263(,)2121k k k k -++，则直线2MB 的斜率为222263312112221MB k k k k k k --+==-+，∴直线2NB ：23y kx =+……②由①，②解得N 点的横坐标为2621N kx k =-+，四边形21MB NB 的面积12222112||6||54||54||(||||)3()122121212||||M N k k k S B B x x k k k k k =+=⨯+==++++，当且仅当||2k =S取得最大值2. （12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）2222()a ax f x x x x -'=-+=，①当0a ≤时，()0f x '<在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时， 2(0,)x a ∈时()0f x '<，2[,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在2(0,)x a ∈上单调递减，在2[,)x a∈+∞单调递增； （4分）（Ⅱ）∵2x =是()f x 的极值点， ∴由（1）可知22a=， ∴1a = 设在()11,()P x f x 处的切线方程为112111221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-，在()22,()Q x f x 处的切线方程为222222221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+,∴121112x x +=∵211112x x =-,且1206x x <<<，∴11111162x x <-<，∴111143x <<，∴1(3,4)x ∈令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+-.【解法一】∵211112x x =-，∴1212121111121111=4()ln ln =4()ln ln()22b b x x x x x x x --+---+-设1()82ln ln()2g x x x x =--+-，11(,)43x ∈∴2222111681(41)()801222x x x g x x x x x x x -+-'=--==<--- ∴()g x 在区间11(,)43上单调递减，∴2()(ln 2,0)3g x ∈-即12b b -的取值范围是2(ln 2,0)3-. （12分）【解法二】∵12122x x x =-， ∴11212121118=4()ln ln =2ln(1)2x b b x x x x x --+--+-令8()ln(1)22xg x x =+--，其中(3,4)x ∈∴2222281816(4)()02(2)(2)x x x g x x x x x x x -+-'=-+==>---∴函数()g x 在区间(3,4)上单调递增， ∴2()(ln 2,0)3g x ∈- ∴12b b -的取值范围是2(ln 2,0)3-. （12分）【解法三】∵()12122x x x x ⋅=+，()1212211111212112122122222124()44ln ln ln =ln ln 1x x x x x x x x x b b x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭-=-+-=+=+=+⋅++设()21()ln 1x g x x x -=++，则()222141()(1)(1)x g x x x x x --'=+=++ ∵1121=1(,1)22x x x -∈，∴()0g x '>，∴函数()g x 在区间1(,1)2上单调递增， ∴2()(ln 2,0)3g x ∈-，∴12b b -的取值范围是2(ln 2,0)3-. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设()()11,,,N M ρθρθ,()10,0ρρ>>1112ρρθθ=⎧⎨=⎩,即312cos ρθ=，即4cos ρθ=，所以()22400x x y x -+=≠. （5分） （Ⅱ）将1l 的参数方程代入C 的直角坐标方程中，221(2)4(2)(1)0222t +-+++= 即230t t +-=,12,t t 为方程的两个根，所以123t t =-，所以1233AP AQ t t ⋅==-=. （10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】解：（1）①当12x <时，21()324,32f x x x =-+≤∴-≤< ②当112x ≤<时，1()4,12f x x x =≤∴≤< ③当1x ≥时，()324,f x x =-≤∴12x ≤≤综上：()4f x ≤的解集为2{|2}3x x -≤≤. （5分） （II ）法一：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2f x ∴=即12m =. 又,,,a b c R +∈且1a b c ++=，则2221a b c ++=， 设x =，y =，z =， 222x y xy +≥，2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++，同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++，2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=，2222()22221212xy z x y z xyyz zx a bc ∴++=+++++≤+++++， x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时，取得最大值（10分） 法二：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min1(),2f x ∴=即12m =，∴,,,a b cR +∈且12a b c ++=，444212121333()2222a a a =++++++≤++= 当且仅当16a b c ===时，取得最大值（10分）法三：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2f x ∴=即12m = 12a b c ∴++=，(21)(21)(21)4a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知2222222)(111)111)++⋅++≥+≤ 当且仅当212121a b c +=+=+，即16a b c ===时 全等三角形提高练习1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。
2019年东北三省四市高三模拟考试即长春三模(理数,全word)
A. { y | 0 y 1}
B. { y | 0 y 1} C.{ y | 0 y 3} D. { y | 0 y 3}
3 2i
2. 若
z
15
A.
i
22
3.直线 l ： x
1 i ，则 z
15
B.
i
22
my 2 与圆 M ： x2
1
C.
D.
i
22
0相切，则 m 的值为
g (x) A cos x 的图像只需将 f ( x) 的图像
A. 向左平移
6
B.向右平移
3
2
C.向左平移
3
2
D.向右平移
3
9.给出下列说法：
①命题“若
，则
sin 6
1 ”的否命题是假命题； 2
②命题 p： x0 R ,使 sin x0 1，则 p ： x R,sin x 1 ；
③“
”是“函数 y sin(2 x ) 为偶函数”的充要条件；
4 4 3 ，则球 O 的
体积等于
42
A.
3
82
B.
3
16 2
C.
3
32 2
D.
3
12.现有 4 名教师参加说题比赛，共有 4 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出
一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这
4 位选中的情况有
A.288 种
B.144 种
C.72 种
D.36 种
数学试题卷（文科） 第 3 页（共 4 页）
2019 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试
2019 年长春市高中毕业班第三次调研测试
数 学 (理科 )
2019届 吉林省普通高中 高三第三次联合模拟数学(理)试题(解析版)
2019届吉林省普通高中高三第三次联合模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 2．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B【解析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 【答案】C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证. 【详解】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ） A ．256 B ．-256 C ．32 D ．-32【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.6．函数4ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性排除B ，C ；根据函数零点选A. 【详解】因为函数4ln x y x =为奇函数，排除B ，C ；又函数4ln x y x=的零点为1-和1，故选:A. 【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B【解析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 8．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则2A =，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B【解析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题10．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D【解析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭U D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a =，故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.二、填空题13．在区间[6,2]-内任意取一个数0x ，则0x 恰好为非负数的概率是________. 【答案】14【解析】先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“0x 恰好为非负数”的概率. 【详解】当0x 是非负数时，[]00,2x ∈，区间长度是202-=， 又因为[]6,2-对应的区间长度是()268--=， 所以“0x 恰好为非负数”的概率是2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.14．已知实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数21z x y =+-的最小值为__________． 【答案】-4【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，，，对应的平面区域如图阴影所示；由z ＝x +2y ﹣1，得y 12=-x 122z++， 平移直线y 12=-x 122z ++，由图象可知当直线y 12=-x 122z ++经过点A 时，直线y 12=-x 122z ++的纵截距最小，此时z 最小．由430y xx y =⎧⎨--=⎩，得A （﹣1，﹣1），此时z 的最小值为z ＝﹣1﹣2﹣1＝﹣4， 故答案为﹣4．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种. 【答案】156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数. 【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有11226542180C C C C =种，刘老师和王老师分配到一个班，共有11243224C C A =种，所以18024156-=种. 故答案为：156. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.16．在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______． 【答案】2015π 【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==，所以13OG MO ==，123CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()22233h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，22223h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33h =，253R =，得153R =.所以342015==327O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22sin ()3cos 0B C A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若,4B a π==，求边长c .【答案】（1）3π； （2【解析】（1）把B C A π+=-代入已知条件，得到关于cos A 的方程，得到cos A 的值，从而得到A 的值.（2）由（1）中得到的A 的值和已知条件，求出sin C ，再根据正弦定理求出边长c . 【详解】（1）因为A B C π++=，()22sin3cos 0B C A +-=，所以22sin 3cos 0A A -=，()221cos 3cos 0A A --=， 所以22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=. 因为()cos 1,1A ∈-，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1222=+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c aC A=，=，解得c =.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，1CC =1AC =（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30°，试确定点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,,444P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）先通过线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P MN C --的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出P 的坐标从而位置可确定. 【详解】（1）证明：因为2AC =，12CC =，16AC =，所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥. 由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C . 以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1(01)AP t AC t =<<u u u r u u u u r，(,,)P x y z ，(,,AP x y z =-u u u r，1(1AC =-u u u u r ，代入上式得x t =-，y =，)z t =-，所以()P t --.设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =r，MN =u u u u r，()MP t =-u u u r，由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v，得11110)0tx t z =-+-=⎪⎩.令1z t =，得,0,)n t =r.因为二面角P MN C --的平面角的大小为30︒，所以||||m n m n ⋅=u r ru r r=，解得3t 4=. 所以点P 为线段1AC 上靠近1C点的四等分点，且坐标为3,44P ⎛- ⎝⎭.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.19．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*()n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516； （2）见解析.【解析】（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝4时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】（1）对一个坑而言，要补播种的概率330133111222P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有3个坑要补播种的概率为312nnC ⎛⎫ ⎪⎝⎭.欲使312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1331133111221122n n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当6n =时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，4.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X 的数学期望1422EX =⨯=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．20．已知△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为(,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC ,BC ,AB 上的切点分别为P ,Q ,R ,|CP |=2,动点C 的轨迹为曲线G . （1）求曲线G 的方程;（2）设直线l 与曲线G 交于M ,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【答案】（1）22142x y +=()0y ≠.（2）四边形OMDN 的面积是定值,.【解析】（1）根据三角形内切圆的性质证得4CA CB AB +=>，由此判断出C 点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G 的方程.（2）将直线l 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形OMDN 的面积，两种情况下四边形OMDN，由此证得四边形OMDN 的面积为定值. 【详解】（1）因为圆E 为△ABC 的内切圆,所以|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|PA |+|QB |=2|CP |+|AR |+|BR |=2|CP |+|AB |=4>|AB |所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆（点C 不在x 轴上）, 所以c =a =2,b =所以曲线G 的方程为22142x y +=()0y ≠,（2）因为OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，故四边形OMDN 为平行四边形. 当直线l 的斜率不存在时，则四边形OMDN 为为菱形， 故直线MN 的方程为x =﹣1或x =1, 此时可求得四边形OMDN. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =kx +m ,代入到22142x y +=,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣4=0,∴x 1+x 22412km k -=+,x 1x 2222412m k-=+,△=8(4k 2+2﹣m 2)>0, ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m 2212m k =+,|MN|212k=+点O 到直线MN 的距离d =由OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,得x D 2412kmk -=+,y D2212m k =+， ∵点D 在曲线C 上,所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+2k 2=2m 2,由题意四边形OMDN为平行四边形, ∴OMDN的面积为S==,由1+2k2=2m2得S=故四边形OMDN的面积是定值,.【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln()(0)x af x e x a a-=-+>.（1）证明：函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点x，判断出()f x的单调性，从而()minf x可确定，利用()min1f x=以及1lny xx=-的单调性，可确定出,x a之间的关系，从而a的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x e x a a-=-+>，∴1()x af x ex a-'=-+.∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减，∴函数()f x'在(0,)+∞上单调递增.又1(0)aaaa ef ea ae--'=-=，令()(0)ag a a e a=->，()10ag a e'=-<，则()g a在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g<=-，故(0)0f'<.令1m a=+，则1()(1)021f m f a ea''=+=->+所以函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x aex a-=+（）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值.【答案】（1）22(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-为圆心，（2）sin 4α=【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合11||||4MA MB +=求解出sin α的值. 【详解】解：（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=. 所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=.设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.12121211||||||||||||444t t t t MA MB MA MB MA MB t t +-++======， 解得21cos16α=，则sin α==. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 23．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8{|2}3x x x ≤≥或； （2）13(2,]5. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a 的取值范围，判断x a +，4x +为正，去掉绝对值，转化为254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立,得到4a ≤，4254a x a -≤-≤-，在[],22x a a ∈-恒成立，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即223x x <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，2x <-或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即5283x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，83x ≥ 综上：2x ≤或83x ≥， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[],22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，又[],22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-. 所以21449a a a a ≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤， 结合24a <≤， 所以1325a <≤， 即a 的取值范围为132,5⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.。
2019年东北三省高三三模理科数学有答案解析
2019年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2019年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D2.C3. B4. A5.D6. B7.C8.A9.B 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. D 集合{|22}A x x =-<<，113x -<+<，则013x ≤+<，即{|1,}{|03}y y x x A y y =+∈=≤<.故选D.2. C 由于32(32)(1)3232151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++-====+--+. 故选C. 3. B 由题意可知，圆M ：22220x x y y +++=的圆心(1,1)--到直线l ：2x my =+，由点到直线的距离公式可知1m =或7m =-. 故选B.4. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<，故选A.5. D 由题意31232a a a =+，即211132a q a a q =+，可得2230q q --=，3q =或1q =-，又已知0q >，即3q =，2101215192023810131718219a a a a a a q a a a a a a +++++==+++++.故选D.6. B 在同一坐标系内画出函数3cos 2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C.8. A 由函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列可知，函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得()sin[2()]sin(2)6662f x A x A x ππππ+=++=+. 故选A .9. B 命题“若 6πα=，则21sin =α”的否命题是“若 6πα≠，则1sin 2α≠”，是假命题，因此①正确；命题 ,:0R x p ∈∃使0sin 1x >，则1sin ,:≤∈∀⌝x R x p 完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件是sin 1ϕ=±，即2k πϕπ=+()k Z ∈，因此③错误；命题:(0,)2p x π∃∈“，使21cos sin =+x x ”中sin cos 2(cos ))224x x x x x π+=+=+，当(0,)2x π∈时，1)4x π<+≤即:(0,)2p x π∃∈“，使21cos sin =+x x ”为假命题，而命题:q ABC ∆在“中，若sin sin A B >，则A B >”为真命题，可知命题（p ⌝）∧q 为真命题，因此④正确.一共有3个正确. 故选B.10. C 双曲线22221x y a b-=的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点可知2c =，又5PF =可知P 到抛物线的准线2x =-的距离为5，可设(3,)P m ，根据两点间距离公式可得到m =22221x y a b-=方程化为222214x y a a -=-，代入点P 的坐标并求解关于2a 的一元二次方程，可求得21a =或236a =. 又22c a >，可将236a =舍去，可知21a =，即1a =，（或根据双曲线定义得2a =|PF 2|－|PF 1|=2），综上可知双曲线的离心率为221c e a ===. 故选C.11. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径r ，且四棱锥的高h r =，的正方形，所以该四棱锥的表面积为222224))22)4S r r =+=+==+因此22r =，r =O 的体积344333V r ππ==⨯=. 故选B.12. B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为34C ，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为24C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为33A ，即满足题意的情况共有323443144C C A =种. 故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 314. 4+15.0a >且0q >16. 35[,]79简答与提示：13. 利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有42(x⋅-和41x ⋅，求和后可得 3x ，即x 的系数为3.14. ，可得长方体的2，1，因此其全面积为1212)4+⨯=+15. 由1n n S S +>得，当1q =时，10n n S S a +-=>；当1q ≠时，10nn n S S aq +-=>，即0a >，10q ≠>.综合可得数列{}n S 单调递增的充要条件是:0a >且0q >. 16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-，将点(1,2)-代入50ax by -+=，可以得25a b +=. 对2aba b+作如下变形：155512122(2)()142()52()ab b a b a a b a b a b a b a b a b====+++⋅++++++.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以22585()24a b ++≤. 由2225585()24a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(1,2)A 和(3,1)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是1[,2]3，从而b aa b+的取值范围是10[2,]3，进一步可以推得2ab a b +的取值范围是35[,]79.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域. 【试题解析】解：⑴由m n m n +=-，可知0m n m n ⊥⇔⋅=.然而(2cos ,1),m B = 2(2cos (),1sin 2)42B n B π=+-+(1sin ,1sin 2)B B =--+，所以2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=，1cos 2B =，3B π∠=. (5分) ⑵22222221sin sin sin ()sin )32A C sin A A sin AA A π+=+-=++ 2225331cos sin cos sin sin cos 442422sin A A A AA A A =++=++ 311cos 2sin 211sin 2cos 24222244A A AA -=+⋅+⋅=+- 11112cos 2)1sin(2)2226A A A π=+-=+-. (9分)因为3B π∠=，所以2(0,)3A π∈，即72(,)666A πππ-∈-，即1s i n (2)(,1]62A π-∈-所以1331sin(2)(,]2642A π+-∈，即22sin sin A C +的取值范围是33(,]42. (12分)18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法.【试题解析】⑴平均年限1010151020252520301522()80n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈年. (4分)⑵所求概率222221010252015280137632C C C C C P C ++++==. (8分) ⑶由条件知9~(10,)16B ξ，所以94510168E ξ=⨯=. (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、 二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (4分) ⑵以D 为坐标原点，DA ，DC ,1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -，则易得)0,1,2(B )2,0,2(),2,2,0(11A C ，设平面1A BD 的法向量为),,(1111z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0111DA n n ，求得)1,2,1(1--=n ；设平面BD C 1的法向量为),,(2222z y x n =， 则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122DC n DB n ，求得)2,2,1(2-=n，则根据66cos =⋅=n n θ,于是可得630sin =θ. (9分)(3) 设所给四棱柱的体积为V,则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，而三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .则由于3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ， 3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V .(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】⑴当直线l 与x 轴垂直时，由212222AMBNb Sa a=⋅⋅=，得1b =. 又222MF AB F N =+,所以22b a c a c a+=+-，即ac =221a c=+，解得a =因此该椭圆的方程为2212x y +=. (4分) ⑵设1122(,),(,)A x y B x y，而(2,0),M N -，所以11(,)AM x y =-，11(2,)AN x y =-，22(,)BM x y =-，22(2,)BN x y =-.从而有22111222()()AM AN BM BN x x y x x y ⋅+⋅=+++2222221212*********()2()24x x y y x x x x y y y y =+++-=+-++--.(6分)因为直线l 过椭圆的焦点(1,0)，所以可以设直线l 的方程为1()x ty t R =+∈，则由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得22(2)210t y ty ++-=， 所以12222t y y t -+=+，12212y y t -=+. (8分)进而121224()22x x t y y t +=++=+，21212222(1)(1)2t x x ty ty t -=++=+，可得222222242221()2()()2()42222t t AM AN BM BN t t t t ---⋅+⋅=-+--++++22286(2)2t t =-++. (10分)令22t m +=，则2m ≥. 从而有22861398()88AM AN BM BN m m m ⋅+⋅=-=--，而1102m <≤，所以可以求得AM AN BM BN ⋅+⋅的取值范围是9[,0)8-.(12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】⑴令()l n 10f x x '=+=,得1x e=. 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增.(3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fx xxk x k x x=>-⇔<+.构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =. 当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分) ⑶结论：这样的最小正常数m 存在. 解释如下：()()()ln()ln x x f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x a a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分)对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x x x e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==.令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.又(1)0h '=，所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，而2222222111122()ln 1ln 210e h e e e e e e -=+-⋅=-++=<， (1)ln11ln110h =+-=>，()ln 1ln 1120h e e e e e e =+-=+-=-<.所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，令为1x 和2x 12()x x <，并且有: 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上，()0,h x <即()0g x '<；在区间12(,)x x 上，()0,h x >即()0g x '>. 从而可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上数学试卷单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增. (1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值.题目要找的2m x =，理由是：当2a x >时，对于任意非零正数x ，2a x a x +>>，而()g x 在2(,)x +∞上单调递减，所以()()g a x g a +<一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明2m x ≤；当20a x <<时，取2x x a =-，显然0x >且2()()()g a x g x g a +=>，题目所要求的不等式不恒成立，说明m 不能比2x 小.综合可知，题目所要寻求的最小正常数m 就是2x ，即存在最小正常数2m x =，当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()xf a x f a e +<恒成立. (12分)( 注意：对于1x 和2x 的存在性也可以如下处理： 令()ln 1ln 0h x x x x =+-=，即1ln 1x x =-. 作出基本函数ln y x =和11y x =- 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程1ln 1x x =-有两个正实数根1x 和2x ，且101x <<，21x >（实际上2 2.24x ≈），可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增.(1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. ）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅.又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似.（5分）⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=， 得180202BPC BMP MPB -∠-∠∠==. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)数学试卷(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以11t +<≤满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t的取值范围是：11t <≤或54t =-. （6分） (2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，0x ≤ 823243)21(2120020≥++=++=x x x d ， 当012x =-时取等号，满足0x ≤823. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有关知识内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去； 当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. (5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x - (()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞.根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。
吉林长春东北师大附中2019级高三上学期第三次摸底考试理科数学试题及答案
E F
D C
A
B
奖金(元)
50
100
概率
2
1
3
3
若小张是该公司一名员工，他每天所获奖金为 X 元，请写出 X 的分布列并求出数学期望
EX.
（20）椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过点 F2 的直线l 交椭圆于 A ，
B 两点.
则下列选项正确的是
A． p1 p2
B． p1 p3
C． p2 p3
D． p2 p4
三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：每题 12 分，共 60 分．
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
（13）若 ax 15 的展开式中 x3 的系数是 −80, 则实数 a 的值是
．
（14）某学校社会实践小组共有 5 名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学党
史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一
量，按照可配送货物量 T(单位：箱)分成了以下几组：[40,50) ，[50,60) ， [60,70) ，[70,80) ，
AE BC 2 .
[80,90) ，[90,100] ，并绘制了如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该区间的中点值为
（Ⅰ）求证： DE / / 平面 BCF ；
代表，视频率为概率 ). （Ⅰ）求该公司平均每天的配货量是多少箱？
y 2 sin
长春市普通高中2019届高三质量监测[理数](一)
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长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C.2. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D.3. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.5. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 7. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 8. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.9. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 14. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====. 15. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 16. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其2142S =⨯⨯=.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(2,3,0)A B C -，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=.19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.20. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X （2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-. 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，12≥+. 长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：17. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 18. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D. 19. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 20. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.21. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 22. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 23. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 24. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.25. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 26. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 27. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 28. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：29. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 30. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====.31. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 32. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其21422S =⨯⨯⨯=. 三、解答题24. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.25. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(2,3,0)A B C -，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=.26. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.27. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X===，()25745000.490P X ++===. 因此X （2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-.当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 28. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）29. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 30. (本小题满分10分)数学（理科）试题+参考答案及评分标准 第11页（共11页） 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=. （2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，1≥+.。
精品解析：【市级联考】吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测(三)数学(理)试题(解析版)
【解析】
【分析】
根据图形给出的信息，分析判断即可．
【详解】从研发投入占营收比（图中的红色折线）
07 ～09 年有所下降并非连续 12 年研发投入占营收比逐
年增加，故 D 错．
故选： D． 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题．
10.函数 f（ x） =
另 1 件是一等品的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】
根据题意，设“所取 2 件产品中有 1 件不是一等品”为事件 A，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事 件 B，分别求得 P（ AB）和 P（ A）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果． 【详解】 解：根据题意，设“所取 2 件产品中有 1 件不是一等品”为事件 A，“一件上一等品，另一件不是 一等品”为事件 B，
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】 利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．
【详解】 解： 、 是两个单位向量，且夹角为 ，
则（ 2 ）?（﹣ 2
）
＝﹣ 4+5
．
故选： A． 【点睛】 本题主要考查平面向量，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
7.若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不是一等品的条件下，
的部分图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可
.
【详解】∵函数 f（ x）的定义域为（ -∞，- ）∪ （ - ， ） ∪（ ， +∞）
吉林省市2019届高三下学期三校联合模拟考试数学(理)试题Word版含答案
吉林省市2019届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x N x =危，集合{}1,3,7A =，{}2,3,8B =，则()()U UC A C B =( )A ．{}1,2,7,8B ．{}4,5,6C ．{}0,4,5,6D ．{}0,3,4,5,6 2.已知复数11z i =+，22z i =-，则12z z i=( ) A ．13i - B ．13i -+ C ．12i + D ．12i -3.若实数数列：1231,,,,81a a a 成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是( )A 或D ．134.函数()()120,1x f x a a a -=->?的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny --=上，其中0m >，0n >，则12m n+的最小值为( )A ．4B ．5 C.6 D ．3+5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202p +B ．203p + C.242p + D ．243p +6.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位℃) ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26. 方差为10.2，则肯定进入夏季的地区有( )A ．0个B ．1个 C.2个 D ．3个 7.()()2412x x +-的展开式中含3x 项的系数为( )A ．16B ．40 C.40- D ．88.若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为( )A ．5?n £B ．6?n £ C.7?n £ D ．8?n £9.若方程()()()222cos 2sin 102x y q q q p -+-=?的任意一组解(),x y 都满足不等式y x ³，则q 的取值范围是( )A ．7,66p p 轾犏犏臌B ．53,1212p p 轾犏犏臌 C.,2p p 轾犏犏臌 D ．,3p p 轾犏犏臌10.已知ABC △外接圆的圆心为O ，AB =AC =，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM AO ?( )A ．3B ．4 C.5 D ．611.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( )A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->- C.b a MO MT -<- D ．b a MO MT -=+12.函数()f x ()f x 下列性质：①函数的定义域和值域均为[]1,1-；②函数的图象关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④()0ba f x dx =ò(其中,ab 为函数在定义域上的积分下限和上限)；⑤,M N 为函数()f x2MN <?，则关于函数()f x 性质正确描述的序号为( )A ．①②⑤B ．①③⑤ C.②③④ D ．②④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量1a =，2b =，()()2a b a b +^-，则向量a 与b 的夹角为 ． 14.函数()cos22sin f x x x =-的值域为 ．15.设O 为坐标原点，()2,1A ，若点(),B x y 满足22111201x y x y ì+?ïïï＃íïï＃ïî，则OA OB ×的最大值是 ．16.已知集合111,,,1,2232P 禳镲=-睚镲铪，集合P 的所有非空子集依次记为：1231,,,M M M …，设1231,,,m m m …分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果P 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么1231m m m +++=… ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知2252cos 2cos 222C A a c b +=. (1)求证：()23a c b +=；(2)若1cos 4B =，S ，求b .18.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ^，2AE AD ==.(1)证明：平面PAD ^平面ABFE ；(2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --.19.生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计元件甲、乙为正品的概率；(2)生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元，生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在(1)的前提下：(i)记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； (ii)求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率.20.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率e =并且2C 的短轴为1C的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是(1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.21.设函数()ln 1af x x x =+-，()0a > (1)当130a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)若()f x 在10,e骣琪琪桫内有极值点，当()10,1x Î，()21,x ??，求证：()()21423f x f x e ->-.()2.71828e =…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y jj ìïíïî(j 为参数)，直线l的参数方程为12x t y ì=-ïïíïïî(t为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为2p. (1)求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PA PB +的值. 23.已知函数()5f x x a x =-++. (1)若1a =，解不等式：()25f x x ?； (2)若()8f x ³恒成立，求a 的取值范围.吉林省市2019届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CACDB 6-10:CDBDC 11、12：AD二、填空题13.2p14.33,2轾-犏犏臌三、解答题17.解：(1)由条件：()()51cos 1cos 2a C c A b +++=，由于：cos cos a C c A b +=，所以：32a c b +=，即：()23a c b +=.(2)1cos 4B =，所以：sin B =.1sin 2S ac B =8ac =.又：()()22222cos 21cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+， 由()23a c b +=，所以：25116144b 骣琪=+琪桫，所以：4b =. 18.(1)证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ^平面ADE ， 所以：AB AD ^，又AD AF ^，所以：AD ^平面ABFE ，AD Ì平面PAD ， 所以：平面PAD ^平面ABFE .(2)由(1)AD ^平面ABFE ，以A 为原点，,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设正四棱锥P ABCD -的高h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,,1P h -.()2,2,0AF =，()2,0,2AC =，()1,,1AP h =-.设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则：1111220220m AF x y n AC x z ì?+=ïíï?+=î，取11x =，则111y z ==-，所以：()1,1,1m =--.设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =，则222222200n AF x y n APx hy z ì?+=ïíï?-+=î，取21x =，则21y =-，21z h =--，所以：()1,1,1n h =---， 二面角C AF P --，所以：cos ,3m n m n m n ?<>==，解得：1h =.19.解：(1)元件甲为正品的概率约为：4032841005++=.元件乙为正品的概率约为：4029631004++＝. (2)(i)随机变量X 的所有取值为90，45，30，15-，而且()43390545P X ==?；()133455420P X ==?； ()41130545P X ==?；()111155420P X =-=?. 所以随机变量X 的分布列为：所以：()33119045301566520520E X =????. (2)设生产的5件元件乙中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意：()50105140n n --?，解得：196n ³，所以4n =或5n =. 设“生产5件元件乙所获得的利润不少于140元”为事件A ，则：()454531381444128P A C 骣骣琪琪=+=琪琪桫桫. 20.解：(1)依题意e =22122:12x y C b b +=，22222:124x y C b b+=，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积122S b =创=21b =.所以椭圆221:12x C y +=，222:124x y C +=.(2)(i)设()00,P x y ，则2200124x y +=，()A，)B.PA k =PB k .所以：2200220042222PA PBy x k k x x -?==---. 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-. (ii)设()11,E x y ，则221112x y +=.EA k =，EB k ，所以：221122101112222EA EBx y k k x x -?==---，同理：12FA FB k k ?-， 所以：14FA FB FA FB k k k k 鬃=，由EA PA k k =，FB PB k k =，结合(i)有18EA FBk k ?-. 21.解：(1)函数()f x 的定义域为()()0,11,+?，当130a =时，()()25665'1x x f x x x 骣骣琪琪--琪琪桫桫=-，令：()'0f x >，得：65x >或56x <，所以函数单调增区间为：50,6骣琪琪桫，6,5骣琪+?琪桫.(2)证明：()()()()222211'11x a x af x x x x x -++=-=--， 令：()()()()2210g x x a x x m x n =-++=--=，所以：2m n a +=+，1mn =，若()f x 在10,e骣琪琪桫内有极值点， 不妨设10m e <<，则1n e m =>，且122a m n e e=+->+-，由()'0f x >得：0x m <<或x n >， 由()'0f x <得：1m x <<或1x n <<，所以()f x 在()0,m 递增，(),1m 递减；()1,n 递减，(),n +?递增，当()10,1x Î时，()()1ln 1af x f m m m ?+-； 当()21,x ??时，()()2ln 1af x f n n ?+-， 所以：()()()()2111ln ln 2ln 1111a a f x f x f n f m n m n a n m n m 骣琪-?=+--=+-琪----桫12ln n n n=+-，n e >. 设：()12ln F n n n n =+-，n e >，则()222'10F n n n=++>. 所以：()F n 是增函数，所以()()12F n F e e e>=+-. 又：()()23131411031032203333e e e e e e e ee e e 骣----+-琪+---=--+==>琪桫， 所以：()()21423f x f x e ->-.22.解：(1)由极值互化公式知：点P 的横坐标02x p =，点P 的纵坐标2x p所以(P ，消去参数j 的曲线C 的普通方程为：221515x y +=.(2)点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得： 2280t t +-=，设其两个根为1t ，2t ，所以：122t t +=-，128t t =-，由参数t 的几何意义知：126PA PB t t +=-=.23.解：(1)当1a =时，()()()251524150f x x x x x x x ????---?，解得：2x ?，所以原不等式解集为{}2x x ?.(2)()()555f x x a x x a x a =-++?-+=+，若()8f x ³恒成立， 只需：58a +?. 解得：3a ³或13a ?.。
2019届吉林省长春市吉大附中实验学校高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届吉林省长春市吉大附中实验学校高三第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值． 【详解】解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++Q 在复平面内所对应的点在虚轴上，2a 10∴-=，即1a 2=． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．已知集合(){}|ln 320A x x =-<，{}2|20B x x x =-≤，则（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．A B ⊇D ．A B =∅I【答案】B【解析】求出集合A ，集合B ，即可判断． 【详解】解：因为(){}|ln 320A x x =-<， 所以3|12A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 因为{}2|20B x x x =-≤ 所以{}|02B x x =≤≤ 所以A B ⊆，A B A =I 故选：B 【点睛】本题考查集合的包含关系及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．3．已知向量()1,2a =-v，(),1b x x =-v ，若()2//b a a -v v v ，则x =（ ）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A【解析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值. 【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-v v， ()2//b a a v v Q v -，()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A. 【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.4．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ．2 B ．4C ．19D ．219【答案】B【解析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果. 【详解】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为45，故可得()22425m +=，解得216m=，不妨取4m =；又焦点()25,0F ，其中一条渐近线为2y x =-，由点到直线的距离公式即可求的4545d ==.故选：B. 【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.5．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．6．已知实数,x y满足约束条件30202x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y=+的最小值为（）A．-5 B．2 C．7 D．11【答案】A【解析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【详解】由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，画出可行域ABC V 如图3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距， ∴z 最小的时候为过C 点的时候，解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -，此时()33215z x y =+=⨯-+=- 故选A 项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.7．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．23【答案】C【解析】试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a ，则312,,222AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅ 222312()()()32223312()()a a a +-==⨯⋅，故C 为正确答案． 【考点】异面直线所成的角．8．下列不等式正确的是（ ）A ．3sin130sin 40log 4>>o oB ．tan 226ln 0.4tan 48<<o oC ．()cos 20sin 65lg11-<<ooD ．5tan 410sin 80log 2>>o o【答案】D【解析】根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>o o o o o，利用排除法，即可求解． 【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>o o o o o o，可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log 5log 22=>>>=>o o o， 所以5tan 410sin 80log 2>>o o．故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A【解析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.10．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 【答案】C【解析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【详解】函数()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈；其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选C ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种 B ．44种 C ．48种 D ．54种【答案】B【解析】分三种情况，任务A 排在第一位时，E 排在第二位；任务A 排在第二位时，E 排在第三位；任务A 排在第三位时，E 排在第四位，结合任务B 和C 不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案． 【详解】六项不同的任务分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果任务A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好D 、F ，再在D 、F之间的3个空位中插入B 、C ，此时共有排列方法：222312A A =；如果任务A 排在第二位时，E 排在第三位，则B ，C 可能分别在A 、E 的两侧，排列方法有122322=12C A A ，可能都在A 、E 的右侧，排列方法有2222=4A A ；如果任务A 排在第三位时，E 排在第四位，则B ，C 分别在A 、E 的两侧11222222=16C C A A ； 所以不同的执行方案共有121241644+++=种． 【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．12．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C D ．4【解析】根据222AF F B =u u u u r u u u r表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率. 【详解】222AF F B =u u u u r u u u u rQ设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a aAF AF ∴==在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项. 【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.二、填空题13．设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若()(2)P c P c ξξ>=<+，则c 的值是______． 【答案】1 【解析】由题得222c c ++=，解不等式得解. 【详解】因为()(2)P c P c ξξ>=<+， 所以222c c ++=， 所以c=1.【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．已知函数()2e (e)ln exf x f x '=-，则函数()f x 的极大值为 ___________． 【答案】2ln 2【解析】对函数求导，通过赋值，求得()f e '，再对函数单调性进行分析，求得极大值. 【详解】()()21ef e f x x e '-'=，故()()21ef e f e e e'-'= 解得()1f e e '=，()2x f x Inx e =- ，()21f x x e='- 令()0f x '=，解得2x e =函数在()0,2e 单调递增，在()2,e +∞单调递减， 故()f x 的极大值为()222222f e In e In =-= 故答案为：22In . 【点睛】本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量()f e '.15．已知函数229,1,()4,1,x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】2a ≥【解析】1x >，可得()f x 在2x =时，最小值为4a +，1x ≤时，要使得最小值为()1f ，则()f x 对称轴x a =在1的右边，且()14f a ≤+，求解出a 即满足()f x 最小值为()1f . 【详解】当1x >，()44f x x a a x=++≥+，当且仅当2x =时，等号成立. 当1x ≤时，()229f x x ax =-+为二次函数，要想在1x =处取最小，则对称轴要满足并且()14+f a ≤，即1294a a -+≤+，解得2a ≥. 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.16．在数列{}n a 中，已知*111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则数列{}n a 的的前21n +项和为21n S +=__________. 【答案】223n +-【解析】由已知数列递推式可得数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到2n S ，再由21221n n n S S a ++=+求解． 【详解】解：由*111,2()n n n a a a n N +==∈g ，得112(2)n n n a a n --=g …， ∴112(2)n n a n a +-=…， 则数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．∴1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，21321242()()n n n S a a a a a a -∴=++⋯++++⋯+212(1222)(222)n n -=+++⋯++++⋯+21123(1222)332312nn n --=+++⋯+==--g g ．∴221221323223n n n n n n S S a +++=+=-+=-g ．故答案为：223n +-． 【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题．三、解答题17．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，4CAD π∠=，72AC =，2cos 10ADB ∠=-.（1）求sin C 的值；（2）若5BD =，求AB 的长. 【答案】(1)45；（2）37AB =【解析】（1）由两角差的正弦公式计算；（2）由正弦定理求得AD ，再由余弦定理求得AB ． 【详解】（1）因为2cos 10ADB ∠=-，所以2272sin 11010ADB ⎛⎫∠=--= ⎪ ⎪⎝⎭. 因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-，所以sin sin sin cos cos sin444C ADB ADB ADB πππ⎛⎫=∠-=∠⋅-∠⋅ ⎪⎝⎭222241021025=⨯+⨯=. （2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠，得74sin 2522sin 72AC C AD ADC ⨯⋅===∠， 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB=+-⋅∠(222522252237⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭，所以37AB =.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．18．近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；（2）根据统计数据建立一个22⨯列联表；（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2()P K k≥0.100.050.0100.005 0k 2.706 3.841 6.6357.879【答案】（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系【解析】（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（2）填写22⨯列联表即可；（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【详解】解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.（2）22⨯列联表如下：戴口罩 不戴口罩 合计女性 42 28 70男性 20 3050合计 62 58120（3）由（2）中数据可得：2120(42302028) 4.672 3.84162585070k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．19．如图，90,1,BCD BC CD AB ∠===⊥o 平面,60,,BCD ADB E F ∠=o 分别是,AC AD 上的动点，且AE AFAC AD=.（1）若平面BEF 与平面BCD 的交线为l ，求证：//EF l ；（2）当平面BEF ⊥平面ACD 时，求平面BEF 与BCD 平面所成的二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）427【解析】（1）首先由线面平行的判定定理可得//EF 平面BCD ，再由线面平行的性质定理即可得证；（2）以点B 为坐标原点，BD ，BA 所在的直线分别为,y z 轴，以过点B 且垂直于BD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】解：（1）由AE AF ACAD=，//EF CD∴又EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，所以//EF平面BCD.又EF⊂平面BEF，且平面BCD I平面BEF l=，故//EF l.（2）因为AB⊥平面BCD，所以AB CD⊥，又DC BC⊥，所以DC⊥平面ABC，所以DC BE⊥，又//EF CD，所以BE EF⊥.若平面BEF⊥平面ACD，则BE⊥平面ACD，所以BE AC⊥，由1BC CD==且902BCD BD∠=⇒=，又60ADB∠=，所以AB6=.以点B为坐标原点，BD，BA所在的直线分别为,y z轴，以过点B且垂直于BD的直线为x轴建立空间直角坐标系，则6)A，22(0,0,0),(B C，设(,,)E a a b则22(,,),(,,6),(,,6)22BE a a b AC AE a a b==-=u u u r u u u r u u u r由//BE ACAC AE⎧⋅=⎨⎩u u u v u u u vu u u v u u u v，可得2260222626a a ba b+=⎪⎨-⎪=⎪-⎩，3276ab⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即32326(,777E，所以可得26(0,77F，所以(,(0,,77777BE BF ==u u u r u u u r ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则00m BE m BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，00x y z y z +=∴⎨⎪+=⎪⎩，00z z ++=∴+=⎪⎩，取z =得1,1x y =-=-所以(1,1,m =--u r易知平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =r，设平面BEF 与平面BCD 所成的二面角为θ，则cos m n m n θ===u r r g u r r g ， 结合图形可知平面BEF 与平面BCD所成的二面角的余弦值为7. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量法求二面角，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．20．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上且2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H点，OH =C 的离. （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且满足2OA OB BA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，求ABO∆的面积.【答案】（1）2212x y +=；（2）5. 【解析】（1）根据离心率以及22MF OH =，即可列方程求得,,a b c ，则问题得解；（2）设直线方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即可求得参数m ，则三角形面积得解.【详解】（1）设2(,0)F c ，由题意可得222221,M x y b y a b a+==±. 因为OH 是12F F M ∆的中位线，且4OH =所以2||2MF =，即22b a =，因为222c e a b c a ===+ 进而得221,2b a ==，所以椭圆方程为2212x y +=（2）由已知得22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r两边平方整理可得0OA OB ⋅=u u u r u u u r.当直线l 斜率为0时，显然不成立. 直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为11221.(,).(,)x my A x y B x y =-，联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(2)210m y my +--=， 所以12122221,22m y y y y m m -+==++， 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r得12120x x y y += 将11221,1=-=-x my x my 代入 整理得1212(1)(1)0my my y y --+=，展开得2121212()10m y y m y y y y -+++=，整理得2m =±，所以112125ABO S OF y y ∆=-=.即为所求. 【点睛】本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题. 21．设a R ∈，函数21()(1)x f x x e a x -=--. （1）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值； （2）设函数1()()(1)xg x f x a x e-=+--，当()g x 有两个极值点1212,()x x x x <时，总有211()()x g x f x λ≤'，求实数λ的值.【答案】（1）极大值是(1)1f =，无极小值；（2）21ee λ=+ 【解析】（1）当1a =时，可求得211(2)()x x x x e f x e ----'=，令21()(2)x h x x x e -=--，利用导数可判断()h x 的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；（2）表示出()g x ，并求得21()(2)x g x x x a e -'=-++，由题意，得方程220x x a -++=有两个不同的实根1x ，212()x x x <，从而可得△440a =+>及122x x +=，由12x x <，得11<x ．则211()()x g x f x λ'„可化为11111[2(1)]0x x x e e λ---+„对任意的1(,1)x ∈-∞恒成立，按照10x =、1(0,1)x ∈、1(,0)x -∞∈三种情况分类讨论，分离参数λ后转化为求函数的最值可解决； 【详解】（1）当1a =时，211(2)()x x x x e f x e ----'=. 令21()2x h x x x e -=--，则1()22x h x x e-=--'，显然()h x '在上3(,2)4单调递减，又因为31()042h =<'，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<，所以()h x 在3(,2)4上单调递减.由于(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >；当(1,2)x ∈时，()0h x <. 当x 变化时，()()f x f x '、的变化情况如下表：所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =，无极小值.（2）由于21()()x g x x a e -=-，则21()(2)x g x x x a e -'=-++.由题意，方程220x x a -++=有两个不等实根12,x x ，则440a ∆=+>，解得1a >-，且2112221220202x x a x x a x x ⎧-++=⎪-++=⎨⎪+=⎩，又12x x <，所以11<x .由211()()x g x f x λ≤'，21()(2)xf x x x ea -=--'，可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--又221112,2x x a x x =-=-.将其代入上式得：1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-.整理得11111[2(1)]0x x x ee λ---+≤，即111111[2(1)]0,(,1)x x x e e x λ---+≤∀∈-∞当10x =时，不等式11111[2(1)]0x xx e e λ---+≤恒成立，即R λ∈.当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+，令11112()1x x e k x e --=+，易证()k x 是R 上的减函数.因此，当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，故21ee λ≥+. 当1(,0)x -∞∈时，11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+，因此，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+所以21ee λ≤+. 综上所述，21ee λ=+. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．22．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,1P -，直线l 的参数方程为(1x tcos t y tsin αα=⎧⎨=-+⎩为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos28sin ρρθθ+=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,,A B M 是线段AB 的中点，当409PM =时，求sin α的值．【答案】（1）24x y =；（2）45. 【解析】（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，ρ2＝x 2+y 2可得曲线C 的直角坐标方程；（2）联立直线l 的参数方程与x 2＝4y 由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得． 【详解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos 2θ﹣sin 2θ）＝8ρsinθ， ∴x 2+y 2+x 2﹣y 2＝8y ，即x 2＝4y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为：x 2＝4y ．（2）联立直线l 的参数方程与x 2＝4y 得：（cosα）2t 2﹣4（sinα）t +4＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由△＝16sin 2α﹣16cos 2α＞0，得sinα＞2， t 1+t 2＝24sin cos aa，由|PM |＝1222sin 402cos 9t t a a +==， 所以20sin 2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝45或sinα＝﹣54（舍去），所以sinα＝45． 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23．选修4-5：不等式选讲设函数()()22,f x x a x x R a R =+--∈∈. （1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()1f x ≥-在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()(),11,-∞-+∞U ；（2）[]6,2--【解析】（1）当1a =-时，将原不等式化简后两边平方，由此解出不等式的解集.（2）对a 分成4,4,4a a a <-=->-三种情况，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，根据单调性求得a 的取值范围. 【详解】（1）1a =-时，()0f x >可得212x x ->-，即()()22212x x ->-，化简得：()()3310x x -+>，所以不等式()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞.（2）①当4a <-时，()2,232,2,22,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<⎪⎪=--+≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩由函数单调性可得()min 2122a af x f ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得；64a -≤<-②当4a =-时，()()min 2,01f x x f x =-=≥-，所以4a =-符合题意；③当4a >-时，()2,232,2,22,2a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩由函数单调性可得，()min 2122a a f x f ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，解得42a -<≤-综上，实数a 的取值范围为[]6,2-- 【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.。
吉林省长春市实验高中2019届高三第三次月考数学(理)试题+Word版含解析
吉林省长春实验高中2019届高三第三次月考+理科数学第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D2.设复数，则（）A. B. ． C. D.【答案】C【解析】∵∴故选：C3.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，故选B.4.已知，则（）A. 2B.C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用求得平方的值，再开平方即可得结果.【详解】因为，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A. 5B. 6C. 6.5D. 7【答案】B【解析】由题意可知，该几何体在正方体的基础上去掉一个三棱柱故该几何体的体积为故选6.设满足约束条件则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，易得A（﹣1，1），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故选：A．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根题意得到，n=1,S=1,N=2,S=3;N=3,S=6;N=4,S=10;N=5,S=15;此时S>11,输出S=15.故答案为：C。
8.若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，解得：，设，作出的图象，当时，满足题意.故选：C点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝1，则“a3＞5”是“S3＋S9＞93”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式与性质，以及充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.【详解】设公差为，若，，则，所以，充分性成立；反之，成立，则，不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.10.函数，f（x）＝Acos（wx＋φ）（A＞0，w＞0，－π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝Asinwx的图象，只需将函数y＝f（x）的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】D【解析】由函数的部分图象可得：，，则，将代入得，则故可将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，即可得到的图象故选11.在四面体中，底面，，，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则（）A. B. 2 C. D.【答案】B【解析】，设的外心为O，则在上，设，则即，解得四面体的外接球的半径，解得则故选点睛：本题主要考查了四面体与球的位置关系，结合题目条件，先利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，再由球心与外接圆圆心连接再次勾股定理，结合外接球的表面积计算得长度，从而计算出结果，本题有一定难度，需要学生能够空间想象及运用勾股定理计算12.已知函数的导数为，不是常数函数，且对恒成立，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】原式等于，设，那么，所以函数是单调递增函数，，即，故选A.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解不等式，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造，(2)若，就构造，（3），就构造，（4）或是就构造，或是熟记，等函数的导数，便于给出导数时，联想构造函数。
2019长春高三三模数学理科
长春市普通高中2019届高三质量监测(三)数学试题卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项就是符合题目要求的、1、 sin 210︒= A 、 12-B 、 3-C 、 12D 、 32、已知集合{1,0,1,2},{|(1)(2)0}A B x x x =-=+-<,则A B =A 、 {1,0,1,2}-B 、 {1,0,1}-C 、 {0,1,2}D 、 {0,1} 3、 若复数1a ii++的实部与虚部相等,则实数a 的值为 A 、 0 B 、 1 C 、 2 D 、 3 4、执行如图所示的程序框图,如果输入=4N ,则输出p 为A 、 6B 、 24C 、 120D 、 7205、 已知等差数列{}n a 的前n 项与为n S ,且24a =,42a =,则6S = A 、 0 B 、 10 C 、 15 D 、 306、 已知1e 、2e 就是两个单位向量,且夹角为3π,则1212(2)(2)-⋅-+=e e e e A 、 32-B 、 36- C 、 12D 、 337、 若 8 件产品中包含 6 件一等品,在其中任取 2 件,则在已知取出的 2 件中有 1 件不就是一等品的条件下,另 1 件就是一等品的概率为 A 、37 B 、 45 C 、 67D 、 1213 8、 已知,m n 为两条不重合直线,α,β为两个不重合平面,下列条件中,一定能推出α//β的就是A 、 //,,m n m n αβ⊂⊂B 、 //,,m n m n αβ⊥⊥C 、 ,//,//m n m n αβ⊥D 、 ,,m n m n αβ⊥⊥⊥9.“科技引领,布局未来”科技研发就是企业发展的驱动力量、 2007 年至 2018 年,某企业连续 12 年累计研发投入达 4100 亿元,我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比、 这 12 年间的研发投入(单位:十亿元)用下图中的条形图表示,研发投入占营收比用下图中的折线图表示、根据折线图与条形图,下列结论错误．．的就是 A 、 2012-2013 年研发投入占营收比增量相比 2017-2018 年增量大 B 、 该企业连续 12 年研发投入逐年增加 C 、 2015-2016 年研发投入增值最大D 、 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加10、 函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致就是11、 已知O 为坐标原点,抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为 6,若点P 为抛物线C 准线上的动点,则||||OP AP +的最小值为A 、 4B 、 43C 、 46D 、 6312、 已知函数1ln ,1()11,122x x f x x x +⎧⎪=⎨+<⎪⎩≥,若12x x ≠,且12()()2f x f x +=,则12x x +的取值范围就是A 、 [32ln 3,)-+∞B 、 [1,)e -+∞C 、 [32ln 2,)-+∞D 、[2,)+∞二、填空题:本题共4小题,每小题5分、 13、 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π,则ω=_____________,若2()210f α=,则sin 2α=____________、 14、 已知矩形ABCD ,12AB =,5BC =,以,A B 为焦点,且过,C D 两点的双曲线的离心率为 、15、 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述:“斜解立方,得两堑堵、 斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑、 阳马居二,鳖臑居一,不易之率也、 合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣、”若 称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为 1,对该几何体有如下描述:① 四个侧面都就是直角三角形; ② 最长的侧棱长为26;③ 四个侧面中有三个侧面就是全等的直角三角形; ④ 外接球的表面积为24π、其中正确的描述为 、16、已知数列{}n a 中,12a =,1(N )12n n n na a n n a *+=∈++,则11nk ka ==∑ 、 三、解答题:共70份,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22~23选考题,考生根据要求作答、 (一)必考题:共60分 17、(本小题满分12分)在ABC ∆中,6AB =,42AC =、 (1)若22sin 3B =,求ABC ∆的面积; (2)若点D 在BC 边上且2,BD DC AD BD ==,求BC 的长、18、 (本小题满分12分)某工厂有两个车间生产同一种产品,第一车间有工人 200 人,第二车间有工400人,为比较两个车间工人的生产效率,采用分层抽样的方法抽取工人,并对她们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位:min)分别进行统计,得到下列统计图表(按照 [55,65),[65,75) ,[75,85),[85,95]进行分组)、(Ⅰ)分别估计两个车间工人中,生产一件产品时间小于75min 的人数;(Ⅱ)分别估计两个车间工人生产时间的平均值,并推测哪个车间工人的生产效率更高？(同一组中的数据以这组数据所在的区间中点的值作代表)(Ⅲ)从第一车间样本中生产时间小于 75min 的工人中随机抽取3人,记抽取的生产时间小于 65min 的工人人数为随机变量X ,求X 的分布列及数学期望、 19、 (本小题满分12分)如图,等腰梯形ABCD 中,AB CD ∥, 1AD AB BC ===,2CD =, E 为CD 中点, AE 与BD 交于点O ,将ADE ∆沿AE 折起,使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE )、 (1)证明: 平面POB ⊥平面ABCE ; (2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π,求二面角A PE C --的余弦值、20、 (本小题满分12分)如图所示,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为22,1B 、2B 就是椭圆C 的短轴端点,且1B 到焦点的距离为32,点M 在椭圆C 上运动,且点M 不与1B 、2B 重合,点N 满足11NB MB ⊥,22NB MB ⊥、(1)求椭圆C 的方程;(2)求四边形21MB NB 面积的最大值、 21、 (本小题满分12分) 已知a R ∈,函数2()ln f x a x x=+、 (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)若2x =就是()f x 的极值点,且曲线()y f x =在两点1122(,()),(,())P x f x Q x f x12(6)x x <<处的切线互相平行,这两条切线在y 轴上的截距分别为1b 、2b ,求12b b -的取值范围、(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分、 22、 (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中,直线1l 的倾斜角为30︒且经过点(2,1)A 、 以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线2:l cos 3ρθ=,从原点O 作射线交2l 于点M ,点N为射线OM 上的点,满足||||12OM ON ⋅=,记点N 的轨迹为曲线C 、 (1)求出直线1l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设直线1l 与曲线C 交于P ,Q 两点,求||||AP AQ ⋅的值、23、 (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-+-、 (1)求不等式()4f x ≤的解集;(2) 设函数()f x 的最小值为m ,当,,a b c R +∈,且a b c m ++=时, 212121a b c +++长春市2019年高三质量监测(三) 数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、 A 【命题意图】本题考查诱导公式、【试题解析】A 1sin 2102︒=-、故选A 、 2、 D 【命题意图】本题考查集合运算、 【试题解析】D {|12},{0,1}B x x A B =-<<=、故选D 、3、 A 【命题意图】本题考查复数的运算、【试题解析】A 1(1),02a a iz a ++-==、故选A 、4、 B 【命题意图】本题考查程序框图、【试题解析】B 可知、 故选B 、5、C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识、【试题解析】C 161,5,15d a S =-==、故选C 、6、 A 【命题意图】本题主要考查平面向量、 【试题解析】A 可知、 故选A 、7、 D 【命题意图】本题考查条件概率的相关知识、【试题解析】D 可知、 故选D 、8、 B 【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系、【试题解析】B 可知、 故选B9、 D 【命题意图】本题考查统计识图能力、【试题解析】D 可知ABC 正确、故选D 、10、 B 【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识、【试题解析】B 确定函数为偶函数,代入特殊值,可排除A,C,当,()x f x →+∞→-∞、故选B 、11、 C 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识、【试题解析】C 做O 点关于准线的对称点M,则所求距离与的最小值为|AM|、故选C 、 12、 C 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识、【试题解析】C 先确定121x x <<,借助条件等式,用2x 表示1x ,1212ln x x =-,得到关于2x 的函数关系式122212ln x x x x +=-+,通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案、故选C 、二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,13题对一个给3分,共20分)13、 242,25-【试题解析】由周期公式2=T ππω=得=2ω,由()210f α=得sin()410πα+=所以1sin cos 5αα+=,平方得11+2sin cos 25αα=∴24sin 225α=-14、32【试题解析】在焦点ABC ∆中,12,5,13AB BC AC === ∴离心率2||1232||||1352c AB e a AC BC ====-- 15、 ①②④ 【试题解析】如图长宽高分别为4,2,2,易得①②④正确、16、 2534n n-【试题解析】由112n n n na a n a +=++得112n n n a n a na +++=（）,即112(1)n n n n a a n a na ++++=,两边同时除以1(1)n n n n a a ++得1211(1)(1)n n n n na n a ++=++ 由累加法得154=2nn na n-∴154=2nn a -为等差数列所以2111(154)53224nk kn n n n a =+--=⋅=∑三、解答题17、(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识、【试题解析】解:(Ⅰ)由正弦定理得426sinC22=,所以sin 1C =,2C π∠=, 所以226(42)2BC =-=,所以1242422S =⨯⨯= (6分)(Ⅱ)设DC x =,则2BD x =,则2AD x =,所以222222(2)(2)6(2)(42)22222x x x x x x x x +-+-=-⋅⋅⋅⋅ 解得:52x =所以352BC DC == (12分)18、(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识、 【试题解析】(Ⅰ)由题意得,第一车间样本工人20人,其中在75min 内(不含75min) 生产完成一件产品的有6人,第二车间样本工人40人,其中在75min 内(不含75min) 生产完成一件产品的有40(0.0250.05)1030⨯+⨯=人,故第一车间工人中有60人, 第二车间工人中有300名工人中在75min 内生产完成一件产品;(4分)(II)第一车间样本平均时间为60270480109047820x ⨯+⨯+⨯+⨯==甲(min),第二车间样本平均时间为 600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=乙(min),∵x x >甲乙,∴乙车间工人生产效率更高;(8分)(III)由题意得,第一车间样本生产时间小于75min 的工人有6人,从中抽取3人, 其中生产时间小于65min 的有2人,随机变量X 服从超几何分布, X 可取值为0,1,2,03243641(0)205C C P X C ====,122436123(1)205C C P X C ====,21243641(2)205C C P X C ====X 的分布列为:X 012P15 35 15数学期望131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=、 (12分)19、 (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体,考查立体几何的基础知识、 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力与运算求解能力、 【试题解析】(Ⅰ)证明:在PAE △中,OP AE ⊥,在BAE △中,OB AE ⊥, AE POB ∴⊥平面,AE ABCE ⊂平面, 所以平面POB ⊥平面ABCE ;(4分) (Ⅱ)在平面POB 内作PQ OB Q ⊥=,PQ ABCE ∴⊥平面、 ∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=,又OP OB =,OP OB ∴⊥,O 、Q 两点重合, 即OP ABCE ⊥平面,以O 为原点,OE 为x 轴,OB 为y 轴,OP 为z 轴, 建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为P ,1(,0,0)2E,C ,∴1(,0,2PE =,1(2EC =, 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =,则1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,设x 则1y =-,1z =,∴1(3,1,1)n =-,由题意得平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =, 设二面角A-P-EC 为α,1212|||cos |||||1n n n n α⋅===⋅即二面角A-P-EC为α的余弦值为5-、(12分) 20、(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的相关知识、 【试题解析】解:(Ⅰ)2e =,a ∴=,又a =且222a b c =+, 218a ∴=,29b =,因此椭圆C 的方程为221189x y +=、 (4分)(Ⅱ)法一:设000(,)(0)M x y x ≠,11(,)N x y ,11MB NB ⊥,22MB NB ⊥,∴直线1NB :0033x y x y +=-+……①直线2NB :0033xy x y -=--……②由①,②解得:20109y x x -=,又22001189x y +=,012x x ∴=-,四边形21MB NB 的面积1212013||(||||)3||22S B B x x x =+=⨯,Q P OECBA20018x <≤,∴当2018x =时,S、 (12分)法二:设直线1MB :3(0)y kx k =-≠,则直线1NB :13y x k=--……①直线1MB 与椭圆C :221189x y +=的交点M 的坐标为2221263(,)2121k k k k -++,则直线2MB 的斜率为222263312112221MB k k k k k k --+==-+,∴直线2NB :23y kx =+……②由①,②解得N 点的横坐标为2621N kx k =-+,四边形21MB NB 的面积12222112||6||54||54||(||||)3()122121212||||M N k k k S B B x x k k k k k =+=⨯+==++++,当且仅当||k =,S、 (12分)21、(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识,以导数为工具研究函数的方法,考查学生解决问题的综合能力、【试题解析】(Ⅰ)2222()a ax f x x x x -'=-+=,①当0a ≤时,()0f x '<在(0,)x ∈+∞上恒成立,∴()f x 在(0,)+∞上单调递减;②当0a >时, 2(0,)x a ∈时()0f x '<,2[,)x a ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 在2(0,)x a ∈上单调递减,在2[,)x a∈+∞单调递增; (4分)(Ⅱ)∵2x =就是()f x 的极值点, ∴由(1)可知22a=, ∴1a = 设在()11,()P x f x 处的切线方程为112111221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-,在()22,()Q x f x 处的切线方程为222222221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-∴若这两条切线互相平行,则2211222121x x x x -+=-+,∴121112x x +=∵211112x x =-,且1206x x <<<,∴11111162x x <-<,∴111143x <<,∴1(3,4)x ∈令0x =,则1114ln 1b x x =+-,同理,2224ln 1b x x =+-、【解法一】∵211112x x =-,∴1212121111121111=4()ln ln =4()ln ln()22b b x x x x x x x --+---+- 设1()82ln ln()2g x x x x =--+-,11(,)43x ∈∴2222111681(41)()801222x x x g x x x x x xx -+-'=--==<---∴()g x 在区间11(,)43上单调递减,∴2()(ln 2,0)3g x ∈-即12b b -的取值范围就是2(ln 2,0)3-、 (12分) 【解法二】∵12122x x x =-, ∴11212121118=4()ln ln =2ln(1)2x b b x x x x x --+--+-令8()ln(1)22xg x x =+--,其中(3,4)x ∈ ∴2222281816(4)()02(2)(2)x x x g x x x x x x x -+-'=-+==>---∴函数()g x 在区间(3,4)上单调递增, ∴2()(ln 2,0)3g x ∈- ∴12b b -的取值范围就是2(ln 2,0)3-、 (12分)【解法三】∵()12122x x x x ⋅=+,()1212211111212112122122222124()44ln ln ln =ln ln 1x x x x x x x x x b b x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭-=-+-=+=+=+⋅++设()21()ln 1x g x x x -=++,则()222141()(1)(1)x g x x x x x --'=+=++ ∵1121=1(,1)22x x x -∈,∴()0g x '>,∴函数()g x 在区间1(,1)2上单调递增, ∴2()(ln 2,0)3g x ∈-,∴12b b -的取值范围就是2(ln 2,0)3-、 (12分)22、 (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识、【试题解析】解:(Ⅰ)2112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 设()()11,,,N M ρθρθ,()10,0ρρ>>1112ρρθθ=⎧⎨=⎩,即312cos ρθ=,即4cos ρθ=,所以()22400x x y x -+=≠、 (5分) (Ⅱ)将1l 的参数方程代入C 的直角坐标方程中,221(2)4(2)(1)02t -+++=即230t t +-=,12,t t 为方程的两个根,所以123t t =-, 所以1233AP AQ t t ⋅==-=、 (10分)23、(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式等内容、 本小题重点考查化归与转化思想、【试题解析】解:(1)①当12x <时,21()324,32f x x x =-+≤∴-≤< ②当112x ≤<时,1()4,12f x x x =≤∴≤< ③当1x ≥时,()324,f x x =-≤∴12x ≤≤综上:()4f x ≤的解集为2{|2}3x x -≤≤、 (5分) (II)法一:由(I)可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，,min 1(),2f x ∴=即12m =、 又,,,a b c R +∈且12a b c ++=,则2221a b c ++=,设x =,y =,z =, 222x y xy +≥,2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++,同理:2222yz b c ≤++,2222zx c a ≤++,2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=,2222()222212121812x y z x y z xy yz zxa b c ∴++=+++++≤++++++=,x y z ∴++≤≤当且仅当16a b c ===时,取得最大值 (10分) 法二:由(I)可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，,min 1(),2f x ∴=即12m =, ∴,,,a b c R +∈且12a b c ++=, 2444212121333()222a a a =++++++≤++=当且仅当16a b c ===时,取得最大值 (10分) 法三:由(I)可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，,min 1(),2f x ∴=即12m = 12a b c ∴++=,(21)(21)(21)4a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知2222222)(111)111)++⋅++≥+≤ 当且仅当212121a b c +=+=+,即16a b c ===时。
2019年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)
2019年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12-D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（ ）4.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ，那么在空白框中填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6C ．1n n =+和8D ．2n n =+和85.函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为（ ）6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．BC ．D 7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．608.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c o s c o s c o s b B a C c A =+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ） A ．512πB ．712π C ．924π1 D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x x x <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E 的（ ）条切线 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在ABC △中，2AB =，AC =23ABC π=∠，则BC =______________. 14.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x +的最大值为______________.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、C ，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科. 可以判断乙教的学科是______________.16.已知函数()21ln 2f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题： ①010x e <<；②01x e>；③()000f x x +<；④()000f x x +>； 其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列{}n a 满足：2423n nn S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[]20,10--，需求量为100台；最低气温位于区间[)25,20--，需求量为200台；最低气温位于区间[)35,25--，需求量为300台。
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是椭圆 C 的短轴端点，且 B1 到焦点的距离为
3 2 ，点 M 在椭圆 C 上运动，且点 M 不与 B1 、 B2 重合，点 N 满足 NB1 ⊥ MB1 ， NB2 ⊥ MB2 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
y B2 M
O
x
N
B1
（Ⅱ）求四边形 MB2NB1 面积的最大值.
21. （本小题满分 12 分）
2a +1 + 2b +1 + 2c +1 的最大值.
理科数学试题 第4页（共4页）
9. “科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量. 2007 年至 2018 年，某企 业连续 12 年累计研发投入达 4100 亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研 发投入占营收比. 这 12 年间的研发投入（单位：十亿元）用下图中的条形图表示， 研发投入占营收比用下图中的折线图表示.
（Ⅰ）若 sin B = 2 2 ，求 ABC 的面积； 3
（Ⅱ）若点 D 在 BC 边上且 BD = 2DC ， AD = BD ，求 BC 的长.
18. （本小题满分 12 分） 某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人 200 人，第二车间有工人 400
人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位
= ____________.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. （本小题满分 12 分）
在 ABC 中， AB = 6 ， AC = 4 2 .
离心率为_____________. 15. 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得
两堑堵. 斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑. 阳马居二，鳖臑居 一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若 称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小 正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述：
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
11. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y2 = 8x 上一点 A 到焦点 F 的距离为 6，若点 P 为
抛物线 C 准线上的动点，则| OP | + | AP | 的最小值为
A. 4
B. 4 3
C. 4 6
D. 6 3
1+ ln x, x ≥1
12.
已知函数
f
长春市 2019 年高三质量监测（三）
理科数学
本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
（Ⅰ）求出 l1 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 l1 与曲线 C 交于 P ， Q 两点，求| AP | | AQ | 的值.
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲
已知函数 f (x) =| 2x −1| + | x −1| . （Ⅰ）求不等式 f (x) ≤ 4 的解集； （ Ⅱ ） 设 函 数 f (x) 的 最 小 值 为 m ， 当 a,b,c R+, 且 a + b + c = m 时 ， 求
1. sin 210 =
A. − 1 2
B. − 3 2
1
C.
2
3
D.
2
2. 已知集合 A = {−1,0,1,2}， B = {x | (x +1)(x − 2) 0} ，则 A B =
A. {−1,0,1,2}
B. {−1,0,1}
C. {0,1,2}
D. {0,1}
3. 若复数 a + i 的实部与虚部相等，则实数 a 的值为 1+ i
13. 已知函数 f (x) = sin(x + )（ 0 ）的最小正周期为 ，则 = _____________， 4
若 f ( ) = 2 ，则 sin 2 = ____________.
2 10 14. 已知矩形 ABCD ， AB = 12，BC = 5 ，以 A, B 为焦点，且过 C, D 两点的双曲线的
3
，则
(e1 − 2e2) (−2e1 + e2) =
D. 3
开始
输入 N k =1, p =1
p = pk
k N?
否
输出 p
k = k +1
是
A. − 3 2
B. − 3
结束
6
1
C.
2
3
D.
3
7. 若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不
是一等品的条件下，另 1 件是一等品的概率为
100
90
90 19%
17%
80
15.1% 76
14.2%
14.6%
14.9%15%
70
13.5% 13.2%
60
11.5%
60
13%
50 10.0%
10.0% 8.4%
8.9%
9.7%
41
40
11% 9%
30
30 32
7%
24
5%
20
18
10 6.6 9.4 10 13
3%
1%
0 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
0
55 65 75 85 95 生产时间/min
第一车间样本频数分布表
第二车间样本频率分布直方图
（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于 75min 的人数；
（Ⅱ）分别估计两个车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率
更高？（同一组中的数据以这组数据所在的区间中点的值作代表）
（Ⅲ）从第一车间样本中生产时间小于 75min 的工人中随机抽取 3 人，记抽取的生
A. 0
B. 1
C. 2
4. 执行如图所示的程序框图，如果输入 N = 4 ，则输出 p 为
A. 6
B. 24
C. 120
D. 720
5. 已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a2 = 4 ，a4 = 2 ，则 S6 =
A. 0
B. 10
C. 15
D. 30
6.
已知
e1 、
e2
是两个单位向量，且夹角为
研发投入
研发投入占营收比
根据折线图和条形图，下列结论错．误．的是
A. 2012-2013 年研发投入占营收比增量相比 2017 年至 2018 年增量大
B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加
C. 2015-2016 年研发投入增值最大
D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加
10. 函数 f (x) = x(e−x − ex ) 的部分图象大致是 4x2 −1
工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照
[55,65) ，[65,75) ，[75,85) ，[85,95]进行分组）.
分组 频数
频率 组距
0.050
[55,65) 2
[65,75) 4 [75,85) 10
0.025 0.020
[85,95] 4 合计 20
0.005
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、
挂纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
已知 a R ，函数 f (x) = 2 + a ln x .
x （Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）若 x = 2 是 f (x) 的极值点，且曲线 y = f (x) 在两点 P(x1, f (x1)) 、Q(x2, f (x2))
（ x1 x2 6 ）处的切线互相平行，这两条切线在 y 轴上的截距分别为 b1 、b2 ，求 b1 − b2
3
A.
7
4
B.
5
6
C.
7
12
D.
13
理科数学试题 第1页（共4页）
8. 已知 m，n 为两条不重合直线，， 为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出
// 的是
A. m // n,m ,n
B. m // n,m ⊥ ,n ⊥
C. m ⊥ n,m // ,n //
D. m ⊥ n, m ⊥ , n ⊥
产时间小于 65min 的工人人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望.
理科数学试题 第3页（共4页）
19. （本小题满分 12 分）
如图，等腰梯形 ABCD 中， AB // CD ， AD = AB = BC =1， CD = 2 ，E 为 CD
中点， AE 与 BD 交于点 O ，将△ ADE 沿 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置( P 平面
ABCE ).
P