2017-2018学年河北省定州中学高一下学期期中考试数学试题

2017-2018学年河北省定州中学高一下学期期中考试数学试
题
时间：120分钟总分：120分
一、单选题
1．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（）
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
2．四棱锥的底面是边长为6的正方形,且PA PB PC PD
===，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是( )
A. 6
B. 9
4
C.
9
2
D. 5
3．如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )
A. ①③
B. ①②
C. ②④
D. ②③
4．如图是棱长为4的正方体，点B 为棱的中点，若三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 表面上，则球O 的表面积是（ ）
A. 36π
B. 48π
C. 56π
D. 64π
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 12π
+ B. 32π
+ C. 312π+ D. 332π
+
6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 365cm π
B. 33cm π
C. 332cm π
D. 373
cm π 7．如图，已知四边形ABCD 是正方形， ABP ， BCQ ， CDR ， DAS 都是等边三角形， E 、F 、G 、H 分别是线段AP 、DS 、CQ 、BQ 的中点，分别以AB 、BC 、CD 、DA 为折痕将四个等边三角形折起，使得P 、Q 、R 、S 四点重合于一点P ，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：
①EF 与GH 为异面直线； ②直线EF 与直线PB 所成的角为60︒
③EF 平面PBC ； ④平面EFGH 平面ABCD ；
其中正确结论的个数有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
8．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）
A. B. C. D.
9．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为（ ）
A. 直线BD ⊥平面1A OC
B. 三棱锥1A BCD -
C. 1A B CD ⊥
D. 若E 为CD 的中点，则//BC 平面1A OE
10．在正方体1111ABCD A B C D -中， ,M N 分别是1,AB BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 13
11．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED ∆'是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是
A. 恒有DE ⊥A F '
B. 异面直线A E '与BD 不可能垂直
C. 恒有平面A GF '⊥平面BCDE
D. 动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上
12．已知直线1:3l y ax =+与2l 关于直线y x =对称， 2l 与3:210l x y +-=垂直，则a =（ ）
A. 12-
B. 12
C. -2
D. 2
二、填空题
,m l ,αβ
l αl α⊥
//l αl α
,m l αβ⊂⊂l m ⊥αβ⊥,l l βα⊂⊥αβ⊥
,m l αβ⊂⊂//αβ//m l
14．如图15， 在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ， M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的余弦值______________.
15．正方体1111ABCD A B C D -中， ,,M N Q 分别是棱1111,,C D A D BC 的中点，点P 在对角线1BD 上，给出以下命题：
①当P 在线段1BD 上运动时，恒有//MN 平面APC ；
②当P 在线段1BD 上运动时，恒有1AB ⊥平面BPC ；
③过点P 且与直线1AB 和11A C 所成的角都为0
60的直线有且只有3条.
其中正确命题为__________．
16．在正方体1111ABCD A B C D -中（如图），已知点P 在直线1BC 上运动，则下列四个命题：
①d 三棱锥1A D PC -的体积不变；
②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变；
③二面角1P AD C --的大小不变；
④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是直线11A D 其中真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）
三、解答题
17．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
(1)证明MN ∥平面PAB ；
(2)求四面体N －BCM 的体积．
18．如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ， ,,1AD AB DC AB PA ⊥=，
2,AB PD BC ===
（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点E ，使截面AEC 把该几何体分成的两部分PDCEA 与EACB 的体积比为2:1；
--的余弦值（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角E AC P
参考答案
DBACA DDCCC
11．B
12．B
13．①④
14．3
15．②③
16．①③④ （多选或错选或不选不给分，少选均给一半，）
17．（1）见解析；（2 (1)证明：由已知得AM ＝AD ＝2，如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN//AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT.因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB.
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA.
如图，取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝＝. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为，故S △BCM ＝×4×＝2
， 所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝×S △BCM ×＝
.
18.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） E 为PB 的中点；（Ⅲ）
3 （Ⅰ）证明：∵,AD AB DC
AB ⊥，
∴DC AD ⊥．
∵PA ⊥平面ABCD ， DC ⊂平面ABCD ，
∴DC PA ⊥．
∵AD PA A ⋂=，
∴DC ⊥平面PAD ．
∵DC ⊂平面PCD ，
∴平面PAD ⊥平面PCD ．
（Ⅱ）解：作EF AB ⊥于F 点，
∵在ABP ∆中， PA AB ⊥，
∴EF PA ．
∴EF ⊥平面ABCD ．
设1,1,12ABC EF h AD S AB AD ∆==
==⋅=， 则1133
E ABC ABC V S h h -∆=⋅=． ()12111113322
P ABCD ABCD V S PA -+⨯=⋅=⨯⨯=． 由:2:1PDCEA EACB V V =，得111:2:1233
h h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得12h =． 12
EF PA =，故E 为PB 的中点． （Ⅲ）解：连接FC 、FD ， FD 与AC 交于点O ，连接OE ，
由（Ⅱ）可知EF ⊥平面ABCD ，所以EF AC ⊥．
∵ADCF 为正方形，
∴FO AC ⊥．
∵FO EF F ⋂=，
∴AC ⊥平面EFO ，故EO AC ⊥．
∴EOF ∠是二面角E AC B --的平面角．
由PA ⊥平面ABCD ，可知平面PAC ⊥平面ABCD ．
∴二面角E AC B --与平面角E AC P --互余．
设二面角E AC P --的平面角为θ，则cos sin EOF θ=∠，
在Rt EOF ∆中， 1,2EF FO EO ===，
cos sin 3
EOF θ=∠=，
所以二面角E AC P --。