广东省广州市越秀区2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题(扫描版)
2023-2024学年广东省广州市高一下学期5月月考数学质量检测模拟试题(含答案)
广东省广州市2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足1i2i 1i z --=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.1B.iC.i- D.1-【正确答案】A【分析】根据复数的除法与虚部的定义求解即可.【详解】()()()21i 1i2i 2i 2i 2i i 1i 1i 1i 2z ---=+=+=+=++-，故虚部为1.故选：A2.已知()1,1a = ，()2,0b = ，()2,4c =r，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是（）A.a ，b c -B.a ，b c+C.a ，2b c-D.a ，2b c+【正确答案】B【分析】根据向量的坐标运算结合基底向量的定义逐项分析判断.【详解】对于A ：()0,4b c -=-r r，则()141040⨯--⨯=-≠，可得a ，b c - 不共线，则a ，b c -可以作为一组基底，故A 正确；对于B ：()4,4b c +=r r，则14140⨯-⨯=，可得a ，b c + 共线，则a ，b c +不可以作为一组基底，故B 错误；对于C ：()22,4b c -=-r r，则()141260⨯--⨯=-≠，可得a ，2b c - 不共线，则a ，2b c -可以作为一组基底，故C 正确；对于D ：()26,4b c +=r r，则141620⨯-⨯=-≠，可得a ，2b c + 不共线，则a ，2b c +可以作为一组基底，故D 正确；故选：B.3.在ABC中，若222a b c +=，则角C 等于（）A.30︒B.60︒C.150︒D.120︒【正确答案】A【分析】根据余弦定理可得cos C 的值，即得答案．【详解】在ABC 中，222a b c +=+，可得22233cos 222a b c C ab ab +-===，由于0180C ︒<<︒，故30C =︒，故选：A ．4.已知不重合的直线l ，m 和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A.若l α∥，//l β，则//αβB.若l α⊥，l m ⊥，则//m αC.若l α⊥，l β⊥，则//αβD.若l ⊂α，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ【正确答案】C【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.【详解】对于A ：若//l α，//l β，则平面α，β的位置关系有：平行、相交，故A 错误；对于B ：若l α⊥，l m ⊥，则,m α的位置关系有：//m α或m α⊂，故B 错误；对于C ：若l α⊥，l β⊥，根据线面垂直的性质可知：//αβ，故C 正确；对于D ：根据面面平行的判定定理可得：若,l m 相交，则//αβ，否则不成立，故D 错误.故选：C.5.用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）A.1cmB.C.D.2cm【正确答案】B【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm ，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=23,3π⨯即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高h ==,故选B本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.6.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（）A.49B.481C.427D.827【正确答案】B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D HJK -为正三棱锥，设正方体的棱长为3，则2DH DK DJ ===，所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=，则427EF =，所以481EF EG =.故选：B7.已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 下列选项中正确的是（）A.若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B.若sin cos A B =，则ABC 是直角三角形C.若22tan tan a B b A =，则ABC 是等腰三角形D.若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 是等边三角形【正确答案】D【分析】根据正、余弦定理结合三角函数、三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于A ：若222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，因为()0,πC ∈，可得C 为锐角，但不确定,A B 是否为锐角，所以不能确定ABC 的形状，给A 错误；对于B ：因为()0,πA ∈，则sin cos 0A B =>，可得π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭或πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得π2A B =-或π2A B =+，故B 错误；对于C ：若22tan tan a B b A =，由正弦定理可得：22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⨯=⨯，因为(),0,πA B ∈，则sin 0,sin 0A B ≠≠，可得sin cos sin cos A A B B =，整理得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，可知ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对D ：因为(),,0,πA B C ∈，则()()()π,π,π,π,π,πA B B C C A -∈--∈--∈-，可得()(]()(]()(]cos 1,1,cos 1,1,cos 1,1A B B C C A -∈--∈--∈-，若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则()()()cos 1,cos 1,cos 1A B B C C A -=-=-=，可得0,0,0A B B C C A -=-=-=，即A B C ==，则ABC 是等边三角形，故D 正确；故选：D.8.有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A.8110B.10C.5D.【正确答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB ，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭,则π2ABQ θ∠=-.过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ θθ==∠=∠=∠=∠=-.在直角三角形ACP 中，sin sin AC CPA AP θ∠==,所以3sin sin AC AP θθ==.同理.3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以33π,0sin cos 2AB AP BP θθθ⎛⎫=+=+<< ⎪⎝⎭.因为333sin cos AB θθ=+≥⨯=≥sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9l ===,所以810.90.9910m l ==⨯=.故选：A利用三角函数解应用题的解题思路：（1）画出符合题意的图形；（2）把有关条件在图形中标出；（3）建立三角关系式，利用三角函数求最值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.234i i i i 0+++=B.2i 1i+>+C.若()212i z =-，则z 在复平面内对应的点位于第四象限D.已知复数z 满足2z =，则复数z 对应点的集合是以O 为圆心，以2为半径的圆【正确答案】AD【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项.【详解】A.234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 正确；B.虚数不能比较大小，故B 错误；C.()212i 34i z =-=--，则z 在复平面内对应的点为()3,4--，在第三象限，故C 错误；D.根据复数模的几何意义，可知D 正确.故选：AD10.关于平面向量，下列说法正确的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b 方向上的投影向量是86,55⎛⎫⎪⎝⎭C.若(),2a λ= ，()1,1b λ=+- ，且a 与b的夹角为钝角，则()2,1λ∈-D.若OA OC OB OD +=+且AB AD AC AB AD AC+= ，则四边形ABCD 为菱形【正确答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ；根据投影向量的概念判断B ；根据向量夹角的概念判断C ；由向量的线性运算得AB DC =，可得ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，由条件结合平面向量基本定理可判断D ．【详解】若0b = ，虽然有a b ∥，b c ∥，但不一定有a c∥，A 错；()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b方向上的投影向量是24686(,)5,55(43)a b b b b ⋅+==，B 正确；当2(2,1)3λ=-∈-时，2a b =- ，两向量方向相反，夹角为π不是钝角，C 错；若OA OC OB OD +=+，即OB OA OC OD -=- ，则AB DC = ，所以ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，又||||||AB AD ACAB AD AC +=，即||||||||AC AC AB AD AC AB AD += ，则||||1||||AC AC AB AD == ，所以AB AD AC ==，所以ABCD 是菱形，D 正确．故选：BD ．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点Q 为11B C 的中点，点N 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A.CQ 与BN 为异面直线B.11CQ C D ⊥C.直线BN 与平面ABCD 所成角为30︒ D.三棱锥Q NBC -的体积为23【正确答案】AB【分析】对A ，直接观察判断即可；对B ，根据11C D ⊥平面11BCC B 判断即可；对C ，根据线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D ，利用等体积法Q NBC N QBC V V --=求解即可.【详解】对A ，由图可得，,,C Q B 共面，且N 不在平面内，则CQ 与BN 为异面直线,故A 正确；对B ，由正方体性质可得11C D ⊥平面11BCC B ，又CQ ⊂平面11BCC B ，故11C D CQ ⊥,故B 正确；对C ，由ND ⊥平面ABCD 可得直线BN 与平面ABCD 所成角为NBD ∠，又2AB AD ==，则1BD ND ==，故tan4NBD ∠==，故30NBD ∠≠︒，故C 错误；对D ，111114·2223323Q NBC N QBC QBC V V S D C --===⨯⨯⨯⨯= ，故D 错误.故选：AB12.在锐角ABC 中，已知4,3AB AC ==，D 为边BC 上的点，BAD CAD ∠=∠，则线段AD 长的可能取值为（）A.B.C.3.3D.【正确答案】AB【分析】根据等面积公式，结合三角形是锐角三角形，求线段AD 的取值范围，即可判断选项.【详解】4,3AB AC ==，设AD x =，BC a =，BAD CAD θ∠=∠=，且AB BD AC DC =，所以47BD a =，37DC a =根据ABD ADC ABC S S S += ，得1114sin 3sin 43sin 2222x x θθθ⨯⋅+⨯⋅=⨯⨯⋅，得24cos 7x θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么1222477x <<，角C 为锐角三角形，则ABC 中，2291609160a a ⎧+->⎨+->⎩，即2725a <<，ADC △中，223907a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，229949x a <+，即2929710497x ≤+⨯=综上可知，12261477x <≤，只有AB 满足条件.故选：AB关键点点睛：本题考查解三角形中的范围问题，关键是如何应用锐角三角形这个条件，根据余弦定理和三角形面积公式，围绕锐角三角形列式，即可求解.三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且A D y ''∥轴，BC x ''∥轴，2AD ''=，2B C ''=，则ABC 的面积是________．【正确答案】4【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.【详解】由图象知：2BC B C ''==，24''==AD A D ，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=.故4.14.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为________．【正确答案】213【分析】由圆台的体积求得圆台的高h ，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的高为h ，则该圆台的体积为22152ππ(2626)104π33V h h =⨯++⨯⨯==，则6h =，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M ，下底面圆心为N ，MD ＝2，NC ＝6，过D 作DE ⊥NC ，则EC ＝6－2＝4，又DE ＝h ＝6，所以圆台的母线长为22213DC DE EC =+=．故答案为.21315.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为4，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，则该三棱柱的外接球的体积为________．【正确答案】86π【分析】首先求出ABC 外接圆的半径r ，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即可求出R ，再根据球的体积公式计算可得.【详解】因为2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以222BC AB AC =+=设ABC 外接圆的半径为r ，则222sin BCr BAC==∠，又直三棱柱111ABC A B C -的高4h =，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即()(22224R =+，解得R =，所以外接球的体积34π3R V ==.故16.已知ABC 满足()AB AC AB AC BC ⋅=+⋅ ，则cos C 的最小值为________．【正确答案】23【分析】首先化简条件，再结合数量积公式和余弦定理化简得到2223a b c +=，再结合余弦定理和基本不等式求解.【详解】由条件可知，22()()A AB A A C A C B B AC AB A C ⋅=-=-+⋅ ,设,,AB c AC b BC a ===，则22cos bc A b c =-，即22222cos 2b c b c a A bc bc -+-==，则2222222b c b c a -=+-，化简为2223a b c +=，222222222222cos 233a b c a b c c C ab a b c +-+-=≥==+，当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值是23.故23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()32,,1，=-= a b x .（1）若()()22a b a b +⊥- ，求实数x 的值；（2）若()()8,1,//=--+ c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.【正确答案】（1）6x =或32x =-.（2）π4θ=【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得5x =，结合数量积的定义计算即可求解.【小问1详解】已知()()=3,2,=,1a b x - ，所以()()232,0,26,5+=+-=- a b x a b x .又因为()()22a b a b +⊥- ，所以有()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以()()326050x x +-+⨯=，解得6x =或32x =-.【小问2详解】因为()8,1c =-- ，所以()8,2b c x +=-- .又()//a b c + ，所以()()32280x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以()=5,1b - .所以cos 2||||a b a b θ⋅==⋅ ，因为0πθ≤≤，所以π4θ=.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c 2sin 0b C -=.（1）求角B的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.【正确答案】（1）3B π=（2）条件①：+；条件②：332+【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出sin B ，再结合角的范围，即可求得.（2）选条件①：首先利用余弦定理求出2c =.选条件②:首先利用正弦定理求出b ，再结合三角函数恒等变换求出sin C ，再利用三角形面积公式即可求得.【小问1详解】解：（12sin 0bC -=2sin sin 0C B C -=．因为0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =．又因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=．【小问2详解】选条件①：4b a ==；因为4b a ==，由（1）得3B π=，所以根据余弦定理得2222cos =+-⋅⋅b c a c a B ，可得24110c c --=，解得2c =+所以ABC 的面积1sin 2S c a B =⋅=，选条件②：2,4a A π==；由（1）知3B π=且4A π=，根据正弦定理得sin sin b a B A =，所以sin sin ⋅==a B b A ，因为512C A B ππ=--=，所以5sin sin sin 12464C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积13sin 22=⋅=S b a C ．19.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1)（2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克附：π 3.14≈．【正确答案】（1）169.6（2）3768【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【小问1详解】该半球的直径6cm d =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得半径3cm R =，所以两个半球的体积之和为3344ππ2736πcm 33球==⋅=V R ，而23ππ9218πcm 圆柱=⋅=⨯⨯=V R h ，该“浮球”的体积是336π18π54π169.6cm 球圆柱=+=+=≈V V V ；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π3768⨯≈（克）．20.如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B 同在水平面内的两个测点C 与D .在C 点测得塔底B 在北偏东45︒方向，然后向正东方向前进10米到达D ，测得此时塔底B 在北偏东15︒方向.（1）求点D 到塔底B 的距离BD ；（2）若在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，求铁塔高AB .【正确答案】（1）米；（2）+米.【分析】（1）利用正弦定理列方程，解方程求得BD .（2）利用正弦定理列方程，解方程求得BC ，再解直角三角形求得AB .【详解】（1）由题意可知，45BCD ∠=︒，105BDC ∠=︒，故30CBD ∠=︒在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，10sin 45sin 30BD ∴=⋅︒=︒∴点D 到塔底B 的距离BD 为米（2）在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BC BD BDC BCD=∠∠∴()()102sin10520sin 604520sin 60cos 45cos 60sin 45sin 45BC =⋅︒=⋅︒+︒=⋅︒︒+︒︒︒204=⨯=.在Rt ABC 中，tan AB BC ACB =⨯∠==.所以，铁塔高AB 为+米.21.如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==， 1.EC =将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，如图2所示，使平面1D EC ⊥平面ABCE .（1）连结BE ，证明：AB ⊥平面1D BE ；（2）在棱1AD 上是否存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，若存在，直接指出点G 的位置(不必说明理由)，并求出此时三棱锥1G D EC -的体积；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，点G 为1AD 的中点，16.【分析】（1）通过面面垂线的性质定理，证得1D E ⊥平面ABCE ，由此证得1D E AB ⊥.利用勾股定理计算证明BE AB ⊥，从而证得AB ⊥平面1D EB .（2）通过线面平行的判定定理，判断出点G 为1AD 的中点.利用换顶点的方法，通过11G D EC C D EG V V --=，来计算出三棱锥1G D EC -的体积.【详解】(1)因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，平面1D EC 平面ABCE EC =，11,D E EC D E ⊥⊂平面1D EC ，所以1D E ⊥平面ABCE ，又因为AB ⊂平面ABCE ，所以1D E AB⊥，又2AB BE AE ===，满足222AE AB BE =+，所以BE AB ⊥，又1BE D E E = ，所以AB ⊥平面1D EB .(2)在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时点G 为1AD 的中点.11G D EC C D EG V V --=，由(1)知，1D E ⊥平面ABCE ，所以1CE D E ⊥，又CE AE ⊥，所以CE ⊥平面1AED ，所以CE 为三棱锥1C D EG -的高，且1CE =，在1Rt D EA 中，11,2D E AE ==，G 为斜边1AD 的中点，所以111111212222D EG D EA S S ==⨯⨯⨯=，所以111111113326G D EC C D EG D EG V V S CE --==⋅=⨯⨯=.故，在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时三棱锥1G D EC -的体积为16.本小题主要考查线面垂线的证明，考查面面垂直的性质定理的运用，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知向量()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）当2m =时，求()f x 的最小值；（2）是否存在实数m ，使不等式()42si 6n cos f x m x x>--+对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）1-（2）存在，取值范围为(4,)+∞【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；（2）根据（1）的出函数()f x ，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由题可知，因为()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，所以π2sin cos (2)(sin cos )sin 22)sin((4)f x a b x x x x x x m m -++=+==+⋅ ππcos(2)2)sin2(4m x x +=+-+，又2ππcos(22sin (124x x -+=+-，令πsin([1,1]4x t =+∈-，当2m =时，所以22()()212(5f t t x t ϕ==--=--，对称轴1t =>，开口向上，由二次函数的单调性知，所以()t ϕ在[1,1]-上单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最小值为2min ()(1)()21111t f x ϕϕ===⨯--=-.所以()f x 的最小值为1-【小问2详解】由（1）知，2sin cos (2)(sin )co (s )m f x a b x x x x -⋅+==+ ，所以()2sin cos (2)(sin cos )42sin c 6os f x x x m x x m x x =-++>--+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令sin cos x x p =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则πsin cos 4p x x x ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即π14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1p ≤≤由sin cos x x p =+，得22sin cos 1x p x =-，则21(2)642p m p m p--+>--，整理得2(3)(2)(2)0p p mp p +-+->，所以23p mp +<，故3m p p >+在上恒成立，由对勾函数的性质知：3p p+在上单调递减，当1p =时，3p p+取到最大值4，所以4m >，故存在m ，且m 的范围为(4,)+∞.。
2012-2013学年下学期期末调研考试高一数学试题(含答案)(必修3+必修4)
2012-2013学年下学期期末调研考试高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分150分．考试时间100分钟．注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．第Ⅱ卷，请务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．第I 卷（选择题，共60分）一．选择题(本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项．每小题5分，共60分) 1.25sin 6π=Ａ．12 Ｃ．12- Ｄ．2.某公司有1000名员工．其中高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工800名，属于低收入者．要对该公司员工的收入情况进行调查，欲抽取200名员工进行调查，应从中层管理人员中抽取的人数为Ａ．10 Ｂ．15 Ｃ．20 Ｄ．303.已知(2,7)M -，(10,2)N -，点P 是线段MN 上的点，且2PN PM =-，则点P 的坐标是Ａ．(14,16)-Ｂ．(22,11)- Ｃ．(6,1) Ｄ．(2,4)4.把88化为五进制数是Ａ．(5)323 Ｂ．(5)324 Ｃ．(5)233 Ｄ．(5)332 5.有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为 Ａ．101 Ｂ．103 Ｃ．21 Ｄ．107 6.为了得到函数1sin()23y x π=-的图像，只需将1sin 2y x =的图像上每一点Ａ．向左平移3π个单位长度 Ｂ．向右平移3π个单位长度 Ｃ．向左平移23π个单位长度 Ｄ．向右平移23π个单位长度 7.若函数()sin()f x x ωϕ=+的图像（部分）如图所示，则ω和ϕ的取值分别为 Ａ．1,3πωϕ==Ｂ．1,3πωϕ==-Ｃ．1,26πωϕ== Ｄ．1,26πωϕ==-8.已知()sin (1)(1)33f x x x ππ⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则(1)(2)(2011)(2012)f f f f ++++=Ａ．0 Ｃ．1 Ｄ．9.已知3a =，4b =，且()()a kb a kb +⊥-，则实数k =Ａ．43± Ｂ．34± Ｃ．35± Ｄ．45± 10.若1a =，2b =，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是 Ａ．30° Ｂ．45° Ｃ．60° Ｄ．75°11.设0000cos50cos127cos 40cos37a =+，0056cos56)2b =-， 20201tan 391tan 39c -=+，0201(cos802cos 501)2d =-+，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 Ａ．a b d c >>>Ｂ．b a d c >>>Ｃ．a c b d >>> Ｄ．c a b d >>> 12.在区间[1,1]-上随机取一个数x ，使22x 的值介于0到12之间的概率为 Ａ．13 Ｂ．14 Ｃ．12 Ｄ．23。
广东省广州市广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）1. 在等差数列中，，则值是（）A. 12B. 18C. 24D. 302. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值3. 已知离散型随机变量X 的分布列，则（ ）A. 1B.C.D.4. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）的{}n a 3712a a +=72S S -()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =(1,2,3,4,5)5k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭13105P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭231513{}n a 14a 312a 23a 2021202320202022a a a a -=-A. 1B. 2C. 3D. 45. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）A. 248种B. 168种C. 360种D. 210种6. 的展开式中常数项为（ ）A. 120B. C. 180D. 7. 若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列的前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲乙不相邻的排法种数为82种D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种10. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ）A. 数列的前60项和B. 数列的前60项和的()62132x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭120-180-()e x f x a x =-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1)1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(,0)-∞{}n a n S 2n nn a =(1)nn n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ {}n a 135a =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭60S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭605S =C. 数列的通项公式是D. 数列的通项公式是11. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）A. 年产量为9000件B. 年产量为10000件C. 年利润最大值38万元D. 年利润最大值为38.6万元第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12 已知数列满足，且对任意，有，则______.13. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X______．14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.16. （1）若，求的值；（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，①求的值；②若第项是有理项，求的取值集合；③求系数最大的项．为.{}2n a221n a n =-{}2n a 221n a n =+()R x ()22110.8,010,301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩{}n a 11a =*n ∈N ()11nn n a a n +=+-⋅22a ==()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()22f =()e e0xxf ->()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 423401234(2x a a x a x a x a x -=++++1234a a a a +++22nx ⎫-⎪⎭n k k17. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．18. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.19. 已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）设（其中），讨论函数的单调性；（3）若对，都有，求n 取值范围．的{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b {}n b n nT{}n b 6T 2n T 1335()ln ()af x x x a x=+∈R 1x =(e)f ()322111()2()2x P x m x x f x x x+=--+m ∈R ()P x [1,3]x ∀∈2164()ln 11nx x f x x n x x +--+-≤-+广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】AD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）【12题答案】【答案】【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【16题答案】【答案】（1）；（2）①；②；③.【17题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【18题答案】【答案】（1）分布列略，（2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由略【19题答案】【答案】（1） （2）答案略（3）10-(),ln 2-∞3a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263ef =()212e f -=-88-8n ={}1,3,5,7,91171792T x -=2n n a =22425272826438T =()26817nn T =-2930()1e e ef =+5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
2022-2023学年广东省广州市越秀区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 6＝12，S 6＝42，则{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知f （x ）＝x 3+x 2，则f （x ）的单调递减区间是（ ） A ．(−∞，−23) B ．(−23，0)C ．（0，+∞）D ．(−∞，−23)和（0，+∞）3．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f '（x ），且函数f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，则函数y ＝xf '（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A 为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B 为“两个家庭选择的景点不同”，则P （B |A ）＝（ ） A ．23B ．78C ．89D ．9105．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X ～N （78，9），如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A ，B ，C ，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（ ） 参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （|X ﹣μ|≤σ）≈0.68，P （|X ﹣μ|≤2σ）≈0.96． A ．69B ．81C ．87D ．966．某外贸工厂今年的月份x 与订单y （单位：万元）的几组对应数据如下：变量x ，y 具有线性相关关系，其经验回归方程为：y =b x +a ，则估计10月份该厂的订单数为（ ）参考数据：∑ 5i=1y i =175，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55参考公式：b =∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2=∑x i y i−nxyni=1∑x i 2−nx2ni=1A ．93.1B ．89.9C ．83.1D ．59.97．下列说法正确的是（ ）A ．在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数R 2越大B ．随机变量X 的方差为2，则D （2X +1）＝5C ．随机变量ξ～B （n ，p ），若E （ξ）＝30，D （ξ）＝20，则n ＝45D ．安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种8．已知f （x ）＝2lnx ﹣x ，g(x)=−12tx 2+2tx ，t ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．当t ＜ln 2﹣1时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象有两个公共点 B ．当ln 2﹣1＜t ＜0时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象只有一个公共点C ．当t ≤−12或t ≥0时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象没有公共点D ．当−12＜t ＜ln2−1时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象只有一个公共点二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列关于(1−√x)10的说法，正确的是（ ） A ．展开式的各二项式系数之和是1024 B ．展开式各项系数之和是1024 C ．展开式的第5项的二项式系数最大 D ．展开式的第3项为45x10．设数列{a n }满足a 1＝﹣1，a n+1=a n2+5a n（n ∈N *），则（ ） A ．{1a n+5}为等比数列 B ．{a n }的通项公式为a n =12n+1−5C ．{a n }为递减数列D ．{1a n}的前n 项和T n =2n+2−5n −411．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1、F 2分别是以y =±34x 为渐近线且过点A(4√2，3)的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点P （x 0，y 0）（x 0＞4，y 0＞0）处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ）A ．双曲线C 的离心率为√74B ．双曲线C 的方程为x 216−y 29=1C ．过点F 1作F 1K ⊥PQ ，垂足为K ，则|OK |＝8D ．点Q 的坐标为(16x 0，0)12．已知函数f （x ）＝x （1﹣lnx ），下列选项正确的是（ ） A ．f （x ）有最大值 B ．f(3e )＜f(1e )C ．若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立，则a ≤1D ．设x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，则1x 1+1x 2＞2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是 （用数字作答）．14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是 ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是 ． 15．已知函数f （x ）在R 上满足2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是 ．16．已知数列{a n }满足2n a 1+2n−1a 2+⋯+22a n−1+2a n =2n −n 2−1，若c n =1√a +a ，则数列{c n }的前n 项和T n ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2﹣b 2+c 2＝4，sinB =√24． （1）求△ABC 的面积； （2）若sinAsinC =√147，求b ．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1={2a n ，n 为奇数，3a n ，n 为偶数.．（1）记b n ＝a 2n ，证明数列{b n }为等比数列，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前2n 项和T 2n ．19．（12分）为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：（1）根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．参考公式和数据如下：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d20．（12分）如图，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，AB ＝2，M 是CD ̂上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMC ⊥平面AMD ； （2）当三棱锥M ﹣ABC 的最大体积为√33时，求直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值．21．（12分）随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注．某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试，随机抽取了50名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在[80，100]的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；②记第i 次传球后彩球在乙手上的概率为p i ，求p i ．22．（12分）已知函数f(x)=x +e xa，g （x ）＝sin x ，其中a 为实数，e 是自然对数的底数． （1）若a ＝﹣1时，证明：∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）；（2）若h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，π）上有唯一的极值点，求实数a 的取值范围．2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6＝12，S6＝42，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4解：由题意可知：S6=6(a1+a6)2=3(a1+12)=42，解得a1＝2，所以{a n}的公差d=a6−a16−1=2．故选：B．2．已知f（x）＝x3+x2，则f（x）的单调递减区间是（）A．(−∞，−23)B．(−23，0)C．（0，+∞）D．(−∞，−23)和（0，+∞）解：∵f（x）＝x3+x2，∴f′（x）＝3x2+2x＝x（3x+2），令f′（x）＜0，解得：−23＜x＜0，故f（x）的递减区间是（−23，0）．故选：B．3．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极大值，则函数y＝xf'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极大值，∴当x ＞﹣2时，f ′（x ）＜0； 当x ＝﹣2时，f ′（x ）＝0； 当x ＜﹣2时，f ′（x ）＞0．∴当0＞x ＞﹣2时，xf ′（x ）＞0；x ＞0时，xf ′（x ）＜0； 当x ＝﹣2时，xf ′（x ）＝0； 当x ＜﹣2时，xf ′（x ）＜0． 故选：D ．4．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A 为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B 为“两个家庭选择的景点不同”，则P （B |A ）＝（ ） A ．23B ．78C ．89D ．910解：根据题意，现有两个家庭，他们分别从这5个户外景点中随机选择1个景点度周末，有5×5＝25种选择方法，若两个家庭中至少有一个家庭选择白云山，则有25﹣16＝9种选法，则P （A ）=925， 若两个家庭选择的景点不同且至少有一个家庭选择白云山，有C 21C 41=8种选法，则P （AB ）=825，故P （B |A ）=P(AB)P(A)=825925=89．故选：C ．5．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X ～N （78，9），如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A ，B ，C ，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（ ） 参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （|X ﹣μ|≤σ）≈0.68，P （|X ﹣μ|≤2σ）≈0.96． A ．69B ．81C ．87D ．96解：数学测试成绩X ～N （78，9）， 则μ＝78，σ=√9=3， 故P （X ＞μ+σ）=1−P(|X−μ|≤σ)2≈0.16， 故A 等级的分数线应该是μ+σ＝78+3＝81． 故选：B ．6．某外贸工厂今年的月份x 与订单y （单位：万元）的几组对应数据如下：变量x ，y 具有线性相关关系，其经验回归方程为：y =b x +a ，则估计10月份该厂的订单数为（ ）参考数据：∑ 5i=1y i =175，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55参考公式：b =∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2=∑x i y i−nxyni=1∑x i 2−nx2ni=1A ．93.1B ．89.9C ．83.1D ．59.9解：x =1+2+3+4+55=3，y =15∑ 5i=1y i=175＝35，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55，∴b =∑ 5i=1x i y i −5xy ∑ 5i=1x i2−5x2=608−5×3×3555−5×32=8310=8.3， a =y −b x =35−8.3×3=10.1．∴y 关于x 的线性回归方程为y =8.3x +10.1， 取x ＝10，可得y =8.3×10+10.1=93.1． 故选：A ．7．下列说法正确的是（ ）A ．在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数R 2越大B ．随机变量X 的方差为2，则D （2X +1）＝5C ．随机变量ξ～B （n ，p ），若E （ξ）＝30，D （ξ）＝20，则n ＝45D ．安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种解：对于选项A ：因为残差平方和越大，决定系数R 2越小，故A 错误； 对于选项B ：因为D （2X +1）＝4D （X ）＝8，故B 错误；对于选项C ：因为{E(ξ)=np =30D(ξ)=np(1−p)=20，解得{n =90p =13，故C 错误； 对于选项D ：可知必有一个学校安排了两名飞行员，先分组有C 42=6种不同安排方法，再分配到3个学校有A 33=6种不同安排方法， 共有6×6＝36种不同安排方法，故D 正确．故选：D．8．已知f（x）＝2lnx﹣x，g(x)=−12tx2+2tx，t∈R，则下列说法正确的是（）A．当t＜ln2﹣1时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有两个公共点B．当ln2﹣1＜t＜0时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象只有一个公共点C．当t≤−12或t≥0时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象没有公共点D．当−12＜t＜ln2−1时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象只有一个公共点解：已知f（x）＝2lnx﹣x，g(x)=−12tx2+2tx，t∈R，不妨设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2lnx﹣x+12tx2+2tx，函数定义域为（0，+∞），要求函数f（x）的图象和函数g（x）的图象的公共点的个数，即求函数h（x）的零点个数，可得ℎ′(x)=2x−1+tx−2t=(x−2)(t−1x)，若t＜0，当0＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以当x＝2时，函数h（x）取得极大值也是最大值，最大值h（2）＝2（ln2﹣1）﹣2t，易知f′(x)=2x−1，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝2时，函数f（x）取得极大值也是最大值，最大值f（2）＝2ln2﹣2＜0，则当x＞2时，h（x）＜12tx2−2tx，不妨设k（x）=12tx2−2tx，可得k′（x）＝tx﹣2t＝t（x﹣2），当t＜0，x＞2时，函数k（x）=12tx2−2tx单调递减，此时k（x）＜k（2）＝﹣2t，所以当t＜0，x＞2时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t），当t＜0，0＜x＜2时，易知函数m（x）=12tx2+2tx﹣x是开口向下的二次函数，所以当0＜x＜2时，m（x）＞min{m（0）m（2）}，则函数y＝2lnx在0＜x＜2上的值域为（﹣∞，2ln2），此时当t＜0，0＜x＜2时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t），综上，当t＜0时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t]，当2（ln2﹣1）﹣2t＞0，即t＜ln2﹣1时，函数h（x）有两个零点，故选项A正确；因为ln2＞ln√e=1 2，所以ln2﹣1＞−1 2，易知当t≤−12或−12＜t＜ln2﹣1时，函数h（x）有两个零点，故选项C、D错误；当ln2﹣1＜t＜0时，2（ln2﹣1）﹣2t＜0此时函数h（x）无零点，故选项B错误．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列关于(1−√x)10的说法，正确的是（）A．展开式的各二项式系数之和是1024B．展开式各项系数之和是1024C．展开式的第5项的二项式系数最大D．展开式的第3项为45x解：对于(1−√x)10，它的展开式的各二项式系数之和是210＝1024，故A正确．令x＝1，可得展开式各项系数之和是（1﹣1）10＝0，故B错误．根据二项式系数C10r的性质，可得当r＝5时，二项式系数C10r最大，即第六项的二项式系数最大，故C正确．展开式的第三项为T3=C102•(−√x)2=45x，故D正确．故选：AD．10．设数列{a n}满足a1＝﹣1，a n+1=a n2+5a n（n∈N*），则（）A．{1a n +5}为等比数列B．{a n}的通项公式为a n=12n+1−5C ．{a n }为递减数列D ．{1a n}的前n 项和T n =2n+2−5n −4解：对于A ，由题意可得1a n+1=2a n+5，即1a n+1+5=2(1a n+5)，所以{1a n+5}是以1a 1+5为首项，以2为公比的等比数列，A 正确； 对于B ，由于1a 1+5=−1+5＝4，所以1a n+5=4×2n ﹣1＝2n +1，所以a n =12n+1−5，B 正确；对于C ，由于a 1＝﹣1＜0，a 2=123−5=13＞0＞a 1，所以{a n }不是递减数列，C 错误； 对于D ，由上可知1a n=2n+1−5，所以T n =4(1−2n)1−2−5n =2n +2﹣5n ﹣4，D 正确．故选：ABD ．11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1、F 2分别是以y =±34x 为渐近线且过点A(4√2，3)的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点P （x 0，y 0）（x 0＞4，y 0＞0）处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ） A ．双曲线C 的离心率为√74B ．双曲线C 的方程为x 216−y 29=1C ．过点F 1作F 1K ⊥PQ ，垂足为K ，则|OK |＝8D ．点Q 的坐标为(16x 0，0)解：对于A ，设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1，由题意知a ＝4，b ＝3，所以双曲线方程为x 216−y 29=1，由于c =√16+9=5，所以e =ca =54，A 错误； 对于B ，由上可知B 正确；对于C ，当P 点横坐标趋于无穷大时，其切线近似为渐近线，不妨设其切线为y =34x ，则直线F 1K 为y =−43（x +5），联立二式解得x =−165，y =−125，此时|OK |=√(165)2+(125)2=4，C 错误； 对于D ，将x 216−y 29=1变形为9x 2﹣16y 2＝144，左右同时对x 求导得18x ﹣32yy ′＝0，当x 0＞4，y 0＞0，y ′=9x16y =9x16√9(x 216−1)=34x√x 2−16，所以P 点切线方程为y −34√x 02−16=340√x 0−16（x ﹣x 0），令y ＝0，解得x =16x 0，D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f （x ）＝x （1﹣lnx ），下列选项正确的是（ ） A ．f （x ）有最大值 B ．f(3e )＜f(1e )C ．若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立，则a ≤1D ．设x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，则1x 1+1x 2＞2解：对于选项A ：已知f （x ）＝x （1﹣lnx ），函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝1﹣lnx ﹣1＝﹣lnx ，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以当x ＝1时，函数f （x ）取得极大值也是最大值，最大值f （1）＝1，故选项A 正确； 对于选项B ：因为f(3e)=3e(1−ln 3e)=3(2−ln3)e ，f(1e )=1e (1−ln 1e )=2e， 所以f(3e )−f(1e )=3(2−ln3)e −2e =4−3ln3e=1e ln e 427＞0， 则f(3e )＞f(1e )，故选项B 错误；对于选项C ：不妨设g （x ）＝f （x ）﹣a （e ﹣x ），函数定义域为[e ，+∞）， 可得g ′（x ）＝﹣lnx +a ， 因为g （e ）＝0，若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立， 可得当x ≥e 时，g （x ）≤0恒成立， 此时F ′（e ）＝﹣1+a ≤0， 解得a ≤1， 若a ≤1，此时g '（x ）＝﹣lnx +a ≤0恒成立， 所以g （x ）在[e ，+∞）上单调递减， 则g （x ）≤g （e ）＝0，符合题意，综上，满足条件的a 的取值范围为（﹣∞，1]，故选项C 正确；对于选项D ：因为x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，所以1x 1(1−ln1x 1)=1x 2(1−ln1x 2)，即f(1x 1)=f(1x 2)，因为函数f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 当x →0时，f （x ）→0， 当0＜x ＜e 时，f （x ）＞0， 不妨设0＜1x 1＜1＜1x 2＜e ，不妨设h （x ）＝f （1+x ）﹣f （1﹣x ），函数定义域为（0，1），可得h ′（x ）＝f ′（1+x ）+f ′（1﹣x ）＝﹣ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）＝﹣ln （1﹣x 2）＞0恒成立， 所以函数h （x ）在（0，1）上单调递增， 此时g （x ）＞g （0）＝0，所以当0＜x ＜1时，f （1+x ）＞f （1﹣x ）， 即当0＜x ＜1时，f （2﹣x ）＞f （x ）， 整理得f(1x 2)=f(1x 1)＜f （2−1x 1），因为函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增，且1＜2−1x 1＜2，1＜1x 2＜e ，所以1x 2＞2−1x 1，即1x 1+1x 2＞2，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是 ﹣5 （用数字作答）．解：（x ﹣y ）5展开式的通项为T k+1=C 5k x 5−k (−y)k =(−1)k C 5k x 5−k y k ，令5﹣k ＝2，则k ＝3，令5﹣k ＝1，则k ＝4，所以（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是(−1)3C 53+(−1)4C 54=−10+5=−5．故答案为：﹣5．14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是0.525 ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是 1921．解：设事件A 表示“接收的信号为1”， 则P （A ）=12×0.1+12×0.95=0.525， 设事件B 表示“发送的信号是1”， 则P （AB ）=12×0.95=0.475， 所以P （B |A ）=P(AB)P(A)=0.4750.525=1921，即已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率为1921．故答案为：0.525；1921．15．已知函数f （x ）在R 上满足2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是 7x ﹣3y ﹣4＝0 ． 解：由2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，① 以2﹣x 替换x ，可得2f （2﹣x ）＝f （x ）+(2−x)2+4(2−x)−4−sin(2π−πx)π， 即2f （2﹣x ）＝f （x ）+x 2−8x +8+sinπxπ，② 联立①②解得：f （x ）=x 2−sinπx3π．∴f ′（x ）＝2x −13cosπx ，则f （1）＝1，f ′（1）=73，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是y =73(x −1)+1， 即7x ﹣3y ﹣4＝0． 故答案为：7x ﹣3y ﹣4＝0．16．已知数列{a n }满足2n a 1+2n−1a 2+⋯+22a n−1+2a n =2n −n 2−1，若c n =1√a +a ，则数列{c n }的前n 项和T n ＝ 2（√n +1−1） ．解：由题意得2n a 1+2n ﹣1a 2+…+23a n ﹣1+22a n +2a n +1＝2n +1−n+12−1，与原式作差可得2a n +1+2n −n 2−1=（2n +1−n+12−1）﹣（2n −n2−1）， 化简得a n +1=n+14，所以a n =n4， 所以c n ＝2×1√n+1+√n=2×（√n +1−√n ），T n ＝2×（√2−√1+√3−√2+⋯+√n +1−√n ）＝2（√n +1−1）． 故答案为：2（√n +1−1）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2﹣b 2+c 2＝4，sinB =√24． （1）求△ABC 的面积； （2）若sinAsinC =√147，求b ．解：（1）因为a 2﹣b 2+c 2＝4＞0，可得B 为锐角，因为sin B =√24，所以cos B =√144，则b 2＝a 2+c 2﹣4，由余弦定理可得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣2ac •√144， 所以√142ac ＝4，解得ac =4√147，所以S △ABC =12ac sin B =12×4√147×√24=√77；（2）由正弦定理可得；a sinA=c sinC=b sinB，所以sin A =ab sin B ，sin C =c b sin B ， 所以sin A sin C =ac b2•sin 2B ，而ac =4√147，sin B =√24，sin A sin C =√147， 所以b 2=acsin 2B sinAsinC=4√147⋅(√24)2√147=12，解得b =√22．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1={2a n ，n 为奇数，3a n ，n 为偶数.．（1）记b n ＝a 2n ，证明数列{b n }为等比数列，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前2n 项和T 2n ．解：（1）证明：2n 为偶数，2n +1为奇数， 所以a 2n +1＝3a 2n ，a 2n +2＝2a 2n +1＝6a 2n ， 即b n +1＝a 2n +2＝6a 2n ＝6b n ， 又b 1＝a 2＝2a 1＝2，所以数列{b n }是以2为首项，以6为公比的等比数列，所以b n＝2•6n﹣1；（2）由题意T2n＝1+2+6+12+36+72+…+6n+2•6n＝（1+6+…+6n）+（2+12+…+2•6n）＝3×（1+6+…+6n）＝3×1−6n1−6=35⋅6n−35．19．（12分）为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：（1）根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．参考公式和数据如下：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d解：（1）根据题意可知：抽取8人中有3030+10×8=6名女生，1030+10×8=2名男生，则X的可能取值为2，3，4，P(X=4)=C20C64C84=314，P(X=3)=C21C63C84=47，P(X=2)=C22C62C84=314，所以X的分布列为：期望E(X)=2×314+3×47+4×314=3；（2）零假设为H0：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，因为χ2=50(5×10−30×5)235×15×10×40=5021≈2.381＜3.841=x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联． 20．（12分）如图，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，AB ＝2，M 是CD ̂上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMC ⊥平面AMD ； （2）当三棱锥M ﹣ABC 的最大体积为√33时，求直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值．（1）证明：因为AD ⊥CD ，平面ABCD ⊥平面CDM ，平面ABCD ∩平面CDM ＝CD ， AD ⊂平面ABCD 所以AD ⊥平面CDM ，且CM ⊂平面CDM ，则AD ⊥CM ， 又因为DM ⊥CM ，AD ∩DM ＝D ，AD ，DM ⊂平面ADM ，所以CM ⊥平面ADM ， 且CM ⊂平面AMC ，所以平面AMC ⊥平面AMD ．（2）解：因为平面ABCD ⊥平面CDM ，平面ABCD ∩平面CDM ＝CD ， 则点M 在平面ABCD 上的投影均在直线CD 上，且△ABC 的面积为定值， 可知三棱锥M ﹣ABC 的最大体积，即三棱锥M ﹣ABC 的高最大， 此时点M 为CD̂的中点，三棱锥M ﹣ABC 的高为12CD =1，则13×1×12×2×BC =√33， 解得BC =√3，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直， 则AD 、BC ⊥半圆弧CD 所在平面，则AD ⊥DM ，BC ⊥CM ，可得MC =MD =√2，MA =MB =√5，在△MAB 中，边AB 上的高ℎ=√5−1=2， 设点D 到平面MAB 的距离为d ，直线DM 与平面MAB 所成角为θ∈[0，π2]， 因为V M ﹣ABD ＝V D ﹣ABM ，即13×1×12×2×√3=13×d ×12×2×2，解得d =√32， 则直线DM 与平面MAB 所成角的正弦值sinθ=dDM =√322=√64，所以直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值cosθ=√1−sin 2θ=√104．21．（12分）随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注．某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试，随机抽取了50名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在[80，100]的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；②记第i次传球后彩球在乙手上的概率为p i，求p i．解：（1）由题意可知：该高校所有学生中随机抽取1名学生的成绩，成绩在[80，100]的概率为10×0.04+10×0.02＝0.6，可知X～B（2，0.6），且X的可能取值为0，1，2，则有：P(X=0)=(1−0.6)2=0.16，P(X=1)=C21×0.6×(1−0.6)=0.48，P(X=2)=0.62=0.36，所以X的分布列为：期望E（X）＝2×0.6＝1.2；（2）①若第二次传球后彩球在乙手上，则第一次传球后彩球在丙手上，第二次由丙传球给乙，所以第二次传球后彩球在乙手上概率为P=12×12=14；②第i次传球后彩球在乙手上的概率为p i，即第i次传球后彩球在甲、丙手上的概率为1﹣p i，再由甲、丙传球给乙，所以第i+1次传球后彩球在乙手上的概率为p i+1=12(1−p i)，可得p i+1−13=−12(p i−13)，且p1=12，p1−13=16≠0，所以数列{p i }是以首项p 1−13=16，公比q =−12的等比数列， 则p i −13=16×(−12)i−1=−13×(−12)i ，可得p i =13[1−(−12)i ]． 22．（12分）已知函数f(x)=x +e xa ，g （x ）＝sin x ，其中a 为实数，e 是自然对数的底数． （1）若a ＝﹣1时，证明：∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）；（2）若h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，π）上有唯一的极值点，求实数a 的取值范围． （1）证明 a ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣e x ， 要证明∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）； 即证明f （x ）max ≤g （x ）min ， 而f ′（x ）＝1﹣e x ，令f ′（x ）＞0，解得x ＜0，令f ′（x ）＜0，解得x ＞0， 故f （x ）在（﹣∞，0）递增，在（0，∞）递减， 故f （x ）max ＝f （0）＝﹣1；而g （x ）＝sin x ，故g （x ）min ＝﹣1， 故f （x ）max ≤g （x ）min ， 原结论成立． （2）解：h （x ）＝x +e xa−sin x 在（0，π）上有唯一的极值点， 等价于h ′（x ）=e xa +1﹣cos x ＝0在（0，π）上有唯一的变号零点，h ′（x ）＝0等价于1a=cosx−1e x，设t （x ）=cosx−1e x，x ∈（0，π）， t ′（x ）=−sinx−cosx+1e x =1−√2sin(x+π4)e x，∵x ∈（0，π），∴x +π4∈（π4，5π4），当0＜x ＜π2时，x +π4∈（π4，3π4），sin （x +π4）＞√22， t ′（x ）＜0，t （x ）在（0，π2）上为减函数， 当π2＜x ＜π时，x +π4∈（3π4，5π4），sin （x +π4）＜√22， t ′（x ）＞0，t （x ）在（π2，π）上为增函数，∴函数t （x ）的极小值也是最小值为t （π2）=−1e π2， 又t （0）＝0，t （π）=−2e π， 所以当−2e π≤a ＜0时，方程1a =cosx−1e x在（0，π）上有唯一的变号零点， 所以1a的取值范围是[−2e π，0），∴a 的取值范围是（﹣∞，−e π2]．。
2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,5,8U =，集合M 满足{}1,8U M =ð，，则（）A ．1M ∈B ．2M∉C ．3M∈D ．5M∉【正确答案】C【分析】根据补集的定义求出{}235M =，，，即可得到结果.【详解】因为{}1,8U M =ð，所以{}235M =，，，则3M ∈，所以C 正确.故选：C.2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式26190x x --<的解集是（）A ．∅B ．RC ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式26190x x --<可化为29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得13x ≠，故原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0e ktW M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h ，参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【正确答案】B【分析】由题意可得e 0.5k -=，进而得()0.10.5t=，利用指数与对数的关系可得0.5log 0.1t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知()00150%e kM M --=，所以e 0.5k -=，设过滤90%的污染物需要的时间为t ，则()00190%e ktM M --=，所以()()0.1e e 0.5ttkt k --===，所以0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈.故选：B.5．已知函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④的大致图象如图所示，则（）A ．a c b a +<+B ．a d b c +<+C ．b c a d +<+D ．b d a c+<+【正确答案】A【分析】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，进而由不等式性质可以判断A 正确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，则由不等式性质可得a c b a +<+，所以A 正确.由不等式可加性可得a c b d +<+，故D 错误，不能推出B 、C ，故B 、C 错误.故选：A.6．方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设()e 41xf x x =-+，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭，()00e 40120f =-⨯+=>，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭，()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =，所以方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7．下列函数中，最小正周期为π2，且在π(,0)4-上单调递减的是（）A ．)πsin(42y x =+B ．)πcos(42y x =-C ．tan(π2)y x =+D ．|sin(π2)|y x =+【正确答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】c πsin(4)os 42y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故A 错误；s πcos(4)in 42y x x =-=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间(,π48)π--上是单调递减，在区间()π8,0-上是单调递增，故B 错误；tan(π2)tan 2y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故C 错误；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=，因为sin 2y x =的最小正周期为π，则此函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，|sin 2|sin 2y x x ==-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递减，故D 正确.故选：D.8．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a ==，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<.故选：B.本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题2:R,10p x x x ∀∈-+>，则（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∀∈-+=”C ．命题p 是假命题D ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”【正确答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题；命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”，故A 、D 正确．故选：AD ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则（）A ．()12f x x =B ．()f x 的值域是[0,)+∞C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞上是减函数【正确答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.【详解】设()f x x α=，∵()y f x =的图象过点(，∴1233α==，∴12α=，∴12()f x x =，从而可得，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域是[0,)+∞，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，在[0,)+∞上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误.故选：AB.11．已知5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且ππ32x <<，则（）A ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．12cos 132π3x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭D ．5cos 135π6x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，tan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭．由sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断A ；由πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断B ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断C ；由πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断D.【详解】由ππ32x <<得ππ063x -<-<，则12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故C 正确；5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.12．已知01a b <<<，则（）A ．b aa b <B ．log log a b b a >C ．log log 2a b b a +>D ．sin(sin )sin a b<【正确答案】ACD【分析】由x y a =的单调性可得b a a a <，由a y x =的单调性可得a a a b <，从而可判断A ；由log ,log a b y x y x ==的单调性可得log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，从而可判断B ；由基本不等式可判断C ；利用结论：当π(0,)2x ∈时，sin x x <，可判断D.【详解】0< 1,x a y a <∴=在(0,)+∞上单调递减，又,b a a b a a <∴<，0,a a y x >∴= 在(0,)+∞上单调递增，由a b <得a a a b <，b a a b ∴<，故A 正确；由01a b <<<可知log ,log a b y x y x ==在(0,)+∞上均单调递减，log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，log 1log a b b a ∴<<，故B 错误；由01a b <<<，可知lg lg log 0,log 0lg lg a b b a b a a b =>=>，因此lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=，当且仅当a b =取等号，但已知01a b <<<，故等号不成立，从而得log log 2a b b a +>，故C 正确；当π(0,)2x ∈时，sin x x <．π012a b <<<< ，π0sin 2a ab ∴<<<<，又sin y x =在π(0,)2单调递增，所以sin(sin )sin sin a a b <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．若函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 2g x x =-的定义域为B ，则A ∩B =______.【正确答案】()1,2-【分析】先求得集合A B 、，再利用交集定义即可求得A B ⋂.【详解】()f x =的定义域为()1,-+∞；函数()()lg 2g x x =-的定义域为(),2-∞，则A B = ()1,2-.故()1,2-14．已知tan 2a =，则()2sin cos αα-=__________.【正确答案】15##0.2【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++．故答案为.15四、双空题15．函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，则21m n+的最小值为______.【正确答案】(1,2)；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得21m n+的最小值.【详解】当1x =时，1112a -+=，则函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点(1,2)P ，点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，可得2100)m n m n +=>>(，，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122m n ==时等号成立）故(1,2)；8五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【正确答案】π8-【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长6πA BCB AC===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC====，分别以点A、B、C为圆心，圆弧,,AB BC AC所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S=⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯.故答案为六、解答题17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求sin cosαα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数()a f x x x=+.(1)若()15f =，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若()43f =，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并加以证明.【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(0,)+∞上的单调递增，证明见解析【分析】（1）由(1)5f =求出a ，从而得()f x ，由函数奇偶性的定义求解即可；（2）由()43f =求出a ，从而得()f x ，由函数单调性的定义进行判断证明即可.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：∵()af x x x=+，且()15f =，∴15a +=，解得4a =∴4()f x x x=+，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 又44()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(0,)+∞上的单调递增，理由如下：∵()af x x x=+，且()43f =，∴434a +=，解得4a =-，∴4()f x x x=-设120x x <<，则2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵120x x <<，∴21x x -0>，12410x x +>故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.19．已知函数1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【正确答案】(1)5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为14-.【分析】（1）根据周期可以求出2ω=，进而求出()f x 的单调递减区间；（2）根据π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而求出()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意可得2πT==πω，则2ω=，则1π()sin(2)23f x x =-，所以()f x 的单调递减区间需要满足：ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈，解得5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为.5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1π()sin(2)23f x x =-，因为π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin(2),32x ⎡-∈-⎢⎣⎦，则1(),4f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-.20．已知函数||1()()2x f x a b =+的图象过点()0,2，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交．(1)求函数()y f x =的解析式：(2)解关于x 的不等式3(ln )2f x <．【正确答案】(1)()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点()0,2得,a b 的关系，根据图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交求出b ，从而得解；（2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点()0,2，得()02f a b =+=，∵函数||1()()2x f x a b =+无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，∴1b =，从而1a =，∴()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由3(ln )2f x <得|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则ln 1x >，所以ln 1x <-或ln 1x >，解得10ex <<或e x >．所以不等式3(ln )2f x <的解集为()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： 1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈，当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立）【正确答案】奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求，理由见解析【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅，根据函数的性质一一验证即可．【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅．对于0.2y x =，易知满足①，但当25x >时，>5y ，不符合公司的要求；对于 1.02x y =，易知满足①，但当82x ≥时， 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=，不符合公司的要求；对于8log 1y x =+，函数在[10,1000]上单调递增，而且函数的最大值8log 1000 3.3225≈<，因而满足①②，因为当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立，所以当[10,1000]x ∈时，8log 125%x x +<⋅，满足③，故符合公司的要求．综上，奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求．22．对于定义在I 上的函数()f x ,若存在实数0x I ∈,使得()00f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,已知2()2(0)f x ax x a =-+≠有两个不动点12,x x ,且122x x <<(1)求实数a 的取值范围；(2)设[]()log ()a F x f x x =-，证明：()F x 在定义域内至少有两个不动点.【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为12,x x ，设2()1p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()2()220n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解．【详解】（1）因为函数()f x 有两个不动点12,x x ，所以方程()f x x =，即2220ax x -+=的两个实数根为12,x x ，记2()22p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以(2)0a p ⋅<，即(42)0a a -<，解得102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，即2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设2()22p x ax x =-+，因为10,4(12)02a a <<∆=->，所以()0=p x 有两个不相等的实数根．设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，不妨设m n <．因为函数2()22p x ax x =-+图象的对称轴为直线1x a =，且1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121m n a a <<<<．记()2()22x h x a ax x =--+，因为(1)0h =，且(1)0p a =>，所以1x =是方程()F x x =的实数根，所以1是()F x 的一个不动点，()2()220n n h n a an n a =--+=>，因为102a <<，所以24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()0()0p x p n >=，所以0x 是()F x 的一个不动点，综上，()F x 在(,)a +∞上至少有两个不动点．。
广东省东莞市2012-2013学年度第一学期高三调研测试文科数学试卷(扫描版)
东莞2012-2013学年度第一学期高三调研测试文科数学参考答案一、选择题（每小题5分，满分50分.）二、填空题（每小题5分，满分20分．） 11.i 5354- ；12.4； 13.-5 ； 14. )6,2(π； 15. 150. 三、解答题（本大题共6小题，满分80分．） 16.（本小题满分12分）解:（1）由⊥,得⋅=0sin 2sin =+C b B c , ……………2分 由正弦定理得0sin sin cos sin 2sin =+⋅C B B B C , ……………4分 因为π<<B 0，π<<C 0，所以0sin ≠B ，0sin ≠C ，从而有01cos 2=+B ，21cos -=B ， 故120=B . ……………6分 （2）由ABC S ∆=433sin 21=B ac ，得3=ac . ……………8分 又由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得2222212()323=92b ac ac a c ac =+--=++≥+， ……………10分 当且仅当3==c a 时等号成立, ……………11分 所以, b 的最小值为3. ……………12分17．（本小题满分12分）解：（1）因为各组的频率之和等于1, 所以分数在[)70,60内的频率为：15.010)010.0025.0030.0015.0005.0(1=⨯++++-=f， ……………3分 所以第三组[)70,60的频数为1815.0120=⨯（人）. ……………4分 完整的频率分布直方图如图. ……………6分（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计 值为75分. ……………8分 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为: +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)015.010(65)015.010(55)005.010(455.73)01.010(95)025.010(85)03.010(75=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯（分）. ………11分 所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分. ………12分18.（本小题满分14分）解:（1）因为n S 和13+-n S 的等差中项是23-， 所以331-=-+n n S S （*N n ∈），即1311+=+n n S S ， ……………2分由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （*N n ∈），………3分即3123231=--+n n S S （*N n ∈）， ……………4分 又21232311-=-=-a S ，所以数列}23{-n S 是以21-为首项，31为公比的等比数列. ……………5分（2）由（1）得1)31(2123-⨯-=-n n S ，即1)31(2123--=n n S （*N n ∈），………6分所以，当2≥n 时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，…8分又1=n 时，11=a 也适合上式，所以)(31*1N n a n n ∈=-. ……………9分 （3）要使不等式n k S ≤对任意正整数n 恒成立，即k 小于或等于n S 的所有值.又因为1)31(2123--=n n S 是单调递增数列, ……………10分且当1=n 时，n S 取得最小值1)31(2123111=-=-S , ……………11分 要使k 小于或等于n S 的所有值，即1≤k , ……………13分 所以实数k 的最大值为1. ……………14分19.（本小题满分14分）证明：(1)因为在图a 的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，所以在四棱锥ABCD P -中,AB DA ⊥, PA DA ⊥. …………1分 又PA AB ⊥，且AB DC //，所以PA DC ⊥，DA DC ⊥， …………2分 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ，所以⊥DC 平面PAD . …………3分 因为⊂DC 平面PCD ，所以平面⊥PAD 平面PCD . …………4分 解：(2)因为PA DA ⊥，且AB PA ⊥ 所以⊥PA 平面ABCD ， 又⊂PA 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面ABCD . 如图，过M 作AB MN ⊥,垂足为N , 则⊥MN 平面ABCD . ……5分 在等腰梯形PDCB 中，PB DC //， 2,33===PD DC PB ,PB DA ⊥，所以1=PA ，2=AB ，122=-=PA PD AD . …………6分设h MN =，则h h h DA AB h S V ABC ABC M 31122131213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-. …………7分 2111221312)(3131=⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯=⋅=-PA AD AB DC PA S V ABCD ABCD P 梯形. h V V V ABC M ABCD P ACD PM 3121-=-=---. …………8分因为4:5:=--ABC M ACD PM V V ，所以4:531:)3121(=-h h ，解得32=h .………9分在PAB ∆中，32==PA MN BP BM , 所以BP BM 32=,BP MP 31=. ABD C OPMN所以2:1:=MB PM . …………10分 (3)在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .易知AOB ∆∽DOC ∆，所以21==AB DC OB DO . …………11分 又21=MB PM , 所以MB PMOB DO =， …………12分所以在平面PBD 中，有MO PD //. …………13分 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，所以PD //平面AMC . …………14分20.（本小题满分14分） 解：（1）由题意可得，)22,2()1,1()1,1(y x y x y x --=--+---=+， …………1分所以4844)22()2(||2222+-+=-+-=+y y x y x MB MA ， …………2分又y y x OM -=⋅-=+⋅-4)2,0(),(214)(214， …………3分 所以y y y x -=+-+4484422，即14322=+y x . …………4分 （2）因为过原点的直线L 与椭圆相交的两点N M ,关于坐标原点对称，所以可设),(),,(),,(0000y x N y x M y x P --. …………5分 因为N M P ,,在椭圆上，所以有14322=+y x ， ………①1432200=+y x ， ………② …………6分①-②得3422202-=--x x y y . 又00x x y y k PM --=,0x x y y k PN ++=， …………7分 所以34222020000-=--=++⋅--=⋅x x y y x x y y x x y y k k PNPM ， …………8分故PN PM k k ⋅的值与点P 的位置无关，与直线L 也无关. …………9分（3）由于),(y x P 在椭圆C 上运动，椭圆方程为14322=+y x ，故22≤≤-y ，且 22433y x -=. …………10分 因为),(m y x -=，所以 3241)(||2222++-=-+=m my y m y x 33)4(4122+--=m m y ． …………12分 由题意，点P 的坐标为)2,0(时，||MP 取得最小值，即当2=y 时，||MP 取得最 小值，而22≤≤-y ，故有24≥m ，解得21≥m ． …………13分 又椭圆C 与y 轴交于E D 、两点的坐标为)2,0(、)2,0(-，而点M 在线段DE 上， 即22≤≤-m ，亦即221≤≤m ，所以实数m 的取值范围是]2,21[．…………14分21.（本小题满分14分）解：（1）由c x b ax x f ++=ln )(知，)(x f 的定义域为),0(+∞,xba x f +=)(', …1分 又)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ，所以有ee e b a ef 1)('--=+=,① …………2分 由1=x 是函数)(x f 的零点，得0)1(=+=c a f ,② …………3分由1=x 是函数)(x f 的极值点，得0)1('=+=b a f ，③ …………4分由①②③，得1-=a ，1=b ，1=c . …………5分 （2）由(1)知)0(1ln )(>++-=x x x x f ，因此，22()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>，所以)0)(2(12)(2'>+-=+-=x m mx x xx m m x x g . …………6分 要使函数)(x g 在)3,1(内不是单调函数，则函数)(x g 在)3,1(内一定有极值，而)2(1)(2'm mx x xx g +-=，所以函数)(x g 最多有两个极值. …………7分 令2()2(0)d x x mx m x =-+>.（ⅰ）当函数)(x g 在)3,1(内有一个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有且仅有一个根，即02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根，又因为(1)20d =>，当0)3(=d ，即9=m 时，02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根32x =，当0)3(≠d 时，应有0)3(<d ，即03322<+-⨯m m ，解得9>m ，所以有9m ≥. ………8分.（ⅱ）当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有两个根，即二次函 数02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>+-⨯=>+-=>⨯⨯-=∆,341,0332)3(,02)1(,02422m m m d m m d m m解得98<<m . …………9分 综上，实数m 的取值范围是),8(+∞. …………10分（3）由1)()(-=x f x h )0(ln >+-=x x x ，得xxx h -=1)('， 令0)('≤x h ，得1≥x ，即)(x h 的单调递减区间为[)+∞,1.由函数)(x h )0(ln >+-=x x x 在[)+∞,1上单调递减可知，当),1(+∞∈x 时, )1()(h x h <，即1ln -<+-x x ， …………11分 亦即ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞都成立，亦即x x x x 1ln 0-<<对一切(1,)x ∈+∞都成立， …………12分 所以2122ln 0<<， 3233ln 0<<，4344ln 0<<， (2012)201120122012ln 0<<， …………13分 所以有 2012201143322120122012ln 44ln 33ln 22ln ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯ ，所以2012120122012ln 44ln 33ln 22ln <⨯⨯⨯⨯ .…………14分。
广东省广州市越秀区2013-2014学年高一下学期期末水平调研测试数学试题Word版含答案
秘密★启用前 试卷类型：A考试时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数sin cos tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域为A.{}1,3- B ．{}1,1,3- C.{}1,1,3,3-- D ．{}3,1,3--2.设向量(2,0)=a ，(1,1)=b ,则下列结论中正确的是A ．=a bB ．12∙a b =C ．//a bD ．()-⊥a b b3．下面的函数中，周期为π的偶函数是 A ．sin 2y x = B ．cos 2y x = C.sin2x y = D ．cos2xy =4.若三点(2,3),(3,4),(,)A B C a b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -=5．已知tan x =x 的集合为（k z ∈）A ．4|23x x k ππ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭B ．|23x x k ππ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭ C.4,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．|3x x k ππ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭ 6.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状是A. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7．函数y =的定义域为A ．[]0,πB ．x 为第Ⅰ、Ⅱ象限的角C.{}2(21)x k x k k z ππ≤≤+∈D ．(0,)π8. 已知向量),1,4(),2,2(==OB OA 点P 在x 轴上，且使BP AP ∙有最小值，则点P 的坐标为A ．（-3,0） B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分9．已知角α的终边经过点(3,1)P -，则cos α=___________.10.已知(2,3)A ，(3,0)B ，且2AC CB =-，则点C 的坐标为 .11．已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=-______________.12．已知ABC ∆中,4,8,60BC AC C ==∠=︒,则BC CA ⋅=________ .13.已知21tan =α，52)tan(=-αβ，那么)2tan(αβ-的值为________ .14．给出下列命题：①小于090的角是第象Ⅰ限角；②将3sin()5y x π=+的图象上所有点向左平移25π个单位长度可得到3sin()5y x π=-的图象；③若α、β是第Ⅰ象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；④若α为第Ⅱ象限角，则2α是第Ⅰ或第Ⅲ象限的角； ⑤函数tan y x =在整个定义域内是增函数其中正确的命题的序号是_________.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题12分）（Ⅰ）化简AC -BD +CD（Ⅱ）如图，平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DCG 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．16．（本小题12分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （Ⅰ）若25c =//c a ，求c 的坐标；（Ⅱ）若5b =，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ．17．(本小题14分)AFCD设函数3()sin()(0)4f x x πωωπ=->的最小正周期为（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）若324()2825f απ+=，且(,)22ππα∈-，求tan α的值. （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像（完成列表并作图）。
广东省深圳外国语高级中学2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2012-2013学年广东省深圳外国语高级中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
*
3．（3分）已知角α为钝角，且sinα=，则tanα的值为（）
﹣
，
=tan=
，，，得到数列的通项公式为=周期为的偶函数
即可求出函数的周期，再根据正弦函数为奇函数及，∴T==
sinA=，结合三角形内角
，
，得
sinA=•sin30°=
＞
8．（3分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ的值为（）
﹣
T=﹣（﹣，利用﹣
T=﹣（﹣=
=3
．
ω
×=
＜
．
9．（3分）如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则g（x）的图象可能是由f（x）的图象（）
向右平移个单位得到向右平移
向右平移个单位得到向右平移
轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
则有﹣﹣
．
的图象向右平移﹣=
10．（3分）已知公差为d（d≠0）的等差数列{a n}满足：a2，a4，a7成等比数列，若S n是{a n}的前n项和，则的值为（）
==3。
广东省广州市实验外语学校2023-2024学年高一下学期5月测试数学试题(解析版)
广州市实验外语学校2023-2024学年第二学期高一5月数学测试一、单选题1.已知z 为复数且()1i 13i⋅-=+z （i 为虚数单位），则共轭复数z 的虚部为（）A.2 B.2iC.2- D.2i-【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其共轭复数，从而得到其虚部.【详解】解：因为()1i 13i ⋅-=+z ，所以()()()()213i 1i 13i 1i 3i 3i 12i 1i 1i 1i 2z ++++++====-+--+，所以12i z =--，则共轭复数z 的虚部为2-.故选：C2.已知(2,3)A ，(5,1)B ，(,2)C m ，且A ，B ，C 三点共线，则m =（）A.12B.32C.52 D.72【答案】D 【解析】【分析】根据三点共线得出向量共线，结合向量共线的坐标表示可得答案.【详解】因为(2,3)A ，(5,1)B ，(,2)C m ，所以()()3,2,2,1AB AC m =-=--，因为三点共线，所以2132m --=-，解得72m =.故选：D.3.要得到函数π4cos(24y x =-的图象，只需将4sin y x =的图象上所有的点（）A.横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度B.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4单位长度C.横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度D.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度【答案】C【解析】【分析】按要求进行三角函数的平移与变换写出对应解析式，对比答案即可.【详解】对于A ，横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到4sin 2y x =的图象，再向左平移π4个单位长度得到π4sin 24cos 24y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到14sin2y x =的图象，显然不对，同理D 也不对；对于C ，将4sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到4sin 2y x =，再向左平移π8个单位长度，得到ππππ4sin 24sin 24cos 28424y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C .4.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）A.若n α⊥，n β⊥，则αβ⊥B.若//m n ，//m β，则//n βC.若//m α，//m β，则//αβD.若//m n ，n β⊥，则m β⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对A ，若n α⊥，n β⊥，则//αβ，故A 错；对B ，若//m n ，//m β，则有可能//n β或n β⊂，故B 错；对C ，若//m α，//m β，则有可能//αβ或α与β相交，故C 错；对D ，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D 正确.故选：D 5.已知2sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.59 B.49C.49-D.59-【答案】D 【解析】【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出cos 23πα⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值，从而根据变名的诱导公式可求出答案.【详解】因为sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2cos 212sin 1233ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2953⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以5sin 2sin 2cos 263239⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππααα.故选：D ．6.自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（）A.成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30B.成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人C.高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多D.成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多【答案】D 【解析】【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学生排名分布的频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案.【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多()20045%30%30⨯-=，A 正确；成绩在第150 名的学生中，高一人数为20045%0.218⨯⨯=，因此高三最多有32人，B 正确；由条形图知高一学生的成绩在第101150 名的人数为20045%0.436⨯⨯=，而高三的学生成绩在第150 名的人数最多为32人，故高一学生的成绩在第101150 名的人数一定比高三的学生成绩在第150 名的人数多，C 正确；成绩在第51100 名的学生中，高一人数为20045%0.327⨯⨯=，高二成绩在第51100 名的人数最多为23，即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，D 错误.故选：D7.在ABC 中，AC =O 是ABC 的外心，M 为BC 的中点，8AB AO ⋅=，N 是直线OM 上异于M ，O 的任意一点，则AN CB ⋅=（）A.3-B.6- C.7- D.9-【答案】B 【解析】【分析】借助外心性质与投影定义可得212AO AC AC ⋅= ，结合向量的线性运算计算可得AN CB AO AB AO AC ⋅=⋅-⋅，即可得解.【详解】因为O 是ABC 的外心，M 为BC 的中点，设AC 的中点为D ，连接OD ，所以OM BC ⊥，OD AC ⊥，212AO AC AO AC AC AD AC AC AC ⋅⋅=⋅=⨯=，()AN CB AO ON CB AO CB ON BC⋅=+⋅=⋅+⋅()210881462AO AB AC AO AB AO AC AC =⋅-+=⋅-⋅=-=-=- .故选：B.8.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，若()222sin SA C b a +=-，则tan A 的取值范围为（）A.33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+B.)C.,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.)+∞【答案】C 【解析】【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出,A B 关系,结合锐角三角形求出A 范围，进行求解.【详解】在ABC 中，()1sin sin ,sin 2A CB S ac B +==，由()222sin S A C b a+=-得22sin sin ac BB b a =-，因为sin 0B ≠，所以22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则22cos ac c ac B =-，故2cos c a B a =+，又由正弦定理得sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+，整理得sin()sin B A A -=，因为(0),,πA B ∈，故B A A -=或πB A A -=-（舍去），得2B A =，ABC 为锐角三角形，故π02π022π0π2A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<，故tan 13A <<，所以tan A的取值范围是,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故选：C.二、多选题9.已知平面向量()2,3a =-r，()2,1b = ，则（）A.()2a b b⊥-B.a与b可作为一组基底向量C.a与b夹角的余弦值为65D.a在b方向上的投影向量的坐标为21,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】对A ：计算()2a b b -⋅即可得；对B ：借助基底向量的定义即可得；对C ：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量定义计算即可得.【详解】对A ：()22,5a b -=--，则()()222519a b b +⋅-=-⨯-⨯=- ，故A 错误；对B ：易得a与b为不共线的向量，故a与b可作为一组基底向量，故B 正确；对C ：cos 65,a b a b a b ====⋅，故C 正确；对D：121,555a b b b b b⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：BC.10.如图，正方体1111ABCD A B CD -的棱长为1，E 为1BA的中点.下列说法正确的是（）A.直线1EC 与直线AD 是异面直线B.在直线11A C 上存在点F ，使EF ⊥平面1ACDC.直线1BA 与平面1A CD 所成角是π3D.点B 到平面1A CD 的距离是22【答案】BD 【解析】【分析】证明1EC 与AD 在平面11B ADC 上，可以判断A ；连接11A C ，1BC ，取11A C 的中点F ，连接EF ，证明EF ⊥平面1A CD 可判断B ；连接1B C 交1BC 于点M ，连接1A M ，由1BC ⊥平面1A CD ，有BM ⊥平面1A CD ，可判断C 和D.【详解】对于A ， 正方体1111ABCD A B C D -，∴11//B C AD ，11B C AD =，∴四边形11B ADC 是平行四边形，∴11,,,B A D C 四点共面，由图可知直线1EC 与直线AD 都在平面11B ADC 中，∴直线1EC 与直线AD 不可能是异面直线，故A 错误；对于B ，连接11A C ，1BC ，取11A C 的中点F ，连接EF ，又E 为1BA 的中点，则1//EF BC ，正方体1111ABCD A B C D -，∴11//A B CD ，11A B CD =，∴四边形11A DCB 是平行四边形，∴11//B C A D ，11BC B C ⊥，所以11BC A D ⊥，正方体1111ABCD A B C D -，∴⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，∴1CD BC ⊥，且1CD A D D = ，1,CD A D ⊂平面1A CD ，得1BC ⊥平面1ACD ，则EF ⊥平面1A CD ，故B 正确；对于C ，连接1B C 交1BC 于点M ，连接1A M ，由1BC ⊥平面1ACD ，有BM ⊥平面1A CD ，则1BA M ∠即为直线1BA 与平面1A CD 所成的角，正方体的棱长为1，所以11222BM BA ==， 190BMA ∠= ，则1π6BA M ∠=，故C 错误；对于D ，由BM ⊥平面1A CD 知，BM 即为点B 到平面1A CD 的距离，22BM =，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()44πsin 2sin cos 6f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（）A.函数()f x 在2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B.函数()f x 的图象可以由sin2y x =图象向左平移π12个单位长度得到C.()π6f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.若函数()12y f x =+在[],a b 上至少有11个零点，则b a -的最小值为5π【答案】ABD 【解析】【分析】先化简函数π()sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.【详解】因为()44πsin 2sin cos 6f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()()22221sin 2cos 2sin cos sin cos 22x x x x x x =--+-()223131sin 2cos 2sin cos sin 2cos 2cos 22222x x x x x x x =---=-+1πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对A ，令3ππ5π2262x <+<，则2π7π36x <<，即()f x 的单调增区间为2π7π,36⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 在2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项A 正确；对B ，sin2y x =图象向左平移π12个单位长度得到，ππsin2sin 2()126y x x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；对C ，由于ππππsin 2sin 2cos 2()6662f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项C 错误；对D ，若函数()12y f x =+在[],a b 上至少有11个零点，即()y f x =与12y =-在[],a b 上至少有11个交点，令1()2f x =-，则ππ22π66x k +=-+或π7π22π66x k +=+，即ππ6x k =-+或ππ,2k k +∈Z ，由于函数π()sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭一个周期由两个点函数值为12-，则在π9π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦正好由11个交点，故b a -的最小值为5π，故选项D 正确.故选：ABD三、填空题12.在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143,140,144,142,142,145,148,147,147,150,这10名同学数学成绩的60%分位数是___________.【答案】146【解析】【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可.【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：140,142,142,143,144,145,147,147,148,150根据1060%6⨯=，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；10名同学数学成绩的60%分位数为：1451471462+=.故答案为：14613.已知圆台12O O 的上､下底面面积分别为4π,36π，其外接球球心O 满足123O O OO =，则圆台12O O 的外接球体积与圆台12O O 的体积之比为___________.【答案】13【解析】【分析】根据相切结合勾股定理可得2224936R h h =+=+，即可求解h 、R ，由圆台和球的体积公式即可求解.【详解】设圆台12O O 的高为4h ，外接球的半径为R，作出轴截面（一半）如图：因为12O O 的上､下底面面积分别为4π,36π，则圆1O ，2O 的半径分别为2，6，又123O O OO =，所以13O O h =，2OO h =，所以2224936R h h =+=+，解得2,h R ==，故所求体积之比为(34π10103.1134π36π83⋅=++⨯故答案为：10101314.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且AB ＝BC ＝75米，则滕王阁的高度OP ＝________米．【答案】【解析】【分析】设,0OP h h =>，表示出,,OA OB OC ，利用cos cos OBC OBA ∠=-∠结合余弦定理列方程求解.【详解】设,0OP h h =>，则,,tan 30tan 603tan 45OP OP OP OA OB OC h ︒︒︒======.由πOBC OBA ∠+∠=得cos cos OBC OBA ∠=-∠，)22222275753333h ⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪=解得h =，即OP为米．故答案为：.四、解答题15.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而2sin2C==，又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.【小问2详解】由（1）可得π3B=，2cos2C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ232162sin sin sin124622224A⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而623136,4222a cb c+====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c+==⋅⋅=，由已知ABC的面积为3+，可得2338c=，所以c=16.已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且22AE AB CD===，F 为BE的中点．（1）证明：//DF平面ABC；（2）求点B到平面ADF的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AE 中点G ，连接DG 、FG ，由三角形中位线的性质得到//FG AB ，进一步得到//FG 平面ABC ，再由已知证出四边形ACDG 为平行四边形，从而得到DG//平面ABC ，即可得到平面DFG //平面ABC ，从而得证；（2）先证出BE ⊥平面ADF ，进而得出点B 到平面ADF 的距离为BF ，即可求解．【小问1详解】如图：取AE 中点G ，连接DG 、FG ，F 是BE 的中点，//FG AB ∴，又AB ⊂ 平面ABC ，FG ⊄平面ABC ，//FG ∴平面ABC ，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，//AE CD ∴，又2AE =，1CD =，AG CD ∴=，则四边形ACDG 为平行四边形，//DG AC ∴，又AC ⊂ 平面ABC ，DG ⊄平面ABC ，DG //∴平面ABC ，又FG DG G = ，,FG DG ⊂平面平面DFG ，∴平面DFG //平面ABC ，DF ⊂ 平面DFG ，//DF ∴平面ABC ；【小问2详解】2AE CD = ，211EG AE CD ∴=-=-=，2DG AC ==，在直角DEG △中，DE ==在直角BCD △中，BD ==，DE BD ∴=，又F 为BE 的中点，DF BE ∴⊥，又AE AB =，AF BE ∴⊥，AF DF F = ，,AF DF ⊂平面ADFBE ∴⊥平面ADF ，即点B 到平面ADF 的距离为BF ，因为BE ===，所以12BF BE ==17.为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间[]40,100分内.已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120.现用分层抽样的方法抽取了名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）根据样本频率分布直方图，计算图中a 的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数；（2）已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数1x 和高一年级选历史方向学生成绩的方差22s .选科方向样本平均样本方差数物理方向1x 75历史方向6022s 【答案】（1）0.040a =，平均数69，第71百分位数75；（2）175x =，22102.5s =.【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出a 值，再求出学生成绩的平均数和第71百分位数作答.（2）由（1）结合平均数的意义求出1x ，再根据方差的定义求出22s 作答.【小问1详解】由频率分布直方图知，10(0.0060.0120.0260.0100.006)1a +++++=，解得0.040a =，学生成绩在区间[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率依次为：0.06,0.12,0.40,0.26,0.10,0.06，样本平均数450.06550.12650.4750.26850.1950.0669x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，显然学生成绩在区间[40,70)内的频率为0.58，在区间[40,80)内的频率为0.84，因此第71百分位数0(70,80)x ∈，00.060.120.4(70)0.2671%x +++-⨯=，解得075x =，所以0.040a =，估计该校全体学生成绩的平均数为69，第71百分位数为75.【小问2详解】依题意，抽取的30名学生中，物理方向有1803018300⨯=（人），则历史方向有12人，由（1）知，11812606930x +⨯=，解得175x =，物理方向的样本数据为(1,2,3,,18)i x i = ，历史方向的样本数据为(1,2,3,,12)i y i = ，依题意，1812111875,1260i i i i xy ===⨯=⨯∑∑，1812222211(75)1875,(60)12i i i i x y s ==-=⨯-=∑∑，全体学生成绩的方差1812181222222111111[(69)(69)]{[(75)6][(60)9]}3030i i i i i i i i s x y x y =====-+-=-++--∑∑∑∑181222111{[(75)12(75)36][(60)18(60)81]}30i i i i i i x x y y ===-+-++---+∑∑181812122211111{[(75)12(75)1836][(60)18(60)1281]}30i i i i i i i i x x y y =====-+-+⨯+---+⨯∑∑∑∑221[(187********)(121801281)]14030s =⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯=，解得22102.5s =，所以175x =，22102.5s =.18.如左图所示，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，AD CD ⊥，2BC =，3AD =，CD =边AD 上一点E 满足1DE =.现将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，如右图所示.（1）求证：1A C BE ⊥；（2）求1A D 与面BCDE 所成的角；（3）求平面1A BE 与平面1ACD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）45°；（3）217.【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，证明AC BE ⊥，即可证得BE ⊥平面1A OC 推理作答.（2）由面面垂直可得1A O ⊥平面BCDE ，再结合已知计算作答.（3）延长BE ，CD 交于点G ，作出平面1A BE 与平面1A CD 所成二面角的平面角，借助直角三角形计算得解.【小问1详解】在直角梯形ABCD 中，连接CE ，如图，2CE BC AE ===，60BCE CED ∠=∠=︒，则四边形ABCE 为菱形，2AB =，连接AC 交BE 于点O ，则AC BE ⊥，30ACE ∠=︒，因此，在折起后的图中，1A O BE ⊥，OC BE ⊥，如图，1A O CO O ⋂=，1,A O CO ⊂平面1A OC ，则BE ⊥平面1A OC ，又1AC ⊂平面1A OC ，所以1A C BE ⊥.【小问2详解】连DO ，由（1）可得，160A O CO CD OCD ===∠= ，则DO =1A O BE ⊥，而平面1A BE ⊥平面BCDE ，平面1A BE Ç平面BCDE BE =，1A O ⊂平面1A BE ，因此，1A O ⊥平面BCDE ，即1A DO ∠是1A D 与面BCDE 所成的角，而1A O DO ⊥，则145A DO ∠= ，所以1A D 与面BCDE 所成的角45°.【小问3详解】延长BE ，CD ，设BE CD G = ，连接AG ，显然∈G 平面1A BE ，∈G 平面1A CD ，又1A ∈平面1A BE ，1A ∈平面1A CD ，即1A G 是平面1A BE 与平面1A CD 的交线，因平面1A BE ⊥平面BCDE ，OC BE ⊥，平面1A BE Ç平面BCDE BE =，OC ⊂平面BCDE ，则OC ⊥平面1A BE ，又1A G ⊂平面1A BE ，即1OC A G ⊥，作1OH A G ⊥，垂足为H ，连接CH ，又OH OC O ⋂=，则1A G ⊥平面OCH ，又CH ⊂平面OCH ，于是得1A G CH ⊥，因此OHC ∠即为平面1A BE 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角，由（2）知OC =，又2GE BE ==，3OG =，则1AG =，1132A O OG OH A G ⋅==，在Rt COH △中，2CH ===，则3212cos 7212OH OHC CH ∠===.所以平面1A BE 与平面1A CD所成锐二面角的余弦值7.【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．19.已知函数()f x a b =⋅ ，其中()()()sin π,cos 23πa x x =-- ，π3sin ,22b x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（3）已知函数()()()22321g x f x f x m =-+-在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）最小正周期为：π；对称轴为：5ππ122k x =+，Z k ∈（2）5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）117,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先根据数量积的坐标公式及三角恒等变换化简解析式，再根据正弦函数的周期性和对称性即可得解；（2）根据正弦函数的单调性求解即可；（3）函数()()()22321g x f x f x m =-+-在ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦上存在零点，分离参数可得()()22123m f x f x =--在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()πsin 23t f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，再结合二次函数的性质即可得解.【小问1详解】()()()π3sin πsin cos 23π22f x a b x x x ⎛⎫=⋅=--+- ⎪⎝⎭()πsin πsin cos222x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭313πsin cos cos2sin2cos2sin 22223x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由2ππ2T ==，则()f x 的最小正周期为π，令ππ2π32x k -=+，Z k ∈，解得5ππ122k x =+，Z k ∈，即对称轴为5ππ122k x =+，Z k ∈；【小问2详解】由（1）知()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设π23z x =-，[]0,πx ∈，所以ππ5π2,333z x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，又sin y z =在π5π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调递减区间是π3π,22z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由ππ3π2232x ≤-≤，得5π11π1212x ≤≤，所以()f x 在[]0,π上的单调递减区间是5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【小问3详解】由（2）知()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2ππ2sin 23sin 22133g x x x m ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()()()22321g x f x f x m =-+-在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，即2ππ212sin 23sin 233m x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦上有解，因为ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π20,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]πsin 20,13f x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，令()πsin 23t f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，[]0,1t ∈，则223171723121,488y t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以17128m ≤≤，解得117216m ≤≤，所以实数m 的取值范围为117,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x ωϕ=+在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域.。
广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题(解析版)
2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试数学2024. 7本试卷共 4 页， 19 小题， 淌分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项:1.答题前， 考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”.2.作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑: 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案， 答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回.一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}11,3,0,1,3A B =−=,，则 A B ∪=（ ）A.{}1,3B.{}1,1,3− C.{}0,1,3 D.{}1,0,1,3−【答案】D 【解析】【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】根据并集含义知{}1,0,1,3A B =− ，故选：D.2.函数 ()ln 2f x x x =+− 的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】B 【解析】的【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可．【详解】函数()ln 2f x x x =+−的定义域为()0,+∞， 函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()1ln11210f =+−=−< ，()2ln 222ln 20f =+−=>， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为()1,2． 故选：B .3. 已知幂函数()f x x α=，则“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案.【详解】当“ 0α> ”时，根据幂函数性质知()f x x α=在()0,∞+上单调递增，则充分性成立；反之，若“()f x x α=在()0,∞+上单调递增”则“0α>”，必要性也成立，故“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件， 故选：C .4. 已知向量 ()()20,12ab =，，，若 ()a b a λ+⊥，则 λ=（ ） A. 1− B. 12−C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】()()()201221,2a bλλλ+=+=+，，,因为()a b a λ+⊥ ，则()0a b a λ+⋅=，即()2210λ+=，于是 12λ=−. 故选：B.5. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若//,m n αα⊂，则//m nB. 若//,//m ααβ ，则//m βC. 若,m m n α⊥⊥，则//?n αD. 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】在正方体中，通过取平面和直线，即可判断出选项A ，B ，C 的正误；对于选项D ，根据条件，利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理，即可判断出选项D 的正误.【详解】对于选项A ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ， 直线BC 为直线n ，显然有//,m n αα⊂，但m 不平行n ，所以选项A 错误， 对于选项B ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ， 面1111D C B A 为平面β，有//,//m ααβ，但m β⊂，所以选项B 错误， 对于选项C ，取面ABCD 为平面α，直线1A A 为直线m ，直线BC 为直线n ， 因为n ⊂α，显然有,m m n α⊥⊥，但n ⊂α，所以选项C 错误，对于选项D ，因为//m β，在β内任取一点P ，过直线m 与点P 确定平面γ， 则l βγ= ，由线面平行的性质知//m l ，又m α⊥，所以l α⊥，又l β⊂， 所以αβ⊥，所以选项D 正确，故选：D.6. 已知 ABC 中， 22AE AB BM MC == ，，若 AF xAC =，且 E M F ，， 三点共线， 则 x =（ ） A.23B.34C.45D.56【答案】C 【解析】【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可.【详解】因为2,BM MC =所以1233AM AB AC =+ ， 2,AE AB AF x AC == ,因为,,E M F 三点共线，所以,1AM AE AF λµλµ=++=,12233AB AC AB x AC λµ+=+, 所以112,,36λλ== 524,,635x µµµ===. 故选：C.7. 已知正实数 ,a b 满足 4a b ab +=，则 a b + 的最小值为（ ） A. 4 B. 9C. 10D. 20【答案】B 【解析】【分析】方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=，利用“1代换”即可求解. 【详解】,a b 为正实数，方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=， ()1444159a b b a bb a a b a ∴++++++ ≥ + =，当且仅当14b a =即82a b == 时等号成立， 故a b + 的最小值为9. 故选：B .8. 已知函数()()()(sin ,π,2,f x x x a f b f c f =−===−，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>【答案】 A的【解析】【分析】得出函数奇偶性后，利用正弦函数的单调性可得()f x 的单调性，即可得解.【详解】由R x ∈，()()()sin sin f x x x x x f x −=−−−=−+=−，故()f x 为奇函数，则(c f f =−=，π2π2<<<， 函数sin y x =在π,π2 上单调递减，故()sin f x x x =−在π,π2上单调递增，则()()2πff f <<，即a b c >>.故选：A.二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.9. 若复数z 满足i 1i z =−，下列说法正确的是（） A. z 的虚部为i − B. 1i z =−+C.z =D. 2z z z ⋅=【答案】BC 【解析】. 【详解】()2i 1i 1i 1i i iz −−−===−−−，则其虚部为1−，故A 错误；||z =1i z =−+，故BC 正确；()()1i 1i 2z z ⋅=−−−+=，而()221i 2i z =−−=，则两者不等，故D 错误.故选：BC.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 A = “第一次的点数不大于3 ”， B =“第二次的点数不小于4 ”， C = “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ）A. 事件A 发生的概率 ()12P A = B. 事件A 与事件B 相互独立 C. 事件 C 发生的概率 ()13P C =D. 事件AB 与事件C 对立【答案】ABC 【解析】【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A ，C ，由相互独立事件的定义即可求解选项B ，由对立事件的定义分析选项D.【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36不同结果，即()36n Ω=，对于A ，事件A 包含的样本点有18种，故()181()()362n A P An ===Ω，故A 正确； 对于B ，事件B 包含的样本点有18种，故()181()()362n B P Bn ===Ω， 事件AB 包含的样本点有9种，故()91()()364n AB P ABn ===Ω， 因为()()()P A P B P AB =，所以事件,A B 相互独立，故B 正确；对于C ，事件C 包含的样本点有12种，故()121()()363n C P Cn ===Ω，故C 正确； 对于D ，事件C 与事件AB 有重复的样本点(1,5),(2,4),(3,6)， 故事件AB 与事件C 不对立，故D 错误. 故选：ABC.11. 已知正方体 1111ABCD A B C D − 的棱长为2E ，是正方形11ABB A 的中心， F 是棱 CD (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）A. EFB. 不存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于30C. 二面角E AF B −−正切值的取值范围为1D. 当F 为CD 中点时，三棱锥F ABE −的外接球表面积为25π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接找出最近距离为F 为CD 中点，计算即可；对于B ，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C ，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D ，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可．【详解】对于A ， EF 最小值时，F 为CD 中点.作个草图，取AB 中点M ，连接FM ．此时EF A 正确．设EF 与11A D 所成的角为θ，当F 与C 重合时，()maxtan BE BC θ==， 当F CD 中点时，()min1tan 2EM FM θ==．则存在点 F，使tan θ=. 即存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于 30 .故B 错误．如图，过AB 中点M 作MH AF ⊥于H ，则EHM ∠为二面角E AF B −−的平面角，因此1tan EM EHM HM HM∠==∈ ，故C 正确．在设三棱锥F ABE −的外接球的球心为O ，显然FM ⊥平面ABE ，ABE 为等腰直角三角形，外心为M ， 则O 可以由M 沿着MF 方向移动即可,O 一定在MF 上．F 为CD 中点时，半径OFOA R ==，于是2OM R =−． 在OMA 中有()22221R R −+=，解得54R =， 于是球O 表面积为2254ππ4S R =.故D 正确． 故选：ACD.【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题.三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.12. 已知 1sin ,3α=则cos 2πα+=___________【答案】13−【解析】【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得：1cos sin 23παα+=−=−， 故答案为：13−.13. 若 1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则a 的取值范围为______________.【答案】5[,)2+∞ 【解析】【分析】分离参数得1a x x ≥+，令1()f x x x =+，求出函数在1,22上的最大值即可求解. 【详解】1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则21x ax +≤，即1,22x∀∈，1a x x ≥+恒成立，令1()f x x x =+，由图知()f x 在1,12上单调递减，在[]1,2上单调递增， 又115()(2)2222f f ==+=，故max 5()2f x =，则52a ≥. 故答案为： 5[,)2+∞.14. 已知圆O 为ABC的外接圆，π,3A BC==，则()AO AB AC ⋅+的最大值为______________.【答案】3 【解析】【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取BC 的中点D ，连接OD ，则12OD =，变形得到()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+ ，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅取得最大值，求出答案.【详解】设圆O 的半径为R，则22sin BC RA ==，解得1R =，因为π,3A BC ==2π3BOC ∠=，取BC 的中点D ，连接OD ，则3BOD COD π∠=∠=， 故12OD =， ()()()2AO AB AC AO OB OA OC OA AO OB OC OA ⋅+=⋅−+−=⋅+−()2222AO OB OC OA AO OD =⋅++=⋅+，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅ 取得最大值，最大值为11122×=，故()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+的最大值为123+=.故答案为：3四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos 0c A C =. （1）求C ;（2）若4a ABC = ，，求b 和c . 【答案】（1）2π3（2）1b =，c =【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到tan C =，则2π3C =； （2）根据三角形面积公式即可得b 值，再利用余弦定理即可得到c 值.【小问1详解】由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，那么sin sin cos 0C A A C =，由于sin 0A >，则sin 0C C +=，则tan C =(0,π)C ∈，故2π3C =. 【小问2详解】由于11sin 422ABC S ab C b ==×= ，则1b =，根据余弦定理：2222212cos 41241212c a b ab C=+−=+−×××−=，那么c =.16. 已知函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ=+><，，函数()f x 的最小正周期为π，且π06f=（1）求函数()f x 的解析式:（2）求使()210f x −≥成立的x 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x=−（2）π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性与零点计算即可得；（2）借助正弦函数图象性质计算即可得.【小问1详解】 由2ππT ω==，0ω>，则2=ω， 又π06f= ，即π2π,Z 6k k ϕ×+=∈，即ππ,Z 3k k ϕ=−+∈， 又π2ϕ<，则π3ϕ=−，即()πsin 23f x x=− ；【小问2详解】若()210f x −≥，即π1sin 232x −≥ ， 即有ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤−≤+∈， 即π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈，故x 的取值范围为π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈.17. 如图， AB 是 O 直径， 2AB =，点 C 是 O 上的动点，PA ⊥ 平面 ABC ，过点 A 作AE PC ⊥，过点 E 作 EF PB ⊥，连接 AF .的（1）求证：BC AE ⊥ ；（2）求证：平面 AEF ⊥ 平面 PAB ；（3）当 C 为弧 AB 的中点时，直线 PA 与平面 PBC 所成角为 45 ，求四棱锥 A EFBC − 的体积.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3【解析】【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；（2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直；（3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可.【小问1详解】由于AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥，因PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又因为,PA AC A ∩=PA AC ⊂，平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又因为AE ⊂平面PAC ，所以BC AE ⊥;【小问2详解】 由（1）得，BC AE ⊥，PC AE ⊥，且,PC BC C ∩=PC BC ⊂，平面PBC ， 所以⊥AE 平面PBC ，又由于PB ⊂平面PBC ，那么AE PB ⊥，又因为EF PB ⊥，AE EF E ∩=，AE EF ⊂，平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，又由于PB ⊂平面PAB ，那么平面PAB ⊥平面AEF ；【小问3详解】由（2）可知：⊥AE 平面PBC ，而直线PA 与平面PBC 所成角为45°，那么45APE °∠=，且90CAP AEP °∠=∠=，所以45PCA PAE CAE °∠=∠=∠=且AC BC ==那么1,PA AC AE PE EC PB ======在PAB 中，1122AF PB PA AB ⋅⋅=⋅⋅，得AF = 为所以PF EF ====那么1111332P AEF A PEF PEF V V AE S −−==⋅⋅=××= ，1132P ABC V −=，则A EFBC V −==18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率:（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.【答案】（1）0.030t =，85（2）35（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【解析】【分析】（1）首先根据频率和为1求出0.03t =，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【小问1详解】由题意得:10(0.010.0150.0200.025)1t ×++++=，解得0.03t =， 设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ×+×+×+×−=， 解得85x =，第60百分位数为85.【小问2详解】由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220×=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320×=人，设为a 、b 、c . 则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()10A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c n ΩΩ=. 设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()6M A a A b A c B a B b B c n M =， 因此()63()()105n M P M n ===Ω， 所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35. 【小问3详解】由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028××=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312××=个.记在区间[70,80)的数据分别为128,,,x x x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1212,,,y y y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s . 由题意，2275,85, 6.25,0.5x yx y s s ====，且8121111,812i j i j x x y y ===∑∑，则8128751285812020x y z +×+×==. 根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ==== =−+−=−+−+−+− ∑∑∑∑ ()()()()88812121222221111111()2()()2()20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ====== −+−+−−+−+−+−−∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ===−=−=−=−=∑∑∑∑， 可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ==== =−+−+−+−∑∑∑∑ 2222188()1212()20x y s x z s y z +−++−222223()()55x y s x z s y z =+−++− 22236.25(7581)0.5(8581)26.855+−++−= 故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 已知函数()y f x =为R 上的奇函数.当01x ≤≤时，()23f x ax x c =++(a c ，为常数)，()11f =. （1）当1122x −≤≤时，求函数()2f x y =的值域: （2）若函数()y f x =的图像关于点()1,1中心对称.①设函数()()g x f x x x =−∈R ，，求证:函数()g x 为周期函数; ②若()94188f x −≤≤对任意[],x m n ∈恒成立，求n m −的最大值. 【答案】（1）1,22（2【解析】【分析】（1）代入(0)0f =，(1)1f =，得到2()23,01f x x x x =−+≤≤，再二次性质求出当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−，最后根据复合函数单调性得1,22； （2）①运算得(2)()2f x f x +−=，则可证明(2)()g x g x +=；②求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，然后转化为求n 最大，m 最小即可. 【小问1详解】由于函数()f x 为R 上奇函数，那么(0)0f =，且(1)1f =，则(0)0(1)31f c f a c == =++= ，则02c a = =− ，则2()23,01f x x x x =−+≤≤； 那么239()248f x x =−−+，由10,2x ∈ ，则()[0,1]f x ∈， 而函数()f x 为奇函数，那么1,02x ∈−时，()[1,0)f x ∈−， 综上所述:当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−， 由复合函数单调性可知:则()12,22f x y =∈. 【小问2详解】 ①由于()()f x f x −=−，且()(2)2f x f x −=−++， 由于()(2)2f x f x −=−++，则(2)()2f x f x +−=， 那么(2)(2)(2)()2(2)()()g x f x x f x x f x x g x +=+−+=+−+=−=，则()g x 为R 上周期为2的函数.②由（1）可知，当[0,1]x ∈时，22111()2220,222g x x x x =−+=−−+∈ ，[1,0)x ∈−时，1(),02g x ∈−， 那么[21,2),x k k k ∈−∈Z 时，1(),02f x x −∈−； [2,21],x k k k ∈+∈Z 时，1()0,2f x x −∈； 那么11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ； 若n m −要最大，仅需n 最大，m 最小， 从而考虑如下临界：由于941()88f x −≤≤，令1928x +=−， 则138x =−，此时(2,1)x ∈−−； 14145,,(5,6)288x x x −==∈；当(2,1)x ∈−−时，2(0,1)x +∈，2(2)(2)(2)2(2)3(2)(2)()()g x f x x x x x g x f x x +=+−+=−+++−+==−， 那么2()254,(2,1)f x x x x =−−−∈−−，令29254,8x x x −−−=−x =；同理，(5,6)x ∈时，6(1,0)x −∈−，2(6)(6)(6)2(6)3(6)(6)()()g x f x x x x x g x f x x −−−−−+−−−−， 那么2()22160,(5,6)f x x x x =−+∈，令24122160,8x x x −+==x =舍去）；从而n m ≤≥那么n m −=. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，再求出,m n 的临界值即可.。
广东省广州市越秀区高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A．30° B．45° C．135°D．150°2．已知函数f（x）=x n的图象过点（3，），则n=（）A．B．C．D．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线A1B是异面直线的是（）A．直线AB1B．直线CD1C．直线B1C D．直线BC14．下列函数中，与函数y=|x|表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=log22|x|5．已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1）B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）6．若m＞n，则（）A．0.2m＜0.2n B．log0.3m＞log0.3nC．2m＜2n D．m2＞n27．如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，侧视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π8．在空间在，设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β9．圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切10．若x0是函数f（x）=lgx与g（x）=的图象交点的横坐标，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f （x）的大致图象是（）A． B． C．D．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．当a＞0时，函数F（x）有2个零点B．当a＞0时，函数F（x）有4个零点C．当a＜0时，函数F（x）有2个零点D．当a＜0时，函数F（x）有3个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=lg（4﹣x）+的定义域是．14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是．16．里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的倍．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，某某数a的取值X围．18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C （2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．19．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．21．已知圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点（﹣1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；（3）若过点A（0，）作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆0于B、C两点，且k1k2=﹣，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．2015-2016学年某某省某某市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），则直线AB的倾斜角大小（）A．30° B．45° C．135°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出直线AB的斜率，从而求出直线AB的倾斜角．【解答】解：∵A（1，0），B（3，2），∴k AB==1，则直线AB的倾斜角大小是45°，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角问题，是一道基础题．2．已知函数f（x）=x n的图象过点（3，），则n=（）A．B．C．D．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），代入点的坐标，求出n的值．【解答】解：函数f（x）=x n的图象过点（3，），∴3n=，解得n=．故选：A．【点评】本题考查了利用函数图象上的点的坐标求函数解析式的问题，是基础题．3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线A1B是异面直线的是（）A．直线AB1B．直线CD1C．直线B1C D．直线BC1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得A1B与B1C的位置关系是异面．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1C∥A1B∴A1B∥平面DCC1D1，而D1C1与B1C是相交直线，∴A1B与B1C的位置关系是异面．故选：C．【点评】本题考查异面直线的判定，是基础题．4．下列函数中，与函数y=|x|表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=log22|x|【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，y==x，x≥0，与函数y=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，y==x，x∈R，与函数y=|x|（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于C，y==|x|，x≠0，与函数y=|x|（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=log22|x|=|x|，x∈R，与函数y=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．5．已知函数f（x）=2x+1，则（）A．f（x）的图象经过点（0，1）B．f（x）在R上的增函数C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）的值域是（0，+∞）【考点】指数函数的图象变换．【专题】探究型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】把指数函数y=2x的图象向上平移1个单位，然后再结合y=2x的性质可得函数f（x）=2x+1的性质，则答案可求．【解答】解：函数f（x）=2x+1的图象是把y=2x的图象向上平移1个单位得到的．∴f（x）=2x+1的图象过点（1，1），在R上是增函数，图象不具有对称性，值域为（1，+∞）．综上可知，B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了指数函数的图象平移，是基础题．6．若m＞n，则（）A．0.2m＜0.2n B．log0.3m＞log0.3nC．2m＜2n D．m2＞n2【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：∵y=0.2x为减函数，∴若m＞n，则0.2m＜0.2n正确，∵y=log0.3x为减函数，∴若m＞n，则log0.3m＜log0.3n，或对数函数不存在，错误∵y=2x为增函数，∴若m＞n，则2m＞2n，错误当m=1，n=﹣1时，满足m＞n，但m2＞n2不成立，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．7．如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，侧视图是一个直径为2的圆，则该几何体的表面积是（）A．4πB．6πC．8πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体，根据数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，知该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱体；∴该圆柱体的表面积是S=2S底+S侧=2π×12+2π×1×2=6π．故选：B．【点评】本题考查了三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出几何体的形状与数据特征，从而求出答案，是基础题．8．在空间在，设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】对应思想；空间位置关系与距离．【分析】由线面位置关系逐个判断即可：选项A，可得m∥n，m与n相交或m与n异面；选项B，可得α∥β或α与β相交；选项C，同一个平面成立，在空间不成立；选项D，垂直于同一条直线的两个平面平行【解答】解：选项A，由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；选项B，由m∥α，n∥α，可得m∥n，m与n相交或m与n异面，故错误；选项C，由垂直于同一条直线的两个平面平行可知结论正确；选项D，m∥α，m∥β可得α∥β或α与β相交，故错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．9．圆（x﹣3）2+（y+2）2=1与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意，算出两圆的圆心分别为C1（3，﹣2）、C2（7，1），得到|C1C2|=5即得圆心距等于两圆半径之差，从而得到两圆相内切．【解答】圆（x﹣3）2+（y+2）2=1的圆心为C1（3，﹣2），半径r=1同理可得圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的圆心为C2（7，1），半径R=6∴|C1C2|==5，可得|C1C2|=R﹣r，两圆相内切故选：D．【点评】本题给出两圆方程，求它们的位置关系，着重考查了圆的方程、圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．10．若x0是函数f（x）=lgx与g（x）=的图象交点的横坐标，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），使用零点的存在性定理进行判断．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx﹣．则当x∈（0，1）时，lgx＜0，，∴h（x）＜0；h（1）=﹣1，h（2）=lg2﹣＜lg﹣=0，h（3）=lg3﹣＞lg﹣=0，∴h（2）h（3）＜0．h（x）在（2，3）上有零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点的存在性定理，属于基础题．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f （x）的大致图象是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于原点对称，函数在R上单调递增，且增长比较缓慢，从而结合选项得出结论【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），可得函数f（x）的图象关于原点对称，函数在R上单调递增，且增长比较缓慢，结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，函数的图象特征，属于中档题．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．当a＞0时，函数F（x）有2个零点B．当a＞0时，函数F（x）有4个零点C．当a＜0时，函数F（x）有2个零点D．当a＜0时，函数F（x）有3个零点【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】讨论a，再由分段函数分别代入求方程的解的个数，从而确定函数的零点的个数即可．【解答】解：当a＞0时，由af（x）+1+1=0得，f（x）=﹣＜0，故ax+1=﹣或log3x=﹣，故有两个不同的解，由log3f（x）+1=0得，f（x）=，故ax+1=或log3x=，故有两个不同的解，故共有四个解，即函数有4个零点；当a＜0时，af（x）+1+1=0无解，由log3f（x）+1=0得，f（x）=，故ax+1=（无解）或log3x=，故有﹣个解，故共有一个解，故选B．【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=lg（4﹣x）+的定义域是（2，4）．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：2＜x＜4，故答案为：（2，4）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数二次根式的性质，是一道基础题．14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出正方体的棱长为6，利用一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，可得球的半径为3，即可求出球的体积．【解答】解：由题意，正方体的棱长为6，∵一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，∴球的半径为3，∴球的体积是=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是2．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意可知，当Q为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离．【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，所以圆心A（1，1），圆的半径r=，则圆心A到直线x+y﹣8=0的距离d==3，所以动点Q到直线距离的最小值为3﹣=2．故答案为：2．【点评】此题要求学生会将圆的方程化为标准式方程并会根据圆的标准式方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式化简取值，是一道中档题．此题的关键是找出最短距离时Q的位置．16．里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的103倍．【考点】对数的运算性质．【专题】应用题；方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，列出方程lgA7﹣lgA0=7①，lgA4﹣lgA0=4②，组成方程组求出的值．【解答】解：根据题意，得；lgA7﹣lgA0=7①，lgA4﹣lgA0=4②；由①得，A7=A0•107，由②得，A4=A0•104；∴=103，即7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的103倍．故答案为：103．【点评】本题考查了对数运算的性质与应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．设全集是实数集R，集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B≠∅，某某数a的取值X围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（1）化简集合A，根据并集和补集的定义即可求出，（2）根据交集的定义，及A∩B≠∅即可求出a的X围．【解答】解：（1）集合A={x|x（x﹣3）＜0}=（0，3），B={x|x≥1}=[1，+∞），∴A∪B=（0，+∞），∴∁R（A∪B）=（﹣∞，0]；（2）由B={x|x≥a}=[a，+∞），A=（0，3），∵A∩B≠∅，∴a＜3，∴a的取值X围为（﹣∞，3）．【点评】本题考查了集合的交并补运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，﹣1），B（7，3），C （2，8）．（1）求直线AB的方程；（2）求AB边上高所在的直线l的方程；（3）求△ABC的外接圆的方程．【考点】待定系数法求直线方程；圆的标准方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出直线AB的斜率，代入直线的点斜式方程即可；（2）求出直线l的斜率，代入点斜式方程整理即可；（3）设出圆的标准方程，根据待定系数法求出即可．【解答】解：（1）∵K AB==2，∴直线AB的方程是：y+1=2（x﹣5），即2x﹣y﹣11=0；（2）∵AB⊥l，∴K AB•K l=﹣1，解得：K l=﹣，∴过C（2，8），斜率是﹣的直线方程是：y﹣8=﹣（x﹣2），即x+2y﹣18=0；（3）设三角形外接圆的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，（r＞0），由题意得：，解得：a=2，b=3，r=5，∴△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=25．【点评】本题考查了求直线和圆的方程问题，考查求直线的斜率问题，是一道中档题．19．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明PB⊥平面PAD，即可证明平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，证明PE⊥平面ABCD，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PB⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PB，∵PA⊥PB，PA∩AD=A，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAD；（2）解：在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PE，∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，直角△PAB中，AB=2，PA=1，∴PB=，∴PE==，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==．【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查四棱锥P﹣ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，则PA∥EO，由此能证明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，从而BC⊥平面PDC，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，∵底面ABCD中矩形，∴点O是AC的中点，又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO，∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面EO．（2）PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC，∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面DEF．【点评】本查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点（﹣1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；（3）若过点A（0，）作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆0于B、C两点，且k1k2=﹣，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（1）由已知条件利用点到直线的距离公式求出圆的半径，由此能求出圆的方程．（2）直线l被圆0所截得的弦长为4，圆心到直线的距离d==1，分类讨论，即可求直线1的方程；（3）根据题意，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k1k2=﹣，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可．【解答】解：（1）∵圆0：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+2y﹣5=0相切，∴r==，∴圆O的方程为x2+y2=5；（2）∵直线l被圆0所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离d==1，斜率不存在时，x=﹣1，满足题意；斜率存在时，设方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=，∴直线1的方程为4x﹣3y+13=0，综上所述，直线1的方程为4x﹣3y+13=0或x=﹣1；（3）由题意知，设直线AB：y=k1x+，与圆方程联立，消去y得：（1+k12）x2+2k1x=0，∴x B=﹣，y B=，即B（﹣，），∵k1k2=﹣，用﹣代替k2得：C（，），∴直线BC方程为y﹣=（x+），令x=0，可得y=3则直线BC定点（0，3）．【点评】此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；（3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0．令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），即f（x2+3a）＞f（3x+ax），∵f（x）在R上是减函数，∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a=0时，不等式的解集为∅，当a＞3时，不等式的解集为（3，a），当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．（12分）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．。
广东省东莞市2013-2014学年高一下学期期末教学质量检查数学试题(A卷) 扫描版含答案
2013—2014学年度第二学期教学质量检查高一数学（A 卷）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．）（3,0,0 12．5113． 14.2263()()1055x y -++=三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分）解：（1）由()()23219a b a b -⋅+=可得2244319a a b b -⋅-=. …………2分又∵2,3a b ==，∴164919a b -⋅-=， …………3分 即3a b ⋅=-， …………4分∴cos 223a b a bθ⋅===-⨯⋅. …………6分∵πθ≤≤0，…………7分 ∴56πθ=.…………8分 （2）由()a a b λ⊥+可得，()=0a a b λ⋅+，…………10分即2=0a a b λ+⋅，即43=0λ-，解得4=3λ. …………12分16．（本小题满分12分） 解：（1）∵23||T ππω==，且0ω>， ∴23ω=，…………2分∴2()2sin()33f x x π=+.…………4分（2）由3238()2sin[()]2sin()2cos 42342325f ππππαααα+=++=+==，得4cos 5α=. ……6分 ∵02πα>>-，∴3sin 5α=- .…………7分由32310()2sin[()]2sin 22322313f πππβββ-=-+==，得5sin 13β=.…………9分∵02πβ>>，∴12cos 13β=. …………10分∴653313553131254sin sin cos cos )cos(=⨯-⨯=+=-βαβαβα. …………12分17．（本小题满分14分） 解：（1）由频率分布直方图知，上网时间在第二组)2,1[范围内的频率为：32.01)06.008.016.038.0(12=⨯+++-=f .…3分所以，该样本中上网时间在第二组的人数：1632.0502=⨯=n （人）. …………4分（2）由（1），可估计本年级上网时间t 在)2,1[范围内的频率为32.0， …………5分所以，可估计本年级学生上网时间t 在)2,1[范围内的人数为：25632.0800=⨯（人）.……7分（3）由频率分布直方图知第三组的频率为0.08，可得第三组共有4人； …………8分第五组的频率为0.06，可得第五组共有3人. …………9分其中第三组四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 、b 为男生， c 、d 为女生，第五组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：12个. …………11分其中恰为一男一女的事件有1c ，1d ， 2c ，2d ，3a ，3b ，共6个. …………13分所以，抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为：21126==p . …………14分18．（本小题满分14分） 解：（1）由题意，837873686373736x +++++==， …………2分756575656080706y +++++==.…………4分53ˆ281281=--=∑∑==xn xy x n yx bi ii ii ，…………7分5131ˆˆ=-=x b y a，…………10分∴313155y x =+. …………11分 （2）由（1）知，当70x =时，68y =， …………13分∴当某位学生的数学成绩为70分时，估计他的物理成绩为68.2.…………14分19．（本小题满分14分）解：（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ．∵P是线段AB的中点，∴1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 即⎩⎨⎧=+=+.,2121y y y x x x …………1分 ∵A B 、分别是直线y x =和y x =-上的点， ∴11y x =和22y x =-．∴⎩⎨⎧=-=-.,2121y x x x y y …………3分 又23AB =，∴12)()(221221=-+-y y x x ， …………4分即224412y x +=，所以动点P的轨迹C的方程为223x y +=． …………5分（2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-． …………6分设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ， 则M N 、两点坐标满足方程组22(1),3.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y并整理，得2222(1)230k x k x k +-+-=， …………8分∴234221k x x k+=+， ①234231k x x k -=+． ②…………9分∵λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-， 即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x ∴)1(33x x -λ=．…………10分∵l 与x 轴不垂直，∴13≠x ， ∴331x x -=λ.…………11分同理441x x -=μ． (12)分∴443311x xx x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++．…………13分将①②代入上式可得3λμ+=-． …………14分20．（本小题满分14分）解：（1）(sin ,cos ),(sin(),sin )6a x xb x x π→→==-，()2f x a b =⋅，2()2sin sin()2sin cos 6sin cos f x x x x xx x xπ∴=⋅-+⋅=+⋅1sin 222sin(2)3x x x π=-+=-+…………2分2x ππ≤≤，252333x πππ∴≤-≤，1sin(2)3x π∴-≤-≤，1()2f x ∴-+≤≤ …………3分3112()1321222,,()332x x f x x x f x ππππππ∴-==--==当时，即时，当时即时…………4分（2）由（1）得，()sin(2)32f x x π=-+()()4xg x f π=，()sin()232g x x ππ∴=-+. …………5分 2()42g x T ππ∴==函数的周期为.…………6分 (1)(2)(3)(4)g g g g ∴+++(5)(6)(7)(8)g g g g =+++ = (2009)(2010)(2011)(2012)g g g g =+++.…………7分(1)(2)(3)(4)g g g g +++=又(1)(2)(3)(4)...(2013)(2014)503(1)(2)g g g g g g g g ∴++++++=⨯+1212=+=+ …………9分（3）由（2）得，()sin()23g x x ππ=-+4T =的周期为， [](),2g x t t ∴+函数在上零点的个数sin()23y x y ππ=-=等价于函数图象与直线.…………10分在同一直角坐标系内作出这两个数的图象.由图象可知， 当444,3k t k k Z <<+∈时，sin()23y x y ππ=-=函数图象与直线， 即()g x 函数无零点；…………12分 当410424444,33k t k k t k k Z +≤<++<≤+∈或时，sin()123y x y ππ=-=函数图象与直线个交点，即()1g x 函数有个零点；………13分 当10244,3k t k k Z +≤≤+∈时，sin()223y x y ππ=-=函数图象与直线个交点，即()g x 函数有个零点.…………14分。
广东省广州市越秀区2013-2014学年高二下学期期末水平调研测试 数学理试题
秘密★启用前 试卷类型：A广东省广州市越秀区2013-2014学年高二下学期期末水平调研测试 数学理试题一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|280A x x x =--<，{}|1B y y =≤-，，则A B =（ ▲ ）A ．(]2,1--B ．[)1,4-C ．(),4-∞D ．∅2．复数()21i 1iz +=-（其中i 是虚数单位）所对应的点位于复平面的（ ▲ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设,R a b ∈，则“()20a b a -<”是 “a b <”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数)(x f 对任意的实数x ，都有(2)(2),(1)()f x f x f x f x +=-+=-，且)(x f 不恒为0，则)(x f 是（ ▲ ）A ．奇函数但非偶函数B ．偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．将函数π()2tan 36x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ▲ ）A ．π()2tan()134x g x =-+B ．π()2tan()134x g x =+-C ．π()2tan()1312x g x =-+D ．π()2tan()1312x g x =--6．下列命题中，正确的是（ ▲ ）A ．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行B ．平面α⊥β，直线m ⊥β，则m //αC ．直线l 是平面α的一条斜线，且l ⊂β，则α与β必不垂直D ．直线l ⊥平面α，直线l //平面β，则α⊥β7．如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断 框中的横线上可以填入的最大整数为（ ▲ ）A ．17B ．16C ．15D ．148．已知双曲线12222=-b y a x 的焦距长为c 2，过原点O 作圆：222)(b y c x =+-的两条切线，切点分别是B A ,，且︒=∠120AOB ，那么该双曲线的离 心率为（ ▲ ）第7题图A9. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=02401)(,23)(223x x x x xx x g x x x f ，则方程[]0)(=-a x f g （a 为正实数）的根的个数不可能为（ ▲） A ．6个B ．2个C ．4个D ．3个10．用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（ ▲ ）A ．10种B ．12种C ．24种D ．48种二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__ ▲ cm 3． 12．二项式1332()nx x +的展开式中各项系数和是256，则展开式中5x 的系数是__ ▲ ．（用数字作答）13. 若实数,x y 满足不等式组110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩， 则22x y +的最小值为__ ▲ ．14. 已知,A B 是抛物线C :x y 42=上的两点，O 为坐标原点，若△OAB 的垂心恰好是抛物线C 的焦点F ，则直线AB 的方程为__ ▲ ．15. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3 个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2个球, 设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望为__ ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）已知ABC ∆中，c b a ,,为角,,A B C 所对的边，且(3)cos b b c A -CA CB =⋅.（Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为22，并且边AB 上的中线CM 的长为217，求,b c的长.左视图主视俯视图第11题19.（本题满分14分）已知等差数列{}n a 中，满足35a =且124,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）若数列{}n a 的公差为非零的常数，且125n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，当n T λ≤恒成立，求λ的最小值.20.（本小题满分15分）如图（1），在等腰梯形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =, 现将梯形沿,CB DA 折起，使EF ∥AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）示，已知,M N 分别为,AF BD 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面BCF ； （Ⅱ）若直线DE 与平面ABFE 所成角的正切值为22，则求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.21.（本小题满分15分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.第20题图（1）A B EF DC第20题图（2）22.（本小题满分14分）已知函数xax x f ln )(-=，其中a 为实数. （Ⅰ）当1≥a 时，判断函数)(x f y =的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意()(),,11,0+∞∈ x x x f >)(恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a 的值.参考答案一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．11．________21627π+_______ 12．__________28_____________ 13．_ 5 14．_________5x=___________15．22 15三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．cos A∴=(1 n --AE A =上的射影是. (0,0,2),2,2,0),2,2,2),(22,0,0)---设(,,),(,,)m x y z n r s t ==分别是平面ADE 与平面CDFE 的法向量,00m AD n DC m AE n DE ⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩， 20220,2202z x x y x ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨-+=-+⎪⎪⎩1cos ,2m n m n m n<>==ADE 与平面CDFE 所成锐二面角的大小为sin sin CD AE AEC CD EB BEC ∠∠(1,)+∞2ln (ln )ax x x +-=。
2021-2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试数学试题(解析版)
广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝（）A．{﹣1＜x≤3}B．{﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x≤3}D．{x|﹣1＜x＜3} 2．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．下列说法中，错误的是（）A．若a2＞b2，ab＞0，则B．若，则a＞bC．若b＞a＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d5．为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）个单位A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移6．下列全称量词命题与存在量词命题中：①设A、B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B；②设A、B为两个集合，若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B；③∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数；④∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）A．B．C．D．8．关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列四个命题中为真命题的是（）A．“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ＝b2﹣4ac≥0D．若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件10．下列式子中成立的是（）A．log4＜log6B．（）0.3＞（）0.3C．（）3.4＜（）3.5D．log32＜log2311．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．为了得到g（x）＝sin2x的图象，只要将f（x）的图象向右平移个单位长度B．函数f（x）的图象的一条对称轴为C．函数f（x）在区间上单调递增D．方程f（x）＝0在区间〖0，2020〗上有1285个实数解12．已知函数f（x）＝sin x|cos x|，，有以下结论（）A．f（x）的图象关于直线y轴对称B．f（x）在区间上单调递减C．f（x）的图象关于直线轴对称D．f（x）的最大值为三、填空题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.13．计算sin330°＝．14．函数y＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m ＝．15．若m＞0，n＞0，m+n＝3，则的最小值为．16．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f（x），当x＞0时，，若直线y＝a（a∈R）与函数y＝f（x）的图象恰有八个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围是．四、解答题：本题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知角α的终边落在直线上，且．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）若，，求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+）的值．20．（12分）已知是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a和f（1）的值；（Ⅱ）根据单调性的定义证明：f（x）在定义域上为增函数．21．（12分）某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0mg/m3，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r n mg/m3，则可建立函数模型r n＝r0﹣（r0﹣r1）•50.5n+P（P∈R，n∈N*），其中n是指改良工艺的次数．已知r0＝2，r1＝1.94（参考数据：lg2≈0.3）．（Ⅰ）试求该函数模型的解析式；（Ⅱ）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？22．（12分）设a为实数，函数f（x）＝x2﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在区间〖0，2〗上的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）＝|f（x）|，h（a）为g（x）在区间〖0，2〗上的最大值，求h（a）的解析式；（Ⅲ）求h（a）的最小值．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C〖解析〗因为集合A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝{x|﹣1＜x≤3}．故选：C．2．C〖解析〗由题意可得：＝＝＝．故选：C．3．D〖解析〗∵，∴a＜0，∵ln3＞ln e＝1，∴b＞1，∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．4．A〖解析〗对于A，若a2＞b2，ab＞0，取a＝﹣4，b＝﹣2，则＞，故A错误；对于B，若，则＞0，所以a＞b，故B正确；对于C，若b＞a＞0，m＞0，则b﹣a＞0，则＝＞0，所以，故C正确；对于D，若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，所以a﹣c＞b﹣d，故D正确．故选：A．5．B〖解析〗∵y＝cos2x＝sin（2x+），∴y＝sin（2x+）向右平移个单位得到y＝sin〖2（x﹣）+）〗＝sin（2x﹣），故选：B．6．B〖解析〗根据A⊆B的定义可知，任意x∈A，都有x∈B，故①正确；若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B，故②正确；对于③④，π，是无理数，而π2是无理数，是有理数，故③④错误．故选：B．7．D〖解析〗当x＝0时，距离学校最远，不可能是0，排除A，C，先快速走，距离学校的距离原来越近，而且变化速度较快，排除B，故选：D．8．A〖解析〗由题意可得a＜0，且1，﹣3是方程（ax﹣b）（x+3）＝0的两根，∴x＝1为方程ax﹣b＝0的根，∴a＝b，则不等式ax+b＞0可化为x+1＜0，即x＜﹣1，∴不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1）．故选：A．二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ACD〖解析〗对于A，“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于B，“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；对于C，ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根⇔Δ＝b2﹣4ac≥0，故C正确；对于D，若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，故D正确．故选：ACD．10．BD〖解析〗根据对数函数的性质，当0＜a＜1时，对数函数为减函数，故A错误，根据幂函数的性质，当幂指数大于0时，函数在第一象限单调递增，∵＞，∴（）0.3＞（）0.3，故B正确，根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，为减函数，C错误．∵log32＜log33＝1，log23＞log22＝1，∴log32＜log23，故D正确．故选：BD．11．AB〖解析〗由图知，A＝1，最小正周期T＝4×（﹣）＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），将点（，﹣1）代入函数解析式中，得﹣1＝sin（2•+φ），所以+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ﹣，k∈Z，因为，所以当k＝1时，φ＝，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+），选项A，将f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）的图象向右平移个单位可得到g（x）＝sin2x，即A正确；选项B，由图可知，x＝是f（x）图象的一条对称轴，即B正确；选项C，离y轴右侧最近的最高点对应的横坐标为﹣＝＜，所以函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，即C错误；选项D，f（x）在一个周期〖0，π〗内有2个零点，而643π≈2019.02＜2020，即区间〖0，2020〗重复了643个周期的函数图象，所以方程f（x）＝0在区间〖0，2020〗上有643×2＝1286个实数解，即D错误．故选：AB．12．BCD〖解析〗当x∈〖﹣，〗时，f（x）＝sin x|cos x|＝sin x cos x＝sin2x，当x∈（，〗时，f（x）＝sin x|cos x|＝﹣sin x cos x＝﹣sin2x，作出函数f（x）的图象如图：则函数关于y轴不对称，故A错误，区间〖，π〗的中点坐标为，区间〖π，〗的中点坐标为，则f（x）在区间〖，〗上单调递减，故B正确，由图象知f（x）关于x＝对称；故C正确，当x∈〖﹣，〗时，2x∈〖﹣π，π〗，当2x＝时，f（x）取得最大值，故D正确，故正确的是BCD，故选：BCD．三、填空题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.13．﹣〖解析〗sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣.14．2〖解析〗由题设条件及幂函数的定义知，由①解得m＝2，或m＝﹣1，代入②验证知m＝﹣1不合题意，故m＝2，故答案为2.15．3〖解析〗由m+n＝3，得（m+n）＝1，又m＞0，n＞0，所以+＝（m+n）（+）＝++≥+2＝3，当且仅当＝，即m＝1，n＝2时等号成立，所以+的最小值为3．故答案为：3．16．（144，225）〖解析〗作出函数f（x）的图象如下图所示，由图可知，0＜a＜3，由对称性可知，x1+x8＝0，x2+x7＝0，且x3x4＝x5x6＝1，∴x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8＝，∵x7，x8是方程x2﹣8x+15﹣a＝0的两个根，由根与系数的关系可得，x7x8＝15﹣a∈（12，15），∴∈（144，225），即x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围为（144，225）．故答案为：（144，225）．四、解答题：本题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．18．解：（I）由题意得，α的终边在第三象限，因为，所以sinα＝，tanα＝4，所以tan2α＝＝＝﹣；（II）因为，k∈Z，，所以α+β∈（π+2kπ，2π+2kπ），k∈Z，又，所以sin（α+β）＝﹣，所以cosβ＝cos〖（α+β）﹣α〗＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝，所以．19．解：（1）∵图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，﹣2）．∴A＝2，＝x0+﹣x0＝，即函数的周期T＝π，即T＝，解得ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）．∴2x0+＝，即x0＝，则sin（x0+）＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝（sin+cos）＝（）＝．20．解：（Ⅰ）∵f（x）是R上是奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝＝0，得a＝1，此时f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，满足条件，则f（1）＝＝．证明：（Ⅱ）f（x）＝＝＝1﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在R上是增函数．21．解：（I）根据题意，1.94＝2﹣（2﹣1.94）⋅50.5+P⇒P＝﹣0.5，所以该函数模型的解析式为（II）由（I），令，，则，而n∈N*，则n≥6．综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．22．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，∵x∈〖0，2〗，∴当x＝1或2时，f（x）取得最大值0，即f（x）在区间〖0，2〗上的最大值为0．（Ⅱ）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在〖0，2〗上单调递增，∴h（a）＝g（2）＝4﹣4a；②当0＜a＜1时，g（x）在〖0，a）上是单调递增，在〖a，2a）上单调递减，在〖2a，2〗上单调递增，而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，∵g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣2+2）（a+2+2），∴当0＜a＜2﹣2时，h（a）＝g（2）＝4﹣4a；当2﹣≤a＜1时，h（a）＝g（a）＝a2，③当1≤a＜2时，g（x）在〖0，a）上是单调递增，在〖a，2〗上单调递减，∴h（a）＝g（a）＝a2，④当a≥2时，g（x）在〖0，2〗上是单调递增，∴h（a）＝g（2）＝4a﹣4，综上所述，h（a）＝，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a＜2﹣2时，h（a）单调递减，无最小值，当2≤a＜2时，h（a）＝a2单调递增，∴h（a）的最小值为h（2﹣2）＝12﹣8，当a≥2时，h（a）＝4a﹣4单调递增，最小值为h（2）＝4，比较可知，h（a）的最小值为h（2﹣2）＝12﹣8．。
2019--2020学年江苏省八年级上册数学(苏科版)期末考试《勾股定理》试题分类——解答题(2)
2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．2．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD ＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？3．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB ＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．6．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？7．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．8．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．9．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．10．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．11．已知某校有一块四边形空地ABCD如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC ＝12m，CD＝13m，DA＝4m．若种每平方米草皮需100元，问需投入多少元？12．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）13．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．15．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．16．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？18．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E 的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？19．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．20．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C 处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD•AC•BCAD•CD，10×248×6＝96．所以需费用96×200＝19200（元）．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2解得：OB＝20，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，∴BD＝24﹣20＝4米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．4．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴BD⊥AC；（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．∵AB＝AC，∴AB＝x+3．∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2，即（x+3）2＝x2+42，解得：x，∴AB3．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD3×45×12＝6+30＝36．答：这块钢板的面积等于36．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，∴CD12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，∴AD16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°．在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，AC13．∵BC＝13，∴AC＝BC．∵CE⊥AB，AB＝10，∴AE＝BEAB10＝5．在Rt△CAE中，CE12．∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC5×1210×12＝30+60＝90．9．【答案】见试题解答内容【解答】（1）△ABE≌△ACD．证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．即∠BAE＝∠CAD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD；（2）证明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴ADBD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，∴DB5（m），∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∴S△ABD+S△DBC3×45×12＝36（m2），∴需投入总资金为：100×36＝3600（元）．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，∴AB12（米），∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），∴AD（米），∴BD＝AB﹣AD＝12（米），答：船向岸边移动了（12）米．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，∵，∴如图1所示的四边形即为所求；（2）∵，，∴如图2所示的三角形即为所求这个三角形的面积2×2＝2；故答案为：2．14．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE4.8（cm）∴CE3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE，∴CE，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结AC，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC5（米），∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC5×123×4＝24（平方米），即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABCAC×CDAB×BC5×124×3＝30﹣6＝24．故四边形ABCD的面积为24cm2．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，AB＝130米，AC＝50米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2＝BC2+AC2，可以求得：BC＝120米＝0.12千米，且6秒时，所以速度为72千米/时，故该小汽车超速．答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．。
高一数学下学期期末试卷 文(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某某某市平罗中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b＞0，下列命题为真命题的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞2．在锐角△ABC中，a、b分别是角A、B的对边，若2bsinA=a，则角B等于（）A．B．C．D．3．设向量=（1，m），=（m，4），若∥，则实数m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2或24．如图，下列几何体各自的三视图中，三个视图各不相同的是（）A．正方体B．圆锥C．三棱台D．正四棱锥5．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为（）A．49 B．50 C．51 D．526．若圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，它们的侧面积分别为S1和S2，则S1：S2=（）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：17．水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．4 D．88．设y=x+（x＞2）．当x=a时，y有最小值，则a的值是（）A．4 B．3 C．1+D．1+9．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定10．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．1611．若是非零向量且满足（）⊥，，则与的夹角是（）A．B．C． D．12．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S6=36，S n=324，S n﹣6=144，则n=（）A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．不等式x2+8x＜20的解集是．14．数列{a n}满足：a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n=．15．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为．16．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知平面直角坐标系中，点O为原点．A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10）．（1）求的坐标及||；（2）若=+， =2﹣，求•．18．已知某几何体的俯视图是如图所示的正方形，正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．19．一个车辆制造厂引进了一条汽车整车装配流水线，这条流水线生产的汽车月销量Q（辆）与单价x（万元）之间有如下关系：Q（x）=220﹣2x．设这条流水线生产的汽车的月产值为y（万元）．（1）写出函数y=f（x）的解析式，并求汽车的单价为多少时，月产值最大；（2）若这家工厂希望这条流水线的月产值不低于6000万元，那么汽车的单价应如何确定？20．等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和S n．21．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2acosB=bcosC+ccosB．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求a和c的值．22．在等差数列{a n}中，a2=2，a4+a6=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2an，T n是数列{b n}的前n项和，求T n．2015-2016学年某某某某市平罗中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b＞0，下列命题为真命题的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a2＞b2，故A错误；a2＞ab，故B错误；＜1，故C正确；ab＞0，，即，故D错误；故选：C2．在锐角△ABC中，a、b分别是角A、B的对边，若2bsinA=a，则角B等于（）A．B．C．D．【分析】根据正弦定理，进行化简求出sinB的值，由锐角三角形求出B的值．【解答】解：锐角△ABC中，2bsinA=a，由正弦定理得，2sinB•sinA=sinA，又sinA≠0，所以sinB=，所以B=．故选：B．3．设向量=（1，m），=（m，4），若∥，则实数m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2或2【分析】直接利用向量平行的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：∵向量=（1，m），=（m，4），∥，∴1×4=m2，解得m=±2，故选：D．4．如图，下列几何体各自的三视图中，三个视图各不相同的是（）A．正方体B．圆锥C．三棱台D．正四棱锥【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，正方体的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，三棱台都不相同，得出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，故选：C．5．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【分析】先利用递推关系得出其为等差数列，再代入等差数列的通项公式即可．【解答】解：由2a n+1=2a n+1，得a n+1﹣a n=，故为首项为2，公差为的等差数列，所以a101=a1+100d=2+100×=52．故选：D．6．若圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，它们的侧面积分别为S1和S2，则S1：S2=（）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相关数值代入即可求得两个侧面积，进而求得其比值即可．【解答】解：∵圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，∴S1=2πrh，S2=πrh∴S1：S2=2：1，故选：B．7．水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．4 D．8【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．【解答】解：作出△ABC的平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=90°，BC=B′C′=4，AC=A′C′=2，∴△ABC的面积为=4．故选：C．8．设y=x+（x＞2）．当x=a时，y有最小值，则a的值是（）A．4 B．3 C．1+D．1+【分析】将原式变形y=x﹣2++2，由x﹣2＞0根据不等式的性质，y=x﹣2++2≥2=2=2+2=4，当x﹣2=时取“=”，即可求得a的值．【解答】解：y=x+=x﹣2++2，∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴y=x﹣2++2≥2=2=2+2=4，∴当x﹣2=时取“=”，即x=3时取“=”∴当x=3时，y有最小值4，∴a=3，故答案选：B．9．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，代入余弦定理化简可得cosC的值，结合C的X围即可得解C的值，从而得解．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，∴a=，c=，∴由余弦定理可得：cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴C=．故△ABC的形状是钝角三角形．故选：C．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A11．若是非零向量且满足（）⊥，，则与的夹角是（）A．B．C． D．【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2•，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，∴（）•=﹣2=0，（）•=﹣2=0，∴==2，设与的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得cosθ====，∴θ=60°，故选B．12．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S6=36，S n=324，S n﹣6=144，则n=（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】根据S n﹣S n﹣6=a n﹣5+a n﹣4+…+a n求得a n﹣5+a n﹣4+…+a n的值，根据S6=得a1+a2+…+a6的值，两式相加，根据等差数列的性质可知a1+a n=a2+a n﹣1=a6+a n﹣5，进而可知6（a1+a n）的值，求得a1+a n，代入到数列前n项的和求得n．【解答】解：∵S n=324，S n﹣6=144，∴S n﹣S n﹣6=a n﹣5+a n﹣4+…+a n=180又∵S6=a1+a2+…+a6=36，a1+a n=a2+a n﹣1=a6+a n﹣5，∴6（a1+a n）=36+180=216∴a1+a n=36，由，∴n=18故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．不等式x2+8x＜20的解集是（﹣10，2）．【分析】把不等式化为x2+8x﹣20＜0，左边因式分解，即可求出该不等式的解集．【解答】解：不等式x2+8x＜20可化为x2+8x﹣20＜0，即（x+10）（x﹣2）＜0，解得﹣10＜x＜2；所以该不等式的解集是（﹣10，2）．故答案为：（﹣10，2）．14．数列{a n}满足：a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n= 2n．【分析】利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n．故答案为：2n．15．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为3π．【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，知道棱长为1的正方体的对角线是，做出半径，利用圆的表面积公式得到结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r=，∴球的表面积是4×=3π故答案为：3π16．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 6 ．【分析】根据基本不等式和指数运算可直接得到答案．【解答】解：∵a+b=2∴3a+3b≥2=2=6当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：6三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知平面直角坐标系中，点O为原点．A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10）．（1）求的坐标及||；（2）若=+， =2﹣，求•．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：（1）∵A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10），∴=（5，﹣10）﹣（﹣3．﹣4）=（8，﹣6），∴||==10，（2）∵=（﹣3，﹣4），=（5，﹣10），∴=+=（2，﹣15），=2﹣=（﹣6，﹣8）﹣（5，﹣10）=（﹣11，2），∴•=2×（﹣11）﹣15×2=﹣5218．已知某几何体的俯视图是如图所示的正方形，正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．【分析】由三视图得该几何体是正四棱锥，画出直观图，由题意求出棱长、高以及斜面上的高，（1）由椎体的条件求出该几何体的体积V；（2）由图和面积公式求出该几何体的表面积S．【解答】解：由三视图得该几何体是正四棱锥P﹣ABCD，如图所示：其中PO⊥平面ABCD，E是BC的中点，∵正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形，∴PO=4，AB=BC=6，OE=3，则PE==5，（1）该几何体的体积V==48；（2）∵E是BC的中点，∴PE⊥BC∴该几何体的表面积S==51．19．一个车辆制造厂引进了一条汽车整车装配流水线，这条流水线生产的汽车月销量Q（辆）与单价x（万元）之间有如下关系：Q（x）=220﹣2x．设这条流水线生产的汽车的月产值为y（万元）．（1）写出函数y=f（x）的解析式，并求汽车的单价为多少时，月产值最大；（2）若这家工厂希望这条流水线的月产值不低于6000万元，那么汽车的单价应如何确定？【分析】（1）根据题意列出不等式即可解得解析式；（2）根据题意，将题目条件转化为关于x的不等式，解不等式即可解得答案．【解答】解：（1）由题意可得，y=f（x）=xQ（x）=x=﹣2x2+220x=﹣2（x﹣55）2+6050，∴当x=55时，y=f（x）取得最大值；（2）根据题意得，﹣2x2+220x＞6000，移项整理，得x2﹣110x+3000＜0，∴50＜x＜60，∴汽车的单价在50﹣60万元间，可以使这家工厂这条流水线的月产值不低于6000万元．20．等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．∴1+2d﹣d2=1，d=q≠0，解得d=q=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=2n﹣1．（2）=a n+b n=2n﹣1+2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=+=n2+2n﹣1．21．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2acosB=bcosC+ccosB．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求a和c的值．【分析】（1）由已知及正弦定理得：sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．可求cosB=，结合X 围0＜B＜π，即可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求ac=4，联立a+c=4，从而解得a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，由2acosB=bcosC+ccosB，及正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB，又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，从而sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．故cosB=，又0＜B＜π，所以B=．（2）∵b=2，B=，a+c=4①，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=16﹣3ac，可得：ac=4②，∴①②联立解得：a=c=2．22．在等差数列{a n}中，a2=2，a4+a6=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2an，T n是数列{b n}的前n项和，求T n．【分析】（1）求出等差数列的公差，然后求解数列的通项公式．（2）化简数列数列{b n}的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=2，a4+a6=10；∴2×2+6d=10，解得d=1．∴a n=2+1（n﹣2）=n．（2）b n=n×2n．T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n×2n2T n=1×22+2×23+3×24+4×25+…+n×2n+1，两式相减，得﹣T n=21+22+23+24+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1∴T n═n×2n+1﹣2n+1+2．。
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，3}2．复数z =2+ii ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．则选出来的第5个个体的编号为（ ） A ．07B ．02C ．11D ．044．已知角α的终边经过点P(35，−45)，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．15B ．−75C ．75D ．−155．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16√33B ．43C ．83D ．1636．四位爸爸A 、B 、C 、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．237．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =|x|√4−x 2B ．y =x√4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x8．将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），则|x 1+x 22|的最小值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π12D ．π6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 、m ，平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α∥β，则必有l ∥β10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格．下列结论正确的是（ ） A ．这20人数学成绩的众数75 B ．A 组8位同学数学成绩的方差为754C ．这20人数学成绩的平均数为75D ．这20人数学成绩的25%分位数为6511．若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →=a →，CA →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →=−12a →−b →B ．BE →=a →+12b →C ．CF →=−12a →+12b →D ．EF →=12a →12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是π3C ．点E 到平面PMN 的距离是2√33D ．存在过点E ，F 且与平面PMN 平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若cosα=−35，则cos2α＝ ．14．已知函数f(x)={x 3，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （100）＝ ．15．若向量a →=(√3，3)，b →=(−2，0)，则a →在b →上的投影向量为 ．16．英国数学家泰勒发现了如下公式：e x=1+x 1!+x 22!+x 33!+⋯，sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯，cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯，其中n !＝1×2×3×⋯×n ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出e x 、sin x 和cos x 的值也就越精确，则cos1的近似值为 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数f(x)=e x −1x 在区间(23，1)内有 个零点．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数f(x −π3)为奇函数；②当x =π6时，f （x ）＝2；③2π3是函数f （x ）的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数f(x)=2sin(x +φ)(0＜φ＜π2)，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间．18．（12分）在△ABC中，cosB=1，c＝8，b＝7．2（1）求sin C；（2）若角C为钝角，求△ABC的周长．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝CC1＝2．（1）证明：直线CM⊥平面AA1B1B；（2）求直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小．20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图．（1）求图中a的值；（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）21．（12分）如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，BC ＝2，BE ＝CE =√2． （1）若平面CDE ∩平面ABE ＝l ，证明：AB ∥l ；（2）若面EBC ⊥面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的侧面积．22．（12分）已知函数y ＝φ（x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是φ（a +x ）+φ（a ﹣x ）＝2b ．给定函数f(x)=x −6x+1及其图象的对称中心为（﹣1，c ）． （1）求c 的值；（2）判断f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数g （x ）的图象关于点（1，1）对称，且当x ∈[0，1]时，g （x ）＝x 2﹣mx +m ．若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[1，5]，使得g （x 1）＝f （x 2），求实数m 的取值范围．2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，3}解：由B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}＝{x |﹣2＜x ＜3}，A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，所以A ∩B ＝{﹣1，2}， 故选：B ．2．复数z =2+ii ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）解：z =2+i i =(2+i)⋅(−i)i⋅(−i)=−2i−i 21=1−2i ，故复平面内z 对应的点的坐标为（1，﹣2）．故选：A ．3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．则选出来的第5个个体的编号为（ ） A ．07B ．02C ．11D ．04解：由题意知：选取的6个个体编号依次为08，02，14，07，11，04， ∴选出来的第5个个体的编号为11． 故选：C ．4．已知角α的终边经过点P(35，−45)，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．15B ．−75C ．75D ．−15解：由题意可知：cosα=35，sinα=−45， 所以cosα−sinα=35+45=75， 故选：C ．5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16√33B ．43C ．83D ．163解：因为正方体的棱长为2，所以正方体外接球半径为r =√22+22+222=√3，所以正方体外接球的体积为43πr 3=43π×(√3)3=4√3π，又因为这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π， 所以这个“牟合方盖”的体积为√3π3√3π×4=163． 故选：D ．6．四位爸爸A 、B 、C 、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．23解：设A ，B ，C ，D 四位爸爸的小孩分别是a ，b ，c ，d ， 则交谈组合有9种情况，分别为：（Ab ，Ba ，Cd ，Dc ），（Ab ，Bd ，Ca ，Dc ），（Ab ，Bc ，Cd ，Da ），（Ac ，Ba ，Cd ，Db ），（Ac ，Bd ，Ca ，Db ），（Ac ，Bd ，Cd ，Da ），（Ad ，Ba ，Cb ，Dc ），（Ad ，Bc ，Ca ，Db ），（Ad ，Bc ，Cd ，Da ）， A 的小孩与D 交谈包含的不同组合有3种，分别为：（Ab ，Bc ，Cd ，Da ），（Ac ，Bd ，Cd ，Da ），（Ad ，Bc ，Cd ，Da ），∴A 的小孩与D 交谈的概率是P =39=13． 故选：A ．7．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =|x|√4−x 2B ．y =x√4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x解：对于A ，∵y =|x|√4−x 2=√x 2(4−x 2)≤√(x 2+4−x 22)2=2（当且仅当x 2＝4﹣x 2，即x =±√2时取等号），∴y =|x|√4−x 2在（﹣2，2）上的最大值为2，与图象不符，A 错误； 对于B ，当x ∈（﹣2，0）时，y =x√4−x 2＜0，与图象不符，B 错误； 对于C ，∵y =√−x 2+2|x|=√−(|x|−1)2+1，∴当x ＝±1时，y max ＝1； 又y =√−x 2+2|x|过点（﹣2，0），（2，0），（0，0）；由﹣x 2+2|x |≥0得：|x |（|x |﹣2）≤0，解得：﹣2≤x ≤2，即函数定义域为[﹣2，2]； 又√−(−x)2+2|−x|=√−x 2+2|x|，∴y =√−x 2+2|x|为定义在[﹣2，2]上的偶函数，图象关于y 轴对称；当x ∈[0，2]时，y =√−x 2+2x =√−(x −1)2+1，则函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减；综上所述：y =√−x 2+2|x|与图象相符，C 正确；对于D ，由﹣x 2+2x ≥0得：0≤x ≤2，∴y =√−x 2+2x 不存在x ∈（﹣2，0）部分的图象，D 错误． 故选：C ．8．将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），则|x 1+x 22|的最小值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π12D ．π6解：将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍， 纵坐标保持不变，得到函数y ＝g （x ）＝sin （2x +π3）的图象， 故g （x ）的周期为π，且g （x ）的最大值为1，最小值为﹣1， 若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），所以 g （x 1）和 g （x 2）是函数g （x ）的最大值和最小值，令2x +π3=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π6，k ∈Z ， 所以|x 1+x 2|2|＝|kπ2−π6|，k ∈Z ，当k ＝0时，|x 1+x 2|2|取得最小值为π6．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 、m ，平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α∥β，则必有l ∥β解：对于A ，平面α，β可能相交，A 错误， 对于B ，平面α，β可能平行或斜交，B 错误． 对于C ，因为l ⊂α且l ⊥β，则必有α⊥β，C 正确． 对于D ，因为α∥β，则必有l ∥β，D 正确， 故选：CD ．10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格．下列结论正确的是（ ） A ．这20人数学成绩的众数75 B ．A 组8位同学数学成绩的方差为754C ．这20人数学成绩的平均数为75D ．这20人数学成绩的25%分位数为65解：对于A ，∵20人中，75分出现的次数最多，∴这20人数学成绩的众数为75，A 正确； 对于B ，A 组8位同学数学成绩的平均数为x A =38×60+28×65+38×70=65， ∴方差s A 2=38×(60−65)2+28×(65−65)2+38×(70−65)2=754，B 正确；对于C ，这20人数学成绩的平均数x =320×60+220×65+320×70+520×75+420×80+220×85+120×90=2954，C 错误；对于D ，∵20×25%＝5，∴这20人数学成绩的25%分位数为65+702=67.5，D 错误．故选：AB ．11．若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →=a →，CA →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →=−12a →−b →B ．BE →=a →+12b →C ．CF →=−12a →+12b →D ．EF →=12a →解：∵BC →=a →，CA →=b →，∴AD →=AC →+CD →=−CA →+12CB →=−b →−12a →，故选项A 正确，BE →=BC →+CE →=BC →+12CA →=a →+12b →，故选项B 正确，AB →=AC →+CB →=−b →−a →，CF →=CA →+AF →=CA →+12AB →=b →+12(−b →−a →)=−12a →+12b →，故选项C 正确，EF →=12CB →=−12a →，故选项D 错误．故选：ABC ．12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是π3C ．点E 到平面PMN 的距离是2√33D ．存在过点E ，F 且与平面PMN 平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 解：对于A ，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，AC ，BC 1，AD 1，∵F ，G ，P ，M 分别为CC 1，BC ，DD 1，AD 中点，∴FG ∥BC 1，PM ∥AD 1， 又AD 1∥BC 1，∴PM ∥FG ，∵PM ⊂平面PMN ，FG ⊄平面PMN ，∴FG ∥平面PMN ；∵E ，G ，M ，N 分别为AB ，BC ，AD ，CD 中点，∴EG ∥AC ，MN ∥AC ，∴EG ∥MN ， ∵MN ⊂平面PMN ，EG ⊄平面PMN ，∴EG ∥平面PMN ； ∵EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面PMN ， ∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面PMN ，A 正确； 对于B ，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，CE ，由A 知：FG ∥PM ，∴直线PM 与EF 所成的角即为直线FG 与EF 所成角，即∠EFG （或其补角）， ∵EG =FG =√12+12=√2，EF =√CE 2+CF 2=√12+22+12=√6，∴cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =26×2=√32，∴∠EFG =π6，即直线PM 与EF 所成的角为π6，B 错误；对于C ，连接PE ，ME ，NE ，∵S △EMN =12S ▱AEND =12×2×1=1，PD ＝1，∴V P−EMN =13S △EMN ⋅PD =13； ∵MP =MN =NP =√12+12=√2，∴S △PMN =12×√2×√2sin π3=√32， 设点E 到平面PMN 的距离为d ， 则V E−PMN =V P−EMN =13S △PMN ⋅d =√36d =13，解得：d =2√33，C 正确； 对于D ，取BC 中点G ，由A 知：平面EFG ∥平面PMN ，则平面EFG 即为平面α， 可作出截面如下图阴影部分所示，其中点H ，Q ，S 分别为AA 1，A 1D 1，C 1D 1中点，∵EH =EG =FG =FS =QS =QH =√2，EF =√6，∴六边形EGFSQH 是边长为√2的正六边形，又∠EGF =π−2∠EFG =2π3， ∴六边形EGFSQH 的面积S =2S △EFG +S ▱EHFS =√2×√2sin 2π3+√2×√6=3√3， 即平面α截该正方体得到的截面面积为3√3，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若cosα=−35，则cos2α＝ −725． 解：∵cosα=−35，∴cos2α=2cos 2α−1=2×(−35)2−1=−725． 故答案为：−725．14．已知函数f(x)={x 3，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （100）＝ 2 ．解：∵100＞0，∴f （100）＝lg 100＝2lg 10＝2． 故答案为：2．15．若向量a →=(√3，3)，b →=(−2，0)，则a →在b →上的投影向量为 (√3，0) ． 解：因为a →=(√3，3)，b →=(−2，0)， 所以a →⋅b →=−2√3，|b →|2=4 故所求向量为：|a →|cos〈a →，b →〉b→|b →|=|a →|⋅a →⋅b→|a →||b →|⋅b→|b →|=a →⋅b→|b →|2⋅b →=−2√34(−2，0)=(√3，0)． 故答案为：(√3，0)．16．英国数学家泰勒发现了如下公式：e x=1+x 1!+x 22!+x 33!+⋯，sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯，cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯，其中n !＝1×2×3×⋯×n ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出e x 、sin x 和cos x 的值也就越精确，则cos1的近似值为 0.54 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数f(x)=e x −1x 在区间(23，1)内有 0 个零点．解：cos1≈1−12!+14!−16!=1−12+124−1720=1324−1720≈0.54， 由于函数y =e x ，y =−1x 在(23，1)单调递增， 所以f(x)=e x −1x 在(23，1)单调递增， 由于f （23）=e 23，所以f(x)=e x −1x ＞0在(23，1)恒成立， 故f(x)=e x −1x在区间(23，1)内无零点． 故答案为：0.54；0．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数f(x −π3)为奇函数；②当x =π6时，f （x ）＝2；③2π3是函数f （x ）的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数f(x)=2sin(x +φ)(0＜φ＜π2)，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间． 解：（1）若选①因为f （x ）＝2sin （x +φ），所以f(x −π3)=2sin(x −π3+φ)，又函数f(x −π3)为奇函数， 则−π3+φ=kπ，k ∈Z ，结合0＜φ＜π2，则有φ=π3， 所以f(x)=2sin(x +π3)． 若选②f(π6)=2sin(π6+φ)=2， ∴sin(π6+φ)=1，则π6+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，则φ=2kπ+π3，k ∈Z ， 又0＜φ＜π2， 则k ＝0时，φ=π3； 所以f(x)=2sin(x +π3)．若选③f(2π3)=2sin(2π3+φ)=0， ∴2π3+φ=kπ，k ∈Z ，∴φ=−2π3+kπ，k ∈Z ， 又0＜φ＜π2，则k ＝1时，φ=π3， 所以f(x)=2sin(x +π3)． （2）令−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得−5π6+2kπ≤x ≤π6+2kπ，k ∈Z ，所以f(x)=2sin(x +π3)的单调递增区间为[−5π6+2kπ，π6+2kπ]，k ∈Z ， 又x ∈[0，2π]时，令k ＝0，得0≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤2π，所以函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]和[7π6，2π]． 18．（12分）在△ABC 中，cosB =12，c ＝8，b ＝7． （1）求sin C ；（2）若角C 为钝角，求△ABC 的周长． 解：（1）∵B ∈（0，π），cosB =12， ∴sinB =√1−cos 2B =√32，由正弦定理得：sinC =csinB b =8×√327=4√37；（2）∵C 为钝角，∴cosC =−√1−sin 2C =−17，由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+49+2a ＝64，即a 2+2a ﹣15＝0， 解得：a ＝﹣5（舍）或a ＝3，∴△ABC 的周长为a +b +c ＝3+7+8＝18．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，AC ＝CB ＝CC 1＝2．（1）证明：直线CM ⊥平面AA 1B 1B ；（2）求直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的大小．（1）证明：因为A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以A1A⊥CM，因为M是AB的中点，AC＝CB，所以CM⊥AB，又因为A1A，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB＝A，所以直线CM⊥平面AA1B1B；（2）解：连接A1C，由（1）知，直线CM⊥平面AA1B1B，所以∠CA1M即直线A1C与平面AA1B1B所成角，因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AC，又因为AC＝CC1＝2，所以在正方形AA1C1C中，A1C=2√2，因为∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝2，所以CM⊥AB，∠BAC=π4，所以CM=√2，因为CM⊥平面AA1B1B，A1M⊂平面AA1B1B，所以CM⊥A1M，在直角三角形△A1CM中，sin∠CA1M=CMA1C =√222=12，又因为0＜∠CA 1M ＜π2，所以∠CA 1M =π6， 即直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的大小为π6；20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A ，B ，C ，D ，E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图． （1）求图中a 的值；（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B 等级及以上（含B 等级）？（结果保留整数）解：（1）∵（0.010+0.015+0.015+a +0.025+0.005）×10＝1， ∴a ＝0.03；（2）∵原始分在[60，70）和[70，80）的频率之比为0.015：0.03＝1：2，∴抽取的6人中，原始分在[60，70）的人数为6×13=2，记为A ，B ；原始分在[70，80）的人数为6×23=4，记为a ，b ，c ，d ；则从6人中抽取2人所有可能的结果有：（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共15个基本事件， 其中抽取的2人原始分均在[70，80）的结果有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6个基本事件，∴2人均在[70，80）的概率p=615=25；（3）由题意知：C，D，E等级排名占比为35%+13%+2%＝50%，则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级），∵（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，（0.010+0.015+0.015+0.03）×10＝0.7，∴中位数位于[70，80）之间，设中位数为x，则0.4+（x﹣70）×0.03＝0.5，解得x≈73，∴原始分不少于73分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）．21．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，BC＝2，BE＝CE=√2．（1）若平面CDE∩平面ABE＝l，证明：AB∥l；（2）若面EBC⊥面ABCD，求四棱锥E﹣ABCD的侧面积．解：（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE，因为AB⊂平面ABE，平面CDE∩平面ABE＝l，所以AB∥l；（2）因为平面EBC⊥平面ABCD，交线为BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE，同理可得CD⊥平面BCE，因为BE⊂平面BCE，所以AB⊥BE，同理可得CD⊥CE，因为BE=CE=√2，所以S△ABE=S△CDE=12×2×√2=√2，又BE2+CE2＝BC2，由勾股定理逆定理得BE⊥CE，故S△BCE=12BE⋅CE=1，由勾股定理得AE=DE=√22+(√2)2=√6，又AD＝2，取AD中点F，连接EF，则EF⊥AD，故EF=√AE2−AF2=√5，所以S△ADE=12AD⋅EF=√5，四棱锥E ﹣ABCD 的侧面积为2√2+1+√5．22．（12分）已知函数y ＝φ（x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是φ（a +x ）+φ（a ﹣x ）＝2b ．给定函数f(x)=x −6x+1及其图象的对称中心为（﹣1，c ）． （1）求c 的值；（2）判断f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数g （x ）的图象关于点（1，1）对称，且当x ∈[0，1]时，g （x ）＝x 2﹣mx +m ．若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[1，5]，使得g （x 1）＝f （x 2），求实数m 的取值范围． 解：（1）由于f （x ）的图象的对称中心为（﹣1，c ）， 则f （﹣1+x ）+f （﹣1﹣x ）＝2c ，即(x −1)−6x−1+1+(−x −1)−6−x−1+1=2c ， 整理得﹣2＝2c ，解得：c ＝﹣1， 故f （x ）的对称中心为（﹣1，﹣1）； （2）函数f （x ）在（0，+∞）递增；设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1−6x 1+1−x 2+6x 2+1=(x 1−x 2)+6(x 1−x 2)(x 2+1)(x 1+1)=(x 1−x 2)[1+6(x 2+1)(x 1+1)]，由于0＜x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0，6(x 2+1)(x 1+1)＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0⇒f （x 1）＜f （x 2）， 故函数f （x ）在（0，+∞）递增；（3）由已知，g （x ）的值域为f （x ）值域的子集，由（2）知f （x ）在[1，5]上递增，且f （1）＝﹣2，f （5）＝4，故f （x ）的值域为[﹣2，4]， 于是原问题转化为g （x ）在[0，2]上的值域A ⊆[﹣2，4]， 当m 2≤0即m ≤0时，g （x ）在[0，1]递增，注意到g （x ）＝x 2﹣mx +m 的图象恒过对称中心（1，1）， 可知g （x ）在（1，2]上亦单调递增，故g （x ）在[0，2]递增，又g （0）＝m ，g （2）＝2﹣g （0）＝2﹣m ，故A ＝[m ，2﹣m ]， 所以[m ，2﹣m ]⊆[﹣2，4]，∴m ≥﹣2且2﹣m ≤4，解得﹣2≤m ≤0， 当0＜m2＜1即0＜m ＜2时，g （x ）在(0，m2)递减，在(m2，1）递增，又g （x ）过对称中心（1，1），故g （x ）在(1，2−m2)递增，在(2−m2，2]递减， 故此时A ＝[min {g （2），g(m2)}，max {g （0），g(2−m 2)}]，欲使A ⊆[﹣2，4]，只需{g(2)=2−g(0)=2−m ≥−2g(m 2)=−m 24+m ≥−2且{g(0)=m ≤4g(2−m 2)=2−g(m 2)=m 24−m +2≤4， 解不等式得：2−2√3≤m ≤4，又0＜m ＜2，此时0＜m ＜2， 当m 2≥1即m ≥2时，g （x ）在[0，1]递减，在（1，2]上递减，由对称性知g （x ）在[0，2]上递减，于是A ＝[2﹣m ，m ]， 则[2﹣m ，m ]⊆[﹣2，4]，故{2−m ≥−2m ≤4，解得：2≤m ≤4，综上：实数m 的取值范围是[﹣2，4]．。
广东省2023-2024学年广州市越秀区高二(下)期末数学试卷 (含解析)
2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为﹣2，则数列{a n}的前5项和为（ ）A．11B．16C．﹣15D．﹣72．已知，则＝（ ）A．B．C．D．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，则P（X＞2）＝（ ）A．0.14B．0.18C．0.32D．0.644．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（ ）A．10B．15C．60D．1255．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（ ）A．B．C．D．6．已知随机变量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E（X）＝15，则n＝（ ）A．29B．19C．6D．57．以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）A．70B．64C．58D．248．已知函数f（x）＝x a﹣log b x（a＞0，b＞0，b≠1），若f（x）≥1恒成立，则ab2的最小值为（ ）A．e B．2e C．e2D．2e2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）9．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下，则（ ）超市A B C D E广告支出x24568销售额y3040606070（参考公式：，；参考数据：）A．经验回归直线经过点（5，60）B．经验回归方程为C．样本点（8，70）的残差为﹣3D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元（多选）10．已知（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，则（ ）A．展开式中的常数项为1B．展开式中各项系数之和为0C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项D．（多选）11．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i和a j （i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列．从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列的概率为P m，则（ ）A．数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列B．数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列{a n}满足a1＝﹣1，2a n+1﹣a n a n+1＝1（n∈N*），则a3＝ ．13．长时间看手机有可能影响视力．据调查，某校学生有50%的人近视，而该校有25%的学生每天看手机时间超过1h，这些人的近视率为80%．现从每天看手机时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为 ．14．已知函数f（x）＝e x+sin x﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）＝ax3+bx+8（a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣2，3]上的最大值与最小值．16．为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：非体育迷体育迷合计男3045女10合计75100（1）完成上面的2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？（2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为p（0＜p＜1），各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为f（p），求f（p）取得最大值时p的值．附：（其中n＝a+b+c+d）α0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.82817．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＞0，且2a n，2S n，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝求数列{b n}的前2n项和T2n．18．（17分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．19．（17分）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作．记甲口袋中黑球个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，恰有2个黑球的概率为q n．（1）求p1，q1与p2，q2；（2）设a n＝p n+2q n，求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（3）求X n的数学期望E（X n）（用n表示）．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为﹣2，则数列{a n}的前5项和为（ ）A．11B．16C．﹣15D．﹣7【分析】由已知结合等比数列的通项公式即可求解．解：因为等比数列{a n}的首项为1，公比为﹣2，则数列{a n}的前5项和为1﹣2+4﹣8+16＝11．故选：A．2．已知，则＝（ ）A．B．C．D．【分析】由已知结合函数的求导公式即可求解．解：因为，所以，则＝﹣．故选：D．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，则P（X＞2）＝（ ）A．0.14B．0.18C．0.32D．0.64【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．解：∵X～N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，∴P（1＜X≤2）＝P（0＜X≤2）＝0.36＝0.18，∴P（X＞2）＝0.5﹣P（1＜X≤2）＝0.5﹣0.18＝0.32．故选：C．4．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（ ）A．10B．15C．60D．125【分析】利用分步计数原理求解即可．解：由题意可分三步：甲同学有5种选法，乙同学有5种选法，丙同学有5种选法，共5×5×5＝53＝125种．故选：D．5．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】结合贝叶斯公式，直接求解．解：取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是：＝．故选：B．6．已知随机变量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E（X）＝15，则n＝（ ）A．29B．19C．6D．5【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可．解：因为随机变量λ取可能的值1，2，…，n是等可能的，所以，（i＝1.2．…，n），所以，所以，解得n＝29．故选：A．7．以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）A．70B．64C．58D．24【分析】根据平行六面体的结构特征以及排列组合相关知识可解．解：从平行六面体的8个顶点中任选4个有种情况，又要使能构成四面体则这四个顶点不在同一平面内，共有6个面和6个对棱构成的平面，共6+6＝12个，则以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为70﹣12＝58个．故选：C．8．已知函数f（x）＝x a﹣log b x（a＞0，b＞0，b≠1），若f（x）≥1恒成立，则ab2的最小值为（ ）A．e B．2e C．e2D．2e2【分析】由题意可得当0＜b＜1时，不合题意；当b＞1时，利用导数可得alnb＝1，从而得ab2＝，令g（b）＝，b＞1，利用导数求解最小值即可．解：因为函数f（x）＝x a﹣log b x的定义域为（0，+∞），当0＜b＜1时，可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（b）＝b a﹣1＜b0﹣1＝0，不合题意；当b＞1时，，令f'（x0）＝0，解得，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝x0时，f（x）有极小值，也是最小值，又因为f（1）≥1且f（1）＝1，所以，则，得alnb＝1，所以ab2＝，令g（b）＝，b＞1，则g'（b）＝，又因为b＞1，lnb＞0，所以当b∈（1，）时，g'（b）＜0，g（b）单调递减，当b∈（，+∞）时，g'（b）＞0，g（b）单调递增，所以g（b）min＝g（）＝＝2e．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）9．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下，则（ ）超市A B C D E广告支出x24568销售额y3040606070（参考公式：，；参考数据：）A．经验回归直线经过点（5，60）B．经验回归方程为C．样本点（8，70）的残差为﹣3D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元【分析】根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的性质，即可求解．解：由题意可知，，，故经验回归直线经过点（5，52），故A错误；由题意可知，＝7，＝52﹣7×5＝17，故经验回归方程为，故B正确；样本点（8，70）的残差为70﹣（7×8+17）＝﹣3，故C正确；当x＝10时，y＝7×10+17＝87，故D错误．故选：BC．（多选）10．已知（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，则（ ）A．展开式中的常数项为1B．展开式中各项系数之和为0C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项D．【分析】A：令x＝0即可判断；B：令x＝1即可判断；C：根据二项式系数的性质即可判断；D：令x＝，化简即可判断．解：A：令x＝0，则展开式中常数项为a0＝1，故A正确；B：令x＝1，则展开式中各项系数和为（1﹣2）2024＝1，故B错误；C：因为n＝2024为偶数，所以展开式中二项式系数最大项为第1013项，故C错误；D：令x＝，则a0+＝（1﹣2×）2024＝0，则＝0﹣1＝﹣1，故D正确．故选：AD．（多选）11．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i和a j （i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列．从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列的概率为P m，则（ ）A．数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列B．数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列C．D．【分析】对于A和B根据定义进行判断即可；对于C和D，先根据定义找到所有符合的情况，再利用概率公式求解即可．解：对于A，因为从数列a1，a2，…，a6中删去a1，a6以后，数列a2，a3，a4，a5可以分成一组，并且依然构成等差数列，所以数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列，故A正确；对于B，从数列a1，a2，…，a10删去a2，a9以后，剩余的项可以平均分成两组a1，a3，a5，a7和a4，a6，a8，a10，且在两个数列都能构成等差数列，设原数列公差为d（d≠0），这两个数列的公差为2d，所以数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列，故B正确；对于C，当m＝1时，根据定义，数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列，也可以是（1，2）可分数列，也可以是（5.6）可分数列共三种，所以，故C正确；对于D，当m＝2时，根据定义，数列a1，a2，…，a10为（i，j）（i＜j）可分数列的情况有：（1，2），（1，6），（1，10），（2，9），（5，6），（5，10），（，10）共7种，所以，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列{a n}满足a1＝﹣1，2a n+1﹣a n a n+1＝1（n∈N*），则a3＝ ．【分析】由数列的递推式，取n＝1，n＝2，分别求得a2，a3．解：由a1＝﹣1，2a n+1﹣a n a n+1＝1（n∈N*），可得a n+1＝，即有a2＝＝，a3＝＝．故答案为：．13．长时间看手机有可能影响视力．据调查，某校学生有50%的人近视，而该校有25%的学生每天看手机时间超过1h，这些人的近视率为80%．现从每天看手机时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为 0.4 ．【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．解：设该名学生近视的概率为x，由题意可知，25%×80%+（1﹣25%）x＝50%，解得x＝0.4．故答案为：0.4．14．已知函数f（x）＝e x+sin x﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 （0，1] ．【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系及不等式恒成立与最值的转化关系即可求解．解：因为f（x）＝e x+sin x﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，所以f′（x）＝e x+cos x﹣2（a2+lna）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以2（a2+lna）≤e x+cos x在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝e x+cos x，x＞0，则g′（x）＝e x﹣sin x＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝2，所以2（a2+lna）≤2，即a2+lna≤1，因为h（a）＝a2+lna在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝1，所以0＜a≤1．故答案为：（0，1]．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）＝ax3+bx+8（a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣2，3]上的最大值与最小值．【分析】（1）由导数的几何意义可得函数f（x）在（2，f（2））处的切线的斜率为f′（2）＝12a+b，则12a+b＝﹣9①，8a+2b+8＝6②，解得a，b．（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x+8，x∈[﹣2，3]，求导分析单调性，极值，端点处函数值，即可得出答案．解：（1）f′（x）＝3ax2+b，所以函数f（x）在（2，f（2））处的切线的斜率为f′（2）＝12a+b，又f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24，所以12a+b＝﹣9，①又f（2）＝8a+2b+8，因为f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24，所以f（2）＝﹣9×2+24＝6，所以8a+2b+8＝6，②由①②，解得a＝﹣1，b＝3．（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x+8，x∈[﹣2，3]，所以f′（x）＝﹣3x2+3，令f′（x）＝0，得x＝±1，所以在（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（﹣1，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，3）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，又f（﹣1）＝6，f（1）＝10，f（3）＝﹣10，f（﹣2）＝10，所以f（x）的最大值为10，最小值为﹣10，所以函数f（x）在[﹣2，3]上的值域为[﹣10，10]．16．为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：非体育迷体育迷合计男3045女10合计75100（1）完成上面的2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？（2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为p（0＜p＜1），各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为f（p），求f（p）取得最大值时p的值．附：（其中n＝a+b+c+d）α0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）将表中数据代入公式，求得χ2的值，分析即可得答案；（2）找到f（p）＝10（1﹣p）2p3（0＜p＜1），利用导数研究最大值．解：（1）2×2列联表：非体育迷体育迷合计男300151345女45101055合计752525100，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“体育迷”与性别有关．（2）由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为（0＜p＜1），则f′（p）＝10[﹣2（1﹣p）p3+3（1﹣p）2p2]＝10p2（5p2﹣8p+3），令f′（p）＝0，得，当时，f'（p）＞0，则函数f（p）单调递增，当时，f'（p）＜0，则函数f（p）单调递减，所以当时，函数f（p）取得极大值，极大值为，即当时，函数f（p）取得最大值．17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＞0，且2a n，2S n，成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝求数列{b n}的前2n项和T2n．【分析】（1）由等差数列的中项性质和a n与S n的关系，结合等差数列的定义、通项公式，可得所求；（2）由数列的分组求和、等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．解：（1）由a n＞0，且2a n，2S n，成等差数列，可得4S n＝2a n+，当n＝1时，4a1＝4S1＝2a1+，解得a1＝2，当n≥2时，由4S n＝2a n+，可得4S n﹣1＝2a n﹣1+，两式相减可得4a n＝2a n﹣2a n﹣1+﹣，即为2（a n+a n﹣1）＝（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1），由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝2，则数列{a n}是首项和公差为2的等差数列，即有a n＝2n；（2）b n＝＝，则数列{b n}的前2n项和T2n＝2（1+3+5+...+2n﹣1）+（﹣+﹣+...+﹣）＝2×n（1+2n﹣1）+（﹣）＝2n2+．18．（17分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数f（x）的最小值，构造g（x）＝lnx+x﹣1，构造h（x）＝lnx﹣x+1，x≥1，得到lnx≤x﹣1＜x，从而f（x）＞x2+x﹣3ax＝x（x+1﹣3a），确定a的范围即可．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x+1﹣2a﹣＝，若a≤0，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）单调递增；若a＞0，则当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，a）单调递减，则（a，+∞）单调递增．（2）由（1）可知，要使f（x）有两个零点，则a＞0，则f（x）min＝f（a）＝﹣a2+a﹣alna＜0，即lna+a﹣1＞0，构造g（x）＝lnx+x﹣1，则g′（x）＝+1＞0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，故当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，故由g（a）＞0，得a＞1，当a＞1时，由f（e﹣1）＝++a（）＞0，则f（e﹣1）•f（a）＜0，结合零点存在性知，在（0，a）存在唯一实数x1，使得f（x1）＝0，构造h（x）＝lnx﹣x+1，x≥1，则h′（x）＝﹣1≤0，故h（x）在[1，+∞）单调递减，又h（1）＝0，故h（x）≤0，即lnx≤x﹣1＜x，则2x+lnx＜3x，故f（x）＝x2+x﹣a（2x+lnx）＞x2+x﹣3ax＝x（x+1﹣3a），则f（3a）＞3a＞0，则f（a）•f（3a）＜0，又3a＞a＞1，结合零点存在性知，在（a，+∞）存在唯一实数x2，使得f（x2）＝0，综上，当f（x）有两个零点时，a∈（1，+∞）．19．（17分）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作．记甲口袋中黑球个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，恰有2个黑球的概率为q n．（1）求p1，q1与p2，q2；（2）设a n＝p n+2q n，求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（3）求X n的数学期望E（X n）（用n表示）．【分析】（1）结合独立事件乘法公式求p1，q1，利用全概率公式求p2，q2；（2）利用全概率公式求得p n+1、q n+1与p n，q n的关系，从而得到a n+1与a n的关系，证明数列{a n﹣1}是等比数列；（3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到E（X n）．解：（1）p1为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球“的概率，则，q1为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球“的概率，则，p2为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球“的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则，q2为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球“的概率，则；证明：（2）p n+1是“重复n+l次操作后，甲口袋中有1个黑球“的概率，与n次操作后甲口袋中黑球的个数有关，分为有2个、1个、0个3种情况，所以，q n+1是“重复n+1次操作后，甲口袋中有2个黑球“的概率，与n次操作后甲口袋中黑球的个数有关，分为有2个、1个2种情况，所以，所以，从而数列{a n﹣1}是以为首项，以为公比的等比数列；解：（3）由（2）知，即，X n的取值范围为{0，1，2}，所以．。