2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第3章 章末小结 知识整合与阶段检测 Word版缺答案
2017年最新苏教版高中数学选修2-3全册教学导学案
苏教版高中数学选修2-3全册导学案目录1.1 两个基本计数原理（1）导学案 (1)1.1 两个基本计数原理（2）导学案 (5)1.2 排列（1）导学案 (9)1.2 排列（3）导学案 (17)1.2 排列（4）导学案 (21)1.3 组合（1）导学案 (26)1.3 组合（2）导学案 (30)1.3 组合（3）导学案 (34)1.4 计数应用题导学案 (38)1.5.1 二项式定理导学案 (42)1.5.2 二项式系数的导学案 (46)2.1 随机变量及其概率分布（1）导学案 (50)2.1 随机变量及其概率分布（2）导学案 (54)2.3.1 条件概率导学案 (62)2.3.2 事件的独立性导学案 (66)2.4 二项分布导学案 (70)2.5.1 离散型随机变量的方差与标准差导学案 (74)1.1 两个基本计数原理（1）导学案个原理分析和解决一些简单的应用问题（如数字、图形等问题）人有到Ｚ这２６个英文字母的一个，这样的密码共有多少个？例题２有５种不同的书（每种不少于３本），从中选购３本送个３名同学，每所有的三位数中，含有层放有种不同颜色中的某一种不同的涂1.1 两个基本计数原理（2）导学案二：课前预习2种不同的方法不同的方法，那么例题１为了确保电子信箱安全，在注册时，通常要设置电子信箱的密码到Ｚ这２６个英文字母的一个，这样的密码共有多少个？，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字的求相邻两块涂不同的颜色，, A. 180 B. 160 C. 96 D. 601.2 排列（1）导学案变其中两个元素的顺序吗？为什么？个字母的所有排列；个字母中，取出四：学后反思1.从3个不同的数字中每次取出两个，则下面问题可归结为排列问题的有（填写序号），1.2 排列（2）导学案了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数 =1____________1.2 排列（3）导学案．若把菜，从中选出种，分别种植在不同土质的块土地1、沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路一年级两个班的辅导员，不同的排法奖情况51.2 排列（4）导学案名女生生站成一排，按下列情况各有多少种不同的排法男生从左到右顺序保持一定，女生也从左到右顺序保持一定三个女生排在一起；幅水彩要求中那么_______________个座位，若1.3 组合（1）导学案人分别担任班名学生中选出数共有多少,名是种子选手，现在挑选赛，种子选手都必须在内，那个．产品中，有件不合格品，从中任取出多少种？1.3 组合（2）导学案=例题100一共有多少种不同的抽法？个开关控制，姓名：．一个口袋内装有大小不同的件产品中，有1.3 组合（3）导学案名女生中，选出同的选法有 _______选法个有多少种？（景点至多选一个？其和为奇数的共有多少种？名教师组成代表团，每校至少1.4 计数应用题导学案种不同职务，那么结果为多少个？，大于人中必须既有男生又名女生站成一排，其中任何两名女生不能相邻，则共有.则所有不同的排法种数为等于1.5.1 二项式定理导学案掌握二项式定理和二项式展开式的通项公式2、写出二、利用二项式定理展开下列各式：式：）求展开式中的第系数的展开式中的常数项1.5.2 二项式系数的导学案…时，如下表所示：…………………………图2，除1以外的每一个数（自主学习）根据“杨辉三角”写出：意思？二项式系数的性质及应用1的展开式中，各项系数的和3。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第2章章末小结知识整合与阶段检测缺答案
［对应学生用书P45]一、事件概率的求法1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(B）和P（AB），解得P(A|B）＝错误!。
（2)借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件数n，再在事件B发生的条件下求事件A包含的基本事件数m，得P(A|B)＝m n.2．相互独立事件的概率若事件A,B相互独立，则P(AB）＝P（A)·P（B）．3．n次独立重复试验在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为P n（k)＝C错误! p k q n－k，k＝0,1,2，…，n，q＝1－p。
二、随机变量的分布列1．求离散型随机变量的概率分布的步骤（1)明确随机变量X取哪些值;(2）计算随机变量X取每一个值时的概率;(3）将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．2．两种常见的分布列(1）超几何分布若一个随机变量X的分布列为P（X＝r)＝错误!，其中r＝0,1，2,3，…，l，l＝min(n，M），则称X服从超几何分布．（2)二项分布若随机变量X的分布列为P（X＝k）＝C k n p k q n－k，其中0〈p〈1,p ＋q＝1，k＝0，1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）．三、离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X的概率分布为：则E（X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n，V(X）＝(x1－μ)2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（x n－μ)2p n.2．当X~H(n，M，N)时，E(X)＝错误!，V(X）＝错误!.3．当X~B(n，p)时，E（X)＝np，V(X)＝np(1－p)．错误!(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分，把正确答案填在题中横线上)1．已知离散型随机变量X的概率分布如下：X123P k2k3k则E(X)＝________。
解析：∵k＋2k＋3k＝1，∴k＝错误!，∴E(X）＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!＝错误!.答案:错误!2．已知P(B｜A)＝错误!，P(A）＝错误!,则P（AB）＝________.解析：P（AB）＝P（B|A)·P(A)＝错误!×错误!＝错误!。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 本章回顾》
随机变量及其分布列摸球中的分布一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个。
现从中任意抽取3个球，1、求恰好抽出两个2号球的概率2、求至少抽出两个2号球的概率变式一一盒子中有大小相同的球10 个，其中标号为1的球3个，标号为2 的球4个，标号为3 的球3个。
现从中不放回地依次取出两个球1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差变式二：二项分布一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球1、求恰好抽出两个2号球的概率2、求至少抽出两个2号球的概率变式三：一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号为2的球2个，现从中任取一个球，假设取到标号2的球就不再放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数X 的均值求概率1、在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，那么经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率〔〕5 15 C 2/5 152、10件产品，其中3件次品，不放回抽取3次，第一次抽到是次品，那么第三次抽次品的概率是_____。
6．某商店试销某种商品2021获得如下数据：试销结束后假设该商品的日销售量的分布规律不变，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，假设发现存量少于2件，那么当天进货补充至3件，否那么不进货，将频率视为概率．1求当天商店不进货的概率；2记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．。
2017-2018学年高中化学选修三教学案：第三章第一节 晶体的常识含答案
第一节晶体的常识————-————-————————-—--——-——-——————--—[课标要求]1．了解晶体的初步知识，知道晶体与非晶体的本质差异.2．学会识别晶体与非晶体的结构示意图.3．掌握晶胞的概念以及晶胞中粒子个数的计算方法。
1．晶体具有自范性、各向异性和固定的熔点.2．习惯采用的晶胞都是平行六面体，相邻晶胞之间没有空隙，所有晶胞平行排列，取向相同。
3．立方晶胞顶点上的粒子为8个晶胞共有，棱上的粒子为4个晶胞共有，面上的粒子为2个晶胞共有。
错误!1．晶体与非晶体的本质差异2．获得晶体的三条途径（1）熔融态物质凝固。
(2）气态物质冷却不经液态直接凝固(凝华)。
(3）溶质从溶液中析出.3．晶体的特性(1）自范性：晶体能自发地呈现多面体外形。
（2）各向异性：晶体在不同方向上表现出不同的物理性质.（3)固定的熔点。
4．晶体与非晶体的测定方法点可靠方法对固体进行X.射线衍射实验1．判断正误(正确的打“√",错误的打“×”)。
（1）晶体有自范性但其微粒排列无序( ）(2)晶体具有各向同性，非晶体具有各向异性( )（3）晶体有固定的熔点（)(4）熔融态物质快速冷却即可得到晶体( )答案:(1）×(2)×(3)√（4）×2．下列叙述中，不正确的是( )A．从硫酸铜饱和溶液中可以析出硫酸铜晶体B．具有规则几何外形的固体不一定是晶体C．晶体与非晶体的根本区别在于是否具有规则的几何外形D．具有各向异性的固体一定是晶体解析：选C 晶体与非晶体的根本区别在于其内部粒子在空间中是否按一定规律做周期性重复排列.溶质从溶液中析出是得晶体的一条途径，A项正确;晶体所具有的规则几何外形、各向异性和固定的熔点是其内部粒子规律性排列的外部反映，因此D项正确，C项错误。
有些人工加工而成的固体也具有规则的几何外形，B正确.错误!1．晶胞的结构（1）概念:描述晶体结构的基本单元。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第1章章末小结知识整合与阶段检测缺答案
［对应学生用书P24］一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意,完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式（1)A错误!＝n(n－1）(n－2）…（n－m＋1），规定A错误!＝1。
当m＝n时，A错误!＝n（n－1)（n－2）·…·3·2·1。
（2)A错误!＝错误!，其中A错误!＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时,应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;（4）列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2）合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4）正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；（6)不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；(8）分排问题直排处理的策略;(9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质1．二项式定理公式（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!（r＝0，1，2,…，n)称为二项式系数，第r＋1项C r，n a n－r b r称为通项．［说明］(1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关,而后者还与a,b的取值有关．（2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项（或项的系数)．2．二项式系数的性质(1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,体现了组合数性质C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值：当r<错误!时，二项式系数C错误!逐渐增大；当r>错误!时，二项式系数C错误!逐渐减小．当n是偶数时，展开式中间一项T错误!＋1的二项式系数C错误!n 最大；当n是奇数时,展开式中间两项T错误!与T错误!＋1的二项式系数C错误!n,C错误!n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n，即C0n＋C错误!＋C错误!＋…＋C n，n＝2n;奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋….［说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．错误!(时间120分钟，满分160分）一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把正确答案填在题中横线上)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C17＝7种．答案：72．(湖南高考改编）错误!5的展开式中x2y3的系数是________．解析:由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C错误!错误!2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x人，则女学生有(8－x)人，则C错误!C错误!A错误!＝90，即x(x－1)(8－x）＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－x＝5。
高中数学(二项式定理)教案3 苏教版选修2-3 教案
对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用 来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n= 现在的问题就是要找 的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算。
（3）各二项式系数的和
在中令 得.Fra bibliotek例1证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例2、用二项式定理证明：9910-1能被1000整除
例3、已知 的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．
巩固练习：书本35页， 1， 2， 3， 4， 5
课外作业：第36页 习题1.5 9，11，12
教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.(a+b)n的展开式的二项式系数
2.组合数的性质
【优质文档】2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章3.3复数的几何意义
1． 复数加法的几何意义 设向量 OZ1 ， OZ2 分别与复数 z1＝ a＋ bi ，z2＝ c＋ di 对应， 且 OZ1 和 OZ2 不共线．如图，以 OZ1 ， OZ2 为邻边画平行四边形 OZ 1ZZ2，则其对角线 OZ 所表示的向量 OZ OZ 就是复数 (a＋ c)＋ (b＋ d)i 对应的向量． 2． 复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算，设 OZ1 ， OZ 2 分别与复数 a＋ bi ，c＋ di 相对应，且 OZ1 ， OZ2 不共线，如图．
1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．
2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚
数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数
0.
3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同 的．
[对应学生用书 P44]
－ 7<m<4.
即－ 7<m<3.
故当－ 7<m<3 时，复数 z 的对应点位于第四象限．
m2－ 8m＋15<0
①
(2)由题意，知 m2＋ 3m－ 28＝ 0 ②
由②得 m＝－ 7 或 m＝ 4. 因 m＝－ 7 不适合不等式①，
m＝ 4 适合不等式①， 所以 m＝ 4. 故当 m＝ 4 时，复数 z 的对应点位于 x 轴的负半轴上．
∈R )，则当 a<0 且 b<0 时，复数 z 对应的点在第三象限；当 a>0 且 b<0 时，复数 z 对应的
点在第四象限；当 a－ b－ 3＝0 时，复数 z 对应的点在直线 x－y－ 3＝ 0 上． [精解详析 ] 因为 x 是实数，所以 x2＋ x－ 6， x2－ 2x－ 15 也是实数．
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第3章3.2 回归分析含答案
1．线性回归模型(1）随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．(2)随机误差产生的主要原因①所用的确定性函数不恰当引起的误差；②忽略了某些因素的影响；③存在观测误差．(3)线性回归模型中a，b值的求法y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型．a，b的估计值为a∧，b∧，则错误!（4）回归直线和线性回归方程直线y_∧＝a_∧＋b_∧x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a∧称为回归截距，b∧称为回归系数,y∧称为回归值．2．样本相关系数r及其性质（1）r＝错误!．（2）r具有以下性质①|r|≤1．②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强．③|r|越接近于0，x,y的线性相关程度越弱．3．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤（1）提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系．(2)如果以95％的把握作出判断,那么可以根据1－0。
95＝0。
05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0。
95＝0。
05称为检验水平）．(3）计算样本相关系数r．（4）作出统计推断:若｜r|〉r0。
05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r｜≤r0。
05，则没有理由拒绝原来的假设H0,即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．1．在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量．2．通过回归方程y∧＝a∧＋b∧x可求出相应变量的估计值．3．判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图，但在作图中,由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．[例1] 假设关于某设备的使用年限x（年)和所支出的维修费用y（万元)有如下的统计资料：x23456y 2.23。
高中数学排列教案3 苏教版选修2-3
648 1.由数字1、、 2 3、、组成没有重复数字的五位数， 45
巩固练习： 其中小于50000的偶数共有多少个？ 2. 书本第 17 页１，２，３ 课外作业：第 18 页 习题 1.2 8 , 9 教学反思： 对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑” ，一个是“反过来 剔” ．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方 案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从 中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
A
n n
n
！
例一： 某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次,共进行多少场比赛?
例二 :①有 5 本不同的书,从中选出 3 本给 3 名同学,每人一本,共有多少种不同的选法? ②有 5 种不同的书,要买 3 本给 3 名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?
教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题。
教学过程： 学生探究过程： 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相 同的情况） ，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m m 个元素的排列数，用符号 表示。 n
例三 某信号兵用红、 黄、 蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面, 三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的信号?
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.2 二项式系数的性质及应用》0
课题：二项式系数的性质及应用〔第一课时〕授课教师：江苏省板浦高级徐勇教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3一、内容与内容解析1本课地位与作用本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的根底上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的根底上进行的．对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，稳固二项式定理，稳固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用．从知识发生开展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然〞，他们更应渴望的是“知其所以然〞．2本课内容剖析二项式系数的性质及应用是普通高中课程标准实验教科苏教版选修2-3第1章第5节第2课时的内容．以前面学习的第一节的二项式定理为根底，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般〞的数学思想方法解决问题的能力．这一过程不仅有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的探究精神与理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，开展其数学应用意识、创新精神．二、目标与目标解析1．通过观察二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法．2．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力．教学重点：归纳二项式系数的性质；教学难点：从函数的角度，理解二项式系数的增减性与最大值，证明．三、学情分析1．知识层面：学生已经学习了两个计数原理、二项式定理和组合数的性质等，已经具备了对二项式局部性质的归纳和证明的能力．2．思想方法角度：高二的学生也已经根本熟悉函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论思想，为突破本节课的难点奠定了根底．3．学习方式方面：通过在教学中开展自主探究等学习性活动，学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式，学生能够克服学习差异性问题．学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力，课堂上学生在教师的适当指导下，能够突破完成二项式系数的性质的证明这个难点．四、教学策略分析本节课教学上应从学生的认知规律出发，遵循知识的发生、开展过程，让学生屡次经历探究过程．教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体情形，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，从中学习解决问题的一般方法．首先，根据教学内容的特点，结合数学史知识，利用“杨辉三角〞这个历史材料，对学生进行情感教育并以此激发学生学习的热情．接下来，依据知识的发生开展过程和学生的思维规律，从布置课前探究，到课上合作交流完成规律展示，再从函数角度理解并证明性质，在知识的形成过程中去培养学生思维的逻辑性和深刻性，为不同认知根底的学生提供合理的学习时机和学习反应的时机．其中，按照“观察规律——归纳性质——推理论证——反应升华〞的环节来理解和掌握内容．即学生课前自主探究，课堂上分组讨论的方式，教师采用启发式提示语，启发观察和问题引导的方式，引导学生主动参与提出问题和解决问题的过程，由师生共同完成对结论的推理证明．五、教学过程1课前预习：预习并查阅“杨辉三角〞的历史资料，结合二项式定理谈谈对杨辉三角的认识；【设计意图】引导学生开展课前预习并探究活动，既能了解“杨辉三角〞的历史及其包含的规律，弘扬我国古代数学文化；又能节约课堂时间，提高学生动手动脑能力、归纳能力与探究能力．2 复习导入回忆旧识：二项式定理及其特例、二项展开式的通项公式、二项式系数等根底知识【设计意图】通过回忆，然后温故而知新，基于已经掌握的相关知识，找到新知的生长点．3探索新知【活动一】观察填表、介绍历史计算展开式中二项式系数填入到表格中：【设计意图】学生通过填表的活动，从特殊到一般，进而教师启发学生探究二项式系数的更多规律，进而引发思考二项式系数的性质．通过对“杨辉三角〞的介绍，适时补充数学史知识，增强民族自豪感，同时借助杨辉三角的直观观察，让学生更好地探究二项式系数的性质．【活动二】合作交流、探究性质在观察二项式系数表，探究二项式系数的数字规律．先让同学说自己的发现和想法，并尝试证明，由同学代表展示成果．【设计意图】以学生为主体，让学生先来，教师适度引导，暴露学生的不同想法，展示学生不同的成果，让不同的学生获得与体验学习成功的成就感．【活动三】构建模型、证明性质问题1证明．思路一：直接法用阶乘将组合数展开，从右向左证．左边=右边思路二：间接法思考问题：展开式中项的系数是；展开式中项的系数可以表示为；通过以上的两个问题，你联想到了二项式系数的哪个性质？还用以怎么证明？【设计意图】用阶乘展开组合数公式进行直接证明，学生自然易想好操作．思考问题，由教师给出，通过算两次的思想，构建一个模型，以新颖的视角证明性质，表达知识的灵活应用．问题2类比函数或数列，探究并证明展开式的二项式系数的增减性与最大值．请思考：①展开式的二项式系数按顺序排成一列，可以看成一个数列吗？可以看成是以为自变量的函数吗？它的定义域是什么？②画出和7时函数的图象，并观察分析他们的对称性、增减性与最大值．③对于刚刚的特殊情形，结合观察的结论，能否给出一般方法？对于一般情形，又如何证明二项式系数的增加性及最大值？【设计意图】运用类比思想，从函数与数列探究单调性的经验根底，分析与论证二项式系数的性质，从几何直观进行数学抽象，利用数形结合思想，表达特殊到一般的数学思想．分层次设计问题，让学生的思维拾级而上．问题3．证明：展开式的各二项式系数的和．变形：证明展开式的奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和．旧题新探：设集合中有个元素，那么该集合的子集个数为个．【设计意图】运用二项式定理来证明，体会赋值法这个典型．运用新知识解释老问题，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和照应，将学生思维升华．4 稳固练习1．在展开式中，与第五项二项式系数相同的项是第几项？2．在展开式中，二项式系数最大的项是第几项？3 求展开式中各二项式系数的和．变形：求展开式中各系数的和．【设计意图】通过反应练习，及时稳固新知．通过变形，制造认知冲突，激发探究的欲望．6小结作业【小结】通过本节课的学习，从知识与思想方法等角度总结．1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出，性质有4个．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择那么需根据所求的展开式系数和特征来确定．3．注意区分开二项式系数与项的系数．【作业】1课本练习2，3，42课后延伸：探究“杨辉三角〞与二项式系数的问题通过查阅资料，探究与发现“杨辉三角〞与二项式系数的更多微妙，整理成小论文的形式．【设计意图】学生通过对本节课的总结与反思，回忆所学知识与数学思想方法．通过作业，及时稳固新知识，延伸活动，让探究继续，培养学生自主学习的习惯．。
苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2全册教学案
苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2全册教学案目录1.1.1导数的概念平均变化率1.1.2瞬时变化率--导数1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和差积商的导数1.2.3简单复合函数的导数1.3.1单调性1.3.2极大值与极小值1.3.3最大值与最小值1.4导数在实际生活中的应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5定积分的概念1.5.3微积分基本定理第一章导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测2.1.1导数的概念第2课时类比推理2.1.1导数的概念第一课时归纳推理2.1.2导数的运算演绎推理2.1.3导数在研究函数中的作用推理案例赏析2.2.1合情推理与演绎推理直接证明2.2.2间接证明2.3数学归纳法第1课时利用数学归纳法证明等式不等式问题2.3数学归纳法第2课时利用数学归纳法证明几何整除等问题第二章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测3.1数系的扩充3.2复数的四则运算第2课时复数的乘方与除法运算3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算3.3复数的几何意义第三章数系的扩充与复数的引入章末小结知识整合与阶段检测1．1.1 平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0.问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？ 提示：对于山坡AB ，可用ΔyΔx 来近似刻画山路的陡峭程度．问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0的几何意义是什么？提示：Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0表示直线AB 的斜率．问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？ΔyΔx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同.ΔyΔx的值越大，山路越陡峭．1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义； (2)在式子f x 2－f x 1x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．[例1] (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率． [精解详析] (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：f－f 2.1－2＝2＋－2＋0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g －－g －－－－＝－－2]－－－2]－－－＝－－－－1＋2＝3.[一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1； 第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)； 第三步：求平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1.1．函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率为g－g 4－2＝－3×4－－4－2＝－12＋62＝－3.答案：－32.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f－f －1－－＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f2－0＝3－322＝34.答案：：(1)12 (2)343．本例条件不变，分别计算f (x )与g (x )在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小． 解：(1)f－f 2－1＝3×22＋2－2＋2－1＝9.(2)g－g 2－1＝3×2－2－－2－1＝3.f (x )比g (x )在[1,2]上的平均变化率大．[例2] t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值． [精解详析] 物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为S＋Δt －S＋Δt －1＝＋Δt ＋1－1＋1Δt＝2＋Δt －2Δt＝2＋Δt －22＋Δt ＋2Δt2＋Δt ＋2＝12＋Δt ＋2(m/s)．即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为12＋Δt ＋ 2m/s.[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．4．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 解析：∵S ＝πr 2，∴圆的半径r 从0.1变化到0.3时， 圆的面积S 的平均变化率为S－S0.3－0.1＝π×0.32－π×0.120.2＝0.4π.答案：0.4π5．在F 1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t (单位：s)存在函数关系S ＝10t ＋5t 2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？解：赛车在[20,20.1]上的平均速度为S－S20.1－20＝＋5×20.12－＋5×20220.1－20＝21.050.1＝210.5(m/s)．[例3] 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？[思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．[精解详析] 在t 0处s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1t 0－s 1t 0－Δt Δt <s 2t 0－s 2t 0－ΔtΔt，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．6.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是________．解析：v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象知：k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 17．A 、B 两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W 1(t )、W 2(t )分别表示A 、B 两机关的用电量与时间第t 天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)①两机关节能效果一样好；②A 机关比B 机关节能效果好；③A 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率比B 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率大； ④A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大． 解析：由图可知，在t ＝0时，W 1(0)>W 2(0)， 当t ＝t 0时，W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 所以W 1t 0－W 1t 0<W 2t 0－W 2t 0，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0>⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0.故只有②正确． 答案：②1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差． (2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．一次函数的平均变化率一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率为f n －f m n －m ＝kn ＋b －km ＋bn －m＝k .由上述计算可知，一次函数y ＝kx ＋b ，在区间[m ，n ]上的变化率与m ，n 的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．3．平均变化率的几何意义 (1)平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．(一)]一、填空题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． 解析：f－f 1.1－1＝2－－2－1.1－1＝0.210.1＝2.1. 答案：2.12．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________．解析：f b －f ab －a＝b ＋－a ＋b －a＝b －ab －a＝2.答案：23．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． 解析：c－c 70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0024.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．解析：由图可知，在[0，t 0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t 0，t 1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．答案：等于 大于5．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 解析：a 3＋－3＋a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21. 解之得a ＝4或a ＝－5. 又∵a >1，∴a ＝4. 答案：4 二、解答题6．已知函数f (x )＝2x 2＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． 解：函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率为2×2.012＋1－2×22－12.01－2＝8.02.7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小． 解：在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝－3π.∵2－3<1，∴3π>－3π，∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为－3π，故在0到π6之间的平均变化率较大．8．已知气球的表面积S (单位：cm 2)与半径r (单位：cm)之间的函数关系是S (r )＝4πr 2.求： (1)气球表面积S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时的平均膨胀率． 解：根据函数的增量来证明．由S (r )＝4πr 2，r >0，把r 表示成表面积S 的函数：r (S )＝12ππS .(1)当S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝20－10＝10(cm 2)，气球半径的增量Δr ＝r (20)－r (10)＝12π(20π－10π)≈0.37(cm)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.3710＝0.037.(2)当S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝12π(40π－30π)≈0.239(cm 2)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.23910＝0.023 9.1．1.2 瞬时变化率——导数如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置． 问题2：割线PP n 斜率是什么？ 提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？ 提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率． 问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？ 提示：能．1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？ 提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程． 2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．P5][例1] 已知曲线y ＝x ＋x 上的一点A ⎝ ⎭⎪⎫2，2，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f＋Δx －fΔx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx＋Δx＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx ＋Δx ＋Δx Δx＝－1＋Δx＋1.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________． 解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－12＋Δx 2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－12＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4，因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.[例2] 一质点按规律S (t )s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．[精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔS Δt ＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋t －2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2， 则ΔS Δt＝S＋Δt －SΔt＝＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝＋Δt2－＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.[例3] 已知f (x )＝x 2－(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－3－2－Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝fa ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f＋Δx －fΔx＝a＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx ＋15－2－7×6＋Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________．解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________． 解析：∵f＋Δx －fΔx＝12＋Δx2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx 2＋Δx Δx ＝12Δx ＋1.∴当Δx 无限趋近于0时，f＋Δx －fΔx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)． 又Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数4， ∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4. 由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、 解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt＝S ＋Δt －SΔt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g ＋Δt2＋＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt 2＋4g ·Δt ＋2·ΔtΔt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔSΔt →4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程． 解：∵＋Δx2－＋Δx ＋2－2－4×1＋Δx＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵Δy Δx＝x 0＋Δx 3－x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 2＋Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx＝fx ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx －xΔx＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝fx ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx＝x －x ＋Δx x x ＋Δx Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx →－1x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x .1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2；7．(x )′＝12x.1．(x α)′＝αxα－1(α为常数)；2．(a x)′＝a xln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1xlog a e ＝1x ln a(a >0，且a ≠1)； 4．(e x )′＝e x； 5．(ln x )′＝1x；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x 与f (x )＝e x .P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x4；(3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的导数是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x ； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x ，正确；④正确．答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.解：(1)y ′＝(10x )′＝10xln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值． [精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －56′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －116，∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1n x且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] 已知曲线方程y ＝x (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程；(2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)． 即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n的理解：(1)y ＝x n中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化． (2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1xlog a e 和(a x )′＝a xln a 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1. ∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x；(3)y ＝x 2x；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2xln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2， ∴曲线y ＝1x在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2.又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx， ∴ΔyΔx ＝1－1xx ＋Δx.当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？ 提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)；(4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fxg x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．P9][例1] (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos x x；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝cos x ′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos xx2＝－x sin x ＋cos x x 2.(4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin xx －x sin x xcos 2x＝x ＋x cos xx ＋x sin 2xcos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x. [一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________． 解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln x x ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x2cos x .解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x )′＝1xx ＋－ln xx ＋2－2xln 2 ＝1＋1x －ln x x ＋2－2xln 2＝x －x ln x ＋1x x ＋1－2xln 2.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x －12′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x 4cos 2x＝12cos 2x.[例2] 设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝e ，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解． [精解详析] f ′(x )＝(a ·e x)′＋(b ln x )′＝a ·e x＋b x，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103.答案：1035．若函数f (x )＝ex x在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝ecc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x2＝exx －x 2，∴f ′(c )＝ecc －c 2，依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e cc＋ecc －c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.[例3] y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－47．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式． 解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得：x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 恒成立， 则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e.答案：e3．函数f (x )＝e xcos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝e x cos x －e xsin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1. 又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1x －2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x)．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1. (2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x)]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x)′ ＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x)＝e x(1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，。
2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第3章 章末小结 知识整合与阶段检测-缺答案
[对应学生用书P50]一、独立性检验1．独立性检验的思想及方法独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个对象没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随机变量X 的含义，可以通过概率来评价假设不合理程度．2．独立性检验的一般步骤 (1)提出假设H 0；(2)根据样本数据列2×2列联表， 计算χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )；(3)比较χ2与临界值的大小并作出判断． 二、回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 建立回归模型的基本步骤： (1)确定两个变量； (2)画出散点图； (3)进行相关系数检验；(4)确定线性回归方程类型，求出回归方程．建立回归模型的基本步骤，不仅适用于线性回归模型，也适用于非线性回归模型的建立．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上) 1．下列有关线性回归的说法①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归直线得到具有代表意义的线性回归方程；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程其中错误的是________． 解析：任何一组观测值并不都能得到具有代表意义的线性回归方程． 答案：④2．下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归直线必过点________.解析：∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，∴样本点的中心为(1.5,4)，而回归直线必过样本点的中心，故必过(1.5,4)． 答案：(1.5,4)3．对两个变量y 和x 进行线性相关性检验，已知n 是观察值组数，r 是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.999 1；④n ＝3，r ＝0.995 0，则变量y 和x 具有线性相关关系的是________．(填序号)解析：判断变量y 与x 是否具有线性相关关系时，观察值组数n 不能太小．若y 与x 具有线性相关性，则相关系数|r |≥0.75，故②④错．答案：①③4．由线性回归直线方程y ∧＝4.75x ＋157，当x ＝28时，y ∧为________． 解析：将x 的值代入回归直线方程得估计值y ∧＝4.75×28＋157＝290.答案：2905．一家保险公司调查其总公司营业部的加班情况，收集了10周中每周加班工作时间y (小时)与签发保险单数目x 的数据如下表所示：已知用最小二乘法估计求出的线性回归方程的斜率为0.003 585，则线性回归方程为________________________________________________________________________．解析：线性回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧过样本中心点(x －，y －)，故将x －，y －求出代入即可．答案：y ∧＝0.118 2＋0.003 585x6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表，则喜不喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为________.解析：假设H 0：喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少没有关系，根据列联表中的数据，可以求得χ2＝50×(18×15－9×8)227×23×26×24≈5.06，对照临界值表，当假设成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系．答案：97.5%7．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是________．(填序号) ①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．解析：由回归分析、独立性检验的意义知，回归分析与独立性检验都是研究两个变量之间的相关性，但方法与手段有所不同，研究角度不同．由其意义知，③正确．答案：③8.如图，有5组数据对(x ，y )，去掉哪组数据后剩下的4组数据的线性相关程度最大________．解析：由散点图可知，除D 之外的其余各点近似地在某条直线附近，而D 点则偏离这一直线．故应去掉D .答案：D9．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________.解析：由题意可知x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ∧＝－2.又回归方程y ∧＝－2x ＋a ∧过点(10,40)， 故a ∧＝60，所以当x ＝－4时，y ∧＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6810．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的2×2列联表：试回答吃零食与性别有关系吗？(“有”或“没有”)________． 解析：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝85(140－480)217×68×45×40＝≈4.722>3.841.故约有95%的把握认为“吃零食与性别”有关． 答案：有11．变量x ，y 具有线性相关关系，当x 的取值分别为8,12,14和16时，通过观测知y 的值分别为5,8,9和11，若在实际问题中，y 的预报值最大是10，则x 的最大取值不能超过________．解析：因为x ＝16时，y ＝11；当x ＝14时，y ＝9，所以当y 的最大值为10时，x 的最大值属于区间(14,16)．答案：1512．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，由某散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y∧＝－0.7x ＋a ∧，则该厂6月份的用水量约为________．解析：∵x ＝2.5，y ＝3.5，b ∧＝－0.7， ∴a ∧＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.∴当x ＝6时，y ∧＝－0.7×6＋5.25＝1.05. 答案：1.05百吨13．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x 相同，y 也相同，则l 1与l 2的位置关系是____________．解析：每条回归直线都过样本的中心(x ，y )． 答案：l 1与l 2有公共点(x ，y )14．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则________．(填序号)①r 2＜r 1＜0；②0＜r 2＜r 1；③r 2＜0＜r 1；④r 2＝r 1.解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0<r 1.答案：③二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系． 解：由表中数据画出散点图，如图所示．由散点图可知热茶销售量与气温之间具有较强的线性相关关系．16．(本小题满分14分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于5的整数，则a 取何值时，有90%的把握认为x 与y 之间有关系？解：查表可知，要有90%的把握认为x 与y 之间有关系，则χ2≥2.706，而 χ2＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由χ2≥2.706，得a ≥7.19或a ≤2.04. 又a ＞5，且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8,9.故a 为8或9时，有90%的把握认为x 与y 之间有关系．17．(本小题满分14分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：对于人力资源部的研究项目进行分析，根据上述数据能得出什么结论？ 解：根据列联表中的数据，得到χ2＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103＝10.76.因为10.76>7.879，所以有99.5%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．18．(本小题满分16分)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高约为多少？解：由题意父亲身高x cm 与儿子身高y cm 对应关系如下表：则x －＝173＋170＋1763＝173，y ＝170＋176＋1823＝176，∑3i ＝1(x i －x )(y i －y )＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)(182－176)＝18，∑3i ＝1(x i －x )2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18. 所以b ∧＝1818＝1. 所以a ∧＝y －b ∧x ＝176－173＝3.所以线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧＝x ＋3. 所以可估计孙子身高为182＋3＝185(cm)．19．(本小题满分16分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀． (1)试分别估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)列联表如下：因为χ2＝100×(30×25－20×25)250×50×55×45＝10099≈1.010，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．20．(本小题满分16分)某运动员训练次数与运动成绩之间数据关系如下：(1)作出散点图； (2)求出回归方程；(3)计算相关系数，并利用其检验两变量的相关关系的显著性； (4)试预测该运动员训练47次和55次的成绩．解：(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)计算得x ＝39.25，y ＝40.875，b ∧≈1.0415，a ∧≈－0.004，所求回归方程为y ∧＝1.0415 x －0.004. (3)计算得∑8i ＝1x 2i ＝12 656，∑8i ＝1y 2i ＝13 731， r ＝∑8i ＝1x i y i －8x －y－∑8i ＝1x 2i －8x2∑8i ＝1y 2i －8y2＝345.2512 656－8×39.252×13 731－8×40 8752≈345.25347.79≈0.993， 查表得r 0.05＝0.707，r >r 0.05，由此可得出，训练次数与运动成绩有较强的线性相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用回归方程y＝1.041 5x－0.004作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3 独立性含解析
第1课时 条 件 概 率三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取． 问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示:相等．问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．提示：用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P （A )＝23. 问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．提示:用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则P (B ）＝错误!.问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?提示：用C 表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下,最后一名同学抽到中奖奖券"．事件C 可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P （C )＝错误!。
1．条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率,记为P（A|B)．2．条件概率的计算公式(1）一般地，若P（B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P（A｜B)＝错误!．(2）利用条件概率，我们有P(AB)＝P(A｜B）P（B）．1．由条件概率的定义可知，P（A｜B)与P(B｜A)是不同的；另外，在事件B发生的前提下,事件A发生的可能性大小不一定是P （A），即P（A｜B)与P(A）不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P(B)〉0。
3．P（A｜B）＝错误!可变形为P（AB）＝P(A｜B)P（B）,即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．[例1］抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P（A），P（B），P(AB);（2）当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?[思路点拨] 根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解．[精解详析］(1)设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{（x,y）|x∈N，y ∈N，1≤x≤6，1≤y≤6｝，如图所示，由古典概型计算公式可知：P（A)＝错误!＝错误!，P（B)＝错误!＝错误!，P（AB)＝错误!.(2)P(B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!.［一点通] 利用P(A｜B）＝错误!求条件概率的一般步骤：(1）计算P(B）；（2）计算P（AB）(A，B同时发生的概率);（3)利用公式P（A|B）＝错误!计算．其中(1)（2）可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球"，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)＝错误!，P(AB)＝错误!×错误!＝错误!，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A)＝错误!.答案：错误!2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩,问另一个小孩是男孩的概率是多少?解:一个家庭的两个小孩只有4种可能:{两个都是男孩｝,｛第一个是男孩，第二个是女孩}，｛第一个是女孩,第二个是男孩｝,{两个都是女孩｝．由题意知这4个事件是等可能的,A＝“其中一个女孩"，B＝“其中一个男孩”，则A＝｛（男,女)，(女，男），（女，女）｝,B ＝｛（男，男）,(男,女），（女，男）},AB＝｛（男，女)，（女，男）}．∴P（AB)＝错误!,P(A)＝错误!.∴P（B|A)＝错误!＝错误!＝错误!。
2017-2018学年高二数学苏教版选修2-3教学案：1.5.1 二项式定理
1．5.1二项式定理[对应学生用书P19]问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a 或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.3．二项式系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，C r n，…，C n n.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.[对应学生用书P19][例1] (1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝(4x 3－3)532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5] ＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243) ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×10×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4. 2．求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式．解：法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ·⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2. 法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x2(2x －1)4 ＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎭⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解； (2)利用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ⎝⎛⎭⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·⎝⎛⎭⎫12x 4＝C 410·⎝⎛⎭⎫124· x 12·⎝⎛⎭⎫1x 4＝1058x 10. (2)设第r ＋1项为常数项， 则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r 10·x 20－52r ·⎝⎛⎭⎫12r(r ＝0,1,2，…，10)， 令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256， 即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6 展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3. 答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________． 解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x 3n －3r x －2r ＝C r n x 3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r 3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项．解：⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0,1,2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0,4,8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝⎛⎭⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝⎛⎭⎫－128C 88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎛⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10()3x 10－r ·⎝⎛⎭⎫－23x r (r ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760. [一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20.答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解．由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4，所以r ＝4. 答案：48．求(2x 2＋1x)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝29－r ·C r 9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2.求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r 项；②求含x r (或x p y q )的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．[对应课时跟踪训练(八)]一、填空题1．(a ＋2b )10展开式中第3项的二项式系数为________． 解析：第3项的二项式系数为C 210＝10！8！×2！＝45.答案：452．(四川高考改编)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________． 解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________． 解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x 15－5r，令15－5r ＝0，∴r ＝3. 故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________.解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n， 又∵a ∶b ＝3∶1，∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31， 即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3，解得n ＝11.答案：115.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 9x 18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0,1,2,3,4,5,6共7项．答案：7 二、解答题6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9，∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280. 7．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值． 解：二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r ()－a r x －2r ＝C r 6x6－3r()－a r . 当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ， 根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．解：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r n ·()x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r n x n －2r2.由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列， 则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 4－r .令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.。
高中数学 集合学案 苏教版选修2-3
集合及其运算备考方向：明确考什么？1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知道怎么考？1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力，如2009年高考T14.2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断．(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题，如2009年高考T11.3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或Venn 图进行集合运算，如2010年高考T1；2011年高考T1，T14；2012年高考T1.基本知识：1.元素与集合(1)集合元素的特性： 、 、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于A ，记作 ；若b 不属于A ，记作 .(3)集合的表示方法： 、 、图示法．(4)常见数集及其符号表示:自然数集:_______,正整数集:_______,整数集:_______,有理数集:_______,实数集:_______，空集:_______.问题1.集合{}02==x x A ，{}2xy x B ==，{}2x y y C ==，{}2),(x y y x D ==相同吗？它们的元素分别是什么？问题2.0与集合{0}是什么关系？∅与集合{∅}呢？2．集合间的基本关系集合相等：子集：真子集：问题3.对于集合A ，B ，若A ∩B ＝A ∪B ，则A ，B 有什么关系？3.集合的基本运算交集：并集：补集：简单应用：1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m＝____2.已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，则集合B有________个．3.(2013·南京四校联考)若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合M＝{0,1}，集合N＝{2,3}，则(∁UM)∩N＝________.4.定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为________．5.(教材改编题)设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝__________，A ∩B＝__________，(∁UA)∩(∁UB)＝__________.考点探究：例1.集合的基本概念(1)(2013·济南模拟)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈(A∩B)，则实数a＝________. 思考：本例(2)中，将“9∈(A∩B)”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值？解决集合问题的一般思路：(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．跟踪训练：(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 例2.集合间的基本关系已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 思考：保持例题条件不变，当a 满足什么条件时，B ⊆A?根据两集合的关系求参数的方法：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论，还要注意能否取到端点值．跟踪训练：已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.例3.集合的基本运算(1)(2012·江苏高考)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2，4,6}，则A ∪B ＝________.(2)(2012·威海模拟改编)已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝________. (3)(2012·武汉模拟)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.解决集合的混合运算的方法：解决集合混合运算时，一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解.跟踪训练：(2012·枣庄模拟改编)已知全集U ＝Z ，集合{}x x x A ==2，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．例4.集合中的新定义问题 [例4] (2012·东城模拟改编)非空集合G 关于运算⊕满足：(1)对任意a 、b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；(2)存在c ∈G ，使得对一切a ∈G ，都有a ⊕c ＝c ⊕a ＝a ，则称集合G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G ＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G ＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G ＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________．解决新定义问题应注意以下几点：(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的本质．(2)按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决．跟踪训练：若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________． 解答集合问题需要注意的问题：(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)要注意区分元素与集合的从属关系以及集合与集合的包含关系．(3)要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．(4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．(5)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.创新交汇——与集合运算有关的交汇问题1.集合的运算是高考的常考内容，以两个集合的交集和补集运算为主，且常与函数、不等式、三角函数、向量等内容相结合，以创新交汇问题的形式出现在高考中．2.解决集合的创新问题常分三步：(1)信息提取，确定化归的方向；(2)对所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．例5.(2012·重庆高考改编)设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |y －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．在解决以集合为背景的创新交汇问题时，应重点关注以下两点(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此类问题的前提．如本题应首先搞清集合A 与B 的性质，即不等式表示的点集．(2)剥去集合的外表，将未知转化为已知是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外表，将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题．跟踪训练：1.已知A ＝{(x ，y )|y ＝|ln x |}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |x 29＋y 24＝1，则A ∩B=_________. 2.设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x || x － ⎪⎪⎪1i < 2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N ＝____. 3.设M ＝{a |a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R}和N ＝{b |b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R}都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________.当堂检测：1.已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是________．2.已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，则c ＝________.3.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围．。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.3 组合含解析
第1课时组合与组合数公式从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1，3，5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．问题3:一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动．所抽出的这5人与顺序有关吗?提示:无关．问题4：你能举个这样的示例吗？提示：从班里选7名同学组成班委会．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个不同元素的一个组合。
从1，3，5，7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A错误!＝4×3＝12种．问题2:如何用分步法理解“任取两个数相除”？提示：第一步，从这四个数中任取两个元素,其组合数为C错误!，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列,有A错误!种排法．问题3：你能得出C错误!的结果吗？提示：因为A2，4＝C错误!A错误!，所以C错误!＝错误!＝6。
问题4：试用列举法求得从1,3，5,7中任取两个元素的组合数？提示：1，3；1,5；1，7；3，5；3，7；5，7共6种．组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法用符号C错误!表示组合数公式乘积形式C错误!＝错误!阶乘形式C错误!＝错误!性质C错误!＝C错误!；C错误!＝C错误!＋C错误!备注①n,m∈N＊且m≤n.②规定C错误!＝11．组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．2．组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序,没有位置的要求．3．相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何）,就是相同的组合．［例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手,共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？[精解详析］(1)①是排列问题，共通了A2，11＝110封信；②是组合问题,共握手C错误!＝55次．(2)①是排列问题，共有A错误!＝90种选法；②是组合问题,共有C错误!＝45种选法．［一点通］区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起．而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题;若无新变化，即说明无顺序,是组合问题．1．下列问题:①铁路线有5个车站，要准备多少车票？②铁路线有5个车站,有多少种票价？③有4个篮球队进行单循环比赛,有多少种冠亚军的情况?④从a，b，c,d 4名学生中选出2名学生，有多少种不同选法？⑤从a,b，c，d 4名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法？其中是组合问题的是________．(将正确的序号填在横线上)解析：来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序;而来往的票价是相同的，没有方向性；单循环是无序的，但冠亚军却有明显的顺序；从4名学生中选出2名学生无顺序；而2名学生完成两件不同的工作是有序的．答案：②④2．求出问题1中组合问题的组合数．解：②铁路线有5个车站，有C错误!＝10种不同的票价．④从a,b，c,d4 名学生中选出2名学生，有C错误!＝6种不同的选法。
高中数学组合教案2 苏教版选修2-3
课题
1.3组合
组合数公式
第二课时
教学目标
知识与技能：进一步掌握组合数公式，运用组合数公式进行计算。
过程与方法：能运用组合概念分析简单的实际实际问题，提高分析问题的能力。
情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点
教学难点
运用组合概念分析简单的实际实际问题。
能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：运用组合概念分析简单的实际实际问题。
巩固练习：书本第21页5，6，7
课外作业：第25页习题1.34，5，6
教学反思：
排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。
例：某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，若次品恰好在第六次检测后被全部检出这样的检测方案有种。
例4证明
分析：1可用组合数公式来证明2可用ຫໍສະໝຸດ 合数定义证明上面两性质的应用
(1)当m> 时，利用这个公式，可使的计算简化
例5、在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件。
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？
高中数学第三章章末小结知识整合与阶段检测教学案苏教版选修23
第三章 数系的扩充与复数的引入[对应学生用书P46]1．虚数单位i(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立． (3)i 的幂具有周期性：i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)，则有i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．2．复数的分类 复数(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝0虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，b 非纯虚数a ≠0，b .3．共轭复数的性质设复数z 的共轭复数为z ，则 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；(2)z 为实数⇔z ＝z ，z 为纯虚数⇔z ＝－z . 4．复数的几何意义5．复数相等的条件(1)代数形式：复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔a ＝c ，b ＝d .特别地，a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )⇔a ＝b ＝0.注意：两复数不是实数时，不能比较大小．(2)几何形式：z 1，z 2∈C ，z 1＝z 2⇔对应点Z 1，Z 2重合⇔1OZ 与2OZ 重合． 6．复数的运算(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．[对应学生用书P65](时间：120分钟，总分：160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________.解析：∵z 1＝2＋i 在复平面内对应点(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点为(－2,1)，则z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 答案：－52．(山东高考改编)若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________. 解析：根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 答案：3＋4i3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________． 解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝＋－＋＝3＋4i 5＝35＋45i ， ∴z 的虚部是45.答案：454．已知m1＋i ＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________．解析：m1＋i＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ， 因为m ，n ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝2，即m ＋n i ＝2＋i. 答案：2＋i 5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________．解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴z ＝3－i. 答案：3－i6．在复平面内，复数2－i1＋i 对应的点位于第________象限．解析：2－i 1＋i＝－－＋－＝1－3i 12＋12＝12－32i ， 对应的点位于第四象限． 答案：四 7.＋2＋＝________.解析：＋2＋＝＋－1＋2i＝＋－1－－2＋22＝1－38i.答案：1－38i8．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i2是实数，则a 等于________．解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a－2＋1＋i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋－a2i 是实数， ∴1－a2＝0，即a ＝1. 答案：19．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________． 解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4. 设－1＋i 对应的点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆． 答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆10．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________. 解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ， 故z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i.答案：－4i11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ， 101－2i＝＋－＋＝＋12＋22＝2＋4i ，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.∴z ＝3＋4i. 答案：3＋4i12．若OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则AB ＝________.(用复数代数形式表示)解析：由于OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位， 所以AB ＝OB －OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i. 答案：－5－4i13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：114．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________． 解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －1)i ＝0，化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0，解得a ＝112，∴m ＝112i.答案：112i二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)计算： (1)＋－21－2i ；(2)4＋5i －－. 解：(1)＋－21－2i ＝＋－1－2i＝－1－2i ＝2.(2)4＋5i－－＝－－－＝i 1－i＝＋－＋＝i －12＝－12＋12i.16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)零．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ， ∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R . 当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0.17．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求＋2＋22z的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1＋3i －z ， 得a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，所以z ＝－4＋3i. 则＋2＋22z＝＋2－4＋＝－4＋＋－4＋＝3＋4i.18．(本小题满分16分)已知ω＝－12＋32i.(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；(2)若等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝ω，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)ω2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14－32i －34＝－12－32i.ω2＋ω＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋1＝0.(2)由于ω2＋ω＋1＝0， ∴ωk ＋2＋ωk ＋1＋ωk ＝ωk (ω2＋ω＋1)＝0，k ∈Z .∴S n ＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn －1＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k ，1， n ＝3k ＋1，1＋ω， n ＝3k ＋2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k k ∈Z ，1， n ＝3k ＋k ∈Z，12＋32i ， n ＝3k ＋k ∈Z19．(本小题满分16分)已知z ＝a －i1－i(a ∈R 且a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．解：把z ＝a －i1－i (a ＞0)代入ω中，得ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a a ＋2i.由a a ＋2－a ＋12＝32，得a 2＝4. 又a ＞0，所以a ＝2. 所以|ω|＝|32＋3i|＝325.20．(本小题满分16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1；当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 所以点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.即△ABC 的面积为1.。
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[对应学生用书P50]一、独立性检验1．独立性检验的思想及方法独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个对象没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随机变量X 的含义，可以通过概率来评价假设不合理程度．2．独立性检验的一般步骤 (1)提出假设H 0；(2)根据样本数据列2×2列联表， 计算χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )；(3)比较χ2与临界值的大小并作出判断． 二、回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 建立回归模型的基本步骤： (1)确定两个变量； (2)画出散点图； (3)进行相关系数检验；(4)确定线性回归方程类型，求出回归方程．建立回归模型的基本步骤，不仅适用于线性回归模型，也适用于非线性回归模型的建立．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上) 1．下列有关线性回归的说法①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归直线得到具有代表意义的线性回归方程；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程其中错误的是________． 解析：任何一组观测值并不都能得到具有代表意义的线性回归方程． 答案：④2．下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归直线必过点________.解析：∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，∴样本点的中心为(1.5,4)，而回归直线必过样本点的中心，故必过(1.5,4)． 答案：(1.5,4)3．对两个变量y 和x 进行线性相关性检验，已知n 是观察值组数，r 是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.999 1；④n ＝3，r ＝0.995 0，则变量y 和x 具有线性相关关系的是________．(填序号)解析：判断变量y 与x 是否具有线性相关关系时，观察值组数n 不能太小．若y 与x 具有线性相关性，则相关系数|r |≥0.75，故②④错．答案：①③4．由线性回归直线方程y ∧＝4.75x ＋157，当x ＝28时，y ∧为________． 解析：将x 的值代入回归直线方程得估计值y ∧＝4.75×28＋157＝290.答案：2905．一家保险公司调查其总公司营业部的加班情况，收集了10周中每周加班工作时间y (小时)与签发保险单数目x 的数据如下表所示：已知用最小二乘法估计求出的线性回归方程的斜率为0.003 585，则线性回归方程为________________________________________________________________________．解析：线性回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧过样本中心点(x －，y －)，故将x －，y －求出代入即可．答案：y ∧＝0.118 2＋0.003 585x6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表，则喜不喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为________.解析：假设H 0：喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少没有关系，根据列联表中的数据，可以求得χ2＝50×(18×15－9×8)227×23×26×24≈5.06，对照临界值表，当假设成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系．答案：97.5%7．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是________．(填序号) ①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．解析：由回归分析、独立性检验的意义知，回归分析与独立性检验都是研究两个变量之间的相关性，但方法与手段有所不同，研究角度不同．由其意义知，③正确．答案：③8.如图，有5组数据对(x ，y )，去掉哪组数据后剩下的4组数据的线性相关程度最大________．解析：由散点图可知，除D 之外的其余各点近似地在某条直线附近，而D 点则偏离这一直线．故应去掉D .答案：D9．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________.解析：由题意可知x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ∧＝－2.又回归方程y ∧＝－2x ＋a ∧过点(10,40)， 故a ∧＝60，所以当x ＝－4时，y ∧＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6810．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的2×2列联表：试回答吃零食与性别有关系吗？(“有”或“没有”)________． 解析：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝85(140－480)217×68×45×40＝≈4.722>3.841. 故约有95%的把握认为“吃零食与性别”有关． 答案：有11．变量x ，y 具有线性相关关系，当x 的取值分别为8,12,14和16时，通过观测知y的值分别为5,8,9和11，若在实际问题中，y 的预报值最大是10，则x 的最大取值不能超过________．解析：因为x ＝16时，y ＝11；当x ＝14时，y ＝9，所以当y 的最大值为10时，x 的最大值属于区间(14,16)．答案：1512．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，由某散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y∧＝－0.7x ＋a ∧，则该厂6月份的用水量约为________．解析：∵x ＝2.5，y ＝3.5，b ∧＝－0.7， ∴a ∧＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.∴当x ＝6时，y ∧＝－0.7×6＋5.25＝1.05. 答案：1.05百吨13．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x 相同，y 也相同，则l 1与l 2的位置关系是____________．解析：每条回归直线都过样本的中心(x ，y )． 答案：l 1与l 2有公共点(x ，y )14．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则________．(填序号)①r 2＜r 1＜0；②0＜r 2＜r 1；③r 2＜0＜r 1；④r 2＝r 1.解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0<r 1.答案：③二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系． 解：由表中数据画出散点图，如图所示．由散点图可知热茶销售量与气温之间具有较强的线性相关关系．16．(本小题满分14分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于5的整数，则a 取何值时，有90%的把握认为x 与y 之间有关系？ 解：查表可知，要有90%的把握认为x 与y 之间有关系，则χ2≥2.706，而χ2＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由χ2≥2.706，得a ≥7.19或a ≤2.04. 又a ＞5，且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8,9.故a 为8或9时，有90%的把握认为x 与y 之间有关系．17．(本小题满分14分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：对于人力资源部的研究项目进行分析，根据上述数据能得出什么结论？ 解：根据列联表中的数据，得到χ2＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103＝10.76.因为10.76>7.879，所以有99.5%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．18．(本小题满分16分)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高约为多少？解：由题意父亲身高x cm 与儿子身高y cm 对应关系如下表：则x －＝173＋170＋1763＝173，y ＝170＋176＋1823＝176，∑3i ＝1(x i －x )(y i －y )＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)(182－176)＝18，∑3i ＝1(x i －x )2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18. 所以b ∧＝1818＝1.所以a ∧＝y －b ∧x ＝176－173＝3.所以线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧＝x ＋3. 所以可估计孙子身高为182＋3＝185(cm)．19．(本小题满分16分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀． (1)试分别估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)列联表如下：因为χ2＝100×(30×25－20×25)250×50×55×45＝10099≈1.010，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．20．(本小题满分16分)某运动员训练次数与运动成绩之间数据关系如下：(1)作出散点图； (2)求出回归方程；(3)计算相关系数，并利用其检验两变量的相关关系的显著性； (4)试预测该运动员训练47次和55次的成绩．解：(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)计算得x ＝39.25，y ＝40.875，b ∧≈1.0415，a ∧≈－0.004，所求回归方程为y ∧＝1.0415 x －0.004. (3)计算得∑8i ＝1x 2i ＝12 656，∑8i ＝1y 2i ＝13 731， r ＝∑8i ＝1x i y i －8x －y－∑8i ＝1x 2i －8x2∑8i ＝1y 2i －8y2＝345.2512 656－8×39.252×13 731－8×40 8752≈345.25347.79≈0.993， 查表得r 0.05＝0.707，r >r 0.05，由此可得出，训练次数与运动成绩有较强的线性相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用回归方程y ＝1.041 5x －0.004作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。