11第十一节 对称多项式

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2 (2,2,2) d 3
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故可设 2 2 3 2 D 1 2 a 13 3 b 2 c 1 2 3 d 3
这里由根与系数的关系有 1 x1 x2 x3 a1 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 a2 3 x1 x2 x3 a3 取x1=x2=1, x3=0，有 D 0, 1 2, 2 1, 3 0 代入有 0=4+b，得 b=-4.
a a 4a a 4a 18a1 a2 a3 27a
2 2 1 2 3 1 3 3 2
2 3
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（2，1，0），而
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10 0 3 120 2 3 3 1 2
3 1 2 3 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x3 x1
2 3 x12 x2 x2 x1 9 x1 x2 x3
因此
3 3 x13 x2 x3 13 3 1 2 3 x1 x2 x3 3 3
可以表成初等对称多项式的一些简单式的和.也就是 说，f(x1,x2,…,xn)可以表成初等对称多项式的一个多 项式 . 证毕 .
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实际上，还可以证明，定理中要找的n元多项
式 φ(y1,y2,…,yn) 是被对称多项式f(x1,x2,…,xn)唯一 确定的. 这个结果与定理15合在一起通常称为对称 多项式基本定理 .
取x1=x2=1, x3=-1，有 D 0, 1 1, 2 1, 3 1
代入有 0=1-a+4+c-27=-(a-c+22) ……………⑵ 由⑴， ⑵得 a=-4 ，c=18. 故得到
2 2 3 2 D 1 2 a 13 3 b 2 c 1 2 3 d 3 2 2 3 2 1 2 4 13 3 4 2 18 1 2 3 27 3
3 x1
，方幂对应的有序
数组为（3，0，0），而用
0 0 0 130 2 3 13
作对称多项式
3 3 3 3 2 2 x1 x2 x3 1 3 x1 x2 x2 x1 6 x1 x2 x3


它的首项 3 x12 x2 的方幂对应的有序数组为
是对称地依赖于文字x1,x2,…,xn的.
（ 4）
为了一般地引入对称多项式的概念，我们需 要把“对称”的意义弄清楚.
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定义11
n 元多项式f(x1,x2,…,xn) ，如果对于任意
的 i, j, 1≤i<j≤n ，都有 f(x1,…,xi,…,xj,…,xn)=f(x1,…,xj,…,xi,…,xn) 那么这个多项式称为对称多项式 . 例如
设x1,x2, x3为的三个复根，由对称多项式
D ( x1 x2 )2 ( x1 x3 )2 ( x2 x3 )2 4 2 知其首项为 x1 x2 2 2 ( 4 , 2 , 0 ) 故有 1 2
从而有
(4,1,1) a 3
3 1
(3,3,0) b
3 2
(3,2,1) c 1 2 3
f x1 , x2 , xn 1 , 2 n
证明 设对称多项式f(x1,x2,…,xn)的首项（按字典
排列法）为
ax x x ,
l1 1
l2 2
ln n
a0
（5）
这里我们指出，(5)式作为对称多项式的首项，必有 l1 l2 ln 0
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否则，设有
l i l i 1
由于f(x1,x2,…,xn)是对称的，所以f(x1,x2,…,xn)在包 含（5）的同时，必包含
ln l1 i ax1 xili1 xil x 1 n ,
这一项就应该先于（5），这与首项的要求不符 . 作对称多项式 l l l (6) 1 a 1l l 2 n 因为σ1,σ2,…,σn的首项分别是x1, x1x2,…, x1x2…xn ，
是（7）中某一对称多项式的首项，于是（5）要
（8） 适合条件（8）的n元数组(p1,p2,…,pn)只能有有限多
个，因而（7）也只能有有限多个对称多项式不为0， 即有正整数k使 fk=0 . 这就证明了 f(x1,x2,…,xn)= φ1+ φ2 +…+ φk
l1 p1 p2 pn 0
k n
的多项式 D(a1,a2,…,an) .
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由根与系数的关系知，x1,x2,…,xn是
f ( x)(9)
的根，我们称 D(a1,a2,…,an)为一元多项式(9)的有 重根解的判别式 .
结论：D(a1,a2,…,an)=0是方程(9)在复数域中有重
f1(x1,x2,…,xn)重复上面做法，并且继续作下去，我
们就得到一系列对称多项式
f , f1 f 1 , f 2 f1 2 ,
它们的首项一个比一个“小”，其中φi是 σ1,σ2,…,σn的多项式 .
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（7）
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设 先于它，就有
bx x x
p1 1
p2 2
pn n
2 2 2 2 f x1 , x2 , x3 x12 x2 x2 x1 x12 x3 x3 x1 x2 x3 x3 x2
就是一个三元对称多项式 .
当然，（4）中的 1 , 2 ,, n 都是 n元对称
多项式，它们称为初等对称多项式 .
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由对称多项式的定义可知，对称多项式和（加 法）、积（乘法）以及对称多项式的多项式还是对 称多项式 . 对称多项式的多项式还是对称多项式就是指， 如果f1,f2,…,fm是n元对称多项式，而g(y1,y2,…,ym)是
1 2 2 3 n
于是（6）展开后，首项为
ax
l1 l 2 1
x1 x 2
l2 l3
l l x1 x 2 x n ax1l x 2 xn ln
1 2
n
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这就是说，f(x1,x2,…,xn)与（6）有相同的首项，因
而，对称多项式
l2 l3 ln f1 x1 , x2 , xn f x1 , x 2 , x n a 1l1 l2 2 n f 1 比 f(x1,x2,…,xn)有较“小”的首项，对
取x1=x2=1, x3=-2，有 D 0, 1 0, 2 3, 3 2
代入有 0=108+4d，得 d=-27.
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取x1=x2=x3=1，有
D 0, 1 3, 2 3, 3 1
代入有 0=81+27a-108+9c-27=9(3a+c -6) ……⑴
于是
3 3 x13 x2 x3 13 3 1 2 3 3
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对x1,x2,…,xn，差积的平方 D ( xi x j ) 2
i j
是一个重要的对称多项式 . 按基本定理，D可以表示成为初等对称多项式， 即可以表示成为下面文字
a1 1 , a 2 2 ,a k 1 k ,, a n 1 n
根的充分必要条件.
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按上述方法，直接计算即得 x 2 a1 x a2 的判别式为
D ( x1 x 2 ) 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2
2 12 4 2 ( a1 ) 2 4a 2 a1 4a 2
即
而 的判别式为
应该看到，证明的过程实际上就是把一个对
称多项式具体表为初等对称多项式的多项式的过
程. 用这种方法我们就可以把任意一个对称多项
式表为初等对称多项式的多项式 .
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3 3 例 把三元多项式 x13 x2 表为 1 , 2 , 3 的多项 x3 式
解
3 3 x13 x2 x3 的首项为
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由此可以看出，系数是对称地依赖于方程的
根的. 换句话说，以下n个n元多项式
1 x1 x 2 x n x x x x x x 2 1 2 1 3 n 1 n .......... .......... .......... ...... n x1 x 2 x n
第十一节
对称多项式
对称多项式是多元多项式中常见的一种，本
节就来介绍关于对称多项式的基本事实. 对称多
项式的来源之一以及它的应用的一个重要方面，
是一元多项式根的研究. 因此我们从一元多项式
的根与系数的关系开始.
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设
n n1 f x x a1 x an
（ 1）
2 D a1 4a2
x a1 x a2 x a3
3 2 2 3 2 D a12 a2 4a2 4a13 a3 27a3 18a1a2 a3
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例
解
求下面一元三次多项式有重根的判别式 3 2 f ( x) x a1 x a2 x a3
用待定系数法
是P[x]中的一个多项式，如果f(x)在数域 P中有n
个根 α1, α2, …,αn，那么f(x)就可以分解成
f ( x) ( x 1 )( x 2 )( x n )
(2)
把（2）乘开，与（1）比较，即得根与系数的关系 如下
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根与系数的关系：