吉林省长春市九年级(上)期末数学试卷
吉林省长春市九年级(上)期末数学试卷
2022-2022学年吉林省长春市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知关于的一元二次方程22﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣2．数据1，2，3，3，5，5，5的中位数和众数分别是（）A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，33．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都均为环，方差分别为S甲2=，S乙2=，S丙2=，S丁2=，则四人中成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A．50°B．80°C．90°D．100°5．用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A． B． C． D．6．二次函数y=a2bc图象上部分点的坐标满足表格：…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的原点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）7．如果将抛物线y=22向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（﹣1）22 B．y=（1）22 C．y=21 D．y=238．如图，函数y=﹣与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．已知一元二次方程2m﹣2=0的两个实数根分别为1，2，则1•2=______．10．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB的弧长l=______．11．二次函数y=﹣2（﹣5）23的顶点坐标是______．12．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）13．如图，点A、B、C在一次函数y=﹣2m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1、1、2，分别过这些点作轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是______．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（﹣1）2（a、为常数）与轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为______．三、解答题（共10小题，满分78分）15．解方程：24﹣7=0．16．在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其它都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．17．为了了解我校开展的“养成好习惯，幸福一辈子”的活动情况，对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“对于这个活动你的态度是什么”共有4个选项：A．非常支持B．支持C．无所谓D．反感根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息解答下列问题：（1）计算本次调查的学生人数和图（2）选项C的圆心角度数；（2）请根据（1）中选项B的部分补充完整；（3）若我校有5000名学生，你估计我校可能有多少名学生持反感态度．18．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，长春市加快了廉租房的建设力度，2022年市政府共投资2亿元人民币建设路廉租房8万平方米，预计到2022年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同，试求出市政府投资的增长率．19．如图，已知AB是⊙O的直径，（g）之间的函数关系式；在图（2）中的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量y（g）与零售价（元）之间的函数关系为反比例函数关系，如图（3）所示，该经销商拟每日售出不低于64g该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计每日进货和销售的方案，使得日获得的利润（元）最大．24．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，动点E、F同时从顶点B出发，其中点E从点B向点A以每秒1个单位的速度运动，点F从点B出发沿B﹣C﹣A的路线向终点A 以每秒2个单位的速度运动，以EF为边向上（或向右）作等边三角形EFG，AH是△ABC 中BC边上的高，两点运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．（1）用含t的代数式表示线段CF的长；（2）求点G落在AC上时t的值；（3）求S关于t的函数关系式；（4）动点﹣2=0的两个实数根分别为1，2，则1•2=﹣2．【分析】根据一元二次方程a2bc=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为1，2，则12=﹣，1•2=即可得到答案．【解答】解：∵一元二次方程2m﹣2=0的两个实数根分别为1，2，∴1•2==﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程a2bc=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为1，2，则12=﹣，1•2=．10．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB的弧长l=．【分析】首先根据根据勾股定理求得该扇形的半径，然后根据弧长公式进行计算．【解答】解：如图，∵OA=OB=3，∠AOB=90°，∴弧AB的弧长l==．故答案是：．【点评】本题考查了弧长的计算．弧长的公式l是=．11．二次函数y=﹣2（﹣5）23的顶点坐标是（5，3）．【分析】因为顶点式y=a（﹣h）2，其顶点坐标是（h，），对照求二次函数y=﹣2（﹣5）23的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y=﹣2（﹣5）23是顶点式，∴顶点坐标为（5，3）．故答案为：（5，3）．【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．12．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为π．（结果保留π）【分析】先根据三角形内角和定理得出∠ABC∠ACB的度数，再由△OBD、△OCE是等腰三角形得出∠BDO∠CEO的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOD∠COD的度数，再根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC∠ACB=180°﹣60°=120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠BDO∠CEO=∠ABC∠ACB=120°，∴∠BOD∠COE=360°﹣（∠BDO∠CEO）﹣（∠ABC∠ACB）=360°﹣120°﹣120°=120°，∵BC=4，∴OB=OC=2，==π．∴S阴影故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件，要求同学们掌握扇形的面积公式．13．如图，点A、B、C在一次函数y=﹣2m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1、1、2，分别过这些点作轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是3．【分析】本题可以利用A、B、C以及直线与y轴交点这4个点的坐标来分别计算阴影部分的面积，可将m看做一个常量．【解答】解：如图所示，将A、B、C的横坐标代入到一次函数中；解得A（﹣1，m2），B（1，m﹣2），C（2，m﹣4）．由一次函数的性质可知，三个阴影部分三角形全等，底边长为2﹣1=1，高为（m﹣2）﹣（m ﹣4）=2，可求的阴影部分面积为：S=×1×2×3=3．所以应填：3．【点评】本题中阴影是由3个全等直角三角形组成，解题过程中只要计算其中任意一个即可．同时，还可把未知量m当成一个常量来看．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（﹣1）2（a、为常数）与轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为5．【分析】首先求出抛物线y=a（﹣1）2（a、为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D 均关于对称轴直线=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长．【解答】解：∵抛物线y=a（﹣1）2（a、为常数），∴对称轴为直线=1，∵点A和点B关于直线=1对称，且点A（﹣1，0），∴点B（3，0），∴OB=3，∵C点和D点关于=1对称，且点C（0，a），∴点D（2，a），∴CD=2，∴线段OB与线段CD的长度和为5，故答案为5．【点评】本题主要考查了抛物线与轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a（﹣1）2（a、为常数）的对称轴为=1，此题难度不大．三、解答题（共10小题，满分78分）15．解方程：24﹣7=0．【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：24﹣7=0，移项得，24=7，配方得，244=74，（2）2=11，解得2=±，即1=﹣2，2=﹣2﹣【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16．在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其它都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．【分析】依据题意画树状图法分析所有可能的出现结果即可解答．【解答】解：如图所示：（g）之间的函数关系式；在图（2）中的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量y（g）与零售价（元）之间的函数关系为反比例函数关系，如图（3）所示，该经销商拟每日售出不低于64g该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计每日进货和销售的方案，使得日获得的利润（元）最大．【分析】（1）（2）中要注意变量的不同的取值范围；（3）可根据图中给出的信息，用待定系数的方法来确定函数．然后根据函数的特点来判断所要求的值．【解答】解：（1）当批发量在20g到60g时，单价为5元/g当批发量大于60g时，单价为4元/g …（2）当20≤m≤60时，w=5m当m＞60时，w=4m……当240＜w≤300时，同样的资金可以批发到更多的水果．…（3）设反比例函数为则，=480，即反比列函数为∵y≥64，∴≤，∴=（﹣4）=480﹣∴当=时，利润最大为224元．【点评】主要考查分段函数、一次函数、二次函数的性质和应用，难点在于分段函数不熟．24．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，动点E、F同时从顶点B出发，其中点E从点B向点A以每秒1个单位的速度运动，点F从点B出发沿B﹣C﹣A的路线向终点A 以每秒2个单位的速度运动，以EF为边向上（或向右）作等边三角形EFG，AH是△ABC 中BC边上的高，两点运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．（1）用含t的代数式表示线段CF的长；（2）求点G落在AC上时t的值；（3）求S关于t的函数关系式；（4）动点EN，即可得出结果；③当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点EN=×（t）2﹣××（﹣2）2=t2t﹣3，即S=t2t﹣3；③当2＜t≤3时，如图3所示：S=t2t﹣3﹣（3t﹣6）2，即S=﹣t2t﹣；（4）∵AH=AB•sin60°=6×=3，∴3÷2=，∴3÷2=，∴t=时，点P与H重合，E与H重合，∴点P在△EFG内部时，﹣＜（t﹣）×2＜t﹣（2t﹣3）（2t﹣3），解得：＜t＜；即：点P在△EFG内部时t的取值范围为：＜t＜．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果。
吉林省长春市 九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（）A. 3x2−4x+2=0B. 3x2−4x−2=0C. 3x2+4x+2=0D. 3x2+4x−2=02.下列事件是必然事件的是（）A. 明天是晴天B. 购买一张彩票，中奖C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D. 任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形3.抛物线y=2x2-4x+l的对称轴是直线（）A. x=2B. x=1C. x=−12D. x=−14.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A. 点A在圆外B. 点A在圆上C. 点A在圆内D. 不能确定5.如图，AC∥BD，直线l1、l2与这两条平行线分别交于点A、B和点C、D，l1与l2交于点E，若AEBE=12，则CECD的值是（）A. 12B. 13C. 23D. 26.如图，有一斜坡AB，坡角∠B=30°，其水平长度BC为30米，则坡面AB的长为（）A. 15米B. 153米C. 203米D. 60米7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连结OC，P是半径OC上的一个动点，连结PD、PB，则么DPB的大小可能为（）A. 40∘B. 80∘C. ll0∘D. 130∘8.如图，点A在抛物线y=x2-2x+2上运动，过点A作AC上x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则BD的最小值为（）A. 12B. 1C. 2D. 2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．10.任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为______．11.已知三角形的三条中位线的长分别为5cm、6cm、10cm，则这个三角形的周长是______cm．12.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O、A、B都在格点上，则tan∠AOB的值为______．13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为150°，AB的长为30cm，BD的长为18cm，则扇面（阴影部分图形）的面积为______cm2（结果保留π）．14.2则b2a的值为．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）15.解方程：x2-8x-1=0．16.如图，一艘轮船在位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔120海里的A处．轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东64°方向上的B处．求轮船所在的B处与灯塔P的距离．（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin64°=0.90，cos64°=0.44，tan64°=2.05】17.有一个截面的边缘为抛物线的拱桥桥洞，桥洞壁离水面AB的最大高度是2米，水面宽度AB为4米．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线对应的函数表达式．（2）若水面下降1米，求水面宽度增加了多少米？四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）18.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字不同外其余均相同．小平从口袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小平两次摸出的小球上的数字之和为奇数的概率．19.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2016年投资2 000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2 420万元．求这两年投资的年平均增长率．20.如图，⊙O的直径AB=12，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，∠C=30°．（1）求∠BOD的度数．（2）求BD的长（结果保留π）．21.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．（3）点（x l，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1 ______ y2（填“＞”、“=”或“＜”）．22.探究：如图①，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点M．求证：EMAM=12．应用：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，点E、F分别为AB、BC 的中点，EF与BD相交于点M，连结AC．若ME=3，则AC的长为______．23.如图，∠MAN=30°，点C、B分别在射线AM、AN上，AB=6，∠ACB=30°．动点P从点A出发，沿射线AN以每秒3个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AN交射线AM于点Q，点E是线段AQ的中点，连结PE．设△PQE与△ABC重叠部分图形的面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒（t＞O）．（1）求PQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当点Q在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（3）当△PQE与△ABC重叠部分图形是一个面积为334的三角形时，求t的值．24.定义：对于给定的一个二次函数，其图象沿x轴翻折后，得到的图象所对应的二次函数称为原二次函数的横翻函数．（1）直接写出二次函数y=2x2的横翻函数的表达式．（2）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-3，1）、B（2，6）．①求b、c的值．②求二次函数y=x2+bx+c的横翻函数的顶点坐标．③若将二次函数y=x2+bx+c的图象位于A、B两点间的部分（含A、B两点）记为G，则当二次函数y=-x2-bx-c+m与G有且只有一个交点时，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：方程整理得：3x2-4x+2=0，故选：A．方程整理为一般形式即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．2.【答案】D【解析】解：A、明天是晴天，是随机事件，故此选项错误；B、购买一张彩票，中奖，属于不确定事件，故此选项错误；C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于不确定事件，故此选项错误；D、任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形，是必然事件，故此选项正确；故选：D．利用必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，分别判断即可得出答案．此题主要考查了随机事件与必然事件的概念，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．3.【答案】B【解析】解：∵y=2x2-4x+1=2（x2-2x+1）-2+1=2（x-1）2-1，∴抛物线y=2x2-4x+l的对称轴是直线x=1．故选：B．利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴．此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h；此题还考查了配方法求顶点式．4.【答案】C【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5.【答案】B【解析】解：∵AC∥BD，∴，∴，故选：B．根据平行线分线段成比例定理解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=30米，∴cosB=，∴AB===20（米）．故选：C．在Rt△ABC中，利用余弦函数的定义即可求出坡面AB的长．本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握余弦函数的定义是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：连接OB、OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，∴∠DCB=180°-130°=50°，由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°，∴∠DCB≤∠BPD≤∠DOB，即50°≤∠BPD≤100°，∴∠BPD可能为80°，故选：B．连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，根据圆周角定理求出∠DOB的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，进而可得答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故选：B．先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．9.【答案】-1【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=0，即：22-4（-m）=0，解得：m=-1，故选答案为-1．由于关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．10.【答案】13【解析】解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于4的情况有2种，掷得面朝上的点数大于4的概率是：=．故答案为：．根据掷得面朝上的点数大于4情况有2种，进而求出概率即可．此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．11.【答案】42【解析】解：∵三角形的三条中位线的长分别是5cm、6cm、10cm，∴三角形的三条边分别是10cm、12cm、20cm．∴这个三角形的周长=10+12+20=42cm．故答案是：42．根据三角形中位线定理可分别求得三角形各边的长，从而不难求得其周长．此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．12.【答案】1【解析】解：连接AC，可得OC=AC=，∵OA=，∴OA2=OC2+AC2，∴∠ACO=90°，在Rt△AOC中，tan∠AOB=1，故答案为：1连接AC，可得出三角形AOC为等腰直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可．此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．13.【答案】315π【解析】解：S=S扇形BAC -S扇形DAE==315π（cm2）．故答案是：315π贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积．本题考查了扇形面积的计算．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．14.【答案】-32【解析】解：∵x=1、x=2时的函数值都是-1相等，∴此函数图象的对称轴为直线x=-==，即=-．故答案为：-．由图表可知，x=1和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．15.【答案】解：x2-8x=1，x2-8x+16=17，（x-4）2=17，x-4=±17，所以x1=4+17，x2=4-17．【解析】利用配方法得到（x-4）2=17，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．16.【答案】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C．由题意可知，∠A=30°，∠B=64°，在Rt△APC中，∠ACP=90°，∠A=30°，AP=120，∴PC=12AP=12×120=60．在Rt△PBC中，∠BCP=90°，∠B=64°，sin B=PCPB，∴PB=PCsinB=60sin64∘=600.9≈66.7（海里）．答：轮船所在的B处与灯塔P的距离约为66.7海里．【解析】过点P作PC⊥AB于点C．根据直角三角形的性质可得PC=AP=×120=60，然后再利用三角函数可得PB=，进而可得答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数正弦定义，掌握直角三角形的性质．17.【答案】解：（1）设抛物线所对应的函数表达式为y=ax2，由题意，得点A的坐标为（2，-2）．∴4a=-2．解得：a=-12．∴抛物线所对应的函数表达式为y=-12x2．（2）当y=-3时，-12x2=-3．∴x=±6．∴水面宽度为6-（-6）=26，∴水面宽度将增加（26-4）米．【解析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y=ax2，将点A的坐标（2，-2）代入求得a 的值即可；（2）求出y=-3时x的值，即可得出水面的宽度，从而得出增加的水面宽度．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及将实际问题转化为二次函数问题求解的能力．18.【答案】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为奇数的有4种情况，∴摸出的两个小球上的数字之和为奇数的概率=49．【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球上的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：设这两年投资的年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2=2420，解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去），答：这两年投资的平均年增长率为10%．【解析】设这两年投资的年平均增长率为x，根据2016年投资2000万元，得出2017年投资2000（1+x）万元，2018年投资2000（1+x）2万元，而2018年投资2420万元．据此列方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程．20.【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°．∵∠C=30°，∴∠BOD=∠OAC+∠C=90°+30°=120°．（2）∵⊙O的直径为12，∴⊙O的半径为6．BD的长为120⋅π⋅6180=4π．【解析】（1）根据切线的性质进行解答即可；（2）根据切线的性质求出∠OAC=90°，求出∠AOD，∠BOD，根据弧长公式求出的长，即可得出答案．本题考查了切线的性质，弧长公式的应用，能根据弧长公式求出的长是解此题的关键．21.【答案】＜【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0），∴解得∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为（2）因为，该抛物线开口向下．顶点坐标为（3，）．（3）∵x1＞x2＞4，对称轴为x=3，a=-∴y1 ＜y2故答案为：＜．（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．（3）根据二次函数的性质求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．22.【答案】9【解析】探究：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EBM=∠ADM，∠BEM=∠DAM，∴△EBM∽△ADM，∴=．∵点E为BC的中点，∴EB=BC=AD，∴=，∴=．应用：解：∵AB∥CD，AB=2CD，点E为AB的中点，∴BE=AB=CD，∴四边形BCDE为平行四边形．又∵点F为BC的中点，∴=．∵ME=3，∴EF=ME+MF=3+=．∵点E、F分别为AB、BC的中点，∴EF为△BAC的中位线，∴AC=2EF=9．故答案为：9．探究：根据平行四边形的性质可得出AD∥BC、AD=BC，进而可得出△EBM∽△ADM，根据相似三角形的性质结合点E为BC的中点，即可得出==；应用：由AB∥CD、AB=2CD、点E为AB的中点，可得出四边形BCDE为平行四边形，利用探究的结论可得出=，进而可得出EF的值，再由点E、F 分别为AB、BC的中点，可得出EF为△BAC的中位线，利用三角形中位线的性质即可求出AC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（探究）利用相似三角形的性质求出=；（应用）利用探究的结论求出EF的长．23.【答案】解：（1）在Rt△APQ中，∠MAN=30°，AP=3t，∴PQ=AP•tan∠MAN=3t；（2）当0＜t≤2时，如图，∵点E是线段AQ的中点，S=12S△APQ=12×AP×PQ=12×3t×3t=334t2，当2＜t≤3时，如图2，∵∠MAN=30°，∠ACB=30°，∴∠CBP=60°，∵PQ⊥AN，点E是线段AQ的中点，∴EA=EP，∴∠EPA=∠A=30°，∴∠BGP=90°，由题意得，BP=3t-6，∴PG=32（3t-6），∴GH=3×32（3t-6）=32（3t-6），∴S△PGH=12×GP×GH=338（3t-6）2，∴S=334t2-338（3t-6）2=-2138t2+2732t-2732；（3）当0＜t≤2时，334t2=334，解得，t1=1，t2=-1（不合题意，舍去），当2＜t≤3时，△PQE与△ABC重叠部分图形是四边形．当3＜t≤6时，S=38（63-3t）2=338（6-t）2，则338（6-t）2=334，解得，t1=6-2，t2=6+2（不合题意，舍去）．综上，t=1或t=6-2．【解析】（1）根据正切的定义求出PQ；（2）分0＜t≤2和2＜t≤3两种情况，根据三角形的面积公式计算；（3）把面积代入（2）中求出的关系式，计算即可．本题考查的是三角形知识的综合运用，掌握直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．24.【答案】解：（1）由横翻函数的定义知，二次函数y=2x2的横翻函数的表达式是y=-2x2；（2）①∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-3，1）、B（2，6），∴9−3b+c=14+2b+c=6解得b=2c=−2∴b的值为2，c的值为-2．②∵二次函数y=x2+bx+c的表达式为y=x2+2x-2，∴它的横翻函数的表达式为y=-x2-2x+2∵y=-x2-2x+2=-（x+1）2+3，∴二次函数y=x2+bx+c的横翻函数的顶点坐标为（-1，3）．③点A（-3，1）代入二次函数y=-x2-2x+2+m，得-9+6+2+m=1，解得m=2；点B（2，6）代入二次函数y=-x2-2x+2+m，得-4-4+2+m=6，解得m=12；当顶点重合时，m=-6，则m满足的条件为m=-6，2＜m≤12．【解析】（1）关于x轴对称的点的坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）①将A、B两点的坐标代入函数解析式，借助于方程组爱的b、c的值；②利用二次函数解析式的三种形式间的转化方法，将其解析式转化为顶点式，可以直接得到答案；③分别求出点A（-3，1）、B（2，6）代入二次函数y=-x2-bx-c+m，求得m的值，进一步得到m满足的条件．本题考查了二次函数综合题，需要掌握抛物线和x轴的交点问题，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，二次函数三种形式的解析式，配方法的应用．解题的关键是掌握新定义的计算法则．。
吉林省长春市九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.化简（-3）2的结果是（）A. −3B. 3C. ±3D. 92.cos60°的值是（）A. 12B. 32C. 33D. 33.下列二次根式，最简二次根式是（）A. 8B. 12C. 5D. 274.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A. x2−2x=5B. x2+4x=5C. 2x2−4x=5D. 4x2+4x=55.一元二次方程4x2+1=3x的根的情况是（）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根6.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=23，则△ABC的边长为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）A. 45B. 43C. 34D. 358.若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. c>0B. b>0C. b2−4ac<0D. b=−2a二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：6×24=______10.计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°=______．11.如图所示，在平面直角坐标系中，∠BOC=150°，OC=2，则C点的坐标是______．12.要把一根1米长的铜丝截成两段，用它围成两个相似三角形，且相似比为25，那么截成的两段铜丝长度的差应是______．13.如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=______米．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a1(x−1)2+k1（a1＞0）与抛物线y=a2(x−2)2+k2（a2＜0）都经过y轴正半轴上的点A．过点A作x轴的平行线，分别与这两条抛物线交于B、C两点，以BC为边向下作等边△BCD，则△BCD的面积为______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）15.小明在解方程x2-2x-1=0时出现了错误，其解答过程如下：x2-2x=-1（第一步）x2-2x+1=-1+1（第二步）（x-1）2=0（第三步）x1=x2=1（第四步）（1）小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______；（2）请写出此题正确的解答过程．四、解答题（本大题共9小题，共71.0分）16.解方程：x2+4x=217.计算：3(12−3)−2•sin45°．18.如图是一副扑克牌的四张牌，将它们正面向下洗均匀，从中任意抽取两张牌，用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．19.如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．（1）在图中画出△DEF；（2）点E是否在直线OA上？为什么？（3）△OAB与△DEF______位似图形（填“是”或“不是”）20.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】21.小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．22.探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB=90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连结AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．求证：△ACD∽△CBE．应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC=BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是______．23.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（-1，0），抛物线y=ax2+bx-2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．24.定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．例：如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．（1）设三角形一边的中垂距为d（d≥0）．若d=0，则这样的三角形一定是______，推断的数学依据是______．（2）如图②，在△ABC中，∠B=45°，AB=32，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC的中垂距．（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC．求△ACF中边AF的中垂距．答案和解析1.【答案】B【解析】解：（-）2=3，故选：B．原式利用平方根定义计算即可得到结果．此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：cos60°=．故选：A．根据特殊角的三角函数值求解．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．3.【答案】C【解析】解：A、被开方数含开的尽的因数，故A不符合题意；B、被开方数含分母，故B不符合题意；C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：C．检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4.【答案】B【解析】解：用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是x2+4x=5，故选：B．利用完全平方公式判断即可．此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5.【答案】A【解析】解：原方程可变形为4x2-3x+1=0，∵△=（-3）2-4×4×1=-7＜0，∴一元二次方程4x2+1=3x没有实数根．故选：A．根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-7＜0，进而可得出原方程无实数根．本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：设△ABC的边长为x，∵△ABC是等边三角形，∴∠DCP=∠PBA=60°．∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠BAP+∠ABP，∠APD=60°，∴∠BAP=∠CPD．∴△ABP∽△CPD．∴=，∴=．∴x=3．即△ABC的边长为3．故选：A．根据题意可得：设△ABC的边长为x，易得：△ABP∽△PCD；故可得：=；即=，解得△ABC的边长为3．本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．7.【答案】C【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，则tan∠BAC==，故选：C．过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A 的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．8.【答案】D【解析】解：A、∵抛物线与y轴交点是负数，∴c＜0，故选项A错误；B、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵-＞0，∴b＜0，故B选项错误；C、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2-4ac＞0，故C选项错误；D、∵对称轴是x=1，∴-=1，即b=-2a，故D选项正确；故选：D．根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．9.【答案】12【解析】解：×=×2=12．故答案为：12．直接利用二次根式乘法运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．10.【答案】233【解析】解：sin30°•tan30°+cos60°•tan60°=×+×=．故答案为：．直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．11.【答案】（-3，1）【解析】解：过点C作CD垂直于x轴，∵∠BOC=150°，∴∠COD=30°，∵OC=2．∴CD=1，OD=，故C点的坐标为（-）．故答案为：（-）过点C作CD垂直于x轴，求出CD和OD，即可求出C点坐标．本题考查了坐标与图形性质，关键是根据第二象限坐标的横坐标为负，纵坐标为正的性质解答．12.【答案】37m【解析】解：设一段铁丝的长为x米，则另一端铁丝的长为1-x米，∵围成两个相似三角形，且相似比为，∴=，解得：x=，∴1-x=，故两段铁丝的差为：-=（m），故答案为：m．根据相似三角形的周长的比等于相似比进行计算即可．本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是能够了解相似三角形的对应边的比等于相似比，难度不大．13.【答案】3.42【解析】解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，∴AO∥NM，∴△ABO∽△NBM，∴，∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，∴BM=OB+OM=4+5=9（米），∴，解得：NM=3.42（米），∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．故答案为：3.42．首先根据题意易得△ABO∽△NAM，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．此题考查了相似三角形的应用．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意把实际问题转化为数学问题求解．14.【答案】3【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的对称轴为直线x=2，∴AB=2，AC=4，∴BC=AC-AB=2．∵△BCD为等边三角形，∴S△BCD=BC•BC=BC2=．故答案为：．根据两抛物线的对称轴分别为直线x=1及直线x=2，即可得出AB、AC的长度，进而可得出BC的长度，再根据等边三角形的性质结合三角形的面积即可得出△BCD的面积．本题考查了二次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形的面积，根据二次函数的性质找出AB、AC的长度是解题的关键．15.【答案】一不符合等式的性质1【解析】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1．故答案为一；不符合等式性质1；（1）x2-2x=1，x2-2x+1=2，（x-1）2=2，x-1=±，所以x1=1+，x2=1-．（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；（2）先把方程两边加上1，再把方程两边加上1，利用完全平方公式得到（x-1）2=2，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．16.【答案】解：将原方程化为一般式，得：x2+4x-2=0，因为b2-4ac=24，所以x=−4±242=-2±6；即x1=-2+6，x2=-2-6．【解析】先将原方程化为一般式，然后再用公式法进行求解．用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；②求出b2-4ac的值；③若b2-4ac≥0，则把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式x=，求出x1、x2；若b2-4ac＜0，则方程没有实数根．17.【答案】解：原式=36-3-2×22=6-3-1=2．【解析】本题涉及二次根式的乘法和特殊角的三角函数．首先计算二次根式的乘法，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的乘法公式、特殊角的三角函数值等考点的运算．18.【答案】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，牌面上的数字都是偶数的有2种情况，∴P（牌面上数字都是偶数）=212=16．【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与牌面上的数字都是偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】是【解析】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；（2）点E在直线OA上，理由：设直线OA的解析式为：y=kx，将A（3，2）代入得：2=3k，解得：k=，故直线OA的解析式为：y=x，当x=6时，y=×6=4，故点E在直线OA上；（3））△OAB与△DEF是位似图形．故答案为：是．（1）根据题意将各点坐标扩大2倍得出答案；（2）求出直线OA的解析式，进而判断E点是否在直线上；（3）利用位似图形的定义得出△OAB与△DEF的关系．此题主要考查了位似变换以及待定系数法求正比例函数解析式，正确把握位似图形的定义是解题关键．20.【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴DB=x，在Rt△ADC中，∠ACD=35°，∴tan∠ACD=ADCD，∴xx+100=710，解得，x≈233．答：热气球离地面的高度约为233米．【解析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．21.【答案】解：小明的发现正确，如x2+x-2=0，a=1，c=-2，解方程得：x1=2，x2=-1，若a，c异号，则△=b2-4ac＞0，故这个方程一定有两个不相等的实数根．【解析】根据判别式的值、根与系数的关系即可证明．本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．22.【答案】2103【解析】探究：证明：∵l1∥l3，CD⊥l1，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=90°，∴∠DAC=∠ECB，∴△ACD∽△CBE；应用：在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=CE=1，CD=BE=2，∵∠ADC=CEB=90°，∴AC=BC==，∵∠ACB=90°，∴AB=，∵l1∥l2∥l3，∴，∴AF=．故答案为：．探究：根据已知条件得到∠ADC=∠CEB=90°，于是得到∠ACD+∠DAC=90°，由于∠ACB=90°，于是得到∠ACD+∠ECB=90°，根据余角的性质得到∠DAC=∠ECB，即可得到结论；应用：通过△ACD≌△BCE，得到AD=CE=1，CD=BE=2，根据勾股定理得到AC=BC==，AB=，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各定理是解题的关键．23.【答案】解：（1）令y=-12x+2=0，解得：x=4，y=0，则x=2，即：点A坐标为：（4，0），B点坐标为：（0，2）；（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，解得：b=-32，c=-2，故：二次函数表达式为：y=12x2-32x-2；（3）设点M（m，-12m+2），则Q（m，12m2-32m-2），以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，则：|MQ|=±（12m2-m-4）=BD=4，当12m2-m-4=4，解得：m=1±17；当12m2-m-4=-4，解得：m=2，m=0（舍去）；故：m=2或1+17或1-17．【解析】（1）令y=-x+2=0，解得：x=4，即可求解；（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；（3）以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|=BD即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24.【答案】等腰三角形线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等．【解析】解：（1）三角形一边的中垂距为d（d≥0）．若d=0，则这样的三角形一定是等腰三角形，推断的数学依据是线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等．故答案为等腰三角形，线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等．（2）如图②中，作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，AB=3，∴AE=BE=3，∵AD为BC边中线，BC=8，∴BD=DC=4，∴DE=BD-BE=4-3=1，∴边BC的中垂距为1．（3）如图③中，作CH⊥AF于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°，AD∥BF，∵DE=EC，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴AE=EF，在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=3，∴AE==5，∵∠D=EHC，∠AED=∠CEH，∴△ADE∽△CHE，∴=，∴=，∴EH=，∴△ACF中边AF的中垂距为．（1）根据线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）如图②中，作AE⊥BC于E．根据中垂距的定义求出DE即可；（3）如图③中，作CH⊥AF于H．根据中垂距的定义求出EH即可；本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
吉林省长春市九年级(上)期末数学试卷1
．
16. 一个不透明的口袋中，装有 5 个红球，2 个黄球，1 个白球，这些球除颜色外完全
相同，从口袋中随机摸一个球，则摸到红球的概率是
．
17. 抛物线 y=x2﹣2x+3 的顶点坐标是
．
18. 如图，EF 为△ABC 的中位线，△AEF 的周长为 6cm，则△ABC
的周长为
cm．
19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E 分别是 AB，AC 的
（）
A. (−3,0)
B. (−1,6)
C. (−3,−6)
D. (−1,0)
8. 若关于 x 的一元二次方程 kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围
是（ ）
A. k>−1
B. k>−1 且 k≠0 C. k<−1
D. k<−1 或 k=0
9. 将抛物线 y=-x2 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
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答案和解析 1.【答案】D
【解析】
解：由题意，得 2x+4≥0， 解得 x≥-2， 故选：D． 根据被开方数是非负数，可得答案． 本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解 题关键．
2.【答案】B
【解析】
解：A、被开方数含分母，故 A 不符合题意； B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．，故 B 符合题 意； C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 C 符不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 D 不符合题意； 故选：B． 检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式， 否则就不是． 本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数 不 含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
长春市数学九年级上册期末试卷解析版
长春市数学九年级上册期末试卷解析版一、选择题1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）A ．2B ．3C ．218D ．2472．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ） A ．213y y << B ．123y y << C ．213y y << D ．213y y << 3．方程 x 2＝4的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－4 4．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ）A ．265cm πB ．290cm πC ．2130cm πD ．2155cm π5．如图，已知O 的内接正方形边长为2，则O 的半径是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．22 6．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定7．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．8．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断9．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ） A ．摸出黑球的可能性最小B ．不可能摸出白球C ．一定能摸出红球D ．摸出红球的可能性最大10．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．如图，如果从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm13．cos60︒的值等于（ ） A ．12B ．22C ．3 D ．3 14．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．1915．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．110°二、填空题16．将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．17．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为23，则袋中应再添加红球____个（以上球除颜色外其他都相同）． 18．若线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为_____cm.（结果保留根号）19．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________________________．20．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA 的值为________．21．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．22．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.23．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ． 24．已知3a ＝4b ≠0，那么ab＝_____．25．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ． 26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为__________．27．如图，圆形纸片⊙O 半径为 52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．28．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，29．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=110°，则∠BOD 等于________°.30．若二次函数24y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________三、解答题31．画图并回答问题：（1）在网格图中，画出函数2y x x 2=--与1y x =+的图像； （2）直接写出不等式221x x x -->+的解集.32．已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系． 33．如图，已知二次函数2223(0)y x mx m m =-++>的图象与x 轴交于,A B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D .（1）点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；（用含有m 的代数式表示） （2）连接,CD BC .①若CB 平分OCD ∠，求二次函数的表达式； ②连接AC ，若CB 平分ACD ∠，求二次函数的表达式.34．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2 的图象与x 轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时y﹤0 ?（2）点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．四、压轴题36．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？37．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．38．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣3），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．39．如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD，E是O上一点，CE CA，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.（1）①依题意补全图形.②求证：∠OFC=∠ODC．（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长.40．已知抛物线y＝﹣14x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据折叠得出∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ，设BD ＝x ，AD ＝DF ＝5﹣x ，求出∠DFB ＝∠FEC ，证△DBF ∽△FCE ，进而利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝5， ∵沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上， ∴△ADE ≌△FDE ，∴∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ， 设BD ＝x ，AD ＝DF ＝5﹣x ，CE ＝y ，AE ＝5﹣y ， ∵BF ＝2，BC ＝5， ∴CF ＝3，∵∠C ＝60°，∠DFE ＝60°，∴∠EFC +∠FEC ＝120°，∠DFB +∠EFC ＝120°， ∴∠DFB ＝∠FEC ， ∵∠C ＝∠B ， ∴△DBF ∽△FCE ， ∴BD BF DFFC CE EF==， 即2535x x y y-==-， 解得：x ＝218， 即BD ＝218， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.2．A解析：A 【解析】 【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较. 【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2, 当x=1时，y 2= -4+3= -1, ∴213y y <<.【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.3．C解析：C 【解析】 【分析】两边开方得到x=±2． 【详解】 解：∵x 2=4， ∴x=±2， ∴x 1=2，x 2=-2． 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax 2+c=0（a≠0）的方程可变形为2=cx a-，当a 、c 异号时，可利用直接开平方法求解． 4．B解析：B 【解析】 【分析】先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案. 【详解】解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积=2265590cm πππ+⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.5．C解析：C 【解析】 【分析】如图，连接BD ，根据圆周角定理可得BD 为⊙O 的直径，利用勾股定理求出BD 的长，进而可得⊙O 的半径的长. 【详解】 如图，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，边长为2， ∴BC=CD=2，∠BCD=90°，∴BD=2222+=22，∵正方形ABCD是⊙O的内接四边形，∴BD是⊙O的直径，∴⊙O的半径是1222⨯=2，故选：C.【点睛】本题考查正方形的性质、圆周角定理及勾股定理，根据圆周角定理得出BD是直径是解题关键.6．C解析：C【解析】【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a的值为﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.7．B解析：B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC2、210只有选项B的各边为125B．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.8．B解析：B【解析】【分析】根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．【详解】∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵圆心O到直线l的距离是2，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d＝r时，直线和圆相切，当d＞r时，直线和圆相离，当d＜r时，直线和圆相交．9．D解析：D【解析】【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，∴摸出黑球的概率是2 23，摸出白球的概率是1 23，摸出红球的概率是20 23，∵123＜223＜2023，∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；故选：D．【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．10．C解析：C【解析】【分析】x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b ，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误；由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a ＞0，所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限，所以，A 选项错误，C 选项正确．故选C ．11．B解析：B【解析】【分析】先把这组数据按顺序排列：4，6，6，6，8，9，12，13，根据中位数的定义可知：这组数据的中位数是6，8的平均数．【详解】∵一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，∴这组数据的中位数是()6821427+÷÷==，故选：B ．【点睛】本题考查中位数的计算，解题的关键是熟练掌握中位数的求解方法：先将数据按大小顺序排列，当数据个数为奇数时，最中间的那个数据是中位数，当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数．12．B解析：B【解析】【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.【详解】解：∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度=360°×23=240°， ∴留下的扇形的弧长=24061880ππ⨯=，∴圆锥的底面半径248r ππ==cm ； 故选：B.【点睛】 此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．A解析：A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．【详解】解：cos60°=12. 故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值. 14．B解析：B【解析】【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．【详解】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，设OB ＝a ，则OA ＝2a ，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()22142a a ππ=． 故选：B ．【点睛】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．15．C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠D=100°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题16．y=x2+2【解析】分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．详解析：y=x2+2【解析】分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为y=x2+2．点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．3【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案．【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：，解得：x=3，经检验，x=3是原分解析：3【解析】【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：12123xx+=++，解此分式方程即可求得答案．【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：12123xx+=++，解得：x=3，经检验，x=3是原分式方程的解．故答案为：3．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．或【解析】【分析】根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC可能为较长线段，也可能为较短线段.【详解】解：AB=10cm，C是黄金分割点，当AC>BC时,则有解析：5或1555【解析】【分析】根据黄金分割比为12计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC 可能为较长线段，也可能为较短线段.【详解】解：AB=10cm ，C 是黄金分割点，当AC>BC 时,则有AC=12AB=12×10=5， 当AC<BC 时,则有×10=5-，∴AC=AB-BC=10-(5 ）=15-，∴AC 长为5 cm 或1555 cm. 故答案为：55 或1555【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．19．50（1﹣x ）2=32．【解析】由题意可得，50(1−x)²=32，故答案为50(1−x)²=32.解析：50（1﹣x ）2=32．【解析】由题意可得，50(1−x)²=32，故答案为50(1−x)²=32.20．【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=，AB=，∴sinA=.【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，，∴sinA=5BD AB ==.21．25%【解析】【分析】设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x ，，解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合解析：25%【解析】【分析】设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程280(1)45x ，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x ， 280(1)45x ，解得：x 1=0.25=25%，x 2=1.75（不合题意舍去）故答案为：25%.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1 x ）2=后量，即可解答此类问题.22．（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）． 解析：（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）．23．4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=解析：4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=0.4．故答案为：0.4．24．．【解析】【分析】根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．【详解】解：两边都除以3b，得＝，故答案为：．【点睛】此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此 解析：43． 【解析】【分析】 根据等式的基本性质将等式两边都除以3b ，即可求出结论．【详解】解：两边都除以3b ，得a b ＝43， 故答案为：43． 【点睛】此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此题的关键． 25．m≤且m≠1．【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥且m≠1.解析：m≤54且m≠1． 【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=240b ac -≥即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥34，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥34且m≠1. 26．【解析】 【分析】先在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ，即可解答．【详解】解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，解析：2【分析】先在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=12DE=2，∵14CFCP=，14CPCB=∴CF CP CP CB=又∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴14 PF CFPB CP==∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=22221145622 CF AC⎛⎫+=+=⎪⎝⎭∴PA+14PB ≥.145∴PA+14PB的最小值为1452，故答案为1452．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．【解析】【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.【详解】解：如解析：16【解析】【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB ，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.【详解】解：如图，点A 为上面小正方形边的中点，点B 为小正方形与圆的交点，D 为小正方形和大正方形重合边的中点，由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD 为等腰直角三角形，∵⊙O 半径为 52，根据垂径定理得：∴OD=CD=522=5， 设小正方形的边长为x ，则AB=12x ， 则在直角△OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2，即()()22215=522x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 解得x=2，∴四个小正方形的面积和=242=16⨯.故答案为：16.本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．28．∠ACP=∠B（或）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解析：∠ACP=∠B（或AP ACAC AB=）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB，∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；当AP ACAC AB=时，△ACP∽△ABC．故答案为：∠ACP=∠B（或AP ACAC AB=）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．29．140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．解析：140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．30．【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图解析：18b -<<【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解．【详解】解：设y=x 2-4x 与x 轴的另外一个交点为B ，令y=0，则x=0或4，过点B （4，0）， 由函数的对称轴，二次函数y=x 2-4x 翻折后的表达式为：y=-x 2+4x ，当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线n 过点B （4，0）与新图象有三个交点， 当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，当直线处于直线m 的位置：联立y=-2x+b 与y=x 2-4x 并整理：x 2-2x-b=0，则△=4+4b=0，解得：b=-1；当直线过点B 时，将点B 的坐标代入直线表达式得：0=-8+b ，解得：b=8，故-1＜b ＜8；故答案为：-1＜b ＜8．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与x 轴交点、几何变换、一次函数基本知识等内容，本题的关键是确定点A 、B 两个临界点，进而求解．三、解答题31．（1）画图见解析；（2）x<-1或x>3【解析】【分析】（1）根据二次函数与一次函数图象的性质即可作图,（2）观察图像,找到抛物线在直线上方的图象即可解题.【详解】（1）画图（2）221x x x -->+在图象中代表着抛物线在直线上方的图象∴解集是x ＜-1或x ＞3【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．32．（1）见解析；（2） ①当n ＝－3时，a ＝b ；②当－3＜n ＜－1时，a ＞b ；③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b【解析】【分析】（1）方法一：当y=0时，（x-m ）（x-m-4）=0，解得x 1=m ，x 2=-m-4，即可得到结论；方法二：化简得y ＝x 2＋4x －m 2－4m ，令y ＝0，可得b 2－4ac ≥0，即可证明；（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a 与b 的大小.【详解】（1）方法一：令y ＝0，(x －m )(x ＋m ＋4)=0，解得x 1＝m ；x 2＝－m －4．当m ＝－m －4，即m ＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x 轴有一个公共点；当m ≠－m －4，即m ≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x 轴有两个公共点．综上不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．方法二：化简得y ＝x 2＋4x －m 2－4m ．令y ＝0，b 2－4ac ＝4m 2＋16m ＋16＝4(m ＋2)2≥0，方程有两个实数根．∴不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x ＝－2①当n ＝－3时，a ＝b ；②当－3＜n ＜－1时，a ＞b③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b【点睛】本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，并且注意分情况讨论.33．（1）(3,0)m ，2(,4)m m ；（2）①21y x =-+，②295y x x =-++ 【解析】【分析】（1）令y =0，解关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进而可得点B 的坐标；把抛物线的解析式转化为顶点式，即可得出点D 的坐标；（2）①如图1，过点D 作DH AB ⊥，交BC 于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，则易得点C 的坐标与CF 的长，利用BH 的长和∠B 的正切可求出HE 的长，进而可得DE 的长，由题意和平行线的性质易推得CD DE =，然后可得关于m 的方程，解方程即可求出m 的值，进而可得答案；（3）如图2，过点B 作BK ∥y 轴，过点C 作CK ∥x 轴交BK 于点K ，交DH 于点G ，连接AE ，利用锐角三角函数、抛物线的对称性和等腰三角形的性质可推出1234∠=∠=∠=∠，进而可得AC AE =，然后利用勾股定理可得关于m 的方程，解方程即可求出m ，问题即得解决.【详解】解：（1）令y =0，则22302x mx m -+=+，解得：123,x m x m ==-，∴点B 的坐标为(3,0)m ；∵()2222243y x mx m x m m =-+-++=-，∴点D 的坐标为2(,4)m m ；故答案为：(3,0)m ，2(,4)m m ；（2）①如图1，过点D 作DH AB ⊥于点H ，交BC 于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，则2(0,3)C m ，(,0)A m -，DF=m ，CF =22243m m m -=，∵BC 平分OCD ∠，∴∠BCO =∠BCD ，∵DH ∥OC ，∴∠BCO =∠DEC ，∴∠BCD =∠DEC ， ∴CD DE =，∵23tan 3OC m ABC m OB m∠===，BH =2m ， ∴22HE m =，∴222422DE DH HE m m m =-=-=，∵CD DE =，∴22CD DE =，∴2444m m m +=，解得：3m =（3m =-舍去）， ∴二次函数的关系式为：22313y x x =-++；②如图2，过点B 作BK ∥y 轴，过点C 作CK ∥x 轴交BK 于点K ，交DH 于点G ，连接AE ，∵223tan 1,tan 23DG m BK m m m CG m CK m∠===∠===， ∴tan 1tan 2∠=∠，∴12∠=∠，∵EA=EB ，∴∠3=∠4，又∵23∠∠=，∴1234∠=∠=∠=∠，∵12DCB ∠=∠+∠，34AEC ∠=∠+∠，∴DCB AEC ACE ∠=∠=∠，∴AC AE =，∴2222AC AE EH AH ==+，即2442944m m m m +=+，解得：15m =（15m =-舍去）， ∴二次函数的关系式为：2215955y x x =-++.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线图象上点的坐标特征、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质、勾股定理、锐角三角函数和一元二次方程的解法等知识，综合性强、难度较大，正确作出辅助线、利用勾股定理构建方程、熟练掌握上述知识是解答的关键.34．（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q【解析】【分析】（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩。
吉林省长春市九年级上学期数学期末考试试卷
吉林省长春市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）如果4张扑克按如图9—1所示的形式摆放在桌面上, 将其中一张旋转180o后, 扑克的放置情况如图9—2所示, 那么旋转的扑克从左起是图9-1 图9-2A . 第一张B . 第二张C . 第三张D . 第四张2. （2分）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A . 手可摘星辰B . 锄禾日当午C . 大漠孤烟直D . 黄河入海流3. （2分）在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（）A . 点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称B . 点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称C . 点A与点C（4，﹣3）关于原点对称D . 点A与点F（﹣4，3）关于第二象限的平分线对称4. （2分）如图，若△ACD∽△ABC ，以下4个等式错误的是（）.A .B .C . CD2=AD•DBD . AC2=AD•AB5. （2分）如图，△ABC中，D，E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM 交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A . 3：2：1B . 5：3：1C . 25：12：5D . 51：24：106. （2分）(2020·江西模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF 并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E的度数为（）A . 45°B . 50°C . 55°D . 60°7. （2分） (2016九上·栖霞期末) 已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+3上的两点，则y1 ， y2的大小关系为（）A . y1＞y2B . y1＜y2C . y1≥y2D . y1≤y8. （2分） (2019九上·滦南期中) 若x=-1是关于x的一元二次方程ax2-bx-2018=0的一个解，则1+a+b的值是（）A . 2016B . 2017C . 2018D . 20199. （2分）(2017·临沂) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（）A . 6B . 10C . 2D . 210. （2分）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分）已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）12. （1分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是________.13. （1分）(2017·绥化) 一个扇形的半径为3cm，弧长为2πcm，则此扇形的面积为________ cm2（用含π的式子表示）14. （1分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足a+c=b，则此方程必有一根为________．15. （2分） (2020九上·长春月考) 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为________．16. （1分） (2018九上·新乡期末) ⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是________．三、解答题 (共9题；共86分)17. （5分） (2020八上·张掖月考) 求下列各式中x的值（1） 25 -64=0；（2） +27=0.18. （10分） (2019九上·宝坻月考) 已知二次函数y=﹣ x2+x+4.（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴.（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y有最大值还是最小值？是多少？19. （6分）(2018·柳北模拟) 在一个不透明的袋里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个小球，除所有数字不同外，小球没有其他分别，每次试验前先搅拌均匀．（1）若从中任取一球，球上的数字为奇数的概率为多少？（2）若从中任取一球不放回，再从中任取1球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．20. （10分）(2020·哈尔滨模拟) 已知平行四边形ABCD，连接AF、CE。
吉林省长春市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)
试卷第1页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………吉林省长春市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．2110x x +-= B ．23154+=+x x C ．20ax bx c ++= D ．2210m m -+=2．下列说法正确的是（ ） A ．“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件 B ．“汽车累积行驶10000km ，出现一次故障”是随机事件C ．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D ．若两组数据的平均数相同，则方差大的更稳定 3．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．89B ．27C ．23D ．184．如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ''的位置，已知AO 的长为5米．若栏杆的旋转角AOA α'∠=，则栏杆A 端升高的高度为（ ）A ．5sin α米 B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5cos α米试卷第2页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A ．∠C ＝∠AEDB ．∠B ＝∠DC ．AB BCAD DE= D ．AB ACAD AE= 6．已知二次函数()22=++-y ax x a a 的图象经过原点，则a 的值为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定7．由二次函数23(4)2=-+-y x 可知（ ） A ．其图象的开口向上B ．其顶点坐标为(4,2)C ．其图象的对称轴为直线4x =-D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大8．如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，2,24BD AD BC ==，则DE 的长为（ ）A ．6B ．16C ．8D ．12第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题91x -x 的取值范围是__． 10．若32x y x +=，则2=yx_________． 11．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且54OE EA =，则FGBC=________．试卷第3页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为______________．13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加______m.14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在y 轴的负半轴上，点C 在x 轴的负半轴上，抛物线()()230y a x c a =++>的顶点为E ，且经过点A 、B ，若△ABE 为等腰直角三角形，则a 的值是________．评卷人 得分三、解答题15．计算：（121262(13) （2()22452cos301tan 60--︒︒︒试卷第4页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16．如图，小明为了测量学校旗杆CD 的高度，在地面离旗杆底部C 处22米的A 处放置高度为1.8米的测角仪AB ，测得旗杆顶端D 的仰角为32︒．求旗杆的高度CD ．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin320.53,cos320.85,tan320.62︒=︒=︒=）17．现有A 、B 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球．小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A ，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则小林获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平，如果不公平，谁获胜的机会大．18．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店购进了一批口罩，二月份销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）如果继续按照相同的增长率增长，那么五月份的销售量会达到多少袋口罩？ 19．图①、图②、图③均是54⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 、D 均在格点上在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）如图①，BECE=________． （2）如图②，在BC 上找一点F ，使2BF =．（3）如图③，在AC 上找一点M ，连结BM 、DM ，使ABM CDM ∽． 20．如图，Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥于点D ．试卷第5页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求证：2AC AB AD =⋅；（2）如果5,6==BD AC ，求CD 的长．21．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．22．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图：在ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点， AD 、CE 相交于点G ．求证：13GE GD CE AD ==． 证明：连接ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．（结论应用）如图②，在ABC 中，D 、F 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CF 相交于点G ，GE ∥AC 交BC 于点E ，GH ∥AB 交BC 于点H ，则EGH 与ABC 的面积的比值为_________．试卷第6页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动．当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD AC ⊥于点D 、以AP ，AD 为边作APED ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）线段AD 的长为______．（用含t 的代数式表示）． （2）当点E 落在BC 边上时，求t 的值． （3）连结BE ，当1tan 4CBE ∠=时，求t 的值． （4）若线段PE 的中点为Q ，当点Q 落在ABC 一边垂直平分线上时，直接写出t 的值． 24．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(,23)-+m m ，过点A 作y 轴的平行线交二次函数2yx 的图象于点B ．（1）点B 的纵坐标为________（用含m 的代数式表示）； （2）当点A 落在二次函数2yx 的图象上时，求m 的值；（3）当0m <时，若2AB =．求m 的值；（4）当线段AB 的长度随m 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．答案第1页，共18页参考答案1．D 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A 、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 2．B 【分析】根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A 、“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误； B 、汽车累积行驶10000km ，出现一次故障”是随机事件，故本选项正确；C 、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D 、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项错误； 故选：B ． 【点睛】此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键． 3．B 【分析】将选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同可得出答案． 【详解】 解：A答案第2页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………B 、2733=，与3的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合；C 、2633=，与3的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； D 、1832=，与3的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； 故选B ． 【点睛】此题考查同类二次根式的概念，属于基础题，注意掌握同类二次根式是指：二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 4．C 【分析】过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，由题意可知：A ′O =AO =5， ∴sinα=A CA O''， ∴A ′C =5sinα， 故选：C ． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 5．C 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：∵∠1＝∠2 ∴∠DAE ＝∠BAC答案第3页，共18页∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 6．C 【分析】把原点的坐标代入函数解析式可得：()20,a a -=解方程可得a 值，再由二次函数的定义可得2a ≠，从而可得答案． 【详解】解： ()22=++-y ax x a a 的图象经过原点，把0,0x y ==代入函数解析式可得：()20,a a ∴-=0a ∴=或20,a -= 0a ∴=或2,a =又由二次函数()22=++-y ax x a a 可得：0,a ≠2.a ∴=故选：.C 【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 7．C 【分析】根据函数解析式可以确定函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标和函数的增减性． 【详解】答案第4页，共18页解：∵二次函数y =-3（x +4）2-2，∴图象开口向下，对称轴为直线x =-4，顶点是（-4，-2）， 当x ＞3时，y 随x 的增大而减小， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是对函数性质的应用． 8．C 【分析】由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ，从而AD DEAB BC=，代入计算即可． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD DEAB BC=， ∵BD =2AD ，BC =24， ∴24AD DEAD BD =+，∴12324AD DEAD AD ==+，∴DE =8， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，似三角形的性质解决问题． 9．1x ． 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再列不等式，从而可得答案. 【详解】则10x -， 解得：1x ．答案第5页，共18页故答案为：1x ． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列不等式. 10．14【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x ，y 之间的关系进而得出答案． 【详解】 解：∵32x y x +=， ∴2x +2y =3x ， 故2y =x ， 则12224y y x y ==⨯， 故答案为：14．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键． 11．59【分析】利用位似的性质得到FG OF OEBC OB OA==，然后根据比例的性质求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ， ∴FG OF OEBC OB OA==， ∵54OE EA =， ∴55549FG BC ==+， 故答案为：59．【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．答案第6页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12．（35-2x ）（20-x ）=660 【分析】若设小道的宽为x 米，则阴影部分可合成长为（35-2x ）米，宽为（20-x ）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解 【详解】解：依题意，得：（35-2x ）（20-x ）=660． 故答案为：（35-2x ）（20-x ）=660． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．42-4 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把2y =-代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为()0,2.通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标()2,0.- 代入到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，答案第7页，共18页当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出： 220.52x -=-+，解得：x =± 所以水面宽度增加到 4. 故答案是： 4. 【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 14．13【分析】过E 作EF ⊥x 轴于F ，交AB 于D ，求出E 、A 的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线()()230y a x c a =++>的顶点为E ，且经过点A 、B ， ∴抛物线的对称轴是直线3x =-，且A 、B 关于直线3x =-对称， 过E 作EF ⊥x 轴于F ，交AB 于D ， ∵△ABE 为等腰直角三角形， ∴AD=BD=3，∴AB=6，DE=12AB=3， ∵四边形OABC 是正方形， ∴OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9， ∴A(0，-6)，E(-3，-9)，把A 、E 的坐标代入()23y a x c =++得：969a c c +=-⎧⎨=-⎩，解得：139a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故答案为：13．答案第8页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，等腰直角三角形以及正方形的性质，准确求出A 、E 的坐标是解题关键． 15．（1）43（2）0 【分析】（1）先化简二次根式，计算除法，将括号展开，再合并即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法并化简，最后合并． 【详解】解：（121262(13) =2331323+-=43；（2()22452cos301tan 60--︒︒︒()2232213--=1313=1331 =0 【点睛】本题考查的是实数的运算，掌握二次根式的混合运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键． 16．15.4米 【分析】根据BE ⊥CD 于E ，利用正切的概念求出ED 的长，结合图形计算即可．答案第9页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】解：由题意得，BE ⊥CD 于E ， BE =AC =22米，∠DBE =32°，在Rt △DBE 中，DE =BE •tan ∠DBE =22×0.62≈13.64（米）， CD =CE +DE =1.8+13.64≈15.4（米）， 答：旗杆的高CD 约为15.4米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 17．不公平，小林获胜的机会大 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的结果数和颜色相同和不同的结果数，然后根据概率公式求出各自的概率，再进行比较即可得出这个游戏是否公平． 【详解】 解：列表如下：由上表或可知，一共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种．∴P （颜色相同）=49，P （颜色不同）=59，∵49＜59，∴这个游戏规则对双方不公平，小林获胜的机会大． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．答案第10页，共18页18．（1）25%；（2）500袋 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x ，根据二月份及四月份的月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）五月份数量=四月份数量×（1+增长率），据此列式计算． 【详解】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x ， 依题意，得：256（1+x ）2=400，解得：x 1=0.25=25%，x 2=-2.25（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%． （2）400（1+25%）=500（袋）， 答：五月份的销售量会达到500袋口罩． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题的等量关系． 19．（1）12；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）证明△AEB ∽△DEC ，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F ； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ， ∴△AEB ∽△DEC ， ∴BE ABCE CD=， ∵AB =1，CD =2， ∴12BE CE =， 故答案为：12；（2）如图②，点F 即为所求；答案第11页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）如图③，点M 即为所求．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）5【分析】（1）证明Rt △ACD ∽Rt △ABC ，然后利用相似比可得到结论；（2）由AC 2=AB •AD 得到62=（AD +5）•AD ，则可求出AD =4，同理证明△ACD ∽△CBD ，得到AD CDCD BD=，即可求出CD 的长． 【详解】解：（1）证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠ADC =90°， ∵∠DAC =∠CAB ， ∴Rt △ACD ∽Rt △ABC ， ∴AC AD CDAB AC BC==， ∴AC 2=AB •AD ； （2）∵AC 2=AB •AD ， ∴62=（AD +5）•AD ，答案第12页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………整理得AD 2+5AD -36=0， 解得AD =-9（舍去）或AD =4， 同理可证：△ACD ∽△CBD ， ∴AD CDCD BD=， 即CD 2=AD •BD ， ∴CD =45⨯=25． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算．21．（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【详解】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根 22．（1）见解析；（2）19【分析】（1）连接DE ，如图①，先利用三角形中位线的性质得到DE ∥AC ，DE =12AC ，则证明答案第13页，共18页△DEG ∽△ACG ，利用相似三角形的性质得12EG DG DE CG AG AC ===，然后利用比例的性质得到结论；（2）由（1）得13DG DA =，再证明△DEG ∽△DCA ，利用相似比得到13DE DG DC DA ==，利用相似三角形的性质得到19DEGACDS S =△△，同理得到19DGH ABD S S =△△，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接DE ，如图①， ∵D 、E 分别为BC 、BA 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AC ，DE =12AC ， ∴△DEG ∽△ACG ， ∴12EG DG DE CG AG AC ===， ∴121EG DG CG EG AG DG ==+++，即13EG DG CE AD ==； （2）∵D 、F 分别是边BC 、AB 的中点， ∴13DG DA =，BD =CD ， ∵GE ∥AC ， ∴△DEG ∽△DCA ， ∴13DE DG DC DA ==， ∴19DEGACDS S=△△， 同理：19DGHABDSS=△△， ∴111999EGH ABCS S+==+△△． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形中位线定理，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的关键． 23．（1）4t ；（2）（2）12t =；（3）1329t =或1935；（3）13t =或2566或12答案第14页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】（1）根据勾股定理求出AB=5，证明PD ∥BC ，再根据平行线分线段成比例进行解答即可； （2）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例可证得PE BPAC AB=，进而可求解t 值； （3）依题意，分两种情况①当点E 在△ABC 的内部时；②当点E 在△ABC 的外部时，分别求解即可；（4） 依题意，分三种情况①当点Q 落在线段AC 的垂直平分线MN 上时；②当点Q 落在线段AB 的垂直平分线MN 上时；③当点Q 落在线段BC 的垂直平分线MN 上时；分别求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，AP =5t ， ∵∠C =90°，AC =4，BC =3， ∴AB =2222435AC BC +=+=， ∵PD ⊥AC ，∠C =90°， ∴PD ∥BC ， ∴AD APAC AB =即545AD t =， ∴AD =4t ， 故答案为：4t ；（2）如图，∵四边形APED 是平行四边形， ∴PE =AD =4t ，PE ∥AC ， ∴PE BP AC AB =即45545t t-=， 解得：12t =；（3）依题意，可分两种情况：①如图，当点E 在△ABC 的内部时，延长PE 交BC 于F ，则PF ⊥BC ，答案第15页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴四边形PFCD 是矩形， ∴PF=CD=4﹣4t ，又PE=AD=4t ， ∴EF=PF ﹣PE=4﹣8t ， ∵PE ∥AC ，即PF ∥AC ， ∴BF PF BC AC =即4434BF t-=， 解得：33BF t =-， ∵∠C =90°，1tan 4CBE ∠=， ∴481334EF t BF t -==-， 解得：1329t =； ②如图，当点E 在△ABC 的外部时，∵PE =AD =4t ，PF =AD =4﹣4t ， ∴EF =PE ﹣PF =8t ﹣4，由33BF t =-，∠C =90°，1tan 4CBE ∠=， 得841334EF t BF t -==-，解得：1935t =， 综上，1329t =或1935； （4）依题意，分三种情况：①当点Q 落在线段AC 的垂直平分线MN 上时，如图，答案第16页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………则AN =52，PN = 52﹣5t ，PQ =2t ，AM =2，PE ⊥PE ， 由PQ AM PN AN =得：245552t t =-，解得：13t =；②当点Q 落在线段AB 的垂直平分线MN 上时，如图，依题意，∠QPN =∠A ，PQ =2t ，PN =52﹣5t ， ∴cos ∠A =cos ∠QPN ，即45PN AC PQ AB ==， ∴554225tt -=，解得：2566t = ③当点Q 落在线段BC 的垂直平分线上时，如图，则AP =PB ，PE 为线段BC 的垂直平分线，点E 在BC 上， 由（2）知， 12t =， 综上，13t =或2566或12．答案第17页，共18页【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例、解直角三角形，解答的关键是熟练掌握相关知识的性质及其应用，学会利用参数建立方程，学会用分类讨论和数形结合思想解决问题，属于中考压轴题，难度较难． 24．（1）m 2；（2）m 1=-3，m 2=1；（3）1-或1；（4）-3＜m ≤-1或m ＞1 【分析】（1）根据平行线的性质知，点B 与点A 的横坐标相同，所以把x =m 代入抛物线解析式，即可求得点B 的纵坐标；（2）把点A 代入二次函数解析式，列出方程，然后解方程即可；（3）根据等量关系AB =2和两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m 的值； （4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答． 【详解】解：（1）根据题意知，点B 的横坐标是m ， ∴将x =m 代入y =x 2，得y =m 2． 即点B 的纵坐标为m 2． 故答案为：m 2；（2）把A （m ，-2m +3）代入y =x 2，得-2m +3=m 2． 解得m 1=-3，m 2=1；（3）根据题意知：|-2m +3-m 2|=2． ①-2m +3-m 2=2，解得m 1=1-，m 21， ∵m ＜0，∴m =1-，符合题意； ②-2m +3-m 2=-2，解得m 1=1，m 21， ∵m ＜0，∴m =1，符合题意．综上所述，m 的值为1-或1；答案第18页，共18页（4）由（2）知，当点A 、B 重合时，点A 的坐标是（-3，9）或（1，1）． 设AB =d ，当-3＜m ＜0时，d =-2m +3-m 2=-（m +1）2+4时，对称轴是直线m =-1且抛物线开口向下， ∴线段AB 的长度随m 的增大而增大时，-3＜m ≤-1．当m ＞1时，根据题意知，线段AB 的长度随m 的增大而增大时，m ＞1． 综上所述，m 的取值范围是-3＜m ≤-1或m ＞1． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，段的长度，从而求出线段之间的关系．。
吉林省长春市九年级上学期期末数学试卷
吉林省长春市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共16题；共32分)1. （2分） (2020八上·石景山期末) 下列照片分别是新首钢大桥、大兴机场、中国尊、丽泽夜空之眼，照片中主体建筑的平面图形不是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019九上·温州期中) 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- (x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（）A . 3mB . 4mC . 8mD . 10m3. （2分） (2020九上·台州月考) 若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）下列说法中正确的是（）A . “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B . 了解某种饮料中含色素的情况,采用抽样调查C . 数据1，1，2，2，3的众数是3D . 一组数据的波动越大,方差越小5. （2分） (2020九上·长沙期中) 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分） (2019九上·云安期末) 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中正确的是（）A . x(x-1)=45B . x(x+1)=45C . x(x-1)=45D . x(x+1)=458. （2分）已知⊙O中，弦AB的长等于半径，P为弦AB所对的弧上一动点，则∠APB的度数为（）A . 30ºB . 150ºC . 30º或150ºD . 60º或120º9. （2分）政教处王主任将10份奖品分别放在10个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小明等10位获“说题比赛先进个人”称号的同学．这些奖品中有5份是学习文具，3份是数学读本，2份是科技馆通票．小明同学从中随机取一份奖品，恰好取到数学读本的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（）A . 70°B . 35°C . 40°D . 50°11. （2分） (2019九上·台州期末) 从一个半径为 10 的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是（）A . 5B . 10C . 5D . 1012. （2分） (2020九下·西安月考) 已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（）A . k＞B . k≥ 且k≠0C . k＜D . k＞且k≠013. （2分） (2016九上·济宁期中) 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A . 6B . 5C . 3D . 314. （2分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于（）A . 9B . 10C . 11D . 1215. （2分）下列抛物线中对称轴为的是（）A . ；B . ；C . ；D .16. （2分） (2016九下·江津期中) 已知二次函数的图象如图所示,在下列五个结论中:①2a﹣b＜0;②abc＜0;③a+b+c＜0;④a﹣b+c＞0; ⑤4a+2b+c＞0,错误的个数有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)17. （1分） (2016九上·东营期中) 方程x2﹣5x=0的解是________．18. （1分）(2018·镇江模拟) 已知点，在二次函数的图像上，且，则实数m的取值范围是________．19. （1分）(2017·天津模拟) 如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为________．20. （1分）(2017·邹城模拟) 如图，P点的坐标为（3，2），过P点的直线AB分别交x轴和y轴的正半轴于A，B两点，作PM⊥x轴于M点，作PN⊥y轴于N点，若△PAM的面积与△PBN的面积的比为，则直线AB的解析式为________．三、解答题 (共6题；共68分)21. （10分） (2017八下·莒县期中) 选用合适的方法解下列方程：（1） 2x2﹣5x=3；（2）（x+3）2=（1﹣3x）2 ．22. （15分）(2020·杭州模拟) 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根.（1）求关于的函数表达式；（2）若点( ， )在第一象限，求 m的取值范围；（3）若点( ， )在一次函数的图象上，求一元二次方程的根.23. （10分）在4×4的方格纸中的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形．24. （7分） (2019九上·新密期末) 如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A 出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）填空：①当t为________s时，四边形ACFE是菱形；②当t为________s时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍.25. （15分） (2019八上·凤翔期中) 张师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示还有4升油.假设加油前、后汽车都以100千米小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示.（1）求张师傅加油前油箱剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系式；（2）求出的值；（3）求张师傅途中加油多少升？26. （11分） (2019七下·洪山期末) 如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC 于E.（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD= ∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是________.参考答案一、选择题 (共16题；共32分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共68分)答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、答案：25-3、考点：解析：答案：26-1、。
【初三数学】长春市九年级数学上期末考试检测试卷(解析版)
人教版数学九年级上册期末考试试题【含答案】一、选择区：每小题3分，共30分1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°2．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（）A．90°B．120°C．180°D．135°3．下列事件是必然事件的是（）A．n边形的每个内角都相等B．同位角相等C．分式方程有增根D．三角形内角和等于180°4．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，＝，DE＝10，则BC的长为（）A．16B．14C．12D．117．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（k＜0）图象上的两点，则有（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜08．函数y＝ax2﹣a与y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．对于反比例函数y＝（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（2，4）在其图象上，则（﹣2，4）也在其图象上B．当k＞0时，y随x的增大而减小C．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为kD．反比例函数的图象关于直线y＝x和y＝﹣x成轴对称10．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C 与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A．B．C．D．二、填空题：每小题3分，共24分11．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为．12．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：3，则相似比为．13．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有个．14．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出△AOB的位似△CDE，则位似中心的坐标为．16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A且OA＝AB，动点P从点A出发，以2πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止，当点P 运动的时间为s时，BP与⊙O相切．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO＝．18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（I）计算AB的长等于．（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个△ADE，使△ADE～△ABC，且满足点D在AC边上，点E在AB边上，AE＝2．简要说明画图方法（不要求证明）．三、解答题；本大题共6个小题，共46分19．（5分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2m3时求氧气的密度ρ．20．（6分）现有两组相同的扑克牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是2和3，从每组牌中各随机摸出一张牌，称为一次试验．（1）小红与小明用一次试验做游戏，如果摸到的牌面数字相同小红获胜，否则小明获胜，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？（2）小丽认为：“在一次试验中，两张牌的牌面数字和可能为4、5、6三种情况，所以出现‘和为4’的概率是”，她的这种看法是否正确？说明理由．21．（7分）如图，为了计算河两岸间的宽度，我们在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，BC与AE 的交点为D．测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，请求出两岸之间AB的距离．22．（8分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE．（I）求证：△ABE∽△ECD；（Ⅱ）若AB＝4，AE＝BC＝5，求ED的长．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°到线段AD．△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（I）求∠1的大小．（Ⅱ）求AE的长．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝k（x ﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．参考答案一、选择1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【分析】由圆周角定理知，∠AOB＝360°÷5＝72°．解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB＝360°÷5＝72°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，由等弧所对的圆心角相等来解决问题．2．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（）A．90°B．120°C．180°D．135°【分析】根据弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．解：由题意得，2π＝，解得：n＝180．即这条弧所对的圆心角的度数是180°．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．3．下列事件是必然事件的是（）A．n边形的每个内角都相等B．同位角相等C．分式方程有增根D．三角形内角和等于180°【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．解：A．n边形的每个内角都相等是随机事件；B．同位角相等是随机事件；C．分式方程有增根是随机事件；D．三角形内角和等于180°是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先利用列举法可得：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234、324、342、432，然后直接利用概率公式求解即可求得答案解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432；∴排出的数是偶数的概率为：＝【点评】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，＝，DE＝10，则BC的长为（）A．16B．14C．12D．11【分析】根据已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：∵＝，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝14，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．7．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（k＜0）图象上的两点，则有（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点解答．解：∵反比例函数y＝（k＜0）中，k＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵﹣2＜0，∴点A（﹣2，y1）在第二象限，∴y1＞0，∵3＞0，∴B（3，y2）点在第四象限，∴y2＜0，∴y1，y2的大小关系为y2＜0＜y1．故选：B．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．8．函数y＝ax2﹣a与y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题只有一个待定系数a，且a≠0，根据a＞0和a＜0分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，但当x＝0时，y＝﹣a＜0，故B不可能；当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，但当x＝0时，y＝﹣a＞0，故C、D不可能．可能的是A．故选：A．【点评】讨论当a＞0时和a＜0时的两种情况，用了分类讨论的思想．9．对于反比例函数y＝（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（2，4）在其图象上，则（﹣2，4）也在其图象上B．当k＞0时，y随x的增大而减小C．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为kD．反比例函数的图象关于直线y＝x和y＝﹣x成轴对称【分析】根据反比例函数的性质一一判断即可；解：A、若点（2，4）在其图象上，则（﹣2，4）不在其图象上，故本选项不符合题意；B、当k＞0时，y随x的增大而减小，错误，应该是当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小；故本选项不符合题意；C、错误，应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为|k|；故本选项不符合题意；D、正确，本选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A．B．C．D．【分析】借助翻折变换的性质得到DE＝CE；设AB＝3k，CE＝x，则AE＝3k﹣x；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．解：设AD＝k，则DB＝2k，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA+∠FDB＝120°，又∵∠EDA+∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，∴，设CE＝x，则ED＝x，AE＝3k﹣x，设CF＝y，则DF＝y，FB＝3k﹣y，∴，∴，∴＝，∴CE：CF＝4：5．故选：B．解法二：解：设AD＝k，则DB＝2k，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠ED F＝60°，∴∠EDA+∠FDB＝120°，又∵∠EDA+∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由折叠，得CE＝DE，CF＝DF∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，∴△AED与△BDF的相似比为4：5∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．故选：B．【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．二、填空题：木大题共8个小题，每小题3分，共24分11．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解三角形i可．解：设正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．故答案为：2：．【点评】考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．12．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：3，则相似比为1：．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：3，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：．故答案为：1：．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．13．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有15个．【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.25，∴＝，解得：x＝15，即白球的个数为15个，故答案为：15．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．14．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是24π．【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．解：底面周长是：2×3π＝6π，则侧面积是：×6π×5＝15π，底面积是：π×32＝9π，则全面积是：15π+9π＝24π．故答案为：24π．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出△AOB的位似△CDE，则位似中心的坐标为（2，2）．【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心．解：如图所示，点P即为位似中点，其坐标为（2，2），故答案为：（2，2）．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A且OA＝AB，动点P从点A出发，以2πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止，当点P 运动的时间为1或5s时，BP与⊙O相切．【分析】分为两种情况：求出∠POB的度数，根据弧长公式求出弧AP长，即可求出答案．解：连接OP，∵直线BP与⊙O相切，∴∠OPB＝90°，∵AB＝OA＝OP，∴OB＝2OP，∴∠PBO＝30°，∴POB＝60°，∴弧AP的长是＝2π，即时间是2π÷2π＝1（秒）；当在P′点时，直线BP与⊙O相切，此时优弧APP′的长是＝10π，即时间是10π÷2π＝5（秒）；故答案为1或5．【点评】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，弧长公式得应用，关键是求出弧AP的长．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO＝．【分析】首先利用勾股定理求出DE，再利用三角形的面积公式求出OA即可．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝2，∠DAE＝90°，∵AE＝EB＝1，∴DE＝＝，∵AO⊥DE，∴×DE×AO＝×AE×AD，∴AO＝．故答案为．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（I）计算AB的长等于5．（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个△ADE，使△ADE～△ABC，且满足点D在AC边上，点E在AB边上，AE＝2．简要说明画图方法（不要求证明）取点M，N，连接MN交AC于点D，使得＝，取点P，连接PC交AB于点E，使得＝，连接DE．△ADE即为所求．【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可；（Ⅱ）在AC，AB上分别截取AD＝2.5，AE＝2即可解决问题；解：（Ⅰ）AB＝＝5．故答案为5．（Ⅱ）如图，取点M，N，连接MN交AC于点D，使得＝，取点P，连接PC交AB于点E，使得＝，连接DE．△ADE即为所求．故答案为：取点M，N，连接MN交AC于点D，使得＝，取点P，连接PC交AB于点E，使得＝，连接DE．△ADE即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题；本大题共6个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步19．（5分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2m3时求氧气的密度ρ．【分析】首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．解：（1）设ρ＝，当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3，所以1.43＝，即k＝14.3，所以ρ与V的函数关系式是ρ＝；（2）当V＝2m3时，把V＝2代入得：ρ＝7.15（kg/m3），所以当V＝2m3时，氧气的密度为7.15（kg/m3）．【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．20．（6分）现有两组相同的扑克牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是2和3，从每组牌中各随机摸出一张牌，称为一次试验．（1）小红与小明用一次试验做游戏，如果摸到的牌面数字相同小红获胜，否则小明获胜，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？（2）小丽认为：“在一次试验中，两张牌的牌面数字和可能为4、5、6三种情况，所以出现‘和为4’的概率是”，她的这种看法是否正确？说明理由．【分析】（1）根据题意画树状图，再根据概率公式求出概率，即可得出答案；（2）根据概率公式求出和为4的概率，即可得出答案．解：（1）根据题意画树状图如下：数字相同的情况有2种，则P （小红获胜）＝P （数字相同）＝，P （小明获胜）＝P （数字不同）＝，则这个游戏公平；（2）不正确，理由如下；因为“和为4”的情况只出现了1次，所以和为4的概率为，所以她的这种看法不正确．【点评】此题考查了游戏的公平性，关键是根据题意画出树状图，求出每件事情发生的概率，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21．（7分）如图，为了计算河两岸间的宽度，我们在河对岸的岸边选定一个目标作为点A ，再在河岸的这一边选点B 和点C ，使AB ⊥BC ，然后再选点E ，使EC ⊥BC ，BC 与AE 的交点为D ．测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，请求出两岸之间AB 的距离．【分析】利用两角对应相等可得△ABD∽△ECD，利用相似三角形的对应边成比例可得AB 的长．解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠ABC＝∠BCE＝90°，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△ECD，∴＝，即：＝，解得AB＝100．答：两岸之间AB的距离为100米．【点评】本题考查相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．22．（8分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE．（I）求证：△ABE∽△ECD；（Ⅱ）若AB＝4，AE＝BC＝5，求ED的长．【分析】（Ⅰ）先根据同角的余角相等可得：∠DEC＝∠A，利用两角相等证明三角形相似；（Ⅱ）先根据勾股定理得：BE＝3，根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论．（Ⅰ）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（Ⅱ）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∵BC＝5，∴EC＝5﹣3＝2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴＝，∴＝，∴DE＝．【点评】本题考查了相似或全等三角形判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°到线段AD．△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（I）求∠1的大小．（Ⅱ）求AE的长．【分析】（Ⅰ）由旋转的性质得，AD＝AB，∠ABD＝45°，再由平移的性质即可得出结论；（Ⅱ）先判断出∠ADE＝∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE即可；解：（Ⅰ）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB＝90°，AD＝AB，∴∠ABD＝45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠1＝∠ABD＝45°；（Ⅱ）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵AC＝8，AB＝AD＝10，∴AE＝12.5．【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝k（x ﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．【分析】（1）根据点A（3，2）在反比例函数y＝，和一次函数y＝k（x﹣2）上列出m和k的一元一次方程，求出k和m的值即可；联立两函数解析式，求出交点坐标；（2）设C点的坐标为（0，y c），求出点M的坐标，再根据△ABC的面积为10，知×3×|y c﹣（﹣4）|+×1×|y c﹣（﹣4）|＝10，求出y c的值即可．解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y＝，和一次函数y＝k（x﹣2）上；∴2＝，2＝k（3﹣2），解得m＝6，k＝2；∴反比例函数解析式为y＝，和一次函数解析式为y＝2x﹣4；∵点B是一次函数与反比例函数的另一个交点，∴＝2x﹣4，解得x1＝3，x2＝﹣1；∴B点的坐标为（﹣1，﹣6）；（2）∵点M是一次函数y＝2x﹣4与y轴的交点，∴点M的坐标为（0，﹣4），设C点的坐标为（0，y c），由题意知×3×|y c﹣（﹣4）|+×1×|y c﹣（﹣4）|＝10，解得|y c+4|＝5，当y c+4≥0时，y c+4＝5，解得y c＝1，当y c+4≤0时，y c+4＝﹣5，解得y c＝﹣9，∴点C的坐标为（0，1）或（0，﹣9）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出两个函数的解析式以及直线AB与y轴的交点坐标，此题难度一般．人教版数学九年级上册期末考试试题【含答案】一、选择区：每小题3分，共30分1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°2．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（）A．90°B．120°C．180°D．135°3．下列事件是必然事件的是（）A．n边形的每个内角都相等B．同位角相等C．分式方程有增根D．三角形内角和等于180°4．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，＝，DE＝10，则BC的长为（）A．16B．14C．12D．117．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（k＜0）图象上的两点，则有（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜08．函数y＝ax2﹣a与y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．对于反比例函数y＝（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（2，4）在其图象上，则（﹣2，4）也在其图象上B．当k＞0时，y随x的增大而减小C．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为kD．反比例函数的图象关于直线y＝x和y＝﹣x成轴对称10．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A．B．C．D．二、填空题：每小题3分，共24分11．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为．12．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：3，则相似比为．13．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有个．14．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出△AOB的位似△CDE，则位似中心的坐标为．16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A且OA＝AB，动点P从点A出发，以2πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止，当点P 运动的时间为s时，BP与⊙O相切．17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO＝．18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（I）计算AB的长等于．（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个△ADE，使△ADE～△ABC，且满足点D在AC边上，点E在AB边上，AE＝2．简要说明画图方法（不要求证明）．三、解答题；本大题共6个小题，共46分19．（5分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2m3时求氧气的密度ρ．20．（6分）现有两组相同的扑克牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是2和3，从每组牌中各随机摸出一张牌，称为一次试验．（1）小红与小明用一次试验做游戏，如果摸到的牌面数字相同小红获胜，否则小明获胜，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？（2）小丽认为：“在一次试验中，两张牌的牌面数字和可能为4、5、6三种情况，所以出现‘和为4’的概率是”，她的这种看法是否正确？说明理由．21．（7分）如图，为了计算河两岸间的宽度，我们在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，BC与AE 的交点为D．测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，请求出两岸之间AB的距离．22．（8分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE．（I）求证：△ABE∽△ECD；（Ⅱ）若AB＝4，AE＝BC＝5，求ED的长．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°到线段AD．△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（I）求∠1的大小．（Ⅱ）求AE的长．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝k（x ﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．参考答案一、选择1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【分析】由圆周角定理知，∠AOB＝360°÷5＝72°．解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB＝360°÷5＝72°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，由等弧所对的圆心角相等来解决问题．2．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（）A．90°B．120°C．180°D．135°【分析】根据弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．解：由题意得，2π＝，解得：n＝180．即这条弧所对的圆心角的度数是180°．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．3．下列事件是必然事件的是（）A．n边形的每个内角都相等B．同位角相等C．分式方程有增根D．三角形内角和等于180°【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．解：A．n边形的每个内角都相等是随机事件；B．同位角相等是随机事件；C．分式方程有增根是随机事件；D．三角形内角和等于180°是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先利用列举法可得：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234、324、342、432，然后直接利用概率公式求解即可求得答案解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432；∴排出的数是偶数的概率为：＝【点评】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，。
吉林省长春市九年级上学期期末数学试卷
吉林省长春市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·港南模拟) 已知，则的值是（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·云南) sin60°的值为（）A .B .C .D .3. （2分）已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为（）A . 15πB . 24πC . 30πD . 39π4. （2分）下列事件中，必然事件是（）A . 打开电视机，它正在播放广告B . 通常情况下，当气温低于零摄氏度，水会结冰C . 黑暗中，我从我的一大串钥匙中随便选了一把，用它打开了门D . 任意两个有理数的和是正有理数5. （2分） (2018九上·广州期中) 如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm。
点P从点A 出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（）A . 0cm2B . 8cm2C . 16cm2D . 24 cm26. （2分）(2012·淮安) 如图所示的几何体的俯视图是（）A .B .C .D .7. （2分）下列语句中，不正确的个数（）①三点确定一个圆②平分弦的直径垂直于弦③相等的圆心角所对的弧相等④相等弧所对的弦相等．A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（）A . 一、二、三象限B . 一、二、四象限C . 一、三、四象限D . 一、二、三、四象限.9. （2分）在小孔成像问题中，如图可知CD的长是物长AB长的（）A . 3倍B .C .D .10. （2分） (2019八下·大庆期中) 下列语句正确是（）A . 在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°,则△ABC和△A′B′C′不相似;B . 在△ABC和△A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则△ABC∽△A′B′C′;C . 两个全等三角形不一定相似;D . 所有的菱形都相似11. （2分）下列四个命题：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个12. （2分） (2020九上·洛宁期末) 如图，在Rt△ABC 中BC=2 ，以 BC 的中点 O 为圆心的⊙O 分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，的长为（）A .B .C . πD . 2π二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）在一块试验田抽取1000个麦穗考察它的长度(单位：cm)对数据适当分组后看到落在5.75～6.05之间的频率为0.36，于是可以估计出这块田里长度为5.75～6.05cm之间的麦穗约占________%．14. （1分）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿________（精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．15. （1分）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为________ cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．16. （1分）如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为________.17. （1分）(2017·孝义模拟) 如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，其支架AB，CD，EF，GH，BE，DG，FK的长度都为40cm（支架的宽度忽略不计），四边形BQCP、DMEQ、FNGM是互相全等的菱形，当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时，∠B=∠D=∠F=80°，这时A端到墙壁的距离约为________cm．（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）18. （1分）(2017·浦东模拟) 如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x=________．三、解答题 (共8题；共87分)19. （5分）计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°20. （5分）已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．21. （5分）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）22. （10分） (2017九上·北海期末) 如图，直径为AB的⊙O交Rt△BCD的两条直角边BC、CD于点E、F，且，连接BF．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）当CF=1且∠D=30°时，求AD长．23. （20分） (2016九上·相城期末) 为推进阳光体育活动的开展，某学校决定开设以下体育课外活动项目：A 排球；B 乒乓球；C 篮球；D 羽毛球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）求喜欢排球人数所占扇形圆心角的大小；（4）若甲、乙、丙、丁四位同学都喜欢乒乓球运动，现从这四名同学中任选两名进行对抗练习，求恰好选中乙、丙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．24. （15分）(2017·昌乐模拟) 甜甜水果批发商销售每箱进价为30元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱40元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（3）如果批发商平均每天获得的销售利润为1008元，那么每箱苹果的销售价是多少元？25. （7分）如图，公路上依次有A、B、C三站，上午8时，甲骑自行车从A、B之间离A站18km的P点出发，向C站匀速前进，15分钟到达距离A站22km的某处．（1）设x小时后，甲离A站ykm，用含x的代数表示y；（2）若A、B和B、C间的距离分别是30km和20km，则上午________到________的时间内，甲在B、C两站之间（不包括B、C两站）．26. （20分） (2014九上·宁波月考) 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共87分)19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、23-4、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、26-4、。
长春市2022-2023学年度九年级数学上学期期末考试卷(含答案)
长春市2022-2023学年度九年级数学上学期期末考试卷（含答案）一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3x 的取值范围是( ) A ．1x -B ．1x >-C ．1xD ．1x >2．（3分）若ABC DEF ∆∆∽，相似比为2:1，则ABC ∆与DEF ∆的周长的比为( ) A ．2:1B ．4:1C ．8:1D ．16:13．（3分）若一元二次方程2(6)64x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是68x +=，则另一个一元一次方程是( ) A ．68x -=-B ．68x -=C ．68x +=D ．68x +=-4．（3分）在一个不透明的袋子里装有2个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，是黑球的概率是( ) A ．25B ．35C ．12 D ．135．（3分）如图，为测量位于一水塘旁的两点A 、B 间的距离，在地面上确定点O ，分别取OA 、OB 的中点C 、D ，量得10CD m =，则A 、B 之间的距离是( )A ．5mB ．10mC ．20mD ．40m6．（3分）如图，////a b c ，6AB =，2BC =，9DE =，则EF 的长为( )A ．4B ．3C ．2.5D ．27．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，B α∠=，5AB =，则AC 的长为( ) A ．5tan αB ．5cos αC ．5cos αD ．5sin α8．（3分）如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，使1y -成立的x 的取值范围是()A ．1x -B ．1x -C ．13x -D ．1x -或3x二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：2-= ．10．（3分）一元二次方程230x x --=的根的判别式的值是 ． 11．（3分）二次函数22(1)3y x =---的最大值是 ．12．（3分）将一点(1,2)A 向右平移2个单位得到一个对应点A '，则点A '的坐标是 ． 13．（3分）已知二次函数2y ax bx c =++的函数值y 与自变量x 的部分对应值如表：则这个二次函数图象的对称轴是直线 ．14．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，40BAC ∠=︒，点D 是边AC 上的动点（点D 不与点A 、C 重合），当BDC ∠= ︒时，ABC BDC ∆∆∽．三．解答题（共10小题，共78分）15．（6分）计算： 16．（6分）解方程：23640x x +-=．17．（6分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．（1）在图②中，请在网格中画一个与图①ABC ∆相似的DEF ∆（DEF ∆不与ABC ∆全等）； （2）在图③中，以O 为位似中心，画一个△111A B C ，使它与ABC ∆的位似比为2:1．18．（7分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、5，这些卡片除数字不同外其余均相同，现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．19．（7分）某种品牌的手机经过11、12月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率；（2）若1月份继续保持相同的百分率降价，则1月份这种品牌的手机售价为多少元？ 20．（7分）图①是一辆在平地上滑行的滑板车，图②是其示意图．已知车杆AB 长92cm ，车杆与脚踏板所成的角70ABC ∠=︒，前后轮子的半径均为6cm ，求把手A 离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75)︒≈．21．（8分）如图，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B 、C 两点． （1）求b 、c 的值；（2）若将该二次函数的图象向下平移m 个单位，使其顶点落在正方形OABC 内（不包括边上），直接写出m 的取值范围．22. （9分）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于点G .求证：GE CE ＝GD AD ＝13. 证明：连接ED .请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．图①【结论应用】如图，在△ABC 中，D 、F 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CF 相交于点G ，//GE AC 交BC 于点E ，则:DE BC = ．23.（10分）如图，在△ABC中，AB=5, AC=3, BC=4，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度沿AC向终点C匀速运动.当点P不与点A、C重合时，过点P作PQ⊥AB交AB于点Q，以PQ为边向上作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）.（1）用含t的代数式表示线段PQ的长度为;（2）当点N落在线段BC上时，求t的值;（3）求S与t之间的函数关系式;（4）当点N恰好落在△ABC的角平分线上时，直接写出t的值.24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(,23)-+，过点A作y轴的平行线交m m二次函数2=的图象于点B．y x（1）点B的纵坐标为（用含m的代数式表示）;（2）当点A落在二次函数2=的图象上时，求m的值;y x（3）当m<0时，若AB=2，求m的值;（4）当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．参考答案与评分标准阅卷说明：1．评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分．2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分． 一．选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1． C ． 2． A ． 3． D ． 4． A ． 5． C ． 6． B ． 7． D ． 8． C ． 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9． 5-． 10． 13． 11． 3-． 12． (3,2)． 13． 1x =． 14． 70． 三．解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）解：原式= （3分）2= （4分）=． （6分） 16．（6分）解：23640x x +-=， 方程两边同时除以3，得24203x x +-=， 移项，得2423x x +=， （1分） 配方，得242113x x ++=+， （2分）则27(1)3x +=， （4分）所以，1x +=，所以，11x =，21x =-． （6分）17．（6分）解：（1）所画三角形的三边长分别为DE =，EF ==4DF =． （3分） （2）如图②，△111A B C 为所作．（6分）18．（7分）解：画树状图为：第一张：第二张：和： 2 3 6 3 4 7 6 7 10 （5分） ∴P (两次抽取的卡片上数字之和为偶数)59=． （7分） 19．（7分）解：（1）设每次下降的百分率为x ， （1分） 依题意，得：22500(1)1600x -=， （3分） 解得：10.220%x ==，2 1.8x =（不合题意，舍去）． （5分） 答：每次下降的百分率为20%．（2）1600(120%)1280⨯-=（元)． （7分） 答：若1月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．20．（7分）解：过点A 作AD BC ⊥于点D ，延长AD 交地面于点E ， （1分） 在Rt △ABD 中，∠ADB =90° （2分）sin ADABD AB∠=， （4分） 920.9486.48AD ∴≈⨯=， （5分） 6DE =，92.4892.5AE AD DE ∴=+=≈，（6分） ∴把手A 离地面的高度约为92.5cm ． （7分）21．（8分）（1）正方形OABC 的边长为2，∴点B 、C 的坐标分别为(2,2)，(0,2)， （2分）二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，∴2422b c c=-++⎧⎨=⎩， （4分） 解得22b c =⎧⎨=⎩； （5分）（2）13m <<． （8分） 22. （1）证明：∵D ，E 分别是BC ，AB 的中点，∴DE ∥AC ，DE ＝12AC ， （2分）∴△DEG ∽△ACG ， （4分） ∴GE CG ＝GD AG ＝DE AC ＝12， （5分） ∴GE CG ＋GE ＝GD AG ＋GD ＝13，即GE CE ＝GD AD ＝13. （6分）（2）1:6 ． （9分） 23.（1）4t ； （2分） （2）根据题意，得 163453t t t ++=， （4分） 1537t =； （5分）（3）221516(0)3798518575153()2448375t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩ ； （8分） （4）12515,1953t t == ． （10分）24.（1）2m ； （2分） （2）根据题意，得223m m -+=， （4分） 123,1m m =-=； （6分）（3）①223=2m m -+-，121,1m m ==（舍）；（8分） ②2(23)=2m m --+，321,1m m ==（舍）； （10分）（4）311m m -<≤->或． （12分）。
2022年-有答案-吉林省长春市某校九年级(上)期末数学试卷
2022学年吉林省长春市某校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每道题3分，共24分）1. −8的绝对值是( )A.−8B.8C.18D.−182. 化简2(a−2)+4a结果为（）A.6a+4B.6a−4C.−6a+4D.−6a−43. 下列运算，结果正确的是（）A.√5−√3=√2B.3+√2=3√2C.√7÷√2=3D.√6×√2=2√34. 将二次函数y＝(x−1)2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A.y＝(x+3)2+5B.y＝(x−5)2−1C.y＝(x−5)2+5D.y＝(x+5)2−55. 如图，AB是⊙O的直径，BĈ=CD̂=DÊ，∠COD＝34∘，则∠AEO的度数是（）A.51∘B.56∘C.68∘D.78∘6. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（）A.{3(x−2)=y2x+9=y B.{3(x+2)=y2x+9=yC.{3x=y2x+9=y D.{3(x+2)=y2x−9=y7. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盆中（底盆固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位，图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50cm，∠ABC=47∘．则车位锁的底盒BC长约为（）（参考数据：sin47∘≈0.73，cos47∘≈0.68，tan47∘≈1.07）A.34B.73C.68D.1078. 三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（）A.54π B.98π C.π D.32π二、填空题（每道题3分，共18分）若分式√3x−4有意义，则x的取值范围是________．多项式5mx2−20my2分解因式的结果是________．不等式组解集是________．化简|−3|+的结果是________．如图，Rt△ABC中，∠C＝90∘，AC＝2，BC＝3，则sinA＝________．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2−4ax+3a(a<0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为(2, −4)；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为________．三、解答题（共10小题，共78分）先化简，再求值：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)，其中x＝-．y＝1．到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张会徽分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为________．（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若⊙O的直径BC＝6，直接写出的长．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：（1）在图1中，画出点D，使得四边形ABDC是平行四边形．（2）在图2中，在AB上找点E，使得△ACE的面积是△BCE面积的．（3）在图3中，在AB边上找一点F，使得tan∠ACF＝．为了了解我校学生在家做家务劳动的情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．（1）求本次调查学生的人数；（2）将条形统计图补充完整；（3）抽查的学生中做家务劳动时间的众数是________小时，中位数是________小时；（4）如果全校共有学生3000人，请你估计全校大约有多少同学做家务劳动时间是2小时．受新型冠状病毒影响，学生在进入学校大门时都要配合监测体温．某学校上学高峰期学生到达学校的人数（包括校门口等待检测的学生和已经检测体温入校的学生）y（人）随时间x（分钟）的变化情况如图所示，已知前12分钟，y可看作是x的二次函数，并在12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人，回答下列问题：（1）当0≤x≤12时，求y与x之间的函数解析式；（2）已知学校门口有体温检测岗位3个，每个岗位的工作人员每分钟能检测10人，求学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有多少人；（3）在（2）的条件下，从测温开始到所有学生测温结束，当学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少时，直接写出对应的x的取值范围．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学数材第96页的部分内容（1）定理感知：如果教材中的已知条件不变，如图①，当PD＝2，OE＝4时，则直接写出△OPE的面积为________．（2）定理应用：如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：＝．（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，∠ABC＝90∘，AB＝5，BC＝12，将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，再剪掉重叠部分（即四边形ABB1A1），再将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，再剪掉重叠部分，直接写出剩余的△A2B2C的面积为________．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，点P从点B出发沿折线B−A−C运动，速度为每秒5个单位，到点C停止．在点P的运动过程中，过点P作PQ⊥BC于Q，以PQ为边作矩形PQMN，且MN与AD始终在PQ同侧，且PN＝2PQ．设运动时间为t秒．（1）当点N在AC上时，直接写出t值．（2）当点N在AB上时，求PQ的长．（3）当矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形时，求t的取值范围．（4）当点P在线段AB上运动时，点N落在△ABC一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．已知函数y＝（m为常数），此函数图象记为G．（1）当m＝时，①当y＝−1时，求图象G上对应点的坐标；②当−1≤x≤2时，求y的取值范围．（2）当m＝1时，直线y＝2k+1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝−1和x＝1之间（不包括边界）时，求k的取值范围．（3）当x>m时，图象G与坐标轴有两个交点，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析2022学年吉林省长春市某校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每道题3分，共24分）1.【答案】B【考点】绝对值【解析】依据绝对值的性质解答即可．【解答】解：根据绝对值的性质易得，−8的绝对值是8．故选B.2.【答案】B【考点】整式的加减【解析】原式去括号合并即可得到结果．【解答】原式＝2a−4+8a＝6a−4．3.【答案】D【考点】二次根式的乘法二次根式的除法二次根式的加法二次根式的减法【解析】分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算可得．【解答】解：A，√5与√3不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B，3与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C，√6÷√2=√3，此选项错误；D，√6×√2=√6×2=2√3，此选项计算正确.故选D.4.C【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【解答】将二次函数y ＝(x −1)2+6的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度2+2+3，即y ＝(x −2)2+5， 5. 【答案】 A【考点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】 由BĈ=CD ̂=DE ̂，可求得∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34∘，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO 的度数． 【解答】如图，∵ BĈ=CD ̂=DE ̂，∠COD ＝34∘， ∴ ∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34∘，∴ ∠AOE ＝180∘−∠EOD −∠COD −∠BOC ＝78∘． 又∵ OA ＝OE ， ∴ ∠AEO ＝∠OAE ，∴ ∠AEO =12×(180∘−78∘)＝51∘． 6. 【答案】 A【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：根据题意可得： {3(x −2)=y ，2x +9=y. 故选A . 7. 【答案】 C【考点】等腰三角形的性质 解直角三角形的应用过点A 作AH ⊥BC 于点H ，先由等腰三角形的性质得BH =CH ，再由锐角三角函数的定义求出BH ，即可求出答案． 【解答】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，如图2所示：∵ AB =AC ，AH ⊥BC ， ∴ BH =CH ，在Rt △ABH 中，∠B =47∘，AB =50cm ，cosB =BH AB，∴ BH =ABcosB =50cos47∘≈50×0.68=34(cm)， ∴ BC =2BH =68(cm)， 8. 【答案】 A【考点】扇形面积的计算 【解析】连接OC ，先求出OC 长和∠EOB 的度数，再根据扇形的面积公式求出即可． 【解答】连接OC ，由勾股定理得：OC =√12+32=√10， 由正方形的性质得：∠EOB ＝45∘， 所以扇形EOF 的面积为：45π×(√10)2360=54π，二、填空题（每道题3分，共18分） 【答案】 x ≠4【考点】分式有意义、无意义的条件 【解析】分式有意义，分母不等于零． 【解答】解：依题意得：x −4≠0， 解得x ≠4．故答案为：x ≠4.【答案】5m(x+2y)(x−2y)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】直接提取公因式5m，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】5mx2−20my8＝5m(x2−7y2)＝5m(x+7y)(x−2y)．【答案】1<x≤2【考点】解一元一次不等式组【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】，由①得：x≤2，由②得：x>4，则不等式组的解集为1<x≤2．【答案】3+2【考点】实数的性质【解析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．【解答】原式＝3−+3＝3+3．【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】∵∠C＝90∘，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴sinA＝＝＝，【答案】【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数的性质抛物线与x轴的交点【解析】当CD⊥y轴时，线段CD最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式来求a的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标．【解答】根题意知，当CD⊥y轴时．∵点C的坐标为(2, −4)，∴点D的坐标为(8, −4)．将其代入y＝ax2−7ax+3a，得3a＝−5，解得a＝-．∴该抛物线解析式是：y＝-x2+x−4．∵y＝-x2+x−7＝-2+．∴该抛物线的顶点坐标是(5，）．∴抛物线顶点纵坐标为．三、解答题（共10小题，共78分）【答案】(2x+3y)7−(2x+y)(2x−y)＝4x2+12xy+9y7−4x2+y7＝12xy+10y2，当x＝-，y＝1时，原式＝12×(−）×1+10×15＝−6+10＝4．【考点】整式的混合运算——化简求值【解析】先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．【解答】(2x+3y)7−(2x+y)(2x−y)＝4x2+12xy+9y7−4x2+y7＝12xy+10y2，当x＝-，y＝1时，原式＝12×(−）×1+10×15＝−6+10＝4．【答案】14画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，∴抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率=212=16．【考点】概率公式列表法与树状图法【解析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）先由题意先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，再由概率公式求解可得．【解答】从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为14，故答案为：14；画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，∴抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率=212=16．【答案】A型机器人每小时搬运125kg原料，B型机器人每小时搬运150kg原料【考点】分式方程的应用【解析】设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x+50)kg原料，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．【解答】设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（，依题意，得：＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，∴x+50＝125．【答案】证明：连接OA，如图，∵BC为直径，∴∠BAC＝90∘，∵AB＝AD，∴∠B＝∠D，∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD+∠D＝2∠D＝2∠B，而∠B+∠ACB＝90∘，∴∠B+4∠B＝90∘，解得∠B＝30∘，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30∘，∴∠AOC＝∠B+∠OAB＝60∘，而∠D＝∠B＝30∘，∴∠OAD＝180∘−60∘−30∘＝90∘，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；的长＝．【考点】垂径定理弧长的计算圆周角定理等腰三角形的性质切线的判定与性质【解析】（1）连接OA，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝90∘，再利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠D，∠D＝∠CAD，则∠OCA＝2∠D＝2∠B，接着利用三角形内角和可计算出∠B＝30∘，则∠AOC＝60∘，然后计算出∠OAD＝90∘，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）直接利用弧长公式计算．【解答】证明：连接OA，如图，∵BC为直径，∴∠BAC＝90∘，∵AB＝AD，∴∠B＝∠D，∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD+∠D＝2∠D＝2∠B，而∠B+∠ACB＝90∘，∴∠B+4∠B＝90∘，解得∠B＝30∘，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30∘，∴∠AOC＝∠B+∠OAB＝60∘，而∠D＝∠B＝30∘，∴∠OAD＝180∘−60∘−30∘＝90∘，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；的长＝．【答案】如图1中，平行四边形ABDC即为所求作．如图2中，点E即为所求作．如图3中，点F即为所求作．【考点】三角形的面积解直角三角形平行四边形的性质与判定三角形三边关系作图—应用与设计作图【解析】（1）根据平行四边形的判定画出图形即可．（2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE，点E即为所求作．（3）取格点E，G，H，连接EG，AH交于点J，连接CJ交AB于点F，点F即为所求作．【解答】如图1中，平行四边形ABDC即为所求作．如图2中，点E即为所求作．如图3中，点F即为所求作．【答案】本次抽样调查学的人数是100人；1.5,1.5全校大约有540名同学做家务劳动时间是2小时【考点】众数中位数条形统计图用样本估计总体【解析】（1）从两个统计图中得到家务劳动1小时的学生有30人，占调查人数的30%，可求出调查人数；（2）求出家务劳动1.5小时的学生人数即可补全条形统计图，（3）根据中位数、众数的意义和求法，分别找出出现次数最多的数，处在中间位置的两个数的平均数，（4）用样本中家务劳动在2个小时的占比，估计总体的占比，根据总人数求出全校家务劳动在2小时的学生人数．【解答】30÷30%＝100（人），答：本次抽样调查学的人数是100人；做家务的时间是1.5小时的学生有：100−12−30−18＝40（人），补全条形统计图如图所示：家务劳动时间在6.5小时的人数最多，由40人，将家务劳动时间从小到大排列处在第50、51位的数都是1.4小时，故答案为：1.5，7.5；根据题意得：3000×＝540（人），答：全校大约有540名同学做家务劳动时间是2小时．【答案】设y＝a(x−12)2+720，将(0, 8)代入，解得a＝−5，∴y＝−5(x−12)2+720；设等待接受体温测量的学生人数为y1，则y1＝y−30x＝−2(x−12)2+720−30x＝−5x6+90x＝−5(x−9)3+405，∴当x＝9时，y1取得最大值，最大值为405，答：学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有405人；由（2）知，y6＝−5(x−9)5+405，∴x≥9时，y1随x的增大而减小，∴当8≤x≤24时，学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少．【考点】二次函数的应用【解析】（1）设y＝a(x−12)2+720，将原点坐标代入求出a的值即可；（2）设等待接受体温测量的学生人数为y1，知y1＝y−30x，据此得出y1＝−5(x−9)2+405，根据二次函数的性质可得答案；（3）由（2）中顶点式可得x的取值范围，结合12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人可得答案．【解答】设y＝a(x−12)2+720，将(0, 8)代入，解得a＝−5，∴y＝−5(x−12)2+720；设等待接受体温测量的学生人数为y1，则y1＝y−30x＝−2(x−12)2+720−30x＝−5x6+90x＝−5(x−9)3+405，∴当x＝9时，y1取得最大值，最大值为405，答：学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有405人；由（2）知，y6＝−5(x−9)5+405，∴x≥9时，y1随x的增大而减小，∴当8≤x≤24时，学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少．【答案】4如图②，过点B作BH // AC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BH // AC，∴∠H＝∠DAC，∴∠H＝∠BAD，∴AB＝BH，∵BH // AC，∴△BDH∽△CDA，∴，∴；【考点】相似三角形综合题【解析】（1）由“AAS”可证△OPE≅△OPD，可得PD＝PE＝2，即可求解；（2）过点B作BH // AC，交AD的延长线于H，通过证明△BDH∽△CDA，可得，可得结论；（3）利用（2）的结论可求＝，＝，即可求解．【解答】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵∠PEO＝∠PDO＝90∘，OP＝OP，∴△OPE≅△OPD(AAS)，∴PD＝PE＝2，∴△OPE的面积＝×OE×PE＝，故答案为4；如图②，过点B作BH // AC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BH // AC，∴∠H＝∠DAC，∴∠H＝∠BAD，∴AB＝BH，∵BH // AC，∴△BDH∽△CDA，∴，∴；∵∠ABC＝90∘，AB＝5，∴AC＝＝＝13，∵将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴AB＝AA1＝6，∠BAB1＝∠B1AA7，∠B＝∠AA1B1＝90∘，BB7＝A1B1，∴A5C＝8，由（2）可得＝，∴BB1＝＝A1B1，B5C＝，∴＝×2×＝，同理可求：＝，∴＝×5＝，∴△A4B2C的面积＝−7×＝．故答案为：．【答案】当N在AC上时，如图1所示，∵D为BC中点，∴BD＝CD＝4，∵AB＝AC＝4，由勾股定理可得：AD＝，由题意知，PB＝5t，BQ＝8t，∵PQ＝NM，∠PQB＝∠NMC，∴△PQB≅△NMC(AAS)，∴BQ＝MC，∴BC＝BQ+QM+MC＝4t+6t+2t＝8，解得：t＝；当N在AB上时，如图2所示，由题意知，CP＝10−5t，PQ＝5−3t，∴AP＝5t−4，PE＝4t−4，∵PN＝3PQ，∴8t−8＝6(6−3t)，解得：t＝，∴PQ＝6−3×．当点P在线段AB上时，点M与C重合时，PN＝6t，可得：5−4t＝6t，解得：t＝，观察图象可知，当<t<时，当点P在AC上时，点M与B重合时，PQ＝6−3t，∵BQ＝2PQ，∴5t＝2(6−6t)，解得：t＝，观察图象可知，当<t<时．综上所述，满足条件的t的取值范围为或<t<．如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时(AB的中垂线交AB于G，由题意，PB+PG＝BG，∴5t+6t•＝，解得t＝．如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时，由题意BQ+QD＝6，∴4t+6t＝2，∴t＝．如图3中，当点N落在AC的垂直平分线上时(AC的垂直平分线交AC于T，连接AH，设DH＝m，根据勾股定理得，(4−m)2−m2＝9，∴m＝，∴HM＝10t−4−，由题意：＝，∴＝，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或或．【考点】四边形综合题【解析】（1）证明△PQB≅△NMC(AAS)，可得BQ＝MC，再根据BC＝BQ+QM+CM，构建方程求解即可．（2）根据PN＝2PQ，构建方程求解即可．（3）求出当点P在线段AB上时，点M与C重合时，t的值，求出当点P在AC上时，点M 与B重合时，t的值，结合（1）（2）即可判断．（4）分三种情形：如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时，如图4中，当N落在BC 的垂直平分线AD上时，如图5中，当点N落在AC的垂直平分线上时，分别求解即可．【解答】当N在AC上时，如图1所示，∵D为BC中点，∴BD＝CD＝4，∵AB＝AC＝4，由勾股定理可得：AD＝，由题意知，PB＝5t，BQ＝8t，∵PQ＝NM，∠PQB＝∠NMC，∴△PQB≅△NMC(AAS)，∴BQ＝MC，∴BC＝BQ+QM+MC＝4t+6t+2t＝8，解得：t＝；当N在AB上时，如图2所示，由题意知，CP＝10−5t，PQ＝5−3t，∴AP＝5t−4，PE＝4t−4，∵PN＝3PQ，∴8t−8＝6(6−3t)，解得：t＝，∴PQ＝6−3×．当点P在线段AB上时，点M与C重合时，PN＝6t，可得：5−4t＝6t，解得：t＝，观察图象可知，当<t<时，当点P在AC上时，点M与B重合时，PQ＝6−3t，∵BQ＝2PQ，∴5t＝2(6−6t)，解得：t＝，观察图象可知，当<t<时．综上所述，满足条件的t的取值范围为或<t<．如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时(AB的中垂线交AB于G，由题意，PB+PG＝BG，∴5t+6t•＝，解得t＝．如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时，由题意BQ+QD＝6，∴4t+6t＝2，∴t＝．如图3中，当点N落在AC的垂直平分线上时(AC的垂直平分线交AC于T，连接AH，设DH＝m，根据勾股定理得，(4−m)2−m2＝9，∴m＝，∴HM＝10t−4−，由题意：＝，∴＝，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或或．【答案】当m＝时，函数可化为y＝，①针对于函数y＝x6−2x+2，当y＝−8时，x2−2x+3＝−1，此方程无解；针对于函数y＝−x2+x+，当y＝−1时，−x2+x+，∴x＝（舍）或x＝−8，∴当y＝−1时，图象G上对应点的坐标为(−1；②画出函数图象如图5所示，针对于函数y＝−x2+x+，当x＝−6时，y＝−1−+，当x＝时，y＝-+×+＝，针对于函数y＝x2−2x+2，当x＝5时，y＝1−2+3＝1，当x＝2是，y＝72−2×4+2＝2，∴当−6≤x≤2时，y的取值范围−1≤y≤；当m＝1时，y＝，画出函数图象如图2所示，针对于y＝−x7+2x+2，当x＝−7时，y＝−1，当x＝1时，y＝4，∵直线y＝2k+1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝−5和x ＝1之间（不包括边界）时，∴−1<5k+1<3，∴−8<k<1；∵x>m，∴只考虑函数y＝x2−7mx+6m(x>m)，此函数的图象如图3所示，∵函数的解析式为y＝x6−6mx+6m(x>m)，∴此函数的对称轴为x＝8m，当m<0时，3m<m，∵图象与坐标轴有两个交点，∴当x＝m时，y＝−6m2+6m＝−m(6m−6)<0，∴m<，即m<0，当m＝6时，y＝x2(x>0)，图象如图4蓝色线条，图象与坐标轴只有一个交点，当m>0时，函数y＝x2−8mx+6m(x>m)的图象如图3所示的黑色线条，∴2m>m，∵图象与坐标轴有两个交点，∴当x＝m时，y＝−5m2+4m＝−m(5m−6)>6，∴m<，当x＝4m时，y＝−9m2+8m＝−3m(3m−8)<0，∴m>，即<m<，综上，m<0或，函数图象与坐标轴有两个交点．【考点】二次函数的性质【解析】（1）先得出函数关系式，①分别求出y＝−1时的x值，即可得出结论；②画出函数图象，两段函数图象分别求出x＝−1，x＝和x＝，x＝1，x＝2时的函数值，即可得出结论；（2）先确定出函数关系式，进而画出图象，再求出x＝−1和x＝1时的函数值，借助图象，即可得出结论；（3）分m<0，m＝0，m>0，三种情况，利用函数的最小值和x＝m时的函数值，再借助图象，即可得出结论．【解答】当m＝时，函数可化为y＝，①针对于函数y＝x6−2x+2，当y＝−8时，x2−2x+3＝−1，此方程无解；针对于函数y＝−x2+x+，当y＝−1时，−x2+x+，∴x＝（舍）或x＝−8，∴当y＝−1时，图象G上对应点的坐标为(−1；②画出函数图象如图5所示，针对于函数y＝−x2+x+，当x＝−6时，y＝−1−+，当x＝时，y＝-+×+＝，针对于函数y＝x2−2x+2，当x＝5时，y＝1−2+3＝1，当x＝2是，y＝72−2×4+2＝2，∴当−6≤x≤2时，y的取值范围−1≤y≤；当m＝1时，y＝，画出函数图象如图2所示，针对于y＝−x7+2x+2，当x＝−7时，y＝−1，当x＝1时，y＝4，∵直线y＝2k+1（k为常数）与图象G的交点中横坐标最小的交点在直线x＝−5和x ＝1之间（不包括边界）时，∴−1<5k+1<3，∴−8<k<1；∵x>m，∴只考虑函数y＝x2−7mx+6m(x>m)，此函数的图象如图3所示，∵函数的解析式为y＝x6−6mx+6m(x>m)，∴此函数的对称轴为x＝8m，当m<0时，3m<m，∵图象与坐标轴有两个交点，∴当x＝m时，y＝−6m2+6m＝−m(6m−6)<0，∴m<，即m<0，当m＝6时，y＝x2(x>0)，图象如图4蓝色线条，图象与坐标轴只有一个交点，当m>0时，函数y＝x2−8mx+6m(x>m)的图象如图3所示的黑色线条，∴2m>m，∵图象与坐标轴有两个交点，∴当x＝m时，y＝−5m2+4m＝−m(5m−6)>6，∴m<，当x＝4m时，y＝−9m2+8m＝−3m(3m−8)<0，∴m>，即<m<，综上，m<0或，函数图象与坐标轴有两个交点．。
2023届吉林省长春市新区数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，如果AP =3cm ，那么PP ′的长为（ ）A ．43B ．42C ．33D ．322．如图，l 1∥l 2∥l 3，若32AB BC =，DF=6，则DE 等于（ ）A ．3B ．3.2C ．3.6D ．43．如图，已知A 、B 是反比例函数()k y k>0x>0x=，上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C 匀速运动，终点为C ，过运动路线上任意一点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动的时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．小马虎在计算16-13x 时，不慎将“-”看成了“+”，计算的结果是17，那么正确的计算结果应该是（ ） A ．15 B ．13 C ．7 D ．1-A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°6．下列两个图形，一定相似的是（ ）A ．两个等腰三角形B ．两个直角三角形C ．两个等边三角形D ．两个矩形7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）的对应值如下表所示： x … 0 5 4 … y … 0.37 -1 0.37 …则方程ax 2＋bx ＋1.37＝0的根是（ ）A ．0或4B ．5或45-C ．1或5D ．无实根8．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）A ．对角线互相垂直且相等的四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的平行四边形D ．对角线互相平分且垂直的四边形9．如图，半径为3的⊙O 内有一点A ，OA=3，点P 在⊙O 上，当∠OPA 最大时，PA 的长等于（ ）A 3B 6C ．3D ．310．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋2x ＋1＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2＋2x －3＝011．如图，ABC ∆内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，40ACB ∠=，点D 是弧BAC 上一点，连接CD ，则D ∠的度A．50°B．45°C．40°D．35°12．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么AFAG的值为__________．14．某一时刻，测得身高1.6m的同学在阳光下的影长为2.8m，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m，则教学楼的高为__________m.15．如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣4x和y＝kx的图象上，则k的值为___．16．如图三角形ABC是圆O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF平行AB，若AB等于6，则EF等于________.17．计算sin30tan45sin45tan60︒︒-︒︒=__________．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan 3DCB ∠=，则点D 的坐标为___________．三、解答题（共78分）19．（8分）图1和图2中的正方形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形．（1）如图1，连接DE ，BG ，M 为线段BG 的中点，连接AM ，探究AM 与DE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）在图1的基础上，将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE 、BG ，M 为线段BG 的中点，连结AM ，探究AM 与DE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论．20．（8分）现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16m的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）21．（8分）（1）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0；（2）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．请作出△A1B1C1，写出各顶点的坐标，并计算△A1B1C1的面积．22．（10分）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．24．（10分）如图，反比例函数y＝kx（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象过格点（网格线的交点）B、P．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围是： ．（3）在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O ，点P ；②矩形的面积等于k 的值．25．（12分）关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根12x x 、. （1）求a 的取值范围；（2）若12x x 、满足22121216x x x x +-=，求a 的值.26．如图，O 是△ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）若AD =2，CD =4，求BD 的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】由题意易证ABP ACP '≌，则有3,AP AP BAP CAP ''==∠=∠，进而可得90PAP '∠=︒，最后根据勾股定理可求解．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC ，∵将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，∴ABP ACP '≌，∵AP=3cm ，∴3,AP AP BAP CAP ''==∠=∠，∵90BAP PAC ∠+∠=︒，∴90CAP PAC '∠+∠=︒，即90PAP '∠=︒，∴PAP '是等腰直角三角形，∴PP '==；故选D ．【点睛】本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．2、C【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得： 3,2AB DE BC EF == 设3,2,DE x EF x ==5 6.DF x ∴==解得： 1.2.x =3 3.6.DE x ∴==故选C.3、A【详解】解：①点P 在AB 上运动时，此时四边形OMPN 的面积S=K ，保持不变，故排除B 、D ；②点P 在BC 上运动时，设路线O→A→B→C 的总路程为l ，点P 的速度为a ，则S=OC×CP=OC×（l ﹣at ），因为l ，OC ，a 均是常数，所以S 与t 成一次函数关系，故排除C ．故选A ．考点：动点问题的函数图象．【详解】试题分析：由错误的结果求出x 的值，代入原式计算即可得到正确结果．解：根据题意得：16+13x=17， 解得：x=3，则原式=16﹣13x=16﹣1=15， 故选A考点：解一元一次方程．5、D【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC=90°， ∴∠A=90°-∠ACB=40°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°， 故选D ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．6、C【解析】根据相似三角形的判定方法 一一判断即可；所应用判断方法:两角对应相等，两三角形相似.【详解】解：∵两个等边三角形的内角都是60°，∴两个等边三角形一定相似，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7、B【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点1)-，由于方程ax 2+bx+1.37=0变形为ax 2+bx+0.37=-1，则方程ax 2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax 2+bx+1.37=0的根为124x x ==【详解】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），而抛物线经过点(5,1)-所以抛物线经过点(45,1)--方程ax 2+bx+1.37=0变形为ax 2+bx+0.37=-1，所以方程ax 2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax 2+bx+1.37=0的根为125,45x x ==-.故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．8、D【解析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【详解】解：A 、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B 、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C 、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．9、B【解析】如图所示：∵OA 、OP 是定值，∴在△OPA 中，当∠OPA 取最大值时，PA 取最小值，∴PA ⊥OA 时，PA 取最小值；在直角三角形OPA 中,OA=3√，OP=3，∴22=6OP OA -故选B.点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用.解答此题的关键是找出“PA ⊥OA 时，∠OPA 最大”这一隐含条件. 当PA ⊥OA 时，PA 取最小值，∠OPA 取得最大值，然后在直角三角形OPA 中利用勾股定理求PA 的值即可． 10、D【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．【详解】A 、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根； B 、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；C 、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；D 、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，故选D ．【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 11、A【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ABC=90°，计算出∠BAC 的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠D 的度数．【详解】解：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°，又∵40ACB ∠=，∴∠BAC=90°-40°=50°，又∵∠BAC 与所对的弧相等，∴∠D=∠BAC=50°，故答案为A ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．12、C【解析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．【详解】解：由二次函数26y x x m =-+得到对称轴是直线3x =，则抛物线与x 轴的两个交点坐标关于直线3x =对称，∵其中一个交点的坐标为()1,0，则另一个交点的坐标为()5,0，故选C ．【点睛】考查抛物线与x 轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．二、填空题（每题4分，共24分）13、35【分析】由题中所给条件证明△ADF ~△ACG ，可求出AF AG 的值. 【详解】解：在△ADF 和△ACG 中，AB =6，AC =5，D 是边AB 的中点AG 是∠BAC 的平分线，∴∠DAF=∠CAG∠ADE ＝∠C∴△ADF ~△ACG ∴35AF AD AG AC ==. 故答案为35. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握.14、11.1 【分析】根据题意可知， 1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长，代入数据可得出答案． 【详解】解：由题意得出：1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长， 即，1.62.825.2=教学楼高 解得，教学楼高=11.1．故答案为：11.1．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．15、1．【分析】过A 作AE ⊥y 轴于E 过B 作BF ⊥y 轴于F ，通过△AOE ∽△BOF ，得到33AE OE OA OF BF OB ===，设4(,)A m m -，于是得到AE=-m ，4OE m =-，从而得到43(,3)B m m，，于是求得结果． 【详解】解：过A 作AE y ⊥轴于E 过B 作BF y ⊥轴于F ，90AOB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3tan 303OA OB ∴︒==， 90OAE AOE AOE BOF ∠+∠=∠+∠=︒，OAE BOF ∴∠=∠，AOE BOF ∴∆∆∽，∴33AE OE OA OF BF OB===， 设4(,)A m m -， AE m ∴=-，4OE m=-， 33OF AE m ∴==-，433BF OE m ==-， 43(,3)B m m∴， 43312k m m ∴==． 故答案为1．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.16、35【分析】设AC 与EF 交于点G ，由于EF ∥AB ，且D 是BC 中点，易得DG 是△ABC 的中位线，即DG=3；易知△CDG 是等腰三角形，可过C 作AB 的垂线，交EF 于M ，交AB 于N ；然后证DE=FG ，根据相交弦定理得BD •DC=DE •DF ，而BD 、DC 的长易知，DF=3+DE ，由此可得到关于DE 的方程，即可求得DE 的长，EF=DF+DE=3+2DE ，即可求得EF 的长；【详解】解：如图，过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF，根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O，∵EF∥AB，D是BC的中点，∴DG是△ABC的中位线，即DG=12AB=3；∵∠ACB=60°，BD=DC=12BC，AG=GC=12AC，且BC=AC，∴△CGD是等边三角形，∵CM⊥DG，∴DM=MG；∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM=MF，故DE=GF，∵弦BC、EF相交于点D，∴BD×DC=DE×DF，即DE×(DE+3)=3×3；解得-3+35-3-35；∴EF=3+2×-3+352=35【点睛】本题主要考查了相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理，掌握相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理是解题的关键.1716【分析】先把特殊角的三角函数值代入原式，再计算即得答案．【详解】解：原式=121613222-⨯-⨯=． 故答案为：162-． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题型，熟记特殊角的三角函数值、正确计算是关键．18、715,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据已知条件tan 3DCB ∠=，需要构造直角三角形，过D 做DH ⊥CR 于点H,用含字母的代数式表示出PH 、RH,即可求解．【详解】解：过点D 作DQ ⊥x 轴于Q,交CB 延长线于R,作DH ⊥CR 于H,过R 做RF ⊥y 轴于F,∵抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， ∴A(1,0), B(2,0)C(0,2)∴直线BC 的解析式为y=-x+2设点D 坐标为(m,m ²-3m+2),R(m,-m+2),∴DR=m ²-3m+2-(-m+2)=m ²-2m∵OA=OB=2∴∠CAO=ACO=45°=∠QBR=∠RDH,∴2m ,2(2)DH RH m ==-(2)(4)CH CR HR m m∴=-=--=-∵tan3DCB∠=(2)3mDHCH-∴==72m∴=经检验是方程的解.2277153232224m m⎛⎫∴-+=-⨯+=⎪⎝⎭715(,)24D∴故答案为：715(,)24D【点睛】本题考查了函数性质和勾股定理逆定理的应用还有锐角三角函数值的应用，本题比较复杂，先根据题意构造直角三角形．三、解答题（共78分）19、（1）AM=12DE，AM⊥DE，理由详见解析；（2）AM=12DE，AM⊥DE，理由详见解析.【解析】试题分析：（1）AM=12DE，AM⊥DE，理由是：先证明△DAE≌△BAG，得DE=BG，∠AED=∠AGB，再根据直角三角形斜边的中线的性质得AM=12BG，AM=BM，则AM=12DE，由角的关系得∠MAB+∠AED=90°，所以∠AOE=90°，即AM⊥DE；（2）AM=12DE，AM⊥DE，理由是：作辅助线构建全等三角形，证明△MNG≌△MAB 和△AGN≌△EAD可以得出结论．试题解析：（1）AM=12DE，AM⊥DE，理由是：如图1，设AM交DE于点O，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AG=AE，AD=AB，∵∠DAE=∠BAG，∴△DAE≌△BAG，∴DE=BG，∠AED=∠AGB，在Rt△ABG中，∵M为线段BG的中点，∴AM=12BG，AM=BM，∴AM=12 DE，∵AM=BM，∴∠MBA=∠MAB，∵∠AGB+∠MBA=90°，∴∠MAB+∠AED=90°，∴∠AOE=90°，即AM⊥DE；（2）AM=12DE，AM⊥DE，理由是：如图2，延长AM到N，使MN=AM，连接NG，∵MN=AM，MG=BM，∠NMG=∠BMA，∴△MNG≌△MAB，∴NG=AB，∠N=∠BAN，由（1）得：AB=AD，∴NG=AD，∵∠BAN+∠DAN=90°，∴∠N+∠DAN=90°，∴NG⊥AD，∴∠AGN+∠DAG=90°，∵∠DAG+∠DAE=∠EAG=90°，∴∠AGN=∠DAE，∵NG=AD，AG=AE，∴△AGN≌△EAD，∴AN=DE，∠N=∠ADE，∵∠N+∠DAN=90°，∴∠ADE+∠DAN=90°，∴AM⊥DE．考点：旋转的性质；正方形的性质．20、（1）8m ；（2）不可以，水管高度调整到0.7m ，理由见解析.【分析】（1）根据题意设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，然后将（0,0.64）代入解析式求得a 的值，然后求解析式y=0时，x 的值，从而求得半径；（2）利用圆与圆的位置关系结合正方形，作出三个等圆覆盖正方形的图形，然后利用勾股定理求得圆的半径，从而使问题得解.【详解】解：（1）由题意，设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，将（0,0.64）代入解析式，得910.64a += 解得：125a =- ∴最远的抛物线形水柱的解析式为21(3)125y x =--+ 当y=0时，21(3)1025x --+= 解得：128;2x x ==-所以喷灌出的圆形区域的半径为8m ；（2）如图，三个等圆覆盖正方形设圆的半径MN=NB=ME=DE=r ，则2r 2r∴在Rt△AMN 中，22216)(162)r r r -+=（2(162560r r -++=解得：8r =+（其中816+>，舍去）∴88.5r =+≈设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，将（8.5,0）代入25.51=0a +解得: 4=121a -∴24(3)1121y x =--+ 当x=0时，y=850.7121≈ ∴水管高度约为0.7m 时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据题意设抛物线为顶点式是本题的解题关键.21、（1）x 1＝，x 2＝2；（2）A 1（﹣1，﹣1），B 1（﹣4，0），C 1（﹣4，2），△A 1B 1C 1的面积＝12×2×2＝2． 【分析】（1）利用配方法得到（x ﹣2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1；然后写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标，利用三角形面积公式计算△A 1B 1C 1的面积．【详解】解：（1）移项，得x 2﹣4x ＝﹣2，配方，得x 2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x ﹣2）2＝2，所以x ﹣2＝所以原方程的解为x 1＝，x 2＝2；（2）如图，△A 1B 1C 1为所作；A 1（﹣1，﹣1），B 1（﹣4，0），C 1（﹣4，2），△A 1B 1C 1的面积＝12×2×2＝2．【点睛】本题主要考察作图-旋转变换、三角形的面积公式和解方程，解题关键是熟练掌握计算法则.22、（1）∠BDC=12α；（2）∠ACE=β；（3）DE=92．【分析】（1）连接AD，设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，证明∠DAB＝β−γ，β＝90°−γ，∠ABD＝2γ，得出∠ABD＝2∠BDC，即可得出结果；（2）连接BC，由直角三角形内角和证明∠ACE＝∠ABC，由点C为弧ABD中点，得出∠ADC＝∠CAD＝∠ABC ＝β，即可得出结果；（3）连接OC，证明∠COB＝∠ABD，得出△OCH∽△ABD，则OHBD＝OCAB＝12，求出BD＝2OH＝10，由勾股定理得出AB22AD BD+＝26，则AO＝13，AH＝AO＋OH＝18，证明△AHE∽△ADB，得出AHAD＝AEAB，求出AE＝392，即可得出结果．【详解】（1）连接AD，如图1所示：设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，∵点C为弧ABD中点，∴AC CD=，∴∠ADC＝∠CAD＝β，∴∠DAB＝β﹣γ，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴γ+β＝90°，∴β＝90°﹣γ，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝12∠ABD＝12α；（2）连接BC，如图2所示：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵点C为弧ABD中点，∴AC CD=，∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，∴∠ACE＝β；（3）连接OC，如图3所示：∴∠COB＝2∠CAB，∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，∴∠COB＝∠ABD，∵∠OHC＝∠ADB＝90°，∴△OCH∽△ABD，∴OHBD＝OCAB＝12，∴BD＝2OH＝10，∴AB＝26，∴AO＝13，∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，∴△AHE∽△ADB，∴AHAD＝AEAB，即1824＝AE26，∴AE＝392，∴DE＝AD﹣AE＝24﹣392＝92．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．23、1【分析】由勾股定理求出AB=1，由旋转的性质得出BE=BC=6，即可得出答案．【详解】∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，∴AB2268＝10，由旋转的性质得：BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝1．【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．24、（1）y＝4x，y＝﹣12x+3；（2）2＜x＜1；（3）见解析【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得；（3）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．【详解】（1）∵反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象过格点P （2，2）， ∴k ＝2×2＝1， ∴反比例函数的解析式为y ＝4x， ∵一次函数y ＝mx +n 的图象过格点P （2，2），B （1，1），∴2241m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得123m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣12x +3； （2）一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围是2＜x ＜1，故答案为2＜x ＜1．（3）如图所示：矩形OAPE 、矩形ODFP 即为所求作的图形．【点睛】此题是一道综合题，考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质，（3）中画矩形时把握矩形特点即可正确解答.25、（1）3a <；（2）a=-1【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即为方程根的判别式大于0，由此可得关于a 的不等式，解不等式即可求出结果；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得关于a 的方程，解方程即可求出a 的值，再结合（1）的结论取舍即可.【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴()()2221420a a a ∆=----->⎡⎤⎣⎦，解得：3a <， ∴a 的取值范围为：3a <；（2）∵12,x x 是方程的两个根，∴()1221x x a +=-，2122x x a a =--，∵22121216x x x x +-=，∴()21212316x x x x +-=， ∴()()22213216a a a ----=⎡⎤⎣⎦，解得：121,6a a =-=，∵3a <，∴1a =-.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的解法，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键.26、（1）证明见解析；（2）8BD =．【分析】（1）由垂直的定义，得到90ADC CDB ∠=∠=︒，由同角的余角相等，得到CAD BCD ∠=∠，即可得到结论成立；（2）由（1）可知ACD CBD △∽△，得到AD CD CD BD =，即可求出BD. 【详解】（1）证明：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒．∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒．∵90CAD ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴CAD BCD ∠=∠．∵ADC CDB ∠=∠,CAD BCD ∠=∠,∴ACD CBD △∽△．（2）解：由（1）得，ACD CBD △∽△ ∴AD CD CD BD=， 即244BD =， ∴8BD =．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.。
2022-2023学年吉林省长春市中学数学九上期末学业质量监测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．从一个装有3个红球、2个白球的盒子里（球除颜色外其他都相同），先摸出一个球，不再放进盒子里，然后又摸出一个球，两次摸到的都是红球的概率是（ ）A ．12B ．35C ．16D ．3102．从﹣1，0，1，2，3这五个数中，任意选一个数记为m ，能使关于x 的不等式组222x m x m -≤⎧⎨-≤⎩有解，并且使一元二次方程（m ﹣1）x 2+2mx +m +2＝0有实数根的数m 的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和c y x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点(3,6)A -，(9,3)B --，以原点O 为位似中心，相似比为13，把ABO ∆缩小，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(9,1)-或(9,1)-B ．(3,1)--C ．(1,2)-D ．(3,1)--或(3,1)5．如图，在ABC ∆中，45,1,2ACB BC AC ︒∠=== 将ABC ∆绕点A 逆时针旋转得到AB C ∆''，其中点'B 与点B 是对应点，且点,','C B C 在同一条直线上；则'B C 的长为( )A ．3B ．4C ．2.5D ．32 6．将抛物线221y x =-向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A ．()2222y x =++B ．()2222y x =-+ C ．()2222y x =-- D ．()2222y x =+- 7．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．100（1+2x ）＝150B ．100（1+x ）2＝150C ．100（1+x ）+100（1+x ）2＝150D ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝1508．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是 （ ）A ．顶点坐标为(1，2-)B ．对称轴是直线x=lC ．开口方向向上D ．当x>1时，y 随x 的增大而减小10．二次函数2y ax bx c =++的图象如右图所示，若54M a c =+，N a b c =++，则（ ）A ．0M >，0N >B ．0M >，0N <C ．0M <，0N >D ．0M <，0N <11．如图所示，已知圆心角100BOC ∠=︒，则圆周角BAC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．200︒12．下列命题是真命题的是（ ）A ．如果|a |＝|b |，那么a ＝bB ．平行四边形对角线相等C ．两直线平行，同旁内角互补D ．如果a ＞b ，那么a 2＞b 2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，正方形网格中，5个阴影小正方形是一个正方体表面展开图的一部分．现从其余空白小正方形中任取一个涂上阴影，则图中六个阴影小正方形能构成这个正方体的表面展开图的概率是______ ．14．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且ADE B ∠=∠，如果:2:5DE AD =，3BD =，那么AC =________．15．如图，等边△ABO 的边长为2，点B 在x 轴上，反比例函数图象经过点A ，将△ABO 绕点O 顺时针旋转a （0°＜a ＜360°），使点A 仍落在双曲线上，则a=_____．16．比较大小：111+______4.17．在ABC 中，AB AC =，点D 在直线BC 上，3DC DB =，点E 为AB 边的中点，连接AD ，射线CE 交AD 于点M ，则AM MD的值为________. 18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC=6，sinA=35，则DE=_____．三、解答题（共78分）19．（8分）解方程．（1）1x 1﹣6x ﹣1＝0；（1）1y （y +1）﹣y ＝1．20．（8分）化简分式222x x x x x 1x 1x 2x+1-⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值． 21．（8分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+6与x 轴交于点A （6，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM 最小时，求点M 的坐标．（3）抛物线上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P ，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．22．（10分）如图1，将边长为2的正方形OABC 如图放置在直角坐标系中．（1）如图2，若将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转30时，求点A 的坐标；（2）如图3，若将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转75︒时，求点B 的坐标．23．（10分）如图，ABC 与DEF 是位似图形，点O 是位似中心，OA AD = ，5AB = ，求DE 的长．24．（10分）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x (090x ≤≤)天的售价y 与x 函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x 天的销售量为()2002x -件．（1）试求出售价y 与x 之间的函数关系是；（2）请求出该商品在销售过程中的最大利润；（3）在该商品销售过程中，试求出利润不低于3600元的x 的取值范围．25．（12分）一次函数22y x =--分别与x 轴、y 轴交于点A 、B .顶点为()1,4的抛物线经过点A .（1）求抛物线的解析式；∆的面积为S.当m为何值时，S的值最大，并求S （2）点C为第一象限抛物线上一动点.设点C的横坐标为m，ABC的最大值；∆为直角三角形，请直接写出点M的坐标.（3）在（2）的结论下，若点M在y轴上，ACM26．为了解九年级学生的体能状况，从我县某校九年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题；(1)求本次测试共调查了多少名学生？并在答题卡上补全条形统计图；(2)经测试，全年级有4名学生体能特别好，其中有1名女生，学校准备从这4名学生中任选两名参加运动会，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红球的有6种情况，∴两次摸到的球的颜色相同的概率为：3 10．故选：D．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2、B【分析】根据一元一次不等式组可求出m的范围，根据判别式即可求出答案．【详解】解：∵222 x mx m-≤⎧⎨-≤⎩∴2﹣2m≤x≤2+m，由题意可知：2﹣2m≤2+m，∴m≥0，∵由于一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m+2＝0有实数根，∴△＝4m2﹣4（m﹣1）（m+2）＝8﹣4m≥0，∴m≤2，∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m的取值范围为：0≤m≤2且m≠1，∴m＝0或2故选：B．【点睛】本题考查不等式组的解法以及一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式．3、C【解析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线cyx=在二、四象限．【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a＜0，b＞0，c＜0，∴y=ax+b 过一、二、四象限， 双曲线c y x=在二、四象限， ∴C 是正确的．故选C ．【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．4、D【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k ，位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，把B 点的横纵坐标分别乘以13或-13即可得到点B′的坐标． 【详解】解：∵以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小， ∴点B （-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选D ．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．5、A【分析】根据旋转的性质说明△ACC ′是等腰直角三角形，且∠CAC′=90°，理由勾股定理求出CC′值，最后利用B′C=CC′-C′B′即可．【详解】解：根据旋转的性质可知AC=AC′，∠ACB=∠AC′B′=45°，BC=B′C′=1，∴△ACC′是等腰直角三角形，且∠CAC′=90°，∴=＝4，∴B′C=4-1=1．故选：A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，在解决旋转问题时，要借助旋转的性质找到旋转角和旋转后对应的量． 6、B【分析】根据“左加右减”，“上加下减”的平移规律即可得出答案．【详解】将抛物线221y x =-向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为()()222213=222=--+-+y x x故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．7、B【分析】可设每月营业额平均增长率为x ，则二月份的营业额是100（1+x ），三月份的营业额是100（1+x ）（1+x ），则可以得到方程即可．【详解】设二、三两个月每月的平均增长率是x ．根据题意得：100（1+x ）1＝150，故选：B ．【点睛】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x 的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x ），再经过第二次调整就是a （1±x ）（1±x ）=a （1±x ）1．增长用“+”，下降用“-”． 8、B【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9、D【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，-2），对称轴是直线x=1，根据a=1＞0，得出开口向上，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，根据结论即可判断选项．【详解】解：∵抛物线y=（x-1）2-2，A 、因为顶点坐标是（1，-2），故说法正确；B 、因为对称轴是直线x=1，故说法正确；C 、因为a=1＞0，开口向上，故说法正确；D 、当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故说法错误．故选D ．10、A【分析】由于当x=2.5时，255042a b c ++>，再根据对称轴得出b=-2a ，即可得出5a+4c ＞0，因此可以判断M 的符号；由于当x=1时，y=a+b+c ＞0，因此可以判断N 的符号； 【详解】解：∵当x=2.5时，y=255042a b c ++>， ∴25a+10b+4c ＞0，12b a-=， ∴b=-2a ，∴25a-20a+4c ＞0，即5a+4c ＞0，∴M ＞0，∵当x=1时，y=a+b+c ＞0，∴N ＞0，故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．11、A【详解】,BOC BAC ∠∠是同弧所对的圆周角和圆心角，2BOC BAC ∠=∠，因为圆心角∠BOC=100°，所以圆周角∠BAC=50°【点睛】本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答12、C【解析】根据绝对值的定义，平行线的性质，平行四边形的性质，不等式的性质判断即可．【详解】A 、如果|a |＝|b |，那么a ＝±b ，故错误； B 、平行四边形对角线不一定相等，故错误；C 、两直线平行，同旁内角互补，故正确；D 、如果a ＝1＞b ＝﹣2，那么a 2＜b 2，故错误；故选C ．【点睛】本题考查了绝对值，不等式的性质，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、47【分析】首先确定所求的阴影小正方形可能的位置总数目，除以剩余空白部分的正方形的面积个数即为所求的概率．【详解】解：从阴影下边的四个小正方形中任选一个，就可以构成正方体的表面展开图， ∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是47． 故答案为：47． 【点睛】 本题将概率的求解设置于正方体的表面展开图中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；“一，四，一”组合类型的6个正方形能组成正方体．14、152【分析】根据ADE B ∠=∠，EAD DAB ∠=∠，得出AED ABD ∆∆∽，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】∵ADE B ∠=∠，EAD DAB ∠=∠，∴AED ABD ∆∆∽， ∴DE BD AD AB =，即325AB =， ∴152AB =， ∵AB AC =， ∴152AC =， 故答案为152 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15、30°或180°或210°【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．【详解】根据反比例函数的轴对称性，A 点关于直线y=x 对称，∵△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴AO与直线y=x的夹角是15°，∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上，根据反比例函数的中心对称性，∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，∴此时a=180°，根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，∴此时a=210°；故答案为：30°或180°或210°．考点：(1)、反比例函数图象上点的坐标特征；(2)、等边三角形的性质；(3)、坐标与图形变化-旋转．16、＞【分析】用放缩法比较即可.3>=，∴1>3+1=4.故答案为：>.【点睛】a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算.在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根.17、23或43【分析】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．利用平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．∵DH∥CE，∴13 BH BDHE CD==．设BH=x，则HE=3x，∴BE=4x．∵E是AB的中点，∴AE=BE=4x．∵EM∥HD，∴4433AM AE x MD EH x ===． ②当D 在线段CB 延长线上时，如图2，过B 作BH ∥CE 交AD 于H ．∵DC =3DB ，∴BC =2DB ．∵BH ∥CE ，∴12DH BD HM BC ==． 设DH =x ，则HM =2x ．∵E 是AB 的中点，EM ∥BH ，∴1AM AE MH EB==， ∴AM =MH =2x ，∴2233AM x MD x ==． 综上所述：AM MD 的值为23或43．故答案为：23或43． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握辅助线的作法是解答本题的关键．18、154【详解】∵在Rt △ABC 中，BC=6，sinA=35 ∴AB=10∴AC 8==．∵D 是AB 的中点，∴AD=12AB=1． ∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE AD BC AC= 即DE 568= 解得：DE=154．三、解答题（共78分）19、（1）132x +=，232x =；（1）y 1＝﹣1，y 1＝12. 【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（1）根据因式分解法即可求出答案；【详解】解：（1）∵1x 1﹣6x ﹣1＝0，∴x 1﹣3x ＝12， ∴（x ﹣32）1＝114，∴x ，解得：132x +=，232x -=； （1）∵1y （y+1）﹣y ＝1，∴1y （y+1）﹣y ﹣1＝0，∴（y+1）（1y ﹣1）＝0，∴y+1＝0或1y ﹣1＝0，解得：y 1＝﹣1，y 1＝12. 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20、xx+1；x=2时，原式＝23.【解析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．最后在﹣1≤x≤3中取一个使分式分母和除式不为1的数代入求值．【详解】解：原式=()()()()()()()()()()()222x x+1x x1x1x x x==x+1x1x+1x1x+1x1x x1x+1x1⎡⎤---÷⋅⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦．∵﹣1≤x≤3的整数有－1，1，1，2，3，当x=﹣1或x=1时，分式的分母为1，当x=1时，除式为1，∴取x的值时，不可取x=﹣1或x=1或x=1．不妨取x=2，此时原式=22=2+13．21、（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（52，72）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图见解析【分析】（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6即可；（2）作点C关于对称轴x＝52的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，则CM+BM＝C'M+BM＝BC最小；求出BC'的直线解析式为y＝x+1，即可求M点；（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后分别尺规作图即可．【详解】解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，可得a＝﹣1，b＝5，∴y＝﹣x2+5x+6；（2）作点C关于对称轴x＝52的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，∵C（0，6），∴C'（5，6），设直线BC'的解析式为y=kx＋b将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得065k b k b =-+⎧⎨=+⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩∴直线BC'的解析式为y ＝x+1，将x ＝52代入，解得y=72 ∴M （52，72）； （3）存在5个满足条件的P 点；尺规作图如下：①若CB=CP 时，以C 为原点，BC 的长为半径作圆，交抛物线与点P ，如图1所示，此时点P 有两种情况； ②若BC=BP 时，以B 为原点，BC 的长为半径作圆，交抛物线与点P ，如图2所示，此时点P 即为所求；③若BP=CP ，则点P 在BC 的中垂线上，作BC 的中垂线，交抛物线与点P ，如图3所示，此时点P 有两种情况； 故存在5个满足条件的P 点．【点睛】此题考查的是求二次函数的解析式、求两线段之和的最小值和尺规作图，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、两点之间线段最短和用尺规作图作等腰三角形是解决此题的关键．22、（1）A )3,1-；（2）B 6,2- 【分析】（1）作AD x ⊥轴于点D ，则30AOD ∠=︒，2AO =,求得AD=1，根据勾股定理求得3，即可得出点A 的坐标；（2）连接BO ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，根据旋转角为75°，可得∠BOE ＝30°，根据勾股定理可得22OB =再根据Rt △BOD 中，122==BE OB 6OE =，可得点B 的坐标． 【详解】解：（1）如图1,作AD x ⊥轴于点D ，则30AOD ∠=︒，2AO =1AD ∴=，2213=-=OD ∴点A 的坐标为()3,1-．图1（2）如图2，连接OB ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，则75AOE ∠=︒，45BOA ∠=︒30BOE ∴∠=︒ 在Rt BOA ∆中，22OB =在Rt BOE ∆中，122==BE OB ，6OE = ∴点B 的坐标为()6,2-．图2【点睛】本题主要考查了旋转变换以及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．23、1【分析】已知△ABC 与△DEF 是位似图形，且OA=AD ，则位似比是OB ：OE=1：2，从而可得DE ．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，∴△ABC ∽△DEF ，∵OA=AD ，∴位似比是OB ：OE=1：2，∵AB=5，∴DE=1．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．24、（1）()()40050905090x x y x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩；（2）6050；（3）1070x ≤≤． 【分析】（1）当1≤x ≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y 关于x 的函数关系式，根据图形可得出当50≤x ≤90时，y ＝90；（2）根据W 关于x 的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x ≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内W 的最大值；当50≤x ≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内W 的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）分当050x ≤≤时与当5090x ≤≤时利用二次函数与一次函数的性质进行得到x 的取值范围．【详解】（1）当050x ≤≤时，设y kx b =+．∵图象过(0，40)，(50，90)，∴405090b k b =⎧⎨+=⎩解得140k b =⎧⎨=⎩， ∴40y x =+，∴()()40050905090x x y x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，， （2）当050x ≤≤时，()()40302002w x x =+--()22218020002456050x x x =-++=--+ ∵20a =-<，∴当45x =时，max 6050w =元；当5090x ≤≤时，()()9030200212012000w x x =--=-+∵1200k =-<，∴当50x =时，max 6000w =元．∵60506000>，∴当45x =时，max 6050w =元（3）当050x ≤≤时，()22456050w x =--+令3600w =，解得：180x =，210x =，∵3600w ≥∴当1050x ≤≤时，利润不低于3600元；当5090x ≤≤时，12012000w x =-+∵3600w ≥，即120120003600x -+≥，解得70x ≤，∴此时5070≤≤x ；综上，当1070x ≤≤时，利润不低于3600元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：分段找出y 关于x 的函数关系式；根据销售利润＝单件利润×销售数量找出W 关于x 的函数关系式；再利用二次函数的性质解决最值问题．25、（1）2y x 2x 3=-++；（2）当2m =时，S 的值最大，最大值为92；（3）()0,1-、()0,5、30,2⎛+ ⎝⎭或30,2⎛- ⎝⎭ 【分析】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =-+，代入点A 的坐标即可求解；（2）连接OC ，可得点()23,2m m C m -++，根据一次函数22y x =--得出点A 、B 的坐标，然后利用三角形面积公式得出ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆=++的表达式，利用二次函数的表达式即可求解；（3）①当AC 为直角边时，过点A 和点C 做垂线交y 轴于点1M 和点2M ，过点C 的垂线交x 轴于点N ，得出45CAO ∠=︒，再利用等腰直角三角形和坐标即可求解；②当AC 为斜边时，设AC 的中点为K ，以K 为圆心AC 为直径做圆于y 轴于点3M 和点4M ，过点K 作KW y ⊥轴，先得出WK 和4312M K M K AC ==的值，再求出43M W M W =的值即可求解.【详解】解：（1）一次函数22y x =--与x 轴交于点A ，则A 的坐标为()1,0-.抛物线的顶点为()1,4，∴设抛物线解析式为()214y a x =-+.抛物线经过点()1,0A -，()20114a -∴=-+.1a ∴=-. ∴抛物线解析式为()221423y x x x =--+=-++； （2）解法一：连接OC .点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ， ()223,m m C m ∴-++.一次函数22y x =--与y 轴交于点B .则2OB =， A 的坐标为()1,0-，1OA ∴=.1112122AOB S OA OB ∆∴=⋅=⨯⨯=， ()2211323222AOC S OA m m m m ∆=⨯⨯-++=-++， 12BOC S OB m m ∆=⨯⨯=. 22213151912(2)222222ABC AOB AOC BOC S S S S m m m m m m ∆∆∆∆=++=-+++=-++=--+∴. 当2m =时，S 的值最大，最大值为92； 解法二：作//CE y 轴，交AB 于点E .A 的坐标为()1,0-，1OA ∴=.点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，()223,m m C m ∴-++，(,22)E m m --.2223(22)45m m m C m E m -++---=-+∴+=.()221119145(2)2222ABC ACE BEC S S S CE OA m m m ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯-++=--+∴. 当2m =时，S 的值最大，最大值为92； 解法三：作//CD x 轴，交AB 于点D . 一次函数22y x =--与y 轴交于点B .则2OB =，点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，()223,m m C m ∴-++.把223y m m =-++代入22y x =--，解得21522m x m --=， 22151522222m m C m D m m ⎛⎫∴=-= ⎪⎝-+⎭--+.2211151922(2)222222ABC BCD ADC S S S CD OB m m m ∆∆∆⎛⎫=-=⋅=⨯⨯-++=--+ ⎪⎝⎭∴. 当2m =时，S 的值最大，最大值为92； 解法四：构造矩形123CC C C .（或构造梯形32BCC C ）一次函数22y x =--与y 轴交于点B .则2OB =， A 的坐标为()1,0-，1OA ∴=.点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，设点C 的纵坐标为n ，223n m m =-++∴，12CC n =+，31CC m =+，3C A m =，22AC =，21C B =，1BC m =. 1111(1)(2)(2)(1)2112222ABC S m n m n n m n m ∆=++-+-+-⨯⨯=++ 2215192(2)2222m m m -++=--+=. 当2m =时，S 的值最大，最大值为92； （3）由（2）易得点C 的坐标为()2,3，①当AC 为直角边时，过点A 和点C 做垂线交y 轴于点1M 和点2M ，过点C 的垂线交x 轴于点N ，如下图所示：由点A 和点C 的坐标可知：3tan 121CAO ∠==+ ∴45CAO ∠=︒∴11OM OA ==∴点1M 的坐标为()0,1- 由题可知：325ON =+=∴25OM ON ==∴点2M 的坐标为()0,5； ②当AC 为斜边时，设AC 的中点为K ，以K 为圆心AC 为直径做圆于y 轴于点3M 和点4M ，过点K 作KW y ⊥轴，如下图所示：由点A 和点C 的坐标可得点K 的坐标是13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭∴12WK =，4313222M K M K AC === ∴22433172M W M W M K WK ==-=∴点3M 的坐标为3170,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，点4M 的坐标为3170,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭根据圆周角定理即可知道3490AM C AM C ∠=∠=︒∴点3M 和点4M 符合要求∴综上所述点M 的坐标为()0,1-、()0,5、3170,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或3170,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考察了待定系数法求抛物线解析式、一次函数、动点问题等，利用数形结合思想是关键.26、 (1)共调查了50名学生，补图见解析；(2)12. 【分析】（1）设本次测试共调查了x 名学生，根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即可解决.用总数减去A 、C 、D 中的人数，即可解决，画出条形图即可.（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到有1名女生的结果数，然后根据概率公式计算.【详解】解：(1)设本次测试共调查了x 名学生.由题意20%10x =，解得：50x =∴本次测试共调查了50名学生.则测试结果为B 等级的学生数＝501016618---=人.条形统计图如图所示，(2)画树状图：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到有1名女生的结果数6，所以恰好抽到有1名女生的概率＝612＝12.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．。
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九年级（上）期末数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知一元二次方程x 2+kx -3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A. B. 2 C. D. 4−2−42.抛物线y =3（x +1）2-2的顶点坐标是（ ）A. B. C. D. (1,−2)(−1,2)(−1,−2)(1,2) 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若AD =4，DB =2，则DE ：BC 的值为（ ）A. 23B. 12C. 34D. 354.如图，点A 、B 、C 均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos ∠BAC 的值为（ ）A. B. C. 1 D. 122225.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m 2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A. B.(x−3)(x−2)=20(x+3)(x+2)=20C. D.x2−3x−2x=20x2−3×2=206.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米100sin35∘100sin55∘100tan35∘100tan55∘7.如图，O为圆心，AB是直径，C是半圆上的点，D是AC上的点．若∠BOC=40°，则∠D的大小为（ ）A. B. C. D.1l0∘120∘130∘140∘8.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=（x+1）（x-3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（ ）A. 6B. 8C. 12D. 16二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：cos30°+tan60°=______．10.一元二次方程2x2-4x+1=0有______个实数根．11.将抛物线y=-x2先向右平移4个单位然后再向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为______．12.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．13.如图，AB与⊙O相切于点B，弦BC∥OA．若⊙O的半径为3，∠A=50°，则的长为______．BC14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-3x+1的对称轴交x轴于点A，点B是位于x轴上方的对称轴上一点，BC∥x轴交对称轴右侧的抛物线于点C．若四边形OACB 是平行四边形，则点C的坐标为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.解方程：x2+4x-2=0．16.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点（-2，6），（2，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求y随x的增大而减小时x的取值范围．17.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业，据统计该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元，预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元．求该市2018年、2019年这两年“竹文化”旅游收入的平均年增长率．18.如图，AD是△ABC的角平分线延长AD到E，使CE=AC．（1）求证：△ABD∽△ECD；（2）若AB=2，AC=4，BD=1，求BC的长．19.如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15m，CD=20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°=0.67，cos42°=0.74，tan42°=0.90】AB20.如图，AB是⊙O的直径，C为的中点，延长AC到点D，使CD=AC，连结BD．（1）求∠A的度数；（2）求证：BD与⊙O相切．21.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（2，3）、（6，2），并写出点B的坐标；（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大，相似比为2，画出放大后的△A'B'C'；（3）直接写出B′C′与AC的交点坐标．22.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．23.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =∠ADB =90°，tan A =，AB =5，点P 在△BCD 的边上或内部运动，过点P 分34别向边AD 、AB 所在直线作垂线，交射线AD 于点E ，交边AB 于点F ．（1）求边CD 的长；（2）求线段AE 的取值范围；（3）当点P 在△BCD 的边上运动时，若PE =PF ，直接写出线段PE 的长．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2-5ax +c 交x 轴于点A ，点A 的坐标为（4，0）．（1）用含a 的代数式表示c ．（2）当a =时，求x 为何值时y 取得最小值，并求出y 的最12小值．（3）当a =时，求0≤x ≤6时y 的取值范围．12（4）已知点B 的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB 外接圆内部时，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选：B．根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2.【答案】C【解析】解：由y=3（x+1）2-2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，-2），故选：C．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．考查将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3.【答案】A【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错．4.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=，BC=，AC=，∵，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC==，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC的形状，利用锐角三角函数解答．5.【答案】A【解析】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-3）（x-2）=20，故选：A．可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x-2）m，宽为（x-3）m．根据长方形的面积公式方程可列出．本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．根据正切函数可求小河宽PA的长度．考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7.【答案】A【解析】解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°-40°=140°，∴∠D==110°，故选：A．根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．8.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=（x+1）（x-3）与x轴相交于A、B两点，∴点A（-1，0），点B（3，0），该抛物线的对称轴是直线x==1，∴AB=3-（-1）=4，该抛物线顶点的纵坐标是：y=（1+1）×（1-3）=-4，∵在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，∴m==8，故选：B．根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与x轴的交点坐标和顶点的坐标，再根据在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，可知其中一点一定在顶点处，从而可以求得m的值．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．9.【答案】332【解析】解：原式=+=．故答案为：．直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10.【答案】两【解析】解：∵a=2，b=-4，c=1，∴△=（-4）2-4×2×1=8＞0，∴此一元二次方程有两个实数根，故答案为：两．根据方程得出a，b，c的值，再代入△=b2-4ac求出判别式的值，从而作出判断．本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．11.【答案】y=-（x-4）2+3【解析】解：抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向右平移4个单位然后再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（4，3），所以平移后的抛物线所对应的函数表达式为y=-（x-4）2+3．故答案为y=-（x-4）2+3．先确定抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（4，3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12.【答案】6017【解析】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．13.【答案】π53【解析】解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，∠A=50°，⊙O的半径为3，∴OB=3，∠AOB=40°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=40°，又OB=OC，∴∠BOC=100°，则==π，故答案为：π．连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到△AOB为直角三角形，且∠AOB=40°，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC=40°，又OB=OC，得到△BOC为等边三角形，确定出∠BOC=100°，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．此题考查了切线的性质，直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．14.【答案】（3，1）【解析】解：∵抛物线y=x2-3x+1=（x-）2-，∴该抛物线的对称轴为直线x=，∵抛物线y=x2-3x+1的对称轴交x轴于点A，点B是位于x轴上方的对称轴上一点，BC∥x轴交对称轴右侧的抛物线于点C，四边形OACB是平行四边形，∴点A的坐标为（，0），点B的横坐标为，OA=，OA=BC，∴BC=，∴点C的横坐标为：+=3，∵点C在抛物线上，∴点C的纵坐标为：y=32-3×3+1=1，即点C的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．根据题目中的函数解析式可以求得抛物线的对称轴，从而可以求得点A 的坐标和点B 的横坐标，以及OA 的长，然后根据平行四边形的性质可以求得点C 的横坐标，然后代入抛物线解析式即可求得点C 的坐标，本题得以解决．本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．15.【答案】解：移项，得x 2+4x =2，两边同加上22，得x 2+4x +22=2+22，即（x +2）2=6，利用开平方法，得或，x +2=6x +2=−6∴原方程的根是，．x 1=−2+6x 2=−2−6【解析】先移项，得x 2+4x=2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，难度适中．16.【答案】解：（1）将点（-2，6），（2，2）代入y =ax 2+bx +2中，得，{4a−2b +2=64a +2b +2=2∴a =，b =-1，12∴y =x 2-x +2；12（2）∵抛物线y =x 2-x +2对称轴为直线x =-=1，12−12×12∵a =＞0，则抛物线开口向上，12∴y 随x 的增大而减小时x ＜1．【解析】（1）由条件可知点A 和点B 的坐标，代入解析式可得到关于a 和b 的二元一次方程组，解得a 和b ，可写出二次函数解析式；（2）根据a 的值可确定开口方向，并根据抛物线的解析式求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．17.【答案】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x ，根据题意得：2（1+x ）2=2.88，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．【解析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x ，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.【答案】解：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵CE =AC ，∴∠CAD =∠E ，∴∠BAD =∠E ，∴AB ∥CE ，∴△ABD ∽△ECD ；（2）∵△ABD ∽△ECD ，∴，AB CE =BD CD ∵CE =AC =4，∴=，241CD ∴CD =2，∴BC =BD +CD =1+2=3．【解析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD ，根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠E ，等量代换得到∠BAD=∠E ，根据平行线的判定定理得到AB ∥CE ，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19.【答案】解：由题意得：∠AEB =42°，∠DEC =45°，∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴在Rt △ABE 中，∠ABE =90°，AB =15，∠AEB =42°，∵tan ∠AEB =，AB BE ∴BE =≈15÷0.90=，15tan 42∘503在Rt △DEC 中，∠CDE =90°，∠DEC =∠DCE =45°，CD =20，∴ED =CD =20，∴BD =BE +ED =+20≈36.7（m ）．503答：两幢建筑物之间的距离BD 约为36.7m ．【解析】在Rt △ABE 中，根据正切函数可求得BE ，在Rt △DEC 中，根据等腰直角三角形的性质求得ED ，然后根据BD=BE+ED 求解即可．本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．20.【答案】解：（1）连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，C 为的中AB 点，∴∠BOC =90°，∵∠A =∠BOC ，12∴∠A =45°；（2）∵OA =OB ，AC =CD ，∴OC ∥BD ，∴∠BOC +∠ABD =180°，∴∠B =180°-∠BOC =90°，∵点B 在⊙O 上，∴BD 与⊙O 相切．【解析】（1）连接OC ，根据AB 是⊙O 的直径，C 为的中点，得到∠BOC=90°，根据圆周角定理得到结论；（2）根据已知条件得到OC ∥BD ，根据平行线的性质得到∠BOC+∠ABD=180°，根据切线的判定定理得到结论．本题考查了切线的判定，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21.【答案】解：（1）如图1，B 点坐标为（2，1）；（2）如图1，△A ′B ′C ′为所作；（3）B ′C ′与AC 的交点坐标（5，）．94【解析】（1）利用A 点和C 点坐标画出x 轴与y 轴，然后写出B 点坐标；（2）把A 、B 、C 三点的横纵坐标都乘以2得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可得到△A′B′C′，如图1，然后利用三角形面积公式计算△A′B′C′的面积； （3）根据图象直接得到结论．本题考查了作图位似变换，根据平移的性质确定对应点的位置是解题的关键．（3）中求三角形的面积通常都是利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积求解，此方法需要掌握．22.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =a （x -3）2+5（a ≠0），将（8，0）代入y =a （x -3）2+5，得：25a +5=0，解得：a =-，15∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =-（x -3）2+5（0＜x ＜8）．15（2）当y =1.8时，有-（x -3）2+5=1.8，15解得：x 1=-1，x 2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x =0时，y =-（x -3）2+5=．15165设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =-x 2+bx +，15165∵该函数图象过点（16，0），∴0=-×162+16b +，解得：b =3，15165∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =-x 2+3x +=-（x -）151********+．28920∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．28920【解析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x 2+bx+，代入点（16，0）可求出b 值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x 的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．23.【答案】解：∵∠ADB =90°，tan A =，AB =5，34∴BD =3，AD =4．∵AB ∥CD ，∴∠CDB =∠ABD ．∴cos ∠CDB =cos ∠ABD ．∴，即，CD BD =BD AB CD 3=35所以CD =．95（2）当点P 在边BD 上运动时，如图1，AE 取最小值，此时AE =AD =4；当点P 与C 点重合时，如图2，AE 取最大值．∵AB ∥CD ，∴∠CDE =∠A ，∴cos ∠CDE =cos A ．∴，即，解得DE =．DE CD =AD AB DE 95=453625∴AE =AD +DE =．13625∴4≤AE ≤．13625（3）当点P 在边BD 上时，E 点和D 点重合如图1，设PE =PF =x ，则BP =3-x ，sin ∠PBF =，解得x =．即PE =；33−x =454343当点P 在边BC 上时，F 点和B 点重合，PE =PB ，如图3，设AP 与BD 交点为O ，过O 点作OH ⊥AB 于H 点．由图1可知OH =，BO =．4353∵BC ∥OH ，∴∠OPB =∠AOH ．又∠DOA =∠AOH =∠BOP ，∴∠BOP =∠OPB ．∴PB =BO =．即PE =．5353∴当点P 在△BCD 的边上运动时，若PE =PF ，线段PE 的长为或．4353【解析】（1）借助cos ∠CDB=cos ∠ABD 得到一组比例式可求解CD ；（2）当点P 在边BD 上运动时，如图1，AE 取最小值，此时AE=AD=4；当点P 与C 点重合时，AE 取最大值，先利用cos ∠CDE=cosA ，得到比例式求出DE 值，最后计算AD+DE 即可得最大值；（3）分两种情况：①当点P 在边BD 上时，E 点和D 点重合，设PE=PF=x ，则BP=3-x ，sin ∠PBF=，可求解PE 长；②当点P 在边BC 上时，F 点和B 点重合，PE=PB ，如图3证明BP=BO 即可解决问题．本题主要考查了解直角三角形，进行合情推理、正确画出图形是解题的关键．同时考查了分类讨论思想．24.【答案】解：（1）将A （4，0）代入y =ax 2-5ax +c ，得：16a -20a +c =0，解得：c =4a ．（2）当a =时，c =2，12∴抛物线的解析式为y =x 2-x +2=（x -）2-．1252125298∵a =＞0，12∴当x =时，y 取得最小值，最小值为-．5298（3）当a =时，c =-2，12∴抛物线的解析式为y =x 2-x -2=（x -）2-．1252125298∵a =＞0，12∴当x =时，y 取得最小值，最小值为；5298当x =0时，y =-2；当x =6时，y =×62-×6-2=1．1252∴当0≤x ≤6时，y 的取值范围是≤y ≤1．98（4）∵抛物线的解析式为y =ax 2-5ax +4a =a （x -）2-a ，5294∴抛物线的对称轴为直线x =，顶点坐标为（，-a ）．525294设线段AB 的中点为O ，以AB 为直径作圆，设抛物线对称轴与⊙O交于点C ，D ，过点O 作OH ⊥CD 于点H ，如图所示．∵点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标（0，3），∴AB =5，点O 的坐标为（2，），点H 的坐标为（，）．325232在Rt △COH 中，OC =AB =，OH =，125212∴CH =，6∴点C 的坐标为（，+）．52326同理：点D 的坐标为（，-），52326∴，{−94a ＞32−6−94a ＜32+6a ≠0解得：--＜a ＜-+且a ≠0．2346923469【解析】（1）将点A 的坐标代入抛物线解析式中，即可用含a 的代数式表示出c ；（2）当a=时可得出c 的值，将其代入抛物线解析式中，配方后即可解决最值问题；（3）当a=时可得出c 的值，将其代入抛物线解析式中，配方后可得出二次函数的最大值，再分别代入x=0和x=6求出y 值，进而可得出当0≤x≤6时y 的取值范围；（4）利用配方法找出抛物线的对称轴及顶点坐标，设线段AB 的中点为O，以AB 为直径作圆，设抛物线对称轴与⊙O 交于点C ，D ，过点O 作OH ⊥CD 于点H，在Rt△COH中，利用勾股定理可求出CH的长，进而可得出点C的坐标，同理可得出点D的坐标，再结合顶点的纵坐标及二次项系数非零，即可求出a 的取值范围．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、三角形的外接圆、勾股定理以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）代入点A的坐标，用含a的代数式表示出c；（2）利用配方法求出二次函数的最值；（3）利用配方法结合二次函数图象上点的坐标特征，求出y的取值范围；（4）利用勾股定理结合点H的坐标找出点C，D的坐标．。