最新2019-第六节极限存在准则两个重要极限 (2)-PPT课件
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第六节两个重要极限 PPT资料共30页
称数列 y n 为单调增加数列； 若对如何正整数 n ， 恒有
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
11/26/2019
第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
11/26/2019
第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1
1 2(xn
a )
xn
xn
a xn
a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)
1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
11/26/2019
第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
11/26/2019
第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
11/26/2019
第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1
1 2(xn
a )
xn
xn
a xn
a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)
1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
11/26/2019
第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
第六节极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
0106极限存在准则与两个重要极限-PPT精选文档
第六节 极限存在准则与两个重要极限 一、极限存在准则
1. 夹逼准则 准则1 若数xn列 ,yn,zn满足下列 : 条件
(1 )y nx n zn ;(nN0); (2 )n l i y m n n l i z m n A ; 则n l i m xnA.
yn A xn zn
x
证 y n A , z n A ,
lim(11)e
令t 1,
lim (1x)1 xlim (11)t e.
x
x 0
t t
1∞
1
lim(1x)x e
x0
例5 求lim(11)x. x x
1∞
lim(11)e
解 原 式 lim [1 (1)x]1
x x
lim x (1
则 lim f(x)A. x a
yA
yA
yA
yh(x) yf(x) yg(x)
x0 x 0 x0
准则 1和准则1 ′称为夹逼准则.
例1 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解
n2 nnxn
n ,
n21
sin x
lim ( x 0
x 2 )2
1.
2
2
2
例4 求 alitm ax,n blitm a 2x n .
x 0 x
x 0si3x n
解 alim sinx 1 1, x0 x coxs
blim 1si2 x n 3 x2 x11122. x 0co 2 xs2 x si3 x n3 x 1 3 3
x 0
x 0
limsinx1. x0 x
limsin1 0
1. 夹逼准则 准则1 若数xn列 ,yn,zn满足下列 : 条件
(1 )y nx n zn ;(nN0); (2 )n l i y m n n l i z m n A ; 则n l i m xnA.
yn A xn zn
x
证 y n A , z n A ,
lim(11)e
令t 1,
lim (1x)1 xlim (11)t e.
x
x 0
t t
1∞
1
lim(1x)x e
x0
例5 求lim(11)x. x x
1∞
lim(11)e
解 原 式 lim [1 (1)x]1
x x
lim x (1
则 lim f(x)A. x a
yA
yA
yA
yh(x) yf(x) yg(x)
x0 x 0 x0
准则 1和准则1 ′称为夹逼准则.
例1 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解
n2 nnxn
n ,
n21
sin x
lim ( x 0
x 2 )2
1.
2
2
2
例4 求 alitm ax,n blitm a 2x n .
x 0 x
x 0si3x n
解 alim sinx 1 1, x0 x coxs
blim 1si2 x n 3 x2 x11122. x 0co 2 xs2 x si3 x n3 x 1 3 3
x 0
x 0
limsinx1. x0 x
limsin1 0
第六节两个重要极限
x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1
(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n
n
1
)n 1
lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e
教学内容极限存在准则与两个重要极限(精)
若 limk C 0, 则称 是关于 的 k 阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
例如 , 当x 0 时
x3 o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
又如 ，
lim
即
xn a
,
故
lim
n
xnLeabharlann a.例1. 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
xn
a xn
a
xn1 xn
1 (1 2
a xn 2
)
1 (1 2
a) a
1
∴数列单调递减有下界，故极限存在，设
lim
n
xn
A
则由递推公式有 A 1 ( A a )
A a
2A
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn
a
2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn1 , 即
(1 ) 1
单调增, 又
极限存在准则-两个重要极限公式
2
举例2
使用公式2计算 lim(x→1) (x² - 1) / (x - 1)
重要极限公式的意义和应用
这两个重要极限公式不仅帮助我们更容易地计算函数的极限值，还能在实际 问题中应用。了解这些公式将使我们更精确地理解和解决数学和科学中的难 题。
例子
计算极限 lim(x→2) [3x + 2x²]
重要极限公式2: 复合函数的极限等于 函数内外极限的复合
1 公式说明
当我们计算复合函数的极限时，可以将外部函数的极限值与内部函数的极限值进行复合 计算。
2 例子
计算极限 lim(x→0) sin(x) / x
重要极限公式的应用
1
举例1使用公式1计算 lim(x→) [2x + 5x²]
极限存在准则-两个重要 极限公式
本节介绍两个重要的极限公式，能够帮助我们计算函数的极限值。第一个公 式是两个函数的极限的和等于函数和的极限，第二个公式是复合函数的极限 等于函数内外极限的复合。
重要极限公式1: 函数极限的和等于和 的极限
公式说明
当我们计算两个函数在某一点的极限值时，可以将两个函数的极限分别计算，然后将其结果 相加。
最新2019-D16极限存在准则两个重要极限-PPT课件
例3.
解: 原式 =
1 2
s lxim0
in
x 2
x 2
2
例4. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
n
证明:
R
证:
ππ
n
注: 计算中注意利用
(x)0重要 !
三、单调有界数列的收敛准则
准则II ：单调有界数列必有极限。 若数列{xn}满足 则称数列{xn}单调增加； 若数列{ xn }满足
准则I’
且
利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存 在的夹逼准则证明.
二、 第一个重要极限 limsinx 1 单位圆 B
x0 x
Байду номын сангаас
证: 当
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
显然有
例1.
解:
limsinx 1
x0 x cosx
例2. 解:
原式
则
因此
第一章
第一章 函数与极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、数列极限（函数极限）的夹逼准则、 单调有界收敛准则
二、 两个重要极限
一、数列极限存在的夹逼准则
准则I ：若数列{ xn }, { yn } 和 { zn } 满足下列条件:
则数列{ xn }的极限存在且 证：
故
相应的函数极限存在的夹逼准则
下证: 函数极限
一方面, 当 x > 0 时, 设
则
1
1 n1
另一方面, 当 令
时, 则
从而有
故
例5.
解:
则
另证: 利用
则
原式
小结
1. 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
极限存在准则与两个重要极限.ppt
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
目录 上一页 下一页 退 出
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
4、1 ； 3
8、1 ； e
4、e 1 ；
目录 上一页 下一页 退 出
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
目录 上一页 下一页 退 出
二、函数极限与数列极限的关系
定理2
目录 上一页 下一页 退 出
目录 上一页 下一页 退 出
三、柯西收敛准则
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn
1
1
1 2!
1 n!
1
1
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
x 是有界的; n
1! n 2! n2
函数极限存在的夹逼准则(课件全)
例. 证明函数
在
内任意一点连续 .
证: x0 ( , )
y sin( x0 x ) sin x0
y 2 sin 2x cos( x0
x 2
)
x
即 这说明
x 0
0
在
内任意一点连续 .
函数
在点
连续有下列等价命题:
x 0
lim y 0
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 即： 设函数 即 于是 复合函数 且 ( x0 ) u 0 .
lim f (u )
uu 0
f [ ( x0 )]
例如,
是由连续函数链
x ( ,0) (0, )
复合而成 , 因此
sin x lim 1 x 0 x
sin x 1 lim x 0 3 x 3
sin x lim 2 x 0 x
x 2 o ( 3x ) ; sin x
～ x
又如 ，
x 2 sin 2 2 1 1 cos x lim lim 2 x )2 x 0 x0 4( x 2 2
称为间断点 .
这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2
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取 N mN a 1 ,N 2 x },{上两式同时成立,
即 a y n a , a zn a ,
当nN时, 恒有a y n x n z n a ,
即xna成,立 ln i m xna.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 思考题
1
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一、极限存在准则
1.【夹逼准则】
【准则Ⅰ】 如果数列xn , yn 及 zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
nLeabharlann yn3机动 目录 上页 下页 返回 结束
【准则Ⅰ′】 如果当 x U ( x0, ) (或 x M )时,有 (1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
5
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2.【单调有界准则】
如果数 xn满 列足条件
x 1 x 2 x n x n 1 ,单调增加
广义单调数列
x 1 x 2 x n x n 1 ,单调减少
【 准 则 Ⅱ 】 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
xn是有界 ; 的 ln i m xnA存在 .
？ x n 13x n,xn 213xn注, 意到 ln i m xnln i m xn1
ln i x m n 2 1ln i (m 3xn), A23A,
解A 得 11,3A 11(舍3去)
［提示］ 1 x n 1 x n1x n 1 x 1 x
1 (5) limx[ ]1
x x0 ［提示］ 1 x11 x1 x
(x0),
当 x > 0 时 1xx1x1 由夹逼定理得 limx[1]1.
x x0
【注】记住[x]的运算性质： x1[x]x
7
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【补例2】证明 xn 数 3列 3 3(n重根 递
式 )的极,并 限求 存.此 在 xn1 极 3x 限 n
推 公
【证】 显x n 然 1x n , xn是单调递 ; 增的 式
又 x 133 , 假x 定 k3,xk13xk 33 3,
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
【解】 n1 1n, n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
又ln im n2nnln im 111 1, 抓大头
n
1n
lim n n2
lim 1 n 1n12
1,
由夹逼准则得
li(m 11 1) 1 .
从而得 01
矛盾
见课后习 p564、 题（ 3）
9
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【练习】教材课后习题P56 第4 题提示
(1) lim111 ［提示］1 1111
n
n
nn
( 2 )l n in ( m n 2 1 n 2 1 2 n 2 1 n ) 1
a,
lnim zn a,
那末数列xn的极限存在,
且lim n
xn
a.
【证】 y n a , zn a ,
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
2
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当 n N 1 时恒 yn a 有 , 当 nN 2 时恒 zna 有 ,
于 sx i 是 B n , x D 弧 有 A ,tB x a A , nC
11
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二、两个重要极限
C
B
(1) lim six n1 x 0 x
oxD A
设O 单 ,圆 位 A 心 O x ,( 圆 0 角 B x ) 2 作单位圆， 的得 切 A线 C.O
扇形 OA的 B 圆心角 x, 为OA的 B高 B为 D ,
［提示］
n 2 n n n n ( n 2 1 n 2 1 2 n 2 1 n ) n n 2 n
(3)数2 列 , 22, 222, 极限存
［提示］单调有界准则
10
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(4) lim n1x1 x 0
【几何解释】
x 1 x 2 x 3x n xn1 A M x
6
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相应地，函数极限也有类似的准则 【准则Ⅱ】（以 xx0为例，叙述 ）如下
设函f(数 x)在点 x0的某个左邻域 有内 界单 则 f(x)在 x0的左 f(x0 极 )必限 定 . 存在 准则Ⅱ及 准则Ⅱ 统称为单调有界准则
2
2
1 13 ln i m xn 2 .
8
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论
如 xn n 显有 xn1xn1① 记 ln ix m n ln i x m n 1 A ①式两端取极限后 得 A A 1
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.
【注意】⑴利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放,得 到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.
⑵利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作 适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极 限相等.
4
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【补例1】 求 li(m 1 1 1).
即 a y n a , a zn a ,
当nN时, 恒有a y n x n z n a ,
即xna成,立 ln i m xna.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 思考题
1
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一、极限存在准则
1.【夹逼准则】
【准则Ⅰ】 如果数列xn , yn 及 zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
nLeabharlann yn3机动 目录 上页 下页 返回 结束
【准则Ⅰ′】 如果当 x U ( x0, ) (或 x M )时,有 (1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
5
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2.【单调有界准则】
如果数 xn满 列足条件
x 1 x 2 x n x n 1 ,单调增加
广义单调数列
x 1 x 2 x n x n 1 ,单调减少
【 准 则 Ⅱ 】 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
xn是有界 ; 的 ln i m xnA存在 .
？ x n 13x n,xn 213xn注, 意到 ln i m xnln i m xn1
ln i x m n 2 1ln i (m 3xn), A23A,
解A 得 11,3A 11(舍3去)
［提示］ 1 x n 1 x n1x n 1 x 1 x
1 (5) limx[ ]1
x x0 ［提示］ 1 x11 x1 x
(x0),
当 x > 0 时 1xx1x1 由夹逼定理得 limx[1]1.
x x0
【注】记住[x]的运算性质： x1[x]x
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【补例2】证明 xn 数 3列 3 3(n重根 递
式 )的极,并 限求 存.此 在 xn1 极 3x 限 n
推 公
【证】 显x n 然 1x n , xn是单调递 ; 增的 式
又 x 133 , 假x 定 k3,xk13xk 33 3,
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
【解】 n1 1n, n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
又ln im n2nnln im 111 1, 抓大头
n
1n
lim n n2
lim 1 n 1n12
1,
由夹逼准则得
li(m 11 1) 1 .
从而得 01
矛盾
见课后习 p564、 题（ 3）
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【练习】教材课后习题P56 第4 题提示
(1) lim111 ［提示］1 1111
n
n
nn
( 2 )l n in ( m n 2 1 n 2 1 2 n 2 1 n ) 1
a,
lnim zn a,
那末数列xn的极限存在,
且lim n
xn
a.
【证】 y n a , zn a ,
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
2
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当 n N 1 时恒 yn a 有 , 当 nN 2 时恒 zna 有 ,
于 sx i 是 B n , x D 弧 有 A ,tB x a A , nC
11
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二、两个重要极限
C
B
(1) lim six n1 x 0 x
oxD A
设O 单 ,圆 位 A 心 O x ,( 圆 0 角 B x ) 2 作单位圆， 的得 切 A线 C.O
扇形 OA的 B 圆心角 x, 为OA的 B高 B为 D ,
［提示］
n 2 n n n n ( n 2 1 n 2 1 2 n 2 1 n ) n n 2 n
(3)数2 列 , 22, 222, 极限存
［提示］单调有界准则
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(4) lim n1x1 x 0
【几何解释】
x 1 x 2 x 3x n xn1 A M x
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相应地，函数极限也有类似的准则 【准则Ⅱ】（以 xx0为例，叙述 ）如下
设函f(数 x)在点 x0的某个左邻域 有内 界单 则 f(x)在 x0的左 f(x0 极 )必限 定 . 存在 准则Ⅱ及 准则Ⅱ 统称为单调有界准则
2
2
1 13 ln i m xn 2 .
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论
如 xn n 显有 xn1xn1① 记 ln ix m n ln i x m n 1 A ①式两端取极限后 得 A A 1
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.
【注意】⑴利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放,得 到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.
⑵利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作 适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极 限相等.
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【补例1】 求 li(m 1 1 1).