五年高考真题(数学理) 2.3 二次函数与幂函数

第三节 二次函数与幂函数
考点一 二次函数的综合应用
1．(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16
B ．18
C ．25
D.81
2
解析 令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8
m －2
，
当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8
m －2≥2，
∴2m ＋n ≤12，
∵2mn ≤2m ＋n
2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6， 当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意 －n －8m －2≤12
，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤81
2， 由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，
得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B. 答案 B
2．(2013·重庆，3)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9
B.9
2
C ．3
D.322
解析 设f (a )＝（3－a ）（a ＋6）＝－a 2
－3a ＋18＝－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a ＋322＋814， ∵－6≤a ≤3，∴f (a )max ＝9
2，故选B. 答案 B
3．(2013·辽宁，11)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q
中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．16
B ．－16
C ．a 2－2a －16
D ．a 2＋2a －16
解析 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，g (x )的图象是开口向下的抛物线，两个函数图象相交，则A 必是两个函数图象交点中较低的点的纵坐标，B 是两个函数图象交点中较高的点的纵坐标，令x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，解得x ＝a ＋2，或x ＝a －2.因为函数f (x )的对称轴为x ＝a ＋2，故可得A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，B ＝g (a －2)＝12－4a ，所以A －B ＝－16. 答案 B
4．(2014·辽宁，16)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5
c 的最小值为________．
解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，因为4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，所以将2a ＝t －b 代入整理可得6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0①，由Δ≥0解得－8
5
c ≤t ≤8
5
c ，当|2a ＋b |取最大值时t ＝
8
5c ，代入①式得b ＝
c 10，再由2a ＝t －b 得a ＝32
c 10，所以3a －4b ＋5c ＝210c －410c ＋5c ＝5c －210c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5
c －22－2≥－2，当
且仅当c ＝5
2时等号成立． 答案 －2
5．(2013·重庆，15)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．
解析 由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0， 即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0， 得到sin 2α≤1
4，∵0≤α≤π， ∴0≤sin α≤1
2，
∴0≤α≤π6或5π
6≤α≤π，
即α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5π6，π
. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5π6，π
6．(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 解析 ∵f (x )＝x 2
＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22
＋
b －a 24的最小值为b －a 2
4，
∴b －a 24＝0，即b ＝a 2
4.∴f (x )<c ，
即x 2
＋ax ＋b <c ，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22<c ，
∴c >0且－a 2－c <x <－a
2＋c ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫
－a 2－c ＝6， ∴2c ＝6，∴c ＝9. 答案 9
7．(2011·陕西，12)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________．
解析 先求有根的条件，即Δ＝16－4n ≥0，又n ∈N *，所以n 取值为1，2，3，4；将其逐个代入验证可知n ＝3或n ＝4. 答案 3或4
考点二 幂函数的图象与性质
1．(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )
解析 当a >1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1，0)，排除A ，因此选D. 答案 D
2．(2012·山东，3)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 ∵f (x )＝a x 为减函数，∴0<a <1，∵g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数，0＜a ＜1或1＜a ＜2，∴a ∈(0，1)⇒a ∈(0，1)∪(1，2)，故选A. 答案 A
3．(2011·陕西，4)函数y ＝x 13的图象是( )
解析 显然－f (x )＝f (－x )，说明函数是奇函数．同时，当0<x <1时，x 1
3>x ，当x >1时，x 1
3<x ，知只有B 选项符合． 答案 B。