2.7等腰三角形2
北师大版八年级数学上册2.7二次根式同步测试含答案
北师大版八年级数学上册第二章2.7二次根式一、选择题1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．计算：﹣的结果是（ ）A ．B ．2C ．2D ．2.84．小明的作业本上有以下四题：① =4a 2； ② •=5a ；③a ==； ④÷=4．做错的题是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．下列各式不是最简二次根式的是（ ）C. 46．下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有 （）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若，则（ ）A ．a 、b 互为相反数B ．a 、b 互为倒数C ．ab=5D ．a=b8.若2˂a ˂3 ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -9有意义，则实数m 的取值范围是( )A ．m>﹣2B ．m>﹣2且m ≠1C ．m ≥﹣2D ．m ≥﹣2且m ≠110.=x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠x ＞2 D. 2x ≥11. ）A. 它是一个非负数B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为312．已知等腰三角形的两边长为2和5，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．4+5 B ．2+10 C ．4+10 D ．4+5或2+10 二、填空题13+2﹣2）的结果是 ．14. 当__________时，15．把下列各式化成最简二次根式： = ； = ； = ． 16. 已知二次根式2x 的值为3，那么x 的值是17．对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b=，如3※2==，那么6※3= ． 18．若在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ． 19．计算（+1）2015（﹣1）2014=______． 20. 当__________x ()2是二次根式．21. 21++a 的最小值是 ，此时a 的取值是22．（2018•毕节市）观察下列运算过程：请运用上面的运算方法计算：＝．三、解答题23．化简：（1）；（2）；（3）．24．计算：（1）（﹣）+；（2）；（用两种方法解）（3）11221231548333+--；（4）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2；(5)-．25．一圆形转盘的面积是25.12cm2，该圆形转盘的半径是多少？（π取3.14）26．观察下列各式及其验算过程：=2，验证： ===2；=3，验证： ===3（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．27．已知AB=2，AC=142，212554×4的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上．(1)求△ABC的面积；(2)求点A到BC边的距离．答案提示1．B ．2．D ．3．C ；4．D ；5．D6．A ．7．D ．8.C 9．D ．10.C11.B 12．B ；13．﹣1． 14. -2≤x ≤12 15．；；． 16. 3或—3 17． 1． 18．x ≥2． 19． +1； 20. x 为任意实数 21. 2，—1.22．．23．解：（1）==5（2）==（3）==．24．解：（1）原式=2﹣+=2；（2）方法一：原式=﹣=﹣1；方法二：原式==﹣1．（3）原式=323312363383343234=-=--+（3）原式=9﹣5﹣4+2=2．(5) 原式-．25．解：设该圆形转盘的半径是Rcm ，根据题意得：πR 2=25.12，∴R 2=8，∴R=2，∴该圆形转盘的半径是：2cm ．26．解：（1）∵=2，=3， ∴=4=4=，验证： ==，正确； （2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1， ∴=，验证： ==；正确；27．解：12442224AC ==⨯=, 2221252555525555BC ==⨯⨯=⨯= 又∵AB=2，∴△ABC 如图所示：(1)过点C 作CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，则CD=2， ∴1122222ABC S AB CD ==⨯⨯= (2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ．∴12ABC SBC AE = ∵2,25ABC S BC ==，∴AE 22525525555ABC S BC ⨯=====⨯,即A 到BC 边的距离为255．。
北师大版四年级下册数学习题课件 2.7 练习二 (共10张PPT)
形。 (3)一个四边形有直角，且四条边相等，它是( 正方 )形。
7.下面的数据，正确的画“√”，错误的画“×”。
Thank you!
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
4.在能摆成三角形的各组小棒后面画“√”。
(1)
()
(2)
()
(3)
()
5.用小棒照样子摆一摆。
如图，摆1个梯形要4根小棒，摆2个梯形要7根小棒 ，摆3个梯形要10根小棒，摆6个梯形要( 1)根9 小 棒，37根小棒可以摆( )个12梯形。
提升点 2 运用图形的特征拼一拼
6.猜一猜。 (1)一个四边形有直角，但只有一组对边平行，它是
2 认识三角形和四边形
第7课时 练习二
BS 四年级下册
提示：点击 进入习题
1
2
3
4
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6
7
1.连一连。 (略)
2.在方格图中画一个直角梯形和一个等腰直角三角形。 (略)
3.在图中画一条直线，将图形分一分。 (1)分成一个平行四边形和一个三角形。
2022年最新人教版小学数学四年级下册三角形易错习题总结(带答案)
四年级下册三角形易错题一、填空题1．一个三角形一个内角的度数是100°，这个三角形是三角形，一个等腰三角形的底角是65°，顶角是，等边三角形的每个内角都是。
2．等腰三角形的两条边分别是3cm和7cm，那么第三条边是cm。
3．在一个三角形中，∠1＝72°，∠2＝48°，∠3＝；在一个等腰三角形中，一个底角是36°，顶角是。
4．一个直角三角形，其中一个锐角是45°，它又是三角形。
5．如图，∠1=°．6．一根绳子正好围成一个长23米、宽22米的长方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是米。
7．板凳腿之间加一根斜木条固定是利用了三角形的特性，伸缩门是利用了平行四边形的特性。
8．两点之间的所有连线中，最短。
9．一个等腰三角形的一个底角是45度，它的顶角是度，这个三角形按角分是三角形。
10．如果三角形的两边分别是4cm和5cm，那么第三条边可能是cm。
11．在等腰三角形中，其中一个角是100°，则另外两个角分别是°和°，这是一个三角形。
（填“锐角”“钝角”或“直角”）12．三角形有条高，平行四边形有条高，梯形有条高。
13．三角形最多有个锐角，最多有个直角，最多有个钝角。
14．如果一个三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是10cm和4cm，另外一条边最小是cm。
15．一个等腰三角形的两条边分别是9厘米和4厘米，另一条边是厘米。
16．用3厘米，8厘米和第三根小棒首尾相连组成三角形，这第三根小棒最小是厘米，最大是厘米．（都是整厘米长）17．三角形按角分类分为三角形、三角形和三角形．18．一个三角形的三个内角分别是∠A，∠B，∠C。
∠A的度数是∠B的2倍，∠C的度数是∠B的3倍，这是一个三角形。
19．红领巾按角分类是三角形，按边分类是三角形。
20．在长是3厘米，4厘米，5厘米和6厘米四根小棒中，任选三根围成一个三角形，能围成个不同的三角形。
苏教版八年级生物上册第2章特殊三角形知识点总结
苏教版八年级生物上册第2章特殊三角形知识点总结三角形中有很多特殊的三角形，它们的性质有很多特别的地方，大家一定要牢记。
初中频道为大家提供了第2章特殊三角形知识点，希望大家认真阅读。
2.1 图形的轴对称①定义：垂直并且平分已知线段的直线叫做线段的垂直平分线或中垂线②性质：a、线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上;b、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;c、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴，另一条是线段所在的直线。
想要获取更多详细知识点请点击浙教版八年级数学上册图形的轴对称知识点2.2 等腰三角形1.等腰三角形的两个底角相等(简写成等边对等角 )。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成等腰三角形的三线合一 )。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。
更多详细知识点请大家点击八年级浙教版数学上册等腰三角形知识点2.3 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边推论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合大家想要获取更多知识点请点击浙教版初二数学上册等腰三角形的性质定理知识点2.4 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形想要获取更多详细知识点请点击初二浙教版数学上册等腰三角形的判定定理知识点2.5 逆命题和逆定理1.概念：对事情进行判断的句子叫做命题.2.组成部分：命题由题设和结论两部分组成.每个命题都可以写成如果??，那么?? 的形式，如果的内容部分是题设，那么的内容部分是结论.更多详细知识点请大家点击浙教版八年级数学上逆命题和逆定理知识点2.6 直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边) 所有未知的边和角。
浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题
八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形の轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴．2.有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。
[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称の性质]①关于某直线对称の两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。
③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。
④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
[轴对称与轴对称图形の区别][线段の垂直平分线]（1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合．2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理[等腰三角形]★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。
★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角．[等腰三角形の性质]★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形の判定定理]★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．特别の：（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形．[等边三角形]三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形の性质]★等边三角形の三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形の判定方法]★（1）三条边都相等の三角形是等边三角形；★（2）三个角都相等の三角形是等边三角形；★（3）有一个角是60°の等腰三角形是等边三角形．2.5 逆命题和逆定理[逆命题和逆定理]命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确の判断の句子叫做命题。
浙教版八年级上册数学第1、2单元知识点
浙教版八年级上册数学第1、2单元知识点总结
1.三角形的初步知识
1.1.认识三角形
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。
如：定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
2.6.直角三角形
直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形的两个三角形互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.7.探索勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则a2+ b2=c2
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.8.直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
2.7 直角三角形全等判定(解析版)
2.7 直角三角形全等判定考查题型一 直角三角形全等判定定理1．老师在画∠AOB 的平分线OP时，设计了①，②两种做法，这两种做法均可由△OMP ≌△ONP 得知，其全等的依据分别是（ ）①如图1，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，调整角尺，使角尺的顶点到点M ，N 的距离相等，此时，角尺的顶点为P ，画出射线OP ；②如图2，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，再分别过点M ，N ，作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画出射线OP ．A ．SSS ；HLB ．SAS ；HLC ．SSS ；SASD ．SAS ；SSS【答案】A 【分析】根据作图过程可得MO = NO ，MP = NP ，再利用SSS 可判定△MPO ≌△PNO ，可得OP 是∠AOB 的平分线；根据题意得出Rt △MOP ≌Rt △NOP (HL )，进而得出射线OP 为∠AOB 的角平分线．【详解】解：如图①：在△MPO 和△NPO 中OM =ON OP =OP MP =NP，∴△MPO ≌△PNO (SSS )∴∠AOP =∠BOP ，即射线OP 为∠AOB 的角平分线；如图②，在Rt △MOP 和Rt △NOP 中，OP=OPMO=NO，∴Rt△MOP≌Rt△NOP (HL)∴∠MOP=∠NOP，即射线OP为∠AOB的角平分线；故选：A．【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．2．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AF分别交BE，BC于点F，D，AE=BE，若依据“HL”说明△AEF≌△BEC，则下列所添条件合理的是（）A．EF=CE B．∠AFE=∠C C．BD⊥AD D．AF=BC【答案】D【分析】根据“HL”进行判断即可．【详解】解：由题意得，△AEF和△BEC中，有一组直角边对应相等，即AE=BE缺少斜边对应相等，即AF=BC，故选：D．【点睛】此题主要考查了“HL”的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=5cm，则AD+DE等于（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【答案】B【分析】证明Rt△BED≌Rt△BCD(HL)，得到DE=DC，进而可得答案．【详解】解：∵DE⊥AB，A．①②B【答案】D【分析】根据HL证明△=2∠PAS=∠BAS，即可得到ADE≌Rt△BEC是解题的关键．6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延长线于点E．(1)求证：△ACD是等腰三角形；(2)连接BE，与AC相交于点F，求证：AC垂直平分BE．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由题意易得∠DAC=∠BAC,∠BAC=∠DCA，则有∠DAC=∠DCA，然后问题可求证；（2）由角平分线的性质定理可得CE=CB，易证△ABC≌△AEC，然后问题可求证【详解】（1）证明：∵AB∥DC，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC,∠BAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴△ACD是等腰三角形；（2）证明：∵AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CB，∠CEA=∠CBA=90°，在Rt△CEA和Rt△CBA中，CE=CBAC=AC，∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL)，∴AE=AB，∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，∴AC垂直平分BE．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质证得∠DAC=∠CAB．7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．【答案】见解析【分析】利用角平分线的性质证得DE=DF，再由全等证得AE=AF，即可证得AD垂直平分EF．【详解】证明：设AD、EF的交点为K，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∴AD是线段EF的垂直平分线．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等的性质和判定，垂直平分线的判定，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何定理．8．如图，DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)AB+AC=2AE【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，再根据BE=CF，即可求出答案．【详解】（1）解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：AB+AC=2AE．理由如下：由（1）知AD平分∠BAC，∴DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DFAD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB+AC=AE―BE+AF+CF=2AE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．9．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，点D在CA上，点E在BC的延长线上，且BD=AE．(1)求证：△BCD≌△ACE；(2)若∠BAE=80°，求∠DBA的度数．【答案】(1)见解析(2)10°【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到AC=BC，∠ACE=90°，再利用HL证明即可；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠CBA=45°，继而求出∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CBD=35°，再利用角的和差计算即可．【详解】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠BCA=90°，∴∠ACE=90°，在Rt△BCD和Rt△ACE中，BC=ACBD=AE∴Rt△BCD≌Rt△ACE(HL)；（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠BAE=80°，∴∠CAE=∠BAE―∠CAB=35°，∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE=∠CBD=35°，∴∠DBA=∠CBA―∠CBD=10°．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角．考查题型二角平分线性质定理10. 如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B．下面不能判定OP是∠MON的平分线的是（）A．∠MOC=∠NOC B．PA=PB C．OA=OB D．PB=OB【答案】D【分析】根据角平分线的定义，角平分线的判定定理，三角形全等的判定和性质逐项进行判断即可．A．30°【答案】C【分析】由点O在△ABCA．4B．6【答案】B【分析】过点P作PF⊥AC，PG的点到角的两边的距离相等”可得∵BE，CD分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴PH=PG，PG=PF，∴PH=PF，∴AP为∠BAC的平分线，又∵∠BAC=60°，∵两把直尺为完全相同的长方形，(1)求∠AEB的度数．(2)若∠CEH=∠AEB，AB+BD=16【答案】(1)53°(2)32【分析】（1）过点E作EM⊥BF于点∵CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC由（1）可知：EM=EH=EN，∵AC=6，且S△ACE=12，则SΔACE ∴EN=4∴EM=EH=416．如图，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点 B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与 BD 交于点 O ，AE 与 CD 交于点 G ，AC 与 BD 交于点 F ，连接 OC 、FG ，则下列结论要：①AE ＝BD ；②AG ＝BF ；③FG ∥BE ；④OC 平分∠BOE ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS 判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．【详解】∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE＝BD，①正确；∠CBD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG＝BF，②正确；同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF＝CG，∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝∠FCB＝60°，∴FG∥BE，③正确；过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC＝∠AEC，∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，∴△CDN≌△CEM，∴CM＝CN，∵CM⊥AE，CN⊥BD，∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）∴∠BOC＝∠EOC，∴OC平分∠BOE，④正确；故选：D．A．1个B．A．120°B．135°【答案】B∵DE所在直线是BC的垂直平分线，∴BD=CD，【答案】125°/125度【分析】先根据角平分线的判定定理得出ABC+∠ACB=110°，进而求出【详解】解：∵O到三边AB、∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠NDC=30°，又∵∠MDN=120°，∴∠MDB=30°，∴∠MAD=∠NAD=∠ADN=∠MBD=30°，∴BM=MD，DN=AN，∵DM=DN，∴BM=MD=DN=AN，在Rt△ADM中，设MD=x，则AM=2x，BM=MD=DN=AN=x，∵AB=18，∴3x=18，∴x=6，∴AM=12，MD=DN=AN=6，∴四边形AMDN的周长=AM+MD+DN+AN=12+6+6+6=30；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D作DE⊥AB于E，如图丙所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM=∠DFN=90°，DE=DF，(1)当∠A=30°时，直接写出线段AD与BD的大小关系：(2)若∠A为任意锐角，则线段AD与BD的大小关系是AD论：直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离(3)如图2，P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH∴∠A=∠ACD．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，∴AD=BD．故答案为：=．（2）AD=BD理由：∵ED垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，∴AD=BD．②直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离相等．故答案为：相等．（3）FP平分∠HFG．理由：如图，作MF的垂直平分线交FP于点O，连接OM，ON．∵PM⊥FH，PN⊥FG，∴△MPF和△NPF都是直角三角形．由(2)中所证可知OF=OP=OM．作线段FN的垂直平分线也必经过FP的中点O，∴OM=OP=OF=ON．又∵MN⊥FP，∴∠OKM=∠OKN=90°．∵OK=OK，∴Rt△OKM≌Rt△OKN，∴MK=NK，又∵∠FKM=∠FNK,FK=FK，∴△FKM≌△FKN，∴∠MFK=∠NFK，即FP平分∠HFG．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，根据直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离相等解决问题是解题的关键．23．已知△ABC和△DBE，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°．(1)将△ABC和△DBE按如图1所示位置摆放，点E落在AB上，DE的延长线交AC于点F，连接FB，且FB平分∠CFE．①求证BC=BE；②猜想DE，EF与AF之间的数量关系是__________；(2)若将图1中的△DBE按如图2所示位置摆放，DE交AB于点P，DE的延长线交AC于点F，∠EBP<60°，连接FB，且FB平分∠CFE．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；(3)若将图1中的△DBE按如图3所示位置摆放，DE，DB分别交AC的延长线于点F，P，连接FB，且FB平分∠CFE．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF，EF 与DE之间的数量关系．【答案】(1)①证明见解析，②DE=AF+EF，证明见解析；(2)结论成立，证明见解析(3)②的结论不成立，结论为：AF=DE+EF，证明见解析【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明CF=EF，证明△ABC≌△DBE，可得AC=DE，从而可得结论；（2）证明BC=BE，再证明△BCF≌△BEF(HL)，可得CF=EF．证明△ABC≌△DBE，可得AC=DE，从而可得结论；（3）证明BE=BC，∠BEF=90°=∠BCF，可得BF=BF，证明△BCF≌△BEF(HL)，可得CF=EF．再证明△ABC≌△DBE，可得AC=DE，结合AF=AC+CF，而CF=EF，从而可得结论．【详解】（1）证明：①∵FB平分∠CFE，∠ACB=∠DEB=90°，∴∠CFB=∠EFB，BC=BE．②∵∠BCF=∠BEF=90°，∠CFB=∠EFB，BC=BE，∴△BCF≌△BEF，∴CF=EF，∵∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DEB=90°，BC=BE∴△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∵AC=AF+CF，而CF=EF，∴DE=AF+EF；（2）∵FB平分∠CFE，∠ACB=∠DEB=90°，∴BC=BE，∠BEF=90°=∠BCF，∵BF=BF，∴△BCF≌△BEF(HL)，∴CF=EF．∵∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∵AC=AF+CF，而CF=EF，∴DE=AF+EF；（3）②的结论不成立，结论为：AF=DE+EF，理由如下：∵FB平分∠CFE，∠ACB=∠DEB=90°，∴BE=BC，∠BEF=90°=∠BCF，∵BF=BF，∴△BCF≌△BEF(HL)，∴CF=EF．∵∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∵AF=AC+CF，而CF=EF，∴AF=DE+EF；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键．。
三角形中线定理和高中定理
三角形中线定理和高中定理一、三角形中线定理1.1 定义：三角形的中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
1.2 性质：(1)中线等于第三边的一半。
(2)中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
(3)中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
(4)中线的长度是顶点到对边中点的距离。
二、高中定理2.1 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角之和等于180度。
2.2 外角定理：一个三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和。
2.3 平行线定理：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内角互补，那么这两条直线平行。
2.4 同位角定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
2.5 同旁内角定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
2.6 垂直定理：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
2.7 对角线互相平分的定理：在一个四边形中，对角线互相平分。
2.8 对角线相等的定理：在一个平行四边形中，对角线相等。
2.9 圆的性质定理：圆是到定点等距的点的集合，圆心是圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
2.10 圆周定理：圆的周长等于半径的两倍乘以π。
2.11 圆面积定理：圆的面积等于半径的平方乘以π。
以上是关于三角形中线定理和高中定理的知识点总结，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：在一个三角形ABC中，点D是边BC的中点，求证：AD是三角形ABC的中线。
答案：根据三角形中线定理，连接顶点A与对边BC的中点D，可得AD是三角形ABC的中线。
2.习题：已知三角形ABC，AB=AC，点D是边BC上的一个点，且AD=BD，求证：三角形ABC是等腰三角形。
答案：根据三角形中线定理，AD是三角形ABC的中线，且AD=BD，所以AB=AC，因此三角形ABC是等腰三角形。
3.习题：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E，求证：AE=CE，BE=DE。
答案：根据平行四边形对角线互相平分的定理，可得AE=CE，BE=DE。
三角形怎么分类(一)
三角形怎么分类（一）引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，根据三角形的边长和角度关系，可以将其分类为不同类型。
本文将详细讨论三角形的分类方法，并分析每一类别的特征和性质。
通过了解三角形的分类，我们可以更好地理解和应用几何学中的相关概念和定理。
正文：1. 根据边长分类1.1 等边三角形1.2 等腰三角形1.3 不等边三角形1.4 直角三角形1.5 钝角三角形1.6 锐角三角形1.7 等腰锐角三角形1.8 等腰钝角三角形1.9 ...（根据需要进行补充）2. 根据角度分类2.1 锐角三角形2.2 直角三角形2.3 钝角三角形2.5 余弦三角形2.6 绝对余弦三角形2.7 ...（根据需要进行补充）3. 根据边长和角度关系分类3.1 等腰直角三角形3.2 等腰钝角三角形3.3 锐角等边三角形3.4 直角等腰三角形3.5 ...（根据需要进行补充）4. 根据内角和外角之和分类4.1 内角和为180°的三角形4.2 外角和为360°的三角形4.3 内角和小于180°的三角形4.4 内角和大于180°的三角形4.5 ...（根据需要进行补充）5. 根据特殊性质分类5.1 等角三角形5.2 相似三角形5.3 相等三角形5.5 ...（根据需要进行补充）总结：通过对三角形的分类方法进行细致的探讨，我们可以深入理解不同类型三角形的特征和性质。
从边长、角度、边长和角度关系、内外角之和以及特殊性质的角度考虑，我们能够更好地应用几何学中的定理和概念，并解决与三角形相关的问题。
熟练掌握三角形的分类方法不仅扩展了我们对几何学的认识，也为我们在实际应用中提供了更多便利和创新的思路。
因此，通过学习本文所介绍的三个大点分类方法，并结合具体例子进行练习和应用，有助于进一步巩固和拓展我们对三角形分类的认识。
浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题
八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形的轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.2.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.3.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称.ﻭ［图形轴对称的性质］①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.[轴对称与轴对称图形的区别][线段的垂直平分线]（1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.（2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．2。
2等腰三角形+2。
3等腰三角形性质定理＋2。
4等腰三角形判定定理［等腰三角形]★1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形。
★2。
在等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.[等腰三角形的性质]★性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）.特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理］★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").特别的:（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．(4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.[等边三角形］三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.[等边三角形的性质]★等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形的判定方法]★(1）三条边都相等的三角形是等边三角形；★(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；★(３)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.２。
等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形和等边三角形的性质一、等腰三角形的性质1.1 定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
1.2 两边相等：在等腰三角形中，两个底角相等，两条底边相等。
1.3 底角平分线：在等腰三角形中，底边的垂直平分线同时也是底角平分线。
1.4 顶角平分线：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边的中线和底角的平分线三线合一。
1.5 面积公式：等腰三角形的面积公式为：S=12absinC，其中 a 和 b 分别为等腰三角形的底边，C 为顶角。
二、等边三角形的性质2.1 定义：等边三角形是指三边相等的三角形。
2.2 内角相等：在等边三角形中，三个内角都相等，每个内角为60∘。
2.3 外角相等：在等边三角形中，每个外角都相等，每个外角为120∘。
2.4 中线相等：在等边三角形中，三条中线相等，且都垂直于对边。
2.5 高线相等：在等边三角形中，三条高线相等，且都垂直于对边。
2.6 面积公式：等边三角形的面积公式为：S=√34a2，其中 a 为等边三角形的边长。
2.7 圆周角定理：在等边三角形中，每个圆周角都等于60∘。
2.8 圆心对称：等边三角形具有圆心对称性，即三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于同一点，称为三角形的垂心。
2.9 稳定性：等边三角形是稳定的，不会因为外力的作用而变形。
总结：等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形，它们具有独特的性质。
通过掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与等腰三角形和等边三角形相关的问题。
习题及方法：1.习题：判断以下三角形是否为等腰三角形。
解答：根据等腰三角形的性质，只需要判断两边是否相等即可。
如果两边相等，则为等腰三角形。
2.习题：已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，求该三角形的面积。
解答：根据等腰三角形的性质，底边上的高也是腰长的垂直平分线。
因此，可以将三角形分成两个直角三角形，每个直角三角形的底边为4cm，高为5cm。
面积公式为S=12×底边×高，所以面积为12×4cm×5cm=10cm2。
2.7 直角三角形的全等判定
B
,,
, B
c a
C (甲) A
c a
, C
, A
(乙)
直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或 “HL”.
在使用“HL”时,同学们应注意什么?
(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
(2)注意对应相等.
(3)因为”HL”仅适用直角三角形,A
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三 角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定 方法“HL”. 判断直 角三角 形全等 条件
三边对应相等 SSS 一锐角和它的邻边对应相等 ASA 一锐角和它的对边对应相等 AAS 两直角边对应相等 SAS 斜边和一条直角边对应相等 HL
我们应根据具体问题的实际情况选择判 断两个直角三角形全等的方法.
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，你 能帮他想个办法吗?
可以通过测量某些边或角的大小,利用前面所学AAS， ASA，SAS，SSS来说明这两个直角三角形全等.
当每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无 法测量,而且他只带了一把卷尺时,能完成任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定 “两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗?
例
如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在 ∠AOB的平分线上。请说明理由。
解：作射线OP.
因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以 ∠PDO=∠ PEO=Rt∠.
D
1 2
A P
又因为OP=OP，PD=PE， O
苏教版数学四年级(下册)第6课时 等腰三角形和等边三角形
1. 两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 三条边都相等的三角形是等边三角形，也
叫作正三角形。 3. 它们只是三角形中的一小部分，不能涵盖
全部，还有很多在边上不具有明显特征的 三角形。
课后作业
作业课件中的相关练习。
等腰三角形
直角三角形
∠2 = 90° ∠1 = 180°－ 90°－ 30°= 60°
8 填一填。
140° 1
∠1 = 180°－ 140°= 40° ∠1 = __4_0_°_____ ，
6cm
6cm
∠2 = __7_0_°_____ 。
2
等腰三角形的两个底角相等。
∠2 = (180°－ 40°) ÷ 2 = 70°
斜折并画上点
7
你会像下面这样剪出一个等边三角形吗？
正方形纸
对折
斜折并画上点 画线并剪开
7
你会像下面这样剪出一个等边三角形吗？
正方形纸
对折
斜折并画上点 画线并剪开
7
把剪下的等边三角形折一折，你有什么发现？
1
32
3
对折后∠2和∠3完全重合
∠2 = ∠3
7
把剪下的等边三角形折一折，你有什么发现？
1
三
角
形
按 边
三角形
分
类
等腰三角形 等边三角形
1 下面物体的面，哪个是等边三角形，哪个是等腰三角形？
等腰三角形
等边三角形
注意：等边三角形也是等腰三角形。
2
把一张正方形纸沿对角线剪开， 剪出的两个三角形是等腰三角形 吗？是直角三角形吗？
是等腰三角形，同时也是直角三角形。
3 下面两块三角尺，拼成一个等腰三角形应该怎样拼？拼成一个 等边三角形呢？同桌合作拼一拼，并说说为什么。
2021八年级数学上册专题2.7 轴对称图形与等腰三角形章末达标检测卷(沪科版)(解析版)
第15章轴对称图形与等腰三角形章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2020•山西）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【答案】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．2．（3分）（2020春•岱岳区期末）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的有几个（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据轴对称图形的特点进行判断即可．【答案】解：∵在方格纸中，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，故选：B．【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，轴对称图形是要寻找对称轴，沿对称轴对折后与两部分完全重合．3．（3分）（2020春•朝阳区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则这个三角形的底角为（）A．67°31′B．22°30′C．67°30′D．22°30′或67°30′【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．【答案】解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=12×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF ＝EG ，∴∠EFG ＝∠G =12×（180°﹣135°）＝22.5°， 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用．4．（3分）（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DA ＝DE ，DB ＝BE ＝EC ．若∠ABC ＝130°，则∠C 的度数为（ ）A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．30°【分析】可设∠C ＝x ，根据等腰三角形的性质可得∠EBC ＝x ，则∠DBE ＝130°﹣x ，根据等腰三角形的性质可得∠EDB ＝25°+12x ，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A ＝12.5°+14x ，再根据三角形内角和为180°，列出方程即可求解．【答案】解：设∠C ＝x ，根据等腰三角形的性质得∠EBC ＝x ，则∠DBE ＝130°﹣x ，根据等腰三角形的性质得∠EDB ＝25°+12x ，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A ＝12.5°+14x ，依题意有12.5°+14x +x +130°＝180°，解得x ＝30°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，得到方程是解本题的关键．5．（3分）（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．已知△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，则△ADE 的面积为（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据尺规作图可知点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴点D是AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC，∵S△BDC﹣S△CDE＝4，∴S△ADC﹣S△CDE＝4，即△ADE的面积为4，故选：A．【点睛】本题考查的是尺规作图、三角形的面积计算，掌握线段垂直平分线的概念、三角形的面积公式是解题的关键．6．（3分）（2020春•锦江区期末）如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．【答案】解：如图所示：C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．7．（3分）（2019春•厦门期末）在平面直角坐标系中，A（a，b）（b≠0），B（m，n）．若a﹣m＝4，b+n＝0，则下列结论正确的是（）A．把点A向左平移4个单位长度后，与点B关于x轴对称B．把点A向右平移4个单位长度后，与点B关于x轴对称C．把点A向左平移4个单位长度后，与点B关于y轴对称D．把点A向右平移4个单位长度后，与点B关于y轴对称【分析】根据已知确定A，B两点位置，进而分别判断各选项得出答案即可．【答案】解：∵a﹣m＝4，∴a﹣4＝m，又∵b+n＝0（b≠0），∴b＝﹣n，∴把点A向左平移4个单位长度后，与点B关于x轴对称．故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质以及关于x轴、y轴对称点的坐标，根据A，B位置得出是解题关键．8．（3分）（2019秋•石台县期末）如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF 分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．【答案】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD＝12，解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8．故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．9．（3分）（2020春•兰州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A ．2B ．4C ．5D ．52 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，求出∠DAE ＝∠EAB ＝30°，根据平行线的性质求出∠F ＝∠BAE ＝30°，从而得到∠DAE ＝∠F ，根据等角对等边求出AD ＝DF ，求出∠B ＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【答案】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD =12∠BAC =12×120°＝60°， ∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠DAE ＝∠EAB =12∠BAD =12×60°＝30°，∵DF ∥AB ，∴∠F ＝∠BAE ＝30°，∴∠DAE ＝∠F ＝30°，∴AD ＝DF ，∵∠B ＝90°﹣60°＝30°，∴AD =12AB =12×10＝5，∴DF ＝5，故选：C ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．10．（3分）（2020春•牡丹区期末）如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…均为等边三角形．若OB 1＝1，则△A 8B 8B 9的边长为（ ）A．64B．128C．132D．256【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…进而得出答案．【答案】解：∵△A1B1B2是等边三角形，∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，∵∠O＝30°，∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，∴∠O＝∠OA1B1＝30°，∴OB1＝A1B1＝A1B2＝1，在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°∴A2B2＝2A1B2＝2，同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，A n B n＝2n﹣1，∴△A8B8B9的边长＝27＝128，故选：B．【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2020春•玉门市期末）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是630085．【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【答案】解：做轴对称图形得：|630085，故答案是：630085．【点睛】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意2的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5．12．（3分）（2020•黄冈模拟）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是B．A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【分析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．【答案】解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．故答案为：B．【点睛】本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定，正确确定x轴、y轴的位置是关键．13．（3分）（2020春•竞秀区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．若△CMN的周长为16cm，则AB的长为16cm．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN 的周长＝AB；【答案】解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为16cm，∴AB＝16cm；故答案为：16cm．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理．14．（3分）（2020春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是15．【分析】由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．【答案】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴BM＝OM，CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案为：15．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．15．（3分）（2020•武昌区校级自主招生）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是m+2019n．（结果用m，n表示）【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．【答案】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，故答案为：m+2019n．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．16．（3分）（2019春•平阴县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°，其中正确结论有①②③⑤（填序号）．【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，由∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△CQB≌△CP A（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB ≌△CP A （ASA ），可知③正确；④根据∠DQE ＝∠ECQ +∠CEQ ＝60°+∠CEQ ，∠CDE ＝60°，可知∠DQE ≠∠CDE ，可知④错误； ⑤由BC ∥DE ，得到∠CBE ＝∠BED ，由∠CBE ＝∠DAE ，得到∠AOB ＝∠OAE +∠AEO ＝60°，同理可得出∠AOE ＝120°，进而得出∠DOE ＝60°，故⑤正确．【答案】解：∵等边△ABC 和等边△CDE ，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠DCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 与△BCE 中，{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，①正确，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CBE ＝∠DAC ，又∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ACP ＝∠BCQ ，在△CQB 和△CP A 中，{∠CBE =∠DACAC =BC ∠BCQ =∠ACP，∴△CQB ≌△CP A （ASA ），∴CP ＝CQ ，又∵∠PCQ ＝60°，∴△PCQ 为等边三角形，∴∠PQC ＝∠DCE ＝60°，∴PQ ∥AE ，②正确，∵△CQB ≌△CP A ，∴AP ＝BQ ③正确，∵AD ＝BE ，AP ＝BQ ，∴AD ﹣AP ＝BE ﹣BQ ，即DP ＝QE ，∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，∴∠DOE＝60°，故⑤正确；∴正确结论有：①②③⑤；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．【答案】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 与Rt △CFD 中，{BD =CD DE =DF， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴BE ＝CF ；（2）解：在△AED 和△AFD 中，{∠AED =∠AFD =90°∠EAD =∠FAD AD =AD，∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE ＝AF ，设BE ＝x ，则CF ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝3，AE ＝AB ﹣BE ，AF ＝AC +CF ，∴5﹣x ＝3+x ，解得：x ＝1，∴BE ＝1，AE ＝AB ﹣BE ＝5﹣1＝4．【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．18．（8分）（2020秋•岳麓区校级月考）如图，在平面直角坐标系中．（1）作△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）求出△ABC 的面积；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使得△AA 1P 与△ABC 面积相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）分别作出三个顶点关于x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）利用割补法求解可得；（3）设点P 坐标为（a ，0），根据题意得出12×4×|a ﹣1|=92，解之可得答案． 【答案】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）S △ABC =12×（1+3）×5−12×1×2−12×3×3=92；（3）存在，设点P 坐标为（a ，0），根据题意，得：12×4×|a ﹣1|=92， 解得a =134或a =−54，∴点P 坐标为（134，0）或（−54，0）． 【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．19．（8分）（2020春•叙州区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，E 为BC 边上一点，以E 为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝100°；（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；（2）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由条件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠FEC；（3）分别根据当∠AFE＝90°时，以及当∠EAF＝90°时利用外角的性质得出即可．【答案】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100°．（2）∠BAE＝∠FEC；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠FEC；（3）如图1，当∠AFE＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；如图2，当∠EAF＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．20．（8分）（2019秋•宜昌期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【分析】（1）在△CDF中，求出∠CFD即可解决问题；（2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．【答案】解：（1）根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠C＝90°，∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°．（2）∵△CDF 中，∠C ＝90°，且△CDF 是等腰三角形，∴CF ＝CD ，∴∠CFD ＝∠CDF ＝45°，设∠DAE ＝x °，由对称性可知，AF ＝FD ，AE ＝DE ，∴∠FDA =12∠CFD ＝22.5°，∠DEB ＝2x °，分类如下：①当DE ＝DB 时，∠B ＝∠DEB ＝2x °，由∠CDE ＝∠DEB +∠B ，得45°+22.5°+x ＝4x ，解得：x ＝22.5°．此时∠B ＝2x ＝45°；见图形（1），说明：图中AD 应平分∠CAB ．②当BD ＝BE 时，则∠B ＝（180°﹣4x ）°，由∠CDE ＝∠DEB +∠B 得：45°+22.5°+x ＝2x +180°﹣4x ，解得x ＝37.5°，此时∠B ＝（180﹣4x ）°＝30°．图形（2）说明：∠CAB ＝60°，∠CAD ＝22.5°．③DE ＝BE 时，则∠B ＝（180−2x 2）°，由∠CDE ＝∠DEB +∠B 得，45°+22.5°+x ＝2x +180−2x 2， 此方程无解．∴DE ＝BE 不成立．综上所述∠B ＝45°或30°．【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．21．（10分）（2019秋•辛集市期末）如图所示，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝10厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动．（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN ？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰△AMN ，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【分析】（1）首先设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，表示出M ，N 的运动路程，N 的运动路程比M 的运动路程多10cm ，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，然后表示出AM ，AN 的长，由于∠A 等于60°，所以只要AM ＝AN 三角形ANM 就是等边三角形；（3）首先假设△AMN 是等腰三角形，可证出△ACM ≌△ABN ，可得CM ＝BN ，设出运动时间，表示出CM ，NB 的长，列出方程，可解出未知数的值．【答案】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，x ×1+10＝2x ，解得：x ＝10；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，如图①，AM ＝t ×1＝t ，AN ＝AB ﹣BN ＝10﹣2t ，∵三角形△AMN 是等边三角形，∴t ＝10﹣2t ，解得t =103， ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形△AMN ．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设△AMN 是等腰三角形，∴AN ＝AM ，∴∠AMN ＝∠ANM ，∴∠AMC ＝∠ANB ，∵AB ＝BC ＝AC ，∴△ACB 是等边三角形，∴∠C ＝∠B ，在△ACM 和△ABN 中，∵{AC =AB∠C =∠B ∠AMC =∠ANB，∴△ACM ≌△ABN （AAS ），∴CM ＝BN ，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形，∴CM ＝y ﹣10，NB ＝30﹣2y ，CM ＝NB ，y ﹣10＝30﹣2y ，解得：y =403．故假设成立．∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰△AMN ，此时M 、N 运动的时间为403秒．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．22．（10分）（2019秋•兖州区期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．【分析】（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB＝∠AEC＝90°，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，根据∠EBD+∠BDE＝90°推出∠ADF+∠CAE＝90°，求出∠AFD＝90°即可；（2）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，根据∠ACE+∠EOC ＝90°求出∠BDE+∠DOF＝90°，求出∠DFO＝90°即可；（3）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE＝∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可．【答案】解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中{BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不发生变化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中{BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）能．理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中中{BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．。
2022-2023学年四川省凉山州四年级(下)期末数学试卷
2022-2023学年四川省凉山州四年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题1分，共10分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（1分）下面各数中，（）最接近6.8万。
A．68450B．68090C．67986D．6.8900万2．（1分）在一次100米比赛中，甲运动员用了10.21秒，丙运动员比甲运动员少用0.20秒，乙运动员比丙运动员多用0.12秒，丁运动员比乙运动员少用0.23秒，四人中（）速度最快。
A．甲运动员B．乙运动员C．丙运动员D．丁运动员3．（1分）下面四组角中，是三角形三个内角的是（）A．16°79°95°B．80°16°84°C．80°40°50°D．25°78°86°4．（1分）从459里减去15的4倍，差是多少？正确的算式是（）A．（459﹣15）×4B．459﹣15×4C．459×4﹣15D．（495﹣15）×45．（1分）一个三角形的两条边分别为10厘米、7厘米，则第三条边边长不可能是（）A．5厘米B．14厘米C．3厘米D．7厘米6．（1分）一个等腰三角形的底角是40°，那么这个三角形一定是（）A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．（1分）两个数相加，一个数增加0.9，另一个数减少2.7，和（）A．减少1.8B．增加1.8C．增加3.6D．减少3.68．（1分）下面图形中一定是轴对称图形的有（）长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形A．1个B．2个C．3个D．4个9．（1分）已知△，○，□表示三个不同的数（0除外），△÷○＝□．下面算式正确的是（）A．△÷□＝○B．□÷○＝△C．□×△＝○D．○÷△＝□10．（1分）不改变数的大小，下面各数中可以去掉“0”的是（）A．750B．70.5C．7.50D．7.05二、判断题（本大题10个小题，每小题0分，共10分．）11．小数都比整数小．12．去掉8.060中的0，它的大小不变。
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【拓展提升2】
（2）在△ABC中， 【拓展提升 1】 在△ABC中，AB=AC，AE∥BC.求证AE是△BAC的外角∠DAC的平分线； AE是∠BAC 的外角 ∠DAC的平分线，且 AE∥BC.试判断 △ABC的形状.
【例2】证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
问题1.证明边相等的方法有哪些？ 问题2.需转化为证明边所在的△DBC≌△ECB， 此题已知对应相等关系有哪些？ AB＝AC可以得到什么结论？
第十二章 轴对称
第三节 等腰三角形 第二课时 等腰三角形
如图：位于海上AB两处的两艘救生船接到O处遇 险船只的报警，当时测得∠A＝∠B．如果这两艘 救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到 出发地点（不考虑风浪因素）。
O
A
B
课内探究
（一）基础知识探究：等腰三角形判定方法
思考：在一般三角形中，若有两个角 相等，那么它们所对的边有什么关系？
问题1.证明边相等方法有哪些？根据此 题会发现，用什么来证明边相等？ 问题2.证明直角三角形全等有多少方法？
A
在△ABC中,若∠B＝∠C, 则AB＝AC
B C
思考：怎样证明？
等腰三角形判定方法： 如果一个三角形有两个角 相等，那么它们所对的边 也相等
几何符号: 想AE与BC的 位置关系是什么？ 问题2.证明两直线平行 有哪些方法？ 问题3.证明角相等有什 么方法？