中考数学总复习第一部分知识梳理第六章圆第25讲与圆有关的位置关系
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质与圆有关的位置关系
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质与圆有关的位置关系1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．2．知道三角形的内心和外心．3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.考点1：点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
考点2：直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；r d=r r dd考点3：切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
考点4：切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA PB =；PO 平分BPA∠考点5：三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2cb a -+。
（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。
中考数学第1轮复习第6章 第24讲 与圆有关的位置关系课件
9
5．三角形的内心与外心： (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交 点，内心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的 交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
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5．三角形的外心是( C ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
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∵BC 与⊙O 相切于点 B，∴OB⊥BC. ∴∠OBC＝90°. ∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线．
37
4．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，AC 平分∠BAD，连接 BF.
(1)求证：AD⊥ED.
38
证明：连接 OC. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OC，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴OC∥AD. ∵ED 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE. ∴∠D＝∠OCE＝90°. ∴AD⊥ED.
33
3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，弦 AD∥OC.求证：CD 是⊙O 的切线．
34
证明：连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
35
在△COB 和△COD 中， OB＝OD， ∠COB＝∠COD， OC＝OC， ∴△COB≌△COD(SAS)． ∴∠OBC＝∠ODC.
29
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BD＝BF＝(9－ x)cm，CD＝CE＝(13－x)cm.
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
(沪科版)中考数学总复习课件【第25讲】与圆有关的计算
2π －3 ． 3 每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为________
图25 －9
第25讲┃与圆有关的计算
第24讲┃与圆有关的位置关系
核心练习
6．[ 2014·岳阳] 的弧长为( D ) π A. 2 已知扇形的圆心角为60°，半径为 1，则扇形
B ．π
π C. 6
π D. 3 圆心角为120°，弧长为12π 的扇形半径为
7．[ 2014·衡阳] ( C )
A．6 B．9 C．18 D．36
第25讲┃与圆有关的计算
第25讲┃与圆有关的计算
图25 －1
A．(60°，4) B．(45°，4) C．(60°，2 2) D．(50°，2 2)
第25讲┃与圆有关的计算
[解析 ] 取正六边形中心为 M，连接 MA，MB. ∵多边形是正六边形， 360 ° ∴∠OMA＝∠AMB＝∠BMC＝ ＝60°， 6 MO＝ MA＝MB＝MC ， ∴△MOA，△MAB ，△MBC 都是等边三角形， ∴∠COA＝60°， MO＝MC＝OA ＝2， ∴CO ＝4， 即 θ ＝ 60°，m＝4 ， ∴顶点 C 的极坐标应记为(60°，4)．
第25讲┃与圆有关的计算
经典示例
例1 [2014·常德] 阅读理解：如图25－1①，在平面内
选一定点O，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那 么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ 与OM的长度 m确定， 有序数对(θ ，m)称为点M的“极坐标”，这样建立的坐标系称 为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为2 ，有 一边OA在射线Ox上，那么正六边形的顶点C的极坐标应记为 ( A )
第25讲┃与圆有关的计算
中考数学第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系
方法
考法 切线的判定及性质
提分特训
1.[2021武汉中考]如图, AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,点C是的
中点,过点C作AD的垂线,垂足是点E.连接AC交BD于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若 =
6,求cos∠ABD的值.
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法 切线的判定及性质
2
+−
的半径r=
(其中a,b为直角边长,c为斜边长).
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算 基础点
设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.
180°
R·cos
或
边心距r
a 2
2
−( )
2
周长C
na
面积S
1
nar
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算 基础点
在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
∴(r-
3 2
2
2
2
2t) +(2t) =r ,解得r= t,
2
2 2 2
∴cos∠ABD= = 3 2 = .
3
2
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法 切线的判定及性质
提分特训
2.如图,点O是菱形ABCD的对角线AC上的一点,以点O为圆心,OA为
作业
真题
命题点1 切线的判定(5年3考)
2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第6章 圆第24讲 与圆有关的位置关系
(2)当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
解：∵OB＝2，
∴AB＝2OB＝4，
∴AC＝ AB 2－BC2＝ 42－32＝ 7，
AC
7
∴tan∠AEB＝tan∠ABC＝ ＝ .
BC 3
2．[2023省卷25题]如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO
2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究
第24讲
与圆有关的位置关系
(省卷：5年5考；兰州：3年3考)
1 考点梳理
2 重难点突破
3 甘肃5年中考真题及拓展
考点梳理
2022年版课标重要变化
探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切
线．(删除)
考点 1
点、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
考点 41
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆
圆心
垂直平分线
外心：三角形三条边的⑧____________
内心：三角形三条
的交点
描述 经过三角形的三个顶点的圆
图示
三角形的内切圆
角平分线
⑨_________的交点
与三角形三边都相切的圆
性质
三角形的外心到三个顶点的
三角形的内心到三角形三边的
距离相等，即OA＝OB＝OC 距离相等，即OD＝OE＝OF
3
(2)当⊙O的半径为5，sinB＝ 5 时，求CE的长．
解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
AC 3
∵sin B＝ ＝ ，AB＝10，∴AC＝6.
AB 5
∵∠OCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，
初三数学常考圆的知识点归纳
初三数学常考圆的知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版九年级数学第六单元《圆》中考知识点梳理
第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。
中考数学知识点总结圆的位置
中考数学知识点总结圆的位置中考数学知识点总结圆的位置中学数学中的圆是一个基础的几何图形，其位置关系也是需要掌握的数学知识点之一。
在中考中，圆的位置关系常常与其他几何图形相结合，考查学生对几何形状的理解和应用能力。
下面将对中考中关于圆的位置关系进行总结。
1. 圆的内外关系对于两个不同的圆，它们之间有三种可能的位置关系：内含、外切和相离。
（1）内含：若一个圆完全位于另一个圆内部，则称这两个圆是内含关系。
内含关系中，小圆的半径小于大圆的半径。
（2）外切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是外切关系。
外切关系中，两个圆的半径相等。
（3）相离：若两个圆没有公共点，则称这两个圆是相离关系。
相离关系中，两个圆的半径大小没有固定关系。
2. 圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系主要有内切、外切和相割三种情况。
（1）内切：若直线仅有一个切点与圆相切，则称该直线与圆是内切关系。
内切关系中，切点在圆的外部，直线通过圆心且垂直于半径。
（2）外切：若直线仅有一个切点与圆相切，则称该直线与圆是外切关系。
外切关系中，切点在圆的外部，直线通过圆心但不垂直于半径。
（3）相割：若直线与圆相交，并且不是内切或外切关系，则称该直线与圆是相割关系。
相割关系中，直线与圆有两个交点。
3. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系主要有内切、外切和相交三种情况。
（1）内切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是内切关系。
内切关系中，切点在两个圆的外部，两个圆的半径之差等于切点到两个圆心的距离。
（2）外切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是外切关系。
外切关系中，切点在两个圆的外部，两个圆的半径之和等于切点到两个圆心的距离。
（3）相交：若两个圆有两个交点，则称这两个圆是相交关系。
相交关系中，两个圆的半径之和大于切点到两个圆心的距离，但小于两个圆的半径之和。
4. 圆心角与弦的位置关系圆心角与弦的位置关系是圆心角的一种特殊情况。
圆心角的度数与其所对应的弧度相等。
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系圆与圆之间的位置关系是初中数学中的一个重要内容，它涉及到圆的相交关系、包含关系以及外切关系等多个方面。
通过归纳总结，我们可以更好地理解和运用这些知识点。
一、相离关系当两个圆没有任何交点时，它们被称为相离的圆。
两个相离的圆之间的最大距离等于它们的半径之和。
二、外切关系如果两个圆的半径相等，并且它们的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，我们称这两个圆为外切的圆。
三、相交关系相交是指两个圆的内部空间存在公共点。
根据两个圆的圆心之间的距离和半径的关系，相交的情况又可以分为四种。
1.相交于两点当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，并且大于两个圆的半径之差时，两个圆相交于两个点。
2.相切于外点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆相切于外点。
3.相切于内点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，两个圆相切于内点。
4.相切于公切线当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆的半径不相等时，两个圆相切于一条公切线。
四、内含关系如果一个圆的内部完全位于另一个圆内部，我们称这两个圆为内含的关系。
在内含的情况下，内含圆的半径小于包含圆的半径。
五、包含关系如果一个圆的外部完全包含另一个圆，我们称这两个圆为包含的关系。
在包含的情况下，包含圆的半径大于内含圆的半径。
通过对圆与圆之间的位置关系进行归纳整理，我们可以更好地理解和应用这些知识点。
在解决相关题目时，我们可以根据题目给出的条件和要求，运用这些位置关系进行分析和推理。
同时，我们还可以通过观察图形特点和运用相关定理来判断两个圆之间的位置关系，从而解决问题。
初中数学中的圆与圆之间的位置关系是一个基础而重要的内容，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活和工程中也有着重要的作用。
通过掌握和运用这些知识，我们可以更好地理解和应用数学，为解决实际问题提供有力的支持。
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第六单元 第24课时 与圆有关的位置关系课件
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠E＝90°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAE=90°， ∴∠BAD=∠E.
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（2）解：如解图,连接BC. ∵AB为⊙O的直径.∴∠ACB＝90°，
∵AC=8,AB=2×5＝10，
∴BC=
AB2 AC 2 6 .
又∵∠BCA=∠ABE＝90°，∠BAD=∠E, AC BC ∴△ABC∽△EAB，∴ ， EB AB 8 6 ∴ ， EB 10 40 ∴BE= . 3
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（2）【思路分析】过C点作CD⊥AB,即可得
OA OA 进而求得AD、CD长，即可求得tan∠TAC的值. TA AB 解：如解图，作CD⊥AB于点D，
OD CD
∵∠BAT=90°∴CD∥AT, OD OA OA 1 , ∴CD=2OD. ∴ CD TA AB 2 设OD=a,则CD=2a，∴OA=OC= 5a , ∴AD=OA-OD= ( 5 1)a ，∵CD∥AT,∴∠TAC=∠ACD, ∴tan∠TAC=tan∠ACD= . AD 5 1 CD 2 最新中小学教案、试题、试卷、课
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角 角平分线 的交点. 形三条⑩_________ 2. 性质：
边 距离相等. 三角形的内心到三角形各⑪____
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常考类型剖析
类型 切线的证明及相关计算 例（’15武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝
中考数学复习 第一部分 知识梳理 第六章 圆 第25讲 与圆有关的位置关系课件
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∴∠PQE=90°. ∴PC⊥EF. 又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC. ∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC.
∴CE=CF. ∴PC为EF的中垂线. ∴∠EPQ=∠QPF. ∵∠PEC=∠APC=90°,∴∠EPC=∠EAP.
∴∠CPF=∠EAP. ∴∠CPF=∠OPA.
（3）当
时，求∠BCP的度数.
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（1）证明(zhèngmíng)：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC. ∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB， ∴∠OCP=∠CEB=90°. ∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°.
∴∠BCE=∠BCP.∴CB是∠ECP的平分线．
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（3）解:∵DE= 在Rt△BCD中，
，∴BC=5.
设CD=3x，BD=4x， 根据勾股定理， 得（3x）2+（4x）2=25. ∴x=-1（不符题意,舍去）或x=1. ∴BD=4，CD=3. 由（2）知， BC2=CD·AC，
D．132°
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7.（2018邵阳）如图1-25-8，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上 一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接B C,BC平分∠ABD． 求证(qiúzhèng)：CD为⊙O的切线．
证明(zhèngmíng)：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC. ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠DBC. ∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.
∴CD为⊙O的切线．
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云南中考数学 第一部分 教材知识梳理 第六章 第二节
拓展题1 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的 直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC＝DC， BC＝BD. （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC＝10 3 ，求圆心O到AE的距离．
拓展题1图
【思路分析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质求 出 ∠ CAD ＝ ∠ D ＝ ∠ BCD ， 求 出 ∠ ABC ＝ ∠ D ＋ ∠BCD＝2∠CAD，设∠CAD＝x°，则∠D＝∠BCD＝ x° ， ∠ ABC ＝ 2x° ， 由 ∠ ACB ＝ 90° ， 推 出 x° ＋ 2x° ＝ 90°，求出x，求出∠OCD＝90°，根据切线的判定定理 得出即可；(2)求出OC，得出OA长，求出∠OAE，根 据含30°角的直角三角形性质求出OF即可．
考点三 三角形的外接圆和内切圆
名称 三角形的外接圆
三角形的内切圆
圆心 三角形的外心 名称
三角形的内心
描述
经过三角形的三顶点的 与三角形各边都相切的 圆，外心是三角形三条 圆，内心是三角形三条 边垂直平分线的交点 角平分线的交点
图形 三角形的外心到三角形 三角形的内心到三角形
性质 三个顶点的距离相等 三边的距离相等
2. 切线的判定： （1）经过半径的外端并且⑥___垂__直___于这条半径的 直线是圆的切线（判定定理）； （2）到圆心距离⑦___等__于___半径的直线是圆的切线 ； （3）和圆只有⑧__一__个____公共点的直线是圆的切线 ．
3. 切线长及其定理（2011版新课标新增内容） （1）定义：经过圆外一点作圆的切线，这一点与切 点之间线段长度叫做这点到圆的切线长． （2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们 的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角．
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（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
设OD=r，则BO=5-r．
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA.
∴
，
即
Байду номын сангаас
解得r= .
∴BE=AB-AE=5- = ．
（1）证明：连接OD，如答图1-25-7． 在Rt△ADE中，点O为AE的中点， ∴DO=AO=EO=12AE. ∴点D在⊙O上，且∠DAO =∠ADO． 又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO. ∴∠ADO=∠CAD.∴AC∥DO． ∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC． 又∵OD为半径，∴BC是⊙O 的切线.
A．3 B． C．6 D．9
5. (10分)如图K1-25-3，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外 一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD. 若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( C )
A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°
6. （15分）如图K1-25-4，⊙O是△ABC的内切圆，则 点O是△ABC的( B )
第25讲 与圆有关的位置关系
1. (10分) 已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当 OP=10时，点A与⊙O的位置关系为( C )
A. 在圆上 C. 在圆内
B. 在圆外 D. 不确定
2. (10分) 已知⊙O的面积为9π cm2，若圆心O到直线 的距离为3cm，则直线与⊙O的位置关系是( A ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法判断
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
7. （35分）已知：如图K1-25-5，在△ABC中， ∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作 DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
3. (10分)如图K1-25-1，PA,PB是⊙O的切线，切点分 别是A，B，若∠P=60°，则∠AOB等于( C )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
4. (10分)（2018哈尔滨）如图K1-25-2，点P为⊙O外 一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B， ∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为( A )