【小波与傅里叶分析基础课件】名师名校讲义-第六章
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第六章小波分析基础ppt课件
1、多分辨分析(MRA)的概念[5]
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
《小波分析》课件
小波变换与其他数学方法的结合
小波变换与傅里叶分析的结合
小波变换作为傅里叶分析的扩展，能够提供更灵活的时频分析能力，适用于非平稳信号 的处理。
小波变换与数值分析的结合
小波变换在数值分析中可用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域，提高计算效 率和精度。
小波变换在大数据分析中的应用
特征提取
小波变换能够提取大数据中隐藏的时间或频 率特征，用于分类、聚类和预测等任务。
正则性
小波基的正则性是指其在时频域的连续性和光滑 性，影响信号重构的精度和稳定性。
01
小波变换在信号处 理中的应用
信号的降噪处理
总结词
通过小波变换，可以将信号中的噪声成 分与有用信号分离，从而实现降噪处理 。
VS
详细描述
小波变换具有多尺度分析的特点，能够将 信号在不同尺度上进行分解，从而将噪声 与有用信号分离。在降噪处理中，可以选 择合适的小波基和阈值处理方法，对噪声 进行抑制，保留有用信号。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
图像的压缩编码
01
通用性强
02
小波变换的通用性强，可以广泛 应用于各种类型的图像压缩，包 括灰度图像、彩色图像、静态图 像和动态图像等。
图像的边缘检测
精确检测
小波变换具有多尺度分析的特性，能 够检测到图像在不同尺度下的边缘信 息，实现更精确的边缘检测。
图像的边缘检测
抗噪能力强
小波变换能够有效地抑制噪声对边缘 检测的影响，提高边缘检测的准确性 和稳定性。
信号的压缩编码
总结词
小波变换可以将信号进行压缩编码，减小存储和传输所需的带宽和空间。
详细描述
小波变换理论与方法ppt课件
R
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
小波基础知识 PPT课件
设T : X
军事电子对抗与武器的智能化；计算机分 类与识别；音乐与语言的人工合成；医学 成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机 械的故障诊断等方面；例如，在数学方面， 它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等。在图象处理方面的图象压缩、分 类、识别与诊断，去污等。在医学成像方 面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间， 提高分辨率等。
2
2
3
V,ej
2
v2
2
j 1
3 2
v1
1 2
v2
3 2
v1
1 2
v2
3 2
[
v1
2
v2
2]
3 2
V
定义、定理及证明
1. (巴拿赫)Banach空间与Hibert（西耳伯特） 空间
由于F(0) = 0,故 =0
2. 线性算子与同构
我们只考虑可分的Hilbert空间。
1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的 小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的 同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 （Multiscale Analysis），解决了Fourier变换 不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑 式的进展。
小波变换简介PPT课件
[H,V,D] = detcoef2 ('all',C,S,N) returns the horizontal H, vertical V, and diagonal D detail coefficients at level N.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
最新小波分析(讲稿)课件ppt
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis
FFT变换是将信号分解成不同频率的正弦波的叠加和，即把信号
投影到一组正交基 e j.t 上。
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis 存在的主要问题：
（1） 无时域局部化特性。为了求得傅里叶系数，理论上必须知道时域的全部
1.Fourier Analysis 存在的主要问题： （3）傅氏分析采用窗宽固定的窗函数。为了分析提取信号的低频成分，T0应
取较大值，且频率分辩率较高；为了分析提取信号的高频成分，T0应取较小 值，时域分辩率较高，而对频率分辨率要求不高。 但T0固定时，两者不能同 时满足。
2.短时傅里叶变换 STFT（Short-Time Fourier Transform）
主要缺陷：STFT的窗函数一旦确定，就不能再变换。对于频率成分较多 的信号，很难找到一个最合适的窗函数，从而很难获得一个最佳的分析 精度。
2.STFT（Short-Time Fourier Transform）
(SF wfT ) (,b) f(t).w (tb)ej.td t
3.Wavelet Analysis
（2） 不能实现时频分析。信号分解转换到频域后，丢失掉了时域的信息， 频域中某频率或频带内的信息和时域中某时刻或时宽内的信息没有直接的对 应关系，即不能给出某一指定频带内的时域图形。这种对应关系称为时频分 析，所以傅里叶分析不能进行时频分析，而时频分析在工程中却相当有用。
一.FFT、STFT到Wavelet
(SF wfT ) (,b) f(t).w (tb)ej.td t
STFT将信号在时域上加窗函数，然后进行傅立叶变换，再在时域上 移动窗函数，最后完成连续重叠变换，得到与时间有关的信号频谱的描 述。从而在时频域得到一个信号能量的三维分布。
《小波分析概述》课件
小波变换在信号处理中发挥了重要作用，能够有效地分析信号的局部特征，如突变和奇异点，为信号 处理提供了新的工具。
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
小波分析基础 PPT课件
(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
School of Jet Propulsion, BUAA
❖ 尺度与频率的关系
尺度与频率的关系如下： ➢ 小尺度a 压缩的小波快速变换的细节高频部分 ➢ 大尺度a 拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分
School of Jet Propulsion, BUAA
School of Jet Propulsion, BUAA
小波分析基础
2012.03.20
School of Jet Propulsion, BUAA
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
School of Jet Propulsion, BUAA
可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们 用镜头观察目标信号f (t)， ψ(t)代表镜头所起的所用。 b 相当于使镜头相对于目标平行移动，a的所用相当于 镜头向目标推进或远离。由此可见，小波变换有以下 特点： ➢ 多尺度/多分辨的特点，可以由粗及细地处理信号；
部化的。
School of Jet Propulsion, BUAA
一些著名的小波[3]：
1、Daubechies小波
School of Jet Propulsion, BUAA
2、Coiflets小波
3、Symlets小波
School of Jet Propulsion, BUAA
4、Morlet小波
a,b
(t)
a
1
2
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❖ 尺度与频率的关系
尺度与频率的关系如下： ➢ 小尺度a 压缩的小波快速变换的细节高频部分 ➢ 大尺度a 拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分
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小波分析基础
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一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
School of Jet Propulsion, BUAA
可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们 用镜头观察目标信号f (t)， ψ(t)代表镜头所起的所用。 b 相当于使镜头相对于目标平行移动，a的所用相当于 镜头向目标推进或远离。由此可见，小波变换有以下 特点： ➢ 多尺度/多分辨的特点，可以由粗及细地处理信号；
部化的。
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一些著名的小波[3]：
1、Daubechies小波
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2、Coiflets小波
3、Symlets小波
School of Jet Propulsion, BUAA
4、Morlet小波
a,b
(t)
a
1
2
小波变换和傅里叶变换
小波变换和傅里叶变换一、小波变换的基本概念及原理小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数，从而能够更好地描述信号的局部特征。
小波变换与傅里叶变换相比，具有更好的时域局部性和多分辨率特性。
1. 小波基函数小波基函数是一组紧凑支撑的函数，可以用于表示任意信号。
常见的小波基函数包括哈尔、Daubechies、Symlet等。
2. 小波分解小波分解是指将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。
通常采用离散小波变换（DWT）实现。
3. 小波重构小波重构是指将经过小波分解后得到的系数重新合成成原始信号。
通常采用离散小波逆变换（IDWT）实现。
二、傅里叶变换的基本概念及原理傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的方法，能够揭示出信号中各个频率成分所占比例，从而能够更好地描述信号在频域上的特征。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是指将周期信号分解成一组正弦、余弦函数的线性组合，通常采用复数形式表示。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是指将非周期信号分解成一组连续的正弦、余弦函数的线性组合，通常采用积分形式表示。
3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是指将经过傅里叶变换后得到的频域信号重新合成成原始信号，通常采用积分形式表示。
三、小波变换与傅里叶变换的比较小波变换和傅里叶变换都是将信号从时域转化为频域的方法，但两者有着明显的区别。
1. 时域局部性小波变换具有更好的时域局部性，即小波基函数在时间上具有紧凑支撑。
而傅里叶基函数则是在整个时间轴上存在。
2. 多分辨率特性小波变换具有多分辨率特性，可以将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。
而傅里叶变换则只能得到整体频谱信息。
3. 计算复杂度小波变换的计算复杂度比傅里叶变换低，因为小波基函数具有局部性质，可以在不同尺度上分别计算。
而傅里叶变换则需要对整个信号进行计算。
4. 应用领域小波变换主要应用于信号的时频分析、图像处理等领域。
而傅里叶变换则主要应用于通信、音频处理等领域。
专题讲座——小波变换PPT课件
第10页/共79页
部分小波波形
第11页/共79页
小波基函数
将小波母函数（t)进行伸缩和平移，
令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为，则：
a（ , t)
a12(t
),a0,R
a
则称a（ , t)是依赖参数a,的小波基函数。
将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
第12页/共79页
小波分析
• 小波变换通过平移母小波(mother wavelet) 可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的 宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波 的系数，这些系数代表小波和局部信号之间 的相互关系。
第15页/共79页
CWT的变换过程图示
第16页/共79页
CWT小结
• 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以 这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，
度量的是信号细节，表示频率w 比较高；相
反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的
是信号的粗糙程度，表示频率w 比较低。
第17页/共79页
离散小波变换
第18页/共79页
离散小波变换定义
任意L2(R)空间中的x(t)的DWT为：
__________
Wx ( j, k) R x(t) j,k (t) dt其中Biblioteka j（ ,k t) 1 2j
(
t 2
j
k)
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续 的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时 间变量t的。
第4页/共79页
短时傅里叶变换STFT
确定信号局部频率特性的比较简单的方法是 在时刻ґ附近对信号加窗，然后计算傅里叶变 换。
小波分析全节讲解精品PPT课件
x x, en en n 1
并且有Parseval等式，即
x 2
x, en 2
n 1
（5）双正交基
对于不满足规范正交条件的基底 {ek } 来说 ，如果存在另一组对偶基底{en} 使得
en , em
(m n)
0, m n 1, m n
对应的傅里叶展开式为
f f , en en n 1
X ()
x[n] e jn
n
x[n] 1 X ()e jnd
2
2.DFT
X[k]
N 1
j 2 nk
x[n]e N
N 1
x[n]WNnk , k
0,1,..., N
1
n0
n0
x[n]
1 N
N 1
j 2 nk
X [k]e N
n0
1 N
N 1
X [k]WNnk , n
F (t) F 2 f ()
2.位移 时域位移将导致信号频谱增加一个 附加相位，但是幅频特性不变，即
f (t a) F F ()e ja
3.卷积
卷积特性分为时域卷积和频域 卷积，即
f1(t) * f2 (t) F F1()F2
1
2
F1() F2 ()
4.Parseval定理（内积定理）
2.基底及展开
（1）由函数序列张成的空间
设 {ek (t)}为函数序列，令集合 X 为
X
ak
ek
(t),
t,
ak
R,
k
Z
k
即 X 为函数序列{ek (t)} 的所有可能的
线性组合构成的集合，则称 X 为
序列 {ek (t)}张成的线性空间，简记为
小波分析PPT课件
4
一首数学史诗
• 多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使他放弃研究数学的强 烈兴趣．事实上，早在1807年他就研究了现在称之为Fourier分析的核 心内容．
• 1822年，正式出版推动世界科学研究进展的巨著——《热的解析理 论》(The Analytic Theory of Heat)．由于这一理论成功地求解了困扰 科学家150年之久的牛顿二体问题微分方程，因此Fourier分析成为几 乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家。
• 目前，Fourier的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电 话、收音机、x射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科 学研究开发的系统平台。所以物理学家Maxwell称赞Fourier 分析是一 首伟大的数学史诗。
5
Fourier分析的核心内容
①用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余 弦函数之和。这一无限和现称之为Fourier级数。也就是说，任 何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑 的曲线之和，见图。
实际上是将信 号投影在由正 弦和余弦函数 组成的正交基 上，对其实施 Fourier变换。
6
Fourier分析的核心内容
②他解释了为什么这一数学论断是有用的。1807年，他显示任何周 期函数(最下图形)是由正弦和余弦函数叠加而成。 Fourier分析 从本质上改变了数学家对函数的看法．他提供了某些微分方程的 直接求解方法，为计算机和CD等数字技术的实现铺平了道路。
但FFT 的本质还是Fourier变换。
10
Fourier变换的缺点
① Fourier分析对非线性问题感到力不从心。
因为非线性系统具有高度不可预测性，输入端微小的 变化会对输出端产生重大影响。例如牛顿定律方程是非线 性的，若用它来预测空间三个物体之间较长时间的行为是 十分困难的，甚至是不可能的，原因是该系统高度不稳定。 正如著名科学家Korner指出：“19世纪的伟大发现是证 明自然方程是线性的，20世纪的伟大发现是证明自然方程 是非线性的。” ② Fourier变换公式没有反映出随时间变化的频率。实际
一首数学史诗
• 多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使他放弃研究数学的强 烈兴趣．事实上，早在1807年他就研究了现在称之为Fourier分析的核 心内容．
• 1822年，正式出版推动世界科学研究进展的巨著——《热的解析理 论》(The Analytic Theory of Heat)．由于这一理论成功地求解了困扰 科学家150年之久的牛顿二体问题微分方程，因此Fourier分析成为几 乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家。
• 目前，Fourier的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电 话、收音机、x射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科 学研究开发的系统平台。所以物理学家Maxwell称赞Fourier 分析是一 首伟大的数学史诗。
5
Fourier分析的核心内容
①用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余 弦函数之和。这一无限和现称之为Fourier级数。也就是说，任 何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑 的曲线之和，见图。
实际上是将信 号投影在由正 弦和余弦函数 组成的正交基 上，对其实施 Fourier变换。
6
Fourier分析的核心内容
②他解释了为什么这一数学论断是有用的。1807年，他显示任何周 期函数(最下图形)是由正弦和余弦函数叠加而成。 Fourier分析 从本质上改变了数学家对函数的看法．他提供了某些微分方程的 直接求解方法，为计算机和CD等数字技术的实现铺平了道路。
但FFT 的本质还是Fourier变换。
10
Fourier变换的缺点
① Fourier分析对非线性问题感到力不从心。
因为非线性系统具有高度不可预测性，输入端微小的 变化会对输出端产生重大影响。例如牛顿定律方程是非线 性的，若用它来预测空间三个物体之间较长时间的行为是 十分困难的，甚至是不可能的，原因是该系统高度不稳定。 正如著名科学家Korner指出：“19世纪的伟大发现是证 明自然方程是线性的，20世纪的伟大发现是证明自然方程 是非线性的。” ② Fourier变换公式没有反映出随时间变化的频率。实际
小波基本理论及应用PPT课件
小波变换通过选取不同的小波基函数， 对信号进行多尺度分解，得到信号在 不同尺度和频率上的系数，这些系数 可以反映信号在不同时间和频率上的 特征。
小波变换的应用领域
信号处理
小波变换在信号处理领域应用广泛，可 以用于信号的降噪、压缩、识别和分类
等。
模式识别
小波变换可以用于模式识别中的特征 提取和分类器设计，如人脸识别、语
小波基本理论及应用ppt课 件
目录
• 小波理论概述 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换在其他领域的应用
01
小波理论概述
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的函数，其时间窗和频率窗都可以改变，且在时间域和频率域 都具有很好的局部化特性。
在信号处理中，通过调整小波变换的尺度和平移参数，可 以得到信号在不同时间和频率下的局部信息，从而更好地 理解信号的特征和性质。
03
小波变换的算法实现
一维小波变换算法
一维小波变换算法是实现小波变换的基本方法之一，它通过对一维信号进行多尺度分析，将信号分解 成不同频率和不同时间分辨率的成分。
一维小波变换算法可以分为连续小波变换和离散小波变换两种，其中离散小波变换在实际应用中更为广 泛。
量子纠缠的检测
小波变换可以用于检测量子纠缠，有 助于理解和应用量子纠缠的性质。
量子计算中的优化问题
小波变换可以用于优化量子计算中的 某些问题，提高量子计算的效率。
量子模拟中的近似方法
小波变换可以用于近似求解某些量子 模拟问题，提供一种有效的近似方法。
在金融领域的应用
金融数据分析
小波变换可以用于金融数据分析，如股票价 格、外汇汇率和商品价格等的分析。
小波变换的应用领域
信号处理
小波变换在信号处理领域应用广泛，可 以用于信号的降噪、压缩、识别和分类
等。
模式识别
小波变换可以用于模式识别中的特征 提取和分类器设计，如人脸识别、语
小波基本理论及应用ppt课 件
目录
• 小波理论概述 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换在其他领域的应用
01
小波理论概述
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的函数，其时间窗和频率窗都可以改变，且在时间域和频率域 都具有很好的局部化特性。
在信号处理中，通过调整小波变换的尺度和平移参数，可 以得到信号在不同时间和频率下的局部信息，从而更好地 理解信号的特征和性质。
03
小波变换的算法实现
一维小波变换算法
一维小波变换算法是实现小波变换的基本方法之一，它通过对一维信号进行多尺度分析，将信号分解 成不同频率和不同时间分辨率的成分。
一维小波变换算法可以分为连续小波变换和离散小波变换两种，其中离散小波变换在实际应用中更为广 泛。
量子纠缠的检测
小波变换可以用于检测量子纠缠，有 助于理解和应用量子纠缠的性质。
量子计算中的优化问题
小波变换可以用于优化量子计算中的 某些问题，提高量子计算的效率。
量子模拟中的近似方法
小波变换可以用于近似求解某些量子 模拟问题，提供一种有效的近似方法。
在金融领域的应用
金融数据分析
小波变换可以用于金融数据分析，如股票价 格、外汇汇率和商品价格等的分析。
第6章小波分析及应用
信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度
分析（Multiscale Analysis），从而解决傅里叶变换不能解 决的许多问题。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。
第六章 小波分析的基本原理及其应用
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师
J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处 理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代， A.Calderon表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件 基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备， 而且 J.O.Stromberg还 构 造了历史上非常类似于 现在的小波基； 1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基， 并与S. Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。 之后，
第六章 小波分析的基本原理及其应用
频 率
时间
图 6.2.2 小波变换的分辨率特性的图解
第六章 小波分析的基本原理及其应用
3. 连续小波变换的频率域表达式
在定义了连续小波变换后， 对该表达式进行傅里叶变换, 可以得到
a * jΩ WTx (a, ) X (Ω) (aΩ)e dΩ 2π
度对应的是信号中的低频分量，而小的尺度则对应于信号的
高频部分。
第六章 小波分析的基本原理及其应用 （3） 采用不同的尺度a作处理时，各个Ψ(aΩ)的中心频率和 带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心 频率／带宽”为常数。
仍以Morlet小波为例：当a=1 时，ψ(t)的傅里叶变换的中心
其中X(Ω )和Ψ (Ω )分别对应于信号x(t)与母小波函数ψ (t)的
傅里叶变换。 (6.2.8)式可以由傅里叶分析理论简单得到证明：
小波变换与傅里叶变换比较PPT文档共28页
小波变换 用母小波通过位移和缩放得到一系列小波表示一个信号 一系列小波可用作表示函数的基函数
能用傅里叶变换分析的函数都可以用小波变换
母小波缩放平移代替正弦波
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换特点：
1. 无约束基，即随着j，k增大系数迅速减小 2. 小波变换可对信号特征局部描述和分离 3. 小波变换具有可调性和可适性 4. 小波的定义方程只有乘法和加法
Thank you
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
傅里叶变换 用一系列不同频率的正弦信号表示一个信号 一系列不同频率的正弦信号是傅里叶变换的基函数
结果对比
小波变换与傅里叶变换比较
比较实例2 正弦信号与白噪声叠加
小波变换与傅里叶变换比较
利用db5小波5层分解
低频系数
高频系数
小波变换与傅里叶变换比较
a5重构结果
时域
频域
小波变换与傅里叶变换比较
结果对比
小波变换与傅里叶变换比较
比较实例3 noisbloc信号
小波变换与傅里叶变换比较
利用haar小波5层分解
硬阈值
软阈值
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
总结
I. 平稳信号与瞬变信号 II. 整体与局部 III.适用性与灵活性
小波变换与傅里叶变换比较
谢谢大家！
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
能用傅里叶变换分析的函数都可以用小波变换
母小波缩放平移代替正弦波
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换特点：
1. 无约束基，即随着j，k增大系数迅速减小 2. 小波变换可对信号特征局部描述和分离 3. 小波变换具有可调性和可适性 4. 小波的定义方程只有乘法和加法
Thank you
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
傅里叶变换 用一系列不同频率的正弦信号表示一个信号 一系列不同频率的正弦信号是傅里叶变换的基函数
结果对比
小波变换与傅里叶变换比较
比较实例2 正弦信号与白噪声叠加
小波变换与傅里叶变换比较
利用db5小波5层分解
低频系数
高频系数
小波变换与傅里叶变换比较
a5重构结果
时域
频域
小波变换与傅里叶变换比较
结果对比
小波变换与傅里叶变换比较
比较实例3 noisbloc信号
小波变换与傅里叶变换比较
利用haar小波5层分解
硬阈值
软阈值
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
总结
I. 平稳信号与瞬变信号 II. 整体与局部 III.适用性与灵活性
小波变换与傅里叶变换比较
谢谢大家！
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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^¢ÅÝþKS
b¢Å ψ äk n Ý, áu Cn Ùê´¯P~', = é?¿' 0 ≤ k ≤ n 9 m ∈ N, 3~ê Cm, ¦&
|ψ(k)(t)|
≤
1
Cm + |t|m
,
∀ t ∈ R.
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• ÛÉX'ÛÉS'rf±dÙ¢ÅC4ºÝëê
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'P~S5x.
Full Screen
Close
Quit
KS Lipschitz f 3«m [v − h, v + h] þ´ m g', K f 3 v '¥' Taylor õª
1 p2
,
|ω − 1| < p
0,
Ù¥ p > 0 ´½ëê. K
others,
11 suppψ = 1 − , 1 + ,
pp
1
11
1
suppψa,b =
a
1− p
, a
1+ p
.
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¢Å38ÒÛÉSuÿ¥A^
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nØ(J
Title Page
• ÛÉX' ±ÏLl¢ÅC3[ºÝe'4 5uÿ.
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X Lipschitz KS
3 X´ ' K3 ¦& f ∈ L2(R) v
Lipschitz α ≤ n ,
A>0
|(Wψf
)(s,
u)|
≤
Asα+
1 2
u−v α 1+
s
, ∀ (s, u) ∈ R+ × R.
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Lipschitz KS
3«m þ´ ' K3 f ∈ L2(R)
[a, b]
Lipschitz α ≤ n ,
A > 0 ¦&
|(Wψf )(s,
u)|
·
·
suppfˆN
=
(αN ,
βN ),
0 < α1 < β1 < α2 < β2 < · · · < αN < βN .
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Байду номын сангаас
b½
f (t) = f1(t) + f2(t).
,
f (t) = f1(t) + f2(t) + · · · + fN (t),
1
1
1
1
An = βn
1− p
, Bn = αn
1+ p
,
±9
Òd Å ©lÑp > p0 = max 1≤n≤N
αn + βn−1 αn − βn−1
,
f
f1, f2, · · · , fN .
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½Â (Lipschitz)
• ¡¼ê f 3X v Lipschitz α (α ≥ 0) ', XJ3 Kv > 0 9
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m = α gõª Pv, ¦&
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|f (t) − Pv(t)| ≤ Kv|t − v|α, ∀ t ∈ R. (∗)
ü>ë¢ÅC&
(Wψf )(a, b) = (Wψf1)(a, b) + (Wψf2)(a, b).
db, k
suppfˆ1 = (α1, β1),
suppfˆ2 = (α2, β2),
0 < α1 < β1 < α2 < β2.
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~
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^ Fourier CÝþKS
XJ f ÷v +∞ |fˆ(ω)|(1 + |ω|α)dω < +∞,
K f k. 3 R þ−´∞ Lipschitz α '.
ë¢ÅCA^Þ~
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©ªJ
Ù¥,
N
f (t) = fn(t),
n=1
suppfˆ1
=
(α1,
β1),
suppfˆ2
=
(α2,
β2),
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
(s0, u0)
3ºÝ e'4X ¡ ´¢ÅC |(Wψf)(s, u)|
s0
, |(Wψf )(s0, u0)|
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3X '4 |(Wψf)(s, u)|
(s0, u0)
.
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• 3 (s, u) ²¡þ, XJk^, ¦&ÙþzX (s, u) Ñ´
(½ •
A1, B1.
¦ s fˆ1, ψa,b =0,
suppfˆ1 suppψa,b = ∅,
=
(α1, β1)
l s
1
11
1
1 − , 1 + = ∅.
a
pa
p
½ 1
1
a
1+ p
< α1
1
1
a
1− p
> β1,
=
½ 1
1
a> 1+
1
1
a< 1− .
α1
p
β1
p
Ø A1
=
1 β1
1
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β2
p
½ 1
1
[A1, B1] ⊂
a> α2
1+ p
1
1
a< 1− .
β2
p
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u´, À p ÷v
1
11
1
1− > 1+ ,
β1
p α2
p
=
p > α2 + β1 .
G éu À α2 − β1
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¢ÅC'P~S8Ò'S
Ï θ ¯P~, ±&
+∞
lim
s−
1 2
θs
=
θ(t)dt δ.
s→0
−∞
Ïd, é?¿3 u Xë'¼ê φ, k
+∞
lim
φ
∗
s−
1 2
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=
θ(t)dt φ(u).
¦&
ψ(t)
=
(−1)n
dnθ(t) dtn .
l , ?¿ f ∈ L2(R) '¢ÅCL«
(Wψf )(s,
u)
=
sn
dn dun
(f
∗
θs)(u),
Ù¥,
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=
s−
1 2
θ(−
t s
),
¿ ψ
äkØL
n
'ݨ =¨
+∞ −∞
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=
0.
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= Cψ
−∞
0
(Wψf1)(a, b)ψa,b(t)a2 dadb
2 +∞ B1
1
= Cψ −∞
A1 (Wψf1)(a, b)ψa,b(t)a2 dadb
2 +∞ B1
1
= Cψ −∞
A1 ((Wψf1)(a, b) + (Wψf2)(a, b))ψa,b(t)a2 dadb
2 +∞ B1
1
= Cψ −∞
, α < n ê, 3 A Ú α < α, ¦&
|(Wψf
)(s,
u)|
≤
Asα+
1 2
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+
u−v α ,
s
∀ (s, u) ∈ R+ × R.
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^¢ÅÝþKS
b¢Å ψ äk n Ý, áu Cn Ùê´¯P~', = é?¿' 0 ≤ k ≤ n 9 m ∈ N, 3~ê Cm, ¦&
|ψ(k)(t)|
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1
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,
∀ t ∈ R.
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'P~S5x.
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KS Lipschitz f 3«m [v − h, v + h] þ´ m g', K f 3 v '¥' Taylor õª
1 p2
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X Lipschitz KS
3 X´ ' K3 ¦& f ∈ L2(R) v
Lipschitz α ≤ n ,
A>0
|(Wψf
)(s,
u)|
≤
Asα+
1 2
u−v α 1+
s
, ∀ (s, u) ∈ R+ × R.
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Lipschitz KS
3«m þ´ ' K3 f ∈ L2(R)
[a, b]
Lipschitz α ≤ n ,
A > 0 ¦&
|(Wψf )(s,
u)|
·
·
suppfˆN
=
(αN ,
βN ),
0 < α1 < β1 < α2 < β2 < · · · < αN < βN .
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Байду номын сангаас
b½
f (t) = f1(t) + f2(t).
,
f (t) = f1(t) + f2(t) + · · · + fN (t),
1
1
1
1
An = βn
1− p
, Bn = αn
1+ p
,
±9
Òd Å ©lÑp > p0 = max 1≤n≤N
αn + βn−1 αn − βn−1
,
f
f1, f2, · · · , fN .
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½Â (Lipschitz)
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m = α gõª Pv, ¦&
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|f (t) − Pv(t)| ≤ Kv|t − v|α, ∀ t ∈ R. (∗)
ü>ë¢ÅC&
(Wψf )(a, b) = (Wψf1)(a, b) + (Wψf2)(a, b).
db, k
suppfˆ1 = (α1, β1),
suppfˆ2 = (α2, β2),
0 < α1 < β1 < α2 < β2.
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^ Fourier CÝþKS
XJ f ÷v +∞ |fˆ(ω)|(1 + |ω|α)dω < +∞,
K f k. 3 R þ−´∞ Lipschitz α '.
ë¢ÅCA^Þ~
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©ªJ
Ù¥,
N
f (t) = fn(t),
n=1
suppfˆ1
=
(α1,
β1),
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(α2,
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·
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·
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·
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(s0, u0)
3ºÝ e'4X ¡ ´¢ÅC |(Wψf)(s, u)|
s0
, |(Wψf )(s0, u0)|
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3X '4 |(Wψf)(s, u)|
(s0, u0)
.
Full Screen
• 3 (s, u) ²¡þ, XJk^, ¦&ÙþzX (s, u) Ñ´
(½ •
A1, B1.
¦ s fˆ1, ψa,b =0,
suppfˆ1 suppψa,b = ∅,
=
(α1, β1)
l s
1
11
1
1 − , 1 + = ∅.
a
pa
p
½ 1
1
a
1+ p
< α1
1
1
a
1− p
> β1,
=
½ 1
1
a> 1+
1
1
a< 1− .
α1
p
β1
p
Ø A1
=
1 β1
1
−
β2
p
½ 1
1
[A1, B1] ⊂
a> α2
1+ p
1
1
a< 1− .
β2
p
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u´, À p ÷v
1
11
1
1− > 1+ ,
β1
p α2
p
=
p > α2 + β1 .
G éu À α2 − β1
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¢ÅC'P~S8Ò'S
Ï θ ¯P~, ±&
+∞
lim
s−
1 2
θs
=
θ(t)dt δ.
s→0
−∞
Ïd, é?¿3 u Xë'¼ê φ, k
+∞
lim
φ
∗
s−
1 2
θs(u)
=
θ(t)dt φ(u).
¦&
ψ(t)
=
(−1)n
dnθ(t) dtn .
l , ?¿ f ∈ L2(R) '¢ÅCL«
(Wψf )(s,
u)
=
sn
dn dun
(f
∗
θs)(u),
Ù¥,
θs(t)
=
s−
1 2
θ(−
t s
),
¿ ψ
äkØL
n
'ݨ =¨
+∞ −∞
θ(t)dt
=
0.
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= Cψ
−∞
0
(Wψf1)(a, b)ψa,b(t)a2 dadb
2 +∞ B1
1
= Cψ −∞
A1 (Wψf1)(a, b)ψa,b(t)a2 dadb
2 +∞ B1
1
= Cψ −∞
A1 ((Wψf1)(a, b) + (Wψf2)(a, b))ψa,b(t)a2 dadb
2 +∞ B1
1
= Cψ −∞
, α < n ê, 3 A Ú α < α, ¦&
|(Wψf
)(s,
u)|
≤
Asα+
1 2
1
+
u−v α ,
s
∀ (s, u) ∈ R+ × R.