2020年新高考数学二轮习题练专题05 数列(含解析)

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2020北京新高考数学高三二模汇编 05数列

（Ⅱ）若存在正整数，使得，求的最小值.
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
图①图②图③
答案
解：（Ⅰ）由，得，即，
因为，
所以， .
所以 .………………………………6分
（Ⅱ）由图①知：，，可判断，数列是递减数列；而递增，由于，
选择条件②，存在正整数 ,使得 .
理由如下：
在等差数列中，
又， .
所以由得
所以 .
令，即 .
整理得 .解得或 .
因为，所以 .
所以当时， .
7.（数列，其前项和为，如图____，的图象经过 , 两个点．
（Ⅰ）求；
第二种情况：
如果选择条件③即，，可得：， .
当时，不成立，
当时，成立，
所以使得成立的的最小值为5. ………………………………14分
8.（丰台17）已知等差数列的前项和为，， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足，且公比为，从；；这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前项和 .
（A）
（B）
（C）
（D）
答案A
12.（顺义12）设是等差数列，且，，则的通项公式为__________.
答案
13.（顺义21）（本小题14分）
给定数列 .对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令 .
（）设数列为写出的值；
（）设是等比数列，公比，且，证明：是等比数列；
（Ⅱ）求的最小值．

高考数学二级结论快速解题：专题05 函数周期性问题(解析版)

专题05函数周期性问题一、结论已知定义在R 上的函数()f x ,若对任意x R ,总存在非零常数T ,使得()()f x T f x ,则称()f x 是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果()()f x a f x (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a (2)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(3)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(4)如果()()f x a f x c (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(5)如果()()f x a f x b (0,0a b ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期||T a b .(6)如果()()()f x f x a f x a (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期6T a .二、典型例题1．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 的定义域为R ， 2f x 为偶函数， 21f x 为奇函数，则（）A ．102fB ． 10f C ． 20f D ． 40f 【答案】B 【解析】因为函数 2f x 为偶函数，则 22f x f x ，可得 31f x f x ，因为函数 21f x 为奇函数，则 1221f x f x ，所以， 11f x f x ，所以， 311f x f x f x ，即 4f x f x ，故函数 f x 是以4为周期的周期函数，因为函数 21F x f x 为奇函数，则 010F f ，故 110f f ，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数(2)f x 为偶函数，所以其图象关于0x 对称，则函数()f x 的图象关于直线2x 对称；所以()(4)(1)f x f x ；又函数(21)f x 为奇函数，所以其关于(0,0)对称；121(21)(2+1)=(2)()2f x f x f x f x 横坐标向右平移个单位横坐标伸长为原来2倍（）通过图象平移伸缩变换，可以得到(2)f x 关于1(,0)2对称，进而()f x 关于(1,0)对称；可得：()(2)(2)f x f x ；综合（1）（2）可得(4)(2)(2)()f x f x f x f x ；利用结论()()f x a f x 的周期为2T a ,故本题中()f x 的周期为4T 利用()(2)(2)f x f x 可得13(34)(1)2(1)0(1)0f f f f f f 【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.对称性问题：①轴对称问题：()f x 关于x a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；②点对称问题：()f x 关于(,0)a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；2．（2021·全国·高考真题（理））设函数 f x 的定义域为R ， 1f x 为奇函数， 2f x 为偶函数，当 1,2x 时，2()f x ax b ．若 036f f ，则92f（）A ．94B ．32C ．74D ．52【答案】D 【解析】令1x ，由①得： 024f f a b ，由②得： 31f f a b ，因为 036f f ，所以 462a b a b a ，令0x ，由①得： 11102f f f b ，所以 222f x x ．因为 1f x 是奇函数，所以 1f x 图象关于(0,0)对称，1(1)()f x f x 横坐标向右平移个单位所以()f x 关于(1,0)对称，得：()(2)(1)f x f x因为 2f x 是偶函数，所以 2f x 图象关于0x 对称；22()f x f x 横坐标向右平移个单位，所以()f x 关于2x 对称，得：()(4)(2)f x f x ；综合（1）（2）得到：(4)(2)(2)()f x f x f x f x 得到4T 所以9122f f，再利用()(2)(1)f x f x 令12x 代入：135(()222f f 故选：D．【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练举一反三1．（2008·湖北·高考真题（文））已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x ，当(0,2)x 时，2()2f x x ，则(7)f A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】A 【详解】∵(4)()f x f x ，∴()f x 是以4为周期的周期函数，由于()f x 为奇函数，∴(7)74211f f f f ，而 12f ，即(7)2f .故选：A ．2．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数 f x ，对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，当03x 时，()26f x x ，则 2021f （）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】C 【详解】依题意对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，令3x ，则 33323f f f f ，所以 30f ，故 6f x f x ，所以 f x 是周期为6的周期函数，故 202163371112164f f f f .故选：C3．（2021·江西·三模（理））已知函数 f x 的图象关于原点对称，且满足 0(3)1f x f x ，且当)4(2x ，时，12()log (1)f x x m ，若(2021)1(1)2f f ，则m （）A ．43B ．34C ．43D ．34【答案】C 【详解】因为函数 f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，因为 133f x f x f x ，故函数 f x 的周期为4，则 20211f f ；而 11f f ，所以由(2021)1(1)2f f 可得1(1)3f ；而121(1)(3)log (31)3f f m，解得43m .故选：C .4．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(4)()(2)f x f x f ，当(0,2)x 时，2()231 f x x x ，则函数()y f x 在[4,4] 上零点的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D 【详解】解：因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f ．因为(4)()(2)f x f x f ，令2x ，得(24)(2)(2)f f f ，即(2)(2)(2)f f f ，所以(2)0f ．又因为()f x 为奇函数，所以(2)(2)0f f ，所以(4)()(2)()f x f x f f x ，所以()f x 是以4为周期的周期函数．根据周期性及奇函数的性质画出函数()y f x 在[4,4] 上的图象，如图．由图可知，函数()y f x 在[4,4] 上有零点-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点．故选：D5．（2021·广西玉林·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x ，且当(0,3)x ，()e x f x x ，则下面结论正确的是（）A ．19(ln 3)(e)2f f fB ．19(e)(ln 3)2f f fC ．19(e)(ln 3)2f f fD ．19(ln 3)(e)2f f f【答案】A 【详解】由(6)(33)()()f x f x f x f x ，知()f x 是周期函数，且周期为6，∴192f551222f f ，∵e 2 ，∴1ln32 ，∴51ln 32e 32，又()(1)e x f x x ，易知()f x 在(0,3)内单调递增，所以19(ln 3)(e)2f f f.故选：A ．6．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知 y f x 为奇函数且对任意x R ， 2f x f x ，若当 0,1x 时， 2log a f x x ，则 2021f （）A ．1B ．0C ．1D ．2【答案】C 【详解】解：因为 y f x 为奇函数，即 f x f x ，因为对任意x R ， 2f x f x f x ，所以 4f x f x ，当 0,1x 时， 2log a f x x ，所以 20log 0f a ，所以1a ，则 22021505411log 21 f f f .故选：C.7．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，满足 2f x f x ，且当 0,1x 时， 2log 1f x x ，则函数 3y f x x 的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】由 2f x f x 可得()f x 关于1x 对称，由函数 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 2()(2)(2)f x f x f x f x f x ，所以()f x 的周期为4，把函数 3y f x x 的零点问题即 30y f x x 的解，即函数()y f x 和3y x 的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x 的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.8．（2021·陕西·模拟预测（文））已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 2f x f x ．当12x 时， 2log 7f x x ，则 2021f （）A ．3B ．3C ．5D ．5【答案】A 【详解】由条件可知， f x f x ，且 2f x f x ，即 2f x f x ，即 2f x f x ，那么 42f x f x f x ，所以函数 f x 是周期为4的函数，22021505411log 83f f f .故选：A9．（2021·全国·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ，40f x f x ．若 136f f ，则 21f ______．【答案】3 【详解】由 40f x f x 可得 310f f ，又 136f f ，所以 33f ．由 40f x f x 可得 44f x f x f x ，故 8f x f x ，故 f x 的一个周期为8，则 21333f f f ．故答案为：3 .10．（2021·陕西·二模（理））已知定义在R 上的奇函数()y f x 满足(8)()0f x f x ，且(5)5f ，则(2019)(2024)f f ___________.【答案】5因为(8)()0f x f x ，所以(8)()f x f x ，所以(16)(8)()f x f x f x ，所以函数()y f x 是以16为周期的周期函数.又在(8)()0f x f x 中，令0x 得(8)(0)0f f ，且奇函数()y f x 是定义在R 上的函数，所以(0)0f ，故(8)0f ，所以(2024)(161268)(8)0f f f .又在(8)()0f x f x 中，令3x ，得(5)(3)0f f ，得(5)(3)(3)5f f f ，则(2019)(161263)(3)5f f f ，所以(2019)(2024)5f f .故答案为：5。

高考数学二轮复习数列多选题练习题含答案

高考数学二轮复习数列多选题练习题含答案一、数列多选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（）A ．19919S a =B ．数列{}22na 是公比为8的等比数列C ．若()1nnnb a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040D ．若11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前2020项和为202024249【答案】CD 【分析】由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，裂项相消即可求和.【详解】由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有811017311045210a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122na n -=，则数列{}22na 是公比为82的等比数列，故B 错误；若()()()1141nnnn b a n =-⋅=-⋅-，则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确；若()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则{}n b 的前2020项和2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪⎝⎭，故D 正确．故选:CD ．【点睛】方法点睛:求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（） A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.3．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk k S k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2,则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．4．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（） A ．若0q ≠，且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列B ．若nn S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数列C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列【答案】AC 【分析】若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，分类讨论10a >与10a <两种情况，可判断D ；【详解】对于A ，若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于B ，当2n ≥时，()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，若10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档题.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20．故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.6．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.7．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（）A ．(1)1()2n nF n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列，所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=+，令1nn n Fb -=⎝⎭，则11n n b ++，所以1n n b b +=-，所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭所以1n n b -+，所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；即C 满足条件；故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（） A ．2n S n = B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =；而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=，则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=，则22933k =，解得11k =，故C 正确；而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误．故选：ACD ．【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；（3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和；（4）对选项逐个判断正误，得到结果.二、平面向量多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．10．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点，且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，所以PB 与CQ 不平行，故A 错误；对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误；对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =，则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题。

2020年高考数学(文)二轮专项复习专题05 数列含答案

专题05 数列§5－1 数列的概念【知识要点】1．从函数的观点来认识数列，通过函数的表示方法，来认识数列的表示方法，从而得到数列的常用表示方法——通项公式，即：a n ＝f (n )．2．对数列特有的表示方法——递推法有一个初步的认识．会根据递推公式写出数列的前几项，并由此猜测数列的一个通项公式．3．明确数列的通项公式与前n 项和公式的关系： S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ；⎩⎨⎧≥==-)2()1(11n －S S n S a n n n ．特别注意对项数n 的要求，这相当于函数中的定义域．【复习要求】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．【例题分析】例1 根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式：(1)3231,1615,87,43,21； (2)2，－6，18，－54，162； (3)9，99，999，9999，99999； (4)1，0，1，0，1，0；(5）12133,1091,857,631,413,23； (6）52,177,73,115,21,53；【分析】本题需要观察每一项与项数之间存在的函数关系，猜想出一个通项公式．这种通过特殊的元素得到一般的规律是解决问题的常用方法，但得到的规律不一定正确，可经过证明来验证你的结论．解：(1)nn n n a 211212-=-= ； (2)a n ＝2×(－3)n －1；(3)a n ＝10n －1； (4)⎩⎨⎧为偶数为奇数n n a n 01；(5)nn a n 2112+-=； (6)232++=n n a n ．【评析】(1)中分数的考察要把分子、分母分开考察，当然有时分子分母之间有关系；(2)中正负相间的情况一定与(－1)的方次有关；(3)中的情况可以扩展为7，77，777，7777，77777⇒)110(97-=nn a ；(4)中的分段函数的写法再一次体现出数列是特殊的函数，也可写成2)1(11--+=n n a ，但这种写法要求较高；(5)中的假分数写成带分数结果就很明显了；(6)中的变换要求较高，可根据分子的变化，变换整个分数，如==42218463=，根据分子，把21变为84，其他类似找到规律．例2 已知：数列{a n }的前n 项和S n ，求：数列{a n }的通项公式a n ， (1)S n ＝n 2－2n ＋2；(2)1)23(-=n n S ．【分析】已知数列前n 项和S n 求通项公式a n 的题目一定要考虑n ＝1与n ≥2两种情况，即：a n ＝S n －S n －1不包含a 1，实际上相当于函数中对定义域的要求．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，则⎩⎨⎧≥-==23211n n n a n .(2)当n ＝1时，,2111==S a 当n ≥2时，11)23(21--<=-=n n n n S S a ，此公式也适合n ＝1时的情况，则1)23(21-⨯=n n a . 【评析】分情况求出通项公式a n 后，应考察两个式子是否能够统一在一起，如果能够统一还是写成一个式子更加简洁；如果不能统一就要写成分段函数的形式，总之分情况讨论后应该有一个总结性结论．例3完成下列各题：(1)数列{a n }中，a 1＝2)11ln(1na a n n ++=+，则a 3＝( )A ．2＋ln3B ．2＋2ln3C ．2＋3ln3D ．4(2)已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 (3)数列{a n }中，*221,,254N ∈+=+++-=n bn an a a a n a n n Λ，其中a ，b 为常数，则ab ＝______．【分析】本题中三个小题都涉及数列的递推关系，这类问题，最好的办法是给n 赋值，通过特殊的项找到一般的规律．解：(1)∵n n a nn a n a a n n n n ln )1ln(1ln )11ln(1-++=++=++=+， ∴a 2＝a 1＋ln(1＋1)－ln1＝2＋ln2， a 3＝a 2＋ln(2＋1)－ln2＝2＋ln3，选A ．(2)∵a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴,36111112-=⇒-=+==+a a a a a ∴a 3＝a 2＋1＝a 2＋a 1＝－6－3＝－9， a 5＝a 3＋2＝a 3＋a 2＝－9－6＝－15， a 10＝a 5＋5＝a 5＋a 5＝－30．选C ． (3)∵a 1＋a 2＋…＋a n＝an 2＋bn ，∴⎩⎨⎧+=++=b a a a ba a 24211，∵254-=n a n ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=212242112323b a b a b a ，∴ab ＝－1．【评析】这种通过特殊的项解决数列问题的方法今后经常用到，希望大家掌握．例4 已知：函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，21)0(=f ，且数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，求：数列{a n }的通项．【分析】首先要应用f (0)与f (1)这两个条件，由题可看出可能与S n 与a n 关系有关．解：由题知：21)0(1==a f ，f (1)＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，即：S n ＝n 2a n ，则S n －1＝(n －1)2a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1(n ≥2)，∴(n 2－1)a n ＝(n －1)2a n －1(n ≥2)，即：)2(111≥+-=-n n n aa n n，∴)2(31425313211122334211≥⨯⨯⨯⨯--⨯-⨯+-=⨯⨯⨯⨯⨯---n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n ΛΛ，即)2(21111≥⨯⨯+=n nn a a n ，∴)2()1(1≥+=n n n a n ， ∵当n ＝1时，212111=⨯=a 上式也成立， ∴)()1(1*N ∈+=n n n a n ．【评析】本题中，题目给出函数的条件，而f (0)与f (1)的运用就完全转化为数列问题，S n 与a n 的关系应该是要求掌握的，尤其是在n －1出现时，要注意n ≥2的限制，这相当于函数中的定义域．而叠乘的方法是求数列通项的基本方法之一．练习5－1一、选择题： 1．数列1614,1311,108,75,42---…的通项公式为( ) A ．1313)1(1+--+n n n B ．1313)1(+--n n n C ．1323)1(---n n nD ．1333)1(---n n n2．若数列的前四项是3，12，30，60，则此数列的一个通项公式是( )A ．2)2)(1(++n n nB ．5n 2－6n ＋4C ．2)1(93-+n n D ．2127ln 12+-n3．数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 7＝( )A ．11B ．12C ．13D ．14 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若Sn ＝2(a n －1)，则a 2＝( ) A ．－2 B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题：5．数列2，5，2，5，…的一个通项公式______．6．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{a n }的前4项是______，a n ＝______． 7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，则它的通项公式是______． 8．若数列{a n }的前n 项积为n 2，则a 3＋a 5＝______．三、解答题：9．已知：数列{a n }中，若n n na a a a a =+++=Λ211,21，求：数列{a n }前4项，并猜想数列{a n }的一个通项公式．10．已知：数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…，求：数列的第50项．§5－2 等差数列与等比数列【知识要点】1．熟练掌握等差数列、等比数列的定义：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)⇔数列{a n }是等差数列；q a a n n=-1(常数)(n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列；由定义知：等差数列中的项a n 及公差d 均可在R 中取值，但等比数列中的项a n 及公比q 均为非零实数．应该注意到，等差数列、等比数列的定义是解决数列问题的基础，也是判断一个数列是等差数列、等比数列的唯一依据．2．明确等差中项与等比中项的概念，并能运用之解决数列问题：c b a ca b 、、⇔+=2成等差数列，b 叫做a 、c 的等差中项，由此看出：任意两个实数都有等差中项，且等差中项唯一；b 2＝ac ⇔a 、b 、c 成等比数列，b 叫做a 、c 的等比中项，由此看出：只有同号的两个实数才有等比中项，且等比中项不唯一；3．灵活运用等差数列、等比数列的通项公式a n 及前n 项和公式S n ：等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ＝a 1＋(n －1)d ，d n n na n a a S n n 2)1(211-+=+=；等比数列{a n }中，a n ＝a m q n －m ＝a 1q n －1，⎪⎩⎪⎨⎧=/--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n ；4．函数与方程的思想运用到解决数列问题之中：等差数列、等比数列中，首项a 1、末项a n 、项数n ，公差d (公比q )、前n 项和S n ，五个量中，已知三个量，根据通项公式及前n 项和公式，列出方程可得另外两个量．等差数列中，n da n d S d a dn a n n )2(2121-+=-+=、，可看作一次函数与二次函数的形式，利用函数的性质可以解决数列问题．5．等差数列、等比数列的性质：等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ；【复习要求】1．理解等差数列、等比数列的概念．2．掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．【例题分析】例1完成下列各题：(1)若等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 (2)各项均为正数的等差数列{a n }中必有( )A ．8664a aa a D ．8664a aa a ≥【分析】本题在于考察等差数列的基本知识，通项公式及前n 项和公式是一切有关数列中考察的重点，注意数列中项数之间的关系．解：(1)∵等差数列{a n }中a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10， ∴a 3＝2，a 4＝5，∴公差d ＝3，首项a 1＝－4， ∴a 10＝a 1＋9d ＝－4＋27＝23，∴9510210110=⨯+=a a S .选C. (2)等差数列{a n }中a 4＋a 8＝2a 6， ∵等差数列{a n }各项均为正数， ∴由均值不等式2628484)2(a a a a a =+≤⋅，当且仅当a 4＝a 8时等号成立即：8664a aa a ≤，选B ．【评析】本题中涉及到等差数列中的重要性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，(1)中可直接应用这一性质：a 2＋a 4＝a 3＋a 3＝2a 3得到结论，但题中所给的答案可看作这一性质的证明，同时，等差数列中通项公式并不一定要用首项表示，可以从任何一项开始表示a n ，这也是常用的方法，(2)注意观察数列中项数的关系，各项均为正数的要求恰好给运用均值不等式创造了条件，注意等号成立的条件．例2完成下列各题：(1)等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243(2)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝2，S 30＝14，则S 40＝( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16【分析】本题中各小题是在运用等比数列的基本知识来解决，通项公式与前n 项和公式要熟练运用．解：(1)∵数列{a n }是等比数列，∴⎩⎨⎧=+=+=+=+63211321121q a q a a a q a a a a ，∴⎩⎨⎧==211q a ，a 7＝a 1·q 6＝26＝64．选A ． (2)方法一：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，(*)21)1(10110=--=qq a S ，(**)141)1(30130=--=q q a S ，两式相除：7111030=--qq ，即：1＋q 10＋q 20＝7⇒q 10＝2或q 10＝－3(舍)，把q 10＝2代入(*)中得到：211-=-qa ， ∴.30)21)(2(1)1(440140=--=--=qq a S 选B ．方法二：a 1＋a 2＋…＋a 10、a 11＋a 12＋…＋a 20、a 21＋a 22＋…＋a 30、a 31＋a 32＋…＋a 40、……也构成等比数列，设新等比数列的公比为p则：a 1＋a 2＋…＋a 10＝S 10＝2、a 11＋a 12＋…＋a 20＝2p 、a 21＋a 22＋…＋a 30＝2p 2 ∵S 30＝2＋2p ＋2p 2＝14，∴p ＝－3或p ＝2， ∵等比数列{a n }的各项均为正数，∴p ＝2，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝2、a 11＋a 12＋…＋a 20＝4、a 21＋a 22＋…＋a 30＝8、a 31＋a 32＋…＋a 40＝16，∴S 40＝2＋4＋8＋16＝30．【评析】(2)中方法一仍是解决此类问题的基本方法，注意把qa -11看成整体来求，方法二的方法在等差数列及等比数列中均适用，即：等比数列中第1个n 项和、第2个n 项和、…第n 个n 项和仍然成等比数列，此时，你知道这时的公比与原数列的么比的关系吗?例3 已知：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝16，S 10＝64，求：S 15＝?．【分析】本题是对等差数列的知识加以进一步考察，可以用求和公式，也可运用等差数列的性质加以解决．解：方法一：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+==⨯+=2532251664291010162455111015d a d a S d a S ，则：1442141515115=⨯+=d a S ；方法二：等差数列中：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5、a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15这三项也构成等差数列，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝S 5＝16，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝S 10－S 5＝64－16＝48， a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝S 15－S 10＝S 15－64， ∴2×48＝16＋S 15－64，∴S 15＝144．方法三：∵596,48166452106106610=+=-=⨯+=-∴a a a a S S ，∵a 1＋a 15＝a 6＋a 10 ∴14415259615215115=⨯=⨯+=a a S ．【评析】本题中方法一是直接应用前n 项和公式，得出首项与公差，再用公式得出所求，应是基本方法，但运算较繁锁；方法二充分注意到等差数列这一条件，得到的结论可以扩展为等差数列中第1个n 项和、第2个n 项和、……第n 个n 项和仍然成等差数列，你知道这时的公差与原数列的公差的关系吗?这一方法希望大家掌握；方法三是前n 项和公式与等差数列的性质的综合应用，大家可以借鉴．例4已知：等差数列{a n }中，且na a ab nn +++=Λ21， (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)若23,1132113211=++++++=b b b a a a a ΛΛ，求数列{a n }{b n }的通项公式．【分析】运用等差数列的两个公式，两个数列都是等差数列，所求通项就离不开首项和公差．解：(1)∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，∴2,2121121nn n n n a a n a a a b n a a a a a +=+++=⨯+=+++∴ΛΛ， ∴)2(222211111≥=-=⋅+-+=---⋅-n da a a a a ab b n n n n n n ，∴数列{b n }是等差数列，公差为2d；(2)∵1,1121==+++=∴a b na a ab nn Λ， ∵数列{a n }、{b n }是等差数列，∴31,232·66,23132132117713113113113113211321==++==++=⨯+⨯+=++++++∴∴d d b d a b a b b a a b b a a b b b a a a ΛΛ， ∴656161)1(1,323131)1(1+=-+=+=⨯-+=n n b n n a n n ．【评析】(1)中遇到了证明数列是等差(等比)数列，采取的方法只能是运用定义，满足定义就是，不满足定义就不是．例5 已知：等差数列{a n }中，a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，求数列{a n }的公差d 的取值范围；【分析】按照所给的条件，把两个不等的关系转化为关于公差d 的不等式．解：(1)∵数列{a n }是等差数列，∴⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=013201221311312112a a S a a S ，即：⎩⎨⎧<++-=+>++-=+01020923313133121d a d a a d a d a a a α，∴⎪⎪⎩⎪⎨⎧-<->332827a d a d ，即：3724-<<-d ，【评析】也可直接运用d n n na S n 2)1(1-+=得到关于a 1与d 的不等式，再通过通项公式得到a 3与a 1的关系．例6 已知：四个数中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一、四个数的和为16，第二、三个数的和为12，求这四个数．【分析】本题中，方程的思想得到明显的体现，实际上数列问题总体上就是解方程的问题，根据所给的条件，加上通项公式、前n 项和公式列出方程，解未知数，通过前面的例题大家应该有所体会了．解：方法一：设这四个数为：a ，b ，12－b ，16－a则根据题意得，⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=40)16()12(1222b a a b b ba b 或⎩⎨⎧==915b a ，则这四个数为0、4、8、16或15、9、3、1．方法二：设这四个数为：a －d ，a ，a ＋d ，ad a 2)(+ 则根据题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-441216)(2d a d a a a d a d a 或⎩⎨⎧-==69d a ，则这四个数为：0、4、8、16或15、9、3、1．【评析】列方程首先就要设未知数，题目中要求四个数，但不要就设四个未知数，要知道，方程的个数与未知数的个数一样时才有可能解出，因此在设未知数时就要用到题目中的条件．方法一是用“和”设未知数，用数列列方程；方法二是用数列设未知数，用“和”列方程．例7 已知：等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 5，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20．【分析】本题最后要求的是等差数列的前20项和，因此，求首项、公差以及通项公式就是必不可少的．解：∵数列{a n }是等差数列，∴a 5＝a 4＋d ＝10＋d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，∵a 5，a 6，a 10成等比数列，∴a 62＝a 5·a 10，即：(10＋2d )2＝(10＋d )(10＋6d ) ∴d ＝0或d ＝－15，当d ＝0时，a n ＝a 4＝10，S 20＝200；当d ＝－15时，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝－15n ＋70，1750202)230(5520220120-=⨯-+=⨯+=a a S ；【评析】这种等差、等比数列综合运用时，往往出现多解的情况，对于多个解都要一一加以验证，即使不合题意也要说明，然后舍去．例8 已知：等差数列{a n }中，a n ＝3n －16，数列{b n }中，b n ＝｜a n ｜，求数列{b n }的前n 项和S n ．【分析】由于对含有绝对值的问题要加以讨论，因此所求的前n 项和S n 应该写成分段函数的形式．解：(1)当n ≤5时，a n ＜0，则：b n ＝｜a n ｜＝16－3n ，且b 1＝13，n n n n S n 229232316132+-=⨯-+=；(2)当n ≥6时，a n ＞0，则：b n ＝｜a n ｜＝3n －16，此时：S 5＝35，b 6＝2，7022923)5(21632352+-=-⨯-++=n n n n S n ，由(1)(2)知，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=)6(7022923)5(2292322n n n n nn S n ．【评析】当n ≥6时，前5项和要加在S n 中是经常被忽略的，得到的结果形式上比较复杂，可通过赋值的方法加以验证．练习5－2一、选择题：1．若等差数列的首项是－24，且从第10项开始大于零，则公差d 的取值范围是( ) A ．38>d B ．d ＜3 C ．338<≤d D ．338≤<d 2．若等差数列{a n }的前20项的和为100，则a 7·a 14的最大值为( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 3．等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝( ) A ．80 B ．90 C ．100 D ．1354．等差数列{a n }的前2006项的和S 2006＝2008，其中所有的偶数项的和是2，则a 1003＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：5．(1)等差数列{a n }中，a 6＋a 7＋a 8＝60，则a 3＋a 11＝______； (2)等比数列{a n }中，a 6·a 7·a 8＝64，则a 3·a 11＝______； (3)等差数列{a n }中，a 3＝9，a 9＝3，则a 12＝______； (4)等比数列{a n }中，a 3＝9，a 9＝3，则a 12＝______．6．等比数列{a n }的公比为正数，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为______． 7．等差数列{a n }中，若a n ＝－2n ＋25，则前n 项和S n 取得最大值时n ＝______． 8．等比数列{a n }中，a 5a 6＝－512，a 3＋a 8＝124，若公比为整数，则a 10＝______．三、解答题：9．求前100个自然数中，除以7余2的所有数的和．10．已知：三个互不相等的数成等差数列，和为6，适当排列后这三个数也可成等比数列，求：这三个数．11．已知：等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，数列{a n ＋1}也是等比数列，求：数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ．§5－3 数列求和【知识要点】1．数列求和就是等差数列、等比数列的求和问题，还应掌握与等差数列、等比数列有关的一些特殊数列的求和问题，2．数列求和时首先要明确数列的通项公式，并利用通项公式找到所求数列与等差数列、等比数列之间的联系，利用等差数列、等比数列的求和公式解决问题，3．三种常见的特殊数列的求和方法：(1)直接公式法：解决一个等差数列与一个等比数列对应项相加而成的新数列的求和问题； (2)错位相减法：解决一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成的新数列的求和问题； (3)裂项相消法：解决通项公式是等差数列相邻两项乘积的倒数的新数列的求和问题．【复习要求】特殊数列求和体现出知识的“转化”思想——把特殊数列转化为等差数列、等比数列，而在求和的过程中又体现出方程的思想【例题分析】例1 求和下列各式(1))21(412211n n ++++Λ； (2)1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ； (3))12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n Λ； (4)11431321211++++++++n n Λ．【分析】我们遇到的数列求和的问题是一些特殊的数列，即与等差、等比数列密切相关的数列，最后还是回到等差、等比数列求和的问题上．解：(1))212121()21()21(4122112n n n n +++++++=++++ΛΛΛ nn n n n n 211)1(21211)211(212)1(-++=--++=． (2)设：S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n1321322222222)1(22212)++⨯-++++=-⨯+⨯-+⋯+⨯+⨯=-n n n n n n n S n n S Λ则：22)1(21)21(2211+-=---⨯=++n n n n n n S ．(3))12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n Λ )]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n Λ 12)1211(21+=+-=n nn ． (4)11431321211+++++++++n n Λ111342312-+=-+++-+-+-=n n n Λ．【评析】(1)中数列可看成一个等差数列与一个等比数列对应项相加而成，直接运用前n 项和公式即可；(2)中数列可看成一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成，采用错位相减的方法，相减以前需要每一项乘以等比数列的公比，然后错位相减，还是利用等比数列的前n 项和公式，注意错位后最后一项相减时出现的负号，这是极容易出错的地方；(3)(4)都是裂项相消，都与等差数列有关，(3)中的形式更加常见一些，注意裂项后的结果要与裂项前一致，经常要乘一个系数(这个系数恰好是等差数列的公差的倒数)．例2求下列数列的前n 项和S n ．(1)1，－5，9，－13，17，－21，…，(－1)n －1(4n －3)；(2)n+++++++ΛΛ3211,,3211,211,1； (3)1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n －1；【分析】对于一个数列来说，最重要的是通项公式，有了通项公式，就可以写出所有的项，就可以看出其与等差、等比数列的关系，从而利用等差、等比数列的前n 项和得出结论．解：(1)方法一：(当n 是奇数时，1＋(－5)＋9＋(－13)＋17＋(－21)＋…＋(－1)n －1(4n －3) ＝(1＋9＋17＋4n －3)－[5＋13＋21＋(4n －7)].12)21(2745)21(2341-=-⨯-+-+⨯-+=n n n n n (当n 是偶数时，1＋(－5)＋9＋(－13)＋17＋(－21)＋…＋(－1)n －1(4n －3) ＝(1＋9＋17＋4n －7)－[5＋13＋21＋(4n －3)].22234522741n nn n n -=⨯-+-⨯-+=方法二：(当n 是奇数时，1＋(－5)＋9＋(－13)＋17＋(－21)＋…＋(－1)n －1(4n －3) ＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(4n －11＋4n －7)＋(4n －3).12)34(21)4(-=-+-⨯-=n n n (当n 是偶数时，1＋(－5)＋9＋(－13)＋17＋(－21)＋…＋(－1)n －1(4n －3) ＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(4n －7＋4n －3).22)4(n n-=⨯-= (2)此数列中的第n 项)111(2)1(22)1(13211+-=+=+=++++=n n n n n n n a n Λ则n+++++++++++ΛΛ321132112111 ⋅+=+-=+-++-+-+-=12)111(2)]111()4131()3121()211[(2n nn n n Λ(2)此数列中的第n 项1221212221n 12-=--=++++=-n n n a Λ则1＋(1＋2)＋(1＋2＋22)＋…(1＋2＋22＋…＋2n －1) ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…(2n －1)n n n n n n--=---=-++++=+2221)21(2)2222(1321Λ．【评析】(1)中带有(－1)n ，需要讨论最后一项的正负，方法一是把正、负项分开，看成两个等差数列，方法二应该是多观察的结果，当都要对n 加以讨论，(2)(3)都要先写出通项，然后每一项按照通项的形式写出，很明显地看出方法．例3 数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ．(1)设12-=n nn a b ，求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ．【分析】对于证明数列是等差、等比数列的问题，还是要应用定义．解：(1)证明：∵,2,2111nn n n n n a b a b ++-==∴ ∴12;122222211111111====-=-=--+-++a b a a a a b b n n n n n n n n n n n ， ∴数列{b n }是首项、公差都为1的等差数列，即：b n ＝n ． (2)由(1)中结果，设12-=n n n a b 时，b n ＝n ，则：a n ＝n ·2n －1 ∴S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n－1nn n nn n n n S n n n S 22222122)1(2)2(2322212)13212321⋅⋅-+++++=-+-+-++⨯+⨯+⨯=----ΛΛ12)1(21212+-=---=⋅⋅n nnn n n S ．【评析】证明数列是等差、等比数列时，如果可能应强调首项与公差，证明后，往往要用到整个数列，因此证明完后应把数列的通项写出，便于解决其他问题．例4 已知：数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *， (1)求证：数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．【分析】证明等比数列是应该应用定义，比较大小最有效的方法是作差． (1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )( n ∈N *)，∵a 1－1＝1≠0，∴4)()1(1=-+-+n a n a n n ，∴数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ．则数列{a n }的前n 项和⋅++-=++++++=-2)1(314)4()24()14(11n n n S n n n Λ(3)证明：2)1(43442)2)(1(3144111+---+++-=-+++n n n n S S n n n n.02)1)(43()43(212≤-+-=-+-=n n n n∴不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．练习5－3一、选择题： 1．数列n n 21)12(1617815413211+-、、、、、Λ的前n 项之和S n ＝( ) A ．n n 2112-+ B ．n n n 21122-+-C ．12211--+n nD ．n n n 2112-+-2．若数列1111311211110,,10,10,10n Λ，…它的前n 项的积大于105，则正整数n 的最小值是( ) A ．12B ．11C ．10D ．83．数列{a n }的通项公式11++=n n a n ，若前n 项和S n ＝3，则n ＝( )A ．3B ．4C ．15D ．164．数列{a n }的前n 项和为S n ，若)1(1+=n n a n 则S 5等于( )A ．1B ．65 C ．61 D ．301 二、填空题： 5．若)1(11216121+++++=n n S n Λ，且431=⋅+n n S S ，则n ＝______． 6．若lg x ＋lg x 2＋lg x 3＋…＋lg x n ＝n 2＋n ，则x ＝______．7．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前99项和是______．8．正项等比数列{a n }满足：a 2·a 4＝1，S 3＝13，若b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项的和是______．三、解答题：9．已知：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝7，S 15＝75，求数列}{nsn的前n 项和T n ．10．已知：等比数列{a n }中，公比nn n n a a a T a a a S q 111,,12121+++=+++=≠ΛΛ． (1)用a 1、q 、n 表示nnT S ； (2)若5533113T S T S T S 、、-成等差数列，求q 的值；11．已知：数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等差数列，(1)数列{a n }的通项公式； (2)若na b n n 1+=，求数列{b n }的前n 项和S n ．§5－4 数列综合问题【知识要点】1．灵活运用等差数列、等比数列的两个公式及其性质来解决综合问题， 2．能解决简单的由等差数列、等比数列形成的新数列的问题，3．能够利用等差数列、等比数列的定义来确定所给数列是等差数列、等比数列．【复习要求】通过简单综合问题的解决，加深对等差数列、等比数列中，定义、通项、性质、前n 项和的认识．加深数列是特殊的函数的认识，符合高中阶段知识是以函数为主线的展开．【例题分析】例1 完成下列各题：(1)数列{a n }中，若11121,1++=-=n n n a a a ，则a 5＝______． (2)数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝______．【分析】叠加的方法应该是解决数列的通项以及求和问题中常见的方法．解：(1)3451122334455212121)()()()(++=+-+-+-+-=a a a a a a a a a a 1212++ 3247=， (2)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1 ∴利用叠加法，有：a 2－a 1＝1＋1a 3－a 2＝2＋1 a 4－a 3＝3＋1 ………1)1()1+-=-+-n a a n n)1)(2(214321-+=++++=-n n n a a n Λ 整理222++=n n a n ．【评析】叠加时一定要注意首、尾项的变化，尤其是符号．例2已知：数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5． (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．【分析】应该是等差数列中的基本问题，还是利用两个基本公式解决问题．解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧-=+=+54111d a d a ，解出a 1＝3，d ＝－2．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5；(2)4)2(42)1(221+--=+-=-+=n n n d n n na S n ．∴n ＝2时，S n 取到最大值4．【评析】对于等差数列的前n 项和的最值问题，看成二次函数的最值问题应该是基本方法．例3 已知：数列{a n }中，a 1＝1，221+=+n n a a ，设11++=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【分析】注意观察所给数列变形后与等差、等比数列有哪些联系，这个联系一定要找到，而且一定有联系，显然本题中}{2n a 是等差数列．解：由题知：数列{a n }中a n ＞0， ∵1,2,22122121=+=+=++∴a a a a a n n n n ，∴数列}{2n a 是首项为1，公差为2的等差数列，∴12,0,122)1(12-=>-=⨯-+=∴n a a n n a n n n Θ，∵11++=n n n a a b ,∴)1212(2112121--+=++-=n n n n b n ，∴)112(21)1212573513(21-+=--+++-+-+-=n n n S n Λ．【评析】对于开方的问题一定要考虑正、负，而裂项求和(也可以看作分母的有理化)在前一节中也比较多地提到．例4已知：等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，等比数列{b n }中，b 1＝1且b 2(a 1＋a 2)＝64，b 3(a 1＋a 2＋a 3)＝960．求数列{a n }、{b n }的通项公式．【分析】还是方程思想在数列中的体现，利用所给条件，列出方程得到公差与公比，从而得到通项公式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， ∵等差数列{a n }的各项均为正数，∴d ＞0，则等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝6＋d ，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝9＋3d ，等比数列{b n }中，b 2＝b 1q ＝q ，b 3＝q 2， ∵b 2(a 1＋a 2)＝64，b 3(a 1＋a 2＋a 3)＝960，∴⎩⎨⎧=+=+960)39(64)6(2d q d q ，得d ＝2或56-=d ， ∵d ＞0，∴d ＝2，此时q ＝8，∴a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1；【评析】注意题目中所给的条件如何运用，例如：等差数列{a n }的各项均为正数，隐含着给出d ＞0，从而对最后的结果产生影响．例5 完成下列各题：(1)若一个直角三角形三边长成等比数列，则( )A ．三边长之比3∶4∶5B ．三边长之比为1:2:3C ．较大锐角的正弦为215- D ．较小锐角的正弦为215- (2)△ABC 中，如果角A 、B 、C 成等差数列，边a 、b 、c 成等比数列，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【分析】解决三角形中的问题是一定要用到正弦定理、余弦定理，三角形的内角和等于π恰好使等差数列的条件得以运用，从而得到角B 为3π的结论，再利用余弦定理找到边之间的关系，应该是数列与三角综合问题中常见的方法．解：(1)由题中条件可设三边为a 、aq 、aq 2(q ＞1)，由勾股定理：a 2＋a 2q 2＝a 2q 4，则25101224+=⇒=--q q q ，设较小锐角为A ，其对边为a ，则215512sin 2-=+==aq a A ．选D ． (2)∵△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，∴⎩⎨⎧=+++=π2C B A C A B ，∴3π=B ，由余弦定理212cos 222=-+=ac b c a B ，得a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∵三条边a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即a ＝c ，∴△ABC 一定是等边三角形．选C ．【评析】解决与三角形有关的问题时，一定要想到正弦定理、余弦定理，与数列综合时，应把角的关系转化为边的关系，因为边成等比数列，所以用边判断三角形形状应该是正确的选择．例6 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝npa n ，且a 1≠a 2， (1)确定p 的值；(2)判断数列{a n }是否为等差数列．【分析】本题中存在递推的关系，解决时还是通过赋值，找到结论，赋值时要多赋几个，以免出现冲突．解：(1)∵S n ＝npa n ，∴S 1＝a 1＝pa 1，∴a 1＝0或p ＝1，∵S 2＝a 1＋a 2＝2pa 2，∴当p ＝1时，有a 1＋a 2＝2a 2⇒a 1＝a 2与已知矛盾， ∴p ≠1，∴a 1＝0(且a 2≠0)，∵S 2＝a 1＋a 2＝2pa 2，a 2≠0，∴21=P ； (2)由(1)中结论：n n na S 21=，即：2S n ＝na n ，则2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1， ∴两式相减：2(S n ＋1－S n )＝2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ①，同理得到：2a n ＝na n －(n －1)a n －1(n ≥2) ②，∴①－②得2a n ＋1－2a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1(n ≥2)，整理得到2(n －1)a n ＝(n －1)a n ＋1＋(n －1)a n －1(n ≥2)， ∵n ≥2，∴2a n ＝a n ＋1＋a n －1，即：a n ＋1－a n ＝a n －a n －1， ∴数列{a n }是等差数列．【评析】(1)中对n ＝1得到的结论要加以验证，这也是为什么要多赋几个值的原因，(2)中开始由S n 求a n的方法应该掌握，而后面①－②得到结论的方法并不多见，实际上是在找数列中连续三项存在的关系，最后得到的也是等差数列的定义，即：每一项与其前一项的差都相等，这与a n －a n －1是常数略有不同，希望大家了解．例7在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，且a 1＝1，(1)若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：数列{b n }是等比数列；(2)若nnn a c 2=，求证：数列{c n }是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ．【分析】还是要应用定义来证明等差、等比数列．解：(1)∵S n ＋1＝4a n ＋2，∴S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，即b n ＝2b n －1，∵S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1，∴S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，即：b n ＝3·2n －1； (2)∵n n n n n n n n n n n n n n b a a a a c c a c 22222,211111-----=-=-=-=∴ ∵b n ＝3·2n －1，∴,432232211=⋅==----n n n n n n b c c ∵21211==a c ∴数列{c n }是首项为21，公差为等差数列43，即⋅-=4143n c n(3)∵),4143(22,2-===⋅⋅∴n c a a c nnn n n n n )4143(248245242232-⨯++⨯+⨯+⨯=n S n n ΛΛ)4143(2)222(431)4143(2)41)1(43(24524222)132132-⨯-++++=--⨯+--⨯++⨯+⨯=-++n S n n S n n n n n n ΛΛΛ∴S n ＝(3n －4)·2n －1＋2．【评析】前两问实际上是第三问的铺垫，证明等差、等比数列后，要写出通项公式，为下一步的问题作准备．错位相减时要注意计算，方法再好，结果是错的，也不能说明你的水平．练习5－4一、选择题：1．已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公比q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6＝b 6 B ．a 6＞b 6 C ．a 6＜b 6 D ．a 6＞b 6或a 6＜b 62．设数列{a n }的前n 项和S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列}{nsn的前11项为( ) A ．－45 B ．－50 C ．－55 D ．－663．已知等比数列(a n )中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．[3，＋∞)4．△ABC 中，tan A 是等差数列{a n }的公差，且a 3＝－1，a 7＝1，tan B 是等比数列{b n }的公比，且b 3＝9，316=b ，则这个三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形二、填空题：5．若等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝5，a 8＋a 10＝19，则前10项和S 10＝______． 6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则24a S＝______．7．等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，当S n 取得最大值时，n ＝______．8．数列{a n }中，若a 1＝1，n n a n na 11+=+，则通项公式a n ＝______．三、解答题：9．已知：递增等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项．求{a n }的通项公式a n ；10．已知数列{x n }的首项x 1＝3，x n ＝2n p ＋nq ，且x 1，x 4，x 5成等差数列，(1)求：常数p ，q 的值；(2)求：数列{x n }的前n 项的和S n 的公式．11．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点),(1+n n a a 在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求：数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b n ＋12．习题5一、选择题：1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 4＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．62．等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则“a 1＜0且0＜q ＜1”是“对于任意n ∈N *都有a n ＋1＞a n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件3．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2700，则a 1＝( ) A ．－20 B ．－20.5 C ．－21.5 D ．－22.5 4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝5n 2－n ，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝( ) A ．250 B ．270 C ．370 D ．4905．将n 2个正整数1，2，3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方．如图，就是一个3阶幻方．定义f (n )为n 阶幻方每条对角线上数的和，例如f (3)＝15，那么f (4)的值为( ) A ．35 B ．34 D ．32二、填空题：6．等差数列{a n }中，a 5＝3，若其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝______．7．数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，若a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 6＝______，a 2009＝______． 8．设f (n )＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，则f (25)＝______． 9．若数列{a n }满足)2(11,21211≥-+==-n n a a a n n ，则a 10等于______． 10．数列{a n }中，如果存在非零的常数T ，使得a n ＋T ＝a n 对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x n }满足x n ＋2＝｜x n ＋1－x n ｜(x ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，当数列{x n }的周期为3时，则数列{x n }的前2009项的和S 2009为______．三、解答题：11．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝18，a 6＝12．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前多少项和最大，最大值是多少?12．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且S n ＝2a n －2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且22)(log 1n n a b =，求证：对任意正整数n ，总有T n ＜2；13．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列}{nnb a 的前n 项和S n ．14．如果有穷数列a 1，a 2，a 3，…，a m (m 为正整数)满足条件a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，即a i ＝a m －i ＋1(i＝1，2，…，m )，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．(1)设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1，b 2，b 3，b 4是等差数列，且b 1＝2，b 4＝11．依次写出{b n }的每一项；(2)设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25，c 26，…，c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S ；(3)设{d n }是100项的“对称数列”，其中d 51，d 52，…，d 100是首项为2，公差为3的等差数列．求{d n }前n 项的和S n (n ＝1，2，…，100)．专题05 数列参考答案练习5－1一、选择题：1．B 2．A 3．C 4．D 二、填空题：5．⎩⎨⎧=为偶数为奇数n n a n 52，23)1(7⋅-+=n n a 均可；6．1、3、5、7，a n ＝2n －1； 7．⎩⎨⎧≥-==)2(54)1(0n n n a n ； 8．1661．三、解答题9．解：213;21223332112221==⇒=++==⇒=+a a a a a a a a a a a ； 2143444321==⇒=+++a a a a a a a ，猜想：21=n a ．10．解：由题知：数列的前50项中有：1个1、2个2、3个3、......、9个9，此时共有1＋2＋3＋ (9)45项，还有5个10．练习5－2一、选择题：1．D 2．A 3．D 4．B二、填空题：5．40、16、0、3±；6．127；7．12；8．512．三、解答题9．解：由题知，前100个自然数中，除以7余2的所有数构成首项为2，公差为7的等差数列{a n }，即：a n ＝7n －5，前100个自然数中最后一个除以7余2是：a 14＝93，则前100个自然数中，除以7余2的所有数的和.66514293214=⨯+=S 10．解：设这三个数为2－d ，2，2＋d (d ≠0)，由题意，当2－d 为等比中项时，有(2－d )2＝2(2＋d )⇒d ＝6，这三个数：－4，2，8；当2为等比中项时，有22＝(2－d )(2＋d )⇒d ＝0(舍)，无解；当2＋d 为等比中项时，有(2＋d )2＝2(2－d )⇒d ＝－6，这三个数：8，2，－4；综上所述，这三个数为－4，2，8或8，2，－4．11．解：∵数列{a n }为等比数列，∴a n ＝2q n －1，∵数列{a n ＋1}也是等比数列，∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)即a n ＋12＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2∵等比数列中a n ＋12＝a n ·a n ＋2，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1则a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ．练习5－3一、选择题：1．A 2．B 3．C 4．B二、填空题：5．6 6．100 7．2100－101 8．－25．三、解答题：9．4942n n T n -=． 10．解：∵(1)数列{a n }是等比数列，∴qq a S n n --=1)1(1，而}1{n a 是以11a 为首项，q1为公比的等比数列， ∴.,)1(111])1(1[1121111--=--=--=∴n n n n n n n q a T S q q a q qq a T (2)∵5533113T S T S T S 、、-成等差数列，∴－3a 12、a 12q 2、a 12q 4成等差数列， ∴2a 12q 2＝－3a 12＋a 12q 4，∵等比数列{a n }中a 1≠0，∴q 4－2q 2－3＝0，∴q 2＝3，∴.3±=q11．解：(1)∵数列}11{+n a 是等差数列，∴,121,2111135=++=+∴d d a a ∴1121,121)3(11113+=++=-++=+∴n a n d n a a n n ，即：1121++-=n a n (2)由(1)知：)111(12)1(121+-=+==+n n n n n a b n n ∴⋅+=+-++-+-=112)]111()3121()211[(12n n n n S n Λ 练习5－4 一、选择题：1．B 2．D 3．C 4．A二、填空题：5．60； 6．215 7．6或7； 8．n1 三、解答题：9．答：a n ＝2×2n －1＝2n ．10．略解：(1)p ＝1，q ＝1．(2)由(1)知：x n ＝2n ＋n ，.22)1(21)2()22()12(121-++=++++++=+n n n n n n S Λ 11．解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，即{a n }是首项、公差都为1的等差数列．则a n ＝1＋n －1＝n ．(2)由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1＝b n ＋2n ，b n ＋1－b n ＝2n ，所以，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1，则：b n ·b n ＋2－b n ＋12＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n ＜0，∴212++<⋅n n n b b b ．习题5一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．B二、填空题：6．21； 7．－3，－6； 8．528； 9．;110127 10．1340．三、解答题：11．解：(1)设：等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧=+==+=1251821613d a a d a a ，解得⎩⎨⎧-==,2221d a ，数列{a n }的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝24－2n(2)数列{a n }的前n 项和4529)223(23)2(2)1(2222+--=+-=-⋅-+=n n n n n n S n 则：当n ＝11或n ＝12时，S n 取得最大值，且最大值为132．12．解：(1)①当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2⇒a 1＝2，②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2－2a n －1＋2⇒a n ＝2a n －1，∵S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－2⇒a 2＝4，则：a n ＝4×2n －2＝2n (n ≥2)，由①②得：a n ＝2n ， (2),1)2(log 1)(log 122222na b n n n === 当n ＝1时，T 1＝1＜2，当n ≥2时，,111)1(112nn n n n --=-< 所以22221131211n b b b T n n ++++=+++=ΛΛ 21211131212111<-=--++-+-+<n n n Λ 13．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++=+13412121235453q d b a q d b a 得⎩⎨⎧==22q d ，则：a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1． (2)⋅-=-1212n n n n b a ①,212232252311221---+-++++=n n n n n S Λ ②,2122322532223---+-++++=n n n n n S Λ ②－①得,21222222222122----+++++=n n n n S Λ 122212)2121211(22----++++⨯+=⋅n n n Λ ⋅+-=----⨯+=---111232621221121122n n n n n 14．解：(1)设数列{b n }的公差为d ，则b 4＝b 1＋3d ＝2＋3d ＝11，解得d ＝3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2；(2)S ＝c 1＋c 2＋…＋c 49＝2(c 25＋c 26＋…＋c 49)－c 25＝2(1＋2＋22＋…＋224)－1＝2(225－1)－1＝226－3＝67108861；(3)d 51＝2，d 100＝2＋3×(50－1)＝149，由题意得d 1，d 2，…，d 50是首项为149，公差为－3的等差数列．当n ≤50时，.230123)3(2)1(149221n n n n n d d d S n n +-=--+=+⋯++= 当51≤n ≤100时，S n ＝d 1＋d 2＋…＋d n ＝S 50＋(d 51＋d 52＋…＋d n ).750022992332)51)(50()50(237752+-=⨯--+-⋅+=n n n n n。

高考数学二轮核心考点突破：专题05-函数与导数的综合应用(含答案)

专题05 函数与导数的综合运用【自主热身，归纳提炼】1、函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图像经过四个象限的充要条件是________．【答案】－65<a <－316【解析】：由f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝0得x ＝1或x ＝－2，结合图像可知函数的图像经过四个象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 1>0，f －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 1<0，f －2>0，解得－65<a <－316.2、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值为________．3、已知点A (0,1)，曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB →·AP →的最小值为2，则实数a ＝________.【答案】e思路分析根据条件，要求AB →·AP →的最小值，首先要将它表示成点P (x ，log a x )的横坐标x 的函数，然后再利用导数的方法来判断函数的单调性，由此来求出函数的最小值．点A (0,1)，B (1,0)，设P (x ，log a x )，则AB →·AP →＝(1，－1)·(x ，log a x －1)＝x －log a x ＋1.依题f (x )＝x －log a x ＋1在(0，＋∞)上有最小值2且f (1)＝2，所以x ＝1是f (x )的极值点，即最小值点．f ′(x )＝1－1x ln a＝x ln a －1x ln a.若0<a <1，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在(0，＋∞)无最小值，所以a >1.设f ′(x )＝0，则x ＝log a e ，当x ∈(0，log a e)时，f ′(x )<0；当x ∈(log a e ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当且仅当x ＝log a e 时，f (x )取最小值，所以log a e ＝1，a ＝e.解后反思本题的关键在于要能观察出f (x )＝x －log a x ＋1＝2的根为1，然后利用函数的极小值点为x ＝1来求出a 的值，因而解题过程中，不断地思考、观察很重要，平时学习中，要养成多思考、多观察的习惯． 4、已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x)＜0的x 的取值范围为________．【答案】(0,1)思路分析注意到条件f (e x )<0，让我们想到需要研究函数f (x )的单调性，通过函数的单调性将问题进行转化化简．【答案】：－1e【思路分析】若ba 的最小值为λ，则b a≥λ恒成立，结合题意必有λa －b ≤0恒成立．由f (x )＝(ln x ＋e x )－ax －b ≤0恒成立，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e a －b ≤0.猜想a ＞0，从而b a ≥－1e . f ′(x )＝1x＋(e －a )＝e －a x ＋1x(x ＞0)，当e －a ≥0，即a ≤e 时，f (e b )＝(e －a )e b＞0，显然f (x )≤0不恒成立．当e －a ＜0，即a ＞e 时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －e 时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a －e ＝－ln(a －e)－b －1. 由f (x )≤0恒成立，得f (x )max ≤0，所以b ≥－ln(a －e)－1，所以得b a ≥－ln a －e －1a.设g (x )＝－ln x －e －1x(x ＞e)，g ′(x )＝xe －x ＋ln x －e ＋1x 2＝ee －x＋ln x －e x2. 由于y ＝e e －x ＋ln(x －e)为增函数，且当x ＝2e 时，g ′(x )＝0，所以当x ∈(e,2e)时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数；当x ∈(2e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，所以g (x )min ＝g (2e)＝－1e ，所以b a ≥－1e，当a＝2e ，b ＝－2时，b a 取得最小值－1e.解后反思在考试时，到上一步就可以结束了，胆大一点，到猜想a ＞0这步就可结束了．现证最小值能取到，当b a ＝－1e 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0应该是极大值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2e －a ＝0，此时a ＝2e ，b ＝－2，f (x )＝ln x －e x＋2，易证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0也是最大值，证毕．8、若函数f (x )＝x 2||x －a 在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，0]∪[3，＋∞)思路分析含绝对值的函数需要去绝对值转化为分段函数，本题已知函数在[0,2]上为增函数，则需先讨论函数在[0，＋∞)上的单调性，自然地分a ≤0和a >0两个情况进行讨论，得到函数在[0，＋∞)上的单调性，结合函数单调性得到23a ≥2，从而解出a 的取值范围．先讨论函数在[0，＋∞)上的单调性．当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3， 0≤x ≤a ，x 3－ax 2， x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减；②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．【关联1】、若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x2－a e x (a ∈R )在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【答案】： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22 【解析】：【思路分析】本题所给函数含有绝对值符号，可以转化为g (x )＝e x2－ae x 的值域和单调性来研究，根据图像的对称性可得g (x )＝e x2－aex 只有单调递增和单调递减这两种情况．设g (x )＝e x2－ae x ，因为f (x )＝|g (x )|在区间[1,2]上单调递增，所以g (x )有两种情况：①g (x )≤0且g (x )在区间[1,2]上单调递减．又g ′(x )＝e x 2＋2a2·e x，所以g ′(x )＝e x 2＋2a2·ex≤0在区间[1,2]上恒成立，且g (1)≤0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤－e x2，e 2－ae≤0，无解．②g (x )≥0且g (x )在区间[1,2]上单调递增，即g ′(x )＝e x 2＋2a2·ex≥0在区间[1,2]上恒成立，且g (1)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－e x 2，e 2－ae≥0，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22.【关联2】、若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【答案】： (－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|. 令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a ，则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g′(x)＝0得x 1＝－1，x 2＝2a －13.①当2a －13<－1，即a<－1时，令g′(x)>0，即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0，解得x<2a －13或x>－1；令g′(x)<0，解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13，(－1，＋∞)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1.又因为g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13，(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，a)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1，满足条件，故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1，即a ＝－1时，f(x)＝|(x ＋1)3|，函数f(x)图像如图2，则f(x)的单调增区间是(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)，满足条件，故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1，即a>－1时，令g′(x)>0，即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0，解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0，解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，2a －13，(a ，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ，要使f(x)在[－1，2]上单调递增，必须满足2≤2a －13，即a≥72，又因为a>－1，故a≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.9、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |， x <1，ln x ， x ≥1，若对于∀t ∈R ，f (t )≤kt 恒成立，则实数k 的取值范围是________．【答案】： [1e ，1] 【思路分析】本题条件“∀t ∈R ，f (t )≤kt ”的几何意义是：在(－∞，＋∞)上，函数y ＝f (t )的图像恒在直线y ＝kt 的下方，这自然提示我们利用数形结合的方法解决本问题．令y ＝x 3－2x 2＋x ，x <1，则y ′＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)·(3x －1)，令y ′>0，即(x －1)(3x －1)>0，解得x <13或x >1.又因为x <1，所以x <13.令y ′<0，得13<x <1，所以y 的增区间是(－∞，13)，减区间是(13，1)，所以y极大值＝427.根据图像变换可作出函数y ＝－|x 3－2x 2＋x |，x <1的图像．又设函数y ＝ln x (x ≥1)的图像经过原点的切线斜率为k 1，切点(x 1，ln x 1)，因为y ′＝1x ，所以k 1＝1x 1＝ln x 1－0x 1－0，解得x 1＝e ，所以k 1＝1e .函数y＝x 3－2x 2＋x 在原点处的切线斜率k 2＝y ′x ＝0＝1.因为∀t ∈R ，f (t )≤kt ，所以根据f (x )的图像，数形结合可得1e≤k ≤1.10、已知a 为常数，函数f(x)＝xa －x 2－1－x2的最小值为－23，则a 的所有值为________．【答案】： 4，14解法1(构造三角形) f(x)＝xa －x 2－1－x 2＝x （a －x 2＋1－x 2）a －1，因为f(x)为奇函数，令g(x)＝x （a －x 2＋1－x 2）|a －1|(x>0)，则g(x)的最大值为23，由根号内的结构联想到勾股定理，从而构造△ABC 满足AB ＝a ，AC ＝1，AD ⊥BC ，AD ＝x ，则BD ＝a －x 2，DC ＝1－x 2，则S △ABC ＝12BC ·AD ＝12x(a －x 2＋1－x 2)＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ≤12AB ·AC ＝12a ，当且仅当∠BAC ＝π2时，△ABC 的面积最大，且最大值为12 a.从而g(x)＝x （a －x 2＋1－x 2）|a －1|＝2|a －1|S △ABC ≤a |a －1|，所以a |a －1|＝23，解得a ＝4或a ＝14.解法2(导数法，理科) 由题意得函数f(x)为奇函数．因为函数f(x)＝x a －x 2－1－x2，所以f ′(x)＝（a －x 2－1－x 2）－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2a －x 2－－2x 21－x 2（a －x 2－1－x 2）2＝a －x21－x 2－x2（a －x 2－1－x 2）a －x 21－x2，a ≠1.令f ′(x)＝0，得x 2＝a －x21－x 2，则x 2＝a a ＋1.因为函数f(x)的最小值为－23，且a>0.由a －x21－x 2－x 2>0，得a －(a ＋1)x 2>0.①当0<a<1时，a －x 2－1－x 2<0，函数f(x)的定义域为[－a ，a]，由f ′(x)>0得－a ≤x<－aa ＋1或aa ＋1<x ≤a ；由f ′(x)<0得－aa ＋1<x<a a ＋1，函数f(x)在[－a ，－a a ＋1)，⎝ ⎛⎦⎥⎤a a ＋1，a 上为增函数，在(－a a ＋1，aa ＋1)上为减函数．因为f(－a)＝a 1－a >f ⎝⎛⎭⎪⎫a a ＋1＝a a －1，所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a a ＋1＝a a －1＝－23，解得a ＝14. ②当a>1时，a －x 2－1－x 2>0，函数f(x)的定义域为[－1，1]，由f ′(x)>0得－aa ＋1<x<a a ＋1；由f ′(x)<0得－1≤x<－aa ＋1或a a ＋1<x ≤1，函数f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫－aa ＋1，a a ＋1上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－a a ＋1，⎝ ⎛⎦⎥⎤a a ＋1，1上为减函数．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋1＝－a a －1<f(1)＝1a －1，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋1＝－a a －1＝－23，解得a ＝4. 综上所述，a ＝4或a ＝14.解法3(构造向量) f(x)＝xa －x 2－1－x 2＝x （a －x 2＋1－x 2）a －1，因为f(x)为奇函数，令g(x)＝x （a －x 2＋1－x 2）|a －1|(x>0)，则g(x)的最大值为23，设向量a ＝(a －x 2，x 2)，b ＝(x 2，1－x 2)，a 与b的夹角为θ，则有a ·b ＝|a |·|b |cos θ≤|a |·|b |，即(a －x 2，x 2)·(x 2，1－x 2)≤（a －x 2）＋x 2·x 2＋（1－x 2），亦即a －x 2·x 2＋x 2·1－x 2≤a ，亦即x (a －x 2＋1－x 2)≤a ，当且仅当a 与b 同向时等号成立，即a －x 2·1－x 2－x 2·x 2＝0，亦即x 2＝aa ＋1时，取等号．即x (a －x 2＋1－x 2)的最大值为a ，从而g (x )的最大值为a |a －1|，即有a |a －1|＝23，解得a ＝4或a ＝14.解后反思 1. 最值的求法通常有如下的方法：(2)解法1(根的分布) 当x 0＞1时，则f(x 0)＞0，又b ＝3－a ，设t ＝f(x 0)，则题意可转化为方程ax ＋3－ax －c ＝t(t ＞0) 在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2, (6分)即关于x 的方程ax 2－(c ＋t)x ＋(3－a)＝0(t ＞0)在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2. 则x 1，2＝c ＋t ±（c ＋t ）2－4a （3－a ）2a，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，Δ＝（c ＋t ）2－4a （3－a ）＞0，x 1＋x 2＝c ＋ta ＞0，x 1x 2＝3－a a ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，（c ＋t ）2＞4a （3－a ），c ＋t ＞0.所以c ＞2a （3－a ）－t 对任意t ∈(0，＋∞)恒成立．因为0＜a ＜3，所以2a （3－a ）≤2×a ＋3－a 2＝3(当且仅当a ＝32时取等号)．又－t ＜0，所以2a （3－a ）－t 的取值范围是(－∞，3)，所以c ≥3. 故c 的最小值为3.(10分)解法2(图像法) 由b ＝3－a ，且0 ＜a ＜3，得g ′(x)＝a －3－a x 2＝ax 2－（3－a ）x 2＝0，得 x ＝3－aa或x ＝－3－a a (舍)，则函数g(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，3－a a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ，＋∞上单调递增．又对任意x 0＞1，f(x 0)为(0，＋∞)上的任意一个值，若存在不相等的正实数x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)，则g(x)的最小值小于或等于0. 即g ⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ＝2a （3－a ）－c ≤0，(6分) 即c ≥2a （3－a ）对任意 a ∈(0，3)恒成立．又2a （3－a ）≤a ＋(3－a)＝3，所以c ≥3.当c ＝3时，对任意a ∈(0，3)，x 0∈(1，＋∞)，方程g(x)－f(x 0)＝0化为ax ＋3－a x －3－f(x 0)＝0，即ax2－[3＋f(x 0)]x ＋(3－a)＝0 (*)．关于x 的方程(*)的Δ＝[3＋f(x 0)]2－4a(3－a)≥[3＋f(x 0)]2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－a 22＝[3＋f(x 0)]2－9，因为x 0＞1，所以f(x 0)＝ln x 0＞0，所以Δ＞0，所以方程(*)有两个不相等的实数解x 1，x 2，又x 1＋x 2＝f （x 0）＋3a ＞0，x 1x 2＝3－aa ＞0，所以x 1，x 2为两个相异正实数解，符合题意．所以c 的最小值为3. 解法3(图像法) 当x 0＞1时，可知f(x 0)＞0，又b ＝3－a ，设t ＝f(x 0)，则t ＞0. 令h(x)＝ax ＋3－a x －c －t(x ＞0，t ＞0)，同解法2可知h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－a a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ，＋∞上单调递增．当c ＜2a （3－a ）时，若0＜t ＜2a （3－a ）－c ，则x ＞0时，h(x)＝ax ＋3－ax－c －t ≥2a （3－a ）－c－t ＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上没有零点，不符合题意．当c ≥2a （3－a ）时，h ⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ＝2a （3－a ）－c －t ≤－t ＜0. 因为a （3－a ）＜2a （3－a ）≤c ，a （3－a ）＜c ＋t ，所以0＜3－ac ＋t ＜3－a a ，所以当0＜m ＜3－ac ＋t时，3－a m ＞c ＋t ，所以h(m)＝am ＋3－a m －c －t ＞3－am －c －t ＞0，又h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－a a 上单调递减，并且连续，则h(x)在(m ，3－aa)上恰有一个零点，所以存在x 1∈(0，3－aa)，使得h(x 1)＝0，即g(x 1)＝t. 因为c ＋t ＞c ＞a （3－a ），所以c ＋ta ＞3－a a ，所以当n ＞c ＋t a 时，h(n)＝an ＋3－an－c －t ＞an －c －t ＞0，又h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a a ，＋∞上单调递增，并且连续，则h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a a ，n 上恰有一个零点，所以存在x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ，＋∞，使得h(x 2)＝0，即g(x 2)＝t. 所以当c ≥2a （3－a ）时，对任意x 0∈(1，＋∞)和任意a ∈(0，3)，总存在不相等的正实数x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)．即c ≥2a （3－a ）对任意 a ∈(0，3)恒成立．又2a （3－a ）≤a ＋(3－a)＝3，当且仅当a ＝32时取等号，所以c ≥3.故c 的最小值为3.(3)当a ＝1时，因为函数f(x)与g(x)的图像交于A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1＝x 1＋bx 1－c ，ln x 2＝x 2＋bx2－c ，两式相减，得b ＝x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)．要证明x 1x 2－x 2<b<x 1x 2－x 1，即证x 1x 2－x 2<x 1x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1<x 1x 2－x 1，即证1x 2<ln x 2－ln x 1x 2－x 1<1x 1，即证1－x 1x 2<ln x 2x 1<x 2x 1－1.令x 2x 1＝t ，则t>1，此时即证1－1t<ln t<t －1. 令φ(t)＝ln t ＋1t －1，所以φ′(t)＝1t －1t 2＝t －1t 2>0，所以当t>1时，函数φ(t)单调递增．又φ(1)＝0，所以φ(t)＝ln t ＋1t －1>0，即1－1t<ln t 成立；再令m(t)＝ln t －t ＋1，所以m ′(t)＝1t －1＝1－tt <0，所以当t>1时，函数m(t)单调递减．又m(1)＝0，所以m(t)＝ln t －t ＋1<0，即ln t<t －1也成立．综上所述，实数x 1，x 2满足x 1x 2－x 2<b<x 1x 2－x 1.【变式2】、.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－ax ，x ≥0，其中常数a∈R .(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x－3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； (3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m －n |≥1，使得f (m )＝f (n )，求证：1≤ae －1≤e.思路分析(1) 先分段讨论，再整体说明单调区间是否可合并(关键是图像在x ＝0处怎样跳跃)． (2) 转化为a ＝x 2＋x ＋3x 在(0，＋∞)上有实数解，即求函数g(x)＝x 2＋x ＋3x 在(0，＋∞)上的值域．(3) 首先缩小a 的范围为1<a<e 2，在此基础上考察f(x)在0，1，2，m ，n 处的函数值的大小关系．【解析】：(1) 当a ＝2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－2x ，x ≥0.①当x<0时，f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(－∞，0)上递减；(2分)②当x ≥0时，f ′(x)＝e x－2，可得f(x)在[0，ln 2]上递减，在[ln 2，＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和[0，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)．(5分) (2) 当x>0时，f(x)＝e x－ax ，此时－x<0，f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2. 所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0，＋∞)上有实数解．(6分)记g(x)＝x 2＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x)＝2x ＋1－3x 2＝（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)＝5，当x →＋∞时，g(x)→＋∞.(9分) 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(10分) (3) 当x ∈[0，2]时，f(x)＝e x－ax ，有f ′(x)＝e x－a.若a ≤1或a ≥e 2，则f(x)在[0，2]上是单调函数，不合题意．(11分) 所以1<a<e 2，此时可得f(x)在[0，ln a]上递减，在[ln a ，2]上递增．不妨设0≤m<ln a<n ≤2，则f(0)≥f(m)>f(ln a)，且f(ln a)<f(n)≤f(2)．由m ，n ∈[0，2]，n －m ≥1，可得0≤m ≤1≤n ≤2.(12分) 因为f(m)＝f(n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，f （0）≥f （m ）≥f （1），f （2）≥f （n ）≥f （1），得⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，1≥e －a ，e 2－2a ≥e －a ，(14分)即e －1≤a ≤e 2－e ，所以1≤ae －1≤e .(16分) 解后反思第(1)题中，若函数f(x)改为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2＋2，x<0，e x －2x ，x ≥0.则函数f(x)的“两个”递减区间(－∞，0)和[0，ln 2]应合并为一个递减区间(－∞，ln 2]，因为函数图像在x ＝0处(从左往右)向下跳跃．而原题中函数图像在x ＝0处(从左往右)向上跳跃，所以不能合并．【关联1】、.已知函数f(x)＝e x(3x －2)，g(x)＝a(x －2)，其中a ，x ∈R . (1) 求过点(2，0)和函数y ＝f (x )图像相切的直线方程； (2) 若对任意x ∈R ，有f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围； (3) 若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<g (x 0)，求a 的取值范围．思路分析 (1)利用导数的几何意义求切线的方程，根据斜率建立方程即可．(2)不等式恒成立问题处理的方法有两种：一种是分离参变，转化为相应函数的值域(最值)问题解决；另一种是转化为含参函数的值域问题，通过分类讨论解决．这里可以采取第一种方法，只是分离参变时要注意对x －2的符号进行分类讨论．(3)在第(2)小问的基础上，分离参变，转化为存在有限整数自变量满足条件的问题．利用导数研究函数F(x)＝e x （3x －2）x －2的性质，找到相关的整数自变量，求得对应的函数值是解决本问题的关键．【解析】(1) 设切点为(x 0，y 0)，f ′(x)＝e x(3x ＋1)，则切线斜率为e x 0(3x 0＋1)，所以切线方程为y －y 0＝e x 0(3x 0＋1)(x －x 0)，因为切线过点(2，0)，所以－e x 0(3x 0－2)＝e x 0(3x 0＋1)(2－x 0)，化简得3x 20－8x 0＝0，解得x 0＝0或x 0＝83，当x 0＝0时，切线方程为y ＝x －2，当x 0＝83时，切线方程为y ＝9e 83x －18e 83.(2) 由题意，对任意x ∈R ，有e x(3x －2)≥a (x －2)恒成立， ①当x ∈(－∞，2)时，a ≥e x（3x －2）x －2，即a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x（3x －2）x －2max.令F (x )＝e x （3x －2）x －2，则F ′(x )＝e x （3x 2－8x ）（x －2）2，令F ′(x )＝0，得x ＝0，列表如下：F (x )max ＝F (0)＝1，故此时a ≥1. ②当x ＝2时，恒成立，故此时a ∈R .③当x ∈(2，＋∞)时，a ≤e x（3x －2）x －2，即a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x（3x －2）x －2min，令F ′(x )＝0，得x ＝83，列表如下：F (x )min ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝9e 83，故此时a ≤9e 83，综上，1≤a ≤9e 83.(3) 由f (x )<g (x )，得e x(3x －2)<a (x －2)，由(2)知a ∈(－∞，1)∪(9e 83，＋∞)，令F (x )＝e x（3x －2）x －2，列表如下：(12分)当x ∈(－∞，2)时，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)，等价于a <e x（3x －2）x －2存在的唯一整数x 0成立，因为F (0)＝1最大，F (－1)＝53e ，F (1)＝－e ，所以当a <53e 时，至少有两个整数成立，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫53e ，1. 当x ∈(2，＋∞)时，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)，等价于a >e x（3x －2）x －2存在唯一的整数x 0成立，因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝9e 83最小，且F (3)＝7e 3，F (4)＝5e 4，所以当a >5e 4时，至少有两个整数成立，当a ≤7e 3时，没有整数成立，所以a ∈(7e 3，5e 4]．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫53e ，1∪(7e 3，5e 4]．【关联2】、已知函数f(x)＝ln x（x ＋a ）2，其中a 为常数．(1) 若a ＝0，求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a 的取值范围； (3) 若a ＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x 0，求证：f(x 0)<－2.思路分析第一小问，利用导函数求单调性、极值、值域的一般步骤，必须掌握！也是解决后面问题的基础；第二小问，由函数在(0，－a)上的单调性得出导函数在特定区间的符号，转化为含参数的恒成立问题；第三小问，关键是找到零点的大致范围，还是利用导数求最大值、最小值的方法．【解析】：(1) 当a ＝0时，f(x)＝ln xx 2，定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝1－2ln xx3，令f ′(x)＝0，得x ＝e . 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0，e ) e(e ，＋∞)f ′(x) ＋ 0 － f(x)极大值12e所以当x ＝e 时，f(x)的极大值为12e，无极小值．①若0<－a ≤e －12，即0>a ≥－e －12，则g ′(x)＝2ln x ＋1<0对x ∈(0，－a)恒成立，所以g(x)＝2x ln x －x 在(0，－a)上单调递减，则a ≤2(－a)ln (－a)－(－a)，所以ln (－a)≥0，所以a ≤－1与a ≥－e －12矛盾，舍去；②若－a>e －12，即a<－e －12，令g ′(x)＝2ln x ＋1＝0，得x ＝e －12，当0<x<e －12时，g ′(x)＝2ln x ＋1<0，所以g(x)＝2x ln x －x 单调递减，当e －12<x<－a 时，g ′(x)＝2ln x ＋1>0，所以g(x)＝2x ln x －x 单调递增，所以当x ＝e －12时，g(x)min ＝g(e －12)＝2e －12·lne －12－e －12＝－2e －12，所以a ≤－2e －12.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2e －12]．(3) 当a ＝－1时，f(x)＝ln x （x －1）2，f ′(x)＝x －1－2x ln xx （x －1）3.令h(x)＝x －1－2x ln x ，x ∈(0，1)，则h ′(x)＝1－2(ln x ＋1)＝－2ln x －1，令h ′(x)＝0，得x ＝e －12.①当e －12≤x<1时，h ′(x)≤0，所以h(x)＝x －1－2x ln x 单调递减，h(x)∈(0，2e －12－1]，x ∈(0，1)，所以f ′(x)＝x －1－2x ln x x （x －1）3<0恒成立，所以f(x)＝ln x （x －1）2单调递减，且f(x)≤f(e －12)．②当0<x ≤e －12时，h ′(x)≥0，所以h(x)＝x －1－2x ln x 单调递增，其中h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－1－2·12·ln 12＝ln4e>0，h(e －2)＝e －2－1－2e －2·lne －2＝5e2－1<0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫e －2，12，使得h(x 0)＝0，所以f ′(x 0)＝0，当0<x<x 0时，f ′(x)>0，所以f(x)＝ln x（x －1）2单调递增；当x 0<x ≤e －12时，f ′(x)<0，所以f(x)＝ln x （x －1）2单调递减，且f(x)≥f(e －12)，由①和②可知，f(x)＝ln x（x －1）2在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，1)上单调递减，所以当x ＝x 0时，f(x)＝ln x（x －1）2取极大值．因为h(x 0)＝x 0－1－2x 0ln x 0＝0，所以ln x 0＝x 0－12x 0，所以f(x 0)＝ln x 0（x 0－1）2＝12x 0（x 0－1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122－12.又x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －2，12⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122－12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，所以f(x 0)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122－12<－2.解后反思本题三个小题梯度明显，有较好的区分度．其中第(1)小题简单；第(2)小题难度中等，但要完成讨论也需要不错的基础；第三小题“隐零点”问题．不是一般的考生能讨论出范围的，建议一般的考生果断放弃．各个小问题中都利用了导数研究函数的单调性、极值、值域．【关联3】、已知函数f (x )＝x－1－a lnx (其中a 为参数)． (1) 求函数f (x )的单调区间；(2) 若对任意x ∈(0，＋∞)都有f (x )≥0成立，求实数a 的取值集合；(3) 证明：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1(其中n ∈N *，e 为自然对数的底数)．【解析】：(1) f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，x (0，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值所以f (x )的增区间是(a 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间是(a ，＋∞)，单调递减区间是(0，a )． (2) 由题意得f (x )min ≥0.当a ≤0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当x →0时，f (x )→－∞，故不合题意；(6分)当a >0时，由(1)知f (x )min ＝f (a )＝a －1－a ln a ≥0.令g (a )＝a －1－a ln a ，则由g ′(a )＝－ln a ＝0，得a ＝1，a (0,1) 1 (1，＋∞)g ′(a ) ＋0 － g (a )极大值所以g (a )＝a －1－a ln a min ＝0，所以a ＝1，即实数a 的取值集合是{1}．(10分) (3) 要证不等式1＋1n n <e<1＋1nn ＋1，两边取对数后，只要证n ln1＋1n <1<(n ＋1)ln1＋1n，即只要证1n ＋1<ln1＋1n <1n，令x ＝1＋1n ，则只要证1－1x<ln x <x －1(1<x ≤2)．由(1)知当a ＝1时，f (x )＝x －1－ln x 在(1,2]上递增，因此f (x )>f (1)，即x －1－ln x >0，所以ln x <x －1(1<x ≤2) 令φ(x )＝ln x ＋1x －1(1<x ≤2)，则φ′(x )＝x －1x2>0，所以φ(x )在(1,2]上递增，故φ(x )>φ(1)，即ln x ＋1x －1>0，所以1－1x<ln x (1<x ≤2)．综上，原命题得证．【关联4】、已知函数f (x )＝e x，g (x )＝x －b ，b ∈R . (1) 若函数f (x )的图像与函数g (x )的图像相切，求b 的值； (2) 设函数T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求T (x )的单调递增区间；(3) 设函数h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1.若存在x 1，x 2∈[0,1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围．【思路分析】 (1) 对于直线与曲线相切问题，只要切点不知道的，都要先设切点坐标，然后运用好切点的双重身份，即切点既是切线上的点，又是曲线上的点，它的坐标既适合切线方程，又适合曲线方程，再由方程(组)思想，求出未知量；(2) 要求函数T (x )的单调递增区间，只要求T ′(x )＞0的解区间就行，不过需对a 进行分类讨论；(3) 首先要把“若存在x 1，x 2∈[0,1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立”运用等价转化的思想转化为“h (x )在[0,1]上的最大值h (x )max 和最小值h (x )min 满足h (x )max －h (x )min >1”，接下来的问题就是求h (x )在[0,1]上的最大值和最小值．对于含绝对值的函数一般首先要去掉绝对值，这里要运用好分类讨论思想．(3) 若存在x 1，x 2∈[0,1]，使|h (x 1)－h (x 2)|>1成立，则等价转化为h (x )在[0,1]上的最大值h (x )max 和最小值h (x )min 满足h (x )max －h (x )min >1.解法1 h (x )＝|g (x )|·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －b e x， x ≥b ，－x －b e x， x 0；当x 0；当b －1<x 1，得(1－b )e ＋b >1，解得b <1，所以b ≤0.(12分)②当00，即b >ee ＋1，此时h (0)>h (1)；若b <e e ＋1，此时h (0)<h (1)．(ⅰ) 当01，得(1－b )e>1，解得b <e －1e .(ⅱ) 当ee ＋1≤b <1时，有h (x )max ＝h (0)＝b ，h (x )min ＝h (b )＝0. 因为b <1，所以h (x )max －h (x )min ＝b >1不成立．综上，b 的取值范围为－∞，e －1e.解法2 h (x )＝|g (x )|·f (x )＝|x －b |·e x＝|(x －b )e x|，令φ(x )＝(x －b )e x，则h (x )＝|φ(x )|. 先研究函数φ(x )＝(x －b )e x，φ′(x )＝(x －b ＋1)e x.因为b <1，所以在[0,1]上有φ′(x )＝(x －b ＋1)e x>0，因此φ(x )在[0,1]上是增函数．所以φ(x )min ＝φ(0)＝－b ，φ(x )max ＝φ(1)＝(1－b )e>0.①若φ(0)＝－b ≥0，即b ≤0时，h (x )min ＝φ(0)＝－b ，h (x )max ＝φ(1)＝(1－b )e ，则由h (x )max －h (x )min >1，即(1－b )e ＋b >1，解得b <1，所以b ≤0.②若φ(0)＝－b <0，即0<b <1时，h (x )min ＝φ(b )＝0，h (x )max ＝max{－φ(0)，φ(1)}，令－φ(0)－φ(1)＝b －(1－b )e ＝b (e ＋1)－e ＝0，则b ＝ee ＋1.(ⅰ) 当01，即(1－b )e>1，解得b <e －1e ，所以01，得b >1，与b <1矛盾，故h (x )max －h (x )min >1不成立．综上，b 的取值范围为－∞，e －1e .。

2020学年高考数学(理)二轮复习解题方法与技巧试题：专题五数列 Word版含答案

专题五数列1、已知数列{}n a 满足11a =，且122(2,*)n n n a a n n N -=+≥∈且. （1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项之和n S ，求n S .2、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n kS =+ (R k ∈)．（1）求k 和数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()21121log n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .3、已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且2514,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ；（3）求数列2m n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．4、在等差数列{}n a 中，161718936a a a a ++==-，其前n 项和为n S . （1）求n S 的最小值，并求出n S 的最小值时n 的值；（2）求12...n n T a a a =+++.5、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2233331,122S a S a =-=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，记数列1{}nd 的前n 项和为n T ，求使得184055327n n n T -+≤⨯成立的正整数n 的最大值.6、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n a S +=+. （1）求2a ，3a 的值；（2）设221n n b a n =--，求数列{}n b 的前n 项和n T .7、设二次函数()22f x x ax -+＝(x ∈R ,0a <)，关于x 的不等式()0f x ≤的解集中有且只有一个元素．（1）设数列{}n a 的前n 项和()n S f n =(n *∈N )，求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2n f n b n-=(n *∈N )，则数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．8、已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(N )n S n +∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412211b b b a a S b +==-=，，．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和.答案以及解析1答案及解析：答案：（1）122(2*)n n n a a n n N -=+≥∈，且， 11122n n nn a a --∴=+，111(2,*)22n n nn a a n n N --∴-=≥∈且，∴数列{}n a 是等差数列，公差为1d =，首项1122na =. （2）由（1）得111(1)(1)12222n na n d n n =+-=+-⋅=-， 1()22n n a n ∴=-⋅.（3）1231351222()22222nn S A n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，234113512222()22222n n S A n +∴=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①-②得，23123111122()22222()2122n n n n S A n A n ++-=++++-⋅=++++--⋅-12(12)1()21(32)23122n n n n n +-=--⋅-=-⋅--，(23)23n n S n =-⋅+.2答案及解析：答案：（1）当2n ≥时，由()122R n n S k k ++∈=得()122R n n S k k -=+∈，12222n n n n a S S -=-=∴，即()122n na n -≥=，又1122ka S ==＋，当2k =-时，11a =符合数列{}n a 为等比数列，{}n a ∴的通项公式为12n n a =－ .（2）由（1）可得1212log log ()()2221n n n n a a n =⋅=⋅=＋－， ()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪+--+⎝⎭， 12111111...(1+...+)2335212121n n nT b b b n n n ∴=+++=-+--=-++.3答案及解析：答案：（1）设公差为d ，由125141,,,a a a a =成等比数列得2(14)(1)(113)d d d +=++，解得 2d =或0d =（舍）．21n a n ∴=-．（2）由（1）可知 111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭．111111111 (12335212122121)n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（3）由（1）可知212122nn a n a n --=．3523211352321 (22222)n n n n n T ----∴=+++++① ， 14⨯①得，3521211132321...42222n n n n n T -+--=++++② ，①-②得，3521213122221 (42222)2n n n n T -+-=++++-12111(1)1214412214n n n -+--=+--21565632n n ++=-⋅.211651092n n n T -+⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．4答案及解析：答案：（1）在等差数列中，161718936a a a a ++==-，179336a a ∴==-，即17912,36a a =-=-，1792431798a a d -∴===-，198362460a a d =-=--=-，2(1)3123603222n n n S n n -∴=-+⨯=-，Q对称轴为20.5n =，当20n =或21n =时，n S 的最小值为630-.（2）由（1）知，当21n ≤时，0n a ≤，当21n >时，0n a >，当21n ≤时，212123123...(...)522n n n n T a a a a a a n n =+++=-+++=-=-+，当21n >时，212212223213123 (2126022)n n n n T a a a s a a a s s n n =+++=-++++=-=-+，综上223123,212231231260,2122n n n n T n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩.5答案及解析：答案：（1）由条件得332323322a S S a a =-=-，得到323a a =⇒公比3q =，1119312a a a ∴+=-，即12a =，因此数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯；（2）由（1）知123n n a +=⨯，123n n a -=⨯，1(1)n n n a a n d +=++，1431n n d n -⨯∴=+，11143n n n d -+∴=⨯ ，令1231111n nT d d d d =++++，则0121234143434343n n n T -+=++++⨯⨯⨯⨯ ①，12112331343434343n n nn T -+=++++⨯⨯⨯⨯②，①－②得：012122111134343434343n n nn T -+=++++-⨯⨯⨯⨯⨯111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=-⨯⨯-， 1152516163n n n T -+∴=-⨯， 184055327n n n T -∴+≤⨯，即113140,327,422327n n n ---≤≤≤⨯，所以使184055327n n n T -+≤⨯成立的正整数n 的最大值为4.6答案及解析：答案：（1）112a =Q ，121n n a S +=+，21132112a S a ∴=+=+=，234a ∴=，321292114a S a a ∴=+=++=，398a ∴=.（2）121n n a S +=+Q ，121n n a S -∴=+()2n ≥ ，1122n n n n n a a S S a +-∴-=-=，132n n a a +∴=. 2132a a =Q， ∴数列{}n a 是首项112a =，公比是32的等比数列. ∴11322n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.221n n b a n =--Q ，∴13212n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.12n n T b b b ∴=+++L0113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()()0113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ()()0113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ()312423212nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-- 232222nn n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭. ∴数列{}n b 的前n 项和232222n nT n n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.7答案及解析：答案：（1）因为关于x 的不等式()0f x ≤的解集中有且只有一个元素，所以二次函数2()2()f x x ax x =-+∈R 的图象与x 轴相切，于是2()420a --⨯=，考虑到0a <，所以22a =-．从而()2()2f x x =+，故数列{a n }的前n 项和()2*2()n S n n =+∈N ．于是()21112322a S ==+=+.当*1n n >∈N ，时，()2212(1)22221n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=+-⎣⎦．故数列{a n }的通项公式为*322122211n n a n n n ⎧+=⎪=⎨+->∈⎪⎩N ，，，，．（2）()222n f n b n n-==+，假设数列{b n }中存在三项,,p q r b b b （正整数,,p q r 互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =，即()()()2222222q p r +=++，整理得()()22220q pr p r q --+-=，因为,,p q r 都是正整数，所以2020q pr p r q ⎧-=⎨+-=⎩，，于是()202p rpr +-=，即2()0p r -=，从而p r =与p r ≠矛盾．故数列{b n }中不存在不同三项能组成等比数列.8答案及解析：答案：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得31()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =，所以，2n n b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，21142nn b -=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-，故23245484...(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-，23414245484...(31)4n n T n +=⨯+⨯+⨯++-，上述两式相减，得2313243434...34(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--1112(14)4(31)4(32)4814n n n n n ++⨯-=⋅--=----，得1328433n n n T --=⨯+．所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n --⨯+．。

2020高考—数列(解答+答案)

2020年高考——数列1.(20全国Ⅰ理17)（12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．2.（20全国Ⅲ文17）（12分）设等比数列{a n }满足124a a +=，138a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．3.（20全国Ⅲ理17）（12分）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．4.（20新高考Ⅰ18）（12分）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．5.(20天津19)（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．6.(20浙江20)（本题满分15分）已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足1111121,,,nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=∈*N ．（Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*12311,n c c c c n d++++<+∈N ．7.（20江苏20）（本小题满分16分）已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．8.(20北京21)（本小题15分）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．（Ⅰ）若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；（Ⅱ）若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（Ⅲ）若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列。

高考数学解答题(新高考)数列求和(倒序相加法、分组求和法)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.2、分组求和法2.1如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2.2如果一个数列可写成n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、典型例题类型1：倒序相加法例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（）A ．100B ．105C ．110D ．115思路点拨：根据题意：，对应关系作用下的量“”和“”始终满足：；再结合求解目标：，可使用倒序相加法解答过程：；倒序重写一次：；两式相加因为函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=， 121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=. 故选：D.例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()221x f x =+，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（） A ．9 B ．11C ．92D ．112思路点拨：通过观察求解目标：求，注意到对应关系作用下的量头尾复合关系“”，故先验证的值.解答过程：设倒序重写一次：则两式相加()221x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221x x x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B.类型2：分组求和角度1：通项为n n n c a b =±型求和例题3．（2022·河南郑州·三模（文））已知数列{}n a 满足111,1n n a a S +==+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，n *∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】(1)12n na (2)221n n -+(1)11a =，11n n a S +=+，当1n =时，可得2112a a =+=．当2n ≥时，11n n a S -=+，则1n n n a a a +-=，即12n n a a +=，且212a a =．故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，并且知是首项为1，公差为2的等差数列，可先求出的通项，再求出的通项.解答过程：设的前项和为由是首项为1，公差为2的等差数列，，由（1）知注意到表达式为等差+等比；可用分组求和(2)由题意12(1)21n n b a n n -=+-=-，所以1221n n b n -=+-，设{}n b 的前n 项和为n T()()()01121212112222132121.122n n n n n n n T b b b n n -+--=+++=+++++++-=+=-+- 角度2:通项为nn na n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数型求和例题4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列{}n a 的前n 项和为112n n S a +=-，且214a = (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)()0.5*log ,,n n n a n b n N a n ⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ；【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)211334nn +-⨯ (1)在数列{}n a 中，由112n n S a +=-可知1212n n S a ++=-，两式作差可得()()1211212n n n n S a S a +++---=-，即2112n n a a ++=，当1n =时，1212S a =-，，即112a =，211412a a ==，所以数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，即1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）分组求和(2)由（1）知()*,1,2nn n n b n N n ⎧⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()211113214162n n ⎛⎫=+++-++++ ⎪⎝⎭()111441211214nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦=+-211334nn =+-⨯. 例题5．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））在数列{}n a 中，21,,2,n nn n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (1)求1a ，2a ，3a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．第（2）问解题思路点拨：由题意知，注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧当为偶数时，数列{的前项中有个奇数项，有个偶数项．（注意到本例求解的，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：21n b -++1n a -+，注意到最后一项n 为偶数，再利用1n n a -+，其中奇数项，偶数项各为【答案】(1)11a =，24a =，35a =(2)212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 (1)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数所以12111a =⨯-=，2224a ==，32315a =⨯-=，(2)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数所以1a ，3a ，5a ，是以1为首项，4为公差的等差数列，2a ，4a ，6a ，是以4为首项，4为公比的等比数列．当n 为奇数时，数列的前n 项中有12n +个奇数项，有12n -个偶数项．所以()()1231322431n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++12211141411242214221423n n n n n n n -+⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-；当n 为偶数时，数列{{}n a 的前n 项中有2n 个奇数项，有2n个偶数项．所以()()1231331242n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++2224141242214221423nn n n n n n +⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-．所以212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数三、题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C由题已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-，代入得：()11222f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点112⎛⎫⎪⎝⎭，对称，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()12f t f t +-=， ∵()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+，即1n a n =+，故选：C ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2018B ．2019C ．4036D ．4038【答案】A()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A .3．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）已知函数()1e e xx f x =+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，1831a =，则()()()()123365ln ln ln ln f a f a f a f a ++++=______．【答案】3652∵()e e 1xx f x =+，∴()()e e e e 1)e (e 1)2e e 1e 1e 1(e 1)(e (e 1)2e x x x x x x x xxx x x x xf x f x -------++++++-=+===++++++． ∵数列{}n a 是等比数列，∴2136523641831a a a a a ====，∴2136523643651183ln ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a a +=+==+==．设()()()36512365ln ln ln S f a f a f a =+++，①则()()()3653653641ln ln ln S f a f a f a =+++，②①＋②，得()()()()()()()()()3651365236436512ln ln ln ln ln ln S f a f a f a f a f a f a =++++++365=，∴3653652S =．故答案为：36524．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．【答案】992因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 5．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）设4()42xx f x =+，若122014()()()201520152015S f f f =++⋯⋯+，则S ＝________. 【答案】1007解：∵函数f （x ）442xx =+，∴f （x ）+f （1﹣x ）11114444442424242(42)44242x x x x x x xx x x x x x ----⋅=+=+=+=++++⋅++ 1 故可得S ＝f （12015）+f （22015）…+f （20142015）＝1007×1＝1007, 故答案为：10076．（2022·全国·高二课时练习）已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】1005.因为()442x x f x =+，所以()1144214242442x x xx f x ---===++⨯+，所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相加得22010S =，故1005S =.7．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S +=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)22122++⎛⎫- ⎪⎝⎭nn n(1)∵1n n a S +=，① 当1n =时，111a a +=，即112a =，当2n ≥时，111n n a S --+=．②由①－②得120n n a a --=，即112n n a a -=， ∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)由（1）知22lo 111log 222g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-nnnn n n n b a a ，∴()121211112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn n n T b b b∴()()21112211121112222212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++++⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-nn n n n n n n n ．8．（2022·广东·二模）已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2134a a a =，314S =． (1)求数列{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n b 满足()()*,3,313k n a n k b k N k k n k=⎧=∈⎨-<<⎩，求数列{}n b 的前15项和．【答案】(1)2n n a =(2)92(1)设{}n a 的公比为q ，则由2134a a a =，得21114a q a a q =⋅．整理得14a q =．又314S =，得()21114a q q ++=．联立得()1214114a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，消去1a ，得22520q q -+=．解得2q 或12q =．又因为{}n a 为递增等比数列，所以2q，12a =．所以112n nn a a q -==．(2)（方法一）当1k =时，()1*,31,03n a n b n N n =⎧=∈⎨<<⎩，则121b b ==，312b a ==，同理，列举得452b b ==，2622b a ==，783b b ==，3932b a ==，10114b b ==，41242b a ==，13145b b ==，51552b a ==．记{}n b 的前n 项和为n T ，则 151215123451122334455T b b b a a a a a =+++=++++++++++++++()()1234521234522222=⨯+++++++++()()5212155292212⨯-+⨯=⨯+=-．所以数列{}n b 的前15项和为92．（方法二）由()()*,3,313k n a n k b k N k k n k=⎧=∈⎨-<<⎩，得()*,32,31,3n k k n k b k n k k N a n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩，记{}n b 的前n 项和为n T ，则151215123451122334455T b b b a a a a a =+++=++++++++++++++ ()()1234521234522222=⨯+++++++++()()5212155292212⨯-+⨯=⨯+=-．所以数列{}n b 的前15项和为92．9．（2022·甘肃兰州·一模（理））在①5913S S =，②2a 是1a 和4a 的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =．(1)______，求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2n a n b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)答案见详解；(2)()24413n n T n n =++- (1)选①：由于()1553552a a S a +==，()1995992a a S a +== 所以53955193S a S a ==，又36a =，所以510a =，故()53122d a a =-= 所以()332n a a n d n =+-=；选②：2a 是1a 和4a 的等比中项，则2214a a a =，所以()()()23332d d a d a a -=-+，又36a =，解得2d =，0d =（舍去）所以()332n a a n d n =+-=；(2)24==n a n n b ，24n n n n c a b n =+=+，则()()()22422424n n T n =++⨯++++ ()()2212444n n =+++++++ ()()22414441143n n n n n n -=++=++-- 10．（2022·重庆·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，()2243n n n a a S n *+=+∈N .若数列{}n b 满足12b =，24b =，212n n n b b b ++=()n N *∈. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()()1,21,,2,n n n n k k NS c b n k k N **⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T . 【答案】(1)21n a n =+，2n n b =(2)1244213n n n T n +-=++ (1)由0n a >，2243n n n a a S +=+①，得：当1n =时，211230a a --=,解得13a =或11a =-（负值舍去），当2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+②，-①②得：()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.所以()*21n a n n N =+∈.因为数列{}n b 满足12b =，24b =，212n n n b b b ++=.所以数列{}n b 是等比数列，首项为2，公比为2.所以2n n b =.(2)因为()*21N n a n n =+∈，所以()()2321222n n n S n n n n ++==+=+，所以()()242211112221335572121n n T n n =+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-+ ()414111111111233557212114n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41411122114n n -⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭ 144213n n n +-=++. 11．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数()()*21f n n n N =-∈，数列{}n b 满足()()*2f n n b n N =∈.数列{}n a为等差数列，满足11a b =，322a b =-.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】(1)2n a n =；212n n b -=；(2)21212233n n S n n +=⋅++-. (1)由题意得：212n n b -=，112a b ==，3226a b =-=，∴等差数列{}n a 的公差3122a a d -==， ()2212n a n n ∴=+-=；(2)由（1）得：2122n n n a b n -+=+；()()()()1352121421232222114n n n S n n n --∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=++-()()2122121412333n n n n n n +=++-=⋅++-。

2020年高考专题训练专题05 重要无机物的制备(二)(解析版)

05．重要无机物的制备(二)可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 C-12 N-14 O-16 F-19 Na-23 Al-27S-32 Cl-35.5 K-39 Ca-40 Mn-55 Fe-56 Cu-64 Br-80 I-127第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题(本题共20小题，每小题2分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目求的)1．下列物质的制备合理的是( )①将氯化铝溶液与硫化钾溶液混和后过滤来制备硫化铝②将过量的铁与氯气加热反应制备氯化亚铁③在配制FeSO 4溶液时常向其中加入一定量铁粉和稀硫酸④铜先氧化成氧化铜，再与硫酸反应来制取硫酸铜⑤将45mL 水加入到盛有5g NaCl 的烧杯中，搅拌溶解来配制50g 质量分数为5%的NaCl 溶液 A ．①④B ．②③C ．③④D ．全部【答案】C【解析】①AlCl 3和K 2S 能发生相互促进的水解生成Al(OH)3和H 2S ，所以得不到硫化铝，铝在S 蒸气中燃烧生成硫化铝，故错误；②无论铁是否过量，铁在氯气中燃烧生成FeCl 3，铁和稀盐酸反应生成氯化亚铁，故错误；③亚铁离子易被氧化生成铁离子，亚铁离子易水解导致溶液呈酸性，所以为防止亚铁离子被氧化、水解，在配制的硫酸亚铁溶液常加入一定量的铁粉和硫酸，故正确；④铜先氧化成氧化铜，再与硫酸反应来制取硫酸铜，如果用铜和浓硫酸制取硫酸铜，会产生二氧化硫而产生污染，故正确；⑤将45mL 水加入到盛有5g 氯化钠的烧杯中，水的质量为45g ，溶液的质量分数＝()5545g g g +×100%＝10%，故错误；故选C 。

2．下列物质的制备合理的是()①将氯化铝溶液与硫化钾溶液混合后过滤来制备硫化铝②将过量的铁与氯气加热反应制备氯化亚铁③在配制FeSO4溶液时常向其中加入一定量铁粉和稀硫酸④铜先氧化成氧化铜，再与稀硫酸反应来制取硫酸铜⑤用氧化钙与浓氨水反应制取氨气A．①②④B．②③⑤C．③④⑤D．全部【答案】C【解析】①中Al3＋与S2－会发生水解相互促进反应生成Al(OH)3和H2S，得不到Al2S3；②中无论Fe过量与否均生成FeCl3；③中加入铁粉是防止Fe2＋被氧化，加入稀H2SO4是抑制Fe2＋的水解；④中符合绿色化学的思想，减少了污染；⑤中方法不用加热，操作简便。

2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练数列含解析

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求证：对任意的n∈N*且n≥2，有＋＋…＋ < .
4．(20xx·南通模拟)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.
(1)若a4＝b3，b4－b3＝m.
①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
(2)若a1＋b1,a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值．
参考答案与解析
1．解：(1)法一：设数列{an}的公比为q，由题意得2S2＝S3＋S4，q≠1，
所以2× ＝＋ .
化简得q2＋q－2＝0，得q＝－2，
又数列{an}的首项为，
解得m＝－，代入(*)式，解得q＝，
又b2＝3，bn＝3 ，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意.
所以，m＝0或－ .
(2)依题意，36＝(a1＋b1)(a3＋b3)，
设{bn}公比为q，则有36＝ (3＋d＋3q)，(**)
记m＝3－d＋，n＝3＋d＋3q，则mn＝36.
将(**)中的q消去，整理得d2＋(m－n)d＋3(m＋n)－36＝0，
即a1＝－7d，②
②代入①，得－5d＝d2.
所以d＝－5或d＝0(不符合题意，舍去)．
则a1＝35.
所以an＝35＋(n－1)(－5)＝－5n＋40.
(2)Sn＝＝，
不等式Sn－2an－20>0，
即－2(－5n＋40)－20>0.
整理得n2－19n＋40<0.
所以 <n< .
则 <n< ，即 <n<17.

2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组(3页)

2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组专题13 数列一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.将答案填在题中的横线上. 1.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 2.等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a = .3.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.4.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为． 5. 等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++ ．6.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是． 7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前2019项和为．8. 在等比数列{}n a 中，首项11a =，且34a ，42a ，5a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为．9. 已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为． 10.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ．11.已知数列是等差数列，是其前n 项和.若，则的值是_____.12.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前项和，则使得n S 达到最大值的n 是． 13.设数列{}n a 各项为正数，且()13log 12n n a -+=，若()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使345n T >成立时n 的最小值为 .14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，530S =．{}n a n n S 3676344S S ==,8a *{}()n a n ∈N n S 25890,27a a a S +==8S（1）求n a ；（2）设数列1{}n S 前n 项和为n T ，当20192020n T =时，求n 的值．16.（本题满分14分）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17. （本题满分14分）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．18.(本题满分16分)记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS=；若{}12,,k T t t t =…，，定义12k T t t t S a a a =+++L .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ⊆…，，求证：1T k S a +<；19. （本题满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．求数列{b n }的通项公式；20.（本题满分16分）在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1) 求证：数列{a n ＋n }为等比数列；(2) 记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围。

2023年新高考数学技巧解密之数列(新高考适用)专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)

专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2n nna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列. 模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列. 【经典例题1】已知数列{}n a 满足112,31n n n a a a n +==⋅+,求n a . 【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n n b na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==.【经典例题2】已知数列{}n a 中,12n n na a n +=+且12a =,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,.(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】已知数列{}n a 中,12(1(1))n n na n a n n +++=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==, 21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-. 【经典例题4】已知11a =,且1(2)n n na n n a +=++,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-323411b b -=-434511b b -=-……111(1)n n b b n n ---=+ 叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =. 【练习1】已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10()a =A. 28B. 128C. 28-D. 128- 【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数) 则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。

专题05 数列-2020年高考数学(文)二轮专项习题练 (解析版)

专题05 数列一、选择题1．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ． 2．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．1A 【解析】13533331a a a a a ++==⇒=，()15535552a a S a +===．故选A ． 3．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172 B ．192C ．10D ．12 B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设知1d =，844S S =，所以118284(46)a a +=+，解得112a =，所以10119922a =+=． 4．(2018北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为AB C ．D ．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为记为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．5．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．6．已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a A ．2 B ．1 C ．21 D ．81C 【解析】由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=，所以34182a q q a ==⇒=，故2112a a q ==， 7．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+C 【解析】∵113n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+，故选C8．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ． 9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a 、22a 、3a 成等差数列，若11a =，则5S =（）A ．15B ．16C ．31D ．32 【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于14a 、22a 、3a 成等差数列，且11a =，21344a a a ∴=+，即244q q =+，即2440q q -+=，解得2q =，因此，()()5515111231112a q S q-⨯-===--.故选：C. 二、填空题10．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_____． 5【解析】设该数列的首项为1a ，由等差数列的性质知1201510102a +=，所以1202020155a =-=． 11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =____时，{}n a 的前n 项和最大． 8【解析】∵数列{}n a 是等差数列，且789830a a a a ++=>，80a >．又710890a a a a +=+<，∴90a <．当n =8时，其前n 项和最大．12．在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．7(1,)8--【解析】由题意可知，当且仅当8=n 时n S 取最大值，可得8900d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得718d -<<-．13．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ． 32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==． 14．若三个正数a ，b ，c成等比数列，其中5a =+5c =-，则b =________． 1【解析】因为三个正数a ，b ，c成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =．15．数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ． 6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴6n =．16．已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a (2n ≥)，则数列}{n a 的前9项和等于______． 27【解析】∵11a =，11(2)2n n a a n -=+≥，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，所以前9项和998192722S ⨯=+⨯=．17．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为． 2011【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a K ---=-+-++-+(1)1212n n n n L +=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++． 18．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．27【解析】所有的正奇数和2n(*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a 中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62=503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484+62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．19．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．2,13-【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=．20．已知数列{}n a 满足：1112,2,n n n n n a a a a a a a +≥⎧=⎨+<⎩（1,2,n =L ），若33a =，则1a = .【答案】34【解析】试题分析：因33a =,故当21a a <时,322=a ,232=a ,即231<a 时,232=a ,即2321=a ,所以431=a ;当21a a >时,322=+a ,12=a ,即11>a 时,121=+a 可得111<-=a ,不成立,所以431=a ,应填34.21．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差3d =，且138,,a a a 成等比数列，则10S =_________．【答案】175【解析】因为138,,a a a 成等比数列，所以()()21112373a a a +⨯=+⨯，解得14a =，从而31n a n =+，所以1910910431752S ⨯=⨯+⨯=.故答案为：175．三、解答题22．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得2=d ．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4=n 时，n S 取得最小值，最小值为−16．23．对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'. 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}na 是等差数列.24．（2018全国卷Ⅰ）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)+=+n n na n a ，设nn a b n=． (1)求1b ，2b ，3b ；(2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式．【解析】(1)由条件可得12(1)++=n n n a a n．将1=n 代入得，214=a a ，而11=a ，所以，24=a ．将2=n 代入得，323=a a ，所以，312=a ．从而11=b ，22=b ，34=b ． (2){}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n +=+，即12+=n n b b ，又11=b ，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得12n na n-=，所以12-=⋅n n a n ． 25．（2018全国卷Ⅲ）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．(2)若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=．由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m=，解得6m =．综上，6m =．26．（2018浙江）已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．(1)求q 的值；(2)求数列{}n b 的通项公式．【解析】(1)由42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =．由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =． (2)设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ．由11,1,2n nn S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥，解得41n c n =-．由(1)可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅，2n ≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+．设221113711()(45)()222n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2n ≥，2311111137()11()(45)()22222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，因此2114(43)()2n n T n -=--⋅，2n ≥，11b =，所以2115(43)()2n n b n -=--⋅．27．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列。

专题05 数列-2020年高考数学(理)二轮专项习题练 (解析版)

专题05 数列一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5aA ．12-B ．10-C ．10D ．12B 【解析】通解设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3243=+S S S ． ∴11132433(3)2422⨯⨯+=+++a d a d a d ，解得132=-d a ，∵12=a ，∴3=-d ，∴51424(3)10=+=+⨯-=-a a d ．故选B ．优解设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3243=+S S S ，∴333343=-++S S a S a ，∴343=-S a a ，∴13232⨯+=a d d ，∵12=a ，∴3=-d ，∴51424(3)10=+=+⨯-=-a a d ．故选B ．2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8C 【解析】解法一由616343()3()48S a a a a =+=+=，得3416a a +=，由4534()()8a a a a +-+=，得538a a -=，设公差为d ，即28d =，所以4d =．选C ．解法二设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ．3．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8A 【解析】设{}n a 的公差为d （0d ≠），由2326a a a =，得2(12)(1)(15)d d d +=++，所以2d =-，66561(2)242S ⨯=⨯+⨯-=-．选A ．4．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA ．100B ．99C ．98D ．97C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为等差数列，且95927S a ==，所以53a =．又108a =，解得10555d a a =-=，所以1d =，所以10059598a a d =+=，选C ．5．在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝A ．－1B ．0C ．1D ．6B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B 42a =．6．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>B 【解析】由348,,a a a 成等比数列可得：2111(3)(2)(7)a d a d a d +=+?，即1350a d +=，所以153a d =-，所以10a d <．又21441()422(23)023a a dS d a d d d +?==+=-<． 7．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为A B C ． D ．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为记为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．8．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏B 【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 10．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．84D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．11．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 【解析】∵113n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+，故选C ．12．设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++=Λ21，在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是 A ．25 B ．50 C ．75 D ．100D 【解析】由数列通项可知，当125n 剟，n N +∈时，0n a …，当2650n 剟，n N +∈ 时，0n a …，因为1260a a +>，2270a a +>⋅⋅⋅∴1250,,,S S S ⋅⋅⋅都是正数；当51100n剟，n N +∈同理5152100,,,S S S ⋅⋅⋅也都是正数，所以正数的个数是100.13．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．110A 【解析】对数列进行分组如图k 321∙∙∙，222121，2k 22，21，20，20，20，20则该数列前k 组的项数和为(1)1232k k k ++++⋅⋅⋅+=由题意可知100N >，即(1)1002k k +>，解得14k ≥，n ∈*N即N 出现在第13组之后．又第k 组的和为122112kk -=--前k 组的和为 1(12)(122)k +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12(21)(21)(21)k =-+-+⋅⋅⋅+-12(222)k k =++⋅⋅⋅+-122k k +=--，设满足条件的的N 在第1k +(k ∈*N ,13k ≥)组，且第N 项为第1k +的第m ()m ∈*N 个数，第1k +组的前m 项和为211222m -+++⋅⋅⋅+21m =-，要使该数列的前N 项和为2的整数幂，即21m -与2k --互为相反数，即212m k -=+，所以23mk =-，由14k ≥，所以2314m -≥，则5m ≥，此时52329k =-= 对应满足的最小条件为29(291)54402N +=+=，故选A ． 14．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个C 【解析】由题意可得10a =，81a =，2a ，3a ，…，7a 中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有1a ，2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．二、填空题15．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．【解析】解法一设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，所以7767(4)2142S ⨯=⨯-+⨯=．解法二 32714a d +=，所以2d =．故432a a d =+=，故7477214S a ==⨯=．16．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ． 63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，251146536a a a d a d d +=+++=+=，∴6d =，∴3(1)663n a n n =+-⋅=-．17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑ ．21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，1d =， ∴1(1)(1)22n n n n n S na d -+=+⨯=，所以12112()(1)1n S k k k k ==-++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111n k kn S n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑． 18．在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．10 【解析】由3456725a a a a a ++++=得5525a =，所以55a =，故285210a a a +==．19．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = _______．8-【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩，解得112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-． 20．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ． 32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯== 21．若等差数列{}n a 和等比数列{}nb 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_____． 1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--．22．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .64【解析】设{}n a 的公比为q ，由1310a a +=，245a a +=得118,2a q ==，则24a =，32a =，41a =，512a =，所以12123464n a a a a a a a ⋅⋅⋅=…．23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a = ，5S = ．1 121 【解析】由于1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，解得11a =，由1121n n n n a S S S ++=-=+，所以1113()22n n S S ++=+，所以1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，所以113322n n S -+=⨯，所以5121S =．24．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____．63-【解析】通解因为21n n S a =+，所以当1=n 时，1121=+a a ，解得11=-a ；当2=n 时，12221+=+a a a ，解得22=-a ；当3=n 时，123321++=+a a a a ，解得34=-a ；当4=n 时，1234421+++=+a a a a a ，解得48=-a ；当5=n 时，12345521++++=+a a a a a a ，解得516=-a ；当6=n 时，123456621+++++=+a a a a a a a ，解得632=-a ．所以61248163263=------=-S ．优解因为21n n S a =+，所以当1=n 时，1121=+a a ，解得11=-a ，当2≥n 时，112121--=-=+--n n n n n a S S a a ，所以12-=n n a a ，所以数列{}n a 是以1-为首项，2为公比的等比数列，所以12-=-n n a ，所以661(12)6312-⨯-==--S ．25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k kS ==∑ ．21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，1d =， ∴1(1)(1)22n n n n n S na d -+=+⨯=，所以12112()(1)1n S k k k k ==-++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111n k k n S n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑． 26．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为． 27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a 中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．27．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为． 5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5．28．数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________． 12【解析】将82a =代入111n n a a +=-，可求得712a =；再将712a =代入111n n a a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入111n na a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以1712a a ==．三、解答题29．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得d =2．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为−16．30．设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n c M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【解析】（Ⅰ）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b =所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-．下面证明：对任意n ∈*N 且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅．当k ∈*N 且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+(22)(1)k n k =---(1)(2)k n =--∵10k ->且20n -≤∴11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥．因此对任意n ∈*N 且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-．又∵211c c -=-，故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立，从而{}n c 是等差数列（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为,a b d d ，下面我们考虑n c 的取值．对11b a n -⋅，22b a n -⋅，n n b a n -⋅，考虑其中任意项i i b a n -⋅(i ∈*N 且1)i n ≤≤，i i b a n -⋅11[(1)][(1)]b a b i d a i d n =+--+-⋅ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面分0a d =，0a d >，0a d <三种情况进行讨论．（1）若0a d =，则i i b a n -⋅11()(1)b b a n i d =-⋅+- ①若0b d ≤，则11()()(1)0i i b b a n b a n i d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，11n c b a n =-⋅ 此时11n n c c a +-=-，故{}n c 是等差数列 ②0b d >，则()()()0i i n n b b a n b a n i n d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，1n n n n c b a n b a n =-⋅=-⋅ 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 是等差数列此时取1m =，则123,,,c c c ⋅⋅⋅是等差数列，命题成立．（2）若0a d >，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．故必存在m ∈*N ，使得当n m ≥时，0a b d n d -⋅+< 则当n m ≥时，11()()(1)(0i i a b b a n b a n i d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤ 因此，当n m ≥时，11n c b a n =-⋅．此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．（3）0a d <，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．故必存在s ∈*N ，使得当n s ≥时，0a b d n d -⋅+>则当n s ≥时，()()()(0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此当n s ≥时，n n n c b a n =-⋅．此时n n n n n c b a n b a n n n -⋅==-+11()b a a b b d d n d a d n-=-⋅+-++ 令0a d A -=>，1a b d a d B -+=，1b b d C -=下面证明n c C An B n n =++对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，n cM n>． ①若0C ≥，则取||[]1M B m A-=+（[]x 表示不等于x 的最大整数）当n m ≥时，||([]1)n c M B M BAn B Am B A B A B M n A A--++=++>⋅+=≥≥此时命题成立．若0C <，则取||[]1M C B m A--=+当n m ≥时||([]1)n c M C B An B C Am B C A B C n A--++++=+++≥≥M C B B C M --++=≥此时命题成立．因此，对任意正数M ，使得当n m ≥时，nc M n>．综合以上三种情况，命题得证．31．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21．当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722，解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ，于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T Λ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T Λ2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n 222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．32．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*N n ∈，n b 是n a 和1n a +的等差中项．(Ⅰ)设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,N nkn kk a d T b n ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【解析】(Ⅰ)由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=，所以数列{}n c 是等差数列． (Ⅱ)2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋅⋅⋅+-+2422()n d a a a =++⋅⋅⋅+22()22n n a a d +=⋅22(1)d n n =+．所以2222111111111111()(1)2(1)21212nn n k k k kT d k k d k k d n d =====-=⋅-<+++∑∑∑． 33．（2018全国卷Ⅲ）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．(2)若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=．由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m=，解得6m =．综上，6m =．34．已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点11(,1)P x ，22(,2)Px ，…，11(,1)n n P x n +++得到折线1P 2P …1n P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T ．【解析】(Ⅰ)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >．由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（Ⅱ）过123,,,P P P …，1n P+向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q …，1n Q +, 由(Ⅰ)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯，所以123n T b b b =+++…+n b =101325272-⨯+⨯+⨯+…+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+…+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+= 35．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S =，求λ．【解析】（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1．由01≠a ，0≠λ且1λ≠得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321，解得1λ=-． 36．（2018浙江）已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．(1)求q 的值；(2)求数列{}n b 的通项公式．【解析】(1)由42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =．由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =．(2)设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ．由11,1,2n nn S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥，解得41n c n =-．由(1)可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅，2n ≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+．设221113711()(45)()222n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2n ≥，2311111137()11()(45)()22222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，因此2114(43)()2n n T n -=--⋅，2n ≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=--⋅．37．(2018天津)设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n S ()n *∈N ，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n S 的前n 项和为n T ()n *∈N ，(i)求n T ；(ii)证明221()22(1)(2)2n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑()n *∈N ．【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ．由1321,2,a a a ==+可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n a -=．设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+，可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =(2)(i)由(1)，有122112nn n S -==--，故1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑． (ii)证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑L ． 38．对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.39．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．（Ⅱ）记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．40．(2018江苏)设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2)若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．【解析】(1)由条件知：(1)n a n d =-,12n n b -=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1|(1)2|1n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．(2)由条件知：1(1)n a b n d =+-,11n n b b q -=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1)成立，即1111|(1)|n b n d b q b -+--≤(n =2，3，···，m +1)，即当2,3,,1n m =+L 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+L 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+L ）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()(0)1f x f <=．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．41．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2nn b =.由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（Ⅱ）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 42．已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤；（Ⅲ）121122n n n x --≤≤．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x =>假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0n x >()n ∈*N 所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤（Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤ 所以112n n x -≥得由1122n n n n x x x x ++-≥得111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤ 综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ． 43．已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ .（I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求n a 的通项公式；(Ⅱ)设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>．【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立.所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=，由已知,0q >，故 =2q .所以1*2()n n a n -=?N .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =由53q =解得43q =.因为2(1)2(1)1+k k q q -->1*k q k -?N （）. 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-，故1231433n nn e e e --++鬃?>.44．已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=.（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值.【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）100【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以22,n n a n S n n ==+.（2）因为211111n S n n n n ==-++ 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++L L . 因为99100n T >，即19911100n ->+，所以99n >.所以n 的最小值为10045．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，n *∈N .（1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）已知曲线()22:191n n C x a y +-=若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33log 22n nn a a b ⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）见解析；（2）1n =或2；（3）()21314n n n T -+=.【解析】（1）对任意的n *∈N ，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n nn S -+=⨯=，31nn S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩，n N *∈Q ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n n nn a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅L ，①()12131323133n nn T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，②①-②得()()012111312312333333132n n n n n n n T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=-L ，因此，()21314n n n T -⋅+=.46．已知数列{}n a 满足11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯.()1求数列{}n a 的通项；()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．【答案】()21,122,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数； ()2 28n S n =-.【解析】解：()1141n n a a n ++=-Q ，1n =，2，3⋯①， ()1411n n a a n -∴+=--，2n =，3，4⋯② -①②得114n n a a +--=，2n =，3⋯当n 为奇数，1141212n n a n +⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭ 所以21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-， ()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+- ()()()()224622424482n n na a a a n +-=-+++⋯+=-=-．。

专题05 数列-2020年高考数学(理)二轮专项习题练 (原卷版)

专题05 数列一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10D ．122．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8 4．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA ．100B ．99C ．98D ．97 5．在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝A ．－1B ．0C ．1D ．66．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>7．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为AB C ．D ．8．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 10．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．84 11．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+12．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++=Λ21，在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是 A ．25 B ．50 C ．75 D ．10013．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．11014．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个二、填空题15．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___． 16．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ． 17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 18．在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 19．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = _______． 20．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ．21．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_____． 22．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a = ，5S = ．24．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____． 25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS==∑ ．26．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为． 27．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为． 28．数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________．三、解答题29．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．30．设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．31．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .32．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*N n ∈，n b 是n a 和1n a +的等差中项．(Ⅰ)设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设 ()22*11,1,N nkn kk a d T b n ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑33．（2018全国卷Ⅲ）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．34．已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点11(,1)P x ，22(,2)Px ，…，11(,1)n n P x n +++得到折线1P 2P …1n P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T ．35．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S =，求λ．36．（2018浙江）已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．(1)求q 的值；(2)求数列{}n b 的通项公式．37．(2018天津)设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n S ()n *∈N ，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n S 的前n 项和为n T ()n *∈N ，(i)求n T ；(ii)证明221()22(1)(2)2n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑()n *∈N ．38．对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．39．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．40．(2018江苏)设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2)若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．41．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．42．已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤；（Ⅲ）121122n n n x --≤≤．43．已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ .（I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求n a 的通项公式；(Ⅱ)设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>．44．已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=.（1）求数列{}na的通项公式及前n项和nS；（2）记数列1{}nS的前n项和为n T，若99100nT>，求n的最小值.45．已知数列{}na的前n项和为nS，12a=，132n nS S+=+，n*∈N.（1）证明：数列{}1nS+为等比数列；（2）已知曲线()22:191n nC x a y+-=若nC为椭圆，求n的值；（3）若33log22n nna ab⎛⎫⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b的前n项和n T．46．已知数列{}na满足11a=，141n na a n++=-，1n=，2，3⋯.()1求数列{}na的通项；()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．。

2020学年高考数学(理)二轮复习解题方法与技巧练习：专题五数列 Word版含答案

专题五数列1、数列1112,,,6323，……的一个通项公式为（）A ．1nB ．6n C ．3n D ．4n 2、已知数列{}n a 满足()112,2,n n a a na n -==≥则5a 等于( ) A.240B.120C.60D.303、在数列{}n a 中,若11a =,212a =,()*12211n n n n N a a a ++=+∈,则该数列的通项为( ) A.1n a n = B.21n a n =+C.22n a n =+ D.3n a n=4、已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是( ) A. 15B. 30C. 31D. 645、等比数列{}n a 中，若15m n a a a a ＝，则mn 不可能为（） A.5B.6C.8D.96、等比数列{}n a 中,159,243a a ==则{}n a 的前4项和为（） A ．81B ．120C ．168D ．1927、如果数列{}n a 的则n 项和332n n S a =-,那这个数列的通项公式是( )A.22(1)n a n n =++B.32n n a =⋅C.31n a n =+D.23n n a =⋅8、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（） A. 5B.4C.3D. 29、在等差数列{}n a 中,若12324a a a ++=-,18192078a a a ++= ,则此数列前20项的和等于__________10、在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a +=___________ 11、等比数列{}n a 的首项 12a =, 416a =,则其前n 项和 n S = 12、下面图形由小正方体组成,请观察图1至图4的规律,并依次规律,写出第n 个图形中小正方体的个数是__________.13、已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S . (1).求n a 及n S ； (2).记12111...n nT S S S =+++，求n T14、在数列{}n a 中,11a =, 122n n n a a +=+. (1).设12nn n a b -=,证明:数列{}n b 是等差数列; (2).求数列{}n a 的前n 项和n S .答案以及解析1答案及解析：答案：B 解析：2答案及解析：答案：A 解析：3答案及解析：答案：A 解析：由已知式12211n n n a a a ++=+可得1211111n n n n a a a a +++-=-, 知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为2111211a a -=-=的等差数列,所以1n n a =,即1n a n=.4答案及解析：答案：A 解析：5答案及解析：答案：B 解析：6答案及解析：答案：B 解析：7答案及解析：答案：D解析：当1n =时,11332a a =-,所以16a =.由332n n S a =-,当2n ≥时,11332n n S a --=-,所以当2n ≥时,113322n n n n n a S S a a --=-=-,所以13n n a a -=.所以16a =,236a =⨯,2336a =⨯. 猜想:16323n n n a -=⋅=⋅.故选D.8答案及解析：答案：C解析：1152015352530a d d a d +=⎧⇒=⎨+=⎩9答案及解析：答案：180解析：∵1231819201202193181203()782454a a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+=-=, ∴12018a a +=. ∴12020()2018101802a a S +⨯==⨯=.10答案及解析：答案：15 解析：11答案及解析：答案：122n +- 解析：12答案及解析：答案：()12n n + 解析：12341,3,6,10a a a a ====,所以2132432,3,4,,a a a a a a -=-=-=1n n a a n --= , 等式两边同时累加得123n a a n -=+++.即()1122n n n a n +=+++=, 所以第n 个图形中小正方体的个数是()12n n +.13答案及解析：答案：(1).设等差数列{}n a 的公差为d, 315712721026a a d a a a d =+=⎧∴⎨+=+=⎩ 132a d =⎧∴⎨=⎩ 21n a n ∴=+,1()(2)2n n n a a S n n +==+ (2).由(1)知：11111()(2)22n S n n n n ==-++1231111n n T S S S S ∴=+++=111111(1)23242n n =-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--+-32342(1)(2)n nn +=-++14答案及解析：答案：(1).证明:将122n n n a a +=+,两边同除以2n ,得11122n nn n a a +-=+. ∴11122n n n n a a +--=,即11n n b b +-=,∴{}n b 为等差数列. (2).由(1),可得101(1)122n n a n n -=+-⨯=. ∴12n n a n -=⋅.∴0121222322n n S n -=+⨯+⨯++⨯.①1212222(1)22n n n S n n -=+⨯++-+⋅.②∴①–②,得012122222n n n S n --=++++-⋅122(1)2112n n n n n -=-⋅=-⋅--. ∴(1)21n n S n =-⋅+.。

2020年高考数学大题专项练习数列五(15题含答案解析)

2020年高考数学大题专项练习数列五1.等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．2.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q.已知b 1=a 1,b 1=2,q=d,S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）当d>1时，记，求数列{c n }的前n 项和T n ．3.已知等差数列{a n }的公差为2，等比数列{b n }的公比为2，且a n b n =n·2n． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n =1a n ·log 2b n ＋3，记数列{c n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与38的大小．4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a6=4，S5=－5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若T n=|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|，求T5的值和T n的表达式．5.已知数列{a}满足a1=1，a n+1-a n=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=8．n（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．6.已知{a}是等比数列，前n项和为，且.n(1)求{a n}的通项公式；(2)若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.7.已知数列{a}的前项和为，且，．n（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．8.数列{a}首项，前项和与之间满足．n（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值．9.知数列{a}的前n项和为，且满足，数列{b n}为等差数列，且满足n．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)令，关于k的不等式的解集为M，求所有的和S．10.已知正项等比数列{a}满足成等差数列，且．n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．11.已知数列，（1）求证：数列是等差数列；（2）设数列，求证 .12.函数f（x）=ae2cosx（x∈[0，+∞），记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．（1）证明：数列{f（x n）}是等比数列；（2）若对一切n∈N*，x n≤|f（x n）|恒成立，求a的取值范围．13.已知等差数列{a}与等比数列{b n}满足，，，且{a n}的公差比{b n}的公n比小1.（1）求{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足，求数列{c n}的前项和.14.已知数列{a}满足a1=a，．n（1）请写出a2，a3，a4，a5的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，不必证明；（3）请利用（2）中猜想的结论，求数列{a n}的前120项和．15.已知数列{a}的前n项和为，且满足=n(1)求的值；(2)求数列{a n}的通项公式及其前 n项和．答案解析1.2.3.解：(1)∵a n b n =n·2n，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1b 1＝2，a 2b 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1b 1＝2，(a 1＋2)·2b 1＝8，解得a 1=2，b 1=1， ∴a n =2＋2(n －1)=2n ，b n =2n －1．(2)∵a n =2n ，b n =2n －1，∴c n =1a n ·log 2b n ＋3=12n (n ＋2)=141n －1n ＋2，∴T n =c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n －1＋c n =141－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2 =141＋12－1n ＋1－1n ＋2 =38－141n ＋1＋1n ＋2<38， ∴T n <38．4.解：(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n =2n －7(n ∈N *)．(2)由a n =2n －7<0，得n<72，即n≤3，所以当n≤3时，a n =2n －7<0，当n≥4时，a n =2n －7>0.易知S n =n 2－6n ，S 3=－9，所以T 5=－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5=－S 3＋(S 5－S 3)=S 5－2S 3=13.当n≤3时，T n =－S n =6n －n 2；当n≥4时，T n =－S 3＋(S n －S 3)=S n －2S 3=n 2－6n ＋18.故T n =⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n≤3，n 2－6n ＋18，n≥4.5.6.（Ⅰ）（Ⅱ）7.8.9.10.11.12.13.14.15.（1）a=1,a2=3,a3=7;（2）a n=2n-1,Sn=2a n-n=2n-1-n-2.1。

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专题05 数列一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=（） A ．12B ．9C ．6D ．32．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a 、22a 、3a 成等差数列，若11a =，则5S =（） A ．15B ．16C ．31D ．323．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1010S =，2060S =，则40S =（） A ．110B ．150C ．210D ．2804．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212211,2,111n n n a a S S S ++==++=+，则n S =（） A ．()12n n +B ．12n -C ．21n -D ．121n -+5．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()*32n n S a n =-∈N ，则{}na 的通项公式为（）A ．12n n a -=B ．132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭6．对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N，对自然数()2k k ≥，规定{}k n a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()2*12nn n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}na 的通项公式为（）A ．212n n a n -=⨯B ．12n n a n -=⨯C ．()212n n a n -=+⨯D ．()1212n n a n -=-⨯7．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a =r ，()76,b a a =r ，且4a b ⋅=r r ，则2122210log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+8．数列{}n a 满足：112n n n a a a -++>()*1,n n N >∈，给出下述命题正确的个数是：（） ①若数列{}n a 满足：21a a >，则1n n a a ->()*1,n n N >∈；②存在常数c ，使得()*n a c n N>∈成立；③若p q m n +>+（其中*,,,p q m n N ∈），则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得()11n a a n d >+-()*n N ∈都成立A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、多选题9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >10．已知等比数列{}n a 中，满足11,2a q ==，则（） A ．数列{}2n a 是等比数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{}n a 中，102030,,S S S 仍成等比数列11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q < C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T12．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦能取到所有值的个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确的有（） A ．34a = B ．190是数列{}n a 中的项 C ．1056S = D ．当7n =时，21n a n+取最小值三、填空题13．数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为________.14．设数列{}n a 满足1a a =，()()()*1112n n n a a a n N +--=∈，若数列{}n a 的前2019项的乘积为3，则a =______．15．在数列{}n a 中，13a =，且12221n n a a n n+---=+. （1）{}n a 的通项公式为__________；（2）在1a 、2a 、3a 、L 、2019a 这2019项中，被10除余2的项数为__________．四、解答题16．已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=+. (1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式.(2)若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .17．已知等差数列{a n }满足a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{a n }的通项公式； (2)若()0na n nb a q q +>=，求数列{b n }的前n 项和S n .18．设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n nT b +=-（*N n ∈），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（*N k ∈，3k ≥），则称m 具有性质k P .（1）请判断1b 、2b 是否具有性质6P ，并说明理由；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{2}n n S a λ-是单调递增数列，求证：对任意的k （*N k ∈，3k ≥），实数λ都不具有性质k P ；（3）设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*N n ∈，21n H -都具有性质k P ，求所有满足条件的k 的值.参考答案1．B 【解析】【分析】利用等差中项的性质可得211121S a =，求得113a =；再根据下角标的性质可求得结果. 【详解】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==本题正确选项：B 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题. 2．C【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意得出关于q 的二次方程，求出q 的值，然后利用等比数列求和公式可求出5S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于14a 、22a 、3a 成等差数列，且11a =，21344a a a ∴=+，即244q q =+，即2440q q -+=，解得2q =，因此，()()55151********a q S q-⨯-===--.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【解析】【分析】由等差数列的性质可得10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列，由此求得40S 的值.【详解】解：Q 等差数列{}n a 前n 项和为n S∴10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列故1000132020()2()S S S S S -+=- ，30=150S ∴又Q102040303020)(2()()S S S S S S =---+40=280S ∴故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质，等差数列前n 项和公式的应用. 4．C 【解析】【分析】对已知()()()221111n n n S S S ++++=+，进行化简，令1n n b S =+，可得221n n n b b b ++⋅=，即{}n b 为等比数列，利用121,2a a ==可计算出n b 的首项和公比，从而可求得n b 的通项，得到n S 的通项. 【详解】()()()221111n n n S S S ++++=+Q ，令1n n b S =+221n n n b b b ++∴⋅=，可得{}n b 为等比数列，设其公比为q1112212112,114b S a b S a a =+=+==+=++= 212b q b ∴==，111222n n n n b b q --∴=⋅=⨯= 121n n n S b =-=-，故选C 项.【点睛】本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题. 5．B 【解析】【分析】先根据递推公式求出首项，再递推一步，两个等式相减，即可判断出数列{}n a 是等比数列，最后求出通项公式即可. 【详解】因为32()n n S a n *=-∈N …①，1n =时，1132S a =-，可得11a =，2n ≥时，1132n n S a --=-…②，①-②得133n n n a a a -=-，132n n a a -=，所以{}n a 是等比数列，11331()()22n n n a --=⨯=.故选：B【点睛】本题考查了通过递推公式求等比数列的通项公式，考查了数学运算能力. 6．B 【解析】【分析】根据题中定义结合等式()2*12nn n n a a a n +∆-∆+=-∈N 可得出122nn naa +=+，等式两边同时除以12n +，可得出111222n n n na a ++=+，可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，求出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得出n a . 【详解】根据题中定义可得()()2*1112n nn n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，即()1122nn n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122nn n a a +=+，等式两边同时除以12n +，得111222n n n n a a ++=+，111222n n n n a a ++∴-=且1122a =，所以，数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，()1112222n na n n ∴=+-=，因此，12n n a n -=⋅.故选：B. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题. 7．C 【解析】【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量a v ＝（4a ，5a ），b v ＝（7a ，6a ），且a v •b v＝4，∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=L log 2（12a a •10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 8．A 【解析】【分析】由112n n n a a a -++>得，11n n n n a a a a +-->-，然后结合条件，逐一判断四个命题的真假．【详解】由112n n n a a a -++>，得11n n n n a a a a +-->-，即数列{}1n n a a +-是递增数列．对于①，若21a a >，则122110n n n n a a a a a a ---->->>->L ，1n n a a -∴>成立，正确；对于②，若数列{}n a 为递减数列，如：1111,,,,234L ，满足题意，但是当n →+∞时，n a →-∞，不存在常数c ，使得()*n a c n N>∈成立，错误；对于③，若数列{}n a 为递减数列，如：1111,,,,234L ，满足题意，2413+>+，但是2413a a a a +<+，错误；对于④，若数列{}n a 为递减数列，如：1111,,,,234L ，满足题意，但是当n →+∞时，n a →-∞，故不存在常数d ，使得()11n a a n d >+-()*n N ∈都成立，错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查数列递推式以及数列单调性的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 9．ABC 【解析】【分析】直接根据等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+逐一判断．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+，若59S S =，则11510936a d a d +=+， ∴12130a d +=，∴1132da =-，∵10a >，∴0d <， ∴1140a a +=，∴()1141407a a S +==，A 对；∴()112n n n d S na -=+()11322n n d nd -=-+()27492d n ⎡⎤--⎣⎦=，由二次函数的性质知7S 是n S 中最大的项，B 对；若67S S >，则7160a a d =+<，∴16a d <-，∵10a >，∴0d <，∴615a a d =+6d d <-+0d =->，8770a a d a =+<<， ∴5656S S S a <=+，7878S S S a >=+，C 对，D 错；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，属于中档题． 10．AC 【解析】【分析】根据题意求出等比数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}2n a ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2log n a 的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前n 项和公式，可求出102030,,S S S ，即可判断选项D 的真假．【详解】等比数列{}n a 中，11,2a q ==，所以12n n a -=，21nn S =-．于是124n n a -= ，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 1n a n =-，故数列{}2n a 是等比数列，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，数列{}2log n a 是等差数列．因为10203010203021,21,21,S S S =-=-=-20301020S S S S ≠ ，所以102030,,S S S 不成等比数列．故选：AC ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于基础题． 11．AD 【解析】【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.12．ACD 【解析】【分析】先根据n a 的定义可求得123,,a a a ,再确定n a 的递推公式,从而求得n a 的通项公式求解即可.当1n =时,[)0,1x ∈,[]0x =,[]0x x =,故[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,即11a =,当2n =时,[)0,2x ∈,[]{}0,1x =,[]{}[)01,2x x ∈⋃,故[]{}0,1xx ⎡⎤=⎣⎦,即22a=,当3n =时,[)0,3x ∈, []{}0,1,2x =, []{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃,故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦,即34a =,以此类推,当2n ≥,[)0,x n ∈时, []{}0,1,2,...x n =,[]{}[)[))201,24,6(1),(1)x x n n n ⎡∈⋃⋃⋃--⎣,故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为221123...12n n n -++++++-=,即22,22n n n a n -+=≥ 当1n =时也满足上式,故22,2n n n a n N +-+=∈.对A, 2333242a -+==,故A 正确.对B,令22219037802n n n a n n -+==⇒--=无整数解.故B 错误.对C,12112()2(1)(2)12n a n n n n n ==-+++++. 故11111122(...)1)2334122n n n S n =-+-++-=-+++.故10251126S =-=.故C 正确. 对D,2122122122222n a n n n n n +=+-≥⨯⋅-.当且仅当()222116,72n n n ⋅⇒=∈时取等号.因为n N +∈,当6n =时,21166n a n +=+, 当7n =时,21167n a n +=+, 故当7n =时,21n a n+取最小值,故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了数列中的新定义问题,需要根据题意求解通项公式进行分析,主要考查递推公式推导通项公式的方法等.属于难题. 三、填空题【解析】【分析】1(252)2n n a n -=-，2n ≥时，11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，得到关于n 的不等式组，解得n 的范围，结合*n ∈N ，得到n 的值，再与1n =时进行比较，得到答案. 【详解】令1(252)2n n a n -=-，当2n ≥时，设n a 为最大项，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ 即121(252)2(272)2,(252)2(232)2,n n n nn n n n ---⎧-≥-⎨-≥-⎩ 解得212322n ≤≤. 而*n ∈N ，所以11n =又1n =时，有122342a a =<=，所以数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为11.故答案为：11 【点睛】本题考查求数列中的最大项，属于简单题. 14．2 【解析】【分析】本题先根据递推式的特点可知1n a ≠，然后将递推式可转化为11.1nn na a a ++=-再根据1a a =逐步代入前几项即可发现数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a 的值．【详解】解：由题意，根据递推式，1n a ≠，故递推式可转化为111nn na a a ++=-． 1a a =Q ，211a a a+∴=-，232111111111a a a a a a a a+++-===-+---，34311111111a a a a a a a -+-===-++， 45411111111a a a a a a a a -+++===---+． ∴数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列，1234111111a a a a a a a a a a +-⎛⎫∴⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭． 201945043=⨯+Q ，122019123111311a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫∴⋅⋯=⋅⋅=⋅⋅-== ⎪--⎝⎭，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题主要考查周期数列的判定以及周期数列的性质应用，本题属中档题．17．222n a n n =-+ 403【解析】【分析】（1）根据题意得知数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可求出n a ；（2）设()222102n a n n k k Z =-+=+∈，可得出()1021k n n =-，由21n -为奇数，可得出n 为10的倍数或21n -为5的奇数倍且n 为偶数，求出两种情况下n 值的个数，相加即可得出答案.【详解】（1）12221n n a a n n +---=+Q且1211a -=，所以，数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()212121n a n n n-∴=+-=-，222n a n n ∴=-+；（2）被10整除且余数为2的整数可表示为()102k k Z +∈，令222102n a n n k =-+=+，可得()1021k n n =-，n N *∈Q ，且12019n ≤≤，则21n -为奇数，则n 为10的倍数，或者21n -为5的奇数倍且n 为偶数.当n 为10的倍数时，n 的取值有：10、20、30、L 、2010，共201个；当21n -为5的奇数倍且n 为偶数时，n 的取值有：8、18、28、L 、2018，共202个. 综上所述，在1a 、2a 、3a 、L 、2019a 这2019项中，被10除余2的项数为201202403+=. 故答案为：222n n -+；403. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.16．（1）见解析，12n na =-（2）()121n n S n =-+g【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并通过数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式得到数列{}n a 的通项公式；(2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ．【详解】 (1)因为113n n n a a a +-=+两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n na a +-=++，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差，首项为11112a =+的等差数列．所以112n na =+，即12n n a =-． (2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和，121112232...2n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅① 则1232122232...2nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由-①②，得()121111212122121n n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=---，所以()121nn S n =-⋅+．【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．17．（1）a n ＝2n －1（2）()()2221,11,011nn n n q S q q n q q q ⎧+=⎪=-⎨+>≠⎪-⎩且【解析】【分析】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，将条件转化为基本量再进行计算，得到1a 和d 的值，从而得到{a n }的通项公式；（2）先得到n b 的通项，然后当q ＞0且q ≠1时，对n b 进行分组求和，分为一个等差数列和一个等比数列，分别求和再相加，当q ＝1时，n b 是一个等差数列，利用等差数列的求和公式进行求和. 【详解】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14 得11492614a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩ 所以{a n }的通项公式a n ＝2n －1. (2)由a n ＝2n －1，得2121n n b n q-=-+. 当q ＞0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋q 7＋…＋q 2n －1)()22211n q q n q-+-；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)．所以数列{b n }的前n 项和()()2221,11,011nn n n q S q q n q q q ⎧+=⎪=-⎨+>≠⎪-⎩且. 【点睛】本题考查通过基本量求等差数列的通项公式，分组求和法求数列前n 项的和，属于中档题. .18．（1）1b 不具有性质6P ，2b 具有性质6P ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3和4. 【解析】【分析】（1）求得1234567n =，，，，，，时,数列{}n b 的前7项,可得d 和首项1a ,得到等差数列{}n a 的通项,即可判断1b 、2b 是否具有性质6P ；（2）由题意可得n 1n 1nn S 2a S 2a l l ++-? ,代入等差数列{}n a 的通项公式和求和公式,化简整理可得入1λ≤- ,结合集合中元素的特点,即可得证；（3）求得211234H n n -=，，，，的特点,结合3456k =，，，集合的特点,即可得到所求取值. 【详解】解：（1）由1111122T b b +=+=-得114b =-, 又312334123441188111616T b b b b T b b b b b⎧+=+++=-⎪⎪⎨⎪+=++++=⎪⎩,得214b =, 可得5114(5)(5)444n n a a n d n -=+-=+-=, 从而65|04P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭, 故1b 不具有性质6P ,2b 具有性质6P .（2）()()2174163142242448n n n n n n n S a n λλλλ--++-⎛⎫-=-+⋅-=⎪⎝⎭, 因为数列{}2n n S a λ-单调递增,所以74322λ+<,即1λ<-, 又数列{}n a 单调递增,则数列{}n a 的最小项为1314a =->-, 则对任意()*,3kk N k ∈≥,都有2314k a λ-<-<-≤,故实数λ都不具有性质k P .（3）因为1(1)2nn n nT b +=-,所以1*1111(1)(2,N )2n n n n T b n n ----+=-≥∈, 两式相减得 111111(1)(1)22n n n n n n n n T T b b -----+-=---*(2,N )n n ≥∈,即11(1)(1)2n n n n n n b b b --=-+-*(2,N )n n ≥∈,当n 为偶数时,112n n n n b b b --=+,即112n n b -=-,此时1n -为奇数；当n 为奇数时,112n n n n b b b --=--,即1122n n n b b --=-,则1112n n b --=,此时1n -为偶数；则11,21,2n n nn b n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数,*N n ∈.则11,20,n n n T n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数, 故2112342221n n n H T T T T T T ---=+++++L2246822211(1)1111111124(1)12222223414n n n n--=-------=-=---L , 因为114n -对于一切*N n ∈递增,所以311144n ≤-<,所以 211134n H --<≤-.若对任意的*N n ∈,21n H -都具有性质k P ,则11(,]34--⊆6144k k xx ⎧⎫--<<⎨⎬⎩⎭, 即61431144k k -⎧≤-⎪⎪⎨-⎪>-⎪⎩,解得1403k <≤,又*2,N k k >∈,则3k =或4, 即所有满足条件的正整数k 的值为3和4. 【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式的求法,集合的性质和数列的单调性的判断和应用,考查化简整理的运算能力,属于难题.。