高等数学第01章：函数及其性质
高等数学第一章笔记
高等数学第一章笔记高等数学第一章笔记第一章的主要内容是函数和极限。
函数是数学中非常重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在高等数学中，我们主要研究实函数和实变量，即定义域和值域都是实数集的函数。
1. 函数的定义和性质函数是一种映射关系，它将定义域上的每个元素映射到值域上的唯一元素。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
2. 函数的运算函数之间可以进行加减乘除等基本运算。
例如，两个函数的和、差、积、商仍然是函数。
函数的复合也是一种常见的运算，表示将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
3. 函数的图像和性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
函数的图像可以用手绘或者计算机绘制。
4. 函数的极限极限是函数的重要概念，它描述了函数在某一点的趋势。
函数在某一点的左极限表示函数从左边趋近于这个点的情况，右极限表示函数从右边趋近于这个点的情况。
如果函数在某一点的左右极限相等，则函数在这一点处有极限。
5. 极限的性质和运算函数的极限具有一些重要的性质，如唯一性、保序性、保不等式性等。
在进行函数的极限运算时，我们可以利用极限的性质进行简化，如极限的四则运算、复合函数的极限等。
6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的每一点都有极限，并且函数的极限与函数值相等。
连续函数是一种重要的函数类型，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
总结起来，高等数学第一章主要介绍了函数和极限的概念、性质和运算。
函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
极限是函数在某一点的趋势，它描述了函数在这一点的值与函数在这一点的左右极限之间的关系。
理解和掌握函数和极限的概念和性质，对于后续学习高等数学的内容非常重要。
大一高数第一二章知识点
大一高数第一二章知识点高等数学是大多数理工科专业的基础课程之一，它为我们提供了解决实际问题的数学方法和工具。
在大一的学习过程中，我们通常会学习高数的第一二章知识点，从简单的函数概念和性质开始，逐渐深入到导数的定义和应用。
下面我们来一起回顾这些重要的知识点。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是一种数学关系，它将一个自变量的集合映射到一个因变量的集合。
函数可以用公式、图像或者图表来表示。
我们通常会考虑函数的定义域、值域、奇偶性和周期性等性质。
1.2 极限的概念与性质极限是描述函数变化趋势的概念。
当自变量无限接近某个值时，函数的取值也会无限接近一个确定的值。
我们通常用极限符号“lim”来表示。
重要的极限性质包括极限存在性、极限唯一性和四则运算法则等。
1.3 极限的计算方法在计算极限时，我们可以运用一些基本的极限公式和运算法则。
这包括常用的极限：无穷大与无穷小、有界函数的极限、基本初等函数的极限等。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是描述函数变化速率的概念。
它表示函数在某一点的瞬时变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义是极限的一种特殊形式，通常用“f'(x)”或者“dy/dx”表示。
2.2 导数的计算方法导数的计算方法主要包括用基本导数公式、四则运算法则、链式法则和隐函数求导法则等。
这里需要掌握一些常用函数的导数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
2.3 导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决实际问题。
应用方面包括函数的最值问题、曲线的凸凹性与拐点、函数图像的草图和导数的物理意义等。
通过对大一高数第一二章的学习，我们能够加深对函数与极限、导数与微分的理解。
掌握这些重要的知识点，不仅能够解决一些实际问题，还能为后续更深入的数学学习奠定坚实的基础。
因此，在学习高数的过程中，我们要多加练习，理解每个概念和定理的思想和逻辑，同时注意思维的拓展和应用的实践。
高等数学函数的概念及性质
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数 当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
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x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
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练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
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1.1.5. 初等函数
高等数学第01章：函数及其性质
y f x, x D,
其中 x称为自变量, 称y 为因变量.集合 称D为函数的 定义域,记为 . D f
当自变量 x 取数值 x0 Df 时,与 x0对应的 y 的
x3 y3 1 0 的显函数形式为y 3 1 x3 .而有的
隐函数则不能改写成显函数的形式,如
sinxy ex y 0 .把隐函数改写成显函数,叫做隐
函数的显化.
在函数的定义中,规定了对于变量 的x每一个数 值,变量 有y唯一确定的数值与之对应,这样的函数 称为单值函数;如果变量 有两个y 或更多个确定的 数值与之对应,就称 是 的y 多值x 函数,我们主要研 究单值函数.
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
如函数y sin x 和 y cosx 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
二、函数的表示法
1.解析法
例2 作自由落体运动的物体下落时间为 t,下落的距 离为 ,假s定开始下落的时刻为 ,那t 么0 与 s t
之间的依赖关系由下式给出:
s 1 gt2 2
当时间t 变化时,距离 s 作相应的变化.
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一 个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解 析式表示,这成为分段函数.如符号函数
高数第一章知识点总结笔记
高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。
1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。
- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。
- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。
- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。
3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。
- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。
4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。
- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。
5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。
- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。
大一高等数学教材第一章
大一高等数学教材第一章高等数学是大一学生必修的数学课程，其内容涵盖了微积分、数学分析、线性代数等多个领域。
本篇文章将着重介绍大一高等数学教材的第一章内容，主要包括函数及其基本性质、极限及其运算法则以及导数和微分。
一、函数及其基本性质函数是一种数学工具，用于描述变量之间的依赖关系。
在高等数学中，函数被用来研究数学模型，解决实际问题。
函数的基本性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
其中，定义域是指函数的输入集合，值域是指函数的输出集合。
奇偶性是指函数关于原点的对称性质，单调性是指函数在定义域内的增减性质，周期性是指函数具有重复性质。
二、极限及其运算法则极限是一种数学概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。
在大一高等数学中，极限的计算是重要的基础知识。
极限的运算法则包括四则运算法则、复合函数的极限法则、三角函数的极限法则等。
四则运算法则指的是对于加减乘除四种基本运算，函数极限的性质。
复合函数的极限法则用于求解复合函数在某一点的极限，三角函数的极限法则用于求解三角函数在特定角度下的极限。
三、导数和微分导数是函数在某一点的变化率，用于描述函数在给定点的瞬时变化情况。
微分是导数的一种特殊形式，可以看作是函数在给定点的线性近似。
导数和微分在大一高等数学中占据重要地位，广泛应用于物理、经济、工程等实际问题的求解。
导数的计算包括基本导数公式、求导法则和高阶导数。
微分的计算包括微分法则和微分方程等内容。
总结：大一高等数学教材的第一章主要介绍了函数及其基本性质、极限及其运算法则以及导数和微分。
函数是数学中重要的工具，用于研究数学模型和解决实际问题。
极限的计算是数学分析的基础，对于化学、物理等学科也有重要应用。
导数和微分是函数变化率的描述方法，可以应用于求解实际问题。
通过学习第一章内容，学生将建立起基本的数学思维模式和分析问题的能力，为后续学习铺垫了坚实的基础。
以上就是大一高等数学教材第一章的主要内容介绍。
高等数学第一章：函数与极限
第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。
（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。
)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。
奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(， 如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。
4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。
四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。
高等数学一教材章节
高等数学一教材章节第一章：函数与极限函数的定义与性质函数的概念函数的表示方法函数的分类一元函数的极限极限的定义极限的运算法则极限存在准则函数的连续性连续函数的定义连续函数的性质连续函数的运算法则第二章：导数与微分导数的概念与运算法则导数的定义导数的几何意义导数的运算法则高阶导数与隐函数的导数高阶导数的概念隐函数的导数高阶导数的计算微分中值定理与导数的应用罗尔定理拉格朗日中值定理函数单调性与极值第三章：积分与定积分不定积分不定积分的定义常见函数的不定积分不定积分的基本性质定积分的概念与性质定积分的定义定积分的基本性质定积分的几何意义牛顿-莱布尼茨公式与变限积分牛顿-莱布尼茨公式的推导变限积分的概念与运算法则曲线长度的定积分表示第四章：一元函数的应用或微分方程常微分方程常微分方程的概念一阶线性微分方程一阶齐次线性微分方程微分方程的应用因变量可分离的微分方程可化为一阶线性微分方程的方程可化为齐次微分方程的方程第五章：多元函数微分学多元函数的极限与连续性多元函数的极限定义多元函数的连续性定义多元函数的偏导数与全微分多元函数的导数与微分法多元函数的偏导数多元函数的全微分多元函数的隐函数及其导数多元函数的极值与条件极值多元函数的极值判定多元函数的条件极值第六章：重积分与曲线曲面积分二重积分的概念与性质二重积分的定义二重积分的性质与运算法则可求面积与可求平均值的关系三重积分与多重积分三重积分运算法则广义重积分多重积分的应用曲线积分与曲面积分第一类曲线积分的概念与计算第二类曲线积分的概念与计算曲面积分的概念与计算第七章：向量场与无散场、无旋场向量场的基本概念与性质向量场的概念向量场的性质与分类散度与无散场散度的概念与计算无散场的特点与判定旋度与无旋场旋度的概念与计算无旋场的特点与判定第八章：曲线积分与曲面积分的应用曲线积分的应用曲线积分在物理中的应用曲线积分在工程中的应用曲线积分在电磁学中的应用曲面积分的应用曲面积分在流体力学中的应用曲面积分在电场中的应用曲面积分在热传导中的应用第九章：常微分方程入门常微分方程的基本概念与解法常微分方程的定义与分类分离变量法与齐次方程法一阶线性微分方程的解法高阶微分方程与常微分方程组高阶微分方程的解法常微分方程组的概念与解法常微分方程在物理中的应用第十章：级数与幂级数级数的定义与性质级数的基本概念级数的运算法则级数的比较判别法幂级数的收敛性与展开幂级数的收敛半径幂级数的展开幂级数的应用函数项级数与傅里叶级数函数项级数的定义与性质函数项级数的收敛性傅里叶级数的基本概念与性质。
高等数学基础教材上册目录
高等数学基础教材上册目录【高等数学基础教材上册目录】第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的定义与求导法则2.2 函数的微分与近似计算2.3 高阶导数与高阶微分第三章：一元函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的图像与曲线的凸凹性3.3 驻点与拐点的判定方法第四章：多元函数及其微分学4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数第五章：一元函数积分学5.1 不定积分与不定积分法5.2 定积分的概念与性质5.3 定积分的计算方法第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 三重积分的概念与性质6.3 曲线积分与曲面积分第七章：常微分方程7.1 一阶常微分方程与初值问题7.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3 高阶线性齐次微分方程第八章：级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 幂级数的收敛半径与和函数8.3 函数的泰勒展开与幂级数展开第九章：常微分方程的级数解法9.1 二阶微分方程的级数解法9.2 非齐次线性微分方程的级数解法9.3 常微分方程组的级数解法第十章：线性代数基础10.1 向量与矩阵的基本概念与运算10.2 线性方程组的解法与矩阵的初等变换10.3 矩阵的特征值与特征向量第十一章：线性方程组与矩阵的应用11.1 矩阵的相似对角化与对角化的应用11.2 线性方程组稳定性分析11.3 矩阵的二次型与正定性判定第十二章：多元函数的泛函分析12.1 标架空间与线性空间的性质12.2 置换算子与对称变换的特征值问题12.3 点集拓扑与连续映射第十三章：傅里叶级数与傅里叶变换13.1 傅里叶级数的基本概念与性质13.2 傅里叶级数的收敛与满足条件的函数展开13.3 傅里叶变换的基本概念与性质第十四章：常微分方程的变分法14.1 非定常泛函与泛函极值问题14.2 欧拉方程与最小作用量原理14.3 约束条件下的变分问题第十五章：偏微分方程的基本理论15.1 偏微分方程基本概念与分类15.2 二阶线性偏微分方程的特征方程与性质15.3 分离变量法与定解问题的解法这是《高等数学基础教材上册》的目录，让我们逐步深入了解高等数学的各个领域与概念。
高等数学教材前三章
高等数学教材前三章第一章：函数与极限高等数学是大学数学的一门重要课程，旨在帮助学生理解和掌握高级数学的基本概念和方法。
而高等数学教材的前三章主要涵盖了函数与极限的内容。
1.1 函数的概念及性质函数是数学中的重要概念，它描述了数之间的依赖关系。
函数由自变量和因变量组成，自变量取值的变化会导致因变量相应地改变。
在这一章节中，将介绍函数的定义、函数的图像、函数的性质以及一些常见函数的分类和图像特征。
1.2 极限的概念极限是函数与数列中的重要概念，它描述了数值序列或函数值在某一点附近的趋势。
极限的概念是高等数学中的基础，它对于解决各种数学问题具有重要意义。
本节重点介绍函数的极限概念，包括函数极限的定义、性质以及常见的计算方法。
1.3 极限的运算法则极限的运算法则是数学中的重要工具，通过运算法则可以简化复杂极限的计算过程。
本节将介绍函数极限的四则运算法则、复合函数极限的计算以及无穷小量的运算法则。
第二章：导数与微分导数是微积分中的重要概念，描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质，在解决实际问题和数学推理中发挥着重要作用。
2.1 导数的概念导数是函数变化率的度量，它反映了函数在一点处的瞬时变化情况。
本章节将介绍导数的定义和性质，通过求导数可以帮助我们了解函数的变化规律以及优化问题求解。
2.2 导数的计算方法求导是解决导数问题的核心环节。
本节将介绍一些基本导数公式，例如多项式函数的导数、三角函数的导数以及常见初等函数的导数公式。
此外，还将介绍一些常见函数求导的方法，如导数的四则运算、链式法则和隐函数求导法则等。
第三章：微分中值定理与应用微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某种条件下存在特殊点的性质。
微分中值定理不仅具有理论上的重要性，还在实际问题的求解中起到关键作用。
3.1 弗格罗定理弗格罗定理是微分中值定理的基本形式，它给出了函数在某个闭区间内存在一点，使得该点的切线斜率与该区间的平均斜率相等。
高等数学教材第一章
高等数学教材第一章高等数学是大学生必修的一门重要课程，它是建立在中学数学基础之上，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力起着重要作用。
本文将对高等数学教材的第一章进行详细介绍，包括内容概述、重要概念、知识点总结等方面。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是数学中常见的一种关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
在第一章中，我们先介绍了函数的定义和表示方法，重点掌握函数的定义域、值域和图像的概念。
另外，我们还学习了一些常见的函数，如一次函数、二次函数、指数函数等，并深入研究了它们的性质和图像特点。
1.2 极限的概念与性质极限是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某个点或无穷远处的趋势。
在本章中，我们首先引入了点的邻域和函数极限的定义，并学习了函数极限的性质。
同时，我们还介绍了一些常见的极限计算方法，如利用夹逼定理、洛必达法则等来求解极限问题。
1.3 连续与间断在第一章的最后一节，我们研究了函数的连续性和间断点的概念。
通过对函数连续性的讨论，我们可以判断函数在某个点的连续性，并进一步研究函数的间断点类型，如可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。
了解函数的连续性和间断点的性质，对于我们后续学习函数的性质和应用有着重要的指导作用。
总结：高等数学教材的第一章主要介绍了函数与极限的基本概念和性质。
通过学习这一章的内容，我们不仅可以掌握函数的定义和表示方法，还能深入理解函数的图像特点和性质。
同时，研究函数的极限可以帮助我们了解函数在某一点的趋势，为后续的微积分学习打下基础。
此外，通过对函数连续性和间断点的讨论，我们可以判断函数的局部性质，并为函数的应用提供合理的数学理论依据。
高等数学教材的第一章为我们打开了数学的大门，为我们后续学习的深入和应用提供了坚实的基础。
新编高等数学第一章
1.1 函数及其性质
当自变量x遍取D的所有数值时，对应的函数值f（x）的全体构成的集合称为函数f的值域， 记为M，即M={y|y=f（x）,x∈D}，由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定 函数的两个必不可少的要素.也就是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个 函数就是相同的函数. 【例】 f(x)=sin2x+cos2x与g(x)=1是相同的函数；而f(x)=lnx2与g(x)=2lnx不是相同的函数.
1.1 函数及其性质
下面给出反函数的具体定义： 定义1.2 设函数y=f（x），其定义域为D，值域为M，如果对于任意 y∈M，由函数关系式y=f（x）恰好唯一确定出一个x∈D与之对应，那么 认为x是y的函数，记作x=g（y），我们称上述的y=f（x）与x=g（y）互 为反函数，习惯上将x=g（y）记作x=f-¹（y），习惯上常用x表示自变量， y表示因变量，故常把y=f（x）的反函数写作y=f-¹（x），由反函数的定 义知，在定义区间上单调的函数必有反函数．
1.1 函数及其性质
对函数y=f（x）（x∈D），若取自变量x为横坐标，因 变量y为纵坐标，则在平面直角坐标系xOy中就确定了 一个点x,y.当x遍取定义域D中的每一个数值时，平面上 的点集C={（x,y）y=f（x）,x∈D}，称为函数y=f（x） 的图像（见图1-1）. 若自变量在定义域内任取一个数值，对应的函数值总是 唯一的，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.
1.2.1基本初等函数 中学学过的常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称 为基本初等函数.这些函数中的多数函数我们比较熟悉，这里只做简要复习.
（1）常量函数.y=C（C为常数），该函数的定义域为 （-∞,+∞）,图像为过点（0,C）且平行于x轴的直线.
大学高等数学第一章函数
大学高等数学第一章函数函数是数学中的基础概念之一，广泛应用于各个学科领域。
本文将从函数的定义、分类和性质等方面进行论述，并探讨函数在现实生活和学术研究中的应用。
一、函数的定义函数是一种映射关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素。
简单来说，函数就是一种输入和输出之间的关系。
数学上常用 f(x) 表示函数，其中 x 是自变量，f(x) 是函数的值。
二、函数的分类函数可以按照不同的变量类型进行分类，常见的分类包括：1. 数字函数：自变量和函数值都是实数的函数，如 f(x) = 2x + 1。
2. 向量函数：自变量是实数，函数值是向量的函数，如 f(t) = (cos t, sin t)。
3. 多元函数：自变量是多个实数，函数值是实数的函数，如 f(x, y) = x^2 + y^2。
4. 参数方程：自变量是参数，函数值是一组参数对应的点的坐标，如 x = 2t, y = 3t。
三、函数的性质函数具有以下一些重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
2. 奇偶性：如果对于定义域内的任意 x，满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果满足 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
3. 单调性：如果对于任意的 x1 和 x2，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，则函数是递增函数；如果满足 f(x1) > f(x2)，则函数是递减函数。
4. 对称轴和顶点：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴是 x = -b/2a，顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
四、函数的应用函数在现实生活和学术研究中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 物理学：函数用于描述运动过程中的位移、速度和加速度等物理量的关系。
2. 经济学：函数被用于模拟经济行为和预测市场走势，如供求函数、收益函数等。
高等数学自学教材目录
高等数学自学教材目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的分类1.1.3 函数的图像与性质1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限存在的判定方法第二章导数与微分2.1 导数的定义与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的性质与运算法则2.1.3 导数存在的条件2.2 微分的概念与应用2.2.1 微分的定义2.2.2 微分的应用：局部线性化与近似计算 2.2.3 高阶导数与高阶微分第三章微分中值定理与导数应用3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凹凸性3.2.1 函数的单调性及其判定方法3.2.2 曲线的凹凸性及其判定方法3.3 各种中值定理的应用3.3.1 利用中值定理证明不等式3.3.2 利用中值定理证明函数性质第四章不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的基本性质与运算法则4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质与运算法则4.3 牛顿-莱布尼茨公式与变限积分4.3.1 牛顿-莱布尼茨公式的推导与应用4.3.2 变限积分的概念与性质第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念与解法5.1.1 微分方程的定义与分类5.1.2 一阶常微分方程的解法5.1.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 5.2 高阶线性常系数微分方程5.2.1 特征根与齐次线性微分方程的解5.2.2 叠加原理与非齐次线性微分方程的解 5.2.3 欧拉方程及其特解的求法第六章无穷级数6.1 数项级数的概念与性质6.1.1 数项级数的定义6.1.2 数项级数的收敛与发散6.1.3 常用数项级数的性质6.2 幂级数与泰勒级数6.2.1 幂级数的概念与性质6.2.2 幂级数的收敛域与求和6.2.3 泰勒级数的推导与应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与性质7.1.1 多元函数的定义7.1.2 多元函数的极限与连续性 7.1.3 多元函数的偏导数与全微分 7.2 方向导数与梯度7.2.1 方向导数的概念与计算7.2.2 梯度的定义与性质7.2.3 梯度的应用与几何意义7.3 隐函数与参数方程7.3.1 隐函数定理与求导公式7.3.2 参数曲线方程与对弧长的求解第八章重积分8.1 二重积分的概念与性质8.1.1 二重积分的定义8.1.2 二重积分的计算与性质8.1.3 二重积分的应用8.2 三重积分与坐标变换8.2.1 三重积分的定义与计算8.2.2 三重积分的性质8.2.3 坐标变换与积分域的变换第九章曲线积分与曲面积分9.1 第一类曲线积分9.1.1 第一类曲线积分的概念与性质 9.1.2 第一类曲线积分的计算9.2 第二类曲线积分9.2.1 第二类曲线积分的概念与性质9.2.2 第二类曲线积分的计算9.3 曲面积分9.3.1 曲面积分的概念与性质9.3.2 曲面积分的计算与应用第十章空间解析几何10.1 空间直线与平面的方程10.1.1 点、直线与平面的方程10.1.2 直线与平面的位置关系与夹角 10.2 空间曲线与曲面10.2.1 参数方程与直纹面10.2.2 旋转曲面与曲线的切线与法平面 10.3 二次曲面与空间直角坐标系10.3.1 二次曲面的方程与图像10.3.2 空间直角坐标系第十一章向量代数与空间解析几何11.1 向量的概念与运算11.1.1 向量的定义与性质11.1.2 向量的线性运算与数量积11.2 平面与空间解析几何11.2.1 向量方程与点、向量与直线的位置关系 11.2.2 点、向量与平面的位置关系与夹角11.3 空间平面与直线的方程11.3.1 空间平面的方程11.3.2 空间直线的方程与位置关系第十二章广义重积分12.1 重积分的概念与性质12.1.1 重积分的定义12.1.2 重积分的性质与计算12.2 多元函数的均值与中值定理12.2.1 平均值定理与均值公式12.2.2 中值定理与均值不等式12.3 可积函数与不可积函数12.3.1 可积函数与不可积函数的定义12.3.2 可积函数的判定与性质第十三章常微分方程初值问题的解法13.1 齐次线性常微分方程13.1.1 一阶齐次线性常微分方程的解法13.1.2 二阶齐次线性常微分方程的解法13.1.3 高阶齐次线性常微分方程的解法13.2 非齐次线性常微分方程13.2.1 一阶非齐次线性常微分方程的通解与特解 13.2.2 二阶非齐次线性常微分方程的通解与特解 13.3 可降阶的高阶常微分方程13.3.1 可降阶的高阶常微分方程的解法13.3.2 高阶常微分方程的特解与通解第十四章偏微分方程14.1 偏导数与偏微分方程的概念14.1.1 偏导数的定义与性质14.1.2 偏微分方程的定义与分类14.2 常见偏微分方程的解法14.2.1 齐次线性偏微分方程的特征曲线法14.2.2 分离变量法与变数分离法 14.3 热传导方程与波动方程14.3.1 热传导方程的解法与应用 14.3.2 波动方程的解法与应用。
高等数学11 第一节 函数的概念和性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存 在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是 相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.
高等数学教材全套
高等数学教材全套第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质高等数学教材的第一章，介绍了函数的基本概念和性质。
函数是一种数学关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数的性质包括定义域、值域、单调性等等。
1.2 极限的概念与性质极限是高等数学中的重要概念，用来描述函数在某一点上的趋势。
本节讲解了极限的定义和性质，如左极限、右极限、无穷大极限等。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与计算导数是函数变化率的度量，描述了函数在某一点上的斜率或变化速度。
本节介绍了如何计算函数的导数，并讲解了常用的求导法则。
2.2 微分的概念与计算微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点附近的局部线性近似。
本节讨论了微分的定义和计算方法。
第三章：积分与常微分方程3.1 定积分的概念与性质定积分是通过对函数曲线下的面积进行求和来描述曲线与坐标轴之间的关系。
本节讲解了定积分的概念、性质和计算方法。
3.2 不定积分的概念与性质不定积分是定积分的逆运算，可以用来求解函数的原函数。
本节介绍了不定积分的定义和计算方法。
3.3 常微分方程的基本概念与解法常微分方程是描述自然现象中变化规律的数学模型。
本节讨论了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程、高阶微分方程等。
第四章：级数与幂级数4.1 数列极限的概念与性质数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的，数列的极限描述了数列随着项数增加而趋于的值。
本节介绍了数列极限的概念和性质。
4.2 级数的概念与性质级数是将数列的各项按照一定的顺序进行求和得到的数列之和。
本节讨论了级数的概念、性质和判敛法则。
4.3 幂级数的概念与性质幂级数是一种特殊的级数，它将各项幂次递增的多项式按照一定的顺序进行求和得到的函数。
本节讲解了幂级数的概念和性质。
第五章：多元函数微积分学5.1 多元函数的概念与性质多元函数是包含多个自变量的函数，它描述了多个变量之间的关系。
本节介绍了多元函数的定义、性质和图像表示法。
大一高数第一二章知识点总结
设备科工作人员职责范文1. 负责设备的日常维护和保养，包括设备的检修、清洁和润滑，确保设备的正常运行。
2. 及时处理设备故障和问题，调试设备并修复故障，确保设备能够正常工作。
3. 制定设备维护计划和维修方案，监督和指导设备维修工作人员进行维护和维修。
4. 负责设备的备件采购、库存管理和使用情况的记录，确保备件的及时供应和适量储备。
5. 按照规定对设备进行定期检验和检测，确保设备的安全运行。
6. 配合相关部门进行设备的改进和改造，提出设备更新和技术升级的建议。
7. 做好设备的档案管理工作，包括设备清单、维护记录、维修记录等的整理和归档。
8. 参与设备的日常巡检和保养，发现问题及时进行处理，确保设备的高效运行。
9. 培训相关人员正确使用和保养设备，提高设备的工作效率和安全性。
10. 配合上级进行各项设备管理工作的执行，并及时向上级汇报工作进展和问题。
这些职责模板可根据具体的工作环境和设备科工作的要求进行适当调整和个性化。
设备科工作人员职责范文（2）设备科工作人员是一个机构或企业中负责设备管理和维护的重要部门。
他们负责设备的日常运行、故障处理、维护保养以及新设备的采购和安装。
为了更好地了解设备科工作人员的职责，以下将详细阐述其工作职责的范文，希望能对您有所帮助。
一、设备管理与维护设备科工作人员负责管理和维护机构或企业的各类设备，确保其正常运行和安全性。
具体职责包括：1. 定期检查设备，确保设备的正常运行，预防和解决设备故障。
2. 对设备进行维护保养，定期进行清洁、润滑、更换易损件等工作，延长设备的使用寿命。
3. 制定设备维修计划和保养计划，确保设备的长期可靠运行。
4. 协助制定设备购置计划，参与设备的选型、采购和安装。
5. 使用设备管理软件进行设备台账的建立和维护，记录设备的基本信息、维护记录和故障历史。
6. 建立设备管理制度和操作规程，推动设备管理工作的规范化和科学化。
二、设备故障处理与修复设备科工作人员负责设备故障的处理和修复，确保设备故障能够及时得到解决。
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图1
如图1.
2.表格法 2.表格法 例3 某炼钢厂上半年生产的钢产量如下表，这里 的时间T(月)和产量Q(吨)之间是两个相互依赖的 变量.
时间（月） 产量（吨） 1 1032 2 1024 3 1027 4 1038 5 1057 6 1047
2.初等函数 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 或有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个解析 式表示的函数称为初等函数. 如 y = ln (1 + x 2 ) , y = sin ln x 2 + 3 等都是初等函 数.
在工程技术中常常用到双曲函数,其定义如下: 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切
0
当自变量 x 取数值 x0 ∈ D f 时,与 x0 对应的 y 的
为Zf . 函数的两要素:定义域 D f 和对应法则 f .如果 两个函数具有相同的定义域和对应法则,那么它 们是相同的函数.
例1 下列函数是否相同，为什么？
(1) f ( x ) = 2 lg x, g ( x ) = lg x 2 ( 2) f ( x ) = x , g ( x ) = x 2
二、初等函数 1.基本初等函数 1.基本初等函数 ⑴ 幂函数 y = x µ ( µ 为实数); ⑵ 指数函数 y = a x ( a 是常数且 a > 0, a ≠ 1); ⑶ 对数函数 y = log a x ( a 是常数且 a > 0, a ≠ 1); ⑷ 三角函数 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; ⑸ 反三角函数 y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x
x ∈ D ,变量 y 都有唯一确定的数值与之对应,则
称变量 y 是变量 x 的函数,记为
y = f称为因变量.集合 D 称为函 数的定义域,记为 D f .
值称为函数 y = f ( x ) 在点 x0 处的函数值,记为f (x0 ) 或 y x = x ,函数值组成的数集称为函数的值域,记
cosh x − sinh x = 1; sinh ( x ± y ) = sinh x ⋅ cosh y ± cosh x ⋅ sinh y; cosh ( x ± y ) = cosh x ⋅ cosh y ± sinh x ⋅ sinh y;
2 2
cosh 2 x = cosh 2 x + sinh 2 x; sinh 2 x = 2 sinh x ⋅ cosh x.
第一节 函数及其性质
一、函数的概念 二、函数的表示法 三、函数的几种特性
一、函数的概念 1.常量与变量 1.常量与变量 在某过程中不发生变化而保持一定数值的 量称为常量;在某过程中可以取不同数值的量称 为变量.常量通常用字母 a, b, c 等表示,变量通常 用字母 x, y, z 等表示.
2.函数的概念 2.函数的概念 定义1 定义1 设x, y 是两个变量, D 是一个给定的数 集.如果有一个对应法则 f ,使得对于每一个数值
二、函数的表示法 1.解析法 1.解析法 例2 作自由落体运动的物体下落时间为 t ,下落的 距离为 s,假定开始下落的时刻为 t = 0,那么 s与 t 之间的依赖关系由下式给出:
1 2 s = gt 2
当时间t 变化时,距离 s 作相应的变化.
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一 个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解 析式表示,这成为分段函数.如符号函数
三、反函数与隐函数 1.反函数 1.反函数 设 y = f ( x )是定义在 D f上的一个函数,其值域 为Z f .如果对每一数值 y ∈ Z f ,有确定的且满足 y = f ( x ) 的数值 x ∈ D f 与之对应,其对应法则记为 −1 −1 f ,则定义在 Z f上的函数 x = f ( y )称为函数 y = f ( x ) 的反函数. 习惯上用 x表示自变量, y 表示因变量,故常把 −1 y = f ( x )的反函数记为y = f ( x ) .
3 3
在函数的定义中,规定了对于变量 x 的每一个 数值,变量 y 有唯一确定的数值与之对应,这样的 函数称为单值函数;如果变量 y 有两个或更多个确 定的数值与之对应,就称 y 是 x 的多值函数,我们 主要研究单值函数.
三、函数的几种特性 1.函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 设函数 y = f (x )的定义域 D f 关于原点对称,对于
注 ①奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像
②一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数, 如函数 y = x 3 + x 2 .
2.函数的周期性 2.函数的周期性 设函数 y = f (x ) 的定义域为D f ,如果存在一个 常数 T ≠ 0 ,使得对任意 x ∈ D f 有 x ± T ∈ D f ,且 f ( x ± T ) = f ( x ) ,则称函数 f ( x )为周期函数, T 称为f ( x ) 的周期. 显然,若 T 是周期函数 f (x ) 的周期,则 kT 也是 f (x )的周期 (k = 1,2,3, L) ,通常说的周期就是最小正 周期. 如函数 y = sin x 和 y = cos x 都是以 2π 为周期的 周期函数.
2.隐函数 2.隐函数 由二元方程 F (x, y ) = 0 确定的二元函数称为隐 函数. 如 x 3 + y 3 − 1 = 0 , sin (xy ) + e x + y = 0 前面学习的形如 y = f ( x ) 的函数称为显函数. 注 有的隐函数可以改写为显函数的形式,如
x + y − 1 = 0 的显函数形式为 y = 3 1 − x 3 .而有的 隐函数则不能改写成显函数的形式,如 sin (xy ) + e x + y = 0 .把隐函数改写成显函数,叫做隐 函数的显化.
e −e sinh x = ; 2 e x + e−x cosh x = ; 2 sinh x e x − e − x tanh x = = x −x ; cosh x e + e cosh x e x + e − x coth x = = x −x . sinh x e − e
x −x
关于双曲函数的一些恒等式：
对每个月份T,都有唯一一个与T 相应的产量Q .
3.图像法 3.图像法 例4 某自动记录仪记录的某电容放电的电容情况, 如图2所示的曲线.
图2
根据此曲线,就可知道某电容随时间的变化情 况.
任意的 x ∈ D f ,若 f (− x ) = − f (x ) ,则称f ( x ) 为奇函数; 若 f (− x ) = f (x ) ,则称 f ( x )为偶函数. 关于 y 轴对称;
解 ⑴ f (x )与g (x ) 不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f (x)与g (x) 是相同的函数,因为定义域与对应 法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能 大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
形关于直线 y = x 对称.
注 函数 y = f (x )与其反函数 y = f −1 (x ) 的图
例2 求 y = 7 x + 2 的反函数.
y−2 解 由 y = 7x + 2 得 x = 7 x−2 交换 x 和 y ,得 y = 7 x−2 所以 y = 是 y = 7 x + 2 的反函数. 7
3.函数的单调性 3.函数的单调性 设函数 y = f (x )在区间 I 上有定义,对 I 内的任 意两点 x1 , x2 ,当 x1 < x2时,若有 f ( x1 ) < f (x2 ) ,则称 f ( x ) 在 I 上是单调增加的;若有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则称 f ( x )在 I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 . 如函数 y = ln x在(0,+∞ ) 内是单调增加的,函数 y = − x 在(− ∞,+∞ )内是单调减少的.
注 只有当 D f ∩ Zϕ ≠ φ 时,复合函数 y = f [ϕ (x )]
才有意义.如 y = cos x − 9 无意义,因为内函数的 值域与外函数的定义域没有公共部分,不能复合.
例1 函数 y = arctan x 合而成的?
(
)
2
是有哪些较简单的函数复
解 是由 y = u 2 , u = arctan v, v = x 三个较简单的 函数复合而成的.
第二节
初等函数
一、复合函数 二、初等函数 三、反函数与隐函数
一、复合函数 定义2 定义2 设 y 是 u的函数 y = f (u ),而 u 又是 x 的 函数 u = ϕ ( x ).如果对于ϕ (x ) 的定义域中某些 x值所 对应的 u 值,函数 y = f (u )有定义,则 y 通过 u 也成 为x 的函数,称为由 y = f (u )及 u = ϕ ( x )复合而成的 复合函数,记为 y = f [ϕ ( x )] ,其中 u 称为中间变量.
4.函数的有界性 4.函数的有界性 设函数 y = f (x )在区间 I 上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有 x ,恒有 f ( x ) ≤ M , 则称函数 f ( x )在区间 I 上有界.如果这样的 M 不存 在,则称 f ( x )在区间 I 上无界. 如函数 y = sin x 在区间(− ∞,+∞ )内是有界的. 这是因为对于任意的 x ∈ (− ∞,+∞ ) 都有 sin x ≤ 1 成 3 立.而函数 y = x 在区间(− ∞,+∞ )内是无界的.