函数的15种求值方法
数学21种解题方法与技巧全汇总太实用
数学21种解题方法与技巧全汇总太实用解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：解一些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论恒相等成立的有用条件(1)a某+b=0对于任意某都成立关于某的方程a某+b=0有无数个解a=0且b=0。
概述初中数学三角函数值的计算方法
概述初中数学三角函数值的计算方法1三角函数求值的计算方法1.1利用三角函数的定义1.2 三角函数具有六种基本函数：正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y1.3 一些特殊的三角函数值：Sin=1/2; sin=;sin=Cos=;cos=;cos=1/2tan=;tan=1;tan=1.4 三角函数的基本展开公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos (A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos (A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 三角函数求最值最近几年，高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值，常见题型有三种：给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值；考察三角变换问题；三角形中的求值问题。
解上述三种类型题应注重四点：要严格讨论角的范围；选择的公式与解题方向必须吻合；要熟悉变换方向；要掌握变换技巧。
三角函数的最值有以下几种求法：利用二次函数求最值，利用三角函数的有界性求最值，换元法求最值。
3 如何学好三角函数数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等五类。
相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中。
这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈几点认识。
3.1根据学习目标和任务精选例题例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识、应用知识、巩固知识，莫过于训练数学技能、培养数学能力、发展数学观念。
函数的15种求值方法
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
三角函数求值-教师版 (1)
三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】(1)“给角求值”例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
【分析】将切函数化成弦函数，3转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。
解：原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000- =000060cos 10cos 50sin 40sin -⋅ =160cos 10cos 280sin 000-=⋅- [点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系注意特殊值象1、3等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。
练习1:tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=00020cos 40sin 220sin +=000020cos 40sin 10cos 30sin 2+=00020cos 40sin 80sin + =320cos 20cos 60sin 2000= 练习2、（1）化简;︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）求值： .解：（1）原式()︒-︒-︒︒︒-︒+︒=20cos 20180sin 20cos 20sin 220cos 20sin 222()120cos 20sin 20sin 20cos 20cos 20sin 20cos 20sin 20cos 20sin 20cos 20sin 2-=︒-︒︒-︒=︒-︒︒-︒=︒-︒︒-︒= （2）原式 练习3：求()00001tan21tan24tan21tan24++⋅ ︒︒+︒+︒50tan 10tan 350tan 10tan ()()350tan 10tan 350tan 10tan 15010tan =︒︒+︒︒-︒+︒=()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+⋅+++练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值 技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二 设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21， x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =41， 即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°41 （2）“给值求值”：常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=, )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4(24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值解：法一：由已知21tan ,3tan 1tan 1=⇒=-+θθθ sin2θ-2cos 2θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=54tan 12tan 22-=+-θθ 法二：sin2θ-2cos 2θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(θπ22+)-sin(θπ22+)-1 =541)4(tan 1)4tan(2)4(tan 1)4(tan 1222-=-+++-+++--θπθπθπθπ [点评] “给值求值” 法一,由tanθ的值，利用齐次式求值。
高考数学三角函数求值历年真题精讲2024
高考数学三角函数求值历年真题精讲2024一、简介高考数学中，三角函数求值是一个重要的考点，也是学生容易出错的地方。
本文将通过精讲2024年历年真题，详细介绍三角函数求值的方法和技巧。
二、问题一2024年高考数学真题中的第一道三角函数求值题目如下：已知角A的终边经过点P(-3,4)，且在第二象限，求sinA和tanA 的值（结果保留两位小数）。
解析：首先根据点P的坐标(-3,4)在第二象限，可以得知该角的终边位于单位圆上，并且与x轴的夹角为A。
其次，根据sinA的定义，sinA = y/r = 4/5 = 0.80。
最后，根据tanA的定义，tanA = y/x = 4/-3 ≈ -1.33。
三、问题二2024年高考数学真题中的第二道三角函数求值题目如下：已知cosA = -1/3，且角A的终边经过点Q，求点Q的坐标。
解析：根据cosA的定义，cosA = x/r，代入已知条件可得-1/3 = x/r。
由于终边经过点Q，所以终边与x轴的夹角A为180°，即角A 是反余弦函数的特解。
通过求解反余弦函数可得，A = arccos(-1/3) ≈ 109.47°。
根据单位圆的性质，r = 3，所以可以得到坐标点Q(x,y) = (3cosA, 3sinA) ≈ (-1, √8)。
四、问题三2024年高考数学真题中的第三道三角函数求值题目如下：已知sinB = 3/5，且角B的终边经过点R，求点R的坐标。
解析：根据sinB的定义，sinB = y/r，代入已知条件可得3/5 = y/r。
由于终边经过点R，所以终边与x轴的夹角B为逆时针方向的特解。
通过求解反正弦函数可得，B = arcsin(3/5) ≈ 36.87°。
根据单位圆的性质，r = 5，所以可以得到坐标点R(x,y) = (5cosB, 5sinB) ≈ (4, 3)。
五、问题四2024年高考数学真题中的第四道三角函数求值题目如下：已知tanC = -√3，且角C的终边经过点S，求点S的坐标。
数学解决函数问题的常用方法和技巧
数学解决函数问题的常用方法和技巧函数是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于各个领域。
解决函数问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们更好地理解和应用函数。
本文将介绍一些常见的数学解决函数问题的方法和技巧。
一、函数的定义和性质在解决函数问题之前，我们首先要了解函数的定义和性质。
函数是一个映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
了解函数的定义和性质，是解决函数问题的基础。
二、函数的图像和性态分析在解决函数问题时，图像和性态分析是常用的方法之一。
我们可以通过绘制函数的图像，来观察函数的特点。
图像的斜率可以帮助我们判断函数的增减性；图像的凹凸性可以帮助我们判断函数的凹凸区间；图像的交点可以帮助我们找到函数的解等等。
通过对函数的图像进行分析，可以更好地理解和解决函数问题。
三、函数的求值和化简在解决函数问题时，求值和化简也是常用的方法之一。
我们可以通过给定的条件，将问题转化为函数的求值或者化简问题。
对于给定函数，我们可以通过给定的输入值来求解函数的输出值。
当函数含有复杂的表达式时，可以通过化简的方法，将函数转化为更简单的形式。
求值和化简可以帮助我们更好地处理函数问题。
四、函数的求导和积分函数的求导和积分是解决函数问题的重要方法之一。
求导可以帮助我们研究函数的变化趋势和极值点；积分可以帮助我们计算函数的面积和曲线长度。
对于给定的函数，我们可以通过求导和积分的方法，快速求解函数的一些性质和问题。
函数的求导和积分是高级数学中的重要内容，掌握这些方法可以帮助我们更高效地解决函数问题。
五、函数的递推和逆运算在解决函数问题时，递推和逆运算也是常用的方法之一。
递推是指通过递归的方式，根据已知的条件来逐步推导出未知的结果。
递推常用于函数的数列和递归定义的问题。
逆运算是指通过反向推导的方式，从给定的结果反推出函数的输入。
逆运算可以帮助我们确定函数的逆函数等。
递推和逆运算是一种思维方式，掌握这些方法可以帮助我们更灵活地解决函数问题。
三角函数求值及角度方法(高考必考)
三角函数求值及求角的方法(高考必考)必背公式（一）、和角与差角公式：（1）、sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；（2）、cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= （3）tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanα∙tanβ（二）二倍角公式sin 22sin cos ααα=；22cos2cos sin ααα=-.＝22cos1α- ＝212sin α- 22tan tan 21tan ααα=- （三）、诱导公式:（有分母且分母为2的，变函数名，符号看象限） 公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cosα 公式二：sin(－α)＝−sinα，cos(－α)＝cosα 公式三：sin(π＋α)＝−sinα，cos(π＋α)＝−cosα 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝−cosα. 公式五：sin(π2−α)＝cosα，cos(π2−α)＝sin α.公式六：sin (π2+α)=cosα，cos(π2+α)＝-sin α.sin (3π2+α)=−cosα，cos(3π2+α)＝sin α.公式同样适用正切：tan(π＋α)＝tanα，tan(π-α)＝−tanα一、三角函数定义求：设点(),A x y 为角α终边上任意一点：sin yrα=，cos x r α=，tan y x α=（r =）1．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5122、(2017.全国1，15)已知α∈(0，π2)，tanα=2，则cos (α−π4)=___________3、 (2011·江西，14，易)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴． 若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．二、平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan = 例题：已知，计算： （1）； （2）三、角度关系1、已知θ是第一象限角，且536cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，则θsin =2、（2018.全国2，15）已知tan(α−5π4)=15,则tan α=_________3tan =αααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-2)cos (sin αα+3、已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.4.设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为()A. 1225B. 2425C. −2425D. −1225四、凑角1、设都是锐角，且55cos =α，()54cos -=+βα，则=βcos （ ） A 、2552 B 、552 C 、2552和552 D 、255和552、已知tan (α+β)=25，tanβ=13，则tan (α+π4)的值为___________五、倍角公式求值1、(2013·课标Ⅱ，6，易)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.232、(2017.全国三，4)已知sinα−cosα=43，则sin2α=___________六、求角：5、已知α，β都是锐角，若sinα=√55，sin β=√1010,则α+β等于=（）A.π4B.3π4C.π4或3π4D.−π4或−3π46、(2012·全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， c ＝3a sin C －c cos A . 则A 等于 ___________练习：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6 B.－π3 C.π6 D ．π33、已知sin2α=13，则cos 2(α−π4)=A.-13B. 13C. 23D. −234.若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为( ) A.1718B. −1718C.1819D. −18195.已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于( ) A. 13B. ±13C. −19D. 197.(2016·全国2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .则C 等于_________8、(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .则cos A 的值为__________。
函数的表示方法
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.
特别提醒：
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。
函数的表示方法
1、能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；
2、了解简单的分段函数，并能简单应用；
一、函数的常用表示方法简介：
1、解析法
如果函数 中， 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如， =60 ， = ， , 等等都是用解析式表示函数关系的。
答案：D
3.函数 的图像是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
4.已知函数 ，则( )
A、 B、 C、 D、不能确定大小
答案: A
5.如图，已知函数 的图象关于直线 对称，则满足不等式 的实数 的取值范围是。
答案： 或
6.根据函数 ，可以知道， ， ， (横线上填“>”或“<”符号)
答案：
7.设 ，求函数 的最大值。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：
用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：
图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
练习：求函数 y = x2 + 9 + (5 − x)2 + 4 的值域。（答案：｛y|y≥ 5 2 ｝）
九、比例法：
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函 数，进而求出原函数的值域。
例：已知 x,y∈R，且 3x-4y-5=0,求函数 z = x2 + y2 的值域。
例：求函数 y = x - 3 + 2x +1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值， 确定原函数的值域。
解：设 t = 2x +1 （t≥0）,则
x = t2 -1 。 2
于是 y = t2 -1 - 3 + t = (t +1)2 − 4 ≥ 1 − 4 = − 7 .
( )( ) 例：已知 2x2 - x - 3 3x2 + x +1 ≤ 0 ，且满足 x + y = 1，求函数 z = xy + 3x 的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可 求出函数的值域。
解：3x2 + x +1 0 ，上述分式不等式与不等式 2x2 - x - 3 ≤ 0 同解，解之得
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点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值 域。
练习：求函数 y = 3 + 4 - x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形 式，进而求出值域。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全题型一 求函数值：特别是分段函数求值例1 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)].解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34.(2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f [f (1)]＝f (23)＝23＋123＋2＝58.5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f (1x )；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (1x )＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2. (2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. (3)4.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________. 答案 6解析 f (1)＝f (0)＋1＝1＋1＝2，f (2)＝f (1)＋1＝3，f (3)＝f (2)＋1＝4，f (4)＝f (3)＋1＝5，f (5)＝f (4)＋1＝6.二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧1.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。
（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- 〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。
思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。
解答：方法一：∵344ππα<<，3,0.4424ππππαα∴-<-<--<-<又34cos ,sin()4545ππαα⎛⎫-=∴-=-⎪⎝⎭。
又330,.444πππββπ<<∴<+<又35sin()413πβ+=3sin()cos[()]cos[()()]24433cos()cos()sin()sin()444412354362056()()135135656565πππαβαββαππππβαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--⨯-⨯-=+=方法二：3cos()sin()445ππαα-=+= 4,cos()24453533sin(),,41344312cos().4133sin()sin()4433[sin()cos()sin()cos ]44445665πππαπαπππββππβππαβαβππππαββα<+<∴+=-+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=2、三角函数的给值求角问题（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。
计算xlookup求值数量的方法
计算xlookup求值数量的方法
在Excel中，XLOOKUP函数是一种强大的搜索和查找函数，它可以帮助用户快速找到并返回指定条件下的数值。
然而，有时候我们需要计算XLOOKUP函数返回的数值的数量，以便更好地分析和理解数据。
下面我们将介绍一种简单的方法来计算XLOOKUP函数返回的数值数量。
首先，假设我们有一个包含数据的Excel表格，我们想要使用XLOOKUP函数查找特定条件下的数值，并计算这些数值的数量。
我们可以按照以下步骤进行操作：
步骤1，使用XLOOKUP函数查找数值。
首先，在Excel中选择一个空单元格，然后输入XLOOKUP函数的公式。
例如，我们可以输入类似于以下的公式来查找特定条件下的数值：
=XLOOKUP(条件, 查找范围, 返回值范围)。
步骤2，计算返回数值的数量。
一旦我们使用XLOOKUP函数找到了所需的数值，我们可以使用COUNTIF函数来计算这些数值的数量。
COUNTIF函数可以统计符合指定条件的单元格数量。
例如，我们可以输入类似于以下的公式来计算XLOOKUP函数返回的数值数量：
=COUNTIF(查找范围, "条件")。
通过这种方法，我们可以轻松地使用XLOOKUP函数查找特定条件下的数值，并计算这些数值的数量。
这有助于我们更好地理解和分析数据，从而做出更准确的决策。
总而言之，计算XLOOKUP函数返回的数值数量是一项非常有用的技能，它可以帮助我们更好地利用Excel的功能来处理和分析数据。
希望以上方法能够帮助您更好地使用XLOOKUP函数，并更加高效地处理数据。
抽象函数求值
抽象函数求值
抽象函数求值是一种数学方法，它可以用来计算函数的值。
它是
一种抽象的方法，可以用来解决复杂的数学问题。
抽象函数求值的基本原理是，通过抽象函数的定义，可以把一个
复杂的函数分解成一系列的简单函数，然后逐步求解。
这样，就
可以把一个复杂的函数分解成一系列的简单函数，从而求解函数
的值。
抽象函数求值的优点是，它可以解决复杂的数学问题，而且可以
把一个复杂的函数分解成一系列的简单函数，从而求解函数的值。
抽象函数求值的缺点是，它需要花费大量的时间和精力，而且容
易出错。
因此，在使用抽象函数求值时，需要谨慎，以免出现错误。
总之，抽象函数求值是一种有效的数学方法，可以用来解决复杂
的数学问题。
它可以把一个复杂的函数分解成一系列的简单函数，从而求解函数的值。
但是，在使用抽象函数求值时，需要谨慎，
以免出现错误。
自变量和因变量关系的函数求值与绘图
自变量和因变量关系的函数求值与绘图一、函数的概念1.函数的定义：函数是一种数学关系，其中一个变量（自变量）的每一个值都唯一对应另一个变量（因变量）的值。
2.函数的表示方法：解析式、表格、图象等。
二、函数的性质1.单调性：函数在某个区间内，如果随着自变量的增加，因变量也随之增加，则称该函数在该区间内单调递增；如果随着自变量的增加，因变量却减少，则称该函数在该区间内单调递减。
2.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
3.周期性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x+T)=f(x)，其中T是一个常数，则称f(x)为周期函数。
三、函数的求值1.解析式求值：根据函数的解析式，将自变量的值代入，计算得到因变量的值。
2.表格求值：根据函数的表格，查找自变量的值对应的因变量的值。
3.图象求值：根据函数的图象，通过观察图象与坐标轴的交点，得到自变量的值对应的因变量的值。
四、函数的绘图1.解析式绘图：根据函数的解析式，利用描点法或图象平移法，绘制出函数的图象。
2.表格绘图：根据函数的表格，将自变量和因变量的值对应起来，绘制出函数的图象。
3.图象变换：根据函数的图象，通过平移、缩放、翻转等变换，得到所需函数的图象。
五、自变量和因变量的关系1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系，可以用一次函数或反比例函数表示。
2.非线性关系：自变量和因变量之间存在非线性关系，可以用二次函数、指数函数、对数函数等表示。
六、函数的应用1.实际问题建模：将实际问题转化为函数问题，建立函数模型，求解函数的值或绘制函数的图象。
2.函数优化：利用函数的性质，寻找函数的最值或极值，解决实际问题中的最优化问题。
3.选择题：判断下列函数的单调性、奇偶性、周期性。
a)y=2x+1b)y=-x^2c)y=|x|d)y=sin(x)4.填空题：根据下列函数的解析式，求出函数的值。
多个if函数的使用方法
多个if函数的使用方法if函数是一种常见的条件语句，它用于根据不同的条件执行不同的代码块。
在程序设计中，if函数的使用非常重要，可以帮助我们根据不同的条件，来指定不同的操作。
if函数的基本语法如下：if 条件:代码块elif 条件:代码块else:代码块在这个语法中，if后面跟着一个条件表达式，如果该条件表达式为True，则执行紧跟的代码块。
而如果该条件表达式为False，则会依次检查后面的elif条件，如果有某个elif条件为True，则执行对应的代码块。
最后，如果所有的条件都为False，那么会执行else块中的代码。
下面是一个简单的例子，演示了if函数的基本用法：pythonscore = 80if score >= 90:print("优秀")elif score >= 80:print("良好")elif score >= 70:print("中等")elif score >= 60:print("及格")else:print("不及格")在这个例子中，根据不同的分数范围，会输出不同的评价。
除了基本的if函数外，还有其他多种if函数的使用方法，下面我们逐一进行说明。
1. 嵌套if函数在某些情况下，我们可能需要在if函数的代码块中再次使用if函数，这种情况下可以使用嵌套if函数。
嵌套if函数的语法非常简单，就是在if函数的代码块中再次使用一个if函数。
例如：pythonscore = 80if score >= 60:if score >= 70:if score >= 80:print("良好")else:print("中等")else:print("及格")else:print("不及格")这个例子中，根据分数的不同范围，输出不同的评价。
取位数的函数公式
取位数的函数公式取位数的函数公式是一种应用于计算机科学的函数，它的目的是从一个数字中取出其中某一个位数，比如：从一个整数12345中取出它的第四位数字“4”。
取位数的函数公式往往用来对参数进行运算，以计算得出结果。
函数本身取决于输入参数的类型和数量，取位数的函数只需要一个输入参数，即一个数字，而且必须要指定取出它的哪一位数字。
取位数的函数求值计算时，通常使用以下公式：给定一个数字n，要取出其中的第k个位数：f(n,k)=int(n/10^(k-1))%10其中，int函数表示取整函数，即取整数；10^(k-1)表示10的k-1次方；最后的%10表示取模运算，即取余数。
举例来说，若有一个整数n=12345，要取出其中的第四位数字4，可以使用上面的公式求值：f(12345,4)=int(12345/10^3) % 10=int(12.345) % 10=4 另外，还有一种称为“位移”的方法可以实现取位数的目的，它采用的原理是：将原来的数字向右位移，将要取出的位移到最右边，然后再取出最右边的一位数即可。
其公式为：f(n,k)=(n>>(k-1)) & 1其中，n>>(k-1)表示右移n的k-1位，&1表示取模运算，即取余数。
举例来说，若有一个整数n=12345，要取出其中的第四位数字4，则可以使用上面的公式求值：f(12345,4)=(12345>>3) & 1=(12.345) & 1=4通过上面的分析可以发现，取位数的函数公式不仅可以用来取出数字中的某一位数，而且还可以用来进行二进制位移操作，这一功能在计算机科学中十分有用。
例如：用来实现对位进行计算，以优化程序的运行效率等等。
取位数的函数公式的应用非常广泛，它的运用可以提高代码的灵活性与可读性，并可以帮助用户实现一系列简单的数学计算，比如：计算某个数字的绝对值、最大公约数和最小公倍数等等。
函数极限的求法及应用
函数极限的求法及应用摘要：在数学分析中函数极限的运算是最基本的运算之一。
本文结合不同类型的函数极限的实例，给出了九种求法，同时也注明了具体应用时的注意事项。
关键词：函数极限; 数学分析; 求法The Limit of Function Asks The Law and The ApplicationAbstract: In the mathematical analysis limit of function's operation is one of most basic operations.This article unifies the different type the limit of function example, gave nine kinds to ask the law, and simultaneously has also indicated time the concrete application matters needing attention.Key words: Limit of function ； Mathematical analysis ； Solve引言函数极限问题贯穿于整个数学分析中，由此可见函数极限是数学分析中最基本、最重要的内容之一。
求解函数极限的方法有带入求值法、利用两个重要极限、利用迫敛性定理、罗比达法则，而且也会运用一些特殊的方法求解函数极限。
如无穷小量法、恒等变形、泰勒公式法、导数的定义。
下面一一列举九种方法及其应用。
1.代入求值法引理1[]1：在点0x 处()f x 连续,则00lim ()()x x f x f x →==0(lim )x x f x →，则可调换f 与lim x x →的位置。
即在计算连续函数的极限时只需要求解对应的函数值即可。
要想利用代人求值法要满足一个前提：初等函数在其定义域(除去以孤立点集为定义域的函数)上连续。
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在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4. 求函数值域。
解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例5. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。
解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。
解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y>0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作例8. 求函数的值域。
解：因即故可令∴∵∴∴故所求函数的值域为例9. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：可令，则有∴当时，当时，而此时有意义。
故所求函数的值域为例10. 求函数，的值域。
解：令，则由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。
例11. 求函数的值域。
解：由，可得故可令∵∴当时，当时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
[,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址手机版地址]例12. 求函数的值域。
解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10故所求函数的值域为：例13. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例14. 求函数的值域。
解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。
即：y=|AP|-|BP|由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成△ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例14的A，B 两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在x轴的同侧。
9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例15. 求函数的值域。
解：原函数变形为：当且仅当tanx=cotx即当时，等号成立故原函数的值域为：例16. 求函数y=2sinxsin2x的值域。
解：y=4sinxsinxcosx当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：故原函数的值域为：10. 映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。
故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例17. 求函数的值域。
解：∵定义域为由得故或解得故函数的值域为11．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
[,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址手机版地址]例18.已知,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵，上述分式不等式与不等式同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得(-1≤x≤3/2),∴且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
12.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例19.求函数的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。
设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,,。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
13．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例20.已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，。
函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
14．利用多项式的除法例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
15. 多种方法综合运用例22. 求函数的值域。
解：令，则（1）当t>0时，，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例23. 求函数的值域。
解：令，则∴∴当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。