关于正整数的k次方部分数列均值研究
正整数的k次方部分数列的均值估计
式 （ ） （） Ｒｅ ｎ ｔ一 １ 中： ｓ 是 ｉ ｎｚａ 函数 ； ｍａ ｅ Ｐ是素 数 。结 合式 （ ） Ｐｒ ｎ公 式 ， ｓ ＝ ０，ｂ ＝ ４ １ 及 ｅｒ ｏ 设 ０ ｒ＋
（㈩） ｏ ＝ ＾
㈩） ＝
４ 二个引理
ｂ（ ）＝ ｎ｛ｚ ｍ ． ∈Ⅳ ） 其 中 ∈ Ｎ ， ＾／ ２ ｍｉ ， ７ ≥ ｍ ｛ ，
ｋ≥２ 称 ｎ （ ） ， ｎ 表示不 超过 ｎ的最大 次方部 分 ， 亦 称为下 部 ｋ次 幂 部分 数 列 ， ｂ（ ）表 示不 小 于 ｎ 称 ｎ
的最小 次 方 部 分 ， 成 为上 部 次 幂 部 分 数 列 。 亦
＋（ ０
＋ 卟
）
（） ３
吾有 ，
）震 ＝
） 。） ＋ （ 华
（） ２
计算 线积分 ， ｓ＝４ ＋ ３ ±ｉ ｌ 从 ｒ Ｔ￣ Ｊ ｓ：４ ｒ＋ ±ｉ 取 Ｔ ＝ 被 积 函数 为 （ Ｔ， ｓ一４ ） （） ｒＲ ｓ 。
为 了完成定 理 的 证 明 ， 我们 需 要 下 面 一个 简 单
引理 ：
在 二 阶枝 点 ｓ＝ ４ ｒ＋１处 有 一 阶极 点 ， 留数 为
堡 ± （！
４ ＋１ ｒ 。
引理 １ 对任 意实数 ≥１ Ｉ ｒ Ｅ ｒ＞２ 我们有 ， ，，Ｅ １ ， ｔ ， Ｎ，
对 于任何 正整 数 ｎ， ｈ 当 ≤ 凡 ＜ （ ＾＋１ 时 ， ） ０（ ） ＝ ｈ 当 ｈ ＜ ｎ ≤ （ ／ ２ ， ｈ＋１ ，ｂ（ ） ＝ ） ｎ
２０ ０ ９年 １ 月 ０ 日收 到 １ ２ 国 家 自然 科 学 基 金项 目 （０ ７０ ３ 、 １２ １９ ）
K均值算法的基础原理(Ⅰ)
K均值算法的基础原理K均值算法是一种常用的聚类算法，它能够将数据集中的数据点划分为几个不同的类别，使得同一类别内的数据点相互之间的相似度较高，而不同类别之间的数据点相互之间的相似度较低。
这种算法在数据挖掘、模式识别等领域有着广泛的应用，因此了解K均值算法的基础原理对于理解数据分析和机器学习具有重要意义。
1、初始聚类中心的选择K均值算法的第一步是随机选择K个数据点作为初始的聚类中心，这K个点将作为每个类别的中心点。
这一步的目的是为了在数据集中找到K个初始的类别中心，以便后续的迭代过程中将数据点划分到这些中心点所代表的类别中去。
2、数据点的分配在确定了初始的聚类中心之后，K均值算法的第二步是将数据集中的每个数据点分配到与其最近的聚类中心所代表的类别中去。
这一过程通常采用欧氏距离来计算数据点和聚类中心之间的相似度，将数据点分配到距离最近的聚类中心所代表的类别中去。
3、更新聚类中心在将数据点分配到各个类别之后，K均值算法的第三步是更新每个类别的聚类中心。
这一过程是通过计算每个类别中所有数据点的平均值来确定新的聚类中心。
这样一来，每个类别的聚类中心将会向其内部的数据点的中心位置移动，以适应新的数据点的分布情况。
4、重复迭代经过上述步骤之后，K均值算法并不是结束了，而是需要不断地重复执行上述的分配和更新聚类中心的过程，直到满足某个停止条件为止。
通常来说，K均值算法会在前后两次迭代的聚类中心差异小于某个预定的阈值时停止迭代，或者是在达到了预定的迭代次数之后停止迭代。
5、收敛性和局部最优K均值算法是一种迭代的优化算法，它具有一定的收敛性和局部最优性。
在算法的迭代过程中，随着迭代次数的增加，不同类别的聚类中心会逐渐稳定下来，最终收敛到某个固定的位置。
同时，由于K均值算法的目标是最小化整个数据集中数据点到其所属类别中心的距离之和，因此它有可能陷入局部最优解而无法达到全局最优解。
总结K均值算法是一种简单而有效的聚类算法，它能够将数据点划分为不同的类别，使得同一类别内的数据点相互之间的相似度较高，而不同类别之间的数据点相互之间的相似度较低。
著名的丢番图方程，最有趣的“世界难题”，从古研究至今
著名的丢番图⽅程，最有趣的“世界难题”，从古研究⾄今2019年9⽉6⽇，由布⾥斯托尔⼤学和⿇省理⼯学院的研究⼈员领导的⼀个团队宣布，他们发现了所谓的“三个⽴⽅数和”的问题的最终解，即求⽅程x³+ y³+ z³= k的整数解，k的值在1到100之间。
⾃1954年提出以来，直到2016年，除了k=33和k=42的两个解之外，所有的解都被找到了。
19年3⽉，数学家安德鲁·R·布克（Andrew R. Booker）发表的⼀篇论⽂中宣布，他在布⾥斯托尔的超级计算机上花费了数周的计算时间，找到了k=33的正确解。
不久后，k=42的解也被发现了（布克和⿇省理⼯学院的安德鲁·萨瑟兰），答案是：对于k在1到1000之间的值，114、165、390、579、627、633、732、906、921和975的解仍然没有被发现。
丢番图⽅程三个⽴⽅和的问题是求丢番图⽅程解的⼀个例⼦，它可以定义为：定义丢番图⽅程是⼀个有⼏个未知数、系数为整数的代数⽅程。
也就是说，丢盘⽅程是有⼏个未知变量（x，y，z， ……）的⽅程，它的解（=0）只有当⽅程的系数是整数时才会出现。
线性丢番图⽅程线性丢番图⽅程是⼀阶⽅程，其解被限制为整数。
线性丢番图⽅程为：其中a、b、c为整数系数，x，y为变量。
例如：有多少个整数解？因为这是⼀个有两个未知数的⽅程，我们不能⼀次解⼀个变量（就像⼀个典型的线性⽅程组⼀样）。
相反，对于线性情况，我们可以使⽤以下定理：线性丢番图⽅程有整数解当且仅当c是a和b的最⼤公约数的倍数。
如果整数（x， y）构成给定a，b，c的线性丢番图⽅程的解，那么其他的解有（x + kv, y - ku）的形式，其中k是任意整数，u和v是a和b的最⼤公约数的商。
两个或两个以上整数的最⼤公约数（它们都不为零）是能整除每个整数的最⼤正整数。
对于上⾯的例⼦，我们可以先提出公约数5，得到：a和b的最⼤公约数是1和5。
简要介绍k均值算法的工作原理和步骤
简要介绍k均值算法的工作原理和步骤一、引言k均值算法是一种常用的聚类算法，它可以将数据集分成若干个簇，每个簇内部的数据点相似度较高，而不同簇之间的数据点相似度较低。
本文将详细介绍k均值算法的工作原理和步骤。
二、工作原理k均值算法的核心思想是：将数据点分成k个簇，并使每个簇内部的数据点相似度最高，不同簇之间的相似度最低。
其具体实现过程如下：1. 首先随机选择k个初始中心点（也称为质心），这些中心点可以是任意数据集中的点。
2. 将所有数据点分配到距离其最近的中心点所在的簇中。
3. 对于每一个簇，重新计算其中所有数据点的平均值，并将该平均值作为新的中心点。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到收敛条件（例如簇不再发生变化）为止。
三、步骤详解下面我们将逐一介绍k均值算法中各个步骤的具体实现方法。
1. 随机选择初始中心点在k均值算法中，初始中心点的选择对最终聚类结果有很大的影响。
因此，我们需要采用一定的策略来选择初始中心点。
常见的选择方法有两种：（1）随机选择k个数据集中的点作为初始中心点；（2）通过一定的聚类算法（如层次聚类）来确定初始中心点。
2. 分配数据点到簇在k均值算法中，我们需要计算每个数据点与每个簇中心点之间的距离，并将该数据点分配到距离最近的簇中。
常见的距离计算方法有欧式距离和曼哈顿距离等。
3. 重新计算簇中心点在k均值算法中，每个簇内部所有数据点之间的相似度应该尽可能高于不同簇之间数据点之间的相似度。
因此，我们需要重新计算每个簇内部所有数据点的平均值，并将该平均值作为新的簇中心点。
4. 重复迭代直至收敛在k均值算法中，我们需要重复执行步骤2和步骤3直至达到收敛条件。
通常情况下，我们可以设置一个迭代次数上限或者当所有数据点所属的簇不再发生变化时停止迭代。
四、总结k均值算法是一种常用的聚类算法，其核心思想是将数据集分成若干个簇，并使每个簇内部的数据点相似度最高，不同簇之间的相似度最低。
k均值算法的实现步骤包括随机选择初始中心点、分配数据点到簇、重新计算簇中心点以及重复迭代直至收敛。
关于k次方数列及其行列式
收稿日期:2009-05-25;修订日期:2009-06-28作者简介:黄 炜(1961-),男,陕西岐山人,副教授,研究方向:数论及数学应用。
基金项目:宝鸡职业技术学院重点科研基金资助项目(ZK 0216)。
第27卷 第4期2009年8月江 西 科 学JI A NGX I SC I ENCEVo.l 27N o .4Aug .2009文章编号:1001-3679(2009)04-0497-03关于k 次方数列及其行列式黄 炜(宝鸡职业技术学院基础部,陕西 宝鸡721013)摘要:对任意正整数n,设a k (n)表示不超过n 的最大k 次方部分,b k (n)表示不小于n 的最小k 次方部分。
本文主要目的是利用初等方法研究{a k (n )}和{b k (n)}这2个数列的性质,并给出由2个数列构成的行列式的一些特殊性质。
关键词:k 方部分数列;Sm arandache 行列式;性质中图分类号:O 156.4 文献标识码:AOn the k -th Po w er Nu mber c s Series and Its D eter m i nantHUANG W e i(Depart m ent o f Basis ,Bao ji V oca ti ona l and T echn ica l Co llege ,Shanx i bao ji 721013PRC)Abst ract :Let n be a positive i n teger ,a k (n )be the l a rgest k -th po w er num ber greater than or equal to n.And b k (n )be the s m allest k-th po w er num ber less t h an or equa l to n.In this paper ,use the e-le m entary m ethods to study t h e value of the deter m inant f o r m ed by the seri e s {a k (n )}and {b k (n )},and give t w o i n teresti ng conc l u si o n.K ey w ords :k-th pow er part number Series ,Sm arandache deter m inan,t Conc l u si o n1 引言及结论1993年罗马尼亚数论专家F S m arandache 教授提出了正整数n 的k 次幂部分数列。
关于正整数n的k次幂部分数列的加权均值
ａ（ ）一 ｍａ ｍ ：ｍ ∈ Ｎ， ｘ｛ ｍ ≤ ） 女 ）一 ｍｉ ｛ ，ｂ （ ｎ ｍ ：ｍ ∈ Ｎ， ｍ ≥ ） ，
其 中 ａ （ ）与 ｂ（ ）分别称 为下部 ｋ次幂 部分 数列 与上部 ｋ次幂 部分 数列．
例如：
ａ （ ）一 ａ （ ） ａ （ ） １ ａ （ ） ａ （ ）一 … 一 ａ （ ） ４， 女 ９ 一 ａ （ ０ 一 … 一 ａ （ ５ 一 ９ … ． １ ２ ＝ 女３ 一 ， 女４ 一 女５ 女８ 一 ａ（） １） 女１ ） ， ｂ （ ）一 １ ２ 女１ ，ｂ （ ）一 ｂ （ ）一 ｂ （ ） 一 ４ 女 ５ 女３ ４ ，ｂ （ ）一 … 一 ｂ （ ）一 ９ 女 １ ）一 … 一 ｂ （ ６ 女９ ，ｂ （ ０ 女 １ ）一 １ ， ． ６…
当 ｍ ≤ ＜ （ ＋ １ 时 ，女 ） ａ（ ）一 ｍ ；当 ｍ ＜ ≤ （ ＋ １ 时 ，女 ） ｂ（ ）一 （ ＋ １ ）．
有关正 整数 的 ｋ次幂部 分数列 的性质 ， 文献 Ｅ ３ 用初 等 的方 法研究 了正整 数 的平 方部 分与立 方部分 ｚ利 的求 和公式 ； 文献 １ ３利用计 算机 程序研究 了 １ － ３ ９然数 幂和公 式 的计 算机 实现 ；文献 ［ — ］ ４ ５ 利用 解析 的方法研 究 了关 于正 整数 的立 方部 分数 列 的均 值公式 ． 最具 典 型 的是 文献 Ｅ ３给 出 了关于 正整 数 的立 方 部 分数 列 的 ４
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第２卷 ８
第 １期
天津 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＴｉｎｉ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ａ ｊ Ｎｏｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｎ ｙ ｉ
关于正整数n的k次幂部分数列加权均值
当ｍ ≤ ＜ （ － ） ｔ ‘时 ， 口 （ －１ 有 Ｉ ）一 ｍ 当 ｍ ； ＜ ≤ （ ＋ １‘时 ， ｂ（ ）一 （ ＋ １ ‘ ） 有 Ｉ ）．
文献 Ｅ ］ 要 求研究 其性 质这 一 问题 ， １ 中， 文献 ［ ～３ 利用 初 等 的方 法研 究 了正整 数 的平 方部 分 与立 方 部 ２ ］ 分 的求和 公式 ； 文献 ［ ～５ 利用 计算 机 程序研 究 了 自然 数 幂 和公 式 的 计算 机 实 现 ；文 献 ［ ～ ９ 分 别 研 究 了 ４ ］ ６ ］ 关 于正整 数 的立 方部 分与 ｋ次 幂部 分数 列 的均值 公 式 以及无 ｋ次 因子数 的素 因子 为次 方 的函数分 布性 质． 通过 对正整 数 的 ｋ次幂 部分 数列 的进 一 步研究 ， 且 主要 利 用欧 拉 公式 、 贝尔 恒 等式 等 ， 究 了 以 并 阿 研
∑６（） 一
＋０ ） （一一 ． ｛
收 稿 日期 ： ０ ７ ０ — ６ ２ ０ — ５１ 基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金项 目（０ ７ ０ ３ ； 西 省 自然 科 学 基 金 项 目（０ ４ ０ ） 国 １２ １９ ） 陕 ２ ０ Ａ ９
其 中 Ｎ 为正整 数集 ， ｎ （ ）与 ｂ （ ）分 别是 下部 ｋ次 幂部 分部分 数列 与 上部 ｋ次幂 部 分数列 ． 例如 ：
口 （ ） 一 （ ）一 口 （ ）一 １ （ ）一 口 （ ） 一 … 口 （ ）一 ４， Ｉ ９ ＾１ ２ Ｉ３ ； ４ ５ ＾８ ａ （ ）一 … 一 口 （ ５ 一 ９ … ＾１） ， ｂ （ ）一 １ ｂ （ ） 一 ｂ （ ）一 ｂ （ ） 一 ４， ＾ ５ 一 ｂ （ ） 一 … 一 Ｉ１ ；＾ ２ ＾３ Ｉ４ ｂ（） Ｉ６ （ ）一 ９ ｂ （ ０ ９ ； Ｉ １ ）一 … 一 ｂ （ ６ ＾ １ ）一 １ ， ６ …
K均值算法的效果评估指标及使用技巧(Ⅲ)
K均值算法是一种常见的聚类算法，用于将数据点分成不同的簇。
它是一种迭代算法，通过不断更新簇中心来实现聚类的过程。
在实际应用中，我们需要评估K均值算法的聚类效果，并掌握一些使用技巧，以便更好地应用这一算法。
首先，我们来看一下K均值算法的效果评估指标。
K均值算法的效果评估指标通常包括簇内离散度和簇间离散度。
簇内离散度指的是同一簇内数据点之间的距离的平均值，它反映了簇内数据点的紧密程度。
簇间离散度指的是不同簇之间的簇中心的距离的平均值，它反映了不同簇之间的分离程度。
在评估K均值算法的效果时，我们可以通过计算这两个指标来判断聚类的质量。
一般来说，簇内离散度越小、簇间离散度越大，说明聚类效果越好。
除了簇内离散度和簇间离散度之外，我们还可以使用轮廓系数来评估K均值算法的聚类效果。
轮廓系数是一种综合考量簇内离散度和簇间离散度的指标，它的取值范围在-1到1之间。
当轮廓系数接近1时，说明簇内距离很小而簇间距离很大，聚类效果很好；当轮廓系数接近-1时，说明簇内距离很大而簇间距离很小，聚类效果很差；当轮廓系数接近0时，说明簇内距禜和簇间距离差不多，聚类效果一般。
因此，轮廓系数可以帮助我们更全面地评估K均值算法的聚类效果。
在使用K均值算法时，我们还需要掌握一些技巧，以便更好地利用这一算法。
首先，选择合适的簇数对于K均值算法的聚类效果至关重要。
一般来说，我们可以通过手肘法或者轮廓系数来选择合适的簇数。
手肘法是一种常用的方法，它通过绘制簇内离散度随着簇数增加的曲线，找到一个“肘点”作为最佳簇数。
轮廓系数则可以帮助我们确认选择的簇数是否合理，从而更好地应用K均值算法。
此外，K均值算法对于初始簇中心的选择非常敏感，因此我们需要选择合适的初始簇中心。
一种常见的方法是随机选择数据点作为初始簇中心，但这种方法可能会导致算法收敛到局部最优解。
因此，我们可以多次运行K均值算法，选择最优的聚类结果作为最终结果，以减少初始簇中心对算法结果的影响。
2009-K次方根序列的均值渐近公式
j# M
3
130M
10 3
+
3
3 7
M
7 3
+
3 4
4
M3
+
1
O( M 3 ) =
9 10
x
10 9
+
9 7
x
7 9
+
3 4
x
4 9
+
1
O( x 9 ) ,
定理 2 证毕.
2 K 次方根序列的均值
k 方根序列{ bk ( n) } ( n = 1, 2, 3, !) 如下:
2. 1 1 的均值 bk ( n)
2009 年 第 3 期
位置, 在解析数论、乘法数论以及代数数论研究中占有举足轻重的位置[ 8] , 并和很多数学难题密切相关. 我们 从不同的角度对这些 k 次方根序列算术函数进行了细致的研究, 获得了一些的结论. 对数论学科的发展做了 积极的探索.
参考文献:
[ 1] F Smarandache. O nl y Problems, N ot Solut ions[ M ] . C hicago: Xiquan Pub lishi ng H ouse, 1993. [ 2] T om M . A post ol . Int roduction t o A n alyt ic N um ber T heory[ M ] . N ew Y ork: S pring V erl ag, 1976. [ 3] 潘承洞, 潘承彪. 解析函数论基础[ M ] . 北京: 科学出版社, 1997: 60. [ 4] H e X iao lin, G uo Jin bao. O n t he 80 t h Probl em of F. Smarandache( % ) [ J ] . Smarandach e N orions Journal, 2004, 14: 70 79. [ 5] 贺小林. 关于整数 n 的平方根序列的均值公式[ J] . 延安大学学报( 自然科学版) , 2005, 12( 2) : 13 14. [ 6] 马爱梅. 关于整数 n 的平方根序列的几个渐进公式[ J ] . 延安大学学报( 自然科学版) , 2006, 13( 2) : 10 11. [ 7] 杨存典, 李超, 李军庄. 一个数论函数的渐进公式[ J] . 甘肃科学学报, 2006, 18( 2) : 20 21. [ 8] 冯强, 王荣波. 关于正整数 n 的 k 次幂部分数列加权均值[ J] . 甘肃科学学报, 2008, 20( 2) : 5 8.
K均值算法中的数据标准化技巧及使用教程(四)
在数据挖掘和机器学习领域中，K均值算法是一种常见的聚类算法，它用于将数据集中的数据点划分到K个不同的组中。
K均值算法的核心思想是通过计算数据点之间的距离来找出最佳的聚类中心，然后将数据点分配到最近的聚类中心中。
然而，在实际应用中，数据集的不同特征可能具有不同的数值范围和方差，这就需要对数据进行标准化处理，以保证各个特征在计算距离时具有相同的权重。
下面将介绍K均值算法中的数据标准化技巧及使用教程。
数据标准化是指将具有不同量纲和方差的特征进行处理，使其具有相同的数值范围和方差。
常见的数据标准化方法包括最小-最大标准化和Z-score标准化。
最小-最大标准化通过对原始数据进行线性变换，将其缩放到一个特定的范围内，通常是[0, 1]或者[-1, 1]之间。
而Z-score标准化则是通过将原始数据进行线性变换，使其均值为0，标准差为1。
在K均值算法中，通常采用Z-score标准化方法来处理数据，因为这种方法能够保留数据的分布信息，同时消除了特征之间的量纲影响。
使用Python语言进行K均值算法的实现时，可以使用scikit-learn库中的KMeans方法来进行聚类分析。
在进行聚类分析之前，首先需要对原始数据进行Z-score标准化处理。
scikit-learn库中提供了preprocessing模块，其中包括了StandardScaler类用于数据标准化。
下面是一个简单的K均值算法的使用教程：1. 导入必要的库```pythonimport pandas as pdfromimport KMeansfromimport StandardScaler```2. 读取数据```python# 读取数据集data = _csv('')```3. 数据标准化```python# 初始化StandardScalerscaler = StandardScaler()# 对数据进行标准化处理scaled_data = _transform(data) ```4. 聚类分析```python# 初始化KMeans模型kmeans = KMeans(n_clusters=3, random_state=0)# 对标准化后的数据进行聚类分析(scaled_data)# 获取聚类结果cluster_labels = _# 将聚类结果添加到原始数据中data['cluster'] = cluster_labels```通过以上步骤，我们完成了K均值算法的实现。
k次方根序列的均值
１ 期 １
张转社 ： ｋ次方根序列的均值
２ ８ ６７
２ 定理的证明
ｙ一
一 ＋
（ ） 一 乙 一 ＋ ２ １ ｚ ３
Ｍ ＋ （一 ｜ ｊ ｝
用等 分 方 究 列 初和析法研 序 ｛
值性质 并获得 较强 的渐 近公式 。
） 均
（ ） ．一 ３ ＋． ‘ １ ）一
出了许多贡献， 中最重要的一项就是他 源源不断 其
南
其 是 拉 数 中 欧 常 。
ｋ ＋ 下 ・ ｒ － ｒ ＋ ｌ
＋
提出 来的一系列出色的问题和猜想， ９ 年在他所 １３ ９
著的（ ｎ ｏｌ ｓ Ｎ ｔ ０ ｔｎ》 Ｏ ｌ Ｐ ｂ ｍ ， ｏ ｓｌ ｉ ｓ 一书中…提出了 ｙｒ ｅ ｕ０
＋ （ ）＋ ２ （ ）＋… ＋ ３
■
证明
一
对 于任何 实数 ≥１ｂ（ｔ Ｔ ， 在 ， ｒ ）＝［ 】存
（ 后一１ （ ）＋｜ ）＋ ｜ ｉ ｉ ｝ ｝ ＋Ｄ（ ） １。 这 就完 成 了定 理 的证 明。
拳 老 童 蔷
个 固定 的正 整 数 ， 得 ≤ ≤ （ ＋１ 由 使 ），
ｃ － ） （） ￣（ ＋ ２ ３＋…： 一 （ 一 ） Ｉ １ ＋ ｝
（ ）＋｜ ｉ ｝ ＋Ｄ １ 。 （ ）
文献 ［ ］ 出了如下结 论 。 ４给
其 中 是 欧拉常数 引。
当 ｎ＝ ３可得到下 面推论 。
定理 １ 对任意正整数 ， ｂ（ ） ｎ 】则 设 ｔ ＝【Ｔ ，
中图法分类号 ０５ ．； １６４
文献标密码 Ａ
…
＋
１ 引言与结论
著名美籍罗马尼亚数论专家 Ｆ Ｓ ａ ｎ ａ ｅ ， ｍ ｒ ｄｃ 做 ａ ｈ
关于正整数的k次方根数列均值
第31卷第4期吉首大学学报(自然科学版)Vol.31No .42010年7月Journ al of Ji shou Universit y (Nat ural Science Edit ion)July.2010文章编号:1007-2985(2010)04-0008-02关于正整数的k次方根数列均值黄炜(宝鸡职业技术学院基础部,陕西宝鸡721013)摘要:设n 是正整数,b k (n)表示n 的k 次方根取整,即正整数的k 次方根部分数列.研究了数列{b k (n)}的均值性质,利用初等方法,给出了包含这个数列{b k (n)}和广义Mandoldt 函数的2个有趣的渐近公式.关键词:k 次方根数列;广义Mangoldt 函数;均值;渐近公式中图分类号:O156.4文献标志码:A正整数n 的k 次方根函数b k (n):设b k (n)表示n 的k 次方根取整,k 为不小于2的正整数,即正整数的k 次方根部分数列.例如:b 2(1)=1,b 2(2)=1,b 2(3)=1,b 2(4)=2,b 2(5)=2,b 2(6)=2,b 2(7)=2,b 2(8)=3,.著名美籍罗马尼亚数论专家F.Samrandache 所做出的许多贡献,其中最重要的一项就是他源源不断提出来的一系列出色的问题和猜想,1993年在文献[1]中提出了105个数论中尚未解决的问题和猜想,引起许多学者的极大研究兴趣,其中第80个问题中包含平方根及k 次方根序列.F.Samr andache 教授[1]要求研究这个数列的性质,已有许多学者对这个数列进行了研究:文献[2]研究了立方根序列均值性质;文献[3-6]研究了整数n 的k 次根序列的均值公式;文献[4]给出了广义Mangoldt 函数的定义,即r(n)=(*L )(n)=!d k=n(d)ln k (n),其中(d)是m bius 函数,*表示Ditich1et 乘积,L(n)=ln n,r1,当r =1时它即为一般的Mangoldt 函数.笔者利用初等方法研究了这个数列与Mangoldt 函数、广义M angoldt 函数的一些新均值公式.1相关引理引理1对任一实数x >1,Mangoldt 函数的均值为!n #x(n)=x +O(x 12ln 2x).在文献[4]中,这一结果是在R iemann 猜想成立的前提下得到的,是一个和R iemann 猜想等价的命题.引理2对任一实数x >1,广义Mangoldlt 函数2(n)的均值为!n#x2(n)=2xln x +O(x).证明见文献[4].2主要结果定理1对任何正整数x2,有渐近公式!n #x(b k (n))=1kx +O(x k -1k +ln 2x),其中(n)是Mangoldt 函数,是任意给的正数.定理2对任何正整数x2,有渐近公式!n#x2(b k (n))=2k2xln x +O(xk +1k +),其中2是Mangoldt 函数当r =2的情形,是任意给的正数.3定理的证明定理1证明对于任何正整数x2,存在正整数M,使得M k #x <(M +1)k .(1)*收稿日期基金项目国家自然科学基金资助项目(655);陕西省自然科学基金资助项目(S )作者简介黄炜(6),男,陕西岐山人,宝鸡职业技术学院基础部教授,主要从事数论及数学应用研究:2010-04-09:10711J08A28:191-.令M =[x 1k ],并注意到M =x1k+O(1),则从(n)的定义可以推断,!n #x(b k (n))=!Mj =2!(j-1)k#n<jk(b k (n))+!M k#n #x(b k (n))=!Mj=2!(j-1)k#n <j k(j -1)+!M k #n#x (M)=!M -1j=1!j k #n<(j+1)k(j)+!M k #n #x(M)=!M -1j=1(C 1k jk -1+C 2k jk -2++C k -2k j 2+C k -1k j +1)(j )+O(!M k#n<(M +1)k(M))=k!Mj=1j k -1(j )+O(M k -1ln M).(2)这里用到估计式(n)ln n.由引理1知!n #x(n)=x +O(x 12ln 2x).(3)设A(y)=!m#y(m),由Abel 恒等式[6]及(3)式可得!Mk=1j k -1(k)=M k -1A(M)-(k -1)%M1y k -2A(y)dy +O(1)=M k -1(M +O(M 12ln 2M))-(k-1)%M1y k -2(y +O(y 12ln 2y))dy +O(M 12ln 2M)=M k +O(M k-12ln 2M)-(k -1)kM k=1kM k+O(M k ln 2M).(4)而!Mk =1(k)=M +O(M 12ln M).(5)由(1)式可得估计式0#x -M k <(M +1)k -M k =C 1k M k -1+C 2k M k -2+C 3k Mk -3++C 1k M 1+1xk -1k(6)和kln M #ln x <kln (M +1)#kln M +O(1x).(7)结合(4)至(7)式立即可得!n#x(b k (n))=1kx +O(x k -1k +ln 2x).这就完成了定理1的证明.利用定理1的证明方法和引理2的结论可以证得定理2.参考文献:[1]SMARANDACH E F.Only Pr oblems,Not Solutions [M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.[2]张文鹏.关于正整数的立方部分数列[J].咸阳师范学院学报,2003,18(4):5-7.[3]黄炜.K 次方根序列的均值渐近公式[J].甘肃科学学报,2009,21(3):10-11.[4]NATLMUSON M ELVYN B.Elenenta rv Methods in Number Theor y [M].Beijing:Wor ld l Publishing Cororation,2003:293.[5]LIU H ong yan,LI U Yuan bing.A Note on the 29th Smar andaches Problem [J].Smar andache Notions Journal,2004(14):156-158.[6]潘承洞,潘承彪.解析函数论基础[M].北京:科学出版社,1997:98.k th Root Sequence Average Value Asymptotic FormulaH U ANG Wei(Depart ment of Basis,Baoji Vocational and Technical College,Baoji 721013,Shannxi China)Abstr act:Let b k (n)be positive integer (n=1,2,),that is the k th root part.The main purpose of thispaper is to study the asymptotic properties of the sequence {b k (n)}.U sing the elementary method,two interesting hybrid asymptotic formulas involving this sequence {b k (n)}and the generalized Mangoldt f K y q ;z M f ;;y f (责任编辑向阳洁)9第4期黄炜:关于正整数的k 次方根数列均值unction are given.e words :k th r oot part se uence generali ed angoldt unction mean value as mptotic ormula。
K均值算法的效果评估指标及使用技巧(四)
K均值算法的效果评估指标及使用技巧K均值算法是一种常见的聚类算法，它能够将数据集中的数据分成K个簇。
这种算法适用于大多数的数据集，并且在实际应用中被广泛使用。
然而，要想正确地使用K均值算法并评估其效果，我们需要了解一些评估指标和使用技巧。
评估指标首先，我们来讨论一些K均值算法的评估指标。
在使用K均值算法进行聚类之后，我们需要对聚类结果进行评估，以确保其准确性和有效性。
常见的评估指标包括SSE（Sum of Squared Errors）、轮廓系数（Silhouette Coefficient）和互信息（Mutual Information）等。
SSE是一种衡量聚类效果的指标，它衡量了每个样本与其所属簇中心的距离的平方和。
SSE越小，表示聚类效果越好。
然而，SSE并不是一个完全可靠的指标，因为它受到数据集大小和维度的影响，因此在评估聚类效果时，还需要结合其他指标。
轮廓系数是一种综合考虑了簇内距离和簇间距离的指标。
它的取值范围在[-1, 1]之间，值越接近1表示聚类效果越好。
轮廓系数能够帮助我们评估簇的紧密度和分离度，从而确定聚类的合理性。
互信息是一种用于衡量两个分布之间相似度的指标，它能够帮助我们评估聚类结果与真实标签之间的一致性。
互信息的值越大，表示聚类效果越好。
然而，互信息也存在一定的局限性，因为它不能完全反映出聚类的效果。
使用技巧除了了解评估指标之外，正确地使用K均值算法也是非常重要的。
在使用K 均值算法时，我们需要注意以下几点：首先，选择合适的K值对于K均值算法的效果至关重要。
通常情况下，我们可以通过肘部法则（Elbow Method）或者轮廓系数来选择最优的K值。
肘部法则是通过绘制不同K值对应的SSE值，找到一个“肘点”来确定最优的K值。
而轮廓系数则是通过计算不同K值对应的轮廓系数，选择轮廓系数最大的K值作为最优的聚类数目。
其次，对数据进行预处理是使用K均值算法的重要步骤。
数据预处理可以包括标准化、归一化、缺失值处理等等。
K均值算法中的数据标准化技巧及使用教程
K均值算法是一种常用的聚类算法，它通过将数据点划分到K个簇中，使得每个数据点都属于与其最近的簇，从而实现对数据的聚类。
在实际应用中，K均值算法需要对数据进行标准化处理，以确保不同特征之间的差异不会对聚类结果产生影响。
下面将详细介绍K均值算法中的数据标准化技巧及使用教程。
数据标准化是指将数据按照一定的规则进行转换，使得数据的分布符合标准正态分布或者具有特定的分布特征。
在K均值算法中，数据标准化可以有效地提高聚类的准确性，并且可以减少由于特征之间尺度差异造成的聚类结果不稳定的情况。
K均值算法的数据标准化技巧主要包括Z-score标准化和Min-Max标准化。
在Z-score标准化中，对于每个特征，首先计算其均值和标准差，然后将每个数据点减去均值，再除以标准差，从而得到标准化后的数据。
这种方法可以使得数据的均值为0，标准差为1，从而达到标准正态分布的效果。
而在Min-Max标准化中，对于每个特征，将其数值减去最小值，再除以最大值与最小值的差，从而将数据映射到[0,1]的区间内。
在实际应用中，选择合适的标准化方法需要根据数据的分布情况和聚类的需求来进行选择。
一般来说，如果数据的分布接近正态分布，可以选择Z-score标准化；而如果数据的范围已知，并且不会出现异常值，可以选择Min-Max标准化。
除了选择合适的标准化方法外，K均值算法还需要根据具体的数据集和聚类需求来确定合适的簇数K。
一般来说，可以使用肘部法则（Elbow Method）来确定K的取值。
肘部法则通过绘制不同K值下的聚类结果的误差平方和（SSE）曲线，找到误差平方和开始快速下降的点作为最佳的K值。
在确定了K值和数据标准化方法后，就可以开始实施K均值算法。
首先随机初始化K个簇中心，然后不断迭代，直到簇中心不再发生变化或者达到最大迭代次数为止。
在每一次迭代中，首先计算每个数据点到各个簇中心的距离，然后将数据点划分到最近的簇中，接着更新每个簇的中心位置。
K均值算法中的数据标准化技巧及使用教程(Ⅱ)
K均值算法是一种常用的数据聚类方法，它可以将数据分成不同的群组，并且每个群组内的数据相似度较高。
在实际应用中，K均值算法需要对数据进行标准化处理，以确保不同特征值的范围一致，从而提高算法的准确性和可靠性。
本文将介绍K均值算法中的数据标准化技巧及使用教程。
数据标准化是指将原始数据按照一定的规则进行处理，使得处理后的数据符合一定的标准分布。
在K均值算法中，数据标准化的目的是为了消除不同特征值之间的量纲差异，以及不同特征值的权重差异。
这样做可以确保算法在计算距离时不会受到特征值范围的影响，从而更加准确地对数据进行聚类。
常用的数据标准化方法包括最小-最大标准化和Z-score标准化。
最小-最大标准化将原始数据线性变换到[0,1]的区间内，公式为：\[x' = \frac{x - \min(x)}{\max(x) - \min(x)}\]其中，\(x\)为原始数据，\(x'\)为标准化后的数据。
这种方法适用于数据受到边界约束的情况，但是对离群值比较敏感。
Z-score标准化是将原始数据转换成均值为0，标准差为1的标准正态分布，公式为：\[x' = \frac{x - \mu}{\sigma}\]其中，\(x\)为原始数据，\(x'\)为标准化后的数据，\(\mu\)为原始数据的均值，\(\sigma\)为原始数据的标准差。
这种方法对离群值不敏感，适用于大部分数据分布情况。
在K均值算法中，数据标准化的方法一般选择Z-score标准化，因为它可以有效消除不同特征值之间的量纲差异，并且对离群值不敏感。
下面，我们将介绍K均值算法的具体使用教程。
首先，我们需要准备数据集。
假设有一个包含N条数据，每条数据包含M个特征值的数据集。
我们可以将数据集表示为一个N*M的矩阵，记为\(X\)。
接下来，我们需要对数据集进行Z-score标准化处理。
首先，计算数据集每个特征值的均值和标准差。
假设第i个特征值的均值为\(\mu_i\)，标准差为\(\sigma_i\)。
k均值算法实验报告
double sum=0;
for(i=0;i<K;i++)
{
sum=0; //计算簇i的元素和
for(j=0;j<Top[i];j++)
sum+=Cluster[i][j];
if(Top[i]>0)//如果该簇元素不为空
Center[i]=sum/Top[i];//求其平均值
}
}
bool IsEqual(double * center1 ,double * center2)//判断2数组元素是否相等
CenterCopy=new double[K]; //为质心集合副本申请空间
Top=new int[K];
AllData=new double[N]; //为数据集合申请空间
Cluster=(double **)malloc(sizeof(double *)*K);//为簇集合申请空间
//初始化K个簇集合
for(i=0;i<K;i++)
{
if(fabs(value-center[i])<min)//如果比当前距离还小，更新最小的质心序号和距离值
{
index=i;
min=fabs(value-center[i]);
}
}
return index;
}
void CopyCenter()//拷贝质心数组到副本
{
CopyCenter();//将质心副本置为本次迭代得到的的质心集合
}
/*i++;
printf("\n%d times",i); //测试用
for(int j=0;j<K;j++)
K值均值算法论文
企业管理中的生态环保措施在当前全球环境问题日益凸显的背景下，企业在经营管理中采取生态环保措施成为了一种必然趋势。
企业不仅要追求经济效益，还应该承担起社会责任，积极推行生态环保措施，努力减少对环境的影响。
本文将探讨企业管理中的生态环保措施及其重要性。
1. 生态环保意识的引入随着环境问题日益严重，越来越多的企业开始意识到生态环保的重要性。
因此，企业管理者应引入生态环保意识，将其融入到企业的经营理念中。
只有树立起企业的绿色形象，才能得到消费者和社会的认可与支持。
2. 资源的节约与利用企业管理者应意识到资源是有限的，因此在经营过程中应注重资源的节约与利用。
例如，通过推行再生资源利用政策，企业可以减少对自然资源的依赖，降低环境的负荷。
同时，回收利用废弃物也是一种常见的资源利用措施，既能减少环境污染，又能节约生产成本。
3. 绿色供应链管理企业管理中的另一个重要方面是绿色供应链管理。
通过选择环保型原材料供应商，企业可以确保产品制造的环保性。
此外，企业还可以与供应商合作，推动他们采取相关的环保措施，从而共同促进整个供应链的绿色发展。
4. 清洁生产的推行清洁生产是企业管理中的重要环保措施之一。
企业应通过引进环保设备和技术，改善生产过程中的环境影响，减少污染物的排放。
此外，企业还应加强对员工的环保意识教育，提高他们的环保意识和能力，共同营造环保的生产环境。
5. 生态补偿与环境修复在经营过程中，企业应该对环境造成的损害进行补偿与修复。
例如，企业可以投资于环境修复项目，恢复受损生态系统的功能。
同时，企业还可以通过参与植树造林等活动，主动承担起保护生态环境的责任。
6. 公众参与和透明度企业管理中的生态环保措施不仅需要企业自身的努力，还需要公众的参与与监督。
企业应积极与公众沟通，听取公众的意见与建议，共同制定并实施相关的环保政策。
同时，企业还应提高信息透明度，向公众公开环境数据与企业环保举措，增强公众对企业环保行为的信任。
关于正整数的k次幂部分数列
关于正整数的k次幂部分数列
王明军
【期刊名称】《江西科学》
【年(卷),期】2009(027)005
【摘要】设n是正整数,u(n)表示不超过n的最大k次幂部分,v(n)表示不小于n的最小k次幂部分.利用解析方法研究了数列{u(n)}和{v(n)}的性质,并给出了Ω(u(n))与Ω(v(n))的渐近公式.
【总页数】2页(P657-658)
【作者】王明军
【作者单位】渭南师范学院数学与信息科学系,陕西,渭南,714000
【正文语种】中文
【中图分类】O156.4
【相关文献】
1.关于正整数的四次方部分数列 [J], 张少杰
2.正整数n的k次幂部分数列的几个渐近公式 [J], 刘兴茹;王艳青;赵珍珍
3.关于正整数的四次方部分数列的和 [J], 高丽;赵喜燕
4.关于正整数n的k次幂部分数列的加权均值 [J], 冯强;王荣波
5.关于正整数n的k次幂部分数列加权均值 [J], 冯强;王荣波
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关于一些数论函数的均值计算问题的开题报告
关于一些数论函数的均值计算问题的开题报告一、研究背景数论函数是研究整数性质的重要工具。
一些常见的数论函数包括欧拉函数、莫比乌斯函数、约数函数等。
这些函数的研究在数学理论中有着重要作用，也广泛应用于密码学、编码理论等应用领域。
计算数论函数的值和均值是数论理论和应用中的一个重要问题。
二、研究内容本文将主要研究一些常见的数论函数的均值计算问题。
具体研究内容包括：1. 欧拉函数的均值计算：欧拉函数可以看作小于等于n的正整数中与n互质的数的个数，其在数论研究和应用中占据重要地位。
本文将研究欧拉函数的均值计算问题，包括一些特殊情况下的均值计算方法、均值的精度等问题。
2. 约数函数的均值计算：约数函数是指正整数n的正约数个数。
约数函数在因数分解、数论等领域中应用广泛。
本文将研究约数函数的均值计算问题，包括一些特殊情况下的均值计算方法、均值的精度等问题。
3. 莫比乌斯函数的均值计算：莫比乌斯函数是一个常用的数论函数，其在数论研究和应用中应用广泛。
本文将研究莫比乌斯函数的均值计算问题，包括一些特殊情况下的均值计算方法、均值的精度等问题。
三、研究方法本文将采用数论分析和数学计算方法，结合数学软件进行模拟计算。
根据不同数论函数的特点和均值计算问题的具体情况，我们将选择恰当的数学方法，进行数学推导和计算。
同时，我们还将尝试使用一些数学软件（如Matlab、Mathematica等）进行模拟计算，验证我们的计算结果的正确性。
四、预期结果本文将系统地研究欧拉函数、约数函数和莫比乌斯函数的均值计算问题，给出一些特殊情况下的计算方法，并对均值的精度进行分析。
我们希望通过本文的研究，能够更好地了解数论函数的性质和应用，并为数学理论和应用领域提供有用的参考。
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分， 并给出 了关于这两个 数列 的有趣的均值渐近公式。
关键词 ｋ 方部分数列 次 均 值 渐近 公 式
中图法分类号
Ｏ ５． １６４；
文献标志码
Ａ
法研 究 了这两 个 数列 的性 质 ， 给 出 了两 个有 趣 的 并
１ 引言及结论
１９ ９３年罗 马尼 亚 数 论 专 家 Ｆ Ｓ ａａｄｃ ． ｍ ｒｎａｈ教授
列 （ ） ｎ 的求 和公式
） （
１（ 一 ） ０ｈ一１ ＋ 鱼
＋
一 ＋ 一ｈ ＋
＋
ｍｎ｛ ｌ ， ｉ ≥ｎ ｍ∈Ｎ ）其中 ｋ Ｎ 称 ａ （ ） ｍ ， ∈ ， ｎ 表
示不 超过 ｎ的最大 ｋ次方 部 分 ， 亦称 为下 部 ｋ次 幂 部分数 列 ， ｂ （ ） 称 ｎ 表示 不 小 于 ｎ的 最小 ｋ次 方 部 分 ， 称 为 上 部 ｋ次 幂 部 分 数 列 。例 ： ｋ＝２时 亦 当
提 出了正整数 ｎ的 ｋ次幂部 分数列 。 定义 设对 整 数 ｎ ， ｎ的 ｋ次 幂 部分 数 列 定 义 为 ： （ ） ＝ｍ ｘ ｛ ｍ ≤凡 ／ ∈ ａ ｎ ａ ｍ Ｊ ，／ Ｎ ） ｂ ｎ ／ － ， ， （ ）＝
渐进 公式 ， 即就是证 明 了下 面的 ： 定理 １ 对任 一 正整 实 数 ｎ 当 ｋ＝ ， ５五 次方 数
一
（ 垒二！ ＋ （ 箜 垒二
。
４ ２
３
， １ 。
４ ｂ ５ ９ ６ ６ ９， 。对于 任何 正整 ｎ 当 ｈ ≤ ， （ ）＝ ，（ ）＝ … ， ｎ＜（ ＾＋１ 时 ， ＾ ｎ ） ａ （ ）＝ｈ ， ｈ 当 ＜ｎ≤ （ ｈ＋１ ， ）
ｂ（ ）＝（ ｎ ｈ＋１ ｋ ２， ， … 。 ） ， ＝ ３４，
１ｈ ０ ＋５ ＋ｈ ＾ （） １
＝
ｈ ≤ｍ ＜（ ＋１ ５ ｈ ）
１０ ２
＋ 。
２２ ５
一 ２０ ４
、 （） ， ５
（ 二 ＋（ 二 ： Ｚ垒二 — 垒 ２ 垒 ２ ＋ （ ２ １ １
８ 。 ２ 。 １ ２
∑ 口（）＝ｈ ５ｎ ｎ— １ ｈ＋ ）
其 中 ｈ ＝ 【÷ ｎ 】表示不超过 ｎ的最 大正整数
∑６ｎ ： 一 １ ＾一 ） （一） （ （
一
＋ ＋ ４ 。
一
在文献 ［ ］ １ 的第 ４ １个 问题 中 ， 马尼 亚 数论 专 罗 家 Ｆ Ｓ ａａｄ ｃ ． ｍ ｒｎ ａｈ教 授要 求 我 们 研 究 数 列 ａ （ ） ｎ 和
４ ２
＋
一
３时 ， 列 ａ（／和 ｂ（ ） 数 ／ － ） ｎ 的性 质 。本 文利用 初 等方
４ ２
垄（ ＝ 垒
１ ８
２０ ０９年 １ Ｏ月 １ ６１ ３收到
一 垒＝ （
２ ４
３
１ ， 。 一
其 中 ｈ＝ 【 】 １ 表示不小于 ｎ的最小正整数。
作 者 简 介 ： 焕 （ ９６ ） 男 ， 马来 １５ 一 ， 陕西 麟 游 人 ， 宝鸡 职 业 技 术学 院 副教
ｍ＜ｎ １ ≤ｍ ＜（ ＋１ ３ ｈ ） 护 ≤ｍ ＜
（） ２
而 ∑０ ｎ ＝ ∑ ） （） ∑ （） （ 凡＋ ＝
∑ ∑ ｏ ｎ ＋ ∑ ∑ｎ 。 ） （ （）
ｉ １ ＾ ≤ｍ＜（ ＋ ） ＝ ５ ｈ １５ ＾ ≤ｍ ＜ ５ “
１０ ２
＋ 。
关于正 整数 的 ｋ次 方部分 数列 均值研 究
马 来 焕
（ 鸡 职 业技 术 学 院 基础 部 ， 宝 宝鸡 ７ １１ ） ２ ０ ３
摘
要 研 究了数列 ａ（ ） ｂ（ ） ｋｎ 和 ｋｎ 的性质 ， 中 ａ（ ） 其 ｋ ｎ 表示不超过 ｎ的最大 ｋ次方部分 ，ｋｎ 表 示不小于 ｎ的最小 ｋ次方部 ｂ（ ）
第ｌ ０卷
第 ３期
２１ ０ ０年 １月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ １１ Ｎ ． Ｊｎ ２ １ ｏ．０ ｏ３ ａ．０ ０
⑥ ２ ０ Ｓ ｉＴ ｃ ． ｇ ｇ ０１ ｃ． ｅ ｈ Ｅｎ ｎ ．
１７ —１ １ （００ ３０ ３ － ６ １ ８５ ２ １ ） －７５０ ４
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｇｎ ｅ ｉｇ ｃｅ ｃ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅｎ ｉ ｅ ｒ ｎ
６ ７＋４ 一 ｈ ＾
ｂ（ ） ｎ 的性质。关于这一问题 ， 文献 ［ ］ ２ 研究了 ｋ ２ ＝
时 ， 列 。 （ ） ｂ（ ） 数 ｎ 和 ｎ 的性质 ， 文献 ［ ］ 究 了 ＝ ３研
＾ ＋
垄（ 二 垒
＼
一 ）（ ｘ ＾＋ 一）
一 垒＝ 垄（
授， 研究方向： 基础数论 。邮箱 ： ａ ｉ ａ ＠１６ Ｃ ｌ ｍ ｌ ｈ ｎ ２ ．Ｏｌ ａｕ ｌ
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科
学
技
术
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１卷 ０
理 １ 。
证明 对任意一正整实数 ｎ ｈ＝［ 】 ， 表示不超过
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８（ ４ ｈ一１ ．１６ ｈ一１ ） ２（ ）
ｎ１ （ ）＝１ ａ ２ ， （ ）＝１ ｎ ３ ， （ ）＝１ ａ ４ ， （ ）＝４ ａ ５ ， （ ）＝４， ａ ６ ４ … 。６ １ （ ）： ， （ ）＝１ ｂ ２ ＝ ｂ ３ ４ ｂ ４ ，（ ） ４， （ ）＝ ， （ ）＝
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１０ ２