数学九年级下人教新课标28.2解直角三角形应用举例2教学资料

应用举例知识点拨:1.如下左图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.2.如上右图，坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示，即：i ＝lh . 坡面与水平面的夹角叫做坡角.用字母α表示， 即：i ＝lh＝tan α. 方法指导：使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决. 疑难解析：例1 甲、乙两楼相距80米，从乙楼楼底望甲楼楼顶的仰角为45°，从甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°，试求两楼的高.解：设AB 为乙楼，CD 为甲楼(如图)在Rt △ACD 中，∠DAC ＝45°， ∴CD ＝AC ＝80过B 作BE ⊥CD 于点E ，设AB ＝x 则DE ＝(80-x)米在Rt △BED 中，∠DBE ＝30°，BE ＝AC ＝80米 tan ∠DBE ＝BEDE即33＝8080x解得：x ＝80(1-33) 则AB ＝80(1-33)(米) CD ＝80米答：甲楼高为80米，乙楼高为80(1-33)米. 说明：本例构造了两个直角三角形，通过解直角三角形来求解.例2 如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD ，斜坡AB 的坡度为1∶3，坡面AB 的水平宽度为33米，上底宽AD 为4米，求坡角B ，坝高AE 和坝底宽BC 各是多少?分析：将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际已知i ＝1∶3，即知BE AE ＝31，BE ＝33 AD ＝4，求∠B 、AE 、BC.此题实质转化为解直角三角形的问题.解：∵tanB ＝i ＝31＝33又∵∠B 是锐角 ∴∠B ＝30° 又∵BE AE＝i ＝31 又∵BE ＝33 ∴AE ＝33×31＝3BC ＝2BE+AD ＝2×33+4 ＝4+63答：坡角B 为30°，坝高AE 为3米，坝底宽为(63+4)米.注意：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称. (2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形同题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.梯形也是通过作底面高线来构造直角三角形.(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边.例3 如图一轮船自西向东航行，在A 处测得某岛C ，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B ，再测C 岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C 岛最近?最近距离是多少?分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示，船沿AB 方向继续前进至D 处与C 岛最近，此问题实质就是已知∠A ＝90°-60°＝30°，∠ABC ＝90°+30°＝120°，AB ＝8海里，求BD 和CD 的解直角三角形问题.解：根据题设可知△ABC 中，∠CAB ＝30° ∠ABC ＝120°，AB ＝BC ＝8 ∴最近距离即为C 到AB 所在直线的垂线段CD 的长度. 在Rt △CBD 中，BC ＝8，∠BCD ＝60°于是，BD ＝BC ·cos60°＝8×21＝4(海里) CD ＝BC ·sin60°＝8×23＝43 (海里) 答：船再前进4海里就与C 最近，最近距离是43海里.注意：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障. 典例精评例1 如图，在山顶B 处有一铁塔AB ，在A 处测得地面上一点C 的俯角为60°，在塔底B 测得C 俯角为45°，已知AB ＝30米，求山高DB 的值.分析 本题图形中有两个直角三角形，它们有公共边DC ，所以用含有BD 的代数式表示DC 和AD ，而DC 和AD 在Rt △ADC 中，可利用三角函数关系式列出DC 的方程，由BD ＝DC ，得到结论.解：由已知条件得：BD ＝DC ，AD ＝30+BD ，∠ACD ＝60°在Rt △ADC 中，tan60°＝CD AD ＝DCDC30＝3 ∴DC ＝15(3+1)(米) ∴BD ＝15(3+1)(米) 答：山高DB 为15(3+1)米例 2 一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，试根据图中数据求出坡角α和坝底宽AD(如图所示).分析 此题应正确理解，应用坡度、坡角的概念及联系，即i ＝tan α＝FDCF，将梯形问题，添加高线把梯形转化为两个直角三角形及矩形来解.解：过C 作CF ⊥AD 于F ∵AB ＝CD ，BC ∥AD∴CF ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝4又∵i ＝1∶3∴AE ＝FD ＝3·CF ＝3×6＝63（米） ∴AD ＝AE+EF+FD ＝4+123（米）∵tan α＝FD CF＝i ＝31＝33∴α＝30°答：坡角α＝30°，坝底宽AD ＝(4+123)米.考点预测利用三角函数知识解决实际问题在每年的中考题中都有可能出现，并且多以综合题形式出现. 例1 如图，在平地D 处测得树顶A 的仰角为30°，向树前进10米，到达C 处，再测得树顶A 的仰角为45°，求树高AB.(结果保留根号)分析：先将实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形已知∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，∠ADB ＝30°，CD ＝10米，求AB.由于AB 所在的Rt △ABC 和Rt △ABD 都不够解三角形的条件，所以需设AB ＝x ，同时解两个直角三角形，得到关于x 的方程再求出x 的值.解：设AB ＝x 米，则在Rt △ABC 和Rt △ABD 中 BC ＝ABcot45° BD ＝AB ·cot30°∴CD ＝BD-BC ＝x(3-1) 又∵CD ＝10 ∴x(3-1)＝10 ∴x ＝1310-＝5(3+1)＝53+5(米)答：树高为53+5米.此题为1998年辽宁省的中考试题，这实际上是利用三角板组合的图形题，类似这种类型题每年中考题选上都有几道，望多加注意.例2 如图，在一座山的山顶B 处用高为1米的测倾器望地面C 、D 两点，测得的俯角分别为60°和45°，若已知DC 的长是20米，求山高BE.(结果可用根式表示)解 在Rt △ACE 中，有CE ＝AE ·tan30°， 在Rt △ADE 中，有DE ＝AE ·tan45°, ∴DC ＝DE-CE ＝AE(tan45°-tan30°) ∴AE ＝︒-︒30tan 45tan 20＝(30+103)米∴BE ＝AE-AB ＝(29+103)米 答：山高为(29+103)米.例3 如图，上午8时，一条船从A 处出发以15海里/时的速度向正北航行，9时45分到达B 处，从A 处测得灯塔C 在北偏西26°，从B 处测得灯塔C 在北偏西52°，求B 处到灯塔C 的距离.解 ∵∠CBN ＝∠C+∠BAC ∴∠C ＝52°-26°＝26° ∴∠C ＝∠BAC ，∴AB ＝BC 又∵AB ＝15×(1+6045)＝26.25海里 ∴B 处到灯塔C 的距离CB 为26.25海里. 例4 如图，从20米高的甲楼顶A 处望乙楼顶C 处的仰角是30°，望乙楼底D 处的俯角是45°，求乙楼的高度.(精确到0.1米，2≈1.414，3≈1.732)解 过A 点作AE ⊥CD ，垂足是E ， ∵AB ∥CD ，AE ∥BD ∴DE ＝AB ＝20米在Rt ∠ADE 中，∠DAE ＝45°，DE ＝20米， ∴AE ＝20米在Rt △ACE 中，∠CAE ＝30°，AE ＝20米 ∴CE ＝AE ·tan30°＝3203米∴CD ＝CE+ED ＝3203 +20＝20(33+1) ≈31.5米答：乙楼的高约是31.5米. 【同步达纲练习】知识强化： 一、填空题1.在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，AB ＝2，则BC ＝ ，AC ＝ .2.在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，则BC ＝ .3.在△ABC 中，∠A ＝120°，b ＝53,c ＝85，则S △ABC ＝ .4.已知△ABC 中，AB ＝23，AC ＝8，BC ＝6，BD 是中线，则BD ＝ .5.已知斜坡AB 长为60米，AB 的坡度i ＝1∶3，则斜坡AB 的高度为 米.6.如图，从楼A 处望地面C 、D 两点的俯角分别为45°和30°，若CD 距离为100米，则楼AB 高为 .7.等腰直角三角形一腰上的中线与底边夹角的余弦值为 .8.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，则sinB ·sinC ＝ . 二、选择题9.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝22,b ＝26，那么下面结论中不正确的是( ) A.c ＝42 B.cotA ＝3C.sinA+cosB＝1D.∠B ＝30°10.在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝8，则BC 的长为( ) A.4B.42C.43D.4611.如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，它们的俯角分别为45°、30°，如果测得CD 为100米，那么山高AB 等于( )A.100米B.23×100米 C.502 D.50(3+1)米 12.某个水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i ＝1∶3，坝外斜坡的坡度i ＝1∶1，那么两个坡角的和为( )A.90°B.75°C.60°D.105°素质优化：1一船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北偏东60°，2小时后，船在C 处看见这个灯塔在船的北偏东45°，求灯塔B 到船的航线AC 的距离.2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽8m ，坝高25m ，斜坡AB 的坡度i=1∶2.8，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.4，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m).创新深化：如图，敌人在某岛周围20海里的区域内布设了水雷，某舰由西向东航行，起初在O 点处观察此岛的北偏东60°处，航行30海里到达B 时，再观察此岛，在北偏东30°处，如果不改变航向，继续向东航行，此舰有没有触雷的危险.参考答案知识强化：一、1.22-2，6-2 2.27 3.305 4.233 5.30 6.50(3+1) 7.31 8.143 二、9.D 10.B 11.D 12.B 素质优化:1.(803 +120)千米2.AD ＝138米，AB ＝74.3米 创新深化:∵AC ＝153＞0 ∴没有触雷的危险。