备考2019高考数学二轮复习 选择填空狂练十三 概率与计数原理 理
2019年高考真题理科数学分类汇编专题10 概率与统计和计数原理(解析版)
专题10 概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差 【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率． 【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X ；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333kkkP X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=． （2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====． 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 127p =，解释见解析． 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-， 即114()i i i i p p p p +--=-． 又因为1010p p p -=≠， 所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-， 所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．专题 计数原理1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)rr r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：5．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．3．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值．【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-．【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．。
高考数学压轴专题新备战高考《计数原理与概率统计》单元汇编附答案解析
新《计数原理与概率统计》专题一、选择题1．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.2．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由得，故或，由，故或，故使的概率为.【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.3．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．4．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．5．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有233()27C =种不同结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有22133218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计算公式可得所求概率为182273=. 故选：D 【点睛】不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.6．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28C ．38D ．42【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有2887282C ⨯==种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法；故选B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．7．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．24 D ．48【答案】A 【解析】 【分析】分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有212421226C C C A =种分组方法；②将分好的3组对应3名任课教师，有336A =种情况；根据分步乘法计数原理可得共有6636⨯=种不同的问卷调查方案． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．8．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++LL 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．101)【答案】C 【解析】 【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】解：因为)1021001210xa a x a x a x =++++L ，令1x =得)100123101a a a a a =++++L ，令1x =-得)100123101a a a a a =-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦=1011== 故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．考点：排列、组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．10．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行， 令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112nn n S -==--，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,L可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=， 令(1)152n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B. 【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126【答案】A 【解析】 【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.13．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.14．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为 A ．55 B ．90 C ．425 D ．512【答案】D 【解析】利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有09C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有29C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有99C 种；故总数为012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==.故选D.15．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为（ ）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，【答案】D【解析】【分析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.【详解】A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.故答案为D.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.16．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()A．280 B．320 C．400 D．1000【答案】C【解析】【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++Q 每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。
2019年高考数学仿真押题试卷(十三)(含解析)
欢迎下载！1专题13 高考数学仿真押题试卷（十三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则(AB = )A ．{|2}x x -B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <D ．{|2}x x【解析】解：{|1}A x x =>，；．【答案】C ．2．若复数z 满足(1)1z i i +=+，则||(z = ) A ．i -B ．1i -C ．2D．1【解析】解：由(1)1z i i +=+，得，z i ∴=-，则||1z =．【答案】D ．3．经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是( )欢迎下载！2A ．0.35B ．0.65C ．0.7D ．0.85【解析】解：学生成绩X 服从正态分布2(85,)N σ，且，，∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35．【答案】A ．4．若x ，y 满足约束条件101010x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则2z x y =+的最小值是( )A ．5-B ．4-C ．0D ．2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得平移直线，由图象可知当直线经过点(2,1)A --时，直线2y x z =-+的截距最小， 此时z 最小．将(2,1)A --的坐标代入目标函数2z x y =+， 得4z =-．即2z x y =+的最小值为4-； 【答案】B ．5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积是( )A．82πB．43πC ．12πD．323π【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为．∴该三棱柱外接球的半径为3．体积．【答案】B．6．将函数的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为()A．(12π，0)B．(4π，0)C．(3π，0)D．(2π，0)【解析】解：将函数的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为，令26x kππ-=，求得212kxππ=+，k Z∈，故函数的对称中心为(212kππ+，0)，k Z∈，【答案】A．欢迎下载！ 37．函数的图象在点(1，f（1）)处的切线在y轴上的截距为() A．e B．1 C．1-D．0【解析】解：由，得1 ()f xax'=+，则f'（1）1a=+，又f（1）a=，∴函数的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为，取0x=，可得1y=-．∴函数的图象在点(1，f（1）)处的切线在y轴上的截距为1-．【答案】C．8．刘徽《九章算术商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A．3πB．3πC．3πD．4π【解析】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，欢迎下载！ 4欢迎下载！5∴长方体的对角线为3， ∴外接球的半径为3， ∴外接球的体积为．【答案】B ． 9．已知函数，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确的是( ) A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【解析】解：由题意可知56πϕ=， 故，．【答案】C ．10．已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有( ) A ．1880B ．1440C ．720D ．256【解析】解：由题意可知，白颜色汽车按3，2分为2组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共有35A 种，欢迎下载！6再将剩余的2辆白色汽车全排列共有22A 种，再将这两个整体全排列，共有22A 种，排完后有3个空， 3辆不同的红颜色汽车抽空共有33A 种， 由分步计数原理得共有有种，【答案】B ．11．已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足( )A ．2019110aB ．201910a >C ．20191010a <<D ．20191110a < 【解析】解：将此数列分组为12()(11，13)(21，22，14)(31，32，23，1)4⋯第n 组有n 个数，设数列的第2019项2019a 在第n 组中，由等差数列前n 项和公式可得：，解得：64n =，则前63组共，即2019a 在第64组的第3项，即，【答案】B ． 12．已知抛物线的焦点为F ，点0(M x ，22)是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为3||MA ，若||2||MA AF =，则||(AF = ) A ．32B ．1C ．2D ．3【解析】解：如图，圆心M 到直线2p x =的距离0||2pd x =-，⋯① 圆M 的半径||r MA =，，⇒221||4d MA =，⋯② ||2||MA AF =，③由①②③可得0x p =，或04p x =，欢迎下载！7，2p ∴=或4．∴022p x =⎧⎨=⎩或041p x =⎧⎨=⎩，．【答案】B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记BE a =，AC b =，用a ，b 表示AB ，则AB = 2133a b -+ ．【解析】解：由图可知：，①，②联立①②解得：，【答案】2133a b -+．14．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组来表示，设(,)x y是阴影中任意一点，则2z x y=+的最大值为15+．【解析】解：由题意可知：2z x y=+与相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：22121+，解得，2z x y=+的最大值为：15+．【答案】15+．15．已知，1C与2C相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r为7225．【解析】解：设两圆的公切线为7y x t=+，即70x y t-+=，已知圆心1(2,2)C，2(1,1)C--，设1C，2C到公切线的距离为1d，2d，欢迎下载！8可得，，由于公切线在两圆的同侧，，即|3|15t+=，可得12t=或18-，当12t=时，；当18t=-时，1272 25r r=．综上可得127225r r=．【答案】7225．16．在各项均为正数的等比数列{}na中，318a a-=，当4a取最小值时，则数列{}2n na的前n项和为．【解析】解：各项均为正数的等比数列{}na中，首项为1a，公比设为(0)q q>，由318a a-=，即2118a q a-=，(0q>且1)q≠，整理得1281aq=-，所以，令，可得，当03q<<时，()0f q'>，()f q递增；当3q>时，()0f q'<，()f q递减，可得3q=时，()f q取得极大值，且为最大值，则，数列{}2n na的前n项和为，欢迎下载！9欢迎下载！10，两式相减可得，化简可得． 【答案】．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-． （1）求证{1}n a +为等比数列；（2）数列{}n b 满足，求{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）证明：由2n n S a n =-．2n 时，，化为：，1n =时，1121a a =-，解得11a =． 112a ∴+=．{1}n a ∴+为等比数列，首项为2，公比为2．（2）解：由（1）可得：12n n a +=．，{}n b ∴的前n 项和， ，相减可得：，整理为：．18．某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元)7 89 1112 13销量()y kg120 118 112 110 108 104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y关于x的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，ˆˆa y bx=-．【解析】解：（1），．，．y∴关于x的线性回归方程为；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，，，，．ξ∴的分布列为：ξ 0 1 2 3欢迎下载！11P120920920120期望为．19．如图四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA BC⊥，BC CD⊥，4AB=，2BC CD==，AD BD=．（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若AB与平面PBD所成的角的正弦值为22，求二面角C PB D--的余弦值．【解析】证明：（1）BC CD⊥，4AB=，2BC CD==，AD BD=．，，AD BD∴⊥，四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA BC⊥，BC CD⊥，BC∴⊥平面PAB，BC⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面PAB PA=，PA∴⊥平面ABCD，PA BD∴⊥，，BD∴⊥平面PAD，BD⊂平面PAD，∴平面PBD⊥平面PAD．解：（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AP a=，则(0A，4，0)，(0B，0，0)，(0P，4，)a，(1D，1，0)，(0BA=，4，0)，(0BP=，4，)a，(1BD=，1，0)，设平面PBD的法向量(n x=，y，)z，欢迎下载！12欢迎下载！13则，取1x =，得(1n =，1-，4)a，AB与平面PBD所成的角的正弦值为22， ，解得82a =，∴(1n =，1-，32)， (1BC =，0，0)，(0BP =，4，82)， 设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则，取3z =，得(0m =，22-，3)，设二面角C PB D --的平面角为θ，则． ∴二面角C PB D --的余弦值为17．20．已知椭圆上的动点P 到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为12． （1）求椭圆的方程；欢迎下载！14（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，Q 是椭圆C 的左顶点，若，试证明直线l 经过不同于点Q 的定点．【解析】（1）解：由已知可得，222112a c c a a bc -=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a =，3b =，∴椭圆的方程22143x y +=；（2）证明：由，得QA QB ⊥，设直线AB 方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得．△．，．由题意，(2,0)Q -，则，，由QA QB ⊥，得，∴，即，，即72m k =-或2m k =-．当72m k =-时，满足△0>，此时直线方程为：，过定点2(,0)7；当2m k =-时，满足△0>，此时直线方程为：，过定点(2,0)，不合题意．综上，直线l 经过不同于点Q 的定点2(,0)7．21．已知函数，a R∈．（1）当0a=时，求()f x在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）当0x>时，()f x是否存在两个极值点，若存在，求实数a的最小整数值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）函数导数，当0a=时，，f（1）1 2=，，f'（1）1e=+，即在点1(1,)2处的切线斜率1k e=+，则对应的切线方程为即．（2）当0x>时，若()f x存在两个极值点，则()0f x'=有两个不同的解，即，有两个根，即1xe ax+=有两个不同的根，设()1xh x e=+，()xh x e'=，设切点(,1)mm e+，则()mh m e'=，即过原点的切线方程为，即当0x=，0y=时，，设，则，即()g m在(0,)+∞上为减函数，g（1）10=>，g（2），∴当(1,2)m∈时，()0g m=，即当ma e>时，1xy e=+和y ax=有两个交点，欢迎下载！15欢迎下载！16(1,2)m ∈，2(,)m e e e ∴∈，∴当3a =时，3y x =与()h x 没有交点，当4a =时，3y x =与()h x 有两个交点，即当0x >时，()f x 是存在两个极值点，此时最小的a 的整数值为4(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的参数方程为为参数），曲线2C 的极坐标方程为．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若点P 、Q 分别为曲线1C 及曲线2C 上任意一点，求||PQ 的最小值及此时P 的坐标．【解析】解：（1）因为，∴，①2+②2得2213xy +=，即1C 的普通方程为2213x y +=，曲线2C 的极坐标方程为，，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得2C 的直角坐标方程为：150x y +-=．（2）设直线l 与2C 平行，且与曲线1C 相切，设l 方程为0x y C ++=，联立l 与1C 的方程消去欢迎下载！17y 得：，③因为l 与曲线1C 相切，故△，解得：2C =，或2c =．2C 的方程为：150x y +-=∴当2C =-时，设切点为P ，过P 作2C 的垂线，垂足为Q ，则此时||PQ 最小，且此时，||PQ 值等于l 与2C 的距离，．将2C =-代入③得，32x =，．即P点坐标为3(2，1)2．综上，点P 、Q 分别为曲线1C 及曲线2C 上任意一点，则||PQ 的最小值为132，此时P 点坐标为3(2，1)2． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数．（1）当1a =时，求不等式()f x x -的解集； （2）若2()1f x a +恒成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）1a =时，，即，不等式()f x x -即为23x x -⎧⎨-⎩或或13x x ⎧⎨--⎩，即有3x -或11x -<或13x ， 则为3x -或13x -，所以不等式的解集为{|3x x -或13}x -； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()f x 的值域为[3-，3]，欢迎下载！18若2()1f x a +恒成立，则，即231a +，解得2a或2a -．∴实数a 的取值范围是(-∞，2][2-，)+∞．。
2019年高考高中数学步步高第2轮复习概率与统计第1讲 计数原理
第1讲计数原理[考情考向分析] 1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．例1(1)(2018·潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A．120种B．156种C．188种D．240种答案 A解析当“数”排在第一节时有A22·A44＝48(种)排法，当“数”排在第二节时有A13·A22·A33＝36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A22·A33＝12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A12·A22·A33＝24(种)排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法．(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为()A．9 B．10 C．11 D．12答案 D解析根据题意个位数需要满足要求：n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴个位数可取0,1,2三个数，∵十位数需要满足：3n<10，∴n<3.3，∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．跟踪演练1(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A．18种B．24种C．36种D．48种答案 C解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6(种)抢法；若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6(种)抢法．根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )A.9种 B ．18种 C ．12种 D ．36种答案 B解析 若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式． 热点二 排列与组合例2 (1)(2018·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有( ) A ．240种 B ．480种 C ．720种 D ．960种答案 B解析 12或67为空位时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空位时，第三个空位有3种选择，因此空位共有2×4＋4×3＝20(种)，所以不同坐法有20A 44＝480(种)． (2)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( ) A ．25种 B ．60种 C ．90种 D ．150种 答案 D解析 因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有C 15C 24A 22×A 33＝90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C 35×A 33＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分配方法．思维升华 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”． 跟踪演练2 (1)(2018·北京市建华实验学校模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法有________种． 答案 80解析 由题意先将甲乙捆绑在一起有A 22种排法，再与丙一起排列一共有A 22A 22种排法，然后再将丁戊插入共有A 22A 22C 14C 15＝80(种)排法．(2)(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到四个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有( ) A ．168种 B ．156种 C ．172种 D ．180种答案 B解析 分类：(1)小李和小王去甲、乙，共有A 22C 24C 22＝12(种)；(2)小王、小李一人去甲、乙，共C 12C 12C 14C 24＝96(种)；(3)小王、小李均没有去甲、乙，共A 22A 44＝48(种)，总共N ＝12＋96＋48＝156(种)安排方案． 热点三 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n ，其中各项的系数C k n (k ＝0,1，…，n )叫做二项式系数；展开式中共有n ＋1项，其中第k ＋1项T k ＋1＝C k n an －k b k (其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)称为二项展开式的通项公式．例3 (1)(2018·揭阳模拟)已知(x ＋1)⎝⎛⎭⎫ax －1x 5的展开式中常数项为－40，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．4 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫ax －1x 5展开式的通项公式为 T k ＋1＝C k 5(ax )5－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k a 5－k C k 5x 5－2k， 令5－2k ＝－1，可得k ＝3，结合题意可得(－1)3a 5－3C 35＝－40，即10a 2＝40，∴a ＝±2.(2)已知(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2 017(x ∈R )，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017等于( ) A ．2 017 B ．4 034 C ．－4 034 D ．0 答案 C解析 因为(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2017(x ∈R )，两边同时求导可得－2×2 017(1－2x )2 016＝a 1＋2a 2(x －1)＋…＋2 016a 2 016(x －1)2 015＋2 017a 2 017(x －1)2 016(x ∈R )，令x ＝0，则－2×2 017＝a 1－2a 2＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017＝－4 034. 思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与k 确定，该项就随之确定； ②T k ＋1是展开式中的第k ＋1项，而不是第k 项；③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b )n 的展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．跟踪演练3 (1)(2018·龙岩质检)已知二项式⎝⎛⎭⎫1＋1x －2x 4，则展开式的常数项为( ) A ．－1 B ．1 C ．－47 D ．49 答案 B解析 ∵二项式⎝⎛⎭⎫1＋1x －2x 4＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1x －2x 4＝1＋4⎝⎛⎭⎫1x －2x ＋6⎝⎛⎭⎫1x －2x 2＋4⎝⎛⎭⎫1x －2x 3＋ ⎝⎛⎭⎫1x －2x 4，∴二项式中的常数项产生在1,6⎝⎛⎭⎫1x －2x 2，⎝⎛⎭⎫1x －2x 4中， 分别是1,6×2·1x·()－2x ，C 24·⎝⎛⎭⎫1x 2·()－2x 2， 它们的和为1－24＋24＝1.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若AB ＝32，则n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 A解析 令x ＝1，得各项系数之和为A ＝4n，二项式系数之和为B ＝2n，故A B ＝4n2n ＝32，解得n＝5.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种． 答案 36解析 由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．2．(2016·上海)在⎝⎛⎭⎫3x －2x n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 答案 112解析 由2n ＝256，得n ＝8， 通项公式T k ＋1＝C k 8·83kx-·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k8(－2)k ·843k x -，令8－4k 3＝0，得k ＝2，则常数项为C 28(－2)2＝112. 3．(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________. 答案 16 4解析 a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16. a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4. 4．(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案 660解析 方法一 只有1名女生时，先选1名女生，有C 12种方法；再选3名男生，有C 36种方法；然后排队长、副队长位置，有A 24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C 12C 36A 24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C 26种方法；然后排队长、副队长位置，有A 24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C 26A 24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二 不考虑限制条件，共有A 28C 26种不同的选法， 而没有女生的选法有A 26C 24种，故至少有1名女生的选法有A 28C 26－A 26C 24＝840－180＝660(种)．押题预测1．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．8种B．16种C．18种D．24种押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点．答案 A解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A12种方法；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A12种方法；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A22种方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A12A12A22＝8(种)．2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为()A．60 B．120C．240 D．360押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类．答案 D解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C12种，其余5名分成一人组和四人组有C45A22种，共C45A22C12＝20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有C35C12A22＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有C35C22A22C12＝40(种)，王教练分配到三人组有C25C23C12A22＝120(种)，王教练分配到两人组有C15C12C34A22＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种情况，共有C15C12C24C22＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．3．设(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则代数式a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7的值为()A．－14 B．－7C．7 D．14押题依据二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设计角度新颖、典型，有代表性．答案 A解析 对已知等式的两边求导，得－14(1－2x )6＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4＋6a 6x 5＋7a 7x 6， 令x ＝1，有a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＝－14. 4．(1＋2x )10的展开式中系数最大的项是________．押题依据 二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力． 答案 15 360x 7解析 设第k ＋1项的系数最大，由通项公式T k ＋1＝C k 102k x k，依题意知T k ＋1项的系数不小于T k 项及T k ＋2项的系数，即⎩⎪⎨⎪⎧C k 102k ≥C k －1102k －1，C k 102k ≥C k ＋1102k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧2(11－k )≥k ，k ＋1≥2(10－k )，所以193≤k ≤223，即k ＝7.故最大的项为T 8＝C 71027x 7＝15 360x 7.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k ·⎝⎛⎭⎫2x k ＝C k 5·2k ·x 10－3k， 令10－3k ＝4，得k ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. 2．在新一轮的素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动，已知某高中学校提供了3门选修课供该校学生选择，现有5名同学参加该校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这5名同学选课的种数为( ) A ．120 B ．150 C ．240 D ．540答案 B解析 因为将5个人分成3组有两种情形， 5＝3＋1＋1,5＝2＋2＋1，所以这5名同学选课的种数为⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33＝150，故选B. 3．(2018·北京丰台区模拟)某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为( )A ．4B ．8C ．12D ．24 答案 B解析 由题意，现对两位男生全排列，共有A 22＝2(种)不同的方式，其中两个男生构成三个空隙，把两位女生排在前两个空隙或后两个空隙中，再进行全排列，共有2×A 22＝4(种)不同的方式，所以满足条件的不同的排法种数为2×4＝8.4．将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学的排法有( ) A ．18种 B ．20种 C ．21种 D ．22种答案 B解析 当A ，C 之间为B 时，看成一个整体进行排列，共有A 22·A 33＝12(种)，当A ，C 之间不是B 时，先在A ，C 之间插入D ，E 中的任意一个，然后B 在A 之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C 12·A 22·A 22＝8(种)，所以共有20种不同的排法． 5．(2018·永州模拟)⎝⎛⎭⎫x －1x ⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3的展开式中的常数项为( ) A ．－6 B ．6 C ．12 D ．18 答案 D解析 由二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3的通项公式为T k ＋1＝C k 33k ·x 3－2k ，当3－2k ＝1时，解得k ＝1，当3－2k ＝－1时，解得k ＝2，所以展开式中的常数项为－C 13·31＋C 23·32＝－9＋27＝18.6．(2018·吉林调研)若⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( )A ．－462B ．462C ．792D ．－792答案 D解析 ∵⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大， ∴n 为偶数，展开式共有13项，则n ＝12.⎝⎛⎭⎫x －1x 12的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k C k 12·x 12－2k ，令12－2k ＝2，即k ＝5. ∴展开式中含x 2项的系数是(－1)5C 512＝－792.7．(2018·上海黄浦区模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 40的展开式中，其中是有理项的共有( ) A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项答案 B 解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 40的展开式中， 通项公式为T k ＋1＝C k 40·()x 40－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x k ＝C k 40·5206k x -，0≤k ≤40，∴当k ＝0,6,12,18,24,30,36 时满足题意，共7个．8．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( )A ．144种B ．288种C ．360种D ．720种答案 A解析 《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A 44种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有A 44A 22种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排)，有A 24种排法．《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有A 44A 22×A 24＝144(种)． 9．(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)答案 16解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C 12C 24种，有2位女生参加有C 22C 14种．故所求选法共有C 12C 24＋C 22C 14＝2×6＋4＝16(种)．方法二 间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C 36种情况，没有女生参加的情况有C 34种，故所求选法共有C 36－C 34＝20－4＝16(种)．10．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x 2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________． 答案 －1解析 令等式中的x ＝0，得a 0＝1；再令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0， 所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－a 0＝－1.11．若(x ＋y )(2x －y )5＝a 1x 6＋a 2x 5y ＋a 3x 4y 2＋a 4x 3y 3＋a 5x 2y 4＋a 6xy 5＋a 7y 6，则a 4＝________，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝________.答案 40 2解析 ()2x －y 5的二项展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5(2x )5－k (－y )k ＝C k 525－k (－1)k x 5－k y k ， 令k ＝3，得T 4＝－40x 2y 3；令k ＝2，得T 3＝80x 3y 2，再与x ＋y 相乘，可得x 3y 3的系数为－40＋80＝40，∴a 4＝40.在(x ＋y )(2x －y )5＝a 1x 6＋a 2x 5y ＋a 3x 4y 2＋a 4x 3y 3＋a 5x 2y 4＋a 6xy 5＋a 7y 6中，令x ＝y ＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(1＋1)(2－1)5＝2.12．元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有________种不同取法．(用数字作答)答案 1 680解析 A 99A 33A 33A 33＝1 680. B 组 能力提高13．已知m ＝ʃπ03cos ⎝⎛⎭⎫x －π2d x ，则(x －2y ＋3z )m 的展开式中含x m －2yz 项的系数等于( ) A ．180 B ．－180 C ．－90 D ．15答案 B解析 由于m ＝ʃπ03cos ⎝⎛⎭⎫x －π2d x ＝ʃπ03sin x d x ＝(－3cos x )|π0＝6，所以(x －2y ＋3z )m ＝(x －2y ＋3z )6＝[(x －2y )＋3z ]6，其展开式的通项为C k 6(x －2y )6－k (3z )k ， 当k ＝1时，展开式中才能含有x 4yz 项，这时(x －2y )5的展开式的通项为C S 5·x 5－S (－2y )S ， 当s ＝1时，含有x 4y 项，系数为－10，故(x －2y ＋3z )6的展开式中含x 4yz 项的系数为C 16·(－10)×3＝－180.14．为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为( )A．720 B．768C．810 D．816答案 B解析由题意知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C14A44＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有C14A22A33＝48(种)情况，所以当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C34C13A44＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C24C23A44＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.15．(2018·保山模拟)一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3处，则小蜜蜂不同的飞行方式有________种．答案75解析由题意知，小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3处，共有以下四种情形：一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有C15＝5(种)情况；二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行，每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且飞行两个单位，1次向负方向飞行，且飞行两个单位，共有C15C14C33＝20(种)情况；三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行，且飞行一个单位，2次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有C25C13C22＝30(种)情况；四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行，每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有C35A22＝20(种)情况；共有5＋20＋30＋20＝75(种)情况．16．(2018·上海松江、闵行区模拟)设x1，x2，x3，x4∈{－1,0,2}，那么满足2≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|≤4的所有有序数组(x1，x2，x3，x4)的组数为________．答案45解析分类讨论：①|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＝2，则这四个数为2,0,0,0或－1，－1,0,0，有C14＋C24＝4＋6＝10(组)；②|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＝3，则这四个数为2，－1,0,0或－1，－1，－1,0，有C14×C13＋C34＝12＋4＝16(组)；③|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＝4，则这四个数为2,2,0,0或－1，－1,2,0或－1，－1，－1，－1，有C24＋C24C12＋C44＝6＋6×2＋1＝19(组)；综上可知，所有有序数组(x1，x2，x3，x4)的组数为10＋16＋19＝45.。
2020届高考数学二轮复习疯狂专练13概率与计数原理(理)
ˆˆ，2πB．疯狂专练13概率与计数原理一、选择题1．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）由上表可得回归方程为y=10.2x+a，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为（）A．118.2万元B．111.2万元C．108.8万元D．101.2万元2．2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡．6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元．若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分）则每名老党员需要支付的照片费为（）A．20.5B．21元C．21.5元D．22元3．梅赛德斯-奔驰（Mercedes-Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O为圆心，∠OAB=15︒，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．23-323-34πC．63-92πD．63-94π4．连续掷两次骰子，先后得到的点数m，n为点P(m,n)的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（）πB．2πC．2π2D．1-4C．710D．45．如图，若在矩形O ABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A．1-22π26．袋中有形状、大小都相同且编号分别为1,2,3,4,5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（）A．35B．3517．(1+2x2)(x-)6的展开式中，含x2的项的系数是（）xA．-40B．-25C．25D．558．将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（）A．70B．40C．30D．209．已知随机变量X~N(2,1)，则P(0<X<1)=（）参考数据：若X~N(μ,σ),P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ-3α<X<μ+3α)=0.9974A．0.0148B．0.1359C．0.1574D．0.314810．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式(3x-1)5的展开式的各项系数之和．现从0,1,2,3,4,5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）153B．12D．2n(ac-bd)50(20⨯15-10⨯5)2,11．已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)为（）A．2C．312．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由k2=，得k2=≈8.333参照附表，得到的正确结论(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)30⨯20⨯25⨯25是（）A．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”二、填空题13．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,⋯33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下15．设随机变量 X ~ B(6, ) ，则 P(2 < X ≤ 4) = ________．表是随机数表的第一行和第二行）选取6 个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第 6 列和第 7 列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3 个红色球的编号为______．14．某中学连续14 年开展“走进新农村”社会实践活动．让同学们开阔视野，学以致用．展开书本以外的思考．进行课堂之外的磨练．今年该中学有四个班级到三个活动基地．每个活动基地至少分配1个班级．则 A 、B两个班级被分到不同活动基地的情况有______种．1316．已知随机变量 X : B (100,0.1)，则 DX = ______．．ˆ ˆ ˆ ．又 sin15 ︒ = sin (45︒ - 30︒) =2．不妨设 OA = 4 ，则由正弦定理可得 O B = OA ⋅ sin15︒ 1( )．答 案 与解析一、选择题1 【答案】B【解析】由表格中数据可得， x = 4 ， y = 50 ，∴ 50 = 4 ⨯10.2 + a ，解得 a = 9.2 ，∴回归方程为 y= 10.2x + 9.2 ，∴当 x = 10 时， y= 10.2 ⨯10 + 9.2 = 111.2 ，即预测广告费为10 万元时销售额约为111.2 ，故选 B ．2 【答案】B【解析】利用捆绑法可求得照片的总数为 A 3A 4 = 144 ，34则每名老党员需要支付的照片费为144 ⨯ 0.5 + 72 ⨯ 0.756= 21 元．3 【答案】D【解析】由已知可得 ∠AOB = 60︒ ，则 ∠ABO = 105︒ ，3 1 6 - 2⨯ ( - ) =2 2 2 4，sin105 ︒ = sin (45︒ + 60︒) = 2 1 3 6 + 2 ⨯ ( + ) =2 2 2 4．4 ⨯ ( 6 - 2)= = 8 - 4 3 ，sin105︒ 6 + 2△S AOB 则= ⨯ 4 ⨯ 8 - 4 3 ⨯ s in 60︒ = 8 3 -12 ， 2所以阴影部分的面积为 S ' = 3△SAOB= 24 3 - 36 ，圆 O 的面积为 S = 16π ，则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为 P =故选 D ．4 【答案】CS ' 24 3 - 36 6 3 - 9 = = S 16π 4π．+ y 2 = 17 内部的概率是 8． ．．x x．．【解析】所有的点 P(m , n) 共有 6 ⨯ 6 = 36 个，点 P 在圆 x 2 + y 2 < 17 内部，即点 P(m , n) 满足 x 2 + y 2 < 17 ，故满足此条件的点 P(m , n) 有 (1,1) ， (1,2)， (1,3)， (2,1)， (2, 2) ， (2,3) ， (3,1)， (3,2) 共 8 个，故点 P 在圆 x 25 【答案】A2= ，故选 C ． 36 9【解析】 S矩形= π ⨯1 = π ，π 又 ⎰sin d x = - cos x |π = - (cos π - cos0 ) = 2 ，∴ S 0矩形= π - 2 ，∴豆子落在图中阴影部分的概率为 π - 2 2= 1 - ．故选 A ．π π6 【答案】D【解析】袋中有形状、大小都相同且编号分别为1,2,3,4,5 的 5 个球，其中1个白球， 2 个红球， 2 个黄球，从中一次随机取出 2 个球，基本事件的总数为 n = C 2 = 10 ，5这 2 个球颜色不同的对立事件是两个球颜色相同，所以这 2 个球颜色不同的概率为 p = 1 -故选 D ．7 【答案】B C 2 + C 2 42 2 = ．C 2 5 51【解析】二项式 ( x - )6 的展开式中的通项T k +1 1 = C k x 6-k (- )k = (-1)k C k x 6-2k ，6 6含 x 2 的项的系数为 (-1)2 C 2 + 2 ⨯ (-1)3 C 3 = -25 ，故选 B ．668 【答案】C【解析】 2 位男生在同一组的不同的选法数为 C 2C 2A 2 = 30 ，故选 C ．26 29 【答案】B【解析】因为 X ~ N (2,1)，即 μ = 2 ， σ = 1，所以 P(μ - σ < X < μ + σ ) = P (1 < X < 3) = 0.6826，P(μ - 2σ < X < μ + 2σ ) = P (0 < X < 4) = 0.9544 ，1 ．．．．．又 P (1 < X < 2 ) = 1 P (1 < X < 3) = 0.3413 ， P (0 < X < 2 ) = P (0 < X < 4 ) = 0.4772 ， 2 2且 P (0 < X < 1) = P (0 < X < 2)- P (1 < X < 2) = 0.1359，故选 B ．10 【答案】B【解析】令 x = 1 代入 (3x - 1)5 ，得 25 = 32 ，即二项式 (3x - 1)5 的展开式的各项系数之和为 32 ．从 0,1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字方法有：01 ，02 ，03 ，04 ，05 ，12 ，13 ，14 ，15 ，23 ，24 ，25 ，34 ， 35 ， 45 共15 种，其中和为 36 - 32 = 4 的有 04 ，13 共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为故选 B ．11 【答案】B8 4 2 1【解析】由题意可得 E ( X ) = 0 ⨯+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ = 1 ，故选 B ．27 9 9 2712 【答案】A【解析】由 K 2 ≈ 8.333 > 7.879 ，参照附表可得：有 99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选 A ．二、填空题2 15，13 【答案】 05【解析】根据随机数表，排除超过 33 及重复的编号，第一个编号为 21 ，第二个编号为 32 ，第三个编号 05 ，故选出来的第 3 个红色球的编号为 05 ．14 【答案】 30【解析】根据题意，分 2 步进行分析：（1）将四个班级分成 3 组，要求 A,B 两个班级不分到同一组，有 C 2 - 1 = 5 种分组方法；4（2）将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，有 A 3 = 6 种情况，3则有 5 ⨯ 6 = 30 种不同的情况，故填 30 ．3 3 3 3 729．．⨯ 15 【答案】 2207291【解析】因为随机变量 X ~ B(6, ) ，31 1 1 1 220 所以 P(2 < X ≤ 4) = P( X = 3) + P( X = 4) = C 3( )3 (1- )6-3 + C 4 ( )4 (1- )6-4 =66 ．故答案为 220 729．16 【答案】 9【解析】 DX = 100 ⨯ 0.1 （1 - 0.1) = 9 ，故答案为 9 ．。
2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题13概率小题部分训练手册(附答案)
专题13 概率小题部分【训练目标】1、理解概率的定义，能正确区分概率与频率；2、理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；3、掌握古典概型的概念及计算；4、掌握几何概型的概念及计算；5、掌握两个计数原理及简单的排列组合，及列举法求概率。
6、理解随机变量的概念，掌握随机变量分布列的性质；7、掌握随机变量分布列的求法，及期望计算公式。
8、掌握条件概率的计算公式，掌握正态分布，二项分布的期望和方差公式。
【温馨小提示】概率在高考中有一道小题一道大题，17分左右，对于理科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。
【名校试题荟萃】1、袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( )A.①B.②C.③D.④【答案】B【解析】至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．2、张卡片上分别写有数字，从这张卡片中随机抽取2张，则取出张卡片上数字之和为偶数的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知基本事件总数为，如果2张卡片上数字之和为奇数，需1奇1偶，共有种，∴取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为，因此取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为.3、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会决赛门票中任取3张，则所取3张中于至少有2张价格相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先求三张价格均不相同的概率所求概率为。
4、国庆期间，甲去某地的概率为，乙和丙二人去此地的概率为、，假定他们三人的行动相互不受影响，这段时间至少有人去此地旅游的概率为（）A. B. C. D.【答案】B5、已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记“第一次取出次品”为事件，“第二次取出次品”为事件，则，，所以．6、设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由无相异实根得，因此函数没有极值点的概率是，选C.7、将本不同的书全发给名同学,每名同学至少有一本书的概率是( )A. B. C. D.【答案】A8、已知是球面上的五个点，其中在同一圆周上，若不在所在的圆周上，则从这五个点的任意两点的连线中取出条，这两条直线是异面直线的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得是四棱锥的五个顶点，任取两点，共有条直线，从条直线中任取两条直线，共有对，其中异面直线对是一条侧棱与地面上三条相等（如侧棱与）共有对异面直线，由古典概型的概率公式，得这两条直线是异面直线的概率是．9、某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（）A. B. C. D.【答案】C10、一个射箭运动员在练习时只记射中环和环的成绩，未击中环或环就以环记．该运动员在练习时击中环的概率为，击中环的概率为，既未击中环也未击中环的概率为（，，），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为环，则当取最小值时，的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由运动员一次射箭击中环数的期望为环，可知，即，则，当，即时取等号，此时，则.11、在区间内随机取两个实数，，则满足的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足的区域即为图中阴影部分，面积为，所以所求概率为，．12、若是从区间中任取的一个实数，是从区间中任取的一个实数，则的概率是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试验的全部结果构成的区域（如图）为边长分别为2和3的矩形，面积为．其中满足的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为．则所求概率为．13、如图，将半径为的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分）．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A. B. C. D.【答案】A14、在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若，则,A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意得，设落入阴影部分点的个数为，则，则.15、有一批产品，其中有件正品和件次品，有放回地任取件，若表示取到次品的件数，则_________.【答案】【解析】由题意知取到次品的概率为，∴，∴.16、已知随机变量，若，则_________.【答案】【解析】，所以，所以，解得，所以.17、设随机变量的分布列为，其中为常数，则_________.【答案】18、设随机变量的概率分布律如下表所示：其中成等差数列，若随机变量的的均值为，则的方差为________.【答案】【解析】由题意有，，，解得，则其方差为.19、有一种游戏规则如下：口袋里共装有个红球和个黄球，一次摸出个，若颜色都相同，则得分；若有个球颜色相同，另一个不同，则得分，其他情况不得分. 小张摸一次得分的期望是________.【答案】20、设随机变量，且，则实数的值为_________.【答案】3【解析】∵随机变量，∴正态曲线关于对称，∵，∴与关于对称，所以∴.21、某校高三一模理科参加数学考试学生共有1016人，分数服从，则估计分数高于105分的人数为________.【答案】508【解析】因为分数服从，所以由正态分布的性质可知，估计分数高于105分的人数为故，答案为508.22、如图，是以为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则______．【答案】【解析】故答案为．23、袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球,不放回地摸出黑球,设“第一次摸得红球”为事件,“摸得的两球同色”为事件,则概率_________.【答案】【解析】由, ,根据条件概率可知.24、设集合,,分别从集合和中随机取一个数和,确定平面上一个点,设“点落在直线上”为事件,若事件的概率最大,则的值为________.【答案】2【解析】由题意知,点的坐标的所有情况为,,,,,,,,,共种.当时,落在直线上的点的坐标为,共种;当时,落在直线上的点的坐标为和,共种;当时,落在直线上的点的坐标为,,,共种;当时,落在直线上的点的坐标为,,共种;当时,落在直线上的点的坐标为,共种.因此,当的概率最大时,.25、个男生，个女生排成一排，其中有且只有两个女生相邻排在一起的排法总数有________.【答案】288026、将名新的同学分配到、、三个班级中，每个班级至少安排名学生，其中甲同学不能分配到班，那么不同的分配方案数为_________.（请用数字作答）【答案】24【解析】将甲同学分配到班或班，有种；剩下的名同学分配方案为种，所以不同的分配方案为种.27、某班组织文艺晚会，准备从等个节目中选出个节目演出，要求：两个节目至少有一个选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为_________.【答案】1140【解析】分两类：第一类，只有一个选中，则不同演出顺序有种；第二类，同时选中，则不同演出顺序有种，共有．故答案应填：．28、甲、乙两位高一学生进行新高考“七选三”选科（即在物、化、生、政、史、地、技术等七门科中任选择三门学科），已知学生甲必选政治，学生乙必不选物理，则甲、乙两位学生恰好有两门选课相同的选法有________种.（用数字作答）【答案】110【解析】（1）甲选物理：；（2）甲不选物理：；共有种.29、为了调查观众对央视某节目的关注度,现从某社区随机抽取名青年人进行调查,再从中挑选名做进一步调查,则这名青年人中的小张、小李至少有人被选中,而小汤没有被选中做进一步调查的不同选法有________种. 【答案】149630、有个大学报送名额,计划分别到个班级,每班至少一个名额,则不同的分法种数为种.【答案】6【解析】一共有个保送名额,分到个班级,每个班级至少一个保送名额,即将名额分成份,每份至少个(定行数).将个名额排成一列产生个空,中间有个空(定空位).即只需在中间个空中插入个隔板,隔板不同的方法共有种.(插隔板)专题13 概率（小题部分）（文）【训练目标】1、理解概率的定义，能正确区分概率与频率；2、理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；3、掌握古典概型的概念及计算；4、掌握几何概型的概念及计算；5、掌握两个计数原理，及列举法求概率。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-9a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知ξ的分布列为则在下列式中：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝2327；③P (ξ＝0)＝13.正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12 C.12 D ．1 答案 C解析 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.4．(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的条件是 Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N (1，σ2)，所以P (ξ>1)＝12，即所求事件的概率为12.故选A.5．(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套 答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000 答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.7．(2017·银川一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283C.143D.163 答案 D解析 由数学期望的定义可知3a ＋2b ＝2，所以2a ＋13b ＝12(3a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝12( 6＋23＋4b a ＋a b )≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＋4＝163，当且仅当4b a ＝ab 即a ＝12，b ＝14时取得等号．故选D.8．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113 答案 C 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. 又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.故选C.9．(2018·广州调研)已知随机变量x 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P (5<x <6)等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 答案B解析 由题知x ～N (4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (2<x ≤6)＝0.9544，P (3<x ≤5)＝0.6826，即曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x ＝4对称，可知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359，即P (5<x <6)＝0.1359，故选B. 10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球二次的概率P (X ＝2)＝p (1－p )，发球三次的概率P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.二、填空题11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______.答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，∴p ＝12. 则P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13， P (X ＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512， P (X ＝3)＝23×12×12＝16.则E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16.∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．13．(2018·沧州七校联考)2017年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案 180解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35.而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15 ＝180辆．14．(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________元．答案 3解析 ξ的分布列为E (ξ)＝15×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)． η的分布列为E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4(元)， ∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3(元)． 故答案为3.B 级三、解答题15．(2018·湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频率分布表中x 、y 的值，并补全频率分布直方图； (2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．解 (1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x ＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y ＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的频率组距＝0.25＝0.04.补全频率分布直方图略．(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7. X 可取0,1,2，P (X ＝0)＝C 213C 220＝78190，P (X ＝1)＝C 113C 17C 220＝91190，P (X ＝2)＝C 27C 220＝21190，故X 的分布列为故E(X)＝91190×1＋21190×2＝133190.16．新生儿Apgar评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；(2)用这16名新生儿的Apgar评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．解(1)设A i表示所抽取的3名新生儿中有i名的评分不低于9分，“至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A，则由表格中数据可知P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝C312C316＋C14C212C316＝121140.(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为416＝1 4，由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764；P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝964； P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.所以X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75 ⎝ ⎛⎭⎪⎫或E (X )＝3×14＝0.75.17．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的数学期望和方差．解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A－1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.故X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35， 方差为D (X )＝3×15×45＝1225.18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N (120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为1－10×(0.01＋0.024＋0.03＋0.016＋0.008)＝0.12，该校高三年级数学的平均成绩为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)．(2)由于1310000＝0.0013，由正态分布得P (120－3×5<X <120＋3×5)＝0.9974，故P (X ≥135)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13，所以前13名的成绩全部在135分以上，由频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125,145)的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人，所以X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12， P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130， X 的分布列为数学期望值为E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.。
高中数学《计数原理与概率统计》练习题(含答案解析)
高中数学《计数原理与概率统计》练习题（含答案解析）一、单选题1．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（ ） A ．35B ．40C ．45D ．602．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,,6.6x 的65百分位数是4.5，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[4.5,)+∞ B ．[4.5,6.6) C ．(4.5,)+∞D ．(4.5,6.6]3．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ）A ．15B ．310 C ．35D ．124．已知随机变量X 服从二项分布(),XB n p ，若()54E X =，()1516=D X ，则p =（ ）A ．14B ．13C ．34D ．455．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A ．27B ．26C ．25D ．196．已知随机变量X 的分布列为设23Y X =+，则()D Y 等于（ ） A ．83B ．53C ．23D ．137．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.88．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[)25,35内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（ ）A ．0.38B ．0.61C ．0.122D ．0.759．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立10．在一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，记M 表示事件“取到红桃”，N 表示事件“取到J”，有以下说法：①M 与N 互斥；①M 与N 相互独立；①M 与N 相互独立.则上述说法中正确说法的序号为（ ） A ．①B ．①C ．①①D ．①①二、填空题11．已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(01)0.4P X <≤=，则(2)P x >=_______.12．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________. 13．已知随机变量X ，Y 分别满足(),X B n p ，()5,4Y N ，且均值()()E X E Y =，方差()()D X Y D =，则p =________.14．若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．三、解答题15．某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x （千元）和销售量y （千件）之间的一组数据如下表所示：（1）试根据1至5月份的数据，建立y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过065．千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中i ii 122ii 1ˆnnx y n x yb xnx==-⋅⋅=-∑∑.参考数据：5i i i 1392x y ==∑，52i i 1502.5x ==∑.16．某中学要从高一年级甲、乙两个班级中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”．该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环境知识测试，他们取得的成绩(满分100分)如下： 甲班：75、78、80、89、85、92、96． 乙班：75、80、80、85、90、90、95．求甲、乙两班学生成绩的方差，并从统计学角度分析该校应选择甲班还是乙班参赛．17．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下： 我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X 表示这2人中优秀人数，求X 的分布列与期望.18．某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：表1由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型2y bx a =+（b 和a 均为常数）来拟合y 和x 的关系，这时，可以令2t x =，得y bt a =+，由表1可得t 与y 的相关数据如表2(1)根据表2中数据，建立y 关于t 的回归直线方程（系数精确到个位数）；(2)根据（1）中得到的回归直线方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4000亿元的年份．参考公式；回归直线方程ˆˆˆvu βα=+中，()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 参考数据：38.5t =，703.45y =，()102411.05110i i t t=-=⨯∑，()()10512.32710i i i t ty y =--=⨯∑．参考答案与解析：1．C【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】由题意可得男生抽取的人数是8003508045800-⨯=． 故选：C 2．A【分析】根据%p 分位数的定义判断求解.【详解】因为65%8 5.2⨯=，第65百分位数是4.5，故这组数据的第65百分位数是第六个数，所以x 的取值范围是[4.5,)+∞， 故选：A. 3．B【分析】由古典概率模型的计算公式求解.【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为310. 故选：B. 4．A【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程组求解． 【详解】由题意5415(1)16np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 故选：A ． 5．D【分析】根据随机数表法的步骤即可求得答案.【详解】由题意，取出的数有23,20,80（超出范围，故舍去），26,24,26（重复，故舍去），25,25（重复，故舍去），36（超出范围，故舍去），99（超出范围，故舍去），72（超出范围，故舍去），80（超出范围，故舍去），19. 故选：D. 6．A【分析】根据分布列求出()E X ，()D X ，再根据条件得()()4D Y D x =，计算答案即可. 【详解】由X 的分布列得()1110121333E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22211120111213333D X =-⨯+-⨯+-⨯=，因为23Y X =+， 则()()843D Y D x == 故选：A. 7．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610， 故选：C. 8．B【分析】利用频率=频率组距⨯组距，即可得解. 【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在[)25,35内的概率()0.0800.04250.12250.61P =+⨯=⨯=故选：B 9．B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ， 1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立 10．D【分析】根据互斥事件和相互独立事件的定义逐一判断即可得出答案. 【详解】解：因为M 表示事件“取到红桃”，包括“取到红桃J ”， N 表示事件“取到J”， 包括“取到红桃J ”， 所以事件,M N 可以同时发生，所以事件,M N 不是互斥事件，故①错误； 52张扑克牌中有13张红桃，4张J ， 所以()()()1314113,,1524521344P M P N P M =====-=， 事件M N ⋂表示“取到红桃J ”，有1张， 事件MN 表示“取到除了红桃J 的J ”，有3张，所以()()()152P M N P M P N ⋂==，()()()352P M N P M P N ⋂==， 所以M 与N 相互独立，M 与N 相互独立， 故①①正确. 故选：D. 11．0.1【分析】利用正态分布对称性可求解. 【详解】由正态分布密度曲线对称性可知， (1)(01)(0)0.5P X P X P X ≤=<≤+<=，所以(0)0.1P X <=，所以(2)P x >=(0)0.1P X <=，故答案为:0.1. 12．4【分析】直接列举基本事件即可.【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种. 故答案为：4.13．15##0.2【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可. 【详解】解：因为随机变量X ，Y 分别满足(),XB n p ，()5,4Y N ，所以()()5E X np E Y ===，()()()14D X np p D Y =-==， 解得125,5n p ==，故答案为：15.14．3或4【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值. 【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项， 当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k k k k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩， 整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩， 所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值. 故答案为：3或415．（1）ˆ3240y x =-+．；（2）是.【分析】（1）先由表中的数据求出,x y ，再利用已知的数据和公式求出,b a ，从而可求出y 关于x 的回归直线方程；（2）当8x =时，求出y 的值，再与15比较即可得结论 【详解】（1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=，所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，得()ˆ8 3.21040a=--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆyx =-+； （2）当8x =时，ˆ 3.284014.4y=-⨯+=， 则ˆ14.4150.60.65yy -=-=<， 故可以认为所得到的回归直线方程是理想的. 16．该校应该选择乙班参赛．【分析】设有n 个数据为i x (1≤i≤n ，*i ∈N )，则其平均数为11n i i x x n ==∑，其方差为()2211n ii s x x n ==-∑，据此代入题干数据即可计算求解． 【详解】由题意，知75788089859296857x ++++++==甲，75808085909095857x ++++++==乙．①()()()2222136075857885968577s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦甲，()()()2222130075858085958577s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦乙． ①x x =乙甲，22s s >乙甲．即两班平均成绩相同，但乙班成绩较甲班成绩稳定，故应该选择乙班参赛． 17．（1）395；（2）分布列见详解；()25E X =.【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得0,1,2x =，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望. 【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A ，则()242206319095C P A C ===. （2）抽到一名优秀学生的概率为41205p ==， X 的取值为0,1,2，()2002411605525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()111241815525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()022241125525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故X 的分布列为：()168120122525255E X =⨯+⨯+⨯= 18．(1)ˆ22144yt =- (2)3574亿元，2024年【分析】(1)根据所给数据先求出ˆ22b≈，再利用ˆˆa y bt =-求得ˆ144a ≈-，即可得回归方程；第 11 页 共 11 页 (2) 2023年对应的13169x t =⇒=，代入回归方程计算即可；再令221444000t ->，解得188.4t >，即2188.4x >，即可求得所对应的年份.【详解】（1）解：易得()()()105110421 2.32710ˆ221.05110i i i i i t ty y b tt ==--⨯=≈≈⨯-∑∑， ˆˆ703.452238.5144ay bt =-≈-⨯≈-， 故y 关于t 的回归直线方程为ˆ22144yt =-． （2）解：2023年对应的t 的值为169，故该年的营业收入为ˆ221691443574y =⨯-=（亿元），所以估计2023年的营业收入为3574亿元．依题意，有221444000t ->．解得188.4t >，即2188.4x >．因为1314<，所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14．即2024年．。
2019年高考数学计数原理、概率、随机变量及其分布复习指导(最适用、最全面)
2019年高考数学计数原理、概率、随机变量及其分布复习指导第一节计数原理与排列、组合教材细梳理1．两个计数原理1．分类加法计数原理中各类办法之间是相互独立的，并列的，互斥的．分步乘法计数原理中各步之间是相互依存的．2．“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同元素中取出m 个元素，按一定顺序排成一列”，而排列数是指这种排列的个数．知识微思考1．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )(4)如果完成一件事情有n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i (i ＝1,2,3，…，n )，那么完成这件事共有m 1m 2m 3…m n 种方法．( )(5)在分步乘法计算原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) (6)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (7)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (8)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (9)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.( )(10)A m n ＝n A m －1n －1.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (7)× (8)√ (9)√ (10)√ 2．如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：可交换某两个元素的位置，判断对结果是否产生影响，产生影响的是排列问题，否则是组合问题．四基精演练1．(选修2－3·习题1.2A 组改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )A ．16B ．13C ．12D ．10答案：C2．(选修2－3·习题1.2A 组改编)从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到ab的不同值的个数为( )A ．6B ．8C ．12D ．16答案：C3．(选修2－3·习题A组改编)某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．3种B．6种C．9种D．18种答案：C4．(选修2－3·习题1.2B组改编)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：325．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)安排3名志愿者完成3项工作，每人完成一项，则不同的安排方式共有________．答案：6考点一计数原理及应用[简单型]——运用数据分析、提升数学运算1．使用分类加法原理时首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2．(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3．使用两个基本原理进行计数的基本思想是“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．1．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种解析：选B．法一：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)．法二：班级按a，b，c，d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：∴共有9种不同的监考方法．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9解析：选B．分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B．3．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种B．460种C．480种D．496种解析：选C．完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360(种)方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120(种)方法．由分类加法计数原理可知：不同涂法有360＋120＝480(种)．考点二排列的应用[高频型]——发展数学建模、提升数学运算[例1](1)若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．解析：由于B，C相邻，把B，C看作一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A排在中间的3个位置中，有A13＝3种排法，其余的4个元素任意排，有A44种不同排法，故不同的排法有2×3×A44＝144(种)．答案：144(2)在数字1,2,3与符号“＋”“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有________种．解析：本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”“－”，有A22种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A33种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有A22A33＝12(种)．答案：12[母题变式]1．若本例(2)中条件“任意两个数字都不相邻”改为“1,2,3这三个数字必须相邻”，则这样的全排列方法有________种．解析：用捆绑法，有A33A33＝36(种)．答案：362．若本例(2)中条件变为：符号“＋”与“－”都不相邻，则这样的全排列有________种．解析：A 33A 24＝72(种)．答案：721．求解有限制条件排列问题的主要方法(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置． (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类． [易错提醒] (1)分类要全，以免遗漏．(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数．(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．1．某市内公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为( )A ．48B ．54C ．72D ．84解析：选C．先把3名乘客进行全排列，有A33＝6种排法，排好后，有4个空，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空中，有A24＝12种排法，则共有6×12＝72(种)候车方式．2．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168解析：选B．歌舞类节目设为a1，a2，a3，小品类节目设为b1，b2，相声类节目设为c，先排a1，a2，a3不相邻，顺序如○b1○b2○c○，共A33A34种方法，b1b2相邻前提下○b1b2○c○插空法共A22A33A22种方法，所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34－A22A33A22＝A33·(A34－4)＝6×20＝120.考点三组合问题[简单型]——发展数学建模、提升数学运算1．组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．2．两类含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．1．2107年天津全运会之际，某单位要从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：分两类：第1类是有1名女生，共有C12·C26＝2×15＝30(种)；第2类是有2名女生，共有C22·C16＝1×6＝6(种)．由分类加法计数原理得，共有30＋6＝36(种)．答案：362．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．6种B．12种C．18种D．20种解析：选D．分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输一局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一个前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．考点四排列、组合的综合应用[探究型]——发展数学建模、提升数学运算4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：将4项工作分成3部分，每部分至少有1项工作，共有C24＝6(种)方法，再分别分给3人，由分步乘法计数原理知，共有C24×A33＝36(种)不同方法．答案：D(2)(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．解析：由题意可得，第1类取出的4个数都是奇数，有A45个，第2类取出的4个数中有1个偶数，有C14C35A44个，由分类加法计数原理，得共有A45＋C14C35A44＝120＋960＝1 080(个)．答案：1 080(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理得，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)．1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列． (3)由分类加法计数原理计算总数．2．分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题．①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．解析：①有1名女生的选派方法有C12C34＝8(种)．②有2名女生的选派方法有C22C24＝6(种)．∴不同的选派方案共有8＋6＝14(种)．答案：144．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴全运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：先分组再分配，共有C16C15C242A22·A44＝1 080(种)分配方案．答案：1 080发展数学建模、数学运算(应用型)模型1计数原理、排列、组合与实际应用问题相结合对于排列、组合都是以生活实际问题为背景，加以限制条件，并结合计数原理进行考查．[例4]小陈家来了六位同学(四女两男)，包括他共7人，小陈从果园里摘了7个大小不同的百香果，每人一个．小陈把最小的一个留给自己，4位女同学中的一人拿最大的一个，则百香果的不同分法共有()A．96种B．120种C．480种D．720种解析：可分两步：第一步，4位女同学中的一人拿最大的一个的分法种数为C14；第二步，余下5人的分法种数为A55，根据分步乘法计数原理，百香果的不同分法共有C14A55＝480(种)，故选C．答案：C模型2排列、组合与新定义相结合排列、组合常与数学中的新定义结合考查，利用其它知识进行求解．[例5](2016·高考全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个解析：当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个，故选C．答案：C课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·邵阳模拟)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为()A．24B．48C．60 D．72解析：选B．先排个位，再排十位，百位，千位，万位，依次有2,4,3,2,1种排法，由分步乘法计数原理知：2×4×3×2×1＝48.2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长、1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()A．20 B．16C．10 D．6解析：选B．当选a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．3．(2018·自贡一模)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上点的坐标，则确定的不同的点的个数为()A．36 B．32C．33 D．34解析：选C．不考虑限定条件的情况下，确定的不同的点的个数为C12C13A33＝36，但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同的点只有3个，故最终确定的不同的点的个数为36－(A33－3)＝33.4．(2018·诸暨一模)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别，同时为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店各选择一家，且每家酒店至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有() A．96种B．124种C．130种D．150种解析：选D．可以把五个参会国的人员分成三组，一种是按照1,1,3分；另一种是按照1,2,2分．当按照1,1,3分时，共有C35A33＝60种方法；当按照1,2,2分时，共有C25C23A33A22＝90种方法．根据分类加法计数原理可得安排方法共有60＋90＝150种．5．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B．依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个)．6．(2018·石家庄模拟)一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在4场比赛中，甲队胜、平、负(包括顺序)的情况共有()A．7种B．13种C．18种D．19种解析：选D．设S i表示第i场胜、P i表示第i场平，F i表示第i场负，积4分可分2胜2负，1胜2平1负或4平三类，其中2胜2负有S1S2F3F4，S1F2S3F4，S1F2F3S4，F1S2S3F4，F1S2F3S4，F1F2S3S4，共6种．1胜2平1负有S1P2P3F4，S1P2F3P4，S1F2P3P4，P1S2P3F4，P1S2F3P4，F1S2P3P4，P1P2S3F4，P1F2S3P4，F1P2S3P4，P1P2F3S4，P1F2P3S4，F1P2P3S4，共12种．4平有P1P2P3P4共1种，由分类加法计数原理有6＋12＋1＝19种．7．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28解析：选C．由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．8．(2018·武邑一模)将6名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为________．解析：可以分为以下两类：(1)甲地安排3人，乙地安排3人，有C36＝20种方法；(2)甲地安排2人，乙地安排4人，有C46＝15种方法．根据分类加法计数原理可得，不同的安排方法种数为20＋15＝35.答案：359．(2018·平罗一模)从5名学生中选出4名参加A，B，C，D四科的竞赛(假设每名学生仅能参加一科的竞赛)，其中甲不能参加A，B两科的竞赛，则不同的参赛方案种数为________．解析：可分为以下两步：(1)先从5名学生中选出4名，分为甲参加和甲不参加两种情况，甲参加时，选法有C34＝4种，甲不参加时，选法有C44＝1种；(2)安排科目——甲参加时，先排甲，再排其他人，排法有C12A33＝12种，甲不参加时，排法有A44＝24种．故不同的参赛方案种数为4×12＋1×24＝72.答案：7210．已知集合N＝{a，b，c}⊆{－5，－4，－2,1,4}，若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是________．解析：依题意知，集合N最多有10个，其中对于不等式ax2＋bx＋c＜0没有实数解的情况可转化为需要满足a＞0，且Δ＝b2－4ac≤0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有{1，－4,4}，{1，－2,4},2种情况，因此满足条件的集合N的个数是10－2＝8.答案：8B级能力升级练(20分钟，30分)1．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A．20 B．25C．32 D．60解析：选C．依据题意知，最后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.2．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为()A．1 860 B．1 320C．1 140 D．1 020解析：选C．当A，B节目中只选其中一个时，共有C12C36A44＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有C26A22A23＝180种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．3．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对解析：选D．依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有C23＋C23＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D．4．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”、“546”为“驼峰数”．由数字1,2,3,4,5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为()A．25 B．28C．30 D．32解析：选C．由数字1,2,3,4,5这五个数字构成的无重复数字的三位“驼峰数”中，1在十位的有A24＝12个，2在十位的有A23＝6个，3在十位上的有A22＝2个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.5．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．解析：A＝{1}时，B有23－1＝7种情况；A＝{2}时，B有22－1＝3种情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{1,2}时，B有22－1＝3种情况；A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．答案：176．数字“2 016”中，各位数字相加和为9，称该数为“至尊四位数”．用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2 016的“至尊四位数”共有________个．解析：依题意知：符合条件的四个数字可分为以下两组：0,1,3,5与0,2,3,4.由0,1,3,5组成的大于2 016的“至尊四位数”有2A33＝12个；由0,2,3,4组成的“至尊四位数”有3A33＝18个．由分类加法计数原理可得：共有12＋18＝30个“至尊四位数”．答案：30第二节二项式定理教材细梳理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)，其中右端为(a ＋b )n 的二项展开式．2．二项展开式的通项公式第k ＋1项为：T k ＋1＝C k n an －k b k . 3．二项式系数(1)定义：二项式系数为：C k n (k ∈{0,1,2，…，n })． (2)二项式系数的性质1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n an －r b r是二项展开式的第r 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( )(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．( ) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．( )(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n.( ) (9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.( )(10)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中不可能有常数项．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)× (9)× (10)× 2．二项展开式第k ＋1项的二项式系数与第k ＋1项的系数有什么区别？提示：二项展开式第k ＋1项的二项式系数为C k n ，而它的第k ＋1项的系数等于它的二项式系数C k n 与其他常数以及符号的乘积．四基精演练1．(选修2－3·1.3例2改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10答案：B2．(选修2－3·习题1.3A 组改编)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( ) A ．3516B ．358C ．354D ．105答案：B3．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )2展开式中常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B4．(选修2－3·习题1.3A 组改编)若(1＋ax )7(a ≠0)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则a ＝________.答案：35．(探究题)(教材探究题)如图杨辉三角中的第二行，第三行，第四行，第五行中的1,2,3,4之和等于第六行的“10”，所体现的性质为1＋2＋3＋…＋C 1n －1＝________.答案：C 2n考点一 展开式中的特定项或系数[高频型]——提升数学运算x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：设展开式的第k ＋1项为T k ＋1，k ∈{0,1,2,3,4,5}，所以T k ＋1＝C k 5(2x )5－k (x )k ＝C k 525－kx 5－k 2， 令5－k 2＝3得，k ＝4，即T 5＝C 4525－4x 5－42＝10x 3. ∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4. 答案：A [母题变式]1．在本例(1)中，条件不变，展开式中系数最大的项是第几项． 解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·x 5－r 2， 第r 项的系数为26－r C r －15 第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15 ∴⎩⎪⎨⎪⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2.当r ＝1时，T 2＝24C 15x 92， 当r ＝2时，T 3＝23C 25x 4，故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，已知条件不变，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r 可知，当r ＝6时． 常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1.[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．答案：C(2)(2018·河北唐山一模)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20D ．20解析：∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(3)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C ．答案：C [母题变式]1．在本例(1)中，求此展开式的常数项．解：⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中常数项为1＋C 26＝16. 2．在本例(3)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．1．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40 D．80解析：选C．由二项式定理可得，原式展开式中含x3y3的项为x·C25(2x)2(－y)3＋y·C35(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40，故选C．2．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.解析：由题意知a4为含x项的系数，根据二项式定理得a4＝C23×12×C22×22＋C33×13×C12×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C33×13×C22×22＝4.答案：16 4考点二二项展开式的系数和问题[高频型]——提升数学运算[例3](1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.[母题变式]若本例中条件“x的奇数次幂项”变为“奇数项”，则a＝________.解析：奇数项分别为：a，(6a＋4)x2，(a＋4)x4，∴a＋(6a＋4)＋(a＋4)＝32，∴a＝3.答案：3(2)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20D ．40解析：选D ．令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2， 所以a ＝1.因此⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的常数项即为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中1x 的系数与x 的系数的和.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k ·(－1)k.令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中1x的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的常数项为80－40＝40.1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立．因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中(1)各项系数之和为f (1)． (2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.3．(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(12)概率和统计(理科)及答案
专题十二 概率和统计1.【2018高考重庆，理3】重庆市2019年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是（ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B.【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B..【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.【名师点晴】本题通过考查茎叶图的知识，考查样本数据的数字特征，考查学生的数据处理能力.2.【2018高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 215【答案】B ．【解析】从袋中任取2个球共有215105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550C C =种，所以从袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为5010=10521，故选B ． 【考点定位】排列组合，古典概率．【名师点睛】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，解答此题关键在于理解所取2球恰好1个白球1个红球即是分步在白球和红球各取1个球的组合，属于容易题．3.【2018高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式【名师点睛】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键. 4.【2018高考陕西，理11】设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 【答案】B【考点定位】1、复数的模；2、几何概型．【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若z a bi =+（a 、R b ∈），则，几何概型的概率公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．5.【2018高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ）A ．167B ．137C ．123D ．93【答案】B【解析】该校女老师的人数是()11070%150160%137⨯+⨯-=，故选B ． 【考点定位】扇形图．【名师点晴】本题主要考查的是扇形图，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很容易出现错误．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系．6.【2018高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 【考点定位】用样本估计总体.【名师点睛】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.7.【2018高考安徽，理6】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准 差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 8=，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差22(21)2264D X DX -==⨯16=.故选C.【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用.【名师点睛】已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解.若随机变量X 的均值EX 、方差DX ，则数Y aX b =+的均值aEX b +、方差2a DX 、标准差.8.【2018高考湖北，理4】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C【考点定位】正态分布密度曲线. 【名师点睛】正态曲线的性质①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称． ③曲线在μ=x 处达到峰值πσ21.④曲线与x 轴之间的面积为1.⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示．9.【2018高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4yx =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y=⨯+=（万元），故选B ． 【考点定位】线性回归方程．【名师点睛】本题考查线性回归方程，要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义，属于基础题，要注意计算的准确性．10.【2018高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B【解析】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分1S ， 对事件“1||2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ， 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是132S S S <<，正方形的面积为111=⨯， 根据几何概型公式可得231p p p <<.（1） （2） （3） 【考点定位】几何概型.【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．11.【2018高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取 一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。
2019高考数学(理)真题和模拟题分类汇编-概率与统计.docx
概率与统计专题1.[2019年高考全国III卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为70^100=0.7.故选C.【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与化归思想解题.2.[2019年高考全国II卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数B.平均数C.方差D.极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为不 <吃<兀3<兀4 <忑<冯.则①原始中位数为冯，去掉最低分X1，最高分兀后剩余兀2<兀3<兀4< <忑，中位数仍为无，A正确；-1 — 1②原始平均数% = <x2<x3<x4 <X8< x9),后来平均数x' ~—{x2 < x3 < x4 < x8),平均数受极端值影响较大，•••：与7不一定相同，B不正确；1 1 — _ —® S2 = -[(%! - X)2 + (%! - X)2 ++(%-元)2], s'2 =-[(X2-X，)2+(X3-x'f++(X8-y)2],由②易知，C不正确；④原极差=冯-召，后来极差=忑-兀2，显然极差变小，D不正确.故选A.3. [2019年高考浙江卷】设OVaVl,则随机变量X的分布列是则当a 在(0,1)内增大时,A. D(X)增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解. 本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合 性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.【解析】方法1：由分布列得E(X)=匕色，则当a 在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大.故选D.方法 2：则 D(X) = E(X-)-E(X) = 0 + — + --^^ = ^-^-^ = -[(a--)-+~],3 3 9 9 9 2 4则当a 在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大.故选D.【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计 算能力差，不能正确得到二次函数表达式.4. [2019年高考江苏卷】已知一组数据6, 7, 8, 8, 9, 10,则该组数据的方差是 _______________________ .【答案】|所以该组数据的方差是丄[(6-8)2 + (7 -8)2 + (8-8)2 + (8 -8)2+ (9 -8)2 + (10-8)2]=-. 635. [2019年高考全国II 卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁 列车所有车次的平均正点率的估计值为 _______________ • 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题.【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10x0.97 + 20x0.98 + 10x0.99 = 39.2,其中高铁39 2 个数为10 + 20 + 10 = 40 ,所以该站所有高铁平均正点率约为=0.98 .40【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度 不大.易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车 总数的比值.B. £>(X)减小C. £>(X)先增大后减小D. £>(X)先减小后增大【解析】由题意，该组数据的平均数为 --------- -------- =8,6.[2019年高考全国I卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4： 1获胜的概率是【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解•题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查.【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.63x0.5x0.5x2 = 0.108,前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4x0.62x0.52x2 = 0.072,综上所述，甲队以4 ： 1获胜的概率是q = 0.108 + 0.072 = 0.1 &【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算.7.[2019年高考全国III卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A, B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同•经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a, b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).【答案】(1) a=0.35, b=0.10； (2)甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05 , 6.00.【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a-0.35.^=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.8.[2019年高考全国II卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.⑴求P (X=2)；(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.【答案】(1) 0.5； (2) 0.1.【解析】(1) X=2就是10 : 10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此P (X=2) =0.5x0.44- (1-0.5) x (1-0.4) =0.5.(2) X=4且甲获胜，就是10： 10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5x (1-0.4) + (1-0.5) x0.4]x0.5x0.4=0.1.9.[2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7： 30之前到校的概率均为扌.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7： 30之前到校的天数比乙同学在7： 30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.【答案】(1)分布列见解析，E(X) = 2； (2)—.243【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7： 30之前到校的概率均为扌，2 2 1故X ~ B(3,-),从而P(X=k) = C； (-/ (-)3-'山=0,1,2,3.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=3x| = 2.(2)设乙同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数为Y ,2则Y 〜3(3,§),且M=｛X=3,Y = 1｝｛X = 2,Y = 0｝.由题意知事件｛X=3,Y = 1｝与｛X=2,Y = 0｝互斥，且事件｛X = 3｝与｛丫 = 1｝,事件｛X = 2｝与｛Y = 0｝均相互独立，从而由(1)知P(M) = P(｛X=3,Y = 1｝｛X=2,Y=0｝)= P(X=3,Y = l) + P(X=2,Y = 0)=P(X = 3)P(y = 1) + P(X = 2)P(Y = 0)8 2 4 1 20—___ x _ | _ x ___—___27 9 9 27 243 '10.[2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A, B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A, B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人, 发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】(1) 0.4； (2)分布列见解析，E (X) =1； (3)见解析.【解析】(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A, B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A, B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.40所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A, B两种支付方式都使用的概率估计为—-0.4.(2) X的所有可能值为0, 1, 2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.9 + 3 14 + 1由题设知，事件C, D相互独立，且P(C) = —= 0.4, P(D) = -^- = 0.6.所以P(X -2) = P(CD) = P(C)P(D) = 0.24 ,P(X = 1) = P(CD CD)= P(C)P(D) + P(C)P(D)=0.4 x (1 — 0.6) + (1 — 0.4) x0.6= 0.52,P(X =0) = P(CD) = P(C)P(D) = 0.24 .所以X的分布列为故x 的数学期望E(X) = 0x0.24 + 1x0.52 + 2x0.24 = 1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E) = -^ =――.C： 4060答案示例1:可以认为有变化.理由如下：P (E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.11.[2019年高考全国I卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和0, —轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，A0 = 0,1, ,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=O,卩8=1，Pi = ap-i + bp： + epi*、(i = \,2,,7),其中1), b = P(X=0), C=P(X = 1).假设« = 0.5, 0 = 0.8.(i)证明：｛p i+l-Pi] G = 0,l,2, ,7)为等比数列；(ii)求A，并根据A的值解释这种试验方案的合理性.【答案】(1)分布列见解析；(2)⑴证明见解析，(ii) °4 =占，解释见解析.【解析】X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=_l) = (l_a)0,P(X=Q) = a/3 + (l-a)(l-/3),p(X=l) = a(l_0),所以X的分布列为(2)(i)由(1)得a = 0.4,b = 0.5,c = 0.1.因此B =0.4p_i +0.5Pi +0.1p i+1,故0.1(p,+i —门)= 0.4(门一门_J, 即P M-P i=4(P i-P i-i)-又因为Pl _ Po = Pl * 0,所以｛p^-p^i = 0,1,2,,7)为公比为4,首项为p的等比数列.(ii)由(i)可得ft = A-A+A-A+ +P l-Po + Po=(A-A)+(A-A)+ +(A-A)48-l=P\ •313由于A=h故0严歹二，44 _1 1所以A = (A - ft) + (ft - ^2)+(^2 - A)+(A - Po)==面•A表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为刃= 0.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12.【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】在某项测试中，测量结果f服从正态分布N(1Q2)Q>0),若P(0<£ <1) = 0.4,则P(0<^<2) =A. 0.4B. 0.8C. 0.6D. 0.2【答案】B【解析】由正态分布的图象和性质得P(0<^<2) = 2P(0<^<l) = 2x0.4 = 0.8.故选B.【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13. 【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100, 10 C. 200, 10【答案】D【解析】由题得样本容量为(3500 + 2000 + 4500) x 2% = 10000 x 2% = 200 , 抽取的高中生人数为2000x2% = 40人，则近视人数为40x0.5 = 20人，故选D.14. 【陕西省2019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的 次数为X,则X 的数学期望是A. 1B. 235 C. —D. 一22【答案】A【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好岀现2枚正面向上的概率，进而利用二项分 布求数学期望即可.【解析】•••一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为丄x 丄=-,2 2 4X~B （4丄），E （X ） = 4x - = 1.故选A.4 4【名师点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从 二项分布B ~（77, p ）,也可以直接利用公式E （G = np 求数学期望.15. 【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三 三个年级中抽取的人数分别为 【答案】B【分析】先将各年级人数凑整，从而可确定抽样比；再根据抽样比计算得到各年级抽取人数.所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样 B. 100, 20 D. 200, 20甲【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的总人数所占比例分别为空，—,—,49 49 49因此，各年级抽取人数分别为98x —= 36, 98x —= 32, 98x —= 30,故选B.49 49 4916.【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为则E(§) =14 13A. —B.—5 57 8C. —D.—3 3【答案】A【分析】先求出歹的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用E^) = ^p1+^p2+ +&门+可求得数学期望.【解析】§的可能取值为2,3,4, § = 2表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故3 3 9P(^ = 2) = -x- = —； ^ = 3表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白3 2 2 3 12球，故P(^ = 3) = -x-+-x-=—； ^=4表示从甲口袋中取岀一个白球，从乙口袋中取出一个红5 5 5 5 252 2 4 9 12 4 14球，故P(g = 4) = —x—= ——，所以E(^) = 2x —+ 3x —+ 4x—.故选A.5 5 25 25 25 25 517.【福建省泉州市2019届高三第二次(5月)质检】已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为元，方差为s',则A.壬= 70,『<75B.壬= 70,/>75C.壬>70,¥ <75D.壬<70,2 >75【答案】A【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得元,M 的值，即可得到答案.设收集的48个准确数据分别记为西，尢2，，屯8， 则 75 =命[(X] — 70)2 + (x 2 -70)2 ++ (心-70)2 + (60 -70)2 + (90 — 70)2 ]=#3 - 70『*(勺 _ 70)2 + + (x 48 - 70)2 + 500],$2 =令[(西 _ 70)2 + (花-70)2 ++(屯8 _70)2 + (80 -70)2 + (70 -70)2]=寺[(Xi — 70)2 + (x 2 — 70)2 + + (x 48- 70)2 + 100] <75 ,所以52 < 75 ■故选A.【名师点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数 和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题.18. 【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷）】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的 是A.成绩在［70,80］分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000人C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】D【解析】由频率分布直方图可得，成绩在［70,80］的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率 分布直方图可得，成绩在［40,60）的频率为0.25,因此，不及格的人数为4000x0.25 = 1000,故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于45x0.1 + 55x0.15 + 65x0.2 + 75x0.3 + 85x0.15 +95x0.1 = 70.5,故C 正确；因为成绩在［40,70）的频率为0.45,由［70,80］的频率为0.3,所以中位数为70 + 10X ^Q 71.67,故D 错误.故选D.0.319. 【天津市南开中学2019届高三模拟试题】《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化 基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共 同参与诗【解析】由题意, 可得牙=70x50 + 80-60 + 70-9050= 70,成绩（分）词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髻小儿，人数按照年龄分组统计如下表：（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）在（1）中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率.4【答案】（1）1, 3 , 2 ；（2）—.【分析】（1）先求出样本容量与总体个数的比，由此利用分层抽样的方法能求出从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7, 20）, [20, 40）, [40, 80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1, 3, 2.从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数= =15,这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为加=C； +C； = 4,由此能求出这2人来自同一年龄组的概率.【解析】（1）•••样本容量与总体个数的比是岛=岂，108 18•••样本中包含3个年龄段落的个体数分别是：年龄在[7, 20）的人数为一x 18=1,108年龄在[20, 40）的人数为—x54=3,108年龄在[40, 80）的人数为—x36=2,108•••从这三个不同年龄组[7, 20）, [20, 40）, [40, 80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1, 3, 2.（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7, 20）, [20, 40）, [40, 80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1, 3, 2.从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为" = C；=15,这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为加=C； + C； = 4,m 4/.这2人来自同一年龄组的概率P = — = —.n 1520.[2019北京市通州区三模】为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值.(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；(2)从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取2台，求这两台机器的利润率不同的概率；(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利%!万元，销售一台第二类机器获利吃万元，…，销售一台第五类机器获利忑，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为£(%),设元=斗+勺+ ；3 +屯+抵,试判断E(x)与无的大小.(结论不要求证明)【答案】(1) -； (2) —； (3) E(x) < x .3 21【分析】(1)先由题意确定，本月卖出机器的总数，再确定利润率高于0.2的机器总数，即可得出结果;(2)先由题意确定，销售单价为20万元的机器分别：是第一类有5台，第三类有10台，共有15台，d记两台机器的利润率不同为事件B,由P(B) = —屮即可结果；(3)先由题意确定，X可能取的值, 求出对应概率，进而可得出E(x),再由亍=再+勺+；+"+兀求出均值，比较大小，即可得出结果.【解析】(1)由题意知，本月共卖出30台机器，利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台.设“这台机器利润率高于0.2”为事件4,则P(A)=|^ = |.(2)用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万,第一类有5台，第三类有10台，共有15台，随机选取2台有C ：种不同方法, 两台机器的利润率不同则每类各取一台有C ；C ；°种不同方法，c 1^10设两台机器的利润率不同为事件B ,则P(3) =•因 ith J E(x) = -x8 + —x5 + -x3 + -xl0 = —；6 15 5 6 1529,所以 E(x) < x . 21. 【江西省新八校2019届高三第二次联考】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如 下:等级 标准果优质果精品果礼品果个数10 30 40 20(1)若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考,方案1：不分类卖出，单价为20元/kg. 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下:等级 标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg)16 18 22 24从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案?(3) 用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望E(X). 【答案】(1) 笺；(2)第一种方案；(3)分布列见解析，£(X) = |.625 5P(x -3) =10 + 8 30*10)佥冷,(3)由题意可得，X 可能取的值为&5,3,10【分析】(1)计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公 式求得所求概率；(2)计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价进行比较，选择单价较低的方案;(3)根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布， 利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的 计算公式求得结果.【解析】(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为4,则P(A) = ^ = |, 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X,则X~B(4,f), 所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X=2) = C^(j)2(|)2 =曇，(2)设方案2的单价为则单价的期望值为 13 42^) = 16x- + 18x- + 22x- + 24x- =因为E(g)>20,所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案.(3) 用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个,现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3,C 3 1c 2C* 1 则 P(X=0)=-^ = -; P(X=1)=-^A = -Jo ° Jo 乙P(X = 2) = ^ = A ; P (X =3)=4 = ±C ；o 10 30所以X 的分布列如下:【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的 求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求 解出概率.6 516 + 54 + 88 + 4810所以 E(X) = 0x- + lx- + 2x —+ 3x —=6 2 10 30。
2021年高考数学二轮复习选择填空狂练13《概率与计数原理》 学生版
高考数学二轮复习选择填空狂练13《概率与计数原理》一、选择题1.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A.0.5B.0.3C.0.6D.0.92. (x 2＋x ＋y)5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A.10B.20C.30D.603.已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：正态分布N(μ,σ2)中，P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 7，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 5)A.0.045 6B.0.135 9C.0.271 8D.0.317 44.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4x 2＋43展开式的常数项为( ) A.120 B.160 C.200 D.2405.某食品厂做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为( )A.316B.49C.38D.896.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有( )A.18个B.15个C.12个D.9个7.若某一射手射击所得环数X 的分布列为则此射手“射击一次命中环数X ≥7”的概率是( )A.0.88B.0.12C.0.79D.0.098.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B.15 C.19 D.3209.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A.72种B.48种C.24种D.12种10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( A )11.t ∀∈R ，[]t 表示不大于t 的最大整数，如[]0.990=，[]0.11-=-，且x ∀∈R ，()()2f x f x =+，[]1,1x ∀∈-，()12f x x =-，定义：()[]()221,,4D x y x t y ⎧=-+≤⎨⎩[]}1,3t ∈-.若(),a b D ∈，则()f a b ≤的概率为（ ）A.12B.1123+πC.1125-πD.1125+π12.若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是( )A.29B.13C.23D.79二、填空题13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为815；至少取得一个红球的概率为 .14.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 . 15.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的6个面的中心分别为E ，F ，G ，H ，I ，J ，甲从这6个点中任选2个点连成直线l 1，乙也从这6个点中任选2个点连成与直线l 1垂直的直线l 2，则l 1与l 2异面的概率是 .16.已知直线l ：x ＋y －6=0与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且与抛物线y=x 2及x轴正半轴围成图形Ω，若从Rt △AOB 区域内任取一点M(x ，y)，则点M 取自图形Ω的概率为________.。
高考数学(统考版)二轮备考小题提升精练13 概率与计数原理(理)
小题必练13：概率与计数原理1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．2．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 3．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 4．会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．【2020全国1卷理科】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．202．【2020全国Ⅱ卷理科】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．一、选择题．1．有4位教师在同一个年级的4个班中各教一个班的数学，在一次数学检测时，要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（） A ．8种B ．9种C ．10种D ．11种2．若222C A 42n =，则!3!(3)!n n =-（）A ．7B ．8C ．35D ．403．在报名的3名男生和6名女生中，选取5人参加义务劳动，要求男生、女生都有，则不同的选取方式的种数为（） A ．120B ．126C ．240D ．2524．在二项式3)nx的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（） A ．3B ．4C ．5D ．65．从集合{}1,2,3,8,9,10任取三个不同的数，使得这三个数构成等比数列，则这样的等比数列的个数有（） A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个6．2019年春节假期，旅游过年持续火爆．特别是：东北雪乡、梦回大唐、江南水乡、三亚之行这四条路线受到广大人民的热播．现有4个家庭准备去这四个地方旅游，假设每个家庭均从这四条路线中任意选取一条路线去旅源，则恰有一条路线未被选中的概率为（） A ．2764B ．C ．81256D ．11327．将多项式656510a x a x a x a ++++分解因式得5(2)(2)x x -+，则5a =（）A ．8B ．10C ．12D ．18．安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（） A ．60 B ．150 C ．180 D ．2409．若2016220160122016(12)x a a x a x a x -=++++，则20161222016222a a a +++的值为（） A ．2B ．0C ．1-D ．2-10．由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”，从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为（） A ．320B ．310C ．34D ．2511．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（） A ．2640种 B ．4800种 C ．1560种 D ．7200种12．若201920011920(1)x a a x a x a x +=++++，则01910a a a a ++++的值为（）916A ．192 B ．19102012C 2- C ．19102012C 2+D ．1910202C +二、填空题．13．若5(cos )x ϕ+的展开式中3x 的系数为4，则πsin(2)2ϕ-=． 14．从集合}{9,8,7,6,5,4,3,2=M 中分别取两个不同的数作为对数的底数和真数，一共可以得到个不同的对数值．15．《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面(可以不相邻)，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有种．16．某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为．小题必练13：概率与计数原理1． 【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515C r r rr T x y -+=（r ∈N 且），所以与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155C C r r rr r rr xT x xy xy --+==或54255212C C r r r r r r r T x y y y y xx x --++==，在615C rrr r xT xy -+=中，令，可得33345C xT x y =，该项中的系数为，5r ≤2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3r =33x y 10在42152C r r r r T x xy y -++=中，令，可得521332C y x T x y=，该项中的系数为， 所以的系数为，故选C ．【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题． 2． 【答案】【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有24C 6=，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有33A 6=，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，故答案为．【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．一、选择题． 1． 【答案】B【解析】设四位监考教师分别为，他们所教的班分别为， 假设监考，则余下的三人监考剩下的三个班，共有种不同的方法， 同理监考时，余下的三人监考剩下的三个班，也分别有种不同的方法， 由分步加法计数原理知，监考方法共有种． 2． 【答案】C 【解析】，∴，∴，故选C ． 1r =33x y 533x y 10515+=36∴6636⨯=36,,,A B C D ,,,a b c d A b 3A ,c d 33339++=(1)2422n n -⨯=7n =!7!353!(3)!3!4!n n ==-3． 【答案】A【解析】根据题意，报名的名男生和名女生，共名学生， 在名中选取人，参加志愿服务，有59C 126=种，其中只有女生的有56C 6=种情况，则男、女生都有的选取方式的种数为种． 4． 【答案】A【解析】∵各项系数之和为，∴二项式系数之和为．∵，∴，∴，∴．5． 【答案】D【解析】当公比为时，等比数列可为；； 当公比为时，等比数列可为；当公比为时，等比数列可为， 同时数列；；；也为等比数列， 故共有个． 6． 【答案】B【解析】所有情况为，恰有一条路线未被选中的情况为323443C C A ，故所求概率3234434C C A 9416P ==． 7． 【答案】A【解析】524(2)(2)(4)(2)x x x x -+=-+，所以展开式中的三次项系数为114C 28⋅=，所以58a =，故选A ．8．369951266120-=(13)4n n +=2n72A B +=4272nn +=28n =3n =21,2,42,4,831,3,9324,6,94,2,18,4,29,3,19,6,48444(2)x +【解析】根据题意，分步进行分析： ①将项工作分成组，若分成、、的三组，有31152122C C C 10A =种分组方法， 若分层、、的三组，有22153122C C C 15A =种分组方法，则将项工作分成组，有种分组方法；②将分好的三组全排列，对应名志愿者，有33A 6=种情况，则有种不同的分组方法，故答案为B ． 9． 【答案】C【解析】当时，左边，右边，∴， 当时，，即，故选C ． 10． 【答案】A【解析】由数字组成没有重复数字的四位数，共有46A 6543360=⨯⨯⨯=（个），第一步，考虑千位数字，情况有13C 3=（种）； 第二步，考虑百位数字，情况有13C 3=（种）；第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有24C 6=（种），故共有（种）．从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为． 11． 【答案】C【解析】分两类考虑：第一类，其中个贫困村分配名党员干部，另外个贫困村各分配名25311312253101525+=3256150⨯=0x =1=0a =01a =12x =2016122201610222a a a ++++=201612220161222a a a +++=-1,2,3,4,5,633654⨯⨯=54336020=1331此类分配方案种数为3464C A 480=；第二类，其中个贫困村各分配名党员干部，另外个贫困村各分配名党员干部，此类分配方案种数为22464422C C A 1080A ⋅=，故不同的分配方案共有种． 12． 【答案】C【解析】令，即，又∵，1901910122a a a a ∴++++=，又，∴1910019102012C 2a a a a ++++=+．二、填空题． 13． 【答案】【解析】由二项式定理得，的系数为325C cos 4ϕ=，∴， 故2π1sin(2)cos 212cos 25ϕϕϕ-=-=-=．14． 【答案】【解析】第一步：取底数，有种选法；第二步：取真数，有种选法． 根据分步乘法计数原理可知，共得到个对数，但在这些对数中，有，，，． 所以共得到个不同的对数值． 15．222115601x =200119202a a a a ++++=019111220a a a a a a +++=+++101020a C =153x 22cos5ϕ=52878756⨯=23log 4log 9=49log 2log 3=24log 3log 9=39log 2log 4=56452-=【解析】根据题意，分步进行分析：将《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的四首诗词全排列，共有44A 24=种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这四首诗词的排法有种， 这四首诗词排好后，不含最后位置总共有四个空位，在四个空位中任选两个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有24A 12=中安排方法，则后六场的排法有种． 16．【答案】【解析】设停车位有个，这辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将个停车位排放好，再将这辆共享汽车，插入到所成个间隔中，故有32A n -种，恰有辆相邻的种数：先把其中辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将个停车位排放好所成个间隔中，故有2322A A n -种，因为这辆共享汽车都不相邻的概率与这辆共享汽车恰有辆相邻的概率相等，∴322232A A A n n --=，解得．224122=1212144⨯=10n 3(3)n -3(2)n -22(3)n -(2)n -33210n =。
备考2019高考数学二轮复习选择填空狂练十三概率与计数原理理
13 概率与计数原理1．[2018·全国Ⅲ文]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.72．[2018·青岛调研]已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907、966、191、925、271、431、932、458、569、683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．15B．35C．310D．9103．[2018·南昌模拟]如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23．则阴影区域的面积约为（）A．23B．43C．83D．无法计算4．[2018·湖师附中]已知随机变量X服从正态分布()25,Nσ，且()70.8P X<=，则()35P X<<=（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.25．[2018·海南中学]若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则关于x的一元二次方程2220x ax b++=有实根的概率是（）A．56B．34C．23D．456．[2018·海淀模拟]在区间[]0,4上随机取两个实数x，y，使得28x y+≤的概率为（）A．14B．316C．916D．347．[2018·黑龙江模拟]如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A．21-πB．2πC．22πD．221-π一、选择题8．[2018·南昌模拟]若()828012812x a a x a x a x -=++++L ，则1238a a a a ++++=L （ ） A ．821-B ．82C ．831-D ．839．[2018·北京一模]在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家， 且每家酒店至少有一个参会国入住， 则这样的安排方法共有（ ） A ．96种B ．124种C ．130种D ．150种10．[2018·四川摸底]某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图（1）所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，RAND 表示[]0,1内产生的随机数，则图（2）中①和②处依次填写的内容是（ ）A ．x a =，1000is =B ．x a =，500i s =C ．2x a =，1000is = D ．2x a =，500i s =11．[2018·浦江适应]袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X 的数字期望()E X 是（ ） A ．115B ．125C ．135D ．14512．[2018·潍坊二模]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况想联系，最终保费=基准保费⨯（1+与道路交通事故相联系的浮动比率），具体情况如下表：为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型 1A2A3A4A5A6A数量20 10 10 38 20 2若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为（ ） A ．a 元 B ．0.958a 元C ．0.957a 元D ．0.956a 元13．[2018·东台中学]某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为____．14．[2018·南师附中]小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．15．[2018·黄浦模拟]将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是_____．(结果用数值表示)16．[2018·上海模拟]已知“a 、b 、c 、d 、e 、f ”为“1、2、3、4、5、6”的一个全排列，设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”则满足条件的排列“a 、b 、c 、d 、e 、f ”共有_______个．二、填空题1．【答案】B【解析】设设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB =++U ， ∵()0.45P A =，()0.15P AB =，∴()0.4P B =．故选B ． 2．【答案】C【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、932、271、共3组随机数，故所求概率为310．故选C ． 3．【答案】C【解析】设阴影区域的面积为s ，243s =，∴83s =．故选C ． 4．【答案】C【解析】由题意，随机变量X 服从正态分布()25,N σ，∴正态曲线的对称轴为5x =， ∵()70.8P X <=，∴()70.2P X ≥=，根据正态分布曲线的对称性可知， ∴()350.50.20.3P X <<=-=．故选C ． 5．【答案】B【解析】由题意知本题是一个古典概型，设事件A 为“2220x ax b ++=有实根”当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为()22224440a b a b ∆=-=->，即a b >， 基本事件共12个：()0,0，()0,1，()0,2，()1,0，()1,1，()1,2，()2,0，()2,1，()2,2，()3,0，()3,1，()3,2，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件()0,0，()1,0，()1,1，()2,0，()2,1，()2,2，()3,0，()3,1，()3,2． ∴事件A 发生的概率为()93124P A ==．故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意，在区间[]0,4上随机取两个实数x ，y ，对应的区域的面积为16． 在区间[]0,4内随机取两个实数x ，y ，则28x y +≤对应的面积为244122+⨯=， ∴事件28x y +≤的概率为123164=．故选D ． 答案与解析一、选择题7．【答案】A【解析】1S =π⨯=π矩形，又()0sin dx cos cos cos02xππ=-=-π-=⎰，∴2S =π-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为221π-=-ππ．故选A ． 8．【答案】C【解析】∵()828012812x a a x a x a x -=++++L ，令0x =得01a =，令1x =-得8012383a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=， ∴8123831a a a a ++++=-L ，故选C ． 9．【答案】D【解析】根据题意，分2步进行分析：①五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有35C 10=种分组方法； 当按照1、2、2来分时共有225322C C 15A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有33A 6=种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种； 故选D ． 10．【答案】D【解析】从图（1）可以看出，求曲线214y x =与2x =，x 轴围成的面积， 而RAND 表示[]0,1内的随机数，∴在程序框图中，赋初值2x a =， 由题意，随机模拟总次数为1000，落入阴影部分次数为i ， 设阴影部分面积为S ，矩形面积为122⨯=，∴21000S i =，500iS =，选D ． 11．【答案】A【解析】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球， 现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止， 用X 表示终止取球时所需的取球次数，则X 的可能取值为2，3，()21211354545P X ==⨯+⨯=，()()42135P X P X ==-==，∴()411123555E X =⨯+⨯=，∴随机变量X 的数字期望()E X 是115，故选A ．12．【答案】D【解析】由题意可知一辆该品牌车在第四年续保时的费用的可取值有 0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ，且对应的概率分别为()200.90.2100P X a ===，()100.80.1100P X a ===，()100.70.1100P X a ===，()380.38100P X a ===，()201.10.2100P X a ===，()21.30.02100P X a ===， 利用离散型随机变量的分布列的期望公式可以求得0.90.20.80.10.70.10.38 1.10.2 1.30.020.956EX a a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选D ．13．【答案】512【解析】由几何概型得遇到红灯的概率为4554536012=++．故答案为512．14．【答案】710【解析】小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数25C 10=， A ，B 两首歌曲都没有被播放的概率为2325C 310C =， 故A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是3711010-=，故答案为710． 15．【答案】516【解析】一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率3235115C 2216p ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为516． 16．【答案】224【解析】如果c ，d 为1，6或e ，f 为1，6，则余下4个元素无限制，共有4422A 96⨯⨯=种， 如果c ，d 中有1，e ，f 有6，则共有()221133264⨯⨯+++⨯=种， 如果c ，d 中有6，e ，f 有1，则共有()221133264⨯⨯+++⨯=种， 综上，共有224种，填224．二、填空题。
高考数学压轴专题江门备战高考《计数原理与概率统计》分类汇编含答案解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习资料一、选择题1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D 【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .2．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.3．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.4．已知59290129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）A ．9B ．36C ．84D ．243【答案】B 【解析】 【分析】()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式定理将其拆开，求出含有7(1)x -的项，便可得到7a ．【详解】解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7(1)x -；()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()729C 136-=所以，7a 36=，故选B 【点睛】本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．5．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．78B ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥， 则相当于565.56.5x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率，如图所示：约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228-⨯⨯=， 所以对应的概率为：77818=，即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78. 故选：A.【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.6．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）A ．92524ππ+B ．162524π+C ．252425ππ+D ．484825π+【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.【详解】由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为1186242S =⨯⨯=， Ⅱ所对应的面积29252482422S πππ=++-=， 整个图形所对应的面积9252482422S πππ=++=+， 所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P π=+.故选：D. 【点睛】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.7．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．13【答案】B 【解析】 【分析】五边形ABEFD 的面积52S =，阴影Ω的面积为12，得到概率. 【详解】不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222S =+=，阴影Ω的面积为12，故所求概率为1121522P ==+， 故选：B ． 【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．2020(1)(1)i i +--的值为（ ） A ．0 B ．1024C ．1024-D ．10241-【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式=11223319192011223319192020202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =1133551919202020202()C i C i C i C i ++++L=1133555331132020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =113355553312020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150B ．240C ．360D ．540【解析】试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．考点：排列、组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．10．已知()812x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值（ ） A ．1265B ．1285C ．1253D ．26【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得ba的值． 【详解】由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r rr r T C x +=，设第1r +项的系数最大，则11881188·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…„， 求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴1285b a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于11．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（ ） A ．252 B ．288C ．360D ．216【答案】A 【解析】 【分析】3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121342C C C ••种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果. 【详解】解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有13C ， 然后再确定完成的工作，其方法有24C ，然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有12C ，故当3名教师确定时，完成工作的方法有121342C C C ••种； 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去， 故有三种方法选择教师，第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有13C 种， 第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有23C 种，第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有33C 种；故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++•••=，故选A.【点睛】本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.12．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66C ．72D ．126【答案】A 【解析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.13．()()5112x x ++的展开式中4x 的系数为（ ） A ．100 B ．120C ．140D ．160【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式通项公式求指定项的系数. 【详解】()()5112x x ++的展开式中4x 的系数为334455C 2C 2160⋅+⋅=.故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，是基础题.14．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=，故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.15．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.16．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C 【解析】 【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．17．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为A ．55B ．90C ．425D ．512 【答案】D【解析】利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有09C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有29C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有99C 种；故总数为012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==. 故选D.18．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )A ．280B ．320C ．400D ．1000【答案】C【解析】【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题， Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++ Q 每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C【点睛】 本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。
高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习附答案解析
数学高考《计数原理与概率统计》试题含答案一、选择题1．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++L L 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．101)【答案】C 【解析】 【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】解：因为)102101210xa a x a x a x =++++L ，令1x =得)10123101a a a a a =++++L ，令1x =-得)10123101a a a a a =-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦=1011== 故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v共线的概率为( )A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D 【解析】 【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
【详解】由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，所以向量p u r 与q r 共线的概率为313612P ==，故选D 。
高考数学压轴专题南平备战高考《计数原理与概率统计》真题汇编及答案解析
【最新】高考数学《计数原理与概率统计》练习题一、选择题1．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.2．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A ．18B ．35C ．58D ．78【答案】C 【解析】 【分析】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200A 表示某生等车时间不超过5分钟，所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}，即图中的阴影部分，面积为S ′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008S S === 故选C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．3．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12B ．13C 2D ．23【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以211d k =≤+，解得22k ≤≤ 所以相交的概率2222P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.4．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种【答案】C 【解析】 【分析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅；第2社区3个，第3社区安排1个，共1141C C ⋅；故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．下列等式不正确的是（ ）A ．111m mnn m C C n ++=+ B ．12111m m m n n n A A n A +-+--= C ．11m m n n A nA --=D ．1(1)k k kn n n nC k C kC +=++【答案】A 【解析】 【分析】根据排列和组合公式求解即可. 【详解】根据组合公式得11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mm n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；根据排列公式得122111(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!m mm n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=-=+-=⋅=----，则B 正确；根据排列公式得11!(1)!()!()!mm n n n n A n nA n m n m ---==⋅=--，则C 正确；根据组合公式得()()1!!(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦[]!!()!()!!(1)!k kn n n n nC kC n k k n k k n k -⋅=--+-=即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；故选:A 【点睛】本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.6．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()A．35B．925C．1625D．25【答案】B【解析】PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为25π-16π925π25=,故选B.8．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A．240 B．360 C．420 D．960【答案】C【解析】【分析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.【详解】由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360⨯⨯=种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S 、A 、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3， 若C 染2，则D 可染3或4或5，有3种染法；若C 染4，则D 可染3或5，有2种染法，若C 染5，则D 可染3或4，有2种染法. 可见，当S 、A 、B 已染好时，C 、D 还有7种染法，故不同的染色方法有607420⨯=（种）. 故选：C 【点睛】本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．考点：排列、组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．10．若实数2a =，则1019228101010222a C a C a -+-+L 等于( )A ．32B ．－32C ．1 024D ．512【答案】A 【解析】 由题意可得：()()1019222101010101022222232.a C a C a a -+-+=-==L本题选择A 选项.11．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( ) A ．13B ．12C ．14D ．25【答案】A 【解析】 【分析】根据题意有()))|(=(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果. 【详解】解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含236A =个基本事件；()()61=)13|=(8n AB n A P B A =. 故选：A. 【点睛】本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.12．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B 213C ．926D 313【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒所以13DF AB =. 所以所求概率为24=1313DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．13．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有 A ．6种 B ．9种C ．12种D ．18种【答案】C 【解析】由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C14．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29sD ．32x +，292s +【答案】C 【解析】 【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001()100x x x x x =++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为：121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100x x x x x x x ++++++=++++⨯=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001[()()()]100s x x x x x x =-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：222121001{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001[9()9()9()]9100x x x x x x s =-+-++-=L 故选C. 【点睛】 本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.16．设2012(12)n nn x a a x a x a x L -=++++，若340a a +=，则5a =（ ）A ．256B ．-128C ．64D ．-32【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得n 的值，从而求得5a 的值． 【详解】∵()201212nn n x a a x a x a x -=++++L ，∵334434220n n a a C C +=⋅-+⋅-=（）（），5n ∴=，则5555232a C （），=⋅-=- 故选D ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )A ．280B ．320C ．400D ．1000【答案】C【解析】【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题， Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++ Q 每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C【点睛】 本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。
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13 概率与计数原理1．[2018·全国Ⅲ文]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.72．[2018·青岛调研]已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l ，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907、966、191、925、271、431、932、458、569、683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．15B ．35C ．310D ．9103．[2018·南昌模拟]如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23．则阴影区域的面积约为（ ）A ．23B ．43 C ．83D ．无法计算4．[2018·湖师附中]已知随机变量X 服从正态分布()25,N σ，且()70.8P X <=，则()35P X <<=（ ） A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.25．[2018·海南中学]若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数， 则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是（ ） A ．56B ．34C ．23D ．456．[2018·海淀模拟]在区间[]0,4上随机取两个实数x ，y ，使得28x y +≤的概率为（ ） A ．14B ．316C ．916D ．347．[2018·黑龙江模拟]如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）一、选择题A ．21-πB ．2πC ．22πD ．221-π8．[2018·南昌模拟]若()828012812x a a x a x a x -=++++L ，则1238a a a a ++++=L （ ） A ．821-B ．82C ．831-D ．839．[2018·北京一模]在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家， 且每家酒店至少有一个参会国入住， 则这样的安排方法共有（ ） A ．96种B ．124种C ．130种D ．150种10．[2018·四川摸底]某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图（1）所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，RAND 表示[]0,1内产生的随机数，则图（2）中①和②处依次填写的内容是（ ）A ．x a =，1000is =B ．x a =，500i s =C ．2x a =，1000is = D ．2x a =，500i s =11．[2018·浦江适应]袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X 的数字期望()E X 是（ ） A ．115B ．125C ．135D ．14512．[2018·潍坊二模]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况想联系，最终保费=基准保费⨯（1+与道路交通事故相联系的浮动比率），具体情况如下表：为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为（ ） A ．a 元 B ．0.958a 元C ．0.957a 元D ．0.956a 元13．[2018·东台中学]某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为____．14．[2018·南师附中]小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．15．[2018·黄浦模拟]将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是_____．(结果用数值表示)16．[2018·上海模拟]已知“a 、b 、c 、d 、e 、f ”为“1、2、3、4、5、6”的一个全排列，设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”则满足条件的排列“a 、b 、c 、d 、e 、f ”共有_______个．二、填空题1．【答案】B【解析】设设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB =++U ， ∵()0.45P A =，()0.15P AB =，∴()0.4P B =．故选B ． 2．【答案】C【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、932、271、共3组随机数，故所求概率为310．故选C ． 3．【答案】C【解析】设阴影区域的面积为s ，243s =，∴83s =．故选C ． 4．【答案】C【解析】由题意，随机变量X 服从正态分布()25,N σ，∴正态曲线的对称轴为5x =， ∵()70.8P X <=，∴()70.2P X ≥=，根据正态分布曲线的对称性可知， ∴()350.50.20.3P X <<=-=．故选C ． 5．【答案】B【解析】由题意知本题是一个古典概型，设事件A 为“2220x ax b ++=有实根”当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为()22224440a b a b ∆=-=->，即a b >， 基本事件共12个：()0,0，()0,1，()0,2，()1,0，()1,1，()1,2，()2,0，()2,1，()2,2，()3,0，()3,1，()3,2，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件()0,0，()1,0，()1,1，()2,0，()2,1，()2,2，()3,0，()3,1，()3,2． ∴事件A 发生的概率为()93124P A ==．故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意，在区间[]0,4上随机取两个实数x ，y ，对应的区域的面积为16． 在区间[]0,4内随机取两个实数x ，y ，则28x y +≤对应的面积为244122+⨯=， 答案与解析一、选择题∴事件28x y +≤的概率为123164=．故选D ．7．【答案】A【解析】1S =π⨯=π矩形，又()0sin dx cos cos cos02xππ=-=-π-=⎰，∴2S =π-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为221π-=-ππ．故选A ． 8．【答案】C【解析】∵()828012812x a a x a x a x -=++++L ，令0x =得01a =，令1x =-得8012383a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=， ∴8123831a a a a ++++=-L ，故选C ． 9．【答案】D【解析】根据题意，分2步进行分析：①五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有35C 10=种分组方法； 当按照1、2、2来分时共有225322C C 15A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有33A 6=种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种； 故选D ． 10．【答案】D【解析】从图（1）可以看出，求曲线214y x =与2x =，x 轴围成的面积， 而RAND 表示[]0,1内的随机数，∴在程序框图中，赋初值2x a =， 由题意，随机模拟总次数为1000，落入阴影部分次数为i ， 设阴影部分面积为S ，矩形面积为122⨯=，∴21000S i =，500iS =，选D ． 11．【答案】A【解析】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止， 用X 表示终止取球时所需的取球次数，则X 的可能取值为2，3， ()21211354545P X ==⨯+⨯=，()()42135P X P X ==-==，∴()411123555E X =⨯+⨯=，∴随机变量X 的数字期望()E X 是115，故选A ．12．【答案】D【解析】由题意可知一辆该品牌车在第四年续保时的费用的可取值有 0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ，且对应的概率分别为()200.90.2100P X a ===，()100.80.1100P X a ===，()100.70.1100P X a ===，()380.38100P X a ===，()201.10.2100P X a ===，()21.30.02100P X a ===， 利用离散型随机变量的分布列的期望公式可以求得0.90.20.80.10.70.10.38 1.10.2 1.30.020.956EX a a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选D ．13．【答案】512【解析】由几何概型得遇到红灯的概率为4554536012=++．故答案为512．14．【答案】710【解析】小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数25C 10=， A ，B 两首歌曲都没有被播放的概率为2325C 310C =， 故A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是3711010-=，故答案为710． 15．【答案】516【解析】一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率3235115C 2216p ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为516． 16．【答案】224【解析】如果c ，d 为1，6或e ，f 为1，6，则余下4个元素无限制，共有4422A 96⨯⨯=种， 如果c ，d 中有1，e ，f 有6，则共有()221133264⨯⨯+++⨯=种， 如果c ，d 中有6，e ，f 有1，则共有()221133264⨯⨯+++⨯=种，二、填空题综上，共有224种，填224．。