江苏专版2018高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件文
2018年数学第一章集合与常用逻辑用语第三讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第三讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】 1．简单的逻辑联结词（1）命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2.全称量词与存在量词(1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． （2）全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立"简记为∀x ∈M ，p (x ）．（3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p （x 0)．3．含有一个量词的命题的否定【教材改编】1．（选修2－1 P 22例1改编)下列命题是真命题的是( ) A ．所有素数都是奇数 B ．∀x ∈R,x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ,x 2是有理数 D ．∀x ∈Z，1x∉Z2．（选修2－1 P16例3(1)改编)有下列两命题：①2≥2；②2≥1，则下列正确的为（)A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假【答案】 A【解析】∵命题“2≥2”由命题p：2＝2，q：2＞2用“或”联结后构成的新命题，且p真q假，∴p∨q为真，即①真，同理②也真，故选A。
3．(选修2－1 P27 A组T3(3）改编)命题p：∃x0∈R，x2，0－x0＋1≤0的否定是（）A．∃x0∈R，x错误!－x0＋1＞0B．∀x∈R，x2－x＋1＞0C．∃x0∈R,x20－x0＋1≥0D．∀x∈R,x2－x＋1≤0【答案】 B【解析】∵命题∃x0∈M，p(x0）的否定是∀x∈M，﹁p(x)，故选B.4．(选修2－1 P27 A组T3（1）改编）命题p：∀x∈N，x2＞x3的否定是( ）A．∃x0∈N，x错误!＞x错误!B．∀x∈N,x2≤x3C．∃x0∈N，x2，0≤x30D．∀x∈N，x2＜x3【答案】 C【解析】∵命题∀x∈M,p（x)的否定是∃x0∈M，﹁p（x0)，故选C.5．(选修2－1 P18 B组T(3)（4）改编)命题p：2＞3，q:8＋7≠15，则“p∧q”的否定是( ）A．2≤3且8＋7＝15 B．2≤3或8＋7＝15C．2＞3或8＋7≠15 D．2≤3且8＋7≠15【答案】 B【解析】因为“p∧q”的否定是“(﹁p）∨(﹁q）”,故选B.【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断(1) 设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0,则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( ）A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧（綈q) D．p∧(綈q)【答案】 A【类题通法】1。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书文
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.全称量词和存在量词3.全称命题和存在性命题4.含有一个量词的命题的否定【知识拓展】1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题.( ×)(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √)(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.( √)(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( ×)(5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( ×)(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(×)1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是______________. 答案∀x>－1，x2＋x－2 016≤0解析命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2 016≤0”.2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的______________条件.答案充分不必要解析綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.3.(教材改编)若不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________.答案a>1解析方法一不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立.结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.方法二不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max，而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为0－224× －1＝1，所以a>1.4.已知实数a满足1<a<2，命题p：y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数，命题q：|x|<1是x<a的充分不必要条件，则下列命题：①p∨q为真；②p∧q为假；③(綈p)∧q为真；④(綈p)∧(綈q)为假.其中正确的命题是________.答案①④解析由y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即1<a<2.所以p是真命题.由|x|<1，得－1<x<1.又1<a<2，所以|x|<1是x<a的充分不必要条件.所以q也是真命题.从而①④正确.5.(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p ∧q ②(綈p )∧(綈q ) ③(綈p )∧q④p ∧(綈q )(2)(2016·盐城模拟)若命题“p ∨q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则p ________，q ________.(填“真”或“假”)答案 (1)④ (2)假 真解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p ∧(綈q )是真命题.(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又∵p ∨q 为真命题，∴q 为真命题.思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假.已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________. 答案 ②③解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题. 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题.由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假例2 (1)(2016·宿迁模拟)命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)，则p______，q______.(填“真”或“假”)(2)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是________.(填序号)①p∧q②(綈p)∧q③p∧(綈q) ④(綈p)∧(綈q)答案(1)假真(2)②解析(1)∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题.∵f(x)的图象过点(2,0)，∴log a1＝0，对∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立.命题q为真命题.(2)容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题.根据真值表易判断(綈p)∧q为真命题.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“∃x∈R，使得x2≥0”的否定为________________.(2)(2015·浙江改编)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是_________________.答案(1)∀x∈R，都有x2<0(2)∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n解析(1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“≥”进行否定.(2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知.思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p(x)成立.(2)对全称、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词. ②对原命题的结论进行否定.下列命题的否定为假命题的是________.(填序号)①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ； ③∀x ，y ∈Z ,2x －5y ≠12； ④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题. 题型三 求含参数命题中参数的取值范围例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________.(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是__________.答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)[14，＋∞)解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞).(2)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究在例4(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________. 答案 [12，＋∞)解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.(1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是____________.(2)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)[e,4] (2)(－∞，0)解析 (1)由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e≤a ≤4. (2)f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0).1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系. 一、命题的真假判断典例1 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么下列说法正确的是________.(填序号) ①綈p 为假命题 ②q 为真命题 ③p ∨q 为假命题 ④p ∧q 为真命题(2)下列命题中错误的个数为________. ①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题； ②“x >5”是“x 2－4x －5>0”的充分不必要条件；③命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0；④命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”.解析 (1)由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即x 2＋1≥2x ，所以p 为假命题； 对于命题q ，当m ＝0时，－1<0恒成立， 所以命题q 为假命题.综上可知，綈p 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题.(2)对于①，若p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p ∧q 不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x 2－4x －5>0可得x >5或x <－1，所以“x >5”是“x2－4x －5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据存在性命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2.答案 (1)③ (2)2 二、求参数的取值范围 典例2 (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________.(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________. 解析 (1)由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2， 由p 是q 的充分不必要条件，知k >2. (2)∵x ∈[12，3]，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.答案 (1)(2，＋∞) (2)(－∞，0] 三、利用逻辑推理解决实际问题典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.(2)对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.解析 (1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过A 城市，由此可知，乙去过的城市为A .(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一1.命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是________.(填序号) ①p ∨q ②p ∧q ③q ④綈p答案 ②解析 命题p 假，q 真，故命题p ∧q 为假命题.2.已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (－1,3)解析 依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3.3.(2016·淮安模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则下列说法正确的是________. ①p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0； ②p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0； ③p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0； ④p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0. 答案 ②解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x＋1)>0， ∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.4.已知p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，q ：∃x 0∈(0，＋∞)，sin x 0>1，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p ∨(綈q ) ②(綈p )∨q ③p ∧q ④(綈p )∧(綈q ) 答案 ①解析 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以命题p 是真命题；∀x ∈R ，sin x ≤1，所以命题q 是假命题，所以p ∨(綈q )是真命题.5.(2016·泰州期末)若命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 “∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a ＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞).6.(2016·南京模拟)已知命题p ：∀x ∈R ，x 3<x 4；命题q ：∃x ∈R ，sin x －cos x ＝－2，则下列命题中为真命题的是________.(填序号) ①p ∧q ②(綈p )∧q ③p ∧(綈q ) ④(綈p )∧(綈q )答案 ②解析 若x 3<x 4，则x <0或x >1，∴命题p 为假命题； 若sin x －cos x ＝2sin(x －π4)＝－2， 则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题，∴(綈p )∧q 为真命题.7.(2017·江苏淮安中学月考)已知命题：“∃x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________. 答案 [－8，＋∞)解析 由已知得，∃x ∈[1,2]，使a ≥－x 2－2x 成立；若记f (x )＝－x 2－2x (1≤x ≤2)，则a ≥f (x )min .而结合二次函数f (x )＝－x 2－2x (1≤x ≤2)的图象得f (x )的最小值为f (2)＝－22－2×2＝－8，所以a ≥－8.8.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－2]∪[－1,3)解析 p ：x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0，－2m >0，即m ＜－1.q ：x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，Δ＝[2(m －2)]2－4(－3m ＋10)＝4(m 2－m －6)＜0， 即－2＜m ＜3.分两种情况：①p 真q 假，m ≤－2；②p 假q 真，－1≤m ＜3.综上可知，使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3). 9.下列命题中的假命题是________.(填序号) ①∀x ∈R ,2x －1>0 ②∀x ∈N *，(x －1)2>0 ③∃x 0∈R ，lg x 0<1 ④∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5答案 ②解析 ①中，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；②中，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；③中，当x 0＝110时，lg 110＝－1<1；④中，当x ∈R 时，tan x ∈R ，∴∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5.10.设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________. 答案 ∃x ∈A,2x ∉B解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为存在性命题. ∴綈p ：∃x ∈A,2x ∉B .11.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (12，1)∪(1，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1， 命题“∀x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“∃x ∈(0,1)，使f (x )＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是(12，1)∪(1，＋∞).12.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是11 ________________.答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}.13.(2016·连云港模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.14.已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.15.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2). (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________.答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞).(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3].。
精选江苏专版2018高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语练习文
第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算A 应知应会1.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,1,2},那么∁U A=.2.(2016·苏州、无锡、常州、镇江一调)已知集合A={x|x<3,x∈R},B={x|x>1,x∈R},那么A∩B=.3.(2016·南京学情调研)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1>0},那么A∩B=.4.(2016·苏北四市摸底)已知集合A={x|-1≤x≤1},那么A∩Z=.5.已知全集U={x|-1≤x≤4},集合A={x|x2-1≤0},B={x|0<x≤3},求A∩B,A∪B,∁U A,(∁U B)∩A.6.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1) 若A∩B=[0,3],求实数m的值;(2) 若A⊆∁R B,求实数m的取值范围.B 巩固提升1.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5},那么A∩B=.2.(2015·陕西卷)已知集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0}, 那么M∪N=.3.设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.已知集合A={x|y=},B={y|y=2x,x>0},那么A×B=.4.已知函数f(x)=2x-2log2x-10,x∈[2,+∞),那么集合M={n|f(3n2-n)≤2,n∈Z}的子集的个数为.5.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.(1) 9∈(A∩B);(2) {9}=A∩B.6.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0,其中k∈R.(1) 当k变化时,试求不等式的解集A.(2) 对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B,试探究集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.第2课四种命题和充要条件A 应知应会1.命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是.2.(2015·重庆卷) “x>1”是“lo(x+2)<0”的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.3.若使“x≥1”与“x≥a”恰有一个成立的充要条件为{x|0≤x<1},则实数a的值是.4.若n∈N*,则一元二次方程x2-4x+n=0有整数解的充要条件是n=.5.(2015·南京三模改编)记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg(x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.6.已知集合A=y y=x2-x+1,x∈,B={x|x+m2≥1}.若p:x∈A,q:x∈B,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.B 巩固提升1.已知p:|x|>a,q:>0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.2.已知集合A={x|x2+2x-3≤0},B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.3.已知函数f(x)=x2-2x+3,若|f(x)-a|<2恒成立的充分条件是1≤x≤2,则实数a的取值范围是.4.(2015·广州二模)若不等式+≥对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),则正整数m 只能取.5.设a,b,c为△ABC的三边的长度,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.6.已知函数f(x)=4sin2-2cos 2x-1,且p:x<或x>,x∈R.若q:-2<f(x)-m<2,且p是q的充分条件,求实数m 的取值范围.第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 应知应会1.命题p“存在实数x,使得2x<0”是命题.(填“真”或“假”)2.(2015·徐州模拟)若命题p:∀x∈R,2x2-1>0,则命题p的否定是.3.(2015·苏州模拟)已知命题p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,命题q:关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数.若“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是.4.已知命题p:∃x∈R,2ax2+ax->0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围为.5.若命题“∃x∈[1,2],x2+2x+a≥0”是真命题,求实数a的取值范围.6.已知p:(x+1)(x-5)≤0,q:1-m≤x≤1+m(m>0).(1) 若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;(2) 若m=5,“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数x的取值范围.B 巩固提升1.若条件p:|x+1|≤4,条件q:2<x<3,则p是q的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.2.已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实数根,命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题,则实数a的取值范围是.3.若对任意的x0<a,都满足-2x0-3>0,则实数a的最大值为.4.给出下列结论:①若命题p:∃x∈R,tan x=,命题q:∀x∈R,x2-x+1>0,则命题“p∧(q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,那么l1⊥l2的充要条件是=-3;③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确的结论为.(填序号)5.已知a>0,命题p:关于x的方程a2x2+ax-2=0在[-1,1]上有解,命题q:有且仅有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0.若命题“p∨q”是假命题,求实数a的取值范围.6.已知a>且a≠1,命题p:函数f(x)=log(2a-1)x在其定义域上是减函数,命题q:函数g(x)=的定义域为R.如果“p∨q”为真命题,试求实数a的取值范围.高考总复习一轮配套检测与评估数学文科详解详析第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算A 应知应会1. {0}【解析】因为U={-1,0,1,2},A={-1,1,2},所以∁U A={0}.2. (1,3)3. {2}【解析】因为B={x|x2-1>0}={x|x<-1或x>1},A={-1,0,1,2},所以A∩B={2}.4. {-1,0,1}【解析】因为集合A={x|-1≤x≤1}中的整数有-1,0,1,所以A∩Z={-1,0,1}.5.【解答】因为A={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤3},所以A∩B={x|0<x≤1},A∪B={x|-1≤x≤3}.又∁U A={x|1<x≤4},∁U B={x|-1≤x≤0或3<x≤4},所以(∁U B)∩A={x|-1≤x≤0}.6.【解答】由题意得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1) 因为A∩B=[0,3],所以解得m=2.(2) 由题意知∁R B={x|x<m-2或x>m+2}.因为A⊆∁R B,所以m-2>3或m+2<-1,解得m>5或m<-3.故实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).B 巩固提升1. {1,3}【解析】因为集合A为奇数集,所以A∩B={1,3}.2. [0,1]【解析】由题设知M={0,1},N=(0,1],所以M∪N=[0,1].3.[0,1]∪(2,+∞)【解析】A=[0,2],B=(1,+∞),故A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所以A×B=[0,1]∪(2,+∞).4. 4【解析】由函数f(x)的定义域是[2,+∞),得3n2-n≥2,解得n≥1或n≤-.因为n∈Z,所以n=1,2,3,…或n=-1,-2,-3,….当n=1时,f(2)=-8≤2;当n=2时,f(10)=210-2log2 10-10>2;当n=3时,f(24)>2;…;当n=-1时,f(4)=2≤2;当n=-2时,f(14)>2;….所以集合M={1,-1},故其子集有4个.5.【解答】(1) 因为9∈(A∩B),所以9∈A且9∈B,所以2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.根据集合中元素的互异性检验知a=5或a=-3.(2) 因为{9}=A∩B,所以9∈(A∩B),所以a=5或a=-3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},此时A∩B={9},满足题意.综上,a的值为-3.6.【解答】(1) 当k=0时,A=(-∞,4);当k>0且k≠2时,A=(-∞,4)∪;当k=2时,A=(-∞,4)∪(4,+∞);当k<0时,A=.(2) 由(1)知,当k≥0时,集合B中的元素有无限个;当k<0时,集合B为有限集.若k<0,因为k+≤-4,当且仅当k=-2时取等号,所以当k=-2时,集合B中的元素个数最少,此时A=(-4,4),故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.第2课四种命题和充要条件A 应知应会1.若a+1≤b,则a≤b2.充分不必要【解析】lo(x+2)<0⇔x+2>1⇔x>-1,故“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分不必要条件.3. 0【解析】由题意可得或成立的充要条件为{x|0≤x<1},所以a的值是0.4. 3或4【解析】由x2-4x+n=0,得(x-2)2=4-n,即x=2±.因为n∈N*,方程有整数解,所以n=3或4,故当n=3或4时方程有整数解.5.【解答】由x2+x-6<0,得-3<x<2,即A=(-3,2).又由x-a>0,得x>a,即B=(a,+∞).因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以(-3,2)⊆(a,+∞),所以a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3].6.【解答】由y=x2-x+1,配方得y=+.因为x∈,所以y min=,y max=2,即y∈,所以A=.由x+m2≥1,得x≥1-m2,即B={x|x≥1-m2}.因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-.故实数m的取值范围是-∞,-∪.B 巩固提升1. (-∞,0)【解析】p:|x|>a⇔q:>0⇔x<或x>1.因为p是q的必要不充分条件,所以q中不等式的解集是p中不等式解集的子集,所以a<0.2.【解析】因为集合A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1},B={x|2a≤x≤a2+1}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B,所以且等号不能同时取得,解得a≤-,故实数a的取值范围是.3. (1,4)【解析】当1≤x≤2时,|f(x)-a|<2恒成立.|f(x)-a|<2⇒f(x)-2<a<f(x)+2,当1≤x≤2时,f(x)+2的最小值是4,f(x)-2的最大值是1,所以1<a<4.故实数a的取值范围是(1,4).4. 1或2【解析】因为+≥2×=,所以≥,所以3k≥6,即k≥log36=log32+.由题意知⫋[m,+∞),所以正整数m 只能取1或2.5.【解答】设m是两个方程的公共根,显然m≠0.首先证明必要性.由题意知m2+2am+b2=0,①m2+2cm-b2=0,②①+②得2m(a+c+m)=0,所以m=-(a+c),③将③代入①得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,化简得a2=b2+c2,所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明充分性.因为a2=b2+c2,所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,它的两个根分别为x1=-(a+c),x2=c-a.同理,方程x2+2cx-b2=0的两个根分别为x3=-(a+c),x4=a-c.因为x1=x3,所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.6.【解答】由q可得因为p是q的充分条件,所以在≤x≤的条件下,恒成立.由已知得f(x)=21-cos-2cos 2x-1=2sin 2x-2cos 2x+1=4sin+1.由≤x≤,知≤2x-≤,所以3≤4sin+1≤5.故当x=时,f(x)max=5;当x=时,f(x)min=3.所以只需成立,即3<m<5.所以实数m的取值范围是(3,5).第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 应知应会1.假2.∃x∈R,2x2-1≤03.【解析】命题p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,即≤1,解得a≤.命题q:关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数,即 0<2a-1<1,解得<a<1.若“p∧q”为真命题,则有a≤且<a<1,所以<a≤.即实数a的取值范围是.4. [-3,0]【解析】因为命题p“∃x∈R,2ax2+ax->0”为假命题,所以对于任意的x,都有2ax2+ax-≤0.当a=0时,显然成立;当a<0时,Δ=a2+3a≤0,所以-3≤a<0.综上,实数a的取值范围是[-3,0].5.【解答】因为命题“∃x∈[1,2],x2+2x+a≥0”是真命题,所以命题“∀x∈[1,2],x2+2x+a<0”是假命题.又因为当x∈[1,2]时,x2+2x∈[3,8],所以8+a≥0,即a≥-8,所以实数a的取值范围为[-8,+∞).6.【解答】p:-1≤x≤5.(1) 因为p是q的充分条件,所以[-1,5]是[1-m,1+m]的子集,所以解得m≥4.所以实数m的取值范围为[4,+∞).(2) 当m=5时,q:-4≤x≤6.由题意知p与q一真一假.当p真q假时,由得x∈⌀.当p假q真时,由得-4≤x<-1或5<x≤6.所以实数x的取值范围为[-4,-1)∪(5,6].B 巩固提升1.充分不必要【解析】p:|x+1|>4⇒x<-5或x>3,q:x≤2或x≥3,所以p⇒q,但q⇒/p,故p是q的充分不必要条件.2. (-∞,-12)∪(-4,4)【解析】若p真,则Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;若q真,则-≤3,即a≥-12.由“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题,知命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-4<a<4.故实数a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).3.-1【解析】由-2x0-3>0,得x0>3或x0<-1.又对任意的x0<a,不等式-2x0-3>0恒成立,故实数a的最大值为-1.4.①③【解析】①命题p为真命题,命题q为真命题,所以“p∧(q)”为假命题,故①正确;②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;③正确.所以正确的结论为①③.5.【解答】由a2x2+ax-2=0,得(ax+2)·(ax-1)=0,所以x=-或x=.只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,即Δ=(2a)2-8a=0,因为a>0,所以a=2.因为“p∨q”是假命题,所以p,q均为假命题,所以解得0<a<1.所以实数a的取值范围是(0,1).6.【解答】若p为真命题,则0<2a-1<1,解得<a<1.若q为真命题,则x+|x-a|-2≥0对x∈R恒成立.令f(x)=x+|x-a|-2,则f(x)=所以f(x)的最小值为a-2,故q为真命题时,a-2≥0,解得a≥2.所以“p∨q”为真命题,即<a<1或a≥2.故实数a的取值范围为∪[2,+∞).。
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词
第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。
2018年高考数学(理)(江苏专用)总复习教师用书第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求 1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，A级要求；2.全称量词与存在量词的意义，A级要求；3.对含有一个量词的命题否定，A级要求．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)简单逻辑联结词有或(符号为∨)、且(符号为∧)、非(符号为綈)．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)存在性命题：含有存在量词的命题．存在性命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题．( )(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．( )(3)“长方形的对角线相等”是存在性命题．( )(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )解析(1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题． (3)错误．命题“长方形的对角线相等”是全称命题． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________． 解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 答案 23．(2015·全国Ⅰ卷改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为________． 解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n. 答案 ∀n ∈N ，n 2≤2n4．命题“对于函数f (x )＝x 2＋ax(a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________命题(填“真”或“假”)．解析 当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，所以命题“对于函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为真命题． 答案 真5．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1. 答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例1】 设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∧(綈q )． 其中真命题是________(填序号)．解析 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题． 又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题． 综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题． ∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题．答案 ①规律方法 (1)“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p ，q 的真假；③确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假．(2)p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．【训练1】 (2017·南通调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)．在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④綈q 中，真命题有________(填序号)．解析 由于y ＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上是增函数， ∴命题p 是假命题． 由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1， 所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题． 答案 ②考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】 (1)(2016·扬州中学质检)已知命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0，则綈p 是________________．(2)(2014·全国Ⅰ卷改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≤－1.其中真命题是________．解析 (1)因为全称命题的否定是存在性命题，命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0的否定为綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0.(2)画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y ，经过可行域的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2，是真命题．答案 (1)∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0 (2)p 1，p 2规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】 (2017·安徽皖江名校联考改编)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为________．解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又存在性命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题． 答案 2考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 (1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 (1)(－1,3) (2)[2，＋∞)规律方法 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： ①根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； ②求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ③根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． (2)全称命题可转化为恒成立问题．【训练3】 (2017·衡水中学月考)设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2<0(其中a >0)，q ：实数x 满足2<x ≤5.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈q 是綈p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，x 2－5ax ＋4a 2<0即为x 2－5x ＋4<0，解得1<x <4， 当p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <4. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是(2,4)．(2)綈q 是綈p 的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件． 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A . 由x 2－5ax ＋4a 2<0得(x －4a )(x －a )<0， ∵a >0，∴A ＝{x |a <x <4a }，又B ＝{x |2<x ≤5}，则a ≤2且4a >5，解得54<a ≤2.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤54，2.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p ∨q →见真即真，p ∧q →见假即假，p 与綈p →真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”． [易错防范]1．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真． 2．几点注意：(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定； (3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．基础巩固题组(建议用时：20分钟)1．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为________．解析 命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数．答案 存在一个指数函数，它不是单调函数2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列结论：①p 为真；②綈p 为假；③p ∧q 为假；④p ∧q 为真． 其中结论正确的有________(填序号)． 解析 p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假． 答案 ③3．命题“∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．答案 ∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 4．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题， ∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4， ∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)5．2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为________． 解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )∨(綈q )．或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p ∧q ”的否定． 答案 (綈p )∨(綈q )6．(2017·泰州调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题：①p ∧(綈q )；②(綈p )∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∧q . 其中真命题有________(填序号)．解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题． 答案 ① 7．下列命题： ①∃x 0∈R ，e x 0≤0； ②∀x ∈R,2x >x 2；③a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1； ④“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件． 其中真命题有________(填序号)．解析 因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以①不正确． 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以②不正确．“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，③不正确． 当a >1，b >1时，显然ab >1，④正确． 答案 ④8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)9．(2017·衡阳模拟改编)已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1>0.则下面结论：①p ∧q 是真命题；②p ∧q 是假命题；③綈p 是真命题；④綈q 是真命题． 其中正确的结论是________(填序号)．解析 对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p 为真命题；对于命题q ：∵x 2≥0，∴x 2＋1>0，所以q 为真命题．由此可得p ∧q 是真命题． 答案 ①10．(2017·苏北四市联考)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，若命题p ，q 均为真命题，则此时－2<m ≤－1.因为p ∧q 为假命题，所以命题p ，q 中至少有一个为假命题，所以m ≤－2或m >－1.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)11．(2017·南通、扬州、泰州调研)给出下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0； ④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中为真命题的是________(填序号)． 解析 显然①③正确．②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确． ④中，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误． 答案 ①②③12．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x，得a ≥e；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，得a ≤4，因此e≤a ≤4. 答案 [e,4]能力提升题组 (建议用时：10分钟)13．(2016·浙江卷改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是____________________． 解析 改变量词，否定结论．∴綈p 应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20. 答案 ∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 214．(2017·昆明一中质检)已知命题p ：∀x ∈R ，x ＋1x≥2；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 20＞x 30，则下列命题：①(綈p )∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∧q ， 其中真命题是________(填序号)．解析 对于p ：当x ＝－1时，x ＋1x＝－2，∴p 为假命题．取x 0∈(0,1)，此时x 20＞x 30，∴q为真命题．从而綈p 为真命题，(綈p )∧q 为真命题． 答案 ①15．(2016·苏、锡、常、镇四市调研)给出下列三个结论：①若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题；②命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20－1>0”； ③“若a ∥c 且b ∥c ，则a ∥b ”是真命题． 其中正确的结论为________(填序号)． 解析 显然命题①，②是真命题． ③中，当向量c ＝0，命题是假命题． 答案 ①③16．已知命题p ：∃x ∈R ，e x－mx ＝0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真． 由e x－mx ＝0得m ＝e xx ，设f (x )＝exx，则f ′(x )＝e x ·x －exx2＝x －xx 2.当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减； 当x ＜0时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减．由f (x )的图象及单调性知当x ＝1时，f (x )＝e xx 取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝exx的值域为(－∞，0)∪[e ，＋∞)，所以若p 是假命题，则0≤m ＜e ； 命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m ≤1. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,1]． 答案 [0,1]。
18版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简
D.p∧(綈q)
(2)(2016· 聊城模拟)若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则 A.p真，q真 C.p真，q假 B.p假，q真 D.p假，q假
答案 解析
∵綈p为真命题，∴p为假命题，
又p∨q为真命题，∴q为真命题.
思维升华
“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p、q的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
跟踪训练1 A.①③
已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.
答案
在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是
B.①④ C.②③ D.②④ 当x>y时，－x<－y， 故命题p为真命题，从而綈p为假命题. 当x>y时，x2>y2不一定成立， 故命题q为假命题，从而綈q为真命题.
解析
由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题； ④(綈p)∨q为假命题，故选C.
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假 x＋y≥1， 例2 不等式组 的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x， x－2y≤4 y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D, x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋ 2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
考点自测
π 1.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为 ；命题q：函数y＝cos x的图 2 π 象关于直线x＝ 对称，则下列判断正确的是 答案 解析 2 A.p为真 B.綈q为假
C.p∧q为假
D.p∨q为真
江苏专用2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x)
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题．
()
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真
命题．
()
(3)“长方形的对角线相等”是存在性命题．
5．(2015·山东卷)若“∀x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________． 解析 ∵函数 y＝tan x 在0，4π上是增函数，∴ymax＝tan 4π＝1， 依题意，m≥ymax，即 m≥1. ∴m 的最小值为 1. 答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有 一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量 词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； 二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论． (2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中 的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题， 只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
()
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M(1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真． (2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题． (3)错误．命题“长方形的对角线相等”是全称命题． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q， p∧q中真命题的个数为________．
【训练 1】 (2017·南通调研)命题 p：函数 y＝log2(x－2)的单调增区 间是[1，＋∞)，命题 q：函数 y＝3x＋1 1的值域为(0,1)．在命题： ①p∧q；②p∨q；③p∧(綈 q)；④綈 q 中，真命题有________(填
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。
(江苏专用)高考数学总复习 第一篇 集合与常用逻辑用语《第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存
3．(2011· 镇江统考)已知命题p：“∀x∈R，x2＋2x－3≥0”， 请写出命题p的否定：________. 解析 全称命题的否定形式是“任意”改“存在”，结论对 立，所以为“∃x∈R，x2＋2x－3＜0”． 答案 ∃x∈R，x2＋2x－3＜0 4．(2011· 宿迁联考)若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜ 0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析 由题意，得“∀x∈R，x2＋(1－a)x＋1≥0是真命题”， 所以Δ＝(1－a)2－4≤0，解得－1≤a≤3. 答案 [－1,3]
逻辑联结词“或”的含义有三种 逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义 相同，如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x ∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p 假且q真；p真且q真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词 “或”时，要注意分析三种情况．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表示 事物的个体或部分的词叫做存在量词．并用符号“∃”表 示．含有存在量词的命题叫做存在性命题 ．特称命题“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为：∃x∈M，p(x) ．
3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)
④
判断含有逻辑联结词的命题真假，主要是把其中单个命题的 真假判断清楚，在此基础上再根据含有逻辑联结词的命题真假 判断的准则进行．
【训练1】 (2010· 新课标全国改编)已知命题p1：函数y＝2x－2
x
－
－
在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2 x在R上为减函数，则在命
题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2) 中，真命题是________． 解析 因为y＝2x与y＝－2－x是R上的增函数，所以y＝2x－2－x 在R上为增函数，因为y＝2x＋2－x是偶函数，它在R上不具有单 调性，所以p1真p2假，从而p1∨p2与p1∧(綈p2)为真命题，即 q1，q4正确． 答案 q1，q4
江苏专用2018高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3课简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件
假 ___
假 假
真 ___ 真 ___
假 ___
2.全称量词与存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 “___ ∀ ”
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某 些等
∃ ” “___
3.全称命题与存在性命题 命题名称 全称命题 存在性命题 命题结构 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立 命题简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x)
正确；对于③，当 x≤0 时，x3≤0，错误；对于④，∀x∈R,2x>0，正确．]
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________．
[ －8,0] 当 a≠0 [当 a＝0 时，不等式显然成立．
a＜0， 时，依题意知 2 Δ ＝ a ＋8a≤0，
由命题的真假求参数的取值范围
设 p ：实数 x 满足 x2 － 4ax ＋ 3a2<0 ，其中 a>0.q ：实数 x 满足
2 x －x－6≤0， 2 x ＋2x－8>0.
(1)若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围． (2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 【导学号：62172013】
1<x<3， 由 2<x≤3，
即 2<x<3，
所以实数 x 的取值范围为(2,3)．
(2)设 A＝{x|a<x<3a}，B＝{x|2<x≤3}， 由题意知 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 B A，
0<a≤2， 有 3a>3，
江苏专用高考数学总复习 第1知识块 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词和存在
考向一 判断含有逻辑联结
词的命题的真假|x＋2|≤0没有实数解”； (2)命题：“－1是偶数或奇数”； (3)命题：“2 属于集合Q，也属于集合R”． 解：(1)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为 x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即綈p为假命题．所以 原命题为假命题．
(2)此命题是“p∨q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数，因为命
题p为假命题，命题q为真命题，所以“p∨q”为真命题，故原命题为真命 题． (3)此命题为“p∧q”的形式，其中p： 2 ∈Q，q： 2∈R，因命题p为假命
题，命题q为真命题，所以“p∧q”为假命题．故原命题为假命题．
反思感悟：善于总结，养成习惯
联动思考
想一想：全称命题与存在性命题的否定有什么关系？ 答案：全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题． 议一议：命题“三角形的内角和等于180°”是全称命题还是存在性命 题？ 答案：全称命题
联动体验
1．(2010·南师附中高三月考)判断下列命题是全称命题还是存在性命题：
(1)下列语句：
2．(2010·苏州中学测试)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________． 解析：“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”等价于关于x的不等式x3－x2＋1≤0恒成 立，其否定为：x3－x2＋1≤0不恒成立，即存在x∈R，使得x3－x2＋1>0成立． 答案：存在x∈R，x3－x2＋1>0 3．(2010·连云港模拟)对于下列命题： ①∀x∈R，－1≤sin x≤1，②∃x∈R，sin2x＋cos2x>1，其中正确的个数是 ________个． 解析：对于①，由于|sin x|≤1⇔－1≤sin x≤1，故①正确．对于②，由平方关系 sin2x＋cos2x＝1对于任意x∈R都成立知②错误． 答案：1 4．(2010·江苏淮安十校联考)下列命题的否定是真命题的有________个． ①p：∀x∈R，x2－x＋≥0； ②q：所有的正方形都是矩形； ③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； ④s：至少有一个实数x，使x2－1＝0. 解析：①②④都是真命题，③为假命题，这些命题的否定只有一个真命题． 答案：1 5．(2010·扬州中学高三考试)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p为________． 答案：∃x∈R，sin x>1
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 理(20
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第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1. 已知命题p:存在n∈N，2n>1 000，则非p为( )A．任意n∈N，2n≤1 000 B．任意n∈N,2n>1 000C．存在n∈N，2n≤1 000 D．存在n∈N,2n<1 000解析特称命题的否定是全称命题，即p：存在x∈M，p（x），则非p：任意x∈M,非p（x）．答案 A2． ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是（）．A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0解析（筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根,可以排除B，故选C。
答案C3．下列命题中的真命题是（)．A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝错误!B．∀x∈（0,＋∞），ex〉x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sin x〉cos x解析因为sin x＋cos x＝错误!sin错误!≤错误!〈错误!,故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈错误!时有sin x<cos x，故D错误．所以选B.答案B4．已知命题p:∃a0∈R,曲线x2＋错误!＝1为双曲线;命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x｜3＜x＜4}．给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析因为命题p和命题q都是真命题,所以命题“p∧q"是真命题,命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题,命题“綈p∨綈q”是假命题．答案D5．已知命题p：∃x0∈R,mx20＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时作业 文
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第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固题组（建议用时:20分钟）1．已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为________．解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数．答案存在一个指数函数，它不是单调函数2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!；命题q:函数y＝cos x的图象关于直线x ＝错误!对称．则下列结论：①p为真；②綈p为假；③p∧q为假；④p∧q为真．其中结论正确的有________(填序号）．解析p为假命题,q为假命题，∴p∧q为假．答案③3．命题“∃x0∈错误!,tan x0>sin x0”的否定是________．答案∀x∈错误!，tan x≤sin x4．若命题“∃x0∈R，使得x错误!＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵“∃x0∈R，使得x错误!＋(a－1）x0＋1＜0”是真命题，∴Δ＝(a－1）2－4＞0，即(a－1)2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2,∴a＞3或a＜－1。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词真题演练集训 理 新
结词、全称量词真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词、全称量词真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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联结词、全称量词真题演练集训理新人教A版1．［2016·浙江卷]命题“∀x∈R,∃n∈N*，使得n≥x2"的否定形式是( ）A．∀x∈R，∃n∈N＊,使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N＊，使得n〈x2C．∃x∈R，∃n∈N*,使得n〈x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2答案：D解析：根据含有量词的命题的否定的概念可知,选D.2．［2015·浙江卷]命题“∀n∈N＊，f（n）∈N*且f(n)≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N＊，f(n）∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N＊或f（n）〉nC．∃n0∈N＊，f（n0)∉N＊且f(n0）>n0D．∃n0∈N＊，f（n0)∉N*或f(n0)>n0答案：D解析：写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃，并且否定结论,注意把“且”改为“或”．3．［2015·新课标全国卷Ⅰ]设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为( )A．∀n∈N,n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案：C解析：因为“∃x∈M,p（x)"的否定是“∀x∈M，綈p(x）"，所以命题“∃n∈N,n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n"．故选C.4．[2015·山东卷]若“∀x∈错误!,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________．答案：1解析：由题意,原命题等价于tan x≤m在区间错误!上恒成立，即y＝tan x在错误!上的最大值小于或等于m.又y＝tan x在错误!上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.课外拓展阅读利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围以逻辑联结词为工具，与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中也常出现，题型为选择题或填空题．［典例1］给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1〉0成立；q：关于x的方程x2－x ＋a＝0有实数根．如果“p∨q”为真命题,“p∧q"为假命题，那么实数a的取值范围为________．[答案］（－∞,0）∪错误![解析] 当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1〉0成立”⇔a＝0或错误!所以0≤a<4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤错误!。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃3．全称命题和存在性命题名称全称命题存在性命题形式结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)[小题体验]1．(2019·启东中学期末检测)在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中，若“p ∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，则p，q的真假为p________，q________.解析：∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真．“p∧q”为假，∴p，q至少有一个为假，而“綈p”为真，∴p为假，q为真．答案：假真2．(2019·盱眙中学检测)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是________________________．答案：对于任意的实数x ，使得x ≤13．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题：①p ∨q ；②綈p ∧綈q ；③綈p ∨q ；④p ∧綈q .其中为真命题的序号是________．解析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以綈p 是假命题，綈q 是真命题； 所以p ∨q 是真命题，綈p ∧綈q 是假命题，綈p ∨q 是假命题，p ∧綈q 是真命题，故①④正确．答案：①④1．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．2．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]1．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”，其否定为_____________________________． 答案：若ab ＝0，则a ≠0且b ≠02．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积 不相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等考点一 全称命题与存在性命题基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则命题p 的否定是“______________________”．答案：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)＞02．(2018·淮安期末)若“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________．解析：若“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1＜0成立”是假命题，即“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ＞2x ＋1x 成立”是假命题， 所以“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有λ≤2x ＋1x 成立”是真命题． 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，得函数y ＝2x ＋1x ≥2 2x ·1x＝22，当且仅当x ＝22时等号成立． 所以λ≤22，即实数λ的取值范围为(－∞，22]． 答案：(－∞，22]3．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )＝x ＋4x ，所以f ′(x )＝1－4x 2，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝5，又因为g (x )在[2,3]上的最小值为g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.答案：(－∞，1]4．(2019·南通中学调研)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”为真命题，则a ≥e；若命题q ：“∃x ∈R ，x2＋4x ＋a ＝0”为真命题，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]． 答案：[e,4][谨记通法]1．全称命题与存在性命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．2．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．考点二 含有逻辑联结词的命题的真假判断重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·泰州模拟)已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数，则在命题①p 1∨p 2；②p 1∧p 2；③(綈p 1)∨p 2；④p 1∧(綈p 2)中，真命题的序号是________．解析：因为y ＝2x在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，所以y ＝－2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数，所以y ＝2x－2－x在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题，所以①p 1∨p 2是真命题；②p 1∧p 2是假命题； ③(綈p 1)∧p 2是假命题；④p 1∧(綈p 2)是真命题． 答案：①④[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤 (1)先判断简单命题p ，q 的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]1．(2018·启东期末)命题p ：0∈N *，命题q ：1∈Q ，则“p 或q ”是________命题．(填“真”“假”)解析：命题p ：0∈N *，为假命题；命题q ：1∈Q ，为真命题，则命题“p 或q ”为真命题． 答案：真2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ； ②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，是真命题的序号是________．解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题．答案：②③考点三 根据命题的真假求参数的取值范围重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·无锡天一中学月考)已知命题p ：∃m ∈[－1，1]，使不等式a 2－5a ＋5≥m ＋2成立；命题q ：x 2＋ax ＋2＝0有两个负数根，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解：因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p ，q 一真一假． 由题设知，对于命题p ，因为m ∈[－1,1]， 所以m ＋2∈[1,3]，所以不等式a 2－5a ＋5≥1成立， 所以a 2－5a ＋4≥0，解得a ≤1或a ≥4. 对于命题q ，因为x 2＋ax ＋2＝0有两个负数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－8≥0，x 1＋x 2＝－a ＜0，所以a ≥2 2.若p 真q 假，则a ≤1；若p 假q 真，则22≤a ＜4， 所以实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[22，4)．[由题悟法]根据命题真假求参数范围的步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时应用]1．(2018·江苏百校联盟联考)已知命题：“∃x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈[1,2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所以3≤x 2＋2x ≤8， 由题意得a ＋8≥0，所以a ≥－8. 答案：[－8，＋∞)2．(2019·海门中学检测)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，命题q ：∀x ∈R ，3sin x＋cos x ＜a ，且p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得：命题p 为真命题， ∵p ∧q 为假命题，∴q 为假命题．若q 为真，则a ＞3sin x ＋cos x 对∀x ∈R 恒成立，∵3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6且正弦函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，∴3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最大值为2，∴a ＞2. ∵q 为假命题，∴a ≤2，∴实数a 的取值范围为(－∞，2]． 答案：(－∞，2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三检测)命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是“________________”．答案：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 2．(2018·镇江模拟)已知命题p ：函数y ＝ax ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)；命题q ：已知平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件，则有下列命题：①p ∧q ；②(綈p )∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④p ∧(綈q )． 其中为真命题的序号是________．解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数y ＝a x ＋1＋1是由y ＝a x先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y ＝ax ＋1＋1恒过点(－1,2)，故命题p 为真命题；命题q ：m 与β的位置关系也可能是m ⊆β，故q 是假命题．所以p ∧(綈q )为真命题．答案：④3．若“x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x 的取值范围是________． 解析：根据题意得“x ∉[2,5]且x ∉(－∞，1)∪(4，＋∞)”是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞5，1≤x ≤4，解得1≤x ＜2，故x ∈[1,2)．答案：[1,2)4．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1)，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个不同交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，－m2＞0，解得m ＜－2，所以m 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)5．(2018·南京外国语学校模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________．解析：命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}也是真命题，所以，①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．故①②③④均正确．答案：①②③④6．(2019·海门实验中学检测)命题p ：∃x ∈[－1,1]，使得2x＜a 成立；命题q ：∀x ∈(0，＋∞)，不等式ax ＜x 2＋1恒成立．若命题p ∧q 为真，则实数a 的取值范围为________．解析：由x ∈[－1,1]可知，当x ＝－1时，2x取得最小值12，若命题p ：∃x ∈[－1,1]，使得2x＜a 成立为真，则a ＞12.若命题q ：∀x ∈(0，＋∞)，不等式ax ＜x 2＋1恒成立为真， 即∀x ∈(0，＋∞)，a ＜x ＋1x恒成立为真，当x ＝1时，x ＋1x取最小值2，故a ＜2.因为命题p ∧q 为真，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是________________． 解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是“∃n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n ”．答案：∃n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n2．(2019·海安中学测试)若命题“∀x ∈[1,2]，x 2－4ax ＋3a 2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x2－4ax ＋3a 2，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1－4a ＋3a 2≤0，f2＝4－8a ＋3a 2≤0，解得23≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 3．(2018·南通大学附中月考)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1.因为“p ∧q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，所以a ≤－2或a ＝1.答案：(－∞，－2]∪{1}4．(2018·沙市区校级期中)函数f (x )＝x 3－12x ＋3，g (x )＝3x－m ，若对∀x 1∈[－1,5]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的最小值是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－12，可得f (x )在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，∴f (x )min ＝f (2)＝－13，∵g (x )＝3x－m 是增函数，∴g (x )min ＝1－m ，要满足题意，只需f (x )min ≥g (x )min 即可，解得m ≥14， 故实数m 的最小值是14. 答案：145．已知p ：|x －a |＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，因为“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4＞3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]6．(2019·杨大附中月考)给出下列命题： ①∀x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则上述命题的否定中，真命题的序号为________．解析：命题与命题的否定一真一假．①当x ＝0或1时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被5整除的整数，末位数字是0或5，所以②是假命题，②的否定是真命题；③x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．答案：①②③7．命题p 的否定是“对所有正数x ，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论 否定即可．答案：∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋18．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，可得－1≤tan x ≤1，所以0≤tan x ＋1≤2， 因为∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1，所以m ≤0，所以实数m 的最大值为0. 答案：09．(2018·南京期末)已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈R ，mx 2＋mx ＋1＞0；命题q ：函数f (x )＝x 3－3x 2＋m －1只有一个零点，则使“p ∨q ”为假命题的实数m 的取值范围为________．解析：若p 为真，当m ＝0时，符合题意；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝m 2－4m ＜0，则0＜m ＜4，∴命题p 为真时，0≤m ＜4.若q 为真，由f (x )＝x 3－3x 2＋m －1，得f ′(x )＝3x 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.∴当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)． ∴f (x )的极大值为f (0)＝m －1，极小值为f (2)＝m －5.要使函数f (x )＝x 3－3x 2＋m －1只有一个零点，则m －1＜0或m －5＞0， 解得m ＜1或m ＞5.∵“p ∨q ”为假命题，∴p 为假，q 为假，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0或m ≥4，1≤m ≤5，解得4≤m ≤5，故实数m 的取值范围为[4,5]． 答案：[4,5]10．(2018·南京一中模拟)给出如下命题：①“a ≤3”是“∃x ∈[0,2]，使x 2－a ≥0成立”的充分不必要条件； ②命题“∀x ∈(0，＋∞)，2x ＞1”的否定是“∃x ∈(0，＋∞)，2x≤1”； ③若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确的命题是________．(填序号)解析：对于①，由∃x ∈[0,2]，使x 2－a ≥0成立，可得a ≤4，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“p 且q ”为假命题，则p ，q 中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②11．已知命题p ：函数y ＝lg(ax 2＋2x ＋a )的定义域为R ；命题q ：函数f (x )＝2x 2－ax 在(－∞，1)上单调递减．(1)若“p ∧綈q ”为真命题，求实数a 的取值范围；(2)设关于x 的不等式(x －m )(x －m ＋2)＜0的解集为A ，命题p 为真命题时，a 的取值集合为B .若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：(1)若p 为真命题，则ax 2＋2x ＋a ＞0的解集为R ， 则a ＞0且4－4a 2＜0，解得a ＞1. 若q 为真命题，则a4≥1，即a ≥4.因为“p ∧綈q ”为真命题，所以p 为真命题且q 为假命题， 所以实数a 的取值范围是(1,4)．(2)解不等式(x －m )(x －m ＋2)＜0，得m －2＜x ＜m ，即A ＝(m －2，m )． 由(1)知，B ＝(1，＋∞)． 因为A ∩B ＝A ，则A ⊆B ， 所以m －2≥1，即m ≥3.故实数m 的取值范围为[3，＋∞).12．设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2＜0(其中a ＞0)，q ：实数x 满足2＜x ≤5. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈q 是綈p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，x 2－5x ＋4＜0，解得1＜x ＜4， 即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜4. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是(2,4)．(2)綈q 是綈p 的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件， 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ， 由x 2－5ax ＋4a 2＜0得(x －4a )(x －a )＜0， 因为a ＞0，所以A ＝(a,4a )，又B ＝(2,5]，则a ≤2且4a ＞5，解得54＜a ≤2.所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，2. 13．(2019·启东检测)已知p ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－2eln x ≤m ；q ：函数y ＝x 2－2mx ＋1有两个零点．(1)若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：若p 为真，令f (x )＝x 2－2eln x ，问题转化为求函数f (x )的最小值． f ′(x )＝2x －2e x ＝2x 2－2ex，令f ′(x )＝0，解得x ＝e ，函数f (x )＝x 2－2eln x 在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (e)＝0，故m ≥0.若q 为真，则Δ＝4m 2－4＞0，解得m ＞1或m ＜－1.(1)若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，即m ＜0且－1≤m ≤1， 所以实数m 的取值范围为[－1,0)．(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假．若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－1≤m ≤1，即0≤m ≤1；若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＞1或m ＜－1，即m ＜－1.综上所述，实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪[0,1]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·姜堰中学检测)设p ：函数f (x )＝x 3－mx －1在区间[－1,1]上单调递减；q ：方程x 2m －1＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：若p 为真，由函数f (x )＝x 3－mx －1在区间[－1,1]上单调递减， 得f ′(x )＝3x 2－m ≤0在区间[－1,1]上恒成立，即m ≥3x 2， 当－1≤x ≤1时，3x 2≤3，则m ≥3； 若q 为真，由方程x 2m －1＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧9－m ＞0，m －1＞0，9－m ＞m －1，解得1＜m ＜5.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 则p ，q 一真一假，若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥5或m ≤1，得m ≥5；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜3，1＜m ＜5，得1＜m ＜3，综上，实数m 的取值范围是(1,3)∪[5，＋∞)． 答案：(1,3)∪[5，＋∞)2．(2018·宿迁中学月考)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 为假命题，所以p ，q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2＞0为真命题，所以m ≥0. 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，所以Δ＝(－2m)2－4≥0，解得m≤－1或m≥1.综上，可得m≥1.答案：[1，＋∞)命题点一集合及其运算1.(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1.答案：12．(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}3．(2015·江苏高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：因为A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，所以A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素个数为5.答案：54．(2018·浙江高考改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝________.解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．答案：{2,4,5}5．(2018·北京高考改编)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0,1,2}，则A∩B＝________.解析：∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．答案：{0,1}6．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝________.解析：A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．答案：{0,2}命题点二充分条件与必要条件1．(2017·浙江高考改编)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的________条件．解析：因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.答案：充要2．(2018·天津高考改编)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的________条件． 解析：由x 3＞8⇒x ＞2⇒|x |＞2，反之不成立， 故“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分不必要条件． 答案：充分不必要3．(2018·天津高考改编)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的________条件．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件． 答案：充分不必要4．(2016·上海高考)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的____条件．解析：由a ＞1可得a 2＞1，由a 2＞1可得a ＞1或a ＜－1.所以“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．(2016·天津高考改编)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的________条件．解析：设数列{a n }的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )＜0，即q＜－1，故q ＜0是q ＜－1的必要不充分条件． 答案：必要不充分 命题点三 命题及其真假性1．(2012·全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为________． 解析：因为复数z ＝2－1＋i＝－1－i ，所以|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．答案：p 2，p 42．(2015·山东高考改编)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________．解析：根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 命题点四 全称量词和存在量词1．(2015·全国卷Ⅰ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为________．解析：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n”．答案：∀n ∈N ，n 2≤2n2．(2016·浙江高考改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是________． 解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．答案：∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 23．(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：1。
创新设计(江苏专用)2018版高考数学一轮温习 第一章节 集合与常用逻辑用 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词
考点三 由命题的真假求参数的取值范围 【例 3】 (1)已知命题“∃x0∈R，使 2x20＋(a－1)x0＋12≤0”是假命
题，则实数 a 的取值范围是________． (2)已知 p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0， 若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围是________．
【训练 1】 (2017·南通调研)命题 p：函数 y＝log2(x－2)的单调增区 间是[1，＋∞)，命题 q：函数 y＝3x＋1 1的值域为(0,1)．在命题： ①p∧q；②p∨q；③p∧(綈 q)；④綈 q 中，真命题有________(填
序号)．
解析 由于 y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数， ∴命题 p 是假命题． 由 3x>0，得 3x＋1>1，所以 0<3x＋1 1<1， 所以函数 y＝3x＋1 1的值域为(0,1)，故命题 q 为真命题． 所以 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，p∧(綈 q)为假命题，綈 q 为
规律方法 (1)“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断 关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操 作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p，q的真假； ③确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假． (2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真 必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．
规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有 一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量 词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； 二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论． (2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中 的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题， 只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
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假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据 “或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相a ，都有 |a|>0 ；命题 q ：
存在数列 {an} 既是等差数列，又是等比数列．试判断“ p 或 q”，“p且q”，“綈p”，“ 綈q”的真假． 假命题，所以命题p是假命题． 【解答】因为当a＝0时，命题“对任意实数a，有|a|>0”是
【精要点评】在含有一个量词的命题的否定中，全称命题 的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，一般命 题的否定只需直接否定结论即可．判断一个命题是全称命题还
6. 常见词语的否定如下表所示：
词语 是 一定是 不一定是 ________ 必有一个 都是 不都是 ______ 至少有n个 大于 小于或等于 _________ 至多有一个 小于 大于或等于 ___________ 所有x都成立 词语的 不是 ____ 否定 词语 且
词语的 或 至多有n－1个 _________ 至少有两个 存在一个 一个也没有 ___________ x不成立 ____ _________ _____________ 否定
“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“ ∀ ”表 全称量词 的命题，叫作全称命题．如“对任意实 示．含有 ___________ ∀x∈M，p(x) ”． 数x∈M，都有p(x)成立”简记成“______________
2. 存在量词
部分 的量词称为存在量词． 我们把表示_______ 对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有 ∃ ”表 个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“___ 存在量词 的命题，叫作存在性命题．“存在实数 示．含有 ____________ ∃x0∈M，p(x0) ”． x ∈M，使p(x )成立”简记成“______________
故p且q为真命题．
2. (选修11P15例1改编)命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定 ∃x∈R，x2＋x＋1≤0 ． 是____________________
3. ( 选修 11P16 习题 4 改编 ) 命题“ ∃ x∈N ， x2≤0”的否定是
____________ ∀ x∈N，x2>0 ．
4. (选修 11P21 本章测试 6 改编)命题“对于函数 f(x)＝x2 a 真 ＋ x (a∈R)，存在 a∈R，使得 f(x)是偶函数”为__________ 命题．(填“真”或“假”)
【解析】当a＝0时，函数是偶函数，故为真命题．
5. (选修11P21本章测试10改编)已知命题p：∀x∈R，sin x＋
(－∞，－ 2) cos x>m是真命题，那么实数m的取值范围是_____________ ．
π 2sinx＋4∈[－
【解析】 ∀x∈R， sin x＋cos x＝ 所以 m<－ 2.
2， 2]，
知识梳理
1. 全称量词 全体 的量词称为全称量词． 我们把表示______
对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、
因为当an＝1时，数列{an}既是等差数列，又是等比数列，
所以命题q是真命题． 真命题，“綈q”为假命题． 所以“ p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，“ 綈p”为
含有一个量词的命题的否定
例2
写出下列命题的否定，并判断其真假．
2
1 (1) p：∀x∈R，x －x＋4≥0；
【思维引导】本题考查命题的否定形式，要分析其是全 称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式 来判断其真假．
0 0
或 符号为∨)， ____( 且 符号为∧)， 3. 简单逻辑联结词有 _____( 非 符号为綈)． _____(
为否定．
∃x∈M，綈p(”互 x) 4. 命题的否定：“∀x∈M，p(x)”与“_____________ 5. 复合命题的真假：对“p且q”而言，当p，q均为真时，
假 ．对“ p或q” 其为_____ 真 ；当p，q中有一个为假时，其为 _____ 假 ；当p，q中有一个为真时， 而言，当p，q均为假时，其为____ 真 ．当p为真时，綈p为____ 假 ；当p为假时，綈p为____ 真 ． 其为_____
【解析】命题p：存在x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q： x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题．①命题“p∧q”是 真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是
真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．故答案为①③.
【 精要点评 】 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真
第3课
简单的逻辑联结词、全称量词与存在 量词
课前热身
激活思维
1. (选修11P13习题3改编)若命题p：2是质数；q：不等式x2 真 － 2x － 3<0 的解集为 ( － 1,3) ，则命题“ p 且 q”是 ________ 命 题．(填“真”或“假”)
【解析】因为2是质数，所以p为真命题， q也是真命题，
课堂导学
判断复合命题的真假
例1
已知命题 p ：存在 x∈R ，使 tan x ＝ 1 ；命题 q ： x2
－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列复合命题： ①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∨q；④(綈p)∨(綈q)． ①③ 其中真命题是________________ ．(填序号) 词构成的复合命题进行真假判断． 【思维引导】先判断命题p，q的真假，然后对用逻辑联结
1 【解答】 綈 p：∃x∈R，x －x＋4＜0，假命题．
2
(2) q：所有的正方形都是矩形； 【解答】 綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3) r：有的实数没有平方根；
【解答】綈r：所有的实数都有平方根，假命题． (4) s：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； 被5整除，假命题． 【解答】綈s：存在一个末位数字是0或5的整数，但它不能 (5) t：菱形的对角线互相垂直平分． 相不平分，假命题． 【解答】綈t：存在一个菱形，它的对角线互相不垂直或互