高三数学一轮复习 导数(2)单元练习题 新人教版
2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6节对数与对数函数课时作业含解析新人教版
第二章 函数、导数及其应用授课提示：对应学生用书第247页[A 组 基础保分练]1．(2021·重庆第一次模考)已知log 23＝a ，log 35＝b ，则lg 6＝( ) A.11＋ab B ．a 1＋abC.b 1＋ab D ．a ＋11＋ab答案：D2．(2021·济南模拟)已知函数f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12，则f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2答案：C3．(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 解析：∵3log 32＝log 38＜2，∴log 32＜23，即a ＜c .∵3log 53＝log 527＞2，∴log 53＞23，即b ＞c .∴a ＜c ＜b . 答案：A4．已知a ＞b ＞0，且a ＋b ＝1，x ＝⎝⎛⎭⎫1a b ，y ＝log ab ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，z ＝log b 1a ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x ＞z ＞y B ．x ＞y ＞z C ．z ＞y ＞xD ．z ＞x ＞y答案：A5．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)答案：A6．(多选题)(2021·山东潍坊五县联考)已知a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则( )A ．∃x ，y ＞0，使得a ＜b ＜c ＜dB ．∀x ，y ＞0，都有c ＝dC ．∃x ，y 且x ≠y ，使得a ＝b ＝c ＝dD ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1解析：a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则lg a ＝lg 2x ，lg b ＝lg 2y ，lg c ＝lg x lg y ，lg d ＝lg x lg y ，则∀x ，y ＞0，都有c ＝d ，故B 正确，A ，C 不正确；对于D ，假设a ，b ，c ，d 中最多有一个大于1，若x ＞10，y ＞10，则a ＞1，b ＞1，c ＞1，d ＞1，则假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1，D 正确． 答案：BD7．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．答案：7 28．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为________． 答案：(－4,4]9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解析：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解析：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，得a ＝－1， 故f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.[B 组 能力提升练]1．(2021·合肥模拟)函数f (x )＝ln x ·(e x －1)e x ＋1的图象大致为( )答案：B2．(多选题)(2021·山东临沂期末)若10a ＝4,10b ＝25，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab ＞8(lg 2)2D ．b －a ＞lg 6解析：由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，则a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，A 正确；b －a ＝lg 25－lg 4＝lg 254，又lg 254＞lg 6，∴b －a ＞lg 6，B 错误，D 正确；又ab ＝4lg 2lg 5＞4lg 2lg4＝8(lg 2)2，C 正确． 答案：ACD3．若函数f (x )＝a x －k (a ＞0，且a ≠1)的图象经过定点(19,1)，且g (x )＝log a (x ＋k －19)满足g (x 1x 2x 3…x 2 019)＝19，则g (x 21)＋g (x 22)＋g (x 23)＋…＋g (x 22 019)的值为( )A.19 B ．19 C ．38D ．log a 19解析：由题意可知f (19)＝1，得k ＝19，所以g (x )＝log a x ，所以g (x 1x 2x 3…x 2 019)＝log a (x 1x 2x 3…x 2019)＝19，所以g (x 21)＋g (x 22)＋g (x 23)＋…＋g (x 22 019)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝2log a (|x 1x 2x 3…x 2 019|)＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×19＝38. 答案：C4．若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1,3y ＝3t ＋1,5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B5．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知55＜84,134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84,134＜85，∴5log 85＜4,4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6．(多选题)(2021·山东夏津一中月考)已知函数f (x )＝－log 2x ，下列说法正确的是( ) A ．函数f (|x |)为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1,3)上单调递增D ．若0＜a ＜1，则|f (1＋a )|＜|f (1－a )|解析：对于A ，f (|x |)＝－log 2|x |，f (|－x |)＝－log 2|－x |＝－log 2|x |＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，故A 正确；对于B ，若f (a )＝|f (b )|，其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，则f (a )＝|f (b )|＝－f (b )，－log 2a ＝log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0，得ab ＝1，故B 正确；对于C ，函数f (－x 2＋2x )＝－log 2(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x ＞0，解得0＜x ＜2，所以函数f (－x 2＋2x )的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为0＜a ＜1，所以1＋a ＞1＞1－a ＞0,0＜1－a 2＜1，所以f (1＋a )＜0＜f (1－a )，故|f (1＋a )|－|f (1－a )|＝|－log 2(1＋a )|－|－log 2(1－a )|＝log 2(1＋a )＋log 2(1－a )＝log 2(1－a 2)＜0，故D 正确． 答案：ABD7．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，若函数g (x )＝a x ＋m－3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，而f (0)＝0, ∴f (－2)＝log a 3＝－1，∴a ＝13，∴g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －3，令g (x )＝0，得x ＝－m －1，则－m －1≤0，求得m ≥－1，故m 的取值范围为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[C 组 创新应用练]1．(2021·开封模拟)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe ＜3e B ．3e －2π＜3πe －2 C ．log πe ＞log 3eD ．πlog 3e ＞3log πe解析：对于选项A ，函数y ＝x e 在(0，＋∞)上单调递增，所以πe ＞3e ，故选项A 错误；对于选项B,3e －2π＜3πe －2，两边同时除以3π可得3e －3＜πe －3，由函数y ＝x e －3在(0，＋∞)上单调递减可得选项B 错误；对于选项C ，由log πe ＞log 3e 可得1ln π＞1ln 3，所以ln π＜ln 3，而函数y ＝lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ，由πlog 3e ＞3log πe 可得πln 3＞3ln π，所以πln π＞3ln 3，所以ππ＞33，故选项D 正确． 答案：D2．(2021·朝阳模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12 B ．13C.16D ．110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈(7.35,7.45)，且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg[H ＋][OH －]＝lg [H ＋]10－14[H ＋]＝lg[H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误．答案：C3．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14， 即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。
导数答题专题5大题型练习题 高三数学一轮复习
1导数大题专题训练一、 导数恒成立（存在）问题类型一 分离参数1.已知函数()ln (0)f x x x x =>.(分离参数,恒成立2问)(1) 求()f x 的单调区间和极值.(2) 若对任意23(0,),()2x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值.2.已知函数ln()(),().xxf x ax e a Rg xx=-∈=（分离参数，存在2问）（1）求函数()f x的单调区间.（2）o (0,),()()xx f x g x e∃∈+∞≤-使不等式成立，恒成立，求实数a的取值范围.233. 已知函数()ln f x x =（1）求函数()(1)g x f x x =+-的最大值.（2）若对任意0x >时，不等式2()1f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围.4. 已知函数2()ln +(0)f x x x a ax=+≠ （1）当1()a f x =时，求的极值.（2）若对任意1()2,x e e f x x -∈<+（,）,时求实数a 的取值范围.4类型二 最值定位法解双参不等式恒成立问题1.设函数()2cos ,()ln (0)k f x x x g x x k x =--=-->（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意11[0,]2x ∈，总存在21[,1]2x ∈，使得12()()f x g x ≤，求实数k 的取值范围.52. 已知函数1()ln ,()(0)2a f x x mx g x x a x =-=->（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若21221,,[2,2]2m x x e e=∀∈，都有12()()g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围.63. 已知函数32333(),()(1)31,.x+12x f x g x x a x ax a -==-++--其中为常数 （1）当=1a 时，求曲线()y g x =在0x =处的切线方程；（2）若0a <，对与任意1[1,2]x ∈，总存在2[12]x ∈，，使得12()=()f x g x ，求实数a 的取值范围.7类型三 做差法构造函数（讨论参数成立时的范围）1. 已知函数22()ln f x a x x ax =-+（1）当1a =-时，求()f x 的极值;（2）若()0+f x <∞在（0，）上恒成立，求实数a 的取值范围.82. 已知函数21()1,(),.2x f x x a e g x x ax a =+-=+（）其中为常数 （1）当2a =时，求函数()f x 在点(0)f （0，）处的切线方程; （2）若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.93. 函数2()2ln ,().f x x ax x a R =-+∈（1）若曲线()y f x =在点(1)f （1，）处的切线与直线210x y -+=垂直，求a 的值;（2）若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-在区间0]e （，上恒成立，求实数a 的取值范围.10 二．导数与函数零点问题类型一、讨论函数零点的个数1. 已知函数()cos .x f x e x =-（1）求函数()f x 的图象(0)f （0，）在点处的切线方程;（2）求证：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点.11 2. 已知函数()cos 2x f x e x x =--（1）求函数()f x 的图象(0)f （0，）在点处的切线方程;（2）求()f x 在(,)2π-+∞上的零点个数.123. 已知函数()cos 1f x ax x =-在[0,]6π31π- （1）求a 的值;（2）求证：()f x 在(0)2π，上有且仅有2个零点.13类型二、由函数的零点个数确定参数取值范围4. 已知函数2()+ln 1()f x ax x a R =+∈（1）若函数()f x 在(1)+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间1(,)e e 上有且只有两个零点，求实数a 的取值范围.145. 已知函数()(2)x f x e a x =-+（1）若1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6. 已知函数2=-+-∈f x a x x a x a R()ln(21)()f x的单调区间；（1）若1a=时，讨论()f x的极值；（2）求函数()f x有两个不同的零点，求a的取值范围. （3）若函数()1516三、导数与不等式证明类型一 构造函数证明不等式（()()()h x f x g x =-）1. 已知函数()2ln 1f x x x =+（1）求()f x 的最小值；（2）证明：21()2ln f x x x x x ≤-++.172. 已知函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1,(1,),a x =∈+∞证明：32()3f x x <3. 已知函数()=x-的图象在点（0,1）处的切线斜率为1-.f x e axf x的极值；（1）求a的值及()（2）证明：2当时，.0x><x x e1819类型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较（隔离分析最值法）4. 已知函数()ln ,().x x f x x x x g x e=+= （1）若不等式2()()f x g x ax ≤对[1,+x ∈∞）恒成立，求a 的最小值；（2）证明：()+1().f x x g x ->5. 已知函数2()lnf x ex x x=-.求证：当1 0()xx f x xee ><+时，20216. 已知函数()ln ()f x e x ax a R =-∈（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20.x xf x e ex -+≤22类型三 适当放缩证明不等式（1,ln 1x e x x x ≥+≤-）1. 已知函数2()ln(1),.1f x a x a x =-+-其中为实数 （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当2x >时，()(1)2.x f x e a x a <+--232. 已知函数()ln 1f x ax x =--（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的最小值.（2）求证：ln 10xe x x x ++-≥.24四．极值点偏移类型一 利用1212,x x x x +问题转化，构造函数1. 已知函数21()ln 2f x x x a x =-+（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12ln 23()()24f x f x +>--25类型二 比值换元1. 已知函数()=()x x f x x R e∈，如果12x x ≠且12()=()f x f x ，证明：122x x +>262. 设函数()=(),x x x f x g x ae x a e=-，其中的实数.， （1）求()f x 的单调区间；（2）若()g x 有两个零点1212,x x x （<x ），证明：1201x x << .273. 已知函数2()22ln ,f x ax x x a R =-∈（1）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围.（2）若函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，证明：122ln ln 1x x +>-.284. 已知函数()ln (,)mx n f x x m n R x-=-∈ （1）求函数()f x 在(1)f （1，）处的切线与直线0x y -=平行，求实数m 的值;（2）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,x x x （0<<x ），证明：122x x +>.29类型三 对称构造()()(2)F x f x f a x =--1.已知函数()=()x x f x x R e∈，如果12x x ≠且12()=()f x f x ，证明：122x x +>五．隐零点问题30。
2022最新精选高三人教A版数学一轮复习练习第二章函数导数及
2022最新精选高三人教A版数学一轮复习练习第二章函数导数及题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始，找出它们，并将这些知识点对应的考题提取出来，研究这些题主要从哪些角度进行考察，这类知识点的题怎样入手解题，容易出错的点有哪些。
归纳完经常错的知识点后，可以翻看一下近几年的高考真题，看看大题一般是考察哪些类型的题目，归纳一下这些题型的解题方法。
在此过程中，如果对某个知识很模糊，立即回归课本，翻看课本知识。
【2022最新】精选高三人教A版数学一轮复习练习：第二章函数、导数及其应用第3节1．(导学号14577113)(2022·长春市二模)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝e某＋e－某C．y＝B．y＝ln(|某|＋1)D．y＝某－某解析：D[选项A、B中的函数为偶函数；选项C中的函数虽然是奇函数，但是在(0，＋∞)上不是单调递增函数．故选D.]2．(导学号14577114)设函数f(某)，g(某)的定义域都为R，且f(某)是奇函数，g(某)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(某)g(某)是偶函数B．|f(某)|g(某)是奇函数C．f(某)|g(某)|是奇函数D．|f(某)g(某)|是奇函数解析：C[因为f(某)是奇函数，g(某)是偶函数，所以有f(－某)＝－f(某)，g(－某)＝g(某)，于是f(－某)·g(－某)＝－f(某)g(某)，即f(某)g(某)为奇函数，A错；|f(－某)|g(－某)＝|f(某)|g(某)，即|f(某)|g(某)为偶函数，B错；f(－某)|g(－某)|＝－f(某)|g(某)|，即f(某)|g(某)|为奇函数，C正确；|f(－某)g(－某)|＝|f(某)g(某)|，即f(某)g(某)为偶函数，所以D也错．]3．(导学号14577115)(2022·保定市一模)已知函数f(某)＝1/8题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始，找出它们，并将这些知识点对应的考题提取出来，研究这些题主要从哪些角度进行考察，这类知识点的题怎样入手解题，容易出错的点有哪些。
高三数学一轮复习单元评估检测(2) 第2章 函数、导数及其应用 理 新人教A版
单元评估检测（二）（第二章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax 3＋bx －3，若f(－2)＝7，则f(2) ＝( )(A)13 (B)－13 (C)7 (D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数 (B)f(x)－|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|＋g(x)是偶函数 (D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是( )5.设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )(A)y ＝a x(B)y ＝log a x (C)y ＝xe x (D)y ＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)＞f(x 2)，则下列不等式恒成立的是( )(A)x 1＞x 2 (B)x 1＜x 2 (C)x 1＋x 2＞0 (D)x 12＞x 228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )(A)[ 2－2，2＋2] (B)(2－2，2＋2) (C)[1,3] (D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg 14－lg25)÷10012 ＝ .10.定积分∫0ln2e xdx 的值为 .11.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 .12.当x∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 13.函数f(x)＝(x ＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋ f(－2)等于 .14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x 2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b∈B，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x ＋1－1)的定义域为集合A ，函数g(x)＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝ 的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 与g(x)＝－x 2＋2x ＋d 的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b ，c ，d 的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R 上是单调函数，求m 的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k. (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m 2m 3x －＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax 3＋92x 2－b(x∈R)，其中a ，b∈R.若函数g(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′(x)＋1e x－2e 成立.答案解析1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a ·23－2b －3＝－(a ·23＋2b)－3＝7， ∴a ·23＋2b ＝－10，∴f(2)＝a ·23＋2b －3＝－10－3＝－13.3. 【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ∴|g(x)|的图象关于y 轴对称，是偶函数， 又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.5. 【解析】选D.∵f ′(x)＝13－1x ，∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减. 而0＜1e＜1＜e ＜3，又f(1e )＝13e ＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x ，h(x)＝lnx ，如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x ＞1，则关于x 的方程f(x)＝log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)， ∵(a x)′＝a xlna ，(xe x)′＝e x＋xe x，导函数的定义域为R ， ∴排除选项A ，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(log a x)′＝1xlna ，导函数的符号与参数a 有关，排除B ，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数， 当x ∈(0，π2]时，f ′(x)＝sinx ＋xcosx ＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x 1)＞f(x 2)⇔f(|x 1|)＞f(|x 2|)⇔|x 1|＞|x 2|⇔x 12＞x 22.8.【解析】选B.∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b<2＋ 2.故选B. 9.【解析】(lg 14－lg25)÷12100-＝lg 1425÷1100＝lg 1100÷110＝10×lg10－2＝－20. 答案：－2010.【解析】∫0ln2e xdx ＝e x|0ln2＝e ln2－e 0＝2－1＝1. 答案：111.【解析】y ′＝1x ＋a (x ＋a)′＝1x ＋a，设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1x 0＋1＝ln(x 0＋a)，解得a ＝2. 答案：212.【解析】设y 1＝(x －1)2，则y 1的图象如图所示：设y 2＝log a x ，则当x ∈(1,2)时，y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2－1)2＝1， ∴a ≤2，∴1＜a ≤2. 答案：{a|1＜a ≤2}13.【解析】令t ＝1，则f(2)＝－f(0). ∴(2＋a)3＝－a 3， ∴a ＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26. 答案：－26 14.【解析】答案：②③15.【解析】(1)A ＝{x|2x ＋1－1>0}，2x ＋1－1>0⇒x －1x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x<1.∴A ＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)＝lg 1－x x ＋1，则f(－x)＝lg 1＋x －x ＋1＝lg(1－x x ＋1)－1＝－lg 1－xx ＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B ＝{x|x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a]， 当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a]，有A ∩B ＝∅. 反之，若A ∩B ＝∅，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2. 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P 的坐标代入两函数解析式，结合x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d 有唯一解，可求得b ，c ，d ，(2)若F(x)在R 上是单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≥0或F ′(x)≤0.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－2－1＋2＋d ＝－2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－3d ＝－3，且x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d ，即2x 2＋(b －2)x ＋c －d ＝0有唯一解， 所以Δ＝(b －2)2－8(c －d)＝0，即b 2－4b －8c －20＝0， 消去c 得b 2＋4b ＋4＝0，解得b ＝－2，c ＝－1，d ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 2－2x －1，g(x)＝－x 2＋2x －3， 故g ′(x)＝－2x ＋2， F(x)＝(f(x)＋m)·g ′(x) ＝(x 2－2x －1＋m)·(－2x ＋2)＝－2x 3＋6x 2－(2＋2m)x ＋2m －2， F ′(x)＝－6x 2＋12x －2－2m.若F(x)在R 上为单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≤0或F ′(x)≥0成立. 因为F ′(x)的图象是开口向下的抛物线， 所以F ′(x)≤0在R 上恒成立，所以Δ＝122＋24(－2－2m)≤0，解得m ≥2， 即m ≥2时，F(x)在R 上为单调递减函数.17.【解析】(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k ＞0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k). 当k ＜0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ， －k).(2)当k ＞0时，因为f(k ＋1)＝ek 1k+＞1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k ＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e ，等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k ＜0.故对∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0).18.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为 y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1).(2)y ′＝5a(4－2x －12x 2)，令y ′＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0<x<12时y ′>0；12<x<1时y ′<0，∴函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋mx (2＋x)x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋1212mx －＝m2x2(x 32－512).令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x<64时，f ′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当64<x<640时，f ′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以f(x)在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9， 故需新建9个桥墩才能使y 最小.19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，可得－m 2＋2m ＋3>0，再由f(x)为偶函数得m 的值.(2)g(x)仅在x ＝0处有极值，则意味着g ′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.【解析】(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0即m 2－2m －3<0，∴－1<m<3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f(x)＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f(x)＝x 4是偶函数， ∴f(x)＝x 4.(2)g(x)＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ， g ′(x)＝x(x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g(x)仅在x ＝0处有极值，则有x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式，得a ∈[－2,2].这时，g(0)＝－b 是唯一极值，∴a ∈[－2,2].20.【解析】(1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]， 当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32； 当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72， 故g(x)在[0,3]上的值域为[32，72]. (2)f ′(x)＝lnx ＋1，当x ∈(0，1e)，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1e，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增. ①0<t<t ＋2<1e，t 无解； ②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f(1e) ＝－1e； ③1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ； 所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t<1e tlnt ，t ≥1e .(3)g ′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到； 设m(x)＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x)＝1－x e x ， 易得m(x)max ＝m(1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g ′(x)＋1e x －2e成立.。
高考数学一轮复习测试卷2-人教版高三全册数学试题
2015届高三一轮复习测试卷二文科数学考查X 围：集合、逻辑、函数、导数、复数、圆锥曲线、概率第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.) 1.复数z=ii++-23 的共轭复数是( ) A ．2+i B ．2-i C ．-1+i D ．-1-i 2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 3.下列命题中，真命题是 （ ）A ．2,x R x x ∀∈≥ B ．命题“若21,1x x ==则”的逆命题C ．2,x R x x ∃∈≥ D ．命题“若,sin sin x y x y ≠≠则”的逆否命题4.函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ ）(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-5.已知()1-x f =x x 62+，则()x f 的表达式是（ ）A ．542-+x xB ．782++x xC ．322-+x xD ．1062-+x x 6.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )．A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)7．设a ＝log 0.50.8，b ＝log 1.10.8，c ＝1.10.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <c <b8．函数()()14214xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩则f (log 23)等于()．A ．1 B.18 C.116D.1249.函数13y x x =-的图象大致为()．10. 与椭圆1422=+y x 共焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是：( ) A ．1422=-y x B ．1222=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 11.“a =－1”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上.13.已知2x ＝5y＝10，则1x ＋1y＝________.14.设函数()3cos 1f x x x =+,若()11f a =,则()f a -=15.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在x 轴上，抛物线上的点(2,)P k 与点F 的距离为3，则抛物线方程为。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
(新课标)高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2-2 函数的单调性与最值课时规范练 理(
2-2 函数的单调性与最值课时规X 练(授课提示：对应学生用书第219页)A 组 基础对点练1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( B ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( C ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |3．下列函数中，既是奇函数且在定义域内是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．ln 2＋x 2－x4．函数f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的递增区间是( D ) A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)解析：令t ＝x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)＞0，求得x ＜1或x ＞2，故函数的定义域为{x |x ＜1或x ＞2}，f (x )＝ln t ，由复合函数的单调性知本题即求函数t 在定义域内的增区间．结合二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(2，＋∞)． 5．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( B ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)7．(2017·某某模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( C ) A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)8．(2018·某某二模)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( D )A ．tan x ＞tan yB ．ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1) C.1x >1yD ．x 3＞y 3解析：根据题意，实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则x ＞y ，依次分析选项：对于A ，因为y ＝tan x 在其定义域上不是单调函数，故tan x ＞tan y 不一定成立，不符合题意；对于B ，若x ＞y ，则x 2＋2＞y 2＋2不一定成立，故ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1)不一定成立，不符合题意；对于C ，当x ＞y ＞0时，1x ＜1y，不符合题意；对于D ，函数y ＝x 3在R 上为增函数，若x ＞y ，必有x 3＞y 3，符合题意．9．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为( D ) A ．(－∞，1] B ．[1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)11．(2017·某某模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值X 围是( B ) A ．(0,1)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥1，得13≤a <1. 12．函数f (x )＝x ＋2x －1的最小值为 12.解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.13．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)<f (1－2m )，则m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，23.解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2m －1<1－2m⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－12<m <32m <23⇒－12<m <23.14．(2018·城关区校级模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，若m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝f (f (ln 2))，则1m ＋2n的最小值为 3＋2 2.解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，m ＋n ＝f [f (ln 2)]＝f (e ln 2－1)＝f (2－1)＝log 33＝1，则1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m 时，取得最小值3＋2 2.15．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤2，log 2x －1，x >2，则f (f (4))＝ 1 ；函数f (x )的单调递减区间是 [1,2] ． 解析：f (4)＝log 24－1＝1， ∴f (f (4))＝f (1)＝－12＋2×1＝1.x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ，对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上单调递减． ∴f (x )的单调递减区间为[1,2]．B 组 能力提升练1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值X 围是( C )A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．3．(2017·某某阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( B ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数4．(2018·某某一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0；②对定义域内任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x－xC ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x解析：由题意得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)递增，对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0，故f (x )在(0，＋∞)递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不合题意；对于C ，由x ＋1＝0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)无单调性，不合题意．5．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值X 围是( B ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1,2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：由题意知f ′(x )＝2x －12x＝2x ＋12x －12x ，易知函数f (x )在x ＝12处取得极值，所以有k －1<12<k ＋1，且k －1≥0，得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 6．(2018·铁东区校级一模)指数函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在R 上是减函数，则函数g (x )＝a －2x 2在其定义域上的单调性为( C ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减D ．在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增 解析：∵指数函数f (x )＝a x在R 上是减函数， ∴0＜a ＜1，∴－2＜a －2＜－1，函数y ＝1x2在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．∴g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增． 7．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( C ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] C ．sgn[g (x )]＝－sgn x D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]8．若f (x )＝e x －a e －x为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( A )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( B ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)10．(2018·兴庆区校级三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1－b ，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1(a ＞0，a ≠1)，在其定义域上单调，则ab 的值不可能的是( D ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由于函数f (x )在R 上单调，当x ＞1时，函数f (x )＝－log 2(x ＋1)单调递减，则当x ≤1时，函数f (x )＝a x －1－b 单调递减，所以0＜a ＜1，且a1－1－b ≥－log 2(1＋1)，即1－b ≥－1，解得b ≤2.当0＜b ≤2时，0＜ab ＜2；当b ≤0时，则ab ≤0.因此，ab ≠2，故选D.11．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x)＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( B ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x＋13x ＋2≥23x·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.12．(2018·某某二模)已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是 －16 解析：令x ＋2 012＝t ，t ∈R ，则y ＝t (t ＋2)(t ＋4)(t ＋6)＝(t 2＋6t )(t 2＋6t ＋8)＝(t 2＋6t )2＋8(t 2＋6t )＝(t 2＋6t ＋4)2－16，当t 2＋6t ＋4＝0，即t ＝－3±5时，取得最小值－16.13．(2017·某某东营广饶一中模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x ＞1是R 上的减函数，则a 的取值X 围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 . 解析：由函数f (x )为单调递减函数可得g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1]上单调递减，函数h (x )＝log a x 在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)≥h (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，7a －1≥0，∴17≤a ＜13. 14．已知函数f (x )＝则f (f (3))＝ －3 ，函数f (x )的最大值是1 . 解析：f (3)＝3＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－(－1)2－2＝－3. 当x ＞1时，f (x )＝x 为减函数，可得f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，最大值为1. 15．(2017·模拟)已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12； ③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是 3 . 解析：对于①，∵函数f (x )＝xx 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确； 对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，故②正确； 对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确； 对于④，f ′(x )＝1－x2x 2＋12，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1，∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误． 综上可知，正确结论的个数是3.。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理-人教版高三全
第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2的极值点是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝0，x ＝1和x ＝2 答案 D解析 f ′(x )＝4x 3－12x 2＋8x ＝4x (x 2－3x ＋2)＝4x (x －1)(x －2)，则结合列表可得f (x )的极值点为x ＝0，x ＝1和x ＝2.2．[2015·某某一检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 答案 B解析 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)，选B.3．[2016·某某师大附中月考]若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B ．(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞) 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.4．[2013·某某高考]已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12答案 D解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. 即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0， 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0， 当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12，故选D.5．[2015·某某一模]若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式f (x )>3ex ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞) 答案 A解析 由f (x )>3ex ＋1得，e x f (x )>3＋e x ，构造函数F (x )＝e x f (x )－e x－3，对F (x )求导得F ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，可知F ′(x )>0，即F (x )在R 上单调递增，又因为F (0)＝e 0f (0)－e 0－3＝f (0)－4＝0，所以F (x )>0的解集为(0，＋∞)，所以选A.6．[2013·某某高考]已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x－1，f ′(1)≠0，故A ，B 错；当k ＝2时，f (x )＝(e x－1)(x －1)2，f ′(x )＝(x 2－1)e x －2x ＋2＝(x －1)[(x ＋1)e x－2]，故f ′(x )＝0有一根为x 1＝1，另一根x 2∈(0,1)．当x ∈(x 2,1)时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，故选C.7．[2016·东北八校月考]已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．答案 4解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′1＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值X 围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．答案 －13解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13. 10．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x .(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]<－13，某某数x 的取值X 围．解 (1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2. ∵x >0，∴4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. ∴当x >0时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 3x －2>0x3x －2<1，解得－13<x <0或23<x <1.综上所述，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.11．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，某某数a 的值． 解 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .(2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为：y ＝(ln x 0＋1)x －x 0， 与g (x )的图象相切的直线方程为：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝3ax 2－12，－x 0＝－2ax 30－23e解之得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e26.12．[2016·某某检测]已知f (x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m 的取值X 围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则f ′(x )＝e x(x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2)＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x， ∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增； 在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值； 当x ＝0时，f (x )取得极大值， ∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2， f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又∵当x ∈[－2，－1]时，x e x<0， ∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝－22－2m ＋3＋2m －2≤0，f ′－1＝－12－m ＋3＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增．[B 组·能力提升练]1．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－5，－2] 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值， 则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内， 即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2. 解a <1<6－a 2，得－5<a <1， 不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0， 即(a －1)(a 2＋a －2)≥0， 即(a －1)2(a ＋2)≥0， 即a ≥－2.故实数a 的取值X 围是[－2,1)． 故选C.2．[2016·某某调研]已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x ，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数 答案 D解析 由已知得，f ′(x )＝1x ·ln 2x －1ln 2x(x >0且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得ln x ＝±1，得x ＝e 或x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e，1，x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e和x ＝e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，但是由函数的定义域可知x ≠1，故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内不是单调的，所以A ，B 错；当0<x <1时，ln x <0，此时f (x )<0，C 错；只要x 0≥e，则f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数，D 正确．3．[2015·某某高考]已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)． 答案 ①④解析 ①f (x )＝2x是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立． ③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )， 则h (x )＝2x－x 2－ax ，h ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2xln 2－2x －a ＝0， 得2xln 2＝2x ＋a .由y ＝2x ln 2与y ＝2x ＋a 的图象知， 存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x ＋a ， 此时h (x )在R 上是增函数． 若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2， ∴③不成立． ④若m ＝－n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝－g x 1－g x 2x 1－x 2，f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )， 则φ(x )＝2x＋x 2＋ax ，φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2xln 2＋2x ＋a ＝0， 即2xln 2＝－2x －a .由y 1＝2xln 2与y 2＝－2x －a 的图象可知，对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时y 1>y 2，x <x 0时y 1<y 2，故对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，φ′(x )>0，x <x 0时φ′(x )<0， 故对任意的a ，φ(x )在R 上不是单调函数．故对任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使m ＝－n ， ∴④成立． 综上，①④正确．4．已知函数f (x )＝e x－ln (x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0. 解 (1)f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln (x ＋1)，x ∈(－1，＋∞)． 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln (x ＋m )≤ln (x ＋2)，故只需证当m ＝2时f (x )>0. 当m ＝2时，f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增． 又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一的解x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故当x ＝x 0时，f (x )取极小值． 故f ′(x )＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln (x 0＋2)＝－x 0. 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2>0.综上所述，当m ≤2时，f (x )>0.。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数练习 理-人教版高三全册数学试题
第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数练习 理[A 组·基础达标练]1．化简[(－2)6] 12 －(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 答案 B解析 原式＝(26) 12 －1＝7. 2．[2015·某某期中]函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案B 解析 令2x＝t ， 则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1. ∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.3．[2016·某某八校联考]已知0<m <n <1，且1<a <b ，下列各式中一定成立的是( ) A ．b m >a n B ．b m <a n C ．m b>n aD ．m b<n a答案 D解析 ∵f (x )＝x a (a >1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m <n <1，∴m a <n a，又g (x )＝m x (0<m <1)在R 上为单调递减函数，且1<a <b ，∴m b <m a .综上，m b <n a，故选D.4．[2015·某某模拟]函数f (x )＝e 2x＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 答案 D解析 f (x )＝e 2x＋1e x ＝e x ＋1e x ，∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x＋1e x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3) C ．(－1,2) D ．(－3,4) 答案 C解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴当x ∈(－∞，－1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，∴当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.6．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2 答案 D解析 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，∴结合图象知a <0，c >0，∴0<2a<1. ∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c<2，∴f (c )＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D. 7．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a|x ＋b |的图象为( )答案 B解析 f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，取等号时x ＋1＝9x ＋1，此时x ＝2.所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象向左平移一个单位得到的，选项B 符合要求．8．[2015·某某二模]已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A．9 B．10C．11 D．18答案 B解析依题意，在坐标平面内画出函数y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.9．[2015·某某一模]函数f(x)＝2－x－2的定义域是________．答案(－∞ ，－1]解析由题意可得：2－x－2≥0，∴2－x≥2，∴－x≥1，∴x≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．10．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值X围是________．答案[－1,1]解析(数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如右图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，则要求－1≤b≤1.11．[2016·皖南八校联考]对于给定的函数f(x)＝a x－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.答案①③④解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R上为减函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④真；当a >1时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.12．已知函数y ＝b ＋a x 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值． 解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(1)若a >1，函数y ＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，则b ＋a x 2＋2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a ，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数y ＝a t在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋a x 2＋2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[B 组·能力提升练]1. [2016·某某月考]如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A.2B. 3C ．2D ．3 答案 A解析 设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t)． ∵B 点在函数y ＝a x的图象上，∴2a t＝a 2t， ∴a t＝2.∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t·2t ＝4t . 又平行四边形OABC 的面积为8， ∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.2．[2015·某某模拟]已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， 0≤x ≤2，－x 2， －2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值X 围是( )A ．[－1，＋∞) B．[－1,1] C ．(0,1] D ．(－∞，1] 答案 B解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－42a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1，故选B.3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≥K ，K ，f x <K ，取函数f (x )＝2－x ＋e x，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．答案 3解析 由题意，得f (x )≥K 对任意的x ∈R 恒成立， 所以f (x )min ≥K ，所以令f ′(x )＝－1＋e x＝0，得到x ＝0. 且x <0时，f ′(x )<0；x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝3， 所以K ≤3，K 的最大值为3.4．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)存在满足题意的t .由(1)知f (x )是增函数和奇函数， 所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立 ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12.即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。
【新部编版】2019-2020届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第4节指数与指数函数练习新人教A版
第二章 第4节 指数与指数函数[基础训练组]1．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：B [由f (a )＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.]2．函数y ＝2x－2－x是( ) A ．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在(－∞，0)上单调递减解析：A [根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x－2－x，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x－2－x是R 上的增函数，故选择A.]3．(理科)(2018·宜宾市诊断)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a|x ＋b |的图象为( )解析：A [∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号．∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．]3．(文科)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是( )解析：D [函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．]4．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．若函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则实数a 的值是( ) A ．3 B.13C ．3或13D ．5或15解析：C [设a x ＝t ，则原函数的最大值问题转化为求关于t 的函数y ＝t 2＋2t －1的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t ＝－1，且开口向上，所以函数y ＝t 2＋2t －1在t ∈(0，＋∞)上是增函数．当a >1时，a －1≤t ≤a ，所以t ＝a 时，y 取得最大值14，即a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(舍去－5)；当0<a <1时，a ≤t ≤a －1，所以t ＝a －1时，y 取得最大值14，即a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－15.综上，实数a 的值为3或13，选C.]答案：9答案：(－∞，8]10．已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点， 即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0， ∴只须⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．[能力提升组]11．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x K ，K ，f x K ，给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：D [根据给出的定义，f K (x )是在函数y ＝f (x )，y ＝K 中取较小者．对任意的x ∈(－∞，1]上恒有f K (x )＝f (x )，等价于对任意的x ∈(－∞，1]上恒有f (x )≤K ，等价于f (x )max ≤K ，x ∈(－∞，1]．令t ＝2x∈(0,2]，则函数f (x )＝2x ＋1－4x ，即为函数φ(t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1≤1，故函数f (x )在(－∞，1]上的最大值为1，即K ≥1.故选D.]12．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：D [方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.]13．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是 ________ .解析：原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：(－1,2) 14．已知函数f (x )＝3x－13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x－1＝0，解得3x＝1± 2. ∵3x>0，∴3x＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t >0.∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．。
2024年高考数学一轮复习大题专练06导数零点个数问题2
一轮大题专练6—导数（零点个数问题2）（2）讨论()f x 的零点个数． 解：（1）()2()2cos f x x a x '=-+．设()()g x f x '=，则()22sin 0g x x '=-，故()f x '单调递增． 又(2)42cos(2)0f a a '-=-+-<，(2)42cos(2)0f a a '+=++>． 故存在唯一0(2,2)x a a ∈-+，使得0()0f x '=．当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故0x 是()f x 的唯一极值点；（2）由（1）0x 是()f x 的极小值点，且满足00cos 0x a x -+=． 又2000077(3)(3cos )2sin(3)42sin(3)044f x x x x -=--+--+-->； 同理2000077(3)(3cos )2sin(3)42sin(3)044f x x x x +=-++-++->． 故0()0f x <时，()f x 有两个零点；0()0f x =时，()f x 有一个零点；0()0f x >时，()f x 无零点． 又2200000007331()(cos )2sin sin 2sin (sin )(sin )4422f x x x x x x x =-+-=-+-=--- 令0()0f x <，解得01sin 2x <，即0722()66k x k k Z ππππ-<<+∈． 令()cos h x x x =+，()1sin 0h x x '=-此时00cos a x x =+关于0x 单调递增，故722)6262k a k k Z ππππ--<<++∈． 令0()0f x =，解得01sin 2x =，即()0072266x k x k k Z ππππ=-=+∈或．此时00cos a x x =+，故)72266a k a k k Z ππππ=-=+∈ 令0()0f x >，解得01sin 2x >，即0522()66k x k k Z ππππ+<<+∈．此时00cos a x x =+关于0x 单调递增，故522)66k a k k Z ππππ+<<+∈．综上所述：当722)6262k a k k Z ππππ--<<++∈时，()f x 有两个零点；当)72266a k a k k Z ππππ=--=++∈时，()f x 有一个零点；当522)66k a k k Z ππππ+<<+∈时，()f x 无零点． 2．已知函数()x x f x xe e =+． （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）画出函数()f x 的大致图象，并说明理由； （3）求函数()()()g x f x a a R =-∈的零点的个数．解：（1）函数()x x f x xe e =+，定义域为R ，则()(2)x f x x e '=+， 令()0f x '=，解得2x =-，当2x <-时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当2x >-时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 故当2x =-时，函数()f x 有极小值21(2)f e -=-， 所以()f x 的单调递增区间为(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)-∞-，有极小值21e -，，无极大值； （2）令()0f x =，解得1x =-，当1x <-时，()0f x <，当1x >-时，()0f x >， 所以()f x 的图象经过特殊点21(2,)A e --，(1,0)B -，(0,1)C ， 当x →-∞时，与一次函数相比，指数函数x y e =呈爆炸式增长，增长速度更快， 结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数()f x 的图象如图所示：（3）函数()()()g x f x a a R =-∈的零点的个数为函数()y f x =的图象与直线y a =的交点个数， 由（1）以及（2）的图象可知，当2x =-时，()f x 有极小值21(2)f e -=-， 结合函数()f x 的图象，所以关于函数()()g x f x a =-的零点的个数如下： 当21a e <-时，零点的个数为0个； 当21a e =-或0a 时，零点的个数为1个； 当210a e -<<时，零点的个数为2个．（2）当0a ≠时，讨论函数()()3g x f x a =--的零点个数，并给予证明． 解：（1）2()xf x a e '=-， 由题意得()0f x '，即2xa e 在区间(1,)+∞上恒成立， 当(1,)x ∈+∞时，22(0,)x e e∈，所以2a e ， 故实数a 的取值范围是2[e，)+∞．（2）由已知得2()2x g x ax a e=+--，则22()x x xae g x a e e -'=-=， 当0a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 又(0)0g a =->，g （1）220e=-<，故函数()g x 有且只有一个零点． 当0a >时，令()0g x '<，得2x lna<，函数()g x 单调递减； 令()0g x '>，得2x ln a>，函数()g x 单调递增，而222()()0g ln a ln a a a=-<，222()0(a a a g lnx x a e ++=><在(0,)+∞上恒成立）， 由于x lnx >，所以222a ln a a a+>>， 所以()g x 在2(lna ，2)a a+上存在一个零点， 又2222()()22a a g ln a a ln a a ++=-++，且2222ln ln a a a<++，设h （a ）222a a a ln ++=-，h '（a ）2222111022a a a a a a a +-+=-=>++++在(0,)+∞恒成立， 故h （a ）在(0,)+∞上单调递增，而(0)0h =，所以h （a ）0>在(0,)+∞上恒成立，所以22()02g ln a a >++， 所以()g x 在22(2lna a ++，2)ln a 上存在一个零点．综上所述，当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点； 当0a >时，()g x 有两个零点．4．已知函数()sin f x lnx ax x =++，其中(0x ∈，]π．解：（1）0a =时，()sin f x lnx x =+，(0x ∈，]π， 1()cos f x x x '=+，()122f ln ππ=+，2()2f ππ'=，故切线方程是：22y x lnππ=+；（2）1()cos f x a x x'=++， 设1()cos g x a x x=++，21()sin 0g x x x '=--<，故()f x '递减，1()()1min f x f a ππ'='=+-，又0x →时，()f x '→+∞， ①若()0f π'<，即11a π<-时，0(0,)x π∃∈使0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增， 当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，()f x 递减， ()f x ∴在0x 处取极大值，不存在极小值，②若()0f π'，即11a π-，()0f x '>，()f x ∴在(0，]π递增，此时()f x 无极值，（3）由（2）可知： ()i 若11a π-时，由上问可知：11()()(1)10222222min f x f ln ln ππππππ=+-+=++>，即11a π-时函数没有零点， ()ii 若11a π<-时，(0x ∈，0]x 时，()f x 递增，0(x x ∈，]π时，()f x 递减，由0()0f x '=得001cos 0a x x ++=，从而001cos a x x =--， 再设1()cos h x x x=--，则21()sin 0h x x x '=+>从而a 关于0x 递增，①若0(0x ∈，]2π，此时(a ∈-∞，2]π-，若()()02f f ππ>得2(1)2a ln ππ<-+或ln a ππ>-，2(1)2a ln ππ∴<-+时无零点， ()()02f f ππ<得2(1)2ln ln a ππππ-+<<-， 22(1)2ln a πππ∴-+<-时有1个零点， 当2(1)2a ln ππ=-+时，()02f π=，()0f π≠，有1个零点，因此2(1)2a ln ππ<-+时无零点，22(1)2ln a πππ-+-时有1个零点；②0(2x π∈，]π，此时2(a π∈-，11]π-，()10222f ln a πππ=++>，()f ln a πππ=+，0000000()()sin sin cos 1max f x f x lnx ax x lnx x x x ∴==++=+--，设()sin cos 1m x lnx x x x =+--，则1()sin 0m x x x x'=+>， 故()()022max f x m ln ππ>=>，若()0f π>即ln a ππ>-，即11ln a πππ-<<-时无零点，若()0f π即ln a ππ-，即2ln a πππ-<-时有1个零点，综上，(a ∈-∞，2(1)(2ln ln ππππ-+-⋃，)+∞时无零点， 2[(1)2a ln ππ∈-+，]ln ππ-时有1个零点． 5．设()sin cos f x x x x =+，2()4g x x =+．（1）讨论()f x 在[π-，]π上的单调性；（2）令()()4()h x g x f x =-，试判断()h x 在R 上的零点个数，并加以证明． 解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=， 令()0f x '=，则0x =，或2x π=±，(?,?)2x ππ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，(?2x π∈，0)时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，(2x π∈，)π时，()0f x '<，()f x 单调递减，综上，()f x 的单调递增区间为(?,?)2ππ和(0,)2π，单调递减区间为(?2π，0)和(2π，)π．（2）()h x 在R 上有3个零点，证明如下：2()44(sin cos )h x x x x x =+-+，则(0)0h =，故0x =是()h x 的一个零点，22()()44[sin()cos()]44(sin cos )()h x x x x x x x x x h x -=-+---+-=+-+=，()h x ∴是偶函数，∴要确定()h x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()h x 的零点个数即可，①当503x π<<时，()2(12cos )h x x x '=-， 令()0h x '=，即1cos 2x =，23x k ππ=±，(0,)3x π∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，()03h π<，(3x π∈，5)3π时，()0h x '>，()h x 单调递增，2525()2039h ππ=+>， ()h x ∴在5(0,)3π有唯一零点．②当53xπ时，由于sin 1x ，cos 1x ，222()44sin 4cos 4444()h x x x x x x x x t x =+--+--=-=， 而()t x 在5(3π，)+∞单调递增，5()()03t x t π>，故()0h x >， 故()h x 在5(3π，)+∞无零点，()h x ∴在(0,)+∞有一个零点，由于()h x 是偶函数，()h x 在(,0)-∞有一个零点，而(0)0h =， 故()h x 在R 上有且仅有3个零点．6．已知函数()f x alnx bx =+的图象在点(1,3)-处的切线方程为21y x =--． )x m 恒成立，求实数2+在区间解：（1）()af x b x'=+，(0)x >． 函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--． f '∴（1）2=-，f （1）3=-， ∴23a b b +=-⎧⎨=-⎩，解得3b =-，1a =． ()3f x lnx x ∴=-．13()13()3x f x x x --'=-=， 1[,)3x ∈+∞，()0f x '∴．∴当13x =时，函数()f x 取得最大值，1()313f ln =--．对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立()max m f x ，1[,)3x ∈+∞．31m ln ∴--．∴实数m 的取值范围是[31ln --，)+∞．（2）由（1）可得：2()32g x lnx x x k =-+++，∴1(21)(1)()23x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，解得12x =，1． 列表如下：由表格可知：当1x =时，函数()f x 取得极小值g （1）k =；当12x =时，函数()g x 取得极大值 13()224g ln k =-++． 要满足函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点， 32040ln k k ⎧-++>⎪⎨⎪<⎩， 解得3204ln k -<<， 则实数k 的取值范围3(2,0)4ln -．。
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析
第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。
函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。
（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。
(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。
人教版高三数学第二学期导数及其应用多选题单元达标质量专项训练试题
一、导数及其应用多选题1．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln x k x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得． 【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x ，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.2．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则213x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴21x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x=-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.3．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.4．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③； 对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）5．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．()f x 存在唯一极小值点0xC ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．6．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．7．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x ='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.8．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以12k e ==，可得切线方程为2x y e =，又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合；由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.9．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos xf x x '=-， 因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin x f x x =+，()e cos x f x x '+=，()e sin xf x x '=-'， 当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.10．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>， 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。
高三数学一轮复习 导数(Ⅱ)单元练习题
A DCB高三数学单元练习题：导数（Ⅱ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数mxxxf+-=23212)(（m为常数）图象上A处的切线与03=+-yx的夹角为45，则A点的横坐标为（）A．0 B．1 C．0或61D．1或612．函数xxy ln=的单调递减区间是（）A．（1-e，+∞）B．（－∞，1-e）C．（0，1-e）D．（e，+∞）3．一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=41t4-35t3+2t2，那么速度为零的时刻是（）A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末4．函数13)(3+-=xxxf在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17 D．9，-195.设()f x在x x=处可导，且00(3)()limxf x x f xx∆→+∆-∆＝1,则()f x'＝ ( )A.1B.0C.3D.136. 已知对任意实数x，有()()()f x f xg x g x-=--=，，且0x>时，()0()f xg x''>>，，则0x<时（）A．()0()0f xg x''>>，B．()0()0f xg x''><，C．()0()0f xg x''<>，D．()0()0f xg x''<<，7. 设)(xf'是函数)(xf的导函数，)(xfy'=的图象如右图所示，则)(xfy=的图象最有可能8. 已知函数()(ln f x x =，则()f x '是 （ ）A. 奇函数 B . 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 9.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为 ( )Ａ.(2,)+∞ Ｂ.(,2)-∞ Ｃ.(,0)-∞ Ｄ.(0,2) 10.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a = （ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11．过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2－4x ＋2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.12．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______ （用弧度数作答） 13．设曲线C ：y=cosx 与直线x =56π的交点为P ，曲线C 在P 点处的切线经过（a ，0）点，则a 等于 .14.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 15. 曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 。
高考数学一轮复习 第二章 函数与导数课时训练-人教版高三全册数学试题
第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示一、 填空题1. 下列五个对应f ，________是从集合A 到集合B 的函数．(填序号)① A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1； ② A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③ A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④ A ＝B ＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x ＋1；⑤ A ＝Z ，B ＝{－1，1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1. 答案：①②④⑤解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足．2. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(g(π))的值为________．答案：0解析：根据题设条件，∵π是无理数，∴ g(π)＝0， ∴ f(g(π))＝f(0)＝0.3. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m ＝________． 答案：－14解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.4. 如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝________．答案：1x －1解析：令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴ f(t)＝1t 1－1t＝1t －1，∴ f(x)＝1x －1.5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：答案：6E6. 已知g(x)＝1－2x ，f(g(x))＝1－x 2x 2(x≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________．答案：15解析：令g(x)＝1－2x ＝12，得x ＝14.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.7. 函数f(x)对任意x ，y 满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)＝____________．答案：－2 解析：由f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4得f(1)＝2，由f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)得f(0)＝0，由f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＝0，得f(－1)＝－f(1)＝－2.8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（－1≤x<0），－x ＋1（0<x≤1），则f(x)－f(－x)>－1的解集为______________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1] 解析：① 当－1≤x<0时，0<－x≤1，此时f(x)＝－x －1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x －2>－1，解得x<－12，则－1≤x<－12.②当0<x≤1时，－1≤－x<0，此时，f(x)＝－x ＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x －1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x ＋2>－1，解得x<32，则0<x≤1.故所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1]． 9. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前3 h 行驶的路程为________km.假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 006 km ，那么在t ∈[1，2)时，汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式为____________________．答案：220 s ＝80t ＋1 976，且t∈[1，2)解析：前3 h 行驶的路程为50＋80＋90＝220(km)．∵ t ∈[1，2)时里程表读数s 是时间t 的一次函数，可设为s ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，s ＝2 006＋50＝2 056＝b ，∴ s ＝80(t －1)＋2 056＝80t ＋1 976. 二、 解答题10. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝f(x)，并写出它的定义域．解：设AB ＝2x ，CD ︵＝πx ，于是AD ＝1－2x －πx2，则y ＝2x·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，1－2x －πx 2＞0，得0＜x ＜1π＋2，∴函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 11. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1) 求f(0)的值；(2) 试确定函数f(x)的解析式．解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.12. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1) 当t ＝4时，求s 的值；(2) 将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来．解：(1) 由图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2) 当0≤t≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10＜t≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t－20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].13. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[0，1]，x －3，x ∈（－∞，0）∪（1，＋∞），若f(f(x))＝1成立，求x 的取值X 围．解：因为f(f(x))＝1，所以0≤f(x)≤1或f(x)－3＝1.①由0≤f(x)≤1，可得0≤x≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x－3≤1，x<0或x>1，所以0≤x≤1或3≤x≤4；②由f(x)－3＝1，得f(x)＝4，所以x －3＝4，∴ x ＝7. 综合①②知，x 的取值X 围是[0，1]∪[3，4]∪{7}．点评：由于f(x)是分段函数，所以在探求方程f(f(x))＝1的解时，需要根据分段函数中相应的限制定义域进行分类讨论．第2课时 函数的定义域和值域一、 填空题1. 函数f(x)＝－x 2＋x ＋6x －1的定义域是______________．答案：[－2，1)∪(1，3]解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤3，x ≠1，所以定义域为[－2，1)∪(1，3]．2. 已知f(x)＝1x ＋1，则函数f(f(x))的定义域是________．答案：(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)解析：f(f(x))＝1f （x ）＋1＝11x ＋1＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，11＋x＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x ≠－2.所以定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)．3. 若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f （x ）的值域是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103解析：令t ＝f(x)，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由F(x)＝t ＋1t 知，F (x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103，所以函数F(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.4. 函数y ＝4－3＋2x －x 2的值域是__________________．答案：[2，4]解析：y ＝4－－（x －1）2＋4，∵ 0≤－(x －1)2＋4≤4，∴ 0≤－（x －1）2＋4≤2，∴ 2≤4－－（x －1）2＋4≤4， ∴所给函数的值域为[2，4]．5. 函数y ＝x －x(x≥1)的值域为________． 答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.因为x ≥1，所以y≤0. 6. 函数y ＝|x|x＋x 的值域是____________________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，x －1，x<0可得值域．7. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________．答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2)＝2，所以f(2b)＝2b ，结合b>1，得b＝2.8. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x|≥1，x ，|x|<1，g(x)是定义在R 上的二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是________．答案：[0，＋∞)解析：若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)可取(－∞，－1]∪[0，＋∞)．又g(x)是定义在R 上的二次函数，定义域连续，其值域也是连续的，因此g(x)的值不可能同时取(－∞，－1]和[0，＋∞)．又若g(x)的值域为(－∞，－1]，则f(g(x))的值域为[1，＋∞)，所以g(x)的值域只能为[0，＋∞)．二、 解答题9. 求下列函数的值域： (1) y ＝2x －x －1； (2) y ＝x ＋1－x －1.解：(1) 令x －1＝t ，则t≥0，且x ＝t 2＋1≥1，所以y ＝2x －x －1＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.因为t≥0，所以y≥158，因此所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(2) y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1，不难证明函数在其定义域[1，＋∞)上是减函数，所以其值域为(0，2]．点评：利用代换法求值域时，要关注新代换量的取值X 围．10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3(x∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0.令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1) 求函数f(x)的解析式，并求其定义域；(2) 当a ＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 当a ＝14时，函数f(x)的定义域为[0，14]．令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，则f(x)＝F(t)＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2.当t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]．又t∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，∴F(t)单调递增，F(t)∈[13，613]，即函数f(x)的值域为[13，613]． 11. 函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a∈R )．(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 若f(x)>5在定义域上恒成立，求a 的取值X 围．解：(1) 当a ＝－1时，∵ x ∈(0，1]，∴y ＝f(x)＝2x －a x ＝2x ＋1x ≥22x ·1x＝22，当且仅当x ＝22时取最小值．∴ 函数y ＝f(x)的值域为[22，＋∞)． (2) 若f(x)>5在定义域(0，1]上恒成立，即2x 2－5x>a 在(0，1]上恒成立．设g(x)＝2x 2－5x ，∵ g(x)＝2x 2－5x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－258，∴当x∈(0，1]时，g (x)∈[－3，0)．而g(x)＝2x 2－5x>a ，∴只要a<－3即可，∴ a 的取值X 围是(－∞，－3)．12. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a ，b 是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m ，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m ，n]和[2m ，2n]？如存在，求出m ，n 的值，如不存在，请说明理由．解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝0，f （x ）＝x 有等根，即 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝0，ax 2＋（b －1）x ＝0有等根.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，（b －1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，∴ f(x)＝－12x 2＋x. (2) 假设存在适合题设条件的实数m ，n ，由(1)知f(x)＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，∴ 2n ≤12，即n≤14.而函数f(x)＝－12x 2＋x 图象的对称轴方程为x ＝1，∴函数f(x)＝－12x 2＋x 在[m ，n]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m<n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，即存在实数m ＝－2，n ＝0，使函数f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]．13. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，如图，直线MN⊥AD 交AD 于点M ，交折线ABCD 于点N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域．(用分段函数形式表示)解：过点B ，C 分别作AD 的垂线，垂足为点H 和点G ，则AH ＝a 2，AG ＝3a2.当点M 位于点H 及其左侧时，AM ＝MN ＝x ，则面积y ＝S △AMN ＝12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤a 2；当点M 位于点H ，G 之间时，面积y ＝S 梯形MNBA ＝12(AM ＋BN)·MN＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x －a 2·a 2＝12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2； 当点M 位于点G 及其右侧时，面积y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝a ＋2a 2·a 2－12(2a －x)2＝－12x 2＋2ax －5a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫32a≤x≤2a . 综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤a 2，12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2，－12x 2＋2ax －54a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2≤x ≤2a .其定义域为[0，2a]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34a 2.第3课时 函数的单调性一、 填空题1. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是______．(填序号)① f(x)＝3－x ；② f(x)＝x 2－3x ；③ f(x)＝－1x ＋1；④ f (x)＝－|x|.答案：③解析：分别画出四个函数的图象易知y ＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上递增，y ＝3－x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－|x|在(0，＋∞)上递减，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上递增．2. 若函数f(x)＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则实数k 的取值X 围为____________．答案：(1，2)解析：由题意得k 2－3k ＋2<0，∴ 1<k<2.3. 函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间为________． 答案：[3，＋∞)解析：∵ t＝x 2－2x －3≥0，∴ x ≤－1或x ≥3.当x ∈(－∞，－1]时，t 递减，f(x)递减；当x∈[3，＋∞)时，t 递增，f(x)递增．∴ 当x∈(－∞，－1]时，f(x)是减函数；当x∈[3，＋∞)时，f(x)是增函数．4. 已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的减函数．若f(m －1)＞f(2m －1)，则实数m 的取值X 围是____________．答案：0＜m ＜32解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2，－2＜2m －1＜2，m －1＜2m －1，解得0＜m ＜32.5. 已知y ＝x 2＋2(a －2)x ＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值X 围是____________．答案：a≥－2解析：对称轴为x ＝2－a ，2－a≤4，a ≥－2.6. 函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|的单调减区间为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解析：将函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|改写成分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，x ＋3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，3x －1，x ∈[2，＋∞）.画出函数的图象容易得出其在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上为单调减函数．7. 已知函数f(x)＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是递减的，则a 的取值X 围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，f(x)＝－x ＋1在(－∞，2)上是递减的；当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a≥2，解得0<a≤14.综上，a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 8. 已知f(x)＝xx －a(x ≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值X 围是________．答案：(0，1]解析：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝－a （x 1－x 2）（x 1－a ）（x 2－a ），因为x 1<x 2，且a>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立．又x∈(1，＋∞)，所以a≤1.综上，实数a 的取值X 围是0<a≤1.9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f(2－a 2)＞f(a)，则实数a 的取值X 围是____________．答案：(－2，1)解析：由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）2－4，x ≥0，－（x －2）2＋4，x ＜0的图象知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a 2)＞f(a)得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.二、 解答题10. 利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．证明：设x 1>x 2>－1，则x 2－x 1<0，y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1），∵ x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1<0，∴x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）<0，即y 1－y 2<0.∴y 1＜y 2. ∴ y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．11. 讨论函数f(x)＝axx 2－1(a>0)在x∈(－1，1)上的单调性．解：设－1<x 1<x 2<1，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 22－1）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴ x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∵ a>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)＞f(x 2)． ∴函数f(x)在(－1，1)上为减函数．12. 已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)．(1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2) 若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． (1) 证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵ f(x 2)－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴ f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2) 解：∵ f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f(2)＝2，解得a ＝25.13. 已知函数f(x)对任意的m ，n∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式f(a 2＋a －5)<2.(1) 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴ x 2－x 1>0. ∵当x>0时，f(x)>1， ∴ f(x 2－x 1)>1.f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1， ∴ f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，∴f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在R 上为增函数．(2) 解：∵ m，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴ f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴ f(1)＝2，∴ f(a 2＋a －5)<2＝f(1)． ∵ f(x)在R 上为增函数，∴ a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.第4课时 函数的奇偶性及周期性一、 填空题1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2－3)，则a ＝________． 答案：3解析：(－2a)＋(a 2－3)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＞0，－2a ＜0.得a ＝3.2. 若函数f(x)＝x ＋ax 2＋bx ＋1在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为______________．答案：f(x)＝xx 2＋1解析：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0，∴a 1＝0，∴ a ＝0，即f(x)＝x x 2＋bx ＋1.∵f(－1)＝－f(1)，即－12－b ＝－12＋b，∴ b ＝0.∴ f(x)＝xx 2＋1.3. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2－2x ，则f(x)的解析式为f(x)＝________．答案：x(|x|－2)解析：设x≤0，则－x≥0，∵当x≥0时，f(x)＝x 2－2x ，∴ f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x 2＋2x.又f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，∴ f(x)＝－(x 2＋2x)，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x≥0），－x 2－2x （x<0），即f(x)＝x(|x|－2)(x∈R )． 4. 设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)＝________． 答案：27解析：由f(－7)＝－17得g(－7)＝－22，根据g(x)为奇函数得g(7)＝22，而f(7)＝g(7)＋5，所以f(7)＝22＋5＝27.5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝_______．答案：1解析：由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 6. 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上都是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，则实数a 的取值X 围是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)，∵ f(x)是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a －1)，∴原不等式化为f(1－3a)＜f(a －1)．∵ f(x)是减函数，∴ 1－3a ＞a －1，∴ a ＜12①.又f(x)的定义域为(－1，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－3a ＜1，解得0＜a ＜23 ②.由①和②得实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 7. 已知f(x)与g(x)都是定义在R 上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝______．答案：1解析：F(－2)＋F(2)＝a[f(－2)＋f(2)]＋b[g(2)＋g(－2)]＋6＝6，∴ F(2)＝1. 8. 若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：① f(x)是周期函数；② f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ f(x)在[0，1]上是增函数； ④ f(x)在[1，2]上是减函数； ⑤ f(2)＝f(0)．其中正确的是________．(填序号) 答案：①②⑤解析：∵ f(x＋1)＝－f(x)，∴ f(x)＝－f(x ＋1)＝f(x ＋1＋1)＝f(x ＋2)，∴ f(x)是周期为2的函数，①正确．∵ f(x ＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴ f(x)＝f(2－x)，∴ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，②正确．∵ f(x)为偶函数，且在[－1，0]上是增函数，∴ f(x)在[0，1]上是减函数．又f(x)的对称轴为x ＝1，∴ f(x)在[1，2]上为增函数，且f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．答案：{x|x ＞4}解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1＞0， 即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1.所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1， 解得x ＞4.10. 设函数f(x)＝x 3＋2x 2，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(2，1)对称，则函数g(x)的解析式为____________________．答案：g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94解析：设P(x ，y)是f(x)图象上任意一点，∴ y ＝x 3＋2x 2①，P 关于点(2，1)的对称点为Q(x′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x′2＝2，y ＋y′2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－x′，y ＝2－y′，代入①得2－y′＝(4－x′)3＋2(4－x′)2，化简得y′＝(x′)3－14(x′)2＋64x′－94，即g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94. 二、 解答题11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0 时，f(x)<0恒成立，求证：(1) 函数y ＝f(x)是R 上的减函数； (2) 函数y ＝f(x)是奇函数．证明：(1) 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，而f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，∴ f(x 1)＝f(x 1－x 2＋x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)<f(x 2)，∴函数y ＝f(x)是R 上的减函数．(2) 由f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，而f(0)＝0，∴ f(－x)＝－f(x)，即函数y ＝f(x)是奇函数．12. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．解：∵ 函数f(x)在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，∴当 x∈[3，6]时可设f(x)＝a(x －5)2＋3.由f(6)＝2得a(6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴当x∈[3，6]时，f(x)＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22，∴ f(3)＝－9＋30－22＝－1.∵ f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，且据奇函数知f(0)＝0，∴当x∈[0，3]时，可设f(x)＝kx(k 为常数)．由f(3)＝－1得3k ＝－1，∴ k ＝－13，∴当x∈[0，3]时，f(x)＝－13x ，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x ，x ∈[0，3]，－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].又f(x)是奇函数，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋5）2－3，x ∈[－6，－3），－13x ，x ∈[－3，3]，－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].13. 函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1) 求f(1)的值；(2) 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3) 如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值X 围．解：(1) ∵ 对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴ f(1)＝0.(2) f(x)为偶函数．令x 1＝x 2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴ f(－1)＝12f(1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3) 依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， ∵ f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3， ∴f((3x ＋1)(2x －6))≤f(64)． ∵ f(x)为偶函数，∴ f(|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f(64)．∵ f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D ， ∴ 0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴ x 的取值X 围是{x ⎪⎪⎪－73≤x<－13或－13<x<3或3<x ≤5}．第5课时 指数、对数运算一、 填空题1. 设a≥0，计算(36a 9)2·(63a 9)2的结果是________．答案：a 2解析：在底数不小于零的前提下，幂指数与根指数的公因数可以直接约分．2. 化简32－6227＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3232－3－（102）2－42的结果是________． 答案：9解析：先将式子中的根式逐个进行化简，然后进行运算即可．原式＝3－827＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1132－3－216＝－23＋113＋6＝9.点评：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则：先算根号内的，然后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ：若a>0，则3a>0；若a<0，则3a<0.但对根指数为偶数的根式，如a ，只有当a ≥0时，a 才有意义．3. log 29×log 34＝__________． 答案：4解析：log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.4. 方程1＋3－x1＋3x ＝3的解是________．答案：x ＝－1解析：3－x ·3x ＋3－x 1＋3x＝3－x＝3，x ＝－1. 5. 若f(10x)＝x ，则f(5)＝________． 答案：lg 5解析：由题意得10x＝ 5，故x ＝lg 5，即f(5)＝lg 5.6. 设f(x)＝4x 4x ＋2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________． 答案：5解析：∵ f(x)＝4x 4x ＋2＝1－24x ＋2，∴ f(x)＋f(1－x)＝1－24x ＋2＋1－241－x ＋2＝2－24x＋2－241－x ＋2＝2－24x ＋2－4x2＋4x ＝1.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611]＝5. 7. 若对数式log (a －2)(5－a)有意义，则实数a 的取值X 围是____________． 答案：(2，3)∪(3，5)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≠3，a ＜5，∴ 2<a<5且a≠3. 8. 已知a 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232(a ＞0)，则log 23a ＝________． 答案：3解析：由a 23＝49得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝[(23)2]32＝(23)3，所以log 23a ＝3.9. 若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小顺序是___________.答案：c<a<b解析：a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则55＝1052，2＝1025，∴55< 2.又2＝68，33＝69，∴33> 2.故c ＜a ＜b.二、 解答题10. 已知a ＝27，b ＝52，求a 32b2－9b 43a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43·b3a 34＋3b 53的值．解：由于a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43＝(a 34b －1－3b 23)2，且a 34<a<b<3b 53，∴ a 34b －1<3b 23，∴原式＝a 32－9b 103（3b 23－a 34b －1）2·ba 34＋3b 53＝（a 34＋3b 53）（a 34－3b 53）b （3b 23－a 34b －1）（a 34＋3b 53）＝（a 34－3b 53）b 3b 23－a 34b－1＝－b 2＝－50.11. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值．(1) a 12－a －12；(2) a －a －1；(3) （a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）a 4－a －4. 解：(1) (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1.∵ a ＞1，∴ a 12－a －12＝1.(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7，∴(a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5.∵ a ＞1，∴ a －a －1＝ 5.(3) （a 12－a －12） （a 2＋a －2－4）a 4－a－4＝（a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2）＝1×（7－4）5×3×7＝535. 12. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．解：因为x>1，y>1，所以log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .所以原式可化为2t －2t＋3＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝12，所以y ＝x.所以T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x－2)2－4，由于x>1，所以当x ＝2，y ＝2时，T 取最小值，最小值为－4.13. 设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ×log b C ＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ×1log Cb ＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log Ca ×log Cb ＝1.所以(log C a －log C b)2＝(log C a ＋log C b)2－4log C a ×log C b ＝32－4＝5，所以 log C a －log C b＝± 5.又log a b C ＝1log C a b＝1log C a －log C b ＝±55，所以log a b C 的值为±55.点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算能力、应用能力的综合考查．如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立联系是解决本题的关键．第6课时 指数函数一、 填空题1. 函数f(x)＝2x－4的定义域为__________． 答案：[2，＋∞)解析：由2x－4≥0，得x≥2.2. 函数y ＝3－|x －2|的单调递增区间是__________． 答案：(－∞，2]解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －2|，t ＝|x －2|的单调减区间(－∞，2]就是所给函数的单调增区间． 3. 函数y ＝e x－1e x ＋1的值域是________．答案：(－1，1)解析：y ＝e x－1e x ＋1，则e x＝1＋y 1－y>0，则－1<y<1.4. 若指数函数y ＝a x在[－1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝____________．答案：5±12解析：若0＜a ＜1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)；若a ＞1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上，a ＝5±12. 5. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值X 围是_________． 答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.6. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x的图象关于__________对称． 答案：原点解析：由y ＝－3－x 得－y ＝3－x，(x ，y )→(－x ，－y)，即关于原点对称．7. 若关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，则实数a 的取值X 围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，5 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 的定义域为R ，由于方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，所以应有3a ＋25－a >1，解得34<a<5.8. 已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a ＞0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a ＝__________．答案：3或13解析：设t ＝a x ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2＝f(t)，对称轴方程为t ＝－1.当0＜a ＜1时，∵－1≤x≤1，∴ a ≤t≤1a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a 2＋2a －1＝14，即1a 2＋2a －15＝0，∴ a ＝13或a ＝－15(舍去)； 当a ＞1时，∵－1≤x≤1，∴1a≤t ≤a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f(a)＝a2＋2a －1＝14，即a 2＋2a －15＝0，∴a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)时a 的取值X 围是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：由f(f(a))＝2f(a)可知f(a)≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，2a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1，解得a≥23.二、 解答题10. 求函数y ＝4x －2·2x＋5，x ∈[0，2]的最大值和最小值．解：令t ＝2x ，则t∈[1，4]．y ＝t 2－2t ＋5，t∈[1，4]．∵ y＝t 2－2t ＋5在区间t∈[1，4]上是单调递增函数，∴ t ＝1即x ＝0时，y 有最小值4，t ＝4即x ＝2时，y 有最大值13.11. 已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x≠0)．(1) 判断f(x)的奇偶性； (2) 求证：f(x)>0.(1) 解：∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1， f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x＋12x －1＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(2) 证明：f(x)＝x 2·2x＋12x －1，当x>0时，2x －1>0，即f(x)>0；当x<0时，2x－1<0，即f(x)>0，∴ f(x)>0.12. 已知9x －10·3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x －10·3x ＋9≤0得(3x －1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1，当t ＝12时，y min ＝1，此时，x ＝1；当t ＝1时，y max ＝2，此时，x ＝0.13. 已知函数f(x)＝2x(x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x ∈[1，2]恒成立，某某数a 的取值X 围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x， 得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x，－g （x ）＋h （x ）＝2－x， 解得g(x)＝12(2x －2－x)，h(x)＝12(2x ＋2－x )．(2) 由2a·g(x)＋h(2x)≥0，得a(2x －2－x)＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154.因为22x＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0，知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为单调减函数，所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，所以a≥－1712. 第7课时 对数函数一、 填空题1. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一坐标系中的图象的是________．(填序号)答案：①解析：将y ＝－log a x(a>0，a ≠1)首先改为y ＝log 1ax(a>0，a ≠1)，结合函数的定义域首先排除②，当a>1时，0<1a<1，函数y ＝a x单调递增，y ＝log 1ax 单调递减，①中图象正确，③中图象错误，当0<a<1时，1a>1，函数y ＝a x单调递减，y ＝log 1ax 单调递增，④中图象错误．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是________． 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x<－1.3. 函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32解析：由－x 2＋22≤22，得f(x)≤log 222＝32，函数f(x)的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.4. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为__________．答案：(0，6]解析：由1－2log 6x ≥0，得log 6x ≤12，即0＜x≤6，故所求的定义域为(0，6]．5. 函数y ＝ln(1－x)的图象大致为________．(填序号)答案：③解析：由1－x>0，知x<1，排除①②；设t ＝1－x(x<1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x)为减函数，故选③.6.已知函数y ＝log 12(x 2－2kx ＋k)的值域为R ，则实数k 的取值X 围是____________．答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：要想满足题意，则t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k≥0，解得k ≥1或k≤0.7. 已知3是不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)的一个解，则此不等式的解集为____________．答案：{x|x ＞－1}解析：将x ＝3代入不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)，得log a 4＞log a 9，则0<a<1.可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，2x ＋3＞0，1＋x ＜2x ＋3，解得x ＞－1.则不等式的解集为{x|x ＞－1}．8. 设f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值X围是________．答案：(－1，0)解析：∵ f(x)为奇函数，且在x ＝处有意义，∴ f(0)＝0，解得a ＝－1.∴ f(x)＝lg 1＋x 1－x .令f(x)<0，则0<1＋x1－x<1，∴ x ∈(－1，0)．9. 若函数y ＝log 2(x 2－ax －a)在区间(－∞，1－3)上是减函数，则实数a 的取值X 围是________．答案：[2－23，2]解析：令u ＝g(x)＝x 2－ax －a ，∵函数y ＝log 2u 在区间(－∞，1－3)上为单调增函数，∴ u ＝g(x)＝x 2－ax －a 在区间(－∞，1－3)上是单调减函数，且满足u>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1－3，g （1－3）≥0，解得2－23≤a ≤2. 二、 解答题10. 已知函数f(x)＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1) 若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，某某数a 的值； (2) 若函数f(x)的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，某某数a 的值； (3) 若函数f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，某某数a 的取值X 围．解：(1) 由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2.(2) 因为f(x)的定义域为R ，所以y ＝x 2－2ax ＋3＞0在R 上恒成立．由Δ＜0，得－3＜a ＜3，又f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3) f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为单调减函数，且y>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，a<2，即1≤a<2. 所以实数a 的取值X 围是[1，2)．11. 已知f(x)＝log a x(a>0且a≠1)．如果对于任意的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值X 围．解：因为f(x)＝log a x ，所以y ＝|f(x)|的图象如图．由图知，要使x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f(x)|≤1， 只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a.当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，即0<a≤13.综上所述，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)． 12. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝f 2(x)＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解：∵ f(x)＝2＋log 3x ，∴y ＝f 2(x)＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵函数f(x)的定义域为[1，9]，∴要使函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)有意义，必须使⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9， ∴ 1≤x ≤3，∴ 0≤log 3x ≤1，∴ 6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)取最大值13.13. 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1. (1) 求f(x)的定义域；(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集．解：(1) f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0，即x ＋11－x>1，解得0<x<1.所以使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．第8课时 二次函数与幂函数一、 填空题1. 函数y ＝x 2＋bx ＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值X 围是____________． 答案：[0，＋∞)解析：考虑对称轴和区间端点，结合二次函数图象易得－b2≤0，故b≥0.2. 若函数f(x)是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________． 答案：13解析：依题意设f(x)＝x α(α∈R )，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f(x)＝xlog 23，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.3. 已知n∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n 的值为________． 答案：－1或2解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，则f(x)＝x ，满足题意；若a≠0，则a ＞0且－1－3a2a≤1，解得0＜a≤1，所以0≤a≤1.5. 已知a ＝x α，b ＝x α2，c ＝x 1α，x ∈(0，1)，α∈(0，1)，则a ，b ，c 的大小顺序是__________．答案：c<a<b解析：∵ α∈(0，1)，∴1α>α>α2.又∵ x∈(0，1)，∴ x 1α<x α<x α2，即c<a<b.6. 若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值X 围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：因为函数y ＝x 2－3x －4即y ＝(x －32)2－254，其图象的对称轴为直线x ＝32，其最小值为－254，并且当x ＝0及x ＝3时，y ＝－4，若定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则32≤m ≤3. 7. 已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －2(m∈N )为奇函数且在区间(0，＋∞)上是单调减函数，则m ＝________．答案：1解析：由幂函数f(x)＝xm 2－2m －2在区间(0，＋∞)上是单调减函数，得m 2－2m －2<0，又m∈N ，故m ＝0，m ＝1，m ＝2，当m ＝0和2时，f(x)＝x －2为偶函数，当m ＝1时，f(x)＝x －3为奇函数，故m ＝1.8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为____________．答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0.9. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点．若AC⊥BC，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由图象过点C(t ，2)可得a(t －x 1)(t －x 2)＝2.又AC⊥BC，利用斜率关系得2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－12.二、 解答题10. 已知函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求m 的值；(2)求函数g(x)＝h(x)＋1－2h （x ）在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域． 解：(1)∵ 函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数， ∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5. ∵函数h(x)为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知h(x)＝x ，∴ g(x)＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 令1－2x ＝t ，则t∈[0，1]，g(x)＝f(t)＝－12t 2＋t ＋12，可求得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.从而函数g(x)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 11. 已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象与x 轴总有交点． (1) 求m 的取值X 围；(2) 若函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．解：(1) 当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点；当m ＋6≠0，即m≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m≤－59，即当m ≤－59且m≠－6时，函数图象与x 轴有一个或两个交点． 综上可知，当m≤－59时，此函数的图象与x 轴总有交点．(2) 设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴－2（m －1）m ＋1＝－4，解得m ＝－3.当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴ m 的值是－3.12. 已知函数f(x)＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x)≥18，某某数a 的值．解：f(x)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，f(x)max ＝16a 2≤16，得－1≤a≤1，函数f(x)的对称轴是直线x ＝a 3.当－1≤a<34时，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上单调递减，而f(x)≥18，即f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，即a≥1，与－1≤a<34矛盾，即不存在；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13，且13<14＋122＝38，即f(x)min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，即a≥1，又34≤a ≤1，故a ＝1.综上，a ＝1.13. 设f(x)＝－14x 2＋x ＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫k∈R ，k ≤32，是否存在实数m ，n(m<n)，使得当x∈[m，n]时，f(x)的值域恰好为[2m ，2n]？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由．解：f(x)＝－14(x －2)2＋2k ＋1，当x∈R 时，f(x)max ＝2k ＋1，从而2n≤2k＋1≤4，故n≤2.f(x)在[m ，n]上单调递增，从而⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －8k ＝0，n 2＋4n －8k ＝0.显然m ，n 是关于t的方程t 2＋4t －8k ＝0的两个根．Δ＝16＋32k ，(1) 当Δ<0，即k<－12时，方程无实根；(2) 当Δ＝0，即k ＝－12时，方程有两个相等实根，即m ＝n 与m<n 矛盾；(3) 当Δ>0，即32≥k>－12时，方程有两个不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.综上，当k≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－12时，方程有两不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.综上，当k≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－12时，方程有两不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.第9课时 函数的图象 一、 填空题。
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A DCB高三数学一轮复习导数（2）单元练习题新人教版一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数mxxxf+-=23212)(（m为常数）图象上A处的切线与03=+-yx的夹角为45，则A 点的横坐标为（）A．0 B．1 C．0或61D．1或612．函数xxy ln=的单调递减区间是（）A．（1-e，+∞）B．（－∞，1-e）C．（0，1-e）D．（e，+∞）3．一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=41t4-35t3+2t2，那么速度为零的时刻是（）A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末4．函数13)(3+-=xxxf在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17 D．9，-195.设()f x在x x=处可导，且00(3)()limxf x x f xx∆→+∆-∆＝1,则()f x'＝ ( )A.1B.0C.3D.136. 已知对任意实数x，有()()()()f x f xg x g x-=--=，，且0x>时，()0()0f xg x''>>，，则0x<时（）A．()0()0f xg x''>>，B．()0()0f xg x''><，C．()0()0f xg x''<>，D．()0()0f xg x''<<，7. 设)(xf'是函数)(xf的导函数，)(xfy'=的图象如右图所示，则)(xfy=的图象最有可能是 ( )8. 已知函数()(ln f x x =，则()f x '是 （ ）A. 奇函数 B . 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 9.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为 ( )Ａ.(2,)+∞ Ｂ.(,2)-∞ Ｃ.(,0)-∞ Ｄ.(0,2)10.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a = （ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11．过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2－4x ＋2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.12．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______ （用弧度数作答） 13．设曲线C ：y=cosx 与直线x =56π的交点为P ，曲线C 在P 点处的切线经过（a ，0）点，则a 等于 .14.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 15. 曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知32()2f x ax ax b =-+在区间[]2,1-上最大值是5，最小值是－11，求()f x 的解析式.17．（12分）设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x ＝1时，)(x f 取极小值.32-（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.18．（12分）已知a ＞0，函数a x x f -=3)(，x ∈[0，+∞)，设x 1＞0，记曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线为l ． （1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴交点为(2x ，0)，证明：①2x ≥31a ，②若311a x >，则1231x x a <<．19. （12分）已知抛物线22,y x =-+过其上一点p 引抛物线的切线m,，使m 与坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求m 的方程。
20．（13分）设曲线321()32ax y f x bx cx ==++在点x 处的切线斜率为k (x )， 且k (－1)＝0.对一切实数x ,不等式x ≤k (x )≤)1(212+x 恒成立(a ≠0). （1）求(1)f 的值;（2）求函数k (x )的表达式; （3）求证: ∑=ni i k 1)(1＞22+n n .21．（14分）已知函数e a e x x f ax,0,)(2≤=其中为自然对数的底数. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）求函数)(x f 在区间[0，1]上的最大值.荆门市实验高中《导数》单元测试卷 参 考 答 案一、1.C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10.D二、11. 2x －y ＋4=0 ; 12. 4π ； 13. 563π- 14.23R 15. 解：11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以：221||2.2AOB S e e ∆=-⨯=三、16. . 32()211f x x x ∴=-+- 或 32()25f x x x =-+ 17．解（1）0,0==∴d b ,1,31-==c a （2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立.假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直， 则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,1222211-=-=x k x k ， 且1)1()1(2221-=-⋅-x x （*）1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,0122212221≥-⋅-∴≤-≤-∴x x x x 此与（*）相矛盾，故假设不成立.19．(1)解：23)(x x f ='，∴曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线的斜率213x k =∴切线l 的方程为)(3)(12131x x x a x y -=--，即a x x x y --=312123 (2)解：令y ＝0得2131232x ax x +=①2131123113121313123)2()(32x a x a x a x ax a x +-=-+=-≥0 (*)∴312a x ≥，当且仅当311a x =时等号成立．②∵311a x >，∴(*)中“＝”不成立，故312a x >213112112111231)(31332x x a x x a x x a x x x -⨯=-=-+=-∵a x a x >⇔>31311 ∴02131<-x x a ，故x 2＜x 1∴当311a x >时，1231x x a <<成立．19．解：设切点()()20,0020p x x x-+>由22y x =-+得'2y x =- 02m k x ∴=- m 的方程为：()()200022y x x x x --+=--令y=0得20022x x x +=，令x=0得202y x =+ 三角形的面积为：()2200021222x s x x +=•+令()()()2200020322'0043x x s x x x -+==⇒=>当00'03x s <<<当0'03x s >>03x ∴=是s的极小值也是最小值点，此时3m k =-，切点433⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭故，m的方程为：380y +-=20.解: (1)c bx ax x k ++=2)( x c bx ax -++2≥0∴a ＞0,△≤0, (b －1)2－4ac ≤0 ① c bx ax ++2－21212-x ≤0, ∴21-a ＜0,△≤0,)21)(21(42---c a b ≤0 ② 又∵1≤k(1)≤)11(212+, ∴k(1)＝1 又k(－1)＝0∴112012a c abc a b c b ⎧+=⎪++=⎧⎪⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩ 代入①有2(41)0a -≤ 代入②有2(41)0a -≤ 又∵k(1)=a + b + c=4a, ∴41=a 11,24b c == ∴7(1)12f =(2) 2)1(41)(+=x x k(3) ])1(121[41)(1221+++=∑=n i k n i ＞41])2)(1(1431321[41=+++⨯+⨯n n 22]2121[+=+-n n n 。
21．解：（1）.)2()(axe ax x xf +='（i ）当a =0时，令 .0,0)(=='x x f 得若),0()(,0)(,0+∞>'>在从而则x f x f x 上单调递增； 若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减.（ii ）当a <0时，令.20,0)2(,0)(ax x ax x x f -===+='或故得 若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减；若)2,0()(,0)(,20a x f x f a x ->'-<<在从而则上单调递增；若,2a x ->),2()(,0)(+∞-<'ax f x f 在从而则上单调递减.（2）（i ）当a =0时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.1)1(=f （ii ）当02<<-a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是ae f =)1(. （iii ）当2-≤a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22ea a f =-。