2014-2015年四川省成都市邛崃市高二(上)期中数学试卷和答案(文科)
四川省邛崃市2014届高三上学期第一次月考数学(文)试题(含答案)
邛崃市2014届高三上学期第一次月考数学（文）试题本试卷分为选择题和非选择题两部分,由第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)组成,共4页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，只将答题卷交回。
第一部分（选择题）一.选择题：（每小题5分，共50分。
每小题的四个选项只有一项是最符合题要求的。
）1．已知全集是实数集R ，M ＝{x |x <1}，N ＝{1,2,3,4}，则(∁R M )∩N 等于( ) A ．{4} B ．{3,4} C ．{2,3,4} D ．{1,2,3,4}2．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d ，则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )6．执行如图K59－4所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是( )A ．k >7?B ．k >6? K59－4C ．k >5?D ．k >4?7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．98．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( )A ．4 3 B.654 C ．4 D.2339．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－31610．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是( )A ．2－π3B ．1－π6C ．2－π2D ．1－π12第二部分(非选择题)二.填空题(每小题5分,共25分)11．已知幂函数过点（2，41），则此函数f (x )＝________. 12．2log 510＋log 50.25＝13. 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．14． 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.15.已知定义在[1,+∞）上的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--=2),2(2121,2384)(x x f x x x f 。
2015年四川省高考模拟试题_四川省邛崃市高三第一次模拟测试试题数学(文)卷
数学试卷（文科）第一部分（选择题）一.选择题：（每小题5分，共50分。
每小题的四个选项只有一项是最符合题要求的。
） 1．已知全集是实数集R ，M ＝{x |x <1}，N ＝{1,2,3,4}，则(∁R M )∩N 等于( ) A ．{4} B ．{3,4} C ．{2,3,4} D ．{1,2,3,4} 2．若复数z 满足z 1＋i ＝2i ，则z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d ，则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )6．执行如图K59－4所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是( )A ．k >7?B ．k >6? K59－4C ．k >5?D ．k >4?7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 8．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( )A ．4 3 B.654 C ．4 D.2339．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－31610．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是( )A ．2－π3B ．1－π6C ．2－π2D ．1－π12第二部分(非选择题) 二.填空题(每小题5分,共25分) 11．已知幂函数过点（2，41），则此函数f (x )＝________. 12．2log 510＋log 50.25＝13. 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 14． 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.15.已知定义在[1,+∞）上的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--=2),2(2121,2384)(x x f x x x f 。
2015-2016学年四川成都市高二(上)“六校联考”期中文科数学试题 及答案
成都市“六校联考”高2014级第三学期期中试题数 学（文）（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积A ．πB ．π2C ．π3D ．π4俯视图2．已知点A ()2,1-和B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,33在直线()001:≠=--a y ax l 的两侧，则直线l 倾斜角的取值范围是A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛65,32ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,433,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3ππ 3．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥4． 对任意的实数k ，直线y =kx +1与圆222x y +=的位置关系一定是A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心5．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB =1，AC =2，AD =3，则该球的表面积为A ．7πB ．14πC ．72π D ．36．已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为A .43-B .23-C .43D .237．设变量x ，y满足约束条件00220x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则z ＝3x －2y 的最大值为A ．4B ． 2C ．0D ．68．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为A ．120 B ．150 C ．180 D ．2409．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为A ．4B ．3C ．2 D10．如图所示，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，若P 是棱AC 上一动点，则BP PE +的最小值为A ．3 B．C．1+D11．若直线b x y +=与曲线224690(3)x x y y y -+-+=≤有公共点,则b 的取值范围是A ．]221,1[+-B ．]221,221[+- C．[1- D ．]3,21[-12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF = 12．则下列结论中正确的个数．．．．．为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ； ③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1（10题图）（12题图）第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2014-2015学年四川省成都市树德中学高二(上)期中数学试卷(文科)
2014-2015学年四川省成都市树德中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2014秋•青羊区校级期中）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2时，a的值为（）A．a=3，a=﹣1 B．a=3 C．a=﹣1 D．以上都不对2．（5分）（2004•湖北）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．（5分）（2014秋•青羊区校级期中）将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向右平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x ﹣4y=0相切，则实数λ的值为（）A．﹣3或7 B．﹣2或8 C．0或10 D．1或114．（5分）（2014•西宁校级模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．25．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α6．（5分）（2012•郑州二模）若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1 B．C．λ•μ=1 D．λ+μ=17．（5分）（2014秋•青羊区校级期中）已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边BC，CD的中点，沿AE、EF、AF折叠成一个三棱锥P﹣AEF（使B，C，D重合于点P），则三棱锥P﹣AEF的外接球的表面积为（）A．B．36πC．12πD．6π8．（5分）（2014秋•青羊区校级期中）已知圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4和直线y=x相交于P，Q两点则|OP|•|OQ|的值是（）A．B．2 C．4 D．219．（5分）（2012•鄄城县校级三模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B． C．D．10．（5分）（2011•怀柔区一模）四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2014•沈阳四模）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是．12．（5分）（2013•嘉定区二模）（理）设函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为．13．（5分）（2014秋•青羊区校级期中）圆C：x2+y2﹣8x+4y+19=0关于直线x+y+1=0对称的圆的方程为．14．（5分）（2014秋•青羊区校级期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=2．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）=（，x，y），则x+y=．15．（5分）（2014秋•青羊区校级期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1和AB上的点，则下列说法正确的是．（填上所有正确命题的序号）①A1C⊥平面B1EF②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；④当E，F为中点时，平面B1EF截该正方体所得的截面图形是六边形；⑤当DE=时，平面B1EF与棱AD交于点P，则AP=．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）（2014秋•青羊区校级期中）（1）设直线l1：y=2x与直线l2：x+y=3交于点P，当直线l过P点，且原点O到直线l的距离为1时，求直线l的方程．（2）已知圆C：x2+y2+4x﹣8y+19=0，过点P（﹣4，5）作圆C的切线，求切线方程．17．（12分）（2011秋•吉林期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD 为矩形，AD=2AB=2PA=2，E为PD的上一点，且PE=2ED．（Ⅰ）若F为PE的中点，求证：BF∥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣AEC的体积．18．（12分）（2014•吉林二模）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．19．（12分）（2014秋•青羊区校级期中）如图，在四棱椎P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，CD⊥DA且PD=DA=AB=DC=2．设PB中点为E．（1）证明：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段DB上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置（DF的长度）；若不存在，请说明理由．（3）求点A到平面PBC的距离．20．（13分）（2012•株洲模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程；（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（14分）（2014秋•青羊区校级期中）如图，在四面体ABCD中，平行于AB，CD的平面β截四面体所得截面为EFGH．（1）若AB=CD=a，求证：截面EFGH为平行四边形且周长为定值．（2）如果AB与CD所成角为θ，AB=a，CD=b是定值，当E在AC何处时？截面EFGH的面积最大，最大值是多少？（3）若AB到平面的距离为d1，CD到平面的距离为d2，且=k，求立体图形ABEFGH与四面体ABCD 的体积之比（用k表示）．2014-2015学年四川省成都市树德中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．D 8．D 9．D 10．B二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．x+y-3=0 12．π13．（x-1）2+（y+5）2=1 14．15．②③三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．17．18．19．20．21．。
四川省邛崃市2014-2015学年高二上学期半期考试数学(文)试题
四川省邛崃市2014-2015学年高二上学期半期考试数学（文）试题本试卷分为选择题和非选择题两部分，由笫一部分(选择题)和第二部分（非选择题）组成，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5. 考试结束后，只将答题卷交回.一、选择题（每小题5分，共50分）1．若直线经过A(0，1)，B(3，4)两点，则直线AB的倾斜角为（A）30o （B）45o （C）60o（D）120o2．已知直线ax+2y+2=0与直线3x−y−2=0平行，则a的值为（A）−6 （B）6 （C）−3 （D）33．已知直线3x+2y−3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（A）4 （B）21313（C）51326（D）713264．下列判断，正确的是（A）平行于同一平面的两直线平行（B）垂直于同一直线的两直线平行（C）垂直于同一平面的两平面平行（D）垂直于同一平面的两直线平行5．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（A）30o（B）45o（C）60o（D）90o6．圆x2 +y2 −2x−2y+1=0和圆x2 +y2 −8x−10y+25=0的位置关系是（A）相交（B）外切（C）内切（D）相离7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（A ）16 （B ）13 （C ）23 （D ）18．直线x + 3y − 2 = 0与圆x 2 + y 2 = 4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于 （A ）2 5 （B ）2 3 （C ） 3 （D ）1 9．若α，β，γ表示平面，m ，n 表示直线，则下列命题中，正确的是（A ）m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β （B ）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β （C ）若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n （D ）若α∥β，m ⊂α，则m ∥β 10．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2 + y 2 = 1外，则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）不确定 二、填空题（每小题5分，共25分）11．若直线x − 2y + 6 = 0与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则 ׀׀AB 的值为________． 12．在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为_____． 13．圆心为(1，2)，且与直线5x − 12y − 7 = 0相切的圆的方程为_______________． 14．过点P (2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是______________．15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，且球的体积为 9π2，则正方体的棱长为_______________． 三、解答题（共75分）16．（本题满分12分）求满足下列条件的直线的方程． （I ）经过点B (3，0)，且与直线2x + y − 5 = 0垂直；（II ）经过两直线2x + y − 8 = 0和x − 2y + 1 = 0的交点，且平行于直线4x − 3y − 7 = 0．正视图 侧视图俯视图17．（本题满分12分）△ABC 的三个顶点分别是A (−1，5)，B (5，5)，C (6，−2)，求△ABC 的外接圆方程．18．（本题满分12分）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱AB = 1，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点． （Ⅰ）求证： EF ⊥BD 1； （Ⅱ）求三棱锥B 1−BEF 的体积．19． （本题满分12分）如图，在四棱锥V −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱VA ⊥底面ABCD ，点E 为VA 的中点． （Ⅰ）求证：VC ∥平面BED ； （Ⅱ）求证：平面VAC ⊥平面BED ．20．（本题满分13分）已知圆C ：(x − 1)2 + (y − 2)2 = 25，直线l ：(2m + 1)x + (m + 1)y − 7m − 4 = 0（m ∈R ）．（Ⅰ）求证：无论m 取什么实数，直线l 都过定点，并写出这个定点的坐标；BCD AVOE（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长最短时l的方程．21．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90o，AA1⊥平面A1B1C1，AB=AC=AA1．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1BC1；（Ⅱ）若点D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成角的大小．2014～2015（上）邛崃市高2013级半期考试数学(文)试题答案二、三、解答题（共75分）16．（本题满分12分）求满足下列条件的直线的方程． （I ）经过点B (3，0)，且与直线2x + y − 5 = 0垂直；（II ）经过两直线2x + y − 8 = 0和x − 2y + 1 = 0的交点，且平行于直线4x − 3y − 7 = 0．解：（I ）直线2x + y − 5 = 0的斜率为 − 2，设所求直线的斜率为k ，则− 2·k = − 1，解得k = 12 (3)分∴由点斜式得 y = 12(x − 3)，即x − 2y − 3 = 0………………………………6分（II ）联立方程组⎩⎨⎧2x + y − 8 =0x − 2y + 1 = 0，解得 ⎩⎨⎧x =3y = 2 (9)分∴ 所求直线方程为y −2 = 43(x − 3)，即4x − 3y − 6 = 0 (12)分17．（本题满分12分）△ABC 的三个顶点分别是A (−1，5)，B (5，5)，C (6，−2)，求△ABC 的外接圆方程．解：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，代入A ，B ，C 的坐标得⎩⎪⎨⎪⎧− D + 5E + F + 26 = 05D + 5E + F + 50 =06D − 2E + F + 40 = 0 ，………………6分 解得⎩⎪⎨⎪⎧D = − 4E = − 2F = − 20∴△ABC 的外接圆方程为x 2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0 ………………12分18．（本题满分12分）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱AB = 1，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点． （Ⅰ）求证： EF ⊥BD 1； （Ⅱ）求三棱锥B 1−BEF 的体积．（Ⅰ）证明：连结AC 、BD ，AC 与BD 交于点O ．∵DD 1⊥AD ，DD 1⊥AC ，AD ∩DC = D∴DD 1⊥平面ABCD ．…………………………2分 ∴DD 1⊥AC ………………………………………3分 又四边形是正方形，AC ⊥BD ，BD ∩DD 1 = D ∴AC ⊥平面BDD 1．……………………………5分 ∴AC ⊥BD 1………………………………………6分 ∵点E 、F 分别是AB 、BC 的中点∴EF ∥AC ………………………………………7分 ∴EF ⊥BD 1………………………………………8分19． （本题满分12分）如图，在四棱锥V −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱VA ⊥底面ABCD ，点E 为VA 的中点．（Ⅰ）求证：VC ∥平面BED ；（Ⅱ）求证：平面VAC ⊥平面BED ．A BC DA 1B 1C 1D 1EFODAVE（Ⅰ）证明：连结OE ．∵ 底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点．又E 为VA 的中点，∴OE ∥VC ．……………3分又VC /⊂ 平面BED ，OE ⊂平面BED ，∴ VC ∥平面BED ．………………………………6分（Ⅱ）∵ VA ⊥平面ABCD ，∴VA ⊥BD ．………………7分又 AC ⊥BD ，AC ∩VA = A ，∴ BD ⊥平面VAC ．………………………………10分 ∵ BD ⊂ 平面BED ，∴ 平面VAC ⊥平面BED ．………………………12分20．（本题满分13分）已知圆C ：(x − 1)2 + (y − 2)2 = 25，直线l ：(2m + 1)x + (m + 1)y − 7m − 4 = 0（m ∈R ）．（Ⅰ）求证：无论 m 取什么实数，直线 l 都过定点，并写出这个定点的坐标； （Ⅱ）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时l 的方程．（Ⅰ）证明：∵直线 l 的方程等价于 (2x + y − 7)m + x + y − 4 = 0（1）．………2分令2x + y − 7 = 0，则由x + y − 4 = 0∴⎩⎨⎧2x + y − 7 =0x + y − 4 = 0，解得 ⎩⎨⎧x =3y = 1………………………………………………4分∴点(3，1)的坐标使方程（1）恒成立．∴ 无论m 取什么实数，直线l 都过定点，定点的坐标为(3，1)．……6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，直线恒过定点P (3，1)．当x =3,y =1时，(x −1)2 +(y −2)2=(3 −1)2 +(1 −2)2 <25 ∴点P 在圆C 内．由图知，r 2 − d 2= ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22．∴当d 取最大值时，AB 最短．……………………9分 又l ⊥CP 时，d 取最大值．此时k CP = − 12，k l = 2…11分∴ l 的方程为y − 1 = 2(x − 3)，即2x − y − 5= 0．……13分21．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC = 90o ，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，AB = AC = AA 1． （Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1BC 1；（Ⅱ）若点D 为B 1C 1的中点,求AD 与平面A 1BC 1所成角的大小． （Ⅰ）证明：∵ AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥A 1C 1． 又 A 1C 1⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1 = A 1 ∴ A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ．∴ A 1C 1⊥AB 1．…………………4分又四边形AA 1B 1B 是正方形，AB 1⊥A 1B ，A 1B ∩A 1C 1 = A 1 ∴ AB 1⊥平面A 1BC 1．………………………………………7分B CDAB 1C 1A 1GO。
成都市20142015学年度上期期末学业质量监测模拟一高二数学
成都市2014-2015学年度上期期末学业质量检测模拟一高二数学一．选择题（本题共10小题，每题5分，共计50分） 1.点在空间直角坐标系的位置是(▲)A. y 轴上B. 平面上C.平面上 D.平面上2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测 试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数 据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为(▲) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,83．已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，则下列命题不．正确．．的是(▲) A ．若α⊥m n m ,//，则α⊥n B ．若n m =⋂βαα,//，则n m // C ．若αβ⊥⊥m m ,，则βα// D ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ 4．已知x ，y 之间的数据如表所示，则回归直线过点(▲)A.(2,1.8) B ．(4,3.2) C ．(3,2.5)D ．(5,3.8)5．已知程序框图如右图所示，则输出的i =(▲)A ．5B ．7C ．9D ．11 6.如图，直三棱柱111ABC A B C -,AC BC ⊥，且12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1AB所成角的余弦值为(▲) A .55 B .53C .255D .357.右图的平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 在BB 1上，点N 在 DD 1上，且BM =12BB 1，D 1N=13D 1D ，若1MN AB AD AA x y z =++， 则=++z y x (▲)甲组乙组9 0 9x 2 1 5 y 8 7 4 2 4x 1 2 3 4 5 y1.21.82.53.23.8C 1B 1A 1CABA .17 B .16 C .23 D .328.已知()0,12,1--=t t a ，()t t b ,,2=，则a b -的最小值为(▲) A.2 B. 6 C. 5 D. 39.已知点),(y x P 满足2284160x x y y -+-+≤，则xy的取值范围(▲) A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,43 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,110.三棱锥P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M 是底面△ABC 内一点，定义()()p n m M f ,,=，其中p n m ,,分别是三棱锥M-PAB ，三棱锥M-PBC ，三棱锥M-PCA 的体积;若()⎪⎭⎫⎝⎛=y x M f ,,21，且81≥+y a x 恒成立，则正实数a 的最小值为(▲)A.1B. 3413-C. 249-D. 2二．填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下： 组别(]10,0 (]20,10 (]30,20 (]40,30 (]50,40 (]60,50 (]70,60频数 12 13241516137则样本落在(]40,10上的频率是 ▲ .12.直线013=+-y x 的倾斜角为______▲_______.13.从点)5,4(P 向圆C :4)2(22=+-y x 引切线，则该切线方程是_______▲___________. 14.四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，且顶点P 在底面ABCD 的射影为底面的中心，若AB a =，棱锥体积为366a ，则侧棱AP 与底面ABCD 所成的角是_____▲___________. 15.如图，将∠B ＝π3，边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小等于θ的二面角B －AC －D ，若DABC MNθ∈［π3，2π3 ］，M 、N 分别为AC 、BD 的中点，则下面的四种说法：①AC ⊥MN ； ②DM 与平面ABC 所成的角是θ； ③线段MN 的最大值是34，最小值是34； ④当θ＝π2时，BC 与AD 所成的角等于π2.其中正确的说法有 ▲_ (填上所有正确说法的序号).三．解答题（本题共6小题，共计75分）16.(本题满分12分)已知点P (2，－1)(1)求过P 点且与直线012:1=+-y x l 垂直的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；17.(本题满分12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取 部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下： (1)求出表中字母m 、n 、M 、N 所对应的数值； (2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图； (3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm 范围内有多少人？18．(本题满分12分)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线AC 、BD 长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．组别 频数 频率 145.5～149.5 8 0.16 149.5～153.5 6 0.12 153.5～157.5 14 0.28 157.5～161.5 10 0.20 161.5～165.5 8 0.16 165.5～169.5m n 合计MN19．(本题满分12分)已知圆C: 2220x x y -+=,直线l ：40x y +-=。
2014-2015学年度高二第二学期期中考试(文科)数学试题(带答案)
2014-2015学年高二第二学期期中考试数学试卷（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
第Ⅰ卷一、选择题：该题共12个小题，每个小题有且只有一个选项是正确的，每题5分，共60分。
1． 已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于 （ ）A.1213B.513 C ．－513 D ．－12132． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 ( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π43． 若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－54、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）( )A.8π3 B ．3π C.10π3 D ．6π5.P 为ABC ∆所在平面外一点，PB PC =,P 在平面ABC 上的射影必在ABC ∆的（ ）A ．BC 边的垂直平分线上B ．BC 边的高线上 C ．BC 边的中线上D ．BAC ∠的角平分线上6．有一块多边形的菜地它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面积为.（ ）A ．2+B ．C ．22+D ． 21+7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是（ ）A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面8.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（ ）A ．4sin(4)3y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （ ）A ．5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B ．511[,],1212k k k Z ππππ++∈C ．[,],36k k k Z ππππ-+∈D ．2[,],63k k k Z ππππ++∈11．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、512.极坐标方程52sin42=θρ表示的曲线是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线的一支D 、抛物线第Ⅱ卷二、填空题：该题共4个小题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。
四川省邛崃市2015高三上第二次月考数学(文)试卷
四川省邛崃市2015高三上第二次月考数学（文）试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
由第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）组成，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5、考试结束后，只将答题卷交回。
第一部分（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、i 为虚数单位，则=-+2015)11(ii （ ） A 、i - B 、1- C 、i D 、12、已知集合}02|{2≤--=x x x A ，集合Z B =（Z 为整数集），则=⋂B A （ ）A 、}2,1,0,1{-B 、}1,0,1,2{--C 、}1,0{D 、}0,1{-3、已知命题p ：对任意R x ∈，总有02>x ；q ："1">x 是"2">x 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A 、q p ∧B 、)()(q p ⌝∧⌝C 、q p ∧⌝)(D 、)(q p ⌝∧ 4、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、46+πB 、412+πC 、126+πD 、1212+π5、设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A 、若,//,αn n m ⊥则α⊥mB 、若,,//αββ⊥m 则α⊥mC 、若,,,αββ⊥⊥⊥n n m 则α⊥mD 、若,,,αββ⊥⊥⊥n n m 则α⊥m6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 的值为（ ）A 、62B 、126C 、254D 、5107、设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A 、21 B 、23 C 、0 D 、21-8、已知曲线,)(:3a ax x x f C +-=若过曲线C 外一点)0,1(A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ）A 、827B 、2-C 、2D 、827-9、已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过2F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A 、)2,1(B 、)3,2(C 、)2,3(D 、),2(+∞10、已知f （x ）=x³-6x²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是 （ ）A 、①③B 、②③C 、①④D 、②④第二部分 （非选择题，本部分共11题，共100分。
2014-年高二上学期数学文科期中联考试卷(附答案)
2014-年高二上学期数学文科期中联考试卷（附答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．如果，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．2．在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足,则角的大小为（）A.120°B.60°C.150°D.30°3.若等差数列的前5项和，且，则=（）A．3B．7C．8D．94．在△中，角、、所对的边分别为、、，且三角形面积为，则的值为（）A.B.48C.D.165.已知等比数列的前项和，则实数的值为（）A.-2B.-1C.2D.0.56．已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A.80B.C.25D.7．若，则的最大值为（）A．B．C．D．以上都不对8．在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足=1，=2，=120°,则的值为（）A．B．C．D．9.已知等比数列，是其前项和，若，则的值为（）A.27B.21C.18D.1510.△的三个内角、、满足，则△（）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
）13.关于的不等式的解集为。
14.△中，，且，则边上的中线的长为。
15.等差数列中，使得前项和取到最小值的的值为。
16.对于一个数列，把它相连两项、的差记为，得到一个新数列，这个新数列称为数列的一阶差数列；数列的相连两项、的差记为，得到一个新数列，这个数列称为数列的二阶差数列。
已知数列的首项为3，它的一阶差数列是首项为3的等差数列，它的二阶差数列是首项为3的常数列，则数列的通项公式为。
三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．（本小题12分）在△中，角、、所对的边分别为、、，，且满足、是方程的两根。
（I）求角的大小和边的长度；（Ⅱ）求△的面积。
四川成都市高二上学期期中联考文科数学试题 有答案
成都市“六校联考”高2014级第三学期期中试题数 学(文)(全卷满分：150分 完成时间：120分钟)注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则此几何体的体积 A ．π B ．π2C．π3 D ．π42．已知点A ()2,1-和B⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,33在直线()001:≠=--a y ax l 的两侧，则直线l 倾斜角的取值范围是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛65,32ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,433,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3ππ3．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是 A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l n B ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥ C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l m D ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥ 4． 对任意的实数k ，直线y =kx +1与圆222x y +=的位置关系一定是A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 5．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB =1，AC =2，AD =3，则该球的表面积为俯视图A ．7πB ．14πC ．72π D．36．已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为 A .43- B .23- C .43 D .237．设变量x ，y 满足约束条件00220x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则z ＝3x －2y 的最大值为A ．4B ． 2C ．0D ．68．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 A ．120 B ．150 C ．180 D ．2409．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为A ．4B ．3C ．2 D10．如图所示，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，若P 是棱AC 上一动点，则BP PE +的最小值为 A ．3 BC．1 D11．若直线b x y +=与曲线224690(3)x x y y y -+-+=≤有公共点，则b 的取值范围是 A ．]221,1[+- B ．]221,221[+- C．[1- D ．]3,21[-12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF = 12．则下列结论中正确的个数．．．．．为 ①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ； ③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1DABCED 1A 1B 1C 1F ABC DPE(10题图) (12题图)第II 卷(非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
《解析》四川省成都市玉林中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2014-2015学年四川省成都市玉林中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，给出事件A与B的关系示意图，则( )A．A⊆B B．A与B互斥C．B⊆A D．A与B互为对立事件2．直线l：y=x﹣1的倾斜角是( )A．B．C．D．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是( )A．B．C．D．4．两条平行直线l1：3x﹣2y﹣1=0，l2：3x﹣2y+1=0的距离是( )A．B． C．D．5．三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则a的值是( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．在平面直角坐标系中，y轴上有一点M到点A（0，0）与点B（4，2）的距离相等，则点M 的坐标是( )A．（0，5）B．（0，﹣5）C．（5，0）D．（﹣5，0）7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，m+n=5的概率是( )A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC．其中正确的命题是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④10．已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B（﹣1，0），给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|•|MB|的最大值是1．其中，所有正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．）11．点A（1，2）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离是__________．12．三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，PO⊥平面ABC于O．则O为△ABC的__________心．13．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积是__________．14．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率是__________．15．有如下几个命题：①函数的一个对称轴为；②已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l：mx+y﹣m﹣1=0与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是；③若实数a+b=2，a，b为正数，则的最小值为；④实数x，y满足3x+4y+6=0，则x2+y2+2x+4y+5的最小值为；⑤已知数列{a n}的前n项和，则a n=2n+1．其中，所有正确的命题是__________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2）．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求边AC的垂直平分线方程．17．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1D1的中点．（1）求证：MN∥平面A1BC1；（2）求三棱锥B1﹣A1BC1的体积．18．一个口袋内装有大小相等的2个白球和3个黑球，从中摸出2个球．（1）求摸出2个黑球的概率；（2）求摸出1个白球和1个黑球的概率．19．已知点A（﹣3，5），B（2，15），直线l：3x﹣4y+4=0．（1）求过A点与直线l平行的直线方程；（2）若P点在直线l上，求|PA|+|PB|的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=2，sinA=2sinB，求△ABC的面积．21．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）在线段AB上是否存在点M，使PM与平面PDB所成角的正弦值为？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．2014-2015学年四川省成都市玉林中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，给出事件A与B的关系示意图，则( )A．A⊆B B．A与B互斥C．B⊆A D．A与B互为对立事件【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；数形结合；分析法；集合．【分析】由韦恩图可知，A∩B=∅，且A∪B≠U，判断各选项即可．【解答】解：由韦恩图可知，A∩B=∅，且A∪B≠U，只有B正确，故选：B．【点评】本题考查了集合的韦恩图表示法，正确理解图示阴影部分表示的集合是解答的关键．2．直线l：y=x﹣1的倾斜角是( )A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；对应思想；直线与圆．【分析】由已知直线方程求出直线的斜率再利用斜率等于倾斜角的正切值得答案．【解答】解：直线l：y=x﹣1的斜率为1，设其倾斜角为α（0≤α＜π），则tanα=1，∴．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是( )A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间角．【分析】连结A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠A1C1B是异面直线AC与BC1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC与BC1所成角的大小．【解答】解：连结A1C1，A1B，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AC∥A1C1，∴∠A1C1B是异面直线AC与BC1所成角（或所成角的补角），∵A1B=BC1=A1C1，∴∠A1C1B=，∴异面直线AC与BC1所成角的大小是．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．两条平行直线l1：3x﹣2y﹣1=0，l2：3x﹣2y+1=0的距离是( )A．B． C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；函数思想；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两条平行直线l1：3x﹣2y﹣1=0，l2：3x﹣2y+1=0的距离是：=．故选：A．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的求法，考查计算能力．5．三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则a的值是( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】过两条直线交点的直线系方程；两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】先求4x+3y=10，2x﹣y=10的交点，代入直线ax+2y+8=0，即可得到a的值．【解答】解：解方程组4x+3y=10，2x﹣y=10，得交点坐标为（4，﹣2），代入ax+2y+8=0，得a=﹣1．故选B【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查计算能力．6．在平面直角坐标系中，y轴上有一点M到点A（0，0）与点B（4，2）的距离相等，则点M 的坐标是( )A．（0，5）B．（0，﹣5）C．（5，0）D．（﹣5，0）【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．【解答】解：设M（0，y）由题意得02+（0﹣y）2=42+（2﹣y）2，解得y=5故M（0，5）故选：A．【点评】考查两点间的距离公式，考查学生的计算能力，属基础题．7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，m+n=5的概率是( )A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】根据题意，设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m、n，则两次抛掷得到的结果可以用（m，n）表示，列举全部的情况，可得其数目，进而在其中查找向上的点数之和为4的结果，可得其情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m、n，两次抛掷得到的结果可以用（m，n）表示，则结果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共有36种．其中向上的点数之和为5的结果有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，则向上的点数之和为4的概率为，故选：B．【点评】本题考查列举法求等可能事件的概率，在列举时要有一定的规律、顺序，必须做到不重不漏．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC．其中正确的命题是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【考点】命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】①利用线面平行的判定定理即可判断出；②利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可判断出；③利用线面垂直的判定定理即可得出；④利用圆的性质、线面面面垂直的判定与性质定理即可得出．【解答】解：①∵PA⊂平面MOB，∴PA∥平面MOB不正确；②由三角形的中位线定理可得MO∥PA，又∵MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴MO∥平面PAC；因此正确．③∵OC与AC不垂直，因此OC⊥平面PAC不正确；④∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．由∠ACB是⊙O的直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．又PA∩AC=A．∴BC⊥平面PAC．∴平面PAC⊥平面PBC．因此④正确．综上可知：其中正确的命题是②④．故选：D．【点评】本题综合考查了空间中线面面面的位置关系、圆的性质、三角形的中位线定理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．10．已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B（﹣1，0），给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|•|MB|的最大值是1．其中，所有正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线的一般式方程．【专题】分类讨论；交轨法；直线与圆．【分析】①对a分类讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出；②当a变化时，代入验证即可判断出正误；③由①可知：两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，即可判断出正误；④如果l1与l2交于点M，由③可知：|MA|2+|MB|2=2，利用基本不等式的性质即可判断出正误．【解答】解：直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B（﹣1，0），给出如下结论：①a=0时，两条直线分别化为：y=﹣1，x=﹣1，此时两条直线互相垂直；a≠0时，两条直线斜率分别为：a，﹣，满足=﹣1，此时两条直线互相垂直；因此不论a为何值时，l1与l2都互相垂直，正确；②当a变化时，代入验证可得：l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0），正确；③由①可知：两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，因此l1与l2关于直线x+y=0不一定对称，不正确；④如果l1与l2交于点M，由③可知：|MA|2+|MB|2=2，∴2≥2|MA|•|MB|，∴|MA|•|MB|的最大值是1，正确．其中，所有正确结论的个数是3．故选：C．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、圆的性质、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．）11．点A（1，2）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离是2．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；函数思想；综合法；直线与圆．【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：点A（1，2）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．12．三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，PO⊥平面ABC于O．则O为△ABC的外心．【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】由射影定理得OA=OB=OC，从而得到O为△ABC的内心．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，∵PA=PB=PC，PO⊥平面ABC于O，∴由射影定理得OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心．故答案为：外．【点评】本题考查三角形五心的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意射影定理的合理运用．13．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为2的正方形，斜高为2的四棱锥，且四棱锥的高为=的正四棱锥．∴它的体积为V=×22×=．故答案为：．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．14．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率是0.4．【考点】几何概型．【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为10，基本事件的区域长度为4，代入几何概率公式可求．【解答】解：设长为10的线段折成的两段分别为x，10﹣x则∴3≤x≤7根据几何概率的计算公式可得，P（A）==0.4故答案为：0.4【点评】本题主要考查了几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．15．有如下几个命题：①函数的一个对称轴为；②已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l：mx+y﹣m﹣1=0与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是；③若实数a+b=2，a，b为正数，则的最小值为；④实数x，y满足3x+4y+6=0，则x2+y2+2x+4y+5的最小值为；⑤已知数列{a n}的前n项和，则a n=2n+1．其中，所有正确的命题是①③．（写出所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题；探究型；三角函数的图像与性质．【分析】①利用正弦函数图象性质，过最值点的直线是函数的对称轴，把代人得：3sin+!，取到最大值，是函数的一个对称轴；②直线l：mx+y﹣m﹣1=0，m（x﹣1）+（y﹣1）=0 经过定点P（1，1），利用数学结合可得斜率的范围是（，+∞）和（﹣∞，﹣4）；③代换a+b=2可得==≥；④x2+y2+2x+4y+5=（x+1）2+（y+2）2，是直线3x+4y+6=0上的点到定点（﹣1，﹣2）的距离的平方，利用点到直线的距离公式可求；⑤当n=1是，s1=3，a1=3，当n＞1时，a n=s n﹣s n﹣1【解答】解：①把代人得：3sin+!，取到最大值，是函数的一个对称轴，故正确；②直线l：mx+y﹣m﹣1=0m（x﹣1）+（y﹣1）=0 经过定点P（1，1）k PA=﹣4，k PB=，∴斜率的范围是（，+∞）和（﹣∞，﹣4），故错误；③==≥，故正确；④x2+y2+2x+4y+5=（x+1）2+（y+2）2，是直线3x+4y+6=0上的点到定点（﹣1，﹣2）的距离的平方，∴最小值为垂涎段长的平方为1，故错误；⑤当n=1是，s1=3，a1=3，当n＞1时，a n=s n﹣s n﹣1=2n+2，故错误．故答案为①③．【点评】考查了对称轴和数列通项的求法和数学结合的应用．综合性强，考场知识点多．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2）．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求边AC的垂直平分线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】数形结合；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可；（2）求出边AC的中点坐标，代入与直线AC垂直的直线方程中，即可求出AC边的垂直平分线方程．【解答】解：（1）∵△ABC的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），∴直线AC的方程为=，化为一般方程是2x﹣5y+10=0；（2）边AC的中点坐标为x==﹣，y==1；且设AC的垂直平分线方程为5x+2y+m=0，把中点坐标代入方程，得5×（﹣）+2×1+m=0，解得m=，∴AC边的垂直平分线方程为5x+2y+=0，即10x+4y+21=0．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了直线的垂直关系的应用问题，是基础题目．17．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1D1的中点．（1）求证：MN∥平面A1BC1；（2）求三棱锥B1﹣A1BC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法．【分析】（1）取A1C1的中点E，连接NE，BE，证明NEBM是平行四边形，可得MN∥BE，即可证明MN∥平面A1BC1；（2）转换底面求三棱锥B1﹣A1BC1的体积．【解答】（1）证明：取A1C1的中点E，连接NE，BE，则∵M，N分别为AB，A1D1的中点，∴NE平行且等于MB，∴NEBM是平行四边形，∴MN∥BE，∵MN⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1；（2）解：三棱锥B1﹣A1BC1的体积=三棱锥B﹣A1B1C1的体积==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查三棱锥B1﹣A1BC1的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．一个口袋内装有大小相等的2个白球和3个黑球，从中摸出2个球．（1）求摸出2个黑球的概率；（2）求摸出1个白球和1个黑球的概率．【考点】几何概型．【专题】应用题；对应思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）把白球编号为1，2，黑球记为a，b，c，用列举法求得共有10种摸法．由于其中摸出两个黑球的方法有3种，由此可得摸出2个黑球的概率．（2）摸出1个白球和1个黑球的方法有7种，由此可得摸出1个白球和1个黑球的概率．【解答】解：（1）白球编号为1，2，黑球记为a，b，c，共有10种摸法：（1，2），（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（a，b），（a，c），（b，c）．其中，摸出两个黑球的方法有（a，b），（a，c），（b，c）3种，故摸出2个黑球的概率为；（2）摸出1个白球和1个黑球的方法有：（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），6种，∴摸出1个白球和1个黑球的概率为=．【点评】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．19．已知点A（﹣3，5），B（2，15），直线l：3x﹣4y+4=0．（1）求过A点与直线l平行的直线方程；（2）若P点在直线l上，求|PA|+|PB|的最小值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】（1）设过A点与直线l平行的直线方程为3x﹣4y+m=0，把点A（﹣3，5）代入解得m 即可得出．（2）设点A关于直线l的对称点M（x，y），则，解得M．连接BM交直线l于点P，则点P即为所求．【解答】解：（1）设过A点与直线l平行的直线方程为3x﹣4y+m=0，把点A（﹣3，5）代入，可得﹣9﹣20+m=0，解得m=29．∴过A点与直线l平行的直线方程为3x﹣4y+m=0．（2）设点A关于直线l的对称点M（x，y），则，解得M（3，﹣3）．连接BM交直线l于点P，则点P即为所求．∴|PA|+|PB|的最小值=|BM|==5．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质、两点之间的距离公式、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=2，sinA=2sinB，求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和值域，求得f（x）的最小正周期和最大值．（2）由f（C）=1，求得C=，再利用正弦定理、余弦定理求得a、b的值，可得△ABC的面积ab•sinC的值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣）=sin2x•cos+cos2x•sin+cos2xcos+sin2xsin=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期为=π，最大值为2．（2）△ABC中，由f（C）=2sin（2C+）=1，可得 sin（2C+）=，∴2C+=，求得C=．由正弦定理可得====4，∴a=4sinA，b=4sinB．再根据sinA=2sinB，可得a=2b．再由余弦定理可得c2=12=（2b）2+b2﹣2•2b•b•cosC=5b2﹣2b2，求得b=2，∴a=2b=4，△ABC的面积为S=ab•sin C=×4×2×=2．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和值域，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．21．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）在线段AB上是否存在点M，使PM与平面PDB所成角的正弦值为？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA∥EO，由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB；（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD 是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；（3）以D点为原点建立如图所示的直角坐标系，得到D，P，A，B的坐标，设出M的坐标，进一步得到所用向量的坐标，然后结合PM与平面PDB所成角的正弦值为求得M的坐标，说明结论成立，并求出AM的长．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC，AC交BD于点O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO．而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB；（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．∵PD=DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD；（3）解：以D点为原点建立如图所示的直角坐标系设M点坐标为（1，a，0）（0≤a≤1），则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），则，．设平面PDB的一个法向量为，由，取y=﹣1，得．由||=||=，解得：a=或a=（舍）．∴在线段AB上存在点M，使PM与平面PDB所成角的正弦值为，此时AM=．【点评】本题考查了线线、线面平行和垂直的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；垂直关系的转化是由线面垂直的定义和判定定理实现，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．。
四川省成都市五校协作体学年高二数学上学期期中试卷文(含解析)
四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）A．都平行B．都相交C．一个相交，一个平行D．都异面2．（5分）在x、y轴上的截距分别是﹣3、4的直线方程是（）A．+=1 B．+=1 C．﹣=1 D．+=13．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点P（0，0）对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．（x﹣2）2+y2=55．（5分）如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④6．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β7．（5分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是EF的中点，现在沿DE，DF及EF把这个正方形折成一个四面体，使A，B，C三点重合，重合后的点记为G，则在四面体D﹣EFG中必有（）A．GF⊥△DEF所在平面B．DO⊥△EFG所在平面C．DG⊥△EFG所在平面D．GO⊥△EFG所在平面8．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．199．（5分）若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）A．﹣B．﹣＜t＜0C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜210．（5分）已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M：（x﹣1）2+y2=9相交于A，C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（）A．4B．6C．12D．12二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为．12．（5分）已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为．13．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A，B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则实数a等于．14．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=，AB=4，BC=2，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得BM∥平面ACN，PN长度．15．（5分）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）棱A′D′始终与水面所在平面平行；（4）水面EFGH所在四边形的面积为定值；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值；其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知直线l1：2x+（m+1）y﹣2=0；直线l2：mx+y﹣1=0．（Ⅰ）若l1⊥l2求实数m的值．（Ⅱ）若l1∥l2，求实数m的值．17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．18．（12分）已知一圆C的圆心为（2，﹣1），且该圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2（Ⅰ）求该圆的方程（Ⅱ）求过点P（4，3）的该圆的切线方程．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求凸多面体ABCDE的体积．20．（13分）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=，AD=，点F是PB的中点，点E是边BC上的动点．（Ⅰ）求三棱锥E﹣PAD的体积；（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．21．（14分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E、F两点，且使三角形S△OEF=2（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）A．都平行B．都相交C．一个相交，一个平行D．都异面考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键．解答：解：如图所示：已知：α∩β=m，a∥b，a⊂α，b⊂β．则a∥b∥m．证明：∵a∥b，∴a与b可确定一个平面γ．∴b∥α，由∵α∩β=m，b⊂β，∴b∥m．∴a∥b∥m．故选A．点评：熟练掌握线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键．2．（5分）在x、y轴上的截距分别是﹣3、4的直线方程是（）A．+=1 B．+=1 C．﹣=1 D．+=1考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的截距可得截距式方程．解答：解：∵直线在x、y轴上的截距分别是﹣3、4，∴直线的截距式方程为：故选：A点评：本题考查直线的截距式方程，属基础题．3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由A1B∥D1C，得异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C．解答：解：∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C，∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60°．故选：C．点评：本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．4．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点P（0，0）对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．（x﹣2）2+y2=5考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题．分析：求出已知圆的圆心和半径，求出圆心A关于原点对称的圆的圆心B的坐标，即可得到对称的圆的标准方程．解答：解：圆（x+2）2+y2=5的圆心A（﹣2，0），半径等于，圆心A关于原点（0，0）对称的圆的圆心B（2，0），故对称圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故选：D．点评：本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法，求出圆心A关于原点（0，0）对称的圆的圆心B的坐标，是解题的关键，属于基础题．5．（5分）如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④考点：由三视图还原实物图．专题：图表型．分析：由俯视图结合其它两个视图可以看出，几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥．解答：解：根据三视图从不同角度知，甲、乙、丙对应的几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥，故选A．点评：本题的考点是由三视图还原几何体，需要仔细分析、认真观察三视图进行充分想象，然后综合三视图，从不同角度去还原，考查了观察能力和空间想象能力．6．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β考点：平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解答：解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选B．点评：考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念．7．（5分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是EF的中点，现在沿DE，DF及EF把这个正方形折成一个四面体，使A，B，C三点重合，重合后的点记为G，则在四面体D﹣EFG中必有（）A．GF⊥△DEF所在平面B．DO⊥△EFG所在平面C．DG⊥△EFG所在平面D．GO⊥△EFG所在平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：∵CF与DF不垂直，BF与DF不垂直，∴GF与DF不垂直，GF与DF不垂直，∴GF不能垂直于△DEF所在平面，故A错误；∵DE=DF，O是EF中点，GE=GF，∴DO⊥EF，GO⊥EF，∴DO不能垂直于△EFG所在平面，故B错误；∵DA⊥AE，DC⊥CF，∴DG⊥GE，DG⊥GF，∴DG⊥△EFG所在平面，故C正确；∵GO⊂△EFG所在平面，∴GO不可能垂直于△EFG所在平面，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．19考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值．解答：解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．9．（5分）若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）A．﹣B．﹣＜t＜0C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜2考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，由此求得t的取值范围．解答：解：圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0即（x﹣t）2+y2=4，表示以C1（t，0）为圆心、半径等于2的圆；圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0即（x+1）2+（y﹣2t）2=9，表示以C2（﹣1，2t）为圆心、半径等于3的圆．再根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，即 3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，∴，解得﹣或0＜t＜2，故选：D．点评：本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10．（5分）已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M：（x﹣1）2+y2=9相交于A，C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（）A．4B．6C．12D．12考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，由圆的方程画出圆，可知可行域内距离圆心最远的点为满足条件的E点，求出E与M的距离，解直角三角形求得AC的长度，则四边形ABCD的面积为AC长度与BD长度乘积的一半．解答：解：由约束条件作可行域如图，圆M：（x﹣1）2+y2=9的圆心为M（1，0），半径为3．E为图中阴影三角形及其内部一动点，由图可知，当E点位于直线x+y=2与y轴交点时，E为可行域内距离圆心M最远的点．此时当AC过E且与ME垂直时最短．与AC垂直的直线交圆得到直径BD．|ME|=，|AC|=，．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，关键是确定使AC最短时的E的位置，是中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为2x+y﹣1=0．考点：直线的一般式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：设与直线x﹣2y+3=0垂直的直线的方程为 2x+y+c=0，把点P（﹣1，3）的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．解答：解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点P（﹣1，3）的坐标代入得﹣2+3+c=0，∴c=﹣1，故所求的直线的方程为2x+y﹣1=0，故答案为2x+y﹣1=0．点评：本题考查利用待定系数法求直线的方程，与 ax+by+c=0 垂直的直线的方程为 bx ﹣ay+m=0的形式．12．（5分）已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为1．考点：由三视图求面积、体积．专题：规律型．分析：根据三视图的原则，高平齐、长对正、宽相等来判断几何体的俯视图即可．解答：解：根据三棱锥的俯视图是顶角为120°的等腰三角形，且底边长为2，∴三棱锥的底面三角形的高为×tan30°=1，即，侧视图的宽为1，由正视图的高为2⇒侧视图的高为2，∴其面积S=1．故答案是：1．点评：本题考查简单几何体的三视图，属基础题．13．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A，B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则实数a等于±2．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值．解答：解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴AB=R=2，∴圆心到直线y=x+a的距离d=AB==，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为：±2．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，其中根据题意得出△AOB为等腰直角三角形是解本题的关键．14．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=，AB=4，BC=2，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得BM∥平面ACN，PN长度2．考点：直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：连接AC，BD，AC∩BD=O，取MD中点E，连接CN与PD交于N，取PN中点F，连接MF，则BM∥平面ACN．证明F，N为PD的三等分点，即可得出结论．解答：解：如图所示，连接AC，BD，AC∩BD=O，取MD中点E，连接CN与PD交于N，取PN中点F，连接MF，则∵BM∥OE，BM⊄平面ACN，OE⊂平面ACN，∴BM∥平面ACN．∵M为PC中点，F为PN中点，∴MF∥CN，∵E为MD中点，∴N为DF中点，∵PA=，BC=2，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，∴PD=3，∴PN=2，故答案为：2．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查学生的计算能力，确定F，N为PD的三等分点是关键．15．（5分）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）棱A′D′始终与水面所在平面平行；（4）水面EFGH所在四边形的面积为定值；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值；其中所有正确命题的序号是①②⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）（2）利用棱柱的定义判定即可，（3）明显DE相交，（4）看图比较水面的面积的变化情况，（5）明显不变．解答：解：对于命题1，由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥B C，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状，（三棱柱、四棱柱、五棱柱）BC为棱柱的一条侧棱，（1）正确，同理（2）也正确；对于命题3，棱DE与水面EFGH相交与点E，（3）错误；对于命题4，当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面的面积可能变大，也可能变小，故4错误对于命题5，当容器倾斜如图（3）所示时，有水部分构成直三棱柱，而水的体积V保持不变，高BC保持不变，则底面三角形的面积BE•BF保持不变，BE•BF是定值，（5）正确的．故答案为：①②⑤点评：本题考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，综合计算能力，逻辑推理能力和空间想象力解本题即可．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知直线l1：2x+（m+1）y﹣2=0；直线l2：mx+y﹣1=0．（Ⅰ）若l1⊥l2求实数m的值．（Ⅱ）若l1∥l2，求实数m的值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：（I）由两条直线垂直的条件，建立关于m的方程，解之可得实数m的值（II）根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，即可得到使l1∥l2的实数m的值．解答：解（1）由 2m+（m+1）×1=0⇒3m+1=0⇒m=﹣…（4分）（2）由已知⇒2﹣（m+1）m=0⇒m2+m﹣2=0⇒m=﹣2或m=1…（6分）当m=﹣2时⇒满足…（8分）当m=1时⇒不满足…（10分）综上m=﹣2 …（12分）点评：本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数m之值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结BD，得EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，由此能证明直线EF∥平面CB1D1．（2）由已知得A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D1，从而CC1⊥B1D1，由此能证明B1D1⊥平面CAA1C1，从而能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．解答：（1）证明：连结BD，在△ABD中，E、F分别为棱AD、AB的中点，故EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，…（2分）又B1D1⊂平面CB1D1，EF不包含于平面CB1D1，所以直线EF∥平面CB1D1．…（6分）（2）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，则A1C1⊥B1D1…（8分）又CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则CC1⊥B1D1，…（10分）又A1C1∩CC1=C1，A1C1⊂平面CAA1C1，CC1⊂平面CAA1C1，所以B1D1⊥平面CAA1C1，又B1D1⊂平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（12分）已知一圆C的圆心为（2，﹣1），且该圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2（Ⅰ）求该圆的方程（Ⅱ）求过点P（4，3）的该圆的切线方程．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆C的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=r2（r＞0），则弦长P=2，由此能求出圆的方程．（Ⅱ）设切线方程为y﹣3=k（x﹣4），由，得k=；当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4．由此能求出圆的切线方程．解答：解：（Ⅰ）设圆C的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=r2（r＞0），则弦长P=2，其中d为圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离，∴P=2=2，∴r2=4，∴圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4…（4分）（Ⅱ）设切线方程为y﹣3=k（x﹣4）由得k=所以切线方程为3x﹣4y=0 …（10分）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4．故圆的切线方程为3x﹣4y=0或x=4．…（12分）点评：本题考查圆的方程与圆的切线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求凸多面体ABCDE的体积．考点：直线与平面垂直的判定；组合几何体的面积、体积问题．专题：证明题；转化思想．分析：（1）根据AE⊥平面CDE的性质可知AE⊥CD，而CD⊥AD，AD∩AE=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥平面ADE，而AB∥CD，，从而AB⊥平面ADE；（2）在Rt△ADE中，求出AE，AD，DE，过点E作EF⊥AD于点F，根据AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，可知EF⊥AB，而AD∩AB=A，从而EF⊥平面ABCD，因AD•EF=AE•DE，可求出EF，又正方形ABCD的面积S ABCD=36，则=，得到结论．解答：（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD．在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．（2）解：在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，∴．过点E作EF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，∴EF⊥AB．∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD．∵AD•EF=AE•DE，∴．又正方形ABCD的面积S ABCD=36，∴=．故所求凸多面体ABCDE的体积为．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（13分）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=，AD=，点F是PB的中点，点E是边BC上的动点．（Ⅰ）求三棱锥E﹣PAD的体积；（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，则V E﹣PAD=V P﹣ADE，运用棱锥的体积公式计算即得；（Ⅱ）运用线面平行的判定定理，即可得证（Ⅲ）由线面垂直的性质和判定定理，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴V E﹣PAD=V P﹣ADE，=；（Ⅱ）EF与平面PAC平行．理由如下：当E为BC中点时，∵F为PB的中点，∴EF∥PC，∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC；（Ⅲ）证明：∵PA=AB，F为PB的中点，∴AF⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，BC⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB∴BC⊥AF．又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，因无论点E在边BC的何处，都有PE⊂平面PBC，∴PE⊥AF．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定和性质定理和运用，考查棱锥的体积公式，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E、F两点，且使三角形S△OEF=2（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），由此能求出圆的方程．（Ⅱ）设N（a，b），由点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称，得N（1，0），当斜率不存在时，直线l方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x﹣1），由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．解答：解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分）与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），…（2分）所以半径所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．…（4分）（Ⅱ）设N（a，b），∵点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称，∴，∴N（1，0）…（5分）注意：若没证明，直接得出结果N（1，0），不扣分．（1）当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，原点到直线的距离为d=1，同时令x=1，代人圆方程得y=﹣4，所以，所以满足题意，此时方程为x=1．…（8分）（2）当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0圆心C（1，﹣4）到直线l的距离，…（9分）设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，在Rt△CDE中，所以，…（10分）而原点到直线的距离为，所以，…（12分）整理得3k2+1=0，不存在这样的实数k．综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）点评：本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．。
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2014-2015学年四川省成都市邛崃市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5分）已知直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．33．（5分）已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．4．（5分）下列判断，正确的是（）A．平行于同一平面的两直线平行B．垂直于同一直线的两直线平行C．垂直于同一平面的两平面平行D．垂直于同一平面的两直线平行5．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0和圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．18．（5分）直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2 B．2 C．D．19．（5分）若α，β，γ表示平面，m，n表示直线，则下列命题中，正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α∥β，m⊂α，则m∥β10．（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若直线x﹣2y+6=0与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|值为．12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是．13．（5分）圆心为（1，2）且与直线5x﹣12y﹣7=0相切的圆的方程为．14．（5分）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为．15．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．三、解答题（共75分）16．（12分）求满足下列条件的直线的方程．（Ⅰ）经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直；（Ⅱ）经过两直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点，且平行于直线4x﹣3y﹣7=0．17．（12分）△ABC的三个顶点分别是A（﹣1，5），B（5，5），C（6，﹣2），求△ABC的外接圆方程．18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB=1，点E、F分别是AB、BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥BD1；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BEF的体积．19．（12分）如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA⊥底面ABCD，点E为VA的中点．（Ⅰ）求证：VC∥平面BED；（Ⅱ）求证：平面VAC⊥平面BED．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m﹣4=0（m∈R）．（Ⅰ）求证：无论m取什么实数，直线l都过定点，并写出这个定点的坐标；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长最短时l的方程．21．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AA1⊥平面A1B1C1，AB=AC=AA1．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1BC1；（Ⅱ）若点D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成角的大小．2014-2015学年四川省成都市邛崃市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k==1，∴直线AB的倾斜角α=45°．故选：B．2．（5分）已知直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴=≠，解得a=﹣6故选：A．3．（5分）已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．【解答】解：直线3x+2y﹣3=0即6x+4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=4．可得它们间的距离为d==，故选：D．4．（5分）下列判断，正确的是（）A．平行于同一平面的两直线平行B．垂直于同一直线的两直线平行C．垂直于同一平面的两平面平行D．垂直于同一平面的两直线平行【解答】解：平行于同一平面的两直线平行，相交、异面，故A不正确；垂直于同一直线的两直线平行平行，相交、异面，故B不正确；垂直于同一平面的两平面平行平行，相交，故C不正确；垂直于同一平面的两直线平行，故D正确；故选：D．5．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：设正方体的边长为1连结：A1C1、C1D，在△A1DC1中，利用边长求得：△A1DC1为等边三角形AC与A1D所在直线所成的角60°故选：C．6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0和圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标为C（1，1），半径r=1，圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=16，圆心坐标为M （4，5），半径R=4，则CM===R+r，故圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0和圆x2+y2﹣8x﹣10y+25=0的位置关系外切．故选：B．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．8．（5分）直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2 B．2 C．D．1【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即∴故选：B．9．（5分）若α，β，γ表示平面，m，n表示直线，则下列命题中，正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α∥β，m⊂α，则m∥β【解答】解：选项A错误，选项B错误，反例：正方体中三个平面共点时；选项C错误，如图中的AC与B1D1，由面面平行的性质可知，选项D正确；故选：D．10．（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若直线x﹣2y+6=0与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|值为．【解答】解：令x=0，则y=3，令y=0，则x=﹣6．故有A（﹣6，0），B（0，3）．故|AB|==．故答案为：．12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设棱长为1，连接BD，直线BD1与平面ABCD所成角为∠D1BD它的正切值：tan∠D1BD===故答案为：．13．（5分）圆心为（1，2）且与直线5x﹣12y﹣7=0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．【解答】解：，所求圆的半径就是圆心（1，2）到直线5x﹣12y﹣7=0的距离：，所以圆的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=414．（5分）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0．【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=015．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．三、解答题（共75分）16．（12分）求满足下列条件的直线的方程．（Ⅰ）经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直；（Ⅱ）经过两直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点，且平行于直线4x﹣3y﹣7=0．【解答】解：（I）∵直线2x+y﹣5=0的斜率为﹣2，由垂直关系可得所求直线的斜率为k=，∴由点斜式得y=（x﹣3），化为一般式可得x﹣2y﹣3=0；（II）联立方程组，解得，即两直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点为（3，2）∴所求直线方程为y﹣2=（x﹣3），化为一般式可得4x﹣3y﹣6=017．（12分）△ABC的三个顶点分别是A（﹣1，5），B（5，5），C（6，﹣2），求△ABC的外接圆方程．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入A，B，C的坐标得：解得：∴△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=018．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB=1，点E、F分别是AB、BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥BD1；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC、BD，AC与BD交于点O．∵DD1⊥AD，DD1⊥AC，AD∩DC=D∴DD1⊥平面ABCD．∴DD1⊥AC，又四边形是正方形，AC⊥BD，BD∩DD1=D∴AC⊥平面BDD1．∴AC⊥BD1∵点E、F分别是AB、BC的中点∴EF∥AC，∴EF⊥BD1，（Ⅱ）解：∵AB=1．BB1⊥平面ABCD，∴BB1是三棱锥B1﹣BEF的高，∵AB⊥BC，E，F，分别是AB，CD的中点．=×BF=，∴S△BEF×BB1=，∴V=S19．（12分）如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA⊥底面ABCD，点E为VA的中点．（Ⅰ）求证：VC∥平面BED；（Ⅱ）求证：平面VAC⊥平面BED．【解答】证明：（Ⅰ）连结OE．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点．又E为VA的中点，∴OE∥VC．…（3分）又VC⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴VC∥平面BED．…（6分）（Ⅱ）∵VA⊥平面ABCD，∴VA⊥BD．…（7分）又AC⊥BD，AC∩VA=A，∴BD⊥平面VAC．…（10分）∵BD⊂平面BED，∴平面VAC⊥平面BED．…（12分）20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m﹣4=0（m∈R）．（Ⅰ）求证：无论m取什么实数，直线l都过定点，并写出这个定点的坐标；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长最短时l的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵直线l的方程等价于（2x+y﹣7）m+x+y﹣4=0（1）．令2x+y﹣7=0，则由x+y﹣4=0∴，解得，∴点（3，1）的坐标使方程（1）恒成立．∴无论m取什么实数，直线l都过定点，定点的坐标为（3，1）．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，直线恒过定点P（3，1）．当x=3，y=1时，（x﹣1）2+（y﹣2）2=（3﹣1）2+（1﹣2）2＜25∴点P在圆C内．由图知，r2﹣d2=．r是定值5．∴当d取最大值时，AB最短．又l⊥CP时，d取最大值．此时k CP=﹣，k l=2．∴l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．21．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AA1⊥平面A1B1C1，AB=AC=AA1．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1BC1；（Ⅱ）若点D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1．又A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1∴A1C1⊥平面AA1B1B．∴A1C1⊥AB1又四边形AA1B1B是正方形，AB1⊥A1B，A1B∩A1C1=A1∴AB1⊥平面A1BC1．（Ⅱ）设AB1∩BA1=O，连结AC1，∵AB=AC=AA1=a，A1C1⊥A1B1，AA1⊥平面A1B1C1，∴△AB1C1是正三角形，∵AD，C1O是△AB1C1的中线，∴AD，C1O的交点G为△AB1C1的重心，∴∠AGO是AD与平面A1BC1所成角，在Rt△AOG中，AG=AD=AB，AO=AB，∴sin∠AGO=，∴∠AGO=60°，即AD与平面A1BC1所成角为60°．。