2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学模拟测试(四)试题(解析版)

5．若 的展开式中 的系数为-45，则实数 的值为（ ）
A． B．2C． D．
【答案】D
【解析】将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得 的值.
【详解】
∵
所以展开式中 的系数为 ，
∴解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.
6．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得 的值，即可比较各选项.
【详解】
如下图所示， 平面 ，从而 平面 ，
易知 与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，且 与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴ ，
∴结合四个选项可知，只有 正确.
（2）根据（1）中 的值可求得 和 ，进而可得 ，由三角形面积公式即可求解.
【详解】
（1）由 ，得 ，
由正弦定理将边化为角可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，化简可得 ，
∴解得 .
（2）∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用，三角形面积公式求法，属于基础题.
易得 ，
则几何体 的外接球的球心为 ，半径 ，
所以几何体 的外接球的体积为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数 存在，求 的值；若不存在，说明理由.
3．已知 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
【答案】C
【解析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得 的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
4．“ ”是“函数 （ 为常数）为幂函数”的（ ）
14．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为 三组，其人数之比为 ，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ，则该部门员工总人数为__________.
【答案】60
【解析】根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数.
【详解】
∵ 是函数 的一条对称轴，
∴ ，
令 ，得 ，即 ，解得 ，
∴将 代入可得 ，
又∵函数 在区间 上具有单调性，
∴ 的最大值为 ，
且 ，
∴ 和 两点关于函数 图象的一条对称轴对称，
∴ （ ）
∴ （ ），当 时， 的最小值为 .
∴A，C，D项正确，B项错误.
综上可知，正确的为ACD，
故选：ACD.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】根据幂函数定义，求得 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数 为幂函数时， ，
解得 或 ，
∴“ ”是“函数 为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
A． B．三棱锥 的体积为6
C．直线 与平面 的夹角是45°D．
【答案】AD
【解析】根据面面平行的性质，可判断A；由所给线段关系，结合三棱锥体积公式即可求得 即可判断B；根据线面平行关系，可知直线 与平面 所成的角为 ，利用 即可判断C；根据线段关系分别求得 ， ，即可判断D.
【详解】
对于A选项，由于平面 平面 ，而平面 与这两个平面分别交于 和 ，根据面面平行的性质定理可知 ，故A选项判断正确；
A．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B．支出最高值与支出最低值的比是
C．第三季度平均收入为5000元
D．利润最高的月份是3月份和10月份
【答案】ACD
【解析】根据折线图，分别求得4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率即可判断A；由折线图得最高值与最低值即可判断B；由表可得7，8，9月每个月的收入，计算得平均值即可判断C；从表中可计算出利润最高与最低，可判断D.
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学模拟测试（四）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据对数性质可知 ，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵ ，
集合 ，
∴由交集运算可得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
12．已知函数 的一条对称轴为 ，函数 在区间 上具有单调性，且 ，则下述四个结论正确的是（ ）
A．实数 的值为1
B． 和 两点关于函数 图象的一条对称轴对称
C． 的最大值为
D． 的最小值为
【答案】ACD
【解析】根据函数关于 对称，可得 ，利用特殊值 ，代入即可求得 的值；由辅助角公式化简三角函数式，即可由在区间 上具有单调性确定周期最大值；由 结合函数的对称性即可判断B，并由对称性判断 的最值即可判断D.
A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
【答案】AD
【解析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的 和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确.
【详解】
设该椭圆的半长轴长为 ，半焦距长为 .
依题意可得月球半径约为 ，
2．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点的坐标为 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.
【详解】
在复平面内对应的点的坐标为 ，则 ，
，
∵ ，
代入可得 ，
解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.
∴ ，
∴当 时，满足 成立.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.
18．已知在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）将 代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将 及 代入，即可求得 的值；
【详解】
函数 ， ，
由题意得 ，
即 ，
令 ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，而 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
∴ ，
∴ .
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
二、多选题
9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）
故选：A.
【点睛】
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
8．已知函数 ， ，若存在实数 ，使 成立，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据实数 满足的等量关系，代入后将方程变形 ，构造函数 ，并由导函数求得 的最大值；由基本不等式可求得 的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数 的取值范围.
则 ，即 ，
∵ ， ，
，
当 时，等号成立，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【点】
本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题.
16．如图，在矩形 中， ， 是 的中点，将 ， 分别沿 折起，使得平面 平面 ，平面 平面 ，则所得几何体 的外接球的体积为__________.
【详解】
∵在等差数列 中， ，
∴ ，
∴公差 ，
∴ ，
∴ ，
若存在正整数 ，使得 成立，即 成立，设正数等比数列的公比为 的公比为 ，
若选①，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，满足 成立.
若选②，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 方程无正整数解，
∴不存在正整数 使得 成立.
若选③，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴解得 或 （舍去），
，
，
， ， ，
椭圆的离心率约为 ，
可得结论A、D项正确，B项错误；
因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.
综上可知，正确的为AD，
故选：AD.
【点睛】
本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.
11．如图，已知正方体 的棱长为2， 为棱 的中点， 为棱 上的点，且满足 ，点 为过三点 的平面 与正方体 的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）
【详解】
对于A选项，4至5月份的收入的变化率为 ，11至12月份的变化率为 ，因而两个变化率相同，所以A项正确.
对于B选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是 ，故B项错误.