北师大八年级数学上册7.1《为什么要证明》课件.ppt
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第1节 为什么要证明
例 4：观察下列关于自然数的等式： (1)32－4×12＝5 ① (2)52－4×22＝9 ② (3)72－4×32＝13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；
(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)，并验证其正确性．
解：(1)4,17 (2)第 n 个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝ 右边，∴第 n 个等式成立．
练习：下列问题你不能肯定的是( D )
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积的大小关系 B．三角形的内角和 C．八边形的外角和 D．三角形与矩形的面积关系
课程导入2：
代数式n2＋ n＋41的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4， 5试一试，你能否 由此得到结论：对于所有自然数n2＋ n＋41的值都是质数？与同伴进行交流.
2.在学习中，小明发现：当 n＝1,2,3 时，n2－6n 的值都是负数，于是小明猜想：当 n 为 任意正整数时，n2－6n 的值都是负数，小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不正确．理由为：当 n＝6 时，n2－6n＝62－6×6＝0；当 n＞ 6 时，n2－6n＝n(n－6)＞0.
练习：观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …
请猜测，第 n 个算式(n 为正整数)应表示为 100n(n－1)＋25 .
证明的必要性
1.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是不够的，
解：小明的猜想正确，理由：因为 n 为奇数，所以可设 n＝2k+1（k 为自然数）， 所以 n2﹣1＝（2k+1）2﹣1＝（2k+1+1）（2k+1﹣1）＝（2k+2）×2k＝4k（k+1）， 因为 k 为自然数，所以 k，k+1 是相邻的自然数， 所以 k，k+1 中必有一个是偶数，一个是奇数，所以 k（k+1）必定是 2 的倍数， 所以 4k（k+1）必定是 8 的倍数，故当 n 为任意正奇数时， n2﹣1 的值一定是 8 的倍数．
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1、在困境中时刻把握好的机遇的才能 。我在 想，假 如这个 打算是 我往履 行那结 果必定 失败， 由于我 在作决 策以前 会把患 上失的 因素斟 酌患上 太多。
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图3
图4
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北师大版八年级上册数学《7.1 为什么要证明》课件
3 8
3
5
A
3
5
H
8 3
5
E
G
5
3
3 5
8
B
F
5
计算有助于我们发现本质
5
D
5
C
北师大版八年级上册数学《7.1 为什么要证明》课件
1920年， 挪威数学家布朗证明了“9+9” 1924年， 德国数学家拉代马哈证明了“7+7” 1932年， 英国数学家埃斯特曼证明了“6+6” 1938年， 苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5” 1940年， 苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”
1938年， 中国数学家华罗庚证明了几乎所有偶数“1+1”成立 1956年， 中国数学家王元证明了“3+4” 1957年， 中国数学家王元又证明了“2+3” 1963年， 中国数学家王元、潘承洞及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”
第7章 平行线的证明
§7.1 为什么要证明
7.1为什么要证明-八年级上册初二数学(北师大版)
在上完“7.1为什么要证明”这节课后，我进行了深入的反思。首先，我发现学生在理解证明的必要性方面存在一定难度。在导入新课环节，虽然我通过日常生活中的例子来引导学生思考，但部分学生仍然难以将这种思维迁移到数学学习中。因此，我考虑在后续的教学中，是否可以加入更多数学历史的故事，让学生了解证明在数学发展中的重要作用，从而提高他们对证明必要性的认识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“7.1为什么要证明”。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明某件事情的情况？”比如，你需要向朋友证明你的观点是正确的。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索证明的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“证明在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.数学建模：培养学生运用所学证明方法解决实际问题的能力，提高学生将现实问题转化为数学问题的建模素养，激发学生的创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解证明的必要性和重要性：向学生阐述证明在数学学习中的核心地位，强调证明对于建立数学理论体系的关键作用。
-掌握基本的证明方法：直接证明、反证法、归纳法等，并通过实例让学生感受这些方法在实际证明中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调证明的必要性和基本证明方法这两个重点。对于难点部分，如反证法和归纳法，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
北师大版八年级数学上册第七章 为什么要证明
【题型二】数学中的推理验证
例2：在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是 负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负 数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：不正确．理由：当n＝6时，n2－6n＝0，所以当n为任意正 整数时，n2－6n的值不一定为负数，所以小明的猜想不正确．
生活中的图片
彭罗斯楼梯
莫比乌斯环
克莱因瓶
视频导入
大家看 到的这 些魔术 是真实 发生的 吗？
眼见不一定为实，遇见问题需要证明
1.请同学们阅读课本162－163页． 2．观察课本162页的图片，完成下列问题.
①图7－1中两条线段a与b的长度相等吗？ 请你先观察， 再测量一下． 结论：a与b 的长度__相_等_____． ②图7－2中的四边形是正方形吗？ 将它四个角的度数，四条边的长度测量出来： _四__个__角__都_是__9_0_°_，__四__条_边__都__是__1_.7__c_m______________. 图7－2中的四边形__是__(填“是”或“不是”)正方形．
例4：如图所示，把一根细长的绳子沿中间对折，再将对折后的绳子沿 中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀将5次对折后的绳子从中 间全部剪断，此时细绳被剪成____3_3___段．
【题型三】实际生活中的推理验证
例5：甲、乙、丙、丁四人的车的颜色分别是白色、银色、蓝色和红色的其 中一种，且互不相同．在问他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白 色的．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说： “甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实
1 为什么要证明
1. 通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，使学 生对由这些方法得到的结论产生怀疑，从而认识到证明 的必要性，发展推理能力．
北师大版八年级数学上册 7.1 为什么要证明 课件(共20张PPT)
期中考试3
课题学习
成绩（分）
88
70
98
86
90
87
（1） 计算小华该学期的数学平时平均成绩；
解： （分）.故小华该学期的数学平时平均成绩为85.5分.
（2） 如果该学期的数学总评成绩是根据平时平均成绩占 ,期中成绩占 ，期末成绩占 计算，请计算出小华该学期的数学总评成绩.
第一节 为什么要证明
第七章 平行线的证明
1．体会通过观察、猜测、实验、归纳得到的结论未必可靠，感受证明的必要性；2．体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等.
我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。
通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？
2.4cm
(2)如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形)能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
11
13
17
23
31
41
53
67
83
101
121
是
不是
∴对于所有自然数n， n2-n+11的值不一定是质数.
举出反例
当n为正整数时，n2+3n+1的值总是质数吗？
n
1
2
3
4
5
6
…
n2+3n+1
…
是否是质数
5
11
29
41
55
19
是
不是
∴当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数.
（2）如图，在△ABC中，点D,E分别AB,AC的中点，连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴进行交流。
北师大版初中数学八年级(上)备课资料7-1 为什么要证明
第七章平行线的证明1为什么要证明典型例题题型一实验验证结论例1观察，再验证.(1)图1①中黑色的边是直的还是弯曲的？(2)图1②中两条线段a与b，哪一条更长？①②图1分析：先观察得出结论，再实验验证.解：对于(1)题，直接观察图1①可能得出结论：黑色的边是弯曲的.但实际上，黑色的边是直的.对于(2)题，直接观察图1②可能得出结论：线段b比线段a短.但实际上，这两条线段同样长.点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证.例2在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n 为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.分析：因为n2-6n＝n(n-6)，所以只要n≥6，该式子的值都表示非负数，所以猜想不正确.解：(方法1：利用反例证明)不正确.理由：例如当n＝7时，n2-6n＝7>0.(方法2)不正确.理由：n2-6n＝n(n-6)，当n≥6时，n2-6n≥0.特别提示：通过此题可说明一点：学生在解答问题时不能太片面，而要全面考虑问题.题型二推理的应用1.图形中的推理例3如图2所示，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成段.图2点拨：从简单、特殊的情况入手，运用比较、归纳的方法，探究内在的规律.2.数学式子中的推理例4观察下列关于自然数的等式：①1×7+2×9＝52；②2×8+2×10＝62；③3×9+2×11＝72；…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第4个等式；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.解题关键：观察等式左右两边的数字变化情况，找出每个式子与序号之间的关系.解：(1)根据题意得，第4个等式为4×10+2×12＝82.(2)猜想的第n个等式为n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.验证：左边＝n(n+6)+2(n+8)＝n2+6n+2n+16＝n2+8n+42＝(n+4)2＝右边，所以n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.3.假设论证例5甲、乙、丙、丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色.在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色的.”乙说：“丙的车是红色的.”丙说：“丁的车不是蓝色的.”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是()A.甲的车是白色的，乙的车是银色的B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的D.丁的车是银色的，甲的车是红色的解析：∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，假设乙的车是红色的，∴乙说的是实话，∴丙的车也是红色的，和只有一个人的车是红色的矛盾.假设丙的车是红色的，∴丙说的是实话，而乙说“丙的车是红色的”，∴乙说的是实话，∴有两人说的是实话，与只有一个人说的是实话矛盾，∴只有甲的车是红色的.∴甲说的是实话，丙说的不是实话.∵丙说：“丁的车不是蓝色的”，∴丁的车是蓝色的，∴乙和丙的车一个是白色的，一个是银色的.∵甲说：“乙的车不是白色”，且甲说的是实话，∴丙的车是白色的，乙的车是银色的.综上，甲的车是红色的，乙的车是银色的，丙的车是白色的，丁的车是蓝色的.答案：C4.推理论证例6某球赛小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是()A.甲B.甲与丁C.丙D.丙与丁解析：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分为5分，1胜2平，丙得分为3分，1胜0平，丁得分为1分，0胜1平.∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平.∵丙得3分，1胜0平，乙得5分，1胜2平，∴与乙打平的球队是甲与丁.答案：B拓展资源哥德巴赫猜想两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和.”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’.”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想.同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的.”这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想.完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和.后来，人们把它归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和.人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念.所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数.我们知道，除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数，都叫做这个正整数的素因子.相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的数.例如，从25~30这六个数中，25＝5×5有2个素因子，26＝2×13有2个素因子，27＝3×3×3有3个素因子，28＝2×2×7有3个素因子，29是素数有1个素因子，30＝2×3×5有3个素因子.于是可说25，26，29是素因子不超过2的殆素数，27，28，30是素因子不超过3的殆素数.用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A.命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和.这个命题简化为“m+n”.这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了：如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”.当然如果能证明“1+1”就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴赫猜想了.1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”.1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7+7”.1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”.1938年，苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”.1938年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即几乎所有偶数“1+1”成立.1940年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”.1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一个很大的自然数.1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，稍后证明了“3+3”和“2+3”.1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”.1957年，中国数学家王元又证明了“2+3”.1962年，中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5.1962年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”.1963年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”.1965年，维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”.1965年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”.1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”.。
八上数学(北师大)课件-为什么要证明
8．如图，甲、乙两只小虫从 A 点同时出发，甲虫沿着大的半圆爬行，乙虫 沿着内部的三个半圆爬行，如果两虫爬行的速度相同，则先到达 B 点的虫 子是( B )
A．甲 C．乙
B．同时到达 D．不能确定
9．(扬州中考)在一列数：a1，a2，a3，…an 中，a1＝3，a2＝7，从第三个数
开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中第 2017
13．我们知道：12＝1,22＝4,32＝9,42＝16，…若一个数是整数的平方，则称 这个数是完全平方数，任何完全平方数的个位数只能是 0,1,4,5,6,9 中的一 个，即个位数是 2,3,7,8 的整数肯定不是完全平方数．请问：不论 a、b 为怎 样的整数，15a－35b＋3 都是一个完全平方数吗？说明理由． 解：不是．因为 a、b 均为整数，所以 15a－35b＝5(3a－7b)必是 5 的倍数， 末位数字只能是 0 或 5，因此 5(3a－7b)＋3 的末位数字只能是 3 或 8，故 15a －35b＋3 不可能是完全平方数．
知识点一：证明的必要性
1．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是( D )
A．只需观察得出
B．只需依靠经验获得
C．通过亲自实验得出
D．必须进行有根据的推理
2．下列结论你能肯定的是( D )
A．今天阴天，明天必然下雨
B．两张照片看起来特别像，则肯定所照的是同一个人
C．乐乐在演讲比赛中一定能得到一等奖
个数是( B ) A．1
B．3
C．7
D．9
10．(日照中考)观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律 得出 a 的值为( B )
A．23 C．77
B．75 D．139
7.1 为什么要证明-北师大版八年级上册数学作业课件(共15张PPT)
A．若a＝10 cm，b＝10 cm，则a＝b A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解：(2n＋1)2－25＝4n2＋4n＋1－25＝4n2＋4n－
C．300人一定没有两人生日相同 9．警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中有一人是主谋，经过审讯，A，B，C三名警察各自得出结论．A：主谋
只有可能是甲或乙；
5．下列推理正确的是( A ) A．若a＞b，b＞c，则a＞c B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c C．因为∠AOB＝∠BOC，所以两角是对顶角 D．因为两个三角形的面积相等，所以它们全等
知识点二 检验数学结论的常用方法
12．设n为整数，试说明：(2n＋1)2－25能被4整除．
B．观察得到了五边形有五个内角 A．若甲对，则乙对
A．甲
B．乙
B．若乙对，则甲对
C．丙
D．丁
A．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．物理老师告诉了我们许多关于“引力波” 12．设n为整数，试说明：(2n＋1)2－25能被4整除．
6．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说： “只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两 项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的 说法，下列四种说法中正确的是( B ) A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对 C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
解析：若甲对，即只参加一项的人数大于14 人，假设只参加一项的人数是15人，则两项 都参加的人数为5人，故乙错．若乙对，即 两项都参加的人数小于5人，则两项都参加 的人数至多为4人，此时只参加一项的人数 至少为16人，故甲对．故选B.
八年级数学上册课件：7.1为什么要证明(共24张PPT)
的中间将绳子全部剪断,此时细绳被剪成
段.
答案 33 解析 根据题意列表如下:
故当对折5次时,剪断后的段数为25+1=33.
1 为什么要证明
填空题 (2018河北保定长城中学月考,19,★★☆)(1)观察下列图形与等式的关 系(如图7-1-2),并填空:
图7-1-2
1 为什么要证明
(2)观察图7-1-3,根据(1)中的结论,计算图中黑球的个数,用含有n的代数
按照前面的规律,则(a+b)5=
图7-1-4 .
答案 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
解析 观察图形,可知(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5.
1 为什么要证明
2.某参观团依据下列约束条件,从A、B、C、D、E五个地方中选定参 观地点: ①A、B两地都去或都不去; ②D、E两地至少去一处; ③B、C两地只去一处; ④C、D两地都去或都不去; ⑤如果去E地,那么A、D两地也必须去. 依据上述条件,你认为该参观团能去哪些地方参观?
n
n
证明: n 1×(n+1)= n2 2n 1 = (n 1) (n2 n) = n 1+n+1.
n
n
n
n
1 为什么要证明
如图所示,两个图中间的圆分别是圆A和圆B.小明通过观察,认为圆A 大于圆B,他的判断正确吗?若不正确,试说明理由.
解析 小明的判断不正确.借助圆规或刻度尺可知两圆的半径或直径相 等,故两圆一样大,小明的判断不正确.
1 为什么要证明
题型 通过观察与推理论证解决规律性问题 例 观察各式规律: 12+(1×2)2+22=(1×2+1)2; 22+(2×3)2+32=(2×3+1)2; 32+(3×4)2+42=(3×4+1)2; …… 写出第2 018行的式子,第n行的式子,并验证你的结论.
初中数学北师大版八年级上册1 为什么要证明
都是质数
当n=5时，
22n 1
= 4294967297=641×6700417
合数
如图，在三角形ABC中，点D、E分别是AB,AC的中
点，连接DE.DE与BC有怎样的数量关系和位置关系？
请先猜一猜再设法验三角形都成立吗？
A
A
A
D
E
D
E
D
EB
C
B
CB
n2-n+11
11 11 13 17 23 41 53 67 83 101121
是否为质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 否
对于所有自然数n，代数式 n2-n+11的值都是质数吗？
费马 欧拉
当n=0，1，2，3，4时，
22n 1 = 3，5，17，257，65537
对于所有自
然数n，22n 1
为什么要证明
教师：张晶晶 单位：达川中学
这几条边是直的还是弯的？
中间的两个圆一样大吗？
中间的是正方形吗？
a
a bc
b d
线段a与线段b哪个 谁与线段d在
比较长？
一条直线上？
a
b
a=b
a bc
d
b和d在一条直线上
当n=0,1,2,3,4,5,时代数式n2-n+11的值是质数吗？
合
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数
C
结论： DE=1/2BC DE//BC
知识扩展：三角形中位线等于第三边的一半
且平行于第三边
假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将 地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间 隙能有多大（把地球看成球形）？