2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.2指数函数二课件新人教B版

解答
(2)y＝0.21x－1. 解 已知函数的定义域为{x|x≠0}. 设 y＝u－1 1，u＝0.2x，易知 u＝0.2x 为减函数. 而根据y＝ 1 的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减
u－1 函数， ∴原函数的增区间为(－∞，1)和(1，＋∞).
解答
当堂训练
1
1
1
思考
y＝12
1 x
的定义域与
y＝1x的定义域是什么关系？y＝12
1 x
的单调性
与 y＝1x的单调性有什么关系？
答案
梳理
形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 相同 的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 相同 的 单 调 性 ； 当 0<a<1 时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反 .
单调递增.
令12x≤4，得 x≥－2. ∴当－2≤x1<x2 时，4≥12 x1 >12 x2 ，
即 4≥t1>t2，∴t21－8t1＋17<t22－8t2＋17.
∴y＝122x－8·21x＋17 的单调增区间是[－2，＋∞).
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
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解析 答案
5.若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝
5±1 ___2_____. 解析 若0<a<1，则a－1－a＝1，即a2＋a－1＝0，
－1＋ 5
－1－ 5
解得 a＝ 2 或 a＝ 2 (舍去).
若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，
2.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需
分0<a<1和a>1两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y
＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.
3.(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1. 当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同. 当0<a<1时，y＝af(x)与f(x)单调性相反. (2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间， 其中u＝ax.
解答
(3)1.70.3,0.83.1. 解 ∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.
解答
反思与感悟
当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量， 常用的中间量有0和±1.
跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小. (1)0.8－0.1,1.250.2； 解 ∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数. ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1， 即0.8－0.1＜1.250.2.
∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0].
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解析 答案
4.设0＜a＜1，则关于x的不等式
a ＞a 2x2－3x＋2
2x2＋2x－3
的解集为(_1_，__＋__∞__).
解析 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵
a ＞a ， 2x2－3x＋2
2x2＋2x－3
解答
(2)π1－π，1. 解 ∵0＜1π＜1，∴函数 y＝π1x 在 R 上是减函数. 又∵－π＜0，∴1π－π＞1π0＝1， 即1π－π＞1.
解答
命题角度2 解指数不等式 例3 解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1). 解 (1)当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. (2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a>1时，不等式 的解集为{x|x≤－6}.
解答
反思与感悟
(1)af(x)＝b型通常化为同底来解. (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转 化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.
跟踪训练1 解下列方程. (1)33x－2＝81； 解 ∵81＝34，∴33x－2＝34， ∴3x－2＝4，解得x＝2. (2) 5x＝3 25；
1＋ 5
1－ 5
解得 a＝ 2 或 a＝ 2 (舍去).
综上所述 a＝
5±1 2.
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解析 答案
1.比较两个指数式值的大小的主要方法
规律与方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则
am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn.
解答
(2)1.70.3,1.50.3； 解 方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x 的图象的上方. 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 方法二 ∵1.50.3＞0，且11..7500..33＝11..750.3， 又11..75＞1,0.3＞0，∴11..570.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.
同理可得减区间是(－∞，－2].
解答
反思与感悟
复 合 函 数 单 调 性 问 题 归 根 结 底 是 由 x1<x2 到 f(x1) 与 f(x2) 的 大 小 ， 再 到 g(f(x1))与g(f(x2))的大小关系问题.
跟踪训练4 求下列函数的单调区间.
(1)y＝ a x2＋2x－3 ；
解 设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数. 当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数， ∴当a>1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为(－1，＋∞).
第三章 §3.1 指数与指数函数
3.1.2 指数函数(二)
学习目标
1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的 求法及单调性的判断. 2.能借助指数函数性质比较大小. 3.会解简单的指数方程、不等式. 4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点三 解指数方程、不等式
思考
若 a x1＜ ax2，则x1，x2的大小关系如何？ 答案 当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]， 则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2). 所以，当0＜a＜1时，ax1 ＜ax2 ⇔x1＞x2， 当a＞1时，a x1 ＜ax2 ⇔x1＜x2. 此原理可用于解指数方程、不等式.
∴y＝12 x2－6x＋17 在[3，＋∞)上是减函数.
∴y＝12 x2－6x＋17 的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞).
解答
(2)求函数 y＝212x－8·12x＋17 的单调区间. 解 设 t＝21x，又 y＝t2－8t＋17 在(－∞，4]上单调递减，在[4，＋∞)上
题型探究
类型一 解指数方程 例1 解下列关于x的方程： (1)81×32x＝19x＋2； 解 ∵81×32x＝19x＋2， ∴32x＋4＝3－2(x＋2)， ∴2x＋4＝－2(x＋2)， ∴x＝－2.
解答
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0. 解 ∵22x＋2＋3×2x－1＝0， ∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0. 令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0， 解得 t＝14或 t＝－1(舍去). ∴2x＝14，解得 x＝－2.
答案
梳理
简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 单调性求解； (2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助 y＝ax的 单调性 求解； (3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.
知识点四 与指数函数复合的函数单调性
本课结束
x2
解 ∵ 5x＝3 25，∴ 52＝53， ∴x2＝23，解得 x＝43.
解答
(3)52x－6×5x＋5＝0. 解 令t＝5x，则t>0， 原方程可化为t2－6t＋5＝0， 解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1， ∴x＝1或x＝0.
解答
类型二 指数函数单调性的应用
命题角度1 比较大小 例2 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.7－2.5,1.7－3； 解 ∵1.7＞1， ∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数. ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
解答
反思与感悟
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性 化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.
跟踪训练3 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是_(_12_，__＋__∞__). 解析 ∵a2＋a＋2＝(a＋21)2＋74>1， ∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>21. ∴x∈(12，＋∞).
解析 答案
命题角度3 与指数函数复合的单调性问题
例4 (1)求函数y＝ 1 x2－6x＋17 的单调区间； 2
解 y＝12 x2－6x＋17 的定义域为 R. 在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，