2018山东省莱芜市中考数学试卷(含答案解析版)
2018年山东省莱芜市中考数学试卷
数学试卷 第1页（共8页） 数学试卷 第2页（共8页）绝密★启用前山东省莱芜市2018年初中学业水平考试数 学（考试时间120分钟，满分120分）第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.2-的绝对值是（ ）A.2-B.12-C.12D.22.经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为 （ ）A.714.710⨯B.71.4710⨯C.81.4710⨯D.90.14710⨯ 3.无理数3在（ ）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间4.下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）ABCD 5.若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A.2x x y+-B.22y xC.2223y xD.()222y x y -6.对于这组数据，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是92B ．中位数是92C ．众数是92D ．极差是67.已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为 （ ）A.260π cm B.265π cm C.2120π cm D.2130π cm8.在平面直角坐标系中，已知ABC △为等腰直角三角形，5CB CA ==，点03C （，），点B 在x 轴正半轴上，点A 在第三象限，且在反比例函数ky x=的图象上，则k =（ ） A.3B.4C.6D.129.如图，AB CD ∥，61BED ∠=︒，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则DFB ∠=（ ）A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°10.函数220y ax ax m a =++（＜）的图象过点20（，），则使函数值0y ＜成立的x 的取值范围是（ ）A ．4x <-或2x >B ．42x <<-毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------C．0x<或2x>D．02x＜＜11.如图，边长为2的正ABC△的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记ABC△夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A B C D12.如图，在矩形ABCD中，ADC∠的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，90BFE∠=︒，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE BC=；②AF CF=；③2BF FG FC=⋅；④EG AE BG AB⋅=⋅其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.计算：03.142cos60π-+︒=（）.14.已知1x，2x是方程22310x x-=-的两根，则2212x x+=.15.如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是.16.如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，»AE、»DE的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为.17.如图，若ABC△内一点P满足PAC PCB PBA∠=∠=∠，则称点P为ABC△的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知ABC△中，CA CB=，120ACB∠=︒，P为ABC△的布罗卡尔点，若PA=PB PC+=.三、解答题（本大题共7小题，共64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分6分）18.先化简，再求值：233111a aa aa-⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭，其中1a+．（本小题满分8分）19.我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A非常了解、B了解、C了解较少、D不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图（不完整）．请根据图中信息，解答下列问题：数学试卷第3页（共8页）数学试卷第4页（共8页）数学试卷 第5页（共8页） 数学试卷 第6页（共8页）（1）此次共调查了 名学生；（2）扇形统计图中D 所在扇形的圆心角为 ； （3）将上面的条形统计图补充完整；（4）若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数．（本小题满分9分）20.在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB 的长是0.8 m ，A端到地面的距离AC 是4 m ，支架AB 与灯柱AC 的夹角为65︒．小明在水池的外沿D 测得支架B 端的仰角是45︒，在水池的内沿E 测得支架A 端的仰角是50︒（点C 、E 、D 在同一直线上），求小水池的宽DE ．（结果精确到0.1 m ）（sin650.9︒≈，cos650.4︒≈，tan50 1.2︒≈）（本小题满分9分）21.已知ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转一个角度090︒︒（＜＜）αα得到'AD E '△，连接BD '、CE '，如图1．（1）求证：'BD CE '=；（2）如图2，当60α=︒时，设AB 与D E ''交于点F ，求BFFA值．（本小题满分10分）22.快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1 200件和1 000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8 300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共8页） 数学试卷 第8页（共8页）（本小题满分10分）23.如图，已知A 、B 是O e 上两点，OAB △外角的平分线交O e 于另一点C ，CD AB ⊥交AB 的延长线于D ． （1）求证：CD 是O e 的切线；（2）E 为AB 的中点，F 为O e 上一点，EF 交AB 于G ，若3t a n 4AFE ∠=，BE BG =，EG =O e 的半径．（本小题满分12分）24.如图，抛物线2y ax bx c =++经过()A 10﹣，，B 40（，），C 03（，）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE BC ⊥于E ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得CDE △中有一个角与CFO ∠相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．。
2018年山东省莱芜市中考数学试卷-答案
2018年山东省莱芜市初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】D【解析】解：20﹣＜,()222∴-=--=．故选：D ．【考点】绝对值2.【答案】C【解析】1.47亿用科学记数法表示为81.4710⨯．【考点】科学计数法表示较大的数3.【答案】B【解析】解：211=,67∴,∴无理数3-在3和4之间．故选：B ．【考点】估算无理数的大小．4.【答案】C【解析】解：A.是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项错误；B.不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误；C.既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项正确；D.不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误．故选：C ．【考点】轴对称图形，中心对称图形 5.【答案】D【解析】解：根据分式的基本性质,可知若x ,y 的值均扩大为原来的3倍,A.23233x x x y x y ++≠--,错误；B ．22629y y x x ≠,错误；C.3322542273y y x x ≠,错误；D.()()22221829y y x y x y =--,错误．故选：C ．【考点】方程与不等式6.【答案】A【解析】A ．平均数为89490692894595727674685730⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++,符合题意；B.中位数是9292922+=,不符合题意；C.众数为92,不符合题意；D.极差为95896-=,不符合题意；故选A ．【考点】加权平均数，中位数，众数，极差7.【答案】B【解析】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10 cm ,即底面圆的半径为5 cm ,圆锥的高为12 cm ,所以圆锥的母线长13==,所以这个圆锥的侧面积()212π513=65πcm 2=⋅⋅⋅．故选：B ． 【考点】圆锥的计算，由三视图判断几何体．8.【答案】A【解析】解：如图,作AH y ⊥轴于H ．CA CB =,AHC BOC ∠=∠,ACH CBO ∠=∠,ACH CBO ∴△≌△,AH OC ∴=,CH OB =,()0,3C ,5BC =,3OC ∴=,4OB ,4CH OB ∴==,3AH OC ==,1OH ∴=,()3,1A ∴--,点A 在k y x=上, 3k ∴=,故选：A ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形9.【答案】B【解析】解：如图,过点E 作EG AB ∥,AB CD ∥,AB CD GE ∴∥∥,180ABE BEG ∴∠+∠=︒,180GED EDC ∠+∠=︒,360ABE CDE BED ∴∠+∠+∠=︒；又61BED ∠=︒,299ABE CDE ∴∠+∠=︒．ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ,()1149.52FBE EDF ABE CDE ∴∠+∠=∠+∠=︒, 四边形的BFDE 的内角和为360︒,360149.561149.5BFD ∴∠=︒︒︒=︒--．故选：B ．【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，四边形内角和10.【答案】A【解析】解：抛物线22y ax ax m =++得对称轴为直线212a x a-==-, 而抛物线与x 轴的一个交点坐标为()20，, ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()40﹣，,0a ＜,∴抛物线开口向下,∴当4x -＜或2x ＞时,0y ＜；故选：A ．【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点11.【答案】B【解析】本题考查了根据几何图形中的等量关系确定函数的表达式及根据函数表达式确定函数对应的图象,根据题意可分为三种情况：①当01t ≤＜时,212s t ==.②当12t ≤＜时,())())211121122222s t t t t =⨯-----=+.③当23t ≤≤时,()))213332s t t t =⋅---． s ∴关于t 的函数图象大致如图B 所示．【考点】动点问题的函数图象．12.【答案】C【解析】解：①DE 平分ADC ∠,ADC ∠为直角,190452ADE ∴∠=⨯︒=︒,∴ADE △为直角三角形 AD AE ∴=,又四边形ABCD 为矩形, AD BC ∴=,AE BC ∴=②90BFE ∠=︒,45BFE AED ∠=∠=︒,BFE ∴△为等腰直角三角形,∴则有EF BF =又135AEF DFB ABF ∠=∠+∠=︒,135CBF ABC ABF ∠=∠+∠=︒,AEF CBF ∴∠=∠在AEF △和CBF △中,AE BC =,AEF CBF ∠=∠,EF BF =,AEF CBF SAS ∴△≌△（）,AF CF ∴=,③假设2BF FG FC =⋅,则FBG FCB △∽△,45FBG FCB ∴∠=∠=︒,45ACF ∠=︒,90ACB ∴∠=︒,显然不可能,故③错误,④18090BGF CGB DAF EAF ∠=︒∠∠=︒+∠-，,()9090180AGF AGF =︒+︒∠=︒∠--,AGF BGC ∠=∠,DAF BGF ∴∠=∠,45ADF FBG ∠=∠=︒,ADF GBF ∴△∽△,AD EG DF BG BF EF∴==, EG CD ∥,EF EG EG DF CD AB ∴== AD EG BG AB∴=,AD AE =,EG AE BG AB ∴⋅=⋅,故④正确,故选：C ．【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2 【解析】原式1121122=+⨯=+=,故答案为：2． 24(2)(2)x x x -=+-．故答案为：(2)(2)x x +-【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值14.【答案】134【解析】解：1x 、2x 是方程22310x x =--的两根, 12123122x x x x ∴+=⋅=﹣, ()2221212121324x x x x x x ∴+=+-=,故答案为：134． 【考点】根与系数的关系15.【答案】2【解析】解：设正三角形的边长为a ,则212a 解得a =则图中阴影部分的面积22-=．故答案是：2．【考点】二次根式的应用16.【答案】32a 【解析】解：如图,作DE 的中垂线交CD 于G ,则G 为DE 的圆心,同理可得,H 为AE 的圆心,连接EF ,GH ,交于点O ,连接GF ,FH ,HE ,EG ,设GE GD x ==,则2CG ax =﹣,CE a =,Rt CEG △中,()2222a x a x +=-,解得54x a =,54GE FG a ∴==,同理可得,54EH FH a ==, ∴四边形EGFH 是菱形,四边形BCGH 是矩形,12GO BC a ∴==,Rt OEG ∴△中,34E a O =,32EF a ∴=,故答案为：32a 【考点】正方形的性质，相交两圆的性质17.【答案】1+【解析】解：作CH AB ⊥于H ．CA CB =,CH AB ⊥,120ACB ∠=︒,AH BH ∴=,60ACH BCH ∠=∠=︒,30CAB CBA ∠=∠=︒,2230AB BH BC cos ∴==⋅⋅︒=,PAC PCB PBA ∠=∠=∠,PAB PBC ∴∠=∠,PAB PBC ∴△∽△,PA PB AB PB PC BC ∴===3PA =1PB ∴=,PC =,1PB PC ∴+=+．故答案为1+． 【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质．三、解答题18.【答案】解：当1a =+时,原式()()333111a a a a a a++-+=⨯-+ ()()4111a a a a a+=⨯-+ 41a =-=【考点】分式的化简求值19.【答案】(1)120(2)54︒(3)(4)200(人) 【解析】解：(1)()252340%120+÷=(名),即此次共调查了120名学生,故答案为：120； (2)10836054120+︒⨯=︒,即扇形统计图中D 所在扇形的圆心角为54︒,故答案为：54︒； (3)略 (4)30800200120⨯=(人) 【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图．20.【答案】解：过点B 作BF AC ⊥于F ,BG CD ⊥于G ,在Rt BAF △中,65BAF ∠=︒,sin 0.80.90.72BF AB BAF =⋅∠=⨯=,cos 0.80.40.32AF AB BAF =⋅∠=⨯=,4.32FC AF AC ∴=+=,四边形FCGB 是矩形,4.32BG FC ∴==,0.72CG BF ==,45BDG ∠=︒,BDG GBD ∴∠=∠,4.32GD GB ∴==,5.04CD CG GD ∴=+=,在Rt ACE △中,50AEC ∠=︒,4 3.33tan 1.2AC CE AEC ==≈∠, 5.04 3.33 1.71 1.7DE CD CE ∴=-=-=≈,答：小水池的宽DE 为1.7米．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．21.【答案】解：(1)证明：AB AC =,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,AD BD AE EC ∴===．由旋转的性质可知：DAD EAE α∠'=∠'=,AD AD AE AE '='=，．AD AE ∴'=',BD A CE A ∴''△≌△,BD CE ∴'='．(2)连接DD '．60DAD ∠'=︒,AD AD =',ADD ∴'△是等边三角形．60ADD AD D ∴∠'=∠'=︒,DD DA DB '==．30DBD DD B ∴∠'=∠'=︒,90BD A ∴∠'=︒．90D AE ∠''=︒,30BAE ∴∠'=︒,BAE ABD ∴∠'=∠',又BFD AFE ∠'=∠',BFD AFE ∴''△∽△,''''BF BD BD AF AE AD ∴==．在Rt ABD '△中,'tan 'BD BAD AD ∠'=BF AF ∴=【考点】全等三角形的性质．22.【答案】解：(1)设甲型机器人每台价格是x 万元,乙型机器人每台价格是y 万元,根据题意得 2142324x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组得：64x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元．(2)设该公可购买甲型机器人a 台,乙型机器人()8a -台,根据题意得()()648411200100088300a a a a ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≥ 解这个不等式组得：3922a ≤≤ a 为正整数,a ∴的取值为2,3,4,∴该公司有3种购买方案,分别是购买甲型机器人2台,乙型机器人6购买甲型机器人3台,乙型机器人5台购买甲型机器人4台,乙型机器人4台设该公司的购买费用为w 万元,则()648232w a a a =+=+-20k =＞,w ∴随a 的增大而增大当2a =时,w 最小,223236w =⨯+=最小(万元)∴该公司购买甲型机器人2台,乙型机器人6台这个方案费用最低,最低费用是36万元．【考点】一次方程(组)及应用，一次函数及其应用23.【答案】(1)证明：连接OC ,如图,BC 平分OBD ∠,OBD CBD ∴∠=∠, OB OC =,OBC OCB ∴∠=∠,OCB CBD ∴∠=∠,OC AD ∴∥, 而CD AB ⊥,OC CD ∴⊥,CD ∴是O 的切线；(2)解：连接OE 交AB 于H ,如图,E 为AB 的中点,OE AB ∴⊥,ABE AFE ∠=∠,3tan tan 4ABE AFE ∴∠=∠=, ∴在Rt BEH △中,3tan 4EH HBE BH ∠== 设3EH x =,4BH x =,5BE x ∴=, 5BG BE x ==,GH x ∴=,在Rt EHG △中,2223x x +=（）（,解得3x =,9EH ∴=,12BH =,设O 的半径为r ,则9OH r =-, 在Rt OHB △中,()222912r r -+=,解得252r =,即O 的半径为252．【考点】垂径定理，圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形24.【答案】解：(1)由题意,得,016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩；抛物线的函数表达式为239344y x x =++-； (2)设直线BC 的解析是为y kx b =+,400k b b +=⎧⎨=⎩, 解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,334y x ∴=-+, 设239344D a a a ++（,-）,(04a ＜＜),过点D 作DM x ⊥轴交BC 于M 点, ,,3M a a +（-）,2239333334444DM a a a a a =+++=+（-）-（-）-, DME OCB ∠=∠,DEM BOC ∠=∠,DEM BOC ∴△∽△,DE OB DM BC∴=, 4OB =,3OC =,5BC ∴=,45DE DM ∴= ()2231231225555DE a a a ⎛⎫∴=+=--+ ⎪⎝⎭-,当2a =时,DE 取最大值,最大值是125, (3)假设存在这样的点D ,CDE 使得中有一个角与CFO ∠相等,点F 为AB 的中点,32OF ∴=,tan 2OC CFO OF ∠==, 过点B 作BG BC ⊥,交CD 的延长线于G 点,过点G 作GH x ⊥轴,垂足为H ,,①若DCE CFO ∠=∠,tan 2GB DCE BC∴∠==, 10BG ∴=,GBH BCO △∽△,GH HB GB BO OC BC∴==,8GH ∴=,6BH =, ()10,8G ∴,设直线CG 的解析式为y kx b =+,3108b k b =⎧⎨+=∴⎩,解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线CG 的解析式为132y x =+, 213239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩, 解得73x =,或0x =(舍)．②若CDE CFO ∠=∠, 同理可得52BG =,2GH =,32BH =, 11,22G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 同理可得,直线CG 的解析是为2311y x =+-, 2231139344y x y x x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-++⎪⎩解得10733x =或0x =(舍), 综上所述,存在点D ,使得CDE △中有一个角与CFO ∠相等,点D 的横坐标为73或10733． 【考点】二次函数综合题。
2018莱芜中考数学试题
山东省莱芜市2018年中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1．（2018•莱芜）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵﹣2＜0，∴|﹣2|=﹣（﹣2）=2．故选：D．【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以﹣2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为﹣2的绝对值是，而选择C．2．（2018•莱芜）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（）A．14.7×107B．1.47×107C．1.47×108D．0.147×109【解答】解：1.47亿用科学记数法表示为1.47×108，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2018•莱芜）无理数2﹣3在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【解答】解：∵2=，∴6＜＜7，∴无理数2﹣3在3和4之间．故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．4．（2018•莱芜）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．5．（2018•莱芜）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A． B．C．D．【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选：D．【点评】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．6．（2018•莱芜）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是6【分析】根据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断．【解答】解：A、平均数为=，符合题意；B、中位数是=92，不符合题意；C、众数为92，不符合题意；D、极差为95﹣89=6，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．7．（2018•莱芜）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，所以圆锥的母线长==13，所以这个圆锥的侧面积=•2π•5•13=65π（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．8．（2018•莱芜）在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=的图象上，则k=（）A．3 B．4 C．6 D．12【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H．∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，∴△ACH≌△CBO，∴AH=OC，CH=OB，∵C（0，3），BC=5，∴OC=3，OB==4，∴CH=OB=4，AH=OC=3，∴OH=1，∴A（﹣3，﹣1），∵点A在y=上，∴k=3，故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．（2018•莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（）A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°【解答】解：如图，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GE，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；又∵∠BED=61°，∴∠ABE+∠CDE=299°．∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°，∵四边形的BFDE的内角和为360°，∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．10．（2018•莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【解答】解：抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=﹣=﹣1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11．（2018•莱芜）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）【解答】解：如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=t，∴s=S△BDE=×t×t=；如图②，当1≤t＜2时，CE=2﹣t，BG=t﹣1，∴DE=（2﹣t），FG=（t﹣1），∴s=S五边形AFGED=S△ABC﹣S△BGF﹣S△CDE=×2×﹣×（t﹣1）×（t﹣1）﹣×（2﹣t）×（2﹣t）=﹣+3t﹣；如图③，当2≤t≤3时，CG=3﹣t，GF=（3﹣t），∴s=S△CFG=×（3﹣t）×（3﹣t）=﹣3t+，综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选：B．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．12．（2018•莱芜）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，∴∠ADE=×90°=45°，∴△ADE为直角三角形∴AD=AE，又∵四边形ABCD矩形，∴AD=BC，∴AE=BC②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°，∴△BFE为等腰直角三角形，∴则有EF=BF又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，∴∠AEF=∠CBF在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，∴△AEF≌△CBF（SAS）∴AF=CF③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG=∠FCB=45°，∵∠ACF=45°，∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF=180°﹣∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°﹣∠AGF）=180°﹣∠AGF，∠AGF=∠BGC，∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，∴△ADF∽△GBF，∴==，∵EG∥CD，∴==，∴==，∵AD=AE，∴EG•AE=BG•AB，故④正确，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
2018年山东省莱芜市中考数学试卷(含答案)
2018年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题1． 4的算术平方根为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．2．下列运算正确的是（）A．a7÷a4=a3B．5a2﹣3a=2a C．3a4•a2=3a8D．（a3b2）2=a5b43．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若a+c=0，则b+d（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定4．投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（）A．76° B．81° C．92° D．104°6．将函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为（）A．y=﹣2（x+3） B．y=﹣2（x﹣3）C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣37．甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈，已知两个转盘每分钟共转200圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为（）A． =B． =C． =D． =8．用面积为12π，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高是（）A．2B．4 C．2 D．29．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形10．已知△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC 分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（ ）A ．3条B ．5条C ．7条D ．8条11．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点M 从点B 出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达点A 停止运动，另一动点N 同时从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向点A 运动，到达点A 停止运动，设点M 运动时间为x （s ），△AMN 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知四边形ABCD 为矩形，延长CB 到E ，使CE=CA ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接BF ，DF ，DF 交AB 于点G ，下列结论：（1）BF ⊥DF ；（2）S △BDG =S △ADF ；（3）EF 2=FG •FD ；（4）=其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）13．0+﹣（）﹣1﹣|tan45°﹣3|= ． 14．若一次函数y=x+3与y=﹣2x 的图象交于点A ，则A 关于y 轴的对称点A′的坐标为 ．15．如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为．16．如图，将Rt△ABC沿斜边AC所在直线翻折后点B落到点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，如果AE=3EB，EB=7，那么BC= ．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为．三、解答题（本大题共7小题，共64分）18．先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣1=0．19．企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：（1）宣传小组抽取的捐款人数为人，请补全条形统计图；（2）统计的捐款金额的中位数是元；（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？20．某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）21．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．（1）求证：GH=GF；（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．22．为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？（2）现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责A型垃圾箱的安装，每天可以安装15个，乙负责B型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购买A型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买B型垃圾箱超过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又最低，应购买A型和B型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？23．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=，求tan∠ABH的值．24．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC 与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．2018年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．4的算术平方根为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．【考点】算术平方根．【分析】依据算术平方根根的定义求解即可．【解答】解：∵22=4，∴4的算术平方根是2，故选：B．【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．2．下列运算正确的是（）A．a7÷a4=a3B．5a2﹣3a=2a C．3a4•a2=3a8D．（a3b2）2=a5b4【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【分析】分别利用单项式乘以单项式以及单项式除以单项式、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a7÷a4=a3，正确；B、5a2﹣3a，无法计算，故此选项错误；C、3a4•a2=3a6，故此选项错误；D、（a3b2）2=a6b4，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了幂的运算性质以及整式的加减运算，正确掌握相关性质是解题关键．3．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若a+c=0，则b+d（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定【考点】数轴．【分析】由a+c=0可知a与c互为相反数，所以原点是AC的中点，利用b、d与原点的距离可知b+d 与0的大小关系．【解答】解：∵a+c=0，∴a，c互为相反数，∴原点O是AC的中点，∴由图可知：点D到原点的距离大于点B到原点的距离，且点D、B分布在原点的两侧，故b+d＜0，故选（B）．【点评】本题考查数轴、相反数、有理数加法法则，属于中等题型．4．投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】根据题意，分析可得掷一枚骰子，共6种情况，其中是3的倍数的有3、6，2种情况，由概率公式可得答案．【解答】解：根据题意，掷一枚骰子，共6种情况，其中是3的倍数的有3、6，2种情况，故其概率为；故选C．【点评】本题考查概率的求法，其计算方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（）A．76° B．81° C．92° D．104°【考点】三角形内角和定理．【专题】计算题；三角形．【分析】由题意利用三角形内角和定理求出∠ABC度数，再由BD为角平分线求出∠ABD度数，根据外角性质求出所求角度数即可．【解答】解：∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，∴∠ABC=60°，∵BD为∠ABC平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵∠BDC为△ABD外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，故选A【点评】此题考查了三角形内角和定理，以及外角性质，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．6．将函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为（）A．y=﹣2（x+3） B．y=﹣2（x﹣3）C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣3【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为y=﹣2x﹣3．故选D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．7．甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈，已知两个转盘每分钟共转200圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为（）A． =B． =C． =D． =【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据“甲转动270圈和乙转了330圈所用的时间相等”列出方程即可；【解答】解：设甲每分钟转x圈，则乙每分钟转动（200﹣x）圈，根据题意得： =，故选D．【点评】本题考查了分式方程的知识，解题的关键是能够从实际问题中找到等量关系，难度不大．8．用面积为12π，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高是（）A．2B．4 C．2 D．2【考点】圆锥的计算．【分析】根据题意可以求得围成圆锥底面圆的周长和半径，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，围成的圆锥底面圆的周长为：=4π，设围成的圆锥底面圆的半径为r，则2πr=4π，解得，r=2，∴则圆锥的高是：，故选B．【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是明确扇形弧长公式，圆锥的底面圆的周长等于侧面扇形的弧长．9．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形【考点】正多边形和圆．【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．【解答】解：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则半径之比为：2，设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，则OC=，OA=OB=2，在直角△AOC中，cos∠AOC==，∴∠AOC=30°，∴∠AOC=60°，则正多边形边数是： =6．故选：B．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．10．已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（）A．3条B．5条C．7条D．8条【考点】等腰三角形的性质．【分析】分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得答案．【解答】解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，如图1，分别为△ABD、△ABE、△ABF、△ACG，∴满足条件的直线有4条；分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，如图2，分别为△ABH、△ACM、△BCN，∴满足条件的直线有3条，综上可知满足条件的直线共有7条，故选C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，正确画出图形是解题的关键．11．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A 停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】分三种情况进行讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别求得△ANM的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可．【解答】解：由题可得，BN=x，当0≤x≤1时，M在BC边上，BM=3x，AN=3﹣x，则=AN•BM，S△ANM∴y=•（3﹣x ）•3x=﹣x 2+x ，故C 选项错误；当1≤x ≤2时，M 点在CD 边上，则S △ANM =AN •BC ，∴y=（3﹣x ）•3=﹣x+，故D 选项错误；当2≤x ≤3时，M 在AD 边上，AM=9﹣x ，∴S △ANM =AM •AN ，∴y=•（9﹣3x ）•（3﹣x ）=（x ﹣3）2，故B 选项错误；故选（A ）．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．利用数形结合，分类讨论是解决问题的关键．12．已知四边形ABCD 为矩形，延长CB 到E ，使CE=CA ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接BF ，DF ，DF 交AB 于点G ，下列结论：（1）BF ⊥DF ；（2）S △BDG =S △ADF ；（3）EF 2=FG •FD ；（4）=其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】利用矩形的性质和直角三角形的性质得出结论判断出△BDF ≌△ACF ，借助直角三角形的斜边大于直角边，再用面积公式判断出面积大小，判断出△AFG ∽△DFA ，△BFG ∽△DFB ，即可判断出结论．【解答】解：如图1，连接CF ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵点F 是AE 中点，∴AF=EF ，∵CE=CA ，∴CF ⊥AE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ，∵点F 是Rt △ABE 斜边上的中点，∴AF=BF ，∴∠BAF=∠FBA ，∴∠FAC=∠FBD ，在△BDF 和△ACF 中，，∴△BDF ≌△ACF ，∴∠BFD=∠AFC=90°，∴BD ⊥DF ，所以①正确；过点F 作FH ⊥AD 交DA 的延长线于点H ，在Rt △AFH 中，FH ＜AF ，在Rt △BFG 中，BG ＞BF ，∵AF=BF ，∴BG ＞FH ，∵S △ADF =FH ×AD ，S △BDG =BG ×AD ，∴S △BDG ＞S △ADF ，所以②错误；∵∠ABF+∠BGF=∠ADG+∠AGD=90°，∴∠ABF=∠ADG ，∵∠BAF=∠FBA ，∴∠BAF=∠ADG ，∵∠AFG=∠DFA ，∴△AFG ∽△DFA ，∴，∴AF 2=FG •FD ，∵EF=AF ，∴EF 2=FG •FD ，所以③正确；∵BF=EF ，∴BF 2=FG •FD ，∴，∵∠BFG =∠DFB ，∴△BFG ∽△DFB ，∴∠ABF=∠BDF ，∵∠BAF=∠ABF ，∠BAF=∠ADC∴∠ADC=∠BDF ，∴，∵BD=AC ，AD=BC ，∴，所以④正确，故选C ．【点评】此题是相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角平分线定理，解本题的是△BDF ≌△ACF ．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）13．0+﹣（）﹣1﹣|tan45°﹣3|= ﹣1 ．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+3﹣3﹣2=﹣1．故答案为：﹣1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若一次函数y=x+3与y=﹣2x的图象交于点A，则A关于y轴的对称点A′的坐标为（1，2）．【考点】两条直线相交或平行问题．【分析】直接联立函数解析式求出A点坐标，再利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：∵一次函数y=x+3与y=﹣2x的图象交于点A，∴x+3=﹣2x，解得：x=﹣1，则y=2，故A点坐标为：（﹣1，2），∴A关于y轴的对称点A′的坐标为：（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】此题主要考查了一次函数的交点问题以及关于y轴对称点的性质，正确得出A点坐标是解题关键．15．如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为8 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式．【分析】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．【解答】解：设点D坐标为（a，b），∵点D为OB的中点，∴点B的坐标为（2a，2b），∴k=4ab，又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，∴A的坐标为（4a，b），∴AD=4a﹣a=3a，∵△AOD的面积为3，∴×3a×b=3，∴ab=2，∴k=4ab=4×2=8．故答案为：8【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为3列出关系式是解题的关键．16．如图，将Rt△ABC沿斜边AC所在直线翻折后点B落到点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，如果AE=3EB，EB=7，那么BC= 4．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据相似三角形的判定和性质、以及勾股定理解答即可．【解答】解：∵DE⊥AB，∠B=90°，∴DE∥BC，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴DH=DC，∵DE∥BC，∴△AFH∽△ABC，∴，设EH=3x，BC=DC=DH=4x，∴DE=7x，∵AE=3EB，EB=7，∴AE=21，∵AD=AB=AE+BE=7+21=28，在Rt△ADE中，DE=，∴7x=7，∴x=，∴BC=4．故答案为：4．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，证明DH=DC是解题关键．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为2+2．【考点】轨迹；坐标与图形性质．【分析】根据题意首先取A 1B 1的中点E ，连接OE ，C 1E ，当O ，E ，C 1在一条直线上时，点C 到原点的距离最大，进而求出答案．【解答】解：如图所示：取A 1B 1的中点E ，连接OE ，C 1E ，当O ，E ，C 1在一条直线上时，点C 到原点的距离最大，在Rt △A 1OB 1中，∵A 1B 1=AB=4，点OE 为斜边中线，∴OE=B 1E=A 1B 1=2，又∵B 1C 1=BC=2，∴C 1E==2，∴点C 到原点的最大距离为：OE+C 1E=2+2． 故答案为：2+2．【点评】此题主要考查了轨迹以及勾股定理等知识，正确得出C 点位置是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共64分）18．先化简，再求值：（a ﹣）÷，其中a 满足a 2+3a ﹣1=0．【考点】分式的化简求值．【分析】根据题意得到a 2+3a=1，根据分式的通分、约分法则把原式化简，代入计算即可．【解答】解：∵a 2+3a ﹣1=0，∴a 2+3a=1原式=×=（a+1）（a+2）=a 2+3a+2=3． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的通分、约分法则是解题的关键．19．（8分）企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：（1）宣传小组抽取的捐款人数为50 人，请补全条形统计图；（2）统计的捐款金额的中位数是150 元；（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．【分析】（1）根据题意即可得到结论；求得捐款200元的人数即可补全条形统计图；（2）根据中位数的定义即可得到结论；（3）用周角乘以100元所占的百分比即可求得圆心角；（4）根据题意即可得到结论．【解答】解：（1）50，补全条形统计图，故答案为：50；（2）150，故答案为：150；（3）×360°=72°．（4）（50×4+100×10+150×12+200×18+300×6）×500=100（元）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）根据正弦的定义计算即可；（2）作FP⊥ED于P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB==6米；（2）AC==4.8米，则CD=4，.8+16=20.8米，作FP⊥ED于P，∴FP=CD=20.8，∴EP=FP×tan∠EFP=13.52，DP=BF+BC=5.2，ED=EP+PD=18.72，EG=ED﹣GH﹣HD=16.52，则红旗升起的平均速度为：16.52÷30=0.55，答：红旗升起的平均速度为0.55米/秒．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．（1）求证：GH=GF；（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．【分析】（1）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而利用三角形中位线定理得出GH=GF；（2）利用全等三角形的性质结合平行线的性质得出∠FGH=∠DGF+∠HGD进而得出答案．【解答】证明：（1）∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，∴GH∥GF，且GH=CE，GF=BD，∴GH=GF；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵HG∥CE，GE∥BD，∴∠HGD=∠ECD，∠GFC=∠DBC，∴∠HGD=∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠ABD，∠DGF=∠GFC+∠GCF=∠DBC+∠GCF，∴∠FGH=∠DGF+∠HGD=∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD=∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，∴∠FGH与∠BAC互补．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，正确得出△ABD≌△ACE 是解题关键．22．为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？（2）现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责A型垃圾箱的安装，每天可以安装15个，乙负责B型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购买A型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买B型垃圾箱超过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又最低，应购买A型和B型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为x元和y元，利用两次购买的费用列方程，然后解方程组即可；（2）设购买A型垃圾箱m个，则购买B型垃圾箱（300﹣m）个，购买垃圾箱的费用为w元，利用工作效率和总工作时间可得到60≤m≤180，然后讨论：若60≤m＜150得到w=4m+28800，若150≤m≤180得w=﹣30m+3600，再利用一次函数的性质求出两种情况下的w的最小值，于是比较大小可得到满足条件的购买方案．【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为x元和y元，根据题意得，解得，∴每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为100元和120元；（2）设购买A型垃圾箱m个，则购买B型垃圾箱（300﹣m）个，购买垃圾箱的费用为w元，根据题意得，解得60≤m≤180，若60≤m＜150，w=100m+120×0.8×（300﹣m）=4m+28800，当m=60时，w最小，w的最小值=4×60+28800=29040（元）；若150≤m≤180，w=100×0.9×m+120×（300﹣m）=﹣30m+3600，当m=1800，w最小，w的最小值=﹣30×180+36000=30600（元）；∵29040＜30600，∴购买A型垃圾箱60个，则购买B型垃圾箱240个时，既能在规定时间内完成任务，费用又最低，最低费用为29040元．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：分析题意，找出不等关系；设未知数，列出不等式组；解不等式组；从不等式组解集中找出符合题意的答案；作答．也考查了二元一次方程组合一次函数的性质．23．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=，求tan∠ABH的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据垂直的定义和垂直平分线的判定好小子即可求解；（2）如图2，连结BD，先证明四边形ABDC是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质和垂直平分线的性质即可求解；（3）如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N，在Rt△ABF中和在Rt△BNH中，根据三角函数的定义即可求解．【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，BF⊥AC，∴∠BEM=∠BFA=90°，∴∠EBM+∠BME=90°，∠ABF+∠BAF=90°，∴∠BME=∠BAC，∴∠BDM=∠BMD，∴BD=BM，∵AB⊥CD，∴AB是MD的垂直平分线，∴AD=AM；（2）证明：如图2，连结BD，∵AB⊥CD，BF⊥AC，∴∠BEM=∠BFA=90°，∵∠EBM=∠FBA，∴∠BME=∠BAF，∴四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠BDM=∠BAC，∴∠BDM=∠BMD，∴BD=BM，∵AB⊥CD，∴AB是MD的垂直平分线，∴AD=AM；（3）解：如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N．易知∠AHN=∠ABF=∠C，在Rt△ANH中，设HM=3m，∵tan∠AHN=tan∠C==，∴AN=4m，∴AH=5m，∵BH平分∠ABF，∴HN=HF=3m，∴AF=AH+HF=8m，在Rt△ABF中，∵tan∠ABF=tan∠C==，∴BF=6m，∴AB=10m，∴BN=AB﹣AN=6m，∴在Rt△BNH中，tan∠NBH===，∴tan∠ABH=．【点评】本题考查了圆的综合，涉及了圆内接四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及垂直平分线的性质，三角函数，解答本题的关键是掌握数形结合思想运用．24．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC 与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）如图1，运用待定系数法求这个二次函数的解析式；（2）如图2，先求直线BC的解析式为y=x﹣2，设出点E的坐标，写出点G的坐标（﹣m2+3m+8，﹣ m2+m+2），求出EG的长，证明∴△EFG∽△DOB，根据相似三角形周长的比等于相似比表示△EFG周长═（﹣m2+2m+8）= [﹣（m﹣1）2+9]，根据二次函数的顶点确定其最值；（3）分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角时，列方程组，求出点E的坐标，根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论．【解答】解：（1）如图1，把A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=ax2+bx+c中，得：，解得：，则二次函数的解析式y=﹣x2+x+2；（2）如图2，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=kx+b中得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣2，设E（m，﹣ m2+m+2），﹣2＜m＜4，∵EG⊥y轴，∴E和G的纵坐标相等，∵点G在直线BC上，当y=﹣m2+m+2时，﹣ m2+m+2=x﹣2，x=﹣m2+3m+8，则G（﹣m2+3m+8，﹣ m2+m+2），∴EG=﹣m2+3m+8﹣m=﹣m2+2m+8，∵EG∥AB，∴∠EGF=∠OBD，∵∠EFG=∠BOD=90°，∴△EFG∽△DOB，∴=，∵D（0，﹣2），B（4，0），∴OB=4，OD=2，∴BD==2，∴=﹣，∴△EFG的周长=（﹣m2+2m+8），= [﹣（m﹣1）2+9]，∴当m=1时，△EFG周长最大，最大值是；（3）存在点E，分两种情况：①若∠EBD=90°，则BD⊥DE，如图3，设BD的解析式为：y=kx+b，把B（4，0）、D（0，﹣2）代入得：，解得：，∴BD的解析式为：y=x﹣2，∴设直线EB的解析式为：y=﹣2x+b，把B（4，0）代入得：b=8，∴直线EB的解析式为：y=﹣2x+8，∴，﹣x2+x+2=﹣2x+8，解得：x1=3，x2=4（舍），当x=3时，y=﹣2×3+8=2，∴E（3，2），②当BD⊥DE时，即∠EDB=90°，如图4，同理得：DE的解析式为：y=﹣2x+b，把D（0，﹣2）代入得：b=﹣2，∴DE的解析式为：y=﹣2x﹣2，∴，解得：，∴E（8，﹣18）或（﹣1，0），③当∠DEB=90°时，以BD为直径画圆，如图5，发现与抛物线无交点，所以此种情况不存在满足条件的E点；综上所述，点E（3，2）或（8，﹣18）或（﹣1，0），故存在满足条件的点E，点E的坐标为（3，2）或（﹣1，0）或（8，18）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式；根据两直线垂直，则一次项系数为负倒数，利用一条直线求另一条直线的解析式；若三角形直角三角形时，要采用分类讨论的思想，分三种情况进行讨论，利用勾股定理或解析式或相似求出点E的坐标．31。
2018年山东省莱芜市中考数学试卷
第 1 页山东省莱芜市2018年初中学业水平考试数 学（考试时间120分钟，满分120分）第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.2-的绝对值是（ ）A.2-B.12-C.12D.22.经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（ ）A.714.710⨯B.71.4710⨯C.81.4710⨯D.90.14710⨯ 3.无理数3在（ ）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间4.下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）ABCD5.若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A.2x x y+-B.22y xC.2223y xD.()222y x y -6.某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：成绩／分89 9092 94 95第 2 页人数 4 6 8 5 7 对于这组数据，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是92B ．中位数是92C ．众数是92D ．极差是67.已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为 （ ）A.260π cmB.265π cmC.2120π cmD.2130π cm8.在平面直角坐标系中，已知ABC △为等腰直角三角形，5CB CA ==，点03C （，），点B 在x 轴正半轴上，点A 在第三象限，且在反比例函数ky x=的图象上，则k =（ ） A.3B.4C.6D.129.如图，AB CD ∥，61BED ∠=︒，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则DFB ∠=（ ）A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°10.函数220y ax ax m a =++（＜）的图象过点20（，），则使函数值0y ＜成立的x 的取值范围是 （ ）A ．4x <-或2x >B ．42x <<-C ．0x <或2x >D ．02x ＜＜11.如图，边长为2的正ABC △的边BC 在直线l 上，两条距离为l 的平行直线a 和b 垂直于直线l ，a 和b 同时向右移动（a 的起始位置在B 点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t （秒），直到b 到达C 点停止，在a 和b 向右移动的过程中，记ABC △夹在a 和b 之间的部分的面积为s ，则s 关于t 的函数图象大致为（ ）第 3 页ABCD12.如图，在矩形ABCD 中，ADC ∠的平分线与AB 交于E ，点F 在DE 的延长线上，90BFE ∠=︒，连接AF 、CF ，CF 与AB 交于G ．有以下结论：①AE BC =；②AF CF =；③2BF FG FC =⋅；④EG AE BG AB ⋅=⋅其中正确的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.计算：3.142cos60π-+︒=（） . 14.已知1x ，2x 是方程22310x x -=-的两根，则2212x x += . 15.如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是23和2，则图中阴影部分的面积是 . »AE 、16.如图，正方形ABCD 的边长为2a ，E 为BC 边的中点，»DE的圆心分别在边AB 、CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点F ，则E 、F 间的距离为 . 17.如图，若ABC △内一点P 满足PAC PCB PBA ∠=∠=∠，则称点P 为ABC △的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知ABC △中，CA CB =，120ACB ∠=︒，P 为ABC △的布罗卡尔点，若3PA =，则PB PC += .第 4 页三、解答题（本大题共7小题，共64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （本小题满分6分） 18.先化简，再求值：233111a a a a a -⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中1a =．（本小题满分8分）19.我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A 非常了解、B 了解、C 了解较少、D 不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图（不完整）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了 名学生；（2）扇形统计图中D 所在扇形的圆心角为 ； （3）将上面的条形统计图补充完整；（4）若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数．（本小题满分9分）第 5 页20.在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB 的长是0.8 m ，A 端到地面的距离AC 是4 m ，支架AB 与灯柱AC 的夹角为65︒．小明在水池的外沿D 测得支架B 端的仰角是45︒，在水池的内沿E 测得支架A 端的仰角是50︒（点C 、E 、D 在同一直线上），求小水池的宽DE ．（结果精确到0.1 m ）（sin650.9︒≈，cos650.4︒≈，tan50 1.2︒≈）（本小题满分9分）21.已知ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，将ADE△绕点A 按顺时针方向旋转一个角度090︒︒（＜＜）αα得到'AD E '△，连接BD '、CE '，如图1．（1）求证：'BD CE '=；（2）如图2，当60α=︒时，设AB 与D E ''交于点F ，求BFFA值．（本小题满分10分）22.快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．第 6 页（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1 200件和1 000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8 300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？（本小题满分10分）23.如图，已知A 、B 是O e 上两点，OAB △外角的平分线交O e 于另一点C ，CD AB ⊥交AB 的延长线于D ． （1）求证：CD 是O e 的切线；（2）E 为»AB 的中点，F 为O e 上一点，EF 交AB 于G ，若3tan 4AFE ∠=，BE BG =，EG =O e 的半径．（本小题满分12分）24.如图，抛物线2y ax bx c =++经过()A 10﹣，，B 40（，），C 03（，）三点，D 为直线BC上方抛物线上一动点，DE BC ⊥于E ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得CDE △中有一个角与CFO ∠相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．第7页。
2018年山东省莱芜市中考数学试卷-普通用卷
2018年山东省莱芜市中考数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−2的绝对值是()A. −2B. −12C. 12D. 22.经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为()A. 14.7×107B. 1.47×107C. 1.47×108D. 0.147×1093.无理数211−3在()A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间4.下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是()A. B. C. D.5.若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是()A. 2+xx−y B. 2yxC. 2y33xD. 2y2(x−y)6.A. 平均数是92B. 中位数是92C. 众数是92D. 极差是67.已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为()A. 60πcm2B. 65πcm2C. 120πcm2D. 130πcm28.在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C(0,3)，点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=kx的图象上，则k=( )A. 3B. 4C. 6D. 129.如图，AB//CD，∠BED=61∘，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=()A. 149∘B. 149.5∘C. 150∘D. 150.5∘10.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是()A. x<−4或x>2B. −4<x<2C. x<0或x>2D. 0<x<211.如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动(a的起始位置在B点)，速度均为每秒1个单位，运动时间为t(秒)，直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为()A. B.C. D.12.如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90∘，连接AF、CF，CF与AB交于G.有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG⋅FC④EG⋅AE=BG⋅AB其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）13.计算：(π−3.14)0+2cos60∘=______．14.已知x1，x2是方程2x2−3x−1=0的两根，则x12+x22=______．15.如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是23和2，则图中阴影部分的面积是______．16.如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，AE、DE的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为______．17.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120∘，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=3，则PB+PC=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18.先化简，再求值：(3a−1+a−3a2−1)÷aa+1，其中a=+1．四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）19.我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A非常了解、B了解、C 了解较少、D不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图(不完整).请根据图中信息，解答下列问题：(1)此次共调查了______名学生；(2)扇形统计图中D所在扇形的圆心角为______；(3)将上面的条形统计图补充完整；(4)若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数．20.在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65∘.小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45∘，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50∘(点C、E、D在同一直线上)，求小水池的宽DE.(结果精确到0.1m)(sin65∘≈0.9，cos65∘≈0.4，tan50∘≈1.2)21.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α(0∘<α<90∘)得到，连接BD′、CE′，如图1．(1)求证：；(2)如图2，当α=60∘时，设AB与D′E′交于点F，求BF的值．FA22.快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣.已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．(1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；(2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？23.如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)E为AB的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=3，BE=BG，EG=310，求⊙O的半径．424.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(4,0)，C(0,3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，求线段DE长度的最大值；(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. C5. D6. A7. B8. A9. B10. A11. B12. C13. 214. 13415. 216. 32a17. 1+3318. 解：当a=2+1时，原式=3a+3+a−3(a−1)(a+1)×a+1a=4a×a+1=4a−1=42=2219. 120；54∘20. 解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，在Rt△BAF中，∠BAF=65∘，BF=AB⋅sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，AF=AB⋅cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，∴FC=AF+AC=4.32，∵四边形FCGB是矩形，∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，∵∠BDG=45∘，∴∠BDG=∠GBD，∴GD=GB=4.32，∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50∘，CE=ACtan∠AEC =41.2≈3.33，∴DE=CD−CE=5.04−3.33=1.71≈1.7，答：小水池的宽DE为1.7米．21. 解：(1)证明：∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BD=AE=EC．由旋转的性质可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．∴AD′=AE′，∴△BD′A≌△CE′A，∴BD′=CE′．(2)连接DD′．∵∠DAD′=60∘，AD=AD′，∴△ADD′是等边三角形．∴∠ADD′=∠AD′D=60∘，DD′=DA=DB．∴∠DBD′=∠DD′B=30∘，∴∠BD′A=90∘．∵∠D′AE′=90∘，∴∠BAE′=30∘，∴∠BAE′=∠ABD′，又∵∠BFD′=∠AFE′，∴△BFD′∽△AFE′，．∵在Rt△ABD′中，，=3．∴BFAF22. 解：(1)设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得x+2y=142x+3y=24解这个方程组得：x=6y=4答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元(2)设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人(8−a)台，根据题意得6a+4(8−a)≤411200a+1000(8−a)≥8300解这个不等式组得93≤a≤∵a为正整数∴a的取值为2，3，4，∴该公司有3种购买方案，分别是购买甲型机器人2台，乙型机器人6台购买甲型机器人3台，乙型机器人5台购买甲型机器人4台，乙型机器人4台设该公司的购买费用为w万元，则w=6a+4(8−a)=2a+32∵k=2>0∴w随a的增大而增大当a=2时，w最小，w最小=2×2+32=36(万元)∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．23. (1)证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC//AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)解：连接OE交AB于H，如图，∵E为AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=34，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=EHBH =34设EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+(3x)2=(310)2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r−9，在Rt△OHB中，(r−9)2+122=r2，解得r=252，即⊙O的半径为252．24. 解：(1)由题意，得a−b+c=016a+4b+c=0 c=3，解得a=−34b=94c=3，抛物线的函数表达式为y=−34x2+94x+3；(2)设直线BC的解析是为y=kx+b，b=04k+b=0，解得k=−34 b=3∴y=−34x+3，设D(a,−34a2+94a+3)，(0<a<4)，过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1，M(a,−34a+3)，DM=(−34a2+94a+3)−(−34a+3)=−34a2+3a，∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴DEDM =OBBC，∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE=45 DM∴DE=−35a2+125a=−(35(a−2)2+125,当a=2时，DE取最大值，最大值是125，(3)假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，∵点F为AB的中点，∴OF=32，tan∠CFO=OCOF=2，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2，①若∠DCE=∠CFO，∴tan∠DCE=GBBC=2，∴BG=10，∵△GBH∽BCO，∴GHBO =HBOC=GBBC，∴GH=8，BH=6，∴G(10,8)，设直线CG的解析式为y=kx+b，∴10k+b=8b=3，解得k=12 b=3∴直线CG的解析式为y=12x+3，∴y=12x+3y=−34x2+94x+3，解得x=73，或x=0(舍)．②若∠CDE=∠CFO，同理可得BG=52，GH=2，BH=32，∴G(112,2)，同理可得，直线CG的解析是为y=−211x+3，∴y=−211x+3y=−34x2+94x+3，解得x=10733或x=0(舍)，综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为73或10733．【解析】1. 解：∵−2<0，∴|−2|=−(−2)=2．故选：D．计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以−2的绝对值是2.部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为−2的绝对值是−12，而选择B．2. 解：1.47亿用科学记数法表示为1.47×108，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 解：∵211=44，∴6<44<7，∴无理数211−3在3和4之间．故选：B．首先得出211的取值范围进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．4. 解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断.关键是根据图形自身的对称性进行判断．5. 解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、2+3x3x−3y ≠2+xx−y，错误；B、6y9x2≠2yx2，错误；C、54y327x2≠2y33x2，错误；D、18y29(x−y)2=2y2(x−y)2，正确；故选：D．据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是．本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变.此题比较简单，但计算时一定要细心．6. 解：A、平均数为89×4+90×6+92×8+94×5+95×74+6+8+5+7=276730，符合题意；B、中位数是92+922=92，不符合题意；C、众数为92，不符合题意；D、极差为95−89=6，不符合题意；故选：A．根据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断．本题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．7. 解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，所以圆锥的母线长=52+122=13，所以这个圆锥的侧面积=12⋅2π⋅5⋅13=65π(cm2).故选：B．先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图．8. 解：如图，作AH⊥y轴于H．∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，∴△ACH≌△CBO，∴AH=OC，CH=OB，∵C(0,3)，BC=5，∴OC=3，OB=52−32=4，∴CH=OB=4，AH=OC=3，∴OH=1，∴A(−3,−1)，∵点A在y=k上，x∴k=3，故选：A．如图，作AH⊥y轴于H.构造全等三角形即可解决问题；本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9. 解：如图，过点E作EG//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//GE，∴∠ABE+∠BEG=180∘，∠GED+∠EDC=180∘，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360∘；又∵∠BED=61∘，∴∠ABE+∠CDE=299∘．∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，(∠ABE+∠CDE)=149.5∘，∴∠FBE+∠EDF=12∵四边形的BFDE的内角和为360∘，∴∠BFD=360∘−149.5∘−61∘=149.5∘．故选：B．过点E作EG//AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180∘，∠GED+∠EDC=(∠ABE+180∘”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF=12∠CDE)”，再依据四边形内角和为360∘结合角的计算即可得出结论．本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360∘，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等(或互补)的角是关键．=−1，10. 解：抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=−2a2a而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−4,0)，∵a<0，∴抛物线开口向下，∴当x<−4或x>2时，y<0．故选：A．先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−4,0)，然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质．11. 解：如图①，当0≤t<1时，BE=t，DE=3t，∴s=S△BDE=12×t×3t=32t2；如图②，当1≤t<2时，CE=2−t，BG=t−1，∴DE=3(2−t)，FG=3(t−1)，∴s=S五边形AFGED =S△ABC−S△BGF−S△CDE=12×2×3−12×(t−1)×3(t−1)−1 2×(2−t)×3(2−t)=−3t2+33t−323；如图③，当2≤t≤3时，CG=3−t，GF=3(3−t)，∴s=S△CFG=12×(3−t)×3(3−t)=32t2−33t+923，综上所述，当0≤t<1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t<2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选：B．依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t<1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t<2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．12. 解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，∴∠ADE=12×90∘=45∘，∴△ADE为直角三角形∴AD=AE，又∵四边形ABCD矩形，∴AD=BC，∴AE=BC②∵∠BFE=90∘，∠BFE=∠AED=45∘，∴△BFE为等腰直角三角形，∴则有EF=BF又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135∘，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135∘，∴∠AEF=∠CBF在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，∴△AEF≌△CBF(SAS)∴AF=CF③假设BF2=FG⋅FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG=∠FCB=45∘，∵∠ACF=45∘，∴∠ACB=90∘，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF=180∘−∠CGB，∠DAF=90∘+∠EAF=90∘+(90∘−∠AGF)=180∘−∠AGF，∠AGF=∠BGC，∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45∘，∴△ADF∽△GBF，∴ADBG =DFBF=DFEF，∵EG//CD，∴EFDF =EGCD=EGAB，∴ADBG =EGAB，∵AD=AE，∴EG⋅AE=BG⋅AB，故④正确，故选：C．①只要证明△ADE为直角三角形即可②只要证明△AEF≌△CBF(SAS)即可；③假设BF2=FG⋅FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45∘，由∠ACF=45∘，推出∠ACB=90∘，显然不可能，故③错误，④由△ADF∽△GBF，可得ADBG =DFBF=DFEF，由EG//CD，推出EFDF=EGCD=EGAB，推出ADBG=EGAB，由AD=AE，EG⋅AE=BG⋅AB，故④正确，本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13. 解：原式=1+2×12=1+1=2，故答案为：2原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14. 解：∵x 1、x 2是方程2x 2−3x −1=0的两根，∴x 1+x 2=32.x 1x 2=−12，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=134，故答案为：134找出一元二次方程的系数a ，b 及c 的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．15. 解：设正三角形的边长为a ，则12a 2× 32=2 3， 解得a =2 ．则图中阴影部分的面积=2 2× 2−2=2． 故答案是：2．由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积．考查了二次根式的应用.解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽．16. 解：如图，作DE 的中垂线交CD 于G ，则G 为DE的圆心，同理可得，H 为AE的圆心， 连接EF ，GH ，交于点O ，连接GF ，FH ，HE ，EG ，设GE =GD =x ，则CG =2a −x ，CE =a ， Rt △CEG 中，(2a −x )2+a 2=x 2， 解得x =54a ， ∴GE =FG =54a ，同理可得，EH =FH =54a ，∴四边形EGFH 是菱形，四边形BCGH 是矩形， ∴GO =12BC =a ，∴Rt △OEG 中，OE = (54a )2−a 2=34a ，∴EF =32a ， 故答案为：32a .作DE 的中垂线交CD 于G ，则G 为DE的圆心，H 为AE 的圆心，连接EF ，GH ，交于点O ，连接GF ，FH ，HE ，EG ，依据勾股定理可得GE =FG =54a ，根据四边形EGFH 是菱形，四边形BCGH 是矩形，即可得到Rt △OEG 中，OE =34a ，即可得到EF =32a . 本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线(经过两个圆心的直线)，垂直平分两圆的公共弦.注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．17. 解：作CH⊥AB于H．∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120∘，∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60∘，∠CAB=∠CBA=30∘，∴AB=2BH=2⋅BC⋅cos30∘=3BC，∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，∴∠PAB=∠PBC，∴△PAB∽△PBC，∴PAPB =PBPC=ABBC=3，∵PA=3，∴PB=1，PC=33，∴PB+PC=1+33．故答案为1+33．作CH⊥AB于H.首先证明BC=3BC，再证明△PAB∽△PBC，可得PAPB =PBPC=ABBC=3，即可求出PB、PC；本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．18. 根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．19. 解：(1)(25+23)÷40%=120(名)，即此次共调查了120名学生，故答案为：120；(2)360∘×10+8120=54∘，即扇形统计图中D所在扇形的圆心角为54∘，故答案为：54∘；(3)如图所示：；(4)800×30=200(人)，120答：估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数是200人．(1)根据B的人数除以占的百分比即可得到总人数；(2)先根据题意列出算式，再求出即可；(3)先求出对应的人数，再画出即可；(4)先列出算式，再求出即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键．20. 过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．此题考查的知识点是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21. (1)首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD′=AE′，然后再利用SAS证明△BD′A≌△CE′A，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可；(2)连接DD′，先证明△ADD′为等边三角形，然后再证明△△ABD′为直角三角形，接下来，再证明△BFD′∽△AFE′，最后，依据相似三角形的性质求解即可．本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，发现△BFD′∽△AFE′是解题的关键．22. (1)利用二元一次方程组解决问题；(2)用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值．本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用．23. (1)连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC//AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；(2)解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+(3x)2=(310)2，解方程得x=3，接下来设⊙O的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程(r−9)2+122=r2，最后解关于r的方程即可．本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．24. (1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；(3)根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法，解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解(3)的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，由；利用了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标．。
2018年山东省莱芜市中考数学试卷
2021年山东省莱芜市中|考数学试卷一、选择题(本大题共12小题,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项正确的,请把正确选项的代码涂写在答题卡上,每题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记0分,共36分)1．(3分)﹣2的绝||对值是()A．﹣2 B．﹣ C．D．22．(3分)经中|国旅游研究院综合测算,今年"五一〞假日期间全国接待国内游客1.47亿人次,1.47亿用科学记数法表示为()×107×107×108×1093．(3分)无理数2﹣3在()A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4．(3分)以下列图形中,既是中|心对称,又是轴对称的是()A．B．C．D．5．(3分)假设x ,y的值均扩大为原来的3倍,那么以下分式的值保持不变的是()A． B．C．D．6．(3分)某校举行汉字听写大赛,参赛学生的成绩如下表：成绩(分)8990929495人数46857对于这组数据,以下说法错误的选项是()A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是67．(3分)圆锥的三视图如下列图,那么这个圆锥的侧面展开图的面积为()A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm28．(3分)在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,CB =CA =5 ,点C (0 ,3 ) ,点B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y =的图象上,那么k = ()A．3 B．4 C．6 D．129．(3分)如图,AB∥CD ,∠BED =61° ,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F ,那么∠DFB = ()A．149°B．149.5°C．150° D．150.5°10．(3分)函数y =ax2 +2ax +m (a＜0 )的图象过点(2 ,0 ) ,那么使函数值y ＜0成立的x的取值范围是()A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜211．(3分)如图,边长为2的正△ABC的边BC在直线l上,两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l ,a和b同时向右移动(a的起始位置在B点) ,速度均为每秒1个单位,运动时间为t (秒) ,直到b到达C点停止,在a和b向右移动的过程中,记△ABC夹在a和b之间的局部的面积为s ,那么s关于t的函数图象大致为()A．B．C．D．12．(3分)如图,在矩形ABCD中,∠ADC的平分线与AB交于E ,点F在DE的延长线上,∠BFE =90° ,连接AF、CF ,CF与AB交于G．有以下结论：①AE =BC②AF =CF③BF2=FG•FC④EG•AE =BG•AB其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(本大题共5小题,每题4分,共20分.请将答案填在答题卡上) 13．(4分)计算：(π﹣3.14 )0 +2cos60°=．14．(4分)x1 ,x2是方程2x2﹣3x﹣1 =0的两根,那么x12 +x22=．15．(4分)如图,正三角形和矩形具有一条公共边,矩形内有一个正方形,其四个顶点都在矩形的边上,正三角形和正方形的面积分别是2和2 ,那么图中阴影局部的面积是．16．(4分)如图,正方形ABCD的边长为2a ,E为BC边的中点,、的圆心分别在边AB、CD上,这两段圆弧在正方形内交于点F ,那么E、F间的距离为．17．(4分)如图,假设△ABC内一点P满足∠PAC =∠PCB =∠PBA ,那么称点P 为△ABC的布罗卡尔点,三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首||次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究"三角形几何〞的热潮．△ABC中,CA =CB ,∠ACB =120°,P为△ABC的布罗卡尔点,假设PA =,那么PB +PC =．三、解答题(本大题共7小题,共64分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)18．(6分)先化简,再求值：( +)÷,其中a = +1．19．(8分)我市正在开展"食品平安城市〞创立活动,为了解学生对食品平安知识的了解情况,学校随机抽取了局部学生进行问卷调查,将调查结果按照"A非常了解、B了解、C了解较少、D不了解〞四类分别进行统计,并绘制了以下两幅统计图(不完整)．请根据图中信息,解答以下问题：(1 )此次共调查了名学生；(2 )扇形统计图中D所在扇形的圆心角为；(3 )将上面的条形统计图补充完整；(4 )假设该校共有800名学生,请你估计对食品平安知识"非常了解〞的学生的人数．20．(9分)在小水池旁有一盏路灯,支架AB的长是0.8m ,A端到地面的距离AC 是4m ,支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45° ,在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50° (点C、E、D在同一直线上) ,求小水池的宽DE．(结果精确到0.1m ) (sin65°≈0.9 ,cos65°≈0.4 ,tan50°≈1.2 )21．(9分)△ABC中,AB =AC ,∠BAC =90° ,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α (0°＜α＜90° )得到△AD'E′ ,连接BD′、CE′ ,如图1．(1 )求证：BD′ =CE'；(2 )如图2 ,当α =60°时,设AB与D′E′交于点F ,求的值．22．(10分)快递公司为提高快递分拣的速度,决定购置机器人来代替人工分拣．购置甲型机器人1台,乙型机器人2台,共需14万元；购置甲型机器人2台,乙型机器人3台,共需24万元．(1 )求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；(2 )甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件,该公司方案购置这两种型号的机器人共8台,总费用不超过41万元,并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件,那么该公司有哪几种购置方案?哪个方案费用最||低,最||低费用是多少万元?23．(10分)如图,A、B是⊙O上两点,△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C ,CD⊥AB交AB的延长线于D．(1 )求证：CD是⊙O的切线；(2 )E为的中点,F为⊙O上一点,EF交AB于G ,假设tan∠AFE =,BE =BG ,EG =3,求⊙O的半径．24．(12分)如图,抛物线y =ax2 +bx +c经过A (﹣1 ,0 ) ,B (4 ,0 ) ,C (0 ,3 )三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E．(1 )求抛物线的函数表达式；(2 )如图1 ,求线段DE长度的最||大值；(3 )如图2 ,设AB的中点为F ,连接CD ,CF ,是否存在点D ,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?假设存在,求点D的横坐标；假设不存在,请说明理由．2021年山东省莱芜市中|考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项正确的,请把正确选项的代码涂写在答题卡上,每题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记0分,共36分)1．(3分)﹣2的绝||对值是()A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】计算绝||对值要根据绝||对值的定义求解．第|一步列出绝||对值的表达式；第二步根据绝||对值定义去掉这个绝||对值的符号．【解答】解：∵﹣2＜0 ,∴|﹣2|=﹣(﹣2 ) =2．应选：D．【点评】此题考查了绝||对值的意义,任何一个数的绝||对值一定是非负数,所以﹣2的绝||对值是2．局部学生易混淆相反数、绝||对值、倒数的意义,而错误的认为﹣2的绝||对值是,而选择B．2．(3分)经中|国旅游研究院综合测算,今年"五一〞假日期间全国接待国内游客1.47亿人次,1.47亿用科学记数法表示为()×107×107×108×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10 ,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝||对值与小数点移动的位数相同．当原数绝||对值＞1时,n是正数；当原数的绝||对值＜1时,n 是负数．【解答】×108 ,应选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10 ,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(3分)无理数2﹣3在()A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【分析】首||先得出2的取值范围进而得出答案．【解答】解：∵2=,∴6＜＜7 ,∴无理数2﹣3在3和4之间．应选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出无理数的取值范围是解题关键．4．(3分)以下列图形中,既是中|心对称,又是轴对称的是()A．B．C．D．【分析】根据中|心对称图形,轴对称图形的定义进行判断．【解答】解：A、是中|心对称图形,不是轴对称图形,故本选项错误；B、不是中|心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误；C、既是中|心对称图形,又是轴对称图形,故本选项正确；D、不是中|心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误．应选：C．【点评】此题考查了中|心对称图形,轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．5．(3分)假设x ,y的值均扩大为原来的3倍,那么以下分式的值保持不变的是()A． B．C．D．【分析】根据分式的根本性质,x ,y的值均扩大为原来的3倍,求出每个式子的结果,看结果等于原式的即是答案．【解答】解：根据分式的根本性质,可知假设x ,y的值均扩大为原来的3倍,A、,错误；B、,错误；C、,错误；D、,正确；应选：D．【点评】此题考查的是分式的根本性质,即分子分母同乘以一个不为0的数,分式的值不变．此题比较简单,但计算时一定要细心．6．(3分)某校举行汉字听写大赛,参赛学生的成绩如下表：成绩(分)8990929495人数46857对于这组数据,以下说法错误的选项是()A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是6【分析】根据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断．【解答】解：A、平均数为=,符合题意；B、中位数是=92 ,不符合题意；C、众数为92 ,不符合题意；D、极差为95﹣89 =6 ,不符合题意；应选：A．【点评】此题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识,解答此题的关键是掌握各知识点的概念．7．(3分)圆锥的三视图如下列图,那么这个圆锥的侧面展开图的面积为()A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm ,圆锥的高为12cm ,再根据勾股定理计算出母线长为13cm ,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm ,即底面圆的半径为5cm ,圆锥的高为12cm ,所以圆锥的母线长==13 ,所以这个圆锥的侧面积=•2π•5•13 =65π (cm2 )．应选：B．【点评】此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．8．(3分)在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,CB =CA =5 ,点C (0 ,3 ) ,点B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y =的图象上,那么k = ()A．3 B．4 C．6 D．12【分析】如图,作AH⊥y轴于H．构造全等三角形即可解决问题．【解答】解：如图,作AH⊥y轴于H．∵CA =CB ,∠AHC =∠BOC ,∠ACH =∠CBO ,∴△ACH≌△CBO ,∴AH =OC ,CH =OB ,∵C (0 ,3 ) ,BC =5 ,∴OC =3 ,OB ==4 ,∴CH =OB =4 ,AH =OC =3 ,∴OH =1 ,∴A (﹣3 ,﹣1 ) ,∵点A在y =上,∴k =3 ,应选：A．【点评】此题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题．9．(3分)如图,AB∥CD ,∠BED =61° ,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F ,那么∠DFB = ()A．149°B．149.5°C．150° D．150.5°【分析】过点E作EG∥AB ,根据平行线的性质可得"∠ABE +∠BEG =180° ,∠GED +∠EDC =180°〞,根据角的计算以及角平分线的定义可得"∠FBE +∠EDF =(∠ABE +∠CDE )〞,再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．【解答】解：如图,过点E作EG∥AB ,∵AB∥CD ,∴AB∥CD∥GE ,∴∠ABE +∠BEG =180° ,∠GED +∠EDC =180° ,∴∠ABE +∠CDE +∠BED =360°；又∵∠BED =61° ,∴∠ABE +∠CDE =299°．∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F ,∴∠FBE +∠EDF =(∠ABE +∠CDE ) =149.5° ,∵四边形的BFDE的内角和为360° ,∴∠BFD =360°﹣149.5°﹣61°=149.5°．应选：B．【点评】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360° ,解决该题型题目时,根据平行线的性质得出相等(或互补)的角是关键．10．(3分)函数y =ax2 +2ax +m (a＜0 )的图象过点(2 ,0 ) ,那么使函数值y ＜0成立的x的取值范围是()A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【分析】先求出抛物线的对称轴方程,再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣4 ,0 ) ,然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：抛物线y =ax2 +2ax +m的对称轴为直线x =﹣=﹣1 ,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2 ,0 ) ,∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣4 ,0 ) ,∵a＜0 ,∴抛物线开口向下,∴当x＜﹣4或x＞2时,y＜0．应选：A．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y =ax2 +bx +c (a ,b ,c 是常数,a≠0 )与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11．(3分)如图,边长为2的正△ABC的边BC在直线l上,两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l ,a和b同时向右移动(a的起始位置在B点) ,速度均为每秒1个单位,运动时间为t (秒) ,直到b到达C点停止,在a和b向右移动的过程中,记△ABC夹在a和b之间的局部的面积为s ,那么s关于t的函数图象大致为()A．B．C．D．【分析】依据a和b同时向右移动,分三种情况讨论,求得函数解析式,进而得到当0≤t＜1时,函数图象为开口向上的抛物线的一局部,当1≤t＜2时,函数图象为开口向下的抛物线的一局部,当2≤t≤3时,函数图象为开口向上的抛物线的一局部．【解答】解：如图①,当0≤t＜1时,BE =t ,DE =t ,=×t×t =；∴s =S△BDE如图②,当1≤t＜2时,CE =2﹣t ,BG =t﹣1 ,∴DE =(2﹣t ) ,FG =(t﹣1 ) ,∴s =S五边形AFGED =S△ABC﹣S△BGF﹣S△CDE=×2×﹣×(t﹣1 )×(t﹣1 )﹣×(2﹣t )×(2﹣t ) =﹣ +3t﹣；如图③,当2≤t≤3时,CG =3﹣t ,GF =(3﹣t ) ,∴s =S△CFG=×(3﹣t )×(3﹣t ) =﹣3t +,综上所述,当0≤t＜1时,函数图象为开口向上的抛物线的一局部；当1≤t＜2时,函数图象为开口向下的抛物线的一局部；当2≤t≤3时,函数图象为开口向上的抛物线的一局部,应选：B．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象,函数图象是典型的数形结合,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力．12．(3分)如图,在矩形ABCD中,∠ADC的平分线与AB交于E ,点F在DE的延长线上,∠BFE =90° ,连接AF、CF ,CF与AB交于G．有以下结论：①AE =BC②AF =CF③BF2=FG•FC④EG•AE =BG•AB其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可②只要证明△AEF≌△CBF (SAS )即可；③假设BF2=FG•FC ,那么△FBG∽△FCB ,推出∠FBG =∠FCB =45°,由∠ACF =45° ,推出∠ACB =90° ,显然不可能,故③错误,④由△ADF∽△GBF ,可得==,由EG∥CD ,推出==,推出=,由AD =AE ,EG•AE =BG•AB ,故④正确,【解答】解：①DE平分∠ADC ,∠ADC为直角,∴∠ADE =×90°=45° ,∴△ADE为等腰直角三角形,∴AD =AE ,又∵四边形ABCD矩形,∴AD =BC ,∴AE =BC②∵∠BFE =90° ,∠BFE =∠AED =45° ,∴△BFE为等腰直角三角形,∴那么有EF =BF又∵∠AEF =∠DFB +∠ABF =135° ,∠CBF =∠ABC +∠ABF =135° ,∴∠AEF =∠CBF在△AEF和△CBF中,AE =BC ,∠AEF =∠CBF ,EF =BF ,∴△AEF≌△CBF (SAS )∴AF =CF③假设BF2=FG•FC ,那么△FBG∽△FCB ,∴∠FBG =∠FCB =45° ,∵∠ACF =45° ,∴∠ACB =90° ,显然不可能,故③错误,④∵∠BGF =180°﹣∠CGB ,∠DAF =90° +∠EAF =90° +(90°﹣∠AGF ) =180°﹣∠AGF ,∠AGF =∠BGC ,∴∠DAF =∠BGF ,∵∠ADF =∠FBG =45° ,∴△ADF∽△GBF ,∴==,∵EG∥CD ,∴==,∴=,∵AD =AE ,∴EG•AE =BG•AB ,故④正确,应选：C．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中|考常考题型．二、填空题(本大题共5小题,每题4分,共20分.请将答案填在答题卡上) 13．(4分)计算：(π﹣3.14 )0 +2cos60°=2．【分析】原式利用零指数幂法那么,特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=1 +2×=1 +1 =2 ,故答案为：2【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法那么是解此题的关键．14．(4分)x1 ,x2是方程2x2﹣3x﹣1 =0的两根,那么x12 +x22=．【分析】找出一元二次方程的系数a ,b及c的值,利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积,然后利用完全平方公式变形后,将求出的两根之和与两根之积代入,即可求出所求式子的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1 =0的两根,∴x1 +x2=．x1x2=﹣,∴x12 +x22=,故答案为：【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系,对所求的代数式进行正确的变形是解决此题的关键．15．(4分)如图,正三角形和矩形具有一条公共边,矩形内有一个正方形,其四个顶点都在矩形的边上,正三角形和正方形的面积分别是2和2 ,那么图中阴影局部的面积是2．【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长,然后求大矩形的面积,从而求得图中阴影局部的面积．【解答】解：设正三角形的边长为a ,那么a2×=2,解得a =2．那么图中阴影局部的面积=2×﹣2 =2．故答案是：2．【点评】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽．16．(4分)如图,正方形ABCD的边长为2a ,E为BC边的中点,、的圆心分别在边AB、CD上,这两段圆弧在正方形内交于点F ,那么E、F间的距离为．【分析】作DE的中垂线交CD于G ,那么G为的圆心,H为的圆心,连接EF ,GH ,交于点O ,连接GF ,FH ,HE ,EG ,依据勾股定理可得GE =FG =,根据四边形EGFH是菱形,四边形BCGH是矩形,即可得到Rt△OEG中,OE = a ,即可得到EF =a．【解答】解：如图,作DE的中垂线交CD于G ,那么G为的圆心,同理可得,H 为的圆心,连接EF ,GH ,交于点O ,连接GF ,FH ,HE ,EG ,设GE =GD =x ,那么CG =2a﹣x ,CE =a ,Rt△CEG中, (2a﹣x )2 +a2=x2 ,解得x =,∴GE =FG =,同理可得,EH =FH =,∴四边形EGFH是菱形,四边形BCGH是矩形,∴GO =BC =a ,∴Rt△OEG中,OE == a ,∴EF = a ,故答案为：a．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质,相交两圆的连心线(经过两个圆心的直线) ,垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．17．(4分)如图,假设△ABC内一点P满足∠PAC =∠PCB =∠PBA ,那么称点P 为△ABC的布罗卡尔点,三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首||次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究"三角形几何〞的热潮．△ABC中,CA =CB ,∠ACB =120°,P为△ABC的布罗卡尔点,假设PA =,那么PB +PC = 1 +．【分析】作CH⊥AB于H．首||先证明BC =BC ,再证明△PAB∽△PBC ,可得===,即可求出PB、PC；【解答】解：作CH⊥AB于H．∵CA =CB ,CH⊥AB ,∠ACB =120° ,∴AH =BH ,∠ACH =∠BCH =60° ,∠CAB =∠CBA =30° ,∴AB =2BH =2•BC•cos30° =BC ,∵∠PAC =∠PCB =∠PBA ,∴∠PAB =∠PBC ,∴△PAB∽△PBC ,∴===,∵PA =,∴PB =1 ,PC =,∴PB +PC =1 +．故答案为1 +．【点评】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．三、解答题(本大题共7小题,共64分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)18．(6分)先化简,再求值：( +)÷,其中a = +1．【分析】根据分式的运算法那么即可求出答案．【解答】解：当a = +1时,原式=×=×===2【点评】此题考查分式的运算,解题的关键的是熟练运用分式的运算法那么,此题属于根底题型．19．(8分)我市正在开展"食品平安城市〞创立活动,为了解学生对食品平安知识的了解情况,学校随机抽取了局部学生进行问卷调查,将调查结果按照"A非常了解、B了解、C了解较少、D不了解〞四类分别进行统计,并绘制了以下两幅统计图(不完整)．请根据图中信息,解答以下问题：(1 )此次共调查了120名学生；(2 )扇形统计图中D所在扇形的圆心角为54°；(3 )将上面的条形统计图补充完整；(4 )假设该校共有800名学生,请你估计对食品平安知识"非常了解〞的学生的人数．【分析】(1 )根据B的人数除以占的百分比即可得到总人数；(2 )先根据题意列出算式,再求出即可；(3 )先求出对应的人数,再画出即可；(4 )先列出算式,再求出即可．【解答】解：(1 ) (25 +23 )÷40% =120 (名) ,即此次共调查了120名学生,故答案为：120；(2 )360°×=54° ,即扇形统计图中D所在扇形的圆心角为54° ,故答案为：54°；(3 )如下列图：(4 )800×=200 (人) ,答：估计对食品平安知识"非常了解〞的学生的人数是200人．【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图,总体、个体、样本、样本容量,用样本估计总体等知识点,两图结合是解题的关键．20．(9分)在小水池旁有一盏路灯,支架AB的长是0.8m ,A端到地面的距离AC 是4m ,支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45° ,在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50° (点C、E、D在同一直线上) ,求小水池的宽DE．(结果精确到0.1m ) (sin65°≈0.9 ,cos65°≈0.4 ,tan50°≈1.2 )【分析】过点B作BF⊥AC于F ,BG⊥CD于G ,根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过点B作BF⊥AC于F ,BG⊥CD于G ,在Rt△BAF中,∠BAF =65° ,BF =AB•sin∠×0.9 =0.72 ,AF =AB•cos∠×0.4 =0.32 ,∴FC =AF +AC =4.32 ,∵四边形FCGB是矩形,∴BG =FC =4.32 ,CG =BF =0.72 ,∵∠BDG =45° ,∴∠BDG =∠GBD ,∴GD =GB =4.32 ,∴CD =CG +GD =5.04 ,在Rt△ACE中,∠AEC =50° ,CE =,∴≈1.7 ,答：小水池的宽DE为1.7米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,关键是此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．(9分)△ABC中,AB =AC ,∠BAC =90° ,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α (0°＜α＜90° )得到△AD'E′ ,连接BD′、CE′ ,如图1．(1 )求证：BD′ =CE'；(2 )如图2 ,当α =60°时,设AB与D′E′交于点F ,求的值．【分析】(1 )首||先依据旋转的性质和中点的定义证明AD′ =AE′ ,然后再利用SAS证明△BD′A≌△CE′A ,最||后,依据全等三角形的性质进行证明即可；(2 )连接DD′ ,先证明△ADD′为等边三角形,然后再证明△△ABD′为直角三角形,接下来,再证明△BFD′∽△AFE′ ,最||后,依据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：(1 )证明：∵AB =AC ,D、E分别是AB、AC的中点,∴AD =BD =AE =EC．由旋转的性质可知：∠DAD′ =∠EAE′ =α ,AD′ =AD ,AE′ =AE．∴AD′ =AE′ ,∴△BD′A≌△CE′A ,∴BD′ =CE′．(2 )连接DD′．∵∠DAD′ =60° ,AD =AD′ ,∴△ADD′是等边三角形．∴∠ADD′ =∠AD′D =60° ,DD′ =DA =DB．∴∠DBD′ =∠DD′B =30° ,∴∠BD′A =90°．∵∠D′AE′ =90° ,∴∠BAE′ =30° ,∴∠BAE′ =∠ABD′ ,又∵∠BFD′ =∠AFE′ ,∴△BFD′∽△AFE′ ,∴．∵在Rt△ABD′中,tan∠BAD′ ==,∴=．【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、旋转的性质,发现△BFD′∽△AFE′是解题的关键．22．(10分)快递公司为提高快递分拣的速度,决定购置机器人来代替人工分拣．购置甲型机器人1台,乙型机器人2台,共需14万元；购置甲型机器人2台,乙型机器人3台,共需24万元．(1 )求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；(2 )甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件,该公司方案购置这两种型号的机器人共8台,总费用不超过41万元,并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件,那么该公司有哪几种购置方案?哪个方案费用最||低,最||低费用是多少万元?【分析】(1 )利用二元一次方程组解决问题；(2 )用不等式组确定方案,利用一次函数找到费用最||低值．【解答】解：(1 )设甲型机器人每台价格是x万元,乙型机器人每台价格是y万元,根据题意得解这个方程组得：答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元(2 )设该公可购置甲型机器人a台,乙型机器人(8﹣a )台,根据题意得解这个不等式组得∵a为正整数∴a的取值为2 ,3 ,4 ,∴该公司有3种购置方案,分别是购置甲型机器人2台,乙型机器人6台购置甲型机器人3台,乙型机器人5台购置甲型机器人4台,乙型机器人4台设该公司的购置费用为w万元,那么w =6a +4 (8﹣a ) =2a +32∵k =2＞0∴w随a的增大而增大=2×2 +32 =36 (万元)当a =2时,w最||小,w最||小∴该公司购置甲型机器人2台,乙型机器人6台这个方案费用最||低,最||低费用是36万元．【点评】此题是一次函数综合题,考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用．23．(10分)如图,A、B是⊙O上两点,△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C ,CD⊥AB交AB的延长线于D．(1 )求证：CD是⊙O的切线；(2 )E为的中点,F为⊙O上一点,EF交AB于G ,假设tan∠AFE =,BE =BG ,EG =3,求⊙O的半径．【分析】(1 )连接OC ,先证明∠OCB =∠CBD得到OC∥AD ,再利用CD⊥AB得到OC⊥CD ,然后根据切线的判定定理得到结论；(2 )解：连接OE交AB于H ,如图,利用垂径定理得到OE⊥AB ,再利用圆周角定理得到∠ABE =∠AFE ,在Rt△BEH中利用正切可设EH =3x ,BH =4x ,那么BE =5x ,所以BG =BE =5x ,GH =x ,接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2 + (3x )2= (3)2 ,解方程得x =3 ,接下来设⊙O的半径为r ,然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程(r﹣9 )2 +122=r2 ,最||后解关于r的方程即可．【解答】(1 )证明：连接OC ,如图,∵BC平分∠OBD ,∴∠OBD =∠CBD ,∵OB =OC ,∴∠OBC =∠OCB ,∴∠OCB =∠CBD ,∴OC∥AD ,而CD⊥AB ,∴OC⊥CD ,∴CD是⊙O的切线；(2 )解：连接OE交AB于H ,如图,∵E为的中点,∴OE⊥AB ,∵∠ABE =∠AFE ,∴tan∠ABE =tan∠AFE =,∴在Rt△BEH中,tan∠HBE ==设EH =3x ,BH =4x ,∴BE =5x ,∵BG =BE =5x ,∴GH =x ,在Rt△EHG中,x2 + (3x )2= (3)2 ,解得x =3 ,∴EH =9 ,BH =12 ,设⊙O的半径为r ,那么OH =r﹣9 ,在Rt△OHB中, (r﹣9 )2 +122=r2 ,解得r =,即⊙O的半径为．【点评】此题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时"连圆心和直线与圆的公共点〞或"过圆心作这条直线的垂线〞；有切线时,常常"遇到切点连圆心得半径〞．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．24．(12分)如图,抛物线y =ax2 +bx +c经过A (﹣1 ,0 ) ,B (4 ,0 ) ,C (0 ,3 )三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E．(1 )求抛物线的函数表达式；(2 )如图1 ,求线段DE长度的最||大值；(3 )如图2 ,设AB的中点为F ,连接CD ,CF ,是否存在点D ,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?假设存在,求点D的横坐标；假设不存在,请说明理由．【分析】(1 )根据待定系数法,可得函数解析式；(2 )根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得DM ,根据相似三角形的判定与性质,可得DE的长,根据二次函数的性质,可得答案；(3 )根据正切函数,可得∠CFO ,根据相似三角形的性质,可得GH ,BH ,根据待定系数法,可得CG的解析式,根据解方程组,可得答案．【解答】解：(1 )由题意,得,解得,抛物线的函数表达式为y =﹣x2 +x +3；(2 )设直线BC的解析是为y =kx +b ,,解得∴y =﹣x +3 ,设D (a ,﹣a2 +a +3 ) , (0＜a＜4 ) ,过点D作DM⊥x轴交BC于M点,如图1,M (a ,﹣a +3 ) ,DM = (﹣a2 +a +3 )﹣(﹣a +3 ) =﹣a2 +3a ,∵∠DME =∠OCB ,∠DEM =∠BOC ,∴△DEM∽△BOC ,∴=,∵OB =4 ,OC =3 ,∴BC =5 ,∴DE =DM∴DE =﹣a2 + a =﹣((a﹣2 )2 +,当a =2时,DE取最||大值,最||大值是,(3 )假设存在这样的点D ,△CDE使得中有一个角与∠CFO相等,∵点F为AB的中点,∴OF =,tan∠CFO ==2 ,过点B作BG⊥BC ,交CD的延长线于G点,过点G作GH⊥x轴,垂足为H ,如图2,①假设∠DCE =∠CFO ,∴tan∠DCE ==2 ,∴BG =10 ,∵△GBH∽BCO ,∴==,∴GH =8 ,BH =6 ,∴G (10 ,8 ) ,设直线CG的解析式为y =kx +b ,∴,解得∴直线CG的解析式为y =x +3 ,∴,解得x =,或x =0 (舍)．②假设∠CDE =∠CFO ,同理可得BG =,GH =2 ,BH =,∴G (,2 ) ,同理可得,直线CG的解析是为y =﹣x +3 ,∴,解得x =或x =0 (舍) ,综上所述,存在点D ,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等,点D的横坐标为或．【点评】此题考查了二次函数综合题,解(1 )的关键是待定系数法,解(2 )的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长,又利用了二次函数的性质；解(3 )的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标,利用了待定系数法求函数解析式,解方程组求得横坐标．。
2018年山东省莱芜市中考数学试卷
2018年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．﹣ C．D．22．（3分）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（）A．14.7×107B．1.47×107C．1.47×108D．0.147×1093．（3分）无理数2﹣3在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4．（3分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A．B．C．D．5．（3分）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A． B．C．D．6．（3分）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是67．（3分）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm28．（3分）在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=的图象上，则k=（）A．3 B．4 C．6 D．129．（3分）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（）A．149°B．149.5°C．150° D．150.5°10．（3分）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜211．（3分）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
2018年山东省莱芜市中考数学试卷
2018年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．﹣C．D．22．（3分）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（）A．14.7×107B．1.47×107C．1.47×108D．0.147×109 3．（3分）无理数2﹣3在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4．（3分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A．B．C．D．5．（3分）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．6．（3分）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：成绩（分）8990929495人数46857对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是92B．中位数是92C．众数是92D．极差是6 7．（3分）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm28．（3分）在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C （0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝的图象上，则k＝（）A．3B．4C．6D．129．（3分）如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB＝（）A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°10．（3分）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x 的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2 11．（3分）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a 和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC 夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE＝BC②AF＝CF③BF2＝FG•FC④EG•AE＝BG•AB其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
山东省莱芜市2018年中考数学试题(原卷版)
山东省莱芜市2018年中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1. ﹣2的绝对值是（）A. ﹣2B. ﹣C.D. 22. 经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（）A. 14.7×107B. 1.47×107C. 1.47×108D. 0.147×1093. 无理数2﹣3在（）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间4. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A. B. C. D.5. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A. B. C. D.6. 某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：对于这组数据，下列说法错误的是（）A. 平均数是92B. 中位数是92C. 众数是92D. 极差是67. 已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）学*科*网...学*科*网...A. 60πcm2B. 65πcm2C. 120πcm2D. 130πcm28. 在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=的图象上，则k=（）A. 3B. 4C. 6D. 129. 如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（）A. 149°B. 149.5°C. 150°D. 150.5°10. 函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A. x＜﹣4或x＞2B. ﹣4＜x＜2C. x＜0或x＞2D. 0＜x＜211. 如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a 和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A. B. C. D.12. 如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
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2018年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1．（3分）（2018•莱芜）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．﹣12C．12D．22．（3分）（2018•莱芜）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（）A．14.7×107B．1.47×107C．1.47×108D．0.147×1093．（3分）（2018•莱芜）无理数2√11﹣3在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4．（3分）（2018•莱芜）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2018•莱芜）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．2+xx−y B．2yx2C．2y33x2D．2y2(x−y)26．（3分）（2018•莱芜）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：成绩（分）8990929495人数46857对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是67．（3分）（2018•莱芜）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm28．（3分）（2018•莱芜）在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=kx的图象上，则k=（）A．3 B．4 C．6 D．129．（3分）（2018•莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE 的平分线交于点F，则∠DFB=（）A．149°B．149.5°C．150° D．150.5°10．（3分）（2018•莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜211．（3分）（2018•莱芜）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）（2018•莱芜）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案填在答题卡上) 13．（4分）（2018•莱芜）计算：（π﹣3.14）0+2cos60°=．14．（4分）（2018•莱芜）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．15．（4分）（2018•莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2√3和2，则图中阴影部分的面积是．16．（4分）（2018•莱芜）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，AÊ、DÊ的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F 间的距离为．17．（4分）（2018•莱芜）如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=√3，则PB+PC=．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)18．（6分）（2018•莱芜）先化简，再求值：（3a−1+a−3a2−1）÷aa+1，其中a=√2+1．19．（8分）（2018•莱芜）我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A非常了解、B了解、C了解较少、D不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图（不完整）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角为；（3）将上面的条形统计图补充完整；（4）若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数．20．（9分）（2018•莱芜）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A 端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）21．（9分）（2018•莱芜）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．（1）求证：BD′=CE'；（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求BFFA的值．22．（10分）（2018•莱芜）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？23．（10分）（2018•莱芜）如图，已知A 、B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一点C ，CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）E 为AB ̂的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交AB 于G ，若tan ∠AFE=34，BE=BG ，EG=3√10，求⊙O 的半径．24．（12分）（2018•莱芜）如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2018年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1．（3分）（2018•莱芜）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．﹣12C．12D．2【考点】15：绝对值．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵﹣2＜0，∴|﹣2|=﹣（﹣2）=2．故选：D．【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以﹣2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为﹣2的绝对值是−12，而选择B．2．（3分）（2018•莱芜）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（）A．14.7×107B．1.47×107C．1.47×108D．0.147×109【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：1.47亿用科学记数法表示为1.47×108，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2018•莱芜）无理数2√11﹣3在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【考点】2B：估算无理数的大小．【专题】1：常规题型．【分析】首先得出2√11的取值范围进而得出答案．【解答】解：∵2√11=√44，∴6＜√44＜7，∴无理数2√11﹣3在3和4之间．故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．4．（3分）（2018•莱芜）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A．B．C．D．【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．【专题】1：常规题型．【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．5．（3分）（2018•莱芜）若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．2+x x−yB ．2y xC ．2y 33xD ．2y 2(x−y) 【考点】65：分式的基本性质．【专题】52：方程与不等式．【分析】据分式的基本性质，x ，y 的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是．【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，A 、2+3x 3x−3y ≠2+x x−y，错误； B 、6y 9x 2≠2y x 2，错误； C 、54y 327x 2≠2y 33x 2，错误； D 、18y 29(x−y)=2y 2(x−y)，正确； 故选：D ．【点评】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．6．（3分）（2018•莱芜）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表： 成绩（分）89 90 92 94 95 人数 4 6 8 5 7 对于这组数据，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是92B ．中位数是92C ．众数是92D ．极差是6【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数；W6：极差．【专题】1：常规题型；542：统计的应用．【分析】根据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断．【解答】解：A 、平均数为89×4+90×6+92×8+94×5+95×74+6+8+5+7=276730，符合题意；B 、中位数是92+922=92，不符合题意； C 、众数为92，不符合题意；D 、极差为95﹣89=6，不符合题意；故选：A ．【点评】本题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．7．（3分）（2018•莱芜）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2【考点】MP ：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体．【专题】55：几何图形．【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm ，圆锥的高为12cm ，再根据勾股定理计算出母线长为13cm ，然后根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm ，即底面圆的半径为5cm ，圆锥的高为12cm ，所以圆锥的母线长=√52+122=13，所以这个圆锥的侧面积=12•2π•5•13=65π（cm 2）． 故选：B ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．8．（3分）（2018•莱芜）在平面直角坐标系中，已知△ABC 为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=kx的图象上，则k=（）A．3 B．4 C．6 D．12【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KW：等腰直角三角形．【专题】534：反比例函数及其应用．【分析】如图，作AH⊥y轴于H．构造全等三角形即可解决问题；【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H．∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，∴△ACH≌△CBO，∴AH=OC，CH=OB，∵C（0，3），BC=5，∴OC=3，OB=√52−32=4，∴CH=OB=4，AH=OC=3，∴OH=1，∴A（﹣3，﹣1），∵点A在y=kx 上，∴k=3，故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．（3分）（2018•莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE 的平分线交于点F，则∠DFB=（）A ．149°B ．149.5°C ．150°D ．150.5°【考点】JA ：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线．【分析】过点E 作EG ∥AB ，根据平行线的性质可得“∠ABE +∠BEG=180°，∠GED +∠EDC =180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE +∠EDF=12（∠ABE +∠CDE ）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．【解答】解：如图，过点E 作EG ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥GE ，∴∠ABE +∠BEG=180°，∠GED +∠EDC=180°，∴∠ABE +∠CDE +∠BED=360°；又∵∠BED=61°，∴∠ABE +∠CDE=299°．∵∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∴∠FBE +∠EDF=12（∠ABE +∠CDE ）=149.5°， ∵四边形的BFDE 的内角和为360°，∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°．故选：B ．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．10．（3分）（2018•莱芜）函数y=ax 2+2ax +m （a ＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是（ ）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】11：计算题．【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=﹣2a2a=﹣1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11．（3分）（2018•莱芜）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【考点】E7：动点问题的函数图象．【专题】532：函数及其图像．【分析】依据a 和b 同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t ＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t ＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t ≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．【解答】解：如图①，当0≤t ＜1时，BE=t ，DE=√3t ，∴s=S △BDE =12×t ×√3t=√32t 2； 如图②，当1≤t ＜2时，CE=2﹣t ，BG=t ﹣1，∴DE=√3（2﹣t ），FG=√3（t ﹣1），∴s=S五边形AFGED =S △ABC ﹣S △BGF ﹣S △CDE =12×2×√3﹣12×（t ﹣1）×√3（t ﹣1）﹣12×（2﹣t ）×√3（2﹣t ）=﹣√3t 2+3√3t ﹣32√3； 如图③，当2≤t ≤3时，CG=3﹣t ，GF=√3（3﹣t ），∴s=S △CFG =12×（3﹣t ）×√3（3﹣t ）=√32t 2﹣3√3t +92√3， 综上所述，当0≤t ＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t ＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t ≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选：B ．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．12．（3分）（2018•莱芜）如图，在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线与AB 交于E ，点F 在DE 的延长线上，∠BFE=90°，连接AF 、CF ，CF 与AB 交于G ．有以下结论： ①AE=BC②AF=CF③BF 2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】LB ：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】152：几何综合题．【分析】①只要证明△ADE 为直角三角形即可②只要证明△AEF ≌△CBF （SAS ）即可；③假设BF 2=FG•FC ，则△FBG ∽△FCB ，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④由△ADF ∽△GBF ，可得AD BG =DF BF =DF EF ，由EG ∥CD ，推出EF DF =EG CD =EG AB ，推出AD BG =EG AB ，由AD=AE ，EG•AE=BG•AB ，故④正确，【解答】解：①DE 平分∠ADC ，∠ADC 为直角，∴∠ADE=12×90°=45°， ∴△ADE 为直角三角形∴AD=AE ，又∵四边形ABCD 矩形，∴AD=BC ，∴AE=BC②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°，∴△BFE 为等腰直角三角形，∴则有EF=BF又∵∠AEF=∠DFB +∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC +∠ABF=135°，∴∠AEF=∠CBF在△AEF 和△CBF 中，AE=BC ，∠AEF=∠CBF ，EF=BF ，∴△AEF ≌△CBF （SAS ）∴AF=CF③假设BF 2=FG•FC ，则△FBG ∽△FCB ，∴∠FBG=∠FCB=45°，∵∠ACF=45°，∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF=180°﹣∠CGB ，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°﹣∠AGF ）=180°﹣∠AGF ，∠AGF=∠BGC ，∴∠DAF=∠BGF ，∵∠ADF=∠FBG=45°，∴△ADF ∽△GBF ，∴AD BG =DF BF =DF EF， ∵EG ∥CD ，∴EF DF =EG CD =EG AB， ∴AD BG =EG AB，∵AD=AE ， ∴EG•AE=BG•AB ，故④正确，故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。