数列综合试题

1．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是 ．2．求555555555n n S =++++个3．求2323n n S a a a na =++++4.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对所有自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，(1)写出数列{}n a 的前三项；(2)求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)；(3)令111()2n n n n n aa b a a ++=+()n N ∈，求123n b b b b n ++++- ．6.若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n m S +．7．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k =+++ *()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '．8．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）求n a 的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972a b =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=）9．对数列{}n a ，规定{}n a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1(*)n n n a a a n N +=-∈ .对正整数k ，规定{}k n a 为{}n a 的k 阶差分数列， 其中1111()k k k k n n n n a a a a ---+=-= .（规定0n n a a = ）（Ⅰ）已知数列{}n a 的通项公式2(*)n a n n n N =+∈，是判断{}n a 是否为等差或等比数列，并说明理由；（Ⅱ）若数列{}n a 首项11a =，且满足212n n n n a a a +-+=- (*)n N ∈，求数列{}n a 的通项公式10.银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.12.594,1.313.796==）1．设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对所有自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，(1)写出数列{}n a 的前三项；(2)求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)；(3)令111()2n n n n n aa b a a ++=+()n N ∈，求123n b b b b n ++++- ．解：（1）由题意：22n a +=0n a >，令1n =，122a +=解得12a =令2n =，222a +=， 解得26a = 令3n =，322a += 解得310a = ∴该数列的前三项为2,6,10.（2）∵22n a +=21(2)8n n S a =+，由此2111(2)8n n S a ++=+，∴221111[(2)(2)]8n n n n n a S S a a +++=-=+-+，整理得：11()(4)0n n n n a a a a +++--=由题意：1()0n n a a ++≠，∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=， ∴数列{}n a 为等差数列，其中12,a =公差4d =，∴1(1)n a a n d =+-=42n -（3）14242122()(11)2424222121n n n b n n n n +-=+=++--+-+1112121n n =+--+ 121111113352121n b b b n n n +++=+-+-++--+ n -1121n -+． 2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n m S +． 解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn m Am Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ (1)(2)-得：22()()n m A n m B m n -+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n m S n m A n m B n m +=+++=-+．3．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=． 4.2323nn S a a a na =++++ ，当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=， 当1a ≠时，2323n S a a a =+++…nna + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)1(1)1n nn n a a a nana a++-+-=--，∴212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-．6.555555555n n S =++++ 个5(999999999)9n =++++个235[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++- 235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=-- ．7．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '．解：（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+ 当7n >时，12n nS b b b b b b '=+++---- 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩8．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）求n a 的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972ab =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=） 解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则115(1)44a a b a b =+-=-，221555()(1)444a a b a b =-=-+，32325555()[()1]4444a ab a b =-=-++，………12*55555()[()()1]()4[()1]()44444n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈ ．（2）当1972b a =时，有79n a a <得55197()4[()1]44729n n a a a --⨯<即5()54n >， 所以，lg51lg 27.2lg52lg 213lg 2n ->=≈--．答：经过8年后该地区就开始水土流失．9．（安徽两地●2010届高三联考）（本小题满分12分）对数列{}n a ，规定{}n a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1(*)n n n a a a n N +=-∈ .对正整数k ，规定{}kn a 为{}n a 的k 阶差分数列，其中1111()k k k k n n n n a a a a ---+=-= .（规定0n n a a = ）（Ⅰ）已知数列{}n a 的通项公式2(*)n a n n n N =+∈，是判断{}n a 是否为等差或等比数列，并说明理由；（Ⅱ）若数列{}n a 首项11a =，且满足212n n n n a a a +-+=- (*)n N ∈，求数列{}n a 的通项公式解：（Ⅰ）221(1)(1)()n n n a a a n n n n +∆=-=+++-+22n =+ （2分）所以{}n a ∆是首项为4，公差为2的等差数列。

（2分）（Ⅱ）212n n n n a a a +∆-∆+=-，即 （1分） 112n n n n n a a a a ++∆-∆-∆+=- （1分） 所以122n n n a a +=+ （1分）因为11a =，所以1223422,1232,a a ==⨯==⨯343242a ==⨯ ``` ```（1分）猜想：12n n a n -=⋅ （1分）证明：①当1n =时，01112a ==⨯，符合猜想； （1分） ②假设*()n k k N =∈时，12k k a k -=⋅ 当1n k =+时，1222k k k k k a a a k +=+=⋅+ (1)1(1)2k k +-=+⋅ （2分）由①②可知，12n n a n -=⋅10.银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==）解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==- （万元）到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元） ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯== （万元） 贷款的本利和为：1091.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=- （万元）∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元）所以，甲方案的获利较多．。