【精品】2020年高考理科数学大一轮提分课后限时集训55 双曲线

合集下载

苏教版高中数学选修高考一轮理双曲线一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案

双曲线分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a＝2，∴a ＝1.答案 12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5. 答案53．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝6，a 2＋b 2＝c2b a ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.答案x 29－y 227＝14．(2011·湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.解析双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 25．(2012·苏州市自主学习调查)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．解析由题意，得2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，所以5a 2＝4c 2，e 2＝c 2a 2＝54，e ＝52.答案526．(2012·南京模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，A (a,0)，F (c,0)，于是A 是线段BF 的中点，得c －a 2c ＝2a ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0.又e ＞1，所以e ＝2＋1. 答案2＋1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 由e ＝ca，得e ＝1x ，故e ＝233或e ＝2. ∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2＞2， ∴应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.8．设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝102＋42－21322×10×4＝45. 分层训练B 级创新能力提升1．(2011·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 52．(2012·南京调研)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积是________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2，3PF 1＝4PF 2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝8，PF 2＝6.又由F 1F 2＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12PF 1×PF 2＝24.答案 243. (2012·苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝14．(2013·南京师大附中调研)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°，又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca＝2. 答案 25．(2012·台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)解 ∵在△F 1MF 2中，F 1F 2＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·F 1F 2·|m |＝12×43×3＝6.6．(2010·全国Ⅱ卷)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(1)解由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2，代入C 的方程并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－4a 2－a 2b2b 2－a 2. 由M (1,3)为BD 的中点，知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2b 2－a2＝1，即b 2＝3a 2，①∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a＝2. (2)证明由①知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2. A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0.故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴|BF |＝x 1－2a2＋y 21＝x 1－2a2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1，∴|FD |＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17，解得a ＝1或a ＝－95(舍去)．故|BD |＝2|x 1－x 2|＝ 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，∴∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在A 处与x 轴相切．∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《双曲线》含答案

第六节双曲线知识点一双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．1．判断正误(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(B)A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对解析：由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.知识点二双曲线的标准方程与几何性质1．双曲线的标准方程和几何性质2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.3．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( D )A ．k >5B ．2<k <5C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5.4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：解法1：由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A.解法2：由e ＝ca ＝1＋(b a )2＝3，得ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A.5．(2019·合肥市质量检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于62.解析：不妨取双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为(3,0)，半径为2，∴圆心(3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝3ba 2＋b2，又d ＝22－(22)2＝3，∴3ba 2＋b2＝3，化简得a 2＝2b 2，∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝62.1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线． (2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线． (4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线． (2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线． 3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P 在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2 B．4C．6 D．8(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.(2)设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．【答案】(1)B(2)x2－y28＝1(x≤－1)双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2019·沈阳市教学质量监测(一))已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( A )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：如图，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ， ∴a ＝3.故选A.考向二双曲线的标准方程【例2】 (2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1【解析】解法1：因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，取双曲线的一条渐近线为直线bx －ay ＝0，由点到直线的距离公式可得d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc ＋b 2c ，因为d 1＋d 2＝6，所以bc －b 2c ＋bc ＋b 2c ＝6，所以2b ＝6，得b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.解法2：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.【答案】 C求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2019·福州高三考试)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( C )A.x 24－y 28＝1 B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D ．y 2－x 22＝1(2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.解析：(1)由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M 到原点的距离为3，得c ＝3，又e ＝ca ＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C.(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法2：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y2＝1.考向三双曲线的几何性质方向1 渐近线问题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4【解析】因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M (32，32)，所以|OM |＝(32)2＋(32)2＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.【答案】 B 方向2 离心率问题【例4】 (2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.【答案】 C方向3 最值与范围问题【例5】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 【解析】因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.【答案】 A1.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决.2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1.(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). (3)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).1．(方向1)(2019·福州四校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( A )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a 2a 2＋b2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.2．(方向2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝1相切，则双曲线的离心率为( D )A ．2 B. 3 C ．3 D ．4解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0.依题意，直线bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y －4)2＝1相切，则圆心(0,4)到直线bx ±ay ＝0的距离d ＝|4a |a 2＋b2＝1，所以4a c ＝1，所以双曲线离心率e ＝ca ＝4.3．(方向3)中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝3，若椭圆C 1的离心率e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，则双曲线的离心率e 2的范围是( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫43，2 D.(2,3)解析：设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意有：|PF 2|＝3＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，同理可得2m ＝|PF 1|－|PF 2|＝2c －(2a －2c )＝4c －2a ，所以m ＝2c －a ，又e 2＝c m ＝c 2c －a＝12－1e1，因为e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，所以1e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32，所以e 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2.经久不衰的高考热点——离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求圆锥曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆或双曲线的离心率问题难点的根本方法．一、利用定义求离心率典例1 (2019·广州高三调研测试)在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233 C ．1＋ 3D ．2＋ 3【解题思路】设F ′为双曲线的左焦点，利用△OPF 为正三角形求出|PO |＝|PF |＝c ，∠POF ′＝120°，利用双曲线的定义得到|PF ′|＝2a ＋c ，最后在△PF ′O 中由余弦定理可得ca 的值．【解析】设F ′为双曲线的左焦点，|F ′F |＝2c ，依题意可得|PO |＝|PF |＝c ，连接PF ′，由双曲线的定义可得|PF ′|－|PF |＝2a ，故|PF ′|＝2a ＋c ，在△PF ′O 中，∠POF ′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝c 2＋c 2－(2a ＋c )22c 2，化简可得c 2－2ac －2a 2＝0，即(c a )2－2×c a －2＝0，解得c a ＝1＋3或ca ＝1－3(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e ＝1＋3，故选C.【答案】 C二、利用平面几何性质求离心率典例2 (2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．【解析】如图，设椭圆的右焦点为F (c,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A (c 2，3c2)，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1，∵双曲线的渐近线过点A (c 2，3c2)， ∴渐近线方程为y ＝3x ， ∴nm ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.【答案】 3－1 2三、利用椭圆或双曲线的性质建立方程(或不等式)求离心率的值(或取值范围)典例3 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则该椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22【解析】设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，y 2＝b 2－b2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )．所以PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→·PF 2→≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以33≤c a ≤22.故选B.【答案】 B(1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( A )A.13B.12C.23D.34(2)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( B )A.22B.33C.12D.13解析：(1)由题意，不妨设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，k >0，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka .设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得12|OE ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k (a －c )＝a a ＋c ，整理，得c a ＝13，故椭圆的离心率e ＝13.故选A.(2)由题意，可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .因为在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，所以|F 1F 2||PF 1|＝2acb 2＝ 3.因为b 2＝a 2－c 2，所以3c 2＋2ac－3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－ 3.又e ∈(0,1)，所以e ＝33.故选B.。

2020年高考数学专题提升：椭圆、双曲线、抛物线(含答案)

椭圆、双曲线、抛物线一、单项选择题（每题5分；共60分）1.若双曲线C：x2m−y2=1的一条渐近线方程为3x+2y=0，则m=（）A. 49B. 94C. 23D. 322.已知斜率为13的直线l经过双曲线y2a2−x2b2=1的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A. 1<e<√103B. 1<e<√10 C. e>√103D. e>√103.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上的点，且PF1与x轴垂直，ΔPF1F2的内切圆的方程为(x+1)2+(y−1)2=1，则双曲线C的渐近线方程为（）A. y=±√33x B. y=±√3x C. y=±12x D. y=±2x4.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|=12，直线PF2的斜率为−4√3，ΔPF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C. √3D. √25.过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，Q(1,2)，若1|AB|+1|CD|=14，则|PF|+|PQ|的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知F1、F2为椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点，过点F2作斜率为1的直线l与C交于A、B两点，则ΔABF1的面积为（）A. 12√27B. 6√27C. 127D. 12√377.已知双曲线x2a2−y2b2=1的右支与抛物线x2=2py相交于A,B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1,d2,d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±√3x D. y=±√33x8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （ a >0 ， b >0 ）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（） A.x 22−y 23=1 B. x 24−y 23=1 C. x 24−y 29=1 D. x 216−y 29=19.设椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若 C 上存在点 P 满足 |PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=4:3:2 ，则椭圆 C 的离心率等于（）A. 12 B. 23 C. 2 D. 32 10.抛物线 x 2=2py(p >0) 的焦点与双曲线 x 216−y 29=1 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（）A. 152 B. 403 C. 203 D. 8√7311.若双曲线x 2a 2−y 2b 2= 1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线y =√3 （x ﹣2）与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为（）A. 1B. √3C. 2D. 2 √312.已知双曲线 C 的中心为坐标原点，离心率为 √3 ，点 P(2√2,−√2) 在 C 上，则 C 的方程为（） A.x 24−y 22=1 B. x 27−y 214=1 C. x 22−y 24=1 D. y 214−x 27=1二、填空题（每题4分；共20分）13.若椭圆 C:x 22m+1+y 22m =1 的离心率为 12 ，则 C 的短轴长为________． 14.若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为 y =±x ，则双曲线的离心率为________． 15.设抛物线 y 2=2x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且 |AF|=4|BF| ，则弦长 |AB|= ________．16.从抛物线 y 2=4x 图象上一点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 B ，且 |AB|=5 ，设 F 为抛物线的焦点，则 △ABF 的面积为________.17.过抛物线 C ： x 2=4y 的准线上任意一点 P 作抛物线的切线 PA ， PB ，切点分别为 A ， B ，则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和的最小值是________.三、解答题（共3题；共40分）18.求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2， √6 )的椭圆的标准方程. （10分）19.（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的标准方程；（5分）（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为x±2y=0，求双曲线的方程．（10分）20.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M(4,1)，N(2,2).（1）求椭圆C的方程；（5分）（2）若斜率为1的直线与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线l的距离为√2，求直线l的方程.（10分）参考答案一、单项选择题 1.【答案】 A 2.【答案】 D 3.【答案】 B 4.【答案】 B 5.【答案】 C 6.【答案】 A 7.【答案】 A 8.【答案】 C 9.【答案】 A 10.【答案】 B 11.【答案】 C 12.【答案】 B 二、填空题13.【答案】 2√3 14.【答案】 √2 15.【答案】25816.【答案】 10 17.【答案】 4 三、解答题18.【答案】解：椭圆 9x 2+5y 2=45 化成标准方程，得y 29+x 25=1 ，∴ 椭圆的焦点在 y 轴，且 c 2=9−5=4 ，得 c =2 ，焦点为 (0,2) ， (0,−2) ． ∵ 所求椭圆经过点 M(2,√6) 且与已知椭圆有共同的焦点， ∴ 设椭圆方程：y 2a2+x 2a 2−4=1 ，将 M(2,√6) 代入 6a 2+4a 2−4=1 ，解得： a 2=12 ，因此所求的椭圆方程为y 212+x 28=1 ，19.【答案】（1）解：由题意，该椭圆的焦点在x 轴，设椭圆的标准方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ， ∴ {2a =2⋅2b a 2−b 2=(2√3)2 ，解得 {a =4b =2 ， ∴该椭圆的标准方程为x 216+y 24=1（2）解：由题意，设双曲线的标准方程为 y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0) ，设焦距为2c ，∴ {a 2+b 2=c 2a b =122c =10 ，解得 {a =√5b =2√5c =5 ， ∴该双曲线的方程为y 25−x 220=120.【答案】（1）解：设椭圆C 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m≠n)，由题意得 {16m +n =14m +4n =1 解得 {m =120n =15∴椭圆C 的方程为 x 220+y 25＝1.（2）解：由题意可设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，将其代入椭圆方程, 得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0.则Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－20)＝－16m 2＋400＞0， ∴－5＜m ＜5.又点M(4,1)到直线l 的距离为 √1+1= √2∴m ＝－1或m ＝－5(舍去). ∴直线l 的方程为x －y －1＝0.。

2020届高考理科数学一轮复习第9章第6节双曲线含答案

第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略．①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； ②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在；③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e22＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、选填题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)解析：选C∵原方程可化为x21－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)4．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．解析：由题意得2a＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.答案：x 220－y 216＝1考点一双曲线的标准方程[基础自学过关][题组练透]1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝15．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[名师微点]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(如第4题)考点二双曲线的定义及其应用 [师生共研过关][典例精析](1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.(3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[解析] (1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，且a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.(3)因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.[答案] (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34(3)9[解题技法]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[过关训练]1．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1解析：选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x ＞2)．考点三双曲线的几何性质[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[例1] (1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca＝5.[答案] (1)B (2)A考法(二) 求双曲线的渐近线[例2] (2019·武汉调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a 2＝25，b 2＝16，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A考法(三) 求双曲线的方程[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 [解析] 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a ,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a ＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.[答案] B[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.3．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1―→·MF 2―→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233解析：选A 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)， MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1―→·MF 2―→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.。

2020年高考一轮课时训练(理)10.2双曲线 (通用版)

第二节双曲线一、选择题1．(2020年全国卷Ⅱ)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝( )A. 3 B．2 C．3 D．62．(2020年江西卷)设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F 1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32B．2 C.52D．33．(2020年福建卷)若双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于( ) A．2 B. 3 C.32D．14．(2020年重庆卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为( )A.x2a2－y24a2＝1 B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1 D.x25b2－y2b2＝15．“ab＜0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件二、填空题6．(2020年上海春招)已知P 是双曲线x 2a 2－y29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若||PF 2＝3，则||PF 1＝______.7．(2020年海南宁夏卷)双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F.过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为__________．8．已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．10．(2020年上海卷)双曲线C ：x 22－y 2＝1，设过A(－32，0)的直线l 的方向向量e ＝(1，k)．(1)当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；(2)证明：当k ＞22时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到达直线l 的距离为 6.参考答案1．解析：由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r ＝ 3. 答案：A2．解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝ca ＝2，故选B.答案：B3．解析：由x 2a 2－y 23＝1可知虚半轴b ＝3，而离心率e ＝c a ＝a 2＋3a ＝2，解得a＝1或a ＝－1(舍去)，选D.答案：D4．解析：e ＝ca＝5k ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b a＝k ca ＝5k a 2＋b 2＝c2, 所以a 2＝4b 2.答案：C5．解析：由ab ＜0，得a>0，b ＜0或a ＜0，b>0.由此可知a 与b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然．答案：C6．解析：由题知a ＝1，故||PF 1－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝|PF 2|＋2＝3＋2＝5. 答案：57．解析：双曲线的右顶点坐标A(3,0)，右焦点坐标F(5,0)，设一条渐近线方程为y ＝43x ，建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －5x 29－y 216＝1，得交点纵坐标y ＝－3215，从而S △AFB ＝12×2×3215＝3215.答案：32158．解析：∵△ABF 2是等腰三角形，顶角为∠AF 2B. ∴△ABF 2是锐角三角形⇔12∠AF 2B ＜45°⇔b 2a 2c ＜tan 45°.由b 22ac＜1⇒c 2－a 2＜2ac ⇒e 2－2e －1＜0 ⇒0＜e ＜1＋2，又e ＞1，∴e 的取值范围是：(1,1＋2)．答案：(1,1＋2)9．解析：(1)由e ＝2⇒ca ＝2⇒c 2＝2a 2⇒a 2＝b 2.设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，将点(4，－10)代入得：λ＝6，故所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵c 2＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x 2－y 2＝4得：m 2＝3. 当m ＝3时，MF 1→＝(－23－3，－3)，MF 2→＝(23－3，－3) ∴MF 1→·MF 2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0， ∴MF 1⊥MF 2，当m ＝－3时，同理可证MF 1⊥MF 2. (3)S△F 1MF 2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6. 10．解析：(1)双曲线C 的渐近线m ：x2±y＝0. ∴直线l 的方程x±2y ＋32＝0 ∴直线l 与m 的距离d ＝321＋2＝ 6.(2)证明：法一：设过原点且平行与l 的直线b ：kx －y ＝0，则直线l 与b 的距离d ＝32|k|1＋k 2当k ＞22时，d ＞ 6. 又双曲线C 的渐近线为x±2y ＝0， ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方，∴双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于 6.故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为 6. 法二：双曲线C 的右支上存在点Q(x 0，y 0)到直线l 的距离为6，则⎩⎨⎧|kx 0－y 0＋32k|1＋k 2＝6， ①x 20－2y 20＝2， ②由①得y 0＝kx 0＋32k±6·1＋k 2，设t ＝32k±6·1＋k 2.当k＞22，t＝32k±6·1＋k2＞0.将y0＝kx＋t代入②得(1－2k2)x20－4ktx－2(t2＋1)＝0(*)∵k＞22，t＞0，∴1－2k2＜0，－4kt＜0，－2(t2＋1)＜0∴方程(*)不存在正根，即假设不成立．故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l的距离为 6.。

2020年浙江高考数学一轮复习：双曲线

••>必过数材美1.双曲线的定义平面内与两个定点F i, F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于IF1F2I)的点的轨迹叫做双曲线•这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线白____________ 集合P= {M|||MF 1|-|MF2||= 2a}, |F i F2|= 2c,其中a, c 为常数且a> 0, c>0.(1) 当2a v |F i F21时，P点的轨迹是双曲线；(2) 当2a = |F i F 2|时，P点的轨迹是两条射线；(3) 当2a > |F i F21时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程---------------- 2------- 2 -------------------------------------------------/—y2=i(a>0, b> 0)----------- 2 ------- 2--------------------------------------------字-討i(a> 0, b> 0)图形A性质范围x< — a 或x>a, y€ R y w —a 或y> a, x€ R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A i( —a,0), A2(a,0)顶点坐标：A i(0, —a), A2(0 , a)渐近线y=*x y= ±x离心率ce= ", e€ (i ,+s ) a ----a, b, c的关系c2= a2+ b2实虚轴线段A i A2叫做双曲线的实轴，它的长|A i A2| = 2a；线段B i B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B i B2| = 2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长［小题体验］2 2 i双曲线x —y2=1的焦距为 __________________________________ •2 2解析：由双曲线—七=1,易知c 2= 3 + 2= 5,所以c = 5,322 2 所以双曲线X-—专=1的焦距为2 5.答案：2 52 22•(教材习题改编)以椭圆^4+yx =i 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为2 2解析：设要求的双曲线方程为予—令=1(a >0, b >0),2 2由椭圆X += 1 , 4 3得椭圆焦点为(±,0),顶点为(±,0) • 所以双曲线的顶点为(±,0),焦点为(±,0). 所以 a = 1, c = 2, 所以 b 2= c 2— a 2= 3,2所以双曲线标准方程为 X 2— : = 1.2答案：x 2— y = 122f~53. (2018北京高考)若双曲线 y4 = 1(a > 0)的离心率为玄，贝V a= ________ ,T a > 0, . a = 4. 答案：4••>必过易错关1.双曲线的定义中易忽视 2a < IF 1F 2I 这一条件.若2a =|F 1F 2|，则轨迹是以F 1, F ?为端点的两条射线，若 2a > IF 1F 2I ，则轨迹不存在.2•双曲线的标准方程中对 a , b 的要求只是a >0, b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ,b 的要求相同.若a > b > 0,则双曲线的离心率 e € (1, 2);若a = b > 0,则双曲线的离心率 e =2;若0<a < b,则双曲线的离心率 e € (• 2,+^ ).2 23.注意区分双曲线中的 a , b , c 大小关系与椭圆中的 a , b, c 关系，在椭圆中a = b + c 2,而在5 4,a 2= 16.解析：由e =：；= a 2+ 4 2~ a双曲线中c2= a2+ b2.4•易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b,当焦点在y轴上，渐近线斜率为±b［小题纠偏］2 21.设P是双曲线土一士 = 1上一点，F i, F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF i|16 20=9则|PF2|等于____________ .解析：由题意知|PF i|= 9v a+ c= 10,所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|- |PF i|= 2a = 8,故|PF2|= |PF i| + 8= 17.答案：172•以直线y= ±2x为渐近线，且过点（一U3, 2）的双曲线的标准方程为____________解析：因为双曲线的渐近线方程为y=±. 2x,不妨可设该双曲线的方程为2x2—y2=入因为双曲线过点（一，3, 2）,所以6 —4= = 2，所以双曲线的方程为2x2—y2= 2,2即其标准方程为x2—专=1.2答案：x2—专=1考点一双曲线的标准方程基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019金华调研）已知双曲线的一个焦点与圆x2+ y2—4y= 0的圆心重合，且其渐近线的方程为一3x勿=0，则该双曲线的标准方程为（）2 2A.x—y2= 1B.y—x2= 1332 2 2 2C.2L —必=1D.y-—瓦=19 16 16 92 解析：选B 由圆的方程知其圆心为（0,2），故双曲线的焦点在y轴上，设其方程为鸟—a2器=1（a>0, b> 0），且a2+ b2= 4, ①又知渐近线方程为V3x±y= 0,二；=西，②2 由①②得a 2= 3, b 2= 1 ,•••双曲线方程为y3 — x 2= 1.2 2 2. （2018海口二模）已知双曲线 C :孑一狰=他〉0，b >0）过点（2, 3），且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（）2A.X- - y 2= 1 -2 2B.x — y= 1 9 32C X 2 — y - = 132 2 D.X y= 1 -3 3 2解析：选C •••实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，•b= tan 60a3. （2018温岭模拟）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为F （3,0）,且离心率等于3, 则该双曲线的标准方程为 ______________ ;渐近线方程为 ______________ .2 解析：因为c = 3,所以e = c = 3解得a = 2,所以b 2= 5.所以双曲线的标准方程为 X a 24y5 = 1，其渐近线方程为y = ±25x.24.焦点在x 轴上，焦距为卩且与双曲线y 4-宀1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 _________________ .22 2 设所求双曲线的标准方程为 y — H = — X X>0），即X— y = 1,则有4入+匸25,4 X 4 X 2 2所以所求双曲线的标准方程为令—± = 1.5 202 2x -—y - = 1520［谨记通法］求双曲线标准方程的2种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ,b ,c 的方2 2 2 2程并求出a , b , c 的值.与双曲线字—¥= 1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 p —吉=3,即b =』3a ,T 双曲线2 2 C :予-沪1(a >0,2b >0)过点(2,3),•匸2a —3拿=1，解得a 2= 1 ,•b 2= 3,故双曲线C 的标准方程是=1.解析：解得X= 5, 答案：⑵定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定 c 的值.考点二双曲线的定义重点保分型考点一一师生共研［典例引领］2 4已知双曲线X 2— 加1的两个焦点为F l , F 2, P 为双曲线右支上一点. 若|PF i | = 4|PF 2|,则厶F 1PF 2的面积为（）A . 48B . 24C . 12D . 6解析：选B 由双曲线的定义可得1|PF i |— |PF 2|=尹2| = 2a = 2, 解得 |PF 2|= 6,故|PF 1|= 8，又 |F 1F 2|= 10,由勾股定理可知三角形 PF 1F 2为直角三角形, 1因此 S A PF 1F 2= Q|PF 1||PF 2|= 24.［由题悟法］应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” •若定义中的“绝对值” 去掉，点的轨迹是双曲线的一支•同时注意定义的转化应用.［即时应用］1.已知F 1, F 2为双曲线C : x 2— y 2= 2的左、右焦点，点 P 在C 上, 则 cosZ F 1PF 2=(1 A _ A .4 4 %2 2双曲线方程可化为》—=1,,|PF 1|— |PF 2|= 2\f2, m 厂厂由'得|PF 1|= 4迈,|PF 2|= 2最，由余弦定理得cos/ F 1PF 2 =JPF 1|= 2|PF 2||PF 『+ |PF 2|2—尸讦2|2 = 32|PF 1| |PF 2| = 4.2 2|PF 1|= 2|PF 2|,Bl解析：选C.a = b = 2,c = 2.2. (2018余姚期初)已知△ ABC的顶点A, B分别为双曲线器—弋=1的左、右焦点，X.［锁定考向］双曲线的几何性质是每年高考命题的热点. 常见的命题角度有:(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2) 求双曲线的渐近线方程; (3)求双曲线方程.［题点全练］角度一：求双曲线的离心率(或范围)2 21. (2016山东高考)已知双曲线 E : j —器=1(a >0, b >0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在E 上, AB , CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|= 3|BC|，贝U E 的离心率是 2b 2解析：如图，由题意知|AB|=』,|BC|= 2c.a又 2|AB| = 3|BC|,22X 也=3X 2c ,即 2b 2 = 3ac , a.2(c 2— a 2) = 3ac ,两边同除以a 2并整理得2e 2— 3e — 2 = 0,解得e = 2(负值舍去).答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程22. (2018乐清调研)以椭圆X + /= 1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是2 2 X2— y2= 1(a >0, b >0),则 a = . 4— 1= . 3, a bc = 2，所以 b 2= c 2— a 2= 4- 3 = 1,故所求渐近线方程为 y = ±33/ 0r顶点C 在双曲线上，则|Sin A- Sin B|的值为 sin C解析：由正弦定理知, SBCA = SACB =盔，由双曲线的定义可知，|Sin AinC in B|l|BC|—|AC|| =色=4|AB| = 10= 5.答案:45考点三双曲线的几何性质题点多变型考点多角探明解析：由题意可知所求双曲线方程可设为角度三：求双曲线方程- -3.过双曲线C: {— y «= 1（a >0, b > 0）的右顶点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相a b交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A , O 两点（0为坐标原点），则双曲线2 2B.X --y -= 1 7 9- -D 各-y -= 1 1- 4解析：选A 由题意知右顶点为（a,0），不妨设其中一条渐近线方程为 y =-x ，因此可得a点A 的坐标为（a , b ）.设右焦点为 F （c,0），由已知可得 c = 4，且|AF|= 4,即（c — a ）-+ b -= 16,所以有（c — a ）-+ b -= c -,又 c -= a -+ b -,贝U c = 2a ，即 a = - = 2,所以 b -= c -— a -= 4-— 2-= 12,故双曲线- -的方程为―—± = 1.4 12［通法在握］与双曲线几何性质有关问题的解题策略（1）求双曲线的离心率（或范围）.依据题设条件，将问题转化为关于 a , c 的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得.⑵求双曲线的渐近线方程•依据题设条件，求双曲线中a ,b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.（3）求双曲线的方程•依据题设条件，求出 a , b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程.⑷求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长•依题设条件及 a , b , c 之间的关系求解.［演练冲关］- -1. （2018萧山六校联考）已知I 为双曲线C : x -—善=1（a >0, b >0）的一条渐近线，I 与a b 圆F : （x — c ）-+ y -= a -（其中c -= a -+ b -）相交于A , B 两点，若△ ABF 为等腰直角三角形，则 C 的离心率为（）D.C 的方程为（）- -x y . A — — = 1 4 1 答案：y =解析：选D 由题意可设I的方程为bx+ ay= 0.已知圆F : (x — c)2 + y 2= a 2的圆心为(c,0)，半径为a ,2 2•••I 为双曲线C ：字— y2=1(a >0, b >0)的一条渐近线，I 与圆F : (x — c)2 + y 2= a 2(其中c 2= a 2+ b 2)相交于A , B 两点，△ ABF 为等腰直角三角形，二|AB|= 2a.的距离的取值范围是又(c,0)到 l 的距离 d = |b<2+ 0|2=实：b,」b+ a ca 2= 2b 2.又c 2= a 2 + b 2,. e =c =专.a 2 2 2 x2. (2018 •州调研)设双曲线孑一 ...b 2+ JAB 1 2= a 2,将|AB|= 2a 代入上式，得器=1(a >0, b >0)的虚轴长为 2,焦距为2,3,则双曲线的渐近线方程为解析：因为2b = 2,所以b = 1,所以双曲线的渐近线方程为因为 2c = 2 3,所以 c = 3，所以 a = \f c 2 — b 2= ,2, 令x.3. (2018杭州二中适应2 2)双曲线j — ¥= 1(a > 0, b > 0)上存在一点 P ,与坐标原点0、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则p1c ,双曲线上，所以 2c4a 2釜=1，结合 b 2= c2-a2 及 e=:, 化简得 e 4— 8e2+ 4= 0, 解得e 2= 4+ 2 .3或 e 2= 4— 2 3.因为e > 1,所以e 2= 4+ 2 3，所以答案：目3+ 1e =叮'4+ 2 3 = 3+ 1.4. (2018安阳二模)已知焦点在2x 轴上的双曲线 X2+ —J = 1,它的焦点 8 — m 4— mF 到渐近线2 2解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线X 2— y 2= 1(a >0, b >0)，它的右焦点a b2 2 2 2 J 缨2= b.而双曲线 —+ — = 1,即 X — y: /b 2 + a 2 8 — m 4 — m 8— mm — 4线bx — ay = 0的距离为(c,0)到渐近1的焦点在答案：y =8 —m> 0,x轴上，则m—4> 0, 解得4v m v 8,它的焦点F到渐近线的距离为.m—4€ (0,2).答案：(0,2)考点四直线与双曲线的位置关系重点保分型考点师生共研［典例引领］2 2设A , B 分别为双曲线 j — ¥= 1(a >0, b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y p^x — 2与双曲线的右支交于 M , N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D ，使6M + O N = t"O D ，求t 的值及点D 的坐标.解：(1)由题意知a = 2 3,T 一条渐近线为 y = b x ，即卩bx — ay = 0.a•••由焦点到渐近线的距离为 , 得 |b© 3得—b 2+ a 2= 3.又T c 2 = a 2+ b 2,「. b 2= 3,2 2•••双曲线的方程为%—y =i.12 3(2)设 M (X 1, y i ), N(X 2, y 2), D(x o , y o ), 贝y X 1+ X 2= tX o ,浙 + y 2= ty o .厂 2 2将直线方程『=爭—2代入双曲线方程誇—y3 = 1得 x 2— 16 3x + 84= 0,贝U x 1+ x 2= 16 3,屮+ y 2 = _33(X 1+ x 2)— 4 = 12.• t = 4，点D 的坐标为(4 3, 3).［由题悟法］直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1) 判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为o 的判断.(2) 技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验.［即时应用］已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 经过A( — 7,5), B( — 1,— 1)两点.(1) 求双曲线C 的方程；2 2(2) 设直线I : y = x + m 交双曲线C 于M , N 两点，且线段 MN 被圆E : x + y — 12x + nX 0 = g y o = 3 ,2 2 x o — y o =1 12 3. 解得 x o = , yo = 3.=0(n € R)三等分，求实数 m , n 的值. 解：⑴设双曲线C 的方程是入2+^y= i ,依题意有所以 P(— 2m , — m).又圆心E(6,0)，依题意k p E =— 1, 故昴=7即m =-2.将m =— 2代入①得x 2— 8x + 7= 0, 解得 x 1= 1, x 2= 7,所以 |MN |= 1+ 12|x 1 — X 2|= 6 2. 故直线I 截圆E 所得弦长为3|MN |= 2 2. 又E(6,0)到直线l 的距离d = 2 2, 所以圆E 的半径R =「2：2 2+—2 2= 10,所以圆E 的方程是x 2+ y 2— 12x + 26= 0. 所以 m =— 2, n = 26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快21. (2018浙江高考)双曲线；3 —寸=1的焦点坐标是()3 A . (— 2, 0), ( 2, 0) B . (— 2,0), (2,0) C . (0, — 2), (0,2)D . (0, — 2), (0,2)2解析：选B •••双曲线方程为专—y 2= 1,解得入=- 11= 2, 所以所求双曲线的方程是2y 2— x 2= 1.22(2)将 I : y = x + m 代入 2y — x = 1, 得 x 2+ 4mx + (2m 2— 1) = 0,①2 2 2 △= (4m) — 4(2 m — 1) = 8m + 4 > 0.设 M(X 1, y 1), N(X 2, y 2), MN 的中点 P(x o , y o ), 则 x 1+ x 2=— 4m , x 1x 2= 2m 2— 1,所以x o =X 1+ X 22 =—2m ,y o = X o + m =— m ,答案：n 165.如图所示，已知双曲线以长方形a 2= 3,b 2= 1且双曲线的焦点在 x 轴上,c = p..；：a 2+ b 2 = \.3 + 1 = 2, •••该双曲线的焦点坐标是(一2,0), (2,0).2 2 2 22. (2018唐山期中联考)已知双曲线 C ：冷―n = l(m >0, n >0)的离心率与椭圆方+=1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为()A . 4x ±3y = 0=0.故选A.2 23. (2018湖南师大附中12月联考)已知双曲线C : X 2 —治=1(a > 0, b >0)的左、右焦点分别是F i , F 2，正三角形 AF 1F 2的一边AF i 与双曲线左支交于点 B ，且AF i = 4BF 1，则双曲线C 的离心率为()A ^2?+ 113 , d C.〒+ 1解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(— c,0), A(0, ■. 3c),设B(x ,y),T AF 1= 4BF 1 ,• (— c ,— ：：f 3c)= 4( — c — x ,— y),• x =—乎，y =亠^,代入双曲线方2 29c 3c程可得磚—216 2= 1, • 9e 4— 28e 2 + 16= 0,二 e =：+ 1c — a32 2 4. (2018义乌质检)设F 1, F 2是双曲线X — y= 1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上,9 16 且满足 |PF 1| |PF 2|= 32,则/ F 1PF 2 =2解析：由题可得，|PF 1|— |PF 2|= 2a = 6, |F 1F 2|= 10.因为 |PF 1| |PF 2|= 32,所以 |PF 1| + |PF 2|2= (IPF 1—|PF 2|)2+ 2|PF 1||PF 2|= 100= |F 1F 2|2,所以 PF 」PF 2,所以/ 卩耐2 =才所1 1 以 S A F 1PF 2= 2|PF 1| |PF 2|= 32X ?= 16.B . 3x ±4y = 0C . 4x ±3y = 0 或 3x ±4y = 0D . 4x ±5y = 0 或 5x ±ly = 0解析：选A 由题意知，椭圆中 ---------- 2 a =5,b =4，•椭圆的离心率L;1—b2=,••双曲线的离心率为.r +普=3」m3 •双曲线的4x = ±^x ,即 4x ±3y；S A F 1 PF 2 = ABCD 的顶点A , B 为左、且双曲线过 C , D 两顶点.若|AB|= 4, |BC|= 3,则此双曲线的标准方程为 _______________2 2解析：设双曲线的标准方程为X 2-y 2= 1(a >0, b >0).由题意得B(2,0), C(2,3), a b2•双曲线的标准方程为X 2-y 3 = 1. 2 答案:X 2-y3 = 1两条渐近线于 A , B 两点，则|AB|=(B . 2 3 D . 4.32X 2-— 1的渐近线方程为 y = ±3x ,将x = c = 2代入3得y=±2・3，即A , B 两点的坐标分别为(2,2,3), (2,- 2 3)，所以|AB| = 4 3.2 24 = a 2+ b 2, 4 9a2-1,解得a2=1，b 2= 3,-二保咼考，全练题型做到咼考达标2 2x-+丄=1k -91•“ k v 9”是“方程 25 - k 表示双曲线”的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A •方程22. (2018杭州调研)过双曲线x表示双曲线，••• (25 — k)(k — 9)v 0,••• k v 9或 k >解析：选D 由题意知，双曲线3. (2018杭州五中月考)已知F1, F2是双曲线X2-y2= 1(a>0, b> 0)的左、右焦点，过a b2 nA,与右支交于点B，若|AF1|= 2a，/ F1AF2=§，则S A AF1F2_ ( )S A ABF 2 —(F i的直线I与双曲线的左支交于点A. 11 1解析：选B如图所示，由双曲线定义可知|AF2| - |AF1|= 2a.因为|AF i|= 2a，所以|AF2|= 4a,又/ F i AF 2=牛所以S A AF i F2= i|AF i| |AF2| sin Z F i AF2=舟x 2a x 4a x 乎由双曲线定义可知|BF i|- |BF2|= 2a, 所以|BF i|= 2a + |BF2|, 又|BF i|= 2a+ |BA|，所以|BA|= |BF2|.因为/ BAF2=n,所以△ ABF2为等边三角形，边长为4a,x (4a)2= 4 3a 2,— S A AF 1F 2 2 3a 2 1 故 S^BF ；=4 3a 2=2・2X C： xa b4. （2018浙大附中测试）如图, F i F 2Q 中，l F i F 2|= 2c,所以F i , F 2分别是225. （2018宁波六校联考）已知点F 为双曲线E :字一診=1（a > 0, b > 0）的右焦点，直线 y = kx （k > 0）与E 交于M , N 两点，若冗冗IMF 丄NF ，设Z MNF = 3且氏在，£ I 则该双曲线的离心率的取值范围是（）B . [2,3+ 1] D . [2,3+ 1]解析：选D 设左焦点为F '，令|MF |= r i , |MF ' |=帕则|NF |=|MF ' |= r 2,由双曲线定义可知 r 2—冷=2a ①，：•点 M 与点N 关于原点对称，且 MF 丄 NF ,••• |OM|= |ON|= |OF|= c ,「. r 2+ r 2= 4c 2②，由①②得 r i r 2= 2(c 2— a 2)= 2b 2，又知 S MNF = 2S M OF , • $1"= 2 •c 2 sin 2 3, • b 2= c 2 sin所以 S A ABF 2 =2 V法二：如图所示，双曲线 C 的一条渐近线的方程为2所以双曲线的标准方程为y —x 2= 1.4 所以 a = 2,离心率 e = C =¥.a 2 答案：— x 2= 1严4 2 7.若点P 是以A( — 3,0), B(3,0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆x 2+ y 2= 9的一个交点，贝U |PA|+ |PB|= ______ .解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA|>|PB|.因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA|— |PB|= 2 5, ① 又 |PA|2+ |PB|2= 36,②联立①②化简得 2|PA| |PB|= 16,所以(|PA|+ |PB|)2= |PA|2 + |PB|2+ 2|PA| |PB|= 52,所以 |PA|+ |PB|= 2 13. 答案：2 132 28. (2018绍兴四校联考)已知双曲线 C ： x 2— b 2= 1(a >0, b >0)的右焦点为 F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于 N ,若2MF = FN ，则双曲线C 的离心率e = __________ ,解析：法一:由2MF = FN 知，= 2.由渐近线的对称性知/ NOF =/ MOF ，即OF为/ NOM 的角平分线，则 cos/ NOM =|OM|= JMF|=-,所以/ NOM =n，/ NOF =Z MOF|ON| |FN | 2 3=才.因为双曲线C 的渐近线方程为y = ±x ，所以b = tan 才=宁，所以e =£ =二1+ ： 2 =2*33 .2戸 c 2- a 2,^ e 2= 1—1 — sin2 0,•••sin 则;‘¥]•••宀 1^『[2,(3+ 1)2],又T e > 1 ,••• e € [ 2,3 + 1],故选 D. 6. 已知双曲线的一个焦点 F(0, 5)，它的渐近线方程为y =埜x ，则该双曲线的标准方程为 _________________ ;其离心率为 ______________ .2 2解析：设双曲线的标准方程为眷一含=i (a >0, b >0), a 2= 4,由题意得Jalb = 2a 2 +b 2= 5, a = 2bbc点为F (c,0)，因此|FM| =——2^2= b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为 P ，则|FP|=|FM|= b, 1 n又因为 2MF = FN ，所以 |FN| = 2b.在 Rt △ FNP 中，sin / FNP =-，所以/ FNP =」，故在△2 6/ MON = n ，所以/ FON =n ，所以卫=申，所以双曲线C 的离心率e =3 6 a 39.已知双曲线的中心在原点，焦点F i , F 2在坐标轴上，离心率为，2且过点(4,而), 点M(3，m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程; (2) 求证：MF 1 MF 2= 0; (3) 求厶F 1MF 2的面积.解：(1) •/ e = 2,则双曲线的实轴、虚轴相等. •••可设双曲线方程为 x 2— y 2=入 •••双曲线过点(4,— 10), • 16— 10=人即入=6. ••双曲线方程为x 2— y 2= 6.(2)证明：设 M n= (— 2^3— 3,— m), M?2= (2 3— 3, — m). 二忒 MF >2= (3 + 2 3) X (3 — 2 3) + m 2=— 3 + m 2, •/ M 点在双曲线上，•- 9— m 2= 6,即卩 m 2— 3= 0, •- MF 1 MF 2= 0.⑶•/△ F 1MF 2 的底边长 |F 1F 2|= 4 3. 由(2)知 m = ± 3.••△ F 1MF 2 的高 h = |m|=S A F 1MF 2= ； X 4,3 X、.：3 = 6.2 2字一存=1(a > 0, b >0)的离心率为.3,点(3, 0)是双曲线的一个顶点.OMN 中,答案:2,3 310.已知双曲线 C :(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A, B,2 2 X y 孑一b ^= 1(a >0, b >0)的离心率为 .3,点(3，0)是双曲线的一个2 2'—y = 1, 3 6联立y=¥x -3 , 设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2),ntt6 27 则 X i + X 2=— 5, X i X 2=— ~.求 |AB|.顶点，c = 3， a = 3, 2X ⑵双曲线3— 解得c = 3, b = 6,「.双曲线的方程为 2 2 △—y -=i. 3 6 的右焦点为F 2(3,0),•经过双曲线右焦点 F 2且倾斜角为30 °勺直线的方程为 y=^(x - 3). 所以|AB| = /- r 4X 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 2 2 1. (2018暨阳联考)已知双曲线 C : 器=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足"FP -FP = 3F H T ，则双曲线的离心率为() A. 3 13 C.〒 B . 2 3 D. 13 解析：选C 不妨取渐近线方程为 b x ，则 |FH |= 一产—二 b.因为"FP = 3"if ，所 a a + b 以|FP|= 3b ,设双曲线的右焦点为 F 2,则 |F 2P|= 3b — 2a.因为 cos/ PFF 2=£, |FF 2|= 2c.所以由余弦定理得：(3b — 2a)2= 4c 2 + 9b 2— 2X 2c X 3b x b ,化简得 2b = 3a.若取 a = 2，贝U b = 3, c c = 13.所以离心率为e = c =亠严. a 2 2. (2018浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； ⑵若直线I : y = kx + 2与双曲线C 的左支交于 A , B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线I D 与y 轴交于M(0, m),求m 的取值范围.解: ⑴•••双曲线得 5X 2+ 6X — 27= 0.解：(1)设双曲线 2 2 C 的方程为 02—器=1(a >0, b >0). 由已知得，a = 3, c = 2, • b 2= c 2— a 2= 1,2•••双曲线C 的方程为；-y 2= 1.2(2)设 A(X A , Y A ), B(X B ,『B ),将 y = kx + 2代入X - y = 1，得 (1 — 3k 2)x 2-6 2kx — 9 = 1 - 3" 0,2△= 36 (1 — k 尸 0,由题意知 X A + X B = J X A X B =•- Y A + Y B =叫+ 2)+ 叫+ 2) =k(x A + X B )+ 2 2 = 1 — 3^2. • AB 的中点p 的坐标为13—歩,匸3孑. 设直线I o 的方程为：y =- kx + m , k 将点P 的坐标代入直线I o 的方程，得 m = 4 j 2.1 — 3k••Vv k v 1，•— 2v 1- 3k 2v 0.3 --m v — 2\J 2.• m 的取值范围为(—a,— 2 2). 0.• k 的取值范围为 i 3, ⑶由(2)得: X A + X B =解得于＜ k v 1.。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题51 双曲线(解析版)

考点51 双曲线1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】B 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，所以2p c =,由224y px cx ==，22221x y a b-=得2222222()4()0c a x a cx a c a ----=解得12()(),a c a a c a x x c a c a +--==-+，所以(),A a c a x c a+=- 不妨设c,0F（）,则222343()()A A AF A A A A y y k cx x c x c x c ==⇒=⇒=---, 因此222222()()43()4()3(2)a c a a c a cc ca c a a ac c c a c a++=-∴-=+---，2224324(1)3(12),31661630e e e e e e e e ∴-=+--+++=，222(341)(43)013e e e e e e +∴----=>∴=或2e =，因为点A 在x 轴上方，所以2()20,112A a c a x c e e e e c a+=>∴+-<>∴<<-因此23e +=，选B. 2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线22:14y x C m -=(0)m >的0y ±=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．3C D ．2【答案】B 【解析】已知双曲线C y 0±=，且0m >=，得12m =.4c ==，所以双曲线C 的离心率为c e a ===故选：B3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C D【答案】B 【解析】解：由双曲线的定义得：|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，（不妨设该点在右支上）又|PF 1|+|PF 2|＝3b ，所以()()1211233222PF a b PF b a =+=-，，两式相乘得()22199444b a ab -=．结合c 2＝a 2+b 2得53c a =．故e 53=．故选：B ．5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C 【解析】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A B C D 【答案】C 【解析】连接12,BF AF ,由双曲线的定义可得:212AF AF a -=, 122BF BF a -=,由112BF AF c ==,可得2222,22AF a c BF c a =+=-,在12AF F ∆中,可得()2222212244222cos 2?2?22c c a c c ac a AF F c cc +-+--∠==,在12BF F ∆中,可得()()222214224cos 2?2?222c c a c c aBF F c c a c+---∠==-,由12//F A F B ，可得2112BF F AF F π∠+∠=,即有2112cos cos 0BF F AF F ∠+∠=,可得22222c ac a c --+02c ac -=,化为22230c ac a --=,得22310e e --=,解得e =34+ ,负值舍去,故选C. 7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A ．3y x =± B ．y = C ．7y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】22243c b c =⇒=，即223bb a a=⇒=B 。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训全集理含解析新人教

课后限时集训(一) 集合(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}C [由题意知，A ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝{1,2}．]2．(2019·惠州一调)已知集合U ＝{－1,0,1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．∅D ．{－1}D [∵A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0,1}，∴∁U A ＝{－1}，故选D.] 3．设集合A ＝{x ||x |＜1}，B ＝{x |x (x －3)＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1,3) D ．(1,3)C [由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}＝(－1,3)．故选C.]4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0B [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ＋1，得5x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝－35，故集合A ∩B 中有2个元素，故选B.]5．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆BB [集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.]6．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( ) A ．2个 B ．4个 C ．8个D ．16个B [∵A ∩B ＝{0}， ∴0∈B ，∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0,3}． ∴B 的子集有22＝4个．故选B.]7．已知集合A ＝{x |log 2 x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)D [∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .又A ＝{x |log 2 x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜c }，∴c ≥2，即c 的取值范围是[2，＋∞)．] 二、填空题8．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值是________．－32 [∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，即m ＝1或m ＝－32，又当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ，不合题意，故m ＝－32.]9．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，全集U ＝R ，则∁U (A ∩B )＝________.(－∞，－2)∪[1，＋∞) [∵4－x 2≥0， ∴－2≤x ≤2，∴A ＝[－2,2]． ∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，因此A ∩B ＝[－2,1)，于是∁U (A ∩B )＝(－∞，－2)∪[1，＋∞)．]10．(2019·合肥质检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [要使A ∩B ≠∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1.]B 组能力提升1.(2019·日照调研)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)， ∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．]2．(2018·广州一模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋3x －1＜0，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B )D [集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋3x －1＜0＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(∁R A )∩(∁R B )，选D.]3．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}．若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0， ∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)， ∴A －B ＝[－1,0)．]4．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“单一元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]课后限时集训(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．已知a ，b ∈R，命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是( ) A ．若ab ≠2，则a 2＋b 2≤4 B ．若ab ＝2，则a 2＋b 2≤4 C ．若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4 D ．若ab ＝2，则a 2＋b 2＜4C [因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是“若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4”，故选C.]2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数，”显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．] 3．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 C [“都是”的否定是“不都是”，故选C.]4．(2019·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．]5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3A [a ＞b ＋1⇒a ＞b ，但反之未必成立，故选A.]6．(2019·山师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件B [由a ＝2b 可知：a ，b 方向相同，a |a |，b |b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之不成立．故选B.]7．若x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]D [∵x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.] 二、填空题8．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是_______．k ∈(－1,3) [直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2＜2，解之得－1＜k ＜3.] 9．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误． ②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．] 10．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若p是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． (1,2] [因为p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 但pq ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ，又B ＝(2,3]，当a ＞0时，A ＝(a,3a )；当a ＜0时，A ＝(3a ，a )，所以当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2；当a ＜0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．]B 组能力提升1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]2．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R，均有x 2＋x ＋1＜0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D [A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，故D 正确，故选D.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若A ＝－B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1得A ＝－B ，故选B.]4．(2019·山西五校联考)已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.]课后限时集训(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．已知p ：∃x 0∈R,3x 0＜x 30，那么綈p 为( ) A ．∀x ∈R,3x ＜x 3B ．∃x 0∈R,3x 0＞x 30 C ．∀x ∈R,3x ≥x 3D ．∃x 0∈R,3x 0≥x 30C [因为特称命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ∈R,3x ≥x 3，故选C.]2．(2019·广西模拟)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p ∨q 表示( ) A ．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米 B ．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米 C ．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米 D ．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米D [∵命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p ∨q 表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”，故选D.] 3．(2019·武汉模拟)已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题 B ．命题p 是特称命题 C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题 C [该命题是全称命题且是真命题．故选C.]4．命题p ：∀x ∈R，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [因为命题p ：∀x ∈R，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.]5．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b，则下列为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧綈q C ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈qB [对于命题p ，当x 0＝0时，1≥0成立，所以命题p 为真命题，命题綈p 为假命题；对于命题q ，当a ＝－1，b ＝1时，1a ＜1b，所以命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q为真命题，故选B.] 6．给出下列四个命题： ①∃x 0∈R，ln(x 20＋1)＜0； ②∀x ＞2，x 2＞2x；③∀α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，则綈q 是p 成立的充分不必要条件．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由于∀x ∈R ，y ＝ln(x 2＋1)≥ln 1＝0，故①错；令x ＝4，则x 2＝2x＝16，故②错；③应为∀α，β∈R ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，故③错；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，则p 是綈q 成立的必要不充分条件，则綈q 是p 成立的充分不必要条件，故④正确．其中真命题的个数为1.故选A.]7．已知p ：∃x 0∈R，mx 20＋1≤0；q ：∀x ∈R，x 2＋mx ＋1＞0.若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]二、填空题8．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.]9．已知命题“∀x ∈R，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ [由“∀x ∈R，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.] 10．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) [因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]B 组能力提升1．设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( ) A ．p 为假命题 B ．綈q 为真命题 C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题C [函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ∈R，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x，－x 2x ＜在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0y ＝－x2＋u 2，u2表示纵截距．结合题意知p 1，p 2正确．] 3．(2019·黄冈模拟)下列四个命题： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R，x 0－ln x 0＜0”．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，即当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，则当x ＞0时，x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确命题的个数为3，故选C.]4．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x(a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________．(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________．(1)[3，＋∞) (2)(1，3] [(1)∵f (x )＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1，∵x ≥2，∴x －1≥1， ∴f (x )≥2x －1x －1＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x －1＝1，x ＝2时等号成立． ∴m ∈[3，＋∞)．(2)∵g (x )＝a x(a ＞1，x ≥2)， ∴g (x )min ＝g (2)＝a 2.∵∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)， ∴g (x )min ≤f (x )min ， ∴a 2≤3，即a ∈(1，3]．]课后限时集训(四) 函数及其表示(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x －1，g (t )＝t －1C ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xB [∵x －2＝|x －1|，∴A 中f (x )≠g (x )；B 正确；C 、D 选项中两函数的定义域不同，故选B.] 2．函数f (x )＝3x －1log 2x ＋1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0.14C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D [由题意得log 2(2x )＋1＞0，解得x ＞14.所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.故选D.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞1，2＋36x ，x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．4C ．－3D ．38C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋3612＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (8)＝log 128＝－3.故选C.]4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1A [令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C [要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，所以－1≤a ＜12.故选C.]6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]7．(2019·济南模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为()A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.]二、填空题8．已知f (2x)＝x ＋3.若f (a )＝5，则a ＝________. 4 [令t ＝2x ，则t ＞0，且x ＝log 2 t ， ∴f (t )＝3＋log 2 t ，即f (x )＝3＋log 2 x ，x ＞0. 则有log 2 a ＋3＝5，解之得a ＝4.]9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0－12x ，0≤x ≤2 [由题图可知，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－12x ，0≤x ≤2.]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，log 2x 2＋，x ＜0，若f (a )＝3，则实数a ＝________.－5 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 2a 2＋＝3，解得a ＝－ 5.]B 组能力提升1．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数fx ＋log 2x ＋的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 D ．(－1,0)D [因为函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，所以－1≤2x －1≤1，要使函数f x ＋log 2x ＋有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0，故选D.]2．(2018·厦门二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2－1，x ≤1，ln x ，x ＞1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)A [由题意可知，函数f (x )的最小值为f (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1－a 2－1≤ln 1，解得1≤a ≤2，选A.]3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. －x x ＋2[当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－xx ＋2.]4．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．①③ [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]课后限时集训(五) 函数的单调性与最值(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)A [f (x )＝1x在(0，＋∞)上是单调递减函数，故选A.]2．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2，6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上的增函数．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.]3．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，40]B ．(40,64)C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)C [由题意可知k 8≤5或k8≥8，即k ≤40或k ≥64，故选C.] 4．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( ) A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)A [∵f (x )关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，∴f (x )在(2，＋∞)上是减函数，又f (－1)＝f (5)，且f (3)＞f (5)， ∴f (3)＞f (－1)，选A.]5．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)C [由函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，得函数f (x )在[－2,2]上单调递增．由f (a 2－a )＞f (2a －2)得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a ＞2a －2，－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2.∴0≤a ＜1，故选C.] 二、填空题6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．(2019·甘肃调研)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是________．(－5，－2)∪(2，5) [因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得，f (x 2－4)＜f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.]8．(2019·广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1]∪[4，＋∞)[作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值． [解] f (x )＝ax ＋1a(1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a －1a＜0，即0＜a ＜1时，g (a )＝f (1)＝a ；当a －1a≥0，即a ≥1时，g (a )＝f (0)＝1a .故g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a，a ≥1.所以g (a )的最大值为1. 10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 组能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]2．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝x )x －x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12C [由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1＜x ≤2.∵f (x )＝x －2在[－2,1]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1；又f (x )＝x 3－2在(1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6. ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )max ＝6.]3．函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.课后限时集训(六) 函数的奇偶性与周期性(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝ln x 2D [y ＝e x 不是偶函数，所以A 不正确；y ＝sin x 是奇函数，所以B 不正确；y ＝cos x 是偶函数，在(0，＋∞)上不是单调递增函数，所以C 不正确；y ＝ln x 2是偶函数，在(0，＋∞)上是单调递增函数，所以D 正确．故选D.]2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.]3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1B [由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f ＋g ＝2，f＋g＝4，解得g (1)＝3.]4．(2019·江西六校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2A [∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 3 9＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 3 3＝－1.故选A.]5．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 019)＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．－2B [由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1，故选B.]6．(2019·皖南八校联考)偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (1)＝－1，则满足f (2x－3)＞－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(－1,1)A [因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．由f (1)＝－1且满足f (2x－3)＞－1＝f (1)，等价于f (|2x－3|)＞f (1)，|2x－3|＜1，可得－1＜2x－3＜1,2＜2x＜4,1＜x ＜2，所以实数x 的取值范围是(1,2)，故选A.]7．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45 C ．－1D ．－45C [由于x ∈R，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，由于f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4，log 216＜log 220＜log 232，即4＜log 220＜5,0＜log 220－4＜1， ∴0＜log 254＜1，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.]二、填空题8．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 52 [∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.] 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)，又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴2|a －1|＜2＝212， ∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32.]10．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题：①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数．其中正确命题的序号是________．①②③ [∵f (x )＋f (x ＋2)＝0，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )的周期为4，故①正确；又f (4－x )＝f (x )，所以f (2＋x )＝f (2－x )，即f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故②正确；由f (x )＝f (4－x )得f (－x )＝f (4＋x )＝f (x )，故③正确．]B 组能力提升1．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A.13 B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.] 2．(2019·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [由函数图象可知f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]3．(2018·洛阳一模)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]4．(2019·沧州模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________． ①②④ [∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得，f (－3)＝0，又f (x )为偶函数，∴f (3)＝0，即①正确；由f (3)＝0得f (x ＋6)＝f (x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (6－x )＝f (6＋x )，故f (x )关于直线x ＝6对称，又f (x )的周期为6，故②正确；当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确．]课后限时集训(七) 二次函数与幂函数(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2019·西安质检)函数y ＝3x 2的图象大致是( )A BC DC [∵y ＝x 23，∴该函数是偶函数，且在第一象限内是上凸的，故选C.]2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6A [因为幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，所以α＞0.又幂函数y ＝x α为奇函数，可知α≠2.当α＝12时，其定义域关于原点不对称，应排除．当α＝13，1,3时，其定义域关于原点对称，且满足f (－x )＝－f (x )．故α＝13，1,3时，满足条件．故满足条件的α的值的个数为3.故选A.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，则函数g (x )＝(2x －1)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值是( ) A ．－1 B ．0 C ．－2D.32B [由已知得3α＝13，解得α＝－1，∴f (x )＝x －1，∴g (x )＝2x －1x ＝2－1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.]4．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)C [由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，则抛物线开口向下，且f (x )在[2,4]上是减函数，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.]5．若f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )＜0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜－4 C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0D [①当a ＝0时，得到－1＜0，显然不等式的解集为R ；②当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向下，由不等式的解集为R ，得二次函数的图象与x 轴没有交点，即Δ＝a 2＋4a ＜0，即a (a ＋4)＜0，解得－4＜a ＜0；③当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向上，函数值y 不恒小于0，故解集为R 不可能．] 二、填空题6．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.32 [设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m得m ＝－1，由14＝(－2)n，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝2－1＋(－1)－2＝32.]7．已知二次函数y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为________．y ＝x 2－2x ＋5 [y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以图象的顶点坐标为(－k ，－k 2－2k ＋3)．因为－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋5.]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1，∴m －n 的最小值是1.] 三、解答题9．若函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．[解] 作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图．由图象可知，要使函数在[0，m ]上取得最小值2，则1∈[0，m ]，从而m ≥1，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3，所以要使函数取得最大值3，则m ≤2，故所求m 的取值范围为[1,2]．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1＞2x ＋m 恒成立，即x 2－3x ＋1＞m 在区间[－1,1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m ＜－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．B 组能力提升1．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()ABC DD [由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误．故选D.] 2．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B [法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.]3．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．(1,5] [Δ＝4(a －2)2－4a ＝4a 2－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．(1)若Δ＜0，即1＜a ＜4时，x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在R 上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，方程x 2－2(a －2)x ＋a ＞0的解为x ≠a －2，显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；(3)当Δ＞0，即a ＜1或a ＞4时，因为x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a －＋a ≥0，25－a －＋a ≥0，1＜a －2＜5，解得3＜a ≤5，又a ＜1或a ＞4，所以4＜a ≤5. 综上，a 的取值范围是(1,5]．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全函数f (x )的图象并根据图象写出函数f (x )(x ∈R)的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． [解] (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ＞，x 2＋2x x(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ，－a 2－2a ＋＜a，2－4a a ＞课后限时集训(八) 指数与指数函数(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题 1．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32C [a2a ·3a 2＝a2a ·a23＝a 2a53＝a2a56＝a 2－56＝a 76.故选C.] 2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .]3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )A B。

【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (54)

课时作业54 双曲线1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( A )A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1，其中a 2＝3m ，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨取F (3m ＋3，0)，一条渐近线为y ＝1mx ，化成一般式即为x －my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )2＝3，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A.x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k ＞0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点， ∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.方法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ， ∴b a ＝52②.联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( B )A ．32B ．16C ．84D ．4解析：由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( B )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知 cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B. 6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)，即c 2＜43a 2，所以e ＝c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 (0,2) .解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±22x .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为4|OF |＝|AF |＋|BF |，所以4×p 2＝y 1＋p 2＋y 2＋p2，即y 1＋y 2＝p .① 由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2.② 由①②可得b a ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于 4 .解析：由题意知a ＝1，如图，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2， |BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4， |BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2. ∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.10．(2019·河南天一大联考)已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO (O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P |＝|F 1Q |，∠F 1PF 2＝23π，则双曲线C 的离心率为576 .解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝x －2a ，作Q 关于原点对称的点S ，如图，连接PS ，RS ，SF 1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO |＝|OR |，S 在双曲线上，所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S |＝|QF 1|＝x ，则∠F 1PS ＝2π3，根据双曲线的定义，有|F 1S |＝x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－2·x (2x －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得x ＝73a ，所以|PF 2|＝13a ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e ＝c a ＝576.11．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|. 所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.12．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.13．焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( C )A ．1B ．62 C. 3D ．2解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1，C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1，由题设b 1a 1＝a 2b 2，则e 1＝1＋b 21a 21，e 2＝1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)＝1，即e 21e 22＝e 21＋e 22，故e 22＝e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22＝e 21＋4e 21e 21－1＝5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1＝4e 21－1时取等号)，e 21－1＝2⇒e 1＝3时取等号．14．(2019·山西太原五中月考)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( B )A ．1B ．12 C.13D ．23解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2. 设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知 |BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|. 又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12，故选B. 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 53 . 解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2| ＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 当P ，F 1，F 2三点共线时， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53，综上，e 的最大值为53. 16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1. 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2. 所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为y ＝－1k x ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2. 因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0. 所以m ＜－2 2. 所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。

2020版高考数学一轮复习课时训练(五十二)双曲线(含解析)新人教A版(2021-2022学年)

课时跟踪检测(五十二) 双曲线一、题点全面练1．(2019·襄阳联考)直线ｌ：4ｘ-5ｙ=2０经过双曲线Ｃ:＼ｆ(x２,a2)-错误!＝1(a＞０，b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为( ）Ａ.错误!未定义书签。

ﻩ B.错误!未定义书签。

C。

错误!未定义书签。

ﻩ D.错误!解析：选Ａ由题意知直线ｌ与两坐标轴分别交于点(５,０),(０,－4)，从而ｃ=5，ｂ＝４,∴a=3，双曲线C的离心率e＝错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

．2.(2019·成都模拟)如图,已知双曲线E：错误!未定义书签。

－错误!未定义书签。

＝１(a>0,b＞0）,长方形ABCD的顶点A,B分别为双曲线E的左、右焦点,且点C,Ｄ在双曲线Ｅ上，若|AB|＝6，|ＢC｜=错误!,则此双曲线的离心率为（）A.＼ｒ（２）B.＼ｆ(3,2）C.52ﻩD。

错误!未定义书签。

解析：选B因为２c=|ＡB|=6,所以c=3。

因为错误!未定义书签。

=|BC|＝错误!,所以5a＝2b2.又ｃ2＝a2＋b2,所以9=a2＋错误!，解得ａ=2或ａ＝-错误!（舍去),故该双曲线的离心率e=错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

,故选B.3.(２018·武汉调研)已知点P在双曲线＼ｆ（x２,a2)-错误!＝１（a>0,ｂ>0)上,PF⊥x轴(其中Ｆ为双曲线的右焦点），点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为错误!未定义书签。

，则该双曲线的离心率为(）A.错误!未定义书签。

B.错误!未定义书签。

Ｃ。

错误! D.错误!解析：选A 由题意知F（c,0),由PF⊥x轴,不妨设点P在第一象限，则P错误!,双曲线的渐近线方程为ｂx±aｙ=0,由题意，得错误!未定义书签。

=错误!，解得c=２b，又ｃ２＝ａ2＋b2，所以a＝＼ｒ（3）ｂ，所以双曲线的离心率e＝错误!＝=错误!未定义书签。

．４.(２0１８·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!－y2=1，O为坐标原点,F为C的右焦点,过Ｆ的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OＭN为直角三角形,则|MＮ|=（ ) A．错误!未定义书签。

2020高考数学 8.6 双曲线课后限时作业理(通用版).doc

高考立体设计理数通用版 8.6 双曲线课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是 ( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1 解析：由题意知(1＋k )(1－k )>0，解得－1<k <1. 答案：A2.（2009·海南、宁夏）双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1 解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点（4，0）到渐近线y ＝3x 的距离为d ＝432＝2 3.点评：从焦点F 往渐近线引垂线，垂足为A ，注意直角三角形OAF 各边的长与a 、b 、c 的关系.答案：A3.（2010· 天津）已知双曲线2222x y a b=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y= 3x ，它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( )解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题.答案：B4.（2011届·杭州模拟）若0＜k ＜a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1与x 2a 2－y 2b2＝1有相同的( )A ．虚轴B ．实轴C ．渐近线D ．焦点解析：a 2－k ＞0，b 2＋k ＞0，所以a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2＝c 2，所以两双曲线有相同的焦点．选D. 答案：D5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为 ( )A. 5B.52C. 3 D ．2 解析：设该双曲线为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则其渐近线为y 2a 2－x 2b 2＝0，即y ＝±a b x ，所以a b ＝12，所以b ＝2a ，b 2＝4a 2.所以c 2＝5a 2，所以e ＝ 5.答案：A6.已知双曲线的两个焦点分别为F 1(-5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2，则双曲线方程是 ( )答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.（2008·海南、宁夏）设双曲线x29-y216=1的右顶点为A ，右焦点为F.过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 .解析：a 2=9,b 2=16,故c=5,所以A （3，0),F(5,0). 不妨设BF 的方程为y=43(x-5),答案：32158. 设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于 .解析：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以△PF 1F 2为直角三角形，|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝40，所以|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40，所以|PF 1→|＋|PF 2→|＝210. 答案：2109.已知F 1、F 2是双曲线22169x y -=1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，那么｜PF 2｜+｜QF 2｜-｜PQ ｜的值是 .解析：因为双曲线方程为22169x y -=1, 所以2a=8.由双曲线的定义得｜PF 2｜-｜PF 1｜＝2a=8, ① |QF 2|-|QF 1|=2a=8. ② ①+②,得｜PF 2｜+｜QF 2｜-（｜PF 1｜+｜QF 1｜）＝16. 所以｜P F 2｜+｜QF 2｜-｜PQ ｜＝16. 答案：1610.已知双曲线8k 2-ky 2=2的一个焦点为（0，-32）,则k= . 解析：因为焦点（0，-32）在y 轴上，答案：-1三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 11. 根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：方法一：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－32a2－232b2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4.所以双曲线的方程为x 294－y 24＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意易求c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，所以322a2－4b2＝1.又因为a 2＋b 2＝(25)2，所以a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.方法二：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14.(2)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1，将点(32，2)代入得k ＝4，所以双曲线方程为x 212－y 28＝1.12.如图所示，双曲线的中心在坐标原点, 焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2=3π，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程.解：设双曲线方程为2222x y a b-=1(a>0,b>0),F 1(-c,0),F 2(c,0),P(x 0,y 0).在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.（2011届·德州质检）方程x 29－k ＋y 2|k |－4＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则其半焦距c的取值范围是 ( ) A ．(5，＋∞) B ．{13} C ．(5，13) D ．{5}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧9－k <0，|k |－4>0得k >9，所以c ＝a 2＋b 2＝2k －13>5，故选A.答案：A2.（2010·全国新课标）已知双曲线E 的中心为原点，F （3，0）是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12，-15)，则E 的方程为 ( )解析：本题可设出双曲线方程，然后利用直线与双曲线的交点的中点坐标为N （-12,-15）,通过联立方程，采用韦达定理解答，这是通性通法，但运算量较大.本题也可采用如下解法：设双曲线方程为2222x y a b-=1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),代入双曲线方程，两式相减可得答案：B二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.（2011届·福建龙岩一模）已知双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)与直线x+y-1=0相交于P 、Q两点，且OP uuu r ·OQ =0（O 为原点），则11a b-的值为 .答案：24. 已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .解析：令y ＝0，则方程变为x 2－6x ＋8＝0，所以x ＝2或x ＝4，所以圆与x 轴的两个交点为(2,0)和(4,0)．以(4,0)为双曲线的右焦点，以(2,0)为双曲线的右顶点，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12，则满足此条件的双曲线的标准方程为：x 24－y 212＝1答案：x 24－y 212＝1三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.已知双曲线C ：2222x y a b=1（a>0,b>0）的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e=2.(1)求双曲线C 的方程；（2）若以k(k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M 、N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求实数k 的取值范围.(2)设直线l 的方程为6. 已知M (－2,0)，N (2,0)两点，动点P 在y 轴上的射影为H ，且使PH →·PH →与PM →·PN →分别是公比为2的等比数列的第三、四项． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知过点N 的直线l 交轨迹C 于x 轴下方两个不同的点A 、B ，设R 为AB 的中点，若过R 与定点Q (0，－2)的直线交x 轴于点D (x 0,0)，求x 0的取值范围．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，所以H (0，y )， PH →＝(－x,0)，PM →＝(－2－x ，－y )， PN →＝(2－x ，－y )． PH →·PH →＝x 2，PN →·PM →＝x 2＋y 2－4.由条件得y 2－x 2＝4，所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝4(x ≠0)．(2)设直线l 方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2－x 2＝4，整理得⎝⎛⎭⎪⎫1－1k2y 2－4ky －8＝0.所以y 1＋y 2＝4k k 2－1，y 1y 2＝－8k2k 2－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧4kk 2－1<0，－8k 2k 2－1>0，Δ>0，结合已知条件有22<k <1， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2k 2－1，2k k 2－1，k RQ ＝k 2＋k －1k 2.直线RQ 方程为y ＋2＝k 2＋k －1k 2x .2x 0＝k 2＋k －1k 2，所以x 0的取值范围为()2，2＋22.。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十双曲线含解析

课时跟踪检测（五十）双曲线[A 级基础题——基稳才能楼高]1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．2．(2019·南宁摸底联考)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.3．(2019·合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是y ＝±34x 的是( )A.x 2144－y 281＝1 B.y 218－x 232＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选D 对于A ，渐近线方程为y ＝±912x ＝±34x ；对于B ，渐近线方程为y ＝±1832x ＝±34x ；对于C ，渐近线方程为y ＝±34x ；对于D ，渐近线方程为y ＝±32x ．故选D. 4．(2019·铜陵模拟)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( )A ．4(1＋2)B ．4＋ 2C ．2(2＋6)D.6＋3 2解析：选A 设双曲线的左焦点为F ′，易得点F (6，0)，△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋2a ＋|PF ′|＋|AP |，要使△APF 的周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小，易知当A ，P ，F ′三点共线时取到，故l ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选A.5．(2019·合肥一模)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝－2x ，则该双曲线的离心率是( )A ．52B ． 3C ． 5D ．2 3解析：选C 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，且双曲线的一条渐近线方程为y ＝－2x ，得b a ＝2，则b ＝2a ，则双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a＝5aa＝ 5.故选C.6．(2019·德州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 220＝1B.x 212－y 24＝1C.x 24－y 212＝1 D.x 220－y 24＝1 解析：选C 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，由双曲线的一条渐近线过点(3，3)，可得b a＝3，①由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y 2＝16x 的准线x ＝－4上，可得c ＝4，即有a 2＋b 2＝16，②由①②解得a ＝2，b ＝23，则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选C.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ―→＝(1,0)，PF ―→＝(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.2．(2019·黄冈质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A 连接OM .由题意知OM ⊥PF ，且|FM |＝|PM |，∴|OP |＝|OF |， ∴∠OFP ＝45°，∴|OM |＝|OF |·sin 45°，即a ＝c ·22， ∴e ＝c a＝ 2.故选A.3．(2019·银川模拟)已知双曲线x 2a 2－y 21－a 2＝1(0＜a ＜1)的离心率为2，则a 的值为( )A.12B.22 C.13D.33解析：选B ∵c 2＝a 2＋1－a 2＝1，∴c ＝1，又c a ＝2，∴a ＝22，故选B. 4．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A ．x 22－y 28＝1B ．x 24－y 2＝1C ．x 24－y 216＝1D ．x 2－y 24＝1解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.5．(2019·黄山一诊)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A 为双曲线上一点，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1等于( )A.32 B.54C.55D.14解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2，得2c ＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2||F 2A |＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55，故选C.6．(2019·天津和平一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y25＝1B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 216－y 220＝1 解析：选C 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝ba x ，可得F 到渐近线y ＝b ax 的距离d ＝bca 2＋b 2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.故选C.7．(2019·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a . 将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，得y ＝±bc a，不妨取C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc a.因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bca ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 8．(2019·桂林模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析：选C 由条件得|OP |2＝2ab .又∵P 为双曲线上一点，∴|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a .又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.∴双曲线离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.9．(2019·惠州调研)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12解析：选A 如图，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|P Q|，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|Q F 2|＝2，在△F 1Q F 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.故选A.10．(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选B 假设点P 在双曲线的右支上，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2， ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0，∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴ca＝3， ∴c 2＝3a 2，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴b a＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，故选B.11．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：512．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 13．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a＝22＝ 2. 答案： 214．(2019·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝ba x ，由题意可知该切线方程为y ＝－a b(x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.又圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝c a ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2. 答案：215．(2019·西安铁一中模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值．解：(1)由题易知F 2(1＋b 2，0)，可设M (1＋b 2，y 1)．因为点M 在双曲线C 上且在x 轴上方，所以1＋b 2－y 21b2＝1，得y 1＝b 2，所以|F 2M |＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)易知两条渐近线方程分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ，不妨设P 1在l 1上，P 2在l 2上，则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P (x 0，y 0)在双曲线x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2，又易知cos θ＝13，所以PP 1―→·PP 2―→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.16．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线的方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0，因为e ＞1，所以e ＝2，所以双曲线的离心率为 2.。

专题8.7 双曲线及其几何性质 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

第八篇平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a .2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )【教材衍化】2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________.【真题体验】4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.【考点聚焦】考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8 B.10 C.4＋37 D.3＋317考点二双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.考点三双曲线的性质角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.【反思与感悟】1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12xB.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.623.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2 B.2C.322D.2 24.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1B.x 22－2y 25＝1 C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝15.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22xC.y ＝±6xD.y ＝±66x二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.8.(2019·梅州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22x D.y ＝±2x12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.。

2020高考数学(理)一轮复习课时作业52双曲线含解析

A. B.
C. D.
解析：由题，结合图知，直线PF2的方程为y＝－ (x－c)，设直线PF2与直线y＝ x的交点为N，易知N ，又线段PF2的中点为N，故P ，因为点P在双曲线C上，所以－＝1，即5a2＝c2，所以e＝＝ .
答案：C
二、填空题
6．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝ x，
∴ ＝ .设m＝k，则n＝ k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.
连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.
设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝ c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即( ＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.
解析：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6 kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2<1且k2≠ .①
[
一、选择题
1．[2019·山西八校联考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4 ，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
解析：解法一易知双曲线－ (a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4 ，所以c＝2 ，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.

2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练49双曲线Word版含解析

课时标准练49双曲线根底稳固组1.(2021河北衡水中学适应性考试,3)双曲线= 1(m>0)的虚轴长是实轴长的 2 倍 ,那么双曲线的标准方程为 ()A.= 1B.= 12= 1 D.= 1C.x -2.过双曲线x2-= 1(b> 0)的右焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为 E,O 为坐标原点 ,假设∠OFE= 2∠ EOF,那么 b= ()A. B. D.3.双曲线= 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F1 ,F 2,过 F1作 x 轴的垂线交双曲线于A,B 两点 ,假设∠AF 2B< ,那么双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1, )C.(1,2)D.(,3 )4.(2021湖北华中师范大学第一附属中学押题,6) F1,F2分别是双曲线C:= 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点 ,假设点 F2关于双曲线 C 的一条渐近线的对称点为M,且 |F 1M|= 3,那么双曲线 C 的实轴长为 () A.C.5.M(x0,y0)是双曲线C: -y2= 1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.假设< 0,那么 y0的取值范围是() A.- B.-C.-D.-6.(2021山东威海二模,8)双曲线C:= 1(a>b> 0)的左右焦点分别为F1,F2,以 F2为圆心 ,F1F2为半径的圆交C 的右支于 P,Q 两点 ,假设△F 1PQ 的一个内角为 60°,那么 C 的离心率为()A. B.+ 1C. D.7.(2021四川成都七中模拟,10)双曲线 C:= 1(a> 0,b> 0)的离心率 e=,右焦点为 F,点 A 是双曲线 C 的一条渐近线上位于第一象限内的点,∠ AOF= ∠ OAF,△AOF 的面积为 3,那么双曲线 C 的方程为() A.= 1 B.= 1C.= 1D.-y2= 18.(2021河北衡水联考,5)双曲线x2- = 1(b> 0)的一条渐近线截圆x2+y 2-4y=0 为弧长之比是 1∶2的两局部 ,那么双曲线的离心率为()A. B.9.(2021湖北省冲刺,14)平面内,线段AB的长度为10,动点P满足|PA|= 6+|PB| ,那么|PB|的最小值为.10.方程- = 1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,那么 n 的取值范围是.11.假设点P是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆22x +y =9 的一个交点 ,那么|PA|+|PB|=.综合提升组12.(2021广东揭阳二模,11)双曲线的焦距为4,A,B 是其左、右焦点 ,点 C 在双曲线右支上 ,△ABC 的周长为 10,那么 |AC| 的取值范围是 ()A.(2,5)B.(2,6)C.(3,5)D.(3,6)13.F2,F1是双曲线= 1(a> 0,b> 0)的上、下焦点 ,点 F2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心 ,|OF 1| 为半径的圆上 ,那么双曲线的离心率为()B. D.14.在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线2P,Q,其焦点是-y = 1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点F1,F2,那么四边形 F 1PF2Q 的面积是.15.在平面直角坐标系xOy 中 ,双曲线= 1(a> 0,b> 0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2= 2py(p> 0) 交于 A,B 两点 ,假设|AF|+|BF|=4|OF| ,那么该双曲线的渐近线方程为.创新应用组16.F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,M 是它们的一个公共点,且 |MF 1|>|MF 2|,线段 MF 1的垂直平分线过点 F 2,假设椭圆的离心率为 e1,双曲线的离心率为e2,那么的最小值为 ()C. D.课时标准练49双曲线1.D由双曲线= 1(m>0)的虚轴长是实轴长的 2 倍 ,可得 2,解得 m=2,所以双曲线的标准方程是= 1.应选 D.2.D由题意 ,∠OFE= 2∠EOF= 60° ,∴双曲线的一条渐近线的斜率为∴, b= ,应选 D .3.A由题意 ,将 x=-c 代入双曲线的方程22,∴|AB|= ,得 y =b-1 =∵过焦点 F 1且垂直于 x 轴的弦为 AB,∠ AF2B< ,∴tan∠ AF 2F 1=,e= >1.-e-解得 e∈(1, ), 应选 A .4.B设 F2M 的中点为 N,坐标原点为 O,那么 ON= |F 1M|=,∵点 F 2到渐近线的距离为 b,22 +b =c ,∴c2-b2= ,∴a2= ,∴a= ,∴2a= 3.故双曲线的实轴长为3,应选 B.5.A由条件知 F1( -,0),F 2(,0),= (--x0 ,-y0),= (-x0,-y0),-3< 0.①又= 1,= 2+ 2.代入①得,∴-<y 0<6.C 由对称性可知△PQF1为等腰三角形 ,假设△PQF 1的一个内角为60° ,那么△PQF 1是等边三角形 ,∴∠PF 2Q= 120° ,∴|PF 2|=|F 1F2|,|PF 1|=|PF 2| |PF·1|-|PF 2|=|PF 2|-|PF 2|= (-1)|PF 2|= (-1)|F 1F2|= 2a,即 e=-应选 C.7.C由点 A 所在的渐近线方程为bx-ay= 0,设渐近线的倾斜角为α,那么 tanα= ,因为∠AOF= ∠OAF ,所以直线 AF 的倾斜角为 2α,tan 2α=--,那么由y=-(x-c) 与 bx-ay= 0 联立方程组 ,解得 A,所以 S△c=ab= 3,因为双曲线的离心率为 e=,所以,即AOF =所以与 ab= 3联立方程 ,解得 a= 3,b=,所以双曲线的方程为= 1,应选 C.8.C22圆的标准方程为 x + (y-2) =4,故该圆的圆心坐标为(0,2),且该圆经过坐标原点,双曲线的渐近线经过坐标原点,假设双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1∶2 的两局部 ,那么双曲线的一条渐近线y=bx 的倾斜角为 ,其斜率 b= tan,据此可得 a2= 1,b2= 3,c2 =4,双曲线的离心率为e==2.应选 C.9.2因为 |PA|= 6+|PB| ,所以 |PA|-|PB|= 6<|AB| ,因此动点 P 在以 A,B 为左右焦点的双曲线的右支上,a= 3,c= 5.从而 |PB| 的最小值为 c-a= 2.10.(-1,3)因为双曲线的焦距为 4,所以 c= 2,即 m2+n+ 3m2-n= 4,解得 m2 =1.又由方程表示双曲线得(1+n )(3 -n)> 0,解得 -1<n< 3,11.2不妨设点 P 在双曲线的右支上 ,那么 |PA|>|PB|. 因为点 P 是双曲线与圆的交点,所以由双曲线的定义知 ,|PA|-|PB|= 2 ,2 2又 |PA| +|PB| = 36, 所以 2|PA| ·|PB|= 16,22252,所以 |PA|+|PB|= 2所以 (|PA|+|PB| ) =|PA|+|PB| + 2|PA| |PB|=·12.C设|AC|=m ,|BC|=n ,由双曲线的定义可得m-n= 2a,①由题意可得 m+n= 10-4= 6,②联立①②可得 m=a+ 3,在双曲线中 ,0<a<c=2,那么 3<a+ 3< 5,即 |AC| 的取值范围是 (3,5).13.C由题意 ,F1 (0,-c),F 2(0,c),一条渐近线方程为y= x,那么点 F2到渐近线的距离为=b.设点 F 2关于渐近线的对称点为点M,F2M 与渐近线交于点 A,∴|MF 2|= 2b,A 为 F2M 的中点 .又 O是 F1F2的中点 ,∴OA∥ F1M,∴∠F1MF 2为直角 .∴△MF 1F2为直角三角形 .∴由勾股定理得4c2=c 2+ 4b2.∴3c 22222= 4(c -a ), ∴c = 4a .∴ c=2a,∴ e= 2.应选 C.14.2该双曲线的右准线方程为 x=,两条渐近线方程为 y= ±x,得 P,Q,-,又 c=,所以 F1(-,0),F2 (,0),四边形 F1PF 2Q 的面积 S=2= 215.y=±x抛物线 x2= 2py 的焦点 F0, ,准线方程为 y=-设 A(x1,y1),B(x2,y2),那么 |AF|+|BF|=y 1+ +y 2+=y 1+y 2+p= 4|OF|= 4= 2p.所以 y1+y 2=p.联立双曲线与抛物线方程得-消去 x,得 a2y2-2pb2 y+a 2b2= 0.所以 y1+y 2==p ,所以所以该双曲线的渐近线方程为y= ± x.16.A设椭圆方程为= 1(a1 >b 1> 0),双曲线方程为= 1(a2> 0,b2> 0).∵线段 MF 1的垂直平分线过点 F 2,∴|F 1F 2|=|F 2M|= 2c.又 |F 1M|+|F 2M|= 2a1,|F 1 M|-|F 2M|= 2a2 ,∴|F 1M|+ 2c= 2a1 ,|F 1M|-2c=2a2. 两式相减得 a1-a2= 2c,==4+4+2= 6,当且仅当时等号成立 ,的最小值为 6.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

双曲线建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·浙江高考)渐进线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22 B ．1 C.2 D ．2C [根据渐进线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a ＝b ，所以c ＝2a 则该双曲线的离心率为e ＝ca ＝2，故选C.]2．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等D [由0＜k ＜9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．]3．(2019·天津高考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.5D [l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，故得A (－1，ba )，B (－1，－ba )，所以||AB ＝2b a ，2b a ＝4，b ＝2a ，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝5，故选D.]4．已知点A (－1，0)，B (1，0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1D [由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D.]5．已知△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1D.y 24－x 22＝1A [如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x ＞2)．]6．(2019·福州模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2xA [由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以ba ＝3b 2－a 2a 2＋b2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.]7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2B [由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154， ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2 ＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.] 二、填空题8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________．1 2 [由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.]9．若双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，则该双曲线的标准方程为________．x 26－y 26＝1 [依题意，e ＝2⇒a ＝b .设方程为x 2m －y 2m ＝1，则16m －10m ＝1，解得m ＝6.∴x 26－y 26＝1.]10．设双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．(27，8) [如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2<m 2＋42，42<（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7<m <3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27<2m ＋2<8.]1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40°C ．1sin 50°D ．1cos 50°D [由题意可得－ba ＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.5A [如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c ，所以|PQ |＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A.]3．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0，2) [对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m－y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2)．]4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是________．16 [由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.]1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．3－1 2 [设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.]2．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________．0 3 [由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.]。